Volume de um tronco de pirâmide de base quadrada

Vamos encontrar uma expressão que dá o volume do tronco de pirâmide regular de
base quadrada. Seja a pirâmide abaixo:
A
hP
M
B
l
h
L
O
C
A base menor do tronco tem lado l e centro M, e a base maior lado L e centro O. Os
triângulos ABM e AOC são semelhantes, logo:
AM BM
=
AO CO
O que nos dá:
l 2
hP
= 2
hP + h L 2
2
Lembrando que BM e CO correspondem a metade das diagonais das respectivas bases.
As áreas das bases são:
b = l2 ⇒ l = b
E
B = L2 ⇒ L = B
Voltando à expressão e substituindo os lados em função das áreas:
hP
b
=
hP + h
B
Racionalizando:
hP
b
B
hP
Bb
=
⋅
⇒
=
hP + h
hP + h
B
B
B
Isolando a altura hP :
h P B = h P Bb + h Bb
(
)
hP B − Bb = h Bb
hP =
h Bb
B − Bb
Racionalizando:
hP =
(
)
(
h Bb B + Bb
h Bb B + Bb
h Bb B + Bb
⋅
⇒ hP =
⇒
h
=
P
B2 − Bb
B (B − b)
B − Bb B + Bb
)
O volume do tronco será a diferencça entre o volume da pirâmide de base menor v P e
o volume da pirâmide de base maior V :
VT = V − v P
VT =
B ⋅ ( h + hp )
3
−
b ⋅ hP
3
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( B − b ) hP + Bh
Bh P − bhP + Bh
⇒ VT =
3
3
Substituindo o valor de hP na expressão anterior:
VT =
Bh + ( B − b ) ⋅
VT =
(
h Bb B + Bb
B ( B − b)
)
3
B h + hB Bb + hBb
VT =
3B
2
Colocando hB em evidência:
VT =
Finalmente:
VT =
(
Bh B + Bb + b
)
3B
(
h B + Bb + b
)
3
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