Centro de Massa e Momento Linear

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Centro de Massa e
Momento Linear
Disciplina: Mecânica Básica
Professor: Carlos Alberto
Profº Carlos Alberto
http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com
O Centro de Massa
“O centro de massa de um sistema de partículas é o
ponto que se move como se (1) toda a massa do
sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas
as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto”.
✔ Sistema de partículas
cm
O Centro de Massa
Se x1 = 0
m1 = m 2
m1 > m2
cm
cm
O Centro de Massa
Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas
Em 3D
(DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA)
O Centro de Massa
✔ Corpos maciços
Para cada componente
✔ Simetrias
Exemplo 9.1: (Halliday, p220)
Três partículas de massa m 1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um
triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse
sistema?
cm
Exemplo 5.15: (Tipler, p148)
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada,
como mostrado na figura abaixo.
0,2 m
0,2 m
0,4 m
0,8 m
Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada,
como mostrado na figura abaixo.
0,2 m
y
m2
0,5
0,2
m1
0,4
0,2 m
0,4 m
0,7
x
0,8 m
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de
raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de
coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.
y
x
Placa P
A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de
raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de
coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa.
y
Placa Composta
C=R+P
CMR
CMC
CMP
x
Encontrando o centro de massa por integração
✔ Barra uniforme
y
dm = λ dx
x
dx
z
Encontrando o centro de massa por integração
✔ Anel semicircular
y
ds = R dθ
dθ
θ
x
Movimento do centro de massa
Derivando os dois lados:
Derivando novamente os dois lados:
0
Movimento do centro de massa
“O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm
sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema”.
Movimento do CM
Movimento do corpo
(ou sistema de partículas)
Movimento das partículas
Em Relação ao CM
Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante.
No entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois
fragmentos de mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos
fragmentos possui uma velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na
vertical. Onde aterriza o outro fragmento? Despreze a resistência do ar.
cm
cm
Exemplo 8.14: (Young, p260)
James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a
superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James
possui massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma
caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as
extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0
m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância
percorrida por ele?
Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo
(massa de 60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro
está na popa, a 2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece
para remar, e, quando o barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto
o barco se move, quando eles trocam de lugar? (Despreze qualquer força
horizontal exercida pela água)
Momento linear
(quantidade de movimento)
Para uma partícula:
(DEFINIÇÃO)
No SI, o momento linear tem como unidade kg·m/s (quilograma vezes metro por segundo).
✔ 2ª Lei de Newton
“A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força
resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força”.
Para um sistema de partículas:
Colisão e Impulso
✔ Colisão simples
x
(DEFINIÇÃO DE IMPULSO)
(TEOREMA DO MOMENTO
LINEAR E IMPULSO)
No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N · s (newton vezes
segundo). Como N = kg · m/s2, temos:
Colisão e Impulso
✔ Colisão simples
Se a função
é conhecida, podemos calcular
integrando a função. Se temos um
gráfico de
em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t.
Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o
mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:
Exemplo 8.5: (Tipler, p.250)
Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a
massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00
mm além do ponto de contato.
(a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão?
(b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce
sobre sua mão?
Exemplo 8.2: (Young, p.251)
Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede.
Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para
a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20
m/s.
(a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a
parede.
(b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache
a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão.
Comumente, o intervalo de tempo
durante a qual uma bola de tênis
permanece em contato com uma
raquete é aproximadamente igual
a 0,01 s. A bola visivelmente se
achata por causa da enorme
força exercida pela raquete.
A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com
um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma
velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de
30º com o muro. Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf = 50
m/s, ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A massa m
do piloto é de 80 kg.
(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão?
(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto
experimenta durante a colisão?
Questão 33: (Halliday, p250)
Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em
queda livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do
elevador a velocidade de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha
que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos
(a) do impulso e (b) da força média experimentados pelo passageiro durante a
colisão? Se o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0
m/s em relação ao piso do elevador quando o elevador está prestes a se chocar
com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do impulso e (d) da força média
(supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permaneça o mesmo)?
Conservação do momento linear
Vimos que
Sistema isolado → Força resultante nula
Sistema fechado → # de partículas constante
“Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o
momento linear total do sistema não pode variar”.
Lei de Conservação do
Momento Linear
Não confunda
Momento e Energia!!!
Momento tem componentes
x, y e z!
Exemplo 9.6: (Halliday, p.232)
Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em
um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois
pedaços. Um pedaço, de massa m 1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x
com v1 = 8,0 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m 2?
Exemplo 8.4: (Young p.255)
Um atirador segura um rifle de massa m R = 3,0 kg frouxamente de modo que a
arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa m B = 5,0 g
horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por v B = 300 m/s. Qual é a
velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do
momento linear total final da bala e do rifle?
Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de
massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o
coco em três pedaços, que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é
mostrada na figura abaixo. O pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade
escalar final vfC = 5,0 m/s.
(a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M?
(b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme
mostra a figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0
m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg,
que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a
velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma direção de faz um ângulo α = 30º
com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade final do robô B?
Momento e energia cinética em colisões
Antes
Depois
Energia Cinética Conservada
Colisão Elástica
Perda de Energia Cinética
Colisão inelástica
Perda Máxima
Perfeitamente
Perfeitamenteinelástica
inelástica
Colisões inelásticas em uma dimensão
✔ Colisão inelástica unidimensional
✔ Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionais
Antes
Depois
O pêndulo balístico era usado para medir a
velocidade dos projéteis antes que os dispositivos
eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na
figura abaixo era composta por um bloco de madeira
de massa M = 5,4 kg, pendurado por duas cordas
compridas. Uma bala de massa m = 9,5 g é disparada
conta o bloco e sua velocidade se anula rapidamente.
O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro
de massa subindo uma distância h = 6,3 cm antes de
o pêndulo parar momentaneamente no final de uma
trajetória em arco de circunferência. Qual é a
velocidade da bala antes da colisão?
Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte
em linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de
massa 2000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os
ocupantes usavam cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se
engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A
seguradora pediu para você calcular a velocidade dos carros unidos após a colisão.
Qual é a sua resposta?
Colisões Elásticas
Antes
Depois
Pela conservação do momento:
Pela conservação da energia cinética:
Não é Solúvel!!!
Colisões elásticas em uma dimensão
✔ Casos particulares:
i) Massas iguais
Trocam velocidade
ii) Alvo em repouso
(a)
(b)
Exemplo 8.13: (Tipler, p.258)
Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica
frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura).
Encontre as velocidades finais dos dois blocos.
A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de
hóquei sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa m A = 0,500 kg e o
disco B possui massa mB = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s
no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é
desconhecida. O disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final
vB2 e os ângulos α e β indicados na figura.
Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem
atrito (figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com
velocidade final de +2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A?
Suponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam
rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades
são as mesmas do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v 2x, comum dos
dois corpos depois da colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia
cinética final.
Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos
para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as
colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão?

Centro de Massa e Momento Linear

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