Trigonometria em um Triângulo Qualquer

Unidade 9 – Trigonometria em um
triângulo qualquer
Introdução
Teorema ou Lei dos senos
Teorema ou Lei dos
cossenos
Área de um triângulo
Introdução
Existem muitos problemas geométricos do nosso
cotidiano relacionados a triângulos não retângulos.
Como exemplo, observe a próxima situação:
Em órbita terrestre, um satélite calcula as
coordenadas de dois navios, representados pelos
pontos A e B, e de um porto, representado pelo
ponto P.
Pela análise das coordenada, o satélite determina
que a distância existente entre os navios A e B é de
38km e ele obtém também os ângulos PÂB = 45º e
PBA = 60º.
Utilizando a Trigonometria, como poderíamos
descobrir a distância entre cada navio e o porto?
Introdução
Antes, porém, é necessário relembrarmos o
conceito de suplemento de um ângulo.
Introdução
Observe as transformações que serão utilizadas:
O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do
suplemento desse ângulo:
sen α = sen(180º - α)
O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto
do cosseno do suplemento desse ângulo:
cos α = - cos (180º - α)
Introdução
Exemplos:
sen 150º = sen (180º - 150º) = sen 30º
sen 120º = sen (180º - 120º) = sen 60º
cos 135º = -cos (180º - 135º) = -cos 45º
cos 105º = -cos (180º - 105º) = -cos 75º
Teorema ou Lei dos Senos
Considere um triângulo qualquer, com ângulo internos A, B e C
e lados opostos, respectivamente, de medidas a, b e c:
Tomando - se o seno dos ângulos A e C, respectivamente
nos triângulos ABH e BCH, temos :
hb
sen  =
→ h b = c.senÂ(1)
c
hb
→ h b = c.senĈ(2)
sen Ĉ =
a
Igualando as equações (1) e (2), temos :
a
c
c.sen = a.senĈ →
=
(3)
sen senĈ
Teorema ou Lei dos Senos
Traçando agora a altura há relativa ao lado BC,
destacamos os triângulos ABN e ACN:
Tomando - se o seno dos ângulos B e C, respectivamente
nos triângulos ABN e ACN, temos :
ha
sen B̂ =
→ h a = c.senB̂ (4)
c
ha
sen Ĉ =
→ h a = b.senĈ(5)
b
Igualando as equações (4) e (5), temos :
c.senB̂ = b.senĈ →
b
c
=
( 6)
senB̂ senĈ
Comparando as equações (3) e (6), obtemos :
Teorema ou Lei dos Senos
Calculem o valor de c no
triângulo ao lado:
c=2 2
a
b
c
=
=
⇒ Lei dos senos
sen senB̂ senĈ
c
2 3
=
→ c.sen60º = 2 3.sen45º →
sen45º sen60º
3
2
3 2 6
→ c.
= 2 3.
→ c.
=
→
2
2
2
2
6
2
2 6 3
→c=
→ c = 6.
→c=
.
→
3
3
3
3
2
2 18
2.3 2
6 2
→c=
→c=
→c=
→
3
3
3
Teorema ou Lei dos cossenos
A lei dos cossenos nos diz que, em qualquer
triângulo, podemos relacionar as medidas
dos três lados com a medida do cosseno do
ângulo oposto a um desses lados.
Vamos demonstrar a relação c² = a² + b² - 2abcosC,
considerando o ângulo C agudo.
Teorema ou Lei dos cossenos
Traçando a altura AH, relativa ao lado BC, obtemos
os triângulos AHC e AHB.
No triângulo AHB, aplicando o Teorema de Pitágoras,
temos :
c 2 = h 2 + BH 2
Substituindo BH por a - HC, temos :
c² = h² + (a - HC)²
c² = h² + a² - 2.a.HC + (HC)² (3)
No triãngulo AHC, temos :
Substituindo (1) e (2) em (3), temos :
HC
ˆ
cos Ĉ =
→ HC = b. cos C (1)
b
c² = b² - HC² + a² - 2. a. b. cosĈ + HC²
b 2 = HC 2 + h 2 → h 2 = b 2 − HC 2 (2)
Lei dos cossenos
c² = a² + b² - 2.a.b.cosĈ
Teorema ou Lei dos cossenos
Para você fazer
Utilizando a lei dos cossenos, calcule o valor
de a que representa a medida de um dos
lados do triângulo ao lado:
Lei dos cossenos
a² = b² + c² - 2.b.c.cos60º
1
a² = 8² + 5² - 2.8.5.
2
Logo, a medida a do
a ² = 49
lado do triângulo mede
a=7
7cm.
Em Resumo
Resolução de Atividades
Página 17 e 18
Área de um triângulo
No Ensino Fundamental, aprendemos que a
área de qualquer triângulo pode ser
calculada pela metade do produto das
medidas da base, pela altura relativa a essa
base:
base.altura
S=
2
Área de um triângulo
1º: Área em função da medida de dois lados
e do ângulo compreendido entre eles
Inicialmente, consideremos um triângulo cujas medidas de dois
lados sejam a e b e cujo ângulo compreendido entre esses
lados meça C:
No triângulo ABC, traçamos a altura h,
relativa ao lado de medida a;
No triângulo CHA, obtemos o seno do
ângulo C:
h
ˆ
senC = → h = b.senCˆ (I)
b
A expressão da área do triângulo ABC,
representada por S, é:
b.h
a.h
1
S=
→S =
→ S = .a.h (II)
2
2
2
1º: Área em função da medida de dois lados
e do ângulo compreendido entre eles
Relacionando as duas
expressões anteriores,
podemos escrever:
Substituindo (I) em (II),
obtemos:
1
S = .a.b.senCˆ (III)
2
Dessa forma, qualquer uma
das relações a seguir podemos
calcular área de triângulo
conhecendo dois lados e o
ângulo respectivo ao outro
lado.
1
S = .a.b.senCˆ
2
1
S = .a.c.senBˆ
2
1
S = .b.c.senÂ
2
2ª: Fórmula de Heron
Frequentemente, um
triângulo qualquer é
identificado pelas
respectivas medidas dos
lados.
Com a fórmula de Heron
nos permite calcular a área
do triângulo, conhecendo
apenas seus respectivos
lados.
S=
p.( p − a )(
. p − b )(
. p − c)
a+b+c
é o semiperímetro
2
do triângulo
em que p =
Para você fazer – p. 19
1
S = .a.b.sen30º
2
1
1
S = .5.6.
2
2
30
2
S=
→ S = 7,5cm
4
Para você fazer – p. 19
a + b + c 10 + 8 + 12
=
= 15m
2
2
S = p.( p − a )(
. p − b )(
. p − c)
p=
S = 15.(15 − 10 )(
. 15 − 8)(
. 15 − 12)
S = 15.7.5.3
S = 15 7 → S = 39,75m 2
Custo do serviço do jardineiro A:
CA = R$ 14,00 x 39,75 = R$ 556,50
Custo do serviço do jardineiro B:
CB = R$ 600,00
O menor preço é do jardineiro A, pois
apresenta menor custo
Resolução de Atividades
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Nota livre página 21-22