uso do computador como instrumento de desenvolvimento

USO DO COMPUTADOR COMO INSTRUMENTO DE
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO MATEMÁTICO NA
EDUCAÇÃO
Fernanda Perla Rodrigues Antunes Aragão
Centro Federal de Educação Tecnológica – CEFET – MG
RESUMO: O Pensamento Matemático se encontra presente em todas as áreas do
conhecimento. O desenvolvimento do Pensamento Matemático depende de estímulos. Estímulos
esses que são formados e, por outro lado, fazem parte da formação, de novas conexões nervosas
em nosso cérebro. Este trabalho foi feito a partir de pesquisa bibliográfica. Seus objetivos são:
contribuir para a formação de uma nova visão da importância da Matemática em todas Ciências,
através do Pensamento Matemático; servir como base de pesquisa a qualquer pessoa interessada
no assunto; entender melhor a contribuição do uso do computador para o desenvolvimento do
Pensamento Matemático. Este que se tornou uma ferramenta essencial, no sentido de promover o
despertar de novas idéias, o desenvolvimento de idéias antigas estagnadas por falta de
instrumentos capazes de verificação e prova e muito mais ainda um meio de visualização, onde
as idéias abstratas da Matemática tomam corpo e se mostram de forma concreta graficamente.
PALAVRAS-CHAVE: Pensamento Matemático, Computador na Matemática, Softwares Matemáticos.
1. Introdução
“The first question is not what you’re going to do with this stuff, but what this stuff is
going to do with you.”
(Rendall B. Maddox)
Ou seja, aquela velha questão que é levantada todas as vezes que um Professor ensina
algo novo em Matemática: “Em que vou usar isso?” ou “Para que tenho de aprender isso?” Mas,
segundo Rendall, e concordamos plenamente, a principal questão não é o que faremos com o
novo conhecimento adquirido da Matemática, mas o que esse novo conhecimento fará em nós”.
E isso é algo muito importante a ser passado para nossos alunos, qualquer que seja seu grau de
conhecimento, ou sua série na escala de aprendizado.
Na interiorização, aquele que está aprendendo necessita de um estímulo extra para
formar um processo de construção de determinado conceito. Uma forma de dar esse estímulo é
através de representações visuais ou físicas do conceito. Para isso, o computador é ferramenta
importante para ajudar o aprendiz a fazer uma ligação entre o mundo externo e sua
interiorização.
É importante frisar que a visualização de resultados e provas, na Matemática, só era
feita através da simbolização e simbologia de termos matemáticos. Não era importante, em
séculos anteriores, ter-se uma imagem real do que se estava provando. Valia a lógica da prova e
a sua conclusão. Porém, descobertas recentes mostram que, quanto mais seja possível visualizar
uma teoria abstrata de alguma forma, mais essa teoria é melhor “absorvida” e entendida por nós,
no processo da Abstração.
É a importância do Pensamento Matemático, desenvolvido através do aprendizado
e experiências com a Matemática, e do Computador, como instrumento usado para esse
desenvolvimento que trataremos aqui.
2. O Pensamento Matemático
O Pensamento Matemático é algo, geralmente, definido como um conjunto de
atividades matemáticas e mentais, tais como abstração, resolução de problemas, hipóteses,
generalizações, razões, deduções e induções (Tall, 1991 e Harel at al, 2006). Embora Stemberg
(1996) conclui que “não há consenso em o que o pensamento matemático seja, por que cada
erudito o define segundo suas próprias perspectivas”. Há, porém, um argumento universal, o qual
define o Pensamento Matemático como o principal ponto de estudo na Educação Matemática.
O Currículo de Ontário (2006) sugere que o Pensamento Matemático envolve: resolução
de problemas, resolução e prova, refletir, selecionar ferramentas e estratégias computacionais,
conectar, representar e comunicar. E que esses são processos matemáticos que suportam o
aprendizado matemático efetivamente.
São características dinâmicas do Pensamento Matemático: a abstração, como
reorganização previamente construída na Matemática dentro de um processo de indução e
dedução (Tall, 2002); a generalização, como propriedade da abstrair relações; conjeturar novas
hipóteses e estruturas (Sriraman, 2004); representar, bem como exibir relações matemáticas
através de figuras; e a ferramenta da abstração do entendimento (Russel, 1999). Em 1985,
Gontran Evynck originou o termo “Pensamento Matemático Avançado” (PMA ou AMT –
Advanced Mathematics Thinking - em Inglês).
As atividades cognitivas envolvidas no Pensamento Matemático Avançado, diz Gray,
podem diferir grandemente de um indivíduo para outro, incluindo aqueles que constroem
imagens e intuições e aqueles outros mais logicamente orientados para a dedução simbólica. Os
conhecimentos matemáticos obtidos, para esses estilos diferentes de Pensamento Matemático
Avançado, são muito diferentes e enfrentam seqüências diferentes de reconstrução cognitiva,
embora ambos acabem na prova formal.
O movimento do Pensamento Matemático Elementar para o Avançado envolve uma
transição significante: aquela da descrição para a definição, do convencimento para a prova em
uma maneira lógica e baseada nessas definições. Essa transição requer uma reconstrução
cognitiva a qual é percebida durante os conflitos iniciais dos estudantes universitários quando em
contato com abstrações formais, como as que eles veem no primeiro ano da universidade. É a
transição entre a coerência da matemática elementar para a consequência da matemática
avançada baseada em idéias abstratas, as quais cada um deve construir, através de deduções, a
partir das definições formais dadas.
Para Dreyfus (1991), o Pensamento Matemático envolve diferentes processos de
pensamento: processos envolvidos na representação de conceitos e de propriedades (o processo
de representar-visualizar, a mudança de representações e a tradução de uma formulação de um
problema ou frase matemática para uma outra formulação, a modelagem), processos envolvidos
na abstração (cujos pré-requisitos são generalização e síntese), processos que estabelecem
relações entre o representar e o abstrair, e ainda processos que podem incluir entre outros a
descoberta, a intuição, a verificação, a prova e a definição. Segundo ele, as imagens mentais e as
imagens matemáticas estão intimamente ligadas aqui. É precisamente esta ligação entre a
Matemática e a Psicologia que torna os processos interessantes e relevantes para a compreensão
da aprendizagem e o pensamento em Matemática Avançada. Uma característica que identifica o
pensamento avançado do elementar é a complexidade e como ela é tratada; assim processos
poderosos são aqueles que permitem gerir essa complexidade como a abstração e a
representação.
Percebe-se aqui que o computador é um instrumento essencial para que se possa passar
da descrição para a definição, do convencimento para a prova, ou seja, do pensamento
matemático elementar para o avançado. Isso acontece porque através do computador é possível
se ver, através de imagens gráficas, o que só se podia ter em mente. Essas imagens gráficas são,
por assim dizer, uma representação “concreta” daquilo que é abstrato. Entra nesse contexto as
teorias abstratas, algumas provas ainda não possíveis de serem feitas, algumas descobertas
inéditas, entre outros.
3. O Computador no Desenvolvimento do Pensamento Matemático
Na Teoria Construcionista, de Parpet, ele fala que, para o aprendizado acontecer de
forma bem sucedida, é necessário que haja uma construção do sujeito baseada em sua visão de
mundo. Para ele, as etapas do desenvolvimento são determinadas, também, pelos materiais
disponíveis à exploração da criança.
Destaca que o Professor deve facilitar o aprendizado realizando conexões e
desenvolvendo projetos vinculados com a realidade dos alunos, integrados a diferentes áreas do
conhecimento. Isso é uma grande ferramenta de prevenção das DA’s (Dificuldades de
Aprendizagem).
O computador é aqui, um meio eficaz de criar condições para mudanças significativas
no desenvolvimento intelectual dos sujeitos. Pois, a representação de objetos em nossa mente é
um fator muito importante para o aprendizado acontecer coerentemente.
Uma representação simbólica é extremamente “escrevível” ou “falável”, geralmente
para tornar os conceitos mais fáceis de serem entendidos. Uma representação mental, por outro
lado, refere-se a esquemas internos ou estruturas de referência as quais a pessoa usa para
interagir com o mundo externo.
Um dia, Einstein escreveu para Hadamard: “Palavras e linguagens, escritas ou orais, não
parecem ter nenhum papel em meu pensamento. As construções psicológicas as quais são
elementos do pensamento são certamente sinais e imagens, mais ou menos claras, as quais
podem ser reproduzidas e combinadas livremente”(Hadamard, 1945). Kaput (1987) propôs uma
descrição geral de como representações mentais de conceitos matemáticos são geradas. Segundo
ele, o ato de gerar representações mentais depende de sistemas de representações mentais.
No caso das funções, gráficos são um bom artifício, fórmulas algébricas são outro,
diagramas vetoriais e tábuas de valores também são outros. As representações mentais são
criadas na mente com base nesses sistemas de representação concreta. Pode-se criar uma única
ou várias representações mentais para um mesmo conceito matemático. Para se obter sucesso em
Matemática, é preciso se ter várias representações de conceito. Elas são ricas se tiverem muitos
aspectos interligados daquele conceito. E são pobres se tiverem poucos elementos que permitam
flexibilidade de uso em uma solução para um problema. Esse processo de integração de
elementos em relação a um conceito está relacionado à abstração.
A Modelagem Matemática é um exemplo rico de como se devem entender bem os
conceitos e seus elementos com o intuito de usá-los adequadamente, já que a modelagem nada
mais é do que achar uma representação matemática para um processo ou objeto não matemático.
Para a maioria dos pesquisadores na área da Matemática, o pensamento visual tem um
significado psicológico na Matemática, e não um significado epistemológico. Mas, em algumas
áreas da Matemática, a visualização não é apenas um estímulo, mas um significado de
descoberta. Se as imagens apropriadas forem desenvolvidas, elas contribuirão para o
desenvolvimento de abstrações por parte do estudante.
Os alunos que não são da Matemática, no geral, não gostam de “perder tempo” com
provas matemáticas, nem muito menos estão empenhados em descobrir novas coisas na área.
Eles procuram evidências e respostas prontas. Procuram fórmulas para serem aplicadas. O
computador, nesse caso, pode auxiliá-los a pôr em prática as definições, mesmo que de forma
intuitiva. Ele provoca a curiosidade e, muitas vezes, leva o aluno a descobertas. E essas
dependem de prova formal. Portanto, de qualquer forma, o computador é um meio eficaz no
desenvolvimento do conhecimento, em especial, do Pensamento Matemático.
Shlomo Vinner falava que “saber de cor um conceito não quer dizer entendê-lo. Para
entender é preciso se ter uma imagem do conceito. Mas, no momento em que a imagem é
formada, a definição se torna dispensável”.
Porém, quando o aluno não entende a teoria, exemplos só servirão para aumentarem
suas dúvidas e se tornarão obstáculos ao aprendizado.
Se um aluno desenvolve a habilidade de conscientemente construir abstrações em
situações envolvendo matemática, ele terá adquirido um nível avançado no pensamento
matemático.
Generalizar e sintetizar são pré-requisitos para a abstração. Segundo David Tall (2000),
a generalização é um processo gradual. A pessoa vai de um exemplo simples e estende suas
características e propriedades para um exemplo mais amplo. Enquanto que a sintetização é a
combinação ou composição de partes para formar um todo. É aglutinar, mais do que somar,
características não correlacionadas e formar uma única figura. A abstração está intimamente
ligada à generalização. Essa atividade mental de construção por parte do estudante depende de
atenção do estudante ser focada naquelas estruturas as quais são importantes para formar parte do
conceito abstrato, e separados daqueles que são irrelevantes para o contexto pretendido.
Para a maioria dos pesquisadores na área da Matemática: o pensamento visual tem um
significado psicológico na Matemática, e não um significado epistemológico. Porém, em
algumas áreas da Matemática, a visualização não é apenas um estímulo, mas um significado de
descoberta. Se as imagens apropriadas forem desenvolvidas, elas contribuirão para o
desenvolvimento de abstrações por parte do estudante.
Nesse sentido, o computador, através de grafismos de conceitos matemáticos abstratos
favorece ao crescimento de representações e sua interação, contribuindo e muito para a
construção da abstração e, conseqüentemente, para o desenvolvimento cognitivo e aprendizado
geral do aluno. Através de sistemas de computador próprios para se desenvolverem provas e
teorias matemáticas, como os que veremos mais à frente neste texto, é possível se ter a real
noção do que a prova, o teorema, o axioma querem dizer. Na verdade, essa possibilidade de
visualização por parte do aluno é o que mais atraí na idéia de se utilizar o computador como
ferramenta para se quebrar paradigmas formados em torno das disciplinas da Matemática. Devese, porém, levar em consideração que, antes mesmo de partir para o laboratório, o aluno já deve
ter visto a teoria do que se quer praticar no computador. Ou seja, sem se entender a teoria, a
Matemática continuará sendo um mistério, mesmo com o uso do computador.
4. O Computador no Ensino da Matemática
Nas palavras de David Tall “O computador pode servir como uma ferramenta heurística
para os matemáticos e estudantes de Matemática assim como o microscópio serve para o
biólogo. Se o instrumento é direcionado para um fenômeno interessante e corretamente
focalizado, provavelmente este mostrará uma imagem inesperada, freqüentemente uma imagem
visual do fenômeno em estudo e, a partir daí, desencadear novas idéias, para o reconhecimento
das relações não sabidas anteriormente”.
A exploração e a descoberta ajudam as pessoas a pensarem. A descoberta de ver ou
provar alguma coisa é o que se faz ter uma sensação de satisfação que faz a Matemática ser tão
atrativa. E o computador é uma poderosa ferramenta, principalmente gráfica, nessa exploração e
descoberta. Como por exemplo: através da visualização de uma grande variedade de objetos de
duas ou três dimensões, através da computação gráfica, alunos podem explorar questões e
descobrir resultados por si próprios; através da exploração da análise de dados, como, por
exemplo, tirar conclusões de dados (ex. Isso é bimodal?); transformar dados (ex. através da
plotagem logarítmica); suavizar dados e comparar conjuntos diferentes de dados; usar os
sistemas matemáticos simbólicos para descobrir fórmulas matemáticas tais como o teorema
binomial; desenvolver ou executar algoritmos diferentes para as mesmas, ou relacionados,
questões; para aplicar o primeiro passo do paradigma de indução – cálculo, conjetura e prova –
em muitas situações diferentes. É importante frisar que as atividades tradicionais, tais como
prova, generalizar e abstrair não sejam negligenciadas ou omitidas. Deve-se achar uma maneira
de equilibrar a matemática experimental e a mais formal.
A maior parte dos alunos de uma disciplina da Matemática não pretendem ser
matemáticos e isso tem de estar bem claro na mente dos Professores. Mas, muitos deles são
alunos de ciências experimentais. Isso levanta uma questão importante, experimentos em
matemática diferem significativamente das ciências física e natural. As técnicas são similares,
mas, na Matemática temos um ingrediente extra e essencial: a prova. Experimentos são uma
essencial e negligenciada parte da Matemática, apesar de a Matemática não ser uma ciência
experimental.
O computador pode afetar o comportamento dos estudantes. Isso cria novas interações e
relacionamentos entre estudante, aprendizado, computador e professor. Os alunos estarão mais
confortáveis para aprenderem os conceitos matemáticos e desenvolverem um comportamento
autônomo com respeito à Matemática se eles tiverem uma atividade cognitiva ativada em
resposta aos fenômenos da matemática apresentados a eles. Essa atividade pode consistir na
formação de imagens mentais que representem objetos matemáticos e processos. Isso também
inclui o desenvolvimento de habilidades em manipular esses objetos e processos. Nesse sentido,
os estudantes podem aumentar sua capacidade de pensar matematicamente. Muitos conceitos
matemáticos podem ser descritos como procedimentos. Algoritmos possuem muitas ferramentas
que podem ser usadas para introduzirem conceitos de alguma forma. Um fator importante dessa
iniciativa aparece quando os alunos precisam escrever os programas e daí são ativados
cognitivamente sobre o processo e estruturas de dados que eles estejam implementando. Essas
experiências são coordenadas com atividades em sala de aula.
A forma de ensinar, bem como a metodologia de avaliação, por parte do professor,
muda com o uso do computador. Este passa a ser uma ferramenta de ajuda e, se usado
corretamente pelos alunos com a orientação do professor, passa a incorporar todo o processo de
aprendizado e avaliação. O aprendizado aluno-aluno é um dos componentes do aprendizado
provenientes das novas tecnologias. O computador muda a organização da Educação. A
hipermídia e os produtos multimídia, por exemplo, permitem a integração de diferentes mídias e
sua combinação para propósitos educacionais. Eles permitem atividades que não são “lineares”,
mas nas quais os usuários podem construir seu próprio caminho e aprendizado. É o que podemos
observar, por exemplo, no uso do LOGO, programa proposto por Parpet. Essa é uma das
vantagens do computador, a individualização do ensino e da aprendizagem. Uma grande
dificuldade para os alunos é julgar o quão bem eles estão se dando em um assunto. Um uso do
computador é habilitar o aluno a testar a si próprio. Uma desvantagem é o custo de preparação e
o acesso a computadores.
Em março de 1985, em Strasbourg – França, houve uma importante Conferência. Os
participantes dessa Conferência dividiram-se em três grupos de estudo, os quais os assuntos
eram: O Efeito dos Computadores na Matemática, O Impacto dos Computadores e da Ciência
da Computação na Matemática e Curriculum e Computadores como uma Adição ao Ensino e
Aprendizado da Matemática. Grande parte dos exemplos descritos a partir daqui, neste texto, foi
tirado dos anais dessa Conferência.
Tommy Dreyfus afirma que, através do uso de meios de aprendizagem por computador,
muitas relações usualmente implícitas, por exemplo, entre diferentes representações de um
mesmo conceito, podem se fazer explícitas. Isso contribui para a recognição no aluno dessas
relações e para a emersão das idéias relacionadas, em resumo para a formação de seus conceitos.
Os conceitos matemáticos sempre necessitaram de métodos através dos quais são
calculados e escritos. Aplicações complicadas (como exponenciação, somatório de séries,
interações, etc) se tornam mais simples quando mediadas por computador. Até as operações mais
simples poderão dar pano para novos problemas matemáticos, por exemplo, o somatório de
termos em duas ordens diferentes (começando do termo de menor valor ou começando do de
maior valor) não produzirá um mesmo resultado numérico sempre (Churchhouse, 1980, 1985).
A teoria das aproximações e das superposições de funções – desenvolvida antes dos
computadores – é, agora, validada. O campo das funções elementares é estendido, através da
discretização de problemas não lineares. O computador, também, compele-nos a ter um novo
olhar em relação à noção de variável, e sobre a ligação entre símbolo e valor. O simbolismo das
funções não é totalmente transferido e os atributos da variável são diferentes nas linguagens de
programação, tais como Fortran, Lisp e Prolog.
Na Matemática Pura, onde os computadores causaram maior impacto foi na Teoria dos
Grupos, Análise Combinatória e Teoria dos Números. Por outro lado, as pesquisas sobre Grupos
Esporádicos, a investigação do problema de Burnside, o Estudo dos Pontos Racionais nas Curvas
Elípticas, e a pesquisa sobre Primos Grandes seriam impossíveis não fosse o computador. A
Fatoração de grandes números inteiros também é outro exemplo.
Alguns pacotes de programas, especificamente desenvolvidos para auxílio de
pesquisadores na área da Matemática foram: o sistema CAYLEY, para o estudo de Grupos
Finitos Simples; e Sistemas Matemáticos Simbólicos, que tornaram possíveis manipulações que
só eram possíveis manualmente em um tempo razoavelmente grande ou com alguma ajuda
válida de um resultado preciso. Na USP foram desenvolvidos dois sistemas: o iGeom, de
Geometria Dinâmica interativa; e o iMatica, que serve para resolução do problema das Torres de
Hanói. Ambos gratuitos e disponíveis no site do IME, da USP. Temos também o
GRAPHEQUATION, com o qual se podem construir gráficos de regiões no plano e o
GEOGEBRA, de Geometria Dinâmica.
Algumas questões antigas tomaram uma nova vida, as frações contínuas, com
aproximações de números reais e, na forma analítica, em Análise Numérica. Os computadores
podem ser usados nas provas matemáticas. Eles podem, inicialmente, sugerir o que é verdadeiro
e, igualmente importante, o que não é. Podem ser usados para cálculos que são requeridos em
uma prova. Também podem ser programados para achar parte da prova através de tentativas de
várias combinações de possibilidades de axiomas conhecidos, teoremas ou definições. Como
exemplos, computadores foram usados para sugerir resultados em Teoria de Grupo, Análise
Combinatória, Teoria dos Números, Teoria de Códigos e para sustentar a verdade das
conjecturas, tais como a Hipótese de Riemann.
Em muitas áreas da Matemática a trigonometria é pré-requisito. Mas, nota-se que muito
do trabalho desgastante que era necessário no passado, tanto numérico quanto simbólico, pode,
hoje em dia, ser feito facilmente através de um computador. Em Cálculo, praticamente todas as
técnicas, também hoje, podem ser feitas em equipamentos portáteis ou em sistemas matemáticos
simbólicos (freqüentemente chamados de Sistemas de Álgebra Computacional) em
computadores.
O Cálculo no segundo grau, assim como na universidade, deve focar quase que
totalmente os conceitos e não os processos computacionais. A mera velocidade dos
computadores significa que cálculos, os quais alguém passaria a vida toda para completar,
podem ser feitos em horas, ou até minutos. Somando a isso que os resultados, se assim
requeridos, podem ser mostrados em forma geométrica mais do que através de uma lista de
números, nós vemos que a interpretação dos experimentos pode ser feita mais facilmente.
Eles trouxeram a Matemática para mais perto, na Filosofia, das ciências clássicas
naturais onde sempre houve uma interação entre teoria e experimento. Para David Tall (2000),
agora a Matemática tem também um laboratório – o computador – no qual os experimentos
podem ser feitos e resultam em teorias e onde as teorias podem ser testadas.
A Informática no currículo do Curso de Matemática é uma disciplina cujos problemas
requerem, quase que universalmente, as ferramentas da matemática discreta ou finita (ex.
Combinatória, Lógica, Teoria dos Números, Indução Matemática, Funções, Teoria da
Informação, Teoria da Computabilidade e da Complexidade, Álgebra Linear, Teoria das
Probabilidades e as Cadeias de Markov, Recursão, Algorítmica, Teoria dos Gráficos, Equações
Diferenciais). Algumas aplicações da matemática discreta: Programação Linear, Criptografia,
Teoria das Filas, Teoria dos Jogos, Teoria da Computação entre outras.
Há, porém que se frisar a importância do uso de paradigmas da informática (ex.
Aproximação algorítmica, iteração, recursão) no ensino da matemática em todos os níveis.
Quanto à Análise Numérica, o advento do computador teve grande impacto sobre ela através da
Computação Paralela.
Computadores dão aos professores subsídios para modificar sua metodologia de ensinar
Cálculo (e outras disciplinas, logicamente) com o propósito de suprir melhor as necessidades de
seus alunos. Computação gráfica é uma boa opção para se mostrar exemplos – e não-exemplos –
de funções contínuas, funções descontínuas, área ao redor de uma curva, campos vetoriais e
nestas funções diferenciáveis, assim como diversas outras áreas. Outro impacto que os
computadores dão no ensino do Cálculo pode ser a ordem dos tópicos que são passados aos
alunos.
É comum se introduzir Limite no início da disciplina de Cálculo. Funções tangenciais e
áreas ao redor de curvas podem ser motivadas e definidas graficamente. Assim também, segundo
estudiosos da área, Equações Diferenciais podem ser vistas antes do que o previsto no currículo,
isso é possível por causado uso de sistemas gráficos que facilitam o seu entendimento. Elas
podem ser introduzidas bem depois de Diferenciação e antes da Integração. Essa flexibilidade no
currículo se dá por conta da evolução tecnológica e do seu uso direto nas disciplinas da
Matemática. Daí, a busca constante por um currículo adaptado às próprias necessidades que vão
surgindo à medida que a universidade, ou a escola vai se “tecnologizando”.
5. Os Softwares e a Matemática
Os softwares podem ser classificados em algumas categorias:
a) softwares sofisticados em termos computacionais, usados para prover soluções para
problemas específicos de matemática;
b) softwares menos sofisticados em termos computacionais; pacotes usados em
microcomputadores. São usados por estudantes em trabalhos individuais, em grupos ou como
professor. O problema em desenvolver esses softwares está na gama de profissionais que devem
ser mobilizados para o trabalho. Tais sejam matemáticos, educadores, psicólogos, analistas de
sistemas, designers gráficos, publicitários e editores. O custo necessário para juntar tal grupo
deve ser considerável.
c) linguagens de programação de cunho geral podem ser usadas como ferramentas para
ajudarem no desenvolvimento matemático dos alunos e são estudos livres disponíveis.
Hadamard, em seu livro “The Mathematician's Mind: The Psychology of Invention in
the Mathematical Field”, explicitou a importância de uma resolução informal do pensamento na
ausência de palavras, de imagens visuais, de imagens mentais e do jogo de idéias, por exemplo,
tentando repetidamente encaixar elementos diferentes, como em um quebra-cabeça. Esse aspecto
da Matemática teve grande acréscimo nos últimos anos, pelo uso da computação gráfica. Um
exemplo disso é o estudo dos Fractais e dos Sistemas não lineares. Os softwares disponíveis hoje
servem principalmente para propor graficamente resultados em cálculo, equações diferenciais,
geometria, análise numérica, e muitas outras áreas da matemática. É uma experiência nova, pois
os alunos podem explorar e manipular suas idéias, investigar modelos, conjeturar teoremas e
testar teorias experimentalmente antes de prová-los em um contexto mais formal. Grogono
(1989) provou que diferentes tipos de linguagens de programação podem ser usadas para
modelar diferentes tipos de processos para desenvolvimento do pensamento matemático.
Algumas manipulações simbólicas podem ser feitas, mostrando-se o resultado
conseguido passo-a-passo e isso ajuda o aluno a entender todo o processo resultado do trabalho
do computador para chegar até determinado ponto. Porém, saber como diferenciar
simbolicamente uma rotina é muito diferente de saber o que uma derivada, por exemplo,
significa. Antes de se deparar com uma aula prática em computador, é necessário que os alunos
saibam toda a parte teórica. A programação dirigida a disciplinas da Matemática auxilia e muito
o aprendizado do aluno. Ela juntamente com o uso do computador, através de conceitos
cognitivos, aprimoram o pensamento matemático no aluno.
Com algumas linguagens de programação, como a Mathematica, o aluno faz
Matemática e não aprende Matemática. Esse tipo de linguagem é boa para quem já tem grande
bagagem de conhecimento na área, para os “experts”.
Outras linguagens de programação, como a ISETL (Interactive SET Language), são
especificamente desenvolvidas para o aprendizado da Matemática. Dubinsky (1990) e seus
colegas perceberam que os alunos fazendo certas construções em ISETL faziam com que eles
fizessem construções matemáticas paralelas em suas mentes e daí entendessem vários conceitos
matemáticos. Na fase inicial de exploração do computador, percebeu-se que a geração de dados
poderia levar a novas intuições e novas teorias. Como foi o caso da Teoria do Caos, por Lorentz
(1960). Ele estudava equações diferenciais para previsão do tempo, através de programas de
computador que simulavam o movimento de massas de ar. Descobriu que acontecimentos
simples geravam conseqüências inesperadas. Percebeu que a saída dos dados foi de apenas
números com três casas decimais 0.506, ao invés de ser um número do tipo 0.506127. Essa
pequena variação nas condições iniciais resultou em uma variação grande ao longo do processo e
transformaram completamente o padrão das massas de ar. Fundamentado em seus estudos, ele
formulou equações que demonstravam o “efeito borboleta”, originando-se assim a Teoria do
Caos.
A iteração de funções simples de variáveis complexas tem como resultado os fractais.
Segundo Eliene Precília ,na década de 1970, o matemático polonês Benoit Mandelbrot
percebeu que as equações de Lorenz coincidiram com as que ele havia formulado quando
desenvolvera os fractais.
Outros cientistas concluíram que a mesma imprevisibilidade aparecia em fatos como
desde o número de vezes que um olho pisca até a cotação da Bolsa de Valores. A junção do
experimento de Lorenz com a matemática de Mandelbrot indica que a Teoria do Caos está
presente essencialmente em tudo, dando forma ao universo. O Caos se tornou não apenas uma
teoria, mas um método, não apenas um cânon de crenças, mas uma forma de fazer ciência. O
Caos criou sua própria técnica de usar computadores, uma técnica que não requer uma vasta
velocidade de Crays e Cybers, mas ao invés terminais modestos de apoio que permitem uma
interação flexível. Para pesquisadores do Caos, a Matemática se tornou uma ciência
experimental, com os laboratórios de informática cheios de tubos de teste e microscópios.
Imagens gráficas são a chave. Mas, como pergunta Gleick: “Como é que eles vêem a relação
entre aquela e esta moção, como desenvolvem a intuição?” (Gleick, 1987) O estudo de Sistemas
Simbólicos juntamente com a Teoria do Caos deu novo impulso para o uso do computador no
estudo da Matemática. A primeira prova feita em computador foi a do Teorema das Quatro
Cores. A prova para o Teorema das Quatro Cores, cuja conjetura foi proposta por Francis
Guthrie, em 1852, enquanto tentava colorir o mapa com os países da Inglaterra, só foi possível a
partir do uso do computador.
6. Alunos versus Professores versus Realidade
Alunos da Matemática estudam uma disciplina chamada Análise Real e Abstrata, alunos
da Ciência da Computação estudam uma disciplina chamada Máquinas Abstratas e Reais. Em se
pensando em profissionais do ensino, nos dias atuais, como então devem ser? Será necessário
que saibam além da sua própria área de ensino? Certamente, deve ser competente em sua área de
formação. Mas, mais do que isso, ele deve saber sobre sua área de atuação, não só no conteúdo
propriamente dito, deve saber sua origem e evolução, sobre sua história e epistemologia. Deve
saber sobre a influência dela na sociedade e suas aplicações. Deve saber sobre a filosofia de sua
área. Professores devem, enfim, serem um pouco Pedagogos, Didáticos, Psicólogos, Amigos,
abertos a novas realidades e a opiniões diferentes das suas. Devem preparar seus alunos para o
mundo. Buscando, constantemente, ensiná-lo a pensar e a buscar por si as respostas aos seus
questionamentos.
Devem valorizar o erro no sentido de usá-lo em favor do aluno e não contra ele. Ter
domínio do assunto que estão passando para os alunos e, por outro lado, devem saber captar a
atenção de todos, de uma forma dinâmica e natural. Isso, só a experiência e o auto domínio é que
farão o Professor chegar a este patamar. No caso dos treinamentos dos professores para o uso do
computador, é de suma importância que sejam feitos na própria máquina e não através de
apostilas. Isso evitará que o professor, posteriormente, passe esse conhecimento aos alunos,
através de apostilas, e não na prática, como deve ser feito para que se tenha um melhor
aproveitamento das disciplinas que usarão o computador como ferramenta auxiliar. Todo o
treinamento, no entanto, no caso dos próprios professores, deve ser feito paralelamente a um
treinamento didático e pedagógico.
7. Sistemas Matemáticos Simbólicos no Ensino da Matemática
Esse termo é usado para definir sistemas de calculadoras e microcomputadores, os quais
integram: numérico, gráfico e manipulação simbólica. Esses sistemas dão a resposta exata de
soma de números decimais, ao invés de sua aproximação. O usuário deve solicitar a aproximação
decimal se preferir. Em um laboratório de informática, com o uso dos Sistemas Matemáticos
Simbólicos, as atividades podem ter um ou mais dos seguintes atributos:
a) eles encorajam a exploração dos conceitos matemáticos;
b) eles provam razão indutiva e/ou modelo de reconhecimento;
c) eles investigam as inter relações entre representações diferentes – algébricas,
gráficas, numéricas, etc.;
d) eles envolvem problemas os quais poderiam ser muito difíceis e/ou consumiriam
muito tempo para serem resolvidos sem tecnologia; Com todos os softwares matemáticos
disponíveis, o professor deverá explicar ao aluno em que pontos das disciplinas uma análise mais
profunda deverá, ainda assim, ser indispensável. Pois, esses mesmos softwares podem servir
tanto como uma boa ferramenta ou, de forma nociva, como uma ferramenta que restringe o
raciocínio de quem os utiliza, dando sempre o resultado dos problemas e não mostrando o seu
desenvolvimento, o como se chegou até ali.
É claro que esses conceitos de aplicações matemáticas podem ser implementados tanto
por conceitualização discreta quanto por contínua. Conceitos contínuos correspondem a funções,
equações diferenciais, derivadas, integrais pesadas e integrais são as correspondentes
conceitualizações em análise discreta de: seqüências e séries, equação diferencial, diferenciação,
valor aritmético principal e soma. Esses conceitos discretos são freqüentemente técnica e quase
sempre intelectualmente mais simples do que suas contrapartes contínuas. Mas, por que usar a
análise contínua para ensinar também? Dilema:
a) Insuficiência na análise contínua para obter resultados numéricos concretos. A
maioria das integrais não pode ser executada analiticamente, mas apenas numericamente; isso é
verdade ainda mais em se tratando de equações diferenciais. Mesmo para achar os extremos de
uma função simples como x.Senx é preciso um método numérico.
b) A maioria dos modelos que usam análise tem uma base discreta. Isso é evidente em
ciências sociais ou em população em biologia. Mas, em física, a maioria dos dados começam
discretamente, mesmo pensando em um universo infinito, pois este é feito de partículas e essas
em quanta. Isso acontece porque funções contínuas não podem ser obtidas como resultado de
uma série de medidas as quais cedem apenas para seqüências discretas ou séries temporais.
c) As características contínuas dos modelos usados na análise é o resultado do domínio
de validade pretendido. Uma linha Euclidiana serve de borda para o corpo dos sólidos.
Através de um microscópio eletrônico, a borda não aparece mais como uma reta e numa
escala atômica, a borda perde sua característica unidimensional. Assim, apesar de uma borda
poder ser representada por uma linha, não se podem tirar conclusões desse modelo sem ter seu
domínio de variação. Num mesmo sentido, modelos de cálculos de fenômenos discretos reais
tipicamente só são usados para fenômenos em escalas onde a descrição não funciona. Conceitos
de cálculo tais como limite, derivada e integral não são interpretados numa forma estritamente
matemática, mas eles expressam certas invariâncias. Os seus correspondentes conceitos discretos
não dependem do passo da forma, já que são suficientemente pequenos (mas, ainda no domínio
de escala pretendido), ex. domínios de populações dinâmicas ou econômicas. Mas, há alguns
modelos que não mostram essas invariâncias em seu domínio de escala pretendido. Essas não
podem ser moldadas através do cálculo. Essas situações aparecem em considerações sobre o
fenômeno dos fractais: o tamanho de uma linha de borda (como uma quantidade do tipo integral)
é tipicamente não invariante com a medida da unidade.
d) A transição de modelos para resultados numéricos concretos não pode acontecer, em geral,
sem análises contínuas. Isso é verdade por uma razão, porque os erros de aproximação os quais
acontecem inevitavelmente na computação numérica, devem ser controlados por um modelo
mais abstrato o qual não inclui o erro de discretização.
8. Meios de Aprendizado Baseados em Computador
Equações lineares, e outras que possam se transformar nelas, podem ser resolvidas
através de algumas fórmulas. Porém, alguns sistemas dinâmicos que surgem de modelos
construídos são essencialmente não-lineares. Algoritmos de solução numérica são, por outro
lado, geralmente não sensíveis a não linearidade, mas eles dividem uma característica
experimental dupla: na maioria dos casos, o grau para o qual eles se aproximam da solução
verdade só pode ser estimado, não provado, e – mais seriamente – uma solução numérica tem
uma característica empírica estritamente local. Então, elas têm de ser completadas com
observações teóricas e considerações qualitativas sobre possíveis comportamentos disso ou um
sistema dinâmico modificado, seja contínuo ou discreto.
Apesar da densidade dos meios de aprendizado baseados em computador, eles podem
ser classificados em três categorias principais levando-se em conta suas abordagens pedagógicas:
Sistema de Aprendizado Dinâmico (ex. Sketchpad de Geometria, Capri e Manipulação Virtual),
Sistemas de Álgebra Computacional (ex. Maple), e Sistemas Tutoriais Inteligentes (ex. Tutor
Cognitivo).
Sistema de Aprendizado Dinâmico e Sistemas de Álgebra Computacional apontam para
o aperfeiçoamento das habilidades cognitivas dos alunos enquanto que o Os Sistemas Tutoriais
Inteligentes tentam integrar os princípios da inteligência artificial à educação matemática (Heid,
2005; Izydorczak, 2003; Kieran & Drijvers, 2006; McDougall, 1997; e VanLehn et al, 2003). Os
Sistemas Dinâmicos de Aprendizado promovem o aprendizado através de descobertas ao passo
que os Sistemas de Álgebra Computacional transferem o foco do aluno do procedimento para o
raciocínio. Não há dúvidas de que cada um desses sistemas tem uma contribuição única para a
educação matemática.
As ferramentas cognitivas modernas como os Sistemas de Aprendizado Dinâmico e
Sistemas de Álgebra Computacional foram desenvolvidos para resolver o primeiro desafio (uma
necessidade para uma ferramenta específica) e prover a oportunidade para o uso efetivo da
capacidade dos estudantes. Muitos estudiosos se tornaram interessados em investigar os efeitos
dessas ferramentas cognitivas e muitos pesquisadores o fizeram (ex. Forster, 2006; Galbraith,
2006; Kieran, and Drijvers, 2006; e Threlfall et al, 2007).
Considerando o uso dessas ferramentas, Godenberg (2000) sugere que a tecnologia
poderia desenvolver a capacidade de pensar dos estudantes através do endereçamento do uso da
tecnologia como uma ferramenta cognitiva. Como conseqüência dos estudos relacionados com a
integração dessas ferramentas contemporâneas, entender e assimilar o processo de entendimento
tornou-se de grande interesse. Segundo Donald E. Knutha (Stanford University) “muitos
problemas matemáticos intrigantes surgem quando tentamos analisar um algoritmo
quantitativamente, para ver o quão rápido rodará em um computador e uma das primeiras teorias
matemáticas inspiradas pelo computador é a teoria das linguagens, as quais incluem resultados
muito bonitos”. É um fato a afirmação de que a Ciência da computação pode afetar a Matemática
de várias formas. Os computadores geram dados que sugerem ou servem para demolir
conjeturas. A “transformação” de provas matemáticas em algoritmos, os quais constroem objetos
matemáticos deu um grande impulso na teoria abstrata. O estudo dos algoritmos por si mesmos
abriu uma veia fértil para novos problemas matemáticos interessantes; ele deu um ar de vida para
várias áreas da matemática que, teoricamente, estava sofrendo com a falta de novas idéias.
Charles Babbage, um dos pais do computador, em 1864 já dizia que: “Assim que uma
‘locomotiva analítica’ existir, ela necessariamente guiará o futuro da ciência. Sempre que se
buscar algum resultado através dela, a seguinte questão surgirá – Através de que forma de
cálculos esses resultados poderão surgir nesta máquina em um tempo ais curto?”
9. Conclusões
No mundo contemporâneo, onde o homem se faz dependente cada vez mais da
tecnologia, subestimar o uso do computador para o aprendizado de qualquer disciplina que seja,
é tolice. Novas pesquisas surgem a cada dia sobre o uso do computador no ensino da
Matemática. Muitos especialistas não concordam com esse uso, por exemplo, no que diz respeito
à formalização de uma prova. Eles argumentam que, mesmo o computador, pode cometer
“falhas”, utilizando idéias não coniventes com a prova que se espera, para a formalização dessa
mesma prova. E que, para nós, seria difícil, ou pouco provável de conseguir enxergar esse erro.
Mesmo assim, é impossível se negar a importância do computador, com todas as suas
ferramentas, no desenvolvimento do Pensamento Matemático. É importante que haja uma
interação por parte dos Professores da Matemática e dos desenvolvedores de softwares, para que
a descoberta dessa importância sirva como um marco para o desenvolvimento de um novo olhar
sobre a Matemática, bem como um novo entendimento e esclarecimento de seus conceitos mais
abstratos, no que for possível, com o uso do computador.
10. Referências
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