O Pêndulo de Foucault - Universidade de Lisboa

UNIVERSIDADE DE LISBOA
O Pêndulo de Foucault
José Félix Costa1
1 Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
Março 2013
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Espaço Absoluto
1. O Espaço Absoluto
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Espaço Absoluto
Isaac Newton, 1643–1727
Figura: Isaac Newton.
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Espaço Absoluto
Espaço e tempo absolutos
... o espaço absoluto, na sua própria natureza, sem
uma relação com o que quer que seja exterior, permanece
sempre igual e imóvel... (postulado do isolamento)
... o tempo absoluto, verdadeiro e matemático, em si
próprio, e da sua própria natureza, flui igualmente sem
relação com nada exterior...
... o tempo relativo, aparente e comum é a medida
sensível e exterior da duração através do movimento, que é
comummente utilizada em vez do tempo verdadeiro...
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Espaço Absoluto
Espaço e tempo absolutos
... o espaço absoluto, na sua própria natureza, sem
uma relação com o que quer que seja exterior, permanece
sempre igual e imóvel... (postulado do isolamento)
... o tempo absoluto, verdadeiro e matemático, em si
próprio, e da sua própria natureza, flui igualmente sem
relação com nada exterior...
... o tempo relativo, aparente e comum é a medida
sensível e exterior da duração através do movimento, que é
comummente utilizada em vez do tempo verdadeiro...
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Espaço Absoluto
Espaço e tempo absolutos
... o espaço absoluto, na sua própria natureza, sem
uma relação com o que quer que seja exterior, permanece
sempre igual e imóvel... (postulado do isolamento)
... o tempo absoluto, verdadeiro e matemático, em si
próprio, e da sua própria natureza, flui igualmente sem
relação com nada exterior...
... o tempo relativo, aparente e comum é a medida
sensível e exterior da duração através do movimento, que é
comummente utilizada em vez do tempo verdadeiro...
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Espaço Absoluto
Espaço e tempo absolutos
... o espaço absoluto, na sua própria natureza, sem
uma relação com o que quer que seja exterior, permanece
sempre igual e imóvel... (postulado do isolamento)
... o tempo absoluto, verdadeiro e matemático, em si
próprio, e da sua própria natureza, flui igualmente sem
relação com nada exterior...
... o tempo relativo, aparente e comum é a medida
sensível e exterior da duração através do movimento, que é
comummente utilizada em vez do tempo verdadeiro...
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Inércia
A experiência de Ptolemeu, 90–168
Figura: A experiência imaginada por Cláudio Ptolemeu.
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Inércia
A experiência de Pierre Gassendi, 1592–1655
Figura: A experiência de Pierre Gassendi.
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Inércia
Sistemas de referência galilaicos
Figura: Movimento observado em dois sistemas de referência galilaicos
distintos.
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Inércia
Referenciais galilaicos
Um referencial galilaico é:
1
Um referencial onde todo o corpo não sujeito a forças se move
uniforme e retilineamente, onde o próprio espaço parece
estagnado e quiescente, o mesmo por toda a parte;
2
Um referencial em que as leis da mecânica são válidas;
3
Um referencial em que as estrelas parecem fixas.
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Inércia
Referenciais galilaicos
Um referencial galilaico é:
1
Um referencial onde todo o corpo não sujeito a forças se move
uniforme e retilineamente, onde o próprio espaço parece
estagnado e quiescente, o mesmo por toda a parte;
2
Um referencial em que as leis da mecânica são válidas;
3
Um referencial em que as estrelas parecem fixas.
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Inércia
Referenciais galilaicos
Um referencial galilaico é:
1
Um referencial onde todo o corpo não sujeito a forças se move
uniforme e retilineamente, onde o próprio espaço parece
estagnado e quiescente, o mesmo por toda a parte;
2
Um referencial em que as leis da mecânica são válidas;
3
Um referencial em que as estrelas parecem fixas.
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Inércia
Referenciais galilaicos
Um referencial galilaico é:
1
Um referencial onde todo o corpo não sujeito a forças se move
uniforme e retilineamente, onde o próprio espaço parece
estagnado e quiescente, o mesmo por toda a parte;
2
Um referencial em que as leis da mecânica são válidas;
3
Um referencial em que as estrelas parecem fixas.
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Inércia
Referenciais galilaicos
Um referencial galilaico é:
1
Um referencial onde todo o corpo não sujeito a forças se move
uniforme e retilineamente, onde o próprio espaço parece
estagnado e quiescente, o mesmo por toda a parte;
2
Um referencial em que as leis da mecânica são válidas;
3
Um referencial em que as estrelas parecem fixas.
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Inércia
Princípios da relatividade
Princípios da relatividade:
1
(Princípio da relatividade de Galileu) As leis da mecânica não
permitem calcular a velocidade absoluta; ou, é impossível a um
observador, situado num sistema de referência galilaico,
determinar, através de qualquer experiência mecânica, se está
em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme;
2
As leis da eletrodinâmica não permitem calcular a velocidade
absoluta;
3
As leis da física não permitem calcular a velocidade absoluta.
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Inércia
Princípios da relatividade
Princípios da relatividade:
1
(Princípio da relatividade de Galileu) As leis da mecânica não
permitem calcular a velocidade absoluta; ou, é impossível a um
observador, situado num sistema de referência galilaico,
determinar, através de qualquer experiência mecânica, se está
em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme;
2
As leis da eletrodinâmica não permitem calcular a velocidade
absoluta;
3
As leis da física não permitem calcular a velocidade absoluta.
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Inércia
Princípios da relatividade
Princípios da relatividade:
1
(Princípio da relatividade de Galileu) As leis da mecânica não
permitem calcular a velocidade absoluta; ou, é impossível a um
observador, situado num sistema de referência galilaico,
determinar, através de qualquer experiência mecânica, se está
em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme;
2
As leis da eletrodinâmica não permitem calcular a velocidade
absoluta;
3
As leis da física não permitem calcular a velocidade absoluta.
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Inércia
Princípios da relatividade
Princípios da relatividade:
1
(Princípio da relatividade de Galileu) As leis da mecânica não
permitem calcular a velocidade absoluta; ou, é impossível a um
observador, situado num sistema de referência galilaico,
determinar, através de qualquer experiência mecânica, se está
em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme;
2
As leis da eletrodinâmica não permitem calcular a velocidade
absoluta;
3
As leis da física não permitem calcular a velocidade absoluta.
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Inércia
Princípios da relatividade
Princípios da relatividade:
1
(Princípio da relatividade de Galileu) As leis da mecânica não
permitem calcular a velocidade absoluta; ou, é impossível a um
observador, situado num sistema de referência galilaico,
determinar, através de qualquer experiência mecânica, se está
em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme;
2
As leis da eletrodinâmica não permitem calcular a velocidade
absoluta;
3
As leis da física não permitem calcular a velocidade absoluta.
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Inércia
Os absolutos
Porém, as acelerações são absolutas:
1
A aceleração existe per se e, em contraste com a velocidade,
pode ser determinada mesmo na ausência de referencial;
2
O caráter absoluto da aceleração está em contradistinção com o
caráter relativo da velocidade;
3
A aceleração na Terra revela-se através da protuberância do
equador, dos ciclones e anticiclones, da rotação do plano de
oscilação do pêndulo de Foucault, da direção do vento
geostrófico, das correntes oceânicas.
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Inércia
Os absolutos
Porém, as acelerações são absolutas:
1
A aceleração existe per se e, em contraste com a velocidade,
pode ser determinada mesmo na ausência de referencial;
2
O caráter absoluto da aceleração está em contradistinção com o
caráter relativo da velocidade;
3
A aceleração na Terra revela-se através da protuberância do
equador, dos ciclones e anticiclones, da rotação do plano de
oscilação do pêndulo de Foucault, da direção do vento
geostrófico, das correntes oceânicas.
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Inércia
Os absolutos
Porém, as acelerações são absolutas:
1
A aceleração existe per se e, em contraste com a velocidade,
pode ser determinada mesmo na ausência de referencial;
2
O caráter absoluto da aceleração está em contradistinção com o
caráter relativo da velocidade;
3
A aceleração na Terra revela-se através da protuberância do
equador, dos ciclones e anticiclones, da rotação do plano de
oscilação do pêndulo de Foucault, da direção do vento
geostrófico, das correntes oceânicas.
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Inércia
Os absolutos
Porém, as acelerações são absolutas:
1
A aceleração existe per se e, em contraste com a velocidade,
pode ser determinada mesmo na ausência de referencial;
2
O caráter absoluto da aceleração está em contradistinção com o
caráter relativo da velocidade;
3
A aceleração na Terra revela-se através da protuberância do
equador, dos ciclones e anticiclones, da rotação do plano de
oscilação do pêndulo de Foucault, da direção do vento
geostrófico, das correntes oceânicas.
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Inércia
Os absolutos
Porém, as acelerações são absolutas:
1
A aceleração existe per se e, em contraste com a velocidade,
pode ser determinada mesmo na ausência de referencial;
2
O caráter absoluto da aceleração está em contradistinção com o
caráter relativo da velocidade;
3
A aceleração na Terra revela-se através da protuberância do
equador, dos ciclones e anticiclones, da rotação do plano de
oscilação do pêndulo de Foucault, da direção do vento
geostrófico, das correntes oceânicas.
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Inércia
A rotação relativamente ao espaço absoluto
A caminho da refutação
1
Os cientistas reconheceram que havia um só caminho para
refutar o espaço e o movimento absolutos: refutar o postulado
do isolamento.
2
Consequentemente, quando se atribui a força centrífuga e a
força de Coriolis à rotação do corpo, temos de aceitar que a
rotação se faz em relação a qualquer coisa no Universo para
além do espaço vazio no qual se situa. Carl Gottfried Neumann
(1832–1925) sugeriu um corpo α, misterioso, cuja influência
dinâmica está na origem das forças inerciais.
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Inércia
A rotação relativamente ao espaço absoluto
A caminho da refutação
1
Os cientistas reconheceram que havia um só caminho para
refutar o espaço e o movimento absolutos: refutar o postulado
do isolamento.
2
Consequentemente, quando se atribui a força centrífuga e a
força de Coriolis à rotação do corpo, temos de aceitar que a
rotação se faz em relação a qualquer coisa no Universo para
além do espaço vazio no qual se situa. Carl Gottfried Neumann
(1832–1925) sugeriu um corpo α, misterioso, cuja influência
dinâmica está na origem das forças inerciais.
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Inércia
A rotação relativamente ao espaço absoluto
A caminho da refutação
1
Os cientistas reconheceram que havia um só caminho para
refutar o espaço e o movimento absolutos: refutar o postulado
do isolamento.
2
Consequentemente, quando se atribui a força centrífuga e a
força de Coriolis à rotação do corpo, temos de aceitar que a
rotação se faz em relação a qualquer coisa no Universo para
além do espaço vazio no qual se situa. Carl Gottfried Neumann
(1832–1925) sugeriu um corpo α, misterioso, cuja influência
dinâmica está na origem das forças inerciais.
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Inércia
A rotação relativamente ao espaço absoluto
A caminho da refutação
1
Os cientistas reconheceram que havia um só caminho para
refutar o espaço e o movimento absolutos: refutar o postulado
do isolamento.
2
Consequentemente, quando se atribui a força centrífuga e a
força de Coriolis à rotação do corpo, temos de aceitar que a
rotação se faz em relação a qualquer coisa no Universo para
além do espaço vazio no qual se situa. Carl Gottfried Neumann
(1832–1925) sugeriu um corpo α, misterioso, cuja influência
dinâmica está na origem das forças inerciais.
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Pêndulo
2. O Pêndulo de Foucault
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Pêndulo
No museu de História da Ciência
Figura: Pêndulo de Foucault.
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Pêndulo
No museu de História da Ciência
Figura: Pêndulo de Foucault.
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Pêndulo
De fugir: As equações do pêndulo de Foucault
 2
d x
2
2
2

= −ω 2 x + 2 sin βΩ dy

2
dt + sin βΩ x + sin β cos βΩ y
dt





2
d y
dz
2
= −ω 2 y − 2 sin βΩ dx
dt − 2 cos βΩ dt + Ω y
dt2






 d2 z
2
2 2
= −ω 2 z + 2 cos βΩ dy
dt + sin β cos βΩ x + cos Ω z
dt2
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Pêndulo
De fugir: As equações do pêndulo de Foucault
 2
d x
2
2
2

= −ω 2 x + 2 sin βΩ dy

2
dt + sin βΩ x + sin β cos βΩ y
dt





2
d y
dz
2
= −ω 2 y − 2 sin βΩ dx
dt − 2 cos βΩ dt + Ω y
dt2






 d2 z
2
2 2
= −ω 2 z + 2 cos βΩ dy
dt + sin β cos βΩ x + cos Ω z
dt2
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Pêndulo
Rotação do plano de oscilação
Uma rotação completa do plano de oscilação faz-se no período
Período :
T =
24 horas
| sin latitude |
Mais, a rotação do plano de oscilação do pêndulo ocorre no sentido
dos ponteiros do relógio a norte do equador e no sentido contrário a
sul do equador.
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Pêndulo
Rotação do plano de oscilação
Uma rotação completa do plano de oscilação faz-se no período
Período :
T =
24 horas
| sin latitude |
Mais, a rotação do plano de oscilação do pêndulo ocorre no sentido
dos ponteiros do relógio a norte do equador e no sentido contrário a
sul do equador.
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Pêndulo
Rotação do plano de oscilação
Uma rotação completa do plano de oscilação faz-se no período
Período :
T =
24 horas
| sin latitude |
Mais, a rotação do plano de oscilação do pêndulo ocorre no sentido
dos ponteiros do relógio a norte do equador e no sentido contrário a
sul do equador.
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Pêndulo
Rotação do plano de oscilação
Uma rotação completa do plano de oscilação faz-se no período
Período :
T =
24 horas
| sin latitude |
Mais, a rotação do plano de oscilação do pêndulo ocorre no sentido
dos ponteiros do relógio a norte do equador e no sentido contrário a
sul do equador.
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Pêndulo
O romance de Humberto Eco
Figura: O romance “O Pêndulo de Foucault” de Humberto Eco.
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Pêndulo
3. A Rotação da Terra
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Pêndulo
A rotação da Terra
Figura: O pólo do mundo
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Pêndulo
Ciclone no hemisfério norte
Figura: Ciclone no hemisfério norte.
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Pêndulo
Ciclone no hemisfério norte
Figura: Ciclone no hemisfério norte.
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Pêndulo
4. A célebre experiência do balde de Newton
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Pêndulo
O balde de Newton
Experiência
Um balde com água é suspenso por uma corda e torcido. Uma vez
largado, começa rodar. Ao princípio o balde roda, mas a água não,
mantendo a sua superfície livre plana. Depois, por atrito, o
movimento de rotação do balde é comunicado à água que começa
também a rodar. A superfície da água deixa de ser plana e adquire a
forma de um parabolóide de revolução. Depois, a corda começa a ser
torcida no sentido contrário, até que o balde deixa de rodar: nesse
momento, a água continua a rodar com o balde momentaneamente
em repouso.
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Pêndulo
O balde de Newton
Figura: O balde de Newton.
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Pêndulo
O balde de Newton
Figura: O balde de Newton.
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Pêndulo
A gravidade e a rotação
Figura: Plantas em crescimento num referencial em rotação.
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Pêndulo
4. O Tempo dos Relógios
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Pêndulo
Relógio
Figura: Relógio mecânico
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Relógios
Relógio
Figura: Relógio mecânico
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Relógios
A engrenagem do relógio
Figura: O relógio mecânico.
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Relógios
Conclusão: A descoberta da eletrodinâmica
O último desafio
1
As experiências mecânicas, embora permitam diferenciar um
referencial galilaico de um referencial não galilaico, são
totalmente ineficazes para distinguir um referencial galilaico de
outro também galilaico.
2
Há ainda um caminho para acreditar a tese de que a velocidade
absoluta é real e mensurável, desde que recorramos a outro tipo
de experiência física — à experiência em eletrodinâmica e ótica,
por exemplo, e não somente à experiência mecânica.
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Relógios
Conclusão: A descoberta da eletrodinâmica
O último desafio
1
As experiências mecânicas, embora permitam diferenciar um
referencial galilaico de um referencial não galilaico, são
totalmente ineficazes para distinguir um referencial galilaico de
outro também galilaico.
2
Há ainda um caminho para acreditar a tese de que a velocidade
absoluta é real e mensurável, desde que recorramos a outro tipo
de experiência física — à experiência em eletrodinâmica e ótica,
por exemplo, e não somente à experiência mecânica.
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Relógios
Conclusão: A descoberta da eletrodinâmica
O último desafio
1
As experiências mecânicas, embora permitam diferenciar um
referencial galilaico de um referencial não galilaico, são
totalmente ineficazes para distinguir um referencial galilaico de
outro também galilaico.
2
Há ainda um caminho para acreditar a tese de que a velocidade
absoluta é real e mensurável, desde que recorramos a outro tipo
de experiência física — à experiência em eletrodinâmica e ótica,
por exemplo, e não somente à experiência mecânica.
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Relógios
Conclusão: A descoberta da eletrodinâmica
O último desafio
1
As experiências mecânicas, embora permitam diferenciar um
referencial galilaico de um referencial não galilaico, são
totalmente ineficazes para distinguir um referencial galilaico de
outro também galilaico.
2
Há ainda um caminho para acreditar a tese de que a velocidade
absoluta é real e mensurável, desde que recorramos a outro tipo
de experiência física — à experiência em eletrodinâmica e ótica,
por exemplo, e não somente à experiência mecânica.
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