2.4 e 2.5 Limites laterais e limites envolvendo o infinito

Cálculo Diferencial e Integral I – CDI I
Limites laterais e limites envolvendo o infinito
Luiza Amalia Pinto Cantão
[email protected]
Limites
1 Limites Laterais
a à diretia
b à esquerda
c Definição precisa de limites laterais
sen θ
θ
3 Limites finitos quando x → ±∞
2 Limites envolvendo
4 Limites no infinito de funções racionais
a Assı́ntotas horizontais e verticais
b Assı́ntotas obı́quas
Introdução
Limites laterais e limites envolvendo o infinito:
• Limites Laterais: os limites quando x se aproxima do número x0 pela
esquerda (x < x0) ou pela direita (x > x0) apenas.
• Limites envolvendo o infinito: análise gráfica de funções racionais
e de funções que apresentam comportamento de limite à medida que
x → ±∞.
Limites Laterais
Ideia: Para termos lim f (x) = L, f (x) deve ser definida em ambos os lados
x→x0
de x0 e seus valores f (x) devem se aproximar de L quando x se aproxima
de x0 de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais
Se f (x) não tem um limite bilateral em x0, ainda pode ter um limite lateral,
ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado.
x
?
x→0 |x|
Qual o comportamento do limite quando lim
Limite lateral à direita
Ideia : Se f (x) é definica num intervalo (x0, x0 + δ), onde x0 < x0 + δ e se
f (x) fica arbritariamente próximo de L conforme x se aproxima de x0 nesse
intervalo, então f tem limite lateral à direita L em x0. Escrevemos:
lim f (x) = L
x→x+
o
“x → x+o ” significa que consideramos apenas valores de x maiores que x0.
Assim,
x
lim+
=1
x→0 |x|
Limite lateral à esquerda
Analogamente: Se f (x) é definido num intervalo (x0 − δ, x0), onde x0 − δ <
x0 e se f (x) fica arbritariamente próximo de M , conforme x se aproxima
de x0 nesse intervalo, então f tem limite lateral à esquerda M em x0.
Escrevemos:
lim f (x) = M
x→x−
o
“x → x−o ” significa que consideramos apenas valores de x menores que x0.
Assim,
x
lim−
= −1
x→0 |x|
√
1¯◦ Exemplo: Considere f (x) = r2 − x2. Analise os limites laterais em r e
−r.
Teorema
Teorema: Uma função f (x) terá um limite quando x se aproxima de x0 se e
somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda, e os dois limites
laterais forem iguais:
lim f (x) = L ⇐⇒ lim+ f (x) = L
x→0
x→0
2¯◦ Exemplo: Seja
f (x) =
e
lim f (x) = L
x→0−

3 − x, x < 2






2, x = 2
x
, x>0
2
Determine:
a) lim+ f (x)
d) Existe lim f (x) ?
b) lim− f (x)
e) Se existe, qual ?
f) Se não, por quê?
x→2
x→2
c) f (2)
x→2
Definição precisa de limites laterais
Limites à direita e à esquerda: Dizemos que f (x) tem um limite à direita L em x0 e escrevemos
lim+ f (x) = L
x→x0
se para qualquer número > 0 existe um número correspondente δ > 0, de
maneira que, para todos os valores de x,
x0 < x < x 0 + δ
=⇒
|f (x) − L| < .
Dizemos que f (x) tem um limite à esquerda L em x0 e escrevemos
lim f (x) = L
x→x−
0
se para qualquer número > 0 existe um número correspondente δ > 0, de
maneira que, para todos os valores de x,
x0 − δ < x < x0
=⇒
|f (x) − L| < .
Limites laterais à direita — Ilustração Gráfica
Limites laterais à esquerda — Ilustração Gráfica
Exemplos
3¯◦ Exemplo: Calcule os limites abaixo:
√
√
2x(x − 1)
2x(x − 1)
b) lim−
a) lim+
x→1
x→1
|x − 1|
|x − 1|
4¯◦ Exemplo: y = sen
1
x
sen(θ)
Limite envolvendo
θ
Ideia: Medindo em radianos, seu limite quando θ → 0 é 1.
Teorema:
sen θ
=1
θ→0
θ
lim
(θ em radianos )
5¯◦ Exemplo: Calcule os limites abaixo:
1 − cos x
x→0
x2
a) lim
sen 3x
x→0
x
b) lim
Limite quando x → ±∞
∞: O sı́mbolo para o infinito ∞ não representa um número real. Representa
o comportamento de uma função quando os valores em seu domı́nio ou
imagem ultrapassam qualquer limitante.
Definição: 1. Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende ao infinito
e escrevemos:
lim f (x) = L
x→∞
se, para cada número > 0, existe um número M correspondente tal
que, para todos os valores de x,
x > M =⇒ |f (x) − L| < 2. Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende a menos infinito e
escrevemos:
lim f (x) = L
x→−∞
se, para cada número > 0, existe um número N correspondente tal
que, para todos os valores de x,
x < N =⇒ |f (x) − L| < 1
Gráfico da função f (x) =
x
f (x) =
1
x
6¯◦ Exemplo: Demonstre que
1
=0
x→∞ x
a) lim
1
=0
x→−∞ x
a) lim
Leis do limite quando x → ±∞
Teorema: Se L, M e k são números reais e
lim f (x) = L
x→±∞
e
lim g(x) = M
x→±∞
então
1. Regra da soma lim f (x) + g(x) = L + M ;
x→±∞
2. Regra da diferença: lim f (x) − g(x) = L − M ;
x→±∞
3. Regra do produto: lim f (x) · g(x) = L · M ;
x→±∞
4. Regra da multiplicação por constante: lim (k · f (x)) = k · L;
x→±∞
f (x)
L
= , M 6= 0;
x→±∞ g(x)
M
6. Regra da potenciação: Se rr e s são inteiros e não têm fatores comuns,
r
r
s 6= 0, então: lim (f (x)) s = L s ; desde que L s seja um número real.
5. Regra do quociente: lim
x→±∞
7¯◦
Exemplo: Aplique as regras para limites quando x → ±∞
√
1
e
a) lim π +
b)
lim
x→∞
x→∞ x3
x
Limites no infinito de funções racionais
P (x)
, podemos dividir o numerador e o denominador
x→±∞ Q(x)
pela maior potência de x que aparece no denominador.
Idea: Para calcular lim
8¯◦ Exemplo: Numerador e denominador de mesmo grau:
2x2 − 5
lim
;
x→±∞ 3x2 + x + 2
9¯◦ Exemplo: Grau (numerador) < grau (denominador):
2x2 − 5
;
lim
x→±∞ 3x4 + x + 2
10¯◦ Exemplo: Grau (numerador) > grau (denominador):
2x3 − 5
lim
;
x→±∞ 3x2 + x + 2
Assı́ntotas Horizontais e Verticais
1
Idea: Vejamos a seguinte função f (x) = . Note que:
x
1
1
= 0 e lim
= 0.
x→∞ x
x→−∞ x
Nesse caso dizemos que y = 0 é uma assı́ntota horizontal de f (x).
1
1
ii) lim+ = +∞ e lim− = −∞.
x→0 x
x→0 x
Nesse caso dizemos que x = 0 é uma assı́ntota vertical de f (x).
i) lim
Definição de Assı́ntotas Horizontais e Verticais
Definição: A reta y = b é uma assı́ntota horizontal de y = f (x) se:
lim f (x) = b
x→∞
ou
lim f (x) = b
x→−∞
A reta x = a é uma assı́ntota vertical de y = f (x) se:
lim f (x) = ±∞
x→a+
ou
lim f (x) = ±∞
x→a−
Exexmplo e Assı́ntotas Obı́quas
11¯◦ Exemplo: Encontre as assı́ntotas do gráfico y =
x+3
.
x+2
Assı́ntota Oblı́quas: Caso numerador de uma função tenha um grau maior do
que o denominador, o gráfico apresentará uma assı́ntota oblı́qua (inclinada).
Encontramos uma equação para a assı́ntota dividindo o numerador pelo
denominador para expressar f como uma função linear mais um resto que é
igual a zero quando x → 0.
12¯◦
x2 − 4
Exemplo: Encontre as assı́ntotas do gráfico y =
.
x−1
Definição precisa de limites infinitos
Definição:
1. Dizemos que f (x) tende ao infinito quando x tende a x0 e escrevemos
lim f (x) = ∞
x→x0
se para cada número real positivo B existe um δ > 0 correspondente tal
que para todo x
0 < |x − x0| < δ
=⇒
f (x) > B
2. Dizemos que f (x) tende a menos infinito quando x tende a x0 e
escrevemos
lim f (x) = −∞
x→x0
se para cada número real negativo −B existe um δ > 0 correspondente
tal que para todo x
0 < |x − x0| < δ
=⇒
f (x) > −B
Definição precisa de limites infinitos — Graficamente
Assı́ntota Vertical
Definição: Uma reta x = a é uma assı́ntota vertical do gráfico de uma
função y = f (x) se
lim f (x) = ±∞
x→a+
e
lim f (x) = ±∞
x→a−
Assı́ntotas não bilaterais: y = ex e y = ln x
Curvas com infinitas assı́ntotas