Lista 8 - Cinematica das Rotacoes

Lista 8 : Cinemática das Rotações
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Importante:
i.
ii.
Nas cinco páginas seguintes
intes contém problemas para se resolver e entregar.
Ler os enunciados com atenção.
iii. Responder
esponder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente.
iv. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros!
1. Uma roda de raio 0,80 cm gira sem deslizar segundo uma linha reta em uma
superfície plana. Fixe o eixo x como sendo a linha horizontal positivo e para
direita, eixo y vertical positivo e para cima, e o eixo z perpendicular ao plano e
positivo saindo do quadro.
uadro. Considere o instante em que o vetor velocidade angular
da roda é ω = (4,0 rad/s) k.
a) Qual é a velocidade linear vetorial do ponto T nesse instante?
b) Qual é a velocidade linear vetorial do ponto F nesse mesmo instante?
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2. A posição angular de um ponto localizado na borda de uma roda gigante é descrita por
3,0 + , onde θ é dado em radianos e t em segundos.
a) Qual a velocidade angular em t=2,0 s e em t=4,0 s?
b) Qual a aceleração angular média para o intervalo de tempo entre t=2,0 s e t=4,0 s?
c) Qual a aceleração angular instantânea no início e no final desse intervalo de tempo?
2
= 4,0 −
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3. Para t=0 s a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um
deslocamento angular do eixo do motor dado por θ(t) = 250,00 t−200,00 t2−1,50 t3.
a) Em que instante a velocidade angular do eixo do motor se anula?
b) Calcule o vetor aceleração angular no instante em que a velocidade angular do eixo do motor é
igual a zero.
c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida
até o momento em que a velocidade angular se anulou?
d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t = 0, quando a corrente foi invertida?
e) Calcule a velocidade angular média no intervalo de tempo desde t = 0 até o instante calculado no
item (a)
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4. Um disco gira em torno de seu eixo central partindo do repouso com aceleração angular constante. Em
um instante, ele está girando a 10 rev/s. Após 50 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule:
a) a sua aceleração angular;
b) o tempo para completar as 50 revoluções;
c) o tempo necessário para atingir a velocidade angular de 10 rev/s;
d) o número de revoluções a partir do repouso até o instante em que o disco atinge a velocidade
angular de 10 rev/s.
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5. Um objeto rígido roda em torno do eixo z e é acelerado a 2,66 rad/s². Considere uma partícula localizada
em r=1,83 j + 1,26 k (em metros). No instante em que ω=14,3 k (rad/s),
a) Encontre o vetor velocidade da partícula.
b) Encontre o vetor aceleração linear da partícula e indique suas componentes radial (ou centrípeta) e
tangencial.
c) Qual é o raio da trajetória circular da partícula.
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Questões:
(A) Poderiam as grandezas angulares θ, ω e α serem expressas em termos de graus em vez de radianos nas
equações rotacionais relacionando as grandezas lineares e angulares?
(B) Uma roda está girando sobre seu eixo. Considere um ponto sobre sua borda. O ponto possui aceleração
radial quando a roda gira com velocidade angular constante? E aceleração tangencial? Quando a roda
gira com aceleração angular constante, o ponto possui aceleração radial? E aceleração tangencial? Os
módulos destas acelerações mudam com o tempo?
(C) O planeta move-se em uma órbita circular em torno do Sol, completando uma revolução a cada 225
dias. Vênus também gira sobre um eixo polar, completando uma revolução a cada 243 dias. O sentido do
movimento rotacional é oposto, mas paralelo, ao movimento orbital. (a) Descreva o vetor que representa
a velocidade angular resultante, obtida pela adição das velocidades angulares rotacionais e orbitais.
(D) Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. O corpo pode ter aceleração angular
diferente de zero mesmo que a sua velocidade angular seja nula? Qual seria o equivalente linear desta
questão? Dê exemplos físicos que ilustrem tais situações.
(E) Considerando-se os movimentos de rotação e revolução da Terra, uma árvore move-se mais rapidamente
durante o dia ou durante a noite? Sua resposta foi dada com relação a qual referencial? (A rotação e
revolução da Terra possuem o mesmo sentido).
Exercícios e Problemas
1. Dois pontos estão sobre uma roda girante, com velocidade angular constante; um deles está na borda e
outro a meia distância entre o centro e a borda.
a) Qual dos dois percorre a maior distância no intervalo de tempo ∆t?
b) Qual dos dois gira o maior número de vezes?
c) Qual tem a maior velocidade escalar? a maior velocidade angular? a maior aceleração? e a maior
aceleração angular?
2. A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular.
a) Qual é a velocidade angular da Terra (considerada como uma partícula) em torno do Sol?
b) Qual é a velocidade linear em sua órbita?
c) Qual é a aceleração radial da Terra?
3. Um astronauta está sendo treinado em uma centrífuga, que possui raio de 10,4 m e, na partida, gira de
acordo com θ = 0,326 t2, sendo t em segundos e θ em radianos. Quando t=5,60 s, qual é:
a) a velocidade angular do astronauta;
b) sua velocidade tangencial;
c) sua aceleração tangencial e
d) sua aceleração radial?
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4. Uma roda de bicicleta com raio igual a 33 cm gira com aceleração angular α(t) = 1,80 − 0,25 t. Ela está
em repouso para t = 0.
a) Quais são as unidades de cada constante da função α(t)?
b) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular em função do tempo.
c) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o deslocamento angular positivo máximo da roda.
5. Um automóvel viaja a 100 km/h e possui rodas de 0,80 m de diâmetro.
a) Encontre a velocidade angular das rodas sobre o eixo.
b) O carro é freado de forma uniforme e pára em 30 rotações das rodas. Calcule a aceleração angular.
c) Até que distância o carro avança durante o período de frenagem.
6. Uma roda executa 90 revoluções em 15 s; sua velocidade angular após este período é 10 rev/s.
a) Admitindo-se aceleração angular constante, qual era a aceleração angular da roda no início do
intervalo de 15 s?
b) Quanto tempo passou entre o instante em que a roda se encontrava em repouso e o início do
intervalo de 15 s?
7. Uma roda dentada A de raio rA de uma bicicleta está acoplada por uma
corrente B à roda dentada C de raio rC. A corrente não desliza nem se estica.
a) Relacione as velocidades angulares das duas rodas dentadas com o
número de dentes, NA e NC, de cada roda dentada;
b) Considere que os raios de cada roda dentada sejam rA = 10,0 cm e rC =
25,0 cm. A roda A aumenta sua velocidade angular à razão uniforme de
1,60 rad/s. Determine o tempo necessário para que a roda C atinja uma
velocidade angular de 100 rev/min; supondo que não haja deslizamento da correia.
8. Um pino rosqueado com 12,0 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado
horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino é
aparafusada nele. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se
mover 1,50 cm ao longo do pino?
9. Um “Compact Disc” (CD) de um sistema digital de áudio possui raios interno e externo de sua gravação
de 2,50 cm e 5,80 cm, respectivamente. Durante a execução, o disco é varrido à velocidade linear
constante de 130 cm/s, partindo-se de seu lado interno para o lado externo.
a) Se a velocidade angular inicial do disco de 52,0 rad/s, qual é sua velocidade angular final?
b) Qual é o comprimento total da varredura se as linhas espirais são separadas por 1,60 µm?
c) Qual é o tempo total de gravação?
10. Um objeto se move no plano de xy de forma que x=R cos (ωt) e y= R sen (ωt), sendo x e y as
coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω constantes.
a) Elimine t entre estas equações para encontrar a equação da curva na qual o objeto se move. Que
curva é essa? Qual é o significado da constante ω?
b) Encontre as componentes vx e vy da velocidade do corpo. Combine vx e vy para encontrar o
módulo, a direção e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto.
c) Encontre o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante.
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Respostas:
1) a) da borda; b) igual; c) borda, igual, borda, igual nulo.
2) a) 2.10-7 rad/s; b) 30km/s; c) 6 mm/s2
3) a) 3,65 rad/s; b) 38 m/s; c) 6,8 m/s2; d) 140 m/s2
4) a) rd/s2 e rad/s3; b) 1,80 t−0,125 t2, 0,90 t2 − 0,25 t3/6;c) 6,48 rad/s, 62,2 rad ≈ 10,0 voltas.
5) a) 69,4 rad/s; b) 12,8 rad/s2; 75,4m
6) a) 0,53 rev/s2; 3,75s
7 )a) ωC/ωA=NA/NC ; b) 16,4 s
8) 4,56 s
9) a) 22,4 rad/s; b) 5,38 km; c) 69 min.
10) a) círculo de Raí oR e centrado em (0;0); b) Rω; tangencial; c) Rω2, radial, centrípeta.
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