AJUSTE DE CURVAS

1
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AJUSTE DE CURVAS
Até agora, o polinômio de aproximação foi definido de tal maneira a coincidir com o
valor da função dada em pontos definidos (interpolação). Em certos tipos de problemas, isto
pode não ser desejável, em particular se os valores foram obtidos experimentalmente e são,
portanto, sujeitos a erros. Não é conveniente incorporar esses erros à função de aproximação que
reflita a tendência geral da função dada.
y
.
. ..
. . .
x0
x
xn
Dados n pontos (xi,yi), i = 1,.., n, deseja-se ajustar a eles uma curva g(x), que seja uma
“boa aproximação” para esses pontos tabelados.
y
. . .
x0
x1
. .
.
.
xn
x
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2
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Ajuste de Curva – Caso Discreto
Dados os pontos (xi, f(xi)), i = 1, ..., n, e as n funções g1(x), g2(x), ..., g2(xn) escolhidas de
alguma forma, devemos determinar os coeficientes a1, a2, ..., an tal que a função g(x) = a1g1(x)+
a2g2(x)+ ...+ angn(x) se aproxime ao máximo de f(x).
O ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados tem por objetivo ajustar g(x) =
f(x), de forma que os desvios quadráticos sejam mínimos, ou seja, os coeficientes ai que fazem
com que g(x) se aproxime ao máximo de f(x), são os que minimizam a função:
n
n
i 1
i 1
minimizar  ( f ( xi )  g ( xi )) 2 minimizar  ei2  minimizar (erros)2
Tipos de ajustes:
 Ajuste polinomial
g ( x)  a1 g1 ( x)  a2 g2 ( x)  ...  an g n ( x)
 Ajuste exponencial
g ( x)  ab x
g ( x)  aebx
g ( x)  eaxb
 Ajuste hiperbólico
1
g ( x) 
a1 x  a2
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AJUSTE DE POLINOMIAL – RETA
y
. .
. . .
x0
.
.
x
xn
x1
Dados n pontos (xi, yi), i = 1,.., n, deseja-se ajustar a eles uma reta g(x) = a1g1(x)+ a2g2(x)
= a1x + a2. Assim, g1(x) = x e g2(x) = 1. Dessa forma, devemos determinar a1 e a2 de modo que a
função g(x) se ajuste melhor os dados da tabela, ou seja,
n
min

n
n
ei2
i 1
= min
 ( f ( x )  g ( x ))
i 1
i
2
i
 E(a1, a2) = min
= min
[ f ( x )  (a x  a )]
2
i
i 1
1 i
2
n
 ( f (x )  a x  a )
i 1
i
1 i
2
2
Do cálculo diferencial, se a função E(a1, a2) possui um ponto de mínimo, então suas
E
E
derivadas parciais devem ser nulas, ou seja,
0e
 0 . Portanto,
a1
a2
 n 2
   ei
 i 1  0
 a1

 n
  e2
i
 
i 1
0


a
2

 n
2 ( y i a1 xi  a2 )( xi )  0
 i 1

 n
2 ( y a x  a )(1)  0
i
1 i
2
 
i 1
n
n
 n
2
x
y

a
x

 i i  1 i  a2 xi  0
 i 1
i 1
i 1
  n
n
n
 y  ax  a 0


i
1 i
2

i 1
i 1
i 1

 n
 ( y i a1 xi  a2 )( xi )  0
 i 1

 n
 ( y a x  a )  0
i
1 i
2

i 1
n
n
 n 2
a
x

a
x

xi y i

2 i
 1 i
 i 1
i 1
i 1
 n
n
a
x

a
(
n
)

yi

i
2
 1 
i 1
i 1
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Desta forma, tem-se o seguinte sistema linear:

 n

 m
  xi
 i 1

 m

x
yi 



i 
a
i 1
  2    i 1

m
m



a
xi2   1    xi yi 

i 1

 i 1

m
Esse sistema pode ser resolvido por qualquer método visto anteriormente, em particular,
o método de Cholesky pode ser aplicado, pois o sistema de equações possui a matriz simétrica e
definida positiva.
Exemplo
Ajuste os pontos abaixo a g(x) e calcule o erro.
x
y
0
0,98
1
-3,01
2
-6,99
3
-11,01
4
-15
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AJUSTE POLINOMIAL
y
.
.
.
...
x0 x1
.
xn
x
Dados n pontos (xi,yi), i = 1,.., n, e o valor do grau do polinômio a ser determinado,
deseja-se encontrar os coeficientes do polinômio g ( x)  a1 g1 ( x)  a2 g2 ( x)  ...  an g n ( x) de
n
modo que min
 ( f ( x )  g ( x ))
i
i 1
n
Resolvendo min
( y
i
i 1









2
i
.
 g ( xi )) 2 , obtém-se o seguinte sistema linear:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
i
2
i
2
i
3
i
n
i
i
n 1
i
2
...
i
3
...
i
4
...
i
n 2
...
i
x
x
x
  a    yi 
 n  

n 1 
x
y



a

i
i
i
 n 1  
n2 
2
    xi yi 
 
i
  a2  




nn 
a1   x n y 

x
 i 
 i i 
n
i
Exemplo
Ajuste os pontos da tabela abaixo à uma equação do 2o grau e calcule o erro cometido.
x
y
-2,0
-30,5
-1,5
-20,2
0,0
-3,3
1,0
9,2
2,2
16,8
3,1
21,4
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Ajuste de Curva – Caso Contínuo
O método dos mínimos quadrados também pode ser usado para aproximar uma função
f(x) contínua num intervalo [a,b] por uma combinação de funções do tipo
g ( x)  a1g1 ( x)   2 g2 ( x)  ...   n gn ( x)
em que g1(x), g2(x), ..., gn(x) são funções contínuas no intervalo [a,b]. Neste caso, queremos
determinar g(x) que melhor se aproxime da função f(x), ou seja, queremos que a área entre as
curvas de f(x) e g(x) seja a menor possível. Desta forma:
2
b
E (a1 , a2 ,...an ) 
  f ( x)  g ( x) dx
a
Assim, o problema do método dos mínimos quadrados é definido por
b
minimizar  f ( x)  (a1g1 ( x)  a2 g 2 ( x)  ...  an g n ( x)) dx

2
a
Portanto, o pronto de mínimo necessariamente satisfaz:
E E
E

 ... 
0
a1 a2
an
ou seja,
E
 2
ai

 f ( x) 

a

ak g k ( x)  gi ( x) dx  0, i  1,...,n

k 1

b
n


Assim:
b
b

b

a1 g1 ( x) gi ( x)dx  ...  an g n ( x) gi ( x)dx 
a
a
 f ( x) g ( x)dx, 1  1,...,n
i
a
Utilizando a notação de produto escalar de funções:
b
f ,g 
 f ( x) g ( x)dx
a
Temos o sistema de equações normais:
 g1 , g1

 g 2 , g1
 

 g n , g1
g1 , g 2

g2 , g2


gn , g2

g1 , g n   a1   g1 , f 



g 2 , g n  a2   g 2 , f 

      
  

g n , g n  an   g n , f 
Se o determinante da matriz do sistema de equações normais for diferente de zero, o
sistema possui solução única, ou seja, existe uma única função g(x) que melhor se ajusta a
função f(x).
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Para um caso simples, sejam as funções g1(x) e g2(x) que definem a função g(x),
contínuas no intervalo [a,b] e escolhidas a partir de algum critério de mérito:
g ( x)  a1 g1 ( x)  a2 g 2 ( x)
Deseja-se encontrar a1 e a2 que melhor ajuste a reta g(x) a f(x), não obrigando que a
curva ajustada passe pelos pontos f(a) e f(b).
6
f (x)
5
4
f (x)
3
f i (x)
2
1
0
a
-1
-1
0
b
1
2
3
x
4
5
6
Fazendo a substituição, tem-se:
b
E
  f ( x) 
2
g ( x) dx 
a

 f ( x)
b
2
a
  f ( x)

b
2
 2 f ( x) g ( x)  ( g ( x)) 2 dx 
a

 2 f ( x)a1 g1 ( x)  a2 g 2 ( x)  a12 g1 ( x) 2  2a1a2 g1 ( x) g 2 ( x)  a2 g 2 ( x) 2 dx 
2
 b

 b

b

  f ( x) dx  2 f ( x) g1 ( x)dx  a1  2 f ( x) g 2 ( x)dx  a2   g1 ( x) 2 dx  a12 
 a
a
 a

 a


2
b




 b

b
 2
 2 g1 ( x) g 2 ( x)dx  a1a2   g 2 ( x) 2 dx  a2  F (a1 , a2 )
 a

 a





A solução é encontrar a1 , a 2 tal que:
E
ai
 0 para i  1,2
a1 ,a 2
b
 b

 b

E
2
 2 f ( x) g1 ( x)dx  2 g1 ( x) dx a1  2 g1 ( x) g 2 ( x)dx a2
a1
a
 a

 a




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b
 b

 b

E
 2 f ( x) g 2 ( x)dx  2 g 2 ( x) 2 dx  a2  2 g1 ( x) g 2 ( x)dx a1
 2
 a

 a

a



Igualando-se a zero e reagrupando, tem-se:
b
 b

b

2
g
(
x
)
dx
a

g
(
x
)
g
(
x
)
dx
a

f ( x) g1 ( x)dx
 1
 1  1
 2
2
 a

 a

a
 b
b
b




2
 g1 ( x) g 2 ( x)dx  a1   g 2 ( x) dx  a2  f ( x) g 2 ( x)dx
a

 a

 a






Estas equações resultam num sistema de equações tal que:
 b
2
  g1 ( x) dx
A =  b a
 g1 ( x) g 2 ( x)dx

a

b

g
(
x
)
g
(
x
)
dx

  f ( x) g1 ( x)dx 
a 1 2
 e ba

b

b

2



g
(
x
)
dx
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
2
a 2




a

b
Exemplo:
Aproximar f ( x)  4 x 3 por uma reta no intervalo [0,1].
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REGRESSÃO NÃO LINEAR NOS PARÂMETROS – AJUSTE NÃO LINEAR
Muitas vezes, os dados experimentais necessitam de uma família de funções para
representa-los que não é composta por combinação linear nos parâmetros. Desta forma, faz-se
necessário o uso de outras funções para ajustar adequadamente uma função representada na
forma de tabela.
Ajuste exponencial
Existem casos, em que os dados experimentais sugerem que a função tabelada deve ser
aproximada por uma função exponencial da forma g(x) = a(b)x, com a e b positivos. Os valores
de a e b devem ser obtidos de modo que o erro seja mínimo, ou seja:
E ( a , b) 
n

e( xi ) 2  minimizar
i 1
n
  f ( x )  g ( x )
2
i
i
i 1
A função exponencial g(x) = a(b)x pode ser ajustada fazendo a seguinte transformação:
h(x) = ln(g(x)) = ln(a(b)x) = ln(a) + xln(b)
Definindo:
a1 = ln(a), então ea1 = a
a2 = ln(b), então ea2 = b
Desta forma h(x) = ln(a) + xln(b) = a + bx é representada por uma combinação linear das
funções g1(x) = x e g2(x) = 1, ou seja, h(x) = a1g1(x) + a2g2(x).
Para que a função g(x) aproxime-se de f(x), a função h(x) deve se aproximar de ln(f(x)),
ou seja:
g(x)  f(x)  ln(g(x))  ln(f(x))
A tabela de pontos fica definida como:
x1
x2
ln(f1(x)) ln(f2(x))
...
...
xn
ln(fn(x))
Do ajuste de reta tem-se o seguinte sistema linear:







n

i 1
n

i 1


xi2 a1  




n

i 1

xi a2 



xi a1  (n)a2 


n
 ln( f ( x ))x
i
i
i 1
n
 ln( f ( x ))
i
i 1
Com os valores de a1 e a2 obtidos com a resolução do sistema linear, resolvemos o
n
problema: minimizar
 ln( f ( x ))  h( x )
2
i
i
.
i 1
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Exemplo
Ajuste os pontos da tabela à equação g(x) = a(b)x, com 0 < b < 1, e calcule o erro cometido.
xi
f(xi)
-1
6,01
-0,9
5,39
-0,8
4,80
0
2,01
1
0,65
2
0,21
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Ajuste hiperbólico
No ajuste hiperbólico, observa-se que os pontos tabelados possuem um comportamento
que se aproxima de uma função definida por:
1
g ( x) 
a1 ( x)  a2
Novamente, deseja-se determinar os parâmetros a1 e a2 tal que:
E (a1 , a2 ) 
n

e( xi ) 2  minimizar
i 1
Se g ( x) 
n
  f ( x )  g ( x )
2
i
i
i 1
1
1
aproxima-se da função f(x), fazemos h( x) 
 a1 ( x)  a2 , que
a1 ( x)  a2
g ( x)
aproxima-se da função
1
1

.
g ( x)
f ( x)
1
, ou seja, g(x)  f(x) 
f ( x)
A tabela de pontos fica definida como:
x1
x2
1/f1(x) 1/f2(x)
...
...
xn
1/fn(x)
Do ajuste de reta tem-se o seguinte sistema linear:







n

i 1
n

i 1


xi2 a1  


n

i 1

xi a2 


xi a1  (n)a2 

n
n
 f (x )
xi
i 1
i
 f (x )
i 1
1
i
Com os valores de a1 e a2 obtidos com a resolução do sistema linear, resolvemos o
n

problema: minimizar
i 1
2
 1

 h( xi ) .

 f ( xi )

Exemplo
Ajuste os pontos da tabela à equação g ( x) 
xi
f(xi)
-3
-0,13
1
e calcule o erro cometido.
a1 ( x)  a2
-2
-0,20
-1
-0,49
-0,5
-2,01
-0,4
-4,99
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Exercícios
1. Ajuste os pontos abaixo à equação y = b0+b1x+b2x2+b3x3.
x
y
-5
386
-4
225
-2
54
0
6
1
13
2
40
3
110
5
220
2. Ajuste os dados abaixo utilizando uma reta e uma parábola. Trace as duas curvas no
gráfico de dispersão dos dados. Compare.
x
y
1
0,5
2
0,6
3
0,9
4
0,8
5
1,2
6
1,5
7
1,7
8
2,0
3. Aproxime a função f(x) = (x3-1)2, x  [-1,1], por uma reta e, por um polinômio de 2o grau.
Compare os resultados obtidos.
4. Aproxime a função f(x) = 3 x no intervalo [0,1] por um polinômio de 3o grau, usando
os valores de x com incremento de 0,1.
5. Ajuste os pontos abaixo à equação g(x) = beax e calcule o erro cometido.
xi
yi
0,10
1,77
1,50
2,17
6. Ajuste os dados abaixo à equação z(xi) =
xi
z(xi)
0,00
0,06
0,20
0,12
3,30
2,48
4,50
2,99
5,00
3,15
1
.
1  ea bx
0,50
0,30
0,60
0,60
0,80
0,73
1,10
0,74
7. Aproxime a tabela abaixo por uma função do tipo g(x)=1+aebx.
x
y
0,0
2,0
0,5
2,6
1,0
3,7
2,5
13,2
3,0
21,0
8. Faça o diagrama de dispersão e ajuste os dados da tabela abaixo. Calcule o erro.
x
y
1,5
2,0
3,4
5,0
5,1
3,8
6,8
6,1
8,0
5,8
9. Dada a tabela
x
y
1,00
1,00
1,05
1,01
1,10
1,02
1,15
1,04
1,20
1,05
1,25
1,06
1,30
1,07
1,35
1,08
Determine g(x) e calcule o valor de f(1,18).
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Métodos Numéricos Computacionais
Profa. Adriana Cherri
Profa. Andréa Vianna
Prof. Antonio Balbo
Profa Edméa Baptista