1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao
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1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DESEMPENHO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CÂMPUS PATO BRANCO a a Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Prof . Dayse Regina Batistus, Dr . Eng. Acadêmico(a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________ Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 01/03/2013 1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao gráfico da função, no ponto de abscissa dada: a) f ( x) = 5 x − 3 , em b) f(x) = 2 x 2 − 3 x + 5, em c) f ( x) = x 3 + 3 x − 1, em x=2 x=0 x =1 Resposta: (T) y = 5x – 3; (N) y = -(1/5) x + 35/7 Resposta: (T) y = - 3x + 5; (N) y = (1/3) x + 5 Resposta: (T) y = 6x – 3; (N) y = - (1/6) x + 7/2 2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = sen x no ponto de abscissa x = 0 rad. Resposta: y = x. 3) Determine os pontos sobre a curva f ( x) = x 3 − x 2 − x + 1 onde a tangente é horizontal. 1 32 Resposta: (1, 0) e − , . Nota: Futuramente, veremos que esses pontos são candidatos a 3 27 pontos de máximos, mínimos ou ponto de inflexão da função dada. 4) No videogame da figura abaixo, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória 1 y = 1 + , e podem disparar suas balas na direção da tangente contra pessoas ao longo do eixo-x x em x = 1, 2, 3, 4 e 5. Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em: (a) P(1, 2) (b) Q(3/2, 5/3) Resposta: (a) A equação da reta tangente a curva, no ponto P é dada por: y = − x + 3. Por outro lado, fazendo y = 0, temos: 0 = − x + 3 ⇒ x = 3 . Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3, como ilustra a própria figura. (b) A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por: 4 7 4 7 63 y = − x + . Por outro lado, fazendo y = 0, temos: 0 = − x + ⇒ x = = 5,25 . Portanto, o 9 3 9 3 12 projétil não atinge nenhuma pessoa. 5) Derive as funções compostas apresentadas no quadro abaixo: Função a) b) c) d) e) f) y = sen 4x y = cos 5x 3x y=e f(x) = cos 8x 3 y =sen t g(t) = ln (2t+1) g) x=e 4 cos 4x –5 sen 5x 3x 3e –8 sen 8x 2 3 3t cos t 2 2t + 1 sen t h) f(x) = i) Derivada sen t e cos t x x –e sen e cos (e x ) y = (sen x + cos x) j) y = 3x + 1 k) y=3 3 2 3(sen x + cos x) (cos x – sen x) 3 2 3x + 1 x −1 x +1 2 x +1 3 2 3( x + 1) x − 1 -5x 2 -5x l) y = e 2 m) x = ln (t +3t+9) –5e 2t + 3 t + 3t + 9 2 tg x n) o) p) q) f(x) = e y = sen(cosx) 2 4 g(t) = (t +3) 2 f(x) = cos(x + 3) r) y = x + ex tg x 2 e sec x –sen x cos (cos x) 2 3 8t (t + 3) 2 –2x sen (x + 3) 1 + ex 2 x + ex s) t) u) v) w) x) y = tg 3x y = sec 3x 3x y = xe x y = e . cos 2x -x y = e sen x -2t y = e sen 3t y) f(x) = 2 3 sec 3x 3 sec 3x tg 3x 3x e (1+3x) x e (cos 2x – 2 sen 2x) -x e (cos x – sen x) -2t e (3 cos 3t – 2 sen 3t) e − x + ln (2x + 1) 2 et − e− t z) g ( t ) = t e + e− t cos 5x aa) y = sen 2 x (e − x + e x ) 3 2 bb) f(x) = 3 -3t cc) y = t e 3 dd) y = (sen 3x + cos 2x) ee) y = x 2 + e−x − 2 xe− x + 2 2 2x + 1 4 (e + e − t ) 2 5 sen 5x sen 2x + 2 cos 5x cos 2x − sen 2 2 x t 3(e − x + e x ) 2 .(−e − x + 2 xex ) 2 2 2 -3t 3t e (1 – t) 2 3(sen 3x + cos 2x) (3 cos 3x – 2 sen 2x) ex − e− x 2 ex + e− x ff) y = x ln (2x + 1) 2 gg) y = [ln (x + 1)] 3 hh) y = ln (sec x + tg x) 2x 2x + 1 2 6 x[ln(x + 1)]2 x2 +1 ln(2 x + 1) + sec x 2 6) Encontre a derivada das seguintes funções: Função Derivada 7) Derive, utilizando a derivação implícita: Função Derivada Sugestão de atividades complementares (não precisa entregar): Refazer as provas de 2012. APS 04 do 1º semestre de 2012, número 08. 3