Resolução prova de matemática – UDESC – 2010.2

Resolução prova de matemática – UDESC – 2010.2
Prof. Guilherme Sada Ramos – “Guiba”
1. Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse
aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro
dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no
terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado
imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no:
a. ( ) 9º dia.
b. ( ) 10º dia.
c. ( ) 8º dia.
d. ( ) 5º dia.
e. ( ) 6º dia.
Resolução:
O termo geral de uma PG é an = a1.qn −1 . Neste caso, podemos calcular a posição de 512 na PG
(1, 2, 4, 8, ..., 512), de a1 = 1, q = 2 e an = 512. O n é o que se quer calcular.
an = a1.qn −1
512 = 1.2n −1
2 9 = 2 n −1
9= n − 1
n = 10
GABARITO: B
2. Dois amigos viajaram juntos por um período de sete dias. Durante esse tempo, um
deles pronunciou, precisamente, 362.880 palavras. A fim de saber se falara demais, ele
se questionou sobre quantas palavras enunciara por minuto. Considerando que ele
dormiu oito horas diárias, o número médio de palavras ditas por minuto foi:
a. ( ) 54
b. ( ) 36
c. ( ) 189
d. ( ) 264
e. ( ) 378
Resolução:
Se cada dia tem 24 horas, então em cada dia ele ficou acordado 16 horas, já que dormiu 8
horas. Em sete dias, ele ficou acordado durante 112 horas (16 vezes 7). Assim, dividindo
362880 por 112, obtemos o número de palavras ditas por hora. Como cada hora tem 60
minutos, então este resultado é dividido por 60 e temos então o gabarito.
362880
= 3240
112
3240
= 54
60
GABARITO: A
3. Suponha que o valor do quilowatt hora (kWh) varie de acordo com a Tabela 1 e que, ao
valor pago à Companhia de Energia Elétrica pela quantidade de kWh consumido,
devem ser acrescentados ainda os tributos apresentados na Tabela 2.
Com base nas informações acima, é correto afirmar que a fatura de energia elétrica de
uma unidade residencial que consome em média 175 kWh por mês apresente valor
entre:
a. ( ) R$ 64,00 e R$ 65,00
b. ( ) R$ 95,00 e R$ 96,00
c. ( ) R$ 86,00 e R$ 87,00
d. ( ) R$ 76,00 e R$ 77,00
e. ( ) R$ 73,00 e R$ 74,00
Resolução:
Nos primeiros 150 kWh, o custo total, sem os tributos, é de 0,36.150 = 54 reais. Nos 25 kWh
restantes, o valor a pagar, sem os impostos, é 0,42.25 = 10,50 reais. O total então é de R$
64,50. Quando acrescentarmos os impostos, vamos aumentar em 12% o custo dos primeiros
150 kWh e em 25% o dos 25 kWh restantes. Além disso, vamos acrescentar 5% (PIS/PASEP +
COFINS) do valor total R$ 64,50. Teremos então:
64,50 +
12
25
5
.54 +
.10,50 +
64,50 =
76,83
100
100
100
GABARITO: D
4. Sejam a e b números naturais para os quais log( a +1) ( b + 2a ) =
2 e 1 + loga ( b − 1) =
a.
Então, log3a ( 3b − a ) é igual a:
2
3
2
b. ( )
3
1
c. ( )
2
a. ( ) −
Resolução:
1
3
3
e. ( )
2
d. ( )
Se log( a +1) ( b + 2a ) =
2 , então
( a + 1)
2
=b + 2a
a2 + 2a + 1 = b + 2a
a2 + 1 =
b
Como 1 + loga ( b − 1) =
a , também ocorre que:
1 + loga ( b − 1) =
a
loga ( b − 1) = a − 1
(
)
( a )=
loga a2 +1 −1 = a − 1
loga
2
a −1
2= a − 1
a=3
( )
Aqui usamos a propriedade loga am = m , para a > 0 e diferente de 1.
Se a = 3, b = 3² + 1 = 10. Substituamos esses dois valores em log3a ( 3b − a ) .
log3a ( 3b − a ) =
x
log3.3 ( 3.10 − 3 ) =
x
log9 ( 27 ) = x
9 x = 27
(3 )
2
x
= 33
2x = 3
3
x=
2
GABARITO: E
5. Classifique cada proposição e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa.
( ) Se A = (aij) é uma matriz de ordem 2 x 3 tal que aij = i − 2j , então o elemento que ocupa
a posição da segunda linha e primeira coluna da matriz transposta de A é -3.
Resolução:
O elemento a21 da transposta é o elemento a12 da matriz A. Este é calculado fazendo i = 1 e j =
2. Assim, a12 =
1 − 2.2 =
−3 . Item VERDADEIRO!!!!
1 2  1
( ) O determinante da matriz inversa de B = 
é .
3 −1 7
Resolução:
Usando a propriedade
( )
( )
det B−1 =
1
det B−1 = − . Item FALSO!!!!
7
1
, temos que
detB
det (B ) =
1. ( −1) − 2.3 =−7 . Assim,
4 2
 1 −1
5 −1
T
( ) Se C = 
e D=
, então ( C.D ) = 


.
 −1 −2
0 1 
 4 −2
Resolução:
Calculando o elemento a11 de CD, que é o mesmo elemento a11 de (CD)T, vamos ter
a11 = 4.1 + 2.0 = 4 . Desnecessário calcular o restante da matriz CD para descobrirmos que o
item é FALSO!!!!
a. ( ) V – F – F
b. ( ) F – V – V
c. ( ) F – F – F
d. ( ) V – V – F
e. ( ) V – F – V
GABARITO: A
6. Um tanque de um pesque-pague contém apenas 15 peixes, sendo 40% destes carpas.
Um usuário do pesque-pague lança uma rede no tanque e pesca 10 peixes. O número
de formas distintas possíveis para que o usuário pesque exatamente 4 carpas é:
a. ( ) 151200
b. ( ) 720
c. ( ) 210
d. ( ) 185
e. ( ) 1260
Resolução:
Como 40% de 15 é 6, então ele vai pescar 4 carpas e 6 não-carpas. Vai pescar 4 carpas dentre
as 6 possíveis e 6 não-carpas entre as 9 possíveis. Como a ordem não vem ao caso, então:
C64 .C96 =
Lembremos que Cpn =
362880
9!
6!
=
= 1260
.
288
2!4! 3! 6!
n!
.
(n − p )!p!
GABARITO: E
7. A Figura 1 ilustra duas moedas brasileiras, a de R$ 1,00 e a de R$ 0,50, descritas
abaixo.
Moeda de R$ 1,00 – As faces da moeda são compostas por dois círculos concêntricos.
O diâmetro do círculo maior é igual a 2,8 cm e o diâmetro do círculo menor é igual a 1,8
cm. A espessura desta moeda é igual a 1,5 mm.
Moeda de R$ 0,50 – As faces da moeda são compostas por um círculo de diâmetro
igual a 2,2 cm. A espessura desta moeda é igual a 3 mm.
Com base nestas informações, analise as proposições abaixo.
I.
O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos
concêntricos da moeda de R$ 1,00 é aproximadamente 0,1725 π cm².
II. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 é necessário aproximadamente 0,069 π cm³ de
metal a mais que para cunhar uma moeda de R$ 0,50.
III. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é 0,34 π cm² maior que a do
círculo interno.
Assinale a alternativa correta.
a. ( ) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
b. ( ) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
c. ( ) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d. ( ) Todas as afirmativas são verdadeiras.
e. ( ) Todas as afirmativas são falsas.
Resolução:
I.
O volume citado é o volume do cilindro circular reto maior, de raio 1,4 cm, diminuído do
volume do menor, de raio 0,9 cm. A altura desse cilindro é 0,15 cm, a espessura da
moeda. Lembremos que Volumecilindro = πr 2h .
V1 − V2 = π (1,4 ) .0,15 − π ( 0,9 ) .0,15 = 0,294π − 0,1215π = 0,1725πcm³
2
2
Item VERDADEIRO!!!!
II. O volume da moeda de R$ 1,00 é o volume V1 do item anterior. O volume da moeda de
R$ 0,50 é o de um cilindro circular reto de raio 1,1 cm e altura 0,3 cm. Esse volume é
V3 =
π (1,1) .0,3 =
π.1,21.0,3 =
0,363π , maior que o volume da moeda de R$ 1,00. O
2
volume da moeda de R$ 0,50 é 0,069
π cm³ maior que o da de R$ 1,00, ão
e no
contrário.
Item FALSO!!!!
III. A área entre os círculos concêntricos (A1) a diferença entre as áreas dos círculos maior
e menor. Como área de círculo é πr², então A1 = π (1,4 ) − π ( 0,9 ) = 1,15π . Já a área do
2
2
círculo interno (A2) é A 2 =
π ( 0,9 ) =
0,81π . De fato, A1 =A 2 + 0,34π .
2
Item VERDADEIRO!!!!
GABARITO: B
8. A região sombreada na Figura 2 tem como limitantes as retas y = 0 , y = 2x ,
y= x + 2 , y = 7 e =
y 25 − 3x .
A área da região sombreada é:
152
3
319
b. ( )
6
107
c. ( )
3
a. ( )
214
3
86
e. ( )
3
d. ( )
Resolução:
Observe a figura abaixo:
Note que:
•
•
a reta AB é y = 2x (corta a origem, é crescente)
a reta BC é y = x + 2 (não corta a origem e é crescente)
•
•
•
a reta CD é y = 7 (constante)
a reta DE é y = 25 – 3x (a única das retas decrescentes em questão)
a reta EA é y = 0 (eixo x)
Observe que a área hachurada é a área do trapézio FEDC menos a área do triângulo FAB.
No primeiro, a altura é evidentemente 7, distância entre as retas CD e AE. O ponto F é o ponto
de cruzamento da reta BC com o eixo x, que é ( −2,0 ) . Já para o ponto E, a reta que corta o
eixo x é y = 25 – 3x, e esse ponto é ( 8,333...,0 ) . A base FE do trapézio mede, portanto,
31
.
3
O ponto C é o encontro entre as retas BC e CD, que conforme o sistema das suas equações,
deve ser (5,7). Já o ponto D é o cruzamento entre CD e DE, que, repetindo o procedimento
anterior, é (6, 7). Logo, a base CD mede 1.
10,333..., ou
Já no triângulo FAB, observe que a base mede 2, e altura, 4. O ponto (0,4) é o ponto em
comum das retas AB e BC, e (-2,0), ponto de encontro de BC com o eixo x.
Com isso, temos que
A ABCDE= A FEDC
 31 
 31 + 3 
34
238
238 − 24
.7
 3 + 1 .7 2.4  3  .7
8
8
 + = 
 = 3
3 − =
3 = 214= 107
− A FAB= 
+ =
2
2
2
2
2
2
2
2
6
3
GABARITO: C
9. Considere um tronco de pirâmide regular, cujas bases são quadrados com lados
medindo 4 cm e 1 cm. Se o volume deste tronco é 35 cm², então a altura da pirâmide
que deu origem ao tronco é:
a. ( ) 5 cm
5
cm
b. ( )
3
20
cm
3
d. ( ) 20 cm
e. ( ) 30 cm
c. ( )
Resolução:
Considere a pirâmide original P1(de aresta 4) e aquela retirada P2 (de aresta 1). Esse corte gera
o tronco. Essas duas pirâmides são semelhantes, e a aresta da base de P2 é ¼ da aresta da
1
base da pirâmide P1. Assim, dizemos que o volume de P2 é
do volume de P1.
64
Assim, calculamos o volume da pirâmide original, lembrando que Vpirâmide =
VP1 − VP2 =
35
VP1 −
1
.VP =
35
64 1
63
VP = 35
64 1
320
VP1 =
9
A base .h
.
3
A pirâmide P1 tem volume
320
cm³, e área da base 16 cm² (quadrado de lado 4 cm). Vamos
9
determinar a sua altura:
A base .h
3
320 16.h
=
9
3
144h = 320.3
Vpirâmide =
=
h
960 20
=
144
3
GABARITO: C
10. O Festival de Dança de Joinville é considerado o maior do mundo pelo Guinnes Book
of Records de 2005. Desde 1998, este festival é realizado no Centreventos Cau
Hansen, que tem capacidade para 4200 pessoas por noite. Suponha que no 28º
Festival de Dança, realizado em julho de 2010, houve uma noite exclusiva para cada
uma das seguintes modalidades: ballet, dança de rua e jazz. A noite da dança de rua
teve seus ingressos esgotados; na noite do jazz restaram 5% dos ingressos; e a noite
do ballet teve 90% dos ingressos disponíveis vendidos. Sabe-se que algumas pessoas
costumam prestigiar mais de uma noite do Festival. Neste ano, 700 pessoas assistiram
à dança de rua e ao jazz; 1610 assistiram ao ballet e à dança de rua; 380 assistiram ao
ballet e ao jazz e 105 prestigiaram as três modalidades de dança. Se todas as pessoas
que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s) apresentação(ões), então o
número total de pessoas distintas que assistiu a pelo menos uma das três modalidades
anteriormente mencionadas foi:
a. ( ) 9385.
b. ( ) 9070.
c. ( ) 9595.
d. ( ) 6275.
e. ( ) 6905.
Resolução:
Vamos considerar os espectadores das três modalidades em três conjuntos distintos. Devemos
ressaltar que o total de público da dança de rua foi 4200; o do jazz, 95% de 4200, ou 3990; e o
do ballet, 90% de 4200, ou 3780.
Se 105 pessoas assistiram aos três espetáculos, então 1505 viram ballet e dança de rua, mas
não o jazz; 275 assistiram ao ballet e jazz, mas não a dança de rua; e 595 prestigiaram dança
de rua e jazz, não o ballet.
Portanto, das 3780 que viram o ballet, 1895 assistiram apenas a ele; dos 3990 que
compareceram ao jazz, 3015 não viram outro espetáculo; e dos 4200 que prestigiaram a dança
de rua, 1995 foram espectadores exclusivos desta modalidade.
Observe o diagrama de Venn decorrente:
Ballet
1895
275
1505
105
1995
595
Dança
de rua
3015
Jazz
Para determinarmos o número de espectadores presente em pelo menos um dos espetáculos,
basta somar os números correspondentes a cada região. Essa soma dará
1895 + 1505 + 105 + 275 + 1995 + 595 + 3015 =
9385
GABARITO: A
11. Se em um triângulo ABC o lado oposto ao ângulo Ĉ mede 2 cm e os ângulos  e B̂
medem, respectivamente, 60° e 75°, então a área e o perímetro deste triângulo são,
respectivamente:
3+ 3 
cm² e 3 + 3 + 6 cm
a. ( ) 
 2 


(
)
 1+ 3 
b. ( ) 
cm² e 2 + 3 + 6 cm
 2 


(
)
 1+ 3 
c. ( ) 
cm² e 1 + 3 + 6 cm
 2 


(
)
3+ 3 
d. ( ) 
cm² e 3 + 2 + 3 cm
 2 


(
(
)
(
)
)
e. ( ) 3 + 3 cm² e 3 + 3 + 6 cm
Resolução:
Como a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, o ângulo Ĉ deve medir
45°.
2
Observe que precisamos calcular as medidas dos três lados do triângulo. Assim determinamos
ˆ
ab.senC
, em que a e b são os lados BC e AC do
o perímetro, e através da fórmula A =
2
triângulo, calculamos a área do mesmo. Poderíamos considerar quaisquer dois lados e o
ângulo formado entre os mesmos, escolhi estes.
Para acharmos estes dois lados, usamos a lei do senos,
a
b
c
. O lado c
= =
ˆ
ˆ
ˆ
sen A senB senC
mede 2. Antes, porém, precisamos calcular sen 75°.
sen
=
( a + b ) sen ( a ) cos (b ) + sen (b ) cos ( a )
sen (=
75° ) sen ( 30° + =
45° ) sen ( 30° ) cos ( 45° ) + sen ( 45° ) cos (=
30° )
sen ( 75
=
°)
1 2
2 3
.
+
.=
2 2
2 2
2+ 6
4
Então, vamos ter:
b
2
=
sen75° sen 45°
b
2
=
2+ 6
2
4
2
2
2+ 6
.b = 2.
2
4
2+ 6
2b = 4 .
4
=
b
2 + 6 2 2 + 12 2 + 2 3
=
= =
.
2
2
2
2
b= 1 + 3
Calculemos a:
(
2 1+ 3
2
)
a
c
=
ˆ
ˆ
sen A senC
a
2
=
sen60° sen 45°
a
2
=
3
2
2
2
2
3
a=
.2
2
2
=
a
2 3 2
=
.
2
2
2 6
2
a= 6
O perímetro do triângulo será, portanto a + b + c = 6 + 1 + 3 + 2 =3 + 3 + 6 .
a= 6
c=2
b = 1+ 3
Vamos à área:
ˆ
ab.senC
=
2
ab.sen 45°
A =
=
2
A
=
(
)
2
6. 1 + 3 .
2
A =
=
2
2
6 + 18 .
2
A =
=
2
12 + 36
2 3 +6 2
2
=
=
=
A
2
4
3 +3
A=
2
(
)
(
3 +3
)
4
GABARITO: A
12. Considere os números reais a, b e c, que fazem com que as sequências
, S2 ( b,c,2c − 1) e S=
S1 = ( 2c,a,7a )=
( 4b,a − c, −2c ) sejam três progressões
3
aritméticas de razões r1, r2 e r3, respectivamente. Então a sequência ( r1,r2 ,r3 ) é uma
progressão:
a. ( ) geométrica, com razão igual a -2
b. ( ) aritmética, com razão igual a -6
c. ( ) aritmética, com razão igual a -2
1
d. ( ) aritmética, com razão igual a −
2
e. ( ) geométrica, com razão igual a −
1
2
Resolução:
Note que r1 = 7a − a = 6a ; r2 = 2c − 1 − c = c − 1; r3 =−2c − ( a − c ) =−c − a .
Se três termos (x,y,z) estão em PA, sabemos que 2y= x + z . Vamos aplicar esta propriedade
= 2c + 7a
2a

.
nas três PA’s. Teremos, assim, o sistema 2c =b + 2c − 1
2a − 2c =
−
+
2c
4b

Na segunda equação, observe que ocorre 2c = b + 2c − 1 ⇒ b =
1 . Vamos trocar b por 1 nas
primeira e terceira equações e chegar a um sistema 2 por 2, mais fácil de se resolver.
= 2c + 7a
2a

2a −2c = −2c + 4. (1)
2c
−5a =
⇒

2a = 4
a = 2 ⇒ −5.2 = 2c ⇒ c = −5
Com isso, determinamos que r1 = 6.2 = 12; r2 = –5 – 1 = –6 ; r3 = –(–5) – 2 = 3. Sabemos que a
1
sequência (12, –6, 3) é uma progressão geométrica de razão − .
2
GABARITO: E
35
.
4
Se A é o conjunto que representa o domínio da função f e B =
{x ∈  / g ( x ) ≤ 0} , então
13. Sejam f e g as funções definidas por f ( x ) =
( 25 )
x
− 2. ( 5 ) − 15 e g ( x ) = x 2 − x −
x
o conjunto A C ∩ B é:
5
7

a. ( )  x ∈  / − ≤ x < 
2
2

7

b. ( )  x ∈  / x ≥ 
2

5
7

c. ( )  x ∈  / x ≤ − ou x > 
2
2

5


d. ( )  x ∈  / − ≤ x < 1
2


e. ( ) {x ∈  / x ≤ −3 ou x ≥ 5}
Resolução:
Note que o conjunto AC é o conjunto dos termos não fazem parte do domínio de f. Para
determiná-lo, vamos resolver a inequação ( 25 ) − 2. ( 5 ) − 15 < 0 . Vamos supor ( 5 ) = t .
x
( 25 )
x
x
x
− 2. ( 5 ) − 15 < 0
x
( 5 ) − 2.t − 15 < 0
( 5 ) − 2.( 5 ) − 15 < 0
2
x
2
x
x
t 2 − 2t − 15 < 0
Nesse caso, colocando a parábola com concavidade para cima, de raízes 5 e -3, temos
x
1
−3 < t < 5 , portanto temos −3 < 5 x < 5 ⇒ 5 < 5 ⇒ x < 1 .
O conjunto AC é A C =
{x ∈  / x < 1} . Vamos determinar B, resolvendo x 2 − x −
35
≤0.
4
Vamos colocar graficamente, assim como a inequação anterior:
5
7


O conjunto B é A C ∩ B =  x ∈  / − ≤ x ≤ e x < 1 . Portanto:
2
2


5
7
5

 

A C ∩ B =  x ∈  / − ≤ x ≤ e x < 1 =  x ∈  / − ≤ x < 1 =
2
2
2

 

GABARITO: D
14. No dia primeiro de janeiro de 2011, ocorrerá a cerimônia de posse do(a) novo(a)
Presidente(a) da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a subida da rampa
do Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na Figura 3.
Suponha que essa rampa possua uma elevação de 15° em relação à sua base e uma
altura de 3 2 m. Então o(a) novo(a) Chefe de Estado, ao subir toda a rampa
presidencial, percorrerá uma distância de:
a. ( ) 6 3 − 1 m
b. ( ) 8 3 + 8 m
c. ( ) 6 3 − 2 m
d. ( ) 6 3 + 6 m
e. ( ) 4 3 − 2 m
Resolução:
Observe o triângulo retângulo abaixo. Devemos calcular a medida da hipotenusa, tendo o
3 2
cateto oposto ao ângulo de 15°. Portanto, sen15° =
.
x
x
3 2
Porém, o valor de sen 15° não é fornecido, teremos que calculá-lo. Lembremos da fórmula
sen
=
( a − b ) sen ( a ) cos (b ) − sen (b ) cos ( a ) .
sen (=
15° ) sen ( 45° − =
30° )
sen ( 45° ) cos ( 30° ) − sen ( 30° ) cos ( 45° ) =
=
2 3 1 2
6− 2
.
− .
=
2 2 2 2
4
6− 2
sen (15° ) =
4
Agora, enfim, podemos calcular x.
3 2
x
−
6
2 3 2
=
4
x
sen15° =
(
=
x
)
6− 2 x=
4.3 2
12 2
6 + 2 12 12 + 12 4
=
=
.
2
2
6− 2 6− 2
6 − 2
( ) ( )
x
=
24 3 + 24
= 6 3 +6
4
GABARITO: D


π

2sen  2x + 2  sen ( x + π ) 
15. Sejam a matriz quadrada de ordem 2 definida por A = 


ef


sen ( x )
1
(
)
a função definida por=
f ( x ) det A + A T . O gráfico da função f, para x ∈ [ −π, π] , é:
a.
b.
c.
d.
e.
Resolução:
Aqui, vamos usar novamente sen
=
( a + b ) sen ( a ) cos (b ) + sen (b ) cos ( a ) . Temos que:

 

π
π


2sen  2x + 2  sen ( x + π )  2sen  2x + 2  sen ( x ) 
A+A
=





 + =


  sen ( x + π )
sen ( x )
1
1 
T


π

sen ( x + π ) + sen ( x ) 
 4 sen  2x + 2 


=

sen ( x + π ) + sen ( x )

2
 


 


π
π
 4  sen ( 2x ) .cos   + sen   .cos ( 2x )  sen ( x ) cos ( π ) + sen ( π ) .cos ( x ) + sen ( x ) 


 


 


 2 
 2



−1
zero
= 

=
zero
1




sen ( x ) cos ( π ) + sen ( π ) .cos ( x ) + sen ( x )

2


 




−1
zero



− sen ( x ) + sen ( x )   4cos ( 2x ) 0 
4cos ( 2x )
=
 

2
0
2
 − sen ( x ) + sen ( x )
 
(
)
Nesse caso, temos que f ( x )= det A + A T = 8cos ( 2x ) . Seu gráfico é o da função cosseno,
com período reduzido à metade, amplitude multiplicada por 8 e parte negativa (abaixo do eixo
x) rebatida em torno do eixo das abscissas.
GABARITO: E