Comparação entre a modelagem numérica e - LMC

Transcrição

CÁSSIO DIAS COUTO SAMPAIO
COMPARAÇÃO ENTRE A MODELAGEM
NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DA
DEFORMAÇÃO POR FLUÊNCIA EM
VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Dissertação apresentada à Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo para obtenção
do Título de Mestre em Engenharia
São Paulo
2004
CÁSSIO DIAS COUTO SAMPAIO
COMPARAÇÃO ENTRE A MODELAGEM
NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DA
DEFORMAÇÃO POR FLUÊNCIA EM
VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Dissertação apresentada à Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo para obtenção
do Título de Mestre em Engenharia.
Área de Concentração:
Engenharia de Estruturas
Orientador:
Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt
São Paulo
2004
FICHA CATALOGRÁFICA
Sampaio, Cássio Dias Couto
Comparação entre a modelagem numérica e experimental da
deformação por fluência em vigas de concreto armado. São Paulo, 2004.
146p.
Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo. Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações.
1.Fluência 2.Concreto 3. Método dos Elementos Finitos - modelagem
I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de
Engenharia de Estruturas e Fundações II.t.
i
Este trabalho é dedicado aos meus
pais Castriciano e Josefa, e aos meus
irmãos Priscilla, Castriciano e Fernando.
ii
“Umas das coisas mais importantes da vida não é ter
tudo o que se quer e sim querer bem tudo o que se tem,
pois mais importante que se ter, é saber manter”.
(Autor desconhecido)
iii
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por toda sua bondade manifestada ao longo desse
caminho percorrido e por tudo que me deu nesta vida gloriosa;
A todos os meus professores, especialmente ao amigo e professor Túlio
Nogueira Bittencourt, pela orientação, dedicação e importante apoio à realização
deste trabalho;
Ao professor e amigo Antonio Domingues de Figueiredo pelo apoio e
interesse demonstrado e pelas criticas e sugestões no sentido de enriquecer o presente
trabalho;
Aos amigos do Laboratório de Mecânica Computacional (LMC),
especialmente ao Aderson, Adriane, André Brabo, André Gamino, André Müller,
Carla Costa, Carlos Roberto, Christian, Edilon, Eduardo Campello, Eduardo Prado,
Eri, Fernanda, Franz, Henrique, José Cristiano, Leandro, Lourival, Mauren, Ricardo,
Telmo, Vicente, Wayne e Weber por toda ajuda, amizade e companheirismo;
Aos funcionários PEF (Departamento de Engenharia de Estruturas e
Fundações), especialmente as secretarias Marly e Márcia por toda amizade,
dedicação e apoio proporcionado;
A todos os funcionários da biblioteca da Engenharia Civil, especialmente a
Vilma e a Fátima pela ajuda e pela boa vontade prestada no decorrer deste trabalho;
Ao LMC, do PEF/EPUSP (Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo), pelas instalações físicas e equipamentos fornecidos;
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES), pelo apoio financeiro proporcionado por meio do programa de bolsas;
iv
Aos meus amados pais, Castriciano e Josefa, e irmãos, Priscilla, Castriciano
e Fernando pelo apoio, amor, carinho e todo incentivo prestado neste e em todos os
momentos da minha vida;
A todos os meus familiares pelo incentivo e amor em todos os momentos da
minha vida;
A minha namorada Camila Santos pelo companheirismo, compreensão,
amor e por todo apoio dedicado em todos os momentos;
A todos os meus amigos de Belém e de São Paulo, especialmente ao meu
cunhado Haroldo Amorim por todo incentivo prestado.
v
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................................ VIII
LISTA DE TABELAS .............................................................................................................................. XI
RESUMO ............................................................................................................................................. XII
ABSTRACT ......................................................................................................................................... XIII
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................ 1
1.1. OBJETIVOS ................................................................................................................... 2
1.2. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................. 3
1.3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ........................................................................................... 4
2. TIPOS DE DEFORMAÇÕES NO CONCRETO ................................................. 6
2.1. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ............................................................................................. 8
2.2. DEFORMAÇÃO PLÁSTICA ............................................................................................. 8
2.3. DEFORMAÇÃO LENTA OU FLUÊNCIA ........................................................................... 9
2.3.1. Reversibilidade................................................................................................. 12
3. FATORES QUE AFETAM A FLUÊNCIA NO CONCRETO .............................. 16
3.1. MATERIAIS E DOSAGEM............................................................................................. 16
3.2. UMIDADE DO AR E TEMPERATURA ............................................................................ 18
3.3. ADIÇÕES E ADITIVOS ................................................................................................. 20
3.4. GEOMETRIA DA PEÇA ................................................................................................ 21
3.5. INTENSIDADE DO CARREGAMENTO ........................................................................... 22
3.6. EFEITO DA FLUÊNCIA SOBRE AS ESTRUTURAS .......................................................... 22
4. MODELOS REOLÓGICOS ............................................................................ 24
4.1. VISCOELASTICIDADE ................................................................................................. 25
4.2. MODELOS REOLÓGICOS BÁSICOS .............................................................................. 26
4.2.1. Modelo Viscoelástico de Maxwell .................................................................. 28
4.2.2. Modelo Viscoelástico de Kelvin-Voigt............................................................ 29
4.2.3. Modelo Viscoelástico de Três Parâmetros ....................................................... 31
4.2.4. Modelo Viscoelástico de Burger ...................................................................... 32
vi
5. FUNÇÃO DE FLUÊNCIA E COEFICIENTE DE FLUÊNCIA ............................. 35
5.1. MÉTODOS PARA A ANÁLISE DA FLUÊNCIA ................................................................ 40
5.2. MÉTODOS ALGÉBRICOS.............................................................................................. 40
5.2.1. Método Incremental ......................................................................................... 41
5.2.2. Método do Módulo Efetivo .............................................................................. 41
5.2.3. Método de Trost-Bazãnt................................................................................... 42
5.3. MÉTODOS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ................................................................... 43
5.3.1. Método de Dischinger ou Método da Razão de Fluência ............................... 43
5.3.2. Método da Razão de Fluência Lenta Irreversível ............................................ 44
5.3.3. Método de Dischinger Melhorado.................................................................... 45
6. MODELO DE FLUÊNCIA - NBR 6118/2003............................................... 47
6.1. FORMULAÇÃO PROPOSTA PELA NBR 6118/2003...................................................... 47
6.2. EFEITO DO TEMPO NO CONCRETO ESTRUTURAL - NBR 6118/2003 ......................... 49
6.3. EFEITO DA PERDA DE RIGIDEZ DEVIDO A FISSURAÇÃO NO CONCRETO .................... 56
6.3.1. Elementos Lineares Sujeitos a Solicitações Normais – ELS............................ 56
6.3.2. Estado Limite de Deformação.......................................................................... 57
6.3.3. Avaliação Aproximada da Flecha em Vigas .................................................... 57
6.3.4. Flecha Imediata em Vigas de Concreto Armado.............................................. 58
6.3.5. Cálculo da Flecha Diferida no Tempo Para Vigas de Concreto Armado......... 59
6.4. ENSAIO PARA A DETERMINAÇÃO DA FLUÊNCIA EM CONCRETO ENDURECIDO - NBR
8224/1983................................................................................................................... 60
6.4.1. Formas e Dimensões dos Corpos-de-Prova ..................................................... 61
6.4.2. Preparação dos Corpos-de-Prova ..................................................................... 61
6.4.3. Cura dos Corpos-de-Prova .............................................................................. 63
6.4.4. Aparelhagem .................................................................................................... 63
6.4.5. Execução do Ensaio ......................................................................................... 64
7. AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA FLUÊNCIA EM VIGAS DE CONCRETO
ARMADO ................................................................................................... 66
7.1. FLUÊNCIA NA TRAÇÃO .............................................................................................. 67
7.2. REALIZAÇÃO DO ENSAIO EXPERIMENTAL................................................................. 70
vii
7.3. LIMITAÇÕES DO MODELO EXPERIMENTAL ................................................................ 78
8. SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA FLUÊNCIA ........................................ 83
8.1. CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA SEGUNDO O MEF ..................................................... 84
8.1.1. Formulação do MEF Para Análise da Fluência em Estruturas......................... 84
8.1.2. Um Modelo Linear de Envelhecimento ........................................................... 87
8.2. MODELO DE FLUÊNCIA DO ADINA ........................................................................... 88
8.3. MODELO DE FLUÊNCIA DO DIANA ........................................................................... 91
8.3.1. Modelo de Fluência para o Concreto Segundo o CEB-FIB 1990 .................... 91
8.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO ADINA ............................ 95
8.4.1. Modelagem da Estrutura .................................................................................. 95
8.5. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO DIANA ............................ 97
8.5.1. Modelagem da Estrutura .................................................................................. 98
8.6. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO ADINA ................................ 100
8.7. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO DIANA ................................ 103
9. COMPARAÇÃO ENTRE OS
RESULTADOS
EXPERIMENTAIS E
NUMÉRICOS ............................................................................................ 109
9.1. COMPARAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTOS ................................................................ 109
9.2. COMPARAÇÃO ENTRE DEFORMAÇÕES .................................................................... 121
10. CONCLUSÕES.......................................................................................... 126
10.1. PROPOSTAS PARA FUTUROS TRABALHOS ............................................................. 128
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 129
ANEXO 1 – TABELA DE RESULTADOS ............................................................ 133
ANEXO 2 – CÁLCULO DA FLUÊNCIA PELA NBR 6118/2003 ............................. 135
ANEXO 3 – CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DAS VIGAS .......................................... 142
viii
LISTA DE FIGURAS
CAPÍTULO 2
Figura 2.1
– Curvas tensão-deformação da pasta de cimento, do agregado e do concreto ........ 06
Figura 2.2
– Representação esquemática dos resultados de um ensaio de deformação lenta .... 10
Figura 2.3
– Deformação dependente do tempo em concreto submetido à carga mantida ........ 11
Figura 2.4
– Exemplo do princípio de McHenry da superposição de deformações................... 13
Figura 2.5
– Reversibilidade da retração por secagem .............................................................. 14
Figura 2.6
– Reversibilidade da fluência ................................................................................... 14
CAPÍTULO 3
Figura 3.1
– Fluência de concretos com diversos agregados com a mesma proporção
carregados à idade de 28 dias. ............................................................................... 18
Figura 3.2
– Fluência em concretos carregados e mantidos em diferentes umidades
relativas ................................................................................................................. 19
Figura 3.3
– Influência do tamanho da peça e da umidade relativa no coeficiente de
fluência. ................................................................................................................. 21
CAPÍTULO 4
Figura 4.1(a) – Representação esquemática do elemento reológico mola...................................... 25
Figura 4.1(b) – Representação esquemática do elemento reológico amortecedor.......................... 25
Figura 4.2
– Curva de deformação-tempo no elemento de mola para fluência.......................... 27
Figura 4.3
– Curva de deformação-tempo no amortecedor para um ensaio de fluência ............ 28
Figura 4.4
– Representação do modelo viscoelástico de Maxwell............................................. 28
Figura 4.5
– Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de
Maxwell................................................................................................................. 29
Figura 4.6
– Representação do modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt. .................................... 30
Figura 4.7
Kelvin-Voigt........................................................................................................... 30
Figura 4.8
– Representação do modelo viscoelástico de Boltzmann .......................................... 32
Figura 4.9
Três Parâmetros. .................................................................................................... 32
Figura 4.10
– Representação do modelo viscoelástico de Burger................................................. 33
Figura 4.11
– Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Burger ... 34
CAPÍTULO 5
Figura 5.1
– Representação da curva de função de fluência. ..................................................... 37
Figura 5.2
– Representação da curva de coeficiente de fluência................................................ 38
ix
CAPÍTULO 6
Figura 6.1
– Variação εccf (t) .................................................................................................... 51
Figura 6.2
– Variação βf (t). ..................................................................................................... 53
Figura 6.3
– Aparelho para ensaio da fluência no concreto. ...................................................... 62
CAPÍTULO 7
Figura 7.1
– Fluência na tração e na compressão sob tensão de 9 Kg/cm2 ................................ 68
Figura 7.2
– Influência do tipo de cimento na fluência à tração para concretos ....................... 69
Figura 7.3
– Fluência na flexão ................................................................................................. 70
Figura 7.4
– Vista dos apoios das vigas experimentais............................................................... 71
Figura 7.5
– Vista da armadura posicionada na fôrma................................................................ 72
Figura 7.6
– Detalhamento das vigas estudadas ........................................................................ 72
Figura 7.7(a) – Apoio do relógio de medição sobre a chapa metálica para medida dos
deslocamentos verticais .......................................................................................... 73
Figura 7.7(b) – Cavalete de suporte do relógio de medição ............................................................ 73
Figura 7.8
– Viga após aplicação do carregamento ................................................................... 74
Figura 7.9
– Local onde foram tomadas as medidas de deslocamento e de deformação ............ 75
Figura 7.10
– Diagrama Momento-Curvatura da seção ................................................................ 76
Figura 7.11(a) – Apoio do 1º gênero................................................................................................ 79
Figura 7.11(b) – Apoio do 2º gênero ................................................................................................ 79
Figura 7.12
– Ilustração da realização do ensaio ........................................................................ 79
Figura 7.13
– Ilustração da configuração deformada após o carregamento .................................. 80
CAPÍTULO 8
Figura 8.1
– Deformação considerada pelo ADINA em uma análise unidimensional............... 89
Figura 8.2
– Modelagem da viga feita no ADINA..................................................................... 97
Figura 8.3
– Elemento quadrático CHX 60................................................................................ 99
Figura 8.4
– Modelagem da viga feita no DIANA...................................................................... 99
Figura 8.5
– Comparação das curvas de fluência do ADINA em vermelho com a curva
de fluência da NBR 6118 em azul ........................................................................ 100
Figura 8.6
– Exemplo de uma curva gerada pelo ADINA para a caracterização física do
concreto ............................................................................................................... 101
Figura 8.7
– Aplicação para o modelo de material utilizado .................................................... 102
Figura 8.8
– Caixa de entrada de dados referente ao modelo TEPMC .................................... 102
Figura 8.9
– Isobanda de deformação no ADINA .................................................................... 103
Figura 8.10
– Isobanda de deslocamento no ADINA ................................................................ 103
Figura 8.11
– Curva Tensão-Deformação definida pelo DIANA para o concreto do tipo A...... 105
Figura 8.12
– Aplicação do modelo de fissuração para o concreto no DIANA.......................... 105
x
Figura 8.13
– Aplicação do modelo de fluência do CEB pelo DIANA ..................................... 106
Figura 8.14
– Isobanda de deformação no DIANA ................................................................... 107
Figura 8.15
– Isobanda de deslocamento vertical no DIANA .................................................... 108
Figura 8.16
– Zona fissurada na viga D após 3500 dias mostrada no DIANA ........................... 108
CAPÍTULO 9
Figura 9.1
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga A ............. 110
Figura 9.2
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga B ............. 110
Figura 9.3
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga C ............. 111
Figura 9.4
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga D .............. 111
Figura 9.5
– Variação somente do módulo de elasticidade do concreto ................................... 114
Figura 9.6
– Variação somente da umidade relativa do ar ....................................................... 115
Figura 9.7
– Variação simultânea do módulo de elasticidade e da umidade do ar.................... 115
Figura 9.8
– Evolução da resistência a compressão de concretos produzidos a partir de
cimentos novos e antigos..................................................................................... 117
Figura 9.9
– Pico de deslocamento excessivo em curto intervalo de tempo ............................. 118
Figura 9.10
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga A ........... 118
Figura 9.11
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga B ........... 119
Figura 9.12
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga C ............ 119
Figura 9.13
– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga D ........... 120
Figura 9.14
– Gráfico de deslocamento-tempo para viga D com Curva Variável até 3000
dias ...................................................................................................................... 121
Figura 9.15
– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga A .............. 122
Figura 9.16
– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga B................ 122
Figura 9.17
– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga C............... 123
Figura 9.18
– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga D .............. 123
xi
LISTA DE TABELAS
CAPÍTULO 6
Tabela 6.1
– Valores característicos superiores da deformação específica de retração
εcs(t∞,t0) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞, t 0) ...................................................... 48
Tabela 6.2
– Valores da fluência e da retração em função da velocidade de
endurecimento do cimento .................................................................................... 54
Tabela 6.3
– Valores do coeficiente ξ em função do tempo ....................................................... 60
Tabela 6.4
– Limite para corpos-de-prova. ................................................................................ 61
CAPÍTULO 8
Tabela 8.1
– Coeficiente de fluência para o Modelo de Código do CEB-FIB ........................... 92
Tabela 8.2
– Dados de entrada baseados no CEB 1990 para o DIANA................................... 107
CAPÍTULO 9
Tabela 9.1
– Diferenças percentuais entre os resultados dos deslocamentos ........................... 124
xii
RESUMO
A fluência nas peças de concreto armado é apontada como uma das possíveis
causas de casos relatados de destacamentos de argamassa de revestimento e
esmagamento de fiadas em alvenaria de vedação vertical em edifícios. Os projetos
estruturais têm sido elaborados com parâmetros majoradores de deformação por
fluência, tentando minimizar a interação entre a estrutura e as alvenarias. Este
trabalho comparou o comportamento de vigas biapoiadas de concreto armado
submetidas ao fenômeno da fluência, modeladas pelo Método dos Elementos Finitos
(MEF) e calculadas tendo como referência a NBR6118 com vigas ensaiadas
experimentalmente. Foram analisados quatro grupos de vigas denominados A, B, C e
D com características geométricas iguais, porém com propriedades físicas diferentes.
As modelagens foram realizadas nos programas ADINA e DIANA, com modelos
tridimensionais. Foram consideradas as tensões de compressão para o estudo do
fenômeno. As vigas têm seção transversal retangular, têm comprimento longitudinal
de 6m e apenas as armaduras longitudinais são consideradas. O carregamento foi
considerado concentrado e aplicado no meio do vão com valor de 2 kN, sendo que
nas análises também foi considerado o peso próprio das vigas. Os principais
parâmetros considerados na modelagem das vigas foram: a) período para o estudo da
fluência de 140 dias; b) consideração da parcela de não-linearidade física do
material, caracterizando a perda de rigidez em sua seção transversal. A avaliação foi
realizada comparando os resultados obtidos na modelagem numérica com dados
obtidos a partir de ensaios experimentais disponíveis na literatura e, também, com
resultados providos a partir de cálculos baseados na NBR 6118/2003. Pode-se
concluir que comparadas, todas as curvas apresentaram um bom comportamento
qualitativo, ou seja, todas caracterizaram de forma adequada o comportamento
assintótico do fenômeno estudado. Entretanto, devido a possíveis problemas
ocorridos no ensaio experimental e a validade parcial dos métodos de cálculo da
fluência
utilizados
na
análise
numérica,
não
foi
possível
estabelecer,
quantitativamente, a eficiência e a eficácia destes programas quando requeridos a
calcular a deformação por fluência em vigas de concreto armado.
xiii
ABSTRACT
Concrete creep is one of the probable causes of the occurrence of pathologies
in reinforced concrete structures. The structural design has been made with
overestimated parameters of creep strain, in an attempt to minimize the structuremasonry interaction. In this research an to analysis of the creep phenomenon in
reinforced concrete simply supported beams under constant load is developed. Four
beam groups, named A, B, C e D, have been analyzed. All the four groups have the
same dimensions, but distinct physical properties. These simply supported beans
have a 6m span and a prismatic cross section. All the numerical analyses have been
done for 3-D beam models, through the ADINA and DIANA software. Only creep
compression stresses and longitudinal reinforcement have been considered. A 2 kN
load is applied in the mid-span each beam. In addition the weight of the beans have
been considered. The main parameters considered in the creep simulation are: a)
period of time of 140 days; b) consideration of the non-linear physical response of
the material, characterizing a loss of stiffness and cracking. A comparison is made
between the numerical analyses results and the experimental data. These results are
then compared to the ones provided by the NBR 6118/2003. This comparisons have
show a good qualitative agreement in terms of the asymptotic behavior of the creep
phenomenon. However, due to possible problems in experimental tests and to the
partial validity of the applied creep equation, it has not been possible to verify a good
quantitative estimation and of the effectiveness of the software to accurately predict
the creep deformation for the tested reinforced concrete beams.
1
INTRODUÇÃO
1
INTRODUÇÃO
O concreto, como segundo material de maior consumo mundial depois da
água, requer uma atenção importante. Bastante difundido e popularmente conhecido
esse material exige uma série de cuidados (adensamento, cura, etc...) que precisam
ser levados em consideração para que, no futuro, não venham ocorrer problemas
patológicos (METHA & MONTEIRO [1994]).
A durabilidade de estruturas em concreto armado e protendido vem
despertando, nos últimos anos, bastante interesse no meio acadêmico e técnico.
Conceber e construir estruturas em concreto que atendam à segurança, estabilidade e
aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil é um dos mais
importantes objetivos a serem alcançados pelos engenheiros. Segundo a NBR 6118
[2003] entende-se por vida útil de projeto o período de tempo durante o qual se
mantêm as características das estruturas de concreto desde que atendidos os
requisitos de uso e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor, bem como
de execução dos reparos necessários decorrentes de danos acidentais.
O desenvolvimento de novas tecnologias e a necessidade de aperfeiçoamento
de novas técnicas vem exigindo que os engenheiros civis busquem novos métodos
para tornar cada vez mais seguros e economicamente viáveis os projetos de
estruturas de concreto.
INTRODUÇÃO
2
As aplicações do concreto em estruturas complexas e grandiosas no Brasil e
no mundo são imensuráveis. A importância de um conhecimento mais aprofundado
do comportamento de tais estruturas e, principalmente, seu comportamento futuro,
aguçam a necessidade de um estudo mais aprofundado das mesmas (NEVILLE
[1997]). Assim, o tema abordado neste estudo tem como um de seus objetivos
aprimorar o conhecimento do comportamento de estruturas de concreto, no que diz
respeito a suas deformações e deslocamentos com o passar do tempo.
O comportamento do concreto é caracterizado por uma complexa relação
entre tensão, deformação e tempo. Na aplicação de um carregamento em uma
estrutura de concreto, ocorre em primeiro instante, uma deformação instantânea, a
qual é seguida de um acréscimo de deformação ao longo do tempo. A deformação no
concreto ao longo do tempo devido a uma tensão constante denomina-se fluência. O
conhecimento de tal fenômeno foi citado pela primeira em 1907 por Hatt.
Uma vez definido que existam tais deformações, é provável que se as mesmas
não forem consideradas de forma correta, isto possa causar patologia a ponto de
danificar de forma considerável estruturas em geral.
1.1. OBJETIVOS
Esse trabalho tem como objetivo principal comparar os valores obtidos para o
deslocamento (flecha) devido à fluência, em vigas biapoiadas de concreto armado,
por meio da modelagem numérica de dois programas baseados no Método dos
Elementos Finitos (MEF) e por meio de ensaios experimentais, citados em
FIGUEIREDO [2003]. Esta comparação foi realizada com dados de deslocamentos
obtidos pela simulação do fenômeno da fluência em vigas de concreto armado,
modeladas nos programas, e com os resultados de deslocamentos obtidos por meio
de ensaios experimentais. Os ensaios experimentais foram realizados no Centro de
Pesquisa e Desenvolvimento em Construção Civil (CPqDCC) da Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo (EPUSP).
INTRODUÇÃO
3
O objetivo dessas comparações é tentar fornecer aos usuários de tais
programas a idéia de quanto eficaz e eficiente os mesmos são quando requeridos a
modelar o fenômeno da fluência em estruturas de concreto armado.
Foi realizado também o procedimento de cálculo da fluência, nas vigas de
concreto armado, tendo como referência a norma brasileira de concreto NBR
6118/2003. Os resultados de deformação e de deslocamento, encontrados pelo
cálculo da NBR 6118, também serão comparados com os resultados provenientes das
modelagens numéricas assim como dos ensaios experimentais.
1.2. JUSTIFICATIVA
Patologias no comportamento das alvenarias de vedação têm sido, nos
últimos anos, apontados como uma das principais ocorrências do pós-obra nos
edifícios constituídos em estruturas de concreto armado. O volume de casos relatados
de destacamentos de argamassa de revestimento, de esmagamento de fiadas de
encunhamento e outros, têm sido a causa de sérios prejuízos ao setor da construção
civil. Além disso, há muito desgaste na relação de confiança entre os construtores e
seus clientes finais, que não conseguem conviver com tais fenômenos sem sentiremse inseguros e, até enganados. Este tema foi abordado em um ciclo de debates
ocorrido no 46º IBRACON do ano de 2004 na cidade de Florianópolis. Neste ciclo
discutiu-se à respeito de possíveis patologias ocorridas em estruturas de concreto
devido ao fenômeno da fluência.
A ocorrência da fluência nas peças de concreto é considerada como uma das
principais causas do fenômeno. Por outro lado, o mecanismo de distribuição das
deformações entre a estrutura de concreto, as vedações e a grandeza esperada para a
intensidade das deformações tem apresentado resultados muito variáveis.
Tendo em vista essas dificuldades, os projetos estruturais têm sido elaborados
com parâmetros conservadores de deformação por fluência. Estes parâmetros visam
minorar a interação entre a estrutura e as alvenarias, associado a um rigor muito
grande quanto ao tempo de fixação e quantidades de re-escoramentos. Deste modo,
aumenta-se o custo das estruturas de concreto armado reduzindo sua competitividade
sem, no entanto, resolver de forma definitiva o problema.
INTRODUÇÃO
4
1.3. ORGANIZAÇÃO DO TEXTO
No segundo capítulo são mostrados conceitualmente alguns tipos de
deformação que ocorrem no concreto. Neste capítulo também é feita uma abordagem
teórica sobre o comportamento da fluência em estruturas de concreto. O capítulo
terceiro vem mostrar alguns dos principais fatores que afetam a fluência no concreto.
Nele é mostrado como e o quanto cada um desses fatores influenciam de forma
bastante significativa na deformação por fluência em estruturas de concreto armado.
O quarto capítulo relata sobre os aspectos reológicos e como esses podem ser
aplicados ao material concreto. Nele são mostrados quais os tipos de modelos
reológicos básicos que podem ou não ser associados para tentar simular o real
comportamento do mesmo.
No capítulo cinco é discutido como se caracterizada uma função e um
coeficiente de fluência, e qual a melhor forma de utilização dos mesmos. Serão
também mostrados e discutidos alguns dos métodos para a análise da fluência citados
na literatura e utilizados neste trabalho.
No sexto capítulo é apresentada a formulação para o cálculo da deformação
ao longo do tempo (fluência) segundo a norma brasileira NBR 6118/2003. Também e
feita uma descrição da realização de ensaio para a determinação do fenômeno da
fluência para concreto endurecido segundo a NBR 8224/1983. Além disso, é
mostrado como deve-se efetuar o cálculo para a consideração da perda de rigidez
devido à fissuração em estruturas lineares de concreto armado.
O capítulo sete mostra a caracterização do material estudado, ou seja, o que
foi levado em consideração para a análise das vigas neste trabalho. Além disso, esse
capítulo também vem mostrar de forma sucinta como foi feita a realização do ensaio
experimental bem como as irregularidades ocorridas no mesmo.
No oitavo capítulo é apresentado, simplificadamente, o comportamento da
deformação por fluência no Método dos Elementos Finitos (MEF). Também serão
apresentadas as considerações utilizadas nos programas que foram usados para a
determinação da fluência nas vigas em estudo. Será apresentada também a descrição
INTRODUÇÃO
5
das modelagens geométricas e por fluência em ambos os programas e as
considerações que foram utilizadas em cada software para a descrição do fenômeno.
Os quatro últimos capítulos contêm as comparações dos resultados, a
conclusão, a proposta para o próximo trabalho e as referências bibliográficas,
respectivamente.
TIPOS DE DEFORMAÇÕES NO CONCRETO
2
6
TIPOS DE DEFORMAÇÕES
NO CONCRETO
O comportamento de materiais como o concreto é medido a partir de uma
curva denominada Tensão-Deformação, onde nela é apresentado o comportamento
das tensões de um determinado material em função da variação das deformações
(Figura 2.1).
50
Agregado
Tensão (MPa)
40
30
Concreto
Pasta de
Cimento
20
10
0
1000
2000
3000
-6
Deformação (10 )
Figura 2.1 – Curvas tensão-deformação da pasta de cimento, do agregado e do concreto
.MEHTA e MONTEIRO (1994)
7
A princípio, devido à aplicação de um carregamento, ocorre uma deformação
imediata, que é totalmente dependente da intensidade da tensão aplicada. Esta
deformação se dá em regime elástico, proveniente de uma relação entre tensão e
deformação definida pela Lei de Hook, formulada em 1678, na qual para toda tensão
existe uma deformação que varia em regime linear. Contudo, o concreto não é um
material verdadeiramente elástico e nem suas deformações são uniformes ao longo
da peça, podendo assim haver uma variação de tensão de ponto a ponto.
Em verdade, a hipótese de considerar o módulo de elasticidade constante para
diversos materiais (princípio básico da Teoria da Elasticidade), o que inclui o
concreto, só é considerada válida e de maneira aproximada, se levadas em conta
regiões com baixas tensões e um período curto de carregamento. Além da
deformação dita elástica, em quaisquer outras condições pode haver o aparecimento
de deformações plásticas, onde sua importância, levando em conta a distribuição de
tensões, não pode ser desprezada.
NEVILLE [1997] classifica três tipos principais de deformações ao longo do
tempo: deformação elástica instantânea ou imediata, deformação elástica retardada e
deformação lenta ou por fluência.
A deformação elástica instantânea ou imediata, é aquela que ocorre
simultaneamente ou imediatamente após a introdução de um carregamento. Neste
caso, é considerado que exista uma total reversibilidade da deformação, porém, isso
só será válido se a aplicação de carga e descarga for feita em um curto intervalo de
tempo.
Ao aumentar o intervalo de tempo para um ciclo de carga e descarga, haverá
um aumento considerável no módulo de elasticidade do material com o tempo, esse
aumento acarretará em uma reversibilidade parcial da deformação, classificada como
deformação parcial ou deformação elástica retardada. Essa deformação ocorre com
uma velocidade muito menor do que a da deformação elástica imediata. No entanto,
existe ainda uma outra parcela de deformação que se desenvolve com o tempo e que
se processa muito mais lentamente. A chamada deformação lenta ou por fluência.
8
2.1. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Entende-se por deformação elástica toda deformação instantânea, reversível e
que cause variação de volume. Ela ocorre pela deformação dos átomos em resposta
ao esforço aplicado. Quando é retirada a carga, os átomos retornam à sua posição de
repouso. É importante ressaltar que toda deformação elástica é linear, isto é, a
deformação é proporcional a tensão aplicada. Para o concreto é salientado que, após
o descarregamento em estruturas usuais, parte desta deformação permanece, ou seja,
não ocorrerá uma total reversibilidade da mesma.
Como já citado, existe uma relação entre tensão e deformação (lei de Hook);
dessa relação a deformação é obtida em função da tensão aplicada e do módulo de
elasticidade do concreto no instante da aplicação do carregamento. É importante
frisar que a deformação elástica dita imediata ocorre simultaneamente ou
imediatamente após a aplicação da carga e depende fundamentalmente da
intensidade da mesma.
2.2. DEFORMAÇÃO PLÁSTICA
A deformação plástica é considerada instantânea, irreversível e sem variação
de volume do material. Após o material apresentar deformação inicial ou instantânea,
acima de um determinado valor de carregamento, começam a ocorrer
escorregamentos relativos dos átomos e das moléculas do material. Estes
escorregamentos dão origem à deformação plástica.
Como não ocorre deformação na ligação dos átomos, isto é, não ocorre
deformação das ligações interatômicas, não existe variação de volume e, como
ocorre também uma mudança na posição relativa dos átomos da estrutura, as
deformações são irreversíveis, ou seja, com a retirada do carregamento à parcela de
deformação plástica não é mais recuperada. O material fica deformado
permanentemente.
9
2.3. DEFORMAÇÃO LENTA OU FLUÊNCIA
Enquanto as deformações elástica e plástica ocorrem simultaneamente à
aplicação da carga em todos os materiais, alguns materiais usados na engenharia civil
podem sofrer uma deformação adicional se o carregamento for mantido por tempo
suficientemente longo. Trata-se da deformação lenta ou fluência. Ela possui dois
componentes: um componente elástico e outro viscoso. A velocidade dessa
deformação varia de acordo com o tipo material.
De fato, com o carregamento de um corpo de concreto, verifica-se uma
deformação imediata ou instantânea que, com o passar do tempo, tende a aumentar
assintoticamente para um valor final, alcançado na prática após dois ou três anos
(RÜSCH [1981]). O concreto é considerado como um dos poucos materiais onde a
influência da deformação lenta é significativa. No aço (utilizados para concreto
armado) esta influência é geralmente desprezível.
Segundo GRAVINA [1956], “a deformação final, soma das deformações
imediatas e por fluência, pode, em condições desfavoráveis, atingir um valor de 4 a 5
vezes maior que a deformação instantânea”.
É correto afirmar que são vários os fatores que influenciam na deformação
lenta do concreto e, alguns desses, estão inteiramente ligados a propriedades deste
material. Destas influências, pode ser levado em consideração que a fluência está
ligada à secagem do concreto no tempo. RÜSCH [1981] cita que a fluência do
concreto deve ser atribuída à migração de água, causada pela carga externa, para as
camadas de água absorvida da estrutura do gel, bem como o efeito das tensões
capilares, ou seja, ao se aplicar carga em um corpo de concreto, existe uma
distribuição da mesma pelo esqueleto do sólido e pelas águas dos poros.
GRAVINA [1956] afirma que devido às dimensões muito pequenas dos
canais, a água não escoa imediatamente após a aplicação da carga. Sua distribuição
sobre a camada líquida gera uma variação no estado de tensão da mesma e, portanto,
perturba o equilíbrio higrométrico. As tensões de compressão exercidas na camada
de água tendem a diminuir gradativamente, resultando no desaparecimento completo
das mesmas, assim, as tensões que anteriormente eram resistidas pela camada de
10
água, passam a ser agora resistidas gradativamente pelo esqueleto do sólido. Esta
migração de esforços termina ao se alcançar novamente o equilíbrio higroscópico,
quando a carga passa a ser resistida totalmente pelo esqueleto sólido e se restabelece
na água o mesmo estado de tensão que existia antes de aplicar o esforço.
RÜSH [1981] mostra as deformações medidas em um ensaio de fluência, em
um concreto com aplicação de carga aos 28 dias de idade. O concreto foi
descarregado após um ano e novamente carregado após dois anos, Figura 2.2.
ε‰
Descarregamento
1,0
εφ2
εe1
0,8
Novo Carregamento
εe2
0,6
εφ1
εe1 = Deformação elástica no instante 1
εφ1 = Deformação por fluência após o instante 1
εe2 = deformação elástica no instante 2
εφ2 = Deformação por fluência após o instante 2
0,4
0,2
εe1
Tempo
28 dias
1 ano
2 anos
Figura 2.2 – Representação esquemática dos resultados de um ensaio de deformação lenta.
RÜSCH (1981)
No instante do carregamento ocorreu a deformação elástica εe1; após 1 ano, a
deformação havia aumentado de um valor εφ1, sob o efeito contínuo da carga. No
descarregamento, a deformação diminuiu imediatamente de aproximadamente εe1.
No ano seguinte, ocorreu uma recuperação na deformação, que é explicada devido ao
efeito da deformação lenta reversível. Com o novo carregamento aparece uma nova
deformação elástica εe2 e uma outra deformação devido à fluência εφ2. Ο valor da
deformação lenta é composto por uma parcela de elasticidade retardada e por uma
outra parcela correspondente à fluência.
METHA & MONTEIRO [1994] conceituam como fluência básica todo
aumento de deformação ao longo do tempo com tensão constante e sob condições de
umidade relativa de cem por cento (100%). Esta condição geralmente surge em
estruturas de grande porte onde a retração por secagem pode ser desprezada.
11
Quando o concreto está sob carga e simultaneamente exposto a condições de
baixa umidade relativa, a deformação total é maior que a soma da deformação
elástica, da deformação por retração livre e da deformação por fluência básica (sem
secagem), a esta diferença de deformação é dado o nome de fluência por secagem. A
fluência total é a soma das fluências básica e por secagem, entretanto, os autores
citam que é comum ignorarmos essa distinção entre fluências básica e por secagem e
conceituarmos como fluência à deformação sob carga constante, além da soma da
Deformação
deformação elástica e da deformação livre por secagem, Figura 2.3.
ε1
Fluência por
Secagem
Fluência Básica
ε0
Deformação
Elástica
Tempo
Figura 2.3 – Deformação dependente do tempo em concreto submetido à carga mantida.
METHA & MONTEIRO (1994)
Em condições normais de carregamento, a deformação instantânea registrada
depende da velocidade da aplicação da carga e inclui, portanto, não apenas a
deformação elástica, mas também uma parte da fluência. Como o módulo de
elasticidade do concreto aumenta com a idade, a deformação elástica diminui
progressivamente e, a rigor, a fluência deveria ser tomada como a deformação que
excede a deformação elástica no momento em que a mesma está sendo determinada.
Em verdade, é difícil na maioria das vezes fazer a distinção entre a
deformação elástica e a fluência inicial por fluência, porém, não existe muita
importância em âmbitos práticos em tal distinção. Para fins práticos, se faz uma
diferenciação arbitrária: a deformação que ocorre imediatamente ou simultaneamente
à aplicação do carregamento é considerada elástica e o aumento subseqüente dessa
deformação devido a carga constante é considerado como fluência.
12
2.3.1. REVERSIBILIDADE
O problema da natureza da fluência é bastante complexo. A principal causa
do fenômeno é a pasta de cimento hidratado (C-S-H). A fluência está relacionada
com a movimentação interna de água absorvida ou intercristalina como já
mencionado, isto é, percolação interna. METHA & MONTEIRO [1994] cita que
ensaios de Glucklich* mostraram que um concreto do qual foi removida toda água
evaporável não apresentou praticamente nenhuma fluência.
É possível que ocorra a percolação interna da água das camadas absorvidas
para os vazios como os poros capilares. Uma evidência indireta do papel desses
vazios é a relação entre a fluência e a resistência da pasta de cimento hidratado:
aparentemente a fluência é uma função dos espaços não preenchidos e pode-se
especular dizendo que são os vazios do gel que determinam tanto a resistência quanto
a fluência. Neste último caso, os vazios podem ser relacionados com a percolação. O
volume desses vazios é, naturalmente, uma função da relação água/cimento e é
influenciado pelo grau de hidratação. RÜSH [1981].
É razoável imaginar que, depois de vários anos sob carregamento, a espessura
das camadas de água absorvida possa ser reduzida a tal ponto que mais nenhuma
redução seja possível sob a mesma tensão, e se registrou fluência mesmo após 30
anos. Portanto, é provável que a parte lenta da fluência, a longo prazo, seja devida a
outras causas e não somente a percolação da água. Isso pode sugerir escoamento ou
escorregamento viscoso entre as partículas de gel. Esses mecanismos são
compatíveis com a influência da temperatura sobre a fluência e podem explicar
também a parcela nitidamente irreversível da fluência em longo prazo. NEVILLE
[1997].
NEVILLE [1997] também cita que foi desenvolvido por McHenry um
tratamento possível da recuperação parcial da fluência a partir do princípio da
superposição de deformações. Esse tratamento estabelece que as deformações
produzidas no concreto a qualquer tempo t por um incremento de tensão aplicado em
*
J. Glucklich, Creep mechanism in cement mortar, J. Amer. Concr. Inst., 59, pp. 923-48 (July 1962).
13
um momento qualquer t0, são independentes dos efeitos de qualquer tensão aplicada
antes ou depois de t0. Segue então que, se a tensão é removida à idade t1, a
recuperação resultante da fluência será igual à fluência de um elemento semelhante
submetido a uma tensão igual de compressão à idade t1. A Figura 2.4 ilustra essa
afirmativa, e pode ser visto que a recuperação é representada pela diferença entre a
tensão real em qualquer momento e a tensão que existiria no mesmo momento se o
elemento continuasse submetido à tensão de compressão inicial.
Fluência Específica
10-6 MPa
40
30
20
10
0
40
120
80
150
200
Idade-dias
Figura 2.4 – Exemplo do princípio de McHenry da superposição de deformações
Um aspecto relevante citado por METHA & MONTEIRO [1994] é que o
comportamento típico do concreto na molhagem e na secagem ou no carregamento e
descarregamento é bastante semelhante, figuras 2.5 e 2.6. Tanto o fenômeno de
retração por secagem quanto o de fluência no concreto apresentam um grau de
irreversibilidade que possui importância prática. A Figura 2.5 mostra que após a
primeira secagem, o concreto não retornou a sua dimensão original mesmo depois de
molhado. A retração por secagem, portanto, foi classificada em retração reversível,
que é a parte da retração total reproduzível em ciclos de molhagem-secagem; e
retração irreversível, que é a parte da retração total na primeira secagem que não
pode ser reproduzida em ciclos subseqüentes de molhagem-secagem.
14
Deformação Negativa (µm/m)
1000
Molhagem
Secagem
800
Retração
Reversível
600
400
Retração
Irreversível
200
0
10
20
30
40
50
60
Retração
Total
70
80
Tempo (dias)
Figura 2.5 – Reversibilidade da retração por secagem. METHA e MONTEIRO (1994)
A curva de fluência para o concreto sujeito a uma compressão uniaxial
constante durante 90 dias e, após, descarregado é mostrado na Figura 2.6.
Micro deformação
Descarregamento
Carregamento
1000
800
Recuperação
Elástica
600
Recuperação
da Fluência
Deformação por
Fluência
400
Fluência
Irreversível
200
Deformação Elástica
0
20
40
60
80
100
120
Tempo de Carregamento (dias)
Figura 2.6 – Reversibilidade da fluência. METHA e MONTEIRO(1994).
Quando a amostra é descarregada, a recuperação instantânea ou elástica é
aproximadamente da mesma ordem da deformação elástica resultante da primeira
aplicação da carga.
A recuperação instantânea é seguida por uma redução gradual da deformação
chamada recuperação da fluência. Embora a recuperação da fluência ocorra mais
15
rapidamente que a fluência, a reversão da deformação por fluência não é total.
Analogamente a retração por secagem, Figura 2.5, esse fenômeno é definido pelos
termos correspondentes, fluência reversível e irreversível.
No próximo capítulo serão comentados alguns fatores que influenciam, de
forma significativa, no desenvolvimento da deformação por fluência. Esses fatores
são, por exemplo, a umidade, a temperatura, os materiais, a geometria da peça, os
aditivos e adições, entre outros.
A importância do conhecimento de como tais fatores influenciam na
deformação por fluência do concreto é de vital importância, pois, serão estes mesmos
fatores que irão ditar como irá se comportar a estrutura, em relação a sua deformação
por fluência, ao longo do tempo. Tais fatores se encontram apresentados no próximo
capítulo.
FATORES QUE AFETAM A FLUÊNCIA NO CONCRETO
3
16
FATORES QUE AFETAM A
FLUÊNCIA NO CONCRETO
Verifica-se, na prática, que a fluência depende de vários fatores relacionados
entre si. Essa interligação proporciona uma abordagem um pouco complexa. Sendo
assim, este capítulo abordará de forma bastante simples e restrita alguns dos
principais fatores que afetam a fluência no concreto.
Algumas características da fluência decorrem das propriedades intrínsecas
das misturas, outras das condições externas. As variações da umidade na pasta
endurecida de cimento, que essencialmente é quem controla as deformações de
retração por secagem e de fluência no concreto, são influenciadas por numerosos
fatores simultâneos inter-relacionados (METHA & MONTEIRO [1994]).
3.1. MATERIAIS E DOSAGEM
Segundo NEVILLE [1997], deve ser notado que realmente é a pasta de
cimento hidratado que apresenta fluência, sendo o papel do agregado basicamente o
de contenção; os agregados não são sujeitos à fluência quando submetidos às tensões
usuais no concreto. Assim, o autor afirma que a fluência é uma função do teor, em
volume, da pasta de cimento no concreto, mas a dependência não é linear. Existe
17
uma relação entre a fluência do concreto, o teor em volume de agregados e o teor em
volume de cimento não hidratado. Essa função é descrita da seguinte forma:
⎛ cp
log⎜⎜
⎝ c
⎞
⎛
⎞
1
⎟⎟ = α log⎜⎜
⎟⎟
⎝1− g − u ⎠
⎠
(3.1)
onde:
• c é a fluência do concreto;
• g é o teor em volume de agregados;
• u é o teor em volume de cimento não hidratado;
• cp é a fluência da pasta de cimento com as mesmas características da usada
no concreto;
α=
3(1 − µ )
1 + µ + 2(1 − 2 µ a )
E
Ea
(3.2)
Nessa expressão, que se aplica a concretos com agregados leves ou agregados
normais, µa é o coeficiente de Poisson do agregado, µ é o coeficiente de Poisson do
concreto, Ea é o modulo de elasticidade do agregado e E é o modulo de elasticidade
do concreto.
METHA & MONTEIRO [1994] relatam que a granulometria, dimensão
máxima, forma e textura do agregado também são fatores bastante significativos para
a fluência no concreto que geralmente é caracterizada pela influência direta do
módulo de deformação do agregado.
Existem alguns fatores físicos do agregado que exercem uma forte
representatividade sobre a fluência, um dos mais importantes deles é o módulo de
elasticidade, NEVILLE [1997].
NEVILLE [1997] mostra resultados muito importantes em concretos com
idade após 20 anos de conservação, mantidos a 50% de umidade relativa e a 21ºC,
Figura 3.1.
18
A EQUIPE DE FURNAS [2000] afirma que na maioria de suas investigações
a fluência foi estudada, experimentalmente, com o objetivo de se determinar uma
dependência com as diversas propriedades do concreto. Desse modo foi constatado
que a fluência diminui com o aumento do diâmetro máximo do agregado (Dmáx). A
fluência varia com a forma do agregado e esta será maior para concretos com
agregados britados. Foi constatado que a fluência do concreto aumentou 2,5 vezes
quando um agregado com alto módulo de elasticidade foi substituído por um
agregado com baixo módulo de elasticidade.
1600
Calcário
Quartzo
Granito
Seixo
Arenito
Fluência - 10-6
1200
800
400
0
10
28
90
1
Dias
2
5
10
20 30
Ano
Tempo a partir do carregamento (log)
Figura 3.1 – Fluência de concretos com diversos agregados com a mesma proporção,
carregados à idade de 28 dias. NEVILLE (1997)
3.2. UMIDADE DO AR E TEMPERATURA
NEVILLE [1997] afirma que um dos fatores mais importantes que atuam
sobre a fluência é a umidade relativa do ar que envolve o concreto, isso quer dizer
que para se obter uma menor fluência, o concreto deve, teoricamente, ser exposto em
ambientes com altos níveis de umidade. Isso é ilustrado na Figura 3.2 para peças
curadas a umidade relativa de 100% e depois carregadas e expostas a diversas
umidades.
19
1200
Umidade Relativa
Fluência - 10-6
800
50%
70%
100%
400
0
10
28
Dias
90
1
2
5
10
20 30
Ano
Tempo a partir do carregamento (log.)
Figura 3.2 – Fluência em concretos carregados e mantidos em diferentes umidades relativas. NEVILLE (1997)
Segundo METHA & MONTEIRO [1994] espera-se que um aumento na
umidade atmosférica torne mais lenta a taxa relativa do fluxo de umidade do interior
para as superfícies externas do concreto. À umidade relativa de 100%, admite-se que
o coeficiente de fluência seja 1, aumentando para 2 à uma umidade relativa de 80% e
3 à umidade relativa de 45%.
A influência da umidade relativa é muito menor, ou nenhuma, no caso de
elementos que tenham atingido o equilíbrio higroscópico com o meio antes da
Com relação à temperatura, a fluência será tanto maior quanto maior for a
temperatura durante o carregamento. METHA & MONTEIRO [1994] relatam que se
uma peça de concreto é exposta a uma temperatura maior que a ambiente como parte
processo de cura, antes de ser carregada, a resistência aumentará e a deformação por
fluência será um tanto menor do que de um concreto armazenado a uma temperatura
mais baixa. Por outro lado, a exposição à alta temperatura, durante o período em que
o concreto está sendo carregado, pode aumentar a fluência.
Para temperaturas abaixo de 5ºC, a deformação lenta praticamente cessa. Por
outro lado, para temperaturas acima de 20ºC a fluência aumenta. Este fato é notado
20
principalmente em pontes, nas quais o concreto do tabuleiro, sobre o qual existe uma
camada de asfalto, atinge temperaturas acima de 40ºC quando exposto à radiação
solar durante um longo tempo, EQUIPE DE FURNAS [2000].
3.3. ADIÇÕES E ADITIVOS
Os aditivos e adições também influenciam o resultado final da deformação
lenta. METHA & MONTEIRO [1994] comentam que tais aditivos ou adições como
cloreto de cálcio, escória granulada e pozolanas tendem a aumentar o volume de
poros finos no produto da hidratação do cimento.
Uma vez que a fluência no concreto é associada diretamente à água contida
em pequenos poros (de 3 a 20nm), concretos contendo adições capazes de refinar
estes poros, normalmente apresentam retração por secagem e fluência maiores.
Aditivos redutores de água e retardadores de pega, que são capazes de causar uma
melhor dispersão de partículas de cimento anidro na água, também levam a um
refinamento dos poros no produto de hidratação. Em geral, espera-se que aditivos
que aumentem a retração por secagem aumentem a fluência, METHA &
MONTEIRO [1994].
NEVILLE [1997] afirma que o efeito da resistência do concreto no momento
de aplicação da carga sobre a fluência vale também quando se usam diferentes
materiais cimentícios. De outro modo não seriam possíveis generalizações sobre a
fluência de concretos com cinzas volantes ou escórias granuladas de alto forno, pois
a literatura relata pesquisas feitas em diferentes condições de ensaio.
Pode-se dizer com confiança que o modelo da evolução da fluência e da
recuperação não é alterado pela presença de cinza volante classe C ou Classe F,
escoria granulada de alto forno ou sílica ativa, ou mesmo uma combinação desses
materiais.
No entanto, pode haver algum efeito da pasta de cimento sobre a fluência
resultante da inclusão de vários materiais cimentícios. O efeito sobre a fluência por
secagem, onde são importantes a permeabilidade e a difusividade da pasta de
cimento hidratado, pode ser diferente do efeito sobre a fluência básica. Por exemplo,
21
o uso de escória de alto forno pode levar a uma fluência básica menor, porém com
aumento da fluência por secagem.
Deve ser lembrado que os diferentes materiais cimentícios têm diferentes
velocidade de reação e, portanto, aumentos de resistências diferentes enquanto o
concreto estiver sob carga.
3.4. GEOMETRIA DA PEÇA
A espessura de uma peça de concreto tem grande influência no valor e na
variação da fluência. As peças espessas apresentam um menor valor de fluência em
comparação com as delgadas, isso se deve ao fato de que a secagem no interior é
mais demorada do que na parte externa da peça. À uma umidade relativa mantida
constante, tanto a forma quanto o tamanho da peça influenciam diretamente na
magnitude da retração e da fluência, EQUIPE DE FURNAS [2000].
Coeficiente de Fluência (10-6 MPa)
2.2
50%
2.0
1.8
70%
1.6
1.4
1.2
0
90%
100
200
300
400
500
Espessura Teórica (mm)
Figura 3.3 – Influência do tamanho da peça e da umidade relativa no coeficiente de fluência.
CEB-FIB 1990.
METHA & MONTEIRO [1994] classificam por espessura teórica ou efetiva
os parâmetros de tamanho e forma da peça usados para expressar uma única
quantidade, que é igual a área da seção dividida pelo semiperímetro em contato com
22
a atmosfera. Essa relação entre espessura teórica e coeficiente de fluência é mostrada
na Figura 3.3.
3.5. INTENSIDADE DO CARREGAMENTO
Quanto maior for a intensidade da carga aplicada numa estrutura de concreto
maior será sua deformação por fluência, ou seja, a fluência é proporcional à carga
aplicada para tensões variando entre 40% e 50% da resistência a compressão do
concreto. Deve-se também lever em consideração o tempo de sua aplicação.
3.6. EFEITOS DA FLUÊNCIA SOBRE AS ESTRUTURAS
A deformação por fluência afeta de forma bastante significativa o
deslocamento vertical (flecha) e, muitas vezes também, a distribuição de tensões em
estruturas de concreto armado ou protendido.
No caso de concreto simples a fluência não altera a resistência do material,
embora sob tensões muito elevadas possa abreviar a aproximação de deformação
limite na qual ocorre a ruptura. Isto pode ocorrer quando a carga aplicada for
superior a um valor entre 85% e 90% da carga limite (resistência do material),
NEVILLE [1970].
Para o concreto massa a fluência também é um parâmetro muito importante,
pois o seu efeito resulta na relaxação das tensões de origem térmicas oriundas do
resfriamento do concreto.
O concreto, logo após lançado, sofre uma elevação de temperatura devido ao
desenvolvimento do calor gerado pelas reações exotérmicas de hidratação do
cimento, atinge a temperatura máxima e inicia o resfriamento para entrar em
equilíbrio térmico com o ambiente. Na fase de aquecimento não existe a
possibilidade de fissuração, pois as tensões iniciais são de compressão. Com o passar
do tempo, devido ao resfriamento, estas tensões de compressão são aliviadas e
instalam-se tensões de tração. Esse fenômeno pode provocar fissuras antes mesmo
23
que a temperatura tenha se equilibrado com o ambiente, EQUIPE DE FURNAS
[2000].
A relevância em se fazer comentários sobre as propriedades que influenciam
a deformação por fluência neste capítulo vem do fato de que, tanto a norma NBR
6118/2003 como o programa DIANA levam em consideração estas propriedades no
desenvolvimento de seus cálculos para o estudo da fluência. Como ambos serão
utilizados para a elaboração deste trabalho, achou-se de maneira fundamental o
comentário destas propriedades. Nos próximos capítulos serão descritas algumas
representações matemáticas que descrevem o fenômeno da fluência.
MODELOS REOLÓGICOS
4
24
MODELOS REOLÓGICOS
Entende-se por modelos reológicos todos aqueles que simulam o
comportamento de um determinado material ao longo do tempo. A reologia
constitui-se no estudo do comportamento dos materiais por meio de modelos de
representação, onde são levados em conta fenômenos como elasticidade, viscosidade
e plasticidade.
A idéia de simular o comportamento das deformações do concreto ao longo
do tempo já vem sendo estudada por vários anos. Diversas tentativas foram
realizadas para simular essas deformações por vários modelos reológicos
constituídos de elementos de mola ou amortecedor. Cada um desses elementos
representa uma deformação característica específica de um dado componente ou de
uma fase do concreto.
Essa aproximação é, na maioria das vezes, empírica e seu sucesso depende da
habilidade em atribuir a uma parte da deformação no concreto um dado elemento do
modelo. Em outra tentativa, o número de elementos reológicos é combinado
simplesmente para aproximar ensaios reais de deformação sem considerar o seu
significado físico, NEVILLE [1983]. Outra aproximação considera um pouco mais
que um ajuste de equações e sua utilidade encontra-se principalmente em facilitar
25
MODELOS REOLÓGICOS
uma solução de equações diferenciais envolvendo tempo, tensão e deformação ou
suas derivadas parciais. A solução dessas equações considera a deformação como
uma função da tensão e do tempo (i.e., equação da fluência) ou a tensão como uma
função da deformação e do tempo (i.e., equação de relaxação).
4.1. VISCOELASTICIDADE
O estudo da viscosidade é bem difundido em mecanismos relacionados a
líquidos, porém, existem estudos atuais onde estas considerações são aplicadas
também em materiais sólidos. A viscosidade nos sólidos trata-se de um fenômeno
caracterizado pelo aparecimento de deformações não imediatas, ou também
chamadas de deformações dependentes do tempo. Tais deformações não aparecem
simultaneamente com a aplicação de tensões, mas sim com o decorrer do tempo.
O comportamento de um material viscoelástico sob carregamento uniaxial
pode ser bem representado por meio de modelos compostos de elementos de mola e
de um cilindro com êmbolo perfurado, imerso em um líquido viscoso chamado de
amortecedor, conforme esquematizado na Figura 4.1. Esses modelos são
particularmente úteis do ponto de vista didático.
(a)
(b)
Figura 4.1 – Representação esquemática dos elementos reológicos: (a) mola; (b) amortecedor.
METHA & MONTEIRO [1994] classificaram dois experimentos que podem
ser estudados para o comportamento viscoelástico unidimensional do concreto:
•
o ensaio de fluência, no qual a tensão é mantida constante, e é
registrado o aumento de deformação ao longo do tempo;
•
o ensaio de relaxação, no qual a deformação é mantida constante, e é
registrada a diminuição da tensão ao longo do tempo.
MODELOS REOLÓGICOS
26
4.2. MODELOS REOLÓGICOS BÁSICOS
Para uma melhor obtenção de resultados, no que se refere à deformação de
materiais sólidos como o concreto, é necessário que sejam caracterizados modelos
mais refinados que, de forma mais realista, definam o comportamento de tais
materiais. Os modelos reológicos básicos são definidos por relações matemáticas
simples e suas combinações dão origem a modelos mais complexos, permitindo com
isso a obtenção de modelos de representação para tais materiais.
O comportamento viscoelástico dos materiais pode ser eficientemente
estimado pela criação de modelos reológicos baseados em dois elementos
fundamentais:
• um segmento de mola definido na Figura 4.1 (a);
• um segmento de pistão lubrificado definido na Figura 4.1 (b).
As deformações obtidas no segmento de mola são classificadas como
elásticas e as deformações definidas pelo segmento de pistão lubrificado são
definidas como viscosas. Os corpos que apresentam essas propriedades são tratados
na literatura como sólido Hookneano e Líquido Newtoneano, respectivamente.
Para o segmento de mola, que representa um corpo elástico perfeito, uma vez que a
deformação é totalmente reversível, a relação entre tensão e deformação é expressa
pela lei de Hook:
σ (t ) = E.ε (t )
(4.1)
A resposta da mola à tensão é imediata e, durante o ensaio de fluência,
quando a tensão σo é mantida constante a deformação será σo/E e constante ao longo
do tempo como mostrado na Figura 4.2.
27
MODELOS REOLÓGICOS
ε
σο / E
t
Figura 4.2 – Curva de deformação tempo no elemento de mola para fluência.
O pistão lubrificado, representado pelo elemento amortecedor, pode ser
visualizado como um macaco que desloca um fluido viscoso em um cilindro com
fundo vazado. Usando a lei de Newton para a viscosidade temos:
σ (t ) = η.ε&(t )
(4.2)
onde:
η é o coeficiente de viscosidade do fluido;
1
η
é a fluidez;
ε&(t ) =
dε
= é a taxa de deformação.
dt
A lei de Newton estabelece que a taxa de deformação sobre a relaxação é
proporcional à tensão; em conseqüência, para um experimento de fluência, o
amortecedor irá deformar a uma taxa constante, como mostra a Figura 4.3.
Entretanto, para um experimento de relaxação, com a aplicação de uma deformação
instantânea constante, a tensão variará com o tempo.
Elementos reológicos básicos acabam sendo utilizados de maneira que, por
meio de suas combinações em série ou em paralelo possa retratar de forma mais
realista mecanismos viscoelásticos.
28
MODELOS REOLÓGICOS
ε
t
Figura 4.3 – Curva de Deformação-Tempo no amortecedor para um ensaio de fluência.
4.2.1. MODELO VISCOELÁSTICO DE MAXWELL
Por meio de combinações dos modelos de mola e amortecedor descritos
anteriormente, pode-se estabelecer formulações complexas para o comportamento de
diversos materiais.
η
E
σ
σ
εe
εv
Figura 4.4 – Representação do modelo viscoelástico de Maxwell.
O modelo de Maxwell é representado por uma mola de um amortecedor,
ambos conectados em série, Figura 4.4. A deformação do modelo é dada pela soma
das deformações elástica e viscosa, sendo a tensão igual para os dois elementos. As
seguintes equações se aplicam ao modelo:
Equação de Equilíbrio
σ (t ) = σ e (t ) = σ v (t )
(4.3)
Equação de Compatibilidade
ε (t ) = ε e (t ) + ε v (t )
(4.4)
Equação Constitutiva – mola
σ e (t ) = E.ε e (t )
(4.5)
Equação Constitutiva – amortecedor
σ v (t ) = η.ε& v (t )
(4.6)
29
MODELOS REOLÓGICOS
Onde σ , σ e , σ v , ε , ε e , ε v são, respectivamente, as tensões total, elástica e
viscosa e a deformação total, elástica e viscosa.
O modelo prevê um aumento da deformação sem limites. Isto é uma
característica de muitos fluidos e, por essa razão, o material descrito na equação é
conhecido como fluido de Maxwell. Se após o experimento de fluência, o sistema é
descarregado no tempo t1, a deformação elástica na mola recupera-se
instantaneamente, enquanto que a deformação permanece no amortecedor. A Figura
4.5 apresenta a curva Deformação-Tempo.
ε
Carregamento
Descarregamento
ε0
t
Figura 4.5 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Maxwell
4.2.2. MODELO VISCOELÁSTICO DE KELVIN-VOIGT
O modelo de Kelvin-Voigt é representado por uma mola de um amortecedor,
ambos conectados em paralelo (Figura 4.6). A deformação do modelo é igual para os
dois elementos, sendo que a tensão total é dada pela soma das tensões elástica e
viscosa. Assim, as seguintes equações se aplicam ao modelo:
σ (t ) = σ e (t ) + σ v (t )
(4.11)
ε (t ) = ε e (t ) = ε v (t )
(4.12)
σ e (t ) = E.ε e (t )
(4.13)
Equação Constitutiva – amortecedor
σ v (t ) = η.ε& v (t )
(4.14)
30
MODELOS REOLÓGICOS
Onde σ , σ e , σ v , ε , ε e , ε v são, respectivamente, as tensões total, elástica e
viscosa e deformações total, elástica e viscosa. A Figura 4.7 apresenta a curva
Deformação-Tempo para o modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.
η
σ
σ
E
Figura 4.6 – Representação do modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.
ε
Carregamento
Descarregamento
σ0/E
t
Figura 4.7 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Kelvin-Voigt.
Como foi discutido anteriormente, o modelo de Maxwell mostra uma taxa de
deformação constante sob tensão constante, o que pode se adequar para fluidos, mas
não para sólidos. Já o modelo de Kelvin-Voigt não mostra a deformação permanente
após o descarregamento, caracterizando uma deformação elástica. Assim, a
conclusão tirada é que ambos os modelos não representariam de forma correta a
deformação por fluência no concreto. Deste modo, foi desenvolvido um modelo
chamado de modelo de três parâmetros ou modelo de Boltzmann que será descrito a
seguir.
MODELOS REOLÓGICOS
31
4.2.3. MODELO VISCOELÁSTICO DE TRÊS PARÂMETROS
Na tentativa de explicar o fenômeno da fluência no concreto, surgiram
diferentes modelos viscoelásticos. Para uma melhor representação desse fenômeno
no concreto, Boltzmann criou um modelo que leva em consideração a capacidade de
simular deformações elásticas instantâneas, além de ficar caracterizado a igualdade
das tensões nos trechos elásticos e viscoelástico.
O modelo viscoelástico de Boltzmann é representado pelo arranjo em série do
modelo de Kelvin-Voigt com uma mola como mostra a Figura 4.8. Sendo as
deformações ε0 e ε1 a deformação da mola e do elemento de Kelvin-Voigt,
respectivamente. Assim, as seguintes equações se aplicam ao modelo de Boltzmann:
σ (t ) = σ e (t ) = σ v (t )
(4.18)
ε (t ) = ε 0 (t ) + ε 1 (t )
(4.19)
σ e (t ) = E 0 .ε 0 (t )
(4.20)
Equação Constitutiva – Kelvin
σ v (t ) = E1 .ε 1 + η.ε&1 (t )
(4.21)
Onde σ , σ e , σ v são, respectivamente, as tensões total, elástica e viscosa,
ε , ε 0 , ε 1 são, respectivamente as deformações total, da mola e do elemento de KelvinVoigt e E1 , E 2 ,η são, respectivamente, o módulo de deformação do modelo elástico
e o módulo de deformação e a viscosidade do modelo de Kelvin-Voigt.
Porém, esse modelo assim como os outros dois citados anteriormente, possui
uma limitação: a representação do modelo de três parâmetros ou modelo de
Boltzmann não caracteriza de forma adequada a deformação por fluência quando na
estrutura ocorrer um descarregamento.
32
MODELOS REOLÓGICOS
η
E0
σ
σ
E1
ε0
ε1
Figura 4.8 – Representação do modelo viscoelástico de Boltzmann.
A Figura 4.9 apresenta a curva de Deformação-Tempo que representa o
fenômeno da fluência, porém, como já dito anteriormente, essa representação só é
bem aceita para casos onde não haja descarregamento.
ε
σ0/E∞
σ0/E0
σ0/E0
t
Figura 4.9 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Três Parâmetros.
4.2.4. MODELO VISCOELÁSTICO DE BURGER
Este modelo foi criado para melhor caracterizar a irreversibilidade da
deformação por fluência em modelos reológicos. O modelo viscoelástico de Burger é
composto por um modelo de Maxwell em série com um modelo de Kelvin-Voigt. A
Figura 4.10 mostra a representação do modelo por meio de segmentos de mola e
amortecedor.
33
MODELOS REOLÓGICOS
η2
σ
E1
σ
η1
E2
ε1
ε2
εM
ε3
εK
Figura 4.10 – Representação do modelo viscoelástico de Burger.
A mola e o amortecedor do modelo de Maxwell são considerados como dois
elementos individuais, sendo as deformações εM e εK a deformação do elemento de
Maxwell e do elemento de Kelvin, respectivamente. Deste modo, as seguintes
equações se aplicam ao modelo de Burger:
σ (t ) = σ M (t ) = σ K (t )
(4.18)
K
ε(t ) = ε1M ( t ) + ε M
2 ( t ) + ε 3 (t )
(4.19)
Equação Constitutiva – Mola
σ1M (t ) = E 1 .ε1 (t )
(4.20)
Equação Constitutiva – Amortecedor
σM
2 (t ) = η1 .ε 2 (t )
Equação Constitutiva – Kelvin
σ K (t ) = E 2 .ε 3 + η 2 .ε& 3 (t )
(4.21)
Onde σ, σ M , σ K são, respectivamente, as tensões total, do elemento de
Maxwell e do elemento de Kelvin e ε, ε1 , ε 2 e ε 3 são, respectivamente, as
deformações total, deformação da mola do elemento de Maxwell, deformação do
amortecedor do elemento de Maxwell e deformação do elemento de Kelvin e
E 1 e E 2 são respectivamente, o módulo de deformação do modelo de Maxwell e o
módulo de deformação do modelo de Kelvin e η1 e η 2 são as viscosidades do
modelo de Maxwell e do modelo de Kelvin, respectivamente.
34
MODELOS REOLÓGICOS
O modelo de Burger é um modelo que caracteriza tanto no carregamento
quanto no descarregamento o comportamento correto da deformação no tempo para o
concreto.A representação gráfica deste modelo é mostrada na Figura 4.11.
Carregamento
Descarregamento
σ0/E∞
Recuperação
Elástica
Recuperação
da Fluência
σ0/E0
Fluência
Irreversível
t
Figura 4.11 – Representação da curva deformação-tempo no modelo viscoelástico de Burger .
A utilização desse modelo somente se faz necessária se na caracterização do
ensaio for preciso medir a deformação devido ao descarregamento da estrutura, pois
é um modelo especifico para caracterizar tal comportamento. Não havendo a
necessidade de verificar as deformações devido ao descarregamento, o modelo de
Boltzmann pode ser aplicado gerando bons resultados com o mínimo de
complexidade no que diz respeito ao equacionamento matemático.
As propriedades mecânicas do concreto mudam com o tempo devido à reação
de hidratação. Entretanto, nos modelos apresentados aqui, tanto o módulo de
elasticidade (E) como o coeficiente de viscosidade (η), se mantiveram constantes ao
longo do tempo. Em conseqüência disso, as respostas obtidas pelos modelos
apresentados anteriormente têm sucesso limitado.
Nos próximos capítulos serão apresentados três tipos de representação do
fenômeno da fluência por meio de modelos matemáticos, são eles: função de fluência
e coeficiente de fluência, equações algébricas e diferenciais e a formulação e o
ensaio proposto por normas, NBR 6118/2003 e NBR 8224/1983, respectivamente.
FUNÇÃO DE FLUÊNCIA E COEFICIENTE DE FLUÊNCIA
5
35
FUNÇÃO DE FLUÊNCIA E
COEFICIENTE DE FLUÊNCIA
Neste capítulo será discutido como se caracteriza uma função de fluência e
um coeficiente de fluência, e qual a melhor forma de utilização para os dois. Vários
são os fatores que afetam a fluência no concreto, como mostrado no Capítulo 3. A
representação de cada um desses fatores para uma formulação que possa reproduzir
de forma precisa tal fenômeno, leva a uma significativa dificuldade. De forma mais
prática, a utilização de métodos aproximados e simplificados para análise da fluência
vem demonstrando valores bastante satisfatórios, NEVILLE [1983]. A importância
em ressaltar as características de tal função, deve-se à utilização similar da mesma no
equacionamento proposto pela NBR 6118 [2003], apresentado posteriormente no
Capítulo 6.
O objetivo da função de fluência é representar, de forma mais clara, o
comportamento do concreto quando comparado a ensaios experimentais. Assim, a
função de fluência pode ser descrita como uma função que relaciona a deformação
total sofrida pelo concreto em uma determinada idade t, devido à aplicação de um
carregamento constante no instante t0. METHA & MONTEIRO [1994] comentam
que em algumas décadas atrás, o ajuste de curvas de fluência era feito manualmente,
deste modo, os pesquisadores usavam a intuição e a experiência para selecionar
36
funções simples. Hoje, com o avanço da tecnologia, qualquer computador pessoal
pode fazer o ajuste dessas curvas.
CREUS [1986] cita que as propriedades da fluência são usualmente
determinadas pela medida ao longo do tempo da deformação de corpos-de-prova
cilíndricos ou prismáticos sob carregamento à compressão constante. A função de
fluência Φ∗ é determinada como a diferença por unidade de tensão entre a
deformação no carregamento e no descarregamento, considerado como um único
efeito de tensão.
Para o estudo da variação no desenvolvimento da fluência, é necessário obter
uma função que descreva tal deformação para um determinado tempo t, após
aplicação de uma carga unitária e constante no instante t0, onde t > t0.
Assim, de
maneira genérica, a função de fluência é representada esquematicamente na equação
5.1a.
Φ (t , t 0 ) =
1
[ε e ( t, t 0 ) + ε c ( t, t 0 )]
σ0
(5.1a)
Se relacionada à função de fluência com a deformação elástica e por fluência,
temos:
Φ (t , t 0 ) =
1
+ C (t , t 0 )
E (t 0 )
(5.1b)
onde:
• Φ(t,t0) é a função de fluência;
• C(t,t0) é a fluência específica no instante t quando o concreto é submetido
a uma tensão no instante t0;
• E(t0) é o módulo de elasticidade do concreto no instante t0;
• εe é a deformação elástica no instante da aplicação do carregamento;
• εc é a deformação por fluência;
• σ0 é a tensão aplicada de forma constante.
∗
Na literatura, a função de fluência pode, freqüentemente, ser adotada como J(t,τ), ao invés de Φ(t,t0).
37
A Figura 5.1 representa a curva da função de fluência, onde é mostrada a
Função de Fluência
evolução da mesma com o passar do tempo.
Φ(t,t0)
C(t,t0)
1/E(t0)
t0
t
tempo
Figura 5.1 – Representação da curva de função de fluência.
Entretanto, testes mostraram que a deformação por fluência (εc) pode ser, de
maneira aproximada, proporcionalmente dependente da deformação elástica (εe).
Esta relação linear tem se mostrado bastante satisfatória em elementos estruturais
submetidos à compressão ou tração, e também para flexão, desde que sob tensões
normais de serviço (0,4 a 0,5 do fck). Tensões para o concreto acima desse valor
estarão associadas a um relativo aumento de fluência. A relação entre a deformação
por fluência e a deformação elástica, é definida como coeficiente de fluência φ como
segue abaixo:
φ (t , t 0 ) =
ε c (t , t 0 )
ε e (t 0 )
(5.2a)
A equação 5.2a pode ser representada de outra forma, partindo da introdução
do parâmetro de fluência específica, que representa a deformação por fluência devido
a uma tensão constante.
φ (t , t 0 ) = C (t , t 0 ).E (t 0 )
(5.2b)
A Figura 5.2 apresenta a variação do coeficiente de fluência com o tempo.
Coeficiente de Fluência
38
φ(t,t0)
C(t,t0).E(t,t0)
t0
t
tempo
Figura 5.2 – Representação da curva de coeficiente de fluência.
Relacionando as equações (5.1a) e (5.2a) podemos, deste modo, encontrar
uma correlação entre a função de fluência e o coeficiente de fluência como:
Φ (t , t 0 ) =
1
[1 + φ (t , t 0 )]
E (t 0 )
(5.3)
NEVILLE [1983] especifica que, quando o coeficiente de fluência é definido
como a relação entre deformação por fluência observada em um tempo t e a
deformação elástica aos 28 dias, usa-se a simbologia Φ28(t,t0) ao invés de Φ(t,t0) e a
função de fluência é escrita da seguinte forma:
Φ 28 (t , t 0 ) =
φ (t , t )
1
+ 28 0
E (t 0 )
E 28
(5.4)
Claramente a relação entre os dois coeficientes de fluência é:
φ (t , t 0 ) = φ 28 (t , t 0 )
E (t 0 )
E 28
(5.5)
Alguns dos métodos usados para a análise da fluência (como os métodos de
“taxa de fluência” e “taxa do fluxo de fluência”) dependem completamente de uma
formulação particular da função de fluência, considerando que outros métodos
podem usar qualquer função de fluência ou até mesmo curvas de ensaios
experimentais que não são prontamente expressas por uma única função de fluência.
NEVILLE [1983] também explica que existem duas escolas de pensamento
considerando a formulação de função de fluência. A primeira tenta representar
39
curvas de fluência do concreto, obtidas experimentalmente, como produto de funções
da idade da aplicação da carga e do tempo de duração do carregamento. Essa
interpretação de cálculo da função de fluência é caracterizada como métodos
produtórios. A representação deste método é dada pela equação 5.6.
Φ (t , t 0 ) =
1
[1 + K 0. f (t , t 0 ).g (t − t 0 )]
E (t 0 )
(5.6)
onde:
• E(t0) é o modulo de elasticidade do concreto na idade t0;
• Κ0 é uma constante;
• f(t,t0) é uma função que expressa o efeito da idade do concreto, sob a ação
de um carregamento aplicado no instante t0;
• g(t-t0) é uma função que expressa o desenvolvimento da fluência com o
tempo sob ação de carregamento;
NEVILLE [1983] cita que este tipo de função de fluência foi usada pelo
CEB-FIB em 1964, 1970 e 1990, e também pelo ACI em 1971.
A segunda escola leva em consideração que a fluência é a soma de duas
parcelas (ou mais), isto é, uma parcela considerada lenta reversível e uma outra
parcela considerada lenta irreversível. Uma característica especial desta formulação é
a consideração de que a parcela lenta reversível é assumida como independente da
idade de aplicação do carregamento e da idade do concreto e a parcela considerada
lenta irreversível é representada por um conjunto de curvas paralelas, ou seja, para
qualquer instante t a velocidade de desenvolvimento da fluência no concreto é
independente da idade de aplicação do carregamento. Estas suposições são chamadas
de métodos somatórios e correspondem a seguinte formulação de uma função de
fluência:
Φ (t , t 0 ) =
1
+ K1. f (t − t 0 ) + K 2 .[ g (t ) − g (t 0 )]
E (t 0 )
onde:
• K1 e K2 são constantes;
(5.7)
40
• f(t-t0) é uma função que descreve o desenvolvimento da parcela elástica
retardada;
• g(t)-g(t0) são funções que descrevem o desenvolvimento da deformação
lenta irreversível com o tempo;
A norma brasileira de concreto NBR 6118/2003 também utiliza este tipo de
formulação em seus cálculos para a determinação da fluência.
Existem, entretanto, um número de características importantes que são
comuns em todos os métodos de análise de fluência. Todos eles assumem que a
fluência varia linearmente com a tensão e eles todos obedecem ao princípio da
superposição aplicado para o concreto por McHenry e Maslov.
5.1. MÉTODOS PARA ANÁLISE DA FLUÊNCIA
Tentar simular o comportamento do concreto é muito difícil, não somente
pela complexidade de suas propriedades, como também porque o concreto é
geralmente utilizado armado (armadura ativa ou passiva).
Desta maneira aqui são apresentados alguns métodos diferenciados de cálculo
de deformações devido à fluência, que vieram ao longo do ultimo século a serem
desenvolvidos e aprimorados por pesquisadores, os quais serão devidamente
descritos a seguir.
Existem vários métodos de análise da fluência. Estes por sua vez podem ser
divididos em Métodos Algébricos e Métodos das Equações Integrais.
5.2. MÉTODOS ALGÉBRICOS
Estes métodos algébricos admitem apenas aproximações na fase da análise
estrutural em uma função de fluência dada.
41
5.2.1. MÉTODO INCREMENTAL
Este método tem aplicação genérica e independe do tipo da função de
fluência e da forma de evolução nas variações de tensão. É adequado para os casos
em que ocorrem variações aleatórias das tensões e deformações, OYAMADA
[1998].
Sua formulação consiste em subdividir o tempo total de análise em pequenos
intervalos, que deverão ser crescentes com o tempo. O total de deformação no final
de um intervalo será a soma das deformações devidas aos incrementos de tensão, que
são aplicados durante os intervalos anteriores. Entretanto, se houver uma variação
brusca de tensão aplicada, um intervalo de duração zero deverá ser introduzido de
forma que a função de fluência seja o inverso do módulo de elasticidade.
Para melhores resultados, em casos de variação contínua de tensão, um
intervalo de tempo deve ser escolhido de forma que o seu comprimento seja
aproximadamente igual ao da escala logarítmica de tempo.
5.2.2. MÉTODO DO MÓDULO EFETIVO
Proposto por FABER em 1927, o método do módulo efetivo consiste em
analisar a fluência por meio da redução do módulo de elasticidade do concreto a
partir de um fator que relaciona o coeficiente de fluência em um tempo t para um
concreto carregado em um tempo t0. O módulo de elasticidade fictício (Ee) de um
concreto submetido à tensão constante é dado pela seguinte expressão (OYAMADA
[1998]):
Ee =
E(t 0 )
1+ φ(t, t 0 )
(5.8)
Este módulo de elasticidade fictício é usado apenas nas análises elásticas.
Deste modo, a deformação por fluência na idade t depende exclusivamente do valor
da tensão naquele instante, não considerando, portanto, o histórico de tensões.
Assim, é dedutível que o método do módulo efetivo dá bons resultados somente
quando a tensão do concreto não varia significativamente durante o período de
42
observação e quando a influência da idade do concreto não é expressiva, caso em que
o concreto se apresenta em idades avançadas.
Quando consideradas situações de tensões decrescentes, as deformações são
subestimadas e, em situação inversa, as deformações são superestimadas. Havendo
remoção de tensão aplicada, temos uma completa recuperação das deformações
OYAMADA [1998].
5.2.3. MÉTODO DE TROST-BAZANT
Este é um método prático para a determinação das deformações devidas às
variações nas tensões aplicadas, ou tensões devidas às variações nas deformações
aplicadas, foi proposto por TROST em 1967 e posteriormente aperfeiçoado por
BAZANT em 1980 com a introdução do coeficiente de envelhecimento, e denominouo de método do módulo efetivo ajustado pela idade do concreto (OYAMADA
[1998]).
Após a definição do método do módulo efetivo (Ee) ocorreu, por TROST, uma
pequena modificação no mesmo, onde o módulo de elasticidade (Eea) seria
equivalente ao módulo efetivo, porém com uma singela correção no coeficiente de
fluência conforme mostrado na seguinte expressão:
Eea (t, t 0 ) =
Ec (t 0 )
1 + χ.φ(t, t 0 )
(5.9)
O coeficiente de envelhecimento χ leva em consideração a idade do concreto
quando da aplicação dos incrementos ou decrementos de tensões, que podem ocorrer
após a aplicação da carga inicial.
Da observação de resultados experimentais e estudos de TROST e BAZANT,
conclui-se que um valor médio do coeficiente de envelhecimento χ = 0,82, pode ser
usado para resolver os problemas usuais de estruturas sujeitas à fluência
(OYAMADA [1998]).
OYAMADA [1998] também cita que em seu trabalho original, TROST
determinou um valor numérico para o coeficiente de envelhecimento, com base na
função de fluência do CEB 1964 e com duas hipóteses: que a variação da
43
deformação em conseqüência da alteração nas tensões segue a função de fluência e a
que o módulo de elasticidade é constante. Assim, TROST observou que o coeficiente
de envelhecimento depende do coeficiente de fluência e da idade do concreto
quando aplicado à carga. O tempo de duração do carregamento tem apenas uma
pequena influência na determinação do χ, podendo ser até desprezado (OYAMADA
[1998]).
5.3. MÉTODOS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Ao contrário dos métodos algébricos, que apenas admitem aproximações na
fase da análise estrutural em uma função de fluência dada, os métodos das equações
diferenciais resolvem a estrutura com maior exatidão, porém simplificam a função de
tal forma que admita uma solução estrutural exata sem grandes dificuldades.
5.3.1. MÉTODO DE DISCHINGER OU MÉTODO DA RAZÃO DE FLUÊNCIA
O método da razão de fluência foi estabelecido por GLANVILLE em 1930.
Ele concluiu que por meio de dados experimentais retirados de ensaios em concretos
“novos”, que, em qualquer idade t, a razão de fluência independe da idade de
aplicação da carga. Isto significa que as curvas de fluência são paralelas para todas as
idades de aplicação de carga.
Com isso, uma única curva do coeficiente de fluência, determinada para uma
tensão aplicada no instante t é suficiente para definir as demais curvas para todas as
idades subseqüentes de aplicação do carregamento (t > t0). Assim, a função de
fluência assume a seguinte forma para a tensão inicial aplicada no instante t0:
Φ(t, t 0 ) =
1
1 ⎡
+ C(t, t 0 ) =
1 + φ(t, t 0 ) ⎤⎦
E(t 0 )
E(t 0 ) ⎣
(5.10)
Para uma subseqüente carga aplicada no instante t1>t0, temos:
Φ(t, t 0 ) =
1
1 ⎡
+
φ(t, t 0 ) - φ(t, t1 ) ⎤⎦
E(t1 ) E(t 0 ) ⎣
(5.11)
44
Aplicando-se estas equações para o cálculo da deformação total no instante t
devida a uma tensão σ0 constante entre t0 e t1, tempo:
ε(t) = σ0 ⎡⎣Φ(t, t 0 ) - Φ(t, t1 ) ⎤⎦
⎡ 1
⎤
1
1
+
φ(t1 ,t 0 ) ⎥
⎢⎣ E(t 0 ) E(t1 ) E(t 0 )
⎥⎦
ε(t) = σ0 ⎢
(5.12)
(5.13)
Como E(t1) = E(t0), a deformação no instante t > t1, será:
ε(t) =
σ0 φ(t1 , t 0 )
E(t 0 )
(5.14)
Verifica-se neste método, que a deformação após a remoção da tensão,
permanece constante, o que significa que a parcela da fluência reversível, não é bem
representada neste método.
Obtêm-se bons resultados com a utilização do método da razão de fluência
para cargas aplicadas em concretos novos, em contraste com o método do módulo
efetivo cuja aplicação é adequada para concretos de idades avançadas.
A utilização deste método para o cálculo da fluência é bastante difundida em
vários códigos e normas no mundo inteiro. Como exemplo temos a norma Americana
ACI-209, a norma Européia o CEB-FIB 1990 e a norma Brasileira NBR 6118/2004.
5.3.2. MÉTODO DA RAZÃO DE FLUÊNCIA LENTA IRREVERSÍVEL
ENGLAND e ILLSTON (apud NEVILLE [1983]) propuseram representar a
fluência como a soma de três componentes: a deformação elástica, a deformação
rápida e a deformação lenta irreversível com o intuito de minimizar as deficiências
do método da razão de fluência.
Baseados em suas experiências e também nas de outros pesquisadores,
ENGLAND e ILLSTON concluíram que a deformação rápida não é função da idade
de aplicação da carga, e atinge seu valor final muito antes do que a fluência lenta
irreversível. Segundo os autores a fluência lenta irreversível representa o componente
irreversível da fluência total, da mesma forma que, no método da razão de fluência.
45
As curvas de fluência lenta irreversível, de um elemento de concreto
carregado por tensões unitárias em diferentes idades, são admitidas paralelas,
significando que a razão de fluência lenta irreversível é a mesma em qualquer idade.
Este método apresenta melhores resultados do que o método da razão de
fluência, porque a parcela da fluência reversível em concretos jovens, quando são
descarregados, é mais bem determinada. Entretanto, a função de fluência não
representa corretamente a fluência do concreto jovem, carregado em idade t > t0, e a
fluência em concreto de idade avançada fica muito subestimada.
5.3.3. MÉTODO DE DISCHINGER MELHORADO
Neste método, admite-se que a parcela da deformação rápida se desenvolva
com maior velocidade que a parcela de deformação lenta irreversível. Para
possibilitar um tratamento analítico mais simples, L.F. NIELSEN (apud NEVILLE
[1983]) propôs adicionar a parcela de deformação rápida na parcela de deformação
elástica, e tratar a parcela da deformação lenta irreversível da mesma maneira que no
método da razão de fluência. Com estas considerações temos que, para a carga inicial
aplicada na idade t0, a função de fluência será expressa da seguinte forma:
Φ(t,t 0 ) =
1 φf (t) - φf (t 0 )
+
Ed
E(t 0 )
(5.15)
Onde Ed é o módulo de elasticidade fictício e:
φ
1
1
=
+ d
E d E(t 0 ) E(t 0 )
(5.16)
NIELSEN recomendou φd = 1/3 e posteriormente, RUSCH propôs o valor de
φd = 0,4 para (t-t’) > 90 dias, valor este adotado pelo CEB-FIB 1978.
Pode-se dizer que o método de DISCHINGER constitui um método composto
pelo método do módulo efetivo (EM method) e pelo método da razão de fluência
(RC method). A vantagem deste método esta na simplicidade do tratamento analítico
e dos bons resultados obtidos para os casos práticos, onde o tempo de aplicação da
carga excede três meses.
46
Em estudos realizados, OYAMADA [1998] comparou os vários métodos de
aplicação para o estudo da fluência citados anteriormente. Nesse estudo, o autor
comprova que nenhum destes métodos para análise da fluência pode ser considerado
como exato. O mesmo cita que este fato não é de vital importância, visto que, na
prática, sempre são necessárias hipóteses simplificadoras para facilitar a solução dos
problemas.
OYAMADA [1998] descreve que para os exemplos numéricos apresentados
em seu trabalho, pode-se observar que por meio de uma formulação matemática
muito mais simples, chegou-se a resultados de deformações muito próximos ao
apresentado pelo Método da Razão de Fluência Lenta Irreversível, o qual apresenta
menos simplificações e, conseqüentemente, melhores resultados.
Este capítulo apresentou uma classificação das funções de fluência e dos
métodos diferenciados de cálculo de deformação devido à fluência. A importância
em citar tais funções e métodos de cálculo da fluência está em classificar e
compreender quais destas funções e métodos estão sendo utilizados pelos programas
e pela norma brasileira NBR 6118/2003. Isto é necessário para que seja possível
haver um melhor entendimento no comportamento da fluência nestas análises.
No próximo capítulo será apresentada a formulação para o cálculo da
deformação por fluência proposta pela NBR 6118/2003, assim como a metodologia
de ensaio para a determinação da fluência para concreto endurecido segundo a NBR
8224/1983.
MODELO DE FLUÊNCIA – NBR 6118/2003
6
47
MODELO DE FLUÊNCIA
NBR 6118/2003
Neste capítulo será apresentada uma formulação para o cálculo da
deformação ao longo do tempo (fluência) segundo a norma brasileira NBR
6118/2003 como também a descrição da realização de ensaio para a determinação do
fenômeno da fluência para concreto endurecido segundo a NBR 8224/1983. Estas
normas propõem o cálculo e o ensaio em peças de concreto para a determinação da
fluência. Serão baseados na NBR 6118/2003 os cálculos de deformação e
deslocamento para a viga proposta no próximo capítulo. Estes resultados, como já
mencionado anteriormente, serão comparados com os resultados obtidos em análises
numéricas por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF) e em resultados
experimentais de vigas em concreto armado.
6.1. FORMULAÇÃO PROPOSTA PELA NBR 6118/2003
Segundo a norma brasileira NBR 6118, em casos onde não seja necessária
grande precisão de resultados, os valores finais do coeficiente de fluência ϕ(t,t0) e da
deformação específica de retração εcs(t∞,t0) do concreto, submetido a tensões
48
menores que 0,5.fck quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por
interpolação linear, a partir da Tabela 6.1.
Nos casos em que a tensão σc(t0) não varia significativamente, permite-se que
essas deformações sejam calculadas pela expressão:
⎡ 1
ϕ (t ∞ , t 0 ) ⎤
ε c (t ∞ , t 0 ) = σ c (t 0 ).⎢
+
⎥
⎣ E ci (t 0 ) E ci (28) ⎦
(6.1)
onde:
- εc(t∞,t0) é a deformação específica total do concreto entre os instantes t0 e t∞;
- σc(t0) é a tensão do concreto devido ao carregamento aplicado em t0
submetido a uma tensão unitária no instante t0;
- ϕ(t∞,t0) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por
carregamento aplicado em t0;
O valor de ϕ(t∞,t0) pode ser calculado pela interpolação da Tabela 6.1. Essa
tabela fornece o valor característico superior de ϕ(t∞,t0) em algumas situações usuais.
O valor característico inferior de ϕ(t∞,t0) é considerado nulo.
Tabela 6.1 – Valores característicos superiores da deformação específica de retração εcs(t∞,t0) e do
coeficiente de fluência ϕ(t∞, t 0).
Umidade Ambiente %
40
(valor médio)
Espessura Fictícia
75
90
20
60
20
60
20
60
20
60
5
4,4
3,9
3,8
3,3
3,0
2,6
2,3
2,1
30
3,0
2,9
2,6
2,5
2,0
2,0
1,6
1,6
t0
60
3,0
2,6
2,2
2,2
1,7
1,8
1,4
1,4
(dias)
5
-0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09
30
-0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09
60
-0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09
2Ac/u (cm)
ϕ(t∞, t 0)
εcs(t∞,t0)
55
49
A Tabela 6.1 fornece o valor do coeficiente de fluência ϕ(t∞,t0) e da
deformação específica εcs(t∞,t0) em função de umidade ambiente e da espessura
equivalente 2Ac/u , onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção
em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos à temperatura do
concreto entre 10ºC e 20ºC, podendo, entretanto, admitir temperaturas entre 0ºC e
40ºC. Esses valores são válidos para concretos de cimento Portland comum.
Deformações específicas devidas à fluência e à retração mais precisas podem
ser calculadas segundo indicações do ANEXO A da NBR 6118/2003 ou como segue
abaixo.
6.2. EFEITO DO TEMPO NO CONCRETO ESTRUTURAL – NBR 6118/2003
A norma brasileira estabelece que dados usados no seu Anexo A têm caráter
informativo e podem, na falta de dados melhores, ser usados no projeto de estruturas
de concreto.
Quando não há impedimento à livre deformação do concreto e a ele é
aplicado, no tempo t0, uma tensão constante no intervalo t-t0, sua deformação total no
tempo t vale:
ε c (t ) = ε c (t 0 ) + ε cc (t ) + ε cs (t )
ε c (t 0 ) =
(6.2)
σ c (t 0 )
(6.3)
E ci (t 0 )
⎡σ c (t 0 ) ⎤
⎥ϕ (t , t 0 )
⎣ E ci 28 ⎦
ε cc (t ) = ⎢
(6.4)
onde:
- εc(t0) é a deformação imediata, por ocasião do carregamento, com Eci(t0)
calculado, para j = t0, pela expressão: E ci (t 0 ) = 5600. f ckj
0,5
;
- εcc(t0) é a deformação por fluência, no intervalo de tempo (t,t0), com Eci28
calculado pela mesma expressão para j = 28 dias;
- εcs(t) é a deformação por retração, no intervalo de tempo (t,t0).
50
A norma afirma que a deformação do concreto por fluência (εcc), compõe-se
de duas parcelas, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida (εcca) é irreversível e
ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A
deformação lenta por sua vez é composta por duas parcelas: a deformação lenta
irreversível (εccf) e a deformação lenta reversível (εccd).
ε cc = ε cca + ε ccf + ε ccd
(6.5)
ε c,tot = ε c + ε cc = ε c (1 + ϕ )
(6.6)
ϕ = ϕa + ϕf + ϕd
(6.7)
onde:
- ϕa é o coeficiente de deformação rápida;
- ϕf é o coeficiente de deformação lenta irreversível;
- ϕd é o coeficiente de deformação lenta reversível;
As hipóteses adotadas pela norma para o cálculo do efeito da fluência, quando
as tensões no concreto são as de serviço, são as seguintes:
a) a deformação por fluência εcc varia linearmente com a tensão aplicada;
b) para acréscimos de tensões aplicados em instantes distintos, os
respectivos efeitos de fluência se superpõem;
c) a deformação rápida produz deformações constantes ao longo do
tempo; os valores do coeficiente já são função da relação entre a
resistência do concreto no momento da aplicação da carga;
d) o coeficiente de deformação lenta reversível ϕd depende apenas da
duração do carregamento; o seu valor final e o seu desenvolvimento ao
longo do tempo são independentes da idade do concreto no momento de
aplicação da carga;
e) o coeficiente de deformação lenta irreversível ϕf depende de:
− umidade relativa do ambiente (U);
− consistência do concreto;
51
− espessura fictícia da peça hfic;
− idade fictícia do concreto no instante da aplicação da carga;
− idade fictícia do concreto no instante considerado;
f)
para o mesmo concreto, as curvas de deformação lenta irreversível em
função do tempo, correspondentes a diferentes idades do concreto no
momento do carregamento, são obtidas, umas em relação às outras, por
deslocamento paralelo ao eixo das deformações conforme a Figura 6.1.
Uma observação bem pertinente pode ser feita com relação à função
estabelecida pela norma, para a obtenção da deformação lenta irreversível. Pela
norma as curvas de deformação (Figura 6.1) são consideradas paralelas, ou seja, a
cada intervalo de tempo tomado, o comportamento da curva é o mesmo e
independente desse tempo. Deste modo, é evidenciada a não caracterização do
comportamento do concreto, uma vez que, existindo o aumento da resistência do
Deformação Lenta Irreversível
material com o tempo, estas curvas não poderiam ser paralelas.
εccf
t1
t2
t3
tempo t
Figura 6.1 – Variação εccf (t)
Em um instante t, a deformação devida à fluência é dada por:
ε cc (t, t 0 ) = ε cca + ε ccf + ε ccd =
σc
ϕ (t, t 0 )
E c28
(6.8)
com Ec28 calculado, para j = 28 dias, pela expressão Ec28 = 5600fck0,5 e ϕ(t,t0)
calculado por:
52
ϕ (t, t 0 ) = ϕ a + ϕ f∞ [β f (t) − β f (t 0 )] + ϕ d∞ .β d
(6.9)
com:
⎡
ϕ a = 0,8.⎢1 −
⎣
f c (t 0 ) ⎤
⎥
f c (t ∞ ) ⎦
(6.10)
onde:
- t é a idade fictícia do concreto no instante considerado;
- t0 é a idade fictícia do concreto ao ser introduzido o carregamento, em dias;
- fc(t0)/fc(t∞) é a função de crescimento da resistência do concreto com a idade
definida em 12.3 da respectiva norma;
- βf(t) ou βf(t0) é o coeficiente relativo à deformação lenta irreversível, função
da idade do concreto (Figura 6.2);
- ϕd∞ é o valor final do coeficiente de deformação lenta reversível que é
considerado igual a 0,4;
- βd é o coeficiente relativo à deformação lenta reversível em função do tempo
(t-t0) decorrido após o carregamento.
ϕ f∞ = ϕ1c .ϕ 2c
ϕ 2c =
42 + h fic
20 + h fic
h fic = γ
2. Ac
u ar
(6.11)
(6.12)
(6.13)
onde:
- ϕ1c é a parcela do coeficiente de deformação lenta irreversível que depende da
umidade relativa do ambiente (U%) e da consistência do concreto dado pela
Tabela A.1 no Anexo A da respectiva norma;
- Ac é a área da seção transversal da peça;
- uar é à parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato
com ar;
53
- γ é o coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente U%, devendo
ser calculado pela seguinte expressão:
γ = 1 + exp(−7,8 + 0,1.U )
(6.14)
Figura 6.2 – Variação βf (t)
β f (t ) =
t 2 + At + B
t 2 + Ct + D
3
2
A = 42.h fic − 350.h fic + 588.h fic + 113
3
2
B = 768.h fic − 3060.h fic + 3234.h fic − 23
3
2
C = −200.h fic − 13.h fic + 1090.h fic + 183
3
2
D = 7579.h fic − 31916.h fic + 35343.h fic + 1931
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
onde:
- hfic é a espessura fictícia, dada em metros (0,05 ≤ hfic ≤ 1,6 sendo que para
valores fora deste intervalo, deve-se adotar os extremos correspondentes);
- t é o tempo em dias para (t ≥ 3);
54
βd =
t − t 0 + 20
t − t 0 + 70
(6.20)
Em relação a considerar a idade fictícia do concreto, a norma faz o seguinte
comentário:
“A idade a considerar é a idade fictícia (tef), em dias, quando o endurecimento
se faz à temperatura ambiente de 20ºC e, nos demais casos, quando não houver cura
a vapor, a idade a considerar é a idade fictícia dada por:
t =α∑
i
Ti + 10
∆t ef ,i
30
(6.21)
onde:
- t é a idade fictícia, em dias;
- α é o fator que depende da velocidade de endurecimento do cimento; na falta
de dados experimentais permite-se o emprego dos valores constantes da
Tabela 6.2;
- Ti é a temperatura média diária do ambiente;
- ∆tef,i é o período, em dias, durante o qual a temperatura média diária do
ambiente, Ti, pode ser admitida constante.
Tabela 6.2 – Valores da fluência e da retração em função da velocidade de endurecimento do cimento.
α
Cimento Portland (CP)
Fluência Retração
1
De endurecimento lento (CP III e CP IV, todas as classes de resistência)
1
2
De endurecimento normal (CP I e CP II, todas as classes de resistência)
3
De endurecimento rápido (CP V-ARI)
Onde:
CP I e CP I-S – Cimento Portland comum
CP II-E, CP II-F e CP II-Z – Cimento Portland composto
CP III - Cimento Portland de alto-forno
CP IV - Cimento Portland pozolânico
CP V-ARI – Cimento Portland de alta resistência inicial
RS – Cimento Portland resistente a sulfatos (propriedade de alguns dos tipos de cimento citados)
Quando há variação de tensão ao longo do intervalo, induzida por ações
externas ou agentes de diferentes propriedades reológicas (incluindo-se armadura,
concretos de diferentes idades, etc), a deformação total no concreto pode ser
calculada por:
55
ε c (t) =
t
∂σ c ⎛ 1 αϕ (τ , t 0 ) ⎞
σ c (t 0 ) σ c (t 0 )
⎟⎟dτ
⎜⎜
+
ϕ (t, t 0 ) + ε cs (t, t 0 ) + ∫
+
∂
τ
E
E
E c (t 0 ) E c 28
c28
⎠
⎝ cτ
τ=t 0
(6.22)
em que os três primeiros termos representam a deformação não impedida e a integral,
os efeitos da variação de tensões ocorridas no intervalo. Permite-se substituir essa
expressão por:
⎡ 1
⎛ 1
ϕ (t, t 0 ) ⎤
ϕ (t, t 0 ) ⎞
⎟
+
+
ε c (t) = σ c (t 0 ) ⎢
⎥ + ε cs (t, t 0 ) + ∆σ c (t, t 0 )⎜⎜
E c 28 ⎦
E c28 ⎟⎠
⎝ E c (t 0 )
⎣ E c (t 0 )
(6.23)
onde:
- ∆σc (t,t0) é a variação total de tensão no concreto, no intervalo (t,t0);
- α é o coeficiente característico que tem valor variável conforme o caso.
No cálculo de perdas de protensão de casos usuais onde a peça pode ser
considerada como concretada e a protensão aplicada de uma só vez, pode-se adotar
α = 0,5 e admitir Ec(t0) = Ec28, como feito na seção 9.6.3.4.2. desta norma. Observarse que aquela subseção considera que o coeficiente de fluência do concreto ϕ = ϕa +
ϕf + ϕd é um coeficiente de deformação lenta irreversível com as propriedades
definidas para ϕf.
Nos outros casos usuais pode-se considerar α = 0,8, mantendo Ec(t0) ≠ Ec28
sempre que significativo. Essa aproximação tem a vantagem de tratar ϕ como uma
única função, sem separar ϕa, ϕf, e ϕd.
É possível separar ϕa, ϕf, e ϕd, mas para isso é necessário aplicar a expressão
integral ao problema em estudo. A expressão simplificada não se aplica nesse caso.
Nos próximos capítulos será retratada a descrição e a modelagem numérica
feita em vigas de concreto armado. Serão feitas considerações do material estudado
bem como a forma que se procedeu à modelagem. É importante ressaltar que os
cálculos provenientes das deformações e deslocamentos baseados na NBR
6118/2003 foram feitos em uma seqüência de cálculo no programa Mathcad
disponíveis no ANEXO 2 deste trabalho.
56
Algumas observações, pertinentes, podem ser feitas com relação aos cálculos
da deformação e da flecha em estruturas de concreto armado tendo como base a NBR
6118/2003.
A consideração em algumas propriedades do concreto para a obtenção da
deformação e flecha como, por exemplo, o abatimento do tronco de cone (slump)
pode, atualmente, ser desconsiderada nos cálculos. Isso se deve ao fato de que o
“slump” de uma amostra de concreto pode ser modificado, inserindo no material
algum tipo de redutor de pega (aditivos ou adições), que permitirá uma boa ou má
consistência no concreto com a mesma relação água-cimento (a/c).
6.3. EFEITO DA PERDA
CONCRETO
DE
RIGIDEZ DEVIDO
A
FISSURAÇÃO
NO
Cuidados especiais devem ser tomados em relação à fissuração e verificação
das flechas no ELS, principalmente quando se adota a relação entre momentos muito
diferente da que resulta de uma análise elástica.
6.3.1. ELEMENTOS LINEARES SUJEITOS A SOLICITAÇÕES NORMAIS – ELS
Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no
estádio I e parcialmente no estádio II. A separação entre essas duas partes é definida
pelo momento de fissuração. Esse momento pode ser calculado pela seguinte
expressão aproximada:
MR =
α.f ct .I c
yt
(6.24)
onde:
- α é o fator que correlaciona, aproximadamente, a resistência à tração na flexão
com a resistência à tração direta (α = 1,2 para seções T ou duplo T ou α = 1,5
para seções retangulares);
- yt é à distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
- Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
57
- fct é a resistência à tração direta do concreto com o quantil apropriado a cada
verificação particular.
Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o fctk,
inf
no
estado limite de formação de fissura e o fct,m no estado limite de deformação
excessiva (ver seção 8.2.5 da NBR 6118). No caso da utilização de armaduras ativas
deve ser considerado o efeito da protensão no cálculo do momento de fissuração.
6.3.2. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA
A verificação dos valores limites estabelecidos para a deformação da
estrutura (tabela 13.2 da NBR 6118/2003), mais propriamente rotações e
deslocamentos em elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e
submetidos à combinação de ações, deve ser realizada por meio de modelos que
considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, ou seja, levem em
consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo
dessa armadura e as deformações diferidas no tempo.
A deformação real da estrutura depende também do processo construtivo,
assim como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de
elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face
da grande variabilidade dos parâmetros citados, existe uma grande variabilidade das
deformações reais. Não se pode esperar, portanto, grande precisão nas previsões de
deslocamentos dadas pelos processos analíticos a seguir prescritos.
6.3.3. AVALIAÇÃO APROXIMADA DA FLECHA EM VIGAS
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o aço
como materiais de comportamento elástico e linear, de modo que as seções ao longo
do elemento estrutural possam ter as deformações específicas determinadas no
estádio I, desde que os esforços não superem aqueles que dão início à fissuração, e
no estádio II, em caso contrário.
Deve ser utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade secante Ecs,
sendo obrigatória à consideração do efeito da fluência.
58
6.3.4. FLECHA IMEDIATA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Para uma avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, pode-se utilizar
a expressão de rigidez equivalente dada a seguir e desenvolvida por Branson:
EI eq
⎧⎪⎛ M
= E cs ⎨⎜⎜ r
⎪⎩⎝ M a
3
⎡ ⎛M
⎞
⎟⎟ .I c + ⎢1 − ⎜⎜ r
⎢⎣ ⎝ M a
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
3
⎤ ⎫⎪
⎥ I II ⎬ ≤ E cs .I c
⎥⎦ ⎪⎭
(6.25)
onde :
- Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
- III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II;
- Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo
no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços,
para a combinação de ações considerada nessa avaliação;
- Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser
reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas;
- Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto.
A determinação do momento de inércia (III) após a fissuração da estrutura
(ESTÁDIO II) é dada pela seguinte expressão:
b.x II3
2
I II =
+ α e . As .(d − x II )
3
(6.26)
b.x II2
− α e . As .(x II − d ') = 0
2
(6.27)
onde:
- b é a base da viga;
- αe é a relação entre o módulo de elasticidade da armadura e do concreto;
- As é a armadura de flexão positiva;
- d é a distância entre a borda superior da viga e o eixo da armadura positiva;
- xLN é o posicionamento da linha neutra após a fissuração do concreto;
59
- d’ é à distância entre o eixo da armadura positiva e a borda inferior da viga.
Para o calculo do deslocamento vertical (flecha) de uma viga biapoiada com
carregamento concentrado no meio do vão, usa-se a seguinte expressão:
a=
P.l 3
48.EI
(6.28)
onde:
- a é o comprimento deslocado no centro do vão da viga em relação ao seu eixo
vertical;
- P é o carregamento aplicado;
- l é o comprimento (vão) da viga;
O valor de EI dependerá do valor do momento de fissuração da estrutura. Este
será igual a EIeq se o valor do momento de fissuração da viga for maior que o valor
do momento devido ao carregamento, ou seja, Mr > Ma. Isso implicará dizer que a
estrutura está trabalhando em ESTÁDIO II.
Caso contrário, quando Mr ≤ Ma, o valor de EI nada mais é que o produto do
módulo de elasticidade secante do concreto pelo momento de inércia da estrutura em
ESTÁDIO I.
6.3.5. CÁLCULO DA FLECHA DIFERIDA
CONCRETO ARMADO
NO
TEMPO PARA VIGAS
DE
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em
função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da
flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
αf =
∆ξ
1 + 50ρ '
(6.29)
A s'
b.d
(6.30)
onde:
ρ' =
60
− ∆ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser calculado pelas expressões
seguintes:
∆ξ = ξ( t ) − ξ( t 0 )
(6.31)
ξ( t ) = 0,68.(0,996 t ) t 0,32 (para t ≤ 70 meses)
(6.32)
∆ξ = 2 para t > 70 meses
(6.33)
Tabela 6.3 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo
Tempo (t)
meses
Coeficiente
ξ(t)
0
0,5
1
2
3
4
5
10
20
40
≥ 70
0
0,54
0,68
0,84
0,95
1,04
1,12
1,36
1,64
1,89
2
onde:
- t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
- t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.
O valor da flecha total incluindo a fluência deve ser obtido multiplicando a
flecha imediata por (1 + αf).
6.4. ENSAIO PARA DETERMINAÇÃO
DA
FLUÊNCIA
EM
CONCRETO
ENDURECIDO - NBR 8224/1983
A relevância deste item no trabalho é dada pela importância em se ter o
devido conhecimento técnico no que diz respeito ao procedimento de ensaio para a
determinação da fluência em concreto endurecido. Além disso, a aplicação deste
procedimento de ensaio é que deveria ser fator basilar para a calibração dos modelos
disponíveis nos programas estudados (ADINA e DIANA), uma vez que estes não
conseguem reproduzir completamente algumas das intempéries (variação de umidade
e temperatura) existentes na estrutura analisada.
O objetivo desta norma é prescrever o método para a determinação da
deformação do concreto, devido ao fenômeno da fluência. Segundo a mesma a
deformação por fluência é determinada em uma certa idade, pela diferença entre a
deformação total e a soma das deformações independentes da permanência do
carregamento ao longo do tempo como:
61
a) deformação imediata que ocorre, no ato da aplicação do carregamento;
b) deformação autógena que ocorre ao longo do tempo de duração de ensaio de
fluência.
A deformação imediata é medida no ato de aplicação da carga e a deformação
autógena é determinada em corpos-de-prova similares àqueles utilizados para a
determinação de fluência, sendo mantidos em condições ambientais idênticas, não
sendo, contudo, submetidos a carregamento.
6.4.1. FORMA E DIMENSÕES DOS CORPOS-DE-PROVA
Os corpos-de-prova devem ser cilíndricos, possuindo relação altura/diâmetro
igual ou maior que 2. O diâmetro dos corpos-de-prova deverá respeitar os seguintes
limites:
Tabela 6.4 – Limite para corpos-de-prova.
Diâmetro do Corpo-de-Prova
Dimensão Máxima Característica
do Agregado-graúdo
150 mm
19 mm
150 mm
38 mm
250 mm
76 mm
450 mm
152 mm
Para que a interpretação dos resultados dos ensaios seja significativa, é
essencial dispor dos resultados de ensaios de resistência à compressão, da
deformação autógena, e do módulo de deformação, executados em corpos-de-prova
complementares. A deformação autógena será a deformação observada ao longo do
tempo nos corpos-de-prova complementares não submetidos a qualquer espécie de
carregamento. As dimensões dos corpos-de-prova para a determinação da
deformação autógena deverão ser as mesmas dos utilizados para o ensaio de fluência.
Os corpos-de-prova complementares e aqueles destinados ao ensaio de
fluência deverão ser moldados com o mesmo traço, e se possível da mesma
amassada, e deverão ser submetidos às mesmas condições de cura.
62
6.4.2. PREPARAÇÃO DOS CORPOS-DE-PROVA
Quando forem utilizados dispositivos para a medição de deformação, serão
necessários discos metálicos pouco deformáveis sob tensão, para a fixação do
medidor de deformações (extensômetro). O disco inferior deverá permitir a passagem
do cabo do medidor, possuindo para isso uma ranhura que partirá do orifício central e
terá comprimento do raio do disco. A largura da ranhura deverá ser suficiente para
permitir a passagem do cabo do extensômetro. O cabo do extensômetro deverá estar
protegido contra danos, enquanto corpo-de-prova estiver sob carga.
A espessura do disco deverá ser de 20mm. O disco superior deverá ser
colocado logo após o endurecimento do concreto devendo ser colocado com resina
epóxi. Um cuidado especial deve ser tomado na colocação dos discos, de tal forma a
manter a perpendicularidade do plano do mesmo em relação ao eixo longitudinal do
corpo-de-prova. A Figura 6.3 ilustra o posicionamento dos discos e do extensômetro
embutido.
DISCO METÁLICO SUPERIOR
JAQUETA DE
VEDAÇÃO
DISCO METÁLICO INFERIOR
Figura 6.3 (a) – Posicionamento
do extensômetro
Figura 6.3 (b) – Posicionamento dos
discos e da jaqueta
Figura 6.3 – Aparelho para ensaio da fluência no concreto.
Os corpos-de-prova deverão ser adensados, de acordo com os requisitos dos
parágrafos 4 e 5 da NBR 5738, utilizando somente vibração mecânica. O diâmetro do
vibrador deverá ser compatível com a dimensão máxima característica do agregado
graúdo. Na modelagem dos corpos-de-prova providos de extensômetros embutidos,
63
deverão ser tomados cuidados especiais para que o mesmo não seja avariado ou
deslocado de sua posição durante a operação de adensamento.
Os extensômetros embutidos no concreto devem estar coincidentes com o
eixo dos moldes, que deverão estar na posição vertical durante a moldagem.
Deverão, portanto, ser previstos dispositivos de fixação que assegure o correto
posicionamento dos extensômetros.
A quantidade mínima de corpos-de-prova moldados para cada idade de
carregamento deverá ser a seguinte:
a) dois corpos-de-prova para os ensaios de resistência à compressão;
b) dois corpos-de-prova para os ensaios de fluência.
No ensaio de fluência, além de corpos-de-prova destinados ao ensaio
propriamente dito, deverão ser moldados pelo menos dois corpos-de-prova munidos
com dispositivos de medição de deformação, que permanecerão descarregados,
durante todo período de ensaio. Tais corpos-de-prova denominados “de controle”
indicarão as variações volumétricas devido a outras causas, diferentes do
descarregamento.
6.4.3. CURA DOS CORPOS-DE-PROVA
Para a cura padrão, antes da desforma, os corpos-de-prova deverão ser
guardados em uma sala com temperatura de (23,0 ± 2,0)ºC e cobertos com material
que evite a evaporação recomendando-se o uso de plástico ou filme plástico.
Os corpos-de-prova deverão ser desformados após um período não inferior a
20 horas nem superior a 48 horas após a modelagem. Após a desforma, que deverá
ser feita de preferência dentro da câmara úmida, os corpos-de-prova deverão ser
mantidos na câmara úmida, à temperatura de (23,0 ± 2,0)ºC até a idade de ensaio.
A umidade relativa na câmara úmida não deve ser menor que 95% sendo o
seu valor indicado no relatório.
64
Poderão ser especificados outras condições de cura e estocagem, em função
das necessidades do projeto e da obra. Essas condições deverão, entretanto, ser
detalhadas de modo preciso no relatório.
6.4.4. APARELHAGEM
A máquina de ensaio deverá ser capaz de aplicar e manter a carga
especificada para o ensaio durante todo o período de realização do ensaio, não
devendo ter erro de exatidão maior que 2%. Será composta dos seguintes elementos:
a) célula hidráulica de carregamento;
b) mola de reação;
c) rótula de apoio.
No dispositivo de carregamento que utiliza células hidráulicas existem várias
estruturas que podem ser carregadas simultaneamente, por meio de uma unidade
central de manutenção de carga.
O ajuste desta carga é feito por meio de reguladores e de leitura em
manômetros. Existe também a possibilidade de ajuste automático das variações de
carga por meio de reguladores a uma fonte de pressão.
Os aparelhos ou instrumentos destinados à medição das deformações deverão
apresentar precisão de leitura de no mínimo 20 x 10-6m.
6.4.5. EXECUÇÃO DO ENSAIO
Para a comparação da característica de diferentes misturas de concreto deverá
ser definida para o ensaio somente uma idade de carregamento. Para casos
específicos poderão ser definidas outras idades de carregamento, devendo as mesmas
constar no relatório de ensaio.
A temperatura ambiente durante o ensaio deverá ser a especificada pelo
solicitante e deverá ser rigorosamente mantida no intervalo de variação de ± 2ºC.
Qualquer variação de temperatura acima ou abaixo dos valores limites especificados,
65
poderá provocar variações volumétricas significativas, que deverão ser corrigidas
após serem calculadas e analisadas.
A tensão a ser aplicada nos corpos-de-prova deverá ser de (40 ± 2)% da
resistência à compressão do concreto na idade de carregamento. Para a determinação
da tensão de carregamento, os corpos-de-prova complementares deverão ser
ensaiados à resistência à compressão, imediatamente antes do ensaio.
O carregamento deverá se feito a uma velocidade tal que a carga total seja
aplicada no corpo-de-prova durante um período o mais próximo possível de 30
segundos.
A carga deverá ser aplicada após o posicionamento correto dos corpos-deprova na máquina de ensaio. Os corpos-de-prova devem ser centrados na máquina de
ensaio de modo que o eixo de aplicação da carga coincida com o eixo vertical dos
corpos-de-prova.
Antes do carregamento definitivo deverão ser realizados dois ciclos iniciais
de carregamento e descarregamentos nos corpos-de-prova, até a carga estabelecida
nos ensaio. Deve também ser feita uma leitura nos aparelhos medidores de
deformação imediatamente antes do carregamento definitivo (leitura de referência).
As leituras subseqüentes, tanto da carga aplicada como das deformações deverão ser
feitas na seguinte seqüência:
a) 30 segundos após o carregamento (deformação imediata);
b) 5, 10 e 30 minutos após o carregamento;
c) 1, 2 e 5 horas após o carregamento;
d) diariamente por uma semana;
e) duas vezes por semana até completar um mês;
f) semanalmente até completar o ensaio.
AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL DA FLUÊNCIA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
7
66
AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL
DA FLUÊNCIA EM VIGAS
DE CONCRETO ARMADO
Neste trabalho é estudado o comportamento do concreto sob o efeito da
fluência. Para o estudo serão consideradas vigas biapoiadas de concreto armado
submetidas a uma carga concentrada constante. As tensões consideradas para o
estudo da fluência serão as de compressão, porém, neste capítulo será abordado de
forma resumida o comportamento da fluência no concreto à tração.
Também será mostrado neste capítulo, de forma bastante resumida, um ensaio
experimental de fluência em vigas de concreto armado realizado no Centro de
Pesquisa e Desenvolvimento em Construção Civil (CPqDCC) do Departamento de
Engenharia de Construção Civil (PCC) da Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo (EPUSP). Uma descrição completa deste experimento poderá ser encontrada
em FIGUEIREDO [2003]. Este ensaio experimental servirá como referência para a
comparação com a modelagem numérica apresentada no próximo capítulo.
Quando caracterizamos que a fluência no concreto é a sua deformação ao
longo do tempo sob tensão constante, quase nunca é explicitado sob que estado de
tensão o material se encontra (compressão ou tração).
67
A grande maioria dos artigos e estudos encontrados, tanto em referência
nacionais como internacionais, mostram dados de fluência relacionados a tensões de
compressão. Isto se deve ao fato de quando o concreto é dosado e controlado, os
dados convencionalmente utilizados são baseados em sua resistência à compressão
(maior resistência) e não na sua resistência à tração e, também, porque existe uma
maior facilidade em se ensaiar a fluência no concreto à compressão, quando
comparado com o concreto submetido a outras tensões como tração ou cisalhamento.
NEVILLE [1970].
7.1. FLUÊNCIA NA TRAÇÃO
O comportamento específico da fluência sobre tensões de tração e de
cisalhamento é muito pouco pesquisado no Brasil e no mundo. Aqui será mostrado
de forma resumida o comportamento da fluência no concreto sob tensões de tração.
Alguns dos principais interesses em se conhecer o comportamento da fluência
sob tensões de tração é baseado na possibilidade de se estimar fissuras no concreto
devido à retração ou à variação de tensões térmicas, como também a possibilidade de
estimar cálculos de resistência à tração em vigas de concreto protendido e em
projetos de estruturas que retenham água (NEVILLE [1970]).
A realização do ensaio de resistência à tração no concreto, que não leva em
conta o efeito da fluência, apresenta uma certa dificuldade em sua concepção.
Quando estes ensaios levam em consideração tal fenômeno, existe a aparição de
problemas adicionais como: a aplicação da tensão deve ser baixa, pois a resistência
do material à tração é pequena e, conseqüentemente, a deformação medida será baixa
também, sendo deste modo muito difícil a medição de valores exatos de deformação.
Se, além disso, o concreto secar sob carregamento constante, pode ocorrer
simultaneamente deformação por retração, com valores diversas vezes maiores que a
fluência, acarretando assim grandes erros nos valores medidos da deformação por
fluência NEVILLE [1970].
GLANVILLE e THOMAS [1939] observaram que a fluência à compressão
pode ser igual à fluência à tração para um nível igual de tensões. Um das razões para
68
que eles pudessem fazer esta afirmação é que em seus testes foi levado em
consideração à variação de umidade quando o concreto estava sob carregamento.
Esta igualdade na deformação por fluência foi também confirmada no U.S Bureau of
Reclamation tests em concreto massa, para resistências de até um terço da resistência
última à tração.
NEVILLE [1970] comenta que a taxa de fluência na tração é inicialmente
mais alta que na compressão sob mesma tensão. Após aproximadamente um mês de
carregamento, a taxa de fluência na tração diminuiu consideravelmente verificandose que, em longo prazo, a fluência na tração é provavelmente menor que na
compressão. Este comportamento foi encontrado tanto para concreto massa quanto
para concretos curados a umidade relativa do ar de 50% e indicou também que a
fluência da pasta de cimento pura, na umidade relativa de 50%, é aproximadamente
cinco vezes mais alta na tração que na compressão. Segundo NEVILLE [1970],
alguns testes sugerem que para concretos selados, a fluência na tração é 20% a 30%
maior que na compressão.
ILLSTON [1965] também confirma uma taxa inicial mais alta de fluência à
tração. Isto é ilustrado na Figura 7.1. Segundo NEVILLE [1970], seus testes são
provavelmente as mais extensivas avaliações disponíveis na investigação da
influência da relação de tensão resistente, idade de carregamento, tempo de
carregamento e umidade na fluência à tração. Entretanto, somente um traço foi
Deformação por Fluência (10-6)
utilizado em seus ensaios.
100
Tração
50
Compressão
0
100
200
300
400
500
600
Tempo sob Carga (dias)
Figura 7.1 – Fluência na tração e na compressão sob tensão constante de 9 Kg/cm2.NEVILLE
69
NEVILLE [1970] comenta que ensaios mostraram que a fluência na tração é
proporcional à tensão aplicada se a relação tensão-resistência à compressão não
ultrapassar 0,5. A influência da idade do carregamento na taxa de fluência parece
similar tanto para corpos comprimidos ou tracionados. Em NEVILLE [1970] pode
ser encontrada a opinião de alguns autores sobre o comportamento da fluência no
concreto em tensões de tração.
RUETZ (apud NEVILLE [1970]) cita que observou tanto na tração como na
compressão, simultâneos aumentos da fluência quando comparados com a fluência
sob nenhuma condição de troca de umidade. Para GVOZDEV (apud NEVILLE
[1970]) influências ambientais no concreto à tração e à compressão são similares
qualitativamente, mas não quantitativamente, porém ele não apresentou nenhum
resultado sobre isso.
Houve pouco aumento na deformação por fluência com o aumento do tempo de
carregamento. L’HERMITE (apud NEVILLE [1970]) relata uma fluência de 9.10-6 e
3.10-5 sob uma tensão de 16 Kgf/cm2 e 26 Kgf/cm2, respectivamente, após 3 dias de
carregamento. A resistência à tração do concreto era de 35 Kgf/cm2; não existe
nenhuma informação sobre a proporção da mistura (traço de concreto) avaliada.
NEVILLE [1970] mostra na Figura 7.2 a influência do tipo de cimento na
fluência à tração dando a indicação do efeito do cimento contido na mistura.
300
II
I
200
III
IV
100
Tipos de Cimento Portland
0
50
100
150
200
Tempo sob Carga (dias)
Figura 7.2– Influência do tipo de cimento na fluência à tração para concretos. NEVILLE (1970).
70
Estes tipos de cimentos são classificados segundo o American Society for
Testing and Materials (ASTM).
A Figura 7.3 mostra o comportamento da fluência do concreto na flexão.
Inicialmente, a fluência na compressão e na tração, não levando-se em conta a
retração, é a mesma, mas depois de aproximadamente um mês sob carregamento, a
taxa de fluência na tração cai a quase zero. Pressupõe-se que os resultados, como
apresentados, são afetados pelo fato que a retração medida no lado tracionado foi
maior que no lado comprimido; as razões para isto não são sabidas.
150
Fibra Comprimida
100
50
0
Fibra Tracionada
5
10
50 100
500 1000
Tempo sob Carga (escala logarítmica) - dias
Figura 7.3 – Fluência na flexão.NEVILLE (1970)
OBERTI’S (apud NEVILLE [1970]) testou concretos feitos com cimento
pozolana e mostrou que a relação entre deformação total e a deformação inicial,
diminuiu com o aumento na idade de carregamento. Valores de 5,6 para 7 dias, 4,7
para 28 dias e 4,0 para 4 meses foram encontrados após 4 anos sob carga. A baixa,
porém constante taxa de deformação, foi medida nesse tempo.
7.2. REALIZAÇÃO DO ENSAIO EXPERIMENTAL
Foram analisadas 14 vigas quanto à fluência, divididas em 7 grupos (A, B, C,
D, E, F e G). Todas têm mesma característica quanto à geometria e armaduras,
porém as propriedades físicas dos concretos são bastante diferentes.
71
Essas vigas foram submetidas a idênticas condições de carregamento durante
um período de 140 dias. As vigas foram produzidas com concretos de resistência à
compressão variando entre 34 e 55 MPa, aproximadamente. Dentre todas as vigas
ensaiadas, somente 4 grupos (A, B, C e D) foram comparados com a modelagem
numérica computacional. Isto se deve ao fato que não seria necessário ser feita a
comparação em todos os 7 grupos para se ter uma boa conclusão dos resultados das
mesmas.
Os requisitos para a concepção das vigas foram o atendimento às dimensões
previstas para as mesmas 20x30x600 cm, e apoio nas duas extremidades sobre
roletes distanciados de 580cm (vão livre de cada viga), que por sua vez estavam
apoiados em pilaretes de concreto com as dimensões de 20x30x120cm como
mostrado na Figura 7.4.
Os pilaretes foram moldados com concreto de 25 MPa, fornecido com dois
meses de antecedência em relação à moldagem das vigas, de modo a se garantir boa
rigidez dos mesmos.
PILARETES
Figura 7.4 – Vista dos apoios das vigas experimentais.
As armaduras foram compostas por duas barras superiores, duas barras
centrais e duas barras inferiores com 12,5mm de diâmetro cada. O objetivo da
adoção das armaduras centrais e superiores foi evitar o efeito de empenamento da
72
viga por retração devido à restrição diferenciada que ocorre quando, na estrutura, não
existe armaduras simétricas.
A armadura posicionada na fôrma antes da moldagem das vigas pode ser
observada na Figura 7.5.
Figura 7.5 – Vista da armadura posicionada na fôrma.
A Figura 7.6 mostra um desenho esquemático das vigas que foram
submetidas tanto ao ensaio experimental quanto à modelagem numérica.
580 cm
2 φ 12,5
2 φ 12,5
2 φ 12,5
26 cm
6,75 cm
3,25 cm
16 cm
20 cm
30 cm
φ 6,3 c/ 10
Figura 7.6 – Detalhamento das vigas estudadas.
O carregamento foi feito em três etapas principais. Na primeira, houve a
preparação da superfície superior das vigas para receber a chapa metálica de onde se
73
apoiaria o cabo de aço da cuba de carregamento. Este preparação foi feita por meio
de um lixamento de modo a se evitar concentração de esforços e pequenos
esmagamentos, dado que a flecha da viga tomaria como referência a parte superior
da chapa metálica. Uma vez posicionada a chapa no topo das vigas, foram
posicionados os relógios de medição que realizaram a medida da flecha das vigas. O
apoio dos relógios de medição foi realizado por cavaletes de suporte apoiados no
chão, como pode ser observado na Figura 7.7.
Relógio de
Medição
Chapa Metálica
Figura 7.7 - (a) apoio do relógio de medição sobre a chapa metálica para medida dos
deslocamentos verticais (b) cavalete de suporte do relógio de medição.
Uma vez posicionados os relógios de medição, foi retirado o cimbramento
das vigas, dos apoios no centro da viga, sendo monitorada simultaneamente a
deformação obtida com o peso próprio. Logo após a retirada do cimbramento foi
realizada a medida do deslocamento vertical imediato, por meio do relógio de
medição. Optou-se, posteriormente, pelo posicionamento de um fio no topo da viga
alinhado ao seu comprimento, que funcionava como um referencial para a medida da
deflexão total no centro da viga.
Após a retirada do cimbramento, passadas 24 horas, foram medidos
novamente os deslocamentos verticais. Após essa leitura aplicou-se um carregamento
concentrado no meio do vão das vigas, por meio de tambores preenchidos com
limalha de aço totalizando um peso de 200 kg (Figura 7.8). É importante frisar que
este carregamento permaneceu constante ao longo de todo o ensaio. Logo após a
74
aplicação do carregamento foi realizada uma segunda leitura do deslocamento
vertical imediato. Finalizado a aplicação do carregamento das vigas, procedeu-se à
leitura diária dos deslocamentos verticais medidos pelo relógio de medição.
Figura 7.8 – Viga após aplicação do carregamento.
Como dito anteriormente, após ser aplicado o carregamento a viga teve uma
deformação e um deslocamento (flecha) imediato, com o passar do tempo, foram
medidos seus deslocamentos no intervalo de 24 horas até completar o tempo de
ensaio (140 dias). É importante ressaltar que as vigas foram desformadas 28 dias
após a moldagem e carregadas 24 horas após a desforma. As características físicas
dos concretos utilizados nas vigas do ensaio experimental estão mostradas no
ANEXO 3 deste trabalho. Os resultados dos deslocamentos de todas as vigas serão
mostrados no Capítulo 9 deste trabalho.
Com o carregamento aplicado, ocorre na viga uma variação de tensão ao
longo de todo seu comprimento, sendo que a máxima tensão (tração ou compressão)
é encontrada no meio de seu vão. Porém, como neste caso as maiores deformações e,
conseqüentemente, os maiores deslocamentos ocorrem no meio da viga, a medição
dessas duas grandezas não foi feita para todo o comprimento da mesma, mas sim de
forma puntual, no meio do vão. A figura 7.9 ilustra claramente onde foram tomadas
as medidas de deslocamento na viga estudada.
A
X
75
Medidas de deslocamento e deformação
A
X
CORTE A-A
Figura 7.9 – Local onde foram tomadas as medidas de deslocamento e de deformação.
Como a viga é considerada biapoiada a tensão normal é calculada como:
σ=
MR
W
(7.1)
.onde:
MR =
P.L P.L2
+
4
8
e
W=
I
y
(7.2)
• σ é a tensão normal de tração ou compressão;
• MR é chamado de momento resistente;
• W é o módulo de resistência à flexão;
• L é o comprimento da viga;
• I é o momento de inércia da seção transversal;
• y é a distância da linha neutra até a fibra inferior.
Dependendo do valor do carregamento aplicado na estrutura, a mesma poderá
ou não vir a sofrer fissuração, ou seja, poderá estar tanto no ESTÁDIO I como no
ESTÁDIO II (Figura 7.9). Para fins práticos a grande maioria das estruturas de
concreto trabalham no ESTÁDIO II, assim, baseado na NBR 6118/2003 serão
76
calculados não só as deformações e deslocamentos como também o momento de
fissuração dessas vigas.
M
Mun
Muo
Mrn
Mro
1/r
ESTÁDIO Ia
ESTÁDIO Ib
ESTÁDIO II
ESTÁDIO III
Figura 7.10 – Diagrama Momento-Curvatura da seção.
Normalmente para cargas de serviço, a tensão de compressão é da ordem de
40% a 50% da resistência do concreto à compressão. Nessa condição a seção
encontra-se seguramente no ESTÁDIO II de solicitação. Assim, os cálculos que
envolvem a verificação dos estados limites de utilização devem ser efetuados no
ESTÁDIO II.
Para um melhor entendimento sobre o gráfico momento-curvatura da Figura
7.10, será dado uma sucinta explicação do mesmo. Para a aplicação de um pequeno
carregamento, o comportamento do concreto e, também, da armadura pode ser
definido como elástico-linear, na compressão e na tração. Tem-se assim, uma reta no
diagrama momento-curvatura e diz-se que a seção se encontra no ESTÁDIO Ia de
solicitação.
Com o aumento do carregamento, começa a plastificação do concreto por
tração na sua fibra mais tracionada (ESTÁDIO Ib); logo, uma seção qualquer da viga
pode romper por tração para um momento fletor de valor Mro conhecido como
momento de fissuração. Colocada uma quantidade de armadura necessária, a seção
apresentará uma fissura, porém, sem perda da capacidade portante porque a armadura
terá condições de substituir, do ponto de vista de equilíbrio, a resultante de tensões
de tração que existia na seção tracionada da seção antes de ocorrer à fissuração.
77
Continuando com o aumento progressivo do carregamento, tem-se uma fase
de formação de novas fissuras, bem como, de aumento das aberturas das fissuras
existentes, que tendem a se estabilizar numa configuração fissurada final para um
momento Mrn.
Entre Mro e Mrn o diagrama momento-curvatura é não linear por corresponder
a uma fase de fissuração progressiva. Entre Mrn e Muo, já com a fissuração
estabilizada, o comportamento é praticamente elástico-linear com aberturas
crescentes das fissuras existentes; diz-se que a seção se encontra no ESTÁDIO II de
solicitação. O momento Muo corresponde ao início da plastificação do concreto por
compressão. Entre Muo e Mun, o andamento do diagrama volta a ser não linear
devido à plastificação progressiva do concreto comprimido. Mun é o momento último
da seção por compressão do concreto e corresponde ao cálculo no ESTÁDIO III de
solicitação.
Este trabalho será realizado considerando a não-linearidade física do
concreto, ou seja, que a relação entre tensão e deformação no material não obedecem
à lei de Hooke. Será então necessário definir uma curva tensão-deformação do
material caracterizando o seu comportamento. Será considerada também a presença
de fissuras na estrutura, ou seja, que o concreto esteja no ESTÁDIO II do gráfico da
Figura 7.10. Estas considerações serão feitas para que se possa caracterizar de forma
mais realista o comportamento do material estudado.
Para o aço a consideração é diferente. Este material será considerado como
homogêneo, isotrópico e elástico-linear. Deste modo, somente as armaduras
obedeceram à definição baseada na lei de Hooke da Teoria da Elasticidade. É
importante frisar que a consideração do fenômeno da fluência será feita somente no
concreto, caracterizando desta forma que as armaduras não sofrerão tal fenômeno.
As tabelas com as características mecânicas e físicas dos concretos usados nas
vigas que foram ensaiadas experimentalmente estão mostradas no ANEXO 3.
78
7.3. LIMITAÇÕES DO MODELO EXPERIMENTAL
Na realização do ensaio experimental foi observado que alguns cuidados
importantes não foram devidamente tomados. A não preocupação com tais cuidados
poderá acarretar, após a realização dos ensaios, discrepâncias nos resultados obtidos.
Foi observado no acompanhamento deste ensaio que não existia uma devida
infraestrutura no laboratório para a realização do ensaio de deformação lenta, pois
sua realização não ocorreu em câmera úmida, ou seja, não foi mantido o controle da
temperatura e da umidade. Esta consideração é muito importante uma vez que estas
duas propriedades são consideradas fundamentalmente importantes para a
determinação da deformação por fluência no concreto, como descrito no Capítulo 3.
Não existindo tal infraestrutura para que possa ser feita a realização de tal
ensaio, deve-se ter o cuidado de ao menos registrar, no período em que este foi
realizado, a variação de umidade e temperatura.
Uma das deficiências observada neste ensaio está relacionada com o tipo de
vinculação das vigas. Para a caracterização de apoios do 2º gênero foram colocados
roletes nas duas extremidades da viga, porém não atentou-se para o fato que, para
existir tal caracterização, a translação no eixo longitudinal de pelo menos um dos
apoios da viga deveria ser fixada. Deste modo, após a aplicação do carregamento e
devido a esse descuido, o sistema viga-pilarete ficou hipoestático, não ocorrendo
assim um “equilíbrio” estimado (devido a imperfeições) no comportamento da viga.
A Figura 7.11 (a) mostra um dos apoios das vigas que não encontrava-se
devidamente vinculado.
Após ser observado que a estrutura não estava devidamente vinculada como
deveria, foram colocados calços de madeira nos apoios para impedir sua translação
longitudinal como mostrado na Figura 7.11 (b). Está deficiência não acarretará
maiores problemas nos resultados medidos uma vez que sua correção aconteceu
antes mesmo da aplicação do carregamento.
79
Calço de
Madeira
(a)
(b)
Figura 7.11 – (a) Apoio do 1º gênero; (b) Apoio do 2º gênero.
Outro erro encontrado que poderia ter comprometido os resultados obtidos no
ensaio experimental das vigas diz respeito à forma como foram medidos os
deslocamentos.
A Figura 7.12 é uma ilustração aproximada de como foi realizado o ensaio
para a determinação das flechas diferidas no tempo.
RELÓGIO
CAVALETE
VIGA
PILARETE
ROLETE
TAMBOR
Figura 7.12 – Ilustração da realização do ensaio.
Como pode ser visto na Figura 7.12 o relogio de medição está posicionado na
parte superior da viga tendo como apoio o cavalete, que por sua vez está fixado ao
80
chão. O erro está em não se ter tomado como referência, para as medidas de
deslocamento, uma linha que passe pelo eixo longitudinal da viga na configuração
indeformada, e sim o chão.
Como o ponto de referência do relógio de medição é o chão, qualquer
movimentação realizada entre o chão e o topo da viga, influenciará na contagem do
relógio. Como os pilaretes que dão sustentação para a viga também são feitos de
concreto, existirá nos mesmos deformações imediatas e por fluência que
influenciaram na medida real dos deslocamentos. A Figura 7.13 ilustra a possível
falha na medição dos deslocamentos da viga após ser aplicado o carregamento, ou
seja, em sua configuração deformada.
Deformação
do pilarete
Figura 7.13 – Ilustração da configuração deformada após o carregamento.
Como afirmou-se aqui que a forma em que foram feitas as medições de
deslocamentos nas vigas estudadas foram realizadas de maneira incorreta e, que
devido a isto ocorreria, possivelmente, uma variação no que diz respeito aos
deslocamentos medidos, foi efetuado o cálculo apenas do encurtamento imediato nos
pilares para que pudesse ser analisada, de forma quantitativa, qual seria a
significância deste erro.
81
A equação utilizada para calcular a flecha imediata devido a compressão nos
pilares de concreto foi a seguinte:
∆l =
P.l
E. A
(7.3)
onde:
• ∆l é a flecha imediata;
• P é o carregamento aplicado;
• l é o comprimento da viga;
• E é o módulo de elasticidade do concreto;
• A é a área da seção transversal da peça;
Após a excução dos cálculos verificou-se que o deslocamento vertical
(encurtamento) dos pilaretes foi insignificante, não maior que 0,05 mm. Mesmo
considerando o fenômeno da fluência para este caso, o resultado da flecha ainda sim
permaneceria bastante irrelavante. Deste modo, é aceitavel que se desconsidere
qualquer tipo de discrepância encontrada nos resultados dos deslocamentos imediatos
e ao longo do tempo nos pilaretes.
É impotante frisar que mesmo não considerando, especificamente neste caso,
a influência dos deslocamentos verticais imediatos e por fluência, a ocorrência do
erro na medição dos deslocamentos nas vigas não é justificavel. Isso se deve porque
o carregamento que foi aplicado na viga foi relativamente pequeno, não
proporcionando uma alta deformação e consequentemente um alto deslocamento
vertical nos pilaretes.
Além dessas deficiências ocorridas na realização do ensaio experimental, é
possível observar que alguns outros erros podem também ter acontecido na
caracterização do material, ou seja, na determinação de suas propriedades físicas, tais
como módulo de elasticidade, resistência à compressão ou resistência à tração.
Esta afirmativa é feita pois estima-se uma possível relação entre módulo de
elasticidade e resistência a compressão diretamente proporcional. A tabela de
resistência à compressão do ANEXO 3 mostra que o concreto A possui resistência
82
aos 28 dias superior a do concreto C. Porém, na tabela referente ao módulo de
elasticidade, observa-se que o módulo de elasticidade do concreto A é menor do que
o módulo do concreto C, ao contrário do esperado. Isto também pode ser observado
entre os concretos B e D. O que é importante ressaltar é que nem sempre a relação
entre módulo e resistência têm que ser diretamente proporcinal, ou seja, existiram
casos em que um concreto mesmo tendo resistência a compressão maior que outro,
seu módulo de elasticidade poderá ser menor. Assim sendo, é possível que tenha
ocorrido algum equívoco na determinação desta ou de outras propriedades.
Com a descrição de tais deficiências ocorridas no ensaio experimental é
esperado que os resultados dos delocamentos nas vigas possam apresentar
disparidades quando comparados com os resultados provenientes de cálculos
analíticos.
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA FLUÊNCIA
8
83
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
DA FLUÊNCIA
Neste capítulo será apresentado de forma bastante simples o comportamento
da deformação por fluência no Método dos Elementos Finitos (MEF). Também são
apresentadas as considerações utilizadas no cálculo dos programas que foram usados
para a determinação da fluência nas vigas em estudo. Alem disso, é apresentada tanto
a descrição da modelagem da geometria da estrutura como a aplicação do fenômeno
da fluência em ambos os programas.
Simultaneamente ao desenvolvimento e aperfeiçoamento de programas de
engenharia e de computadores com memórias expandidas e com tempos de execução
mais rápidos, ocorreu o desenvolvimento de métodos numéricos para solucionar
problemas não-lineares em duas ou três dimensões. Na área de estruturas em geral, a
análise de estruturas de concreto armado tem sido tratada com o uso de leis
constitutivas (tais como elástico, perfeitamente plástico ou com comportamento
viscoelástico) (BAZÄNT [1988]).
A análise numérica computacional deste trabalho será baseada no Método dos
Elementos Finitos (MEF) que é um método numérico bastante útil na solução de
problemas de engenharia, particularmente na análise do comportamento estrutural.
84
O Método dos Elementos Finitos consiste fundamentalmente num processo
de discretização de um meio contínuo, com infinitos graus de liberdade, num
conjunto de elementos discretos, designados por elementos finitos, unidos entre si
por pontos discretos conhecidos como nós (BATHE [1996]). Neste trabalho foram
utilizados dois programas comerciais para a modelagem das vigas em concreto
armado, o ADINA e o DIANA.
8.1. CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA SEGUNDO O MEF
Segundo BAZÄNT [1988], procedimentos analíticos que são exatos para
predizer campos de tensão e de deformação com linearidade e homogeneidade
encontram numerosas dificuldades quando aplicados em estruturas de concreto.
Entre essas dificuldades está a incorporação de um comportamento não-homogêneo
causado pela presença do aço, das fissuras no concreto, da umidade, da temperatura,
dos efeitos de tensões triaxiais e da heterogeneidade do material. Embora existam
tentativas recentes para modelagem do comportamento de estruturas de concreto
armado baseadas em uma análise elástica por elementos finitos, a preponderância da
pesquisa neste campo nos últimos cinco anos tem sido com a modelagem do
comportamento inelástico em estruturas de concreto armado pelo uso dos elementos
finitos (BAZÄNT [1988]).
8.1.1. FORMULAÇÃO DO MEF PARA ANÁLISE DA FLUÊNCIA EM ESTRUTURAS
Para estruturas de concreto armado, em geral, é assumida a aplicação teórica
de pequenas deformações/pequenos deslocamentos e assim, não será distinguido o
equilíbrio estrutural na configuração deformada ou indeformada (BAZÄNT [1988]).
A idéia básica do MEF baseado em deslocamentos é de representar os
deslocamentos (u, v, w) dentro do elemento por meio dos deslocamentos nodais e
funções de interpolação, assim:
L
u ( x, y, z ) = ∑ N j ( x, y, z )u i
j =1
(8.1)
85
onde Nj são as funções de interpolação associadas com os L nós do modelo e ui são
os valore nodais do deslocamento u (x, y, z). Expressões similares são aplicadas para
v(x, y, z) e w(x, y, z). A taxa de deformação dentro do elemento pode ser definida
como:
{ε&( x, y, z )} = [B( x, y, z )]{δ&}
(8.2)
onde {ε&} é um vetor das componentes das taxas de deformação, [B] é a matriz dos
{}
&
gradientes das funções de interpolação Nj e δ é o vetor de velocidade nodais do
elemento, ou seja,
{δ&}
T
= (u&1 , v&1 , w& 1 , u& 2 , v& 2 , w& 2 ,..., u& L , v& L , w& L )
(8.2a)
Uma vez obtida a matriz gradiente dos deslocamentos [B], o equilíbrio é
estabelecido pelo princípio dos deslocamentos virtuais:
{R& }a = ∑ ∫ e [ B]T {σ& }dV
ne
V
(8.3)
A somatória é feita sobre todos elementos que compõem a malha de
&
elementos finitos e {R}
a
é o vetor de taxa de forças externas nodais.
O comportamento do material é descrito por um processo inelástico.
Decompondo-se a taxa de deformação total (ε&) em uma taxa de deformação elástica
(ε&) e , uma taxa de deformação por fluência (ε&) c , uma taxa de deformação devido a
perda de umidade com o ambiente (retração) (ε&) s e uma taxa de deformação devido
a variação térmica (ε&) T , tem-se:
ε& = ε&e + ε&c + ε&s + ε&T
(8.4)
onde todas as variáveis são função do tempo t. Deste modo, a taxa de deformação
elástica e a taxa de tensão podem ser relacionadas da seguinte forma:
{σ& } = [ D]{ε&}e
(8.5)
onde [D] é a matriz de elasticidade e {σ& } é a taxa de tensão. Para materiais que
obedecem a processos inelásticos, a taxa de tensão é dada por:
{σ& } = [ D]({ε&} − {η&})
86
(8.6)
onde {η&} são as taxas de deformações inelásticas (fluência, retração e deformação
térmica). As taxas de deformações inelásticas são, usualmente, dadas por um vetor
em função da tensão, da temperatura e de qualquer acúmulo de deformação
inelástica.
{η&} = { f (σ ), t , T }
(8.7)
Substituindo a equação (8.6) na equação (8.3) chega-se a um sistema de
{}
&
equação para as velocidades nodais δ desconhecidas.
[ K ]{δ&} = {R& }a + {R& }η
(8.8)
&η
sendo [K] a matriz de rigidez e {R} o vetor de taxa inicial inelástica que são dados
por:
[ K ] = ∑ ∫ e [ B] [ D][ B]dV
(8.9)
{R& }η = ∑ ∫ e [ B] [ D]{η&}dV
(8.10)
T
V
e
T
e
V
A equação (8.8) também pode ser escrita de forma incremental sobre um
intervalo de tempo para deslocamentos incrementais {∆δ}e tensões incrementais
{∆σ}.
[ K ]{∆δ } = {∆R}a + {∆R}η
(8.11)
Do mesmo modo a equação (8.10) fica da forma:
{∆R}η = ∑ ∫ e [ B] [ D]{∆η}dV
T
e
V
(8.12)
Pode-se considerar que [K] permanece constante quando utilizarmos
materiais que não variam suas propriedades com o tempo e também quando não for
considerado o efeito de 2ª ordem, ou seja, a não-linearidade geométrica na estrutura.
87
8.1.2. UM MODELO LINEAR DE ENVELHECIMENTO
Segundo BAZÄNT [1982] uma das características que distingue o concreto
de outro material viscoelástico é o efeito do envelhecimento. Por sofrer
envelhecimento, a lei constitutiva do material se modifica ao longo do tempo. Esta
modificação se deve a ação da hidratação química do cimento e é extremamente
importante para a resposta da fluência.
BAZÄNT [1982] comenta que ensaios experimentais indicam que a
deformação devido a um incremento na carga é independente de todos os
incrementos passados da carga e com isso pode-se aplicar o princípio da
superposição de McHenry. Assim, para pequenos incrementos no vetor das tensões
{dσ} ocorrendo em t’ medido a partir do tempo de concretagem, temos:
t
{ε (t )} = ∫ [ J (t , t ' )]{dσ }
(8.13)
0
Se o material é isótropo e elástico a matrix [J(t,t’)], para um estado de tensão
tridimensional, pode ser escrita:
[ J (t , t ' )] = J (t , t ' )[ D ]
⎡1
⎢− ν
⎢
⎢− ν
⎢
[D ] = ⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢⎣ 0
(8.14)
−ν
1
−ν
−ν
−ν
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
(1 + ν )
2
0
0
0
0
1
(1 + ν )
2
0
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1
⎥
(1 + ν )⎥
2
⎦
0
0
0
(8.15)
Análises numéricas de estruturas sujeitas à fluência, baseadas na lei TensãoDeformação da equação (8.13) podem ser realizadas subdividindo o intervalo de
tempo total de interesse em incrementos de tempo ∆t e tempos discretos tr (r = 1,
2,...). A integral da equação (8.13) pode então ser aproximada por finitas somas, que
envolvem mudanças da tensão ao longo do tempo.
88
8.2. MODELO DE FLUÊNCIA DO ADINA
Para a modelagem das vigas foi usada a versão 8.1.2 do ADINA (Automatic
Dynamic Incremental Nonlinear Analysis). A representação do fenômeno da fluência
pelo ADINA pode ou não incluir os efeitos de deformação térmica e de deformações
plásticas independentes do tempo.
O comportamento à fluência para qualquer tipo de material pode ser
escolhido pelas definições disponíveis no próprio software: Material Termo-Elástico
com Fluência (TECM), Material Termo-Plástico com Fluência (TPCM) ou Material
Termo-Elasto-Plástico-Multilinear com Fluência (TEPMC).
O modelo utilizado para a modelagem da fluência nas vigas foi o Material
Termo-Elasto-Plástico-Multilinear com Fluência (TEPMC), pois o mesmo
caracteriza de forma mais adequada tanto o fenômeno da fluência quanto às
propriedades físicas do material. Este modelo considera efeitos de deformações
térmicas
( e ),
t
TH
rs
de deformações plásticas independentes do tempo
deformações por fluência
t
(e )
t
P
rs
e de
( e ) . A relação constitutiva usada para o calculo é:
t
C
rs
(
E t
TH
σ ij = t Cijrs
ers − t ersP − t ersC − t ers
)
(8.16)
E
onde t σ ij é o tensor das tensões no tempo t e t Cijrs
é o tensor de elasticidade na
E
temperatura correspondente ao tempo t. O tensor t Cijrs
é expresso pelo módulo de
elasticidade t E e pelo coeficiente de Poisson tν , ambos dependentes do tempo.
O material TEPMC pode ser usado somente para modelagem de elementos de
treliça (truss), de duas ou três dimensões (2-D solid ou 3-D solid), para elementos de
casca (shell) ou elementos tubulares (pipe). Estes modelos podem ser usados para
formulações com pequenas deformações/pequenos deslocamentos, pequenas
deformações/grandes
deslocamentos
ou
grandes
deformações/grandes
deslocamentos, onde neste último apenas elementos de duas ou três dimensões
podem ser aplicados na modelagem.
A aplicação da relação constitutiva da equação 8.16 implica que as
deformações térmicas, plásticas e por fluência são independentes uma das outras.
89
Assim, a única interação entre elas vem do fato de que todas as deformações afetam
as tensões. A Figura 8.1 mostra a curva Deformação-Tempo para situação de um
Deformação por Fluência
campo de tensões unidimensional.
Tempo
t
Figura 8.1– Deformação considerada pelo ADINA em uma análise unidimensional.
Para a determinação das deformações ou deslocamentos provenientes do
fenômeno da fluência no ADINA, se faz necessária a escolha de uma Equação de
Fluência. Deste modo, após a consideração do comportamento elástico, plástico ou
elastoplástico do material, a deformação por fluência pode ser definida por meio de
três equações: equação de potência, equação exponencial e equação de oito
parâmetros. As três Equações de fluência utilizadas pelo ADINA são mostradas a
seguir.
1- Lei Potencial da Fluência
e C = a 0 .σ a1 .t a2
(8.17)
2- Lei Exponencial da Fluência
e C = F .(1 − e R.t ) + G.t
(8.18)
F = a 0 . exp a1 .σ
(8.19)
⎛σ⎞
R = a 2 .⎜⎜ ⎟⎟
⎝ a3 ⎠
a4
G = a5 . exp a6 .σ
(8.20)
(8.21)
90
3- Lei de Oito Parâmetros da Fluência
e C = S .T . exp − H
(8.22)
S = a 0 .σ a1
(8.23)
T = t a 2 + a 3 .t a 4 + a 5 .t a 6
(8.24)
onde:
H=
a7
θ + 273,16
(8.25)
Para a análise do comportamento da deformação por fluência em estruturas de
concreto utilizando o ADINA, foi feita uma simulação das três funções acima citadas
baseadas
no
comportamento
da
curva
Deformação-Tempo.
Os
cálculos
primeiramente foram efetuados tendo como base a NBR 6118/2003 (Capítulo 6) e,
posteriormente, tentou-se igualar as curvas determinadas em função das equações do
software com a determinada pela NBR 6118/2003.
A calibração das curvas em função das equações do ADINA foi realizada
manualmente. Foi feita uma calibragem nas constantes das equações (a1... a7) para
que as deformações resultantes se aproximassem das obtidas pela norma brasileira,
como mostrado na figura 8.5.
Verificou-se que das três funções citadas anteriormente, a que melhor
representou a curva Deformação-Tempo proposta pela NBR 6118/2003 foi a Lei
Exponencial da fluência (equação 8.18). A comparação das curvas DeformaçãoTempo entre a função exponencial dada pelo ADINA e os cálculos provenientes da
NBR 6118/2203 podem ser encontrados no ANEXO 2 deste trabalho.
8.3. MODELO DE FLUÊNCIA DO DIANA
Para a modelagem das vigas foi usada a versão 8.1 do DIANA. O software
possibilita que efeitos ao longo do tempo, como a fluência, possam ser modelados
com base em modelos viscoelásticos em série de Kelvin e Maxwell. O programa
também pode gerar parâmetros nos modelos em série de Maxwell ou Kelvin para a
91
fluência, onde os dados de entrada possam ser funções de fluência descritas (geradas
pelo próprio usuário) ou por modelos baseados em normas internacionais.
Atualmente, essas normas são a European CEB-FIP Model Code 1990, o American
Concrete Institute code 209 e a Duch NEN 6720 code.
O modelo utilizado neste trabalho para o cálculo da fluência no DIANA foi o
da norma Européia, o CEB-FIB 1990. A descrição deste modelo será feita na seção
8.3.1.
Se considerados os modelos viscoelásticos (séries de Kelvin e Maxwell) para
a representação do fenômeno da fluência e baseando-se no princípio da superposição,
a função de fluência pode ser usada para o cálculo da deformação em função de um
histórico de tensões.
O comportamento da fluência é descrito por uma função J(t0 ,t). Na função de
fluência descrita pelo software, a relação entre tensão e deformação é dada por:
t0
ε (t ) = ∫ J (t 0 , t ).C.σ& (t )dt
−∞
(8.26)
A matrix C é adimensional e descrita em função do coeficiente de Poisson ν:
⎡ 1 −ν −ν
⎢ −ν 1 −ν
⎢
⎢ −ν −ν 1
C=⎢
⎢0 0 0
⎢0 0 0
⎢
⎣0 0 0
0
0
0
0
0
0
2(1+ν )
0
0
0
2(1+ν )
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
2(1+ν ) ⎦
(8.27)
8.3.1. MODELO DE FLUÊNCIA PARA O CONCRETO SEGUNDO O CEB-FIB 1990
Nesse tópico será mostrado como o DIANA, baseado na norma européia
CEB-FIB 1990, leva em consideração o efeito da fluência em estruturas de concreto
armado. Serão descritas também quais as propriedades dos materiais que o software
utiliza para o cálculo das deformações e dos deslocamentos na modelagem das vigas.
92
O modelo do CEB-FIB 1990 considera o desenvolvimento da resistência à
compressão do concreto fcm com o tempo. Essa evolução de resistência é função do
tipo de cimento, da temperatura e de condições de cura e pode ser estimada como
sendo:
f cm (t) = βcc (t).f cm28
(8.32)
onde fcm28 é a resistência a compressão do concreto aos 28 dias e βcc é um coeficiente
que depende do tempo segundo a expressão:
⎛ ⎛
28 ⎞ ⎞
βcc (t) = exp ⎜ s ⎜1 −
⎟⎟
⎟⎟
⎜ ⎜
t
eq ⎠
⎝ ⎝
⎠
(8.33)
onde s é um coeficiente que depende do tipo de cimento (Tabela 8.1) e teq é a idade
equivalente do concreto definida como:
0
⎛ 1
1 ⎞
t eq = ∫ c A ⎜
−
⎟dt
t
⎝ Tref T(τ) ⎠
(8.34)
T(τ) é a temperatura do concreto na idade de τ dias, Tref é a temperatura de referência
igual a 293 ºK e CA é a constante de Arrhenius igual a 4000 K-1.
Tabela 8.1 – Coeficiente de fluência para o Modelo de Código do CEB-FIB.
Tipo de Cimento
s
α
Cimento de endurecimento rápido e alta resistência (RS)
0,20
1
Cimento de endurecimento normal e rápido (N & R)
0,25
0
Cimento de endurecimento demorado (SL)
0,38
-1
O valor característico da resistência a tração ftk na idade de t dias pode ser
estimado por:
2
⎛ f (t) ⎞ 3
f tk = f tk 0,m . ⎜ ck ⎟
⎝ f c0k ⎠
(8.35)
com fck0,m = 1,4 MPa, fck0 = 10 MPa e onde fck é a resistência característica à
compressão do concreto definida como:
f ck (t) = f cm (t) − ∆f
93
(8.36)
onde ∆f = 8 MPa e fcm é a resistência média à compressão do concreto dada pela
equação 8.32.
O software também considera a evolução do módulo de elasticidade Ec com o
tempo pela seguinte expressão:
E c (t) = βcc (t).E c28
(8.37)
onde Ec28 é o módulo de Elasticidade do concreto aos vinte e oito dias de idade e βcc
é o coeficiente que depende do tempo dado pela equação 8.34.
Dentro de uma faixa de serviço onde ⎢σ ⎢< 0,4 fcm(t0), a fluência assume um
comportamento linear em relação a tensão. A função de fluência J(t, t0) pode ser
calculada como:
J(t, t 0 ) =
φ(t, t 0 )
1
+
E c (t 0 )
E c28
(8.38)
onde E(t0) é o módulo de elasticidade do concreto na idade do carregamento t0, e
φ(t,t0) é o coeficiente de fluência. O efeito do tipo de cimento, da cura e da
temperatura pode ser considerado modificando a idade do carregamento de acordo
com:
t 0,mod
α
⎛
⎛ 9
⎞ ⎞
= max ⎜ 0,5 ; t 0,T ⎜
+ 1⎟ ⎟
⎜ 2 + t1.2
⎟ ⎟
⎜
0,T
⎝
⎠ ⎠
⎝
(8.39)
onde α é o coeficiente que depende do tipo de cimento (Tabela 8.1) e t0,T é definido
como:
t0
⎛ 1
1 ⎞
t 0,T = ∫ c A ⎜
−
⎟ dt
0
⎝ Tref T(τ) ⎠
(8.40)
Na função de fluência, a norma européia também considera um coeficiente de
fluência calculado por:
φ(t, t 0 ) = φ0 .βc (t − t 0 )
(8.41)
94
Sendo que φ0 é conhecido como coeficiente de fluência incremental e βc(t-t0) é o
coeficiente que descreve o desenvolvimento da fluência com o tempo após o
carregamento. Estes dois coeficientes são respectivamente definidos em (8.42) e
(8.47). Assim o coeficiente de fluência incremental pode ser definido como:
φ0 = φRH .β(f cm28 ).β(t 0 )
(8.42)
onde:
1−
φRH = 1 +
h=
(8.43)
1
⎛ h ⎞3
0, 46 ⎜ ⎟
⎝ h0 ⎠
β(f cm28 ) =
β(t 0 ) =
RH
RH 0
5,3
⎛ f cm28 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ f cm,0 ⎠
1
2
(8.44)
1
0,1 + t10 5
(8.45)
2.A c
u
(8.46)
sendo RH é a umidade relativa do ambiente em porcentagem (%), RH0 = 100%, h é a
altura da peça de concreto em milímetros (mm) (com Ac sendo a área da seção
transversal e u o perímetro em contato com o ar) e h0 = 100 mm.
O desenvolvimento da fluência no tempo é dado por:
⎛ ( t − t0 ) ⎞
βc (t − t 0 ) = ⎜
⎜ β + ( t − t ) ⎟⎟
0 ⎠
⎝ H
0,3
(8.47)
onde:
18
⎛
⎞
⎛ ⎛
RH ⎞ ⎞ h
⎜
⎟
⎟
250
βH = min 1500 ;150 ⎜1 + ⎜1, 2
+
⎟
⎜ ⎝
RH 0 ⎠ ⎟ h 0
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
(8.48)
95
8.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO ADINA
A modelagem das vigas em concreto foi realizada utilizando elementos
tridimensionais (3D-Solid). Para a modelagem do aço foi utilizado elemento de viga
de Bernoulli e Euller (Beam). As vigas analisadas neste software foram modeladas
com as mesmas características geométricas das vigas analisadas experimentalmente,
porém suas propriedades físicas definidas particularmente.
O período para a determinação dos deslocamentos verticais (flechas) foi
baseado no ensaio experimental. Deste modo, os deslocamentos foram tomados nos
mesmos intervalos de tempo previstos experimentalmente.
Os efeitos das deformações térmicas não foram considerados durante a
modelagem das vigas, pois os mesmos não foram medidos no ensaio experimental e
a temperatura foi dada como constante durante todo período estudado.
No ADINA as vigas foram modelas considerando-se a aderência perfeita
entre os dois materiais (aço e concreto), porém a modelagem das armaduras, neste
software, terá que ser realizada juntamente com a modelagem da estrutura, pois a
definição de superfícies e volumes assim se faz necessária.
Na modelagem numérica no ADINA foi considerado o efeito da nãolinearidade física somente para o concreto. A curva Tensão-Deformação, que
caracteriza o comportamento do concreto, foi definida em função dos dados retirados
do ensaio experimental. A tabela com os valores das propriedades físicas dos
concretos estão mostradas no ANEXO 3.
O aço foi considerado como um material elástico e isotrópico com relação
Tensão-Deformação linear. Seu módulo de elasticidade foi estipulado em 210GPa
com coeficiente de Poisson de 0,3.
8.4.1. MODELAGEM DA ESTRUTURA
A modelagem geométrica da viga em concreto armado foi feita considerando
a estrutura tridimensional e definindo-se pontos, linhas, superfícies e volumes,
respectivamente.
96
Simultaneamente a modelagem da geometria da viga, foi feita também a
modelagem somente das armaduras longitudinais, pois foram as únicas a serem
consideradas em estudo. Para o aço foi definida uma seção transversal na opção
Cross-Sections como elemento Pipe com diâmetro de 17,67 mm.
Após a definição da geometria da viga, foi aplicado o carregamento em uma
linha da superfície superior da peça. Este carregamento foi definido como 6,67 kN/m
e posicionado no centro da viga com relação a sua coordenada longitudinal e,
distribuído em relação a sua base.
Nas análises também foi considerado o peso próprio da viga com um peso
específico de 25 kN/m3. Estes carregamentos se mantiveram constantes ao longo de
todo o ensaio.
Com o carregamento aplicado haverá na viga uma variação da tensão ao
longo de todo seu comprimento longitudinal, sendo que a máxima tensão (tração ou
compressão) sofrida pela estrutura será no centro do vão. Porém, como as maiores
deformações e os maiores deslocamentos verticais ocorrerão no meio da viga, a
medição dessas duas grandezas não será feita em todo o comprimento, mas de forma
pontual, no centro do vão. Fixou-se nas duas extremidades inferiores da estrutura a
translação na direção vertical. A movimentação na direção horizontal foi permitida
apenas em um dos apoios, sendo que o outro permaneceu fixo.
A próxima etapa foi fazer a divisão no número de segmentos usados para a
geração da malha, tanto para o aço representado por linhas, como para o concreto
representado por volumes. É importante ressaltar que a divisão destes segmentos
deve ser igual tanto para as linhas que representa o aço, como para os volumes que
representam o concreto para garantir a aderência total entre o aço e o concreto por
meio de nós coincidentes.
A divisão do número de segmentos foi realizada levando-se em consideração
a convergência nos resultados obtidos tanto para deformação quanto para
deslocamento. A variação desses resultados foi observada na ordem de 10 ‰ após
uma certa distribuição desses segmentos.
Após a divisão de segmentos das linhas e dos volumes foi realizada a geração
da malha. Para as linhas que representam o aço foram definidos 2 nós por elemento
97
(elemento de barra) e para os volumes que representam o concreto foram definidos
20 nós por elemento (elemento quadrático). A Figura 8.2 mostra o modelo de
elementos finitos feito no ADINA.
Figura 8.2– Modelagem da viga feita no ADINA.
8.5. CONSIDERAÇÕES SOBRE A MODELAGEM DAS VIGAS NO DIANA
No DIANA, a modelagem das vigas em concreto armado foi realizada
também utilizando elementos tridimensionais (Struct-3D). Na modelagem do aço
para estruturas de concreto armado, o software utiliza um comando denominado
reinforcement. Este comando caracteriza que a armadura poderá ser inserida no
material como barras isoladas ou como armadura distribuída.
O DIANA considera a aderência perfeita entre os dois materiais (aço e
concreto), porém para modelagem das armaduras não se faz necessário à definição de
superfícies ou de volumes. Isto se deve, ao fato que no DIANA quando aplicado o
comando reinforcement, a geração da armadura para concreto armado é feita
automaticamente, por meio de elementos de viga de Bernoulli-Euller de 2 nós.
As vigas analisadas neste software também foram modeladas com as mesmas
características geométricas das vigas analisadas experimentalmente e suas
propriedades físicas definidas particularmente. O período para a determinação dos
deslocamentos verticais (flechas) também foi baseado no ensaio experimental. Assim
98
como no ADINA, os efeitos das deformações térmicas também não foram
considerados durante a modelagem das vigas.
Na modelagem numérica no DIANA foi considerado o efeito da nãolinearidade física somente para o concreto. A curva Tensão-Deformação, que
caracteriza o comportamento do concreto, foi definida em função dos dados retirados
do ensaio experimental assim como para o ADINA. Estes dados podem ser
encontrados nas tabelas com os valores das propriedades físicas dos concretos
mostradas no ANEXO 3. O aço foi considerado como um material elástico e
isotrópico com relação Tensão-Deformação linear. Seu módulo de elasticidade foi
adotado em 210GPa.
8.5.1. MODELAGEM DA ESTRUTURA
A modelagem da viga em concreto armado foi feita considerando a estrutura
tridimensional e definindo-se pontos, linhas, superfícies e volumes, respectivamente.
Porém, a interface gráfica do DIANA tanto para a solicitação de dados como para o
desenho geométrico da estrutura é pouco desenvolvida quando comparada com a do
ADINA, ou seja, existe uma maior dificuldade tanto na modelagem da geometria
como na aplicação das propriedades e na visualização dos comandos.
Para a modelagem das armaduras longitudinais foi necessária somente à
modelagem de seis pontos. Após a aplicação dos pontos foi escolhida a opção
reinforcement e com isso caracterizadas as armaduras na viga. Para o aço foi definida
uma área de seção transversal de 122,72 mm2 (bitola de 12,5mm) na opção de
caracterização das propriedades físicas dos materiais.
Após a definição da geometria da viga, foi aplicado um carregamento em um
ponto médio da superfície superior da peça. Este carregamento foi definido uma
força de 2000 N e posicionado no centro da viga com relação a sua coordenada
longitudinal. Nas análises também foi considerado o peso próprio da viga adotada
uma densidade 2,5. 10-6 kg/mm3. Todos os carregamentos se mantiveram constantes
ao longo de todo o ensaio e as medições das deformações e dos deslocamentos serão
feitas de forma pontual, no centro do vão. Fixou-se nas duas extremidades inferiores
99
da viga a translação no eixo vertical. A movimentação no eixo horizontal foi adotada
apenas para um dos apoios, sendo que o outro permaneceu fixo.
Após a conclusão na modelagem da geometria, dos carregamentos e das
condições de contorno, fez-se a divisão no número de segmentos usados para a
geração da malha. A divisão do número de segmentos foi realizada levando-se em
consideração a convergência nos resultados do ADINA.
Após a divisão de segmentos das linhas e dos volumes foi realizada a geração
da malha. Para o aço não se faz necessária a criação da malha, pois o programa já o
faz quando definida a opção reinforcement. Para os volumes que representam o
concreto, foram usados elementos quadráticos com 20 nós por elemento. Este
elemento é denominado pelo software como CHX 60. As figuras 8.3 e 8.4 mostram o
elemento CHX 60 e o modelo de elementos finitos feito no DIANA,
respectivamente.
Figura 8.3– Elemento quadrático CHX 60.
Figura 8.4 – Modelagem da viga feita no DIANA.
100
8.6. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO ADINA
Como já citado, o ADINA possibilita o cálculo da fluência baseando-se em
três equações: Lei da potência, Lei exponencial e Lei de oito parâmetros. A escolha
de qual destas três equações representará melhor o comportamento da fluência pelo
ADINA é feita por opção do usuário. A curva que serviu como base de comparação
para mostrar qual das três equações melhor representaria nosso modelo, foi à curva
Deformação-Tempo embasadas na norma brasileira de concreto NBR 6118/2003. Os
cálculos provenientes da NBR 6118/2003 para a determinação da fluência em vigas
de concreto armado podem ser encontrados no ANEXO 2 deste trabalho.
A Figura 8.5 mostra a comparação das curvas Deformação-Tempo das três
equações disponíveis no ADINA para o cálculo da fluência, com a curva
Deformação-Tempo calculada pela NBR 6118/203.
0
0
500
1000
1500
2000
0
0
500
a)
1000
b)
1500
200 0 0
500
1000
1500
200
c)
Figura 8.5– Comparação das curvas de fluência do ADINA em vermelho com a curva de fluência da NBR
6118 em azul: a) Equação da potência; b) Equação exponencial; c) Equação de oito parâmetros.
Para a análise do comportamento da viga biapoiada sobre efeito da fluência,
optou-se pela escolha da função exponencial de fluência (equação 8.19). É fácil
observar que os resultados das deformações ao longo do tempo encontrados para esta
equação foram os que mais se aproximaram, em idades iniciais, quando comparada
com a curva da NBR 6118, além de apresentar um comportamento assintótico
caracterizando o fenômeno da fluência.
BAZÄNT [1982] comenta que quando a deformação ao longo do tempo
(fluência) é caracterizada por meio de uma equação exponencial, os resultados
obtidos por meio desta equação serão mais preciso em idades mais recentes, ou seja,
101
este tipo de função consegue caracterizar melhor o comportamento da fluência no
concreto em suas idades iniciais.
É importante frisar que todas as três equações citadas para o cálculo da
fluência no ADINA estão em função de constantes (a1, a2,..., a7). Deste modo, a
“montagem” das curvas baseadas nas três equações do ADINA foi realizada com a
adoção de valores para suas respectivas constantes. Estes valores foram encontrados
calibrando-se manualmente as equações até ser achada uma maior aproximação com
a curva modelo (NBR 6118/2003).
Após a adoção da equação de fluência 8.19 usada no ADINA (equação
exponencial) e a definição das suas respectivas constantes, foi feita a escolha de qual
modelo de fluência que será usado. Como já referido no item 8.2 deste capítulo o
modelo escolhido foi o TEPMC. Este modelo possibilita a manipulação do
comportamento da fluência com a caracterização do comportamento do material
(concreto). Deste modo, foi caracterizada a curva Tensão-Deformação para cada tipo
de concreto utilizado neste trabalho. A Figura 8.6 mostra um exemplo da curva
Tensão-Deformação caracterizada pelo ADINA. O programa não admite o
comportamento de softening (amolecimento) na curva Tensão-Deformação
proporcionando desta maneira uma maior rigidez ao elemento estrutural.
εcc
σct
σ
Tração
εct
ε
Compressão
σcc
Figura 8.6 – Exemplo de uma curva gerada pelo ADINA para a caracterização física do concreto.
Os valores das tensões e das deformações referentes à montagem das curvas
estão sendo mostrados no ANEXO 3 deste trabalho e foram retirados de
FIGUEIREDO [2003].
102
As figuras 8.7 e 8.8 mostram as telas do ADINA para a aplicação do modelo
do material e para a definição do modelo TEPMC, respectivamente.
Figura 8.7– Aplicação para o modelo de material utilizado.
Figura 8.8– Caixa de entrada de dados referente ao modelo TEPMC.
O período estipulado para a obtenção dos dados referentes a deslocamentos e
deformações foram de 1, 2, 3, ..., 10, 20,..., 100, 200,..., 500, 1000, 1500, 2000, 2500,
3000 e 3500 dias.
103
Os resultados das deformações e dos deslocamentos estão sendo mostrados
no Capítulo 9. As figuras 8.9 e 8.10 mostram as isobandas de deformação e de
deslocamento vertical, respectivamente.
Figura 8.9– Isobanda de deformação no ADINA.
Figura 8.10– Isobanda de deslocamento vertical no ADINA.
8.7. CONSIDERAÇÃO DO FENÔMENO DA FLUÊNCIA PELO DIANA
Como já mencionado, o modelo escolhido para o cálculo da fluência no
DIANA foi o CEB-FIB 1990. A preferência pela escolha deste modelo foi feita pelo
fato de que o CEB-FIB 1990 é considerado uma das normas mais usadas no Brasil e
no mundo para projetos que envolvem estruturas de concreto, em geral.
104
A aplicação de um modelo de cálculo para a fluência no DIANA, assim como
as definições de parâmetros necessários para esse cálculo, podem ser consideradas
mais simples quando comparadas com as do ADINA. Isto implica em dizer que o
modelo de fluência adotado pelo DIANA possui uma maior facilidade de
manipulação e na aplicação das propriedades.
É importante lembrar que as características da função de fluência descrita
pelo CEB-FIB 1990 foram mostradas no Capítulo 5. Este tipo de função de fluência é
classificada por um método denominado método produtório.
Outra classificação para este método também é feita neste mesmo capítulo,
agora em função de métodos para análise da fluência. Segundo estes métodos, o
modelo apresentado pelo CEB-FIB 1990 é classificado como método da razão de
fluência que concluiu que, por meio de dados experimentais retirados de ensaios em
concretos “novos” e em qualquer idade t, a razão de fluência independe da idade de
A aplicação da deformação por fluência nas vigas modeladas no DIANA foi
feita usando um dos modelos de fluência disponíveis no software (viscoelástico ou
normas), e o aplicando ao respectivo material requerido. Isto foi feito utilizando o
comando que gerencia as propriedades dos materiais (property manager) e definindo
estas propriedades para cada material, respectivamente. As propriedades físicas de
cada viga estão sendo mostradas no ANEXO 3 e foram retiradas do ensaio
experimental descrito no Capítulo 7.
O DIANA, diferente do ADINA, pode considerar para um mesmo material
dois modelos de comportamento. Isto que dizer que para um mesmo material pode-se
requerer tanto o comportamento à fluência quanto a fissuração. Além disso, o
software também considera uma definição mais precisa no comportamento do
concreto pela curva Tensão-Deformação. Nesta definição é possível caracterizar,
além da perda de rigidez devido à fissuração, o efeito de softening (amolecimento)
no comportamento do concreto.
A Figura 8.11 mostra a definição da curva Tensão-Deformação para a viga
produzida com o concreto do tipo A. A consideração da não-linearidade física do
material pode ser observada juntamente com o efeito de amolecimento.
105
σ
σct
εcc
Tração
εct
ε
Compressão
σcc
Figura 8.11– Curva Tensão-Deformação definida pelo DIANA para o concreto do tipo A.
As figuras 8.12 e 8.13 mostram a caixa de dados para a aplicação dos
modelos de fissuração e de fluência, respectivamente.
Figura 8.12– Aplicação do modelo de fissuração para o concreto no DIANA.
106
Figura 8.13– Aplicação do modelo de fluência do CEB pelo DIANA.
O modelo de fissuração utilizado nos exemplos das vigas foi o Multidirectional Fixed Crack que caracteriza um modelo de fissuração distribuída. Como
o modelo utilizado para a caracterização da fluência foi o CEB-FIB 1990 e, como
este modelo é baseado no principio da superposição de McHenry, é certo não
considerar a plasticidade no concreto à compressão, pois este princípio é limitado a
estados de tensão que variem entre 40% a 50% da resistência a compressão do
concreto (fck).
As propriedades definidas para o cálculo da fluência no DIANA estão sendo
mostradas na Tabela 8.2. Estes dados foram todos retirados e baseados no ensaio
experimental descrito no Capítulo 7 deste trabalho e que servirá de comparação com
os resultados de deslocamentos obtidos pelo software.
Como não foram revelados valores de temperatura e umidade na realização
do ensaio, resolveu-se estimar os mesmo tendo como base valores obtidos pelo
Instituto Nacional de Meteorologia no mesmo período em que foram realizados os
ensaios de fluência nas vigas de concreto armado.
107
Tabela 8.2 – Dados de entrada baseados no CEB 1990 para o DIANA.
Modulo de Elasticidade aos 28 dias = 23,8 GPa
Resistência à Compressão aos 28 dias = 25 GPa
Tipo de Cimento = Secagem normal
Tipo de Cura = Úmida
Coeficiente de Poisson = 0,15
Umidade Relativa do Ambiente = 50 %
Altura Fictícia da Peça = 120 mm
Temperatura = 25 ºC
Dia de Carregamento = 29
O período para a obtenção dos dados referentes a deslocamentos e
deformações foram os mesmo estipulados para o ADINA. Após a aplicação dos
dados referentes ao material estudado, é feito o processamento dos mesmos pelo
software. Os resultados de deformações e deslocamentos estão sendo mostrados no
Capítulo 9. As figuras 8.14 e 8.15 mostram as isobandas de deformação e
deslocamento vertical das vigas de concreto no DIANA, respectivamente.
Figura 8.14– Isobanda de deformação no DIANA.
108
Figura 8.15– Isobanda de deslocamento vertical no DIANA.
Além das isobandas de deformação e de deslocamento vertical pode ser
visualizado no DIANA a fissuração da estrutura em vários níveis de carregamento
em vários períodos de tempo. A Figura 8.16 mostra a fissuração da viga após 3500
dias.
Figura 8.16– Zona fissurada na viga D após 3500 dias mostrada no DIANA.
COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS E NUMÚRICOS
9
109
COMPARAÇÃO ENTRE
OS RESULTADOS
EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS
Neste capítulo, são feitas comparações entre os resultados dos deslocamentos
do ensaio experimental (Cápitulo 7), os cálculos embasados na NBR 6118/2003
(Capítulo 6) e os resultados encontrados pela simulação da fluência nas vigas de
concreto armado modeladas nos programas ADINA e DIANA (Capítulo 8). O
objetivo destas comparações é de verificar se os modelos numéricos apresentam boa
representatividade quando comparados com os modelos do ensaio experimental.
9.1. COMPARAÇÃO ENTRE DESLOCAMENTOS
As comparações com os dados experimentais foram feitas considerando os
primeiros 140 dias após a aplicação do carregamento, pois a medição destes dados só
se fez até este período. Estas comparações são realizadas por meio de curvas de
Deformação-Tempo e de Deslocamento-Tempo formadas com os respectivos
resultados. Assim, os resultados de deslocamento para as vigas A, B, C e D estão
sendo mostrados nas Figuras 9.1, 9.2, 9.3 e 9.4, respectivamente. A tabela contendo
110
os valores de deslocamentos e de deformações para os concretos A, B, C e D, está
apresentada no ANEXO 1 deste trabalho.
Deslocamento-Tempo (Viga A)
0,040
NBR 6118
ADINA
Deslocamento (m)
Experimental
0,030
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.1 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga A.
Deslocamento-Tempo (Viga B)
0,040
NBR 6118
ADINA
Deslocamento (m)
Experimental
0,030
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
50
Tempo (dias)
100
150
Figura 9.2 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga B.
111
Deslocamento-Tempo (Viga C)
0,040
NBR 6118
ADINA
Experimental
Deslocamento (m)
0,030
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.3 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga C.
Deslocamento-Tempo (Viga D)
0,040
NBR 6118
ADINA
Deslocamento (m)
Experimental
0,030
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.4 – Comparação entre as curvas de deslocamento até 140 dias para viga D.
Todos os gráficos Deslocamento-Tempo, no período de 140 dias, apresentam
características semelhantes com relação ao seu desenvolvimento ao longo do tempo,
ou seja, cada curva (ADINA, DIANA, NBR 6118 ou Ensaio Experimental)
apresenta, aproximadamente, o mesmo comportamento quanto à fluência,
independente do tipo de concreto utilizado (A, B, C ou D). Observa-se nas Figuras
9.1, 9.2, 9.3 e 9.4 que as curvas de Deslocamento-Tempo do ADINA, DIANA e NBR
6118 mantêm uma mesma equivalência, tanto em termos qualitativos como
112
quantitativos. Esta equivalência é devido às propriedades das funções que
caracterizam a fluência no concreto serem as mesmas, tanto no DIANA como na
NBR 6118. No ADINA, a função utilizada para calcular a fluência é uma função
exponencial, caracterizando um comportamento semelhante nos primeiros 140 dias
de ensaio, quando comparada com as curvas citadas anteriormente.
Nas mesmas figuras, observou-se que as curvas dos resultados obtidos com os
ensaios experimentais caracterizaram o comportamento da fluência devido ao
aumento assintótico do deslocamento ao longo do tempo. Verificou-se que esse
aumento do deslocamento ao longo do tempo foi, em média, 2,5 vezes maior (em
140 dias) quando comparadas com as outras curvas. Em termos quantitativos, estes
resultados estão bem acima do que normalmente era para ocorrer, uma vez que
resultados de âmbito experimental tendem a mostrar menores valores quando
comparados com resultados oriundos de cálculos analíticos (Normas ou Códigos).
Esta afirmativa é feita partindo-se do pressuposto que nos cálculos analíticos estão
sendo utilizados coeficientes que majoram o carregamento e minoram as
propriedades dos materiais.
A pergunta feita agora é “Qual o motivo para a grande diferença entre os
resultados dos deslocamentos do ensaio experimental e das análises numéricas?” A
explicação para tal diferença encontrada entre esses resultados pode ser dada
levando-se em consideração quatro hipóteses. A primeira hipótese considera que a
diferença entre os deslocamentos numéricos e experimentais foi atribuída somente
aos erros ocorridos durante a realização dos ensaios experimentais, direta ou
indiretamente.
A segunda hipótese considera que a diferença entre os deslocamentos foi
atribuída somente as equações dos modelos numéricos (Normas ou Códigos). Esta
hipótese partiu do pressuposto que as equações dos modelos numéricos foram criadas
a partir de resultados de ensaios experimentais executados com materiais diferentes
dos encontradas na atualidade.
A terceira hipótese considera que possa ter havido erros na medição inicial
dos deslocamentos da viga, pois ocorreram grandes acréscimo nos deslocamentos
113
iniciais das vigas num curto intervalo de tempo (10 primeiros dias). Este tipo de
comportamento não caracteriza o fenômeno da fluência.
A quarta hipótese considera que a diferença entre ambos os resultados
(numérico e experimental) foi atribuída, simultaneamente, as três hipóteses citadas
anteriormente, ou seja, todas as hipóteses podem ter influenciado de maneira
significativa na diferença dos resultados dos deslocamentos.
Considerando-se somente a primeira hipótese, verificou-se que dois principais
fatores podem ser atribuídos ao aumento excessivo no deslocamento dos ensaios
experimentais. Estes fatores são descritos no Capítulo 7 como deficiências do ensaio
experimental e são: controle de umidade/temperatura e erro na caracterização das
propriedades físicas dos materiais. Foi verificado também neste mesmo capítulo, que
as deficiências devido ao erro nas vinculações e os erros de medição dos
deslocamentos pouco contribuíram para a diferença ocorrida entre as curvas
experimentais e as demais.
Como a umidade relativa do ar, a temperatura e as propriedades físicas do
material estão correlacionadas entre si, resolveu-se manipula-las de modo a verificar
a sensibilidade destes parâmetros na análise. Com isso, procurou-se chegar a uma
possível explicação para a discrepância entre os resultados obtidos nas curvas.
Como exemplo, foi escolhido o gráfico Deslocamento-Tempo obtido em
função do concreto do tipo D. Observa-se na Figura 9.4 que as curvas da NBR 6118,
do ADINA e do DIANA estão caracterizando um mesmo comportamento,
quantitativo e qualitativo, até os 140 dias de ensaio. Desta maneira, optou-se por
representar as três curvas de forma única, ou seja, por uma única curva chamada de
curva variável, uma vez que seus comportamentos são praticamente equivalentes.
A manipulação da curva variável será realizada por meio de mudanças no
valor do módulo de elasticidade e no valor da umidade relativa do ar na função de
fluência, disponível na NBR 6118. Estas mudanças foram realizadas com o intuito de
obter uma maior sensibilidade no comportamento dos deslocamentos ao longo do
tempo da viga no concreto do tipo D. Optou-se por escolher a função de fluência da
NBR 6118 para representar o comportamento da curva variável, pois a mesma
114
apresenta maior praticidade quando comparada com a manipulação nos dois
programas, ADINA e DIANA.
Primeiramente, optou-se em mudar somente o valor do módulo de
elasticidade do concreto na função de fluência. Com a diminuição do módulo de
elasticidade em relação ao módulo inicial (Anexo 3), verificou-se que ocorreu,
praticamente, o mesmo aumento no valor dos deslocamentos ao longo do tempo. Isso
demonstra um crescimento proporcional entre si dos valores dos deslocamentos para
todos os pontos (dias) da curva, comparada com a curva original (Figura 9.5).
É importante ressaltar que feito o contrário, ou seja, o valor do módulo de
elasticidade tivesse sido aumentado, ocorreria uma diminuição praticamente igual
nos deslocamentos da curva original.
Deslocamento (m)
0,040
Curva Original (E = 35,6GPa)
Curva Experimental
Curva Variável (E = 11,3 GPa)
0,030
0,020
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.5– Variação somente do módulo de elasticidade do concreto.
Destaca-se nesta primeira verificação que diminuindo somente o módulo de
elasticidade do concreto, a curva variável equivale-se à curva original apenas entre
75 e 140 dias de ensaio como mostrado na Figura 9.5.
Optou-se também por verificar o comportamento da curva original quando
considerada somente a variação da umidade relativa do ar. A variação no valor da
umidade foi feita inicialmente considerando um valor fictício igual a 0. Na Figura
9.6, está apresentada uma nova curva variável obtida com a diminuição da umidade
relativa do ar.
115
Diminuindo-se apenas o valor da umidade relativa do ar em relação ao seu
valor inicial observa-se na Figura 9.6 que a curva variável tende a aumentar seus
valores de deslocamento ao longo do tempo de maneira desproporcional.
Deslocamento (m)
0,040
Curva Original (U = 50%)
Curva Experimental
0,030
Curva Variável (U = 0%)
0,020
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.6– Variação somente da umidade relativa do ar.
Este crescimento desproporcional no deslocamento ao longo do tempo indica
a influência da umidade relativa do ar no concreto, quando levado em consideração o
fenômeno da fluência.
Deslocamento (m)
0,040
Curva Original (E=35,6GPa e U=50%)
Curva Experimental
Curva Variável (E= 20GPa e U= 15%)
0,030
0,020
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.7– Variação simultânea do módulo de elasticidade e da umidade relativa do ar.
Por último, tentou-se aproximar a curva variável da curva experimental
manipulando simultaneamente e aleatoriamente o valor do módulo de elasticidade e
116
da umidade relativa do ar. Na figura 9.7, está apresentada a curva variável
encontrada considerando-se a umidade de 15% e do módulo de elasticidade de
20GPa.
Verifica-se que as mudanças simultâneas ocorridas no módulo de elasticidade
e na umidade relativa do ar caracterizaram um comportamento da curva variável
semelhante ao da curva experimental. Levando-se em consideração a hipótese
adotada, pode-se afirmar por meio desta análise que, as diferenças entre os resultados
númericos e experimentais estejam vincunladas somente a possíveis erros no ensaio
experimental. Assim é razoável considerar que ocorreram possíveis falhas na
obtenção do módulo de elasticidade e na consideração do efeito real da umidade
relativa do ar (in situ).
Analisando agora a segunda hipótese, tentou-se explicar a discrepância entre
os resultados experimentais e numéricos. Partiu-se do pressuposto que os modelos
numéricos utilizados para a caracterização da fluência (NBR 6118 e CEB-FIB 1990)
encontram-se desatualizados. Isto implica em dizer que estes modelos de cálculo não
descrevem de forma totalmente adequada o comportamento da fluência no concreto.
Uma explicação para isto pode ser dada verificando-se a evolução na
composição do cimento atual quando comparado com cimentos produzidos em
décadas anteriores. Atualmente, após 28 dias de cura, a evolução da resistência a
compressão em concretos produzidos a partir de cimentos atuais é muito baixa, o que
não acontecia com concretos produzidos com cimentos antigos. Isto se deve, pois
atualmente os cimentos estão cada vez mais finos e tendem a ficar hidratados mais
rápido (FIGUEIREDO [2004]).
Considerou-se que as equações disponíveis em normas e códigos foram
criadas a partir de vários ensaios experimentais. Estes ensaios foram executados com
cimentos que possuem propriedades bastante diferentes comparados com os cimentos
produzidos atualmente. Deste modo, pode-se considerar que estas equações não
conseguem caracterizar um real comportamento da fluência em concretos produzidos
com cimentos atuais. A Figura 9.8 ilustra a evolução da resistência a compressão
para concretos produzidos a partir de cimentos novos e antigos.
117
fck
fck,28
Análise da
Fluência
Cimento Novo
Cimento Antigo
Tempo
28 dias
Figura 9.8– Evolução da resistência a compressão de concretos produzidos a partir de cimentos
novos e antigos (FIGUEIREDO [2004]).
Como a evolução da resistência a compressão em concretos produzidos com
cimentos atuais após 28 dias é baixa, é aceitável que as deformações e deslocamentos
oriundos deste concreto sejam maiores do que em concretos que apresentam maiores
evoluções em sua resistência a compressão após 28 dias (FIGUEIREDO [2004]).
Na Figura 9.8 está apresentado que, após 28 dias, os concretos produzidos a
partir de cimentos antigos possuem uma evolução na sua resistência a compressão.
Devido a este considerável aumento em sua resistência após 28 dias, é previsível que
ocorram menores deformações com o passar do tempo.
A terceira hipótese considera que a diferença entre os resultados
experimentais e numéricos pode ser, parcialmente explicada, devido a um erro
ocorrido na medição dos deslocamentos em idade iniciais (10 primeiros dias). Podese afirmar tal hipótese, pois o comportamento inicial das curvas apresentadas nas
Figuras 9.1, 9.2, 9.3 e 9.4 não caracteriza o fenômeno da fluência. A Figura 9.9 é o
gráfico de Deslocamento-Tempo da viga produzida com concreto D e foi tomada
como exemplo para mostrar tal comportamento.
É importante ressaltar que este comportamento pode ser observado não só na
curva de Deslocamento-Tempo da viga produzida com concreto do tipo D, como
também em qualquer uma das outras curvas obtidas por meio dos ensaios
experimentais mostradas nas Figuras 9.1, 9.2 e 9.3.
118
Deslocamento (m)
0,040
NBR 6118
ADINA
Experimental
DIANA
0,030
0,020
Pico de
Deslocamento
0,010
0,000
0
50
100
150
Tempo (dias)
Figura 9.9– Picos de deslocamento excessivo em um curto intervalo de tempo.
A quarta hipótese é a mais provável, pois considera que a diferença entre os
resultados de deslocamentos experimentais e numéricos é atribuída as três hipóteses
citadas anteriormente, ou seja, cada uma das hipóteses podem ter influenciado de
maneira significativa na diferença dos resultados dos deslocamentos.
As Figuras 9.10, 9.11, 9.12 e 9.13 apresentam gráficos de DeslocamentoTempo obtidos pelas respostas das modelagens no ADINA e DIANA, juntamente
com a formulação proposta pela NBR 6118, para um intervalo de tempo de 3000
dias.
Deslocamento-Tempo (Viga A)
0,030
NBR 6118
Deslocamento (m)
ADINA
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
700
1400
2100
2800
3500
Tempo (dias)
Figura 9.10– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga A.
Deslocamento-Tempo (Viga B)
NBR 6118
0,030
Deslocamento (m)
ADINA
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
700
1400
2100
Tempo (dias)
2800
3500
Figura 9.11– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga B.
Deslocamento-Tempo (Viga C)
0,030
NBR 6118
Deslocamento (m)
ADINA
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
700
1400
2100
2800
3500
Tempo (dias)
Figura 9.12– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga C.
119
120
0,030
NBR 6118
Deslocamento (m)
ADINA
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
700
1400
2100
Tempo (dias)
2800
3500
Figura 9.13– Comparação entre as curvas de deslocamento até 3000 dias para viga D.
Foi observado nas Figuras 9.10, 9.11, 9.12 e 9.13 que, após aproximadamente
150 dias, ocorre em todas as vigas uma divergência nos resultados dos
deslocamentos. A diferença entre os resultados dos deslocamentos obtidos com os
programas ADINA, DIANA e pela NBR 6118, já era esperada. Isto se deve,
primordialmente, ao tipo de função utilizada pelo ADINA para o cálculo da fluência.
Como já explicitado, quando utilizada uma função do tipo exponencial para calcular
a fluência, os resultados de deslocamentos e deformações, em tempos mais afastados
do inicial, não apresentam boa representatividade.
A pergunta que pode ser feita agora é “Como pode existir uma diferença
considerável nos resultados entre a NBR 6118 e o DIANA, se o tipo de método para
o calculo da fluência (Método da Razão de Fluência) é o mesmo para os dois e as
funções de fluência utilizadas pelos dois são muito parecidas?” Essa pergunta pode
ser respondida baseando-se nas equações 8.44 e 8.49 do Capítulo 8 que representam,
na formulação do DIANA (CEB-FIB 1990), a evolução da resistência a compressão
e do módulo de elasticidade do concreto com o tempo. Assim, com a existência de
tais evoluções, a estrutura (viga) tende a ficar mais rígida, ou seja, menos
deformável.
121
Deslocamento (m)
0,040
0,030
NBR 6118
ADINA
Curva Variavel (E=20GPa e U=15%)
DIANA
0,020
0,010
0,000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Tempo (dias)
Figura 9.14– Gráfico de Deslocamento-Tempo para viga D com Curva Variável até 3000 dias.
O gráfico da Figura 9.14 apresenta a comparação entre as curvas de
Deslocamento-Tempo do ADINA, do DIANA, da NBR 6118 e da Curva Variável até
3000 dias. Esta tenta representar, por meio da retroanalise feita anteriormente, o
comportamento do concreto do tipo D. O comportamento da curva variável mostrado
na Figura 9.14 foi obtido variando o módulo de elasticidade e a umidade relativa do
ar do equacionamento proposto pela NBR 6118 até que fossem achados resultados de
deslocamentos próximos dos resultados encontrados no ensaio experimental.
9.2. COMPARAÇÃO ENTRE DEFORMAÇÕES
Na comparação entre os resultados das deformações, os dados do ensaio
experimental também não foram levados em conta, pois não houve a coleta dos
mesmos para esse tipo de estudo. Os gráficos comparativos entre as deformações
estão sendo mostrados nas Figuras 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17 para as vigas A, B, C e D,
respectivamente. O intervalo de tempo tomado para a comparação dos dados também
foi de 3000 dias.
Deformação-Tempo (Viga A)
1,5E-03
Deformação (m/m)
NBR 6118
ADINA
1,0E-03
DIANA
5,0E-04
0,0E+00
0
700
1400
2100
2800
3500
Tempo (dias)
Figura 9.15– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga A.
Deformação-Tempo (Viga B)
1,5E-03
Deformação (m/m)
NBR 6118
ADINA
1,0E-03
DIANA
5,0E-04
0,0E+00
0
700
1400
2100
2800
3500
Tempo (dias)
Figura 9.16– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga B.
122
123
Deformação-Tempo (Viga C)
1,5E-03
Deformação (m/m)
NBR 6118
ADINA
1,0E-03
DIANA
5,0E-04
0,0E+00
0
700
1400
2100
2800
3500
Tempo (dias)
Figura 9.16– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga C.
Deformação-Tempo (Viga D)
1,5E-03
Deformação (m/m)
NBR 6118
ADINA
1,0E-03
DIANA
5,0E-04
0,0E+00
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Tempo (dias)
Figura 9.17– Comparação entre as curvas de deformação até 3000 dias para viga D.
Os resultados obtidos para as deformações das quatro vigas representadas
pelas Figuras 9.10, 9.11, 9.12 e 9.13 estão dentro do previsto. Esta afirmativa pode
ser feita com base na descrição sobre a diferença nos resultados dos deslocamentos
das três curvas, anteriormente apresentadas. Isto se deve ao fato de que, como a viga
é considerada biapoiada, as maiores deformações, necessariamente, estão ocorrendo
onde ocorrem nos pontos de maiores deslocamentos, e vice-versa.
124
Na Tabela 9.1 estão apresentadas as diferenças percentuais entre os resultados
dos deslocamentos por fluência nas quatro curvas montadas a partir das respostas
fornecidas pelo ADINA (AD), DIANA (DI), NBR 6118 (NBR) e Ensaio
Experimental (EE).
Os valores percentuais foram obtidos dividindo-se a diferença entre os
deslocamentos verticais (flecha) de duas curvas aleatórias pelo valor do menor
deslocamento entre essas curvas.
Pelos valores fornecidos na Tabela 9.1, observa-se que existe uma diferença
bastante significativa nos valores dos deslocamentos do ensaio experimental quando
comparados com qualquer uma das outras curvas (ADINA, DIANA ou NBR 6118).
No caso da viga B, a diferença entre o EE e a NBR foi maior que o dobro do valor
registrado pela norma.
Tabela 9.1 – Diferenças percentuais entre os resultados dos deslocamentos.
VIGA
A
B
C
D
Tempo (dias)
f EE − f NBR
f NBR
f NBR − f AD
f AD
f NBR − f DI
f DI
f DI − f AD
f AD
100
147 %
6%
3%
3%
3000
--
35 %
13 %
20 %
100
212 %
5%
0,8 %
5%
3000
--
37 %
10 %
22 %
100
121 %
7%
3%
4%
3000
--
38 %
20 %
12 %
100
156 %
6%
5%
1,2 %
3000
--
34 %
15 %
16 %
FLECHA
FLECHA
FLECHA
FLECHA
Como observado em todos os gráficos de deslocamento e também pela Tabela
9.1, quando comparados os valores dos deslocamentos entre a NBR 6118 e os dois
programas, verificou-se que o DIANA foi o que obteve uma melhor aproximação de
valores com a norma. Na comparação entre os dois programas, foi verificado que
125
devido às diferenças nas funções matemáticas expressas por ambos, existem
diferenças de valores somente em idades mais avançadas, conforme comentado
anteriormente.
Na Tabela 9.1 não foram comparados os resultados dos deslocamentos por
fluência do Ensaio Experimental com o ADINA e com o DIANA, pois as curvas
determinadas com os resultados dos programas apresentaram resultados muito
semelhantes aos obtidos pela NBR 6118, para o período de 100 dias, desta maneira
optou-se por utilizar apenas a NBR 6118 na comparação com os resultados
experimentais.
CONCLUSÕES
10
126
CONCLUSÕES
Conclui-se que as modelagens numéricas feitas nos programas ADINA e
DIANA, e os cálculos embasados na NBR 6118/2003 para a caracterização do
fenômeno da fluência em vigas de concreto armado não conseguiram representar, de
forma quantitativa, o comportamento da fluência quando comparadas com os ensaios
experimentais realizados em laboratório.
Conclui-se que a diferença quantitativa entre os deslocamentos apresentados
nas curvas experimentais e numéricas foi atribuída, simultaneamente, a três fatores:
possíveis erros ocorridos durante a realização do ensaio experimental, direta ou
indiretamente; possíveis erros na medição inicial dos deslocamentos no ensaio
experimental e a desatualização dos modelos que calculam a fluência (NBR
6118/2003 e CEB-FIB 1990).
Testando diferentes valores para o módulo de elasticidade do concreto do
ensaio D e para a umidade relativa do ar, verificou-se que foi possível aproximar o
comportamento entre a curva experimental e a numérica. Deste modo, pode-se
concluir que estas duas propriedades influenciam de maneira significativa a
deformação por fluência em estruturas de concreto e precisam ser adequadamente
representadas.
CONCLUSÕES
127
Concluiu-se também, que a desatualização dos modelos da NBR 6118/2003 e
do CEB-FIB 1990 utilizados para a caracterização da fluência no concreto é atribuída
à utilização de materiais com propriedades físicas diferentes dos materiais utilizados
atualmente, ou seja, não foi levada em consideração, em suas elaborações, a
evolução tecnológica no comportamento de tais materiais.
Pode-se concluir que todas as curvas apresentaram um bom comportamento
qualitativo, ou seja, todas caracterizaram de forma adequada o comportamento
assintótico do fenômeno estudado.
Devido às deficiências ocorridas no ensaio experimental, a possíveis erros na
medição inicial dos deslocamentos e a validade parcial dos métodos de cálculo da
fluência descritos na NBR 6118/2003 e no CEB-FIB 1990, é possível concluir que
não pode ser feita nenhuma correlação entre os resultados de deslocamento dos
cálculos analíticos e dos ensaios experimentais. Porém, é possível estabelecer,
quantitativamente, a eficiência e a eficácia dos programas utilizados neste trabalho
quando requeridos a calcular a deformação por fluência em vigas de concreto
armado, uma vez que conseguiram reproduzir, aproximadamente, o comportamento
do ensaio experimental quando alterados alguns dados de entrada (Umidade e
Módulo de Elasticidade).
Quando comparadas às curvas entre os programas (ADINA e DIANA) e a
NBR 6118, constatou-se que, tanto em termos de deformações quanto em termos de
deslocamentos, as curvas obtidas por meio do DIANA foram as que mais se
aproximaram da NBR 6118. Fato que é justificado pela semelhança entre as suas
funções de fluência.
A disparidade dos resultados (deformações e deslocamentos) entre as curvas
obtidas por meio do ADINA e da NBR 6118 é atribuída, principalmente, às
características distintas entre suas respectivas funções de fluência. Assim, pode-se
concluir que o DIANA representou melhor que o ADINA a deformação e o
deslocamento por fluência quando tomada como base a NBR 6118/2003.
Pode-se concluir ainda, com relação aos dois programas, que a simulação do
fenômeno da fluência em estruturas de concreto é melhor representada pelo DIANA,
pois este software permite a consideração simultânea de efeitos como perda da
CONCLUSÕES
128
rigidez (hardening), amolecimento (softening) e retração. Soma-se a isto uma maior
simplicidade quanto à caracterização da fluência.
10.1. PROPOSTAS PARA FUTUROS TRABALHOS
Com base nas conclusões, uma proposta interessante para os próximos
trabalhos será a realização de novos ensaios experimentais em vigas de concreto
armado, porém deve-se tomar cuidado em sua execução para que não possa vir a
ocorrer irregularidades que o comprometam, como as citadas ao longo deste trabalho.
Estes ensaios poderão então ser comparados com sua modelagem numérica baseada
no MEF ou em qualquer outro método de cálculo que considera o fenômeno da
fluência. O objetivo destas comparações seria de verificar qual a real influência dos
possíveis erros ocorridos no ensaio experimental descrito neste trabalho.
Com os resultados de novos ensaios experimentais, propõe-se também um
estudo para atualizar o modelo matemático da NBR 6118/2003 proposto a calcular a
fluência em estruturas de concreto armado. Desta forma, será possível adequar um
novo modelo de fluência para a NBR 6118/2003 e verificar qual sua diferença com o
modelo elaborado a partir de materiais antigos se realmente for comprovada a
ineficiência causada pela desatualização do modelo.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
11
129
REFERÊNCIAS
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ANEXO 1 – Tabela de Resultados
ANEXO 1
133
134
ANEXO 1 – Tabela de Resultados
Com exceção aos dados retirados do ensaio experimental que somente terão
respostas para 100 e 140 dias, a tabela abaixo mostra os valores dos deslocamentos e
das deformações para 100, 140 e 3000 dias dos programas ADINA e DIANA, e da
NBR 6118/2003.
VIGAS
Deslocamento
(m)
A
Deformação
(m/m)
Deslocamento
(m)
B
Deformação
(m/m)
Deslocamento
(m)
C
Deformação
(m/m)
Deslocamento
(m)
D
Deformação
(m/m)
DIAS Experimental NBR 6118
100
0,02719
0,01084
140
0,02869
0,01144
3000
-0,01704
100
-3,90E-04
140
-4,25E-04
3000
-6,54E-04
100
0,02078
0,00658
140
0,02214
0,00694
3000
-0,01034
100
-3,32E-04
140
-3,63E-04
3000
-5,58E-04
100
0,02297
0,01066
140
0,02510
0,01125
3000
-0,01675
100
-3,69E-04
140
-4,02E-04
3000
-5,77E-04
100
0,02350
0,00934
140
0,02520
0,00986
3000
-0,01469
100
-3,80E-04
140
-4,12E-04
3000
-5,58E-04
ADINA
0,01069
0,01104
0,01241
3,23E-04
3,35E-04
3,92E-04
0,00638
0,00648
0,00754
2,34E-04
2,37E-04
2,74E-04
0,01027
0,01052
0,01214
2,98E-04
3,06E-04
3,60E-04
0,00901
0,00928
0,01082
3,18E-04
3,28E-04
3,95E-04
DIANA
0,01100
0,01165
0,01485
3,62E-04
3,77E-04
4,54E-04
0,00685
0,00715
0,00934
2,97E-04
3,07E-04
3,62E-04
0,01076
0,01128
0,01355
3,51E-04
3,74E-04
4,56E-04
0,00907
0,00969
0,01250
3,70E-04
3,82E-04
4,49E-04
ANEXO 2 – Cálculo da fluência pela NBR-6118/2003
ANEXO 2
135
Deformação Por Fluência Pela NBR 6118/2003 (VIGA D)
* Dados Iniciais
b := 0.3
U := 30
σ c := 3947
h := 0.2
t0 := 29
ζ d := 0.4
γ c := 1.4
fck := 39900
l := 5.8
s := 0.38
(Pela NBR 6118 considerando CP III e IV)
s := 0.25
(Pela NBR 6118 considerando CP I e II)
s := 0.2
(Pela NBR 6118 considerando CP V-ARI)
ζ 1c := 4.45 − 0.035 ⋅ U
(Considerando Umidade Relativa)
Ec := 35600000
Ac := b⋅ h
γ := 1 + exp ( −7.8 + 0.1 ⋅ U)
uar := 2 ⋅ b⋅ h + 2 ⋅ b⋅ l + 2h⋅ l (Perímetro externo da seção transversal
da peça em contato com o ar)
Ac
hfic := γ ⋅ 2 ⋅
uar
( ) 3 − 350 ⋅ ( hfic) 2 + 588 ⋅ ( hfic) + 113
A := 42 ⋅ hfic
( ) 3 − 3060 ⋅ ( hfic) 2 + 3234 ⋅ ( hfic) − 23
B := 768 ⋅ hfic
( ) 3 + 13 ⋅ ( hfic) 2 + 1090 ⋅ ( hfic) + 183
C := −200 ⋅ hfic
( ) 3 − 31916 ⋅ ( hfic) 2 + 35343 ⋅ ( hfic) + 1931
D := 7579 ⋅ hfic
(
β d t , t0
)
( t − t0 + 20)
:=
t − t0 + 70
βf
2
(
t + A ⋅ t + B)
( t) :=
⎡ ⎡ ⎛ 28 ⎞ 0.5 ⎤ ⎤
⎥⎥
β 1 ( t) := exp ⎢ s ⋅ ⎢ 1 − ⎜
⎣ ⎣ ⎝ t ⎠ ⎦⎦
2
t + C⋅ t + D
136
137
(
fck
)
fc t , t0 :=
if t0 ≥ 28
γc
β 1 ( t)
fck
γc
if t0 < 28
fc ( t , t0) ⎞
⎛
ζ a ( t , t0) := 0.8 ⋅ ⎜ 1 −
fck ⎠
⎝
ζ 2c
42 + hfic⋅ 100)
(
:=
20 + hfic⋅ 100
onde:
ζ f := ζ 1c ⋅ ζ 2c
(
)
(
(
)
( ) ) + ζ d⋅ β d( t , t0)
ζ t , t0 := ζ a t , t0 + ζ f ⋅ β f ( t) − β f t0
(
(
σ c ⋅ 1.3 + ζ t , t0
ε cc t , t0 :=
Ec
(
7 . 10
4
5.25 . 10
4
ε cc t , t0 3.5 . 10
)
4
1.75 . 10
4
(
0
0
)
875
1750
t
))
2625
3500
138
Determinação das Constantes Pelo ADINA para a Lei de Fluência 2
* Constantes
a0 := 6.3 ⋅ 10
a5 := 1 ⋅ 10
−7
−8
a1 := 0.001675 a2 := 0.00035
a3 := 0.005
a4 := 0.268
a6 := 0
* Formulação
(
)
G := a5 ⋅ exp a6 ⋅ σ c
⎛ σc⎞
R := a2 ⋅ ⎜
⎜ a3
⎝ ⎠
a4
(
ε ca ( t) := F⋅ ( 1 − exp ( −R ⋅ t) ) + G ⋅ t
* Comparação dos Resultdos
6.5 . 10
4
4.875 . 10
4
3.25 . 10
4
1.625 . 10
4
ε ca ( t)
(
ε cc t , t0
)
0
0
500
1000
t
1500
)
F := a0 ⋅ exp a1 ⋅ σ c
2000
139
Elementos Lineares Sujeirtos a Solicitações Normais (Viga D)
α := 1.2
para seções T ou duplo T
b := 0.3
b f := 0
l := 5.8
α := 1.5
para seções retangulares
h f := 0
h := 0.2
CA − 50
kN
Es := 21000
b⋅ h
Ic :=
12
2
cm
fck := 39.9 MPa
y t :=
d := 0.1675
7
Ecs := 3.56⋅ 10
fctm := 0.3⋅ fck
W :=
2
3
pp := b ⋅ h ⋅ 25
b ⋅ h ⋅ 0.5⋅ h + b f − b ⋅ h f ⋅ 0.5⋅ h f
(
)
b⋅ h + bf − b ⋅ hf
fck
fcd :=
1.4⋅ 10
d linha := 0.0325
3
Ic
kN
fyk := 50
kN
2
cm
A c := b ⋅ h
pp = 1.5
t0 := 29
P := 2
kN
2
cm
A s := 2.45
A ss := 2.45
A s2 := 2.45
yt
Para o caso de estado limite de deformação excessiva
fctsup := 1.3⋅ fctm
fctinf := 0.7⋅ fctm
(
fct := 0.9⋅ fctsup
M r :=
Para o caso de estado limite de formação de fissuras
)
Para o caso de tração direta
α ⋅ fctinf ⋅ Ic⋅ 1000
2
M k1 :=
M k2 :=
Momento de Fissuração
yt
pp ⋅ l
Momento máximo no vão p/ vigas biapoiadas (carga distribuida)
8
P⋅ l
4
Momento máximo no vão p/ vigas biapoiadas (carga concentrada no
meio do vão)
M k1 = 6.3075
KN .m
M k2 = 2.9
KN .m
(
)
M a := M k1 + M k2
M a = 9.2075
140
Flechas Imediatas em Vigas de Concreto Armado
Análise no Estádio II
α e :=
Es ⋅ 10000
Ecs
Cálculo da Linha Neutra
Given
⎡ ⎡b ⋅ ( 100) xln2⎤
⎤
⎦ + A ⋅α ⋅ x − d
⎡⎡ h ⋅ ( 100) ⎤ − x ⎤ ⎥
⎢⎣
⋅
(
100
)
−
A
⋅
α
⋅
d
⋅
(
100
)
−
x
−
A
⋅
α
⋅
(
)
⎡
⎤
(
)
⎡
⎤
⎢
⎢
⎥
⎥
s2 e ⎣ ln
linha
s e ⎣
ln⎦
ss e
ln
⎦
2
⎣
⎣⎣ 2 ⎦
⎦⎦
( )
Find xln → ( −7.01237559461396472504.1219261564117175340)
xln := 4.12
Momento de Inércia
III :=
Ic :=
( )3
b ⋅ 100⋅ xln
3
(
)2 + α e⋅ As2⋅ (xln − dlinha⋅ 100)2 + Ass ⋅ α e⋅ ⎡⎢⎣⎡⎢⎣
+ α e⋅ A s ⋅ d ⋅ 100 − xln
b ⋅ 100⋅ ( h ⋅ 100)
h ⋅ ( 100) ⎤
2
Momento de Inércia da seção fissurada de
concreto no estádio II para armadura tripla
3
12
III = 3515.3396
4
Ic = 2 × 10
cm4
cm4
−8
Icm := Ic⋅ 10
Transformação de cm4 para m4
−8
IIIm := III⋅ 10
⎡⎢ ⎡⎢ ⎛ Mr ⎞
⎡⎢ ⎛ Mr ⎞ ⎤⎥
⎥⎤ ⎥⎤
⋅ Icm + 1 − ⎜
⋅ IIIm
EIeq := Ecs ⋅ ⎜
⎢ ⎢ M
⎢
⎥
⎥⎥
⎣ ⎣⎝ a ⎠
⎣ ⎝ Ma ⎠ ⎦
⎦⎦
3
EIeq = 4244.2234
EI :=
⎤
⎥ − xln⎥
⎦
⎦
Ecs ⋅ Icm if M r ≥ M a
EIeq if M r < M a
3
Avaliação Aproximada da Flecha
Imediata
Ecs ⋅ Icm = 7120
2
0
4
f1 :=
5⋅ pp ⋅ l
Carga Distribuida
384⋅ EI
f1 = 0.0052
3
f2 :=
P⋅ l
Carga Concentrada
48⋅ EI
f2 = 0.0019
f := f1 + f2
f = 0.0071
Flecha Imediata
m
Cálculo da Flecha Diferida no Tempo
t0 := 0.96667
Tempo de aplicação do carregamento em meses
t := 4
Tempo,em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida
ρ :=
A s2
ξ( t) :=
b ⋅ 100⋅ d ⋅ 100
(
( )
t0
)
0.32
(
fdt := f ⋅ 1 + α f
α f = 0.2997
fdt = 0.0093
)
m
( )
∆ξ := ξ( t) − ξ t0
∆ξ
1 + 50⋅ ρ
t
)
2 if t > 70
ξ t0 := 0.68⋅ 0.996 ⋅ t0
α f :=
(
0.68⋅ 0.996 ⋅ t
0.32
if t ≤ 70
141
ANEXO 3 – Características Físicas das Vigas
ANEXO 3
142
143
Informações básicas dos concretos A e B utilizadas no experimento.
Concreto
Informação
Abatimento
(mm)
Marca e tipo
do cimento
Marca e tipo
de aditivo
Dosagem do
aditivo
Qualificação
da areia
Qualificação
da brita
Cimento (kg)
Areia artificial
(kg)
Areia (kg)
Areia de brita
fina (kg)
Areia de brita
grossa (kg)
Brita 0 (kg)
Brita I (kg)
Brita II (kg)
Água (kg)
Dosagem do
aditivo
Traço
A
B
85
100
Cimento CP III 40
Ribeirão
Votoran CP III 40
-
Grace RT 66
0,5%
4%
Areia artificial oriunda de
britagem fina e grossa
Areia média quartzosa
Concressand e areia
artificial
Britas 0 e I
Britas I e II Guinaís
2191
313
1630
135,8
-
-
4990
415,8
-
-
7867,8
655,7
1729
247
-
-
4032
576
-
-
3610
9910
1152,2
300,8
825,8
96,0
65,2kg
5,4 kg/m3
1414
5663
1365
202
809
195
1,57
11 litros
litros/m3
1:0,79:1,84:0,65:2,58:0,62
1:3,06:4,82:2,21:6,08:0,71
144
Informações básicas dos concretos C e D utilizadas no experimento.
Concreto
Informação
Abatimento
(mm)
Marca e tipo
do cimento
Marca e tipo
de aditivo
Dosagem do
aditivo
Qualificação
da areia
Qualificação
da brita
Cimento
(kg)
Areia (kg)
Misto (kg)
Brita I (kg)
Brita II (kg)
Água (kg)
Dosagem do
aditivo
Traço
C
D
87
57
Holcim CP III 40
Cauê CP II E 40
MBT 322 N Mastermix
Sika Mix Plastmant
322N
0,04%
0,3%
Areia Curi e areia artificial
Cantargra
Areia branca Terralheiro
Britas I e II Cantareira
Brita I Britta
1363
270
1675
396
1976
2687
4176
1036
736
366
527
833
207
145,6
3685
5400
630
729
1062
126
5,4litros
1,08l/m3
5litros
1l/m3
1:1,36:1,95:3,09:0,77:0,54
1:2,20:3,22:0,38
145
Valores obtidos para a resistência à compressão axial para todos os concretos.
Resistência à compressão axial (MPa)
Idade (dias)
A
12,1
14
14
B
23,5
20,6
23,5
C
15,1
15,5
15,5
D
23,9
22,5
23,9
25,9
24,7
25,9
29,5
27,7
29,5
24
25,4
25,4
28,5
28,7
28,7
Valor assumido
37,1
33,7
37,5
37,5
45,3
44
44,8
45,3
34,3
33,6
32,8
34,3
39,6
39,4
39,9
39,9
fck (MPa)
30,9
38,7
27,7
33,3
106
40,6
36,5
40,6
45,8
46,8
46,8
37,7
35,9
37,7
41,2
46,8
46,8
3
Valor assumido
7
Valor assumido
28
Valor assumido
Evolução de resistência à compressão para os concretos utilizados no experimento.
Na tabela abaixo se encontram apresentados os valores obtidos para o módulo de
elasticidade e para a resistência à tração por compressão diametral, tendo sido ambas
as propriedades determinadas a vinte e oito dias de idade.
Valores obtidos para o módulo de elasticidade e resistência à tração por
compressão diametral.
VIGA
A
Valor
B
Valor
C
Valor
D
Valor
Módulo a
28 dias (GPa)
28,4
28
29
29
44,2
38,2
40,4
44,2
34,8
28,4
30
34,8
33,6
34,2
35,6
35,6
Resistência à Tração por
Compressão Diametral (MPa)
2,9
3,6
3,6
4,0
4,1
4,1
2,9
3,1
3,1
3,7
3,7
3,7
146

Comparação entre a modelagem numérica e - LMC

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