Numero 04 - Abril de 2005

Transcrição

FAMAT em Revista
www.famat.ufu.br
Revista Científica Eletrônica da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
f
Número 04 - Abril de 2005
e-mail: [email protected]
Comitê Editorial: Edson Agustini - Famat/Ufu
Valdair Bonfim - Famat/Ufu
Antônio Carlos Nogueira - Famat/Ufu
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu
Maísa Gonçalves da Silva - Damat - Famat/Ufu
FAMAT em Revista
ISSN 1806-1958
www.famat.ufu.br
e-mail
[email protected]
Revista Cientı́fica Eletrônica Semestral da
Faculdade de Matemática - FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Comitê Editorial:
Edson Agustini - Famat/Ufu
Valdair Bonfim - Famat/Ufu
Antônio Carlos Nogueira - Famat/Ufu
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu
Maı́sa Gonçalves da Silva - Damat - Famat/Ufu
Número 04
Abril de 2005
Editorial
O comitê editorial da FAMAT em Revista, com muita satisfação, vem disponibilizar à
comunidade acadêmica o seu quarto número. A FAMAT em Revista é a revista eletrônica de
divulgação científica da comunidade acadêmica da Faculdade de Matemática da Universidade
Federal de Uberlândia - MG. A sua finalidade é promover a circulação das idéias, estimular o
estudo da matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles
que se interessam pelo estudo de Matemática.
Gostaríamos de externar nosso contentamento com a aceitação de nossa revista; a
quantidade de artigos completos de iniciação científica vem se mantendo expressiva desde a
edição anterior, o que tomamos como um índice de que nossos esforços, em prol do estudo de
matemática e de mantermos uma revista voltada para trabalhos de graduação, estão logrando
certo êxito.
Assim como no número anterior da FAMAT em Revista, gostaríamos de anunciar a
continuidade da promoção da seção Problemas e Soluções. Convidamos o leitor a acessar essa
seção, resolver dois dos problemas propostos e participar do sorteio de exemplares de livros
das Olimpíadas Brasileiras de Matemática.
Em relação ao conteúdo do quarto número da revista, foram contempladas as atividades
desenvolvidas ou finalizadas durante o segundo semestre de 2004 e parte do primeiro
semestre de 2005. Abaixo, apresentamos de modo sucinto as diversas contribuições e matérias
que compõem cada seção.
Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com onze trabalhos instigantes
e proveitosos, todos desenvolvidos em projetos de iniciação científica orientados por
professores da FAMAT. Certamente a leitura dos mesmos irá enriquecer a formação de
estudantes de matemática.
Na seção Problemas e Soluções, apresentamos a resolução dos quatro problemas
propostos no número anterior. Dentre as resoluções, publicamos duas enviadas pelo aluno
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira, ganhador da promoção acima citada. Além disso, quatro
novos desafiadores problemas são propostos neste número e continua a promoção para
aqueles que nos enviarem pelo menos duas resoluções corretas de tais problemas.
Na seção Eventos, disponibilizamos aos nossos leitores um complemento da lista dos
eventos ligados à matemática a serem realizados no primeiro semestre de 2005 e anunciamos
os principais eventos já confirmados para o segundo semestre de 2005.
Na seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, apresentamos o artigo “Projeto
Pedagógico: seu Significado e Primeiras Reflexões”, sobre o projeto pedagógico que deverá
ser implementado em breve nos cursos de licenciatura da Universidade Federal de Uberlândia.
O texto redigido pelo prof. Valdair Bonfim, coordenador do Curso de Licenciatura e
Bacharelado em Matemática, é um convite à reflexão sobre os problemas enfrentados pelo
nosso curso de licenciatura e suas possíveis soluções.
Na seção Em sala de aula, comemoramos um grande crescimento do número de
trabalhos nesse número da revista. Apresentamos oito trabalhos relacionados ao ensino de
matemática. Seis deles são trabalhos de Modelagem Matemática desenvolvidos por alunos da
disciplina “Instrumentação para o Ensino de Matemática”, sob a orientação da profa. Rosana
Sueli da Motta Jafelice. Os outros dois trabalhos são sobre curvas cônicas. Um deles, de
autoria do prof. Jocelino Sato, trata do estudo dessas curvas e suas diversas aplicações. O
outro trata do estudo de cônicas via seis construções geométricas utilizando o software Cabri
Géomètre II e foi desenvolvido no primeiro semestre de 2004 pelo aluno Rafael Siqueira
Cavalcanti, sob a orientação do prof. Edson Agustini, no âmbito do projeto PIBEG (Programa
Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação).
Na seção Iniciação Científica em Números, trazemos uma descrição dos atuais projetos
de iniciação científica e dos de ensino da FAMAT-UFU desenvolvidos por alunos do Curso
de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Assim como no número anterior da revista,
ressaltamos o aumento significativo de graduandos envolvidos em projetos de iniciação
científica e projetos de ensino na FAMAT.
Na seção E o meu Futuro Profissional?, apresentamos um importante artigo: “Pós em
Outras Áreas: Opção ou Falta de Opção?”de autoria do prof. Geraldo Marcio de Azevedo
Botelho. Nesse artigo é discutida a escolha da área de curso de pós-graduação pelo graduado
em Matemática que deseja ingressar no mercado de trabalho como docente de uma instituição
pública de ensino superior. A importância de tal artigo reside no fato de que uma opção
cômoda ou errada de Pós-Graduação pode significar portas fechadas no mercado de trabalho.
Na seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que mereceram destaque
na FAMAT no período de setembro de 2004 a abril de 2005.
Finalmente, esperamos que nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados e
lembramos que críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas.
Comitê Editorial
Índice de Seções
Seção 1: Trabalhos Completos de Iniciação Cientı́fica
7
Seção 2: Problemas e Soluções
153
Seção 3: Eventos
163
Seção 4: Reflexões sobre o Curso de Matemática
169
Seção 5: Em Sala de Aula
177
Seção 6: Iniciação Cientı́fica em Números
301
Seção 7: E o meu Futuro Profissional?
309
Seção 8: Merece Registro
317
FAMAT em Revista
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Trabalhos Completos de
Iniciação Científica
PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
IM-AGIMB - Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira
Comitê Editorial da Seção
Trabalhos Completos de Iniciação Científica
do Número 04 da FAMAT EM REVISTA:
Edson Agustini (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Antônio Carlos Nogueira
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Instruções para submissão de Trabalhos
A Seção de Trabalhos de Iniciação Cientı́fica visa divulgar trabalhos que estejam associados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /
PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.
Trabalhos completos em nı́vel de iniciação cientı́fica dos programas acima listados
submetidos para publicação na Revista Eletrônica “Famat em Revista” estarão sujeitos
a apreciação pelo Comitê Editorial responsável por essa seção de artigos e, se for o caso,
por consultores ad hoc ligados à área ou subárea do trabalho. Caso se faça necessário,
sugestões para o aperfeiçoamento do trabalho serão dirigidas aos interessados pelo Comitê
Editorial.
Além da redação clara e concisa que todo trabalho submetido à boa qualidade deve
possuir, pede-se evitar o estilo árido e extremamente técnico caracterı́stico de algumas
publicações matemáticas, não perdendo de vista que o público-alvo ao qual se destina a
revista é constituı́do por alunos de graduação.
Os trabalhos submetidos até o final de um semestre letivo serão publicados na edição
da revista lançada no inı́cio do semestre letivo subseqüente.
Quanto às normas técnicas para submissão dos trabalhos:
1) Formato do arquivo: PDF
2) Tamalho da Folha: A4
3) Margens: 2,5 cm (portanto, área impressa: 16 cm x 24,7 cm)
4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tı́tulos, subtı́tulos, notas
de rodapé, etc, que ficam submetidos ao bom senso)
5) Espaçamento entre linhas: Simples
6) Orientador(es), tipo de programa e orgão de fomento (se houver)
devem constar no trabalho.
Envio:
Por e-mail: [email protected]
Índice de Trabalhos
Estudo sobre as Propriedades Geométricas das Cônicas e suas Aplicações 13
Patrı́cia Borges dos Santos e Lúcia Resende Pereira Bonfim
O Método Húngaro de Otimização para o Problema da Alocação de
Tarefas
25
Lais Bássame Rodrigues, Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Edson Agustini
Ideais em Anéis Comutativos
41
Cecı́lia Pereira de Andrade e Cı́cero Fernandes de Carvalho
Estabilidade do Pêndulo Não-Linear Invertido Sob Excitação Paramétrica 49
Pablo Hernandes Soares e Márcio José Horta Dantas
Modelo de Bertalanffy para uma Espécie de Crustáceo
63
Carolina Fernandes Molina Sanches, Rosana Sueli da Motta Jafelice e
Rosinês Luciana da Motta
A Transcendência do Número pi
69
Anselmo Ângelo de Almeida Oliveira, Uziel Paulo da Silva e Edson Agustini
Otimização por Colônia de Partı́culas
87
Jair Rocha do Prado e Sezimária de Fátima Pereira Saramago
Funções Polinomiais e Aplicações
105
Jairo Menezes e Souza e Cı́cero Fernandes de Carvalho
O Grupo Fundamental de Esferas
113
Rafael Peixoto e Walter dos Santos Motta Júnior
Análise de Estabilidade do Regulador Centrı́fugo
131
Uziel Paulo da Silva e Márcio José Horta Dantas
O Teorema Isoperimétrico e o Problema da Cerca
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira, Laı́s Bássame Rodrigues e Edson Agustini
141
Estudo sobre as Propriedades Geométricas das Cônicas e
suas Aplicações
Patrícia Borges dos Santos1
Lúcia Resende Pereira Bonfim2
Faculdade de Matemática – FAMAT
Universidade Federal de Uberlândia – UFU
38408 – 100, Uberlândia.
março de 2005
Resumo
As cônicas desempenham um papel importante em vários domínios da Física,
Economia e Engenharia, entre outros.
Pretendemos apresentar algumas aplicações e propriedades interessantes
relacionadas com as cônicas, e que não são usualmente abordadas em cursos de Cálculo e
Geometria Analítica.
Palavras chave: Geometria Analítica, elipse, parábola, hipérbole.
Introdução
As chamadas seções cônicas — elipse, hipérbole e parábola — são as curvas que se
obtém como interseção de um cilindro ou cone circular reto com um plano, como ilustra a
figura abaixo:
Hipérbole
Parábola
Elipse
Vejamos algumas situações onde essas curvas aparecem:
Por exemplo, se tivermos uma lanterna direcionada para uma parede, o feixe de luz
emitido pela lanterna formará um cone e a parede funcionará como um plano que corta o cone
1
2
Orientando de Iniciação Científica PET – Matemática. E-mail: [email protected]
Professora Orientadora. E-mail: [email protected]
formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede podemos obter uma
circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeeiros de cabeceira, cujo abajur é aberto segundo uma circunferência,
desenham na parede uma hipérbole e no teto uma elipse. Os engenheiros da área de
iluminação usam este fato, entre outros, para construírem candeeiros, lanternas, etc.
O som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao
se chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação do
avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usa
este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a
velocidade do som.
Fazendo uso das propriedades refletoras das cônicas foram construídos telescópios,
antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc. Já a propriedade refratora das
cônicas aparece em objetos tais como, óculos graduados, as lupas e os microscópios.
A seguir, dividiremos o nosso trabalho em três seções, sendo cada uma delas
relacionada com determinada cônica, para a qual colocaremos a definição em termos de sua
propriedade focal, as propriedades geométricas, algumas demonstrações e suas aplicações.
I. Elipse
A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é constante. Mais precisamente, no plano da elipse existem dois
pontos F e F’, chamados focos, tais que é constante a soma PF + PF’, onde P é um ponto
genérico da elipse.
Em 1822, o matemático belga G. P. Dandelin demonstrou a propriedade focal da
elipse no caso do cilindro. Usando o mesmo raciocínio empregado, vejamos que isto pode ser
ilustrado imaginando-se uma situação bastante inesperada: Você chega em casa depois da
aula morrendo de fome, abre a geladeira e encontra um pedaço de salame (daqueles que se
parecem com um cilindro circular). Quando vai cortá-lo observa que quanto mais inclinada
estiver a sua faca, maior será sua fatia de salame e também observa que o formato dessa fatia
se parece com uma elipse. Seria mesmo uma elipse? Sim, e é fácil perceber o porquê.
Imaginemos o momento em que o salame ainda estava inteiro e pensemos em um corte
oblíquo que você fez. Consideremos que tangentes à sua faca, de ambos os lados e, tangentes
à parede do salame estão colocadas duas bolas de pingue-pongue, encaixadas perfeitamente
formando círculos paralelos. Observe a figura3:
Considere os pontos F e F’ em que as bolas de pingue-pongue são tangentes ao corte e
seja P um ponto qualquer da borda do corte. Trace por P uma reta paralela ao eixo do salame
que tangenciará as bolas de pingue-pongue em A e B. Como os círculos são paralelos, o
segmento AB tem comprimento constante à medida que P varia na borda do corte. Note que
3
Considere o plano ʌ como sendo o corte feito pela sua faca.
os segmentos PA e PF possuem o mesmo comprimento, pois ambos tangenciam a mesma
bola de pingue-pongue a partir do mesmo ponto P. Do mesmo modo, PB = PF’. Assim:
PF + PF’ =PA + PB = AB = constante;
o que conclui que o formato da fatia é mesmo uma elipse.
Já o caso do cone circular é facilmente ilustrado imaginando-se a seguinte situação:
Você, que já fez seu lanche, resolve estudar para a prova de amanhã. Mas seu quarto é um
pouco escuro e você tem que acender a luminária que está sobre sua mesa. Então, olha para a
forma que tem a zona iluminada da mesa quando inclina a luminária, e novamente faz aquela
pergunta. Será que esta figura é também uma elipse?
Note que a zona de luz é mais ou menos a de um cone de base circular. Com o mesmo
truque de Dandelin vamos mostrar que a figura é mesmo uma elipse. Agora, colocaremos
duas bolas de tamanhos diferentes, tangentes ao cone e ao plano da mesa de um e do outro
lado desta, tal como na figura4:
De maneira análoga à anterior resulta:
PF + PF’ = PA + PB = AB = constante;
independente do raio dessas bolas, já que PF e PA tangenciam a mesma bola, assim como PF’
e PB. Portanto P, que pertence à zona de luz e ao plano da mesa, descreve uma elipse de focos
F e F’, como queríamos demonstrar.
A elipse surge de maneira realmente inesperada em muitas outras ocasiões, como a
seguinte: Você está subindo por uma escada de mão apoiada na parede. Antes de chegar ao
topo, a escada começa a escorregar e com isso você cai no chão. Você sabia que o seu pé, por
exemplo, traçou claramente um pedaço de elipse no ar?
Inacreditável, mas a soma das distâncias do seu pé a dois pontos fixos foi constante
todo o tempo de queda, supondo que você não tenha dado um salto estranho no ar. Com um
pouco de Geometria Analítica podemos mostrar que isto realmente ocorre.
4
Considere o plano da mesa como sendo o plano ʌ da figura.
Supondo que seu pé esteja no ponto negro da escada que vai cair (m e n são fixos, tal
que m>n, e Į se aproxima de zero). Então queremos mostrar que a curva descrita por este
ponto negro da escada é uma elipse. As coordenadas deste ponto são: x = m cos α e
y = nsenα .
Assim, como cos 2 α + sen 2α = 1 , substituindo as coordenadas do ponto obtemos:
x2 y2
+
=1
m2 n2
Para comprovar que isto é uma elipse com centro na origem e focos F e F’, vamos
mostrar que a soma das distâncias do ponto aos focos é constante.
As coordenadas dos focos são da forma F(c,0) e F’(-c,0), com c>0, então devemos
encontrar o valor de c. Temos que os focos são simétricos em relação ao centro que, neste
caso, coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Logo d(O,F) = d(O,F’) =
c.
Seja N um ponto de interseção da elipse com o eixo y, que é o eixo menor desta elipse,
então d(O,N) = n.
Desse modo, por congruência de triângulos segue que d(N,F) = d(N,F’) e, já que N
pertence à elipse temos:
d(N,F) + d(N,F’) = 2m (medida do eixo maior)
d(N,F) + d(N,F) =2m
2d(N,F) = 2m d(N,F) = d(N,F’) = m.
Então, por Pitágoras, considerando o triângulo NOF, temos:
m2 = n2 + c2 c2 = m2 − n2 c = ± m2 − n2 c = m2 − n2 .
Daí segue que as coordenadas dos focos são F( m 2 − n 2 ,0) e F’( − m 2 − n 2 ,0) e a
soma das distâncias do ponto ( m cos α , nsenα ) a F e F’ é:
d1 + d2 =
= (m cos α − m 2 − n 2 ) 2 + (nsenα − 0) 2 + (m cos α + m 2 − n 2 ) 2 + (nsenα − 0) 2 =
= m 2 cos 2 α − 2m cos α m 2 − n 2 + m 2 − n 2 + n 2 sen 2α +
+ m 2 cos 2 α + 2m cos α m 2 − n 2 + m 2 − n 2 + n 2 sen 2α =
= m 2 cos 2 α − 2m cos α m 2 − n 2 + m 2 − n 2 + n 2 (1 − cos 2 α ) +
+ m 2 cos 2 α + 2m cos α m 2 − n 2 + m 2 − n 2 + n 2 (1 − cos 2 α =
= m 2 cos 2 α − 2m cos α m 2 − n 2 + m 2 − n 2 + n 2 − n 2 cos 2 α +
+ m 2 cos 2 α + 2m cos α m 2 − n 2 + m 2 − n 2 + n 2 − n 2 cos 2 α =
= m 2 − 2m cos α m 2 − n 2 + cos 2 α (m 2 − n 2 ) + m 2 + 2m cos α m 2 − n 2 + cos 2 α (m 2 − n 2 ) =
= (m − cos α m 2 − n 2 ) 2 + (m + cos α m 2 − n 2 ) 2 =
= (m − cos α m 2 − n 2 ) + (m + cos α m 2 − n 2 ) = 2m
Como vimos a soma das distâncias do ponto a F e F’ é constante e vale 2m, que é a
medida do eixo maior da elipse. Assim, o semi-eixo maior da elipse é precisamente o que
faltava para você chegar ao final da escada e o semi-eixo menor é a distância da escada que
você já tinha percorrido quando a escada começou a cair.
Outra forma ainda mais inesperada de obter uma elipse é a seguinte: Em uma folha de
papel trace uma circunferência e recorte o círculo. Tome um ponto P qualquer do círculo que
não seja o centro. Dobre o círculo de modo que as bordas passem por P. Desdobre e dobre
várias vezes de modo que se cumpra a mesma condição.
Uma dobra
Outra dobra
Muitas dobras
Desse modo descobriremos que todas as dobras envolvem uma elipse e não é difícil
demonstrá-lo. Considere uma dobra qualquer como a da figura seguinte:
O arco que passa por P é o simétrico do arco AQB em relação à dobra AB. Trace uma
reta perpendicular à dobra AB que passa por P e marque o ponto S interseção da
perpendicular com a circunferência.
Temos então que AB é mediatriz de PS. Unindo C a S encontramos M, interseção de
AB com CS. Resulta então que MP = MS e assim:
MC + MP = MC + MS = raio do círculo.
Assim resulta que M está sobre uma elipse de focos C e P e com eixo maior de comprimento
igual ao raio do círculo.
Além disso, para outro ponto qualquer T de AB tem-se:
TP + TC = TS + TC > CS
(pois o lado CS do triângulo TSC é menor que a soma dos outros dois). Assim T não está na
elipse. Isto é, o único ponto de AB sobre a elipse é M, por outras palavras, AB é tangente à
elipse em M. Isto explica que as dobras envolvam a elipse.
Observando a figura vemos pela congruência dos triângulos PMD e SMD que os
ângulos PMA e AMS são iguais e o ângulo AMS é igual ao ângulo CMB (são o.p.v.), ou seja,
resulta que a tangente AB à elipse, com ponto de tangência M, é a bissetriz exterior do ângulo
que tem M por vértice e lados as semi-retas que vão de M aos focos da elipse. Este fato é o
que chamamos de propriedade bissetora ou refletora da elipse.
Essa propriedade é usada na construção de refletores odontológicos, aparelhos de
emissão de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certos
museus americanos de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos.
A maioria dos dentistas utiliza em seus consultórios uma luminária com espelho
elíptico, obtendo assim duas significantes vantagens: A primeira é concentrar o máximo de
luz onde se está trabalhando e a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o paciente
causando certo desconforto. Isto porque o espelho, sendo elíptico, possui a propriedade de
concentrar os raios luminosos emitidos pela lâmpada em um determinado ponto (propriedade
refletora) que é ajustado pelo dentista.
Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emissão de
raios usados em tratamentos médicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raios
devem destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor.
As salas de sussurros são construídas de forma oval onde são marcados dois pontos no
chão. Duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz
sussurrada, inaudível no restante da sala.
A forma da sala é de fundamental importância. Ao projetá-la, fixam-se dois pontos P e
Q, que ficam na altura da cabeça das pessoas que vão se comunicar. A seguir, toma-se uma
elipse que admita P e Q como focos e, a sala é construída de tal maneira que qualquer plano
que passe por esses pontos intercepte a sala segundo uma elipse congruente com a escolhida.
Pela própria definição de elipse, a soma das distâncias de um ponto da curva aos focos
é constante. Assim, todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos que, ao se refletirem
nas paredes da sala, cheguem ao segundo foco, terão percorrido a mesma distância e, por isso,
chegarão ao mesmo tempo. E a propriedade bissetora, garante que todo som emitido em um
dos focos se dirigirá, após a reflexão, exatamente para o outro foco.
Assim conjugando essas duas propriedades, concluímos que todas as ondas sonoras
emitidas em um dos focos chegarão ao mesmo tempo no outro foco, o que, sem dúvida,
proporciona uma amplificação natural do som, explicando o funcionamento das salas de
sussurros.
A Geometria Analítica tem também um papel importante no desenvolvimento da
astronomia. Johannes Kepler, teólogo e astrônomo alemão, analisando cuidadosamente as
observações realizadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu a forma elíptica
das órbitas dos planetas e formulou as famosas três leis do movimento planetário.
Kepler decidiu calcular a órbita da Terra concentrando-se no planeta Marte. Pela razão
de ser o primeiro dos planetas exteriores, ele se move mais rapidamente em sua órbita,
retornando logo á sua posição inicial, o que facilita o seu estudo.
Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular ela
mais se parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita de
Marte era uma elipse de excentricidade e § 0,093 com o Sol em um dos focos.
Kepler estendeu a todos os planetas do sistema solar a lei da órbita elíptica, a qual
ficou conhecida como sua primeira lei e que assim se enuncia:
“Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”.
e que marcou uma época na história da ciência.
Na II Guerra Mundial, foram utilizados aviões que tinham nas extremidades de suas
asas, arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prendesse ao fato de se obter mais
espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo
melhores performances ao avião em vôo.
II. Parábola
A definição de parábola é dada considerando-se em um plano uma reta d e um ponto
F, não pertencente à d. Desse modo, parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que
são eqüidistantes de F e d. Portanto, na figura abaixo, se PD = PF, então P é um ponto da
parábola de foco F e diretriz d.
Alguma vez, você já associou essa definição a elementos bastante comuns em nosso
dia-a-dia, como as antenas parabólicas, os radares, os fogões solares e os espelhos dos
telescópios ou dos faróis dos carros? Não! Então vamos descobrir como isto acontece.
As antenas parabólicas são utilizadas para captar ondas eletromagnéticas emitidas por
um satélite artificial e convertê-las em um sinal de TV. O feixe de raios emitidos pelo satélite
que atingem a antena será refletido para o foco dessa parábola, onde estará um aparelho
receptor que fará a conversão, permitindo que você assista a filmes, jornais e outros
programas.
Da mesma maneira, os fogões solares captam a energia solar para utilizá-la na cocção
dos alimentos. As propriedades da parábola são de fundamental importância para um bom
desempenho do fogão, pois são elas que garantem a origem de uma zona focal onde toda
radiação incidente no concentrador parabólico converge para este foco onde a temperatura
assume valores necessários para o cozimento dos alimentos.
Já nos faróis de carros o espelho parabólico é utilizado da seguinte maneira: coloca-se
uma lâmpada no foco do espelho parabólico e os raios luminosos emitidos pela lâmpada sobre
o espelho sairão todos paralelos ao eixo que contém o foco e o vértice da superfície
parabólica.
Os radares e os espelhos dos telescópios usam as propriedades da parábola de maneira
similar às citadas anteriormente para a antena parabólica, para os fogões solares e para os
espelhos dos faróis de carros.
Para demonstrar, vamos primeiramente observar que uma parábola separa os demais
pontos do plano em duas regiões: uma onde cada ponto tem distância ao foco menor que sua
distância à diretriz (chamada região interior) e outra onde a distância de cada ponto ao foco é
maior que a distância à diretriz (chamada região exterior).
A figura acima mostra uma parábola de foco F e diretriz d e uma reta r paralela a d
cortando a curva em P e P’. Se o ponto P1 é interior ao segmento PP’, então P1F < PF = PD =
P1D1 e, portanto, P1 é interior à parábola. Por outro lado, se P2 é um ponto da reta r exterior ao
segmento PP’, então P2F > PF = PD = P2D2 e P2 é exterior à parábola.
Nos casos citados consideremos que os raios de luz e que as ondas eletromagnéticas se
propaguem em linha reta. Assim, quando esses sinais são refletidos em um ponto qualquer de
uma superfície tudo se passa como se estivessem sendo refletidos em um plano tangente à
superfície nesse ponto, de acordo com a famosa lei da reflexão: “o ângulo de incidência é
igual ao ângulo de reflexão”.
Desse modo, considere um ponto P qualquer da parábola de foco F e diretriz d, e ainda
a reta t, bissetriz do ângulo FPD. Vamos mostrar geometricamente que t é tangente à
parábola. Observe a figura abaixo:
No triângulo FPD, como PF = PD, a reta t é também mediana e altura. Em outras
palavras, a reta t é mediatriz do segmento FD. Seja agora Q, um ponto qualquer da reta t,
distinto de P. Se D’ é a projeção de Q sobre d, temos:
QF = QD > QD’
Portanto, Q é exterior à parábola, ou seja, o ponto P da reta t pertence à parábola e
todos os outros pontos de t são exteriores. Logo, t é tangente à parábola em P.
Na figura acima, observe a semi-reta PY, prolongamento do segmento DP. Como a
tangente à parábola em P é bissetriz do ângulo FPD, temos que PY e PF fazem ângulos iguais
com essa tangente. Por isso, todo sinal recebido na direção do eixo da parábola toma a direção
do foco após a reflexão e todo sinal que sai do foco da parábola toma direção do eixo após a
reflexão de acordo com as leis da Ótica.
As funções do segundo grau e suas respectivas parábolas aparecem e são fundamentais
nos estudos de balística, ciência que se ocupa do estudo do movimento de projéteis. Supondo
conhecidas as velocidades de um dardo de massa m e o ângulo de elevação, é possível
determinar a equação da trajetória, a qual será uma parábola.
Um fato interessante é que para cada ângulo de elevação podemos construir uma
parábola diferente, e que todas elas estarão dentro de uma outra parábola maior, denominada
parábola de segurança.
Esta parábola de segurança funciona como uma curva localizada no plano cartesiano,
de forma que se uma pessoa localizada na origem do sistema começar a arremessar dardos em
todas as direções, e você estiver fora dessa região parabólica que contém a origem, você
estará seguro, pois nenhum dardo o atingirá.
III. Hipérbole
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias,
em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.
Sua propriedade focal é de grande importância na tecnologia dos telescópios. Vamos
então, mostrar a evolução dos telescópios e como foi importante a utilização dos espelhos
hiperbólicos.
Os telescópios refratores foram os primeiros telescópios a serem construídos. Isso se
deu em 1609, e foi Galileu Galilei o primeiro cientista a utilizá-los em observações
astronômicas. Funcionavam com base na refração da luz, mas suas lentes tinham vários
inconvenientes, como as deformações das imagens e as aberrações cromáticas (decomposição
da luz branca em várias cores).
Esses inconvenientes não existiam nos telescópios refletores, já que estes possuíam um
espelho parabólico no fundo de um tubo. O único problema era que para observar a imagem o
observador teria que estar com seu olho posicionado no foco da parábola, o que é impossível
na prática.
Isaac Newton resolveu esse problema colocando um espelho plano entre o espelho
parabólico e o foco. Isso resolveu o problema anterior, mas trouxe outros inconvenientes, pois
o espelho plano não poderia ficar muito próximo do foco, sob pena da imagem ficar dentro do
tubo; em conseqüência o espelho plano precisava ser de razoável tamanho, o que resultava
num bloqueio significativo da luz incidente no espelho parabólico, que forma a parte principal
do telescópio.
Mas em 1672, o astrônomo francês Cassegrain propôs a utilização de um espelho
hiperbólico em lugar do espelho plano de Newton. Um dos focos da hipérbole coincide com o
foco da parábola e agora os raios que iriam formar imagem no foco da parábola são refletidos
pelo espelho hiperbólico e formarão essa imagem no outro foco da hipérbole.
Para demonstrar que isto realmente acontece, vamos imaginar um espelho refletor
construído com o formato de um ramo de hipérbole, a parte refletora estando do “lado de
fora”, isto é, na sua parte côncava.
Suponhamos que um raio de luz proveniente de um ponto A incida no espelho em P,
como ilustra a figura abaixo, de forma que a reta AP passe pelo foco F’. Então o raio refletido
terá de passar pelo outro foco F. É esta a propriedade que será demonstrada.
Como citamos anteriormente, na reflexão da luz, quando os raios são refletidos em um
ponto qualquer de uma superfície, tudo se passa como se estivessem sendo refletidos em um
plano tangente à superfície nesse ponto de acordo com a famosa lei da reflexão: “o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de reflexão”.
Inicialmente provaremos que a bissetriz do ângulo FPF’ é ao mesmo tempo a tangente
à hipérbole em P.
Seja B um ponto qualquer da bissetriz e sejam F’G ⊥ BP e BP ⊥ NP. Dessa maneira o
triângulo PGF’ é isósceles, visto que o triângulo PHF’ é congruente ao triângulo PHG. Em
conseqüência, o triângulo BGF’ também é isósceles, pois o ponto B pertence à bissetriz BP
que é, neste caso, mediatriz de GF’. Logo, com referência à figura acima, temos:
BF < BG + GF BF – BF’ < BG + GF – BF’;
mas BG = BF’ e PG = PF’, então BF – BF’ < GF.
Como GF = PF – PG = PF – PF’, tem-se que BF – BF’ < PF – PF’. O que significa
que a bissetriz BP só toca a hipérbole em P, o que prova que ela é reta tangente em P. Falta
provar que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Como vimos o triângulo PGF’ é isósceles, segue que os ângulos desse triângulo em G
e F’ são iguais. Mas o ângulo em F’ é igual ao ângulo de incidência APN, por serem
correspondentes; e o ângulo em G é igual ao ângulo NPF por serem alternos internos.
Portanto o ângulo de incidência APN é igual ao ângulo NPF. Disso e da lei de reflexão da luz,
concluímos que este último é realmente o ângulo de reflexão, ficando assim provado que o
raio refletido passa por F.
Essas montagens de Cassegrain somente começaram a ser utilizadas nos telescópios
cerca de um século após terem sido propostas. Desde então passaram a ser largamente usadas,
e hoje em dia estão presentes, não apenas nos telescópios óticos, mas também nos
radiotelescópios.
O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que fica 80 km a
nordeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.
Um outro exemplo de utilização da hipérbole é o sistema de localização de barcos,
denominado por LORAN (LOng RAnge Navigation), o qual faz uso de hipérboles confocais,
onde os radares estão nos focos. A idéia é baseada na diferença de tempo de recepção dos
sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comuns
aos dois pares. O mapa assim construído apresenta curvas hiperbólicas. Essa técnica foi usada
na II Guerra Mundial, para detectar barcos japoneses.
Referências
1. ÁVILA, Geraldo. - A hipérbole e os telescópios. - Revista do Professor de
Matemática, nº34, Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.
2. ÁVILA, Geraldo. - Kepler e a órbita elíptica. - Revista do Professor de Matemática,
nº15, Sociedade Brasileira de Matemática, 1989.
3. BOYER, Carl Benjamin. – História da Matemática. Ed. Edgard Blücher, 1974.
4. GUZMÁN, Miguel de. - Contos com contas. - Tradução: Jaime Carvalho e Silva, 1º
edição, Editora Gradiva, 1991.
5. SILVA, Geni Schulz da. - Por que elipse, parábola e hipérbole. - Revista do Professor
de Matemática, nº7, Sociedade Brasileira de Matemática, 1985.
6. STEINBRUSH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. – Geometria Analítica, 1987.
7. VALLADARES, Renato J. C. - Elipses, sorrisos e sussurros. - Revista do Professor de
8. WAGNER, Eduardo. - Por que as antenas são parabólicas. - Revista do Professor de
9. Alguns sites relacionados.
O Método Húngaro de Otimização para o
Problema da Alocação de Tarefas
Laı́s Bássame Rodrigues∗
Flaviano Bahia P. Vieira†
Edson Agustini‡
Faculdade de Matemática - Famat
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu - MG
Abril de 2005
Resumo
Neste trabalho, apresentamos o estudo de um algoritmo de otimização de um
caso particular de problema de transporte em programação linear: o problema da
alocação de tarefas. O algoritmo é chamado de “Método Húngaro” e foi criado
pelos húngaros D. König e E. Egerváry. Por tratar-se de um método discreto de
otimização, baseado na manipulação de matrizes, no qual não é necessário o uso
de Cálculo Diferencial e Integral, os pré-requisitos são mı́nimos, o que torna sua
compreensão e utilização extremamente acessı́veis.
1
Introdução
Em nossa sociedade, é muito freqüente depararmos com problemas que requerem tomadas
de decisões visando a melhoria da relação custo-benefı́cio por meio da maximização ou
minimização de elementos do problema. Esse tipo de problema forma uma classe especial
de problemas de otimização, ou seja, problemas cuja solução consiste em maximizar ou
minimizar uma função numérica de um determinado número de variáveis (ou funções),
estando estas sujeitas a certas restrições.
Por exemplo: quantidades dadas xij de um determinado produto estão disponı́veis em
cada origem i de um determinado número m de origens (por exemplo, armazéns). Desejamos remeter essas quantidades de produto a cada destino j de um determinado número
n de destinos (por exemplo, mercados varejistas). É conhecido o custo do transporte
cij da quantidade xij de qualquer origem i para qualquer destino j. Considerando que é
possı́vel embarcar de qualquer um dos armazéns para qualquer um dos mercados, estamos
interessados em determinar os itinerários de menor custo dos armazéns aos mercados.
∗
[email protected] Orientanda do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
Matemática (PetMat) de jan/04 a dez/04.
†
[email protected] Orientando do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática
(PetMat) de jan/04 a dez/04.
‡
[email protected] Professor orientador.
O exemplo acima é um tı́pico problema de transporte com mn variáveis e n + m
restrições, estudado e resolvido com técnicas de programação linear. Neste caso, a função
a ser minimizada é
n m
cij xij ,
z (x11 , x12 , ..., xmn ) =
j=1i=1
sujeita às restrições
n
xij ≤ ai
j=1
m
xij = bj
i=1
sendo ai a quantidade de produto disponı́vel na origem i e bj a quantidade do produto
requerida no destino j.
Nosso objetivo neste trabalho é estudar um caso bastante particular de problema de
transporte: os problemas de alocação de tarefas, em que as variáveis xij podem assumir
apenas valores 0 ou 1 (portanto, minimização ou maximização de uma função z discreta);
ai = bj = 1 e n = m.
Um ponto do domı́nio de z, sujeita às restrições do parágrafo acima, corresponde a
uma alocação de tarefas. A imagem de z no referido ponto é o custo da alocação. Quando
uma alocação é efetuada (escolhida) tendo em vista a minimização ou maximização de z,
temos uma alocação ótima de tarefas. A matriz
⎤
⎡
c11 ... c1n
⎥
⎢
C = ⎣ ... . . . ... ⎦
cn1 ... cnn
é chamada de matriz-custo.
Mais adiante redefiniremos esses conceitos baseados apenas na matriz-custo, particularizada para os casos que serão levados em conta nesse trabalho.
Mais especificamente, nas próximas seções, objetivamos trabalhar um método (algoritmo) de otimização discreto sobre a matriz C para problemas de alocação de tarefas
chamado de Método Húngaro. Esse nome teve origem em 1955 devido a H. W. Kuhn,
pesquisador na área de programação linear, que em um de seus trabalhos, [7], fez homenagem aos descobridores do algoritmo em 1931: os húngaros E. Egerváry [4] e D. König,
sendo que este último demonstrou um teorema combinatório em 1916 que serviu de base
para o algoritmo (Teorema de König).
O Método Húngaro pode ser aplicado em diversos problemas práticos de alocação de
tarefas desde que se construa, de forma conveniente, a matriz-custo C com as informações
de que dispomos do problema. A partir de C, após a demonstração de alguns resultados,
o referido algoritmo recursivo de execução é montado e aplicado; podendo, inclusive, ser
implementado computacionalmente, quando o volume de informações do problema for
muito grande.
Algumas situações e problemas são exemplificados no trabalho, dentre os quais alguns
que possuem mais de uma alocação ótima de tarefas.
2
Um Problema de Alocação de Tarefas
Consideremos o seguinte exemplo:
Uma construtora possui três garagens cada qual possui uma escavadeira. As escavadeiras devem ser transportadas para três obras distintas e o custo do transporte de cada
escavadeira para cada obra é dado pela seguinte matriz-custo:
Escavadeira 1
Escavadeira 2
Escavadeira 3
Obra 1
Obra 2
Obra 3
R$ 900,00 R$ 750,00 R$ 750,00
R$ 350,00 R$ 850,00 R$ 550,00
R$ 1.250,00 R$ 950,00 R$ 900,00
Cada possı́vel alocação de tarefas (escavadeira ←→ obra) resulta em um certo custo.
Nosso objetivo é minimizar esse custo. É claro que, nesse exemplo, uma listagem dos seis
custos possı́veis resolveria o problema:
Escavadeira 1 - Obra 1
Total
R$ 900,00
R$ 850,00
R$ 900,00
R$ 2.650,00
Total
R$ 900,00
R$ 550,00
R$ 950,00
R$ 2.400,00
Total
R$ 750,00
R$ 350,00
R$ 900,00
R$ 2.000,00
Total
R$ 750,00
R$ 550,00
R$ 1.250,00
R$ 2.550,00
Total
R$ 750,00
R$ 350,00
R$ 950,00
R$ 2.050,00
Total
R$ 750,00
R$ 850,00
R$ 1.250,00
R$ 2.850,00
No entanto, para matrizes-custo maiores, esse procedimento se torna impraticável.
Observemos que, de acordo com o que descrevemos na Seção “Introdução”, a função
a ser minimizada é
3
3 cij xij
z (x11 , x12 , ..., x33 ) =
j=1i=1
sujeita às restrições:
⎧
⎨ x11 + x12 + x13
x21 + x22 + x23
xij ≤ 1 ⇒
⎩
j=1
x31 + x32 + x33
⎧
⎨ x11 + x21 + x31
3
x12 + x22 + x32
xij = 1 ⇒
⎩
i=1
x13 + x23 + x33
3
≤1
≤1
≤1
=1
=1 .
=1
e
Como xij ∈ {0, 1} , temos que as restrições acima implicam que a matriz [xij ]3×3 deve
possui apenas um “1” em cada linha e em cada coluna. O resto das entradas devem ser
“0”.
A matriz-custo é dada por:
⎤
⎤ ⎡
⎡
900 750 750
c11 c12 c13
C = ⎣ c21 c22 c23 ⎦ = ⎣ 350 850 550 ⎦
1250 950 900
c31 c32 c33
Pelo rastreamento feito acima, z terá valor mı́nimo quando
Escavadeira 1 - Obra 2 ⇒ x12 = 1
e o resto dos xij s são zeros.
Assim,
z (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1) = 900. (0) + 750. (1) + 750. (0)
+ 350. (1) + 850. (0) + 550. (0)
+ 1250. (0) + 950. (0) + 900. (1)
= 2000
é o custo mı́nimo. Notemos também que z é a soma de todas as entradas da “matrizproduto”
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
x11 x21 x31
c11 x11 c12 x12 c13 x13
c11 c12 c13
⎣ c21 c22 c23 ⎦ . ⎣ x12 x22 x32 ⎦ = ⎣ c21 x21 c22 x22 c23 x23 ⎦
c31 c32 c33
x13 x23 x33
c31 x31 c32 x32 c33 x33
Há várias situações onde problemas de otimização discretos aparecem. Além de
maquinário em locais de construção, podemos querer encontrar a melhor distribuição de
trabalhadores em empregos, jogadores em posições no campo, ofertas em leilões e assim
por diante.
Adotando a nomenclatura tarefas e instalações independente da natureza do problema,
para tratar o problema de alocação de tarefas que estamos interessados, é necessário que
haja n tarefas e n instalações. Assim, temos n maneiras de alocar a primeira tarefa, n − 1
maneiras de alocar a segunda tarefa, n − 2 maneiras de alocar a terceira tarefa e assim
por diante. Ou seja, existem n! maneiras distintas de alocar as tarefas às instalações.
3
Algumas Definições e o Teorema da Alocação Ótima
Embora já tenhamos utilizado as nomenclaturas matriz-custo, alocação de tarefas, custo
da alocação e alocação ótima de tarefas na Seção “Introdução” quando citávamos o problema de alocação de tarefas em termos da função z e suas restrições, iremos redefinir esses
termos com o objetivo de, doravante, simplificar as notações e preparar os pré-requisitos
para o Método Húngaro.
Definição
por:
Uma matriz-custo C é definida como sendo uma matriz n × n dada
⎡
⎢
⎢
C=⎢
⎣
⎤
c11 c12 ... c1n
c21 c22 ... c2n ⎥
⎥
..
.. . .
.. ⎥ ,
.
.
.
. ⎦
cn1 cn2 ... cnn
sendo cij ∈ R o custo para alocar à i-ésima instalação a j-ésima tarefa.
Definição
Dada uma matriz-custo C de ordem n, uma alocação de tarefas é um
conjunto de n entradas da matriz tais que não há duas dessas n entradas em uma mesma
linha e nem em uma mesma coluna.
Definição
A soma das n entradas de uma alocação é chamada de custo da alocação.
Uma alocação com o menor custo possı́vel é denominada uma alocação ótima de tarefas.
O problema da alocação de tarefas consiste em encontrar uma alocação ótima a partir
de uma matriz-custo dada.
Teorema (da Alocação Ótima)
Se um número real é somado ou subtraı́do de todas
as entradas de uma linha ou coluna de uma matriz-custo, então uma alocação ótima para
a matriz-custo resultante é também uma alocação de tarefas ótima para a matriz-custo
original.
Demonstração
Seja a matriz n × n:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
C=⎢
⎢
⎢
⎣
c11 c12 ... c1i
c21 c22 ... c2i
..
..
..
..
.
.
.
.
cj1 cj2 ... cji
..
..
..
..
.
.
.
.
cn1 cn2 ... cni
⎤
... c1n
... c2n ⎥
..
.. ⎥
⎥
.
. ⎥
⎥
... cjn ⎥
..
.. ⎥
.
. ⎦
... cnn
.
n×n
Suponhamos que as entradas da alocação ótima da matriz sejam c1k 1 , c2k 2 , ..., cik i , ..., cnk n ,
sendo os ı́ndices 1k , 2k , ..., nk diferentes dois a dois.
Logo, o custo mı́nimo de alocação é a soma de todas as entradas acima, isto é:
S = c1k 1 + c2k 2 + ... + cik i + ... + cnk n .
Adicionando um valor p ∈ R em todas
temos a seguinte matriz:
⎡
c11 c12 ...
⎢ c21 c22 ...
⎢ .
..
..
⎢ .
.
.
⎢ .
D=⎢
c
...
c
⎢ j1 j2
⎢ .
..
..
⎣ ..
.
.
cn1 cn2 ...
as entradas de uma coluna da matriz-custo C,
⎤
c1i + p ... c1n
c2i + p ... c2n ⎥
..
..
.. ⎥
⎥
.
.
. ⎥
⎥
cji + p ... cjn ⎥
..
..
.. ⎥
.
.
. ⎦
cni + p ... cnn
n×n
.
Utilizando as mesmas entradas da alocação ótima da matriz C, temos a seguinte soma:
S + p = c1k 1 + c2k 2 + ... + (cik i + p) + ... + cnk n
e temos, mais uma vez, que essas entradas correspondem a uma alocação ótima. De fato,
qualquer outra seqüência de entradas de D fornece uma soma maior (ou igual) a S + p,
uma vez que, na matriz-custo C a soma mı́nima é S e em D estão sendo somados p s em
todas as entradas de uma coluna.
A demonstração se processa de modo análogo no caso de adicionarmos p ∈ R a todas
as entradas de uma linha de C.
Observemos que se pudermos aplicar o teorema acima em uma matriz-custo n × n de
tal modo a gerar uma matriz-custo que possua todas as entradas não negativas e, mais
ainda, tal que possua n zeros de modo que dois deles não estejam na mesma linha ou
coluna, não teremos dificuldades em achar a alocação ótima que, na última matriz, terá
soma nula. O algoritmo chamado de Método Húngaro para alocação ótima de tarefas
baseia-se nessa idéia.
4
O Método Húngaro
Baseados no teorema da seção anterior, temos o seguinte algoritmo para descobrir uma
alocação ótima para uma dada matriz-custo n × n:
Algoritmo justificado passo a passo.
(1) Subtraia a menor entrada de cada linha de todas as entradas da mesma linha.
Justificativa:
Pelo Teorema da Alocação Ótima, uma alocação ótima na matriz-custo resultante é
alocação ótima na matriz-custo original. Neste passo, estamos criando em cada linha pelo
menos uma entrada zero e, além disso, todas as outras entradas são não negativas.
(2) Subtraia a menor entrada de cada coluna de todas as entradas da mesma coluna.
Justificativa:
Pelo teorema acima, uma alocação ótima na matriz-custo resultante é alocação ótima
na matriz-custo original. Neste passo, estamos criando em cada coluna pelo menos uma
entrada zero e, além disso, todas as outras entradas são não negativas.
(3) Risque um traço ao longo de linhas e colunas de tal modo que todas as entradas zero
da matriz-custo sejam riscadas e utilizando um número mı́nimo de traços.
Justificativa:
Pode haver várias maneiras de realizar esse procedimento. O que é importante é usar
o número mı́nimo de traços que é, obviamente, menor ou igual a n.
(4) Teste de Otimalidade:
(4-i) Se o número mı́nimo de traços necessários para cobrir os zeros é n, então uma
alocação ótima é possı́vel e encerramos o procedimento.
Justificativa:
Esta etapa é central no algoritmo. Provar a afirmação acima é o mesmo que provar
que se n é o número mı́nimo de traços para cobrir todos os zeros da matriz-custo, então
existem n zeros de tal modo que dois deles não estão em uma mesma linha ou coluna
(ou seja, existe uma alocação ótima correspondendo a essas entradas nulas). Esse é o
“Teorema de König” cuja demonstração pode ser encontrada em [7]. Por ser necessário
diversos pré-requisitos de programação linear, iremos omitir sua demonstração.
(4-ii) Se o número mı́nimo de traços para cobrir os zeros é menor que n continue até
o próximo passo.
Justificativa:
Observemos que se o número mı́nimo de traços para cobrir os zeros é menor que n, não
é possı́vel identificar uma alocação ótima na matriz-custo obtida. De fato, uma alocação
ótima em tal matriz será identificada quando existirem n zeros de tal modo que dois deles
não estejam em uma mesma linha ou coluna. Ora, nessas condições, são necessários no
mı́nimo n traços para cobrı́-los.
(5) Determine a menor entrada que não tenha sido riscada. Subtraia essa entrada de
todas as entradas não riscadas e a some a todas as entradas riscadas tanto horizontalmente
quanto verticalmente. Retorne ao passo (3).
Justificativa:
Sejam m o número de linhas e colunas riscadas e a > 0 a menor entrada não riscada.
Pelo teorema acima, podemos somar a a todas as entradas das linhas e colunas riscadas
e subtrair a de todas as entradas. Isso equivale a subtrair a de todas as entradas não
riscadas e somar a a todas as entradas riscadas tanto horizontalmente quanto verticalmente. Notemos ainda que a diferença entre todas as entradas da matriz-custo inicial
desse passo e da matriz-custo final desse passo é − [m (na) − n2 a] = na (n − m) > 0, pois
n > m. Isso garante que a soma das entradas da matriz-custo final desse passo (que é
positiva) está decrescendo, ou seja, haverá uma iteração final nesse algoritmo.
É importante mencionar que para utilizarmos o Método Húngaro três condições têm
que ser satisfeitas:
• O problema tem que ser de minimazação. Para transformar um problema de maximização em um problema de minimização basta que multipliquemos todas as entradas
da matriz-custo por −1.
• A matriz-custo precisa ser quadrada. Caso isso não aconteça, basta criar uma tarefa
ou uma instalação fictı́cia que não interfira no resultado final.
• É aconselhável que, ao utilizarmos softwares, as entradas da matriz-custo sejam
números inteiros, para evitarmos problemas de arredondamento. Em problemas práticos,
caso isso aconteça, basta multiplicar as entradas da matriz por uma potência conveniente
de 10.
5
Exemplos
Exemplo 1 (o problema é de minimização e a matriz-custo é quadrada)
Reconsiderando o exemplo da Seção “Um Problema de Alocação de Tarefas”, temos:
Uma construtora possui três garagens cada qual possui uma escavadeira. As escavadeiras devem ser transportadas para três obras distintas e o custo do transporte de cada
escavadeira para cada obra é dado pela seguinte matriz-custo:
Escavadeira 1
Escavadeira 2
Escavadeira 3
Obra 1
Obra 2
Obra 3
R$ 900,00 R$ 750,00 R$ 750,00
R$ 350,00 R$ 850,00 R$ 550,00
R$ 1.250,00 R$ 950,00 R$ 900,00
Como devemos alocar as escavadeiras (uma em cada obra) de modo a minimizar o
custo?
Resolução
Aplicando o Método Húngaro na matriz custo:
Escavadeira 1
Escavadeira 2
Escavadeira 3
Obra 1
900
350
1250
Obra 2
750
850
950
Obra 3
750
550
900
temos:
Passo 1: subtraı́mos 750 das entradas da primeira linha, 350 das entradas da segunda e
900 das entradas da terceira. O resultado é
Escavadeira 1
Escavadeira 2
Escavadeira 3
Obra 1
150
0
350
Obra 2
0
500
50
Obra 3
0
200
0
Passo 2: subtraı́mos 0 das entradas da primeira coluna, 0 das entradas da segunda e 0
das entradas da terceira. O resultado (neste exemplo) permanece inalterado:
Escavadeira 1
Escavadeira 2
Escavadeira 3
Obra 1
Obra 2
Obra 3
− − 150 − − − − 000 − − − − 000 − −
− − 000 − − − − 500 − − − − 200 − −
− − 350 − − − − 050 − − − − 000 − −
Passos 3 e 4: o número mı́nimo de traços para cobrir todos os zeros da matriz é três.
Logo, existem três zeros, um em cada linha e em cada coluna da matriz, que corresponde
à alocação ótima:
Escavadeira 1
Escavadeira 2
Escavadeira 3
Obra 1
150
0
350
Obra 2
0
500
50
Obra 3
0
200
0
que neste caso é: Escavadeira 1 na Obra 2; Escavadeira 2 na Obra 1 e Escavadeira 3 na
Obra 3, perfazendo o custo mı́nimo de R$ 2.000, 00.
Exemplo 2 (o problema é de maximização e a matriz-custo não é quadrada)
Um
negociante de moedas vai vender quatro moedas raras em um leilão eletrônico. Ele recebe
propostas para cada uma das quatro moedas de cinco interessados, mas estes interessados
também afirmam que podem honrar no máximo uma das propostas. As propostas são
dadas pela seguinte tabela:
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
1
2
3
4
5
Moeda 1
R$ 150, 00
R$ 175, 00
R$ 135, 00
R$ 140, 00
R$ 170, 00
Moeda 2
R$ 65, 00
R$ 75, 00
R$ 85, 00
R$ 70, 00
R$ 50, 00
Moeda 3
R$ 210, 00
R$ 230, 00
R$ 200, 00
R$ 190, 00
R$ 200, 00
Moeda 4
R$ 135, 00
R$ 155, 00
R$ 140, 00
R$ 130, 00
R$ 160, 00
Como o negociante deveria alocar as quatro moedas para maximizar a soma das propostas correspondentes?
Resolução
Para utilizar o Método Húngaro, observamos que duas condições não são satisfeitas:
a “matriz-custo” não é quadrada e esse problema é de maximização. Para resolver esses
problemas, criamos uma moeda fictı́cia (Moeda 5) e uma coluna de “zeros” de modo que
ela não altere o resultado final (observe que quem receber a moeda fictı́cia não estará
recebendo nenhuma moeda real) e multiplicamos as entradas da matriz-custo por −1 de
modo que esse se torne um problema de minimização.
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
1
2
3
4
5
Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Moeda 4 Moeda 5
−150
−65
−210
−135
0
−175
−75
−230
−155
0
−135
−85
−200
−140
0
−140
−70
−190
−130
0
−170
−50
−200
−160
0
Agora, podemos aplicar o Método Húngaro:
Passo 1: Subtraı́mos −210 das entradas da primeira linha, −230 da segunda, −200 da
terceira, −190 da quarta e −200 da quinta.
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
1
2
3
4
5
60
145
0
75
210
55
155
0
85
230
65
115
0
60
200
50
120
0
60
190
30
150
0
40
200
Passo 2: Subtraı́mos 30 das entradas da primeira coluna, 115 da segunda, 0 da terceira,
40 da quarta e 190 da quinta.
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
1
2
3
4
5
Moeda 1
Moeda 2
Moeda 3
Moeda 4
Moeda 5
30
30
00 |
35
20
25
40
00 |
45
40
− − 35 − − − − 00 − − − − 00 | − − − − 20 − − − − 10 − −
− − 20 − − − − 05 − − − − 00 | − − − − 20 − − − − 00 − −
− − 00 − − − − 35 − − − − 00 | − − − − 00 − − − − 10 − −
Passos 3 e 4: Como o número mı́nimo de traços em linhas e colunas usados para riscar
todos os zeros da matriz é inferior a quatro, então ainda não é possı́vel uma alocação
ótima de zeros.
Passo 5: Subtraı́mos 20 (que é a menor entrada não riscada) das entradas não riscadas
e somamos esse valor às entradas riscadas por dois traços.
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Moeda 1
Moeda 2
Moeda 3
Moeda 4
Moeda 5
10
10
00 |
15
00 |
05
20
00 |
25
20 |
− − 35 − − − − 00 − − − − 20 | − − − − 20 − − − − 10 | − −
20
05
20 |
20
00 |
− − 00 − − − − 35 − − − − 20 | − − − − 00 − − − − 10 | − −
1
2
3
4
5
Passos 3 e 4: Mais uma vez o número de traços em linhas e colunas usados para riscar
os zeros é menor que cinco, por isso ainda não é possı́vel uma alocação ótimo de zeros.
Passo 5: Subtraı́mos 5 (que é a menor entrada não riscada) das entradas não riscadas e
somamos 5 às entradas riscadas por dois traços.
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
1
2
3
4
5
Moeda 1
− − 05 − −
− − 00 − −
− − 35 − −
− − 15 − −
− − 00 − −
Moeda 2
− − 05 − −
− − 15 − −
− − 00 − −
− − 00 − −
− − 35 − −
Moeda 3
− − 00 − −
− − 00 − −
− − 25 − −
− − 20 − −
− − 25 − −
Moeda 4
− − 10 − −
− − 20 − −
− − 20 − −
− − 15 − −
− − 00 − −
Moeda 5
− − 00 − −
− − 20 − −
− − 15 − −
− − 00 − −
− − 15 − −
Passos 3 e 4: Como o número mı́nimo de traços usados para riscar os zeros é cinco,
então é possı́vel uma alocação ótima de zeros dada por:
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
Interessado
1
2
3
4
5
0
10
0
5
5
0
15
0
20
20
0
25
20
15
35
0
15
0
20
15
0
35
25
0
15
A alocação ótima de zeros (que não é única) indica que a maior quantia que ele poderia
amealhar seria com a venda da Moeda 1 ao Interessado 2, da Moeda 2 ao Interessado 3, da
Moeda 3 ao Interessado 1 e da Moeda 4 ao Interessado 5 ao passo que ao Interessado 4 não
seria vendida nenhuma moeda. Isso significaria uma soma de R$ 175, 00 + R$ 85, 00 + R$
210, 00 + R$ 160, 00 = R$ 630, 00.
Exemplo 3 (o problema é de maximização e a matriz-custo é quadrada)
Dizem que
o futebol moderno está se tornando cada vez mais técnico ou tático. Excetuando-se
o goleiro, um técnico de um time de futebol pode mudar a escalação dos outros nove
jogadores titulares em nove posições diferentes. O técnico testa os jogadores em cada
posição e classifica-os em uma escala de 0 a 25 para cada uma das posições testadas. O
resultado é a tabela seguinte:
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Jog.1 Jog.2 Jog.3 Jog.4 Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8 Jog.9
20
15
10
10
17
23
25
5
15
10
10
12
15
9
7
8
7
8
12
9
9
10
10
5
7
13
9
13
14
10
15
15
5
8
20
10
12
13
10
15
14
5
9
20
10
15
14
15
16
15
5
10
20
10
7
9
12
12
7
6
7
15
12
5
6
8
8
5
4
5
10
7
5
6
8
8
5
4
5
10
7
Como deveria o técnico escalar os nove jogadores para maximizar o rendimento em jogo?
Resolução
Como este é um problema de maximização, devemos multiplicar as entradas da matriz
por −1 para que este se torne um problema de minimização e possamos utilizar o Método
Húngaro.
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−20 −15 −10 −10 −17 −23 −25 −05 −15
−10 −10 −12 −15 −09 −07 −08 −07 −08
−12 −09 −09 −10 −10 −05 −07 −13 −09
−13 −14 −10 −15 −15 −05 −08 −20 −10
−12 −13 −10 −15 −14 −05 −09 −20 −10
−15 −14 −15 −16 −15 −05 −10 −20 −10
−07 −09 −12 −12 −07 −06 −07 −15 −12
−05 −06 −08 −08 −05 −04 −05 −10 −07
−05 −06 −08 −08 −05 −04 −05 −10 −07
Passo 1: Subtraı́mos −25 de todas as entradas da primeira linha da matriz, −15 da
segunda, −13 da terceira, −20 da quarta, −20 da quinta, −20 da sexta, −15 da sétima,
−10 da oitava e −10 da nona. E assim ficamos com a seguinte matriz:
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
05
10
15
15
08
02
00
20
10
05
05
03
00
06
08
07
08
07
01
04
04
03
03
08
06
00
04
07
06
10
05
05
15
12
00
10
08
07
10
05
06
15
11
00
10
05
06
05
04
05
15
10
00
10
08
06
03
03
08
09
08
00
03
05
04
02
02
05
06
05
00
03
05
04
02
02
05
06
05
00
03
Passo 2: Subtraı́mos 1 de todas as entradas da primeira coluna, 4 da segunda, 2 da
terceira, 0 da quarta, 3 da quinta, 2 da sexta, 0 da sétima, 0 da oitava e 3 da nona.
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
04
06
13
15
05
00
00
20
07
04
01
01
00
03
06
07
08
04
00
00
02
03
00
06
06
00
01
06
02
08
05
02
13
12
00
07
07
03
08
05
03
13
11
00
07
04
02
03
04
02
13
10
00
07
07
02
01
03
05
07
08
00
00
04
00
00
02
02
04
05
00
00
04
00
00
02
02
04
05
00
00
Passo 3: Riscamos todos os zeros da matriz com o menor número de traços possı́vel.
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Jog.1
−04−
−04−
−00−
06
07
04
07
−04−
−04−
Jog.2
−06−
−01−
−00−
02
03
02
02
−00−
−00−
Jog.3
−13−
−01−
−02−
08
08
03
01
−00−
−00−
Jog.4
−15−
−00−
−03−
05
05
04
03
−02−
−02−
Jog.5
−05−
−03−
−00−
02
03
02
05
−02−
−02−
Jog.6
−00−
−06−
−06−
13
13
13
07
−04−
−04−
Jog.7
−00−
−07−
−06−
12
11
10
08
−05−
−05−
Jog.8
−| 20−
−| 08−
−| 00−
| 00
| 00
| 00
| 00
−| 00−
−| 00−
Jog.9
−| 07−
−| 04−
−| 01−
| 07
| 07
| 07
| 00
−| 00−
−| 00−
Passos 4 e 5: Como o número de traços em linhas e colunas que cobrem zeros é menor
que nove, devemos sutrair 1, que é a menor entrada não riscada, de todas as entradas não
riscadas e somar 1 às entradas riscadas por dois traços. Em seguida, riscamos todos os
zeros da matriz com o menor número de traços possı́vel.
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Jog.1 Jog.2
Jog.3
−04− −| 06− −| 13−
−04− −| 01− −| 01−
−00− −| 00− −| 02−
05
| 01
| 07
06
| 02
| 07
03
| 01
| 02
06
| 01
| 00
04
| 00
| 00
04
| 00
| 00
Jog.4
−15−
−00−
−03−
04
04
03
02
02
02
Jog.5
−05−
−03−
−00−
01
02
01
04
02
02
Jog.6
−00−
−06−
−06−
12
12
12
06
04
04
Jog.7 Jog.8
Jog.9
−00− −| 21− −| 08−
−07− −| 09− −| 05−
−06− −| 01− −| 02−
11
| 00
| 07
10
| 00
| 07
09
| 00
| 07
07
| 00
| 00
05
| 01
| 01
05
| 01
| 01
Passos 3, 4 e 5: O número de traços ainda é menor que nove, por isso devemos continuar
o processo: subtraı́mos as entradas não riscadas por 1, somamos 1 às entradas riscadas
por dois traços e riscamos os zeros novamente.
Pos.1
Pos.2
Pos.3
Pos.4
Pos.5
Pos.6
Pos.7
Pos.8
Pos.9
Jog.1 Jog.2
Jog.3
−04− −| 07− −| 14−
−04− −| 02− −| 02−
−00− −| 01− −| 03−
04
| 01
| 07
05
| 02
| 07
02
| 01
| 02
05
| 01
| 00
03
| 00
| 00
03
| 00
| 00
Jog.4 Jog.5 Jog.6
−15− −| 05− −00−
−00− −| 03− −06−
−03− −| 00− −06−
03
| 00
11
03
| 01
11
02
| 00
11
01
| 03
05
01
| 01
03
01
| 01
03
Jog.7 Jog.8
Jog.9
−00− −| 22− −| 09−
−07− −| 10− −| 06−
−06− −| 02− −| 03−
10
| 00
| 07
09
| 00
| 07
08
| 00
| 07
| 00
| 00
06
04
| 01
| 01
04
| 01
| 01
Passo 3, 4 e 5: Conseguimos riscar os zeros com oito traços. Assim, continuamos
subtraindo as entradas não riscadas por 1 e somando 1 às entradas não riscadas. Depois,
riscamos os zeros.
Jog.1
Jog.2
Jog.3
Jog.4
Jog.5 Jog.6 Jog.7 Jog.8
Jog.9
Pos.1 −| 04− −| 08− −| 15− −| 15− −| 06− −00− −00− −| 23− −| 10−
Pos.2
| 04
| 03
| 03
| 00
| 04
06
07
| 11
| 07
Pos.3
| 00
| 02
| 04
| 03
| 01
06
06
| 03
| 04
Pos.4
| 03
| 01
| 07
| 02
| 00
10
09
| 00
| 07
Pos.5
| 04
| 02
| 07
| 02
| 01
10
08
| 00
| 07
Pos.6
| 01
| 01
| 02
| 01
| 00
10
07
| 00
| 07
| 00
| 00
| 03
04
05
| 00
| 00
Pos.7
| 04
| 01
Pos.8
| 02
| 00
| 00
| 00
| 01
02
03
| 01
| 01
Pos.9
| 02
| 00
| 00
| 00
| 01
02
03
| 01
| 01
Passos 3, 4 e 5: O número de traços que cobrem os zeros ainda é inferior a nove, então
subtraı́mos 2 das entradas não riscadas e somamos esse valor às entradas riscadas por dois
traços e, em seguida, riscamos os zeros.
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Jog.1
−06−
−04−
−00−
03
04
01
−04−
−02−
−02−
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Jog.2
−10−
−03−
−02−
01
02
01
−01−
−00−
−00−
Jog.3
−17−
−03−
−04−
07
07
02
−00−
−00−
−00−
Jog.4
−17−
−00−
−03−
02
02
01
−00−
−00−
−00−
Jog.5
−| 08−
−| 04−
−| 01−
| 00
| 01
| 00
−| 03−
−| 01−
−| 01−
Jog.6
−00−
−04−
−04−
08
08
08
−02−
−00−
−00−
Jog.7
−00−
−05−
−04−
07
06
05
−03−
−01−
−01−
Jog.8
−| 25−
−| 11−
−| 03−
| 00
| 00
| 00
−| 00−
−| 01−
−| 01−
Jog.9
−12−
−07−
−04−
07
07
07
−00−
−01−
−01−
Passo 3, 4 e 5: O número de traços que cobrem os zeros ainda é inferior a nove, então
subtraı́mos 1 das entradas não riscadas e somamos esse valor às entradas riscadas por dois
traços e, em seguida, riscamos os zeros.
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Jog.1
−06−
−04−
−00−
−02−
−03−
−00−
−04−
−02−
−02−
Jog.2
−10−
−03−
−02−
−01−
−01−
−00−
−01−
−00−
−00−
Jog.3
−17−
−03−
−04−
−06−
−06−
−01−
−00−
−00−
−00−
Jog.4
−17−
−00−
−03−
−01−
−01−
−00−
−00−
−00−
−00−
Jog.5
−09−
−05−
−02−
−00−
−01−
−00−
−04−
−02−
−02−
Jog.6
−00−
−04−
−04−
−07−
−07−
−07−
−02−
−00−
−00−
Jog.7
−00−
−05−
−04−
−06−
−05−
−04−
−03−
−01−
−01−
Jog.8
−26−
−12−
−04−
−00−
−00−
−00−
−01−
−02−
−02−
Jog.9
−12−
−07−
−04−
−06−
−06−
−06−
−00−
−01−
−01−
Passos 3 e 4: Agora, o número mı́nimo de traços utilizados para riscar todos os zeros
da matriz é nove e, pelo Método Húngaro, é possı́vel uma alocação ótima de zeros (não
única) dada abaixo:
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
Posição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
26
12
6
10
17
17
9
0
0
5
4
5
12
7
4
3
3
0
2
4
3
2
4
4
4
4
0
7
6
0
6
2
1
6
1
0
6
3
1
6
1
1
7
5
0
1
0
0
7
4
0
6
0
4
1
0
0
4
2
3
1
0
2
0
0
0
2
0
1
2
1
0
1
2
1
2
0
0
0
2
Conclusão: Nesse caso, o treinador deve escalar o jogador 1 na posição 3, o jogador
2 na 6, o jogador 3 na 8, o jogador 4 na 2, o jogador 5 na 4, o jogador 6 na 9, o jogador
7 na 1, o jogador 8 na 5 e o jogador 9 na 7. Escalando o time desse jeito o técnico terá o
melhor rendimento do time.
Referências
[1] Anton, H & Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8a. ed. Porto Alegre:
Editora Bookman, 2001.
[2] Bertsimas, D. & Tsitsiklis, J. N. Introduction to Linear Optimization. BelmontMassachussets: Athena Scientific, 1997.
[3] Bodrini, J. L.; Costa, S. I. R.; Figueiredo, V. L. & Wetzler, H. G. Álgebra
Linear. 3a. ed. São Paulo: Editora Harbra, 1980.
[4] Egervary, E. “On Combinatorial Properties of Matrices”. In: Matematikaés Fizikai
Lapok, vol. 38, 1931; translated as “On Combinatorial Properties of Matrices” by H. W.
Kuhn, Office of Naval Research Logistics Project Report, Department of Mathematics,
Princeton University, Princeton, NJ, 1953.
[5] Gass, S. I. Linear Programming: methods and applications. 5th . ed. New York: Mc
Graw-Hill, 1985.
[6] Hadley, G. Programação Linear. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1982.
[7] Kuhn, H. W. “The Hungarian Method for the Assignment Problem”. In: Naval
Research Logistics Quarterly, vol. 2, n. 1 e 2, 1955, pp. 83-97.
[8] Lipschutz S. Álgebra Linear. 3a. ed. (Coleção Schaum). São Paulo: Editora Makron
Books, 1994.
[9] Prado, D. Programação Linear. 3a . ed. Belo Horizonte: Editora DG, 2003.
Ideais em anéis comutativos
Cecı́lia Pereira de Andrade∗ e Cı́cero Carvalho†
Universidade Federal de Uberlândia - UFU
38408-100, Uberlândia - MG
Abril - 2005
Resumo
Nesse trabalho, apresentamos alguns resultados da teoria de ideais em anéis comutativos com unidade. Depois de uma recordação dos conceitos de anéis e ideais,
estudamos ideais primos, maximais, o nilradical, o radical de Jacobson, o ideal quociente e o radical. Finalizamos o trabalho com resultados sobre ideais primários.
Palavras-chaves: Anéis comutativos, ideais, nilradical, ideal de Jacobson, ideais
primários
Definição 1 Um anel A é um conjunto não vazio com duas operações binárias (adição
e multiplicação) tal que:
i) A é um grupo abeliano com relação à adição (e assim, A tem um elemento neutro,
denotado por 0, e todo x ∈ A tem um inverso aditivo, denotado por −x).
ii) A multiplicação é associativa (ou sejam (xy)z = x(yz)) e distributiva com relação à
adição (ou seja, x(y + z)) = (xy + xz), (y + z)x = yx + zx). Nós consideraremos somente
anéis comutativos e com unidade.
iii) xy = yx, para todo x, y ∈ A.
iv) Existe 1 ∈ A tal que x∗1 = 1∗x = x para todo x ∈ A. Pode-se mostrar que o elemento
unidade é único.
Definições 2 : i)Dizemos que um elemento x ∈ A é um divisor de zero se existe y = 0
em A tal que xy = 0.
ii)Um anel com nenhum divisor de zero diferente de zero ( e onde 1 = 0) é chamado
domı́nio de integridade.
iii) Um elemento x ∈ A é nilpotente se xn = 0 para algum n > 0.
iv) Uma unidade em A é um elemento x que “divide 1”, i.e., um elemento x tal que
xy = 1 para algum y ∈ A.
v) Um ideal p em A é primo se p = (1) e se xy ∈ p =⇒ x ∈ p ou y ∈ p.
vi) Um ideal m em A é maximal se m = (1) e se não existe um ideal a tal que m a (1).
∗
†
Orientada de Iniciação Cientı́fica - FAPEMIG. Email: [email protected]
Professor orientador. Email: [email protected]
Lema 3 : p é primo ⇐⇒ A/p é um domı́nio de integridade.
Prova: (=⇒) Se ā e b̄ são elementos de A/p e o produto dos dois é igual a 0̄ então a.b
é um elemento de p; como p é primo, temos que ter a em p ou b em p. Então ā = 0̄ ou
b̄ = 0̄, mostrando que A/p é domı́nio.
(⇐=) Se p não for primo, então p = a.b, com 1 < a.b < p. Assim, ā.b̄ = 0̄ em A/p com
ā = 0̄ e b̄ = 0̄. Logo A/p não é de integridade. Lema 4 : m é maximal ⇐⇒ A/m é um corpo.
Prova: (=⇒) Seja Ā um elemento de A/m distinto de 0̄, então a não está em m e logo o
menor ideal que contém m e a já é o anel todo (pois m é maximal). Note que, dado um
ideal I e um elemento b de A, o menor ideal que contém I e b é exatamente o conjunto
dos elementos da forma rb + c, com r ∈ A e c ∈ I.
(Seja b + I um elemento não nulo de A, então b ∈
/ I e o ideal I+ < b > contém o ideal I
e é diferente de I, então o menor ideal que contém I e b é c + rb, com r ∈ A e c ∈ I.)
Temos então que 1 = ra + c, para algum r ∈ A e c ∈ m, e, “passando barra”nessa
igualdade, temos 1̄ = r̄.ā ou seja, a é invertı́vel, o que mostra que A/m é corpo.
(⇐=) Suponha que A/m é um corpo e seja m um ideal de A tal que m ⊂ m e m = m .
/ m. Então x + m = 0 em A/m. Logo existe y + m ∈ A/m
Existe x ∈ m tal que x ∈
tal que (x + m)(y + m) = 1 + m; daı́ vem que (xy) + m = 1 + m e então devemos ter
xy − 1 ∈ m ⊂ m . Como x ∈ m temos que xy ∈ m e então 1 = (xy + 1) − (xy) ∈ m .
Logo m = A e portanto m é maximal. Lema 5 : O ideal zero é primo ⇐⇒ A é um domı́nio de integridade.
Prova: (=⇒) Se xy ∈ 0 então x ∈ 0 ou y ∈ O. Assim, x = 0 ou y = 0. Portanto A é um
domı́nio de integridade.
(⇐=) Se xy ∈ A então x = 0 ou y = 0. Assim, x ∈ o ou y ∈ 0. Portanto o ideal zero é
primo. Se f : A → B é um homomorfismo de anéis e q é um ideal primo em B, então
f é um ideal primo em A, pois A/f −1 (q) é isomorfo a um subanel de B/q e logo não
existem divisores de zero diferentes de zero. Mas se n é um ideal maximal de B não é
necessariamente verdadeiro que f −1 (n) é maximal em A. Para ver um exemplo, tome
A = Z, B = Q, n = 0.
Ideais primos são fundamentais em toda a álgebra comutativa. O seguinte teorema e
o seu corolário garante que sempre há uma quantidade suficiente deles.
−1
Teorema 6 : Todo anel A = 0 tem pelo menos um ideal maximal.
Prova: Este é um modelo de aplicação do Lema
de
Zorn.
Seja
o conjunto de todos
os ideais
pela inclusão.
é não vazio,
diferentes de (1) em A. Ordenaremos
já que
0 ∈ . Para aplicar
o
lema
de
Zorn
nós
mostraremos
que
toda
cadeia
em
tem um
que para cada par de
limite superior em ; seja então (aα ) uma cadeia de ideais em
/a
ı́ndices α, β nós temos aα ⊆ aβ ou aβ ⊆ aα . Seja a = ∪α aα . Então a é um ideal e 1 ∈
porque 1 ∈
/ aα para todo α. Então a ∈ , e a é um limite superior da cadeia. Então pelo
lema de Zorn
tem um elemento maximal.
Lema de Zorn: Seja S um conjunto não-vazio parcialmente ordenado (i.e., dada a relação
x ≤ y em S que é reflexiva e transitiva e tal que x ≤ y e y ≤ x juntos implicam x = y).
Um subconjunto T de S é uma cadeia se x ≤ y ou y ≤ x para cada par de elementos x, y
em T .
Então o lema de Zorn pode estabelecer o seguinte: se cada cadeia T de S tem um
limite superior em S (i.e., se existe x ∈ S tal que t ≤ x, par todo t ∈ T ) então S tem ao
menos um elemento maximal. Corolário 7 : Se a = (1) é um ideal de A, então existe um ideal maximal de A contendo
a.
Corolário 8 : Toda não-unidade de A está contida em um ideal maximal.
Observações:
1) Se A é Noetheriano nós podemos evitar o uso do lema de Zorn: o conjunto de todos
os ideais diferentes de (1) tem um elemento maximal.
2) Existem anéis com exatamente um ideal maximal, por exemplo corpos.
Definição 9 : Um anel A com exatamente um ideal maximal m é chamdado anel local.
O corpo K = A/m é chamado de corpo de resı́duos de A.
Teorema 10 :
i) Seja A um anel e m = (1) um ideal de A tal que todo x ∈ A − m é uma unidade em A.
Então A é um anel local e m seu ideal maximal.
ii) Seja A um anel e m um ideal maximal de A, tal que todo elemento de 1 + m (i.e., todo
1 + x, onde x ∈ m) é uma unidade em A. Então A é um anel local.
Prova: i) Todo ideal diferente (1) é formado por não-unidades, então está contido em m.
Então m é o único ideal maximal de A. Portanto A é um anel local.
ii) Seja x ∈ A − m. Se m é maximal, o ideal gerado por x e m é (1), então existe y ∈ A e
t ∈ m tal que xy + t = 1, então xy = 1 − t pertence a 1 + m e portanto é uma unidade.
Agora, use i). Definição 11 : Um anel com somente um número finito de ideais maximais é chamado
semi-local.
Exemplos:
1) A=K[x1 , ..., xn ], k um corpo. Seja f ∈ A um polinômio irredutı́vel. Pela fatoração
única, o ideal (f ) é primo.
2) A = Z. Todo ideal em Z é da forma (m) para algum m = 0. O ideal (m) é primo
se e somente se m = 0 ou um número primo. Todos os ideais (p), onde p é um primo, são
maximais: Z/(p) é o corpo de p elementos.
O mesmo acontece no ex. 1) para n = 1, mas não para n > 1. O ideal m de todos os
polinômios em A = K[x1 , ..., xn ] com o termo constante zero é maximal (desde que seja o
núcleo do homomorfismo A −→ K que leva f ∈ A em f (0)). Mas se n > 1, m não é um
ideal principal: de fato, isto requer pelo menos n geradores.
3) Um domı́nio de ideais principais é um domı́nio de integridade onde todo ideal é
principal. Em tal anel todo ideal primo não nulo é maximal. Se (x) = 0 é um ideal primo
e (y) ⊃ (x), temos x ∈ (y), digamos x = yz, e assim yz ∈ (x) e y ∈
/ (x), então z ∈ (x),
digamos z = tx. Então x = yz = ytx e assim yt = 1 e portanto (y) = (1).
Teorema 12 : O conjunto N de todos os elementos nilpotentes em um anel A é um ideal,
e A/N não tem elemento nilpotente diferente de zero.
Prova: Se x ∈ N, claramente ax ∈ N para todo a ∈ A. Seja x, y ∈ N, digamos xm = 0,
y n = 0. Pelo teorema binomial (que é válido em todo anel comutativo), (x + y)m+n−1 é
uma soma de inteiros múltiplos de produtos xr .y s , onde r + s = m + n − 1; não podemos
ter tanto r < m quanto s < n, portanto cada produto desses desaparece e portanto
(x + y)m+n−1 = 0. Então x + y ∈ N e portanto N é um ideal.
Seja x̄ ∈ A/N, se x̄n = 0 temos xn ∈ N, portanto (xn )k = 0 para algum k > 0 e logo
xnk = 0 e daı́ x ∈ N, ou seja x̄ = 0. O ideal N é chamado de nilradical de A. A seguinte proposição dá uma definição
alternativa de N.
Teorema 13 : O nilradical de A é a interseção de todos os ideais primos de A.
Prova: Seja N a interseção de todos os ideais primos de A. Se f ∈ A é nilpotente e se
p é um ideal primo, então f n = 0 ∈ p para algum n > 0, portanto f ∈ p (porque p é
primo). Então f ∈ N .
Inversamente, suponha que f não é nilpotente.
Seja
o conjunto de ideais
a com a
/ a. Então
não
é
vazio
porque
0
∈
. Como em
propriedade: se n > 0, então f n ∈
(2) o lema de Zorn pode ser aplicado ao conjunto , ordenado por
inclusão, e portanto
tem um elemento maximal. Seja p um elemento maximal de . Mostraremos que p
é um ideal primo. Seja x, y ∈
/p. Então os ideais p + (x), p + (y) contém estritamente p
(y) para algum m, n.
e portanto não pertencem a ; portanto f m ∈ p + (x), f n ∈ p +
e portanto xy ∈
/ p.
Segue que f m+n ∈ p + (xy), então o ideal p + (xy) não está em
Assim, nós temos um ideal primo p tal que f ∈
/ p, então f ∈
/ N. Definição 14 : O Radical de Jacobson R de A é definido como a interseção de todos
os ideais maximais de A.
Ele pode ser caracterizado como segue.
Teorema 15 : x ∈ R ⇐⇒ 1 − xy é uma unidade em A para todo y ∈ A.
Prova: (=⇒) Suponha que 1 − xy não é uma unidade. Por (1.5) 1 − xy pertence a algum
ideal maximal m; mas x ∈ R ⊆ m, então xy ∈ m e portanto 1 ∈ m, que é absurdo.
(⇐=) Vamos fazer por absurdo. Suponha que x ∈ R. Então x ∈
/ m para algum ideal
maximal m. Então m e x geram o ideal unidade (1), assim temos u + xy = 1 pára algum
u ∈ m e algum y ∈ A. Então 1 − xy ∈ m e portanto não é uma unidade. Se a, b são ideais em um anel A, seu ideal quociente é
(a : b) = {x ∈ a : xb ⊆ a}
que é um ideal. Sejam x1 , x2 ∈ (a : b). Se x1 ∈ A, x2 ∈ A então x1 .b ⊆ a e x2 .b ⊆ a.
Então, (x1 + x2 ).b ⊆ a, ∀b ∈ b.
Sejam y ∈ A e x ∈ (a : b). Devemos mostrar que y.x.b ∈ a, ∀b ∈ b. Se xb ∈ a então
y.(xb) ∈ a. Portanto a é ideal.
Em particular, (0 : b) é chamado anulador de b e é também denotado por Ann(b). É
o conjunto de todo x ∈ A tal que xb = 0. Nesta notação, o conjunto de todos os divisores
de zero em A é D = Ux=0 Ann(x).
Se b é um ideal principal (x), escrevemos (a : x) no lugar de (a : (x)).
Exemplo: Se A = Z, a = (m), b = (n), onde m = p pμp , n = p pυp , p primo, então
(a : b) = (q), onde q = p pγp e γp = max(μp − υp ).
Portanto q=m/(m, n), onde (m, n) é o mdc de m e n.
Assim, se a = (310 .58 .79 ); b = (35 .5); (a : b) = (35 .57 .79 ).
Definição 16 Se a é algum ideal de A, o radical de a é r(a) = {x ∈ A : xn ∈ a} para
algum n > 0.
Se ϕ : A → A/a é o homomorfismo natural, então r(a) = ϕ−1 (NA/a) e portanto r(a)
é um ideal.
(⇒) Se A → A/a, x → x̄ então x ∈ r(a). Assim, existe n tal que xn ∈ a. Logo,
x¯n = x̄n = 0̄. Portanto x̄ ∈ NA/a.
(⇐) x ∈ ϕ−1 (NA/a) ⇔ ϕ(x) = x̄ ∈ NA/a ⇔ existe n tal que x̄n = 0̄ ⇔ x¯n = 0̄ ⇔ xn ∈
a ⇔ x ∈ r(a).
Lema 17 Sejam a e b ideiais em um anel A.
i) se a ⊂ b então r(a) ⊂ r(b).
ii) r(∩ni=1 ai ) = ∩ni=1 r(ai )
Prova:
i) Seja x ∈ r(a). Então xn ∈ a, para algum n > 0. Como por hipótese a ⊂ b temos
que xn ∈ b para algum n > 0 e assim, pela definição de radical, x ∈ r(b). Portanto
r(a) ⊂ r(b).
ii) Seja x ∈ r(∩ni=1 ai ). Então xn ∈ ∩ni=1 ai , logo xn ∈ ai para todo i = 1, . . . , n e pela
definição de radical x ∈ r(ai ). Portanto x ∈ ∩ni=1 r(ai ), o que verifica a igualdade. Teorema 18 O radical de um ideal a é a interseção de ideais primos que contém a.
Mais geralmente podemos definir o radical r(E) de algum subconjunto E de A do
mesmo modo. Ele não é um ideal em geral. Nós temos r(∪α Eα ) = ∪r(Eα ), para qualquer
famı́lia de subconjuntos Eα de A.
Teorema 19 O
∪x=0 r(Ann(x)).
conjunto
D
de
divisores
de
zero
de
A
é
igual
a
Prova: D = r(D) = r(∪x=0 Ann(x)) = ∪x=0 r(Ann(x)). Teorema 20 Sejam a e b ideais em um anel A tal que r(a) e r(b) são primos entre si.
Então a e b são primos entre si.
Prova: r(a + b) = r(r(a) + r(b)) = r(1) = (1), então a + b = (1). Definição 21 Um ideal q em um anel A é primário se q = A e se xy ∈ q então x ∈ q
ou y n ∈ q para algum n > 0.
Em outras palavras, q é primário se e somente se A/q = 0 e todo divisor de zero em
A/q é nilpotente.
Claramente todo ideal primo é primário (neste caso temos n = 1). Também a contração
de um ideal primário é primário. De fato, seja f : A −→ B um homomorfismo de anéis,
onde J ⊂ B é um ideal primário. Pela hipótese, J é um ideal primário de B logo se
xy ∈ J então x ∈ J ou y n ∈ J. Seja I = f −1 (J) ⊂ A. Então
ab ∈ f −1 (J) ⇒ f (a).f (b) = f (ab) ∈ J ⇒ f (a) ∈ J ou f (b)n ∈ J ⇒ a ∈ f −1 (J) ou
f (bn ) ∈ J ⇒ bn ∈ f −1 (J).
Portanto a contração qc de um ideal primário q é um ideal primário. Se f : A −→ B e se
q é um ideal primário em B, então A/qc é isomorfo a um subanel de B/q.
Teorema 22 : Seja q um ideal primário em um anel A. Então r(q) é o menor ideal
primo contendo q.
Prova: Pelo teorema 18 é suficiente mostrar que p = r(q) é primo. Seja xy ∈ r(q), então
(xy)m ∈ q para algum m > 0, e portanto também xm ∈ q ou y mn ∈ q para algum n > 0,
isto é, x ∈ r(q) ou y ∈ r(q). Se p = r(q) então q é dito ser p-primário.
Exemplos:
1) Os ideias primários em Z são (0) = 0 e (pn ), onde p é primo. Estes são os únicos
ideais em Z com radical primo e é fácil de checar que são primários.
2) Sejam A = k[x, y] e q = (x, y 2 ). Então A/q = k[x, y]/(x, y 2 ) ∼
= k[y]/(y 2 ), onde
os divisores de zero são todos os múltiplos de y, portanto são nilpotentes. Portanto q
é primário, e seu radical p é (x, y). Temos p2 ⊂ q ⊂ p, logo um ideal primário não é
necessariamente uma potência de um ideal primo.
3) Inversamente, uma potência de um primo pn não é necessariamente primária, embora seu radical seja o ideal primo p. Por exemplo, seja A = k[x, y, z]/(xy − z 2 ) e
sejam x̄, ȳ, z̄ as imagens de x, y, z respectivamente em A. Então p = (x̄, z̄) é primo (já que
A/p ∼
= k[y] é um domı́nio de integridade); temos x̄ȳ = z̄ 2 ∈ p2 mas x̄ = p2 e ȳ = r(p2 ) = p,
portanto p2 não é primário. Contudo, há o seguinte resultado.
Teorema 23 Se r(a) é maximal, então a é primário. Em particular, as potências de
um ideal maximal m são m-primárias.
Prova: Seja r(a) = m. A imagem de m em A/a é o nilradical de A/a, portanto A/a tem
somente um ideal primo, pelo teorema 13. Portanto todo elemento de A/a é também ou
uma unidade ou nilpotente, e então todo divisor de zero em A/a é nilpotente. Lema 24 Se qi (1 ≤ i ≤ n) são p-primários, então q = ∩ni=1 qi é p-primário.
Prova: Seja xy ∈ q e suponha que y = q. Então y ∈ qi para algum i. Logo xn ∈ qi e
assim x ∈ p = r(q). Portanto xm ∈ q, o que mostra que q é p-primário. Lema 25 Seja q um ideal p-primário, x um elemento de A. Então:
i) se x ∈ q então (q : x) = (1);
ii) se x = q então (q : x) é p-primário, e portanto r(q : x) = p;
iii) se x = p então (q : x) = q.
Prova:
i) Seja a ∈ A, então ax ∈ q, pois x ∈ a. Portanto, (q : x) = (1).
ii) Para vermos que r(q : x) = p observe que se y ∈ (q : x) então xy ∈ q, portanto (como
x = q ⇒ y n ∈ q) temos y ∈ p. Portanto q ⊆ (q : x) ⊆ p; tomando radicais, temos
r(q : x) = p, pois p é primo. Para mostrar que (q : x) é p-primário, seja yz ∈ (q : x) com
y = p; então xyz ∈ q, portanto xz ∈ q e pela definição de ideal quociente z ∈ (q : x).
iii) A inclusão (q : x) ⊃ q é clara. Seja agora y ∈ (q : x), temos que yx ∈ q logo y ∈ q ou
/ p = r(q) logo temos que ter y ∈ q. xn ∈ q, mas x ∈
Definição 26 Uma decomposição primária de um ideal a em A é uma expressão de
a como uma interseção finita de ideais primários, digamos a = ∩ni=1 ai (1) .
Em geral, tal decomposição primária não precisa existir. Se além disso:
(i) os r(qi ) são todos distintos, e
(ii) temos qi ∩j=i qj (1 ≤ i ≤ n)
a decomposição primária (1) é dita ser minimal (ou irredundante, ou reduzida, ou normal). Pelo lema 24 podemos satisfazer (i) e então podemos omitir quaisquer termos
supérfluos para satisfazer (ii); então qualquer decomposição primária pode ser reduzida
a uma minimal.
Definição 27 Diremos que a é decomponı́vel se tem uma decomposição primária.
Teorema 28 Seja a um ideal decomponı́vel e seja a = ∩ni=1 qi uma decomposição primária
minimal de a. Sejam pi = r(qi )(1 ≤ i ≤ n). Então os pi ’s são precisamente os ideais
primos que ocorrem no conjunto de ideais r(a : x)(x ∈ A), e portanto são independentes
da decomposição particular de a.
Prova: Para qualquer x ∈ A temos (a : x) = (∩qi : x) = ∩(qi : x), pelo lema 17, portanto
r(a : x) = ∩ni=1 r(qi : x) = ∩x=qj pj pelo lema anterior. Suponha que r(a : x) seja primo;
então temos r(a : x) = pj , para algum j. Portanto cada ideal primo da forma r(a : x)
é um pj . Inversamente, para cada i exite xi = qi , xi ∈ ∩j=i qi , já que a decomposição é
minimal e temos então r(a : xi ) = pi . Observações:
1) A prova acima, associada com a última parte do lema anterior mostra que para cada
i ∈ {1, . . . , n} existe xi ∈ A tal que (a : xi ) é pi -primário.
2) Considerando A/a como um A-módulo, o teorema anterior é equivalente a dizer que
os pi ’s são precisamente os ideais primos que ocorrem como radicais de anuladores de
elementos de A/a.
Exemplo: Seja a = (x2 , xy) em A = k[x, y]. Então a = p1 ∩p2 , onde p1 = (x), p2 = (x, y).
O ideal p22 é primário pelo teorema 23. Então os ideais primos são p1 e p2 . Nesse exemplo,
p1 ⊂ p2 ; temos r(a) = p1 ∩ p2 = p1 , mas a não é um ideal primário.
Referências
[1] MacDonald, I.G.; Atiyah, M.F. - Introduction to Commutative Algebra, AddisonWesley, 1969.
[2] O. Zariski; P. Samuel - Commutative algebra, Volumes I e II, D. van Nostrand Company, Inc., Princeton NJ 1958.
ESTABILIDADE DO PÊNDULO NÃO-LINEAR INVERTIDO
SOB EXCITAÇÃO PARAMÉTRICA
Márcio José Horta Dantas
Professor Orientador
[email protected]
Pablo Hernandes Soares
Aluno Orientando
[email protected]
Faculdade de Matemática – FAMAT
Campus Santa Mônica – Bloco 1F – Sala 1F118
Av. João Naves de Ávila, 2121
38.400-902 – Uberlândia – MG
Telefones: (0xx34) 3239-4235 / 3239-4156
Telefax: (0xx34) 3239-4126
[email protected]
1 - Introdução
Um pêndulo ideal consiste em uma haste rígida sem peso presa em uma
extremidade a um ponto de suspensão O e tendo na outra extremidade uma massa pontual.
Figura 1 – Pêndulo
O objetivo deste trabalho é apresentar uma análise matemática sobre o problema
de estabilidade do pêndulo invertido com dissipação, cujo ponto de suspensão O está
submetido a uma excitação vertical. Na verdade, pretendemos encontrar condições de
excitação no ponto O sob as quais o pêndulo invertido se mantém estável.
Em um sistema dinâmico de origem mecânica, como o pêndulo, o primeiro passo é
encontrar todas as forças que governam o movimento. Com isso, usando a Segunda lei de
Newton, obtemos as equações de movimento que dão uma descrição matemática do
fenômeno.
Inicialmente apresentaremos algumas definições e teoremas, como a definição de
estabilidade segundo Lyapunov e a teoria de Floquet. Após isto, faremos uma análise sobre
um problema mais simples, o pêndulo não-linear, sem amortecimento e sem excitação. Em
seguida a análise será feita sobre o caso completo: o pêndulo invertido não-linear
amortecido e com excitação paramétrica vertical em seu ponto de suspensão.
2 – Alguns Teoremas e Definições
TEOREMA 1 ( Existência, Unicidade de Soluções e Diferenciabilidade em
&
Relação às Condições Iniciais): Seja f : : u R o Rn , com :um subconjunto aberto de Rn,
uma função de classe Cr. Então existe uma aplicação de classe Cr-1 < : / o Rn, onde / é
&
&
um subconjunto aberto de : u R tal que x t < x0 , t é a única solução da equação
&
&
&
dx & &
f x , t com condição inicial x 0 x0 .
dt
&
A aplicação < é denominada de fluxo da função f . Usando este resultado pode&
se mostrar que se f depende diferenciavelmente de um parâmetro, então o fluxo da
equação diferencial ordinária também depende diferenciavelmente do mesmo parâmetro.
Para uma demonstração do teorema 1 ver [3].
&
dx
DEFINIÇÃO 1: Dada a equação
dt
&
& &
f x , t , sendo f : : u R o Rn , com :um
&
subconjunto aberto de Rn, uma função de classe Cr. Um ponto x é dito ponto de equilíbrio
& &
se f x , t 0 , para todo t.
&
DEFINIÇÃO 2: Seja f : : u Ro Rn como na definição anterior, e < o seu fluxo.
&
&
Seja x um ponto de equilíbrio do sistema. Então dizemos que x é assintoticamente
&
&
estável, no sentido de Lyapunov, se existe um W ! 0 tal que y 0 B x ,W , então a
&
&
&
aplicação t o < x , t é definida em toda reta e lim < y 0 , t x t of
0 . O símbolo
x
denota a norma euclidiana do Rn.
TEOREMA 2: Se os autovalores da matriz dos coeficientes de um sistema
linearizado em um ponto de equilíbrio possuem parte real não nula, então na vizinhança
desse ponto o sistema não-linear de dimensão n apresenta um comportamento
topologicamente equivalente ao do sistema linear associado.
Para mais detalhes ver [2] e [3].
Daremos agora alguns resultados e definições da Teoria de Floquet, que é
pertinente a equações diferenciais lineares com coeficientes periódicos.
TEORIA DE FLOQUET: Seja um sistema linear homogêneo n-dimensional
&
dx t dt
&
&
At x t . Esse sistema admite n soluções x j t (j = 1, ..., n) linearmente
independentes. Tais soluções formam um conjunto fundamental, em termos do qual
qualquer outra solução é escrita como uma combinação linear. Esse conjunto pode ser
expresso na forma de uma matriz quadrada ) t de ordem n, chamada de solução matricial
fundamental:
&
&
&
) t >x 1 t x 2 t ...
x n t @.
&
onde x j t (j = 1, ..., n) é uma coluna da matriz.
&
Como o conjunto de soluções ^x j t : j
1, , n` é linearmente independente,
&
&
&
qualquer outra solução pode ser escrita como x t )t k , onde k é um vetor-coluna
constante dado pelas condições iniciais. Além disso também é possível demonstrar que
&
&
&
&
) t é inversível. Como x 0 ) 0 k , então x t )t ) 1 0x 0 .
Considere uma matriz de coeficientes tal que At At T , isto é, os
coeficientes do sistema linear são periódicos de período T. Como
verifica-se que:
&
) t >x 1 t T &
x 2 t T ...
d) t dt
At ) t ,
&
x n t T @
&
é também uma solução matricial fundamental. Cada solução x j t T pode ser escrita
&
como uma combinação linear de x j t , portanto: ) t T ) t M , sendo M uma
matriz quadrada, com coeficientes constantes, de ordem n. Se ) 0 I , sendo I a matriz
identidade de ordem n, a matriz M é chamada de matriz monódroma. Os autovalores U j de
M são chamados de multiplicadores característicos ou multiplicadores de Floquet. Apesar
da escolha de ) não ser única, é possível demonstrar que existe um único conjunto de
multiplicadores de Floquet associado à matriz A. Nota-se que a matriz M é dada por:
M
) 1 t ) t T ) 1 0 ) T ) T sendo que ) 0 ) 1 0 I .
TEOREMA 3 (Lyapunov): Suponhamos que a equação
&
dx
dt
& &
f x , t é periódica
&
com período T e que a solução x t é também periódica de mesmo período T. Se todos os
números característicos da equação
d) t dt
At ) t , como na definição anterior, tem
&
norma menor que 1, a solução x t é assintoticamente estável.
Para uma demonstração destes resultados ver [4].
3 - Problema Físico
3.1 - Equação do Movimento de um Pêndulo Não-Amortecido e Não-Excitado e
Estabilidade do Pêndulo Invertido sob tais condições
No pêndulo ao lado, foram colocados eixos de referência
horizontal (x) e vertical (y) nos sentidos indicados, sendo a
origem O ponto de suspensão do pêndulo. O valor da
massa pontual é m e seu peso, segundo a Lei da
Gravidade, é W = mg e M é o ângulo, em radianos no
sentido anti-horário, entre o eixo-y e a haste, cujo
comprimento é l.
As forças F1 e F2 são decomposições do peso da massa m nas direções tangente e
normal à trajetória. Então:
F1
W sin M ou F1
mg sin M
F2
W cos M ou F2
mg cos M
De acordo com a Segunda Lei de Newton e sendo at
l
d 2M
a aceleração tangencial do
dt 2
pêndulo, segue que:
F1
mg sin M
ml
d 2M
,
dt 2
e dividindo-se a expressão por ml, obtemos a seguinte equação diferencial:
d 2M
2
Z 0 sin M
2
dt
onde Z 0
(1)
0
dM
g
. Fazendo a substituição M T e
dt
l
Z , obtemos o sistema:
dT
° dt Z
,
® dZ
2
°
Z0 sin T
¯ dt
cujo retrato de fases está representado
ao lado.
Figura 2 - Retrato de Fases do Pêndulo Não-Linear
A fim de encontrarmos o tipo de estabilidade do pêndulo
quando M
S é necessário linearizarmos a equação (1) em
relação à solução M
M
S . Para tal, tomamos a equação:
S G\
(2)
Figura 3 - O Pêndulo Invertido
Substituindo (2) na equação (1), temos:
G
d 2\
2
Z 0 sin S G\ 0
2
dt
(3)
dividindo-se esta equação por G , obtemos:
d 2\
2 sin G\ Z0
2
G
dt
0.
(4)
Tomando-se o limite da equação (4) para G o 0 , obtemos:
d 2\
2
Z0 \
2
dt
0.
(5)
Reescrevendo-se a equação (5) como um sistema bi-dimensional a partir das mudanças de
variáveis \
dx
° dt
® dy
°
¯ dt
x,
d\
dt
y , temos:
y
.
2
Z0 x
A matriz dos coeficientes do sistema (6) é:
(6)
ª 0
A « 2
«¬Z 0
1º
»
0»¼
e seus autovalores são O1
Z0 e O2
Z 0 . Como os autovalores são reais e de sinais
contrários a solução nula do sistema (6) é instável. Pelo teorema 2, a solução M
S é
portanto instável. O mesmo resultado pode ser comprovado ao se observar o
comportamento das trajetórias no retrato de fases em S ,0 .
3.2 – Equação do Movimento do Pêndulo Amortecido e Excitado
3.2.1 - Pêndulo Amortecido
O caso do pêndulo não-amortecido pode apenas ser idealizado ou o máximo que se
pode conseguir é uma aproximação em um laboratório. Isso é devido a uma dissipação de
energia no sistema causada pela resistência imposta pelo meio, o qual, por exemplo, pode
ser um fluido. Usualmente a dissipação é representada na equação do movimento do
pêndulo por uma constante, conhecida como coeficiente de amortecimento, multiplicada
pela velocidade. Dessa forma a equação do pêndulo amortecido se torna:
ml
d 2M
dM
a
mg sin M
2
dt
dt
0
(7)
onde aé o coeficiente de amortecimento, e sua unidade no S.I. é >a @
Kg.m
. Dividindo-se
s
a equação (7) por ml ela se torna:
d 2M
dM
2
J
Z 0 sin M
2
dt
dt
onde J
0,
(8)
a
.
ml
3.2.2 - Pêndulo Excitado
Há muitas formas de forçar ou excitar um pêndulo. A maneira mais simples é
acrescentar uma força periódica sobre a massa pontual. Assim a equação do pêndulo se
torna:
d 2M
dM
2
J
Z 0 sin M
2
dt
dt
Z0 2
B
cos 2Sft ,
l
onde B é a amplitude de excitação e f é a freqüência. Porém, ao invés de se aplicar uma
excitação sobre a massa pontual será aplicada uma excitação no ponto de suspensão do
pêndulo.
Na figura ao lado foi imposta uma aceleração
periódica sobre o ponto de suspensão O. No
sistema, movendo-se o ponto O, a massa m
sente uma força cuja resultante com o peso W é
FA. Escrevendo FA como um vetor tem-se:
&
FA
§
d 2 y0 ·&
d 2 x0 &
¨
¸j ,
m 2 i m¨ g 2 ¸
dt
dt
©
¹
Figura 4 - Pêndulo Amortecido e Excitado
&
onde x0(t) e y0(t) são as coordenadas do ponto de suspensão num instante t. O vetor n é
&
tangente à trajetória do pêndulo. Portanto, n pode ser escrito como:
&
&
&
n cos M Ț sin M j .
A força FR é a componente tangencial à trajetória do pêndulo da força FA. Dessa
&
&
forma FR é o produto escalar entre FA e n .
& &
FR n FA ,
portanto:
FR
m
§
d 2 x0
d 2 y0
¨
m
g
cos
M
¨
dt 2
dt 2
©
·
¸¸ sin M .
¹
Aplicando novamente a Segunda Lei de Newton e levando em consideração o caso
do pêndulo amortecido, obtemos:
·
d 2 y0
d 2M
dM
1 § d 2 x0
2
¨
J
Z 0 sin M ¨ 2 cos M sin M ¸¸
2
2
dt
l © dt
dt
dt
¹
0.
(9)
Há três tipos diferentes de excitação do ponto de suspensão do pêndulo: vertical,
horizontal e rotacional. Outros movimentos são resultados da combinação destes três
movimentos. Como o ponto de suspensão está movendo-se periodicamente, a seguir estão
as equações das coordenadas do ponto de suspensão para cada tipo de movimento.
B cos 2Sft
x
1 - Excitação Horizontal: ® 0
¯ y0
x
2 - Excitação Vertical: ® 0
¯ y0
0
0
B cos 2Sft
x
3 - Excitação rotacional: ® 0
¯ y0
B sin 2Sft
B cos 2Sft
,
onde B é a amplitude de oscilação, e f a freqüência. Por experiência, sabe-se que esse
parâmetro B deve ter valores pequenos e a freqüência deve ter valores elevados para manter
a estabilidade do pêndulo invertido. Como o objetivo deste trabalho é o caso em que o
pêndulo possui excitação vertical em seu ponto de suspensão, será abordado o segundo tipo
de movimento dos apresentados acima. Substituindo os valores para x0 e y0 da situação (3)
na equação (9), segue que:
d 2M
dM
1 d 2 B cos 2Sft 2
J
Z
sin
M
sin M
0
dt
l
dt 2
dt 2
0,
(10)
portanto
2
·
d 2M
dM § 2 2Sf B
¨
J
Z
cos 2Sft ¸¸ sin M
0
2
¨
dt ©
l
dt
¹
0.
(11)
4.2.3 – Linearização da Equação (11) e Estudo da Estabilidade do Pêndulo Invertido
Usando o teorema 2, podemos linearizar a equação
(11). O procedimento adotado para linearizar a equação (11)
é o mesmo realizado em (4.1). Adotando a equação
M
G\ S ,
(12)
e substituindo (12) em (11) .
Figura 5 - Pêndulo Invertido e Excitado
2
·
d 2\
d\ § 2 2Sf B
¨
G 2 JG
cos 2Sft ¸¸ sin G\ S 0
¨Z0 dt ©
l
dt
¹
2
2
· sin G\ S d\
d\ § 2 2Sf B
J
¨¨ Z 0 cos 2Sft ¸¸
0,
2
G
dt ©
l
dt
¹
assim:
§ 2 2Sf 2 A
· sin G\ d 2\
d\
J
\ ¨¨ Z 0 cos 2Sft ¸¸
2
dt
l
dt
©
¹ G\
Impondo limite para G o 0 , obtemos:
0.
§ 2 2Sf 2 A
·
d 2\
d\
¨Z0 ¸
ft
J
\
cos
2
S
2
¨
¸
dt
l
dt
©
¹
0
(13)
e transformando a equação (13) em um sistema bidimensional através das mudanças \
d\
dt
e
x
y , obtemos:
dx
°° dt
® dy
°
°¯ dt
y
§ 2 2Sf 2 B
·.
¨
cos 2Sft ¸¸
Jy x¨ Z 0 l
©
¹
(14)
Reescrevendo o sistema (14) na forma matricial, temos:
§ dx ·
¨ ¸
¨ dt ¸
¨ dy ¸
¨ ¸
© dt ¹
0
§
2
¨
2Sf B
2
¨Z0 cos 2Sft
l
©
1 ·§ x ·
¸¨ ¸ .
J ¸¨© y ¸¹
¹
(15)
Observamos que no sistema (15) a matriz B é periódica ( At f
1
At ). Agora
realizaremos as mudanças de variáveis:
s
2Sft , H
1
, u s 2Sf
§ s
x¨¨
© 2Sf
·
¸¸, vs ¹
1 § s
y¨
2Sf ¨© 2Sf
·
¸¸ .
¹
(16)
Dessa maneira, o sistema (15) se torna:
du
°° ds
® dv
°
°¯ ds
v
B
§
·
2
HJv ¨ H 2Z 0 coss ¸u
l
©
¹
.
(17)
Esse sistema é periódico, com período T = 2S, portanto segundo a teoria de
Floquet, ele possui uma matriz fundamental ). Procuremos soluções para o sistema (17)
com as condições iniciais:
§ u 0·
¨¨
¸¸
© v0 ¹
§1·
§ u 0·
¨¨ ¸¸ e ¨¨
¸¸
©0¹
© v0 ¹
§0·
¨¨ ¸¸ .
©1¹
Segundo o teorema 1, o fluxo é uma função diferenciável nos parâmetros. Então, podemos
realizar uma expansão de Taylor do fluxo em relação aos parâmetros B e H:

u
°°
®
°v
°¯
3
u 0 u1 B u 2 H u 3 B 2 u 4 BH u 5H 2 O§¨ B 2 H 2 ·¸
©
¹,
3
§
·
2
2
2
2
v0 v1 B v 2 H v3 B v 4 BH v5H O¨ B H ¸
©
¹
(18)
B
onde O§¨
©
2
3
H 2 ·¸ denota os termos de ordem igual ou superior a
¹
B
2
3
H2 .
Substituindo-se as equações no sistema (18) no sistema (17), obtemos os seguintes
sistemas:
du 0
° ds
® dv
° 0
¯ ds
du1
°
, ® ds
dv
° 1
0
¯ ds
du 4
° ds
® dv
° 4
¯ ds
du 5
°
, ® ds
1
cos s u 2 Jv1 ° dv5
l
¯ ds
v0
du 2
°
, ® ds
1
cos s u 0 ° dv 2
l
¯ ds
v1
v4
du 3
°
, ® ds
dv
Jv 0 ° 3
¯ ds
v2
v3
1
cos s u1
l
v5
.
2
Z 0 u 0 Jv 2
Usando a primeira condição inicial:
du 0
° ds
° dv
° 0
® ds
°
°u 0 0
°v 0
¯ 0
du1
° ds
° dv
° 1
® ds
°
°u1 0
°v 0
¯
du 2
° ds
° dv
° 2
® ds
°
°u 2 0
°v 0 ¯ 2
du 3
° ds
° dv
° 3
® ds
°
°u 3 0
°v 0
¯ 3
v0
0
o
1
u 0
®
¯v0
1
0
,
0
v1
1
cos s u 0
l
0
o

°u1
®
°v1
¯
cos s 1
l
,
sin s
l
0
v2
Jv0
o
0
u 2
®
¯v 2
0
0
,
0
v3
1
cos s u1
l
0
0
o

°°u 3
®
°v3
°¯
1 s 2 3 4 cos s cos 2 s
4
l2
,
1 cos s sin s s 2 sin s
2
l2
,
du 4
° ds
° dv
° 4
® ds
°
°u 4 0
°v 0
¯ 4
du 5
° ds
° dv
° 5
® ds
°
°u 5 0 °v 0
¯ 5
v4
1
cos s u 2 Jv1
l
0
o
sin s s
l
,
cos s 1
J
l

°u 4
®
°v 4
¯
J
0
v5
Z 0 2 u 0 Jv 2
u 5
®
¯v5
o
0
0
0
.
0
Dessa maneira, podemos escrever uma primeira solução do sistema (17) como:

1 cos s
3 s 2 4 cos s cos 2 s 2
sin s s
u
B
B J
BH O§¨ B 2 H 2
1
2
°° 11
l
l
©
4l
®
3
s
s
s
s
s
s
sin
2
sin
sin
cos
cos
1
§
·
2
2
2
°v 21
A
B
J
B
H
O
B
H
¨
¸
2
°¯
l
l
©
¹
2l
Agora, usando a segunda condição inicial encontramos as seguintes soluções:
du 0
° ds
° dv
° 0
® ds
°
°u 0 0
°v 0
¯ 0
du1
° ds
° dv
° 1
® ds
°
°u1 0
°v 0
¯
du 2
° ds
° dv
° 2
® ds
°
°u 2 0
°v 0 ¯ 2
v0
0
o
0
u 0
®
¯v0
s
1
,
1
v1
1
cos s u 0
l
0
o

°u1
®
°v1
¯
s cos s 2 sin s s
l
,
cos s s sin s 1
l
0
v2
Jv0
0
0
o

°u 2
®
°¯v 2
1
s 2J
,
2
sJ
·¸¹
3
(19)
du 3
° ds v3
° dv
° 3 1 cos s u
1 o
® ds l
°
°u 3 0 0
°v 0 0
¯ 3

1 s 3 12 s cos s 3s cos 2 s 9cos s sin s 18s 24 sin s
u
3
°°
12
l2
,
®
2
2
°v3 1 2 scos s sin s s 9 4 cos s 4s sin s 5 cos s
4
l2
¯°
du 4
° ds
° dv
° 4
® ds
°
°u 4 0
°v 0
¯ 4
du 5
° ds
° dv
° 5
® ds
°
°u 5 0 °v 0
¯ 5
v4
1
cos s u 2 Jv1
l
0
o
1 s cos s s 2 sin s
sJ
2
l
,
1 2 sin s 2s s 2 sin s
J
2
l

°°u 4
®
°v 4
°¯
0
v5
2
Z 0 u 0 Jv 2

°u 5
®
°v5
¯
o
0
1 3 2 1 3 2
s Z0 s J
6
6
.
1 2 2 1 2 2
s Z0 s J
2
2
0
Então, uma segunda solução do sistema (17) é:
2

2 sin s s s cos s
12 cos s 3 cos 2 s 18s s 3 9cos s sin s 24 sin s 2 3 Z0 J 2 2
s 2J
H
H
B s
B
°u12 s 2
2
12l
6
l
°
3
s cos s s 2 sin s
°
BH O§¨ B 2 H 2 ·¸
°° sJ
2l
©
¹
®
cos
sin
1
9
4
cos
2 s s 2 sin s 2 sin s
s 4s sin s 5 cos 2 s 2 ssin s cos s s
s
s
°v22 1 BH
B sJH J
2
4l
2l
°
l
°
2
2
3
° s 2 Z0 J H 2 O§¨ B 2 H 2 ·¸
2
©
¹
¯°
(20)
Com essas duas soluções montamos a matriz fundamental do sistema (17). Então:
§ u t ) t ¨¨ 11
© v 21 t u12 t ·
¸¸ O§¨
v 22 t ¹
©
B
2
3
H 2 ·¸ .
¹
Fazendo uma aproximação e substituindo o tempo pelo período 2S, obtemos a matriz
monódroma.
§ u 2S ) 2S ¨¨ 11
© v 21 2S u12 2S ·
¸ , ou:
v 22 2S ¸¹
2
4SB
2S 3 11SB 2 4S 2 JHB 4S 3H 2Z 0 ·¸
2S 2 JH 2 3
l
l
3l
2l 2
¸
3 2 2
¸
4S H J
¸ (21)
3
¸
¸
S 2 B 2 2SJHB
2
1 2SJH 2 2S 2 H 2Z 0 2S 2 H 2 J 2
¸
l
l
¹
§
¨
2 2
¨1- S B 2JSBH
¨
l
l2
¨
¨
¨
SB 2
2
¨
l
©
2S kH , onde k é uma constante positiva. Isso significa que estamos
Seja B
assumindo amplitudes pequenas. Dessa maneira, calculando os autovalores da matriz
monódroma obtemos:
§
U 1 SJH ¨¨ Z 0 2 J 2 ©
k2
l2
· 2 2
1
¸¸S H r 2
6l
¹
g k , H (22)
onde:
(23)
Escolhendo k de tal maneira que o coeficiente de H2 seja nulo, poderemos assim
simplificar a expressão no radical. Então 36l 4S 2 J 2 72S 2 l 2 k 2
0 , ou k
1
2J l .
2
Assim, a expressão (23) fica:
g k , H (18l 4S 4 J 4 36 2 S 3J 4 l 4 48S 4Z 0 J 2 72 2 J 2S 3l 4Z 0 36l 4S 4Z 0
2
2
4
45 4 2 4 4
J S l )H 36 2 S 2 J 3 l 4 36l 4S 3J 3 72l 4S 3JZ 0 2 H 3
2
que podemos escrever como O 3 . Substituindo-se na expressão dos autovalores obtemos:
U 1 SJH 2Z
2
0
3
J 2 S 2H 2
r O§¨ H 2 ·¸ .
¹
©
2
(24)
Esta expressão tem norma menor que 1 para H positivo adequadamente pequeno,
ou seja, para amplitudes pequenas e valores grandes de freqüência, pois:
H
1
2S f
e B
kH .
Então, segue do teorema 3 que a solução do caso linear \ = 0 é assintoticamente estável.
Conseqüentemente, pelo teorema 2 a solução não-linear M= ʌ tem a mesma estabilidade,
sob estas condições.
5 – Conclusão
Após toda essa análise, concluímos que o pêndulo invertido e amortecido se
mantém estável, ou seja, possui um equilíbrio assintoticamente estável, se aplicarmos uma
excitação externa periódica com amplitudes pequenas e altas freqüências no seu ponto de
suspensão. O mesmo resultado pode ser obtido para os outros casos apresentados: excitação
periódica horizontal, rotacional ou uma combinação desses movimentos.
6 - Bibliografia
[1] Sérgio, C. C.. Sampaio, J. L.. Física Clássica - Dinâmica, Estática. São Paulo: Editora
Atual, 1998.
[2] Monteiro, L. H. A.. Sistemas Dinâmico. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2002.
[3] Arnold, V. I.. Equações Diferenciais Ordinárias. Tradução de M. Dombrovsky.
Moscovo: Editora Mir,1985.
[4] Pontriaguin, L. S. – Ecuaciones Deferenciales Ordinarias, Coleccion Ciencia y
Tecnica. Edição Espanhola 1973, Edição MIR 1969. Tradução de Luis Bravo Gala.
[5] http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/lroom.htm
Modelo de Bertalanffy para uma Espécie de
Crustáceo
Carolina Fernandes Molina Sanches∗
Rosana Sueli da Motta Jafelice†
Rosinês Luciana da Motta‡
Departamento de Biologia
Faculdades Integradas Regionais de Avaré - FIRA
18700-902, Avaré - SP
março de 2005
Resumo
O objetivo deste trabalho é calcular o crescimento, em comprimento, do cefalotórax
do crustáceo Aegla castro Schmitt, 1942, para os seguintes estágios reprodutivos:
jovem, fêmea jovem, fêmea matura e macho. O valor limite de comprimento (l∞ )
que esses animais podem atingir são determinados através do modelo de von Bertalanffy. Para se obter estes valores através de ajuste linear, são utilizados os dados
experimentais coletados no Córrego Ipiranga, localizado ao sul do estado de São
Paulo.
Palavras-chaves: Crustáceo, Aegla castro, modelo de Bertalanffy.
1
Introdução
Aegla castro como a maioria das espécies do gênero Aegla tem distribuição geográfica restrita, sendo encontrado do sul do estado de São Paulo até o municı́pio de Ponta Grossa
no Paraná. Este crustáceo é encontrado no fundo do rio, sob pedregulhos, bem como
próximo às margens, oculta sob restos de vegetação e sob raı́zes e troncos caı́dos. Em
geral, encontram-se ilhadas nos riachos de serras de maiores altitudes, onde a temperatura
da água é mais baixa e a oxigenação mais intensa [6]. São animais muito sensı́veis a perturbações ambientais provocadas pelo homem, sendo inclusive conhecidos como bioindicadores da qualidade da água. O estudo da dinâmica das populações de Aegla castro
poderá contribuir para eventuais recuperações de ecossistemas de águas continentais.
∗
Orientando de Iniciação Cientı́fica PET-Matemática. E-mail: [email protected]
Professor orientador. E-mail: [email protected]
‡
Professor Co-orientador. E-mail: [email protected]
†
O modelo de Bertalanffy é mais utilizado para estudos do crescimento, em comprimento, para espécies de peixes. Mais recentemente este modelo tem sido aplicado para o
crescimento de Aegla, em [1] e realizado um estudo para a espécie Aegla platensis e em
[3] para Aegla leptodactyla. Desta forma, notamos que são poucos os modelos que tratam
do crescimento destes crustáceos.
Neste trabalho estudamos o crescimento, em comprimento, do cefalotórax do Aegla
castro para cada estágio reprodutivo, utilizando uma tabela de dados experimentais coletados no Córrego Ipiranga, localizado no municı́pio de Avaré - SP, no perı́odo de março
a julho de 2004. As ferramentas matemáticas empregadas neste estudo são o modelo de
von Bertalanffy e ajuste linear, pelo método dos quadrados mı́nimos, apresentados na
próxima seção.
2
Modelo Matemático
Em [2] estudamos o modelo de Bertalanffy para o crescimento de tilápia do Nilo, o metódo
será descrito a seguir.
Pelo Princı́pio da Alometria [4], temos que:
‘O crescimento do peso do peixe é proporcional à área da sua superfı́cie externa (anabolismo) e o decaimento é proporcional à energia consumida (catabolismo)’
dp
= αA − βp
dt
(1)
em que
• α é a constante de anabolismo, representando a taxa de sı́ntese de massa por unidade
de área do peixe;
• β é a constante de catabolismo, representando a taxa de diminuição da massa por
unidade de massa;
2
• A área A da superfı́cie externa é proporcional a p 3 . Isto é dado pelo princı́pio da
alometria.
Sabendo que:
• o peso é proporcional ao volume;
• o volume é proporcional ao cubo do comprimento: p = k1 l3
• a área é proporcional ao quadrado do comprimento: A = k2 l2
onde k1 e k2 são constantes, temos
d 3
dp
dl
=
k1 l = 3k1 l2
dt
dt
dt
e substituindo a equação (2) na equação (1), obtemos
3k1 l2
dl
= αk2 l2 − βk1 l3
dt
ou seja,
dl
= λ − kl,
dt
(2)
onde λ =
Logo,
αk2
β
ek= .
3k1
3
l(t) =
λ
1 − e−kt
k
λ
Por outro lado, o comprimento limite (l∞ ) é dado quando t → ∞, isto é, l∞ = .
k
Assim, temos
l(t) = l∞ 1 − e−kt ,
expressão denominada equação de von Bertalanffy para o crescimento, em tamanho.
Uma maneira de se estimar os valores l∞ e k, quando se tem uma tabela de valores
experimentais, consiste em determinar a reta y = mx + n pelo ajuste linear dos valores
l(t) e l(t + 1), isto é, através da equação (3) [5].
l(t + 1) = ml(t) + n
Substituindo
(3)
l(t) = l∞ 1 − e−kt
l(t + 1) = l∞ 1 − e−k(t+1)
na equação (3), temos
l∞ − l∞ e−kt e−k = ml∞ − ml∞ e−kt + n
e considerando que quando t → ∞, l(t + 1) ∼
= l(t) ∼
= l∞ , obtemos
l∞ =
Assim,
n
1−m
m = e−k ⇒ k = − ln m
n = l∞ − ml∞ ⇒ n = l∞ 1 − e−k .
(4)
(5)
(6)
Na próxima seção, apresentaremos as tabelas de valores experimentais de cada estágio
reprodutivo do Aegla castro e faremos os cálculos e os gráficos de l∞ utilizando ajuste
linear.
3
Crescimento do Aegla castro
Consideramos a Tabela 1 dos dados experimentais do cefalotórax de Aegla castro, medidos
em milı́metros (mm), da extremidade do rostro até a borda posterior da carapaça, para
cada estágio reprodutivo, coletados no Córrego Ipiranga.
No cálculo do l∞ para cada estágio reprodutivo é utilizado apenas os cinco maiores
comprimentos do cefalotórax, pelo fato deste valor ser calculado quando o tempo t tende
a infinito. Utilizamos o método de Ford-Walford que consiste em considerar l(t) = l(t + 1)
quando o comprimento está estabilizado [4].
A partir das equações (4), (5) e (6), obtemos os seguintes ajustes para o comprimento
do Aegla castro para cada estágio reprodutivo:
• Jovens: l∞ = 6,5 mm
jovens Fêmeas Jovens Fêmeas Maturas
6.0
10.5
19.3
6.4
10.6
19.4
6.4
10.8
19.7
6.5
10.9
20.7
6.5
11.0
21.5
Machos
17.7
18.8
19.7
22.0
22.7
Tabela 1: Dados experimentais do Aegla castro.
• Fêmeas Jovens: l∞ = 11,95 mm
• Fêmeas Maturas: l∞ = 24,7 mm
• Machos: l∞ = 27,10 mm
Crescimento das Femeas Maturas
Na Figura 1 apresentamos o l∞ para cada estágio reprodutivo e na Figura 2 mostramos
o comportamento das curvas de crescimento de todos os estágios reprodutivos.
l∞
l 25
Crescimento dos Jovens
∞
20
15
10
5
0
0
5
10
15
6
4
2
0
20
0
5
Crescimento das Femeas Jovens
tempo(t)
l 12
15
20
15
20
l
∞
Crescimento dos Machos
∞
10
8
6
4
2
0
10
tempo(t)
0
5
10
15
25
20
15
10
5
0
20
0
5
tempo(t)
10
tempo(t)
Figura 1: Curva de Crescimento em comprimento do cefalotorax de Aegla castro.
Comprimento do Cefalotorax
30
femeas maturas
jovens
femeas jovens
machos
25
l(t)
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
Tempo
12
14
16
18
20
Figura 2: Crescimento do Aegla castro em todos os estágios reprodutivos.
4
Conclusões
Neste trabalho determinamos o comprimento máximo do Aegla castro para cada estágio
reprodutivo utilizando o modelo de Bertalanffy. O crescimento máximo, em comprimento
é de aproximadamente l∞ = 6,5 mm para jovens, l∞ = 11,95 mm para fêmeas jovens,
l∞ = 24,7 mm para fêmeas maturas e l∞ = 27,10 mm para machos. Como calculado
neste estudo e em [3], os machos têm l∞ superior as fêmeas, devido ao fato de as fêmeas
apresentarem perı́odos de intermuda (perı́odo entre a troca da carapaça externa do animal,
que é o momento que o crustáceo cresce) mais longos do que os machos, freqüentemente
associado à incubação dos ovos. Na Figura 2 os jovens e as fêmeas jovens apresentam
uma intersecção em 6,5cm, pois até este valor, no estágio reprodutivo dos jovens, existem
machos e fêmeas e não é possı́vel a separação de sexos ao nı́vel macroscópico.
Nos trabalhos futuros pretendemos estudar o valor limite do comprimento (l∞ ) e do
peso (p∞ ) do Aegla castro, utilizando a equação de von Bertalanffy sendo estas variáveis
parâmetros fuzzy.
Referências
[1] A. A. P. Bueno, G. Bond-Buckup e L. Buckup. Crescimento de Aegla platensis Schmitt
em ambiente natural (Crustacea, Decapoda, Aeglidae).Revista Brasileira de Zoologia.
n.17, 2000, pp. 51-60.
[2] C. F. M. Sanches e R. Motta Jafelice. Modelagem Matemática para o Crescimento de
Peixes. FAMAT em Revista, n.03, setembro de 2004, pp.13-25.
[3] C. K. Noro e L. Buckup. O Crescimento do Aegla leptodactyla Buckup & Rossi. Revista
Brasileira de Zoologia. n.20, 2003, pp. 191-198.
[4] R. C. Bassanezi. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. Editora Contexto, 2002.
[5] R. C. Bassanezi e W. C. Ferreira Jr. Equações Diferenciais com Aplicações. Editora
HARBRA, 1988.
[6] W. Rodrigues e N. J. Hebling. Estudos Biológicos em Aegla Perobae Hebling & Rodrigues, 1977 (Decapoda, Anomura). Revista Brasileira de Biologia, n.38, maio, 1978,
pp.383-390.
A Transcendência do Número π
Anselmo A. de A. Oliveira∗
Uziel P. da Silva†
Edson Agustini‡
Universidade Federal de Uberlândia - Ufu
Uberlândia - MG
Abril de
2005
Resumo
Este trabalho apresenta uma prova da transcendência do número π, baseada
na demonstração de R. Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2, 1901, pp.57-59),
seguindo as alterações propostas por D. G. de Figueiredo em [2]. Além de um pequeno apanhado histórico sobre o número π e a teoria dos números algébricos e transcendentes, introduzimos duas seções: uma sobre a “Desigualdade do Valor Médio
para Funções de Uma Variável Complexa“ e outra sobre “Polinômios Simétricos”.
Com elas, pretendemos esboçar definições e resultados pertinentes e necessários à
compreensão da demonstração supracitada.
Palavras-chave: números transcendentes, números algébricos, números irracionais, números construtı́veis, número π, desigualdade do valor médio, polinômios
simétricos.
1
Um Pouco da História do Número π
O número mais famoso da história, π, representa a razão constante entre o perı́metro de
um cı́rculo e o seu diâmetro. A história do número π tem inı́cio cerca de 4000 anos atrás,
sendo que a existência de uma relação constante entre “a circunferência e o seu diâmetro”
era conhecida por muitas das civilizações antigas.
Das placas de Susã (placas de argila dos babilônios), vemos que estes adotavam uma
1
aproximação grosseira para o valor de π que é deduzido como 3 + , ou seja, 3, 125. Nos
8
papiros egı́pcios escritos antes de 1700 a.C., a área de um cı́rculo é igual à de um quadrado
8
com de diâmetro, e o papiro de Ahmes (cerca de 1600 a.C.) dá à relação existente entre a
9
circunferência e o seu diâmetro o valor 3, 16. Isto evidencia que a medição da circunferência
tinha erro menor do que 1%.
∗
[email protected]. Orientando do Programa Institucional de Iniciação Cientı́fica e Monitoria da Faculdade de Matemática (PROMAT) de set/03 a jul/04.
†
[email protected]. Orientando do Programa Institucional de Iniciação Cientı́fica e Monitoria
da Faculdade de Matemática (PROMAT) de set/03 a jul/04
‡
[email protected]. Professor orientador.
Ao descrever a construção do templo de Salomão, aproximadamente em 950 a.C., o
velho testamento bı́blico traz em II Crônicas 4:2 uma aproximação hebraica para o número
π: “Fez o tanque de metal fundido, redondo, medindo quatro metros e meio de diâmetro
e dois metros e vinte e cinco centı́metros de altura. Era preciso um fio de treze metros e
meio para medir a sua circunferência.”, do que concluı́mos que π seria igual a 3.
Assim, muitas civilizações antigas observaram através de medições que a razão do
cı́rculo é a mesma para cı́rculos de diferentes tamanhos. No entanto, foram os gregos que
conseguiram compreender e explicar a lógica desta relação, que advém das propriedades
√
de figuras semelhantes. Os gregos antigos compreendiam que números como π e 2 são
diferentes dos números inteiros e dos números racionais√utilizados em suas matemáticas
e, mesmo tendo conseguido provar a irracionalidade de 2, o mesmo não ocorreu para o
π.
Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) conseguiu melhorar a aproximação dada ao
número π, aproximando a circunferência por polı́gonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados e
< π < 3 17 , isto é, 3, 14085 < π < 3, 142857.
descobrindo as seguintes limitações para π: 3 10
71
Recentemente, descobriu-se que em 480 d.C., Tsu Chung-Chi (430-501 d.C.) chegou
à conclusão de que o valor de π oscilaria entre 3,1415926 e 3,1415927, uma aproximação
impressionante para a época. Por volta de 499 d.C., um tratado indiano sobre matemática
e astronomia, intitulado “ãryabhata”, indica 3,1416 como um valor aproximado de π, que
é uma aproximação com 3 casas decimais corretas.
Mais tarde, aproximações melhores de π puderam ser encontradas utilizando polı́gonos
com mais lados do que aqueles utilizados por Arquimedes. Um cálculo chinês chega
a usar um polı́gono com mais de 3000 lados e apresenta π com 5 casas decimais. Os
355
, que difere de π menos de 0,0000003.
chineses também aproximaram π pelo racional
113
Essa mesma aproximação foi redescoberta no século XVI pelo engenheiro alemão Ariaan
Anthoniszoon. No mesmo século, outro alemão, Adrien van Rooman, usou o método de
Arquimedes com um polı́gono de 230 lados para obter 15 casas decimais para π.
O Renascimento Europeu causou muitos efeitos sobre a matemática, entre eles a necessidade de se encontrar fórmulas, o que não foi diferente para o π. Descobriu-se, então,
a definição não geométrica de π e a representação deste por séries infinitas. Um dos
primeiros foi François Viète que, em 1592, descobriu a fórmula:
π=
1
1 1 1 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1
+
+
+
+
+
+
...
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Também John Wallis (1616-1703) com a fórmula:
π=2
224466
...
133557
e William Brouncker, em 1658, com a fração contı́nua infinita:
1
π=4
12
1+
32
2+
52
2+
2+
72
2 + ...
Uma fórmula atribuı́da a Leibniz (1646-1716) e a James Gregory (1638-1675) é:
π=4
1 1 1 1 1
− + − + − ... .
1 3 5 7 9
O mesmo Gregory propôs também a seguinte fórmula, que converge mais rapidamente:
π
1
=√
6
3
1
1
1
+
−
+ ... .
1−
3.3 5.3.3 7.3.3.3
John Machin, em 1706, criou uma variação da série de Gregory; com um aumento
significativo da convergência, ele conseguiu calcular π com 100 casas decimais. Esta
fórmula é dada por:
1
1
π
= 4 arctan − arctan
.
4
5
239
Uma propriedade relacionada à natureza de π foi demonstrada, em 1761, por Johann
Heinrich Lambert: π é um número irracional.
Em 1873, o inglês William Shanks usou a fórmula de Machin para calcular (manualmente e durante quinze anos!) as 707 primeiras casas decimais de π, das quais só 527
estavam corretas.
A popularização da letra grega π para representar a razão entre o comprimento da
circunferência e seu diâmentro se deve a Leonhard Euler, que passou a empregá-la a partir
de 1736, muito embora alguns matemáticos a tenham utilizado antes.
O Século XX foi marcado pela introdução do uso de computadores e algoritmos computacionais que têm possibilitado encontrar um número cada vez maior de casas decimais
do número π. Em 1949, pela primeira vez, um computador foi usado para calcular π
até às 200 casas decimais. Em 1961, conseguiu-se através de computação a aproximação
de π até 100.265 casas decimais, mais tarde em 1967 aproximou-se até às 500.000 casas
decimais.
Recentemente, David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhões
de casas decimais para o π, usando uma fórmula que dá cada casa decimal do π individualmente para cada n escolhido. Atualmente, o recorde é de 1.241.000.000.000 (mais de
um trilhão!) casas decimais de π, calculadas por Yasumana Kanada, da Universidade de
Tokio em 2002. Em 11/9/2000 foi calculada pelo projeto Pihex a 1.000.000.000.000.000a .
(quatrilhonésima!) casa binária de π (que, na base binária, é 0).1
1
Ver www.obm.org.br ou www.cecm.stu.ca/pi.
2
Introdução
Nosso objetivo com o presente trabalho é demonstrar que o número π é transcendente.
Um número complexo que pode ser expresso como raiz de uma equação polinomial
com coeficientes inteiros é chamado de número algébrico. Os complexos não algébricos
são chamados de números transcendentes.
Conforme comentado em [5], a questão de saber se um dado número é transcendente
ou algébrico é, em geral, difı́cil, tendo aparecido como o sétimo problema na famosa lista
dos vinte e três problemas de David Hibert, citados em palestra no Segundo Congresso
Internacional de Matemática, em 1900, realizado em Paris na França.
Podemos firmar a semente da teoria dos números transcendentes na Grécia antiga
com os três famosos problemas gregos de construção com régua e compasso: a quadratura
de um cı́rculo, a trisecção de um ângulo e a duplicação de um cubo. O estudo desses
problemas recai na construção (com régua sem escala e compasso) de um segmento com
certa medida que não é “construtı́vel” a partir de um segmento dado como unidade. Temos
aı́ a teoria dos Números Construtı́veis que, hoje sabemos, são todos números algébricos
(no entanto, nem todo número algébrico é construtı́vel [6]).
Em 1844, Joseph Liouville exibiu uma classe de números que demonstrou serem transcendentes e, trinta anos após, uma prova da existência de números transcendentes sem
exibir um número transcendente sequer foi feita Georg Cantor. A primeira demonstração
de que π é transcendente foi dada por Ferdinand Lindemann, em 1882, comprovando a
impossibilidade da quadratura do cı́rculo, que depende da construção de um segmento de
comprimento π a partir da unidade.
Em 1934, Aleksander Gelfond demonstrou que números complexos da forma ab , sendo
a um número algébrico diferente de 0 e 1 e b um algébrico não racional, são todos transcendentes,
constituindo um avanço significativo na teoria desses números. Assim, o número
√
2 2 , citado na lista dos problemas de Hilbert, é transcendente.
Neste trabalho, esboçamos uma prova da transcendência do número π, baseada na
demonstração de R. Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2, 1901, pp.57-59), seguindo as
alterações propostas por D. G. de Figueiredo em [2]. Para tanto, iniciamos o trabalho com
duas seções de pré-requisitos que julgamos necessárias ao bom entendimento do trabalho.
3
Desigualdade do Valor Médio para Funções de Uma
Variável Complexa
Para demonstrarmos a transcendência de π, precisaremos de um resultado relacionado às
funções de uma variável complexa chamado de Desigualdade do Valor Médio. Para tanto,
consideremos as seguintes definições:
Uma função de uma variável complexa f : C −→ C tem derivada no ponto z ∈ C, se
existir o limite:
f (z + z0 ) − f (z)
,
f (z) = lim
z0 →0
z0
sendo z0 ∈ C. Chamaremos f (z) de derivada de f em z.
Se uma função de uma variável complexa f possuir derivadas em todos os pontos de
C, então dizemos que f é analı́tica em C.
Seja f (z) = u (x, y) + iv (x, y) com z = x + iy, ou seja, u (x, y) é a parte real e v (x, y)
a imaginária de f (z) .
Supondo que f (z) seja analı́tica em C, vamos calcular f (z) considerando valores reais
para z0 , isto é, z0 = h. Assim, z + z0 = (x + h) + iy e, conseqüentemente,
f (z + z0 ) = u (x + h, y) + iv (x + h, y) .
Daı́:
f (z + z0 ) − f (z)
z0 →0
z0
u (x + h, y) + iv (x + h, y) − u (x, y) − iv (x, y)
= lim
h→0
h
u (x + h, y) − u (x, y)
v (x + h, y) − v (x, y)
+ i lim
= lim
h→0
h→0
h
h
∂v
∂u
(x, y) + i (x, y) .
=
∂x
∂x
f (z) = lim
(1)
Calculando f (z) usando valores imaginários puros para z0 , isto é, z0 = ik, temos:
f (z) = lim
ik→0
u (x, y + k) − u (x, y)
v (x, y + k) − v (x, y)
+ i lim
.
ik→0
ik
ik
Mas ik → 0 =⇒ k → 0 e (i)−1 = −i, então:
u (x, y + k) − u (x, y)
v (x, y + k) − v (x, y)
+ lim
k→0
k→0
k
k
∂v
∂u
(x, y) .
= −i (x, y) +
∂y
∂y
f (z) = −i lim
(2)
Identificando (1) e (2) encontramos as Equações de Cauchy-Riemann:
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
∂u
∂v
(x, y) = − (x, y)
∂y
∂x
para qualquer z = x + iy em C.
O teorema abaixo estabelece uma espécie de “desigualdade do valor médio” para
funções de uma variável complexa, uma vez que o Teorema do Valor Médio não é verdadeiro neste caso. Um fato curioso envolvendo uma demonstração da transcendência de
π devida a Moritz (Annals of Mathematics, vol. 2 (1901), pp. 57-59) é o fato deste ter
usado o Teorema do Valor Médio para caso complexo.
Teorema 3.1 (Desigualdade do Valor Médio) Seja f : C −→ C uma função analı́tica e
sejam z1 , z2 ∈ C. Então,
|f (z2 ) − f (z1 )| ≤ 2 |z2 − z1 | sup {|f (z1 + λ (z2 − z1 ))| : 0 ≤ λ ≤ 1} ,
sendo |z| o módulo do número complexo z = x + iy, isto é, |z| = x2 + y 2 .
Demonstração
Sejam u (x, y) e v (x, y) as partes real e imaginária de f (z) e z0 = x0 + iy0 . Assim,
f (z0 ) = u (x0 , y0 ) + iv (x0 , y0 ) e, particularmente, f (0) = u(0, 0) + iv (0, 0) .
Daı́,
(3)
f (z0 ) − f (0) = u (x0 , y0 ) − u(0, 0) + i (v (x0 , y0 ) − v (0, 0))
Definamos as funções ϕ : R → R e ψ : R → R de modo que:
ϕ (λ) = u (λx0 , λy0 )
ψ (λ) = v (λx0 , λy0 ) .
Pelo Teorema do Valor Médio, temos:
ϕ (1) − ϕ (0) = ϕ (λ1 ) para algum 0 < λ1 < 1
ψ (1) − ψ (0) = ψ (λ2 ) para algum 0 < λ2 < 1
(4)
Com o auxı́lio de (4) e calculando as derivadas das funções compostas ϕ e ψ, podemos
escrever:
∂u
∂u
(λ1 x0 , λ1 y0 ) x0 +
(λ1 x0 , λ1 y0 ) y0
∂x
∂y
∂v
∂v
(λ2 x0 , λ2 y0 ) x0 +
(λ2 x0 , λ2 y0 ) y0
v (x0 , y0 ) − v(0, 0) = ψ (1) − ψ (0) = ψ (λ2 ) =
∂x
∂y
u (x0 , y0 ) − u(0, 0) = ϕ (1) − ϕ (0) = ϕ (λ1 ) =
que substituı́das em (3) fornecem
f (z0 ) − f (0) =
∂u
∂u
(λ1 x0 , λ1 y0 ) x0 +
(λ1 x0 , λ1 y0 ) y0
∂x
∂y
∂v
∂v
(λ2 x0 , λ2 y0 ) x0 +
(λ2 x0 , λ2 y0 ) y0 .
+i
∂x
∂y
Usando a desigualdade |z| ≤ |x| + |y| , sendo |x| e |y| os valores absolutos da parte real
e imaginária de z = x + iy, temos:
∂u
∂u
(λ1 x0 , λ1 y0 ) y0 |f (z0 ) − f (0)| ≤ (λ1 x0 , λ1 y0 ) x0 +
∂x
∂y
∂v
∂v
(λ2 x0 , λ2 y0 ) y0 .
+ (λ2 x0 , λ2 y0 ) x0 +
∂x
∂y
Usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz :
|(a1 , a2 ) , (b1 , b2 )| ≤ |(a1 , a2 )| . |(b1 , b2 )| ⇒ |a1 b1 + a2 b2 | ≤
obtemos:
|f (z0 ) − f (0)| ≤
a21 + a22
b21 + b22 ,
2 2 ∂u
∂u
(λ1 x0 , λ1 y0 ) +
(λ1 x0 , λ1 y0 )
x20 + y02
∂x
∂y
2 2 ∂v
∂v
(λ2 x0 , λ2 y0 ) +
(λ2 x0 , λ2 y0 )
+
x20 + y02
∂x
∂y
(5)
∂v
∂u
(x, y) + i (x, y) e, utilizando as Equações
Observemos que de (1) temos f (z) =
∂x
∂x
de Cauchy-Riemann, temos:
∂u
∂u
(x, y) − i (x, y)
∂x
∂y
∂v
∂v
f (z) =
(x, y) + i (x, y)
∂x
∂y
f (z) =
Aplicando a primeira equação ao ponto z = λ1 z0 , a segunda ao ponto z = λ2 z0 e,
posteriormente, calculando o módulo dessas funções complexas, temos:
2 2
∂u
∂u
(λ1 x0 , λ1 y0 ) +
(λ1 x0 , λ1 y0 )
|f (λ1 z0 )| =
∂x
∂y
2 2
∂v
∂v
(λ2 x0 , λ2 y0 ) +
(λ2 x0 , λ2 y0 )
|f (λ2 z0 )| =
∂x
∂y
Como |z0 | = x20 + y02 , retornando a (5):
|f (z0 ) − f (0)| ≤ |f (λ1 z0 )| |z0 | + |f (λ2 z0 )| |z0 | .
Mas,
|f (λ1 z0 )| ≤ sup {|f (λz0 )| : 0 ≤ λ ≤ 1}
|f (λ2 z0 )| ≤ sup {|f (λz0 )| : 0 ≤ λ ≤ 1}
(pois 0 < λ1 , λ2 < 0).
Daı́,
|f (z0 ) − f (0)| ≤ 2 |z0 | sup {|f (λz0 )| : 0 ≤ λ ≤ 1} .
Aplicando o resultado acima à função g (z) = f (z + z1 ) e ao ponto z0 = z2 − z1 ,
concluı́mos que
|f (z2 ) − f (z1 )| ≤ 2 |z2 − z1 | sup {|f (z1 + λ (z2 − z1 ))| : 0 ≤ λ ≤ 1} ,
o que conclui a demonstração.
4
Polinômios Simétricos
Na prova da transcendência de π também necessitaremos de dois resultados envolvendo
polinômios simétricos.
Um polinômio P (t1 , t2 , ..., tn ) ; t1 , ..., tn ∈ C é chamado simétrico se para todas as
permutações σ : {1, ..., n} → {1, ..., n} (que são as n! bijeções de {1, ..., n} em {1, ..., n}),
temos:
P (t1 , t2 , ..., tn ) = P tσ(1) , tσ(2) , ..., tσ(n) .
Seja P (x) = (x − t1 ) (x − t2 ) ... (x − tn ) , sendo t1 , t2 , ..., tn ∈ C as raı́zes de P (x) .
Podemos escrever P (x) da seguinte forma:
P (x) = xn − s1 xn−1 + s2 xn−2 + ... + (−1)n sn ,
da qual segue, pelas Relações de Girard, que:
s1 =
s2 =
s3 =
n
j=1
i<j
tj
ti tj
ti tj tk
i<j<k
..
.
sn = t1 t2 ...tn
Os polinômios s1 , s2 , ..., sn são chamados polinômios simétricos elementares em t1 , t2 , ..., tn .
O grau de um monômio atk11 ...tknn em t1 , ..., tn é definido como sendo o valor
n
i=1
ki .
O grau de um polinômio em t1 , ..., tn é definido como sendo o máximo dos graus dos
monômios que o compõe.
n
iki . O peso de um
O peso de um monônio atk11 ...tknn é definido como sendo o valor
i=1
polinômio em t1 , ..., tn é definido como sendo o máximo dos pesos dos monômios que o
compõe.
Baseados nas definições acima, temos as seguintes proposições:
Proposição 4.1 Seja P (t1 , ..., tn ) um polinômio simétrico de grau d, com coeficientes
inteiros. Então, existe um polinômio G (s1 , ..., sn ) de peso menor ou igual a d com coeficientes inteiros, sendo s1 , ..., sn os polinômios simétricos elementares em t1 , ..., tn , tal
que:
P (t1 , ..., tn ) = G (s1 , ..., sn ) .
Demonstração
(Por indução em n): Para n = 1, o teorema é óbvio, pois nesse caso s1 = t1 . Suponhamos, agora, que o teorema seja válido para polinômios em t1 , ..., tn−1 . Representemos
por s1 , ..., sn−1 os polinômios simétricos elementares em t1 , ..., tn−1 :
s1 =
s2 =
s3 =
n−1
j=1
tj
ti tj ;
i<j
1≤i<j ≤n−1
ti tj tk ; 1 ≤ i < j < k ≤ n − 1
i<j<k
..
.
sn−1 = t1 ...tn−1
Para provar que a proposição vale para polinômios em t1 , ..., tn , procedemos por
indução nos graus d desses polinômios. Para d = 0, o resultado é trivial, pois terı́amos
apenas os polinômios constantes. Suponha que o resultado seja válido para polinômios
de grau menor que d e provemos que ele se verifica para polinômios de grau d. Seja, pois,
f (t1 , ..., tn ) um polinômio de grau d. Pela hipótese de indução, existe um polinômio de
peso menor ou igual a d, g1 (s1 , ..., sn−1 ) , tal que
f (t1 , ..., tn−1 , 0) = g1 (s1 , ..., sn−1 )
(6)
Assim, g1 (s1 , ..., sn−1 ) é um polinômio em t1 , ..., tn , cujo grau é menor ou igual a d. É
fácil de ver que g1 (s1 , ..., sn−1 ) é um polinômio simétrico em t1 , ..., tn . Logo,
f1 (t1 , ..., tn ) = f (t1 , ..., tn ) − g1 (s1 , ..., sn−1 )
(7)
é um polinômio simétrico em t1 , ..., tn . Provaremos agora que f1 (t1 , ..., tn ) é da forma (8),
com f2 de grau menor que d, para então usarmos a hipótese de indução.
Se fizermos tn = 0 em (7), obtemos, em virtude de (6), que
f (t1 , ..., tn−1 , 0) = 0.
Conseqüentemente, tn é um fator comum em f1 (t1 , ..., tn ) . Do fato que f1 (t1 , ..., tn ) é
simétrico em t1 , ..., tn , segue-se que tj , para todo j = 1, ..., n, é fator comum de f1 (t1 , ..., tn ) .
Logo,
(8)
f1 (t1 , ..., tn ) = sn f2 (t1 , ..., tn )
e daı́ segue que o grau de f2 é menor ou igual a d − n < d. Aplicando a hipótese de
indução, temos que existe um polinômio g2 (s1 , ..., sn ) de peso menor ou igua a d − n, tal
que
(9)
f2 (t1 , ..., tn ) = g2 (s1 , ..., sn ) .
Finalmente, de (7), (8) e (9) obtemos
f (t1 , ..., tn ) = sn g2 (s1 , ..., sn ) + g1 (s1 , ..., sn−1 ) ,
o que mostra que f (t1 , ..., tn ) é igual a um polinômio simétrico em s1 , ..., sn :
g (s1 , ..., sn ) = sn g2 (s1 , ..., sn ) + g1 (s1 , ..., sn−1 ) .
O peso de g (s1 , ..., sn ) é menor ou igual a d o que conclui a demonstração.
Proposição 4.2 Sejam α1 , ..., αj números algébricos, tais que os polinômios simétricos
elementares
n
αj
s1 =
j=1
s2 = αi αj ; 1 ≤ i < j ≤ n
i<j
..
.
sn = α1 ...αn
n
sejam números racionais. Considere agora os
números algébricos
2
βij = αi + αj , 1 ≤ i < j ≤ n.
Então os polinômios simétricos elementares associados aos βij s são também números
racionais.
Demonstração
Seja σ uma permutação dos inteiros 1, ..., n. Dado um polinômio f (t1 , ...tn ) , a ele
associamos um outro polinômio, que representamos por f σ (t1 , ...tn ), assim definido:
(10)
f σ (t1 , ...tn ) = f tσ(1) , ..., tσ(n)
Em virtude da Proposição 4.1, basta provar que os polinômios simétricos elementares
nos βij s são polinômios simétricos nos αj s. Seja pois σ uma permutação dos inteiros
1, ..., n. A expressão (10) define uma função do conjunto dos polinômios nele próprio,
função esta associada a σ. Vamos representar essa função também pela letra σ. Assim,
por 10 temos:
σ (αj ) = ασ (j) ; j = 1, .., n.
Se tivermos um polinômio qualquer em α1 , ..., αn com coeficientes racionais, segue-se
de que a ação de σ sobre ele é
σ
ak1 ...kn α1k1 ...αnkn = ak1 ...kn [σ (α1 )]k1 ... [σ (αn )]kn ,
sendo os somatórios tomados sobre todos os inteiros k1 , ..., kn ≥ 0, e tais que k1 +...+kn ≤
m, sendo m o grau do polinômio. A seguir, observemos que σ induz uma permutação σ dos βij s assim definida:
def
σ (βij ) = σ (αi + αj ) = σ (αi ) + σ (αj ) .
Logo:
σ (βij ) = σ (βij ) .
Para verificar que o primeiro polinômio simétrico elementar S1 dos βij s é simétrico
nos α s, devemos provar que σ (S1 ) = S1 . Vejamos:
σ (S1 ) =
σ (βij ) =
σ (βij ) = σ (S1 ) = S1 ,
onde utilizamos, na última igualdade que S1 é simétrico nos βij s. Para os demais
polinômios simétricos elementares, S2 , ..., Sn , procedemos de modo análogo ao que se fez
em acima. E isso completa a demonstração.
n
A Proposição 4.2 pode ser facilmente generalizada para
, j = 3, ..., n números
j
algébricos:
βk1 ,...,kj = αk1 + ... + αk j; 1 ≤ k1 < ... < kj ≤ n.
Como conseqüência, podemos enunciar o seguinte corolário:
Corolário 4.1 Se os α s da generalização da Proposição 4.2, para j = 3, ..., n, são as
raı́zes de um polinômiodegrau n com coeficientes racionais, então os β s são raı́zes de
n
um polinômio de grau
com coeficientes racionais.
j
5
Prova da Transcendência de π
Os dois lemas abaixo são extraı́dos da prova da transcendência do número e em [5] e
usaremo-os na prova da transcendência de π.
Lema 5.1 Seja a função F (x) = P (x)+P (x)+...+P (r) (x) ; em que P (x) é um polinômio
de grau r e P (r) (x) representa a derivada de ordem r de P (x) . Então,
d −x
e F (x) = −e−x P (x) .
dx
Demonstração:
Temos e−x F (x) = e−x P (x) + e−x P (x) + ... + e−x P (r) (x) . Então,
d −x
e F (x) = −e−x P (x) + e−x P (x) − e−x P (x) + e−x P (x) − e−x P (x) + ...
dx
+ e−x P (r) (x) − e−x P (r) (x) + e−x P (r+1) (x) ,
ou seja,
d −x
e F (x) = −e−x P (x) ,
dx
como querı́amos.
Lema 5.2 Seja Q(x) =
r
j=0
aj xj um polinômio com coeficientes inteiros e seja p < r um
inteiro positivo. Então:
r
j!
(i) Q(i) (x) =
aj xj−i , i ≤ r.
(j
−
i)!
j=i
1
Q(i) (x), p ≤ i, é um polinômio com coeficientes inteiros divisı́veis por p.
(ii)
(p − 1)!
Demonstração:
Temos que Q(x) =
r
j=0
aj xj = a0 + a1 x + ... + ar xr .
Então,
Q(1) (x) = a1 + 2a2 x + ... + rar xr−1
Q(2) (x) = 2a2 + 6a3 x + ... + r(r − 1)ar xr−2
Q(3) (x) = 6a3 + 24a4 x + ... + r(r − 1)(r − 2)ar xr−3
3!
4!
r!
ar xr−3
= a3 + a4 x + ... +
0!
1!
(r − 3)!
..
.
Logo, Q(i) (x) =
i!
(i + 1)!
(i + 2)!
r!
ai +
ai+1 x +
ai+2 x2 + ... +
ar xr−i , ou seja,
0!
1!
2!
(r − i)!
Q(i) (x) =
r
j!
aj xj−i , i ≤ r
(j
−
i)!
j=i
e isso prova a primeira parte.
Quanto à segunda parte, observemos que os coeficientes de
1
j!
aj , onde aj é inteiro.
(j − 1)! (p − 1)!
Temos p ≤ i, p fixo e j = i, ..., r.
No 1o coeficiente, temos j = i e, conseqüentemente,
1
Q(i) (x) serão da
(p − 1)!
forma
j(j − 1)...p(p − 1)!
j!
1
=
= j(j − 1)...p.
0! (p − 1)!
(p − 1)!
No 2o coeficiente, temos j = i + 1, portanto,
j (j − 1) ...p(p − 1)!
j!
1
=
= j (j − 1) ...p.
1! (p − 1)!
(p − 1)!
1
j (j − 1) ...p(p − 1)!
j (j − 1) ...p
j!
=
=
.
2! (p − 1)!
2.1.(p − 1)!
2
Observemos que o numerador tem j − (p − 1) = j − p + 1 fatores. Como i + 2 ≥ p + 2,
temos j ≥ p + 2, ou seja, j − p ≥ 2, o que implica j − p + 1 ≥ 3. Assim, podemos concluir
que o numerador terá pelo menos 3 fatores.
j (j − 1) ...p(p − 1)!
j (j − 1) ...p
1
j!
=
=
3! (p − 1)!
3.2.1.(p − 1)!
3!
e, nesse caso, o numerador terá pelo menos 4 fatores.
Generalizando, teremos para j = i + k, k ∈ N,
1
j (j − 1) ...p(p − 1)!
j (j − 1) ...p
j!
=
=
,
k! (p − 1)!
k!(p − 1)!
k!
sendo que o numerador tem pelo menos k + 1 fatores, ou seja,
j−p+1≥k+1⇒
j − k + 1 ≥ p + 1.
Dessa forma,
1
j(j − 1)...(j − k + 1) (j − k) ...p
j!
=
k! (p − 1)!
k!
j(j − 1)...(j − k + 1) (j − k)!
=
(j − k) ...p
k!
(j − k)!
j!
(j − k) ...p
=
k!(j − k)!
j
=
(j − k) ...p,
k
j
j
j
sendo
um número binomial, o que implica
∈ Z, ou seja,
(j − k) ...p ∈ Z e,
k
k
k
1
1
j!
∈ Z e é divisı́vel por p. Dessa forma, os coeficientes de
Q(i) (x)
portanto,
k! (p − 1)!
(p − 1)!
são números inteiros divisı́veis por p.
Teorema 5.1 O número π é transcendente.
Demonstração
Suponhamos que π é um número algébrico. Então, iπ também é algébrico (produto
de algébricos). Logo, iπ é raiz de uma equação polinomial
P1 (x) = 0
(11)
com coeficientes inteiros.
Sejam α1 = iπ, α2 , ..., αn as n raı́zes de (11). Como eiπ = −1, segue-se que
n
(1 + eαj ) = 0.
(12)
j=1
Desenvolvendo o produtório (12), obtemos uma expressão da forma “1+ somatório de
exponenciais” cujos expoentes são:
[1] α1 , α2 , ..., αn ;
[2] αi + αj , para todo i < j;
[3] αi + αj + αk , para todo i < j < k;
..
.
[n] α1 + ... + αn .
n
n
n
Em [1] temos
= n termos, em [2] temos
termos, em [3] temos
termos,...,
2
3
1
n
em [n] temos
= 1 termos.
n
O fato de α1 , ..., αn satisfazerem uma equação polinomial com coeficientes inteiros
(P1 (x) = 0) implica que:
(a) Pelo Corolário 4.1, os números de [2] satisfazem uma equação polinomial de grau
n
, com coeficientes inteiros:
2
P2 (x) = 0.
(b) Pelo Corolário 4.1, os números de [3] satisfazem uma equação polinomial de grau
n
, com coeficientes inteiros:
3
P3 (x) = 0.
E assim sucessivamente.
Desse modo, os números [1] , ..., [n] satisfazem a equação polinomial:
P1 (x) ...Pn (x) = 0
(13)
n
n
com coeficientes inteiros cujo grau é n +
+ ... +
= 2n − 1.
2
n
(Obs.: Esta última igualdade segue do fato de que:
n n
n n−1
n n−2 2
n
n n
n
n−1
(a + b) =
+
a +
a b+
a b + ... +
ab
b .
0
1
2
n−1
n
Para a = b = 1, temos:
n
n
n
n
n
+
+
+ ... +
+
,
(2) =
0
1
2
n−1
n
n
como querı́amos.)
Considerando a possibilidade de alguns dos números em [1] , ..., [n] serem nulos, vamos
supor que m deles são diferentes de zero, representando-os por β1 , ..., βm (isto significa
que m ≤ 2n − 1).
Simplificando (13) de modo que encontremos uma equação de grau m cujas raı́zes são
β1 , ..., βm , temos:
(14)
R (x) = cxm + cm−1 xm−1 + ... + c1 x + c0 = 0,
sendo ci ∈ Z.
Agora, efetuamos o produto de (12) e obtemos
k + eβ1 + ... + eβm = 0,
(15)
sendo k ∈ N.
Consideremos o polinômio
P (x) =
cs
xp−1 (R (x))p ,
(p − 1)!
(16)
sendo s = mp−1 e p um número primo grande a ser escolhido posteriormente. Observemos
que o grau de P é r = (p − 1) + pm = s + p.
Seja:
F (x) = P (x) + P (x) + ... + P (r) (x) .
Desta forma, devido ao Lema 5.1:
d −x
e F (x) = −e−x P (x) .
dx
(17)
Ao aplicarmos o Teorema 3.1 à função f (z) = e−z F (z) e tomando z2 = βj , j = 1, ..., m
e z1 = 0, obtemos:
|f (βj ) − f (0)| ≤ 2 |βj | sup {|f (λ (βj ))| : 0 ≤ λ ≤ 1} .
Usando (17):
−β
e j F (βj ) − F (0) ≤ 2 |βj | sup e−λβj P (λβj ) : 0 ≤ λ ≤ 1 .
Definemos
εj = 2 |βj | sup e(1−λ)βj P (λβj ) : 0 ≤ λ ≤ 1 .
(18)
(19)
Então, de (18) temos:
F (βj ) − eβj F (0) ≤ εj .
Observemos que desta inequação, para cada j = 1, ..., m, temos:
⎧ F (β1 ) − eβ1 F (0) ≤ ε1
⎪
⎪
⎪ ⎨
F (β2 ) − eβ2 F (0) ≤ ε2
..
⎪
.
⎪
⎪
⎩ F (β ) − eβm F (0) ≤ ε
m
m
E como de (15) temos k = −
m
(20)
eβj , do somatório de (20) obtemos
j=1
m
m
ε
kF (0) + F (βj ) ≤
j=1 j
j=1
(21)
Agora vamos mostrar que o lado esquerdo de (21) é um inteiro não nulo, e que o lado
direito, para algum p primo grande, é menor que 1; gerando, assim, uma contradição.
cs
xp−1 (R (x))p conforme definido em (16) é da forma
Observemos que P (x) =
(p − 1)!
p p−1
cs
c0 x
+ bxp + ...
(p − 1)!
cs
H (x) .
=
(p − 1)!
P (x) =
Temos:
(22)
P (i) (0) = 0, para i < p − 1.
Neste caso em qualquer derivada de ordem i, o polinômio H (i) (x) apresentará potências
de x em todos os termos do seu somatório. Daı́, H (i) (0) = 0.
Temos ainda:
P (p−1) (0) = cs cp0 ,
pois a derivada de ordem (p − 1) de H (x) será H (p−1) (x) = cp0 (p − 1)! + bp!x + ...
Como R (βj ) = 0, j = 1, ..., m, então:
P (i) (βj ) = 0, i < p,
(23)
pois, R (x) é fator comum nestas derivadas.
Observando que o polinômio Q (x) = (p − 1)!P (x) possui grau maior que p e coefi1
Q(i) (x) = P (i) (x) , para i ≥ p,
cientes inteiros, pelo Lema 5.2 os coeficientes de
(p − 1)!
são inteiros divisı́veis por p.
Observemos também que todos os termos de P (x) são múltiplos de cs .
Então:
Todos os coeficientes de P (i) (x) , i ≥ p, são inteiros divisı́veis por pcs .
Portanto,
F (0) = cs cp0 + pcs k0 ,
(24)
pois
(22)
F (x) = P (x) + P (x) + ... + P (p−2) (x) + P (p−1) (x) + P (p) (x) + ... + P (r) (x) =⇒
(24)
F (0) = 0 + 0 + ... + 0 + cs cp0 + P (p) (0) + ... + P (r) (0) =⇒
F (0) = cs cp0 + pcs k0 ,
sendo k0 ∈ Z.
Observemos que:
(23)
F (βj ) = P (βj ) + P (βj ) + ... + P (r) (βj ) = P (p) (βj ) + ... + P (r) (βj ) .
Conseqüentemente:
m
j=1
F (βj ) =
m P (i) (βj ) =
j=1i≥p
m
i≥pj=1
P (i) (βj ) .
(25)
Por um momento vamos considerar a expressão:
m
j=1
P (i) (βj ) ,
(26)
para cada i fixado, com p ≤ i ≤ s + p.
Por (24), o polinômio P (i) (x) tem coeficientes inteiros divisı́veis por pcs . Como P (x)
tem grau s + p, então P (i) (x) tem grau s + p − i ≤ s, pois p ≤ i.
Portanto, podemos escrever (26) da seguinte forma:
m
P (i) (βj ) = pcs T (β1 , ..., βm ) ,
(27)
j=1
sendo T (β1 , .., βm ) um polinômio nos βj s de grau menor ou igual a s.
m
Desta forma, para cada i, temos que
P (i) (βj ) é um polinômio simétrico nos βj s
j=1
com coeficientes inteiros, pois T (β1 , .., βm ) assim o é.
Pela Proposição 4.1, existe um polinômio G (σ1 , ..., σn ) de peso menor ou igual a s com
coeficientes inteiros, sendo σ1 , ..., σn os polinômios simétricos elementares em β1 , .., βm , de
modo que:
T (β1 , ..., βn ) = G (σ1 , ..., σn ) .
(28)
Pela definição de polinômios simétricos elementares, temos que:
⎧
m
⎪
⎪
σ
=
βj
1
⎪
⎪
⎪
j=1
⎪
⎨
σ2 = βi βj
.
i<j
⎪
⎪
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎩
σn = β1 β2 ...βm
(29)
Como β1 , β2 , ..., βm são raı́zes de P (x) = cxm + cm−1 xm−1 + ... + c0 segue-se que:
⎧
m
cm−1
⎪
⎪
=
βj
−
⎪
⎪
c
j=1
⎪
⎪
⎪
⎨ cm−2 = β β
i j
c
.
(30)
i<j
⎪
..
⎪
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎩ (−1)m c0 = β1 β2 ...βm
c
Igualando os sistemas (29) e (30) temos:
⎧
cm−1
⎪
σ1 = −
⎪
⎪
c
⎪
⎪
cm−1
⎨
σ2 =
.
c
⎪
...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ σm = (−1)m c0
c
(31)
Portanto, de (27), (28) e (31), temos que a expressão (26) é um inteiro divisı́vel por p
e, consequentemente, (25) será dado por
m
j=1
F (βj ) = pk1 ,
sendo k1 ∈ Z.
Tomando o lado esquerdo de (21) temos
m
p
kF (0) + F (βj ) = |k (cs c0 + pcs k0 ) + pk1 |
j=1
= |p (cs k0 k + k1 ) + kcs cp0 |
= |pK + kcs cp0 | ,
(32)
sendo K = cs k0 k + k1 .
A partir de agora consideremos o número primo p maior que k, c e c0 . Logo, o inteiro
(32) não é divisı́vel por p (pois p | kcs cp0 e p | pK ⇒ p | |pK + kcs cp0 |) e, consequentemente,
é diferente de zero.
m
εj .
Vamos calcular uma estimativa para o termo no lado direito de (21), isto é,
j=1
Seja:
M = max {|β1 | , .., |βm |} .
Como:
temos:
(19)
εj = 2 |βj | sup e(1−λ)βj P (λβj ) : 0 ≤ λ ≤ 1 ,
εj ≤ 2M sup e(1−λ)M P (λβj ) : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒
s
c
p−1
p
M
εj ≤ 2M e sup (λM ) (R (λβj )) : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒
(p − 1)!
|c|s
M p−1 sup {|(R (λβj ))p | : 0 ≤ λ ≤ 1} .
εj ≤ 2M e
(p − 1)!
M
Seja:
N = max {|R (z)| : |z| < M } .
Daı́:
|c|s
εj ≤ 2M e
M p−1 N p
(p − 1)!
M
e, como s = mp − 1, temos:
m−1
εj ≤ 2M N e |c|
M
p−1
(M N |c|m )
(p − 1)!
e
m−1
lim 2M N e |c|
M
p→∞
p−1
(M N |c|m )
(p − 1)!
p−1
(M N |c|m )
= 2M N e |c|
lim
p→∞
(p − 1)!
m−1
M
.0
= 2M N e |c|
= 0,
M
m−1
An
= 0 para qualquer A > 0.
n→∞ n!
1
Logo, para algum p suficientemente grande, podemos fazer εj <
, daı́ temos
m+1
m
m
< 1.
(33)
εj ≤
m+1
j=1
m
m
εj .
Lembremos que (21) é : kF (0) + F (βj ) ≤
j=1
j=1
Mostramos, portanto, que o lado esquerdo é um inteiro não divisı́vel por p; Conseqüentemente, não nulo e de (33), temos que o lado direito é menor que 1. Uma contradição
que surge do fato de supormos que π é algébrico. Logo, π não pode ser algébrico, isto é,
π é transcendente.
pois o fatorial majora qualquer exponencial, isto é, lim
Referências
[1] Davis, H. Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula. Computação. Trad. Bras. v. 2, São Paulo, SP: Atual, 1992.
[2] Figueiredo, D. G. Números Irracionais e Transcendentes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Col. Fund. da Matemática Elementar, 1985.
[3] Gundlach, B. H. Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula.
Números e Numerais. Trad. Bras. v.1, São Paulo, SP: Atual, 1992.
[4] Niven, I. Números: Racionais e Irracionais. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM). Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, 1984.
[5] Oliveira, A. A., Silva, U. P & Agustini E. “A Transcendência do Número e”.
FAMAT em Revista, Número 03. Setembro de 2004. (www.famat.ufu.br)
[6] Wagner, E. Construções Geométricas. Rio de Janeiro, RJ: Publicação da Sociedade
Brasileira de Matemática (SBM). Coleção do Professor de Matemática, 2000.
OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE PARTÍCULAS
Jair Rocha do Prado 1, Sezimária F. P. Saramago2
Faculdade de Matemática – Famat
38408-100, Uberlândia – MG
abril de 2005
Resumo. Neste trabalho é apresentado um método de otimização natural conhecido como
Colônia de Partículas (Particle Swarm Optimization), um algoritmo baseado no
comportamento social de aves. A busca por alimento ou pelo ninho e a interação entre os
pássaros ao longo do vôo são modelados como um mecanismo de otimização. Desta forma, a
área sobrevoada é equivalente ao espaço de projeto e encontrar o local com comida ou o
ninho é semelhante a encontrar o ótimo. O algoritmo é baseado em um modelo simplificado
da teoria de enxames (swarm theory), através da qual os pássaros ou partículas fazem uso de
suas experiências e da experiência do próprio bando para encontrarem o ninho ou alimento.
Algumas aplicações são apresentadas para ilustrar a metodologia estudada e os resultados
obtidos são comparados com as soluções encontradas utilizando Algoritmos Genéticos.
Palavras-chave: Otimização, Otimização por Colônia de Partículas, Algoritmos Evolutivos
PARTICLE SWARM OPTIMIZATION
Abstract. In this work it is presented the natural optimization method known as Particle
Swarm Optimization, an algorithm based on social behavior of birds. The search procedure
for food or nest and the interaction among the birds through the flying are modeled as an
optimization mechanism. By this way, the flight area is equivalent to the design space and to
find the local with food or the nest is similar to find the optimum. The algorithm is based on a
simplified model of the swarm theory, in which the birds or particles make use of their own
experience and the swarm experience in order to find local with food or the nest. Some
applications are presented to illustrate the studied methodologies.
Keywords: Optimization, Particle Swarm Optimization, Genetic Algorithms.
1
Faculdade de Matemática, UFU, e-mail: [email protected]
Faculdade de Matemática, UFU, e-mail: [email protected]
Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.
2
1. INTRODUÇÃO
Problemas de otimização são caracterizados por situações em que se deseja maximizar
ou minimizar uma função numérica de várias variáveis, num contexto em que podem existir
restrições. Tanto as funções acima mencionadas como as restrições dependem dos valores
assumidos pelas variáveis de projeto ao longo do procedimento de otimização.
Pode-se aplicar otimização em várias áreas, como por exemplo no projeto de sistemas
ou componentes, planejamento e análise de operações, problemas de otimização de estruturas,
otimização de forma, controle de sistemas dinâmicos.
A otimização tem como vantagens diminuir o tempo dedicado ao projeto, possibilitar o
tratamento simultâneo de uma grande quantidade de variáveis e restrições de difícil
visualização gráfica e/ou tabular, possibilitar a obtenção de algo melhor, obtenção de soluções
não tradicionais, menor custo.
As técnicas clássicas de otimização são conhecidas à bem mais de um século, sendo
utilizadas na física e na geometria, servindo-se de ferramentas associadas às equações
diferenciais ao Cálculo Variacional. A sofisticação dos recursos computacionais,
desenvolvidos nos últimos anos, tem motivado um grande avanço nas técnicas de otimização.
Aliado ao fato de que os problemas tornam-se cada vez mais complexos.
Técnicas clássicas de otimização são confiáveis e possuem aplicações nos mais
diferentes campos de engenharia e de outras ciências. Porém, estas técnicas podem apresentar
algumas dificuldades numéricas e problemas de robustez relacionados com: a falta de
continuidade das funções a serem otimizadas ou de suas restrições, funções não convexas,
multimodalidade, existência de ruídos nas funções, necessidade de se trabalhar com valores
discretos para as variáveis, existência de mínimos ou máximos locais, etc. Assim, os estudos
de métodos heurísticos, com busca randômica controlada por critérios probabilísticos,
reaparecem como uma forte tendência nos últimos anos, principalmente devido ao avanço
dos recursos computacionais, pois um fator limitante destes métodos é a necessidade de um
número elevado de avaliações da função objetivo (Schwefel e Taylor, 1994).
Métodos clássicos possuem como grande vantagem, o baixo número de avaliações da
função objetivo, o que faz com que tenham convergência rápida. Contudo, estes métodos têm
uma dificuldade para trabalhar com mínimos locais. Como estes métodos utilizam um único
ponto do espaço de projeto e informações sobre os gradientes, ao se depararem com mínimos
locais estes métodos não conseguem avançar na busca, convergindo prematuramente, sem
encontrar o mínimo global.
Nos métodos de otimização natural, a função objetivo é avalizada várias vezes, sendo
possível trabalhar com vários pontos ao mesmo tempo em uma iteração (população). Isto
eleva o custo computacional destes métodos. Entretanto, este fato é compensado pela menor
chance que estes métodos têm de serem “presos” em mínimos locais. Há claramente uma
relação de compromisso estabelecida.
De forma geral, os métodos de otimização natural requerem maior esforço
computacional quando comparados aos métodos clássicos, mas apresentam vantagens tais
como: fácil implementação, robustez e não requerem continuidade na definição do problema
(Venter e Sobieszczanski-Sobieski, 2002).
Como exemplo desta classe de métodos, pode-se citadar os Algoritmos Genéticos, que
trabalham com técnicas de computação evolutiva, as quais modelam a evolução das espécies
proposta por Darwin e operando sobre uma população de candidatos (possíveis soluções). A
idéia é que a evolução da população faça com que a formação dos cromossomos dos
indivíduos caminhe para o ótimo, à medida que aumenta sua função de adaptação (fitness).
O algoritmo conhecido como Colônia de Partículas (Particle Swarm Optimization),
um método baseado no comportamento social de aves. A busca por alimento ou pelo ninho e a
interação entre os pássaros ao longo do vôo são modelados como um mecanismo de
otimização. Fazendo uma analogia, a área sobrevoada é equivalente ao espaço de projeto e
encontrar o local com comida ou o ninho corresponde a encontrar o ótimo. O algoritmo é
baseado em um modelo simplificado da teoria de enxames (swarm theory), através da qual os
pássaros ou partículas fazem uso de suas experiências e da experiência do próprio bando para
encontrarem o ninho ou alimento. As aplicações presentes na literatura evidenciam a
capacidade do algoritmo na solução de diferentes problemas, bem como salientam a
habilidade de trabalhar com variáveis discretas e contínuas simultaneamente.
1.1 Problema Geral de Otimização
O problema geral de otimização consiste em minimizar uma função objetivo, sujeita, ou
não, a restrições de igualdade, desigualdade e restrições laterais.
A função objetivo e as funções de restrições podem ser funções lineares ou não
lineares em relação às variáveis de projeto, implícitas ou explícitas, calculadas por técnicas
analíticas ou numéricas.
Seja o problema geral de otimização dado por:
Minimizar :
f (x) , x
[ x1, x2 ,, xn ]T ,xH n Sujeito a: g j (x) t 0 , j=1,2,...,J
hk (x) = 0 , k=1,2,...,K
(2)
xi(L ) d x d xi(U ) , i= 1,2,..., n
onde, f ( X ) representa a função objetivo, g j e hk as restrições de desigualdade e de
igualdade, xi(L) e xi(U) as restrições laterais. Todas estas funções assumem valores em n e
são, na maioria dos casos, não-lineares.
2. MÉTODOS DE ORDEM ZERO
Figura 1- Esquema do Método de Ordem Zero
São métodos simples, de fácil implementação, confiáveis e capazes de trabalhar com
valores discretos. Requerem apenas o cálculo de F(X), não dependem do gradiente e da
continuidade da função. Necessitam de um grande número de avaliações da função objetivo, o
que aumenta o custo computacional. A idéia básica é selecionar um grande número de
vetores de projeto x e calcular f(x) correspondente a cada um. O vetor correspondente ao
menor valor de f(x) será adotado como o valor ótimo x.
O vetor x é selecionado de forma randômica no espaço de projeto. Para limitar a busca,
utiliza-se as restrições laterais. Um número randômico r é gerado, r [0 , 1] , e as variáveis
de projeto da q-ésima iteração atualizadas:
xi q
xil r ( xiu xil )
(3)
O processo do método de Ordem Zero está apresentado no fluxograma da Fig. 1.
Neste caso, o critério de parada adotado é o número máximo de iterações. Porém, outros
critérios podem ser incorporados ao programa.
2.1 Exemplo Ilustrativo
Considere o problema de minimização de uma função escrita por:
g(x,y) = x sen(4x) + 1,1 y sen(2y)
(4)
restrições laterais: 8 < x < 10, 8 < y < 10
A Fig. 2 ilustra o gráfico da função g(x,y) e suas curvas de nível, respectivamente.
Acompanhando, por exemplo, uma evolução do método de Ordem Zero aplicado ao
problema (3), para um máximo de 100 iterações, os melhores resultados podem ser
verificados na Tabela 1, sendo que o valor ótimo foi encontrado na 58º iteração.
O ponto de mínimo obtido foi:
F*= -18.2155
E as variáveis de projeto correspondentes ao pónto de mínimo:
X* =[ 9.0111 ; 8.7895 ].
Tabela 1- Evolução do Método de Ordem Zero aplicado à Equação (3)
a)
Iteração X(1)
X(2)
F(X)
3
8.1776
8.3915
-0.2517
5
9.3963
8.2914
-8.0677
8
9.1431
8.3260
-15.674
26
8.9579
8.5686
-17.898
58
9.0111
8.7895
-18.216
b)
Figura 2- (a) Gráfico da função da Equação (3), (b) curvas de nível desta função.
Os pontos randômicos criados pelo algoritmo podem ser visualizados na Fig. 3, notase que o ponto mínimo obtido ainda pode ser melhorado.
Figura 3- Evolução do Método de Ordem Zero aplicado à Equação (3).
3. OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE PARTÍCULAS (PARTICLE SWARM
OPTIMIZATION)
Otimização por colônia de partículas (PSO), é uma técnica de otimização desenvolvida
na década de 90, mais precisamente em 1995, por James Kennedy e Russel Eberhart. Neste
modelo é analisado algoritmos que modelam o “comportamento social” visto em várias
espécies de pássaros.
Dentre vários modelos vamos estudar a técnica desenvolvida pelo biólogo Frank
Heppener que é baseada no seguinte comportamento: pássaros estão dispostos aleatoriamente
e estes estão a procura por alimento e um local para construir o seu ninho,eles não sabem
onde está esse lugar e este é único. A indagação é qual o melhor comportamento que os
pássaros terão que realizar para conseguir efetuar seu objetivo, parece mais evidente que eles
sigam o pássaro que estiver mais próximo do alimento ou do ninho. Inicialmente os pássaros
voam sem nenhuma orientação prévia, eles se aglomeram em bandos, até que um consegue
encontrar o ninho e atrai os que estiverem mais próximos.
Pelo fato de um pássaro encontrar o ninho a chance de os outros pássaros também
encontrarem aumenta consideravelmente, isto se deve ao fato de a inteligência ser social, ou
seja, o indivíduo aprende com o acerto do outro.
3.1 O algoritmo Paticle Swarm Optimization
O algoritmo Particle Swarm Optimization (PSO) foi introduzido por James Kennedy e
Russell Elberhart em 1995 e emergiu de esperiências com algoritmos que modelam o
“comportamento social” observado em muitas espécies de pássaros (Pomeroy, 2003), os
pássaros são chamados de partículas e durante a busca por alimento ou ninho usam de suas
experiências e da experiência do bando. O PSO é um algoritmo que possui um vetor de
velocidades e outro de posição, a posição de cada partícula é atualizada de acordo com a
velocidade atual, o saber adquirido pela partícula e o saber adquirido pelo bando. O
fluxograma mostrado na Figura 4 representa um esboço do algoritmo (Rojas et al, 2004).
A posição das partículas é calculada segundo a equação:
x ki 1
x ki v ki 1 't
(5)
Onde:
x ki 1 é a posição de cada partícula i na iteração k+1
v ki 1 é o vetor de velocidade desta partícula
't: equivale ao espaço de tempo considerado.
Figura 4 – Fluxograma para o algoritmo PSO básico
O vetor de velocidade é atualizado conforme a equação:
v ki 1 = wv ki + c1 r1
( p s x ki )
( p i xki )
+ c 2 r2 k
't
't
(6)
Considerando que, vki é a velocidade atual da partícula;
r1 , r2 são números aleatórios entre 0 e 1;
p i é a melhor posição encontrada pela partícula i e
p ks é a melhor posição do bando na iteração k.
O cálculo da velocidade necessita, ainda, de alguns parâmetros dependentes do
problema, que são: a inércia da partícula (w), que controla a capacidade de exploração do
algoritmo, ou seja, um valor alto facilita um comportamento mais global, enquanto um valor
baixo facilita um comportamento mais local (Venter e Sobieszczanski-Sobieski, 2002), e os
dois parâmetros de confiança c1 e, c2 que indicam o quanto uma partícula confia em si (c1),e
no bando (c2). A Figura 5 mostra a aplicação da equação anterior, considerando duas
partículas se deslocando em um espaço de projeto bidimensional.
Os parâmetros de confiança e de inércia, devem ser ajustados de acordo com o
problema, pois são utilizados para a atualização do vetor velocidade. Alguns autores propõem
que sejam adotados c1 = c2 = 2 e 0.7 < w < 1.4. Sugere-se, também, a adoção de valores
diferentes para c1 e c2 desde que satisfaçam c1 + c2 = 4.
A inércia pode ser atualizada de forma iterativa pela expressão:
wnew = f w wold
(7)
Considerando o fator de redução, fw uma constante entre 0 e 1. São usados neste trabalho,a
inércia constante w0 = 0.729 e c1 = c2 = 2.
Figura 5: Vetor de velocidades em ação
Onde:
vsi – velocidade próxima ao ótimo da colônia
vpi – velocidade próxima ao ótimo da partícula
ps – colônia ótima
pi – partícula ótima
- posição atual
- posição próxima
3.2 Colônia Inicial
A inicialização da população de colônia normalmente é obtida com as partículas dispostas
aleatoriamente sobre o espaço de projeto, cada uma possui um vetor de velocidade aleatório
inicial. As equações a seguir mostram como são obtidos a posição e o vetor de velocidades
iniciais.
x0i = x min + r1 ( x max x min )
(8)
v0i
x min r2 ( x max x min )
't
(9)
Onde,
r1 e r2 são números aleatórios entre 0 e 1;
x min é o limite interior das restrições laterais para as variáveis de projeto;
x max é o limite superior das restrições laterais para as variáveis de projeto.
3.3 Otimização com restrições
Os algarismos evolutivos e PSO, por tratarem-se de algoritmos naturais, não trabalham
diretamente com restrições. Uma estratégia para se fazer com que estes algoritmos manipulem
restrições, é utilização de funções de penalidade quadrática estendida.
Assim, defini-se uma função pseudo-objetivo definida Ȍ (x):
m
Ȍ (x) = f(x) + rp ¦ max[0, g i ( x )] 2
i 1
(10)
Sendo,
f(x) a função objetivo original;
rp um fator de penalidade (de ordem variável segundo o tipo de problema);
g i (x )
o conjunto de todas as restrições (com violações para g i (x ) >0);
Quando há restrições nos problemas de otimização, as partículas que desrespeitam
alguma restrição se enquadram em um grupo que merecem um tratamento especial, esse
tratamento se inicia pelo cálculo do novo vetor de velocidade, dado pela seguinte equação:
v ki 1 = c1 r1
( p i x ki )
't
c 2 r2
( p ks x ki )
't
(11)
Observe que a Equação (11) não leva em consideração a informação do vetor de
velocidade na iteração anterior para o novo cálculo do vetor de velocidade, isto se deve ao
fato de a partícula estar “se divergindo” em direção a uma violação.
Na maioria das vezes este novo vetor de velocidades se destinará a uma região viável e
a partícula sai da restrição.
3.4 Variáveis de Projeto Discretas / Inteiras
O PSO é um algoritmo contínuo, contrapondo os Algoritmos Genéticos que
primeiramente eram destinados a variáveis discretas. Porém, o PSO pode ser muito eficiente
na resolução de problemas com variáveis discretas, desde que sejam feitas algumas
modificações no algoritmo, por exemplo a posição de cada partícula é arredondada para o
valor inteiro mais próximo logo em seguida a aplicação da Equação (5) ou da Equação (8).
4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Para a realização de simulações numéricas foram utilizados o programa GAOT para
Algoritmos Genéticos e um código desenvolvido em Matlab para o PSO
Exemplo 1:
a) min f(x) = exp(x) * sen(x) ; 0 <x < 9,3;
GAOT: f(x) = -172,6409;
x = 5,4978;
PSO:
f(x) = -172,6409;
x = 5,4978;
b) máx f(x) = exp(x) * sen(x) ; 0 <x< 9.3;
GAOT: f(x) = 3995,0;
x =8,6394;
PSO: f(x) = 3995,0;
x = 8,6394;
Figura 6 – Representação gráfica de y = exp (x) * sen (x)
Exemplo 2:
a) min f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2; -10<x1<10; -10<x2<10;
GAOT: f(x) = 0;
x = [-2 1];
PSO:
f(x) = 0;
x = [-2 1];
b) máx f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2; -10<x1<10; -10<x2<10;
GAOT: f(x) = 265;
x = [10 -10];
PSO:
f(x) = 265;
x = [10 -10];
Figura 7 – Representação gráfica de y = (x1+2)2 + (x2 –2)2
Exemplo 3:
a) min f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2 + x3; -10<x1<10; -10<x2<10; -10<x3<10
GAOT: f(x) = -10;
x = [-2 1 -10];
PSO: f(x) = -10;
x = [-2 1 -10];
b) máx f(x) = (x1 + 2)2 + (x2 – 1)2 + x3; -10<x1<10; -10<x2<10; -10<x3<10
GAOT: f(x) =275;
x = [10 - 10 10];
PSO:
f(x) = 275;
x = [10 -10 10];
Exemplo 4:
Seja o seguinte problema:
Determinar a posição de equilíbrio estático de um sistema constituído de 2 molas (K1 e K2)
solicitado por duas forças constantes (P1 e P2), de forma a minimizar sua energia potencial:
Figura 8 - Esquema do problema físico
dados: P1 = P2 = 5 N;
K1 = 8 N/cm;
restrições laterais: Xi [0 , 10]
K2 = 1 N/cm ;
l1 l2 =10 cm
A energia potencial (Ep) é calculada pela seguinte equação:
2
½

2
2
ª
º
°
°0,5 K1 « X1 (l1 X 2 ) l1»
¬
¼
°
°
2°
°°
°
Ep ® 0,5 K2 ª X12 (l2 X 2 )2 l2 º ¾
«¬
»¼
°
°
°
° P1 X1 P2 X 2
°
°
°¿
°¯
Como deseja-se minimizar a energia potencial do sistema, a função objetivo a ser maximizada
será:
2 ½

2
2
ª
º
°0,5K1 « X1 (l1 X2) l1» °
¬
¼ °
°
2 °
°°
°
F(X1, X2) ®0,5K2 ª X12 (l2 X2)2 l2º ¾
«¬
»¼
°
°
°P1 X1 P2 X2
°
°
°
°¯
°¿
Utilizando o código computacional GAOT, obteve-se os seguintes resultados:
Epmin = 0.418082 J
Xotimo = [8.6323 4.5319] (cm)
Utilizando o código computacional PSO, obteve-se os seguintes resultados:
Epmin = 0418082 J
Xotimo = [8.6323 4.5319] (cm)
Conclusão
Este trabalho apresenta um estudo sobre algoritmos evolutivos, considerando duas
técnicas desenvolvidas recentemente: otimização por colônia de partículas (particle swarm) e
algoritmos genéticos.
Através de simulações numéricas aplicadas a problemas simples, pode-se observar que
as duas técnicas convergem para os mesmos resultados. Além disso, observa-se que a
otimização por colônia de partículas trabalha com um tamanho de população bastante
reduzido, portanto seu esforço computacional é pequeno. Este fato, incentiva pesquisas
futuras, onde esta técnica será aplicada a problemas complexos que requerem muitas
avaliações da função objetivo.
Referências Bibliográficas
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VENTER, G. AND SOBIESZCZANSKI-SOBIESKI, J., “Particle Swarm Optimization”,
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IEEE Internacional Conference on Nerual Networks, Perth, Australia, 1995, pp. 1942-1948.
POMEROY,
P.,
“An
Introduction
to
http://www.adaptiveview.com, [15 Setembro de 2003].
Particle
Swarm
Optimization”,
Jairo Menezes e Souza∗
Cı́cero Fernandes de Carvalho†
Abril de 2005
Resumo
Neste trabalho apresentamos os conceitos iniciais no estudo de Variedades Algébricas
Afins, sendo que o nosso tema central é o estudo de funções polinomiais sobre uma
variedade e aplicações polinomiais entre variedades. O trabalho termina relacionando aplicações entre variedades e homomorfismos de k-álgebras, fazendo assim
uma ponte entre Álgebra e Geometria. A referência principal é o livro recente de
Klaus Hulek [3], sendo que [1] e [2] foram consultados enventualmente.
1
Variedades afins
Definição 1.1 Dado um corpo k chamamos o conjunto k n de espaço afim n-dimensional
sobre k. Normalmente, não daremos a esse conjunto nenhuma estrutura algébrica (e.g.,
de espaço vetorial) e por isso é usual denotá-lo por Ank ou simplesmente An .
Seja A := k[X1 , ..., Xn ] o anel de polinômios em n variáveis sobre o corpo k. O conjunto
dos zeros de um ideal J ⊂ A é definido por,
V (J) := {P ∈ Ank |f (P ) = 0 para todo f ∈ J}
o que define uma aplicação
V : { ideais de A} −→ { conjuntos algébricos em Ank }
J −→ V (J)
na direção contrária, para todo subconjunto X ⊂ Ank definimos um ideal
I(X) := {f ∈ A|f (P ) = 0 para todo P ∈ X},
∗
(PetMat)
†
também temos definida uma aplicação
I : { subconjuntos de Ank } −→ { ideais de A}
X −→ I(X)
Lema 1.2 A aplicação V satisfaz o seguinte
(1) V (0) = Ank , V (A) = ∅,
(2) I ⊂ J → V (J) ⊂ V (I)
(3) V (J
1 ∩ J2 ) =
V (J1 ) ∪ V (J2 )
(4) V
λ∈Λ Jλ =
λ∈Λ V (Jλ ).
Prova. (1) É óbvio.
(2) Seja P ∈ V (J), f (P ) = 0 para todo f ∈ J. Como I ⊂ J, g(P ) = 0 para todo g ∈ I,
logo P ∈ V (I).
(3) “⊃”Seja P ∈ V (J1 ) ∪ V (J2). Suponha, sem perda de generalidade, que P ∈ V (J1 ) daı́
f (P ) = 0 para todo f ∈ J1 . Assim g(P ) = 0 para todo g ∈ J1 ∩ J2 , e daı́ P ∈ V (J1 ∩ J2 )
“⊂”tome P ∈
/ V (J1 ) ∪ V (J2 ) , então existem f ∈ J1 e g ∈ J2 tais que f (P ) = 0 e g(p) = 0.
/ V (J1 ∩ J2
).
Mas f g ∈ J1 ∩ J2 e f g(P ) = 0e logo P ∈
(4)
“⊂” Temos que Jλ0 ⊂
λ∈Λ Jλ e por (2) V (
λ∈Λ Jλ ) ⊂ V (Jλ0 ), ∀λ0 ∈ Λ, logo
V ( λ∈Λ Jλ ) ⊂ λ∈Λ V (Jλ ).
“⊃” Se P ∈ λ∈Λ V (Jλ ) então dado f ∈ λ∈Λ Jλ , f (P ) = 0 pois cada parcela se anula. O lema 1.2 nos diz que os conjuntos algébricos satisfazem os axiomas para fechados de
uma topologia. Por isso iremos nos referir aos conjuntos algébricos como fechados de
Zariski. Um subconjunto de Ank é chamado aberto de Zariski se o seu complementar for
fechado de Zariski.
Lema 1.3 As aplicações I e V Têm as seguintes Propriedades:
(1) X ⊂ Y ⇒ I(X) ⊃ I(Y )
(2) Para todo subconjunto X ⊂ Ank temos que X ⊆ V (I(X)). A igualdade vale se, e
somente se, X é algébrico.
(3) Se J ⊂ A é um ideal então J ⊂ I(V (J)).
Prova. (1) Se f ∈ I(Y ) então f (P ) = 0, ∀P ∈ Y . Como X ⊂ Y temos que
f (Q) = 0, ∀Q ∈ X, logo f ∈ I (X) .
(2) Pela definição de I e V temos que X ⊂ V (I (X)). Se X = V (I (X)) então X é
algébrico. Reciprocamente se X é algébrico então X = V (J0 ) para algum J0 ∈ A. Sempre temos que X ⊂ V (I (X)). Agora J0 ⊂ I (X) ⇒ V (I (X)) ⊂ V (J0 ) = X.
(3) Seja f ∈ J, é claro que f (P ) = 0, ∀P ∈ V (J). Então f ∈ I (V (J)). Definição 1.4 Dado um ideal J num anel R, o radical de J é definido como
√
J := {r| existe k ≥ 1 com rk ∈ J}.
Dizemos que J é um ideal radical se J =
√
J.
Definição 1.5 Um subconjunto algébrico X é chamado redutı́vel se adimite uma decomposição
X = X1 ∪ X2 ( X1 , X2 X)
em subconjuntos algébricos próprios X1 , X2 . Se não X é chamado irredutı́vel
Proposição 1.6 Seja X = ∅ um subconjunto algébrico. Então X é irredutı́vel se, e
somente se, I(X) é um ideal primo.
Prova. (1) Suponha X redutı́vel então existem subconjuntos algébricos X1 , X2 X tais
que X = X1 ∪ X2 . De X1 X temos que I(X) I(X1 ) logo existe f ∈ I(X1 ) − I(X).
De X2 X temos que I(X) I(X2 ) logo existe g ∈ I(X2 ) − I(X). Como X = X1 ∪ X2
temos que f g ∈ I(X). Portanto I(X) não é primo.
(2) Suponha que I(X) não é primo. Então existem f, g ∈ A com f g ∈ I(X), mas f ∈
/ I(X)
eg∈
/ I(X). Seja J1 := (I(X), f ) e J2 := (I(X), g). Tome X1 = V (J1 ) e X2 = V (J2 ). De
I(X) J1 vem X1 V (J(X)) = X. De I(X) J2 vem que X2 X. Por outro lado
X ⊂ X1 ∩ X2 pois dado P ∈ X, f g(P ) = 0 logo f (P ) = 0 ou g(P ) = 0. Então P ∈ X1
ou P ∈ X2 . Portanto X é redutı́vel. Definição 1.7 Uma variedade algébrica afim é um conjunto algébrico afim.
Vamos enunciar, sem demostração, o famoso Nullstellensatz(teorema dos zeros) de
Hilbert
Teorema 1.8 (Nullstellensatz).Seja k um corpo algebricamente fechado e seja A =
k[X1 , ..., Xn ]. Então o vale o seguinte:
(1) Todo ideal maximal m ⊂ A é da forma m = (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) = I(P ) para
algum ponto P = (a1 , . . . , an ) ∈ Ank .
(2) Se J A é um ideal próprio, então V (J) = ∅.
√
(3) Para todo ideal J ⊂ A temos que I(V (J)) = J.
Corolário 1.9 Para A = k[X1 , ..., Xn ], as aplicações V e I
V,I
{ideais de A} ←→ { subconjuntos de Ank }
induz as seguintes bijeções:
1:1
{subvariedades de Ank }
{ideais radicais de A} ←→
∪
∪
1:1
{ideais primos de A} ←→ {subvariedades irredutı́veis de Ank }
∪
∪
1:1
{pontos de Ank }
{ideais maximais de A} ←→
Prova. Dado X ⊂ Ank um conjunto√algébrico então V (I(X)) = X e se J é um ideal
radical temos por (3) que I(V (J)) = J = J. Daı́ temos a primeira bijeção. A segunda
bijeção segue da proposição 1.6 e a terceira de (1). 2
2.1
O anel de coordenadas de uma variedade
Definição 2.1 Uma função polinomial em V é uma aplicação f : V → k tal que existe
um polinômio F ∈ k[X1 , . . . , Xn ] com f (P ) = F (P ) para todo P ∈ V .
O polinômio F pode não ser unicamente determinado pelos valores tomados em V .
Em particular, para F e G ∈ k[X1 , . . . , Xn ] nós temos
F |V = G|V ⇐⇒ (F − G)|V = 0 ⇐⇒ F − G ∈ I(V ).
Assim, introduzimos a seguinte definição
Definição 2.2 O anel de coordenadas de V é definido por k[V ] := k[X1 , . . . , Xn ]/I(V ).
Da observação acima podemos fazer a seguinte identificação:
k[V ] = {f |f : V → k é uma função polinomial }.
Da proposição 1.6 nós temos
V é irredutı́vel ⇐⇒ k[V ] é um domı́nio de integridade
Note que as funções coordenadas X1 , . . . , Xn geram k[V ], o que explica a terminologia
“anel de coordenadas”. Na seção anterior estudamos as relações entre os subconjuntos de
Ank e os ideais no anel de coordenadas k[Ank ] = k[X1 , . . . , Xn ]. O anel k[V ] tem o mesmo
papel para V que k[X1 , . . . , Xn ] tem para Ank . Em particular, existe uma correspondência
entre os conjuntos fechados W ⊂ V e os ideais de k[V ]. Para descrever esta relação
primeiro note que a projeção π : k[X1 , . . . , Xn ] → k[V ] = k[X1 , . . . , Xn ]/I(V ) induz uma
bijeção
{ ideais J ⊂ k[X1 , . . . , Xn ]|J ⊃ I(V )} ←→ { ideais J ⊂ k[V ]}
definida por J → J/I(V ), com aplicação inversa J → π −1 (J ). Conseqüentemente, como
no corolário 1.9 temos a seguinte correspondência
1:1
{ideais radicais J ⊂ k[V ]} ←→ {conjuntos fechados W ⊂ V }
∪
∪
1:1
{ideais primos J ⊂ k[V ]} ←→ {conjuntos irredutı́veis W ⊂ V}
∪
∪
1:1
{pontos de V }
{ideais maximais J ⊂ k[V ]} ←→
Aqui estamos falando sobre conjuntos fechados em V com a noção de topologia induzida pela topologia de Zariski em Ank . Este resultado mostra que isto é o mesmo que a
topologia definida tomando os fechados de V para ser conjuntos da forma V (J), onde J
é um ideal radical em k[V ].
Vamos discutir agora a principal caracterı́stica do anel de coordenadas.
Definição 2.3 Uma álgebra A é reduzida se A não contém nenhum elemento nilpotente,
i.e., para x ∈ A, se xn = 0 para algum n ≥ 1, então x = 0.
A álgebra k[X1 , . . . , Xn ]/I é reduzida se, e só se, I é um ideal radical. De fato, se I
não é ideal radical então existe f ∈
/ I tal que f r ∈ I, para r ∈ N. Daı́ f¯r = f¯r = 0 mas
f¯ = 0. Reciprocamente, se f¯r = 0 então f r ∈ I que é radical, portanto f ∈ I e f¯ = 0.
Como I(V ) é um ideal radical o anel de coordenadas é uma álgebra reduzida. Por construção, o anel de coordenadas k[V ] de uma variedade afim V é uma k-álgebra finitamente
gerada. Estas propriedades caracterizam o anel de coordenadas de uma variedade, no sentido que, dada qualquer k-álgebra reduzida finitamente gerada A, podemos construir uma
variedade algébrica correspondente como segue. Pela escolha dos geradores a1 , . . . , an
podemos escrever A = k[a1 , . . . , an ], e nós temos um homomorfismo sobrejetivo
π : k[X1 , . . . , Xn ] −→ A = k[a1 , . . . , an ]
Xi −→ ai
Seja I = ker(π). Então V = V (I) é uma variedade que é irredutı́vel se, e só se, A é
domı́nio de integridade (proposição 1.6). Como A é reduzida, I é um ideal radical, logo
I(V ) = I, e portanto, pela construção A = k[V ].
2.2
Aplicações Polinomiais
A partir de agora V ⊂ Ank e W ⊂ Am
k são conjuntos fechados, e Xi para 1 ≤ i ≤ n, e Yi
para 1 ≤ i ≤ m, são funções coordenadas em Ank e Am
k respectivamente.
Definição 2.4 Uma aplicação f : V → W é chamada uma aplicação polinomial se existem polinômios F1 , . . . , Fm ∈ k[X1 , . . . , Xn ] tais que
f (P ) = (F1 (P ), . . . , Fm (P )) ∈ W ⊂ Am
k
para todo ponto P ∈ V .
Lema 2.5 Sejam Y1 , . . . , Ym as funções coordenadas em Am
k . Uma aplicação f : V → W
é uma aplicação polinomial se, e só se, fj := yj ◦ f ∈ k[V ] para j = 1, . . . , m.
Prova. Compondo f com Yj temos a projeção sobre a j-ésima coordenada.
Seja fj = Yj ◦ f . Então se f é uma aplicação polinomial nós temos fj (P ) = Fj (P )
para algum Fj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Então fj é uma aplicação polinomial e disso fj ∈ k[V ].
Por outro lado, se fj = Yi ◦ f é uma função polinomial para todo j, então pela definição
existem polinômios F1 , . . . , Fm com f (P ) = (F1 (P ), . . . , Fm (P )) para todo P ∈ V . Lema 2.6 Uma aplicação polinomial f : V → W é contı́nua na topologia de Zariski.
Prova. Devemos mostrar que dado um fechado Z ⊂ W então f −1 (Z) também é fechado.
Como Z = {P = (b1 , . . . , bm ) ∈ W | h1 (P ) = · · · = hr (P ) = 0, para hi ∈ k[Y1 , . . . , Ym ], i =
1, . . . , r} então f −1 (Z) = {P = (a1 , . . . , an ) ∈ V | (h1 ◦ f )(P ) = · · · = (hr ◦ f )(P ) = 0}, e
logo f −1 é fechado. l
Se V ⊂ Ank , W ⊂ Am
k e X ⊂ Ak são conjuntos algébricos, e f : V → W e g : W → X
são aplicações polinomiais, então g ◦ f : V → X é também uma aplicação polinomial. Isto
segue imediatamente do fato que composição de polinômios é também um polinômio.
Agora, seja f : V → W uma aplicação polinomial. para g ∈ k[W ] nós definimos
f ∗ (g) := g ◦ f .
Como g é uma função polinomial, g ◦ f é também uma função polinomial. Daı́ temos
a aplicação
f ∗ : k[W ] −→ k[V ]
g −→ f ∗ (g) = g ◦ f .
Se f : V → W , g : W → X são aplicações polinomiais, então (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ :
k[X] → k[V ]. Isto segue imediatamente do fato de que para h ∈ k[X] temos que
(g ◦ f )∗ (h) = h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f = g ∗ (h) ◦ f = f ∗ (g ∗ (h)).
A aplicação f ∗ é um homomorfismo de anéis, já que temos:
f ∗ (g1 + g2 ) = (g1 + g2 ) ◦ f = g1 ◦ f + g2 ◦ f = f ∗ (g1 ) + f ∗ (g2 )
f ∗ (g1 · g2 ) = (g1 · g2 ) ◦ f = (g1 ◦ f ) · (g2 ◦ f ) = f ∗ (g1 ) · f ∗ (g2 ).
Para qualquer constante c ∈ k nós temos f ∗ (c) = c, logo f ∗ é também um homomorfismo de k-álgebras. Segue que toda aplicação polinomial f : V → W induz um
homomorfismo de k-álgebra f ∗ : k[W ] → k[V ]. O próximo teorema diz que este processo
tem um inverso.
Proposição 2.7 Se ϕ : k[W ] → k[V ] é um homomorfismo de k-álgebra, então existe
uma única aplicação polinomial f : V → W tal que ϕ = f ∗ .
m
Prova. Suponha que W ⊂ Am
k , e seja Y1 , . . . , Ym as funções coordenadas em Ak . Então
k[W ] = k[Y1 , . . . , Ym ]/I(W ) = k[y1 , . . . , ym ],
onde yi = Yi + I(W ). Seja fi := ϕ(yi ) ∈ k[V ] para i = 1, . . . , m. Então
f := (f1 , . . . , fm ) : V −→ Am
k
é uma aplicação polinomial (lema 2.5). Primeiramente vamos mostrar que f (V ) ⊂ W .
Para ver isso, suponha que G = G(Y1 , . . . , Ym ) ∈ I(W ). Então em k[W ] nós temos
G(y1 , . . . , ym ) = 0 e então
G(f1 , . . . , fm ) = G(ϕ(y1 ), . . . , ϕ(ym )) = ϕ(G(y1 , . . . , ym ) = 0
o que implica que f (V ) ⊂ W . Agora devemos mostrar que ϕ = f ∗ . Os elementos
y1 , . . . , ym geram a k-álgebra k[W ], e então basta mostrar que ϕ(yi ) = f ∗ (yi ) = fi . Mas
isto é precisamente a definição de fi . Este argumento também mostra que f = (f1 , . . . , fm )
é a única aplicação polinomial com ϕ = f ∗ . Segue imediatamente o seguinte corolário
Corolário 2.8 Sejam C = {f | f : V → W é uma aplicação polinomial } e D = {ϕ| ϕ :
k[W ] → k[V ] é um homomorfismo de k-álgebras }. Então existe uma bijeção
C −→ D
f −→ f ∗
Referências
[1] BUMP, Daniel - Algebraic Geometry, World Scientific, 1998
[2] FULTON, Willian - Algebraic Curves:
Addison-Wesley, 1989.
an introduction to algebraic geometry,
[3] HULEK, Klaus - Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society,
2003
O Grupo Fundamental de Esferas
Rafael Peixoto∗
Walter dos Santos Motta Jr.†
Abril de 2005
Resumo
Inicialmente abordamos o conceito de grupo fundamental da esfera 1-dimensional,
conceito este que se configura em um importante invariante topológico. Posteriormente buscamos relacionar tal conceito com o teorema de Borsuk-Ulam e o mesmo
por sua vez com a separação, via áreas equivalentes, de regões poligonais no plano.
Finalmente desenvolvemos computações relativas ao cálculo do grupo fundamental
de esferas n-dimensionais.
Introdução
Em tudo que segue neste trabalho, estaremos considerando Rn como um espaço euclidiano
munido das estruturas usuais de produto, norma e distância. Além disso, quando nos referimos a ”espaço”estaremos nos referindo a um subconjunto de algum espaço euclidiano Rn .
Um problema central em topologia é determinar quando dois espaços X e Y são homeomorfos (ou seja, quando existe uma bijeção contı́nua, com inversa também contı́nua,
entre tais espaços). De fato, a construção de um homeomorfismo entre dois espaços é
uma tarefa por vezes complicada. Dada esta dificuldade em explorar a possibilidade (ou
não) da construção de tais homeomorfismos, em geral associa-se invariantes topológicos
(isto é, conceitos associados a X e Y que se preservariam sob ação de homeomorfismos)
que de forma indireta podem nos dar condições de responder sobre a existência ou não
de tais homeomorfismos entre os espaços X e Y . Dentre os invariantes mais conhecidos
destacam-se a ”compacidade”e a ”conexidade”. Neste trabalho, assumiremos conhecidos
os principais resultados envolvendo tais invariantes.
Nosso interesse doravante é abordar este novo conceito associado ao espaço X, o ”grupo
fundamental”do mesmo que, também configura-se num invariante topológico. O cálculo
dos grupos fundamentais não é, em geral, uma tarefa trivial, exigindo técnicas elaboradas.
Como exemplo-modelo iremos computar tais grupos para as esferas n-dimensionais. Dado
∗
[email protected] Orientando do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
†
que espaços homeomorfos devem possuir grupos fundamentais isomorfos (como veremos
a seguir), poderemos apresentar algumas respostas conclusivas quanto a exis-tência ou
não de homeomorfismos em algumas situações-modelo que estejam associadas direta ou
indiretamente com o conhecimento do grupo fundamental das esferas. Além disso, iremos
explorar outras caracterı́sticas topológicas associadas a tais modelos.
1
O grupo fundamental da esfera S 1
Sejam X um espaço e x0 um ponto arbitrário em X. Um caminho em X começando e
terminando em x0 é chamado de ciclo com ponto base x0 . Denotemos por C(X, x0 ) o
conjunto dos ciclos em X com ponto base x0 , ou seja, o conjunto das funções contı́nuas
f : [0, 1] → X tais que f (0) = f (1) = x0 .
Definição 1.1 Dizemos que f , g ∈ C(X, x0 ) são ciclos homotópicos em X se existe uma
aplicação contı́nua F : [0, 1] × [0, 1] → X tal que:
a) F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x), ∀x ∈ [0, 1];
b) F (0, t) = F (1, t) = x0 , ∀t ∈ [0, 1].
Neste caso, dizemos que F é uma homotopia entre f e g. Quando f e g são ciclos
homotópicos utilizaremos a notação f ≈ g.
Figura 1
Proposição 1.2 A relação ≈ definida acima é uma relação de equivalência em C(X, x0 ).
Dem.:
Dado f ∈ C(X, x0 ), a aplicação F : [0, 1] × [0, 1] → X, dada por F (x, t) = f (x) é uma
homotopia entre f e f , ou seja, ≈ é reflexiva. Agora, seja F : [0, 1] × [0, 1] → X uma
homotopia entre f e g. Definindo G : [0, 1] × [0, 1] → X por G(x, t) = F (x, 1 − t), obtemos
uma homotopia entre g e f . Logo, f ≈ g ⇒ g ≈ f , ou seja, a relação ≈ é simétrica.
Finalmente, suponha que f ≈ g e g ≈ h sendo F e G respectivamente suas homotopias.
Definindo H : [0, 1] × [0, 1] → X pela equação
F (x, 2t)
se t ∈ [0, 12 ]
H(x, t) =
G(x, 2t − 1) se t ∈ [ 12 , 1]
segue que H está bem definida pois para t = 12 , F (x, 2t) = g(x) = G(x, 2t − 1),
além disso H é contı́nua pois sobre os conjuntos fechados [0, 1] × [0, 12 ] e [0, 1] × [ 12 , 1],
H é naturalmente contı́nua, agora sendo C um subconjunto fechado de X, tem-se que
H −1 (C) = F −1 (C) ∪ G−1 (C), pela continuidade de F e G, segue que F −1 (C) e G−1 (C)
são ambos fechados, logo H −1 (C) é fechado e a continuidade de H segue da caracterização
de continuidade via conjuntos fechados. Portando, H é uma homotopia entre f e h, logo
f ≈ g, g ≈ h ⇒ f ≈ h, ou seja, a relação ≈ é transitiva.
Observação 1.3 Em lugar de C(X, x0 ) poderiamos tomar C(Y, X), conjunto das aplicações contı́nuas entre os espaços Y e X, definindo uma relação de homotopia entre elementos arbitrários f , g ∈ C(Y, X) (H : Y × [0, 1] → X contı́nua tal que H(x, 0) = f (x)
e H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ Y é uma homotopia entre f e g). Esta relação é também
de equivalência. Quando f ∈ C(Y, X) é tal que existe g ∈ C(X, Y ) de forma que
g ◦f ∈ C(Y, Y ) e f ◦g ∈ C(X, X) são, respectivamente, homotópicos às indentidades idy e
idx , dizemos que f é uma equivalência homotópica e os espaços X e Y têm o mesmo tipo
de homotopia. Assim, por exemplo, S 1 e R2 − {(0, 0)} têm o mesmo tipo de homotopia
(basta tomar a inclusão i : S 1 → R2 − {(0, 0)} e a posição radial π : R2 − {(0, 0)} → S 1 ,
z
). Explorando a existência de homotopias entre funções contı́nuas, podemos
π(y) = |y|
não só obter algumas informações topológicas sobre tais funções, como também sobre
o próprio espaço domı́nio das mesmas. Desta forma, por exemplo, quando a identidade
idx ∈ C(X, X) é homotópica a uma aplicação constante de C(X, X) caracterizamos o conceito de contratibilidade de X, ou ainda, pode-se obter respostas interessantes associadas
a extensão de aplicações contı́nuas. Mais especificamente, dada f : A ⊂ Y → X contı́nua,
com A fechado em Y , estamos interessados em analisar a existência de f! ∈ C(Y, X) tal
que f!|A = f . Nesta linha, quando Y = S n um resultado interessante pode ser obtido sem
grandes dificuldades: ”f ∈ C(S n , X) estende-se continuamente à bola (fechada) unitária
B n+1 se, e somente se, é homotópica a uma constante.”
Segundo a proposição acima, representaremos por [f ] a classe de equivalên- cia de
f ∈ C(X, x0 ) e por π1 (X, x0 ) o conjunto de tais classes de equivalência. Nosso interesse
agora é definir uma operação entre elementos deste conjunto de forma tal que π1 (X, x0 )
munido com esta operação tenha uma estrutura de grupo.
Definição 1.4
Sejam dois ciclos f , 1g ∈ C(X, x0 ). Definimos o produto f ∗ g por
f (2s)
se s ∈ [0, 2 ]
(f ∗ g)(s) =
g(2s − 1) se s ∈ [ 12 , 1]
A função (f ∗ g) está bem definida pois para s = 12 , f (2s) = g(2s − 1) e conforme a
mesma argumentação feita na demonstração da proposição 1.2, (f ∗ g) é contı́nua.
Agora, através da operação acima definimos uma operação entre classes de equivalência
de ciclos em X como segue: [f ] ∗ [g] = [f ∗ g]. Observe que se F e G são homotopias entre
f e f!, e, g e g! respectivamente, definindo
F (2s, t)
para s ∈ [0, 12 ]
H(s, t) =
G(2s − 1, t) para s ∈ [ 12 , 1],
como F (1, t) = x0 = G(0, t), temos que H está bem definida e é uma homotopia entre
f ∗ g e f! ∗ g!.
Proposição 1.5 A operação ∗ satisfaz as seguintes propriedades:
a) Se [f ] ∗ ([g] ∗ [h]) está definida, então o mesmo ocorre com ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] sendo ambos
iguais.
b) Se f ∈ C(X, x0 ) então [f ] ∗ [idx0 ] = [f ] = [idx0 ] ∗ [f ], onde idx : [0, 1] → X é a aplicação
constante e idx (t) = x ∈ X, ∀t ∈ [0, 1].
c) Sendo f ∈ C(X, x0 ), o ciclo g(t) = f (1 − t) é chamado ciclo inverso de f e [f ] ∗ [g] =
[idx0 ] = [g] ∗ [f ].
Dem.:
Seja [f ],[g] e [h] elementos de π1 (X, x0 ). Queremos provar que ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] =
[f ] ∗ ([g] ∗ [h]) ou equivalentemente [(f ∗ g) ∗ h] = [f ∗ (g ∗ h)]. Assim, definindo a função
F : [0, 1] ×⎧[0, 1] → X dada por
4t
)
se 0 ≤ t ≤ s+1
f ( 1+s
⎨
4
s+2
g(4t − 1 − s) se s+1
≤
t
≤
F (t, s) =
4
4
⎩
s+2
h(1 − 4(1−t)
)
se
≤
t
≤
1
2−s
4
temos que F é contı́nua e é uma homotopia entre f ∗ (g ∗ h) e (f ∗ g) ∗ h.
Figura 2
Sejam id0 : [0, 1] → [0, 1], s → 0, e id : [0, 1] → [0, 1], s → s. Então id0 ∗ id é
um caminho em [0, 1] ligando 0 a 1. Naturalmente se Y é um espaço convexo em Rn ,
então quaisquer dois ciclos em Y baseados em x0 são homotópicos em Y uma vez que
F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) é uma homotopia entre eles.
Assim, dado que [0, 1] é convexo existe uma homotopia G entre id e id0 ∗ id. Portanto,
f ◦ G é um caminho homotópico em X entre os ciclos f ◦ id = f e f ◦ (id0 ∗ id) =
(f ◦ id) ∗ (f ◦ id0 ) = idx0 ∗ f , logo [f ] = [idx0 ∗ f ] = [idx0 ] ∗ [f ]. Analogamente prova-se
que [f ] ∗ [idx0 ] = [f ].
! : [0, 1] → [0, 1], s → 1 − s,
Agora, sejam os caminhos id : [0, 1] → [0, 1], s → s, e id
! o inverso de id. Assim, id ∗ id
! é um caminho homotópico em [0, 1] começando
sendo id
e terminando em 0. Novamente, dado a convexidade de [0, 1], existe um caminho H em
! Portanto, f ◦ H é um caminho homotópico entre f ◦ id0 = idx
[0, 1] entre id0 e id ∗ id.
0
! = f ∗ g onde g(s) = f (1 − s). Assim, [idx ] = [f ∗ g] = [f ] ∗ [g]. De
e (f ◦ id) ∗ (f ◦ id)
0
forma análoga, prova-se que [g] ∗ [f ] = [idx0 ].
Exemplo 1.6 Quando X = Rn e x0 é um ponto arbitrário do Rn , segue que π1 (X, x0 )
é o grupo trivial. De fato: pois dado f ∈ C(X, x0 ) e g(x) = x0 constante, temos que a
homotopia linear F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) mostra que π1 (X, x0 ) é o grupo trivial.
O mesmo argumento utilizado no exemplo acima mostra que se X é um espaço convexo,
então π1 (X, x0 ) é trivial, sendo x0 um ponto fixado arbitrariamente em X. Naturalmente,
surge o questionamento do que acontece com o grupo fundamental se mudarmos o ponto
base, vejamos o que é possı́vel obter neste sentido.
Proposição 1.7 Seja X um espaço conexo por caminhos. Dados arbitra-riamente x0 , x1 ∈
X tem-se que π1 (X, x0 ) é isomorfo a π1 (X, x1 ).
Dem.:
Seja α um caminho em X ligando x0 a x1 e f ∈ C(X, x0 ).
Figura 3
Vamos denotar por α o caminho inverso de α. A aplicação de α induz a aplicação φ
definida por:
φ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 )
[f ] → φ([f ]) = [α] ∗ [f ] ∗ [α]
Observe que α ∗ (f ∗ α) é um ciclo em x1 . Além disso, φ([f ]) ∗ φ([g]) = ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗
([α] ∗ [g] ∗ [α]) = [α] ∗ [f ] ∗ [g] ∗ [α] = φ([f ] ∗ [g]). Logo, φ é um homomorfismo.
Agora, seja a função ψ : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0 ) definida por
ψ([h]) = [α] ∗ [h] ∗ [α] , [h] ∈ π1 (X, x1 ).
Podemos observar que ψ é a inversa de φ. Assim, para [f ] ∈ π1 (X, x0 ) temos que
ψ(φ([f ])) = [α] ∗ ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗ [α] = [f ].
Analogamente, mostra-se que φ(ψ([h])) = [h], ∀[h] ∈ π1 (X, x1 ). Logo, φ é um isomorfismo.
Como X é conexo por caminhos com x0 , x1 ∈ X temos que π1 (X, x0 ) é isomorfo a
π1 (X, x1 ).
Nosso objetivo agora é mostar que o grupo fundamental de um espaço X é um invariante topológico, inicialmente vejamos um conceito que será auxiliar a esta conclusão
pretendida.
Seja h : X → Y uma aplicação contı́nua com h(x0 ) = y0 .
Figura 4
Considere f ∈ C(X, x0 ), então h ◦ f : [0, 1] → Y é um ciclo em Y com base em y0 .
Assim, pode-se definir a aplicação h∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) dada por h∗ ([f ]) = [h◦f ] que
será denominada homomorfismo induzido por h relativamente ao ponto base x0 . Observe
que se F é um caminho homotópico entre f e g, então h ◦ F é um caminho homotópico
entre h ◦ f e h ◦ g. Além disso, a igualdade (h ◦ f ) ∗ (h ◦ g) = h ◦ (f ∗ g) garante que h∗
é homomorfismo. Este homomorfismo depende de h e também da escolha do ponto base
x0 .
Sejam h : X → Y e k : Y → Z aplicações contı́nuas entre espaços X, Y e Z com
h(x0 ) = y0 , k(y0 ) = z0 , então (k ◦ h)∗ = k∗ ◦ h∗ e a aplicação id : X → X, id(x0 ) = x0 ,
induzem o homomorfismo identidade id∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ). Assim, temos a seguinte
proposição:
Proposição 1.8 Sejam X e Y dois espaços tais que φ : X → Y é um homeomorfismo
entre eles. Então, para todo x0 ∈ X fixado arbitrariamente, tem-se que π1 (X, x0 ) é
isomorfo a π1 (Y, f (x0 )).
Dem.:
Queremos mostrar que se φ : X → Y é um homeomorfismo, então φ∗ : π1 (X, x0 ) →
π1 (Y, f (x0 )) é um isomorfismo. De fato:
Pois seja ψ : Y → X a inversa de φ, segue que ψ∗ ◦φ∗ = (ψ◦φ)∗ e (ψ◦φ)∗ : π1 (X, x0 ) →
π1 (X, x0 ) é tal que (ψ ◦ φ)∗ ([f ]) = [ψ ◦ φ ◦ f ], onde f ∈ C(X, x0 ). Mas como ψ ◦ φ ≈ idX ,
temos que [ψ ◦ φ ◦ f ] = [idX ◦ f ] = [f ] e assim ψ∗ ◦ φ∗ = (ψ ◦ φ)∗ = id∗ . De maneira
análoga, φ∗ ◦ ψ∗ = id∗ . Portanto, ψ∗ é a inversa de φ∗ , ou seja, φ∗ é um isomorfismo. Vamos caminhar agora no sentido da computação do grupo fundamental de S 1 , todavia
necessitamos de alguns resultados preliminares.
Definição 1.9 Seja p : E → B uma aplicação contı́nua e sobrejetora entre os espaços
E e B. Um conjunto aberto U ⊂ B é dito recoberto por p, se e somente se, p−1 (U ) é
uma união de abertos Vα de E, dois a dois disjuntos, tal que para cada α, p|Vα é um
homeomorfismo de Vα em U .
Quando para todo o ponto de B existir um aberto U ⊂ B contendo este ponto, sendo
que U é recoberto por p, diz-se que p é uma aplicação de recobrimento e E é um espaço
de recobrimento de B. Como decorrência direta desta definição segue que toda aplicação
de recobrimento é uma aplicação aberta.
Exemplo 1.10 A aplicação p : R → S 1 , com p(x) = (cos 2πx, sen 2πx) é uma aplicação
de recobrimento. De fato: pois podemos decompor S 1 via os abertos U1 , U2 , U3 e U4
descritos na figura abaixo. Iremos trabalhar apenas com U4 , os demais são similares.
Figura 5
Assim, p−1 (U4 ) corresponde a união dos intervalos Vn = (n − 14 , n + 14 ), ∀n ∈ Z.
A aplicação p restrita a V n = [n − 14 , n + 14 ] é injetora, aplica V n sobrejetivamente em
U 4 e Vn em U4 . Como V n é compacto, p|Vn é homeomorfismo e em particular p|Vn é
homeomorfismo de Vn em U4 . Portanto, p é uma aplicação de recobrimento.
Figura 6
Seja p : R → S 1 aplicação de recobrimento descrita no exemplo acima e considere
q = (1, 0) ∈ S 1 . Observe que p(0) = q e p−1 (q) = Z. Uma vez que S −1 é conexo por
caminhos, em vista da proposição 1.6, basta computar π1 (S 1 , q).
Considere um ciclo em S 1 com ponto base q. Um levantamento de f : [0, 1] → S 1 é
uma aplicação contı́nua f! : [0, 1] → R tal que p ◦ f! = f .
Figura 7
Proposição 1.11 Qualquer ciclo f em S 1 com ponto base q possui um único levantamento f! em R começando em 0.
Dem.:
Tome uma cobertura de S 1 por abertos U que são recobertos por p. Como [0, 1] e
f ([0, 1]) são compactos, utilizando o número de Lebesgue podemos encontrar uma subdivisão de [0, 1], s0 , ..., sn , tal que para cada i, f ([si , si+1 ]) está contido em algum aberto U .
Definimos f!(0) = 0. Agora, supondo que f!(s) está definida para 0 ≤ s ≤ si , vamos
" defini−1
la sobre [si , si+1 ]. Seja U o aberto contendo f ([si , si+1 ]). Temos que p (U ) = α Vα , onde
Vα são abertos de R, e p|Vα é um homeomorfismo entre Vα e U . Se f!(si ) ∈ V0 definimos
f!(s) para s ∈ [si , si+1 ] pela equação f!(s) = (p|V0 )−1 (f (s)). A continuidade de f! em
[si , si+1 ] é consequência do homeomorfismo p|V0 : V0 → U . Procedendo, sucessivamente,
dessa forma definimos f! sobre [0, 1].
Quanto a unicidade vamos supor que f# seja outro levantamento de f começando em
0. Assim, f!(0) = 0 = f#(0). Suponhamos que f!(s) = f#(s), ∀s ∈ [0, si ]. Tomando V0 como
acima observamos que para s ∈ [si , si+1 ], f!(s) = (p|V0 )−1 (f (s)). Agora, dado que f# é
levantamento de f e portanto contı́nua, os abertos Vα são disjuntos, e f#(si ) = f!(si ) ∈ V0 ,
então f#([si , si+1 ]) ⊂ V0 . Logo, para s ∈ [si , si+1 ], f#(s) = y ∈ V0 pertencente a p−1 (f (s)).
Contudo, pelo homeomorfismo segue a unicidade dos pontos em (p|V0 )−1 (f (s)). Portanto,
f#(s) = f!(s), ∀s ∈ [si , si+1 ].
Consideremos dois ciclos f e g em S 1 com ponto base q. Suponha que f e g sejam
homotópicos e que f! e g! sejam seus levantamentos, respectivamente, segundo a proposição
1.10.
Proposição 1.12 Nas condições acima, f! e g! são caminhos homotópicos em R com o
mesmo ponto final.
Dem.:
Seja p : R → S 1 uma aplicação de recobrimento com p(0) = q. Sejam f e g dois
ciclos homotópicos em S 1 com ponto base q, os mesmos podem ser levantados em R via
caminhos únicos, f! e g!, começando em 0. Suponha F : [0, 1] × [0, 1] → S 1 a homotopia
entre f e g, com F (0, 0) = q. Nestas condições, existe um único levantamento de F a
uma aplicação contı́nua F! : [0, 1] × [0, 1] → R tal que F!(0, 0) = 0. De fato:
Definimos F!(0, 0) = 0. Utilizando a proposição anterior estendemos F! sobre {0} × [0, 1]
e [0, 1] × {0} contidos no quadrado [0, 1] × [0, 1]. Assim, devemos estender F! para este
quadrado. Vamos decompor [0, 1] × [0, 1] conforme a figura abaixo e representar Ii × Jj =
[si−1 , si ] × [tj−1 , tj ].
A F -imagem destes retângulos está contida em abertos de S 1 que são recobertos por
p. Por exemplo, vamos definir F! em I1 × J1 , continuando com Ii × J1 , passando para
Ii × J2 e assim sucessivamente.
Figura 8
Ou seja, dados i0 e j0 assumimos que F! está definida sobre o conjunto A, onde
"
"
A = {{0} × [0, 1] [0, 1] × {0} Ii × Jj , com j < j0 e quando j = j0 , i < i0 }
Assumimos também que F! é um levantamento de F |A . Assim, para definir F! sobre Ii0 ×Jj0
escolhemos um aberto U de S 1 recoberto por p contendo F (Ii0 × Jj0 ).
Figura 9
"
Seja p−1 (U ) = α Vα , onde p|Vα : Vα → U é homeomorfismo. Seja C = A (Ii0 ×
Jj0 ), como C é conexo, F!(C) é conexo e deverá pertencer inteiramente a algum Vα ,
digamos V0 . Observe que p|V0 é um homeomorfismo e para cada x ∈ C, p|V0 (F!(x)) =
p(F!(x)) = F (x) ⇒ F!(x) = (p|V0 )−1 (F (x)). Portanto, estendemos F definindo F!(x) =
(p|V0 )−1 (F (x)), ∀x ∈ Ii0 × Jj0 . Continuando desta forma definimos F! sobre [0, 1] × [0, 1].
Quanto a unicidade, vale observar que cada passo da construção de F! foi feito originalmente estendendo F! primeiramente na base e a esquerda de [0, 1] × [0, 1] e posteriormente
nos retângulos Ii × Jj um a um e este procedimento de extensão é único para obtenção
de F!. Assim, quando o valor de F! em (0, 0) é especificado, o mesmo fica determinado.
Assim, observe que F ({0} × [0, 1]) = q ∈ S 1 . Como F é um caminho homotópico,
{0} × [0, 1] é conexo e F! é contı́nua segue que F!({0} × [0, 1]) é conexo e como o mesmo
pertence a fibra (discreta) p−1 (q), o mesmo deve ser um único ponto. Analogamente,
F!({1} × [0, 1]) é um único ponto. Portanto, F! é um caminho homotópico. Logo, temos
que F!({0} × [0, 1]) = {0} e F!({1} × [0, 1]) = {0}. A restrição F!|[0,1]×{0} é um caminho em
R começando em 0 e é um levantamento de F |[0,1]×{0} . Pela unicidade do levantamento
de caminhos temos que F!(s, 0) = f!(s). Analogamente, F!|[0,1]×{1} é um caminho em R
que é o levantamento de F |[0,1]×{1} , começando em 0 e tal que F!(s, 1) = g!(s). Portanto f!
e g! são caminhos homotópicos em R com o mesmo ponto final 0.
Segundo a proposição anterior, se [f ] ∈ π1 (S 1 , q) e f! é o levantamento de f e um ciclo
em R começando em 0, a função
φ : π1 (S 1 , q) → p−1 (q) = Z,
φ([f ]) correspondente ao ponto final f!(1), está bem definida. Uma vez que R é conexo
por caminhos e π1 (R, x0 ) é trivial para todo x0 ∈ R (segundo 1.5) segue que φ é bijetora.
De fato:
Dado x1 ∈ p−1 (q), existe um caminho f! em R ligando x0 a x1 . Então, f = p ◦ f! é
um ciclo em S 1 com base q e assim φ([f ]) = x1 . Agora, tomando [f ], [g] ∈ π(S 1 , q) com
φ([f ]) = φ([g]), sejam f! e g! levantamentos de f e g respectivamente começando em x0 .
Temos que, f!(1) = g!(1). Como R é conexo por caminhos e π1 (R, x0 ) é trivial para todo
x0 ∈ R, existe um caminho homotópico F! em R entre f! e g!. Portanto, p◦ F! é um caminho
em S 1 entre f e g, assim [f ] = [g].
Teorema 1.13 O grupo fundamental de S 1 relativamente ao ponto base q é isomorfo ao
grupo aditivo dos inteiros.
Dem.:
Seja p : R → S 1 a aplicação de recobrimento descrita em 1.9 com p(0) = q = (1, 0).
Assim p−1 (q) = Z. Segundo as considerações acima sobre R segue que, φ : π1 (S 1 , q) → Z
é bijetora. Portanto, basta mostrar que φ é homomorfismo. De fato, dados [f ], [g] ∈
π1 (S 1 , q) com respectivos levantamentos f! e g! começando em 0 ∈ R, se considerarmos
f!(1) = n e g!(1) = m, então φ([f ]) = n e φ([g]) = m. Assim, g#(s) = n + g!(s) é um
levantamento de g começando em n. O produto f! ∗ g# corresponde a um levantamento
de f ∗ g começando em 0 e o ponto final deste levantamento é g#(1) = n + m. Logo,
φ([f ] ∗ [g]) = n + m = φ([f ]) + φ([g]).
2
O teorema de Borsuk-Ulam
Um tipo de problema simples, usualmente visto no ensino médio, consiste em encontrar
uma reta r que passe pelo ponto o, sendo este o centro do quadrado Q1 , de modo que
a determinar dois semi-planos cuja interseção de cada um deles com a configuração de
quadrados Qi , i = 1, ..., 5, tangentes e de mesmo raio conforme a figura abaixo, definam
respectivamente duas regiões limitadas de mesma área.
Figura 10
Este problema pode ser facilmente resolvido utilizando-se argumentos de ”simetria”,
para tanto construimos três quadrados auxiliares (de mesmo tamanho, conforme figura
abaixo) e os centros o e o determinam r de maneira que as regiões R1 e R2 apresentam
mesma área.
Figura 11
Um problema similar ao anterior, consiste em demonstrar que existe uma reta r que
divide em duas partes de mesma área uma dada região limitada A definida através de
uma poligonal (finita).
Figura 12
De fato, pois tomemos r e r duas retas orientadas e paralelas de equações
r1 : x − c = 0
r2 : x − d = 0
Figura 13
e tomemos f : [c, d] → R definida por:
f (t) =”área da região A à esquerda da reta x − t = 0 menos a área da região A à direita
de x − t = 0”
Observe que f (c) = área (A) > 0 e f (d) = − área (A) < 0. Logo, como f é contı́nua,
pois como A é uma poligonal, podemos supor, sem perda de generalidade, que h1 e h2 ,
definidas como na figura acima, são funções contı́nuas em [c, d]. Logo temos que
$d
$t
f (t) = ( c (h1 (x) − h2 (x))dx) − ( t (h1 (x) − h2 (x))dx)
e como soma de funções contı́nuas é continua e integral de funções contı́nuas é contı́nua,
temos que f é contı́nua, e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ξ ∈ (c, d) tal que
f (ξ) = 0, ou seja, a reta r : x − ξ = 0 divide a região A em duas partes de áreas iguais.
Suponha agora que consideremos duas regiões poligonais A1 e A2 em R2 com A1 ∩A2 =
φ.
Figura 14
Nosso interesse é mostrar que existe uma reta r que divide o plano em dois semi-planos
de forma tal que divida as regiões em partes de áreas equivalentes. Este resultado será
obtido como uma consequência do teorema de Borsuk-Ulam que passamos a abordar
agora.
Definição 2.1 Se x é um ponto de S n , então seu antı́poda é o ponto −x. Dizemos que
uma aplicação h : S n → S m preserva pontos antipodais se h(−x) = −h(x) ∀x ∈ S n .
Exemplo 2.2 A aplicações f, g : S n → S n dadas por f (x) = −x e g(x) = xk com kı́mpar
preservam pontos antipodais, pois f (−x) = x = −f (x) e g(−x) = (−x)k = −xk = −g(x),
∀x ∈ S n . Também a função rotação ρ : S 1 → S 1 dada por ρ(w) = zw, com z ∈ S 1 fixo, é
uma aplicação antipodal, pois ρ(−w) = −zw = −ρ(w), ∀w ∈ S 1 .
Observemos que para a demonstração do próximo teorema é fundamental o fato de
que π1 (s1 , q) é isomorfo a Z.
Teorema 2.3 Se h : S 1 → S 1 é contı́nua e preserva pontos antipodais, então h não é
homotópica a uma constante.
Dem.: Seja b0 o ponto (1, 0) de S 1 . Seja ρ : S 1 → S 1 uma rotação de S 1 que leva
h(b0 ) em b0 . Logo, do exemplo anterior, ρ preserva pontos antipodais e assim temos a
composição ρ ◦ h. Além disso, se H fosse uma homotopia entre h e uma aplicação constante, então ρ ◦ H seria uma homotopia entre ρ ◦ h e uma aplicação constante. Então,
basta provar o teorema da hipotese adicional que h(b0 ) = b0 .
Passo 1: Seja q : S 1 → S 1 tal que q(z) = z 2 , onde z ∈ C . Ou, em coordenadas
reais, q(cosθ, senθ) = (cos2θ, sen2θ). Considere agora, em S 1 a relação de equivalência E
segundo a qual cada ponto x ∈ S 1 é equivalente a si próprio ou ao seu antipodal −x. Isto
define um espaço quociente S 1 /E = P1 (P1 = espaço projetivo 1-dimensional). Agora
seja a aplicação quociente π : S 1 → P1 dada por π(z) = {z, −z}. Assim, como q é uma
aplicação contı́nua tal que q(z) = q(−z) para todo z ∈ S 1 , existe um único homeomorfismo
q : P1 → S 1 tal que q ◦ π = q. Note que q pode ser vista como uma aplicação quociente
a menos de um homeomorfismo. Então, a imagem inversa de q por algum ponto de S 1
consiste de dois pontos antipodais z e −z de S 1 . Assim, como h(−z) = −h(z) temos
q(h(−z)) = q(h(z)) e como q é uma aplicação quociente, a aplicação q ◦ h induz uma
única aplicação contı́nua k : S 1 → S 1 tal que k ◦ q = q ◦ h.
Figura 15
Note que q(b0 ) = h(b0 ) = b0 , desde que k(b0 ) = b0 . Temos também que h(−b0 ) = −b0 .
Passo 2: Mostremos que o homomorfismo induzido k∗ de π1 (S 1 , b0 ) em π1 (S 1 , b0 ) é não
trivial.
Para este propósito, primeiro mostremos que q é uma aplicação de recobrimento. A prova
é similar a prova de que a aplicação p : R → S 1 é de recobrimento. Se, por um instante,
U é um subconjunto de S 1 consistindo de pontos tendo a segunda coordenada positiva,
então p−1 (U ) consiste de pontos de S 1 no primeiro e terceiro quadrante de R2 . A aplicação
q leva cada um destes conjuntos homeomorficamente em U . Argumentos similares se aplicam quando U é a interseção com a metade inferior aberta do plano, ou com as metades
abertas da direita e esquerda do plano.
Notemos que se f! é algum caminho de S 1 de b0 a −b0 , então f = q ◦ f! representa um
elemento não trivial de π1 (S 1 , b0 ). Logo, f! deve ser um levantamento de f em S 1 que
começa em b0 e não termina em b0 .
Finalmente, mostremos que k∗ é não trivial. Seja f! um caminho de S 1 de b0 a −b0 , e seja
f = q ◦ f!. Então, k∗ [f ] é não trivial para k∗ [f ] = [k ◦ (q ◦ f!)] = [q ◦ (h ◦ f!)]. O último
elemento é não trivial porque h ◦ f! é um caminho de S 1 de b0 a −b0 .
Passo 3: Finalmente, mostremos que h não pode ser homotópica a uma constante.
O homomorfismo k∗ é injetor, pois dados [f ], [g] ∈ π1 (S 1 , b0 ) temos que se k∗ [f ] = k∗ [g] ⇒
[k◦f ] = [k◦g] ⇒ [k◦q◦ f!] = [k◦q◦!
g ] ⇒ [q◦h◦ f!] = [q◦h◦!
g ], como h◦ f! e h◦!
g são dois cam!
inhos começando em b0 e terminado em −b0 , temos que [f ] ≈ [q ◦ h ◦ f ] = [q ◦ h ◦ g!] ≈ [g],
logo k∗ é um homomorfimo não trivial de um grupo ciclico infinito com si mesmo. O
homomorfismo q∗ também é injetor, de fato, pois q∗ corresponde a multiplicação de dois
grupos de inteiros.
φ
q∗
φ
Z −→ π1 (S 1 , b0 ) −→ π1 (S 1 , b0 ) −→ Z
x −→ [f ] −→ [q ◦ f ] −→ 2x
Assim, temos que k∗ ◦ q∗ é injetor. Desde então, q∗ ◦ h∗ = k∗ ◦ q∗ , e logo o homomorfismo
h∗ deve ser injetor, pois h∗ ([f ]) = h∗ ([g]) ⇒ q∗ (h∗ ([f ])) = q∗ (h∗ ([g])) ⇒ k∗ (q∗ ([f ])) =
k∗ (q∗ ([g]))
k∗ ◦q∗ é injetor
⇒
[f ] = [g], e portanto h não pode ser homotópica a uma constante.
Teorema 2.4 Não há nenhuma aplicação contı́nua g : S 2 → S 1 que preserva pontos
antipodais.
Dem.: Suponha que g : S 2 → S 1 é contı́nua e preserva pontos antipodais. Tome S 1
como sendo o equador de S 2 . Então, a restrição de g a S 1 é uma aplicação h contı́nua e
que preserva pontos antipodais de S 1 a S 1 . Pelo teorema anterior, h não é homotópica
a um ponto. Mas o hemisfério superior E de S 2 é homeomorfo a bola B 2 , e g é uma
extensão contı́nua de h em E.
Figura 16
Teorema 2.5 (Teorema de Borsuk-Ulam) Dada uma aplicação contı́nua f : S 2 → R2 ,
existe um ponto x ∈ S 2 tal que f (x) = f (−x).
Dem.: Suponha que f (x) = f (−x), ∀x ∈ S 2 . Então a aplicação
g(x) =
f (x)−f (−x)
f (x)−f (−x)
é uma aplicação contı́nua g : S 2 → S 1 tal que g(−x) = −g(x) ∀x, contradizendo o
teorema anterior.
Agora estamos aptos para responder a seguinte questão dada anteriormente.
Teorema 2.6 Dadas duas regiões poligonais finitas de R2 , existe uma reta em R2 que as
divide em partes de áreas equivalentes.
Dem.: Tomemos duas regiões poligonais finitas A1 e A2 do plano R2 × {1} ⊂ R3 e
mostremos que existe uma reta r deste plano que as divide em partes de áreas equivalentes.
Dados um ponto u ∈ S 2 , consideremos o plano P ⊂ R3 passando pela origem e que
tenha u como vetor unitário normal. Este plano divide R3 em dois semi-espaços; seja
fi (u) igual a área da parte de Ai que está situada do lado de P na direção de u. Observe
que fi é contı́nua, pois fi possui argumentos similares a função do caso de uma região
poligonal.
Se u é o vetor unitário k, então fi (u) = area Ai ; e se u = −k, então fi (u) = 0.
Caso contrário, o plano P intercepta o plano R2 × {1} na reta r que divide R2 em dois
semi-planos, e fi (u) é a área da parte de Ai que está situado sobre um lado desta reta.
Substituindo u por −u nós temos o mesmo plano P , mas a outro semi-espaço, de
forma que fi (−u) é a área da parte de Ai que está situada no outro lado de P até u.
Assim segue que:
Figura 17
fi (u) + fi (−u) = area Ai .
Agora considere a aplicação F : S 2 → R2 dada por F (u) = (f1 (u), f2 (u)). O teorema
de Borsuk-Ulam nos garante um ponto x ∈ S 2 para o qual F (x) = F (−x). Então,
fi (x) = fi (−x) para i = 1, 2, ou seja, fi (x) = 12 area Ai , como querı́amos.
3
O Grupo Fundamental das esferas S n, n ≥ 2
Teorema 3.1 Suponha X = U ∪ V , onde U e V são conjuntos abertos de X. Suponha
que U ∩ V seja conexo por caminhos e que x0 ∈ U ∩ V . Sejam i : U → X e j : V → X
as aplicações de inclusão de U e V em X. Então o grupo fundamental π1 (X, x0 )é gerado
pelas imagens dos homomorfismos
i∗ : π1 (U, x0 ) → π1 (X, x0 ) e j∗ : π1 (V, x0 ) → π1 (X, x0 ).
Dem: Este teorema diz que: dado algum ciclo f em X com base em x0 , este é um
caminho homotópico da forma (g1 ∗ (g2 ∗ (... ∗ gn ))), onde cada gi é um ciclo em x0 que
encontra-se em U ou em V .
Passo 1: Mostremos que existe uma subdivisão a0 < a1 < ... < an de [0, 1] tal que
f (a1 ) ∈ U ∪ V e f ([ai−1 , ai ]) está contido em U ou em V , para cada i. De inı́cio, escolha
uma subdivisão 0 = b0 , b1 , ..., bm = 1 de [0, 1] tal que para cada i, f ([bi−1 , bi ]) esteja contido
em U ou V (utilize o número de Lebesgue). Se f (bi ) ∈ U ∩ V , para cada i, acabou. Se
/ U ∩V . Cada um dos conjuntos f ([bi−1 , bi ]) e f ([bi , bi+1 ])
não, seja o ı́ndice i tal que f (bi ) ∈
encontra-se em U ou em V . Se f (bi ) ∈ U , então ambos os conjuntos estão contidos em
U ; Se f (bi ) ∈ V , então ambos estão contidos em V . Um outro caso, podemos desconsiderar bi , obtendo uma nova subdivisão c0 , c1 , ..., cm−1 que ainda satisfaça a condição de
f ([ci−1 , ci ]) estar contido em U ou em V , para cada i.
Assim, um número finito de repetições neste proceso conduz á desejada subdivisão.
Passo 2: Finalmente provemos o teorema. Dado f , seja a0 , a1 , ..., an a subdivisão obtida
no passo 1. Defina fi : [0, 1] → [ai−1 , ai ] como sendo um caminho em X seguido por f .
Então fi é um caminho que está em U ou em V , e assim
[f ] = [f1 ] ∗ [f2 ] ∗ ... ∗ [fn ].
Para cada i, escolha um caminho αi em U ∩ V de xo a f (ai ) (usamos o fato de U ∩ V ser
conexo por caminhos). Visto que f (ao ) ≡ f (an ) ≡ x0 , podemos escolher α0 e αn caminhos
constantes em x0 .
Figura 18
Agora, seja
gi = (αi−1 ∗ fi ) ∗ αi
para cada i. Então, gi é um ciclo em X com base em x0 cujas imagens encontram-se em
U ou em V .
A computação direta mostra que
[g1 ] ∗ [g2 ] ∗ ... ∗ [gn ] = [f1 ] ∗ [f2 ] ∗ ... ∗ [fn ] = [f ].
Definição 3.2 Um espaço X é simplesmente conexo quando X é conexo por caminhos
e para todo x0 tem-se que π1 (X, x0 ) é um grupo trivial (ou seja, π1 (X, x0 ) = {0}).
Exemplo 3.3 Rn é simplesmente conexo, pois como Rn é conexo por caminhos e π1 (Rn , x0 )
é o grupo trivial (exemplo 1.6), segue o resultado.
Como consequência do teorema anterior segue que
Corolário 3.4 Suponha X = U ∪ V , onde U e V são conjuntos abertos de X, e U ∩ V
conexo por caminhos. Se U e V são simplesmente conexos, então X é simplesmente
conexo.
Observação 3.5 Se X e Y são espaços homeomorfos em que X é simplesmente conexo,
então Y também é simplesmente conexo. De fato, pois conexidade por caminhos e o grupo
fundamental (visto no Capı́tulo 1) são invariantes topológicos, logo {0} = π1 (X, x0 ) ≈
π1 (Y, y0 ).
Teorema 3.6 Se n ≥ 2 então a n-esfera S n é simplesmente conexa.
Dem: Seja p = (0, ..., 0, 1), q = (0, ..., 0, −1) ∈ Rn+1 o polo norte e sul de S n , respectivamente.
Passo 1: Mostremos que se n ≥ 1, então S n − {p} é homeomorfo a Rn . Defina f :
S n − {p} → Rn por
f (x) = f (x1 , ..., xn+1 ) =
1
(x1 , ..., xn ).
1−xn+1
A aplicação f é chamada de projeção estereográfica. (Se traçar uma reta em Rn+1 passando pelo polo norte p e um ponto x ∈ S n − {p}, então esta reta intersecta o n-plano
Rn+1 × {0} ⊂ Rn+1 em um ponto f (x) × {0}). Verifica-se que f é um homeomorfismo
mostrando que a aplicação g : Rn → S n − {p} dada por
2y1
2yn
g(y) = g(y1 , ..., yn ) = ( 1+y
,1 −
2 , ...,
1+y2
2
)
1+y2
é a inversa de f . De fato:
2y1
2yn
,1 −
(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(x1 , ..., xn ) = f ( 1+y
2 , ...,
1+y2
2yn
1
( 2y1 , ..., 1+y
2
2)
1−(1− 1+x
) 1+y2
2
)
1+y2
=
= (x1 , ..., xn ).
Observe também que a aplicação h : S n − {p} → S n − {q} dada por h(x1 , ..., xn+1 ) =
(x1 , ..., −xn+1 ) define um homeomorfismo de S n − {p} em S n − {q}, e estes são homeomorfos a Rn .
Passo 2: Provemos o teorema: Seja U e V conjuntos abertos de S n , onde U = S n − {p}
e V = S n − {q}. Note que para n ≥ 1, a esfera S n é conexa por caminhos, pois dados
a(1−t)+bt
dois pontos p, q ∈ S n basta tomar o caminho f : [0, 1] → S n dado por f (t) = a(1−t)+bt
ligando p a q.
Assim, para n ≥ 2, como U e V são simplesmente conexos, pois são homeomorfos
a Rn , e U ∩ V = S n − {p, q} é conexo por caminhos, temos do corolário anterior que
U ∪ V = S n é simplesmente conexo.
Observação 3.7 Para n = 1, temos que U ∩ V = S 1 − {p, q} é desconexo, o que explica
que em S 1 não é possı́vel aplicar o procedimento acima.
Bibliografia
[1] LIMA, Elon L. - ”Grupo fundamental e espaços de recobrimento” - Projeto Euclides IMPA, 1993.
[2] MASSEY, W.S. - ”Algebraic Topology: An Introduction” - Springer-Verlag - New York,
1986.
[3] CROOM, Fred H. - ”Basic Concepts of Algebraic Topology” - Springer-Verlag - New
York, 1941.
[4] LYRA, C.B. de - ”Grupo Fundamental e Revestimentos” - USP, 1969.
[5] LIMA, Elon L. - ”Curso de Análise, vol. 2” - Projeto Euclides - IMPA, 1981.
Análise de Estabilidade do Regulador
Centrı́fugo
Uziel Paulo da Silva∗
Márcio José H. Dantas†
Abril de 2005
Resumo
Neste trabalho apresentamos a análise feita por Vichnegradski, os reguladores
de ação direta, precisamente o regulador centrı́fugo de Watt. Mostramos também
como regular automaticamente a pressão nas caldeiras de uma máquina a vapor, via
uma válvula de saı́da de vapor de forma a obter o equilı́brio do conjunto máquinaregulador, dando ênfase no estudo da estabilidade deste sistema.
Palavras-chave: regulador centrı́fugo, equações diferenciais ordinárias, estabilidade assitótica.
1
Introdução
A proliferação dos sistemas de controle automático na tecnologia moderna revela a importância da teoria do ajuste automático. Um dos principais problemas que se estabelece na construção dos reguladores é o da estabilidade de funcionamento do sistema
regulador-máquina. Em muitos casos, este problema é resolvido com a ajuda do teorema
de Liapunov.
O sistema de ajuste automático mais antigo é formado pelo motor a vapor e pelo
regulador centrı́fugo de Watt. O regulador centrı́fugo planejado por Watt no final do
seculo XVIII, cumpriu perfeitamente suas funções até a segunda metade do século XIX,
quando sua estrutura foi modificada, e assim, seu funcionamento comprometido. Vários
cientistas e engenheiros tentaram dar solução à este problema, que só foi resolvido de
modo simples e elegante pelo engenheiro russo Vichnegradski. Ele foi o criador da teoria
do ajuste automático e seu trabalho sobre ”reguladores de ação direta”(1876) constituiu
o ponto de partida da teoria de máquinas para enfrentar as exigências industriais.
O regulador centrı́fugo consiste em um mecanismo constituido por duas hastes maiores,
que junto com uma barra central podem girar, articulados por duas pequenas hastes que
conecta as hastes maiores com a barra central. Estas duas hastes maiores possuem duas
massas iguais em suas extremidades. Pelo efeito da força centrı́fuga, quando a velocidade
∗
†
[email protected] Orientando do Instituto do Milênio - AGIMB de Jul/04 a Abr/05.
de rotação da barra central aumenta, as massas tendem a separar simultaneamente da
barra central, formando um ângulo entre as hastes maiores e a barra. As hastes maiores
agem na válvula que controla a saı́da do vapor, assim quando a velocidade angular da
carga de massa m aumenta, a válvula do vapor abaixa, limitando o volume do vapor
e, consequentemente reduzindo a velocidade. Quando a velocidade angular da carga de
massa m diminue, acontece o oposto: as hastes abaixam e a válvula abre mais, aumentando a velocidade angular.
Uma representação esquemática deste mecanismo é dada na Figura-1. Na Figura-2
temos uma representação real de tal equipamento.
Figura - 1: Esquema de um regulador.
Basicamente a função do regulador de Watt é regular automaticamente a pressão nas
caldeiras, via valvula de entrada de vapor, não permitindo que a pressão suba muito, pois
há risco de explosões ou pode danificar o motor, e impedir que abaixe demasiadamente.
Figura - 2: Representação Real.
2
Resultados Preliminares
Um sistema dinâmico autônomo é um conjunto de equações diferenciais lineares ou não
- lineares, a parâmetros constantes,que não dependem do tempo t. A representação
geométrica das soluções é feita no espaço de fases. Aqui denominamos espaço de fases um
subconjunto aberto adequado do Rn ,cujos eixos coordenados são o eixo-x1, o eixo-x2 , ...,
o eixo-xn . Um estado é representado com um ponto com coordenadas x1 (t) , x2 (t) , ...,
x (t) nesse espaço, para maiores detalhes ver[2].
−
−
→ →
d→
x
= f (−
x ) um sistema dinâmico autônomo,
Definição 2.1 Ponto de equilı́brio: Seja
dt
−
→
→
−
→
x (∗) ) = 0. Denominamos →
x (∗) de um ponto de equilı́brio do sistema
e −
x (∗) que f (−
−
dinâmico. Note que x (t) = →
x (∗) é uma solução de tal sistema.
−
Definição 2.2 Ponto de equilı́brio assintoticamente estável: Define-se →
x (∗) como
→
x (∗) )
um ponto de equilı́brio assintoticamente estável, se existe r > 0 tal que x0 ∈ Br (−
então a solução de
⎧ −
→
− →
d→
x
⎪
⎨
= f (−
x)
dt
⎪
⎩
→
x (0) = −
x0
%
%
→
é tal que x (t) é definida para todo t ≥ 0 e lim %x (t) − −
x (∗) % = 0, onde . denota a
norma usual de Rn .
O próximo teorema é o principal resultado matemático deste trabalho.
→
d−
xi
= fi (x1 , ..., xn ) , i = 1, ..., n um sistema de equações
dt
∂fi (a)
diferenciais e a = (a1 , ..., an ) um ponto de equilı́brio do sistema. Seja aij =
. Se
∂x
j
todos os autovalores da matriz A = aij tem parte real nagativa, o ponto de equilibrio (a)
do sistema é assintoticamente estável.
Observação: A matriz A = aij é a matriz jacobiana da função f no ponto de equilı́brio
(a) .
Uma demonstração deste resultado é dada em[1].
Para que o Teorema de Liapunov possa ser aplicado de forma efetiva, é necessário
determinar quando a matriz A satisfaz a hipótese deste teorema.
No caso de n = 3 uma condição necessária e suficiente é a seguinte:
Teorema 2.1 (Liapunov) Seja
Critério de Estabilidade de Hurwitz: O polinômio p (x) = a0 x3 + a1 x2 + a2 x+ a3 ,
a0 > 0, de coeficientes reais, é estável se, e somente se, os números a1 e a3 são positivos,
e se verifica a seguinte desigualdade
a1 a2 > a0 a3 .
Uma prova deste critério é dada em [1].Gostarı́amos de ressaltar que existe uma verssão
deste critério para o caso em que p é um polinômio de grau n. No entanto, para os objetivos
deste trabalho, tal generalidade não é necessária.
3
Estudo da estabilidade
Como citamos anteriormente, o regulador centrı́fugo é formado por uma barra vertical B
(Veja Figura -1), capaz de girar sobre si mesma, com as duas hastes maiores idênticas, com
cargas iguais em suas extremidades, submetidas à articulações de modo que, só podem
separar - se da posição de equilı́brio formando um mesmo ângulo ϕ com a barra B. Quando
as hastes se separem, formando um ângulo ϕ com barra vertical, elas movimentam um
anel móvel acoplado à barra e que está ligado à uma alavanca. O mecanismo é construido
de tal forma que a distância do anel à extremidade superior da barra seja igual à K cos ϕ,
sendo k uma constante. Vamos assumir que o comprimento de cada haste é igual a 1e
designemos por m a massa de cada carga.
Considere a representação
Figura - 3.
Sejam
r = x i + y j + z k o vetor posição do ponto P no qual está localizado a massa m,
ϕ = o ângulo entre r e a direção negativa do eixo z,
θ = o ângulo entre a projeção de r sobre o plano xy e a direção positiva do eixo x,
θ̇ = velocidade angular da barra central.
Daı́ temos:
⎧
⎨ x = L sen ϕ cos θ
y = L sen ϕ sen θ
(1)
⎩
z = −L cos ϕ
Considere T a tração que a haste OP exerce sobre o corpo de massa m e indiquemos
a sua norma por T.
No modelo mecânico, a direção da tração é sempre oposta à do vetor posição, assim
de (1) obtemos
&
'
−r
) = T − sen ϕ cos θi − sen ϕ sen θj + cos ϕk
T = T (
| r |
(2)
A outra força que atua na massa m é o peso que é dado por
P = −mgk
(3)
Além da tração T e do peso P , também atua sobre a massa m a força de atrito R.
Tal força de resistência é devida ao artrito nas articulações e atua na direção de ϕ e é
contrária à velocidade angular ϕ̇.
Portanto é dada por
= −cϕ̇eϕ
R
onde c é uma constante positiva e eϕ é o vetor tangente unitário à curva θ = (constante) .
Assim
∂r
∂ϕ
eϕ = ∂r ∂ϕ Portanto de (1) temos que
eϕ = cos ϕ cos θi + cos ϕ sen θj + sen ϕk
assim
= −cϕ̇(cos ϕ cos θi + cos ϕ sen θj + sen ϕk)
R
(4)
Aplicando a segunda lei de Newton temos:
−
→
−
r
d2 →
m 2 = P + T + R
dt
−
→
→
= −mgk + T − cϕ̇−
eϕ
→
−
= −mgk + T − cϕ̇eϕ .
Portanto, de (2), (3), (4) obtemos
m
→
→
−
x d2 −
y d2 →
z
d2 −
i
+
j
+
k
dt2
dt2
dt2
&
'
= −mgk + T − sen ϕ cos θi − sen ϕ sen θj + cos θk
&
'
− cϕ̇ cos ϕ cos θi + cos ϕ sen θj + sen ϕk .
Logo
⎧
→
d2 −
x
⎪
⎪
⎪
m
= −T sen ϕ cos θ − cϕ̇ cos ϕ cos θ,
⎪
2
⎪
dt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
→
d2 −
y
m 2 = −T sen ϕ sen θ − cϕ̇ cos ϕ sen θ,
⎪
dt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
→
⎪
⎪
d2 −
z
⎪
⎩ m
= T cos ϕ − mg − cϕ̇ sen ϕ,
dt2
Usando (1), temos:
−
d2 →
x
= L[− (sen ϕ) (cos θ) ϕ̇2 − 2 (cos ϕ) (sen θ) θ̇ϕ̇ − (sen ϕ) (cos θ) θ̇2
dt2
+ (cos ϕ) (cos θ) ϕ̈ − (sen ϕ) (sen θ) θ̈]
(5)
−
y
d2 →
= L[− (sen ϕ) (sen θ) ϕ̇2 + 2 (cos ϕ) (cos θ) ϕ̇θ̇ − (sen ϕ) (sen θ) θ̇2
dt2
+ (cos ϕ) (sen θ) ϕ̈ + (sen ϕ) (cos θ) θ̈]
→
z
d2 −
= L[(cos ϕ)ϕ̇2 + (sen ϕ)ϕ̈]
dt2
Assim, de(5) temos
⎧
mL[− (sen ϕ) (cos θ) ϕ̇2 − 2 (cos ϕ) (sen θ) θ̇ϕ̇ − (sen ϕ) (cos θ) θ̇2 +
⎪
⎪
⎪
⎪
(cos ϕ) (cos θ) ϕ̈ − (sen ϕ) (sen θ) θ̈] = −T sen ϕ cos θ − cϕ̇ cos ϕ cos θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
mL[− (sen ϕ) (sen θ) ϕ̇2 + 2 (cos ϕ) (cos θ) ϕ̇θ̇ − (sen ϕ) (sen θ) θ̇2 +
⎪
⎪
⎪
(cos ϕ) (sen θ) ϕ̈ + (sen ϕ) (cos θ) θ̈] = −T sen ϕ sen θ − cϕ̇ cos ϕ sen θ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
mL[(cos ϕ)ϕ̇2 + (sen ϕ)ϕ̈] = T cos ϕ − mg − cϕ̇ sen ϕ
Multiplicando a primeira equação por cos θ a segunda equação por sen θ e somando as
duas membro a membro, resulta no seguinte sistema:
mL[(− sen ϕ) ϕ̇2 − (sen ϕ) θ̇2 + (cos ϕ) ϕ̈] = −T (sen ϕ) − cϕ̇ (cos ϕ)
mL[(cos ϕ) ϕ̇2 + (sen ϕ) ϕ̈] = T cos ϕ − mg − cϕ̇ sen ϕ
Multiplicando a primeira equação por cos ϕ a segunda por sen ϕ, somando-as membro
a membro e fazendo algumas simplificações usuais, obtemos que
cϕ̇
mg
(sen ϕ) − .
(6)
L
L
Simplificando nosso estudo, reduziremos a máquina a vapor a um volante e ao eixo
principal da máquina, que se põe em movimento de rotação devido a força gerada pela
pressão do vapor da caldeira. E também assumimos que L = 1.
Seja w a velocidade angular de rotação do eixo principal da máquina que gira o volante,
denotemos por J um momento de inércia do volante, por P1 o momento angular da força
da máquina, por P o momento angular da força que atua sobre o volante devido à carga
sobre ele.
Assim, a equação diferencial da máquina de vapor é
mϕ̈ = mθ̇2 (sen ϕ) (cos ϕ) −
J ẇ = P1 − P
(7)
O momento P1 depende da abertura da válvula que regula a entrada de vapor, e P
depende do peso da carga sobre o volante.
O regulador é acoplado à máquina a vapor a fim de manter uma uniformidade de
funcionamento, medindo e regulando a velocidade de rotação do volante, que está unido
ao regulador por um conjunto de engrenagens de transmissão de modo que, o bom funcionamento do regulador nos da uma razão constante de transmissão:
n=
θ̇
>0
w
(8)
que também pode ser denominada relação de transmissão. Por outro lado, o anel móvel
do regulador está conectado à válvula que controla a entrada de vapor, de modo que:
P1 = F1 + k(cos ϕ − cos ϕ(∗) )
(9)
onde ϕ(∗) é o valor médio do ângulo central, perto do qual ϕ deve se manter; F1 é a
força correspondente ao valor médio ϕ = ϕ(∗) .k > 0, k um coeficiente constante de
proporcionalidade.
De (6), (7), (8), (9) obtemos
mϕ̈ = mn2 w2 (sen ϕ) (cos ϕ) − mg (sen ϕ) − cϕ̇
J ẇ = k cos ϕ − F
(10)
onde F = P − F1 + k cos ϕ(∗) , que depende da carga. Onde (10) pode ser transformado
num sistema de equações de primeira ordem. Tome ψ = ϕ̇, daı́
⎧
ϕ̇ = ψ
⎪
⎪
⎨
c
ψ = n2 w2 (sen ϕ) (cos ϕ) − g (sen ϕ) − ψ
m
⎪
⎪
⎩ ẇ = k cos ϕ − F
J
J
(11)
que é chamado de sistema de Watt ou S.W.
Em funcionamento normal, a velocidade w é constante para uma carga P , e a válvula
de entrada de vapor se mantém imóvel, isto é, ϕ permanece constante.
Um ponto de equilı́brio de (11) é dado por
⎧
⎪
ψ0 = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
F
cos ϕ0 =
k
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
g
⎪
⎪
⎩ n2 w02 =
cos ϕ0
(12)
Vamos agora calcular a matriz A, do T eorema (2.1) , neste ponto de equilı́brio x0 =
(ψ0, ϕ0 , w0 ) .
Temos
x = (ϕ, ψ, w) e f (x) = f (ϕ, ψ, w)
e de (11) segue que
f (ϕ, ψ, w) =
k
F
c
ψ, n w (sen ϕ) (cos ϕ) − g (sen ϕ) − ψ, cos ϕ −
m J
J
2
2
o que implica
f (x) = f (x0 )
⎡
M atrizJacobiana
=
0
1
0
⎢
⎢ 2 2
⎢
c
w
[(cos
ϕ
)
(cos
ϕ
)
n
0
0
⎢
−
2n2 w (sen ϕ0 ) (cos ϕ0 )
=⎢
)
(sen
ϕ
)]
−
g
cos
ϕ
−
(sen
ϕ
m
0
0
0
⎢
⎢
⎣
K
0
0
− sen ϕ0
J
⎤
(13)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Assim de (12) e (13) obtemos
⎡
0
1
0
⎢
⎢
⎢
sen ϕ0
sen2 ϕ0
c
⎢ −g
2g
−
A = f (x0 ) = ⎢
cos ϕ0
m
w0
⎢
⎢
⎣
K
− sen ϕ0
0
0
J
Cujo polinômio caracterı́stico D (p) é dado por
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥.
⎥
⎥
⎦
c 2
sen2 ϕ0
K sen2 ϕ0
p +g
p + 2g
(14)
m
cos ϕ0
Jw0
Como todos os coeficientes deste polinômio são positivos, segue do Critério de Estabilidade de Hurwitz, que todas as raı́zes de (14) tem parte real negativa se, e somente
se,
c sen2 ϕ0
cJ
K
K sen2 ϕ0
2F
=⇒
g
> 2 cos ϕ0 =
> 1. 2g
(15)
m cos ϕ0
Jw0
m
w0
w0
D (p) = p3 +
Portanto, segue do Teorema de Liapunov, que (15) expressa a condição de estabilidade
do sistema máquina-regulador.
O valor absoluto da taxa de variação de w0 com relação a carga P, isto é,
dw0 v = dP é chamado irregularidade de marcha ou não uniformidade de marcha da máquina a vapor.
Como
P = F + F1 − k cos ϕ
então
como
dw0
dw0 dF
=
dP
dF dP
dF
=1
dP
podemos concluir que
dw0
dw0
=
.
dP
dF
De (12) temos que
F w02 =
kg
, (constante) ,
n2
logo
w02 + 2w0 F
dw0
=0
dF
ou
−w02
−w0
dw0
=
=
dF
2w0 F
2F
concluimos então que
v=
w0
2F
Assim a condição de estabilidade se expressa da seguinte forma:
cJ
v > 1.
m
(16)
Conhecida como condição de estabilidade de VICHNEGRADSKI.
4
Conclusões
Portanto da ralação (16) podemos obter as conclusões de VICHNEGRADSKI sobre a
estabilidade do sistema máquina-regulador.
Afetam desfavoravelmente a estabilidade do sistema maquina-regulador:
1-O aumento da massa das esferas;
2-A diminuição de c (coeficiente de resistência);
3-Diminuição de J (momento de inércia);
4-Diminuição de v (irregularidade de marcha).
O mau funcionamento dos reguladores a partir da segunda metade do séc.XIX se
explica pelo fato de que, devido ao avanço técnico, as quatro grandezas que intervem na
estabilidade foram alteradas em sentido desfavoravel à estabilidade.
Imagens do regulador centrı́fugo são dadas nas figuras 4 e 5 a seguir.
Figura - 4: Esquema de um Regulador Centrı́fugo.
Figura - 5: Imagem de um R.W.
Referências
[1] PONTRIAGUIN,L.S. Ecuaciones Diferenciales Ordinárias. Colecion Ciência y
Técnica. Editora Aguiar. Ano 1973.
[2] MONTEIRO,L.H.A. Sistemas Dinâmicos.São Paulo.Editora Livraria da Fı́sica. Ano
2002.
O Teorema Isoperimétrico e o Problema da
Cerca
Flaviano Bahia P. Vieira∗
Laı́s Bássame Rodrigues†
Edson Agustini‡
Abril de 2005
Resumo
Neste trabalho, demonstramos, sem o uso de Cálculo Diferencial e Integral, o teorema clássico que afirma que, “dentre todas as figuras planas de mesmo perı́metro, o
disco é a figura de maior área”. Esse teorema é conhecido como Teorema Isoperimétrico. Em seguida, consideramos um curioso problema de otimização conhecido
como “O problema da Cerca”, envolvendo a maximização, sob certas condições, da
área de um quintal entre um rio e uma casa. O interessante nesse problema é o fato
de ele contrariar nossa intuição acerca do Teorema Isoperimétrico.
1
Introdução
Quando falamos em problemas envolvendo otimizações de áreas, é muito comum o uso de
Cálculo Diferencial e Integral como ferramenta de resolução de tais problema. No entanto,
desde a época de Euclides (± 300 a. C.) problemas envolvendo figuras isoperimétricas,
ou seja, figuras de mesmo perı́metro, já eram estudados. Por exemplo, a demonstração
de que “dentre todos os retângulos de mesmo perı́metro, o quadrado é o que delimita
maior área” já se encontra em Os Elementos de Euclides. De um modo geral, é possı́vel
demonstrar que, “dentre todos os polı́gonos de n lados e mesmo perı́metro, o polı́gono
regular de n lados é o que delimita a maior área”. Este resultado nos leva intuitivamente
a crer que “dentre todas as figuras planas de mesmo perı́metro, o disco é o que possui
maior área”. De fato, este último resultado é conhecido como o Teorema Isoperimétrico,
que demonstraremos (sem o uso de Cálculo Diferencial e Integral) na primeira parte desse
trabalho (Seção 2).
Ainda sobre o Teorema Isoperimétrico, comentamos na Seção 3 uma antiga lenda,
contada por Virgı́lio em Eneida, sobre a princesa Dido, fundadora da cidade de Cartago
no norte da África. Para delimitar a maior área possı́vel utilizando um determinado
∗
(PetMat) de jan/04 a dez/04.
†
[email protected] Orientanda do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de
‡
1
número de tiras de couro de boi às margens do Mediterrâneo, Dido faz uso intuitivo de
tal teorema.
Também era muito comum o formato circular (ou semicircular às margens de rios)
de cidades medievais, onde havia necessidade da construção de muros de proteção, que
perfaziam o “perı́metro” da cidade (Cf. o mapa da próxima seção). Esse fato histórico é
plenamente justificado pelo referido teorema.
Em seguida, consideramos um curioso problema de otimização de áreas conhecido como
“O problema da Cerca”, envolvendo a maximização, sob certas condições, da área de um
quintal entre um rio e uma casa. Para resolvê-lo não utilizamos Cálculo Diferencial e
Integral, apenas uma das proposições utilizadas como pré-requisitos para a demonstração
do Teorema Isoperimétrico. O fato curioso deste problema é que ele “contraria”, em certo
sentido, nosso principal resultado: temos uma área ótima às margens de um rio que não
lembra absolutamente nada de cı́rculos ou semicı́rculos...
2
O Teorema Isoperimétrico
Observe o mapa da Paris medieval:
Mapa da cidade de Paris (França) na Idade Média. Não por acaso, a região urbana possuia
formato circular. Com uma determinada quantidade de muros, como dispô-lo de modo a cercar
a maior área possı́vel?
Levando-se em conta que tais cidades eram fortificadas, ou seja, eram cercadas por
um “perı́metro” composto por muros de pedras e que, obviamente, tais muros tinham um
determinado custo de construção, por que o formato escolhido para o muro era aproximadamente circular?
Esse fato era comum na Idade Média e nos remete ao seguinte problema:
“Dado um determinado comprimento, qual a curva plana, simples1 e fechada com esse
comprimento que delimita a maior área possı́vel?
Resolveremos esse problema por meio de alguns resultados preliminares:
Proposição 2.1 Seja F1 uma figura plana limitada não convexa cuja fronteira seja uma
curva plana simples e fechada C1 . Então, é possivel encontrar uma figura plana convexa
F2 de área maior que F1 tal que sua fronteira C2 seja uma curva plana, simples e fechada
de mesmo comprimento de C1 .
Demonstração
Como F1 não é convexa, existem pontos P, Q ∈ F1 tais que o segmento P Q não está
contido em F1 . Sejam A e B dois pontos de intersecção do segmento P Q com C1 tais que
AB ∩ C1 = {A, B} . Refletindo uma das partes de C1 com extremos em A e B na reta
que contém P Q, temos uma nova figura F1 com fronteira C1 de mesmo comprimento que
C1 , porém com área maior que F1 . (Figura abaixo)
Se F1 ainda não for convexa, repetimos o mesmo raciocı́nio acima até encontrarmos
uma figura F2 convexa2 .
Baseados na proposição acima, temos que dentre as figuras isoperimétricas, as de
maiores áreas serão sempre convexas.
Proposição 2.2 Seja uma curva C1 plana, simples e aberta situada de um mesmo lado
de uma reta r e com extremos A e B em r. Suponhamos que a curva fechada C1 ∪ AB seja
fronteira de uma figura limitada F1 não convexa. Então, existe uma curva C2 de mesma
natureza de C1 com os mesmos extremos A e B em r tal que C2 ∪ AB seja fronteira de
uma figura convexa com área maior que F1 .
A demonstração da proposição acima se processa de modo semelhante à demonstração
da Proposição 2.1, uma vez que o segmento AB permanece inalterado na seqüência de
figuras obtidas de F1 .
1
Sem auto-intesecção.
Dependendo da escolha dos pontos P e Q em cada nova figura construı́da, pode ser que F2 seja
encontrada por um “processo limite” de figuras obtidas a partir de F1 . No entanto, escolhas convenientes
de P e Q conduzem a um número finito de figuras.
2
Proposição 2.3 Dentre todos os triângulos com dois lados de comprimentos fixos, o de
maior área é o triângulo retângulo que possui esses lados por catetos.
Demonstração
Sejam dois segmentos CB e CA de medidas a e b fixas. Sejam α a medida do ângulo
#
ACB e h a medida da altura do triângulo ABC relativa ao vértice A.
Denotando a área do triângulo ABC por A, temos:
A=
ab sen α
ah
=
.
2
2
(h = b sen α quanto α for agudo, reto ou obtuso. Neste último caso, basta observar que
sen (π − α) = sen α)
Como 0 ≤ sen α ≤ 1 para 0 ≤ α ≤ π, concluimos que A assume o maior valor possı́vel
π
quando sen α = 1, ou seja, α = , como querı́amos.
2
Proposição 2.4 Seja uma figura plana convexa F1 cuja fronteira seja composta por uma
curva C1 plana, simples, aberta de extremos A e B e comprimento p unida com o segmento
AB. Suponhamos que, nessas condições, F1 tenha a maior área possı́vel. Então, F1 é um
semidisco.
Demonstração
Suponhamos que F1 não seja um semidisco. Então, existe um ponto C ∈ C1 tal que
ABC não é um triângulo retângulo (pois, se ABC fosse triângulo retângulo para todo
C ∈ C1 , F seria um semidisco).
Como F1 é convexa, temos que AC e CB são segmentos contidos em F1 , ou seja, ABC
é um triângulo contido em F1 . Sejam F2 e F3 as figuras sobre AC e CB de tal modo que
F1 = F2 ∪ ABC ∪ F3 .
Consideremos o triângulo A B C retângulo em C de tal modo que A C ≡ AC e
C B ≡ CB. Pela Proposição 2.3, a área de A B C é maior que a área de ABC. Consideremos a figura F1 = F2 ∪ A B C ∪ F3 e chamemos sua fronteira de C2 ∪ A B . Temos,
portanto, que F1 tem fronteira composta por uma curva C2 plana, simples, aberta de
extremos A e B e comprimento p unida com o segmento A B . No entanto, a área de F1
é maior que a área de F1 .
Caso F1 não seja convexa, pela Proposição 2.2, podemos tomar F1 convexa com fronteira C3 ∪ A B e área maior que F1 . Em ambos os casos, temos uma contradição, pois
nas condições da hipótese, F1 possui área máxima.
Logo, F1 é um semidisco.
Corolário 2.1 (Teorema Isoperimétrico) Dado um comprimento, dentre todas as figuras
planas, fechadas e convexas de perı́metro igual a esse comprimento, o disco é o que possui
maior área.
Demonstração
De fato, suponhamos que a figura F1 de maior área nas condições enunciadas não
seja um disco. Seja 2p o comprimento da fronteira C1 de F1 . Sejam A, B ∈ C1 tais
que comprimento da curva em C1 de A até B seja p. Chamemos as duas partes de C1
determinadas por A e B de C2 e C3 . Logo, F1 = F2 ∪ F3 , sendo F2 figura com fronteira
C2 ∪ AB e F3 figura com fronteira C3 ∪ AB, ambas com área máxima. Assim, F2 ou F3
não é semidisco e possui área máxima. Contradição com a Proposição 2.4.
3
A Lenda de Dido
A lenda de Dido (ou Elisa) faz parte do Cântico I da obra épica “Eneida”, escrita pelo
grande poeta romano Virgı́lio (70 a.C. a 19 a.C.).
Dido era uma princesa fenı́cia no século IX a.C. da cidade de Tiro, às margens do
Mediterrâneo, localizada onde hoje é o Lı́bano. Seu irmão, o rei Pigmalião, assassinou
seu marido, o grande sacerdote Arquebas, para subtrair-lhe seus tesouros. Temendo sua
própria morte, Dido então fugiu em um navio com um grande número de seguidores
dispostos a fundar uma nova cidade, “Qart Hadash” (Cartago). No lugar escolhido para
ser Cartago (norte da África, também às margens do Mediterrâneo, onde hoje é a Tunı́sia)
tentou comprar terras do rei local, Jarbas da Numı́dia, para que pudessem se estabelecer.
O arranjo que conseguiu com o rei foi que só teria em terras o que pudesse abranger com a
pele de um boi. Dido e seu grupo decidiram então cortar a pele em tiras tão finas quanto
possı́vel, emendar todas e englobar num semicı́rculo um terreno beirando o mar.
A obra “Eneida” de Virgı́lio é a epopéia de Enéas de Tróia que, depois que sua cidade
foi tomada por Agamenon, fugiu de navio com seus seguidores. Ele viajou da Ásia Menor
através do Mar Mediterrâneo até finalmente aportar na Itália e fundar Roma. Em sua
viagem parou em Cartago e encontrou Dido, que se apaixonou por ele. Mas Júpiter
interveio e ordenou a Enéas que abandonasse Dido, que, em desespero, se matou.
A personagem
A obra
O autor
Comentário: Não por acaso, esse território conseguido por Dido tinha a forma de um
semicı́rculo na beira do mar (Proposição 2.4), o qual se repete nas muralhas das cidades
medievais à beira de rios. Veja, por exemplo, o mapa da Paris medieval.
4
O Problema da Cerca, da Casa e do Rio
Consideremos uma casa retangular com medidas a metros de largura e b metros de comprimento. Essa casa possui os lados de b metros paralelos a um rio e distante d metros
do mesmo. Suponhamos que dispomos de dois pedaços idênticos de cercas cujos comprimentos somados perfazem l metros. Devemos delimitar um quintal entre a casa e o rio
com esses dois pedaços de cercas aproveitando tanto a casa quanto o rio para delimitar
esse quintal. Isso significa que, em cada pedaço de cerca, uma ponta deve tocar a casa e
a outra o rio. Quais seriam as maneiras de se posicionar as cercas de tal modo que estas
possuam partes em forma de segmentos paralelos aos lados da casa (veja a figura abaixo)
e que maximize a área do quintal?
4.1
Solução
Três considerações:
(i) É natural que a ÁREA 1 de dimensões b × d metros situada entre casa e rio (na “frente
da casa”) esteja contida no quintal.
l
≥ d pois, caso contrário, não haveria cerca suficiente para colocar uma
2
l
ponta na casa e outra no rio. No caso de = d, temos que o quintal de área máxima será
2
a ÁREA 1 e cada pedaço de cerca constitui um segmento de reta.
(ii) Devemos ter
(iii) Finalmente, a ÁREA 2 “máxima”, parcialmente delimitada por um dos pedaços da
cerca e adjacente a um dos lados da ÁREA 1, é igual a ÁREA 3 “máxima”, delimitada
pelo outro pedaço da cerca e adjacente ao outro lado da ÁREA 1, (veja a figura abaixo).
Isto se deve ao fato dos dois pedaços de cerca possuirem mesmo comprimento.
Em virtude do item (iii), iremos analisar o problema considerando apenas a Área 2.
Dividimos o problema em dois casos, descritos abaixo.
4.1.1
1◦ Caso: Cada pedaço da cerca é formada por dois segmentos.
Denotamos a medida da cerca perpendicular ao rio de x e a paralela ao rio de y.
Assim, temos o seguinte sistema:
l
2
xy = A
x+y =
sendo A a medida da ÁREA 2.
Neste caso, d ≤ x ≤ d + a.
Assim,
l
A
= ⇒
x
2
xl
x2 + A = ,
2
x+
ou seja, a função A da ÁREA 2 delimitada pela cerca, com uma ponta na casa e outra
no rio será:
A : [d, d + a] −→
R
l .
x
−→ A (x) = −x2 + x
2
Observemos que o gráfico de A é parte de uma parábola com concavidade para baixo.
Se não houvesse restrição no domı́nio de A, terı́amos que o valor máximo da mesma
ocorreria para x igual à abscissa do vértice da parábola, ou seja, para
x=
0+
2
l
2
l
= .
4
l
Mas, pode ocorrer que x = não esteja no domı́nio de A. Temos, portanto, três casos a
4
considerar:
l
l
l
(i) se d ≤ ≤ d + a, a ÁREA 2 será máxima para x = . Logo, y = .
4
4
4
l
l
(ii) se < d, a ÁREA 2 será máxima para x = d. Logo, y = − d.
4
2
l
l
(iii) se > d + a,a ÁREA 2 será máxima x = d + a. Logo, y = − (d + a) .
4
2
Esquematizando: a ÁREA 2 será máxima quando as dimensões x e y satisfazem:
Valor de
(i)
(ii)
(iii)
2d ≤
l
2
Valor de x
l
< 2d
2
x=d
l
≤ 2 (d + a)
2
x=
2 (d + a) <
l
2
Valor de y
y=
l
4
x=d+a
l
−d
2
y=
y=
l
4
Valor de A
l
A = −d2 + d
2
A=−
l
l2
+
16 8
l
l
− d − a A = − (d + a)2 + (d + a)
2
2
4.1.2
2◦ Caso: Cada pedaço da cerca é formada por três segmentos.
Temos dois casos de cercas formado por três segmentos (figura abaixo):
Caso A: a cerca tem ı́nicio na parte da casa em frente ao rio.
Caso B: a cerca tem ı́nicio na parte da casa de fundo para o rio.
O Caso A nunca será ótimo pois podemos manipular a cerca de tal modo que ela tenha
mesmo perı́metro e área maior como a figura abaixo.
Partiremos então para o Caso B.
Denotemos a medida da cerca perpendicular ao rio de x, paralela ao rio de y e perpendicular à casa de z = x − d − a. (figura abaixo, à esquerda)
Desta forma, para que ocorra otimização de área, a cerca deve ter inicio em um dos
cantos da casa pois sempre que a cerca estiver em outro ponto, além do canto, a casa
ocupará área cercada do quintal. (figura acima, à direita)
Assim, podemos montar o seguinte sistema:
l
2
xy = A
2x − d − a + y =
sendo d + a < x <
Portanto,
2 (d + a) + l
.
4
A
l
l
2
2x − d − a + = ⇒ −2x + x d + a +
=A
x
2
2
Assim, a função A que representa a área delimitada pela cerca com um extremo em
um canto da casa e outro no rio será:
2 (d + a) + l
−→
R
A:
d + a,
4
l
2
x
−→ A (x) = −2x + x d + a +
2
Observemos que, mais uma vez, a função que fornece a Área 3 (=ÁREA 2 ) possui
gráfico em forma de parábola com concavidade para baixo. Se não houvesse restrição no
domı́nio de A, terı́amos que o valor máximo de A ocorreria quando
x=
Observemos que x =
0+
d+a+ 2l
2
2
=
2 (d + a) + l
.
8
2 (d + a) + l
2 (d + a) + l
<
.
8
4
Há, portanto, duas possibilidades:
2 (d + a) + l
2 (d + a) + l
<
.
(i) d + a <
8
4
(ii)
2 (d + a) + l
≤ d + a.
8
No primeiro caso, para que o ponto crı́tico esteja no domı́nio de A, devemos ter
3 (d + a) , o que corresponde a y =
ponto crı́tico.
l
>
2
2 (d + a) + l
, ou seja, y assume o dobro do valor do
4
l
No segundo caso, devemos ter ≤ 3 (d + a) e temos que a área ótima ocorre quando
2
l
x = d + a e, portanto, y = − d − a. Mas nesse caso, x − d − a = 0, ou seja, não há três
2
segmentos, mas sim dois segmentos de cerca.
Esquematizando:
Valor de
l
2
Valor de x
(i)
l
≤ 3 (d + a)
2
x=d+a
(ii)
l
> 3 (d + a)
2
2 (d + a) + l
x=
8
4.1.3
Valor de y
y=
l
−d−a
2
l + 2d + 2a
y=
4
Valor de A
(1o caso)
1
A=
8
l
d+a+
2
2
3o . Caso: Cada pedaço da cerca é formada por mais de três segmentos.
Neste caso, sempre voltaremos aos casos onde a cerca é formada por dois ou por três
segmentos. Basta observarmos que a ÁREA 2 deverá ser não convexa e, portanto, pela
Proposição 2.1, é possı́vel encontrarmos uma outra ÁREA 2 convexa de área maior com
o mesmo perı́metro da anterior, elimando pelo menos um segmento da cerca (veja a figura
do Caso A acima).
4.1.4
Conclusão
Fazendo um esquema geral, temos os seguintes valores ótimos para a ÁREA 2 :
Valor de l
Valor de x
Valor de y
Segmentos
Área do quintal
l < 2d
x
y
Não há
–
l = 2d
d
0
1
db
2d < l < 4d
d
l
−d
2
2
4d ≤ l ≤ 4 (d + a)
l
4
l
4
2
4 (d + a) < l ≤ 6 (d + a)
d+a
l
−d − a
2
l > 6 (d + a)
2 (d + a) +l
8
l + 2d + 2a
4
2
db + 2d
l2
8
db+
db + 2 (d + a)
3
l
−d
2
db+
l
−d − a
2
2d + 2a + l
4
2
Observemos que, ao contrário do que era de se esperar, após estudarmos o Teorema
Isoperimétrico, o quintal ótimo (de área máxima) não possui “formato aproximado de
um semicı́rculo”, uma vez que seria possı́vel dividir a cerca em tantos segmentos quanto
quisérmos. Na verdade, não há contrasenso algum. Isso se deve ao fato de que, devido à
condição imposta de que os segmentos da cerca sejam sempre paralelos ou ortogonais à
margem do rio, pelo 3o . Caso acima, qualquer quintal com “formato aproximado de um
semicı́rculo” seria não convexo e, portanto, não ótimo.
5
Um Agradecimento
Os autores são gratos à professora Sueli I. R. Costa do Imecc-Unicamp pelas conversas
e dicas instrutivas a respeito de Problemas Isoperimétricos.
Referências
[1] Barbosa, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de janeiro: SBM - Sociedade
Brasileira de Matemática. 1995.
[2] CD-ROM Formas e Trajetórias. LEMU - Laboratório de Educação Matemática da
Unicamp - SP. (em confecção)
[3] Figueiredo, D. G. “Problemas de Máximo e Mı́nimo na Geometria Euclidiana”.
Matemática Universitária nos . 9/10. Rio de Janeiro: Soc. Bras. de Matemática. 1989.
[4] Niven, I. Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of
America. 1981.
[5] Salomao, L. A. D. Máximos e Mı́nimos Sem Cálculo. Notas de Minicurso da III
Semana da Matemática - FAMAT - UFU. Novembro de 2003.
FAMAT em Revista
Î¥
Þ
Problemas e Soluções
www.famat.ufu.br
Problemas e Soluções
Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção)
Edson Agustini
Problemas e Soluções
A revista eletrônica FAMAT em Revista publica regularmente uma seção de problemas com o tı́tulo Problemas e Soluções. Todos os interessados podem participar dessa
seção apresentando soluções para os problemas já publicados ou propondo novos problemas. Serão publicados problemas de matemática básica ou superior, assim como enigmas
de natureza lógica que desafiem nossos leitores e lhes proporcionem bom treinamento na
resolução de problemas. O comitê editorial selecionará, dentre os problemas propostos, os
que mais se destacarem por sua beleza, relevância e originalidade. Problemas propostos
em um número da revista terão suas soluções publicadas no número seguinte. Quando
da publicação de problemas ou resoluções enviados por leitor, serão citados o(s) proponente(s) e o(s) autor(es) das soluções recebidas. Ao propor um problema, o leitor deverá
encaminhar sua solução juntamente com o enunciado e citar a fonte de onde ele foi tirado,
se for o caso.
Todo participante dessa seção deverá identificar-se mencionando seu nome e endereço
completos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderão
utilizar o endereço eletrônico
[email protected]
ou encaminhar correspondência para:
FAMAT em Revista
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121
38400-902 - Uberlândia - MG
Nesse número, além de quatro novos desafios, publicamos a resolução dos quatro do
número anterior sendo que duas das resoluções publicadas foram enviadas por Flaviano
Bahia Vieira Paulinelli - discente do curso de Matemática da Universidade Federal de
Uberlândia. Flaviano enviou-nos resoluções corretas dos problemas 10 (problema dos
ponteiros do relógio) e 12 (problema das bolas de bilhar) e foi contemplado com um
exemplar do livro das Olı́mpı́adas Brasileiras de Matemática da 9a . a 16a .
ATENÇÃO: Estaremos dando continuidade à promoção do número anterior. Para os
leitores que nos enviarem soluções corretas, de pelo menos dois dos problemas propostos,
estaremos sorteando em Setembro de 2005 alguns exemplares do livro:
MOREIRA, C. et. alli. (orgs.) Olimpı́adas Brasileiras de Matemática. 9 a . a
16 a . Problemas e resoluções. Rio de Janeiro: Publicação da Sociedade Brasileira de
Matemática, 2003.
“A Matemática é a rainha das ciências e a Teoria dos Números é a rainha da
Matamática”
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Problemas Propostos
13.
Dispondo de 100 reais, quais são as quantias que se podem gastar comprando
selos de 5 reais e de 7 reais?
Extraı́do de:
HEFEZ, A. – Elementos de Aritmética – Sociedade Brasileira de Matemática – 2005
14.
Seja W um conjunto finito de pontos do plano tal que, se tomarmos três pontos
quaisquer A, B e C em W, então a área do triângulo ABC é menor do que 1. Mostre
que todos os pontos de W pertencem a um triângulo de área menor do que 4 ou ao seu
interior.
15.
Seja C um conjunto constituı́do de dez números naturais distintos, todos eles
formados por dois algarismos (no sistema decimal). Mostre que é possı́vel dividir C em
dois subconjuntos disjuntos de modo que as somas dos elementos de cada um deles sejam
iguais.
16.
Encontre todos os quadrados perfeitos (no sistema decimal) cujos três últimos
algarismos são iguais a 4.
Resolução dos Problemas Propostos do Número
Anterior
9. (O Problema da Metade do Pasto) Imagine um pasto circular de raio r1 e um cavalo
amarrado em uma estaca da cerca que delimita o pasto por meio de uma corda de comr2
para que o cavalo consiga pastar apenas a metade
primento r2 . Qual deve ser a razão
r1
do pasto circular?
Resolução
Temos dois cı́rculos se intersectando em dois pontos P1 e P2 . Um desses cı́rculos tem
centro O2 (onde amarramos o cavalo) e raio r2 (o comprimento da corda). O outro cı́rculo
r2
para o qual a área
(o pasto) tem centro O1 e raio r1 . Vamos descobrir o valor de R =
r1
πr2
comum dos dois cı́rculos seja a metade da área do cı́rculo de raio r1 (isto é, 1 ).
2
Chamemos a superfı́cie comum dos cı́rculos de S. Ora, traçando o segmento que une
P1 e P2 , vemos que S pode ser decomposta em dois segmentos circulares S1 e S2 . A área
(θ − sen θ)
. sendo r o raio do cı́rculo onde está o
de um segmento circular é dada por r2
2
segmento circular e θ é o ângulo central sob o segmento circular.
#2 P2 de medida 2t2 e P1 O
#1 P2 de medida 2t1 . Nesse caso:
Sejam os ângulos P1 O
S = S1 + S2 = r12
Daı́, e como a área de S é
(2t1 − sen 2t1 )
(2t2 − sen 2t2 )
+ r22
.
2
2
πr12
, temos:
2
πr12 = r12 (2t1 − sen 2t1 ) + r22 (2t2 − sen 2t2 ).
Dividindo por r12 , temos:
π = 2t1 − sen 2t1 + R2 (2t2 − sen 2t2 ).
(1)
r2
.
r1
Agora, note que os triângulos P1 O1 O2 e P2 O1 O2 são congruentes e isósceles, pois:
sendo R =
P1 O1 ≡ P2 O1 ≡ O1 O2 e possuem medida r1
P2 O2 ≡ P1 O2 e possuem medida r2 .
Portanto,
t1 + 2t2 = π ou t1 = π − 2t2 .
(2)
Além disso, traçando a altura do triângulo P1 O1 O2 relativa ao vértice O1 não é difı́cil
ver que:
r2
cos t2 =
,
2r1
ou seja,
R = 2 cos t2 .
(3)
Substituindo (2) em (1) e desenvolvendo, obtemos:
R2 =
−π + 4t2 − sen 4t2
2t2 − sen 2t2
(4)
Substituindo (3) em (4) vem:
4 cos2 t2 =
−π + 4t2 − sen 4t2
.
2t2 − sen 2t2
(5)
Não é difı́cil ver que:
π
π
< t2 <
(6)
4
2
Resolvendo (5) , com a restrição (6) , em um software de cálculo numérico ou simbólico,
obtemos
t2 ∼
= 0, 9528478647
Por (3):
R = 2 cos t2 ∼
= 1, 158728473.
Observação: a equação (5) não é possı́vel de ser resolvida sem apelar para métodos
numéricos. É provável que não exista solução analı́tica (sem uso de cálculo numérico)
para esse problema.
10. Quando o ponteiro das horas está entre 4 e 5 horas, por dois momentos ele forma
um ângulo de 90 graus com o ponteiro dos minutos. Em que horas que esses eventos
acontecem?
Resolução enviada por Flaviano Bahia Paulinelli Vieira:
Para resolver este problema definimos duas funções. Uma fornece a medida em graus
do ângulo formado pelo ponteiro das horas com a “linha vertical das 12 horas”. A outra
é a análoga para o ponteiro dos minutos.
Função para o ponteiro das horas:
Temos que a cada 60 minutos o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30◦ . Assim,
para cada minuto o ponteiro das horas percorre 0, 5◦ (meio grau). E como o ponteiro das
horas está entre 4 e 5 horas, temos que a nossa função das horas deve ser a seguinte:
f (x) = 4 · 30◦ + 0, 5◦ x,
sendo x os minutos. O domı́nio de f é dado por [0, 60).
Função para o ponteiro dos minutos:
Temos que a cada 60 minutos o ponteiro dos minutos percorre um ângulo de 360◦ .
Assim, para cada minuto o ponteiro dos minutos percorre 6◦ . Logo, a nossa função será
dada por:
g (x) = 6◦ x,
sendo x os minutos. O domı́nio é dado por [0, 60).
Agora, temos duas funções em graus, dependentes dos minutos, e queremos achar
quando o ponteiro dos minutos forma ângulo de 90◦ com o das horas.
Assim, temos o seguinte:
|f (x) − g (x)| = 90◦ ,
ou seja, temos dois casos:
Primeiro caso:
f (x) − g (x) = 90◦
4 · 30◦ + 0, 5◦ x − 6◦ x = 90◦
120◦ − 5, 5◦ x = 90◦
30◦
x=
5, 5◦
x=5+
5
.
11
5
minutos ⇒ x 5 minutos, 27 segundos, 16 centésimos de segundos,...
Daı́, x = 5 +
11
Segundo caso:
f (x) − g (x) = −90◦
4 · 30◦ + 0, 5◦ x − 6◦ x = −90◦
5, 5◦ x = 210◦
210◦
x=
5, 5◦
x = 38 +
Daı́, x = 38+
2
.
11
2
minutos ⇒ x 38 minutos, 10 segundos, 90 centésimos de segundo,...
11
Resumindo, temos que as duas soluções do nosso problema serão:
(i) 4 horas, 5 minutos, 27 segundos, 16 centésimos de segundos,...
(ii) 4 horas, 38 minutos, 10 segundos, 90 centésimos de segundo,...
11. Seja ABCD um paralelogramo. Pelos vértices A, B, C e D, são traçadas retas não
contidas no plano ABCD e paralelas entre si. Um plano corta essas retas em pontos A ,
B , C e D , situados no mesmo semi-espaço relativo ao plano de ABCD, de modo que
AA = a, BB = b, CC = c e DD = d. Mostre que a + c = b + d.
Resolução
Tome:
−−→
E sobre a semi-reta AA de modo que A esteja entre A e E e A E = c,
−−→
F sobre a semi-reta BB de modo que B esteja entre B e F e B F = d,
−−→
G sobre a semi-reta CC de modo que C esteja entre C e G e C G = a,
−−→
H sobre a semi-reta DD de modo que D esteja entre D e H e D H = b.
Para facilitar o acompanhamento, sugerimos ao leitor que esboce uma figura.
No quadrilátero AEGC, temos AE paralelo a GC (por hipótese) e AE = CG = a + c
(por construção).
No quadrilátero BDHF , temos BF paralelo a DH (por hipótese) e BF = DH = b+d
(por construção).
Assim, AEGC e BDHF são paralelogramos (se dois lados opostos de um quadrilátero
são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo).
Daı́, temos HF paralelo a DB e AC paralelo a EG. Portanto, o plano γ que contém o
paralelogramo ABCD é paralelo ao plano β que contém o quadrilátero EF GH. Agora, os
pontos A, B, F e E são coplanares e, além disso, como AB ∩ F E ⊂ γ ∩ β = ∅, segue que
AB e F E são paralelos; conseqüentemente, ABF E é um paralelogramo (pois já tı́nhamos
AE e BF paralelos).
Finalmente, AE = BF , isto é, a + c = b + d.
12. Considere uma balança de dois pratos e seis bolas de bilhar. Dentre essas seis bolas
pode haver: ou uma mais leve, ou uma mais pesada ou todas com o mesmo peso. Descreva
um modo de identificar, caso haja, a bola de peso diferente com apenas três pesagens e
diga se ela é mais leve ou mais pesada que as demais. Nas mesmas condições, é possı́vel
resolver esse mesmo problema com nove bolas? Em caso afirmativo, descreva o modo.
Resolução enviada por Flaviano Bahia Paulinelli Vieira:
Para resolver o problema com 6 bolas, damos números às mesmas: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Colocamos em um lado da balança as bolas 1 e 2 e do outro 3 e 4.
Sem perda de generalidade, podemos relatar dois casos:
1 - As bolas 1 e 2 abaixam. Logo, 5 e 6 têm mesmo peso.
Agora, colocamos em um lado a bola 1 e do outro a 2. Temos três casos:
1.1 - se 1 abaixa, 1 é a mais pesada.
1.3 - se 1 e 2 têm mesmo peso, colocamos de um lado a 3 e do outro a 4.
Temos dois casos:
1.3.1 - se 4 levanta, 4 é a mais leve.
2 - As bolas 1 e 2 têm mesmo peso de 3 e 4. Logo, 1, 2, 3 e 4 têm mesmo peso.
Colocamos em um lado a bola 1 e do outro a 5. Temos três casos:
2.2 - se 5 levanta, 5 é a mais leve.
2.3 - se 1 e 5 têm mesmo peso, 5 tem mesmo peso de 1, 2, 3 e 4.
Colocamos em um lado a bola 1 e do outro a 6. Temos três casos:
2.3.1 - se 6 abaixa, 6 é a mais pesada.
2.3.3 - se 1 e 6 têm mesmo peso, todas as bolas têm mesmo peso.
Para resolver o problema com 9 bolas, damos números às mesmas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Colocamos em um lado da balança as bolas 1, 2 e 3 e do outro 4, 5 e 6.
Sem perda de generalidde, podemos relatar dois casos:
1 - As bolas 1, 2 e 3 abaixam. Logo, 7, 8 e 9 têm o mesmo peso.
Agora, colocamos em um lado 2, 3 e 4 e do outro 7, 8 e 9. Temos três casos:
1.1 - se 2, 3 e 4 têm mesmo peso de 7, 8 e 9, então ou 1, ou 5, ou 6 tem peso
diferente.
Agora, colocamos a 5 de um lado e a 6 do outro. Novamente temos três casos:
1.1.1 - se 5 e 6 têm mesmo peso, 1 é a mais pesada.
1.2 - se 2, 3 e 4 abaixam, então temos dois casos: ou a 2 ou a 3 é a mais pesada.
Colocamos a 2 de um lado e a 3 do outro.
1.3 - se 2, 3 e 4 levanta, então, 4 é a mais leve.
2 - se 1, 2 e 3 têm o mesmo peso de 4, 5 e 6, então 1, 2, 3, 5, 4 e 6 têm o mesmo peso.
Colocamos a 7 de um lado e a 8 do outro. Temos três casos:
2.1 - se 7 abaixa, então temos dois casos: ou 7 é a mais pesada ou 8 a é mais leve.
Colocamos 7 de um lado e a 1 do outro.
2.1.2 - se 7 e 1 têm mesmo peso, 8 é a mais leve.
2.2 - se 7 levanta, então temos dois casos: ou 7 é a mais leve ou 8 é a mais pesada.
Colocamos a 7 de um lado e a 1 do outro.
2.2.2 - se 7 e 1 têm mesmo peso, 8 é a mais pesada.
2.3 - se 7 e 8 têm mesmo peso, resta verificar a 9.
Colocamos de um lado a 9 e do outro a 1. Temos três possibilidades:
2.3.3 - se 9 e 1 têm mesmo peso, então todas as bolas têm mesmo peso.
Observação: a generalização desse problema para números b e n quaisquer de bolas e
pesagens requer o uso do conceito de entropia. Freqüentemente é possı́vel responder, do
ponto de vista teórico, se o problema tem solução para o par (b, n) . No entanto, em termos
práticos, encontrar um algoritmo geral que identifique (se houver) a bola diferente é uma
tarefa difı́cil.
FAMAT em Revista
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Eventos
www.famat.ufu.br
Eventos
Maísa Gonçalves da Silva
(coordenadores da seção)
Edson Agustini
Eventos
Alguns dos principais eventos ligados à Matemática que ocorrem entre abril e julho de
2005 foram publicados no número anterior desta revista. No entanto, outros eventos que
também ocorrem nesse período tiveram sua divulgação feita após o fechamento do número
anterior da revista. Sendo assim, sempre que for em tempo, estaremos complementando a
listagem dos principais eventos nos números subseqüentes desta revista.
Complementação da Listagem de Eventos que Ocorrem Entre
Abril e Julho de 2005
Publicada no Número Anterior
Evento: Dincon 2005 - 4º Congresso Temático de Dinâmica, Controle e Aplicações
Data: 06 a 10 de Junho de 2005
Local: UNESP, Campus de Bauru
Site: http://www.dincon.feb.unesp.br
Evento: V CIBEM - Congresso Ibero-americano de Educacao Matematica
Local: Porto (Portugal)
Data: 17 a 22 de julho de 2005
Site: http://www.mytwt.net/cibem5/
Evento: VII Simpósio de Educação Matemática - VII SEM
Local: Chivilcoy, Buenos Aires - Argentina
Data: 03 a 06 de Maio de 2005
Site: http://www.edumat.com.ar/
Evento: XI Encontro Baiano de Educação Matemática (XI EBEM)
Local: Faculdades Jorge Amado, em Salvador
Site: http://www.uefs.br/sbemba/ebem.html
Evento: 25° Colóquio Brasileiro de Matemática
Local: IMPA - Rio de Janeiro
Site: http://coloquio.impa.br/CBM25/index.html
Evento: Encontro Regional de Matemática Aplicada a Computação 2005 - ERMAC 2005
Data: 6 a 8 de abril de 2005
Local: Vitoria (ES)
Site: http://www.cce.ufes.br/
Evento: I Encontro Nacional de Aprendizagem Significativa
Data: 20 a 23 de abril de 2005
Local: Universidade Católica Dom Bosco - Campo Grande/MS
Site: http://www.ucdb.br/eventos/eventos.php?menu=inicial&cod=35
Evento: V EREM – Encontro Regional de Educação Matemática
Data: 25 a 28 de maio de 2005
Local: UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
Site: http://www.sbem.com.br/SBEM%20-DNE/EVENTOS/Chamada%20do%20EREM.doc
Evento: 57ª Reunião Anual da SBPC
Local: Universidade Estadual do Ceará - UECE
Site: http://www.sbpcnet.org.br/eventos/57ra/
Evento: Workshop on Contemporary Mathematics
Local: IMPA, Rio de Janeiro
Data: 25 e 26 de abril de 2005
Site: http://w3.impa.br/~webnew/eventos/2005_workshop_contemporary_mathematics.html
Evento: IX Workshop on Partial Differential Equations
Data: 18 a 22 de Julho de 2005
Site: http://www.fluid.impa.br/wedp05/
Eventos que ocorrem entre
Agosto e Dezembro de 2005
Alguns eventos importantes que ocorrerão nesse período ainda não estão com a data
definida. No próximo número de FAMAT em Revista estaremos complementando a listagem
de eventos abaixo.
Evento: International Congress on Mathematical Physics - ICMP 2006
Data: 6 a 13 de agosto de 2006
Site:
http://w3.impa.br/~webnew/eventos/2006_international_congress_mathematical_physics.html
Evento: Encontro Regional de Matemática Aplicada a Computação 2005 - ERMAC 2005
Data: 18 a 20 de outubro de 2005
Local: Natal (RN)
Site: http://www.sbmac.org.br/eventos/ermac/2005/ermac_2005_natal.pdf
Evento: XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional
Data: 12 a 15 de setembro de 2005
Local: Sesi Santo Amaro - São Paulo SP
Site: http://200.231.172.253/cnmac/evento.html
Evento: Congresso Internacional de Sistemas Dinâmicos
Local: Angra dos Reis, Rio de Janeiro
Data: 3 a 10 de agosto de 2005
Site:
http://w3.impa.br/~webnew/eventos/2005_congresso_internacional_sistemas_dinamicos.html
Evento: II Jornadas de Iniciação Cientifica
Data: 6 a 12 de novembro de 2005
Site: http://www.impa.br
Evento: VII Evento Internacional “MATECOMPU2005” - “La Enseñanza de la Matemática
y la Computación”
Data: 6 a 10 de dezembro de 2005
Local: Instituto Superior Pedagógico Juan Marinello - Matanzas - Cuba
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FAMAT em Revista
Reflexões Sobre o
Curso de Matemática
www.famat.ufu.br
Reflexões sobre o Curso de Matemática
Valdair Bonfim (coordenador da seção)
Edson Agustini
Reflexões sobre o Curso de Matemática
Prof. Valdair Bonfim
Projeto Pedagógico: Seu Significado e Primeiras Reflexões.
Em meio à elaboração do Projeto Pedagógico do Curso de Matemática da UFU, achei
bastante oportuno, e aceitei de muito bom grado, o convite do comitê editorial desta revista
para escrever nesta seção. Este momento de elaboração propicia a reflexão sobre problemas
variados do curso, e não apenas aqueles relacionados diretamente com o projeto pedagógico, e
é sobre isso que vou falar neste artigo.
Antes disso porém, acho conveniente gastar alguns parágrafos e fornecer ao leitor,
principalmente para os alunos, informações gerais sobre projetos pedagógicos: os debates
sobre este tema na UFU; a Resolução que resultou destes debates; algumas diretrizes e
princípios e alguns detalhes técnicos. Penso que um excelente ponto de partida é a definição
de Projeto Pedagógico, a qual foi inspirada no documento “Do pessimismo da Razão para o
Otimismo da Vontade: referências para a construção dos projetos pedagógicos das IES
brasileiras”, ForGRAD, 1999. Trata-se de uma proposta educativa produzida coletivamente
no âmbito da Unidade Acadêmica, cuja finalidade é enunciar as diretrizes, os propósitos e os
procedimentos adotados para a formação de profissionais numa determinada área do
conhecimento e, conseqüentemente, para as ações político-pedagógicas do fazeruniversitário.
Desde 2001 a Pró-Reitoria de Graduação de nossa universidade vem promovendo
debates e reflexões sobre temas relacionados a projetos pedagógicos. O fruto dessas
discussões resultou na Resolução 2/2004 do CONGRAD ( Conselho de Graduação ), a qual
dispõe sobre a elaboração e/ou reformulação dos projetos pedagógicos dos cursos de
graduação.
Antes de entrar nos detalhes técnicos desta resolução e sobre o trabalho que a
comunidade da FAMAT desenvolverá nos próximos meses, e em vista da definição acima – a
qual convenhamos é bastante ampla, e dá margem a muitas interpretações – é conveniente
falar um pouco mais sobre o que se entende por projeto pedagógico.
Para isso vou me valer de trabalho recente da Diretoria de Ensino da UFU, a qual
confeccionou um livreto com orientações gerais para elaboração de projetos pedagógicos de
cursos de graduação, à luz da já citada resolução.
Ressalto inicialmente que um Projeto Pedagógico tem que ter vistas ao futuro. A
própria etimologia da palavra projetare denuncia isso, pois seu sentido é o de lançar adiante,
avançar. Pretende-se com um projeto pedagógico criar uma realidade futura um tanto melhor
que a atual, enfrentando os atuais problemas do curso, e colaborando com a formação de um
profissional que atenda melhor às exigências de um mundo moderno, com constantes
transformações sociais e científicas. Isso faz com que os projetos pedagógicos contemplem a
interdisciplinaridade, a formação sintonizada com a realidade social, a perspectiva de uma
educação continuada ao longo da vida e a articulação teoria- prática presente na
indissociabilidade entre ensino, pesquisa e extensão.1
Entrando agora no mérito dos detalhes técnicos, um projeto pedagógico deve ainda
explicitar, dentre outras coisas:
1
Resgatando espaços e construindo idéias. FORGRAD 1997 a 2004. 3a ed. Ampl. Uberlândia: EDUFU, 2004,
p. 235.
• a justificativa da necessidade social do curso, articulada com uma breve história
de sua trajetória;
• princípios e fundamentos que indiquem a concepção teórico-metodológica
adotada;
• diretrizes gerais para o desenvolvimento metodológico do ensino;
• diretrizes gerais para os processos de avaliação da aprendizagem e do curso, com
as respectivas indicações de sistemática e periodicidade;
• os objetivos do curso;
• a caracterização do egresso, levando em conta seu campo de atuação profissional e
sua inserção no mundo do trabalho;
• estrutura curricular, com ementas e bibliografia;
• carga horária total e dimensionamento da carga horária de diferentes componentes
curriculares;
• duração do curso expressa em tempo mínimo e máximo de integralização.
Acredito que neste ponto o leitor já está suficientemente esclarecido sobre projeto
pedagógico e da sua importância para o curso, principalmente sabendo agora que as diretrizes
gerais para a elaboração do mesmo apontam para algo semelhante ao “paraíso”: superação das
dificuldades atuais, formação diferenciada e em consonância com as transformações do
mundo, interdisciplinaridade, novas tecnologias no ensino da matemática, e assim por diante.
Longe de dizer que não sou a favor de tudo isso. Só preocupa-me o fato de que algumas
pessoas (professores, técnico-administrativos, gestores, e principalmente os alunos) possam
imaginar que tudo isso venha a acontecer com uma simples “canetada”, isto é, por meio da
aprovação de um documento com ótimas intenções. Tenho consciência plena de que os
idealizadores destas ações não estão iludidos, assim como não estão iludidos os colegas
professores e gestores. Essa convicção é decorrente de anos de experiência desses
personagens no ensino, pesquisa e extensão. Estamos cansados de saber que não existem
fórmulas mágicas para o sucesso. O paraíso se consegue com muito esforço. Fico pensando
nos alunos que, na sua imensa maioria são ainda jovens, e talvez ainda acreditem,
ingenuamente, que as coisas boas possam vir por meios fáceis. Para esses a decepção poderá
ser demasiadamente grande. A respeito disso posso citar exemplo concreto de um colega
professor que fez estudos em matemática numa universidade americana, e disse ter
presenciado algo que lhe serviu de lição para toda a vida. Certa vez, após assistir palestra de
eminente matemático, um espectador lançou ao palestrante a seguinte pergunta: - Onde
buscaste inspiração para conseguir tão brilhante resultado? Você me ensinaria a técnica?
Prontamente o palestrante respondeu que sim, que lhe ensinaria a técnica, e mostraria como
obter resultados importantes. Levou então este espectador até a sua sala de trabalho e
mostrou-lhe a enorme pilha de papéis amontoados sobre a mesa, alguns já amarelados pelo
tempo, evidenciando que o brilhante resultado tinha sido fruto de anos de trabalho duro. É
isso que eu quero, e torço, que os alunos compreendam: todo sonho é possível, mas exige
compromisso. Juntamente com o esforço empreendido por professores, técnicoadministrativos e gestores, é preciso que os alunos vistam a camisa e façam a sua parte. Do
contrário, tudo vai ficar como está: alto índice de reprovações, evasão, desinteresse, falta de
perspectivas, objetivos tacanhos, e daí para pior.
Como um projeto pedagógico propõe, dentre outras coisas, o enfrentamento dos
problemas que o curso experimenta ao longo de sua história, a primeira etapa óbvia com
certeza é a identificação dos mesmos: os aspectos negativos, as ações que não deram certo, e porque não dizer? – as dificuldades internas e externas vividas pelas unidades quando
oferecem disciplinas a outras unidades, ou são servidas por disciplinas de outras unidades.
Além de identificar os problemas, o projeto pedagógico tem que identificar suas causas para
daí então justificar suas ações. Levando em consideração ainda que o projeto pedagógico tem
que ser elaborado por todos os agentes da comunidade, suas diretrizes apontam nesta etapa a
necessidade de um trabalho prévio de mobilização de docentes, discentes e técnicoadministrativos para o diagnóstico dos problemas inerentes ao curso.
Nesse momento, a reflexão coletiva será provocada por meio de questões, tais como:
B Existe algum aspecto do curso que precisa ser mudado ou aperfeiçoado?
B Os alunos concluintes apresentam as habilidades e capacidades que esperamos no
profissional que formamos? Quais habilidades e capacidades seriam essas? Visão
critica? Atitudes investigativas? Capacidade de contextualização de conteúdo às
realidades e expectativas de um determinado grupo para o qual se ensina matemática?
Desenvoltura na resolução de problemas de matemática? Espírito empreendedor?
B O que deve ser criado no curso em função dos avanços científicos e das novas
demandas sociais?
A comissão responsável pela elaboração do Projeto Pedagógico do Curso de
Matemática em breve realizará a reflexão coletiva referida anteriormente, e com relação à
identificação de problemas do curso deveremos todos ser bem sinceros. Vou começar dando
minha contribuição pessoal enumerando alguns problemas que passei a conhecer após poucos
meses no exercício da coordenação. Perdoem-me a franqueza, mas serei bastante sincero,
sabendo que em algumas vezes a carapuça me servirá.
P1 ) Ainda que pese o fato do curso ser em regime integral, a necessidade que muitos
alunos têm de desenvolver atividades remuneradas é enorme, implicando num rendimento
acadêmico aquém do esperado, comprometendo portanto a formação do futuro profissional da
educação, aquele mesmo que dará aulas para os nossos filhos, e aos filhos dos contribuintes
que financiam a universidade.
P2 ) A grande barreira - porque não dizer preconceito? - dos alunos da licenciatura
com relação a algumas disciplinas, como por exemplo Estruturas Algébricas 1, Análise 1,
Funções de Variável Complexa, Geometria Não-Euclidiana, dentre outras.
P3 ) O tempo médio dos alunos na integralização do curso é demasiadamente grande.
Isso além de configurar má utilização do dinheiro público, é ruim também para o aluno, que
tem longamente adiada a sua inserção no mercado de trabalho.
P4 ) Há ainda que lembrar dos alunos que, apesar de apresentarem bom rendimento
acadêmico e, via de regra não dependerem de uma atividade financeira complementar,
sentem-se seduzidos por propostas precoces de trabalho docente, propostas essas que nem
sempre lhe rendem lucro no aperfeiçoamento de sua prática pedagógica, e muito pelo
contrário, só fazem produzir mais um daqueles alunos faltosos, que assistem meia aula por
semana, que sempre perdem prova, que não comparecem nos horários de atendimento, e
quase nunca estão antenados com a realidade do curso.
P5 ) Há também o caso dos alunos fantasmas, e neste ponto preciso ser mais preciso. O
nosso curso permite que o aluno conclua as duas modalidades: licenciatura e bacharelado.
Ótimo que seja assim. Entretanto, é uma prática comum o aluno concluir uma das
modalidades e - após já inserido no mercado de trabalho ou num programa de mestrado solicitar a inclusão na outra modalidade, não comparecendo às aulas. Argüindo esses alunos a
respeito dessa conduta percebi que os motivos nem sempre eram de natureza acadêmica.
Alguns são de fato espúrios, a saber, disseram-me que auferem algumas vantagens, como por
exemplo a compra de vales-transporte com desconto e também o fato de poderem pegar mais
livros na biblioteca. Ainda que a última vantagem seja mais nobre, penso que os fins não
justificam os meios. De fato, é por conta dessa conduta que existem hoje professores “dando
aula” para turmas que só existem na lista de presença.
P6 ) Alunos sem compromisso institucional: são aqueles que perdem, por exemplo,
época de matrícula ou ajuste de matrícula sem motivos de força maior; que não atualizam seus
dados cadastrais junto à coordenação, dificultando o trabalho da mesma; alunos que não
conhecem ainda a dinâmica do curso e seu regimento. Aproveito para citar o caso recente de
um aluno da matemática que perdeu sua vaga na UFU por ter deixado de efetuar matrícula por
três semestres. O mesmo lamentou na coordenação dizendo que não conhecia essa norma. Fiz
questão de pegar um Guia Acadêmico e perguntar ao aluno se, em algum momento após seu
ingresso na UFU, ele recebeu um exemplar. Ele confirmou que sim, mas que jamais lera o
conteúdo do mesmo, apesar de ter sido fortemente recomendado a fazê-lo. É mesmo
lamentável, e essa atitude dispensa maiores comentários.
Para não dizerem que só vejo problemas nos alunos, listo também problemas por parte
dos professores. Também chegam na coordenação reclamações a respeito da prática de alguns
docentes, tanto da nossa faculdade quanto de outras que nos servem. Muitas vezes são
reclamações infundadas, mas as vezes fazem sentido. Cuidados e providências sempre são
tomadas, pela Direção e Coordenação, tentando evitar ou minimizar tais problemas.
Aumentemos nossa lista:
P7 ) Há professores que freqüentemente chegam atrasado ou faltam às aulas;
P8 ) Existem professores que não cumprem a ementa da disciplina;
P9 ) De outro lado, existem professores que às vezes extrapolam e vão além do que
está previsto na ementa;
P10 ) Há professores que não dão atendimento ao aluno, ou o fazem de maneira
precária;
P11 ) Existem professores que não elaboram listas de exercícios;
P12 ) Outros apresentam incoerência entre o lecionado e o avaliado;
Existem também problemas de ordem estrutural, a saber:
P13 ) falta de salas de informática destinada aos alunos. Como então colocar em
prática a pretensão “novas tecnologias no ensino de matemática” expressa nas
diretrizes do projeto pedagógico?
Convém agora tecer alguns comentários a respeito dos problemas descritos.
De todos, acredito que P1 é de difícil solução a curto ou médio prazo, pois envolve
variáveis que não estão ao nosso alcance. É um problema que compete a toda a sociedade
organizada e ao governo, e não somente a nós do meio acadêmico.
Quanto a P2 penso que as causas são muitas. Já presenciei pelos corredores da
faculdade muita propaganda negativa a respeito dessas disciplinas. Isso é péssimo e em nada
colabora, pois o aluno que ainda não as cursou fica com uma expectativa desanimadora,
imaginando que será uma tarefa impossível. Chega portanto ao curso com espírito de derrota.
Quando o aluno, após várias tentativas, consegue aprovação ( sabe Deus se por mérito ou por
choro ), diz: “ - Livrei !!!”. E isso é mais triste, pois esta exclamação pode dar a entender que,
neste caso, tanto faz se o aluno adquiriu ou não os conhecimentos esperados. A expressão que
nós professores gostaríamos de ouvir é “Aprendi!”. Aquele que diz “Livrei!” talvez não saiba,
mas com certeza perdeu excelente oportunidade de conhecer novas ferramentas para a
resolução de problemas e de entender o modus operandi do fazer matemática e das suas
etapas, que são: a observação de determinados padrões nas mais variadas situações ( na
natureza, nos animais, nas relações humanas, nas transações comerciais, nas transações
financeiras, ... ) , a elaboração de conjecturas, e a necessidade de uma comprovação ou
demonstração. Todo cientista é, antes de tudo, um observador e grande tirador de conclusões,
ou seja, tem qualidades que qualquer matemático deve possuir. Essas qualidades são
fortemente trabalhadas em tais disciplinas. Para não ser mal interpretado pelo leitor, o qual
pode pensar que estou puxando sardinha para o meu lado, cito novamente a resolução 2/2004,
mais precisamente o seu artigo 7o , o qual diz, dentre outras coisas, que os Projetos
Pedagógicos dos cursos devem evidenciar rigoroso trato teórico-prático no processo de
elaboração e socialização dos conhecimentos, e ainda deve promover a indissociabilidade
entre ensino, pesquisa e extensão, de modo a desenvolver nos estudantes atitudes
investigativas e instigadoras de sua participação no desenvolvimento do conhecimento e da
sociedade como um todo. Estão vendo? Não sou eu que falo por mim. Portanto, que tal o
licenciando mudar aquele velho e ultrapassado discurso: “Pra que estudar algo que não vou
ensinar? ”
Acredito que P3 seja uma conseqüência de P1 e P2, e portanto a superação do terceiro
depende “tão somente” da superação dos dois primeiros. Como o primeiro é muito difícil a
curto prazo, avançaremos muito se trabalharmos o segundo.
Com relação a P4 penso ser apenas uma questão de escolha do aluno. Na minha
opinião, trata-se de uma escolha infeliz, já que neste caso o aluno não tem necessidade de
complementação financeira. Afinal de contas, por quê aceitar propostas precoces de trabalho
remunerado, se isso atrasará sua efetiva inserção no mundo do trabalho e comprometerá sua
formação final? Mas sei que não devo fazer valer aqui a minha opinião pessoal. Portanto, para
que o aluno forme a sua própria, talvez fosse interessante analisar e comparar os
desdobramentos das condutas de alguns de seus colegas. Compare a trajetória acadêmica de
cada um, os ganhos e/ou perdas daqueles que aceitaram propostas precoces de trabalho e
daqueles que priorizaram a formação acadêmica. Verifique o tempo de integralização do
curso em cada caso, verifique a aceitação ou não em programas de pós-graduação, observe a
valorização de cada profissional, e por fim observe também outro$ detalhe$ que não preciso
comentar.
Quanto aos problemas Pi (5 ≤ i ≤ 12): penso que são problemas sérios, mas “caseiros”,
no sentido de que a solução só depende de nós, alunos e professores, sermos responsáveis e
assumirmos o compromisso de realizar um trabalho sério e de qualidade.
O problema P13 também constitui um limitador para a execução plena de eventuais
propostas do Projeto Pedagógico da Matemática, mas é uma questão que pode ser trabalhada e
superada com o passar dos anos. A própria execução das idéias contidas no Projeto
Pedagógico podem caracterizar uma justificativa junto aos órgãos competentes para a
aquisição de máquinas e laboratórios.
Para concluir, espero que esse texto seja o início da reflexão proposta no âmbito da
FAMAT. Quando a comunidade identificar os problemas P14, P15, .... , coopere identificando
também as suas causas, apontando possíveis soluções S1, ... , S15, ... , sugerindo melhorias e, o
mais importante, envolvendo-se para pô-las em prática. Afinal de contas, fazer é mais difícil
do que falar.
FAMAT em Revista
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Em Sala de Aula
www.famat.ufu.br
Em Sala de Aula
EdsonAgustini (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Índice de Trabalhos
As Cônicas e suas Aplicações
181
Jocelino Sato
Matemática e Ensino: O estudo de Alguns Tópicos sobre
Curvas Cônicas via o Software Cabri-Géomètre II
217
Rafael Siqueira Cavalcanti e Edson Agustini
Trabalhos de Modelagem Matemática da disciplina
“Instrumentação para o Ensino da Matemática”:
A História do Café no Brasil
241
Adriano Soares Andrade e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem de
matrizes, determinantes e sistemas lineares
255
Clovis Antonio da Silva e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Modelagem das Embalagens de Produtos Alimentı́cios
267
Flávia Bruno Mendes, Carla A. Pereira e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Modelagem da Interação Clima x Poluição em Uberlândia
273
Flávia Bruno Mendes, Clovis Antonio da Silva e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Modelagem Matemática:
Construindo Casas com Recursos Computacionais
283
Adriano Soares Andrade, Deive Barbosa Alves e Rosana Sueli da Motta Jafelice
Modelagem Matemática no Abastecimento e Consumo de Água na
Cidade de Uberlândia
Deive Barbosa Alves e Rosana Sueli da Motta Jafelice
291
As Cônicas e suas Aplicações
Jocelino Sato∗
20 de outubro de 2004
Resumo
Neste trabalho, focalizamos o estudo das seções cônicas seguindo dois caminhos
diferentes: no primeiro, seguimos de perto o trabalho apresentado em 1.822 pelo
matemático belga G. P. Dandelin, abordando o tratamento dado às seções cônicas
por Apolônio (± 262 − 190 a.C.), deduzindo suas propriedades focais, onde trabalhamos com Geometria Euclidiana de forma sintética; no segundo, damos um
enfoque analı́tico ao estudo das seções cônicas, o que só foi possı́vel com Pierre de
Fermat (1601 − 1665). As propriedades de reflexão em curvas que são seções cônicas
são estudadas e algumas de suas aplicações apresentadas. Além disso, exploramos a
construção das cônicas utilizando alguns aparatos mecânicos e também um software
de geometria dinâmica, Cabri Géomètre II.
1
Introdução
Como todo conhecimento cientı́fico, as idéias Matemáticas passam por um processo
evolutivo incorporando mudanças, sendo tratadas com novas ferramentas e métodos os
quais, muitas vezes, lhes permitem um incremento no seu desenvolvimento.
As seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto de duas
folhas com um plano. Exposições gerais sobre as seções cônicas são conhecidas antes da
época de Euclides (± 325−265 a.C.) e existe uma diversidade de definições para elas, cuja
equivalência é mostrada na Geometria Elementar. Atualmente, as mais usuais referemse à propriedade foco – diretriz dessas curvas, porém, em seu célebre tratado sobre as
seções cônicas, Apolônio de Perga (± 262 − 190 a.C.) não mencionou essa propriedade e
não existia um conceito numérico que correspondia ao que chamamos de excentricidade.
Coube a Pierre de Fermat a descoberta de que as seções cônicas podem ser expressas por
equações do segundo grau nas coordenadas (x, y).
Neste trabalho, mostramos que uma seção cônica é uma curva cuja equação cartesiana
é do segundo grau, e inversamente, toda curva cuja equação é do segundo grau pode ser
obtida a partir da interseção de um cone circular reto de duas folhas com um plano. Por
essa razão, as curvas cujas equações são do segundo grau são chamadas de seções cônicas,
ou simplesmente de cônicas. O objetivo deste trabalho é incentivar o aluno de geometria
∗
Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Brazil
analı́tica para o estudo deste belo e rico tópico de Geometria, que são as seções cônicas
e suas propriedades. Mostramos que as seções cônicas podem ser definidas e geradas de
várias maneiras, sendo elas matematicamente equivalentes, com isso estaremos oferecendo
uma rara oportunidade para mesclar geometria analı́tica com Geometria Espacial (Euclidiana), lugares geométricos, junto com uma coletânea de resultados por si só interessantes.
Além disso, esperamos que a importância das seções cônicas para a Matemática pura e
aplicada seja estabelecida ao apresentarmos as propriedades focais de suas tangentes e
suas aplicações práticas. Uma breve introdução histórica sobre as cônicas é apresentada.
Finalmente, observamos que o pré-requisito para este estudo consiste apenas de alguns
conceitos básicos de Geometria Euclidiana e, sempre que possı́vel, iremos utilizar os recursos do software de geometria dinâmica Cabri Géomètre II como auxı́lio na ilustração
de conceitos e na aprendizagem.
2
Aspectos históricos e a importância das cônicas
Tratados sobre as seções cônicas são conhecidos antes da época de Euclides (±
325 − 265 a.C.) E, associado à história dessas curvas, temos Apolônio que nasceu na
cidade de Perga, região da Panfı́lia (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu,
aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre
287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides, formam a trı́ade considerada como sendo
a dos maiores matemáticos gregos da antigüidade. Apolônio estudou com os discı́pulos
de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável, talvez ele, e não Euclides, mereceu
dos antigos o adjetivo de ”o grande Geômetra ”. A maior parte das obras de Apolônio
desapareceu. O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (séc
IV a.C.). Sua obra prima é Seções Cônicas composta por 8 volumes (aproximadamente
400 proposições!). Da obra original sobreviveram 7 volumes, sendo 4 escritos em grego e 3
traduzidos para o árabe por Thabit Ibn Qurra (826 a 901) no séc. IX. Os três primeiros
volumes são baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. Em 1710, Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Secções Cônicas
para o latim e todas as demais traduções para as lı́nguas modernas foram feitas a partir
da tradução de Halley.
Os precursores de Apolônio no estudo das cônicas foram Manaecmo, Aristeu e o próprio
Euclides. Nesse perı́odo, elas eram obtidas seccionando um cone circular reto de uma
folha com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, obtendo três tipos distintos
de curvas, conforme a seção meridiana do cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto
ou um ângulo obtuso. Apolônio foi o matemático que mais estudou e desenvolveu as
Elipse
Parábola
Hpérbole
seções cônicas na antiguidade. Suas contribuições foram: ter conseguido gerar todas as
cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de
interseção; ter introduzido os nomes elipse e hipérbole e ter estudado as retas tangentes
e normais a uma cônica.
A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astrônomo e
geógrafo e fez observações em Alexandria de 127 − 151 d.C.. Suas obras mais famosas são
o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema
de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção
e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que
diz que todo cone oblı́quo tem duas famı́lias de seções circulares. As Cônicas de Apolônio
também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas
cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos.
Em 1609, Kepler edita a Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: ”os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos”. A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus
cujo significado é fogo, lareira. Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de
Galileu (1632), onde ”desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma
parábola”. Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma
parábola. Foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais
tarde, os ”Principia ”de Sir Isaac Newton. A lei da gravitação de Newton matematizou
as descobertas empı́ricas de Kepler e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo
analı́tico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez,
deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possı́vel.
Também não podemos deixar de falar em aplicações práticas usuais recentes como nos
receptores parabólicos, telescópios, navegação LORAN, etc.
Coube a Pierre de Fermat (1601 − 1665) a descoberta das equações cartesianas da reta
e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole. Ele
aplicou uma transformação equivalente à atual rotação de eixos para reduzir uma equação
do 2◦ grau à sua forma mais simples.
3
O Trabalho de G. P. Dandelin
Seguindo Apolônio, vamos considerar as seções (interseções) de um cone circular reto
de duas folhas K por um plano π que não passa pelo vértice V do cone. Mais precisamente,
tomamos duas retas g e l que se intersectam num ponto V de R3 e rotacionamos g ao
redor de V . A reta g descreve um cone circular reto de duas folhas (a menos que as retas
sejam perpendiculares e neste caso a reta g descreve um plano). Toda reta que é obtida
rotacionando g ao redor de V é chamada geratriz do cone. A reta l é o eixo do cone, o
ponto V interseção de g e l é o vértice do cone. Denominaremos o ângulo α entre g e
l de semi-ângulo do vértice do cone (0 < α < 90). Uma seção cônica (ou simplesmente
cônica) é dada pela interseção do cone K com o plano π.
Nesta seção usaremos as seguintes notações (ver figura):
• K = um cone circular reto de geratriz g e eixo l com vértice V ,
• π = um plano,
• C = π ∩ K, uma seção cônica,
• α = o semi-ângulo do vértice de K,
• β = o ângulo entre π e o eixo de K.
a
V
b
De forma geral, uma cônica depende de duas coisas: dos tamanhos relativos dos
ângulos α e β, e se V é um ponto do plano π ou não. Ela será suave ou não degenerada se V não pertence a π e, degenerada quando V pertence ao plano π. Além disso,
recebe a denominação de:
• elı́ptica se α < β,
• parabólica se α = β;
• hiperbólica se α > β.
Uma cônica elı́ptica degenerada é um ponto, uma cônica parabólica degenerada é uma
única reta, e uma cônica hiperbólica degenerada consiste de duas retas que se intersectam
em V .
Aqui consideraremos apenas as cônicas suaves: a elipse (cônica elı́ptica suave), a parábola
(cônica parabólica suave), e a hipérbole (cônica hiperbólica suave).
Uma seção C será uma elipse, hipérbole ou parábola conforme o plano π corte uma
folha, duas folha ou seja paralelo a uma geratriz do cone. Vamos provar que essas seções
possuem propriedades que permitem dar uma outra definição para as cônicas. A prova
é baseada no trabalho do matemático belga G. P. Dandelin. Suas construções usam
a existência de superfı́cies esféricas S1 e S2 que se inscrevem no cone K, ao longo de
cı́rculos λ1 e λ2 , e são tangentes ao plano π nos pontos F1 e F2 . Se a cônica é uma elipse
ou uma hipérbole, então duas superfı́cies esféricas inscritas são tangentes à π, mas se a
cônica é uma parábola, uma única superfı́cie esférica tem esta propriedade.
Lema 3.1 A bissetriz de um ângulo ∠CAB é o conjunto formado pelo ponto A, juntamente com os pontos do interior do ângulo que são eqüidistantes dos lados do ângulo.
Demonstração: (Deixada para o leitor)
←
→ ←→
Lema 3.2 Se P T e P U são tangentes à uma superfı́cie esférica S = S(O, r), de centro
O e raio r, nos pontos T e U , respectivamente, então os triângulos P OT e P OU são
congruentes e, portanto, P T = P U .
S
T
P
O
U
Demonstração: (Deixada para o leitor)
Lema 3.3 Seja K um cone circular reto de geratriz g e eixo l com vértice V e semiângulo do vértice igual a α. Seja π um plano que intersecta K num ponto diferente de V ,
fazendo um ângulo β com l. Temos:
a) se α < β, então existem duas superfı́cies esféricas inscritas no cone e tangentes ao
plano π, sendo ambas contidas numa mesma folha do cone;
b) se α = β, então existe uma única superfı́cie esférica inscrita no cone e tangente ao
plano π;
c) se α > β, então existem duas superfı́cies esféricas inscritas no cone e tangentes ao
plano π, estando elas contidas uma em cada folha do cone.
Demonstração: As interseções de um cone com um plano que contém seu eixo,
chamadas de seções meridianas do cone, determinam ângulos, sendo suas bissetrizes raios
contidos no eixo do cone. Uma seção cônica determinada por um plano π é sempre
perpendicular a uma dessas seções meridianas, além disso, segue do Lema 3.1 que existem
cı́rculos, contidos no plano da seção meridiana, que são tangentes ao plano π e aos lados
dos ângulos determinados pela seção meridiana.
V
V
F
a
a
E
B
D
A
b
B
A
a=b
C
b>a
T
b<a
V
D
U
T
A
C
a
E
a
E
D
b
a
C
B
Rotacionando esses cı́rculos em torno do eixo do cone obtemos superfı́cies esféricas inscritas no cone e tangentes ao plano π, sendo elas contidas em folhas do cone de acordo
com a medida do ângulo β que π faz com o eixo do cone (Lembre-se do Teorema dos
ângulos alternos e internos).
3.1
Excentricidade, diretriz e foco de uma cônica
A menos do cı́rculo (caso particular de uma elipse) uma cônica suave C tem pelo
menos uma diretriz e um foco. Para construir uma diretriz, consideramos uma superfı́cie
esférica S inscrita no cone K e tangente ao plano π que determina a cônica (ver Lema
3.3). S intersecta K ao longo de um cı́rculo λ. Todo cı́rculo está contido num plano,
assim, seja τ o plano que contém S ∩ K.
A reta
d=τ ∩π
é uma diretriz da cônica C, e o ponto F = S ∩ π é seu foco associado. Quando C é um
cı́rculo temos que τ é paralelo a π e, assim, a diretriz não existe. A excentricidade e de
uma cônica C é dada pelo quociente
e=
cos (β)
.
cos (α)
Assim, temos a seguinte classificação com relação à excentricidade:
• e > 1 se C é uma hipérbole,
• e = 1 se C é uma parábola,
• 0 < e < 1 se C é uma elipse não circular,
• e = 0 se C é um cı́rculo.
Denotaremos por dis(., .) a distância entre dois pontos ou, entre um ponto e uma reta
ou ainda, entre duas retas.
Proposição 3.4 Se C é uma cônica suave distinta de um cı́rculo com excentricidade e,
diretriz d, e foco associado F , então
dist(P, F ) = e.dist(P, d)
para todo ponto P ∈ C.
Demonstração:
V
p
P
F
b
d
a
l
Q
T
R
t
S
(Faremos uma demonstração devido da Dandelin.) Seja τ o plano contendo S ∩ K, e seja
P um ponto arbitrário em C. Escolha os pontos Q, R, e T de forma que
i) Q ∈ τ e P Q é perpendicular ao plano τ ,
ii) T ∈ d e T P é perpendicular à reta d,
−→
ii) R é o ponto de λ = S ∩ K dado por V P ∩ S.
O segmento P Q é paralelo ao eixo do cone, conseqüentemente, o segmento P Q e o eixo
do cone são perpendiculares ao plano τ . A reta d está contida em τ e P Q é perpendicular
a τ , assim, concluı́mos que P Q é perpendicular a d. Considerando que T P também é
perpendicular a d, segue-se que o plano que contém os pontos P , Q e T é perpendicular
à reta d. Sendo d uma reta contida em π, temos que esse plano é perpendicular ao plano
π. Logo, ∠P QT = β porque P Q é paralelo ao eixo do cone, e ∠P QR = α pela mesma
razão. Assim,
P Q = P R cos α = P T cos β.
←→ ←→
Mas, pelo Lema 3.2, P R = P F = dist(P, F ) porque as retas P R e P F são tangentes à
superfı́cie esférica S em R e F . Agora, P T = dist(P, d) porque P T é perpendicular à reta
d. Conseqüentemente,
dist(P, F ) cos α = dist(P, d) cos β.
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por cos α completamos a prova.
Corolário 3.5 Se uma cônica C é uma parábola com foco F e diretriz d, então dist(P, F ) =
dist(P, d) para todo ponto P ∈ C.
Demonstração: Basta observar que se C é uma parábola então e = 1.
Observação 3.1 O Lema 3.3 junto com a Proposição 3.4 e seu Corolário 3.5 permitem
concluir que a elipse e a hipérbole são cônicas com duas diretrizes e dois focos, enquanto
que a parábola é uma cônica de uma única diretriz e um único foco associado.
Proposição 3.6 Se C é uma elipse de focos F1 e F2 , então P F1 + P F2 é o mesmo para
todo ponto P ∈ C. Ou seja, P F1 + P F2 = constante.
P
F2
F1
Demonstração: Seja P um ponto arbitrário da elipse C de focos F1 e F2 dados pela
interseção do plano π com as superfı́cies esféricas S1 e S2 .
V
F2
l2
S2
Q2
F1
P
l1
Q1
S1
O segmento P F1 é tangente à esfera S1 em F1 e P F2 é tangente à esfera S2 em F2 , desde
que as superfı́cies esféricas S1 e S2 sejam tangentes à π nestes pontos (ver Lema 3.3).
Sejam
−→
Q1 = V P ∩ S1
−→
Q2 = P V ∩ S2
←−→
Como S1 e S2 são tangentes ao cone K, ao longo de cı́rculos λ1 e λ2 , temos que P Q1
←−→
é tangente à S1 em Q1 e P Q2 é tangente à S2 em Q2 . Conseqüentemente, segue-se do
Lema 3.2 que
P F1 = P Q1 e P F2 = P Q2 .
Então, P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 , em que P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 é a distância entre os
cı́rculos λ1 e λ2 . Como a distância entre eles não depende de P segue-se que a soma
P F1 + P F2 é a mesma para todo ponto P ∈ C. Isto completa a prova.
A demonstração da próxima proposição é uma simples adaptação da demonstração da
proposição anterior.
Proposição 3.7 Se C é uma hipérbole de focos F1 e F2 , então |P F1 − P F2 | é o mesmo
para todo P ∈ C. Ou seja, |P F1 − P F2 | = constante.
P
F1
F2
Demonstração: Seja P um ponto arbitrário da hipérbole C de focos F1 e F2 dados
pela interseção do plano π com as superfı́cies esféricas S1 e S2 . O segmento P F1 é
tangente à esfera S1 em F1 e P F2 é tangente à esfera S2 em F2 , desde que as superfı́cies
esféricas S1 e S2 sejam tangentes à π nestes pontos (ver Lema 3.3).
P
F2
S2
l2
Q2
V
Q1
l1
S1
F1
Sejam
−→
Q1 = V P ∩ S1
−→
Q2 = P V ∩ S2 .
←−→
Como S1 e S2 são tangentes ao cone K, ao longo de cı́rculos λ1 e λ2 , temos que P Q1
←−→
é tangente à S1 em Q1 e P Q2 é tangente à S2 em Q2 . Conseqüentemente, segue-se do
Lema 3.2 que
P F1 = P Q1 e P F2 = P Q2 .
Então, P F1 − P F2 = P Q1 − P Q2 , em que
|P Q1 − P Q2 | = Q1 Q2 = Q1 V + V Q2
não depende dos pontos Q1 e Q2 pertencentes aos cı́rculos λ1 e λ2 . Como a ultima soma
não depende do ponto P segue-se que o módulo da diferença |P F1 − P F2 | é constante.
Isto completa a prova.
4
Estudo Analı́tico das Cônicas
Uma curva pode ser definida como sendo o conjunto de pontos que gozam de uma
mesma propriedade, ou seja, como um lugar geométrico, ou como gerada por um ponto
móvel que se desloca no plano ou no espaço, ou ainda como a interseção de duas superfı́cies. As cônicas de Apolônio (interseções de superfı́cies) foram caracterizadas por suas
propriedade focais (lugares geométricos) com estabelecido na seção anterior. Nessa seção,
vamos representar mediante o emprego de coordenadas, pontos de um objeto geométrico
por números e suas imagens por equações. Ou seja, vamos aplicar o método da Geometria Analı́tica para descrever e resolver problemas geométricos. O mérito desse método é
creditado ao pai da filosofia moderna René Descartes (1.596 − 1.650). Sua obra “Discours
de la Méthode”, publicada em 1.637 em Leyden, na Holanda, continha um apêndice denominado La Géometrie, que apresentava as idéias fundamentais sobre a resolução dos
problemas geométricos usando coordenadas (sistema cartesiano) e equações algébricas.
Entretanto Descartes não tratou de quase nada do que se entende hoje por geometria
analı́tica, não tendo deduzido sequer a equação de uma reta. Esse mérito do marco
zero da geometria analı́tica deve ser creditado a Pierre de Fermat que conclui em 1.629
o manuscrito “Ad locos planos e et sólidos isagoge” (Introdução aos lugares planos e
sólidos).
Usando as Proposições 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7 acima podemos definir as cônicas como um
lugar geométrico em termos da chamada propriedade focal. Precisamente temos:
Definição 4.1 Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão
entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa d é igual a uma constante não
negativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a reta fixa de diretriz e a razão constante
de excentricidade da cônica. Quando e = 1 a cônica é chamada de parábola, quando
0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de hipérbole.
Adotando um sistema cartesiano de coordenadas retangulares podemos supor:
i) foco: ponto F (x0 , y0 );
ii) diretriz: reta d : ax + by + c = 0;
iii) excentricidade: constante e ≥ 0
y
d
F
x
V
De acordo com a definição, um ponto P (x, y) pertence à cônica quando
(x − x0 )2 + (y − y0 )2
dist(P, F )
= e.
=
|ax+by+c|
dist(P, d)
2
2
(1)
a +b
Elevando membro a membro ao quadrado, fazendo k 2 =
podemos escrever:
e2
,
a2 +b2
l = ka, m = kb e n = kc,
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = k 2 [|ax + by + C|]2
= (ka + kay + kc)2 ,
o que fornece a equação denominada equação focal das cônicas:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − (lx + my + n)2 = 0,
em que x0 e y0 são as coordenadas do foco e lx + my + n = 0 é a equação da diretriz
correspondente.
Desenvolvendo os produtos notáveis e ordenando as potências de acordo com as potências
das variáveis x e y temos uma igualdade da forma:
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
(2)
em que as constantes A, B, C, D, E e F satisfazem
A = 1 − l2
D = −2(x0 + ln)
B = −lm
E = −2(y0 + mn)
C = 1 − m2
F = x20 + y02 − n2
que é a forma geral da equação cartesiana geral das cônicas. Os vários valores que as
constantes A, B, C, D, E e F podem assumir fornecem: pontos, retas , cı́rculos, parábolas,
elipses e hipérboles.
Por exemplo, se em um certo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tem-se
F (3, 3) e d : x + y − 1 = 0, então temos uma parábola com:
2
(x − 3)2 + (y − 3)2
dist(P, F )
= 12 ,
=
2
dist(P, d))
|x+y−1|
12 +12
(x2 − 3x + 9) + (y 2 − 3y + 9) = [x + y − 1]2 = x2 + 2xy + y 2 − x − y + 1
Ou seja, a parábola tem equação:
2xy + 2x + 2y − 17 = 0.
A forma da equação de uma cônica depende da escolha do sistema de eixos coordenados.
Além disso, existe uma relação entre elas!
Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais para o plano, em que
o eixo x̃ é a reta perpendicular à diretriz d passando pelo foco F e o eixo ỹ coincide com
a diretriz. Seja Õ a origem desse sistema de coordenadas.
~
X
~~
P(x,y)
~y
F
~
O
d
Fazendo ÕF = 2p e usando a definição (1) temos que um ponto P com coordenadas
(x̃, ỹ), em relação a esse sistema de coordenadas, pertence à cônica de diretriz d , foco F
e excentricidade e se, e somente se,
⎤2
⎡
2
2
2
(x̃
−
2p)
+
(ỹ
−
0)
dist (P, F )
⎦ = e2 .
=⎣
|x̃|
dist (P, d)
Desenvolvendo e simplificando essa igualdade obtemos a equação cartesiana das cônicas
em função dos parâmetros p e e:
(1 − e2 )x̃2 − 4px̃ + ỹ 2 = −4p2 .
4.1
(3)
Parábola
No caso da parábola temos e = 1 e a equação (3) reduz-se a:
ỹ 2 = 4p (x̃ − p) .
Seja O o ponto de coordenadas (p, 0), realizando uma translação de eixos coordenados de
modo que O passe a ser a origem, obtemos um novo sistema de coordenadas cartesianas
xy, em que valem as seguintes relações entre as coordenadas dos dois sistemas:
x̃ = x + p
ỹ = y.
No sistema de coordenadas (x, y) a equação cartesiana da parábola toma a forma
y 2 = 4px,
(4)
chamada equação reduzida da parábola (com eixo de simetria igual ao eixo x).
Numa parábola arbitrária temos os seguintes elementos:
• foco: o ponto F ;
• diretriz : a reta d;
• corda principal : segmento paralelo à diretriz, passando por F e com extremidades
nos pontos R e S da parábola;
• eixo de simetria: a reta r perpendicular à diretriz passando pelo ponto F ;
• vértice: o ponto V de interseção do eixo de simetria com a parábola.
y
S
V
d
x
F
R
P
Obtemos a equação reduzida da parábola de forma mais direta mediante a escolha
do seguinte sistema de coordenadas para o plano (metodologia usual):
• eixo x: reta perpendicular à diretriz d passando por F ;
• eixo y: mediatriz do segmento F D, em que D é a interseção do eixo x com a reta d.
Fazendo F D = 2p temos d : x + p = 0, F (p, 0) e um ponto P (x, y) está na parábola se, e
somente se,
(x − p)2 + (y − 0)2 = dist(P, F ) = dist(P, d) =
o que fornece a equação
4.2
y 2 = 4px,
|x + p|
1+0
x ≥ 0, p > 0.
Elipse I
A elipse possui excentricidade e, com 0 < e < 1, logo, (1 − e2 ) > 0. Dividindo a
equação das cônicas (3) por (1 − e2 ) obtemos:
x̃2 −
4p2
ỹ 2
4p
.
=
−
x̃
+
(1 − e2 )
(1 − e2 )
(1 − e2 )
E, completando os quadrados obtemos, após simplificação,
2
4p2 e2
1
4p2
ỹ 2
2p
.
−
1
=
=
+
x̃ −
(1 − e2 ) (1 − e2 )
(1 − e2 )
1 − e2
(1 − e2 )2
2pe 2
4p2 e2
temos a equação cartesiana:
Dividindo membro a membro por (1−e
2 )2 =
1−e2
2p
x̃ − 1−e
2
2pe 2
2
+
1−e2
ỹ 2
√2pe
1−e2
2 = 1.
2p
Seja O o ponto de coordenadas ( 1−e
2 , 0). Realizando uma translação de eixos coordenados
de modo que O passe a ser a origem, obtemos um sistema de coordenadas xy, em que
x̃ = x +
2p
,
1 − e2
ỹ = y.
2pe
√2pe
podemos reescrever a equação da elipse com focos sobre o
Fazendo a = 1−e
2 e b =
1−e2
eixo x na forma reduzida
x2 y 2
(5)
+ 2 = 1.
b
a2
√
2pe
√2pe = b.
Sendo 0 < 1 − e < 1 temos 1 − e < 1 − e e, portanto, a = 1−e
2 >
1−e2
Observação 4.1 O número a é sempre denominador na fração onde aparece a variável
do eixo contendo o foco. Assim, se o eixo y for perpendicular à diretriz passando por F
a equação da elipse é da forma
y
x2
+ 2 = 1.
2
a
b
Fazendo F = F1 e D1 = Õ, se F2 e D2 são pontos do eixo x tais que OF = OF2 ,
D1 O = D2 O e d2 é a reta perpendicular ao eixo x passando por D2 , então o ponto F2 e a
reta d2 constituem um outro foco e uma outra diretriz para a elipse. De fato, um ponto
P1 (x, y) pertence à elipse se, e somente se, o ponto P2 (−x, y) simétrico de P1 em relação
ao eixo y, também pertence. Logo, para F = F1 e d = d1 temos:
e=
dist (P2 , F2 )
dist (P1 , F1 )
,
=
dist (P2 , d2 )
dist (P1 , d1 )
o que prova a afirmação.
Da construção do sistema de eixos coordenados temos as seguintes igualdades:
2p
= D2 O,
1 − e2
2pe2
2p
= F2 O.
−
2p
=
F1 O =
1 − e2
1 − e2
D1 O =
Usando os valores de a e b e fazendo dist(F1 , F2 ) = 2c obtemos:
a
2pe 1
= ,
2
e
1−e e
2pe
2pe2
e = a.e
=
F1 O = c =
2
1 − e2
1 − e
4p2 e4
1
4p2 e2
= c2 .
−
1
=
a2 − b 2 =
1 − e2 1 − e2
(1 − e2 )2
D1 O =
Resumindo temos:
1. A elipse é uma cônica de dois focos e duas diretrizes;
2. Se o sistema de eixos coordenados é tal que: os focos estão sobre o eixo x e a equação
cartesiana da elipse de diretriz d = d1 , foco F = F1 e excentricidade e é
x2 y 2
+ 2 = 1, a > b,
b
a2
então as coordenadas do foco são F1 (−c, 0) e F2 (c, 0), com c = a.e =
c
Logo, a excentricidade satisfaz e = ;
a
3. As equações das diretrizes são d1 : x +
a
e
= 0 e d2 : x −
a
e
√
a2 − b 2 .
= 0.
4. A elipse representativa de (5) é uma curva simétrica em relação aos eixos, fechada
e contida no retângulo cujos lados estão contidos nas retas x = ±a e y = ±b.
Numa elipse arbitrária temos os seguintes elementos:
• foco: os pontos F1 e F2 ;
• vértices A1 e A2 ; interseção da elipse com a reta passando pelos focos F1 e F2 ;
• vértices B1 e B2 ; interseção da elipse com a mediatriz do segmento A1 A2 ;
• eixo maior : segmento A1 A2 de medida 2a;
• eixo menor : segmento B1 B2 de medida 2b;
• distância focal : distância entre os focos F1 F2 = 2c;
• corda principal : segmento paralelo ao segmento B1 B2 passando por um dos focos,
com extremidades em pontos R e S da elipse;
• centro O: interseção dos segmentos A1 A2 e B1 B2 ;
• excentricidade: e = ac .
• diretrizes: retas d1 e d2 perpendiculares à reta focal e a uma distância
a
e
do centro.
A excentricidade de uma elipse satisfaz 0 < e = ac < 1, e no limite, isto é, quando
c = 0 temos F1 = 0 = F2 e a excentricidade e = ac se anula. Neste caso, a elipse se
degenera numa circunferência (a = b).
B2
S
A1
F1
O
F2
A2
d1
R
B1
4.2.1
Elipse II
Usualmente, a elipse é caracterizada como sendo o lugar geométrico dos pontos P de
um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos), do mesmo plano,
é constante e igual a 2a (ver Proposição 3.6):
dist(P, F1 ) + dist(P, F2 ) = 2a.
Para que esse lugar geométrico seja não vazio e, nem se reduza a um ponto, devemos ter
2a > 2c = dist(F1 , F2 ). Ela é uma cônica de dois focos e duas diretrizes e, considerando
o seguinte sistema de coordenadas para o plano:
• eixo x: reta passando pelos focos F1 e F2 ;
• eixo y: mediatriz do segmento F1 F2 ;
temos F1 (−c, 0), F2 (c, 0). Assim, um ponto P (x, y) está na elipse se, e somente se,
(x + c)2 + y 2 ) + (x2 − c) + y 2 = 2a.
Assim, podemos escrever:
(x + c)2 + y 2 = (x − c)2 + y 2 − 4a (x − c)2 + y 2 + 4a2
a (x − c)2 + y 2 = a2 − cx
a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 xc + c2 x2
2
a − c2 x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ).
Como a > c, fazendo a2 − c2 = b2 na igualdade acima e dividindo membro a membro por
a2 b2 , tem-se a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x
x2 y 2
+ 2 = 1.
b
a2
4.2.2
Raios focais e diretriz
As distâncias ρ1 = dist(P, F1 ) e ρ2 = dist(P, F2 ) de cada foco da elipse a um ponto
arbitrário P (x, y) da elipse são tais que:
(x + c)2 + y 2 = ρ1 ,
(x − c)2 + y 2 = ρ2 ,
(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = ρ1 + ρ2 = 2a.
Racionalizando e simplificando obtemos a equação
aρ2 = a2 − cx
que fornece as expressões lineares em x para os raios focais:
c
ρ2 = a − x = a − ex,
a
ρ1 = 2a − ρ1 = a + ex.
Observação 4.2 Considerando o foco F1 (−c, 0) e a reta d1 : x +
dist(P, F1 )
=
dist(P, d1 )
a
e
a
e
= 0, temos:
a + ex
ρ1
= a+ex = e.
+x
e
Analogamente, considerando F2 (c, 0) e a reta d2 : x −
dist(P, F2 )
=
dist(P, d2 )
a
e
a
e
= 0 temos:
a − ex
ρ2
= a−ex = e.
−x
e
Assim, de acordo com a definição geral, as retas d1 e d2 são diretrizes da elipse situadas
à distância ae do centro da cônica.
4.3
Hipérbole
Podemos chegar à equação canônica de uma hipérbole fazendo um desenvolvendo
análogo ao feito para a elipse na subseção 4.2.
No entanto, usaremos a caracterização usual da hipérbole como sendo o lugar geométrico
dos pontos P de um plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos,
do mesmo plano, é constante e igual a 2c (ver Proposição 3.7)
|dist(P, F1 ) − dist(P, F2 )| = 2a < 2c = dist(F1 , F2 ),
para obter sua equação.
Assim como a elipse a hipérbole é uma cônica de dois focos e duas diretrizes.
Fazendo b2 = c2 − a2 , ou seja, c2 = a2 + b2 e procedendo como no caso da elipse (ver
subseção 4.2.1), obtemos a equação reduzida da hipérbole com focos sobre o eixo x
x2 y 2
− 2 = 1.
b
a2
(6)
A hipérbole representativa dessa equação tem interseções com o eixo x nos pontos
A1 (−a, 0) e A2 (a, 0) e sua interseção com o eixo y é vazia. Ela é uma curva simétrica em
relação a ambos os eixos e resolvendo a equação em relação x obtemos
y2
x2
1.
=
1
+
b2
a2
Portanto, a hipérbole não entra na região vertical entre as retas x = −a e x = a. As retas
r1 : y − ab x = 0 e r2 : y + ab x = 0 são assı́ntotas da hipérbole.
Observação 4.3 Quando os focos de uma hipérbole estão sobre o eixo y, a sua equação
reduzida é da forma
x2 y 2
− 2 + 2 = 1.
a
b
E, neste caso, as assı́ntotas são as retas r1 : y − ab x = 0 e r2 : y + ab x = 0.
Em uma hipérbole arbitrária temos os seguintes elementos:
• focos: os pontos F1 e F2 ;
• distância focal : distância entre os focos F1 F2 = 2c;
• vértices A1 e A2 : interseção da hipérbole com a reta passando pelos focos;
• centro O: interseção do segmento A1 A2 com sua mediatriz;
• vértices B1√e B2 : pontos sobre a mediatriz do segmento A1 A2 com B1 O = b = B2 O,
sendo b = c2 − a2 ;
• eixo focal : segmento A1 A2 de medida 2a;
• eixo transverso: segmento B1 B2 de medida 2b;
• corda principal : segmento paralelo ao segmento B1 B2 passando por um dos focos,
com extremidades em pontos R e S da hipérbole);
• excentricidade: e = ac ;
• diretrizes: retas d1 e d2 perpendiculares à reta focal e a uma distância
a
e
do centro;
• assı́ntotas: retas suportes das diagonais do retângulo determinado pelas retas paralelas ao eixo conjugado e passando pelos pontos A1 e A2 e pelas retas paralelas ao
eixo focal e passando pelos pontos B1 e B2 .
Observe que c > a e, portanto, a excentricidade de uma hipérbole é e = ac > 1.
Usando as igualdade ρ1 = dist(P, F1 ) = ex + a e ρ2 = dist(P, F2 ) = ex − a para os raios
focais de uma hipérbole, concluı́mos que ela é uma cônica com duas diretrizes paralelas
ao eixo conjugado e simétricas em relação ao centro. Por exemplo, considerando o foco
F1 (−c, 0) temos a reta d1 : x + ae = 0 como diretriz associada.
y
S
d1
B2
F1
A1
o
A2
F2
x
B1
R
4.4
Redução de uma cônica à sua forma canônica
Dado uma equação cartesiana geral de uma cônica
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(7)
uma pergunta natural seria: Ela representa qual curva? Responder a essa pergunta é
tratar de um segundo problema fundamental da geometria; o de reconhecer um objeto
geométrico a partir de sua equação cartesiana. É claro que no caso de uma cônica a
resposta depende das constantes A, B, C, D, E e F que aparecem na equação. Tudo
é resolvido escolhendo um sistema de eixos coordenados especial, mediante translação e
rotação de eixos, e encontrando a equação da cônica em relação a esse sistema. Essas
equações estarão na forma reduzida, conforme visto na seção anterior.
4.4.1
Fórmula de redução e classificação de uma cônica
Observamos que se a equação geral de uma cônica decompõe-se no produto de dois
fatores lineares, então a equação representa uma cônica degenerada, ou seja, um ponto
ou uma reta ou ainda um par de retas concorrentes. Da igualdade
4A Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
podemos escrever
[2Ax + By + D]2 = (B 2 − 4AC)y 2 + 2(BD − 2AE)y + D2 − 4AF.
Logo, concluı́mos que a cônica é degenerada se
(B 2 − 4AC)y 2 + 2(BD − 2AE)y + D2 − 4AF
(8)
possui raı́zes reais duplas (discriminante nulo). Para isso devemos ter:
4(BD − 2AE)2 − 4(B 2 − 4AC) D2 − 4AF
= −16A 4ACF + BDE − AE 2 − CD2 − F B 2 = 0.
Se este for o caso, então podemos escrever
[2Ax + By + D]2 = B 2 − 4AC (y − y0 )2 ,
sendo y0 a raiz dupla do trinômio (8) e, resolvendo a equação em relação a uma das
variáveis obtemos as equações das ”retas”. Por exemplo, se A = 0 podemos escrever
−(By + D) ± (B 2 − 4AC)y 2 + 2(BD − 2AE)y + D2 − 4AF
.
x=
2A
A expressão
Δ = 4ACF + BDE − AE 2 − CD2 − F B 2
é chamada discriminante da equação de uma cônica. Admitindo-se C = 0 e procedendo
como acima resulta na mesma expressão para o discriminante.
Quando Δ = 0 a equação representa uma cônica não degenerada; adotando um sistema
de eixos coordenados adequado podemos reduzir sua equação cartesiana à forma reduzida
e, conseqüentemente, classificá-la.
Para isso, fazemos primeiro uma mudança de coordenadas dada por uma rotação de
eixos com o objetivo de eliminar o termo cruzado xy na equação cartesiana geral (7).
~
y
y
P(x,y)
B
q
E
D
~
x
C
q
O
A F
x
As fórmulas de rotação que estabelecem as relações entre as coordenadas (x, y) de um
ponto P , em relação ao sistema xy, com suas coordenadas (x̃, ỹ) em relação ao sistema
x̃ỹ são:
x = x̃ cos(θ) − ỹsen(θ);
y = x̃sen(θ) + ỹ cos(θ);
(9a)
(9b)
x̃ = x cos(θ) + ysen(θ);
ỹ = −xsen(θ) + y cos(θ).
(9c)
(9d)
Aplicando as fórmulas (9a-9d) à equação geral de uma cônica obtemos sua equação em
relação ao sistema de eixos x̃ỹ :
Ãx̃2 + B̃ x̃ỹ + C̃ ỹ 2 + D̃x̃ + Ẽ ỹ + F̃ = 0,
com
Ã
B̃
C̃
D̃
Ẽ
F̃
=
=
=
=
=
=
A cos2 (θ) + B cos(θ)sen(θ) + Csen 2 (θ);
B cos(2θ) − (A − C)sen(2 θ);
Asen 2 (θ) − B cos(θ)sen(θ) + C cos2 (θ);
D cos(θ) + Esen(θ);
−Dsen(θ) + E cos(θ);
F.
Essas igualdades fornecem as seguintes relações entre os coeficientes das duas equações:
Ã + C̃ = A + C;
Ã − C̃ = Bsen (2 θ) + (A − C ) cos (2 θ) ;
2
B̃ + (Ã − C̃)2 = B 2 + (A − C)2 ;
2
B̃ − 4ÃC̃ = B 2 − 4AC.
2
Isso mostra que as expressões Ã + C̃ = A + C e B̃ − 4ÃC̃ = B 2 − 4AC, bem como o
termo independente F̃ = F , são invariantes por rotação de eixos.
A expressão
I = B 2 − 4AC
é chamado indicador da equação da cônica.
A fim de simplificar a equação de uma cônica, eliminando o termo x̃ỹ, devemos realizar
uma rotação de um ângulo θ de modo que B̃ = 0. Isso corresponde a uma cônica com
eixo focal paralelo ao eixo x̃. Neste caso, devemos ter
B̃ = B cos(2θ) − (A − C)sen(2 θ) = 0 ⇔ tag(2 θ) =
B
.
A−C
Usando a igualdade
B
2tag(θ)
= γ,
= tag(2 θ) =
2
A−C
1 − tag (θ)
concluı́mos que a equação tag(2 θ) =
B
A−C
possui duas soluções distintas, raı́zes da equação
γtag 2 (θ) + 2tag(θ) − γ = 0 .
Ou seja,
tag(θ) =
−1 ±
1 + γ2
γ
Nas aplicações sempre usamos a solução θ com 0 < θ <
por esse ângulo, a equação da cônica toma a forma
.
π
2
e, após a rotação de eixos dada
Ãx̃2 + C̃ ỹ 2 + D̃x̃ + Ẽ ỹ + F̃ = 0
(10)
Agora, consideremos uma mudança de coordenadas dadas por uma translação de eixos.
As fórmulas de translação que estabelecem as relações entre as coordenadas (x̃, ỹ) de um
ponto P , em relação ao sistema x̃ỹ, com suas coordenadas (x̄, ȳ) em relação ao sistema
x̄ȳ são simplesmente,
x̃ = x̄ + x0 ,
ỹ = ȳ + y0 ,
em que (x0 , y0 ) são as coordenadas, no sistema x̃ỹ, do ponto Ō origem do sistema x̄ȳ.
Aplicando essas relações à equação
Ãx̃2 + B̃ x̃ỹ + C̃ ỹ 2 + D̃x̃ + Ẽ ỹ + F̃ = 0,
(11)
de uma cônica obtemos sua equação cartesiana em relação ao sistema x̄ȳ
Ãx̄2 + B̃ x̄ȳ + C̃ ȳ 2 + D̄x̄ + Ē ȳ + F̄ = 0,
(12)
com
D̄ = 2Ãx0 + B̃y0 + D̃;
Ē = B̃x0 + 2C̃y0 + Ẽ;
F̄ = Ãx20 + B̃x0 y0 + C̃y02 + D̃x0 + Ẽy0 + F̃ .
Logo, concluı́mos que os coeficientes Ã, B̃ e C̃ dos termos de segundo grau na equação das
cônicas (11) são invariantes por translação de eixos. Portanto, também são as expressões
2
Ã + C̃ e B̃ − 4ÃC̃.
Para que na equação (12) não haja termos do primeiro grau (D̄x̄ e Ē ȳ) devemos ter
2Ã B̃
x0
D̃
D̄
0
=
(13)
+
=
Ē
y0
0
B̃ 2C̃
Ẽ
2
Esse sistema será possı́vel e determinado se o indicador da cônica I = B̃ − 4ÃC̃ =
B 2 − 4AC for não nulo. Se esse for o caso, os valores de (x0 , y0 ) da solução desse sistema
fornecem uma translação que elimina os termos de primeiro grau na equação. Neste caso,
a equação da cônica em relação ao sistema de eixos cartesianos x̄ȳ toma a forma
Āx̄2 B x̄ȳ + C̄ ȳ 2 + F̄ = 0.
(14)
Quando B̄ = 0 a equação (14) fornece imediatamente as equações reduzidas das cônicas.
O desenvolvimento acima, além de permitir reduzir a equação de uma cônica à sua forma
reduzida, em relação a um sistema de eixos adequado, também fornece a seguinte classificação:
Teorema 4.1 Uma vez determinados os valores do discriminante Δ = 4ACF + BDE −
AE 2 − CD2 − F B 2 e do indicador I = (B)2 − 4AC tem-se:
a) Se Δ = 0 a equação Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma cônica
degenerada;
b) Se Δ = 0 a equação Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma cônica
suave, que após uma rotação por um ângulo
B
1
θ = arctag
A−C
2
seguida de uma translação de eixos é representada por uma equação da forma Ax2 +
Cy 2 + F = 0, com I = B − 4AC = −4AC. Logo,
i) Se I < 0 temos que A e C possuem sinais iguais, e trata-se de uma cônica do gênero
elipse;
ii) Se I > 0 temos que A e C possuem sinais contrários, e trata-se de uma cônica do
gênero hipérbole;
iii) Se I = 0 temos que A = 0 ou C = 0, e trata-se de uma cônica do gênero parábola.
4.4.2
O Cabri Géom̀etre II e a redução das cônicas
Vamos usar o Cabri Géomètre para simular o efeito das translações e rotações na
equação de uma cônica. Para isso, construı́mos alguns macros utilizando os conceitos
da seção 4.2.2, as propriedades focais das cônicas e a informação que toda cônica (sua
equação cartesiana) é caracterizada por cinco condições geométricas independentes. Em
particular, é suficiente o conhecimento das coordenadas de cinco de seus pontos para que
possamos determinar sua equação. Observe que se as constantes A, B e C são todas nulas,
então a cônica será uma reta ou ponto. Caso contrário, as coordenadas dos cincos pontos
de uma cônica fornecem um sistema de ordem cinco. Por exemplo, se A = 0 podemos
escrever
⎧
y + FA = 0
x +E
x y + CA y1 + D
x1 + B
⎪
A 1
A 1
A 1 1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y2 + FA = 0
x2 + E
x2 y2 + CA y2 + D
x2 + B
⎪
A
A
A
⎪
⎪
⎪
⎨
y + FA = 0
x +E
x y + CA y3 + D
x3 + B
A 3
A 3
A 3 3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y + FA = 0
x +E
x y + CA y4 + D
x4 + B
⎪
A 4
A 4
A 4 4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ x + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0
5
A
A 5
A 5
A 5
A 5 5
A solução desse sistema fornece constantes que determinam a equação da cônica!
Uma macro construção para o Cabri que é capaz de “determinar” a equação de uma
elipse de foco F1 e diretriz d1 e excentricidade e pode ser construı́da seguindo o roteiro:
dado um ponto F1 , uma reta d1 e um segmento de medida e (0 < e < 1) execute os
seguintes procedimentos:
1. Considere a distância da diretriz ao vértice O
a
= dist(d1 , F1 ) + c,
e
em que c é a distância do foco F1 ao vértice O.
2. Determine o valor de a e c pelas fórmulas:
e
.dist(d1 , F1 )
a=
1 − e2
c = a.e
(use a ferramenta calculadora, com opção precis~
ao numérica de 5 dı́gitos);
3. Determine o foco F2 com dist(F1 , F2 ) = 2c, que está situado na semi-reta que tem
origem em d, passa por F1 e é perpendicular à reta d (use a ferramenta compasso
ou transfer^
encia de medidas) ;
4. Usando o método das tangentes (ver seção 8.2), construa a elipse de focos F1 e F2
e eixo maior de comprimento 2a (P F1 + P F2 = 2a);
5. Determine cinco pontos sobre essa elipse;
6. Use a ferramenta c^
onica pontos para encontrar a elipse sem usar as ferramentas
rastro ou lugar geométrico;
7. Retorne a precisão numérica do Cabri para um dı́gito;
8. Determine as equações dos elementos: diretriz, foco e elipse, usando a ferramenta
equaç~
oes e coordenadas.
Observação 4.4 Uma caracterı́stica interessante nessa construção é que ela permite usar
o caráter dinâmico do Cabri para simular translação e rotação de eixos. Construções
semelhantes podem ser realizadas para viabilizar a simulação no caso da parábola e da
hipérbole.
4.5
Generalizações: algumas quádricas de rotação
As superfı́cies de rotação geradas pela rotação de uma cônica de excentricidade e em
torno de seu eixo focal (parabolóide de rotação, elipsóide de rotação e hiperbolóide de
duas folhas de rotação), admitem uma caracterização como lugar geométrico análogo aos
das cônicas. Vamos representar uma tal superfı́cie por Se . Sejam π um plano do espaço,
F um ponto que não pertence ao plano π e 0 < e < 1 um número real.
A superfı́cie Se de foco F , diretriz π e excentricidade e é o lugar geométrico dos pontos
P (x, y, z) tais que
dist(P, F )
= e.
dist (P, π)
Dado uma superfı́cie Se , tomando para eixo x a reta perpendicular ao plano π passando
pelo ponto F , e para eixos y e z duas retas perpendiculares entre si e perpendiculares
ao eixo x, passando pela interseção O do plano π com o eixo x, obtemos um sistema de
eixos coordenados cartesiano para o espaço. Em relação à esse sistema temos π : x = 0
e F (2p, 0, 0). Assim, um ponto de coordenadas (x, y, z) pertence à superfı́cie Se se, e
somente, se
(x − 2p)2 + (y − 0)2 + (z − 0)2
dist(P, F )
.
=
e=
|x|
dist(P, π)
E, podemos escrever
(1 − e2 )x2 − 4px + y 2 + z 2 = −4p2 .
(15)
Quando a excentricidade e assume o valor 1 temos a seguinte equação cartesiana para a
superfı́cie S1
y 2 + z 2 = 4p(x − p).
2pe
√2pe são positivos e completando o quadrado
Para 0 < e < 1 os números a = 1−e
2 e b =
1−e2
na variável x obtemos, após simplificação, a equação cartesiana para a superfı́cie Se
2p 2
x − 1−e
y2 z2
2
+ 2 = 1.
+
b
b2
a2
Agora, quando e > 1 o número 1 − e2 é negativo e podemos reescrever a equação como
2p 2
x − 1−e
y2 z2
2
− 2 = 1,
−
b
b2
a2
√2pe são números positivos.
em que, a = e2pe
2 −1 e b =
e2 −1
Resumindo temos o seguinte:
1. Para e = 1 a equação (15) representa um parabolóide de rotação;
2. Para 0 < e < 1 a equação (15) representa um elipsóide de rotação;
3. Para e > 1 a equação (15) representa um hiperbolóide de duas folhas de rotação.
5
Retas tangentes a uma cônica.
Já mostramos que a equação geral de uma cônica é da forma
Ax + By + Cx + Dy + E = 0.
Logo, as interseções de uma reta com uma cônica são dadas analiticamente pelo sistema
de equações
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
y − mx − b = 0.
Por uma substituição direta podemos resolvê-lo para x. O resultado é uma equação
quadrática
ax2 + bx + c = 0
para as coordenadas x da interseção. Tais equações têm no máximo duas soluções. As
retas que intersectam as cônicas em dois pontos são denominadas retas secantes. Recordamos que as retas secantes que passam pelos pontos P e Q atingem uma posição limite
quando Q tende a P , que se define como a reta tangente à cônica no ponto P . Um exame
mais detalhado permite concluir que as retas que intersectam a cônica em um único ponto
podem não ser tangentes à cônica (no caso de uma elipse essa é uma condição suficiente).
Elas são de um dos seguintes tipos:
a) uma reta tangente;
b) uma reta paralela ao eixo se a cônica é uma parábola;
c) uma reta paralela a uma assı́ntota se a cônica é uma hipérbole.
Portanto, uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja tangente à uma
cônica num ponto P dessa curva é que a reta, menos o ponto P, esteja totalmente contida
na região chamada exterior da curva.
Podemos dar uma caracterização das tangentes à uma cônica de maneira mais precisa
nas seguintes proposições:
Proposição 5.1 Sejam P um ponto da parábola de foco F e diretriz d e t a reta bissetriz
do ângulo ∠F P D, em que D é pé da perpendicular à reta d passando por P . Temos que
t é reta tangente à parábola C no ponto P sendo também a mediatriz do segmento F D.
P
Q
F
d
D
D’
O
t
Demonstração:
Observamos que uma parábola separa os demais pontos do plano em duas regiões:
uma, onde cada ponto tem distância ao foco menor que sua distância à diretriz ( interior
da curva) e outra onde a distância de cada ponto ao foco é maior que a distância à
diretriz ( exterior da curva). Sendo P um ponto da parábola, no triângulo P F D temos
P F = P D. Assim, a reta t, bissetriz do ângulo ∠F P D, é também mediana e altura
do triângulo P F D. Em outras palavras, a reta t é mediatriz do segmento F D. Seja
agora Q um ponto qualquer da reta t, distinto de P . Se D̃ é pé da perpendicular à reta
d passando por Q temos que m∠QDD < m∠QD D e, portanto, QF = QD > QD , ou
seja, Q é exterior à parábola. Logo, concluı́mos que a reta t é tangente à parábola em P .
Proposição 5.2 Sejam uma elipse C de diretriz d e focos F1 e F2 e P um ponto de C.
−→
Se a reta t é a bissetriz do ângulo determinado pela semi-reta P E, oposta a semi-reta
−−→
−−→
P F1 , e pela semi-reta P F2 , então t é a tangente à elipse no ponto P .
F´1
E
Q
P
t
F1
F2
X
Demonstração:
Recordamos que a elipse C é o lugar geométrico dos pontos X que satisfazem a propriedade métrica, XF1 + XF2 = k (constante). Como no caso da parábola, a elipse
separa os demais pontos do plano em duas regiões: uma, onde cada ponto X satisfaz
XF1 + XF2 < k ( interior da curva) e outra onde cada ponto X satisfaz XF1 + XF2 > k
( exterior da curva). Logo, uma reta será tangente à elipse C em um ponto P se, e somente se, intersectar C em P e, qualquer que seja o ponto X da reta distinto de P , se
tenha: XF1 + XF2 > k. Seja, agora, um ponto P na elipse C e tomemos uma reta t que
−→
−−→
seja bissetriz do ângulo determinado pela semi-reta P E, oposta a semi-reta P F1 , e pela
−−→
semi-reta P F2 . Afirmamos que t é a tangente à C em P . De fato, dado um ponto Q em
←−→
t distinto de P , seja F1 o ponto da reta P F2 com F1 P = P F1 . Temos que o triângulo
F1 P F1 é isósceles, logo, a reta t é a mediatriz do segmento F1 F1 e F1 Q = QF1 . Segue-se
então da desigualdade triangular aplicada ao triangulo F1 QF2 que :
QF1 + QF2 = F1 Q + QF2 > F1 F2
= F1 P + P F2 = P F1 + P F2 = k.
Portanto, Q é exterior à elipse e a reta t é tangente à elipse em P .
Proposição 5.3 Sejam uma hipérbole C de diretriz d e focos F1 e F2 e P um ponto de
−−→ −−→
C. Se a reta t é a bissetriz do ângulo determinado pelas semi-retas P F1 e P F2 , então t
é a tangente à hipérbole no ponto P .
t
X
P
A
F1
Q
F2
Demonstração:
Temos que a hipérbole C é o lugar geométrico dos pontos X que satisfazem a propriedade métrica, |XF1 − XF2 | = k (constante). Os dois ramos da hipérbole dividem os
pontos do plano em três regiões: uma região compreendida entre os dois ramos ( exterior da
curva), onde cada ponto X dessa região satisfaz , |XF1 − XF2 | < k (k < XF1 −XF2 < k)
e outras duas que são internas a cada um dos ramos da hipérbole (vamos chamar a união
dessas duas regiões de interior da curva). Os pontos X da região interna ao ramo que
contém F1 satisfazem a desigualdade XF1 − XF2 < −k e os da região interna ao ramo
que contém F2 satisfazem a desigualdade XF1 − XF2 > k. Logo, uma reta será tangente
à hipérbole C em um ponto P se, e somente se, intersectar C em P e, qualquer que seja o
ponto X da reta distinto de P , |XF1 − XF2 | < k. Sejam, agora, um ponto P da hipérbole
−−→ −−→
C e t a bissetriz do ângulo determinado pelas semi-retas P F1 e P F2 . Afirmamos que t é
a tangente à C em P . De fato, seja Q um ponto da bissetriz t, distinto de P , e considere
−−→
um ponto A da semi-reta P F1 tal que P A = P F2 . Temos |P F1 − P F2 | = P A e, portanto,
P A = k. Como o triângulo AP F2 é isósceles a reta t é a mediatriz do segmento AF2 ,
assim, o triângulo AQF2 também é isósceles. E, em particular, temos QA = QF2 .
Segue-se da desigualdade triangular aplicada ao triângulo QAF1 que QA < QF1 + F1 A
e QF1 < QA + AF1 . Conseqüentemente, temos
QA − AF1 < QF1 < QA + AF1
o que fornece: −AF1 < QF1 − QA < AF1 , ou seja, |QF1 − QA| < AF1 . Como QA = QF2
e AF1 = k obtemos
|QF1 − QF2 | < k,
para todo ponto Q diferente de P . Portanto, t menos o ponto P está no exterior da
hipérbole e concluı́mos que a reta t é tangente à hipérbole em P .
6
Propriedades Refletoras das Cônicas e Aplicações
Na fı́sica Clássica, os raios de luz e as ondas sonoras propagam-se no espaço em linha
reta e radialmente a partir de sua fonte. Além disso, se a fonte está muito distante de seu
destino, essas ondas chegam ao destino formando um feixe praticamente paralelo, como é o
caso das ondas de rádio ou as luminosas provenientes de um corpo celeste distante (estrela,
galáxia, planetas, etc). Chegando em linha reta elas refletem num ponto de uma superfı́cie
suave na mesma direção que refletiriam num plano que é tangente à superfı́cie nesse ponto.
Ou seja, seguindo a lei da Fı́sica : “o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão”.
Por causa da relação especial entre o foco de uma cônica suave e suas tangentes (ver
Proposições 5.1, 5.2 e 5.3), superfı́cies refletoras (espelhos, antenas, etc) com o formato de
uma superfı́cie de rotação, geradas pela rotação de uma parábola em torno de seu eixo,
ou de uma elipse ou hipérbole em torno de seu eixo focal, têm propriedades refletoras que
são úteis em várias aplicações tecnológicas. Abaixo apresentamos algumas delas.
Superfı́cies refletoras parabólicas (parabolóide): Uma onda de rádio encontrando
uma antena receptora parabólica, numa direção paralela ao seu eixo, refletirá na direção
do foco da parábola que gera a superfı́cie parabólica (ver Proposição 5.1). Isso justifica
porque as antenas que captam sinais do espaço são de formato parabólico, pois é necessário
captá-los e concentrá-los em um único ponto para serem tratados, de acordo com o fim a
que se destinam.
Um fenômeno análogo ocorre com um raio de luz que encontra um espelho parabólico
numa direção paralela a seu eixo, ele refletirá no foco da parábola. Como exemplo de
aplicação dessa propriedade temos os coletores solares.
Por outro lado, os raios luminosos que irradiam de um holofote ou farol de carro refletem em sua superfı́cie, de formato parabólico, de forma que os raios refletidos sejam
paralelos.
Superfı́cies refletoras elı́pticas (elipsóide): Uma conseqüência da Proposição 5.2
é que uma onda sonora ou luminosa que irradia do “foco” de uma superfı́cie refletora
elı́ptica reflete para o outro “foco”. Essa propriedade é usada na construção de refletores
odontológicos, aparelhos de emissão de certos raios usados em medicina ou nas salas de
sussurros.
Os refletores de dentistas usam refletores elı́pticos que têm como objetivo concentrar o
máximo de luz onde se está trabalhando e também evitar que os raios luminosos ofusquem
a visão do paciente, causando um certo desconforto.
O aparelho de radioterapia para tratamento médico emite raios cujo objetivo é destruir
tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao reder, sendo assim eles
se valem de espelhos elı́pticos para concentrar os raios em um determinado ponto.
Existem certas formatos de construções de salas que dão condições acústicas especiais
em auditórios, teatros, catedrais, como acontece na Catedral de S. Paulo(Londres) e no
edifı́cio do Capitólio em Washington, D. C. Elas são projetadas num formato de parte
de um elipsóide de modo que exista dois pontos, onde duas pessoas, uma em cada um
desses pontos (“focos” do elipsóide), podem se comunicar em voz sussurrada, inaudı́vel
no restante da sala.
Superfı́cies refletoras hiperbólicas (hiperbolóide de duas folhas): Consideremos
um espelho refletor com o formato de uma folha do hiperbolóide gerado pela rotação de
uma hipérbole em torno de seu eixo focal, sendo que a parte refletora está do “lado de
externo” do hiperbolóide (parte côncava). Segue da Proposição 5.3 que um raio de luz
irradiado de uma fonte A incide segundo uma reta no espelho e é refletido numa direção
passando pelo “foco” da outra folha do hiperbolóide. Alguns telescópios denominados
refletores usam um espelho hiperbólico secundário, além do refletor parabólico principal,
para redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente. Sua construção
foi proposta por Cassegrain em 1.672. Ela utiliza um segundo espelho refletor hiperbólico
com seu “foco” coincidindo com o foco do espelho principal, de formato parabólico, conforme mostra a figura. Seu objetivo é fazer com que a imagem, após ser refletida, seja
formada na posição do foco da outra folha do hiperbolóide. Existem algumas vantagens
na montagem desse tipo de telescópio. O famoso telescópio ótico do observatório de
Monte Palomar, que fica a 80 Km a noroeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias
montagens do tipo de Cassegrain.
7
Outras Aplicações das Cônicas
Existem outras aplicações que utilizam algumas propriedades das cônicas. Elas aparecem nas construções civis, em problemas de navegação e comunicação.
7.1
O sistema LORAN
O sistema LORAN de localização em navegação (Navegação de Longa Distância) permite ao navegante de um navio ou avião achar sua posição sem confiar em marcos visı́veis.
Usando para isso o conceito de lugar geométrico que define a hipérbole. Seu princı́pio
básico de funcionamento é bastante simples, o qual passamos a descrever. Estações de
rádio situadas simultaneamente em posições F1 e F2 emitem sinais que são recebidos pelo
navegante situado numa posição P . O navegante mede o intervalo
t = t2 − t1
entre o instante t2 , tempo quando ele recebe o sinal enviado por F2 , e o instante t1 , tempo
quando ele recebe o sinal de F1 . Se T1 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido
por F1 para alcançar a posição do navegante, e T2 é o intervalo de tempo que leva o sinal
emitido por F2 para alcançar a posição do navegante, então a diferença entre a distância
da posição do navegante a F1 e a distância da posição do navegante a F2 é
P F2 − P F1 = ct,
em que c é a velocidade do som no ar.
Portanto, embora o navegante não possa medir T1 e T2 diretamente sem saber quando
os sinais foram enviados, ele pode medir com precisão a diferença entre os instantes que
os sinais foram recebidos, que é o bastante para determinar que o navio está em algum
ponto P da hipérbole cuja equação é
P F1 − P F2 = ct.
Assim, o navegante pode localizar sua posição se ele receber sinais de três estações de
rádio situadas em F1 , F2 , F3 .
P
F1
F3
F2
Cada par de estações dá uma hipérbole que contém a posição do navegante, assim
sua posição exata é o ponto onde as três hipérboles intersectam. Ela pode ser determinada através da plotagem das três hipérboles em um mapa, obtendo a interseção comum
ou usando coordenadas e computando algebricamente a interseção. (Na realidade, seria
necessário levar em conta a curvatura da Terra e também que os sinais de rádio podem
ter sido refletidos e outras fontes potenciais de erro.)
7.2
Construção de usinas atômicas
Podemos mostrar que o hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de uma
hipérbole em torno do seu eixo transverso é também gerado por uma reta. Ou seja, ele
pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas (superfı́cie regrada).
Assim, seu formato é usado na construção de centrais de energia atômica, onde barras de
aço retilı́neas (que têm alta resistência) se cruzam para obter estruturas extremamente
fortes.
8
Construindo Cônicas por Meio de “Dobradura de
Papel” no Computador
A nossa intuição nos diz que se conhecemos a reta tangente em cada ponto de uma
curva plana, então podemos dizer quem é a curva, a menos de sua posição no plano. Na
verdade esse é um resultado que pode ser provado num curso de Geometria Diferencial!
Usando a caracterização da parábola, elipse e hipérbole por meio de suas propriedades
focais e mais as Proposições 5.1 5.2 e 5.3 podemos justificar as construções das cônicas por
meio de dobraduras (conhecidas como Método de Van Schooten, holandês que construı́a
aparelhos para traçar cônicas). Essas construções fornecem ilustrações (exemplos) para o
que afirmamos acima.
8.1
A construção da parábola pelo método da dobradura
P
Q
F
d
D’
O
D
t
Usando uma folha de papel-manteiga execute os seguintes procedimentos:
1. Desenhe uma reta horizontal d (diretriz da parábola), numa folha de papel-manteiga
e marque, fora dessa reta, um ponto fixo F (foco da parábola).
2. Selecione um ponto D sobre a reta e dobre o papel-manteiga de forma a fazer
coincidir os pontos D e F . A figura abaixo, ilustra a construção de uma dobra. Ela
coincide com a reta t tangente à parábola).
3. Repita essa operação para diferentes escolhas de pontos sobre a diretriz. Realizando
esta operação um número suficiente de vezes, podemos observar que as dobras parecem tangenciar uma curva que é uma parábola.
Uma maneira de simular esta construção no computador é utilizar o software Cabri
Géomètre II. Um roteiro para esta simulação é:
1. Construa uma reta d e um ponto F fora da reta d.
2. Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre a reta d.
3. Construa a mediatriz t do segmento DF .
4. Construa a perpendicular l à reta d, por D.
5. Com a ferramenta ponto de interseç~
ao, obtenha o ponto P , interseção de t e l.
6. A parábola é o lugar geométrico dos pontos P quando D se move ao longo da reta
d. (ver Proposição 5.1);
7. Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, use a
ferramenta animação e faça o ponto D mover-se sobre a reta d. O rastro deixado
pela reta t faz o papel das dobras!
8.2
A construção da elipse pelo método da dobradura
D
t
F1
F2
1. Sobre uma folha de papel-manteiga marque um ponto F1 mais ou menos no centro
da folha.
2. Com o auxı́lio do compasso, desenhe dois cı́rculos centrados em F1 e de raios 2a
(pelo menos 14 cm de raio) e 2c (c menor do que a).
3. Trace uma semi-reta horizontal com origem em F1 e tome o ponto F2 interseção da
semi-reta com o cı́rculo de raio 2c.
4. Escolha um ponto D sobre o cı́rculo de raio 2c e dobre o papel-manteiga de forma
a fazer coincidir os pontos D e F2 . A figura abaixo, ilustra a construção de uma
dobra. Ela coincide com a reta t tangente à elipse.
5. Repita essa operação para diferentes escolhas do ponto D. Quando você tiver realizado esta operação um grande número de vezes poderá observar que as dobras
parecem tangenciar uma curva.
6. O lugar geométrico dos pontos de tangência P quando D percorre o cı́rculo é uma
elipse (ver Proposição 5.2).
Um roteiro para simulação da dobradura da elipse usando o Cabri:
1. Construa dois segmentos de medidas 2a e 2c com 2a > 2c.
2. Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r.
3. Utilizando a ferramenta compasso, construa dois cı́rculos concêntricos de centro F1
com raios 2a e 2c.
ao obtenha o ponto F2 , ponto de interseção
da reta r e o cı́rculo de raio 2c.
5. Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre o cı́rculo de
raio 2a.
6. Construa a mediatriz t do segmento DF2 .
7. Construa a reta l passando por F1 e D.
ao obtenha o ponto P , interseção de t e l.
9. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P quando D se move ao longo do
cı́rculo. Justifique!
10. Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, faça o ponto
D mover-se sobre o cı́rculo.
8.3
A construção da hipérbole pelo método da dobradura
A construção da hipérbole via dobradura é muito semelhante à da elipse um roteiro
para simular esta construção utilizando o Cabri é dado pelos seguintes procedimentos:
1. Construa dois segmentos de medidas 2a e 2c com 2a < 2c.
2. Construa uma reta r e um ponto F1 sobre r.
3. Utilizando a ferramenta compasso, construa dois cı́rculos concêntricos de centro F1
com raios 2a e 2c.
ao obtenha o ponto F2 , ponto de interseção
da reta r e o cı́rculo de raio 2c.
5. Utilize a ferramenta ponto sobre objeto e tome um ponto D sobre o cı́rculo de
raio 2a.
6. Construa a mediatriz t do segmento DF2 .
7. Construa a reta l passando por F1 e D.
ao obtenha o ponto P , interseção de t e l.
9. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P quando D se move ao longo do
cı́rculo. Justifique!
10. Utilize a ferramenta rastro para selecionar a mediatriz t e, em seguida, faça o ponto
D mover-se sobre o cı́rculo.
11. Observando a simulação, descreva um procedimento para construir uma parábola
através de dobradura de papel.
9
Alguns Aparatos Usados na Construção de Cônicas
Nessas construções vamos precisar trabalhar numa prancheta de madeira de dimensões mı́nimas 50 × 60 × 2 cm. Também usaremos alguns materiais como: régua
simples de madeira, uma régua de madeira no formato de T , tesoura, barbante, lápis e
pregos ou percevejos.
Construindo uma parábola:
F
d
1. Fixe um prego num ponto F (foco da parábola) da prancheta.
2. Considere a lateral da prancheta como a diretriz d da parábola.
3. Corte um pedaço de barbante pouco maior que o comprimento da régua T .
4. Prenda uma extremidade do barbante na extremidade do tronco da régua T e a outra
no foco F , de modo que a parte livre do barbante tenha exatamente o comprimento
da régua.
5. Trace uma curva deslizando a régua T ao longo da diretriz, enquanto mantém o
barbante esticado com seu lápis e em contato com o tronco da régua T . A curva é
parte de uma parábola com foco F e diretriz d.
Observe que a distância da ponta do lápis à diretriz é igual à distância ao ponto F.
Portanto, a curva que o lápis descreve é uma parábola. (Ver caracterização focal da
parábola)
Construindo uma elipse:
P
F2
F1
1. Fixe dois pregos na prancheta nos pontos F1 e F2 .
2. Tome um pedaço de barbante cujo comprimento seja maior que a distância F1 F2 .
A amarre suas pontas em F1 e F2 de modo que a parte livre do barbante ligando os
dois pregos tenha comprimento l = 2a.
3. Trace uma curva com o lápis ao redor dos dois pregos mantendo o barbante esticado.
A curva traçada será uma elipse com focos F1 e F2 , satisfazendo a equação P F1 +P F2 =
2a para todo ponto P da curva. . (Ver caracterização focal da elipse)
Construindo uma hipérbole I:
F1
F2
1. Prenda uma extremidade da régua simples de madeira sobre a prancheta com um
prego no ponto F1 , de modo a permitir que ela gire em torno do prego.
2. Fixe um segundo prego na prancheta no ponto F2 .
3. Tome um pedaço de barbante com comprimento tal que
0 < (comprimento da régua) − (comprimento do barbante) < F1 F2 .
4. Mantenha o lápis em contato com a régua de modo a deixar o barbante esticado.
Ao mesmo tempo gire a régua em torno de F1 .
A curva que o lápis descreve é parte de uma ramo da hipérbole que satisfaz a equação
P F1 − P F2 = (comprimento da régua) − (comprimento do barbante) para todos os pontos
P.
Construindo uma hipérbole II:
P
F1
F2
1. Fixe dois pregos na prancheta nos pontos F1 e F2 .
2. Tome um pedaço de barbante cujo comprimento seja bem maior que duas vezes a
distância F1 F2 .
3. Passe o barbante em torno de F2 e por cima de F1 , mantendo juntas as suas extremidades. Em seguida, amarre um lápis, em P , em uma das partes do barbante,
mantendo-o esticado conforme mostra a figura.
4. Puxe ou afrouxe simultaneamente as duas pontas do barbante, mantendo-o esticado
através do lápis.
A diferença inicial P F1 − P F2 = 2a manter-se-á constante e o lápis (ponto P ) descreverá um ramo da hipérbole com focos F1 e F2 , satisfazendo a equação P F1 − P F2 = 2a
para todo ponto P da curva.
Referências
[1] Baldin, Y. Y. ET. Alli., Atividades com Cabri-Géomètre II, São Carlos: Editora
EdUFSCar, 2002.
[2] Boyer, C. B., História da Matemática, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1.974
[3] Gonçalves, Z. M., Geometria Analı́tica: Um Tratamento Vetorial Vol 1 e 2, LTC, Rio
de Janeiro, 1.978.
[4] Jennings, G. A., Modern Geometry with applications, Springer-Verlag, New York.
[5] Lindquist, M. M and Shulte A. P., Aprendendo e Ensinando Geometria, Tradução:
Domingues, H. H.,Editora Atual,São Paulo 1998.
[6] Revista do Professor de Matemática, IMPA-SBM, Rio de Janeiro.
Matemática e Ensino: O estudo de Alguns
Tópicos sobre Curvas Cônicas via o
Software Cabri-Géomètre II ∗
Rafael Siqueira Cavalcanti†
Edson Agustini‡
Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG
Resumo
Neste trabalho apresentamos seis construções geométricas envolvendo curvas cônicas
com o auxı́lio do software de geometria dinâmica Cabri Géomètre II. Propriedades
de reflexão das curvas cônicas também são exploradas nessas construções. Além
disso, apresentamos uma seção com alguns aspectos históricos das secções cônicas
introduzidas por Apolônio de Perga, (± 262 - 190 a.C.) e, uma outra seção com
uma curiosidade histórica (e sua justificativa) de como os antigos gregos faziam
para identificar uma curva cônica a partir de um foco e de um “pedaço” da mesma.
1
Introdução
O uso de recursos computacionais para auxiliar no estudo de matemática tem se tornado cada vez mais freqüente e promissor. No estudo de geometria euclidiana plana
e geometria analı́tica, o sofware Cabri Géomètre II se apresenta como uma boa opção
de ensino-aprendizagem. Neste trabalho, fizemos uso do Cabri em um estudo de seis
construções geométricas envolvendo elipses, hipérboles e parábolas (duas de cada). A
principal referência utilizada nas construções foi o livro [1] de atividades com o Cabri.
Com essas construções geométricas, objetivamos motivar o aluno dos perı́odos iniciais
de Matemática a estudar essa bela página da Geometria constituida pelas curvas cônicas e
suas propriedades (como as de reflexão). Além disso, esperamos estimular o aluno ao uso
do computador para a aprendizagem, e que as construções aqui abordadas possam servir
de introdução para estudos e construções geométricas mais elaboradas sobre o assunto.
Uma breve introdução histórica sobre as curvas cônicas é apresentada e, finalizando o
trabalho, incluimos um interessante estudo de como os antigos gregos faziam reconhecimento dessas curvas utilizando um dos focos e um “pedaço” da curva cônica.
Finalmente, como pré-requisito a este estudo, colocamos apenas uma pequena familiaridade com alguns conceitos básicos de geometria plana.
∗
Este trabalho foi desenvolvido no primeiro semestre letivo de 2004 como parte das atividades do projeto de ensino “Ações Integradas para Melhoria do Ensino de Matemática”
viculado ao PIBEG - Programa Institucional de Bolsas de Ensino da Graduação - UFU.
†
[email protected] Orientando do Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação
- Pibeg - de março/04 a fevereiro/05.
‡
2
Um Pouco da História das Curvas Cônicas
Associado à história das curvas cônicas temos o nome de Apolônio, que nasceu na cidade
de Perga, região da Panfı́lia (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287
a.C. e 212 a.C. e, juntamente Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.) forma a trı́ade
considerada como sendo a dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Estudou com
os discı́pulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável.
Sua obra prima é Secções Cônicas composta por 8 volumes (aproximadamente 400
proposições!). Da obra original sobreviveram 7 volumes, sendo 4 escritos em grego e 3
traduzidos para o árabe por Thabit Ibn Qurra (826 a 901) no séc. IX. Os três primeiros
volumes são baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. Em 1710 Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes de Secções Cônicas
para o latim e todas as demais traduções para as lı́nguas modernas foram feitas a partir
da tradução de Halley.
Apolônio escreveu pelo menos mais seis outras obras que, infelizmente, se perderam
com excessão de uma (que foi traduzida para o árabe na idade média). No entanto, ao
contrário do oitavo volume de Secções Cônicas, essas cinco obras perdidas foram restauradas no século XVIII a partir de citações e comentários em obras gregas antigas.
Embora Apolônio tenha sido o matemático que mais estudou e desenvolveu as cônicas
na antiguidade, essas curvas já eram conhecidas em sua época, sendo os precursores
Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides.
Figura 1: Apolônio de Perga.
Antes de Apolônio as cônicas eram concebidas como intersecção de um cone simples
(uma folha) com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, sendo essa intersecção
uma:
(1) Elipse: quando o cone possui secção meridiana aguda.
(2) Parábola: quando o cone possui secção meridiana reta.
(3) Hipérbole: quando o cone possui secção meridiana obtusa.
Com Apolônio, ao invés de se considerar um cone simples, tomamos um cone duplo,
que pode ser reto ou oblı́quo, e fazemos a intersecção com um plano tal qual consideramos
nos atuais textos de geometria analı́tica (Figura 2).
Figura 2: Secções cônicas.
3
Quantos pontos determinam uma cônica?
Esta seção tem por objetivo justificar um procedimento bastante comum quando usamos
o software Cabri-Géomètre II no estudo de cônicas, que é o fato de que “cinco pontos
determinam uma cônica”.
Seja ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 equação geral de uma cônica, sendo a, b ou c
diferente de zero.
Suponha a = 0. Logo:
d
e
f
b
c
x2 + y 2 + xy + x + y + = 0.
a
a
a
a
a
Chamando
c
d
e
f
b
= α; = β; = γ; = δ; = ε, temos
a
a
a
a
a
x2 + αy 2 + βxy + γx + δy + ε = 0
Fazendo (x, y) = (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , (x3 , y3 ) , (x4 , y4 ) e (x5 , y5 ) , temos o sistema linear:
⎧ 2
x1 + αy12 + βx1 y1 + γx1 + δy1 + ε = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ x22 + αy22 + βx2 y2 + γx2 + δy2 + ε = 0
x23 + αy32 + βx3 y3 + γx3 + δy3 + ε = 0
⎪
⎪
x2 + αy42 + βx4 y4 + γx4 + δy4 + ε = 0
⎪
⎪
⎩ 42
x5 + αy52 + βx5 y5 + γx5 + δy5 + ε = 0
que possui cinco equações e cinco incógnitas. Se os pontos (xi , yi ) ; i = 1, 2, 3, 4, 5; dados
forem distintos e não colineares, temos como calcular α, β, γ, δ e ε e, portanto, encontrar
a equação geral dessa cônica.
Exemplo: Suponhamos que os pontos (6, 2) ; (4, −2) ; (−2, 1) ; (−3, −2) e (5, 6) pertençam
a uma curva cônica. Logo, podemos montar o seguinte sistema linear:
⎧
62 + 22 α + (6) (2) β + 6γ + 2δ + ε = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
42 + (−2)2 α + (4) (−2) β + 4γ − 2δ + ε = 0
⎨
(−2)2 + 12 α + (−2) (1) β − 2γ + 1δ + ε = 0
⎪
2
⎪
⎪
(−3) + (−2)2 α + (−3) (−2) β − 3γ − 2δ + ε = 0
⎪
⎩
52 + 62 α2 + (5) (6) β + 5γ + 6δ + ε = 0
cuja solução é
α=
1 √
1√
1
157
253
1√
; γ=−
;
345 + ; β = −
345 −
345 −
24
24
192
192
96
96
5√
13
545
1√
.
345 + ; ε = −
345 −
δ=
32
32
48
48
que corresponde a uma elipse de equação geral:
x2 + (0, 81559) y 2 + (−0, 91445) xy + (−2, 8289) x + (0, 98669) y − 13, 289 = 0
cuja ilustração pode ser vista na Figura 3:
Figura 3: Cinco pontos podem determinam uma curva cônica.
4
4.1
Parábolas
A Parábola como Lugar Geométrico dos Centros das Circunferências que Contêm um Ponto Fixo e são Tangentes a
uma Reta Dada
Vamos utilizar o Cabri Géomètre II para obter esse lugar geométrico.
Descrição da construção:
• Com a ferramenta “Reta” situada na terceira palheta da barra de ferramentas (sempre
contando da esquerda para a direita), construimos uma reta qualquer e a rotulamos de d
(opção “Rótulo” na décima palheta).
• Em seguida, com a opção “Ponto” (segunda palheta) criamos um ponto qualquer no
plano com a restrição de que o mesmo não pertença à reta d. Rotulamos este ponto de F.
• Como próximo passo, utilizamos a opção “Ponto sobre Objeto” para criarmos um ponto
T sobre a reta d.
• Usando a ferramenta “Reta Perpendicular” (quinta palheta), traçamos uma reta perpendicular a d passando por T e, em seguida, a rotulamos de r.
• Traçamos então o segmento T F (“Segmento”, terceira palheta) e sua mediatriz (“Mediatriz”,
quinta palheta) a qual damos o rótulo m.
• Com a opção “Pontos de Intersecção” (segunda palheta) marcamos o ponto de intersecção
da reta r e da mediariz m. Rotulamos este ponto de P.
Seguindo os passos descritos acima nossa construção no Cabri está interativa. Para
verificar isso, clicamos sobre T e arrastamos o mesmo pela reta d. Que curva o ponto P
descreve quando movimentamos T ? Para visualizar o percurso de P habilitemos a opção
“Rasto On/Off” (décima palheta) e cliquemos sobre mesmo. Agora, movimentando o
ponto T sobre a reta d, obtemos Figura 4.
Figura 4: A parábola como lugar geométrico.
Aparentemente, a curva obtida é uma parábola de foco F e diretriz d, mas o que
garante que a figura realmente representa essa curva cônica? Para responder essa pergunta, vamos lembrar o conceito de parábola: damos o nome de parábola ao conjunto dos
pontos equidistantes do foco (no caso F ) e da diretriz (no caso d).
Vamos então verificar, usando o Cabri, se na curva obtida a definição de parábola está
satisfeita:
• Criamos com a ferramenta “Segmento” da terceira palheta, o segmento F P.
• Novamente, com a ferramenta “Segmento”, criamos o segmento P T.
• Com a ferramenta “Distância e Comprimento” medimos os segmentos F P e P T.
Observamos, como era esperado, que esses segmentos tem o mesmo comprimento independente de como variamos T na reta d ou seja, a definição de parábola foi “interativamente” satisfeita (Figura 5).
Figura 5: Verificando a definição de parábola.
Para uma demonstração formal de que o ponto P descreve uma parábola, tome o
ponto O como na figura acima. Temos que o triângulo OF P tem ângulo reto em O, o
mesmo ocorrendo com o triângulo OT P. Isto ocorre do fato de a reta m ser mediatriz
de F T. Também do fato de m ser mediatriz de F T, temos OF ≡ OT. Logo, temos pelo
critério de congruência LAL (lado, ângulo, lado) que OF P ≡ OT P. Logo, a medida de
F P sempre é igual a medida de T P para qualquer P.
Observemos que P é centro de circunferência tangente a d passando por F, ou seja,
temos a parábola como lugar geométrico dos centros das circunferências que contêm um
ponto fixo F e são tangentes a uma reta d dada.
Propriedade de Reflexão da Parábola:
“Um “raio de luz” incidindo em uma parábola paralelamente ao seu eixo de simetria é
refletido nesta passando pelo seu foco”.
Verifiquemos essa propriedade na construção acima.
Pela Lei de Snell, temos que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Vamos verificar que estes ângulos realmente são iguais na nossa construção:
• Seja a circunferência com centro em P e raio P T. Essa circunferência tem T como um
dos pontos de intersecção com a reta r. O outro, rotulemos de Q. Com a ferramenta “Reta
Perpendicular” traçamos a perpendicular à m passando por Q. Rotulemos de R o pé da
perpendicular baixada de Q a m.
• Com a ferramenta “Ângulo” medimos os ângulos de incidência QP#R e reflexão F P#O.
Constatamos que suas medidas coincidem.
Justificativa: Construimos o triângulo retângulo RQP, com O ∗ P ∗ R (P entre O e R) e
T ∗ P ∗ Q. Pelo critério LAA0 (lado, ângulo, ângulo oposto), temos que OT P é congruente
a RQP. Mas OT P é congruente a OF P, logo, RQP é congruente a OF P. Assim, o ângulo
de incidência QP#R é congruente ao ângulo de reflexão F P#O. (Figura 6)
Figura 6: Verificando a propriedade de reflexão da parábola.
4.2
Uma Outra Construção Para a Parábola
• Primeiramente, traçamos os eixos coordenados (“Mostrar Eixos” - décima primeira palheta). Em seguida, habilitamos a opção “Definir Grade” (na mesma palheta) e clicamos
sobre um dos eixos.
• Criemos um ponto F qualquer, de coordenadas inteiras, ou seja, que está sobre um
ponto da grade. Este ponto será o foco da nossa parábola.
• Traçamos então a diretriz d da parábola de modo que esta diretriz seja paralela ao eixo
das abscissas. Para isso basta ativar a ferramenta “Reta” e clicar sobre dois pontos de
mesma ordenada.
• Com a ferramenta “Reta Perpendicular”, traçamos uma reta perpendicular a d passando
por F (eixo da parábola). Chamamos a intersecção desta reta com a diretriz de A.
• Para localizarmos o vértice dessa parábola usamos opção “Ponto Médio” (quinta palheta), clicando uma vez sobre A e outra sobre F. Rotulamos este ponto de médio de V
(vértice).
• Com a opção “Semi-reta”, construı́mos a semi-reta de origem V e que contém F e, em
seguida, construı́mos um ponto G sobre esta semi-reta.
• Tomemos uma reta perpendicular ao eixo da parábola passando por G. Feito isto,
construı́mos o segmento GA e com a opção “Pontilhado” (décima primeira palheta), pontilhamos este segmento.
• Com a opção “Compasso” (quinta palheta), criamos uma circunferência de centro F e
raio GA. Marcamos os ponto de intersecção desta circunferência com a reta perpendicular
passando por G e os rotulamos de T1 e T2 , respectivamente.
• Utilizando a ferramenta “Lugar Geométrico”, clicamos uma vez sobre T1 e uma sobre G.
Repitamos o processo clicando agora uma vez sobre T2 e uma sobre G.
• Com a opção “Cônica” (quarta palheta), clicamos em cinco pontos distintos sobre o lugar
geométrico obtido. Assim, o Cabri traça a parábola que coincide com o lugar geométrico
obtido.
• Ativamos agora a opção “Equação e Coordenadas” e clicamos sobre a parábola. Assim
obtemos o seguinte resultado (Figura 7):
Figura 7: Outra construção para a parábola.
Vamos fazer uma demonstração formal de que a curva obtida é, realmente, uma
parábola.
Tomemos um ponto Q qualquer da parábola de acordo com a Figura 8.
Devemos mostrar que a distância do ponto Q à diretriz da parábola é igual a distância
deste mesmo ponto ao foco da parábola.
Traçamos o segmento QP, perpendicular ao eixo das abscissas e com P pertencente a
d.
Temos que o comprimento de QP é a distância do ponto Q à diretriz da parábola e
que QP ≡ GA.
Temos que QF ≡ GA possui comprimento igual a distância do ponto Q ao foco da
parábola que, por construção, é o raio da circunferência com centro em F.
Como o ponto Q é arbitrário, concluı́mos que a distância de um ponto qualquer da
parábola à diretriz da mesma, é igual a distância deste mesmo ponto ao foco da mesma
parábola.
Figura 8: Demonstração formal para a parábola.
5
5.1
Elipses
A Elipse Como Lugar Geométrico dos Centros das Circunferências que Contêm um Ponto Fixo e são Tangentes a uma
Circunferência Dada
• Com a ferramenta “Ponto” (segunda palheta) criamos dois pontos distintos no centro
da tela e rotulamos estes pontos de F1 e F2 , respectivamente.
• A seguir, com a opção “Segmento” (terceira palheta), criamos um segmento de tamanho
maior que F1 F2 para utilizarmos como raio da circunferência que vamos construir.
• Com opção “Compasso” (quinta palheta), clicamos sobre o segmento que construı́mos
e depois sobre o ponto F1 . O Cabri traça uma circunferência de raio igual a medida do
segmento que fizemos e centro no ponto F1 . Rotulamos esta circunferência de c. Devido
ao fato do segmento que construı́mos ter medida maior que a medida de F1 F2 , temos que
F2 está no interior da circunferência.
• Em seguida, com a opção “Ponto sobre Objeto” (segunda palheta) construı́mos um ponto
sobre c e rotulamos de T.
• Com a ferramenta “Reta” (terceira palheta) construı́mos a reta que passa por T e F1 e
a que passa por T e F2 e as rotulamos de r e s, respectivamente.
• Com a opção “Segmento” (terceira palheta), marcamos o segmento que une T a F2 e em
seguida com a opção “Mediatriz”, traçamos a mediatriz de T F2 . Rotulamos essa mediatriz
de m.
• Com a ferramenta “Ponto de Intersecção”, marquemos o ponto E, intersecção de m e r.
• Feita a construção, movimente o ponto P sobre a circunferência e tente observar que
curva o ponto E descreve. Se a visualização não ficou clara, utilize o recurso “Rasto
On/Off” sobre o ponto E e, novamente, movimente P sobre a circunferência. Obtemos
então a seguinte figura:
Figura 9: A elipse como lugar geométrico.
Aparentemente, a curva gerada pelo movimeto do ponto E é uma elipse de focos F1 e
F2 , mas o que garante este fato?
Temos, por definição de elipse, que a distância de um ponto qualquer da mesma
até um dos focos, somada com a distândia do mesmo ponto até o outro foco, é uma
constante. Vamos verificar se isto realmente está ocorrendo na nossa “elipse” considerando
a construção da Figura 10, cuja descrição segue logo abaixo.
Figura 10: Verificando a definição de elipse.
• Primeiramente, construı́mos os segmentos EF1 e EF2 com a ferramenta “Segmento”.
• Em seguida, medimos estes segmentos (“Distâncias e Comprimentos” - nona palheta).
• Agora, com a ferramenta “Calculadora” (nona palheta), clicamos na medida de um
segmento, no operador “+” e depois sobre o outro segmento. Após isto, clicamos no sinal
de igualdade e arrastamos o resultado obtido para a área de trabalho do Cabri.
Clicando sobre o ponto T e o arrastando ao longo de c podemos constatar que, independente das medidas de EF1 e EF2 , a soma EF1 + EF2 permanece constante, como
queriamos constatar.
Vamos fazer uma demonstração formal de que a figura obtida é, realmente, uma elipse.
Chamemos de O a intersecção de m com s. Sejam os triângulos EOF2 e EOT (com
T ∗ O ∗ F2 , ou seja, O entre T e F2 ). Pelo critério LAL (lado, ângulo, lado), temos que
estes dois triângulos são congruentes. Logo, EF2 = ET.
Assim, temos que F1 E + EF2 = F1 E + ET = F1 T que possui comprimento constante
pois F1 T é o raio da circunferência da nossa construção. (Figura 11)
Figura 11: Verificando se o lugar geométrico define uma elipse.
Propriedade de Reflexão da Elipse:
“Um “raio de luz” com origem um um foco de uma elipse reflete nesta passando pelo outro
foco”.
Mostremos essa propriedade na construção acima.
Temos que os triângulos EF2 O e ET O são congruentes pelo critério LAL (lado, ângulo,
lado). Isto se dá devido ao fato da reta que contém EO ser a mediatriz de T F2 .
Temos que os triângulos ET O e EF1 D são semelhantes devido ao critério AAA
(ângulo, ângulo, ângulo). Logo, por transitividade, temos que o triângulo EF1 D é semel# ≡ F2 EO,
# o que conclui que o ângulo de incidência
hante ao triângulo EF2 O, ou seja, F1 ED
é igual ao ângulo de reflexão.
5.2
Outra Construção para a Elipse
• Antes de começarmos a construção, vamos ao menu superior “Opções” e clicamos
em “Preferências”. Selecionamos agora “Sistema de Coodernadas e Equações” e, no ı́tem
“Cônica”, selecionamos (x − x0 )2 /a2 ± (y − y0 )2 /b2 = 1. Clicamos em “Aplicar a” e, em
seguida em “Ok”.
• Mostramos os eixos coordenados e rotulamos a origem de O.
• Com a opção “Edição Numérica”, editamos primeiramente o valor 3 e atribuı́mos a ele
o rótulo a e, em seguida, editamos o valor 2 e atribuı́mos a ele o rótulo b.
• Com a ferramenta “Calculadora” efetuamos os dois cálculos a seguir associando ao
primeiro −c e ao segundo c:
√
√
− a2 − b2 e a2 − b2 .
• Utilizando a ferramenta “Transferência de Medida” (quinta palheta), transferimos a para
o eixo das abscissas e b para o eixo das ordenadas. Chamamos esses pontos de A2 e B1 ,
respectivamente.
• Transferimos os valores de −c e c para o eixo das abscissa rotulando-os de F2 e F1 .
• Construı́mos os segmentos OA2 e OB1 e, com a ferramenta “Compasso”, construı́mos
as circunferências concêntricas em O e de raios OA2 (de comprimento 3) e OB1 (de
comprimento 2).
• Tomemos um ponto T sobre a circunferência de raio OA2 e, em seguida, construı́mos
a semi-reta OT. Chamamos o ponto da intersecção de OT com a circunferência de raio
OB1 de Q.
• Tracemos uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando por T e uma perpendicular ao eixo das oordenadas passando por Q. Obtemos o ponto de intersecção destas
duas retas e rotulamos este ponto de P.
• Utilizando agora a ferramenta “Lugar Geométrico”, clicamos uma vez sobre P e uma
sobre T. Um lugar geométrico (neste caso, uma curva) é traçado.
• Para verificarmos, com o auxı́lio do Cabri, que este lugar geométrico obtido é, realmente, uma elipse, habilitamos a opção “Cônica” e clicamos em cinco pontos distintos
sobre o lugar geométrico. Visualmente, percebemos que a curva cônica (elipse) e o lugar
geométrico obtido coincidem.
• Para obtermos a equação dessa elipse, ativamos a ferramenta “Equação e Coordenadas”
e clicamos sobre a elipse. O resultado obtido da construção feita segue adiante. (Figura
12)
Variando os parâmetros a e b no Cabri, podemos visualizar de modo dinâmico as
sucessivas elipses de equações x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Para variar os parâmetros, basta clicar
duas vezes sobre um dos valores, 3 ou 2, de a ou b. Isso dará origem a uma pequena janela
que permite a mudança do respectivo valor.
Figura 12: Outra construção para a elipse.
Para uma demonstração formal de que a curva acima realmente é uma elipse, utilizamos as equações paramétricas da mesma. Assim, devemos mostrar que um ponto da
curva possui equações paramétricas da forma x = a cos t, y = b sen t, 0 ≤ t < 2π.
Consideramos um ponto P arbitrário na curva e K o pé da perpendicular baixada de
T no eixo das abscissas. Temos o triângulo OT K com ângulo reto em K, o ponto Q com
# = t, com 0 ≤ t < 2π como na figura abaixo:
O ∗ Q ∗ T (Q entre O e T ) e o ângulo T OK
Figura 13: Demontração formal para a elipse.
Temos o segmento OQ de comprimento b e o segmento OT de comprimento a. Logo,
temos que o ponto Q tem ordenada b sen t mas, como Q e P estão sobre uma mesma reta,
paralela ao eixo das abscissas, temos que P tem a mesma ordenada de Q.
Temos também o ponto T com abscissa a cos t mas, como T e P estão sobre uma
mesma reta paralela ao eixo das ordenadas, temos que P tem a mesma abscissa de T.
Logo, P = (a cos t, b sen t) ou seja, x = a cos t e y = b sen t,com 0 ≤ t < 2π, que são as
equações paramétricas da elipse.
Deste modo:
(a cos t)2 (b sen t)2
x2 y 2
+ 2 =
+
= cos2 t + sen2 t = 1,
a2
b
a2
b2
0 ≤ t < 2π, que é a equação reduzida de uma elipse.
6
6.1
Hipérboles
A Hipérbole Como Lugar Geométrico dos Centros das Circunferências que Contêm um Ponto Fixo e são Tangentes a
uma Circunferência Dada
Neste caso, repetimos todo o processo inicial da construção da nossa primeira elipse,
com a diferença de que, desta vez, o segmento incial que vamos fixar terá comprimento
menor que a distância de F1 a F2 . Deslizando o ponto T sobre a circunferência, observamos que o ponto E descreve uma curva. Para melhor visualizarmos que curva é essa,
ativaremos a opção “Rasto On/Off” e obtemos o seguinte resultado:
Figura 14: A hipérbole como lugar geométrico.
Aparentemente obtemos uma hipérbole de focos F1 e F2 . Para comprovar que a curva
e, realmente, uma hipérbole vamos relembrar a definição da mesma: uma hipérbole é o
conjunto dos pontos P tais que |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = k (k é uma constante positiva).
Vamos fazer uma “demonstração” de que isso ocorre na nossa “hipérbole”.
• Com a ferramenta “Distâncias e Comprimento” (nona palheta), medimos o comprimento
de EF1 e o de EF2 .
• Com a opção “Calculadora” (nona palheta), calculamos o valor absoluto (módulo) de
EF1 − EF2 .
• Efetuada essa conta, clicamos sobre o valor obtido e o arrastamos até a área de trabalho
do Cabri.
Agora é só movimentar o ponto T sobre a circunferência e constatar que mesmo com
a variação das medidas de EF1 e EF2 , |d(P, F1 ) − d(P, F2 )| sempre permanece constante.
(Figura 15)
Figura 15: Verificando a definição de hipérbole.
Vamos agora fazer uma demonstração formal de que a curva acima é, realmente, uma
hipérbole.
Seja A o ponto de intersecção da reta que passa por T e F2 e da mediatriz do segmento
T F2 .
Temos que o triângulo ET A é congruente ao triângulo EF2 A pelo critério LAL (lado,
ângulo, lado). Assim, EF2 ≡ ET.
Logo, podemos concluir que |EF1 − EF2 | = |EF1 − ET | = F1 T que é constante, pois
F1 T é o raio da circunferência da nossa construção.
Propriedade de Reflexão da Hipérbole:
“Um “raio de luz” incidindo em uma hipérbole na direção de um dos focos é refletido
nesta na direção do outro foco”.
Vamos verificar que a propriedade de reflexão da hipérbole está satisfeita em nossa
construção.
Seja A o ponto formado pela intersecção da tangente à hipérbole no ponto E e o
segmento T F2 .
Tomamos, sem perda de generalidade, o raio incidente que passa pelo segmento EF2 .
Devemos mostrar que o ângulo formado entre esse raio incidente e a tangente à hipérbole
# são congruentes ou seja, ângulo de incidencia é igual ao
no ponto E e o ângulo T EA
ângulo de reflexão.
Temos que os triângulos ET A e EF2 A são congruentes (caso LAL). Assim, o ângulo
#
# Logo, podemos concluir que o ângulo situado entre o raio
T EA é igual ao ângulo F2 EA.
# (opostos
de incidência e a tangente à hipérbole no ponto E, é congruente ao ângulo F2 EA
# Assim, concluı́mos que o
pelo vértice), que por sua vez é congruente ao ângulo T EA.
ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. (Figura 16)
Figura 16: Propriedade de reflexão da hipérbole
6.2
Outra Construção para a Hipérbole
• Primeiramente, fazemos os mesmos ajustes feitos na segunda construção da elipse, vista
acima. Clicamos no menu de “Opções” e, em seguida, em “Preferências”. Vamos até
a guia “Sistema de Coordenadas e Equações” e no item “Cônica”, habilitamos a opção
(x − x0 )2 /a2 ± (y − y0 )2 /b2 = 1.
• Agora, começando efetivamente a construção, exibimos os eixos de coordenadas e rotulamos a origem de O.
• Com a opção “Edição Numérica”, da décima palheta, editamos os números 3 e 2 e, em
seguida, rotulamo-os de a e b, respectivamente.
• Temos que efetuar os seguintes cálculos:
√
√
− a2 + b2 e a2 + b2 .
Para isso, ativamos a opção “Calculadora” e efetuamos as contas normalmente. Para
cada resultado obtido, clicamos no mesmo (dentro da calculadora) e arrastamos até a área
de trabalho do Cabri. Para o primeiro valor obtido, damos o rótulo −c e, para o segundo,
c.
• Utilizando o recurso de “Transferência de Medida”, transferimos os valores de a e b
para o eixo das abscissas rotulando-os, respectivamente, de V2 e b. Ainda com o mesmo
recurso ativado, tranferimos −c e c para o eixo Ox. Chamamos estes pontos de F1 e F2 ,
respectivamente.
• Passamos à construção do segmento OV2 e, com a ferramenta “Compasso”, construı́mos
a circunferência de centro O e raio OV2 .
• Marcamos um ponto T qualquer sobre esta circunferência e, em seguida, construı́mos a
semi-reta OT.
• Traçamos uma reta perpendicular ao eixo das abscissas passando por b e, em seguida,
construı́mos o ponto de intersecção desta reta com a semi-reta OT, rotulando-o de S.
• Traçamos outra perpendicular ao eixo das abscissas passando por V2 . Marcamos o ponto
de intersecção desta reta com OT, rotulando-o de Q.
• Marcamos o segmento OQ e façamos outra circunferência de centro O e raio OQ.
Tomemos o ponto de intersecção desta circunferência com o eixo das abscissas (no sentido
positivo). Rotulamos este ponto de Q .
• Façamos outra reta perpendicular ao eixo das abscissas passando por Q e uma reta
perpendicular ao eixo das oordenadas passando por S. Tomemos o ponto de intersecção
destas duas retas rotulando-o de P.
• Com a ferramenta “Lugar Geométrico” habilitada, clicamos uma vez sobre o ponto P e
em seguida uma vez sobre o ponto T.
• Com a opção “Cônica”, clicamos cinco vezes sobre o lugar geométrico obtido e temos o
seguinte resultado:
Figura 17: Outra construção para a hipérbole.
Para uma demonstração formal de que a curva acima é uma hipérbole, utilizamos as
equações paramétricas da mesma. Assim, devemos mostrar que um ponto P qualquer
π 3π
da hipérbole possui abscissa x = a sec t e ordenada y = b tan t; 0 ≤ t < 2π; t = , .
2 2
Mostrando isso, temos
x2 y 2
(a sec t)2 (b tan t)2
−
=
−
= sec2 t − tan2 t = 1,
a2
b2
a2
b2
que é a equação reduzida de uma hipérbole.
# .
Para tanto, seja P = (x, y) e t a medida do ângulo QOQ
OV2
OV2
=
pois OQ ≡ OQ . Como a
No triângulo retângulo QOV2 temos cos t =
OQ
OQ
a
medida de OV2 é a e a medida de OQ é x, temos cos t = , ou seja, x = a sec t.
x
P Q
Sb
=
pois Sb ≡ P Q . Como a medida
No triângulo retângulo SOb temos tan t =
Ob
Ob
y
de Ob é b e a medida de P Q é y, temos tan t = , ou seja, y = b tan t.
b
π 3π
Desta forma, P = (a sec t, b tan t) ; 0 ≤ t < 2π; t = , , como querı́amos.
2 2
7
Curiosidade: Como os Antigos Gregos Identificavam
uma Cônica
Os gregos da antigüidade criaram um método bastante interessante para indentificar
cônicas. Eles dispunham apenas de um “pedaço” de uma cônica e de um foco como
na figura a seguir:
Figura 18: Curvas cônicas na antigüidade.
O método consistia da seguinte análise:
• Tomamos o segmento AB perpendicular ao eixo de simetria da cônica em F com os
pontos A e B pertencentes à curva cônica. (Este segmento AB era chamado de latus
rectum, que significa parâmetro)
• Tomemos um ponto P pertencente à curva cônica.
• Calculamos a área do quadrado P QRS com R e S pertencentes ao eixo de simetria da
curva cônica.
• Construimos um retângulo ST U V de mesma área de P QRS, sendo V o vértice da
cônica, como mostra a figura abaixo:
Figura 19: Método de identificação de curvas cônicas.
Feita esta construção, concluia-se que:
• Se U V < AB, a curva cônica é uma elipse. (elleipsis, que significa falta)
• Se U V ≡ AB, a curva cônica é uma parábola. (parabole, que significa comparação)
• Se U V > AB, a curva cônica é uma hipérbole. (hyperbole, que significa excesso)
Vamos verificar que este método utilizado pelos gregos realmente é válido. Comecemos
para o caso em que a curva cônica em questão é uma parábola.
1◦ caso: Parábola
Tomemos uma parábola qualquer e um sistema de coordenadas no plano de tal modo que
a equação de parábola seja y 2 = 4px, x ∈ R+ , sendo p a distância focal como mostra a
Figura 20 abaixo.
Mostremos que a altura do retângulo ST U V da Figura 19 acima mede 4p.
Para o valor de x = p, temos y = 2p. Logo, o comprimento d do segmento AB é
d = 4p. (Figura 21)
Tomemos um ponto qualquer P de coordenadas (x, y) , x > 0, na parábola. Desta
√ 2
forma, o quadrado P QRS terá área A = 2 px = 4px.
Figura 20: Parábola de equação y 2 = 4px.
A área R do retângulo ST U V tem que ser A e a aresta da base igual a x. Chamando
a altura do retângulo de h, devemos ter:
A = R ⇒ 4px = xh ⇒ 4p = h ⇒ d = h,
como querı́amos.
Figura 21: Confirmando que a curva é uma parábola.
2◦ Caso: Elipse
Seja uma elipse qualquer e fixemos um sistema de coordenadas de tal modo que a
x2 y 2
elipse tenha equação na forma reduzida: 2 + 2 = 1. Tomemos o foco F com abscissa
a
b
negativa e o segmento AB conforme descrito na Figura 19. Seja d a medida do segmento
AB. (Figura 22)
Figura 22: Elipse de equação
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
√
Temos que a abscissa de F é −c = − a2 − b2 . Para x = −c temos, pela equação da
b2
2b2
elipse, que y = ± , ou seja d =
.
a
a
x2
Seja P = (x, y) um ponto da elipse tal que |x| < a. Assim, y = ±b 1 − 2 e a área
a
2
x
do quadrado P QRS da Figura 23 abaixo é A = b2 1 − 2 . O retângulo ST U V deverá
a
ter base medindo a − |x| e altura h de tal modo que sua área R satisfaça R = A, ou seja,
(a − |x|) h = b
2
x2
1− 2
a
.
Desta forma,
h=
b2 (a2 − x2 )
.
a2 (a − |x|)
Devemos mostrar que h < d. De fato:
|x|
|x|
b2
|x|
2b2
< 1 para |x| < a ⇒ 1 +
<2⇒
⇒
1+
<
a
a
a
a
a
b2
b2 (a2 − x2 )
b2 (a + |x|) (a − |x|)
<
d
⇒
< d ⇒ h < d,
(a
+
|x|)
<
d
⇒
a2
a2 (a − |x|)
a2 (a − |x|)
como querı́amos.
Figura 23: Confirmando que a curva é uma elipse.
3◦ Caso: Hipérbole
Seja uma hipérbole qualquer e fixemos um sistema de coordenadas de tal modo que a
x2 y 2
hipérbole tenha equação reduzida 2 − 2 = 1. Tomemos o foco F com abscissa positiva
a
b
e o segmento AB conforme descrito na Figura 19. Seja d a medida do segmento AB.
x2 y 2
Figura 24: Hipérbole de equação 2 − 2 = 1.
a
b
√
Temos que a abscissa de F é c = a2 + b2 . Para x = c temos, pela equação da
2b2
b2
.
hipérbole, que y = ± , ou seja d =
a
a
x2
Seja P = (x, y) um ponto da hipérbole tal que |x| > a. Assim, y = ±b
−1 e a
a2
2
x
área do quadrado P QRS da Figura 25 abaixo é A = b2
− 1 . O retângulo ST U V
a2
deverá ter base medindo |x| − a e altura h de tal modo que sua área R satisfaça R = A,
ou seja,
2
x
2
−1 .
(|x| − a) h = b
a2
Desta forma,
h=
b2 (x2 − a2 )
.
a2 (|x| − a)
Devemos mostrar que h > d. De fato:
|x|
b2
|x|
2b2
|x|
> 1 para |x| > a ⇒ 1 +
>2⇒
1+
>
⇒
a
a
a
a
a
b2 (x2 − a2 )
b2 (a + |x|) (|x| − a)
b2
>
d
⇒
> d ⇒ h > d,
(a
+
|x|)
>
d
⇒
a2
a2 (|x| − a)
a2 (|x| − a)
como querı́amos.
Figura 25: Verificando que a curva é uma hipérbole.
Referências
[1] Baldin, Y. Y. & Villagra, G. A. L. Atividades com Cabri Géomètre II. São
Carlos: Editora da UFSCar. 2002.
[2] Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analı́tica: um tratamento vetorial. 2a. ed.
São Paulo: Editora McGraw-Hill Ltda., 1987.
[3] Eves, H. Tópicos de História da Matemática para uso em Sala de Aula - Geometria.
São Paulo, Atual Editora.
[4] Lima, E. L. et. Alli. A Matemática do Ensino Médio. Volume 3. 3a. ed. Rio
de Janeiro: Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Coleção do
Professor de Matemática. 2003.
[5] Winterle, P. Vetores e Geometria Analı́tica. São Paulo: Makron Books do Brasil.
2000.
[6] Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Publicação da Sociedade
Brasileira de Matemática (SBM).
A História do Café no Brasil
Adriano Soares Andrade1
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice2
[email protected]
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
INTRODUÇÃO
Iniciaremos com um breve resumo da origem do café na Etiópia e sua vinda para o
Brasil no século XVII. Na época do Barroco, das monarquias absolutas e a expansão do
comércio internacional. A seguir um breve resumo da Política Café com Leite realizado pelos
estados de São Paulo e Minas Gerais, uma troca de políticos no governo do país que acabou
não dando certo.
Após esta parte histórica iniciamos com dados pesquisados na internet onde se
mostraremos o papel do Brasil no comércio internacional, quanto à sua agricultura cafeeira e à
exportação do produto CAFÉ.
Veremos tabelas e a interpretação das mesmas com gráficos e fórmulas matemáticas, de
modo a facilitar o entendimento e a compreensão da verdadeira posição do país frente à
globalização.
A HISTÓRIA DO CAFÉ NO BRASIL
Originário da Etiópia, onde já era utilizado em tempos remotos, o café atravessou o
Mediterrâneo e chegou à Europa durante a segunda metade do século XVII. Era a época do
Barroco, das monarquias absolutas e a expansão do comércio internacional enriquecia a
burguesia.
A palavra "café" escrito em amárico, idioma oficial da Etiópia.
Já no início do século XVIII, os Cafés tornaram-se centros de encontro e reunião
elegante de aristocratas, burgueses e intelectuais. Precedido pela fama de "provocar idéias", o
café conquistou, desde logo, o gosto de escritores, artistas e pensadores.
Lord Bacon (à esquerda) atribuía-lhe a capacidade de "dar espírito ao que não o tem".
Os enciclopedistas eram adeptos fervorosos do café e dos Cafés, que Eça de Queiroz (à
direita) chegou a afirmar, muito depois, que foi do fundo das negras taças "que brotou o raio
1
2
Discente do curso de Matemática.
Docente da disciplina Instrumentalização para o Ensino de Matemática.
luminoso de 89", referindo-se às discussões entre iluministas que precederam a Revolução
Francesa [1].
No Brasil
No Brasil, o café cresce, derruba matas, desbrava as terras do Oeste. Foi em 1727 que o
tenente (alguns dizem que era sargento-mor) Francisco de Mello Palheta, vindo da Guiana
Francesa trouxe as primeiras mudas da rubiácea para o Brasil. Recebera-as de presente das
mãos de Madame d'Orvilliers, esposa do governador de Caiena.
Ora, como a saída de sementes e mudas de café estava proibida na Guiana Francesa, é
licito pensar que o aventureiro português recebeu de Madame não só os frutos, mas outros
favores talvez mais doces. As mudas foram plantadas no Pará, onde floresceram sem
dificuldade.
Pintura a óleo do artista Henrique Cavalheiro, datada de 1943, retratando Palheta, recémchegado da Guiana, plantando as primeiras mudas de café em solo brasileiro.
Mas não seria no ambiente amazônico que a nova planta iria tornar-se a principal do
país, um século e meio mais tarde. Enquanto na Europa e nos Estados Unidos o consumo da
bebida crescia extraordinariamente, exigindo o constante aumento da produção, o café saltou
para o Rio de Janeiro, onde começou a ser plantado em 1781 por João Alberto de Castello
Branco.
Tinha início, assim, um novo ciclo econômico na história do país. Esgotado o ciclo da
mineração do ouro em Minas Gerais, outra riqueza surgia, provocando a emergência de uma
aristocracia e promovendo o progresso do Império e da Primeira República.
Colheita de café em São Paulo, em 1930.
Penetrando pelo vale do Rio Paraíba do Sul, a mancha verde dos cafezais, que já
dominava paisagem fluminense, chegou a São Paulo, que, a partir da década de 1880, passou
a ser o principal produtor nacional da rubiácea (o café). Na sua marcha foi criando cidades e
fazendo fortunas. Ao terminar o século XIX, o Brasil controlava o mercado cafeeiro mundial.
Política do Café com Leite
O Presidente Campos Sales buscou o apoio de Minas Gerais que possuía 37 deputados
federais constituindo-se na maior bancada, devido a sua população. Em 1899, Silviano
Brandão, governador de Minas Gerais, aceitou o pacto com São Paulo. Era a oportunidade
para Minas Gerais ocupar uma situação privilegiada, tirando vantagens políticas e econômicas
para a elite mineira.
A Política do Café-com-Leite permitiu a burguesia cafeeira paulista controlar no âmbito
nacional, a política monetária e cambial, a negociação no exterior de empréstimos para a
compra das sacas de café excedentes, enfim, uma política de intervenção que garantia aos
cafeicultores lucros seguros. Para Minas Gerais, o apoio a São Paulo garantia a nomeação dos
membros da elite mineira para cargos na área federal e verbas para obras públicas, como a
construção de ferrovias.
Os paulistas e os mineiros ocupavam os cargos de Presidente da República e os
ministérios da Justiça, das Finanças, da Agricultura, Vice Presidência etc. Nos Estados as
famílias oligárquicas ocupavam os cargos de Governador do Estado, e as Secretarias das
Finanças, da Educação e Saúde, a Prefeitura da Capital, a Chefia de Polícia Estadual, a
Diretoria da Imprensa Oficial, a presidência dos Bancos Estaduais e da Assembléia
Legislativa.
A Política dos Governadores consolidou o poder das famílias ricas dos Estados
formando as oligarquias. Em Minas as principais famílias eram representadas por: Cesário
Alvim, Bias Fortes, Bueno Brandão, Afonso Pena, Francisco Sales, Artur Bernardes e outros.
Para integrar a oligarquia mineira contavam 'os laços de família, educação e dinheiro' estando
aberta aos indivíduos talentosos que formavam-se principalmente em Direito nas
Universidades do Rio de Janeiro e São Paulo. De volta ao Estado, ele tornava-se promotor
público, juiz, casava-se com moça da elite da cidade, podia tornar-se político elegendo-se
vereador, prefeito e deputado [1].
Irrigação da lavoura
A oligarquia mineira controlava o poder através do Partido Republicano Mineiro. A lista
dos candidatos era organizada pela Comissão Executiva do PRM que mandava os nomes para
serem homologados pelo governador do Estado. Para integrar esta lista o candidato tinha que
ser da confiança dos chefes políticos da região, os coronéis, ou indicados pelo governo devido
ao talento e cultura. Não havia lugar no Partido para os dissidentes.
Lavoura cafeeira
Triângulo Mineiro: Safra de café de 2003
A reação obtida nos preços do café nos últimos meses não deve ser suficiente para
animar os produtores. Informações de cooperativas da região, de entidades de classe e de
órgãos governamentais apontam para uma queda significativa na produção para a safra
2002/2003. No início de julho deste ano, a saca de café no Triângulo Mineiro era negociada a
R$ 130,00.
No fechamento do mercado, a saca fechou a R$ 145. Mesmo assim os produtores não
estão otimistas, analisa o vice-presidente do Conselho das Associações dos Cafeicultores do
Cerrado (Caccer), Reinaldo Caetano. Apesar da melhora aparente, o preço de mercado ainda
está abaixo dos custos de produção, estimada em R$150,00 a saca.
Produtividade
Para o presidente da Comissão Técnica para a Cafeicultura da Federação da Agricultura
do Estado de Minas Gerais (Faemg), Breno Pereira de Mesquita, ainda é cedo para se fazer
previsões, mas a redução na produtividade das lavouras é quase certa.
Além dos fatores econômicos - como os baixos preços do produto que desestimulam os
investimentos em tratos culturais - as lavouras de café registram uma redução natural na
produtividade. "O café é uma cultura bi-anual. É comum que um ano de alta produção seja
seguido de um período de queda na safra, e este ano atingimos uma boa safra", diz.
O coordenador técnico da Empresa de Assistência e Expansão Rural de Minas Gerais
(Emater), José Rodrigues, também estima que a produção possa ser reduzida. Os dois, no
entanto, ainda não conseguem calcular a dimensão da queda de produtividade da próxima
safra.
No último levantamento realizado para a safra 2002/2003, pela Companhia Nacional de
Abastecimento (Conab), constata-se que a produção no Triângulo Mineiro e Alto Paranaíba
deve superar as 4 milhões de sacas, resultado semelhante ao produzido este ano. A análise da
Companhia, entretanto, leva em consideração um levantamento feito nas lavouras no período
de pré-colheita, entre os meses de maio e junho.
Safra
A colheita de café da safra brasileira atual já chegou a 99% do total. O levantamento foi
feito com base na última estimativa da produção de café no Brasil. Do total previsto
inicialmente - estimado em 45,6 milhões de sacas de 60 quilos - foram colhidos até o
momento 45,09 milhões de sacas.
Fonte: Jornal Correio [4]
Dados a serem discutidos e verificados
A partir de agora iremos trabalhar com a modelagem no sistema Excel.
Será visto o grande desempenho e participação do Brasil em nível mundial.
Os dados recolhidos se referem ao ano de 2000 a 2003 em alguns aspectos e apenas ao
ano de 2003 em outros [3].
Exportações de Café Arábica, Conillon, Solúvel e Torrado 2000/2003.
Podemos verificar na tabela a seguir (figura 1) os tipos de café que o Brasil mais
exporta. Dentre eles o que mais se destaca é o tipo Arábico com um percentual bastante
elevado no volume exportado e na receita cambial arrecadada.
Observa-se que o volume de exportação vem batendo seus recordes de 2000 a 2002 e
uma queda em 2003, não só no tipo Arábica, como também nos outros tipos como o Conillon,
Solúvel e Torrado.
Nos gráficos não foi colocado o tipo Torrado devido ao baixo volume de exportação
frente aos outros, não tendo um valor significativo para o estudo em questão [3].
Volume de Exportação - 2000/2003
25.000.000
Sacas
20.000.000
Arábica
15.000.000
Conillon
10.000.000
Solúvel
5.000.000
0
2000
2001
2002
*2003
Anos
Figura 1: Volume de exportação de alguns tipos de café nos anos de 2000 a 2003.
Volume de Exportação - 2000/2003
25.000.000
y = -2E+06x 2 + 1E+07x + 5E+06
Arábica
Sacas
20.000.000
Conillon
15.000.000
10.000.000
5.000.000
y = -574921x 2 + 4E+06x - 3E+06
Solúvel
y = -169292x 2 + 920972x + 1E+06
Polinômio (Arábica)
Polinômio (Solúvel )
0
0
1
2
3
4
5
Polinômio (Conillon)
Anos
Figura 2: Volume de exportação de alguns tipos de café nos anos de 2000 a 2003.
CAFÉ - Média Mensal dos Preços Recebidos pelos Produtores 2002/2003
Iremos trabalhar aqui com o valor das sacas de café de 60 kg pagas ao produtor, ou seja,
quanto cada produtor recebeu por saca de café no ano de 2002 e 2003.
Podemos verificar na tabela 1 que o menor valor do ano de 2002 é de R$104,83 e foi no
mês de Julho enquanto que o maior valor no mesmo ano foi de R$167,72 e foi no mês de
outubro.
No ano de 2003 o menor valor foi de R$159,58 no mês de Junho e o maior valor foi de
R$193,03 e foi no mês de fevereiro.
Os dados acima se referem ao café tipo Arábica tipo 6 BC-Duro que manteve seus
preços mais altos nos dois anos, embora não podemos descartar a análise dos outros tipos
apresentados [3].
Tabela 1: Cotação Mensal
Cotação Mensal - 2003
250,00
Arábica Tipo B6 Duro
150,00
Arábica Tipo C Int. 500
100,00
Arábica Tipo C Int. G ll
50,00
OUTUBRO
SETEMBRO
AGOSTO
JULHO
JUNHO
MAIO
ABRIL
MARÇO
FEVEREIRO
Robusta Tipo 7
0,00
JANEIRO
R$
200,00
Meses
Figura 3: Cotação mensal dos tipos de café, no ano de 2003.
ESTOQUES GOVERNAMENTAIS DE CAFÉ
Podemos verificar na tabela 2 a quantidade de armazéns no país e em quais estados se
concentram a maior parte deles. Nota-se que 67% dos armazéns, ou seja, 18 o total de
encontram em Londrina devido à grande produção e escoamento do café para os estados
portuários.
Podemos observar que a Funcafé e o Tesouro Nacional são responsáveis pelo estoque
oficial do país caso necessite abastecer o mercado nacional ou internacional, onde envolve
nesta estocagem o preço do café, safra, entressafra, mercado exterior e futuras negociações
[3].
LONDRINA
VARGINHA
SÃO PAULO
VITÓRIA
Tabela 2: Estoque Nacional
ESTOQUE
NÚMERO
OFICIAL
DE
FUNCAFÉ TESOURO
ARMAZENS
NACIONAL
18
4.438.310 76.896
6
321.241
59.494
2
227.122
1
39.830
-
4.515.206
380.735
227.122
39.830
TOTAIS
27
5.162.893
DECAF
5.026.503
136.390
TOTAIS
Armazéns
7%
4%
LONDRINA
VARGINHA
22%
SÃO PAULO
VITÓRIA
67%
Fonte: DECAF
Elaboração: SPC/MAPA
Figura 4: Percentual dos armazéns em algumas cidades do Brasil.
OBS: Os armazéns de Aimorés e Caratinga são detentores apenas de cafés pendentes de seleção.
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS DE CAFÉ EM GRÃOS
Podemos observar na tabela 3 que o volume de grãos exportados no ano de 2002 é
maior do que em 2003, ou seja, enquanto que em 2002 exportamos 25.850.552 sacas de café,
no ano de 2003 exportamos apenas 18.892.349 sacas.
Observa-se também que a receita gerada em 2002 de janeiro a outubro foi de
R$930.754,00 e em 2003 no mesmo período foi de R$1.056.712,00.
Nota-se (figura 5) que embora o ano de 2003 obteve um menor percentual no volume de
exportações, em contrapartida (figura 6) obteve uma receita superior ao ano de 2002 devido
ao preço médio da saca de café que em 2002 era de R$46,23 e em 2003 chegou à R$55,93 [3].
Tabela 3: Exportações
Volume 2003/2002
3.500.000
3.000.000
2.500.000
2.000.000
1.500.000
1.000.000
500.000
0
2003 - volume
Ja
n
Fe e ir
ve o
re
ir
M o
ar
ço
Ab
ril
M
ai
Ju o
nh
o
Ju
lh
Ag o
Se os
te to
m
b
O ro
ut
u
No b
v e ro
De mb
ze ro
m
br
o
2002 - volume
Mês
Figura 5: Volume das exportações nos anos de 2002 e 2003
Receita Cambial 2003/2002
Receita - 2003
Receita - 2002
Dezembro
Novembro
Outubro
Setembro
Agosto
Julho
Junho
Maio
Abril
Março
6: Receita Cambial nos anos de 2002 e 2003.
Fevereiro
Janeiro
160.000
140.000
120.000
100.000
80.000
60.000
40.000
20.000
Figura
0
Mês
Figura 6: Receita cambial nos anos de 2002 e 2003
Volume 2003/2002
4.500.000
4.000.000
3.500.000
3.000.000
2.500.000
2.000.000
1.500.000
1.000.000
500.000
0
2003 - volume
2002 - volume
Polinômio (2002 - volume)
Polinômio (2003 - volume)
y = -8966,9x3 + 173431x2 - 786855x + 2E+06
R2 = 0,7507
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 y = 5059,2x3 - 52227x2 + 46284x + 2E+06
R2 = 0,6365
Mês
Figura 7: Volume de exportação nos anos de 2002 e 2003.
Receita Cambial 2003/2002
300.000
250.000
Receita - 2003
200.000
Receita - 2002
Polinômio (Receita - 2002)
150.000
Polinômio (Receita - 2003)
100.000
y = 347,58x3 - 3573,6x2 + 4718,5x + 112161
R2 = 0,7222
50.000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = -280,07x3 + 5753,2x2 - 26235x + 100474
R2 = 0,8087
10 11 12
Mês
Figura 8: Receita Cambial nos anos de 2002 e 2003.
Produção Mundial de Café
Principais Países
O Brasil se destaca como o maior produtor de café mundial, como pode ser visto no na
tabela 4.
Podemos notar também que no período de 1999/2000 o Brasil se encontra na segunda
posição em relação a todos os outros países produtores de café que não se encontram na
tabela. Já no período de 2000/2001 o Brasil ultrapassa todos os países produtores de café que
não se encontram na tabela e assim permanece até o período de 2002/2003.
A participação do Brasil subiu de 23,72% em 1999 para 40,81% em 2003 o que mostra
um grande avanço na agricultura cafeeira [3].
Tabela 4: Principais Países Produtores
Produção Mundial
45
40
35
%
Brasil
y = 2,0925x 2 - 5,2575x + 27,623
R2 = 0,9336
Outros Paises
Colômbia
30
Vietnã
25
Indonésia
20
Índia
15
México
10
Guatemala
5
Costa do Marfim
0
Polinômio (Brasil)
1999/2000
2000/2001
2001/2002
2002/2003
Período
Figura 9: Produção Mundial de café ao longo dos anos.
Exportação Mundial de Café
Principais Países
O Brasil se destaca como o maior exportador de café mundial, como pode ser visto no
na tabela 5.
Podemos notar assim como no gráfico anterior que no período de 1999/2001 o Brasil
se encontra na segunda posição em relação a todos os outros países exportadores de café que
não se encontram na tabela. Já no período de 2001/2002 o Brasil ultrapassa todos os países
exportadores de café que não se encontram na tabela e assim permanece até o período de
2002/2003.
A participação do Brasil subiu de 27,02% em 1999 para 32,41% em 2003 o que
mostra um grande avanço na exportação cafeeira e uma aceitação maior do produto no
mercado internacional [3].
Tabela 5: Principais Exportadores
Exportação Mundial
35,00
*Brasil
2
y = 3,3339x - 14,5x + 37,628
30,00
Outros países
2
R = 0,9153
Colômbia
25,00
Vietnã
20,00
Indonésia
%
15,00
Costa do Marfim
10,00
Guatemala
Índia
5,00
México
1999/2000
2000/2001
2001/2002
2002/2003
Polinômio (*Brasil)
Período
Figura 10: Exportação Mundial ao longo dos anos.
CONCLUSÃO
Com este trabalho podemos constatar que o Brasil é um grande produtor e exportador de
café e que a cada ano estes índices vêm aumentando e confirmando esta estatística.
Quando se trata de uma reunião internacional referente ao produto café, o Brasil se
destaca entre os demais, com isso o respeito pelos chefes de estados é digno de um excelente
líder neste mercado, hoje completamente competitivo.
Estes gráficos e tabelas são apenas demonstrativos numéricos deste mercado mundial
que especula e qualifica com selo de qualidade internacional estes produtos.
O Brasil conquistou este espaço e não pode perdê-lo por incompetência ou
desorganização, mas o que se vê é o crescimento competente e organizado em todos os ramos,
ou seja, desde o início do plantio até as negociações internacionais. Portas estas abertas
diretamente ao produtor ou as cooperativas que exportam com menos burocracia e maior
agilidade no escoamento dos grãos [2].
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]
www.libreria.com.br/portal/artigos/geografia/cafe
[2]
Revista BREMEN MAGAZINE, Novembro/Dezembro 2003.
[3]
www.revistacafeicultura.com.br/outubro_03.htm
[4]
www.coffeebreak.com.br
Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem de matrizes,
determinantes e sistemas lineares
Clovis Antonio da Silva∗
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice∗∗
[email protected]
Introdução
O ensino de matemática deve ir além das simples resoluções de questões matemáticas,
muitas vezes sem significado para o aluno, e levá-lo a adquirir uma melhor compreensão tanto
da teoria matemática quanto da natureza do problema. Assim, modelagem matemática no
ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que
ele ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente.
Isso porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio de
pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico.
Agora, vamos introduzir alguns conceitos importantes que estão em [1]:
Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.
Modelo matemático é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura
traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real.
É importante saber que a elaboração de um modelo depende do conhecimento
matemático que se tem. Se o conhecimento matemático restringe-se a uma matemática
elementar, como aritmética e/ou medidas, o modelo pode ficar delimitado a esses conceitos.
Tanto maior o conhecimento matemático, maiores serão as possibilidades de resolver
questões que exijam uma matemática mais sofisticada. Porém o valor do modelo não está
restrito à sofisticação matemática.
Os modelos criados pelos alunos podem ser expressos em fórmulas, diagramas, gráficos
e tabelas.
Hoje, com ajuda da computação de alta velocidade, os modelos se espalham por áreas
essenciais e, por vezes, inusitadas. É possível fazer simulações complicadíssimas em tempo
recorde para prever, por exemplo, as variações do clima. Igualmente rápidos e intrigados
∗
discente do curso de matemática
docente do curso de matemática
∗∗
cálculos feitos durante a transmissão de uma partida de futebol permitem a emissoras de TV
reproduzir o movimento das câmeras e oferecer ao espectador o recurso do tira-teima.
Na escola, os cálculos são muito mais básicos, mas a seqüência do raciocínio é
igualmente sofisticada. É preciso entender aonde se quer chegar e identificar que variáveis e
que dados serão mensurados e coletados para formular conclusões.
Para o desenvolvimento do tema “criação de perus”, exposto neste trabalho, é preciso
conhecimento de matrizes e determinantes utilizando-se o Excel1, o que será desenvolvido de
forma resumida.
Conteúdo de matrizes
Durante o estudo de matrizes, podem ser utilizados pacotes computacionais para a
elaboração de planilhas eletrônicas, por exemplo o Excel, para a construção de tabelas
numéricas e de problemas simples que apliquem os conceitos aprendidos.
Os exemplos 1 e 2 desta seção estão propostos em [3].
Exemplo 1:
Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para
seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:
Tabela 1
Componentes \ Modelo
eixos
rodas
A
2
4
B
3
6
C
4
8
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Tabela 2
Modelo \ Meses
A
B
C
Janeiro
30
25
20
Fevereiro
20
18
15
Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantas
rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção
planejada?
Solução:
Procedimento:
1. Insira as tabelas dadas no exercício em uma planilha do Excel, Figura 1;
2. Na mesma planilha, insira uma tabela para os valores da solução do problema;
3. Nessa tabela selecione as células em que serão inseridos os valores da solução do
problema;
1
Excel é um pacote computacional de planilhas eletrônicas desenvolvido pela Microsoft Corporation.
4.
5.
6.
7.
8.
Selecionadas as células tecle =;
Escolha a função MATRIZ.MULT;
Em Matriz 1 selecione os valores da primeira tabela e tecle Enter;
Em Matriz 2 selecione os valores da segunda tabela e tecle Enter;
Tecle Ctrl+Shift+Enter para mostrar a matriz de multiplicação.
Figura 1: Exemplo de multiplicação de matrizes utilizando o Excel.
Resposta: São necessários 215 eixos e 430 rodas para Janeiro como também 154 eixos e 308
rodas para Fevereiro.
Conteúdo de determinante
Um tipo especial de matriz é a matriz de Vandermonde, definida como uma matriz
quadrada V, de ordem n ≥ 2, com a seguinte forma:
V=
1
1
1
...
1
v1
v2
v3
...
vn
v1 2
v22 v32
...
vn 2
..............................................
v1n-1
Em [4], vemos que
v2n-1 v3n-1 ...
vnn-1
det V = (v2 - v1)( v3 - v1 )( v3 - v2 ) . ... . (vn - v1 ) (vn - v2 ) (vn - v3 ) . ... . (vn - vn-1 ).
E, sabendo que a matriz V possui inversa se, e somente se, det V ≠ 0. Logo, V é invertível se,
e somente se, os números v1, v2, v3, ... , vn são dois a dois distintos.
Exemplo 2:
Calcule o determinante da seguinte matriz de Vandermonde:
1 1
A = 2 -1
4 1
8 -1
1
0
0
0
1
3
9
27
Solução:
Procedimento:
1. Insira a matriz dada no exercício em uma planilha do Excel, Figura 2;
2. Na mesma planilha, selecione uma célula em que será inserido o valor do
determinante da matriz;
3. Selecionada a célula tecle =;
4. Escolha a função MATRIZ.DETERM;
5. Em Matriz selecione os valores da matriz dada e tecle Enter;
6. Tecle Ctrl+Shift+Enter para mostrar o determinante da matriz.
Figura 2: Exemplo do cálculo do determinante de uma matriz utilizando o Excel.
Resposta: O determinante da matriz é det(A) = 72.
Modelagem – Tema: Criação de Perus
Interação
Síntese do tema ou das informações essenciais que permitirão gerar a questão
norteadora. Nessa etapa é feita uma breve exposição sobre o tema, permitindo certa
delimitação do aluno com uma área em questão [1].
Segundo especialistas, nas granjas comerciais, logo após o nascimento, perus machos e
fêmeas são alojados separadamente. Com luz e temperatura controladas e espaço físico
definido de acordo com etapas de crescimento, fêmeas e machos permanecem no aviário até o
momento de abate, que ocorre entre 70 e 84 dias para as fêmeas e em até 160 dias para os
machos. O período de abate é definido a partir de uma análise da relação entre o consumo de
ração e o ganho de massa [2]. A Tabela 3, apresenta o aumento de massa (g) das fêmeas em
função do consumo de ração (g) nas 18 primeiras semanas, Figura 3.
Tabela 3: Aumento de massa (g) das fêmeas em função do consumo de ração (g) nas 18
primeiras semanas.
Idade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Massa Consumo de ração
107
104
222
230
423
340
665
470
971
700
1466
922
2079
1146
2745
1270
3495
1396
4194
1568
4870
1710
5519
1957
6141
1969
6732
2093
7290
2115
7813
2165
8299
2160
8744
2180
Questão principal: Elaboração de um modelo que dê o período ideal para o abate do peru,
considerando o ganho de massa do peru (fêmea) dependendo do tempo.
Matematização
Formular e resolver o problema, chegando a um modelo que permite interpretar a
solução e, possivelmente, valer para outras aplicações [1].
massa em gramas
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
5
10
15
20
tempo em semanas
Figura 3: Representação gráfica da massa das fêmeas de peru nas 18 primeiras semanas.
Como é conhecido apenas um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo,
podemos encontrar uma forma analítica que seja melhor, se houver uma “aproximação da
realidade”. Criar uma função que interpole uma “nuvem” de dados significa construir uma
expressão matemática que revele as tendências do “conjunto todo”.
Olhando para Figura 3, escolha dois pontos do gráfico, cuja reta que os contém seja a
mais próxima possível dos demais pontos dados. Nesse momento, pode ser introduzido o
conteúdo de sistemas lineares e os métodos de resolução dos mesmos.
Proponha aos alunos que calculem a taxa média de crescimento semana a semana (em
gramas por semana) a partir dos dados, Tabela 4:
Tabela 4: Taxa média de crescimento (semana a semana) das peruas.
m(2) - m(1) = 115
m(3) - m(2) = 201
m(4) - m(3) = 242
m(5) - m(4) = 306
m(6) - m(5) = 495
m(7) - m(6) = 613
m(8) - m(7) = 666
m(9) - m(8) = 750
m(10) - m(9) = 699
m(11) - m(10) = 676
m(12) - m(11) = 649
m(13) - m(12) = 622
m(14) - m(13) = 591
m(15) - m(14) = 558
m(16) - m(15) = 523
m(17) - m(16) = 486
m(18) - m(17) = 445
Pode-se notar que a taxa de crescimento varia de semana a semana, isto é, a taxa não é
constante. Isso mostra que um modelo que melhor se aproxima dos dados é não-linear. Assim,
podemos, por exemplo utilizar a matriz de Vandermonde já explicada, como segue:
Selecione alguns pontos que se supõem convenientes, como, por exemplo, P1, P3, P6, P9, P12,
P15, P18 e, monte a matriz de Vandermonde com esses pontos.
1
1
729
243
46656
7776
531441
59049
2985984
248832
11390625 759375
34012224 1889568
1
81
1296
6561
20736
50625
104976
1
1
1
27
9
3
216
36
6
729
81
9
1728 144 12
3375 225 15
5832 324 18
1
1
1
1
1
1
1
a
b
c
d
e
f
g
=
107
423
1466
3495 ,
5519
7290
8744
é a representação matricial do sistema
ax16 + bx15 + cx14 + dx13 + ex12 + fx1 + g = y1
ax36 + bx35 + cx34 + dx33 + ex32 + fx3 + g = y3
ax66 + bx65 + cx64 + dx63 + ex62 + fx6 + g = y6
ax96 + bx95 + cx94 + dx93 + ex92 + fx9 + g = y9
ax126 + bx125 + cx124 + dx123 + ex122 + fx12 + g = y12
ax156 + bx155 + cx154 + dx153 + ex152 + fx15 + g = y15
ax186 + bx185 + cx184 + dx183 + ex182 + fx18 + g = y18
Resolução do sistema utilizando o Excel:
1. Insira a matriz de Vandermonde e o vetor y em uma planilha do Excel, Figura 4;
2. Na mesma planilha, selecione as células em que serão inseridos os valores da solução
do sistema;
3. Selecionadas as células tecle =;
4. Escolha a função MATRIZ.MULT;
5. Em Matriz 1 escolha a função MATRIZ.INVERSO;
6. Em Matriz selecione os valores da matriz de Vandermonde e tecle Enter;
7. Dê um clique na função MATRIZ.MULT;
8. Em Matriz 2 selecione os valores do vetor y e tecle Enter;
9. Tecle Ctrl+Shift+Enter para mostrar o vetor-solução do sistema.
Figura 4: Resolução do sistema Px = y utilizando o Excel.
massa em gramas (g)
Coeficientes da função de interpolação: a = -0,00587; b = 0,350919; c = -8,00737;
d = 84,32957; e = -371,005; f = 825,7075; g = -424,37.
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
5
10
15
20
tempo em semanas (t)
Figura 5: Gráfico da massa, em gramas, das peruas, em função do tempo.
Pela Figura 5, observamos que a velocidade de crescimento das peruas depende da
idade. E, pela Tabela 4, vemos que o tempo ideal para o abate das peruas é logo depois da
nona semana, pois nesse período o ganho de massa semanal chega a 750g/semana, decaindo a
partir da décima. Após essa idade a perua cresce, porém não mais no mesmo ritmo. Dessa
forma, a ração que essa perua iria consumir nas próximas semanas pode ser aproveitada na
criação de uma outra perua.
Modelo
Modelo encontrado e sua validação [1].
Vamos calcular a massa do peru para cada semana, utilizando a função de interpolação
encontrada:
m(t) = -0,00587t6 + 0,350919t5 - 8,00737t4 + 84,32957t3 - 371,005t2 + 825,7075t - 424,37.
m(1) ≅ 107g
m(3) ≅ 423g
m(5) ≅ 971g
m(7) ≅ 2083g
m(9) ≅ 3497g
m(11) ≅ 4890g
m(13) ≅ 6144g
m(15) ≅ 7341g
m(17) ≅ 8487g
m(2) ≅ 300g
m(4) ≅ 625g
m(6 ) ≅ 1466g
m(8) ≅ 2776g
m(10) ≅ 4210g
m(12) ≅ 5532g
m(14) ≅ 6742g
m(16) ≅ 7936g
m(18) ≅ 8895g
Tabela 4: Taxa média de crescimento (semana a semana) das peruas, obtida pela função de
interpolação.
m(2) - m(1) = 193
m(3) - m(2) = 123
m(4) - m(3) = 202
m(5) - m(4) = 346
m(6) - m(5) = 495
m(7) - m(6) = 617
m(8) - m(7) = 693
m(9) - m(8) = 721
m(10) - m(9) = 713
m(11) - m(10) = 680
m(12) - m(11) = 642
m(13) - m(12) = 612
m(14) - m(13) = 598
m(15) - m(14) = 599
m(16) - m(15) = 595
m(17) - m(16) = 551
m(18) - m(17) = 408
Verificamos, então, que o máximo ganho de massa está próximo da nona semana
(considerando valores obtidos a partir da quarta semana). Podemos assim dizer, que a função
vale como um modelo matemático para uma interpretação, ainda que superficial do
crescimento de peruas. E, conseqüentemente, o período ideal de abate.
Modelo logístico contínuo de Verhust
O modelo logístico é definido em termos da equação diferencial [1]
dP/dt = rP(1 – P/P∞),
onde P∞ é o valor máximo da população, ou seja, P → P∞ quando t → ∞ .
O termo – rP/P∞ serve para inibir ou retardar a taxa de crescimento. Quando a população
P(t) é pequena, este termo tem pouco efeito no valor de dP/dt e assim a população começa
com o crescimento quase exponencial. Como P aumenta, o termo de inibição serve para
reduzir a taxa de crescimento drasticamente. Resolvendo o Problema de Valor Inicial (PVI)
dP/dt = rP(1 – P/P∞)
P(0) = P0, r > 0,
temos que P(t) = {P0 P∞/[( P∞ - P0)e-rt + P0]}.
O instante onde ocorre a maior variação da população é dado por tn = (1/r)ln((P∞ - P0)/ P0) e o
ponto de inflexão da curva é em Pn = P∞/2.
Como o modelo logístico pressupõe que a taxa decai linearmente, em função da
população, podemos ajustar os valores ri médios, (estimando entre as populações consecutivas
i e i + 1) com as respectivas populações médias Pi (estimadas através de um modelo
exponencial): ri = (Pi/Pi-1)(1/i) – 1. Fazemos, então, um ajuste linear entre os valores ri e Pi
encontrados. Daí, encontramos os valores de r e P infinito e, temos a curva logística desejada.
Aplicando este modelo ao problema de criação de perus, temos:
ri = (Mi/Mi-1) – 1
M i = M i −1e0.5 ri
esta última equação fornece os valores médios de massa Mi em relação a Tabela 3. Fazendo o
ajuste linear, encontramos r ≅ 0.5964 e M infinito ≅ 7,8737.103. Ou seja, quando o tempo
tende a infinito, o ganho de massa tende a 7,8737.103. Pela Figura 6, vemos que este modelo
não é conveniente para a modelagem de criação de perus, pois temos valores de ganho de
massa acima do M infinito encontrado.
Figura 6: Curva logística obtida a partir dos dados da Tabela 3.
Conclusões
O modelo de Verhust, como mostra a Figura 6, colaborou no entendimento da
modelagem do crescimento de perus porém, este modelo não é o mais adequado pelo fato de
que o valor máximo, P infinito, está abaixo dos dois últimos valores da Tabela 3.
A modelagem sobre o tema crescimento de perus, exposta neste trabalho, é um bom
exemplo de aplicação da matemática em outras áreas científicas e, mostra que o aprendizado
de matemática pode ir além do simples lápis e papel ao se utilizar a informática como
ferramenta para cálculos matemáticos. Portanto, a matemática pode ajudar na formação do
cidadão intelectualmente contextualizado no “mundo globalizado”.
[1]
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática:
uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
[2]
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 3.
ed. São Paulo: Contexto, 2003.
[3]
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações – ensino médio v. 2. São
Paulo: Ática, 2002.
[4]
LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 3.ed. Rio de Janeiro: Impa, 2001.
Modelagem das Embalagens de Produtos Alimentícios
Flávia B.Mendes1
[email protected]
Carla A. Pereira1
[email protected]
Rosana M. Jafelice2
[email protected]
Introdução
No meio onde vivemos estamos rodeados de inúmeras embalagens de vários tipos,
tamanhos e formas. A maioria das embalagens de produtos vendidos nos supermercados tem
formatos geométricos. E as que mais aparecem são da forma cilíndrica, cúbica e
paralelepípedo retângulo.
A importância das embalagens, talvez tenha sido entendida pelo homem, quando
observou a coincidente facilidade de deteriorização do alimento, quando este era privado do
seu invólucro inicial [3].
De acordo com a filosofia de marketing, a embalagem tem por finalidade, “vender” ou
a embalagem é a arte, a ciência e a técnica de acondicionar o produto, para que ele seja
transportado, vendido e consumido.
A partir de uma situação real ou experimental, é natural que se crie hipóteses e
questões. Estas são as impressões que as pessoas têm sobre o que é observado. Estas
impressões podem ser expressas em linguagem matemática e, através desta, pode-se criar um
modelo que represente a situação real observada [2].
Neste trabalho, na disciplina de Instrumentalização para o ensino de
Matemática,utilizamos a modelagem matemática como uma estratégia de ensinoaprendizagem, e levantamos algumas questões que envolvem conceitos de geometria plana e
espacial, sistema de medidas, volume,área, estatística. Através do tema “embalagem”, os
alunos poderão questionar vários assuntos relacionados com o mesmo.
Abordamos as seguintes embalagens:
Embalagens de leite condensado de 395g;
Embalagens de refrigerante de 350 ml e 600ml;
Embalagens cilíndricas com medidas diferentes.
Embalagem de Leite Condensado de 395g
As embalagens de leite condensado, na maioria das marcas, são fabricadas no formato
cilíndrico e no formato paralelepípedo retângulo. Então formulamos alguns problemas, de
forma a identificar alguns aspectos interessantes, que podem levar os alunos à criatividade e a
motivação para desenvolver as atividades relacionadas ao conteúdo matemático.
Problemas:
1.Qual a forma ideal de uma embalagem de leite condensado entre a cilíndrica e
paralelepípedo retângulo?
Dados coletados:
1
2
Discentes do curso de Licenciatura em Matemática.
h(altura) = 7,4 cm ;
diâmetro =7,4cm
2
§ 7, 4 ·
3
Vc = π × r × h = ¨
¸ × 7,4 × π = 318.2621cm
© 2 ¹
2
2
§ 7, 4 ·
2
Ac = 2πrh + 2πr = 2π × 3,7 × 7,4 + 2π × ¨
¸ = 258 .05cm
2
©
¹
2
h(altura) = 11,8 cm ;
lado =4cm ;
comprimento = 6,4cm;
V p = h × l × c = 11,8 × 4 × 6,4 = 302.08cm3
Ap = 2(11,8 × 4) + 2(11,8 × 6,4) + 2(6,4 × 4) = 296,64cm 2
Concluímos que A p ² A c ,isto é, uma embalagem na forma retangular utiliza mais
material que uma embalagem na forma cilíndrica.
Vale destacar também, que, na prática, uma embalagem não tem apenas faces e bases.
Há também as dobras necessárias para o encaixe.
No corte, essas dobras, muitas vezes, geram um grande desperdício. É fundamental
que se estude a melhor forma de efetuar o corte para minimizar desperdícios. No exemplo,
não consideramos a área relativa às dobras.
2. Empilhar caixas.
Existem várias formas de empilhar caixas, e nos depósitos de supermercados, utilizam
a forma que ocupa menor espaço e maior número de caixas. Assim suponhamos uma forma
de empilharmos essas caixas, contendo as 48 latas de leite condensado de 395g.
Vamos considerar as seguintes medidas de uma caixa contendo 48 latas de leite
condensado:
Neste caso, medimos a caixa menor da figura abaixo:
altura = 15 cm; largura = 30cm e comprimento = 45cm.
Visão plana da
caixa
30cm
45cm
Considere agora, um depósito que tenha um espaço físico de 4m x 4m x 3m, para empilhar
essas caixas de leite condensado.
45cm
30cm cx
Espaço físico
para empilhar as
caixas
4m
4m
Assim, chamamos x o número de caixas que ocupam o espaço em relação à largura do
deposito de 4 metros, e y o número de caixas que ocupam em relação ao comprimento de 4
metros. Teremos então;
30x = 400 ĺ x = 13 caixas ;
45y = 400 ĺ y = 9 caixas
Logo o nº caixas, na 1ª fileira do empilhamento, ou seja, a base do empilhamento será:
13 x 9 =117 caixas.
Agora, considerando a altura do espaço reservado para o depósito de 3m, e da caixa de
15cm de altura, temos que a altura do empilhamento será:
z = altura espaço : altura caixa
300
z=
ĺ z = 20 caixas
15
Portanto, concluímos que o nº de caixas será 20 x 117= 2340 caixas.
3. O tipo de embalagem pode influenciar as pessoas?
Investigamos 40 pessoas em Uberlândia, através de um questionário, e perguntamos a elas
qual a sua preferência quanto ao tipo de embalagem. As perguntas tinham as seguintes
alternativas:
a) O que levam as pessoas a preferirem um tipo de produto?

Preço
Tipo de embalagem
Qualidade
b) Quais das duas embalagens de leite condensado, as pessoas preferem?

cilíndrica
paralelepípedo retângulo
Através deste questionário, realizado com 40 pessoas, coletamos os seguintes dados:
Na primeira pergunta, tivemos que:
14 pessoas optaram pelo preço;
4 pessoas optaram pelo tipo de embalagem;
22 pessoas optaram pela qualidade.
Analisando os dados obtidos, teremos:
40 pessoas -----100%
14pessoas ----- x
x = 35% optaram pelo preço;
Analogamente, teremos 10% optaram pela embalagem, 55% optaram pela qualidade.
Na segunda pergunta realizada, encontramos que:
17 pessoas preferem a embalagem cilíndrica;
23 pessoas preferem a embalagem paralelepípedo retângulo.
Representando esses resultados, nos gráficos, teremos:
O que leva as pessoas preferirem o
produto?
35%
Preferência quanto a em balagem
43%
Preço
embalagem
55%
57%
cilindríca
paralelepípedo
qualidade
10%
Figura 1: Preferência quanto ao produto.
Figura 2: Preferência quanto à embalagem.
Através dos resultados encontrados, observamos que 55% das pessoas acham mais
importante à qualidade do produto do que o preço e o tipo de embalagem. E 57,5% preferiram
a embalagem paralelepípedo retângulo à cilíndrica.
As embalagens de leite condensado, os professores e os alunos poderão abordar vários
assuntos, como por exemplo, preços, diferentes formatos, produção,etc. O mais importante é
usar a criatividade e observar mais atentamente a nossa volta, o que está relacionado com a
matemática.
Embalagem de Refrigerante
1. Qual embalagem é mais econômica? Qual das duas embalagens é mais vantajosa?
As bebidas normalmente, são vendidas em embalagens diferentes.É preciso ter sempre
atenção na hora de decidir qual comprar. Veja o exemplo:
Certa bebida é vendida em dois tipos de embalagem:
em garrafa de 600 ml, por R$ 0,78.
em lata de 350 ml, por R$ 0,49.
Para resolver essa questão, vamos calcular o preço de cada ml, em cada uma das embalagens
e, em seguida, comparar seus valores.
1 Garrafa 78:600=0,13 centavos por ml
1 Lata 49 : 350 = 0,14 centavos por ml
Observe que o valor de cada ml, na embalagem garrafa, é mais barato que na
embalagem lata. Logo, comprar em garrafa é mais vantajoso.
A questão sobre refrigerante é muito ampla. O interessante seria os alunos
pesquisarem em uma fábrica, por exemplo, a sua produção, o tipo de material usado, e etc. O
intuito é relacionar os dados reais com a matemática, e ao mesmo tempo estar contribuindo
para a motivação dos alunos. Além disso, eles poderão aprender vários conteúdos
relacionados a este tema.
Embalagens cilíndricas
1.Qual o recipiente de maior capacidade?
São comuns os objetos em forma cilíndrica. Num supermercado, se você observar as
embalagens, vai identificar facilmente essa forma.
Uma pessoa dispõe de dois recipientes cilíndricos: um tem raio de 20 cm e altura de
12 cm; o outro tem a metade do raio, porém o dobro da altura.
H=12cm
E
D
R=20cm
H=24cm
R=10cm
Vamos calcular seus volumes e comparar os resultados:
VCILINDRO = ABASE · H
Va = π × r 2 × h = (20 ) × 12 × π = 15079 , 64 cm 3
2
Vb = π × r 2 × h = (10 ) × 24 × π = 7539 ,82 cm 3
Como você pode observar, o recipiente mais baixo (recipiente A) possui maior
capacidade. À primeira vista, pode parecer que o fato do recipiente ter a metade do raio será
compensado por ter o dobro da altura. Porém, isso não acontece.
2
Considerações Finais
Ao trabalhar com a proposta de Modelagem Matemática, o aluno desenvolve a
criatividade, o interesse pela pesquisa e apresenta uma motivação maior pelas aulas de
matemática.
É possível explorar vários conteúdos interdisciplinares que relacionam com os
conteúdos matemáticos, a partir do tema aqui abordado.
Sem esquecer que trabalhando todos os conteúdos escolares com significação real, é
mais fácil para os alunos adquirem conhecimento sistematizado de situações reais, que
permitem a contextualização e uma formação educacional satisfatória.
Neste trabalho abordamos conteúdos do 1º e 2º grau. O tema ‘Embalagem’, pode ser
utilizado desde as séries iniciais até o ensino superior, adaptando-o à forma de abordagem e á
ênfase do conteúdo de acordo com o programa de ensino [1]. Além disso, os alunos poderão
aprender sobre formas, tamanhos, cores, interior e exterior, dentre outros assuntos.
Referência Bibliográfica
[1] BIEMBENGUT, M. Salett, HEIN,N. - Modelagem Matemática no Ensino, 2000.
[2] SANT’ANA,M.F – Modelagem de um experimento em aula de cálculo. (artigo do I
Encontro Paranaense de Modelagem em Educação Matemática, 2004).
[3] site: www.elege.com.br/produtos/produto_final.php?prod_id=34&abre=&sublink=
Modelagem da Interação Clima x Poluição em Uberlândia
Flávia Bruno Mendes1
[email protected]
Clovis Antonio da Silva1
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice2
[email protected]
Introdução
O crescimento demográfico das últimas décadas resultou no espantoso contingente
humano concentrado nas cidades. A concentração das pessoas e dos processos produtivos nos
centros urbanos tem como principal conseqüência o aumento da poluição atmosférica em
níveis espantosos. No Brasil, como na grande maioria dos países em desenvolvimento, os
índices de urbanização são altos. Com um índice de urbanização de 55,92% na década de 70,
os níveis chegaram a 75,59% em 1991, sendo que o Sudeste, região mais desenvolvida do
país, apresentava, no mesmo ano, um nível de 88,02% [6].
Considera-se poluente qualquer substância presente no ar e que, pela sua concentração,
possa torná-lo impróprio, nocivo ou ofensivo à saúde, causando inconveniente ao bem estar
público, danos aos materiais, à fauna e à flora ou prejudicial à segurança, ao uso e gozo da
propriedade e às atividades normais da comunidade. O nível de poluição atmosférica é
medido pela quantidade de substâncias poluentes presentes no ar. A variedade das substâncias
que podem ser encontradas na atmosfera é muito grande, o que torna difícil a tarefa de
estabelecer uma classificação. Para facilitar esta classificação, os poluentes são divididos em
duas categorias [4]:
Tabela 1: Classificação dos poluentes.
Poluentes Primários
Poluentes Secundários
aqueles emitidos diretamente aqueles formados na atmosfera
pelas fontes de emissão.
através da reação química entre
poluentes
primários
e
componentes
naturais
da
atmosfera.
O grupo de poluentes que servem como indicadores de qualidade do ar, adotados
universalmente e que foram escolhidos em razão da freqüência de ocorrência e de seus efeitos
adversos, são:
Material Particulado (MP)
Dióxido de Enxofre (SO2)
Monóxido de Carbono (CO)
Oxidantes Fotoquímicos, como o Ozônio (O3)
Hidrocarbonetos
1
2
Discentes do curso de Matemática.
Óxidos de Nitrogênio
A interação entre as fontes de poluição e a atmosfera vai definir o nível de qualidade do
ar, que determina por sua vez o surgimento de efeitos adversos da poluição do ar sobre os
receptores, que podem ser o homem, os animais, as plantas e os materiais.
O objetivo deste trabalho foi investigar acerca da qualidade do ar da cidade de
Uberlândia a partir de dados de reclamações sobre poluição do ar, coletados junto ao Serviço
de Informação Municipal (SIM) da Secretaria Municipal de Comunicação Social [7] e de
dados meteorológicos da Estação de Climatologia da Universidade Federal de Uberlândia [5],
identificando as áreas de maior concentração de poluentes, dentre outros fatores relacionados
aos aspectos meteorológicos. A partir dos resultados obtidos, sugerimos algumas medidas
para a melhoria da qualidade do ar de Uberlândia.
Uberlândia
O Triângulo Mineiro pertenceu à Província de Goiás até 1816, passando então para a
Província de Minas Gerais. A ocupação do Triângulo Mineiro, antigo Sertão da Farinha
Podre, efetivou-se no início do séc. XIX; antes, era apenas um ponto de passagem de tropeiros
e mineradores.
A organização do povoado que resultou na cidade de Uberlândia começou em meados
do séc. XIX. Há registro das primeiras indústrias na região por volta de 1825. O dono da
primeira indústria de enxadas e instrumentos rudimentares para a agricultura foi Felisberto
Alves Carrejo, apontado como o fundador do município. Em 1858, segundo Jerônimo
Arantes, que o D. Constantino José da Silva Braga assinou sentença reconhecendo o novo
nome do Patrimônio de Nossa Senhora do Carmo e São Sebastião da Barra de São Pedro do
Uberabinha. Mais tarde simplesmente São Pedro do Uberabinha, que aos poucos foi se
transformando num centro comercial muito expressivo.
Em 1888, foi criado o município de São Pedro do Uberabinha; e em 1929 o município
passa a ser chamado de Uberlândia, nome sugerido por João de Deus Faria, que significa
“terra fértil” [3].
Segundo fonte da Secretaria Municipal de Indústria e Comércio de Uberlândia [7],
atualmente a cidade apresenta uma área total de 4115,09 Km2, sendo área rural 3896,09 Km2
e área urbana de 219,00 Km2, e apresenta uma altitude média de 863 metros.
O clima da cidade é semitropical, e se caracteriza pela alternância de invernos secos e
verões chuvosos. A média anual da temperatura é de 22ºC. Os meses de Outubro a Março são
os mais quentes, em torno de 24,7ºC. Os meses mais frios são Junho e Julho, com uma média
de 18,8ºC. O perímetro urbano da cidade é dividido em setores Norte, Sul, Central, Leste e
Oeste1.
Poluição do ar de Uberlândia
Para analisarmos as reclamações da poluição do ar de Uberlândia, efetivamos uma
parceria junto à Secretaria Municipal de Meio Ambiente e Desenvolvimento Sustentável [7], a
qual, em acordo com o SIM, autorizou o acesso ao banco de dados de reclamações de
poluição do ar do período de 2001 a 2003. Vale ressaltar que consideramos, exclusivamente,
1
Em anexo, os bairros da cidade que são divididos nos setores Norte, Sul, Central, Leste e Oeste.
reclamações no perímetro urbano. A Tabela 2 fornece o total de reclamações por mês nos
anos de 2001, 2002 e 2003.
Tabela 2: Reclamações por mês.
Número de Reclamações por mês
Mês
2001
2002
2003
Janeiro
7
3
29
Fevereiro
4
2
32
Março
3
3
22
Abril
2
16
16
Maio
2
48
36
Junho
5
34
28
Julho
5
29
38
Agosto
5
24
29
Setembro
7
24
31
Outubro
4
20
26
Novembro
1
23
11
Dezembro
2
15
18
Fonte: SIM- Serviço de Informação Municipal
No SIM, as reclamações são especificadas de acordo com a data, a localização e a
descrição do tipo de poluição e do estabelecimento poluidor. A Figura 1 mostra que, em
média, entre 2001 e 2003, os meses de maior número de reclamações são de maio a setembro.
2002
2003
média
Ja
Fe neir
ve o
re
ir
M o
ar
ço
Ab
ril
M
ai
Ju o
nh
o
Ju
lh
Ag o
Se o st
te o
m
O bro
u
N tub
ov ro
e
D mb
ez ro
em
br
o
reclamações
2001
60
50
40
30
20
10
0
Figura 1: Reclamações de poluição do ar ao longo dos anos de 2001, 2002 e 2003.
Assim, levantamos as seguintes questões:
1. Qual o setor de maior ocorrência de reclamação de poluição do ar? Nesse setor, qual
tipo de estabelecimento mais contribuiu na poluição do ar?
2. Será que os meses de maior número de reclamações está relacionado, de alguma
maneira, com as condições meteorológicas?
Para respondermos a primeira pergunta, classificamos as reclamações por setor urbano
de Uberlândia e, pela Figura 2, podemos ver que o setor leste, em todos os anos, foi o que
apresentou o maior número de reclamações.
2002
2003
150
100
50
Su
l
es
te
O
Le
st
e
N
C
en
tra
l
0
or
te
reclamações
2001
Figura 2: Reclamações de poluição do ar, por setor, ao longo dos anos de 2001, 2002 e 2003.
Em seguida, analisando as reclamações do setor leste por tipo de estabelecimento,
identificamos qual tipo contribuiu para o acentuado número de reclamações. Para isso
distribuímos os estabelecimentos poluidores em três categorias:
Comércio: borracharias, cerealistas, depósitos de materiais de construção, lavanderias,
marcenarias, marmorarias, oficinas mecânicas, panificadoras e serralherias, entre outros
pequenos estabelecimentos comerciais;
Indústria: granjas, fábricas em geral, etc.;
Residência: domicílios e lotes baldios.
Como mostra a Figura 3, a média de reclamações ocorridas, por mês, no setor leste
entre 2001 e 2003, indica que os estabelecimentos comerciais são os que mais contribuíram
para o acentuado número de reclamações. Isso mostra que a maior parte das reclamações
estão relacionadas a partículas de poeira, fumaça e mau cheiro provenientes destes
estabelecimentos.
tendência de reclamações
comércio
indústria
residência
reclamações
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
M
ai
o
Ju
nh
o
Ju
lh
o
Ag
os
Se to
te
m
b
O ro
ut
ub
N
ov ro
em
b
D
ez ro
em
br
o
Ab
ri l
Ja
ne
Fe iro
ve
re
i ro
M
ar
ço
0,0
Figura 3: Número de reclamações por mês, do setor leste, considerando as três categorias.
Chamando R(t) a função reclamação do comércio em cada ano, calculando
R(2002) – R(2001) = 36 e R(2003) – R(2002) = 35, observamos que a diferença entre estes
anos está diminuindo e, considerando que a quantidade de estabelecimentos comerciais no
setor leste não se altera, podemos supor que o número de reclamações tende a um valor
assintótico e, assim aplicamos o seguinte ajuste dos dados:
Ajuste Linear de Modelos exponenciais assintóticos [1]
O ajuste linear do modelo exponencial assintótico é utilizado quando a representação
geométrica dos dados ( x i , y i ) no plano cartesiano estão “aproximadamente” no formato do
gráfico de y = k - aebx , com k > 0, b < 0 e a 0. Este ajuste pode ser usado quando há
tendência de estabilidade (comportamento assintótico) dos dados.
Procedimento de ajuste:
Façamos as mudanças de variáveis: z = ln (y – k); se a < 0
z = ln (k – y); se a > 0.
Logo, z = Įx + ȕ sendo Į = b e ȕ = ln a e caímos no caso linear.
Precisamos do valor de k para proceder à mudança de variáveis acima.
Estimativa de k: Método de Ford-Walford
Seja C = {( x i , y i ): i = 1, ... , n} um conjunto de dados com tendência assintótica
horizontal quando x i → ∞ .
Logo, lim x→∞ y i =k.
Considere
a
função
f
tal
que
f( yi )
=
yi +1
e
o
conjunto
de
dados
D = {( y i , f ( y i )) : i = 1,..., n − 1 } e faça um ajuste linear desses dados: f(y) = α y + β .
Logo, k ≅
β
.
1−α
Agora, vamos aplicar o ajuste linear de modelos exponenciais assintóticos considerando
os dados de reclamações do comércio da Tabela 3.
Tabela 3: Número de reclamações por estabelecimento.
Região Leste
Reclamações por tipo de
estabelecimento
Ano comércio indústria Residência
2001 5
4
5
2002 41
18
16
2003 76
15
25
Fonte: SIM – Serviço de Informação Municipal
A função f(x) = y = 1300 – 1333e -0,0281x representa o número de reclamações por ano no setor
leste considerando reclamações de comércio, onde o número de reclamações tende a 1300. O
gráfico que representa este modelo pode ser visto na Figura 4.
Figura 4: Ajuste linear de reclamações do setor leste por ano.
Umidade do ar e Poluição
De acordo com o Centro de Ensino e Pesquisa em Agricultura (Cepagri/UNICAMP)
[2], umidade relativa do ar significa, em termos simplificados, quanto de água na forma de
vapor existe na atmosfera no momento com relação ao total máximo que poderia existir, na
temperatura observada. A umidade aumenta sempre que chove devido à evaporação que
ocorre posteriormente. Em áreas florestadas ou próximo a rios ou represas a umidade é
sempre maior.
No inverno, freqüentemente ocorrem dias com baixa umidade do ar e alta concentração
de poluentes.
Tabela 4: Umidade relativa do ar de Uberlândia nos anos de 2001, 2002 e 2003.
Umidade Relativa (%) - 2001 a 2003
Média
Média
Média
Mensal Mensal Mensal
Janeiro
74
75
84
Fevereiro
71
83
70
Março
74
72
81
Abril
64
66
74
Maio
66
66
66
Junho
66
60
60
Julho
56
58
56
Agosto
53
53
58
Setembro
56
59
57
Outubro
66
54
62
Novembro
75
71
74
Dezembro
75
75
73
Fonte: Estação de Climatologia - UFU
Observando os dados de umidade relativa do ar de Uberlândia da Tabela 4, podemos
verificar que os meses de maio a setembro possuem menor média mensal de umidade, como
também pode ser visto, graficamente, na Figura 5.
2002
2003
média
80
60
40
20
0
Ja
n
Fe eir
ve o
re
ir
M o
ar
ço
Ab
ril
M
ai
Ju o
nh
o
Ju
lh
Ag o
Se o st
te o
m
O bro
ut
N ub
ov ro
e
D mb
ez ro
em
br
o
umidade relativa (%)
2001
100
Figura 5: Umidade relativa nos anos de 2001 a 2003, e a média da umidade.
Comparando o número de reclamações e a umidade relativa do ar no período de 2001 a
2003, notamos uma tendência entre essas variáveis (Figura 6). No período de maior número
de reclamações, entre maio e setembro, ocorreu menor umidade relativa do ar o que indica
uma relação entre as condições meteorológicas e a poluição do ar.
média de umidade relativa
100
80
60
40
20
0
Ja
Fe neir
ve o
re
i
M ro
ar
ço
Ab
ri
M l
ai
Ju o
nh
o
Ju
l
h
Ag o
Se os
te to
m
O bro
ut
No ub
v ro
De em
ze br o
m
br
o
reclamações
média de reclamações
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
umidade relativa (%)
Tendência entre reclamações e umidade relativa
Figura 6: Número de reclamações e umidade relativa do ar entre 2001 e 2003.
Um dos fatores que podem ter ocasionado o aumento do número de reclamações no
período de baixa umidade em Uberlândia, são as queimadas provocadas principalmente por
proprietários de terrenos que procuram uma maneira mais rápida e fácil de "limpá-los",
ignorando o procedimento correto da capina.
Outro fator é que nesse período, as partículas de poeira e fumaça (matéria particulada)
ficam suspensas no ar por mais tempo. O material particulado (MP) resulta da queima
incompleta de combustíveis e de seus aditivos, de processos industriais e do desgaste de pneus
e freios. Em geral são provenientes da fumaça emitida pelos veículos movidos a óleo diesel;
da fumaça expelida pelas chaminés das indústrias ou pelas queimadas; da poeira depositada
nas ruas e dos resíduos de processos industriais que utilizam material granulado; de obras
viárias ou que movimentam terra, areia, etc [4].
Entre os sintomas relacionados com a inalação do MP estão as alergias, asma e
bronquite crônica. Causa também irritação nos olhos e garganta, reduzindo a resistência às
infecções [4].
Conclusão
Ao investigarmos sobre a qualidade do ar da cidade de Uberlândia, concluímos que o
setor leste necessita de maior fiscalização, principalmente, nos estabelecimentos comerciais.
Assim, ressaltamos a necessidade do SIM em classificar os dados de reclamações de poluição
do ar por setor para agilizar a fiscalização dos estabelecimentos poluidores.
No período de maio a setembro ocorre maior indicativo de poluição do ar, devido à
baixa umidade relativa do ar. O que é um indício de que a poluição “mais visível” é a causada
por particulados.
No sentido de conscientizar a população e os empresários sobre os males causados pela
poluição do ar, a Secretaria de Meio Ambiente e Desenvolvimento Sustentável de Uberlândia
deve ter a iniciativa de convidar os meios de comunicação e setores organizados da sociedade
a se unirem para uma campanha de esclarecimento ao público.
[1]
BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática:
uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.
[2]
Centro de Pesquisas Meteorológicas e Climáticas Aplicadas a Agricultura Cepagri/UNICAMP: http://orion.cpa.unicamp.br/portal/index.php .
[3]
Cidade de Uberlândia: www.uberlandia.com.br .
[4]
Companhia de Tecnologia de Saneamento Ambiental: www.cetesb.sp.gov.br .
[5]
Estação de climatologia da Universidade Federal de Uberlândia: www.ig.ufu.br .
[6]
Poluição do ar: http://ptsoft.net/vastro/referencia/estufa/poluentes/poluentes.html .
[7]
Prefeitura Municipal de Uberlândia: www.uberlandia.mg.gov.br .
Anexo
Perímetro urbano de Uberlândia
A cidade de Uberlândia é dividida em vários setores descritos abaixo, com os respectivos
bairros:
Setor Central
Bairros: Fundinho, Centro, Lídice , Cazeca, Tabajara, Bom Jesus , Martins, Osvaldo Rezende,
Daniel Fonseca, N. Senhora Aparecida, Brasil.
Setor Norte
Bairros: Presidente Roosevelt, Jardim Brasília, São José, Maravilha, Pacaembu, Santa Rosa,
Residencial Liberdade, Esperança, Jardim América e Residencial Gramado, N.S. das Graças,
Conjunto Cruzeiro do Sul, Jardim América (Parte), Marta Helena, CDI (Distrito Industrial),
Minas Gerais.
Setor Sul
Bairros: Vigilato Pereira, Saraiva, Lagoinha, Pampulha, Jardim Ozanan, Residencial Carajás,
Leão XIII, Jardim Xangrilá, Patrimônio, Morada da Colina, Tubalina, Cidade Jardim, Nova
Uberlândia, Santa Luzia, Parque Granada, São Jorge, Laranjeiras, Jardim Karaíba, Shopping
Park.
Setor Leste
Bairros: Tibery, Parque Sabiá, Santa Mônica e Segismundo Pereira, Umuarama, Custódio
Pereira, Aeroporto, Jardim Califórnia, Aclimação, Jardim Ipanema II, Jardim Ipanema I,
Morada dos Pássaros, Quintas do Bosque, Mansões Aeroporto, Dom Almir, Alvorada,
Morumbi.
Setor Oeste
Bairros: Jaraguá , Planalto, Chácaras Tubalina e Quartel, Luizote de Freitas, Jardim Patrícia,
Dona Zulmira, Taiaman , Jardim das Palmeiras, Jardim Canaã, Jardim Holanda, Panorama,
Mansour, Guarani, Tocantins.
Fonte: Secretaria Municipal de Planejamento e Desenvolvimento Urbano.
Modelagem Matemática:
Construindo Casas com Recursos Computacionais
Adriano Soares Andrade (*)
[email protected]
Deive Barbosa Alves (*)
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice (**)
[email protected]
ç
Introdução
A principal preocupação na discussão dos processos de ensino escolar, nos últimos
anos, tem sido a questão da informática, a qual é vista como um método de difícil manuseio,
devido a não capacitação dos professores. Sendo assim, este trabalho como objetivo abordar
alguns aspectos do trabalho com a informática, de maneira a levar os educadores a repensar
qual seria o verdadeiro sentido da mesma, hoje considerada apenas desafio. É necessário que
o aluno encare o processo como algo que esteja voltado para o trabalho educativo realizado,
valorizando-o e, ao mesmo tempo, reconhecendo erros, procurando corrigi-los e superá-los.
A presença de recurso de informática no ambiente e meios de ensino têm chamado a
atenção dos professores e alunos para o potencial didático de sua utilização em sala de aula.
Muitos são os programas que vêm sendo desenvolvidos com o propósito de motivar o ensino
e a aprendizagem, assim como de ampliar os horizontes das metodologias de ensino. As
recomendações dos parâmetros curriculares do ensino fundamental e médio demandam
mudanças curriculares nos cursos de preparação de professores, pautados, por sua vez, nos
parâmetros curriculares dos cursos de licenciatura, e demandam também cursos de educação
continuada para professores na ativa.
Como irão perceber a modelagem neste trabalho foi realizado com a ajuda de
programas computacionais para o cálculo de áreas, volume, utilizando o Programa Excel com
suas fórmulas matemáticas.
(*) discente do curso de Matemática
(**) docente do curso de Matemática
Desenvolvimento
A informática há algum tempo é caracterizada como uma trajetória mais ampla do
ensino, onde se pode trabalhar em um espaço infinitamente abstrato e ao mesmo tempo fazer
com que o aluno venha a assimilar o conteúdo.
O trabalho iniciou com a modelagem Matemática em construção de prédios utilizando
a perspectiva, ou seja, como o aluno iria construir um ambiente a partir de uma visão mais
ampla com o uso da informática. Explicando melhor, como ele faria a montagem de um
cômodo, por exemplo, onde colocar o fogão, a pia, a mesa, a janela, a quantos graus a porta
teria que abrir e não atrapalhar nenhum móvel do ambiente, o espaço para circulação nesse
ambiente e a circulação de ar, por exemplo.
Todas essas questões, com o uso da informática junto à modelagem são essenciais para
se ter um bom rendimento e aprendizagem. Usou-se aqui os objetos de aprendizagem do
programa RIVED (Rede Internacional Virtual de Educação)[2] que trabalhavam com
perspectiva.
Foram construídos três prédios com folha A4 e cola, as bases seriam quadrangular,
triangular e circular. Esta construção foi realizada com a participação de todos os presentes e
colocada em discussão qual dessas bases suportaria maior peso, conforme Figura 1.
Figura 1
Diante das três bases foram colocados alguns pesos e logo se verificou que a base de
formato circular suporta maior quantidade de massa embora não seja usado pelas construtoras
devido a aproveitar ao máximo a quadra com a divisão dos terrenos.
A folha de papel A4 é retangular de lado a e b sendo a > b. Para os prédios de base
quadrada e triangular, os lados são a/4 e a/3, respectivamente. O prédio com base circular tem
raio igual a a/(2xπ). Temos:
Área da base quadrangular(Aq):
Aq = (a/4)² = a²/16 = (1/16)xa² = 0,0625 xa²;
Área da base circular(Ac):
Ac = π x (a/(2xπ))² = a² x (π/4) x π² = (1/4) x π = 0,07957xa²;
Área de base triangular(At):
At = (a/3)² x (√3)/ 4 = (a²x√3)/36 = (√3/36 )xa² = 0,04811xa²;
Assim, At < Aq < Ac, por isso o cilindro suporta uma quantidade maior de massa. Usufruímos o programa SUPERLOGO para a construção do telhado onde a criança
pode começar a trabalhar as questões de graus, figura e relações geométricas.
O bom do SUPERLOGO é que ele não trabalha com linguagem formal de ângulo, mas
sim com o que ouvimos cotidianamente, ou seja, virar a esquerda, virar a direita, para
frente, para trás são os comandos básicos dele. Para quem desejar ter um primeiro contato
com esta tecnologia recomendamos o site da unicamp[3] e também compensa ler o artigo
publicado pela Universidade Federal de Santa Catarina[4]. Vejamos a Figura 2.
Figura 2
•
•
•
•
•
Para a continuação do telhado, utilizamos os seguintes passos:
Como estamos fazendo um telhado temos que Ter o ângulo de inclinação. É bom deixar
que o aluno construa os ângulos, então, por exemplo, escolhendo um ângulo de 30º o
discente tem que saber, que o ângulo a ser programado não é 30º, mas sim o seu
complementar, ou seja, 90º - 30º = 60º, logo o comando a ser aplicado é;
paradireita 60 teremos também que nos preocupar com a altura deste telhado, logo se o
aluno escolhesse 100 unidades de medidas (u.m). E o aluno terá que encontrar; tg 30º =
c.o/c.a; onde tg é Tangente, co é cateto oposto e ca é cateto adjacente. Como tg 30º =
0,577350269 e c.o = 100 u.m, obtemos c.a = c.o/tg implicando que c.a ≈173, 2050808, no
superlogo não há virgula e sim ponto, portanto c.a ≈173.2050808. No superlogo usamos o
comando;
parafrente 173.2050808, como queremos um telhado cujos ângulos da base sejam iguais,
ou seja, dois ângulos de 30º temos que calcular o último lembrando que a soma dos
ângulos internos de um triângulo é 180º, logo temos o último ângulo será 180º - 60º =
120º, mas tome cuidado, pois o ângulo que realmente interessa não é o 120º e sim o seu
suplementar, ou seja, 180º - 120º = 60º. Assim o ângulo a ser programado é 60º. No
superlogo ficará;
paradireita 60, usando a simetria repetimos o seguinte comando;
parafrente 173.2050808, e como queremos que a base tenha 30º é só pegarmos o
suplementar de 30º que é 180º - 30º = 150º, programando temos;
•
•
paradireita 150, e finalmente calculamos sabemos que a altura é 100 u.m logo para saber
todo o comprimento e levando em consideração o fato de se tratar de um triângulo
isóscele temos que o comprimento = 2*(cos(30º)*173.2050808), ou seja, comprimento =
2*150= 300, colocando o comando temos;
parafrente 300, e pronto temos o telhado como na Figura 3.
Figura 3
Resolvendo Problemas na Construção
1-Área útil e Área construída: como relaciona-las?
Daqui a diante os temas trabalhados foram calculados no Excel e os desenhos em
Paint.
Façamos o esboço de uma planta baixa, Figura 4, de forma geométrica qualquer [1].
O a forma retangular (padrão comum dos terrenos).
Consideraremos a área retangular com medidas a e b.
Figura 4
Podemos trabalhar o conceito de medida de superfície plana, propondo os cálculos das
áreas dos cômodos, da casa, do terreno, números racionais.
2-Como calcular a quantidade de tijolos, azulejos e pisos para uma casa?
Vamos tomar uma parede com as seguintes medidas [1], na Figura 5:
Figura 5
Podemos trabalhar o conceito de área, e unidades de medidas.
Lembrando que na área da parede deve-se retirar a área das janelas, portas ou outra
entrada.
3- Onde colocar a caixa d´água?A que altura deverá estar o telhado para que
caiba uma caixa d'água de 1000 litros de capacidade?Como calcular esses 1000
litros?
Foi questionado também onde colocar a caixa d’ água e como calcular o volume[1].
É conveniente que se coloque na laje da casa sem que provoque dano algum, pois são
feitos de material leve e resistente.
Quanto maior for a altura, Figura 6, maior será a pressão da água nos chuveiros e
torneiras (queda livre, gravidade).
Figura 6
Supondo que a caixa d'água seja de forma cúbica. A medida é da largura, do
comprimento e da altura. Podemos trabalhar o conceito de volume, potenciação que é a
mesma também.
Conclusão
Os programas computacionais para uso educacional possuem grandes potencialidades
que devem ser reconhecidas e aproveitadas tanto por professores como por alunos, para obter
resultados eficientes no processo de ensino aprendizagem.
Neste trabalho, apresentamos o uso da informática na Modelagem Matemática para o
ensino fundamental, outras ferramentas computacionais podem ser utilizadas para abordar
conceitos matemáticos.
[1] Biembengut, Maria Salett. Modelagem Matemática no Ensino.São Paulo: Contexto, 2003.
[2] http://rived.proinfo.mec.gov.br/site_objeto_lis.php
[3] http://www.nied.unicamp.br/~siros/siros_rcx/introducao_slogo.pdf
[4] http://www.inf.ufsc.br/~scheila/icece2003.PDF
Modelagem Matemática no Abastecimento e
Consumo de Água na Cidade de Uberlândia
Deive Barbosa Alves
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice
[email protected]
Introdução
Para evitar desperdício de água e atender a população de Uberlândia sem explorar em
demasia os mananciais hídricos, o Dmae tem investido regularmente na modernização do
Sistema de Abastecimento de Água. Esta renovação envolve a adoção de processos
automatizados, sob a responsabilidade de funcionários devidamente treinados, a realização de
obras de infra-estrutura, o investimento na aquisição de novos equipamentos e a instalação de
serviços que há muito se faziam necessários. Algumas medidas foram implantadas:
⎯ Os postos integrados de manutenção e atendimento, instalados nos bairros,
oferecem os mesmos serviços prestados na sede do Dmae, com a vantagem de estar mais perto
do usuário.
⎯ A renovação do sistema de captação e abastecimento também chegou aos distritos.
Novos reservatórios foram construídos e ampliados de 40mil para 350 mil litros a capacidade
de armazenagem de água de Tapuirama e Cruzeiro dos Peixotos.
⎯ No DMAE foi criada uma central de atendimento rápido e de qualidade para o
município.
⎯ A retomada dos investimentos nas Estações de Captação e Tratamento de Água
Sucupira e Bom Jardim ampliam a margem de segurança do sistema de abastecimento.
Agindo de maneira preventiva, o DMAE está substituindo máquinas ultrapassadas por
equipamentos mais eficientes.
⎯ A prefeitura criou a tarifa social da água, que isenta de pagamento às famílias que
recebem até dois salários mínimos por mês. Outros dois requisitos condicionam o acesso ao
beneficio a um consumo máximo de 20 metros cúbicos de água por mês e a propriedade de
um único imóvel. Para o Dmae modernizar significa levar saneamento básico a toda a
população. As famílias assentadas nos loteamentos São Francisco e Joana D’Arc já contam
com água potável e 17 mil metros de rede de esgoto. Moradores do bairro Prosperidade que
há anos reclamavam o mesmo benefício, também foram atendidos.
DMAE é sigla do DEPARTAMENTO MUNICIPAL DE ÁGUA E ESGOTO, órgão
da administração indireta da Prefeitura de Uberlândia. Este departamento tem como objetivo a
prestação de serviços de qualidade a seus usuários. Seu papel é coletar e tratar todo o esgoto
gerado no município de Uberlândia, modernizar com eficiência o sistema de abastecimento de
água e trabalhar para a preservação da Bacia Hidrográfica do Rio Uberabinha.
Metodologia
O trabalho foi realizado com coleta de dados no Departamento de Água e Esgoto de
Uberlândia e utilizando a seguinte metodologia:
• Comparação e escolha dos dados mais convenientes à pesquisa.
• “Plotagem” de gráfico com o Software Excel.
• Escolha do software flash para desenvolver um aplicativo, que possa ser usado em
salas de aulas de primeiro e segundo grau.
Objetivo
•
•
•
•
Determinar o consumo de água da cidade de Uberlândia.
Calcular o volume de água tratada da cidade de Uberlândia.
Verificar se a quantidade de consumo de água das residências, comércio e industrias
uberlandense é preocupante para o DMAE.
Produzir um objeto de aprendizagem com o software Flash para auxiliar o professor no
estudo de funções e estatística.
Desenvolvimento
Com os dados do DMAE plotamos gráficos, no software Excel, para determinar o
consumo de água nas residências, indústrias e comércios da cidade de Uberlândia no ano de
2003.
Na Tabela 1 apresentamos os dados fornecidos pelo DMAE do consumo de água nas
residências, indústrias e comércios da cidade de Uberlândia no ano de 2003[2].
meses
janeiro
fevereiro
março
abril
maio
junho
julho
agosto
setembro
outubro
novembro
dezembro
residências
3236398,532
3236001,000
3236423,012
3236456,000
3236745,230
3236847,136
3245543,000
3237009,000
3236240,000
3236120,050
3253262,000
3255480,000
Comerciais
351050
351001
351060
351055
351062
351082
352001
351091
351085
351090
351129
359445
industrias
196177
196152
196174
196178
196180
196184
196188
196181
196179
196184
196176
196153
total
38882524,960
4222151
2354106,000
Tabela 1
Com a Tabela 1, construímos a Figura 1.
consumo total
3783625,532
3783154,000
3783657,012
3783689,000
3783987,230
3784113,136
3793732,000
3784281,000
3783504,000
3783394,050
3800567,000
3811078,000
Consumo de água nas Residências, Industrias e
Comércios nos meses de 2003
86%
Residência
9%
Comércio
5%
Indústria
Figura 1
Observamos que as residências de Uberlândia são as grandes “vilãs” para o DMAE,
por isto o enfoque de sua propaganda esta voltada para conscientizar a população que a água
não pode ser desperdiçada.
Na Tabela 1 verificamos que o mês de maior consumo foi Dezembro.
A Tabela 2 mostra a variação do mês de maior consumo em relação aos demais meses[2]
Meses
Dezembro - Novembro
Dezembro - Julho
Dezembro - Agosto
Dezembro - Junho
Dezembro - Maio
Dezembro - Abril
Dezembro - Março
Dezembro - Janeiro
Dezembro - Setembro
Dezembro - Outubro
Dezembro - Fevereiro
Diferença do Volume de Água
10511
17346
26797
26964,864
27090,77
27389
27420,988
27452,468
27574
27683,95
27924
Tabela 2
Na Tabela 2 observamos que a maior variação foi entre o mês de dezembro e o de
fevereiro. Na Figura 2, apresentamos o gráfico das variações da Tabela 2.
Volume de água
em m³
Diferença do Volume de Água Consumido
30000
Diferença dos meses
por volume de água
20000
10000
Ajuste por Polinômio
0
0
2
4
6
8
10
12
Meses
Figura 2
A equação deste polinômio é:
y = 1,6435x 6 - 60,336x 5 + 849,55x 4 - 5648,2x 3 + 17030x 2 - 14572x + 12725. [1]
A Tabela 3 mostra a produção de água, na cidade de Uberlândia em duas estações de
tratamento, Sucupira e Bom Jardim [2].
Meses de 2003
Janeiro
Fevereiro
março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
Produção em m³
5336157,220
4833451,476
5287109,380
5314196,036
5413502,734
5423957,364
5607369,734
5724017,562
5605832,316
5717913,484
5461240,136
5538905,000
Tabela 3
Observando a Tabela 3 notamos que o mês de maior produção foi agosto, o que
também é ilustrado no gráfico de barras da Figura 3.
Produção de água em m³ da cidade de Uberlândia no ano
de 2003
6000000,000
5500000,000
5000000,000
4500000,000
4000000,000
ei
ro
ar
ço
ab
ri l
m
ai
o
ju
nh
o
ju
lh
ag o
se ost
te o
m
b
o u ro
tu
no br
ve o
d e mb
ze ro
m
br
o
m
fe
r
ja
ne
iro
Produção em m³
Figura 3
A Tabela 4 mostra a diferença do mês de produção em relação aos demais [2].
Meses de 2003
Agosto – Outubro
Agosto – Julho
Agosto - Setembro
Agosto - Dezembro
Agosto - Novembro
Agosto – Junho
Agosto – Maio
Agosto – Janeiro
Agosto – Abril
Agosto – Março
Agosto - Fevereiro
Diferença da produção de água em relação ao mês de Agosto.
6104,078
116647,828
118185,246
185112,562
262777,426
300060,198
310514,828
387860,342
409821,526
436908,182
890566,086
Tabela 4
Assim, observamos que a maior variação foi nos meses de Agosto – Fevereiro, veja o
gráfico da Figura 4.
Volume de água em
m³
Gráfico da diferença entre o mês de maior produção em relação
aos demais
1000000
800000
600000
400000
200000
0
Diferença entre o mês de
maior produção de água
em relação ao demais
0
2
4
6
8
10
12
Meses
Figura 4
A equação do polinômio é:
y = 32,162x 6 - 926,73x 5 + 9923,5x 4 - 48301x 3 + 101304x 2 - 4877,2x 46082. [1]
Analisamos o consumo e a produção de água da cidade de Uberlândia no ano de 2003
separadamente, vamos analisá-las juntas. Assim, Tabela 5 apresenta estes dados.
Meses de 2003
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
Consumo em m³
3783625,532
3783154,000
3783657,012
3783689,000
3783987,230
3784113,136
3793732,000
3784281,000
3783504,000
3783394,050
3800567,000
3811078,000
Produção em m³
5336157,220
4833451,476
5287109,380
5314196,036
5413502,734
5423957,364
5607369,734
5724047,562
5605832,316
5717913,484
5461240,136
5538905,000
Tabela 5
A Figura 5 apresenta o gráfico destes valores.
Volume de água
Produçã e Consumo nos meses de 2003
8000000,000
6000000,000
Consumo em m³
4000000,000
Produção em m³
2000000,000
0,000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
meses
Figura 5
Verificamos, então a necessidade de fazer a variação entre produção e consumo para
sabermos quanto a mais está sendo produzido, já que o gráfico aparentemente apresenta um
consumo estável e uma produção com oscilações. Assim, temos a. Tabela 6.
Meses de 2003
Produção em m³
Consumo em m³
janeiro
fevereiro
março
abril
maio
junho
julho
agosto
setembro
outubro
novembro
dezembro
5336157,220
4833451,476
5287109,380
5314196,036
5413502,734
5423957,364
5607369,734
5724017,562
5605832,316
5717913,484
5461240,136
5538905,000
3783625,532
3783154,000
3783657,012
3783689,000
3783987,230
3784113,136
3793732,000
3784281,000
3783504,000
3783394,050
3800567,000
3811078,000
Diferença ente produção e
consumo
1552531,688
1050297,476
1503452,368
1530507,036
1629515,504
1639844,228
1813637,734
1939736,562
1822328,316
1934519,434
1660673,136
1727827,000
Tabela 6
Com a Tabela 6 observamos que os meses de agosto foram os meses que tiveram maior
diferença entre produção e consumo. Conforme Figura 6.
Volume de água
em m³
Diferença entre produção e consumo de água
2500000,000
2000000,000
1500000,000
1000000,000
500000,000
0,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
meses do ano de 2003
curva da diferença pelos
meses
Figura 6
A equação do polinômio é dada por:
y = 128,61x 6 - 5133,2x 5 + 80104x 4 - 618339x 3 + 2E + 06x 2 - 4E + 06x + 4E + 06.
Além disso, podemos dizer que o consumo total de água da cidade de Uberlândia no
ano de 2003 foi de 45458781,96m³ e foram produzidos no total, para suprir tal consumo, uns
volumes de 65263652,442m³. Assim, diferença entre produção total pelo consumo total obtém
19804870,482m³.[1]
Conclusão
Realmente é acertado o investimento em propaganda de conscientização, voltada para
os proprietários, pois como vimos às residências consomem 86% da água da cidade de
Uberlândia.
Embora os meses de maior consumo foram Dezembro, Novembro não
necessariamente é os meses que mais se produzem. Como vimos estes são Agosto e Outubro.
Fica claro, então, que a produção de água na cidade de Uberlândia não depende do consumo.
Com o objetivo de ajudar o DMAE na conscientização do consumo de água decidimos
criar um “aplicativo” em Flash para que os professores, em especial os do ensino fundamental,
pudessem trabalhar o consumo da água com as crianças, veja no Apêndice.
Agradecimento
Aos amigos Edinei Leandro dos Reis, Fernando da Costa Barbosa e Rivelino
Rodrigues Flor que me ajudaram a desenvolver um “aplicativo” em Flash.
Bibliografia
[1] Bassanezi, Rodney Carlos. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São
Paulo: Contexto, 2002.
[2] Dados fornecidos pelo DMA.
[3] www.uberlandia.mg.gov.br/escolaaguacidada
[4] Calcule quantos litros de água você e sua família consomem por dia
Apêndice
A melhor forma encontra para trabalhar o consumo de água foi utilizando o início da
estatística, no qual o professor trabalharia os conceitos de construção de tabelas, organização
das mesmas e estudar os gráficos de barras e linhas.
Após o professor ensinar estes conceitos levará o aluno para trabalhar com o
“aplicativo” que funciona desta forma.
Primeiro o usuário entra com dados do consumo de água durante os meses do ano, o
número de pessoas da família e confirma tais dados, conforme Figura 7.
Figura 7
Recomendamos que o aluno tenha em mãos as contas de água de sua casa. Para
localizar tais valores na conta de água é só observar onde está escrito “histórico de consumo”
e abaixo olhar a palavra “consumo” e então jogar este valor na tabela, lembrando que o valor é
em metros cúbicos, ou seja, milhares de litros e não somente em litros. Se por acaso não tiver
a palavra “consumo” com certeza tem as seguintes: “Leitura atual” e “Leitura anterior”, neste
caso têm que saber de quanto é o consumo. Para tal é só subtrair o valor que é apresentado na
“Leitura anterior” pelo valor da “Leitura atual”, assim teremos o consumo em metros
cúbicos[3].
Quando confirmarmos os dados aparecerá uma outra janela, Figura 8, com os dados do
consumo mensal, e a média mensal, calculada da seguinte forma: somamos o consumo dos
doze meses e dividimos por doze, assim obtivemos o consumo médio da família por mês.
Apresenta ainda a média mensal por pessoa que foi calculada da seguinte forma: a partir da
média mensal e dividimos pela quantidade de pessoas existentes na família. Temos, ainda a
cota DMAE de consumo, que nada mais é do que a instituição DMAE considera como
consumo racional da água que é calculada da seguinte forma: segundo o DMAE para termos o
uso racional da água é preciso que cada pessoa consuma 0,15 m³ de água por dia.
Multiplicando por 30 para sabermos quanto é este valor por mês temos que o
consumo/pessoa/mês é 4,5 m³, como queremos achar a cota para que uma família tenha um
uso racional, segundo o DMAE, basta multiplicarmos pelo número de pessoas da família, ou
seja, a cota DMAE de consumo = número de pessoas da família * 4,5, onde 4,5 é o consumo
de água em metros cúbicos por pessoa e por mês[4]. Depois das informações podemos
escolher se quisermos gráfico de barras ou de linhas.
Figura 8
Escolhendo o botão gerar o gráfico de barras temo a Figura 9.
Figura 9
Na Figura 9, os retângulos em azul representam o consumo obtido naquele mês, ou
seja, cada retângulo azul é um mês com o respectivo consumo, neste caso, por exemplo,
janeiro teve um consumo de 22 m³ e dezembro teve 29 m³. A linha em vermelho indica a
média mensal de consumo de água que família obteve, a linha verde representa a cota DMAE
de consumo, ou seja, a linha verde indica o uso racional da água segundo o DMAE, vemos
que neste exemplo o valor que a família podia gastar por mês era de 18 m³ como a média
mensal foi de 27,25 m³ esta família não usa a água de forma racional.
Escolhendo o botão gerar o gráfico de linha temos a Figura 10.
Figura 10
Na Figura 10, o gráfico em azul relaciona os meses com os respectivos consumo de
água da residência estudada. Assim o mês de dezembro teve o maior consumo, 29 m³. A linha
em vermelho indica a média mensal de consumo de água que família obteve, a linha verde
representa a cota DMAE de consumo, ou seja, a linha verde indica o uso racional da água
segundo o DMAE, vemos que neste exemplo o valor que a família podia gastar por mês era
de 18 m³ como a média mensal foi de 35,583 m³ esta família não usa a água de forma
racional.
E é só, no mais cabe a cada professor ter criatividade para usar este aplicativo da
melhor forma possível.
FAMAT em Revista
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Iniciação Científica
em Números
www.famat.ufu.br
Iniciação Científica em Números
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira (coordenador da seção)
Iniciação Científica em Números
Seguindo a mesma linha anterior inerente a esta sessão, objetivamos descrever as
atividades de iniciação cientifica e/ou atividades técnicas complementares à formação
acadêmica desenvolvidas no âmbito da FAMAT/UFU e direcionadas aos discentes do Curso
de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Destacamos, inicialmente, a existência de seis
programas regulares que oferecem atividades inclusas em uma das duas categorias acima
mencionadas; são eles:
(1) Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática (PETMAT);
(2) Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica do CNPq (PIBIC-CNPq);
(3) Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica da FAPEMIG (PBIICFAPEMIG);
(4) Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduação da UFU (PIBEG-UFU);
(5) Instituto do Milênio para o Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira do CNPq
(IM-AGIMB-CNPq);
(6) Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática
(PROMAT-FAMAT-UFU).
Destes, apenas o último não apresenta qualquer tipo de remuneração aos discentes
envolvidos. Além disso, ocorrem esporadicamente orientações de iniciação científica ou
ensino vinculadas a projetos pessoais de pesquisa ou ensino financiados pelo CNPq,
FAPEMIG ou outros. Abaixo, descrevemos uma relação de todos os projetos, agregados a um
dos programas acima mencionados, que estão atualmente em desenvolvimento na FAMAT e
que são exclusivamente desenvolvidos por alunos do Curso de Licenciatura e Bacharelado em
Matemática.
Vale ressaltar ainda que existem outros projetos de iniciação científica em
desenvolvimento no âmbito da FAMAT, todavia os mesmos envolvem alunos de Cursos de
Graduação da UFU distintos do Curso de Matemática e, por isso, não serão aqui relacionados.
1. Projetos de Iniciação Científica – PETMAT
Professor: Marcos Câmara
Projeto: Códigos Corretores de Erros
Aluno: Flaviano Bahia Paulinelli Vieira
Período: Março de 2005 a janeiro de 2006
Professor: Marcos Antônio da Câmara
Projeto: Problema de Transporte com Programação Linear
Aluna: Laís Bássame Rodrigues
Período: Março de 2005 a março de 2006
Professor: Marcos Câmara
Projeto: Equações de Congruência de Grau Maior que Um
Aluna: Patrícia Borges dos Santos
Professor: Jocelino Sato
Projeto: Estudo de Superfície via Triedo Móvel
Aluno: Leandro Cruvinel Lemes
Professor: Cícero Fernandes Carvalho
Projeto: Introdução à Geometria Algébrica
Aluno: Jairo Menezes e Souza
Período: Março de 2005 a dezembro de 2005
Professor: Luis Alberto Duran Salomão
Projeto: Iniciação à Teoria dos Números
Aluno: Maksuel Andrade Costa
Professora: Rosana Sueli da Mota Jafelice
Projeto: Modelo de Bertalanffy para uma Espécie de Crustáceo
Aluna: Carolina Fernandes Molina Sanches
Professor: Edson Agustini
Projeto: Introdução à Teoria da Informação e Codificação
Aluna: Gisliane Alves Pereira
Projeto: Figuras Equivalentes e Equicompostas
Aluna: Fabiana Alves Calazans
Projeto: Introdução à Teoria da Informação e Codificação
Aluna: Sandreane Poliana da Silva
Professora Dulce Mary de Almeida
Projeto: O Problema da Trisecção do Ângulo e Algumas Soluções na Grécia Antiga
Aluna: Flávia Cristina Martins Queiroz
Professora Dulce Mary de Almeida
Projeto: O Problema da Trisecção do Ângulo e Algumas Soluções na Grécia Antiga
Aluna: Mariana Fernandes dos Santos Villela
Professor: Ednaldo Carvalho Guimarães
Projeto: Análise do Comportamento de Semivariogramas Esféricos sob Diferentes Tipos de
Tendências nos Dados
Aluna: Alessandra Ribeiro da Silva
2. Projetos de Iniciação Cientifica - CNPq / FAPEMIG
Projeto: Análise da Estabilidade Temporal da Precipitação Pluviométrica Mensal em
Uberlândia - MG
Aluna: Franciele Alves da Silveira Gonzaga
Órgão Financiador: PIBIC-CNPq
Período do Projeto: 07/2004 a 06/2005
Professora: Sezimária de F. P. Saramago
Projeto: Estudo de Alguns Algoritmos Evolutivos
Aluno: Jair Rocha do Prado
Órgão Financiador: PBIIC-FAPEMIG
Período do Projeto: 03/2005 - 02/2006
Professor: Marcelo Tavares
Projeto: Avaliação das Relações de Atributos Físicos e Químicos de um Solo em Diferentes
Condições de Manejo com a Produtividade da Soja por Meio de Técnicas Multivariadas
Aluna: Fernanda Bonuti
Órgão financiador: PBIIC-FAPEMIG-UFU
3. Projetos desenvolvidos junto ao PIBEG / FAMAT
Professor: Eugênio Antônio Paula
Projeto: Produção de Saberes Docentes Desenvolvidos no Laboratório de Ensino de
Matemática Sobre Trabalho de Projeto
Aluna: Flávia Bruno Mendes
Órgão Financiador: PIBEG - UFU , E 018/04 –1
4. Projeto desenvolvido junto ao Instituto do Milênio / AGIMB
Projeto: Superfícies Mínimas Estáveis
Aluna: Helen Cristina Vieira Freitas
Órgão Financiador: CNPq / Instituto do Milênio - AGIMB
Professor: Márcio José Horta Dantas
Projeto: Oscilações Forçadas em um Sistema Mecânico não Ideal
Aluno: Uziel Paulo da Silva
Órgão Financiador: CNPq / Instituto do Milênio - AGIMB
Período: 08/2004 a 04/2005
5. Projetos de Iniciação Cientifica – PROMAT
Professora: Lúcia Resende Pereira Bonfim
Projeto: Algumas Aplicações em Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias
Aluna: Juliana Lázara Cursino dos Santos
Período: Agosto de 2004 a julho de 2005
Projeto: Comportamento da Precipitação Pluviométrica Mensal de Uberlândia: Análise de
Dependência Temporal
Aluna: Gabriela de Freitas Alves
Professor: Valdair Bonfim
Projeto: Motivando Teorias Abstratas da Matemática
Aluno: Danilo Adrian Marques
Projeto: As Propriedades das Tangentes às Cônicas e suas Aplicações em Tecnologias
Aluno: Eder Lúcio da Fonseca
Professor: Arlindo Souza Júnior
Projeto: O papel da Tecnologia no Ensino da Matemática
Aluno: Narkeny Mark Cardoso
Projeto: Introdução à Mecânica Vetorial
Aluno: Carlos Henrique Tognon
Projeto: Introdução à Mecânica Vetorial
Aluna: Milena Almeida Leite Brandão
Projeto: Superfícies com Curvatura Gaussiana Constante
Aluno: Bruno Nunes de Souza
Projeto: Superfícies Regradas
Aluno: Cláudia Helena Vieira Freitas
Projeto: Modelos Matemáticos Aplicados À Anatomia Humana
Aluno: Franciella Marques da Costa
6. Outros
Professor: Arlindo José de Souza Júnior
Projeto: Programa de Apoio Científico e Tecnológico aos Assentamentos de Reforma
Agrária - PACTo-MG/Triângulo Mineiro
Aluno: Ronicley Eduardo Corrêa Araújo
Órgão Financiador: CNPq/INCRA-Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária
Professor: Arlindo José de Souza Júnior
Projeto: Programa de Apoio Científico e Tecnológico aos Assentamentos de Reforma
Agrária - PACTo-MG/Triângulo Mineiro
Aluno: Deive Barbosa Alves
Órgão Financiador: CNPq/INCRA-Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária
FAMAT em Revista
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E o Meu Futuro Profissional?
www.famat.ufu.br
E o Meu Futuro Profissional?
Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (coordenador da seção)
Valdair Bonfim
Edson Agustini
PÓS EM OUTRAS ÁREAS: OPÇÃO OU FALTA DE OPÇÃO?
Geraldo Botelho
O perigo de ser mal interpretado e ver suas palavras usadas fora de contexto e de
forma oportunista sempre existe, ainda mais quando o assunto é polêmico e o título é
provocativo. Por isso afirmo de forma clara, explícita e inequívoca: não pretendo aqui
desestimular alunos graduados em matemática a seguir seus estudos, em nível de pósgraduação, em outras áreas. Meu objetivo é levantar aspectos variados da questão para que,
caso decida seguir esse caminho, o estudante o faça da forma mais consciente e responsável
possível.
Sou procurado, com certa freqüência, por alunos em final de graduação, ou
recentemente graduados, com a seguinte pergunta: “Estou pensando em fazer mestrado na
área X (na maioria das vezes X = engenharia elétrica, engenharia mecânica, computação,
educação ou estatística). Você acha que é uma boa?” Pretendo neste texto elaborar e
fundamentar a resposta que normalmente apresento aos estudantes.
Inicio abordando duas questões inerentes ao assunto.
Por que graduados em matemática são aceitos com tanta freqüência em programas de
pós-graduação de outras áreas? Vou tentar convencê-lo(a), eventual leitor(a), de que parte da
resposta é a seguinte: o estudo da matemática, em níveis variados, ensina o aluno a raciocinar
abstratamente de forma sistemática, o que permite uma adaptação rápida e bem sucedida a
qualquer outra área. Começo argumentando que mesmo a matemática do ensino médio traz
benefícios nesse sentido. Para isso cito trecho das páginas 303 e 304 do livro “O gene da
matemática”, de Keith Devlin, Ed. Record (2004):
“Em 1997, o Departamento de Educação dos Estados Unidos publicou um relatório
oficial ressaltando a importância da matemática no ensino do curso médio para conseguir
ingresso na universidade, e sucesso no mercado de trabalho, especificamente para estudantes
de baixa renda. Usando dados de diversos estudos de longo prazo, o relatório em questão
descobriu que 83% dos estudantes do ensino médio que tinham estudado álgebra e geometria
ingressavam na universidade, enquanto que apenas 36% (menos da metade) dos que não
estudaram essas matérias conseguiram sucesso. Estudantes de baixa renda que estudavam
álgebra e geometria tinham uma probabilidade quase três vezes maior de ingressar numa
universidade do que os que não estudavam essas disciplinas. Além do mais, estudantes que
haviam concluído o currículo completo dessas duas matérias saíam-se notavelmente melhor
no curso superior do que seus colegas que haviam deixado o estudo dessas matérias pelo
meio”.
O relatório não dizia nada sobre a obtenção de boas notas em álgebra e geometria, ou
até mesmo sobre a aprovação nas séries. O simples fato de estudar as matérias já trazia
benefícios. E mais, os estudantes obtinham os mesmos benefícios, independentemente dos
cursos universitários que fossem fazer. Alunos de inglês, história e arte saíam-se bem, da
mesma forma que os que se especializavam em matemática e ciência.”
Passando para o aprendizado do estudante do curso superior de matemática, quero
enfatizar que o aluno é submetido a um intenso treinamento de raciocínio simbólico, tratando,
e principalmente relacionando, entidades abstratas. Qual é a importância disso? Preciso fazer
uma pequena incursão na teoria da evolução. Qual é a diferença substantiva do funcionamento
do cérebro humano em relação aos cérebros dos outros animais? Essa diferença deve ter
acarretado grandes vantagens evolutivas, pois o homem tem que carregar um cérebro imenso
(comparado aos demais) e que consome muita energia (apesar de responder por apenas 2% do
peso do corpo, o cérebro humano gasta em torno de 20% da energia consumida pelo corpo
todo). A resposta mais aceita nos círculos científicos é a seguinte: o cérebro humano evoluiu
de maneira a permitir que os homens pensem sobre objetos abstratos e raciocinem sobre
situações hipotéticas. Um macaco é bem capaz de aprender a abrir uma porta dotada de
maçaneta para pegar bananas, mas certamente não é capaz de, vendo uma porta sem
maçaneta, imaginar um tal objeto, fabricá-lo, instalá-lo na porta e por fim abrí-la para se
alimentar. Essa possibilidade de pensar simbolicamente sobre objetos fictícios e, sobretudo,
relacioná-los com outros objetos, fictícios ou não, é restrita aos seres humanos. O nome
técnico dessa faculdade humana é “pensamento desconectado”. Foi o pensamento
desconectado que permitiu ao homem se antecipar a situações adversas, perceber com
antecedência possibilidades favoráveis, e por fim garantir um lugar privilegiado na escala
evolutiva.
O que faz um escritor de telenovelas? Imagina e inter-relaciona personagens, lugares e
situações, todos fictícios, abstratos. Algo muito parecido com o que é feito na matemática:
objetos abstratos são imaginados e inter-relacionados. Por quê então muitas pessoas gostam
de telenovelas e poucas gostam de matemática? É simples: a telenovela trata de objetos
(personagens, lugares, situações), que são parecidos com aqueles vivenciados por todos no
dia-a-dia, daí uma identificação natural. Já a matemática trata com objetos que em nada se
parecem com nossa experiência cotidiana. E por quê a matemática serve para tanta coisa e a
telenovela não serve para nada? Também é simples: por que a telenovela é feita para
entretenimento e a matemática é feita para melhorar a nossa compreensão do mundo em que
vivemos.
Voltando ao aprendizado de um estudante de curso de graduação em matemática, não
há dúvida de que é nesse curso que o pensamento desconectado é mais exercitado, permitindo
ao aluno uma melhor exploração dessa capacidade fundamental do cérebro. Da mesma forma
que nossos ancestrais usavam o pensamento desconectado para imaginar situações e formular
planos que depois de implementados lhes traziam grandes vantagens, o graduado em
matemática usa sua habilidade para imaginar e relacionar objetos abstratos para tratar e
relacionar objetos reais, sejam eles de que área forem.
De tudo isso decorre a facilidade que o graduado em matemática tem em se adaptar a
outras áreas com facilidade e, na maioria das vezes, com sucesso. Daí decorre imediatamente
a boa vontade dos programas de pós-graduação em outras áreas para aceitar alunos graduados
em matemática. Não que uma comissão de seleção de mestrado em outra área saiba de tudo
isso e raciocine dessa maneira. Tudo o que eles sabem é que a experiência anterior mostra que
graduados em matemática normalmente são bem sucedidos naquela área. Isso é suficiente
para eles. O que fiz acima foi mostrar o por quê disso, e por quê isso ocorre em tantas áreas
diferentes.
Eu disse que isso era apenas parte da resposta da pergunta original. Antes de comentar
a outra parte, atacarei a segunda pergunta.
Por que graduados em matemática, com certa freqüência, pretendem fazer mestrado
em outras áreas? Vários fatores contribuem para isso. Alguns são válidos para todas as áreas
(por exemplo: não gostei da área em que me graduei, por isso quero mudar de área), enquanto
que outros valem especificamente para os graduados em matemática. Não me atrevo a dizer
que tratarei de todos os fatores, mas certamente tratarei dos mais comuns:
(i) O já citado “não gostei de matemática e quero mudar de área”: esse fator é
inescapável, ocorre em todas as áreas e não há motivo para não ocorrer em matemática, mas
deve ser marginal, e não predominante;
(ii) O tradicional “prefiro aplicações, não gosto muito de teoria”: as afinidades
pessoais devem ser respeitadas, trabalhar com algo que não se gosta é um excelente caminho
para o fracasso;
(iii) A tentação da interdisciplinaridade: a matemática é vista (de forma correta) e
vendida (de forma incorreta) como uma importante ferramenta na resolução e otimização de
soluções de problemas nas mais variadas áreas. O graduado é seduzido com o argumento de
que aplicará seus conhecimentos matemáticos na outra área, conferindo-lhe assim uma
vantagem sobre os demais;
(iv) O engodo, ou preconceito, que matemática é uma área mais difícil que as demais:
normalmente esse fator não é confessado, as pessoas não querem assumir que estão fugindo
da dificuldade e procurando um caminho menos espinhoso, mas com um pouco de conversa
esse aspecto invariavelmente sempre vem à tona;
(v) O mercado de trabalho: a alegação é que as possibilidades de emprego para
graduados, ou mesmo pós-graduados, em matemática são menores e pior remuneradas que em
outras áreas próximas;
(vi) A oferta de cursos de pós-graduação e de bolsas e a receptividade dos graduados
em matemática: o número de programas de pós-graduação nas outras áreas é
significativamente maior que em matemática (como não poderia deixar de ser, pois são várias
outras áreas), e, por outras razões, normalmente esses programas dispõem de mais bolsas que
os programas em matemática. Em nossa região essa diferença é mais acentuada ainda.
Aliando-se isso à já discutida boa receptividade que os graduados em matemática têm
merecido dos programas em outras áreas, esse se torna um fator fortíssimo na atração dos
graduados em matemática para esses outros programas.
É hora de voltar à questão central: é uma boa ou não um graduado em matemática se
direcionar para um mestrado em outra área? Minha opinião é que, como em tudo na vida,
existem possibilidades e riscos. O problema é que, nessa questão específica, acho que as
possibilidades são ditas e repetidas exaustivamente (na minha opinião muitas vezes
superestimadas e super-dimensionadas) e os riscos são cuidadosamente omitidos. O
aconselhamento responsável a um jovem em busca de um caminho profissional certamente
deve alertá-lo para os riscos envolvidos. O lado maniqueísta deste texto, que assumo sem
problema nenhum, é que considero as possibilidades já suficientemente propagandeadas,
considerando por conseqüência que minha atenção deve estar centrada nos riscos. Como
resposta à questão central, eu de forma alguma digo ao estudante que ele deve evitar a pósgraduação em outra área. Mas considero minha obrigação esclarecê-lo quanto aos riscos
envolvidos e aos cuidados que devem ser tomados para evitar esses riscos. É sobre isso que
discorro a seguir. Aproveitarei os fatores numerados de (i) a (v) acima para expor minhas
preocupações:
(i) Não gostar de matemática não quer dizer gostar da área X. Após quatro anos de
curso de graduação, tenho confiança em acreditar no estudante, ou recém-graduado, que diz
não pretender seguir estudos nem atuar profissionalmente em matemática por falta de
afinidade. Mas isso significa afinidade com a outra área? É claro que não. Nesse ponto o
estudante tem que ser questionado: a opção pela área X é sólida e fruto de uma reflexão
baseada em conhecimento do que se faz na área, ou é uma escolha apressada? Como
distinguir uma da outra? Peço ao estudante para me dizer com que tipo de problemas ou
atividades ele estará envolvido depois que conseguir um emprego na área. A resposta, se
superficial ou específica, denuncia claramente se ele conhece minimamente a área ou se
apenas tem uma vaga idéia. Além do conhecimento, para não ser uma tentativa às escuras é
necessário ter afinidade com a área. O estudante está seguro dessa afinidade? Será que não
passa de uma influência de um professor mais próximo, mais amigo? Nada contra seguir os
passos de um professor mais chegado, mas se for apenas isso, as chances de sucesso são
mínimas. Se não houver algo de dentro para fora do estudante em relação à área, ele deve
refletir um pouco mais sobre essa escolha.
(ii) A situação do item anterior se repete aqui. Confio quando o estudante diz não
gostar de teoria, mas desconfio quando diz gostar das aplicações. Pergunto se ele conhece as
aplicações, e, principalmente, quais aplicações. As respostas são decepcionantes, não para
mim, mas para ele próprio, que, quase sempre, nunca havia refletido seriamente sobre isso.
Mais uma vez se repete a situação do estudante dizer que gosta de algo que ele praticamente
desconhece. Se não conhece, como pode gostar? Já passei várias vezes, como muitos outros
colegas, pela situação de ensinar aplicações de matemática para estudantes de engenharia,
normalmente em cursos de pós-graduação. Mesmo tentando disfarçar, fica nítida a reação do
tipo “nossa, como isso é difícil”. Por algum motivo, as pessoas pensam que matemática é
difícil, mas as aplicações são fáceis. Nada mais enganador.
(iii) Vou entrar aqui em terreno mais delicado. É nesse ponto que o canto da sereia é
mais perigoso. Não tenho dúvida do potencial da interdisciplinari-dade e reconheço, na
verdade reivindico, um papel importantíssimo da matemática na interação e integração das
áreas do conhecimento. Só não acredito que isso se realize, de maneira séria e fértil, na
freqüência com que dizem por aí. Colocar áreas distintas para interagir e disso obter bons
frutos é extremamente difícil e, ouso dizer, muito raro. Requer conhecimento profundo das
áreas envolvidas e uma capacidade de relacionar coisas antes não relacionadas. Uma coisa é
usar um método conhecido para resolver uma equação diferencial de um circuito elétrico
específico, outra coisa, muito diferente, é desenvolver um novo método de solução que, para
aquele circuito específico, seja melhor que os métodos conhecidos. A primeira alternativa não
é matemática aplicada, é aplicação de matemática, e para isso não é necessário treinamento
matemático específico. A segunda alternativa sim, é matemática aplicada, mas nesse caso é
necessário conhecer a fundo tanto métodos de solução de equações diferenciais como
circuitos elétricos, tão profundamente a ponto de perceber algo que outros ainda não haviam
percebido. Tenho convicção em afirmar que matemática aplicada (de boa qualidade) é tão
difícil quanto matemática pura (também de boa qualidade).
Já cansei de ouvir discursos belíssimos sobre projetos interdisciplinares envolvendo
matemática, mas sempre em geral e sempre em tese. Detalhes sobre o papel da matemática, e,
principalmente, do matemático, nunca aparecem. Sempre se supõe que alguém saberá como
fazer a conexão, mas esse alguém raramente aparece. Não nego a relevância da matemática
em grandes conquistas científicas e tecnológicas que envolveram esforços interdisciplinares,
tais como o lançamento de foguetes, o código genético e a teoria das supercordas. Mas não
acredito que estejamos falando aqui de coisas desse tipo. Voltando para nossa humilde
preocupação de encaminhar um recém-graduado em matemática, sejamos realistas e
reconheçamos que, na maioria esmagadora das vezes, aqueles que conseguem empregos em
outras áreas raramente utilizam conhecimentos específicos de matemática adquiridos durante
o curso. O ganho na verdade está no que descrevi acima sobre o pensamento desconectado, já
os conhecimentos matemáticos específicos quase nunca ultrapassam aqueles que poderiam,
sem dificuldade nenhuma, ser adquiridos por conta própria.
O apelo para a interdisciplinaridade pode desembocar no perigoso cenário do
profissional de formação híbrida que, no final das contas, acaba não interessando a nenhuma
das vertentes. É o que eu chamo de perigo Bresser: Luiz Carlos Bresser Pereira, economista e
professor de economia, era também executivo de altíssima patente do grupo Pão de Açúcar
quando foi nomeado ministro da fazenda, isso em 1987. Por ter se tornado figura pública, a
seguinte anedota, que já circulava em círculos restritos, ganhou o grande público: para os
executivos, o Bresser é um grande economista; e para os economistas, o Bresser é um grande
executivo. Uma formação híbrida, apesar de eventuais vantagens, sempre poderá ser usada
contra você. Na seleção para empregos na área X, sempre será lembrado que sua formação
básica não foi na área; e na seleção para empregos em matemática, sempre será lembrado que
sua formação avançada não foi em matemática. A menos que você seja um profissional
excepcional ou uma pessoa importante como o Bresser. Mas profissionais excepcionais e
pessoas importantes não precisam de conselhos, não é mesmo?
(iv) Mais uma vez a história de fazer julgamentos sobre o que não conhece. Dizer que
matemática é difícil, tudo bem. Mas de onde vem a convicção de que outras áreas são mais
fáceis. De ouvir dizer? Sinceramente, na hora de decidir nossos futuros, temos que nos basear
em coisas mais concretas e confiáveis. Minha opinião é que a matemática não é mais difícil
(nem mais fácil) que qualquer outra área. O que ocorre é que o número de pessoas que gostam
de matemática é bem menor do que em outras áreas. Ninguém acha fácil aquilo que não
compreende, e se não gosta, dificilmente irá compreender. Sendo assim, acho que, em grande
parte e com as exceções de praxe, as pessoas que tentam e acabam desistindo de seguir
carreira em matemática, o fazem por não ter afinidade suficiente com a matéria, e não por que
a matemática é mais difícil.
Mesmo que o argumento fosse verdadeiro (e não é), seria correto optar por uma área
por ela ser mais fácil? É ingenuidade supor que existe um caminho fácil, na área que for, para
uma vida profissional de sucesso. Quanto a isso, creio firmemente no aforismo americano “no
pain, no gain”, que pode ser traduzido para “sem sofrimento, não há recompensa”. Se
existisse um caminho fácil para o sucesso profissional, todos estariam trilhando esse caminho,
ou o nosso estudante acha que só ele é capaz de perceber isso?
(v) Concordo que o mercado de trabalho é mais generoso com outras áreas do que com
matemática. O problema não é a oferta de empregos, mas a receptividade de um profissional
com formação básica em outra área, no caso em matemática. O fato é que a facilidade que os
graduados em matemática encontram para ingressar em mestrados em outras áreas não se
repete nas seleções para doutoramento nessas mesmas áreas, nem em concursos públicos e
nem em processos seletivos para empregos permanentes. Não que um graduado em
matemática esteja automaticamente excluído, mas as facilidades encontradas para entrar no
mestrado certamente não se repetem. É nessa hora que a interdisciplinaridade, antes tão
exaltada, se transforma em formação híbrida, agora não tão interessante assim. O estudante
deve se convencer de que vale a pena checar os destinos dos graduados em matemática que
fizeram mestrado naquela área. Um ou dois exemplos conhecidos podem dar uma idéia
distorcida da situação. Se os graduados em matemática que fizeram mestrado naquela área
não estão, na maioria, fazendo doutoramento ou atuando profissionalmente na área, será que
vale a pena fazer mestrado na área? Para depois voltar para matemática ou acabar em
atividade profissional totalmente desvinculada da área?
(vi) Outro ponto delicado. Nada a acrescentar sobre a maior oferta de mestrados e
bolsas em outras áreas do que em matemática. Essa é uma realidade contra a qual nada há a
fazer. Agora completo a resposta relativa aos motivos da facilidade de graduados em
matemática ingressarem em outros mestrados. Todos sabem que os programas de pósgraduação são submetidos a uma avaliação muito rigorosa conduzida pela CAPES. A
sobrevivência e o crescimento do programa, principalmente quanto ao número de bolsas
recebidas, dependem totalmente do resultado dessa avaliação. Alguns dos mais importantes
parâmetros da avaliação são a taxa de sucesso (quantos ingressantes de fato se titulam) e o
tempo médio de titulação. Por motivos já descritos acima, a experiência mostra que graduados
em matemática normalmente se titulam, e dentro do prazo. Ou seja, na maioria das vezes, o
aceite de um graduado em matemática é benéfico para o programa, pois são boas as chances
desse graduado contribuir positivamente para a avaliação do programa. Não estou dizendo
que os graduados em matemática são aceitos apenas por isso, estou dizendo que esse também
é um fator envolvido no processo. É claro que nenhum programa tem a obrigação de garantir
emprego ou ingresso no doutoramento para os mestres ali titulados, mas o candidato deve
estar ciente que a sua inserção profissional na área não é o único aspecto envolvido na seleção
para o mestrado. Está certo o programa que zela por sua avaliação, e cabe ao estudante zelar
por sua possibilidade de inserção no mercado de trabalho. Parte desse zelo é saber que, ao
final do mestrado, ele estará por sua própria conta. Não critico o programa que seleciona
visando mais sua própria avaliação do que a possibilida-de de emprego para os futuros
mestres, mas não há como negar que esse é um aspecto perverso para os candidatos oriundos
de outras áreas. É evidente que esse aspecto também está presente nos programas de mestrado
em matemática. Mas nesse caso o problema é menor pois o número de graduados em outras
área que procuram mestrados em matemática é mínimo.
Na tentativa de sintetizar meus argumentos, avalio que o mestrado em outra área é
indicado apenas na perspectiva da obtenção de uma colocação profissional nessa área. Além
dos riscos e cuidados descritos acima, para o sucesso profissional em outra área é necessário
um conhecimento prévio das atividades profissionais correlatas (e não apenas um “ouvi dizer
que ...”), um diagnóstico claro de afinidade com essas atividades (e não apenas um “eu acho
que gosto ...”), e, sobretudo, um plano de vida profissional, pelo menos de médio prazo e bem
delineado, que contenha o mestrado nessa área como primeiro passo. Um estudante de último
ano, ou um recém-graduado, não pode se dar ao luxo de, já na casa dos vinte e tantos anos,
enveredar por um caminho sem saber onde vai dar. A essa altura da vida, uma postura do tipo
“fazer o mestrado para depois ver o que acontece” deve estar fora de cogitação. Se a essa
altura ele/ela não tem plano de vida profissional definido, está então na hora de refletir e fazer
esse plano, e só então procurar a melhor maneira de realizá-lo. Como argumentei, qualquer
profissional com formação híbrida encontra dificuldades de inserção profissional, dificuldades
essas que ficam muito maiores para aqueles que não sabem direito o que desejam. Um
mestrado em outra área deve ser um passo na concretização de um projeto profissional que o
candidato já tenha claro na cabeça e no qual deposite grandes esperanças. Assim, e só assim
na minha opinião, ele conseguirá aplicar seu treinamento matemático para ser bem sucedido
na área escolhida. Bem sucedido a ponto de conseguir colocação profissional naquela área,
vencendo processos seletivos que certamente o colocarão em disputa com profissionais com
formação específica na área. Do contrário trata-se de uma tentativa às escuras, na verdade
uma falta de opção, como diz a provocação do título.
FAMAT em Revista
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Merece Registro
www.famat.ufu.br
Merece Registro
Antônio Carlos Nogueira (coordenador da seção)
Merece Registro
A) IV SEMANA DA MATEMÁTICA
Foi realizada nos dias 29 e 30 de Setembro e 1o de Outubro de 2004, na Faculdade de
Matemática, a IV Semana da Matemática.
A Semana da Matemática FAMAT – UFU representa um instrumento de divulgação
científica e propicia um intercâmbio entre os discentes da região e docentes de várias
Instituições de Ensino Superior no país. Desenvolvida junto a Faculdade de Matemática UFU, ela caracteriza-se como uma reunião regional de caráter específico que visa difundir
a Matemática como ciência, promovendo uma reflexão acerca de atividades de ensino,
pesquisa e enriquecimento curricular realizadas no âmbito da Universidade Federal de
Uberlândia.
O público alvo consiste de discentes de graduação em matemática e áreas afins, bem
como docentes do ensino fundamental, médio e superior. As atividades desenvolvidas na
Semana concentram-se na apresentação de palestras, minicursos técnicos, seções de
apresentação de trabalhos de iniciação científica, relatos de experiências e oficinas.
A comissão organizadora da IV Semana foi composta pelos seguintes membros:
Prof. Jocelino Sato (UFU): Coordenador.
Prof. Edson Agustini (UFU): Membro da comissão.
Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (UFU): Membro da comissão.
Prof. Luiz Alberto Duran Salomão (UFU): Membro da comissão.
Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice (UFU): Membro da comissão.
Prof. Walter dos Santos Motta Junior (UFU): Membro da comissão.
A Famat em Revista parabeniza toda a comissão organizadora do evento, bem como
aos alunos do DAMAT e do PET que colaboraram de forma decisiva para o bom êxito
desta atividade.
B) II CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA
Teve início em 18/02/2005, na Faculdade de Matemática, o II Curso de Especialização
em Estatística, sob a coordenação do Prof. Marcelo Tavares. Os objetivos do curso são:
promover a melhoria do desempenho profissional dos professores capacitando-os para a
adoção de novos métodos e técnicas de ensino; propiciar aos docentes condições de
aprofundamento nas disciplinas de Estatística; oferecer condições básicas para os
profissionais de diversas áreas à análise de dados e atividades de pesquisa; preparar novos
professores para o ensino superior.
C) PREMIAÇÃO
O nosso ex-aluno Vinícius Vieira Fávaro recebeu os seguintes prêmios:
• Prêmio Desempenho Acadêmico 2004, outorgado pelo IMECC-UNICAMP pelo
seu excelente desempenho acadêmico no programa de Mestrado em Matemática
no biênio 2003-2004. Data: 5 de outubro de 2004.
•
Prêmio Genésio de Melo Pereira, outorgado pelo Conselho Universitário da UFU
por Ter tido melhor desempenho acadêmico entre todos os graduados nos cursos
de ciências exatas e tecnologia da UFU no ano de 2003. O prêmio foi entregue ao
Vinícius em sessão do Conselho Universitário realizada no dia 26/11/2004.
Ainda com relação ao Vinícius, cumpre ressaltar que ele ficou classificado em 1o lugar
no processo de concessão de bolsas de doutorado no IMECC-UNICAMP no início deste
ano.
PARABENS VINÍCIUS, PELO SEU ÓTIMO DESEMPENHO!!!
D) NOSSOS ALUNOS EM PROGRAMA DE MESTRADO
Ingressaram em programas de mestrado neste semestre os seguintes alunos:
• Rafael Peixoto, Programa de mestrado do IMECC- UNICAMP.
• Carlos Alberto Silva Júnior, Programa de mestrado do IMECC- UNICAMP.
• Vagner Rodrigues de Bessa, Programa de mestrado da UnB.
E) NOSSOS ALUNOS EM CONGRESSOS
Segue abaixo a relação de alunos da FAMAT que participaram de congressos, com
apresentação de trabalhos.
Evento: IV Semana de Matemática - FAMAT-UFU - 29 e 30 de Setembro e 1o de
Outubro de 2004.
•
Anselmo A. de A. Oliveira e Uziel P. da Silva: A Transcendência do número e , sob a
orientação do Prof. Edson Agustini.
•
Carolina Fernandes Molina Sanchez: Modelagem matemática para o crescimento de
peixes, sob a orientação da Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice.
•
Cecília Pereira Andrade: Anéis de Valorização, sob a orientação do Prof. Cícero
Fernandes de Carvalho.
•
Éliton Meireles de Moura: Aplicações com equações de diferenças: progressão
geométrica e solução de equação do terceiro grau, sob a orientação da Profa. Rosana
Sueli da Motta Jafelice.
•
Fernanda Bonuti e Camila Afonso Bernardes: Estimativas de herdabilidade em
pimentão, sob a orientação dos Prof. Marcelo Tavares com a colaboração do Prof.
Ednaldo Carvalho Guimarães.
•
Fernanda Bonuti e Camila Afonso Bernardes: Delineamento em blocos aumentados:
uma alternativa na análise de experimentos de campo, sob a orientação dos Prof.
Marcelo Tavares com a colaboração do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães.
•
Fernando da Costa Barbosa: Informática na educação matemática, sob a orientação do
Prof. Arlindo José de Souza Júnior.
•
Deive Barbosa Alves, Fernando da Costa Barbosa, Mateus Nogueira Baptista,
Vanessa de Paula Cintra, Marcelo Narciso Faria (FACOM), Rivelino Rodrigues Flôr
(FACOM): Educação Matemática e a Produção de Objetos de Aprendizagem, sob a
orientação dos Profs. Arlindo José de Souza Júnior (FAMAT) e Carlos Roberto Lopes
(FACOM).
•
Flávia Cristina Martins Queiroz e Silvio Luiz Andreozi: Análise gráfica da qualidade
de uma prova, uma aplicação dos recursos gráficos do software R, sob a orientação
do Prof. Heyder Diniz Silva.
•
Flaviano B. Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues: Modelagem matemática de
janelas, sob a orientação do Prof. Edson Agustini.
•
Franciele Alves da Silveira Gonzaga e Gabriella de Freitas Alves: Variabilidade
espacial do ph e da saturação de bases do solo em experimentação de campo, sob a
orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães com a colaboração dos Profs.
Heyder Diniz Silva e Marcelo Tavares.
•
Franciele Alves da Silveira Gonzaga e Gabriella de Freitas Alves: Dependência
espacial da produção e da altura de plantas em experimentação de campo com milho
híbrido, sob a orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães com a colaboração
dos Profs. Heyder Diniz Silva e Marcelo Tavares.
•
Hélen Cristina de Freitas e Angélica Silva de Sousa: Um enfoque computacional da
criptografia RSA, sob a orientação do Prof. Edson Agustini.
•
Jairo Menezes e Souza: Funções e aplicações polinomiais, sob a orientação do Prof.
Cícero Fernandes de Carvalho.
•
Rafael Siqueira Cavalcanti: Retas, planos e sistemas lineares, sob a orientação do
Prof. Edson Agustini.
•
Gisliane Alves Pereira e Sandreane Poliana Silva: Um modelo de desenvolvimento do
pensamento geométrico, sob a orientação do Prof. Walter dos Santos Motta Júnior.
•
Vanessa de Paula Cintra, Daniela Rodrigues Lopes: Web Quest de Estatística no
ensino médio e fundamental, sob a orientação dos Profs. Arlindo José de Souza Júnior
e Heyder Diniz Silva.
Evento: 2a Bienal da SBM - 25 a 29 de Outubro de 2004
•
Carlos Alberto da Silva Junior: Ajuste de Curvas e Sistemas Mal-condicionados, sob
orientação do Prof. César Guilherme de Almeida.
•
Carolina Fernandes Molina Sanchese Rosinês Luciana da Motta: Modelagem
Matemática no Crescimento de Espécies Aquáticas, sob orientação da Profa. Rosana
Sueli da Motta Jafelice.
•
Cecília Pereira de Andrade: Módulos de Frações, sob a orientação do Prof. Cícero
•
Fabiana Alves Calazans: Os sistemas numéricos da Matemática, sob a orientação do
Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho.
•
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues: Otimização de janelas e
software Cabri-Géomètre II, sob orientação do Prof. Edson Agustini.
•
Gisliane Alves Pereira e Sandreane Poliana Silva: Percepções geométricas: atividades
relacionadas aos níveis básicos do modelo de van Hiele, sob orientação do Prof.
Walter dos Santos Motta Junior.
•
Leandro Cruvinel Lemes e Maksuel Andrade Costa: O quinto postulado de Euclides,
sob orientação do Prof. Antonio Carlos Nogueira.
•
Leonardo Gomes: Abordagem Geométrica de Equações Diferenciais Parciais de
Primeira Ordem, sob a orientação do Prof. Valdair Bonfim.
•
Mirian Fernandes Carvalho: Análise de sazonalidade da precipitação pluviométrica
mensal em Uberlândia - MG, utilizando função autocorrelação e densidade espectral,
sob orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães.
•
Rafael Peixoto: Configurações geométricas na esfera, sob orientação do Prof. Walter
dos Santos Motta Junior.
•
Vagner Rodrigues de Bessa: O Grupo Fundamental, sob orientação do Prof. Antonio
Carlos Nogueira.
•
Wagner Frasseto: A equação de Pell, sob orientação do Prof. Cícero Fernandes de
Carvalho.
•
Jairo Menezes de Souza: A Topologia de Zaríski, sob orientação do Prof. Cícero
Fernandes Carvalho.
Evento: 12o SIICUSP - 12o Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP 25 e 26 de Novembro de 2004
•
Vagner Rodrigues de Bessa: apresentando o trabalho intitulado O grupo fundamental
do círculo e aplicações, sob a orientação do Prof. Antonio Carlos Nogueira.
•
Leandro Cruvinel Lemes e Maksuel Andrade Costa: apresentando o trabalho
Introdução à geometria hiperbólica, sob a orientação do Prof. Antonio Carlos
Nogueira.
•
Cecília Pereira de Andrade e Jairo Menezes de Sousa: apresentando o trabalho O lema
de Nakayama, sob a orientação do Prof. Cícero Fernandes de Carvalho.
•
Cecília Pereira de Andrade e Jairo Menezes de Sousa: apresentando o trabalho
Interpretação Geométrica da Normalização de Noether, sob a orientação do Prof.
Cícero Fernandes de Carvalho.
•
Carlos Alberto da Silva Jr.: apresentando o trabalho Isometrias entre os modelos
euclidianos de Poincaré e de Klein para a Geometria Hiperbólica, sob a orientação do
Prof. Edson Agustini.
•
Flaviano Bahia Paulinelli Vieira e Laís Bássame Rodrigues: apresentando o trabalho
O Problema da Braquistócrona, sob a orientação do Prof. Edson Agustini.
•
Anselmo Ângelo de Almeida Oliveira e Uziel Paulo da Silva: apresentando o trabalho
Números transcendentes famosos: número e, número pi e números de Liouville, sob a
orientação do Prof. Edson Agustini.
•
Gabriella de Freitas Alves e Franciele Alves da Silveira Gonzaga: apresentando o
trabalho Tendência em dados experimentais e suas implicações no ajuste de
semivariogramas, sob a orientação do Prof. Ednaldo Carvalho Guimarães.
•
Fabiana Alves Calazans: apresentando o trabalho Construção de Polígonos Regulares,
sob a orientação do Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho.
•
Éder Lúcio da Fonseca: apresentando o trabalho As propriedades das Tangentes às
Cônicas e suas Aplicações em Tecnologias, sob a orientação do Prof. Jocelino Sato.
•
Helen Cristina Vieira Freitas: apresentando o trabalho Estabilidade de Superfícies
Mínimas, sob a orientação do Prof. Jocelino Sato.
•
Carolina Fernandes Molina Sanches e Rosinês Luciana da Motta: apresentando o
trabalho Solução de Equação Diferencial: Crescimento de uma Espécie Aquática, sob
a orientação da Prof.ª Rosana Sueli da Motta Jafelice.
•
Danilo Adrian Marques e Eder Lucio da Fonseca: apresentando o trabalho Aplicações
de Geometria e Análise em Balística, sob a orientação do Prof. Valdair Bonfim.
•
Leonardo Gomes: apresentando o trabalho Tópicos em Espaços de Hilbert e
Aplicações, sob a orientação do Prof. Valdair Bonfim.
•
Rafael Peixoto: apresentando o trabalho O teorema de Borsuk-Ulam, sob a orientação
dl Prof. Walter dos Santos Motta Júnior.
•
José Eustáquio Ferreira: apresentando o trabalho Coloração de Poliedros, sob a
orientação do Prof. Walter dos Santos Motta Júnior.
Evento: Jornadas de Iniciação Científica no IMPA - Rio de Janeiro, 8 a 12 de
novembro de 2004
•
Jairo Menezes e Souza: Variedades algébricas afins, sob a orientação do Prof. Cícero
Cumpre salientar a grande quantidade de trabalhos apresentados por nossos alunos
apenas no período de Setembro a Novembro de 2004: foram 47 trabalhos ao todo e,
sem dúvida, trabalhos de qualidade.
F) Parabenizamos o Prof. Daniel Oliveira Veronese pela defesa de sua dissertação de
mestrado, intitulada Convergência de Certas Fórmulas de Quadratura, no dia
24/02/2005, no IBILCE - UNESP/São José do Rio Preto.
G) A Profa. Ana Marta de Souza teve aprovada a defesa de sua tese de doutoramento Análise
Numérica da Transição à Turbulência em Escoamentos de Jatos Circulares Livres, no dia
08/04/2005. Parabéns, Ana Marta!!!!
H) Participação em Congressos: Destacamos a seguir a participação freqüente de nossos
docentes em congressos nacionais e internacionais.
•
O Prof. Arlindo José de Souza Júnior participou, no período de 13 a 16 de Setembro
de 2004, do XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada e
Computacional), realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou o
trabalho Trabalho de projetos e modelagem matemática: uma aproximação possível?
•
O Prof. Daniel Oliveira Veronese participou, no período de 13 a 16 de Setembro de
2004, do XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada e
Computacional), realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou o
trabalho Convergência de certas fórmulas de quadratura interpolatória.
•
A Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice participou, no período de 13 a 16 de
Setembro de 2004, do XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada
e Computacional), realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou o
trabalho Modelo de evolução da população HIV sintomática com tratamento.
•
O Prof. Edson Agustini participou, no período de 13 a 16 de Setembro de 2004, do
XXVII CNMAC (Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional),
realizado na FAMAT/PUCRS, em Porto Alegre, onde apresentou o trabalho Códigos
sobre Bitoros.
•
O Prof. César Guilherme de Almeida participou, no período de 25 a 29 de Outubro de
2004, da II Bienal da SBM, na Universidade Federal da Bahia, em Salvador, onde
ministrou, juntamente com o aluno Carlos Alberto Silva Júnior, o mini-curso
Geometria, Modelagem Matemática e o Software Octave.
•
O Prof. Walter dos Santos Motta Júnior participou, no período de 25 a 29 de Outubro
de 2004, da II Bienal da SBM, na Universidade Federal da Bahia, em Salvador, onde
apresentou a conferência Duas estruturas matemáticas correlatas.
•
A Profa. Sezimária de Fátima Pereira Saramago participou, no período de 10 a 12 de
Novembro de 2004, do XXV CILAMCE (Iberian Latin American Congress on
Computacional Methods), em Recife-Pe, onde apresentou o trabalho Estudo
comparativo de alguns métodos de otimização multi-objetivo.
•
O Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho participou, no período de 24 a 27 de
Novembro de 2004, do 60o Seminário Brasileiro de Análise, no Instituto de
Matemática e Estatística da UERJ, no Rio de Janeiro, onde apresentou o trabalho
Scalar-valued dominated polynomials nos Banach spaces.
•
O Prof. Márcio José Horta Dantas participou, no período de 24 a 27 de Novembro de
2004, do 60o Seminário Brasileiro de Análise, no Instituto de Matemática e Estatística
da UERJ, no Rio de Janeiro, onde apresentou o trabalho Existence of periodic orbits in
non-autonomous dynamical systems with nilpotent linear part and non-ideal
problems.
•
O Prof. Arlindo José de Souza Júnior participou, no período de 13 a 15 de Dezembro
de 2004, do III Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional, na
Universidade da Amazônia, em Belém-PA, onde ministrou o mini-curso Informática e
modelagem matemática.