AMEI Escolar Matemática 9º Ano Proporcionalidade Inversa

Conteúdos desta unidade:
 Proporcionalidade
directa. Resolução de
problemas
envolvendo
proporcionalidade
directa (revisões);
 Proporcionalidade
inversa. Função de
proporcionalidade
inversa.
AMEI Escolar
Matemática
9º Ano
Proporcionalidade Inversa
Proporcionalidade directa. Resolução de
problemas envolvendo proporcionalidade
directa (revisões)
 Duas grandezas dizem-se directamente proporcionais se a razão
entre os valores correspondentes for constante. Assim, a variável x é
directamente proporcional à variável y se existe um número (K),
diferente de zero, de modo a que: y = Kx. A K dá-se o nome de
constante de proporcionalidade directa.
Exercício resolvido:
Indica se existe proporcionalidade directa entre as variáveis x e y e, se sim, qual a
constante de proporcionalidade directa.
número de
meias
compradas (x)
custo das meias
compradas (y)
1
2
3
4
…
x
2
4
6
8
…
y = 2x
R: Existe proporcionalidade directa e a constante de proporcionalidade directa é 2.
número de
meias
compradas (x)
custo das meias
compradas (y)
…
1
2
3
4
7
9
11
13 … y = 5 + 2x
R: Não existe proporcionalidade directa.
x
 Quando uma situação de proporcionalidade directa é representada
por um gráfico, os pontos representados formam uma recta que
passa pela origem do referencial.
Exercício resolvido:
Indica, justificando, se existe proporcionalidade directa entre as variáveis x e y, nos
gráficos A, B e C.
Existe proporcionalidade directa no gráfico A porque a função é representada por uma
recta que passa na origem do referencial.
Não existe proporcionalidade directa no gráfico B porque a função, apesar de ser
representada por uma recta, não passa na origem do referencial.
Não existe proporcionalidade directa no gráfico C porque a função, apesar de passar pela
origem do referencial, não é representada por uma recta.
 Para resolver problemas envolvendo proporcionalidade directa é
muito útil saber a regra dos três simples.
Exercício resolvido - A regra dos três simples:
A Joana foi às compras para comprar bolachas. Descobriu que havia à venda duas
caixas de tamanhos diferentes do mesmo tipo de bolachas. A caixa de 800g custava
3,02€ e a caixa de 250g custava 1,02€. Qual das duas caixas é a melhor compra?
R: Se o grama da embalagem grande custasse tanto como o grama da embalagem
pequena, a embalagem grande deviria custar 3,264€. Como esta custa menos, a
melhor compra é a embalagem grande.
Exercícios 1:
1. O Raul fez um estudo sobre os preços das bolachas da marca “BolaXa” nas
duas lojas mais perto da escola e registou os resultados em nesta tabela.
Loja do Sr. André
quantidade do
pacote em
gramas (x)
preço do
pacote em
euros (y)
Loja da D. Maria
250
500
800
x
300
500
800
x
1
2
3,2
y=…
1,04
1,72
2,74
y=…
1.1. Completa a tabela. Justifica com cálculos.
1.2. Em qual das lojas existe proporcionalidade directa entre a quantidade e o
custo das caixas de bolachas? Indica qual é a constante de proporcionalidade
directa.
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__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1.3. Numa das lojas, o dono admitiu cobrar uma taxa extra sobre todos os
produtos. Indica em qual das lojas isto acontece e de quanto é (em euros) essa
taxa.
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__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1.4. Qual destas escolhas é a mais acertada, economicamente falando: comprar
uma caixa de 250g de bolachas na loja do Sr. André ou comprar uma caixa de
300g de bolachas na loja da D. Maria? Justifica com cálculos.
Exercícios 1:
2. Observa os seguintes gráficos.
2.1. Indica, em cada uma das situações, se existe ou não proporcionalidade directa e
justifica.
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____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
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2.2. Revendo o exercício 1., indica para cada uma das lojas um gráfico (A, B, C ou
D) que poderia relacionar o preço e a quantidade das caixas de bolachas.
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3. Resolve os seguintes problemas.
3.1. A Mariana comprou uma blusa nos saldos por 25€, com 15% de desconto. Qual
o preço da blusa sem desconto?
3.2. O André comprou 7 canetas por 4,55€. Quanto custa cada caneta?
Exercícios 1:
3.3. A mãe do Pedro é costureira. Ela recebeu uma grande encomenda e precisa de 20m
de tecido. Sabendo que cada metro custa 3,25€, quanto custarão os 20m?
Proporcionalidade inversa. Função de proporcionalidade
inversa
 Duas grandezas dizem-se inversamente proporcionais se o produto
entre elas é constante e diferente de zero. Assim, a variável x é
inversamente proporcional à variável y se existe um número (K),
diferente de zero, de modo a que: xy = K. A K dá-se o nome de
Exercício resolvido:
Indica se existe proporcionalidade inversa entre as variáveis x e y e, se sim, qual a
constante de proporcionalidade inversa.
número de
pessoas que
leva o barco (x)
preço por cada
pessoa (y)
1
2
3
4
12 6
4
3
R: Existe proporcionalidade inversa e a constante de proporcionalidade inversa é 12.
número de
pessoas que
leva o barco (x)
preço por cada
pessoa (y)
R: Não existe proporcionalidade inversa.
1
2
3
4
13 9
8
5
constante de proporcionalidade inversa.
 Para verificarmos se uma tabela traduz ou não uma situação de
proporcionalidade directa temos de verificar se quando o valor de x
aumenta o valor de y diminui e vice-versa e se existe uma constante
de proporcionalidade inversa, ou seja, se se verifica que xy = K.
Exercício resolvido:
Observa as tabelas e indica se existe ou não proporcionalidade inversa. Justifica.
A
B
1
3
2
4
3
6
4
9
5
12
Não existe proporcionalidade inversa porque quando A aumenta, B aumenta. As
variáveis A e B não são inversamente proporcionais.
A
B
1
12
2
6
3
4
4
2
6
1,4
Não existe proporcionalidade inversa porque, apesar de quando A aumenta, B diminui,
não existe uma constante de proporcionalidade inversa. As variáveis A e B não são
inversamente proporcionais.
A
B
5
2
4
2,5
3
2
5
1
10
Existe proporcionalidade inversa porque quando A diminui, B aumenta e porque existe
uma constante de proporcionalidade inversa (que é 10). As variáveis A e B são
inversamente proporcionais.
 Quando uma situação de proporcionalidade directa é
representada por um gráfico, os pontos representados
formam uma curva com dois ramos, que não pode
tocar nos eixos e que recebe o nome de hipérbole.
Exercício resolvido:
Indica, justificando, se existe proporcionalidade inversa entre as variáveis x e y, nos
gráficos A e B.
Não existe proporcionalidade inversa no gráfico A porque a hipérbole toca no eixo x.
Existe proporcionalidade inversa no gráfico B porque a hipérbole não toca no eixo x.
Exercícios 2:
1. O Daniel alugou um barco para ir passear pela costa. Decidiu calcular o preço do
aluguer se ele o dividisse por diferente número de amigos e para tal usou a seguinte
tabela.
nº de
pessoas
preço por
pessoa
1
2
3
4
6
…
12
6
4
3
2
…
1.1. Indica se esta tabela representa uma situação de proporcionalidade inversa. Indica
qual a constante de proporcionalidade. Justifica.
Exercícios 2:
1.3. Selecciona qual das seguintes hipérboles representa esta situação (considera
cada quadradinho uma unidade). Justifica.