O Homem que Calculava

A Resolução de Problemas e os Conceitos Matemáticos presentes no livro
“O Homem que Calculava”, de Malba Tahan
Clarice Segantini1
GD3 – Educação Matemática no Ensino Médio
Resumo: Admite a Resolução de Problemas como metodologia para o Ensino da Matemática e a importância
da escolha de bons problemas. Traz a classificação de 15 problemas presentes no livro “O Homem que
Calculava” como suporte para a realização de uma Oficina de Resolução de Problemas. Descreve o Problema
dos Três Marinheiros e possíveis estratégias de resolução. Visa identificar as estratégias utilizadas pelos
alunos do 1º ano do Ensino Médio; analisar o processo de resolução; e descrever os conceitos matemáticos
presentes nas situações-problema. Trata de um estudo de caso etnográfico de cunho qualitativo. Busca por
meios alternativos e pela interação dos alunos, de modo que o processo de resolução seja mais importante
que a resposta final.
Palavras-chave: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Malba Tahan.
1. Introdução
A Resolução de Problemas, admitida como metodologia de ensino, promove aos alunos,
segundo Diniz (2001), um ambiente de investigação e exploração, cujas atividades podem
se apresentar como ponto de partida para o ensino de matemática.
Nessa mesma linha de pensamento, Siqueira Filho (1999, p.15) enfatiza que,
A Resolução de Problemas, de acordo com alguns estudos, pode ser admitida
não mais como um simples conteúdo discutido em sala de aula, e sim como uma
metodologia que proporciona ao aluno o desenvolvimento do raciocínio, a
capacidade de refutar e verificar a resposta encontrada, além de permitir
conceber a frustração como uma etapa da aprendizagem.
Para Redling (2011) uma situação-problema deve comportar a ideia de novidade, de algo
ainda não compreendido, mas que traz, em sua estrutura, as condições suficientes para
investigar, questionar e elaborar novas ideias e novos conhecimentos. Nesse sentido, “um
dos primeiros passos a ser considerado [...] é a escolha adequada do problema” (SILVA e
SIQUEIRA FILHO, 2011, p. 33).
“[...] Os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender
matemática, afirma Onuchic (1999, p.207), mas, também, como um primeiro passo para se
fazer isso”. Nessa percepção, o processo ensino-aprendizagem de matemática se insere em
1
Universidade Federal do Espírito Santo, e-mail: [email protected], orientador: Prof. Dr. Moysés
Gonçalves Siqueira Filho.
uma esfera de investigação, a qual favorece a construção de relações entre os diferentes
conceitos matemáticos envolvidos no problema.
Mas o que caracteriza um bom problema? Para Polya (1977 apud Silva e Siqueira Filho,
2011, p.33) “ele deve ser bem escolhido, nem muito difícil, nem muito fácil, natural e
interessante”. Para os autores “um problema é rico quando permite ser resolvido por
diferentes estratégias”, as quais devem ser exploradas pelo professor com o intuito da
(re)descoberta da matemática pelo aluno.
Sendo assim, Santos (1997 apud Silva e Siqueira Filho, 2011, p.34) discute algumas
estratégias de resolução que podem e devem ser identificadas e valorizadas pelo professor
no auxílio a seus alunos, em síntese são elas:
[...] utilizar-se de tentativa e erro; buscar um padrão de regularidade; deduzir e
induzir; generalizar; trabalhar de trás para frente; resolver um problema
semelhante mais simples; correlacionar e fazer analogias, procurar por palavraschave; escrever informação relevante; fazer uma lista, quadro ou tabela;
desenhar ou plotar gráficos.
Ante a estas considerações iniciais e a partir da leitura do livro “O homem que calculava”,
de Malba Tahan, cujos enredos trazem inúmeros problemas que podem auxiliar aos
professores no desenvolvimento das estratégias sugeridas, optamos, para este texto, elencar
alguns problemas propostos na obra citada. Trata-se do primeiro momento de nossa
pesquisa de mestrado, em andamento, cujas resoluções servirão de suporte para identificar
as estratégias utilizadas pelos alunos envolvidos; analisar as questões que subsidiaram o
processo de resolução; descrever os conceitos matemáticos presentes nas situaçõesproblema, a formulação de questionamentos e o papel da comunicação na Resolução de
Problemas.
Objetivos esses, norteados pela questão central: Que estratégias os alunos do 1º ano do
Ensino Médio utilizam para resolver alguns problemas propostos no livro “O Homem
que Calculava”? Como também, por outras questões de estudo: [1] Quais conceitos
matemáticos são por eles identificados?; [2] Qual a concepção desses alunos sobre a
Matemática?
Por ora, numa primeira varredura, identificamos quinze problemas, posteriormente,
procuraremos trabalhar, preferencialmente, com os que se destinam, segundo nossa
classificação, ao 1º ano do Ensino Médio. A partir de seus enunciados, procuramos
destacar alguns conteúdos matemáticos, como também, discriminar o público-alvo
(série/ano) para resolvê-los (QUADRO 1). Convém destacar que os problemas podem ser
trabalhados em séries/anos diferentes dos que propusemos, cabe ao professor escolher o
momento mais adequado para executá-los.
CAPITULOS
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23
31
32
33
PROBLEMAS
O Problema dos 35 Camelos
O problema dos 8 pães
O Problema do Joalheiro
O Problema dos Quatro Quatros
SÉRIE/ANO
5ªsérie / 6º ano
5ªsérie / 6º ano
6ªsérie / 7º ano
2º ano Ensino Médio
CONTEÚDOS
- Fração – MMC
- Operações Fundamentais
- Proporção
- Operações Fundamentais
- Fatorial
O Problema dos 21 vasos
5ªsérie / 6º ano
-Operações Fundamentais;
Números
decimais
fracionários
O Problema dos 60 Melões
5ªsérie / 6º ano
-Operações Fundamentais
O Problema do Jogo de Xadrez
1º ano Ensino Médio
-Progressão Geométrica
O Problema das 90 Maçãs
6ªsérie / 7º ano
- Proporção
O Problema das Abelhas
6ªsérie / 7º ano
- Equação do 1º grau
O Problema dos Três Marinheiros 1º ano Ensino Médio
-Sistemas de equações;
-Sequência numérica
O Problema dos Soldados
5ªsérie / 6º ano
- Geometria Plana
-Polígonos
O Problema das Perola de Rajá
7ªsérie / 8º ano
- Sistemas de equações
O Problema dos Cinco Discos
Ensino Médio- Análise Combinatória;
2º ano
- Lógica
O Problema da Pérola mais Leve
6ªsérie / 7º ano
- Sistemas de equações;
- Pesos e medidas
O Problema dos Olhos Pretos e Ensino Médio
- Análise Combinatória;
Azuis
2º ano
- Lógica
QUADRO 1 – CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS SEGUNDO A SÉRIE-ANO/CONTEÚDO
2. Contextos dos Enunciados
O protagonista Beremiz Samir, com destacada proeza, narra uma variedade de enredos,
que denotam alguma situação-problema, capazes de aguçar a curiosidade do leitor.
“Inseridos em uma perspectiva de investigação, evitam a manipulação imediata de dados e
fórmulas e favorecem tanto o desenvolvimento dos processos de pensamento, quanto a
formação de capacidades e competências” (SIQUEIRA FILHO, 2013, p.35)
Incluiremos tais problemas no rol dos não-rotineiros, os quais, segundo Siqueira Filho
(1999), são caracterizados por não apresentar estratégias de solução em seu enunciado,
possibilitando ao aluno desenvolver estratégias gerais de entendimento, planejar e executar
seus comandos de ataque, bem como, avaliar suas tentativas de solução. A escolha dos
problemas baseou-se no critério de que eles apresentam diferentes conteúdos matemáticos;
admitem mais do que uma estratégia de resolução, cujas narrativas, bastante interessantes,
podem instigar ao aluno pensar na problemática proposta e inserir-se em seu contexto,
recurso esse, oportuno para a Resolução de Problemas. Vejamos um dos problemas:
e
2.1 O Problema dos Três Marinheiros [Capítulo XIX]
Enunciado do Problema:
Um navio que voltava de Serendibe, trazendo grande partida de
especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido
destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três
marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema
perícia. O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deulhes certo número de catis. Esse número, superior a duzentos, não chegava
a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia
seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os
três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que, durante a noite, um
dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor
que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar
com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante
pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais,
mas notou que a divisão não era exata e que sobrava um catil. “Por causa
desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O
melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se,
cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos
companheiros. Horas depois, o segundo marinheiro e depois o terceiro teve
a mesma ideia. No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife
do navio encontrou um punhado de catis na caixa. Soube que essas moedas
pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a
cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi
exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu
trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros
reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado
da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro. Pergunta-se afinal: Quantas
eram as moedas? Quanto recebeu cada um dos marujos?
Trata-se de um texto bastante longo, que muito, provavelmente, provocará algumas
inquietações e possíveis desistências, antes mesmo de se tentar solucioná-lo. Cabe ao
professor sugerir uma segunda ou terceira leitura e aos poucos esmiuçar o enunciado,
separando o que se conhece do que não se conhece até se chegar à pergunta do problema.
Questões do tipo: O que vocês entenderam? Quais conceitos matemáticos podem ser
extraídos desta situação? Ou ainda: Por quais e quantos caminhos poderemos percorrer?
conduzirão e organizarão as ideias e sugestões dadas pelos alunos. Uns terão mais
facilidades ou dificuldades que outros, ao longo das discussões, entretanto, o que se torna
importante é estar atentos às suas interpretações. O professor poderá ainda, situar a
historieta, contando aos alunos, por exemplo, que o príncipe Cluzir Schá, em conversa com
Beremiz, lamentou a ausência, entre os problemas de Bháskara por ele citados, do famoso
problema dos três marinheiros, até aquele momento sem solução. Em resposta, Beremiz
disse que tê-lo omitido pela simples razão de não conhece-lo, senão por uma citação, vaga,
incerta e duvidosa. Entretanto, o príncipe enfatizou conhecê-lo e que teria grande prazer
em recordá-lo, passando a seguir a narrar os fatos apresentados no enunciado do problema
proposto.
Conteúdos como divisibilidade, sequência numérica, sistemas de equações, por exemplo,
podem ser trabalhados a partir da referida situação-problema, que também permite explorar
diferentes estratégias do tipo: tentativa e erro; escrever informação relevante; experimentar
dados ou dramatizar a situação; adivinhar (dar palpites) e testar; procurar por palavras ou
frases-chave; fazer uma lista, tabela ou quadro organizado. Enfim, segundo Leitão e
Fernandes (1977, p. 102 apud Siqueira Filho 1999, p. 63)
[...] a forma como os alunos organizam e trabalham a informação, as estratégias
usadas na abordagem do problema, a persistência em caminhos errados, a
natureza dos erros que cometem, a reação a sugestões dadas apresentadas pelos
colegas, são fatores relacionados com o comportamento dos alunos enquanto
resolvem problemas.
Nesse sentido e concebendo o professor como mediador do processo de ensino e de
aprendizagem, apresentaremos a seguir duas soluções para o problema proposto,
explorando as estratégias: tentativa e erro; elaboração de um quadro organizado; escrever
uma equação.
Solução 1
A possível resposta para o número total de moedas está entre 200 e 300. Podemos reduzir
as possibilidades encontrando os números na forma 3k + 1, com k  {67, 68, 69, 70, 71,...,
99}, formando assim a sequência (202, 205, 206,..., 298). Fazendo a simulação para cada
valor da sequência chegamos à solução (QUADRO 2). A única possibilidade é o número
Sequências
241, que satisfaz o problema.
202
205
208
...
241
1º Marujo
205 = 204 + 1
208 = 207 + 1
241 = 240 + 1
201: 3 = 67
204: 3 = 68
207: 3 = 69
240: 3 = 80
1 marujo = 67
1º marujo = 68
1º marujo: 69
1º marujo = 80
Jogou ao mar: 1
Jogou ao mar: 1
Jogou ao mar: 1
Jogou ao mar: 1
Sobrou: 134
Sobrou: 136
Sobrou: 138
Sobrou: 160
134 = 133 + 1
136 = 135 + 1
138 = 137 + 1
160 = 159 + 1
133: 3 = ? (Não é
135: 3 = 45
137: 3 = ? (Não é
159: 3 = 53
divisível por 3)
3º Marujo
2º Marujo
202 = 201 + 1
2º marujo: 45
divisível por 3)
2º marujo: 53
Jogou ao mar: 1
Jogou ao mar: 1
Sobrou: 90
Sobrou: 106
90 = 89 + 1
106 = 105 + 1
89: 3 = ? (Não é
105: 3 = 35
divisível por 3)
3º marujo: 35
Jogou ao mar: 1
Sobrou: 70
Almoxarife
70 = 69 + 1
69: 3 = 23
Cada marujo: 23
Almoxarife: 1
Resposta: 1º Marujo: 80 + 23 = 103; 2º Marujo: 53 + 23 = 76; 3º Marujo: 35 + 23 = 58; almoxarife: 1;
moedas jogadas ao mar: 3. Total de moedas: 241
QUADRO 2: ESTRATÉGIA DE SOLUÇÃO – PROBLEMA DOS TRÊS MARINHEIROS
Solução 2
Chamemos de N o número total de moedas. O primeiro marinheiro retirou a parte que lhe
cabia, digamos x1 moedas, e, tendo sobrado uma que ele atirou ao mar, temos que
N  3x1  1. Restaram, portanto, N  x1  1 moedas. Ou seja, restaram 2x1 moedas. O
segundo marujo tendo retirado x 2 moedas de forma equânime, após atirar ao mar uma
moeda, deixou-nos a conta 2 x1  3x2  1 . Restou, portanto, 2 x1  x2  1 , ou seja, 2x2
moedas na caixa do almoxarife. Chega o terceiro marinheiro que joga uma no mar e retira
um terço das restantes, seja x3 moedas. Obtemos que 2x2  3x3  1 e que restam agora
2x2  x3  1 moedas, ou seja, 2x3 moedas na caixa. Eis que finalmente o almoxarife retira
uma moeda para si e divide a quantidade encontrada na caixa por três; de maneira que cada
marujo recebe x 4 moedas, para obtermos que 2x3  3x4  1 . Onde
x 4 é a parte
oficialmente recebida pelos marujos. Temos:
 N  3x1  1
2 x  3x  1
 1
2

2 x2  3x3  1 [multiplique por 2]
2 x3  3x4  1 [multiplique por 3]
 N  3x1  1
2 x  3x  1
 1
2
 
4 x2  6 x3  2
6 x3  9 x4  3
 N  3x1  1

 2 x1  3x2  1 [multiplique por 4]
4 x  9 x  5 [multiplique por 3]
4
 2
 N  3x1  1

 8 x1  12 x2  4
12 x  27 x  15
4
 2
N  3x1  1 [multiplique por 8]

8x1  27 x4  19 [multiplique por 3]
8N  24 x1  8
 
24 x1  81x4  57
Logo 8N  81x4  65
81x4  65
N
8
Lembre-se que 200  N  300 e que x 4 não pode ser par, pois 8N é par (ok?). Como x 4
deverá estar entre 18 e 29 resta-nos testar {19, 21, 23, 25, 27} o que nos leva a crer que
x4  23 e que, portanto, x4  23 ; x3  35 ; x2  53 ; x1  80 e N  241 . O primeiro
marujo recebeu x1  x4  103 ; o segundo marujo recebeu x2  x4  76 ; o terceiro marujo
recebeu x3  x4  58 ; N  x1  x2  x3  3x4  4 , logo, N  103  76  58  4  241 .
Há, possivelmente, outros procedimentos para solucionar o problema em voga, assim como
outros vários questionamentos que poderão ser levantados a fim de entender as escolhas
feitas. Destacamos que o foco do nosso estudo é analisar tais procedimentos e não
exclusivamente uma resposta final. Por fim, queremos ressaltar que o problema, ainda,
oportuniza discutir princípios sobre honestidade e boa conduta a partir do comportamento a
que se submeteram os marujos.
3. Percursos da Pesquisa
3.1. Natureza do Estudo
Procurando ter o ambiente natural como fonte direta de dados; a preocupação com o
processo muito maior do que com o produto; o significado que as pessoas dão as coisas
como focos de atenção especial pelo pesquisador, delinearemos nossa pesquisa à luz da
abordagem qualitativa (LUDKE & ANDRÉ apud BICUDO, 1999). Nesse sentido, tornase nosso interesse realizar um estudo de caso etnográfico, haja vista suas principais
características, isto é, observação participante, entrevista intensiva e análise de
documentos. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2012, p. 108) “[...] é uma estratégia
que envolve não só a observação direta, mas todo um conjunto de técnicas metodológicas
(incluindo entrevistas, consulta a materiais), pressupondo um grande envolvimento do
pesquisador na situação estudada”.
3.2. Campo de pesquisa
A pesquisa, após parecer favorável da direção escolar, será realizada na Escola Estadual de
Ensino Fundamental e Médio “Nestor Gomes”, situada no bairro Nestor Gomes, município
de São Mateus, norte do Estado do Espírito Santo. A escola recebe alunos das regiões
adjacentes, e a maioria dos alunos mora na zona rural. Convém mencionar, que essa escola
faz parte da trajetória acadêmica e profissional da pesquisadora, razões da sua escolha para
campo de investigação.
3.3. Sujeitos da pesquisa
O grupo amostral compreenderá alunos de uma turma, turno matutino, do 1º ano do Ensino
Médio e a professora regente. Os alunos que se dispuserem a participar, após a
apresentação dos objetivos da pesquisa, farão parte das Oficinas de Resolução de
Problemas, que ocorrerão no contra fluxo do seu turno de estudo.
3.4. Procedimentos para coleta de dados
Os dados serão coletados por meio de observação participante, entrevistas semiestruturadas
e Oficinas de Resolução de Problemas. Antes, porém, intentamos realizar um projeto piloto
com o objetivo de elaborar e analisar a estrutura da Oficina de Resolução de Problemas,
adequando horários, atividades, entre outras coisas, por ventura surgidas.
3.5. Análise dos dados e discussão dos resultados
A partir do projeto piloto, o qual prevê a observação participante, a realização de
entrevistas e Oficinas, teremos uma ideia mais ampla de como processar os dados
coletados. De acordo com a fundamentação teórica e abordagem metodológica do estudo
em questão, utilizaremos algumas técnicas, tais como, análise de conteúdo, classificação e
categorização. Segundo Marconi e Lakatos (2007, p.129) a análise dos conteúdos “é uma
técnica que visa aos produtos da ação humana, estando voltada para o estudo das ideias e
não das palavras em si”, de outro modo, descreve sistematicamente o conteúdo das
comunicações. O processo de classificação, ainda conforme as autoras, organiza ou ordena
uma série de dados em diferentes classes, em uma ou mais variáveis, dividindo o universo
em partes. Em seguida, apoiando-nos em FIORENTINI e LORENZATO (2012), os dados
serão categorizados, organizados em classes ou conjuntos que contenham elementos ou
características comuns.
4. Referências
DINIZ, M, I. Resolução de Problemas e Comunicação. In: SMOLE, K, S; DINIZ, M, I.
(Org.). Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas para aprender
matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. p. 87-97.
FIORENTINI, D; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos
teóricos e metodológicos. 3.ed. São Paulo: Autores Associados, 2012.
MARCONI, Marina de Andrade; LAKATOS, Eva Maria. Técnicas de Pesquisa:
planejamento e execução de pesquisas, amostragens e técnicas de pesquisas, elaboração e
análise de dados. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas.
In: BICUDO, M.A.V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções &
Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p. 199-218.
REDLING, J.P. A Metodologia de Resolução de Problemas: concepções e práticas
pedagógicas de professores de matemática do ensino fundamental. Dissertação
(Mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru, 2011.
SILVA Circe Mary da Silva; SIQUEIRA FILHO, Moysés Gonçalves. Matemática:
Resolução de Problemas. Brasília: Líber Livro, 2011.
SIQUEIRA FILHO, Moysés Gonçalves. (RE)criando modos de ver e fazer Matemática:
as estratégias utilizadas por alunos adultos na Resolução de Problemas. 1999. 213f.
Dissertação (Mestrado em Educação) - PPGE-UFES, Vitória, 1999.
SIQUEIRA FILHO, Moysés Gonçalves. Resenha do Livro O Homem que Calculava. In:
Revista de História da Matemática para Professores Ano 1 – n. 0, março 2013.
TAHAN, M. O Homem que Calculava. 72º ed. Rio de Janeiro: Record, 2008