MA14 - Aritmética .2cm Unidade 10 Resumo .5cm Pequeno

MA14 - Aritmética
Unidade 10
Resumo
Pequeno Teorema de Fermat
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 7 - Seção 7.3
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
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A demonstração do Teorema de Fermat se baseia no lema a seguir.
Lema
p
Seja p um número primo. Os números
, onde 0 < i < p, são
i
todos divisı́veis por p.
Teorema (Pequeno Teorema de Fermat)
Dado um número primo p, tem-se que p divide o número ap − a,
para todo a ∈ Z.
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Exemplo
Dado um número qualquer n ∈ N, tem-se que n9 e n, quando
escritos na base 10, têm o mesmo algarismo da unidade.
A afirmação acima é equivalente a 10|n9 − n.
Como n9 e n têm a mesma paridade, segue-se que n9 − n é par;
i.e, 2|n9 − n.
Por outro lado,
n9 − n = n(n4 − 1)(n4 + 1) = (n5 − n)(n4 + 1).
Logo, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que 5|n5 − n e,
portanto, 5|n9 − n.
Tem-se, então, que 10|n9 − n.
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Corolário
Se p é um número primo e se a é um número inteiro não divisı́vel
por p, então p divide ap−1 − 1.
O corolário acima é também chamado de Pequeno Teorema de
Fermat.
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Exercı́cios Resolvidos
1. Mostre que 5 | a12 − 1, se a ∈ Z e (a, 5) = 1.
Solução
Como 5 | a4 − 1 e a4 − 1 | (a4 )3 − 1 = a12 − 1 então, pela
transitividade da divisibilidade, 5 | a12 − 1.
2. Mostre que 7 | a6 − b 6 , se a e b são inteiros primos com 7.
Solução
Como 7 | a6 − 1 e 7 | b 6 − 1 então, por
da
propriedade
6
6
6
6
divisibilidade, 7 | (a − 1) − (b − 1) = a − b .
3. Mostre que 21 | a6 − b 6 , se a e b são inteiros primos com 21.
Solução
Neste caso, a e b são primos com 3 e 7. Pelo exercı́cio anterior,
7 | a6 − b 6 . Como 3 | a2 − 1 e 3 | b 2 − 1 então, por propriedade da
divisibilidade, 3 | (a2 − 1) − (b 2 − 1) = a2 − b 2 . Além disso,
a2 − b 2 divide (a2 )3 − (b 2 )3 = a6 − b 6 . Portanto, 3 | a6 − b 6 .
Logo, 21 | a6 − b 6 .
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