Radiação de Corpo Ne gro

Tópicos de Física Quântica - 2015/1
Lista 5 - Radiação de Corpo Negro
Exemplos
A) Máximo do Espectro Solar O comprimento de onda para o qual a intensidade da radiação emitida
pelo Sol é máxima é 498 nm, c.f Fig.1. As medidas da distribuição espectral mostram que o astro se comporta
como um corpo negro, a não ser para comprimentos de ondas muito pequenos. Supondo que o Sol seja um
corpo negro ideal, qual é a temperatura da superfície do Sol ? (Curiosidade: Note que a região onde o sol
emite a maior quantidade de energia está dentro do espectro visível do olho humano. Você acha que isso é
uma coincidência?)
Figura 1: Espectro de emissão solar.
Solução
Pela Lei de Wien, temos :
max T
= 2:89
10
3
m K.
Com isso, é trivial calcular:
T =
2:89 10 3 m K
= 5800 K
0:498 10 6 m
B) Qual é o tamanho de uma estrela? O comprimento de onda para o qual a radiação R ( ) (na
verdade R ( ) expressa a potência irradiada por unidade de área) de uma estrela longínqua é máximo indica
que a temperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada pela estrela é 100 vezes maior
que a potência P do Sol, qual é a razão do raio da estrela em comparação com o raio do sol? (O símbolo
é usado para representar o Sol.) A temperatura da superfície solar é a mesma do exercício anterior.
Solução
Temos que R ( ) é a potência irradiada por unidade de área. Ou seja:
R=
P
:
A
De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann,
R = T 4:
No caso de uma estrela com forma esférica, a área super…cial é 4 R2 . Portanto, podemos igualar essas duas
equações. Para o caso solar:
P
= T 4 : (Sol)
4 R2
Do mesmo modo a estrela será:
(1)
P?
= T?4 :
4 R?2
O problema fornece que P? = 100P . Com isso:
100P
= T?4
4 R?2
Isolando P
(Estrela)
(2)
em (1) e substituindo em (2):
100 4 R2 T 4
= T?4 )
4 R?2
2
T2
R?
(5800)
= 10 2 ) 10
2
R
T?
(3000)
R?
= 37:4
R
(3)
Exercícios
1) Radiação Cósmica de Fundo Um exemplo importante de aplicação da lei de Planck foi o seu uso para
explicar a radiação cósmica de fundo proveniente do espaço sideral. As teorias atuais sugerem que o universo
começou de uma gigantesca explosão chamada “Big-Bang”. Como efeito, o universo …cou preenchido por
uma radiação cuja distribuição espectral se comporta como à de um corpo negro. Foi possível medir que o
topo dessa distribuição tem comprimento de onda 1:06 mm .
(a) Qual a frequência associada? (Resp: 2:83 1011 Hz)
(b) Qual a energia desses fótons? (Resp: 1:87 10 22 J ou 1:17 10 3 eV)
(c) Qual a temperatura do universo fora do sistema solar? (Resp: 2:73 K)
(d) Qual seria o comprimento de onda necessário para que a temperatua do universo fosse da ordem de
20o C ?(Resp: 9:89 m)
Figura 2: Espectro da radiação cósmica de fundo.
2) Temperatura de uma Lâmpada A temperatura de uma lâmpada incandescente de 40 W é 3300
K. Supondo que o …lamento se comporte como um corpo negro, determine a frequência e o comprimento de
onda do ponto máximo da distribuição espectral (Resp: 876nm / 3:42 1014 Hz).
3) Temperatura de um Alto Forno Em uma industria siderúrgica que fabrica aço estrutural, os
engenheiros precisam medir com precisão a temperatura de um alto forno. Esse processo é crucial para
garantir a qualidade estrutural do material e assegurar as normas de segurança. Existe um problema referente
à essa tarefa pois nenhum termômetro pode trabalhar sob os mais de 1600 K que garante a fusão da liga.
No entanto, o procedimento de medir o espectro de energia não apresenta nenhum problema, pois pode ser
realizado a distância (Esse é o princípio de funcionamento de um instrumento de medição conhecido como
pirômetro). Foram medidos os comprimentos de onda de pico de quatro diferentes zonas de um auto forno
(c.f. Fig. 3).
(a) Em qual delas os fótons emitidos são mais energéticos;
(b) Qual é a zona de maior temperatura?
Figura 3: Zonas de um auto-forno.
4) Temperatura da Solda O intervalo de cores do espectro eletromagnético que o olho humano interpreta vai (aproximadamente) de 405 à 790 1012 Hz. Antes de se executar uma solda, o eletrodo de
Tungstênio não apresenta coloração. No entanto, com o arco elétrico, o eletrodo já incandescente passa
a irradiar energia eletromagnética visível de cor alaranjada. Estime a temperatura da ponta de tugstênio
quando o pico da distribuição é igual ao valor inicial, médio e …nal do espectro visível (Resp: 3900 K / 5750
K / 7610 K).
Figura 4: Processo de soldagem TIG a elevadas temperaturas.
5) Temperatura de Equilíbrio da Terra A energia solar que atinge a Terra é 1:36 kW/m2 , a chamada
constante solar. Supondo que a Terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme, qual é a
temperatura de equilíbrio da Terra? (Resp. 393 K)