2ª Lição: Distribuições de ordem finita

INIRODUtlO À lEORIA DAS DISIRIQUltÓES
E
SEGUNDO AS LIÇÕES DO PROF. J. SEBASTIÃO
SILVA, PROFERIDAS NO CENTRO DE ESTUDOS
MATEMATICOS DO PORTO, EM 1956-57, E. COM­
PILADAS POR ANT6NI0 ANDRADE GUIMARÃES.
PUBLlCAÇAO SUB�IDIADA P�LO I N$TITUTO D� ALTA CULTURA
DISTEXBUICÕES
Não iremos
das distribuições.
ORDEM FINITA
DE
Começaremos
por
axiom�ticamente esta estrutura.
s6
construir a
pouco
�;ali�s;a extenslo
da
respectiva
teoria ao caso de
uma
na
lA liç!o,que
a
teoria
das distribuições
última an�l1setde necessidade de atribuir uma derivada
do
formal) a
É uma
pouco
a
funções que carecem de derivada
no
56 variá
v�rias vari�­
n�o , trivial,-4,pelo contrário,bastante delicada.
Vimos
e
depois iremos caracterizar
O nosso estudo começará pelas distribuiçõe"5 de
veis
lição
apresentar imediatamente a axiom�tica da teoria
formal das distribuições,e
estrutura
2â
14
na5ceu,em
(em
senti­
sentido usual.
situaçao paralela h que se observa nas sucessivas ge­
neralizações do conceito de nÚMero,como j� acentuámos:passa-se,por
exemplo,dos
números
positivos para
os
nrlmeros reais para tornar
sempre possível a subtracç�o;passa-se dos admeros reais para
complexos,para tornar
reais.
sempre
possível
a
radiciaçlo dos números
Aqui,passa-se das funções contínuas
para tornar sempre possível
dentemonte.
Conv�m
lembrar
a
os
para
as
distribuições,
derivaçlo,-num sentido
formaf,evi­
que,em v�rios ramos da Matem�tica aplicada,
nomeadamente na Mecânica Quântica e na teoria matemática dos cir­
eléctricos,4 frequente o empr@go de funções complexas de
uma vari�vel re�ltisto 4,funç3es f(x) representáveis sob a forma
f(x)
� (x) + i f(x) ,
sendo 'f (x) e 'fi (x) funç6es reais da variável real x.
cuitos
•
Reconhece-se imediatamente que:
a)
necessdria e suficiente para f(x)
(x) e
(x) sejam funções contínuas;
Condiçlo
� que
�
'r
ser spntinu§,
b) Condiç!o necessária e suficiente para í(x) ser derivá­
vel' que l.f(x) e
sejam deriváveis,-tendo-se então,
evidentemente,
f t( x) .. �. (x.) + i 'f' ( x)
Consideremos a totalidade das funções comple�as co�pínu��
t(x)
num
intervalo I da rectatlimitado ou n�o,fechado ou não;
I
designemos
o
que
pelo s!mbolo
Nêste
se
caso
entende
rlI)
êsse conjunto.
est� definida,evidentemente,uma adiç�o: sabe-se
por soma f+g de duas funç5es f
e
g,cont!nuas
em
I, e sabe-se que es:sa
�:
adiç�o
a
�empre
em
poss.:t:..Yti
�
soma
C(I);definida
uma
nos
15
funçl10 tamb�m cont!nua em I. Isto
termos
a
to de
uma
e
tambrun revers!vel
subtracçt:to de dois aleI'lentos de C (I) conduz sempre
grupo
operação
Fácil � também verificar que essa adição é ain-
da uniforme3comutat:tva.associativaj
to
habitua1s,�
C(I)
Exprim.imos êstes factos dizendo que
C.Qm�l�����
a
respeito da adiçlo.
C1{I)
Designf:m::Hl por
truúbém
admitem derivada
o
contínua
conjunto
no
o
conjunto
com
a
um
(I)
C
efei­
elemen
4
um
das tunçt5es contínuas que
intervalo I.
g evidente que
C{I) ,isto�: C1(I) C C(I)
A cada ele­
mento f do 1ft conju,nto # 01 (I) , corresponde um elemento, Df' ,de C ( I) ,
que se chama g!.��X<?:.� de f.
Esta correspondência f
Df � u.ma
aplicaçao de 01(1) sObre C(I),uma vez que para tôda a funç�o con­
t!nua num intervalo I,exijtJl (pelo menos) uma fun��o tamb�m cont�.:.
nua,que � pr!m��lya-9�guela.
g imediato reconhecer que ,na cor­
respondência r�\·..,..Df h. soma f"'g de dois elemen'\ios de Ol{I) corres ..,
Quer dizer:
ponde a soma das iID�&en! de f e g,isto �, Df '" Dg
aquela correspondência,que aplica 01(1) sebre C(1),' um homomorfi�­
m2 de uma parte de C{I) sSbre C(1).
Racordf�mos que, çomo sin&nj,mos de "aplicaç!o". se usam tam­
se
trata
de uma, pf.u'te de
,
__'fo
�
b�m os tennos ttoperaçaott,operador",transformaçUo",etc.
D
,
a
op�raç�9.
ou. o
�,rador de derivacUo
Por outro lado,tomando (t arbitrkriamente em I,o integral
IX
é
ll.'11a
Assim,
1
f (t) dt
(x ê I)
das pr:Lmitiv.,:3 1fJcf em I.
Representemos essa primitiva pelo símbolo
:J:f
Ser;! � ent!o um operador t que :faz corresponder a
ção contínua outra função contínua; a correspondência f
pois uma aplicaçt!o do conjunto C(I} M conjunto C(I)
cada
-4
:It evidente que
e
portanto,simbolicamente,
designando por I
com
o
intervalo
I)&
f
é
f ,
D.) - I ,
operador idêntiÇ.9,ou identidade
(ntto
confundir
� , o operador inverso � direita do operador D;
mas ntto itl�erso �,;.�f59\lerda, porque, em geral, �
� Df ., f ; na ver­
dade, sabe-se que
::J Df
f + c onde c designa uma constante quc�
pode
Isto �
o
D:J f:ll
J
fU.L"
ser
:
diferente de
..
zero.
admitem
ponde
�� deri�ada
uma
de
conjunto
o
das
funções contínuas que
co�res­
tais funções f
de C(I) ,que será representada por D f
ti.:; um modo geral,seja Cf;P)(I) o conjun­
�op�fny!:
funç�,o elemento
uma.
(segunda derivada
to
C2(I)
Designemos por
16
f)..
cada uma de
a
das funçles que admitem derivada de ordem p,cont:!nua: existe
C{P}{I)
aplicaQ�o de
C(I},que se designa por nP:
f�DPf
(derivada de ordem p de f)
em
O símbolo DI' representa assim a potencia de expoente p do
operador D
dor
t natural escrever ainda,convencionalmente, DO. I ID1= Dê
Anhlogamente,a potencia de expoente inteiro p�o do opera­
� pode
ser definida (por recorrência) mediante as fórmulas
�
°m
I
l.:J p
inverso à d1rei�a
J p+l.
t
serd um
DP. :7 P. I (operador idêntiço)
ra inverso à dire�ta de nP,n12 4
Deste modo,�P
II>
Posto isto,regressemos ao
mos
de DP,isto �:
Note-se ainda que
� P, sendo
inverso k esquerda!
nosso problema inicial.
seu
embo­
Pretende­
ampliar o çonjunto O(I) co�nOV08 ente"de modo a possibilitar
sempre,em O(1),a operaç!o de derivaç!o,no sentido formal;por ou­
tro ladoJprocurar-se-� fazer essa ampliaçlo oijbecendo de certo mo­
do intuitivamente,ao chamado Rrinc:lpio da conservac!ío das regras
de c�lculo.
J
W
� sempre conveniente recorrer
ç5es sbstratas,-a
cujas relaç�es
junto.
sObre C(I).
grama
diagramas
C(1),de
representativos dos v�rios
. .......---.
-
O(I)
Em�
bem:
"--.-= _--queremos construir
modo a poder prolongar a tal
vaç�o,D,procurando conservar
(l)
(2)
Precisamente:
ç6es
"suporte" de constru-
conjuntos
devemos ter em mente; fixemos pois a atenç!o no di�
Existe U.1l1 operador,D.que aplica parte (l) de 0(1),
\
Pois
-como
Isto é,um
conjunto
'
a
,..
sObre-conjunto (2) C(1) de
conjunto
o
operador
de deri­
regras mais importantes de cálculo •
• • • • • • • • • • • • * •
C1(1),i,e,
continuamente
as
um
parte
deriváveis
que conten h�
C(1)
C(I).
constituida
�
a
pelas �
designaç�o si-
m6trica de sub-co!}.iunto,associada à inclus�o "contido
em".
Por outro
17
lado,ser� natural que procuremos realizar aquela
m4ximo
qe ecppomiA,isto é,com o minímo de elemen­
ampliaç�o com o
Vejamos concretamente o significado destas express5es.
tos.
Designemos pelo símbolo
(por construç�o)
sempre possível
]r0longar a derivaç�o D
camos
li
no
""
....
Df
It esta
vaI que
se
Õ(I)�
(derivada
coinc1d�ncia com
•
Df
de f
D
"-
no
na
C(I) )
parte de
ser
vez,ter4
contínua
uma
de economia"
ficar� a ter
derivada,D2f;
"derivada"
e
�
aplicá ...
uma
assim
(na
constru-
"derivads", D f;
sucessivamente:de
de ordem n de qualquer função
•
Todos @stes elementos devem pertencer necess«riamente
conjunto,Õ(I)jmas
rivada de um daqueles
uma vez que tenhamos construido
elementos,ser4
'i5{Õnr)
III
N
•••
conjunto;
elementos
designando,em
T
(l),trata-se
,
U
,
+
qualquer ordem.n,de qualquer
uma
adiçlo entre os elemen­
geral,por
V
V ,
tipo:
de­
todos os elementos daquele ti-
P"
de atribuir um sentido
U
C(I),a
ao
vista: possibilidade permanen-
Mas necessitaremos ainda definir
tos do novo
mesmo
ainda do
'D0+1r
(para o fim em
te de derivar
) que C(I) contenha
po,isto �,as derivadas (formais) de
funçlo f contínua em I.
Entlo,bastar�
por forma que ,sempre que eventualmente U
nuas,{isto '# UE. 0(1) $ VE:. O{I) ) o novo
e
V
ao
s ímbolo
sejam funç�es cont!­
símbolo designe a �
decorrente da adiç!o "natural" definida em
(1)
D
ser
prolongamento do ope-
um
,decorrer� das consideraç5es seguintes:
qualquer funç!o
contínua.;Õnt
usual)
C(I) onde
sentido
ftmáximo
O significado da locuç!o
""
modo geral,exist1r� a
êsses
Esta derivação deve
usual,-quer dizer: quando apli-
assinala dizendo: "D deve
esta,por sua
novo
em
sentido
rador D da derivaç!o usu.al."
um
� derivação formal,que ser�
operador D a m�a função f�cont!nua,derivável,deverá
°
ç�o de
a
C(I),e procurando,além
• • • • • • • • • • • • • •
Que serlo,depo1s,cnamadas distribuic6es sObre
o
intervalo I
disso,manter
ção.
as
importantes
mais
propriedades formais desta opera­
observ!ncia do princípio da
a
(Nisto,afinal,consiste
18
presente).
desde já o nosso problema, com
vaç�o das regra s de cdlculo,no caso
Podemos
seguintes termos:
nos
se
se
até' formular
cada
a
rigor,
sabre-conjunto a'(I) de modo que
elemento U € C(1) um outro elemento,DU que
"Pretende-se construir
pos'Sa associar
conser­
um
�
N
chamap� derivada do primeirote de modo que se possa também
sociar
(U,V)
a cada �ar
C(I),que
l} Se ij.�
(vimos j�
E! a O(I)
3)
4}
5)
C(1)
de elementos de
um
as-
)4 elemento U+V de
se chamará:.!.e.m! dos 2 primeiros,de acSrdo com as cinco
condiç3es seguintes!
2).
.....
que esta condiç!o
sendo U
o
Eara U
a
Q.. uma
(Esta
e
traduz dizendo que
se
usual );
operador D da derivaç!o
V func5es contínuas,U
e
f'unqaes
tas
�e
"V
f'unç!o continuamente derivável.teremos DU=DU,
uma
no
+
sentido usual;
V 9uai�gueras�r�
deri..yftda d�
constante:
um
....
v
DU ..,
o
UE.
-+-
U
,Er0lop.­
V reduz-;:se h. soma des­
D(U+V)
e��rp�n�p
D
D(U)
�
III
""
C(1)
III
�
+
�
D(V) ;
n}11Jl,êsse �l���Jl:::
const.
condiçlo � decisiva para a possibilidade de
truç!o da
cons­
teoria);
q".�letptr.!,�o JL ·t.ª'.1;l. si�ver4 ser dp. rorma Dnr, sendo
uma função cQ:t;1�!lY� em I, i. e. ,f é C ( I )
(Esta dltima condiç!to poderia chamar-se "princípiO de
Todo
mínimo": é ela que assegura
construçlo de
Para resolver
todo do problema
,..
C(I) )
o
"m&ximo de economia"
• • • a • • • � • • • • • •
o
problema formulado,conv�m seguir
o
f
na.
nmé­
resolvido"; começ��os por supOr que está já resol­
vido o problema,e isso nos orientar� na pesquiza da solução.
E
veremos, de passagem, que a solução 4 �icª, a menos de um isomqrfi.ê.illQ
I
-quer dizer: se existirem v�rios conjuntos,constituindo soluções do
problema ,êles serlo necesshriamente lsomorfol.
n
um
que
Então,todos os elementos
número natural
interessa
ciOis,-
tes.
e
f
uma
efectuar sabre
de
0(1)
serao da forma
funç�o contínua.
êsses
nnr,sendo
A primeira
operação
elementos,� comRar�-los dois
a
saber quando dois elementos dados são iguais,ou são diferen­
Consideremos dois daqueles elementos
Õnf
e
omg,derivadas
eventualmente diversas
de ordens
f
g.
e
19
(nrm),de
duas funç�es contínuas
Talvez nUo seja dif:!cel substitui-las por derivadas da
� ordem
(de
funç�es cont!nuas,naturalmente): a compara­
outras
ç&o resultar� ent�o mais fácil-tal como , para comparar duas frac­
ç5es
mesmo
dois
ou
radicaissa pr�via reduçao
índice, conforme
Como
estamos
conseguir
supor
a
o
podem assumir
denominador,ou
as
!IIi
•
tormas seguintes, respectlivamente:
.3 ng
nn+m J mr
Portanto,visto que
3mt
, 'Dn+m
e ln, slo funç5es F
I,consegutmos reduzir os elementos dados k forma
em
isto �,a
um
par
'Dm+nF
'Dm+na
,
iguais!
A
,
de derivadas da mesma ordem de duas runç�es
DOr
Quando
'Dng.
e
� que duas tais derivadas
Suponhamos que
o
Dnr
em
+
Õn{cg)
vista
a
Õnf
s�o:
Adicionando a &wbos
Tendo
G contínuas
e
comparaç!o agora' mais rEÍcil.
Suponhamos autUo (o que como vimos,nada faz
n�ralidade) que pretendemos comparar os elementos
tínuas.
ao
objectivo 1 (N1to percamos de vista que
resolvido) .. Observando que (l)
r
;
Dn .:1 nr t ,
que os elementos l)nf e Õmg,do conjunto
êsse
reconhece-se imediatamente
aIi1pliado
mesmo
caso,representa vantagem evidente.
problema
'Dm .J mr
o
ao
os
•
•
me.mbros
nng
deverIa
Ong
o elemento
•
+ Õn(_g}
J� condiç!o imposta
a
perder
conem
ge­
considerar-se
nn(_g),vem
...
C(I),quer
dizer,a
fi (que se mant�m para qualquer potência
�,evidentemente),podemos escrever sucessivamente;
nn(t_g) nn(g+{_g) } Õn(o) = o ,-justificando­
-se a última transiç!o pela. razIo seguinte: a funç!o idênticamenaditividade da deriva�la
=
•
te
a
nulaJ2,�
cont!nua;portanto,pela
derivada usual,2
cluir que
Õn(o)
Portanto,para
vada" de ordem
(1)
= o
tamb�m;
n
nula:
a
condição 1&,4
iteraçlo do
'Dnr Eng
'Dn(r_g) I: o
que
=
sua
racioc!nio
....
derivada D é
permite
con­
� preciso que f-g tenha "deri­
• • • • • • • • • • • • • • •
Aplicando a 1& condiç!o atraz imposta,9stas relaç�es slo evi­
dentes.
va
(que
Consideremos,por exemplo,a primeira: como
de ordem !ri de f tem
tt
f),essa
com a sua
uma
derivada de ordem
m
primitiva tem derivada D de ordem
derivada nro; ora
DmJm
=
I
a
tamb4m
m
primiti­
contínua
coincidente
E
qual será
diferencial conduz?
relaç!o entre f
a
g a que aquela igualdade
e
Vamos raciocina.r por induç�o completa.
Consideremos
g=a
Segundo a 4&
o
caso
"""
simples: que significa
mais
condição (pag. la),deve
o
nQ
=
o
20
?
Q=constante,seja
ser
Õ2g�o
Consideremos agora o caso n=2:
....
.., ...
.... ....
f'I?
D(D9)=0,0 que implica,DQ=ao.A igualdaComo D�Q=D(DQ),vem
esta igualdade 4 verdadeira,
x)-a
de Õ{Q)�a o sugere per
D(ao
o
funç�o cont!nua,-a 1& condiç�o (pag.18) gaH
rante que,ao incidir sObre El oX,O operador D coincide com o da da-
porque-sendo
aox uma
rivaç�o usual"
...
D(Q)=D(a.ox)
Temos pois
sad.o)
"'"
de igue.ldads, \3 portanto G
Q
e
aox
III
t agora.
induç�o completa�
por
d
1 ·
num10
vamos
f8r
,
f'dcil
um
um.
dif3rem por
+
uma
Xl
caso
(anali-
constante, a1 j
a
2"
ostabelecer o resultado geral,raciocinando
exige que seja 9 um polin-2
n-3
+a1x
w=aOx
+ • • • +an_2;
nn-19=o
Supunhamos que a relaç!o
á
' r
'
�
.
G gr U ln erlor a n-�,lsto
provar
la
no
derivada {l} de uma função
poli9��1io de gr�u il1f.erior .ft 2.
Quer dizer: para ser nula
GE C (I) ,esta funt1t�o deve ser
aox
; estamos
que,ent�o,a relaç�o
L
e,
Dn�
polin6mio de grcíu inferior
igualdade pod-.:l escrever-se soll
a
n
a
forma
s6 é satisfeita quando
o
=
fi.
-
....
nn-l (D
Segundo a hip&tese da ind\lç�o�fica!
Or�,considerando
o
polindmio
rl1 tima
Na verdada, esta
""
't)
D'f
=
o
•
boXn-2+
=
aoxn-l+alxn-2+
• • •
•
.
•
+bn_2.
+an_2x
(ond'J ao(n l)=bo' al(n 2)=bl:
,an_2=bn 2)'visto que se trata de
unia função contínua, a. lA. condiç�o (p�g .1S) assegura que a sua deri..
...
. .
..
...
.
..;
vadu
D coincide com a derivada usual,isto é,tem-se
'Yn aoxn ... l +a1 xn ... 2 +. • e+an
. == boxn-2
..
) =- ....Df
... 2x
(
+
• • •
+bn_2
A lA igualdade aqui escrita arrasta que
e o polin6mio
"
.
n-2
a :xn-1+
por uma constante,an_l,1sto e,
erem
d'f
�
&lX
o
+ •• �+an_2x
n-l +
n-2
= a x
\J)
+ 9 • • +a
a1x
,
o
n- 2x+a n- 1
'f
��r�vada (generalizada)
guando e..sta fU}1çfio f$r um
!iQ
.
rivada
O que
no
(1)
Por induç�o cpmpleta,ficou assim estabelecido que
de ordem
n
de
uma
funGão
s6 é nul�,
12olindgio de grêÍu inferior
a
ni!
t claro que ,no campo das funç�es,as rlnicas funções cuja de­
dG ordem n � nula>são
prov4mos
acima
pOlin6mios de gráu inferior
foi que êsse facto continua
campo ampliado,-se este
generalizada.
os
a
ser
a
n.
verdadeiro
viêr a ser construido efe�t �yament�,
bem
21
entendido.,
Agora.. podemos
�d�
j�
Vimos
Segundo
a
a
m+n
..
i)M+a
()M!
�mt
:1ng)
...
�ng
_
se
o
lIlI
um
9tWri2
�o��ência com
Q1!l
as
,
polin6mio
de gr'u inferior
'J mt
_
:J n,
III
P
m+n
.".
si'} icualdid! d.e dois elementos de C ( I )
•.
l>nt
õm,
e
Todos Gat.es resultados toram
•
se-
pode raprasentar,convencionalment9,
Quer di�er: a igualdade
condiçlo J o
Om,
la,
J
regra hh pouco estabelecida,esta igualdade,redu-
m+n,polirt&mio �e que
P
e
nm+n
t'i4
56 se verifica se rar
por
nnr
crit�rio de igual­
o
igu,aJ.dade daqueles elementos equivale h
que ao
nm+n :J mr
tível h torma
.$
0(1),
de dois elementos quaisquer de
guinte:
a
dificuldade encontrar
sem
S,condicQes
•
i
obti4R� por imeosig8e,s �
atr1buida, h est�tyra d�
Mas,como construir um tal
conjunto?
..,
C(I) deve ser da forma
nnr ; ora,3ste elemento 4 determinado pelo par (n,f),costituido
pelo ndmero natural n e pela tunç!o contínua r.
Vamos tentar construir o conjunto ampliado,partindo preci­
samente daqueles pares. (g usual em Matem'tica tal procedimento:
Repare-se em que todo
o
elemento de
;$ dos pares de inteiros que "3 parte para a construçlo do corpo
-
dos
ndmeros
exemplo).
rac1onai�, por
Consideremos�entUo,a totalidade daqueles pares,isto
pro��to cartesjane
N
)(
C(I)
Começaremos por inquirir qual
res,tn,t)
(m,g) ,determinem
�,o
eond1çlo para que dois pa­
a
conjunto ampliado.
Pois bem: diremos que doiB pares (n,f) e (m,g) s�o equiva­
(n,r)�(mJg), quando fer
l�ntes,e escreveremos simbblicamente
e
lmt
isto �,quando a funçlo
rior
"Jn
D r
dade
e
a m+n
e
....
•
(Este
m
4
...,
como
...
o
ln,
l mt
-
mesmo
ai
lng
elemento do
Pm+n
ter
'
(a)
um
polinómio
de
gr�u infe­
vimos,o crit�rio de igualdade para elementos,
C(I) - no caso de êste conjunto existir).
VeJamos que a relaçUo tIV,assim definida em NxC(I),4 na ver­
uma relaglo de e9u�valênc:ia.isto d,que 4 r§flexiva,silJl�tric�
D g,de
transitiva.
sempre
a) Rerl�xividas�: q�alquer que seja o par (n.f)tpodemos
escrever
(ft,f')""(n,f)
porque fazendo man e reg no lA
ora,na
ferior
n,e
verdade
a
(a)
precedente relaç�o
membro da
2n;
,obtemos
22
� nr_ J nr
ii!
o
Q,sendo pôlin&mio de gráu Q,� certamente de gráu in­
b) .ê�tnetriE!:
(n,f)
sendo
""
(m,g) ,deverá
g imediato reconhecer que assim é,porque
de f por g,no
12.
s er
a
{m,g}
troca de
(a)-pag.2l-provoca
membro da relação
"'V
(n,f)
m
por
apenas
Pro+!''' o que n�o altera certamente o gráu de
Pm+n,por hip6tese inferior a m+�;
c) transitividade:se (n)f)� (m,g),e (m,g)�{p,h),ent�o se­
rá ( n , r ) '" (p t h) .,.
� um pouco mais complicada a prova desta propriedade.
Comec�mos por traduzir as hip&teses;existem polin&mios,Pm+n e
a
trÇ>ca do
sinal de
Ptm+p,dê gr�us respectivamente inferiores a m+n e a m+p,tais que
)Mf
JP,
lA destas igualdadas,vem:
:J p+ng
"m+Pr
..J
=
P
8:
P�+p
m+n
h esquerda de ambas
-
... 't
..J
os
membros da
&TI
n+�
J
m+nh
=.
:=
�n
(b)
Somando ordenadamente
(d)
)Mh
...
da outra igualdade,obtemos
(c)
:Tn"
j'p+ng �p Pm+n
operador ) n, an1alogamente, em
)'m+Pr
Aplicando o
-
)p
Aplicando o 9perador
(b)
-
'1
\J
P P
ambos
os
membros
Prit+p
(c),vem:
e
t
'Y n
m+n -.J
polinómio
pt
m+p
Vejamos qual o gr�u do
presente no 2� membro.
Integrando p vezes um polin6mio de gr�u inferior a m+n,obtemos um
polinómio de gr�u inferior a m+n+p; integrando n vezes o polin6mio
Pm+p,cUjO gráu é menor que m+p,vem certamente um polin&mio de gráu
inferior a m+p+n . A diferença de dois polinómios de gr�us infe­
riores a m+n+p é manifestamente de gráu ainda inferior a m+n+p.
Cd) pode escrever-S9
Quer dizer,-a precedente igualdade
sob
ç!3es
o
a
m
forma
J m+Pf
l m+nh
==
pu
n+m+p
ambos os membros m vezes,(trata-se
continuamente derivéÍveis) ,vem
Derivando agora
vezes
-
que prova bem ser
"t Pr
"
_
'Y nh
V
(n,f)"V(p,h)
==
Pf t f
n+p
,
de fun-
23
Bati aqui talvez a çhave de t6da a teoria: porque,$endo�
NXC{I),essa relaç!o
uma relaçUo de equi�a13neia,definida em
mite efectuar
per­
partiçlo daquele produto cartes.1ano em classes
uma
disjuntas de el�mentos equivalentes.
Seja (n,!) a totalidade dos pares que slo equivalentes a
(n,f),isto �,a classe de equivalência de que (n,r) � um reRresen­
t;ante.
Designemos por CK(I) o conjunto de todas essas classes,is­
to E!,g conjunto quociente do produto cartesiano NxC(I) pela rela
...
ç!lo
.......,.
mentos,
quando
e
g
claro
[n,r]
s6
e
que
em
[m,g]
quando
a
�a ordª�,isto �,determinar
em
I.r
e
(n,r]
com
G,tais que
um
Na verdade, visto que
existir
�tquando
m+n,Pm+nttal que
:) mr - :ln,
[n,rJ
ndmero
ln,r]
:a
[m,g]
e
(P,F]
e
la
Bt
[ m+nt 1 ng]
(conforme o crit4rio de igualdade imediatamente
bastará: tomar p.m+n J FI!: J mf, Qm) ng
sObre-conjunto 0(1) de C(I).
C(1) corresponde o elemento
D f de
o
pond�ncia d biunívoca.
\
de
polin&­
'
C(I),
CK(IJ
� �...
reconhecer),
permite
�
con­
possível
Ent!o,s cada elemento
ln,r]
de
Na verdade, cada par
"
/�
\
P m+n
•
,
Voltemos ao nosso problema: suponhamos que
....
um
[m,g J" [P.GJ
•
construir
[m,g)
natural p e duas funç�es
ln,f'] [m+n, J mr]
[m,g1
"'n
•
dis elementos quaisquer de
pod"emos sempre reduzir 2 elementos
tínuas
de igualdade de dois ele­
,se pode formular assim:
acontecia
como
crit�rio
o
(n,f)�(m,g))isto
mio de gr�u inferior
Tal
cKClJ
ii:
(1),-e esta corres�
(n,!) determina
C
"
·
C(1)
t�r1:::::-::: "''--+--.,lL
C·(:1.)
�.;pJ
NxC(I)
\
','"
..
-----./
..
elemento, nnf ,de C (I) ,-e, reciprocamente J todos os pares qU.6 determinam aquele elemento de C(I) alo �guivalentes a (ntr),isto �t
um
aonstituem a classe
[n,rJ.
.... �-�
g por meio desta correspondência biun!voç� entre
CK(I) que serlo
e gerivada.
introduzidas
em
CK(I)
....
C(1)
e
definiç3es oportunas de �
dada
Por exemplo,-como definir em
ciar outra
?
primeira
e
uma
e
em
[njr],segundo
classe de pares,
uma
CK{I)
:It claro q-ue,sendo
[n+l,t]
elemento
A correspond8ncia
lei lhe
devemos
definir-se
a!
..
Isto
é,
asso­
'Dn+1f
biunívoca entre.CK(I)
ln,t]
C(I),Dnr
nnt,isto �,Dn+lf,corresponde
do operador D
derivaç!o mediante
a
15
a
em
igualdade
e
ClK(I),isto
�,
[n+ 1 f'J
,
•
detiniçlo de g�r�­
� em CK(I),de �odo coerente com o nosso objectivo,que 4 afinal
realizar com CK(I) lY!! soluclo do problema enunciado na pag" 1$
Parece que
mo
resolvida a questlo da
Mas levanta-se imediatamente uma questlo de unicidade,co­
sempre
que
se define
uma
lei de compo$iç!o
[n,r]
conjunto-quoci­
CK(I) indepengf.nte
num
4erivaS! do elemento
representante (n,t) escolhido para representante daquela classe?
Se assim o!a suceder,a operaç!o "derivaçito" em C*(I) n1f!o
ente
do
est�
[n, 1"]
(n+l,r]....,
p
de1"iniç!o
deve pois ser tomada como
deve
D(Dnt)
se correspondem,k derivada de
o
que
derivaç�o?
a
classe�h qual possamos chamar,adequadamente,derivada da
vez que,na corre5pond�nc1a
[n,fj
CK(l)
24
(1):
ser� a
seria uma operaçlo yniform�fe seria portanto inaçeit4vel.
O1"a,na verdade a d eriva da
representante (n,!) arbitrado
(m,g)�(n$f)
vamos ver
[n+l,!]
para a
que
[n,!]
de
classe; -isto
�Io depende
�,seja
do
(m+l,gJ. [ n+l,! ] .
Com e1"e�to,esta igualdade de classes equivale h relaç�o
(m+l,g)�,(n+l,f),e esta por sua
um polin&mio de gráu inferior a
escrever
OraJa
:Jn+lg
....
lmt
..
jm+lr
vez significa
n+m+2,Pm+n+2
..
onde Pm+n designa
..
tal que
que existe
((3)
Pm+n+2
equivale k PQssibilidade de
hip&tese (m,g)�(n,f)
Jng
'
(pag.21)
Pm+n
polin&mio de grdu inferior a m+n
Multiplicando,k esquerda,ambos os membros daquela
um
•
dade pelo operador de integraçAo
"f
-.J
(1)
m+ lr
_
'" n+ 1,
J
J ,vem:
::
igual­
"
P
m+n+l
• b • • • • • • • e _ � • • • •
Situação idêntica surge ao definir as operaçtses stsbre o corpo
dos números racionais,encarado como conjunto-quociente do con­
junto dos pares de inteiros.
porque)obviamente,se integrarmos
m+n,obtemos
um
Como
forme"
polin6mio de grdu inferior
polinómio de gr�u <. m+n+l.
é por maioria de razão de
P�+n+l
m+n+2,está provado,tendo
que a der;yr.ç,li.Q definida
tante
um
escolhido
CiL( I)
hh pouco em
classe que
na
Quanto h
precedente relação
a
adi2�ç
em
gráu
(�-pag.24)
CK(I),iremos
em
a
a
vista}
nlo depende do represEm­
deriva,e , pois
se
inferior
25
operaçg(o uni­
uma
defini-la de modo análogc
de dois elementos de CK(IJ o corresponden­
te da soma.
dos correspondentes daqueles.
Concretamente:
""n
sejam D r e nn, dois elementos de C(I)
Segundo a condição
da derivada (generalizada) da soma,dever' ser
isto
é,tomando
para soma
[em C(1)J
fW
'"
oJ
nn(f+g)
Quer dizer,a derivada
•
da
ser definida mediante a igualQade
uma vez
Que
A
nn(f+g)
unic1dag,
e
""'
nn!
soma
+
,isto
r'
da
(
se
•
[n,tJ [m,g]
d
de escrita equivale k
t�m
em
•
(nl,gl) t'tJ (n,g)
e
,tamb�m
e
56""
muito s impl e s : decorre imediatamente
de equivalência de pares;uma vez que
Temos
deverá
+
+
4, (n1,f'l)'V (n,t)
Esta veriticaç�o
definiç!o
nng
[n,r] [m,g] ) ,. [n,:r+gJ '
[n,!+g]
correspondem.
da operaçlo assim definida
cKlI]
de
{n,r]
de provar que, sendo lnl,t1l
D
sef demons�rad$; trat,-se
{n1llg1]-{ n,g]
''''
relaç�o
assim definida
uma
(n,f+g)
�diç�o
.....,
e
a
dltima igualda­
(n1,f1+g1)
um
operador de
d�rty22�
CK(I) ; a adiçlo assim definida t1 çomutativa,associativa.,e !!...
vers!vel (1),0 que 4 ide!l reconhecer,tomando sempre,para represen­
tação dos elementos de C.K(I] em causa,pares com o mesmo primeiro
elemento�
(O 'lua corresponde a trabalhar com derivadas �o�fos .��
"..,
�esma ordem, em 0(1) ).
Tedas estas circunstancias se resumem, dizendo que o conjun­
to eH.
, um grupo a respeito da adic!o nêle definida.. Note-se
ainda que o operador D � distributivo a respeito da adic�otisto é,
em
[I]
como
D([n,r]+[n.g]
)
=-
D[n,r)+ D[n,gJ '
rhcilmente se reconhece,atendendo
's
definiç3es em
jÔgo.
Quer diz e r ;
pat :!vel
c om
a
Diz- s e ent�o que D é
da
que
CR( IJ
é
um
operador D apl ica
o
adi�ao
a
...,
um
respeito da qual
�ltStÇrllY,r.f�-2,
&rlll?fLRÇ!.qm
o
OK (I)
C*tI J
do _grupo
o�radQ.r D "
em
si
me smo , e
c o n s t itui
C*lI]
,e
26
é com-
grupo· o
diz-se
a in­
Por outro l a.do , at. endendo à mane ira como foram definidas
opera ç 5 e s de adiç ão
�2�
RRerador
uma
solu�ão
4
e
de rivaç ão
nec es shr iament e
Preguntaremo s agora :
do
no s s o
am
c*t IJ
'
rasul ta que €I s t e gUEo
�sRm�rfo ( 1 ) a Õ( I ) .
por que n!o 5 er� CK( I }
probl ema inic ial ?
CR[I}
que �poss ibil 1t em ident�fic ar
c om
as
Ere c i s amen�e
Isto é : que raz<:Ses ha.verá
aLI]
?
CK ( I ) , em pr ime iro lugar , conter o conjunto C { I } .
Mas essa dific uldade remove- s e muito tàc ilmente .
Rec o r­
de - s e c omo se re solveu problema análogo , ao ampl iar o domínio Z do s
ndmeros int e iros para o corpo R do s números rac ionais ( 2 )
Poi s bem proc edimento análogo permite " subst ituir" por
0 ( 1 ) uma part e de CK[IJ : preç isament e t a parte que fic a em c o rr e s ­
pondênc ia piuu.:!y:pca c om C ( I') ,med.iante a ap1 1eaç!o ( d e C { I ) em
Falta a
CK lI] )
(1)
,
f
�TA
do is
--"[O tt]
* " it ó\ • �
.,
<II " • • • • iii •
Com efeito , a correspond ê nc ia
conjuntos
biunívoca.
'Dnf 4-+�, f]
respeita a adiçlo e a derivaç lto .
entre
os
( 2 ) Tendo obtido R c omo conjunto-quoc iente do conjunto do s par e s
de ndmeros inteiros po r determinada relação de equivalênc ia , & c la­
ro que o domínio Z nlo e s t ava cont ido em R .
Mas des ignando po r !!
um n�ero int eiro qualquer 1 é biunívoca a correspondênc ia
ent re
n
�ln,l]
Z e a parte d e R const ituida pelas c lasses
tant e pode as sumir a forma
{ n , l ) ; mediant e
-
essa
cujo
par repr e s en-
c o rrespondênc ia
biuni
voca , podemos subst itu1r , em R , a parte imagem de Z pelo próprio domínio Z do s
mimeros
int eiros j que as s im f'icamiY contidos"
em
li
27
Convenc icnaremo s pois , quando e st iver em causa uma c las se
CK[I] , Substitui-la pelo elemento f de C(I) , convenc ionando me smo e s c rever
[o ,t] t
Diz- s e entUo que
identificou [o ,f] c om t .
E
prime iro 6bic e k adopção do conjunto CK(I]
lo , r] , el emento
de
==
se
o
pOsto ( pag . l8 )
ç �o do probl ema inic ia.lmente
E é claro que
adiç ão usu.al
nua .
s �ndo r r
Queremos
a
CK( I )
deri vaç!ío
em
da
D {o ,i]
provar que
c ondi ç lo
•
[o,t t]
usual .
=
em
a l , tal que
Ora , isto
J
na
°f
-
J1f '
=
um
P1
t odo
o
ú1timo , temos
el emento de
cK ( rJ
f
-
l
(1)
sob
a
forma
No s ent ido
f'
cons ist e a
s e ja , ( c rit�rio
P1 , de grtlu inferior
, ou
f I ::: c onst .
ainda de provar
é
a
de r ivada
(1)
U
=
Onr
,
com
• • • $ • • • • • • • • • •
da derivaç �o
em
cit[I1
:::
P1
( 5. condiç�o , pag . 1g )
de c erta ordem de
CK(I)
f t. C lI]
runç�o c ont lnua , isto é' , que todo o el emento U €
c r aver
derivada contí-
verdade acont e c e , porque , como se sabe da primi�
t ivaç �o de funções cont ínuas ,
Por
Suponhamo s que
(Nisto
n{o,r) ;: [1, t]
reduz idos
provar que
fl,f] f o , r 1
igualdade
cKfr] ) , que existe pol inÓmio
a
==
a
Mas como , por defin içtto dE;
lA, da pag . l8 ) .
CJt lr) ,
e s t amo s
c o inc ide com
- lo , ! g] [o ,rJ + ( o ,g]
derivada de t no s ent ido
observânc ia
s o lu­
fica as s im el iminado �
em C ( I) , visto que f+g
...
..
Pas s emos a analisar o caso da derivaclo .
funç!o cont inuament e deriv'vel , isto � , com
f � uma
de
adi ção definida em
a
como
se
pode
que
uma
es-
E de
c es s ivament e ,
ora
Lo , r]
po rt anto
Ln,r] de
:: õ(n-l , r]
n[n-2 ,t]
c*(r )
facto , para qualquer el ement o
Ln , r]
identiri�a- s e
( s egundo
rn,r]
a.;
vem
=:
convenç �o
Dnr
=
Falt a verificar ainda
= • • • =
j' feita )
t emo s
28
su-
nn[o , r] ;
com
•
r�C ( I ) , e
q.e.d.
das c ond ições impo stas à est rutu·",
uma
conj'unto das distribui ç l5 e s . � a condiç !o 4" ( pag . 18 )
"§e a çerivad� ( general izada ) de um elemento do conjunto ��adq
! nula , �sse elemento reduz- s e n e c e s shriament@ a uma c onst ant e
raç llio do
Suponhamo s que
Õ [n, r]
o
[n, � .const . , isto 'que ( 1'existe uma constant e
k tal que [n,r]
(o ,kJ '..,
Ora , por detiniç!o,D[n,r]
[n+l ,rJ ; e 0,0 (1 ) corresponde
el emento [o ,oJE: CH(1 ) .. Portanto , a hip&tase (I)
b4m
(n+l ,t] ,. (0 ,0]
queremo s provar que
,.
lIIl
•
ao
e s c reve - s e taro ...
( crit4rio
Sabe- se
•
polin&mio
equival e à existencia de um
t al que
m i o de
r
�
um
Mas uma
grlÍu
<.
t ..
J n+ lo
polin&mio
III
Pn+1 de
P
0+1
) que e s t a relaç�o
gr�u inferior a n+ l ,
•
de ordem n+1 da c onst ante
n+l , e , portanto , f
Mas s e r
rivadas
primitiva
CK(I )
de igualdade em
•
)' n+lo+Pn+1
III
gr�u inferior a 0+ 1 .
4 um pol in&mio d e gr�u inferior
de
general izadas
sucessivas
2., 4
P�+l
a
pol inó�
um
, - quer dizer �
n+ 1 , a8
suas
at 4 h ord em !! co inc idem
c om
de­
as
correspondentes derivadas usuais , vi sto estarem em c ausa funç6 es
c o nt inuament e deriv�veis . ( Condiç!o lA -pag . 18 ) .
Port anto t a derivada de ordem n de um polin&mio de gr�u 1n,",
ferior a n+ l , - em part icular , a derivada de ordem !! de f t -reduz - e 0
a. uma c onstant e .
Portanto ,
Dnr const .
c omo
s e queria estabel e c er �
Est�
po is resolvido
soluç �o pode formular- s e
TEOREMA
t enha C ( � )
�s soç iar
o
at4
pos s :!vel
problema
•
III
posto na pa.g . 18 :
sob a fo rma de
det elJ!linar
um
.....
conjllnto C ( 11
a
sua
:r: e
..,
flue 00]1""
modo qu e a c ada e l emeuto U d3s s e c on .jun�o s e p0S;;?ª
det erminado el emento DV , gue s e c h am� a ' derivada ' �Q
, de
um
nÊ
(n, r]
primeiro a e a c ada par de e lementos U , V de
minado elemen1fo
.."
CCI)
.
um.J!2�'§l'!
por , U!� d��. q::!�
a'�§ o c iar
do mesmo C9ft .1untÇ que se repres ent�
.!.tt.,c ham�. t soma ' de U com V , de ac8rdo c om aa 5 çondiç5es gu§ fOJ:fu"ll
indicada�� ( pag . 18 )
E s t e probl ema
t O S que
o
to , qu e , s e
cK ( I }
r e s o lvam s ão
exi s t e
um
� at é
t al
determ�nado -nê ste
s ent i do ;
ne c e s sEariament e l. s omorfo s ..
....,
con junto C ( I ) , êle
tem de
do i s
V imo s
s er
29
c on jun-·
c o�
i s omo r fo
e f e :i. �-
a
CK ( I ) ( ou de qualquer out r a s o lução do
no s S O problema ) chamar- s e ... � distr:;lbuiçtS es n o int ervalo I ..
Mas não
e s t �o ainda d efinidas todas as dist r ibuiç5es em I : s � rão prec isas
outras mais .
As que enc ont ramo s , - e l ement o s de CK( I ) , -dizem- se dis ­
�ri�uiç�es d e o r dem fini�� .
e l ementos de
Aos
Vamo s def inir c om pre c isão o
L . S c hwart z , mas segundo KOnig .
D iremo s que
uma
de ordem inferior a
�
as
p
I é de ordem f init� , � , quando
uma função fE C ( I ) , DPf , e não é a derivada
dist tibui ç ão
� a derivada de ordem p de
em
de qualquer função cont ínua .
Cl ( l ) o c o n junt o d e t o ­
de lA : ordem de uma fun­
U=Df , com í€ C { ! ) ; de um
Mais prec isament e : repre s ent emo s por
distribu1��e, em I que sio derivadas
cont ínua , isto 4 , 05 elementos
mo do geral , s e ja Cn ( 1 } o conjunto
ç �o
conc eito de ordem , não s egundo
U da forma
de todas as distribuiç5es
em
I_ que
são derivadas de ordem n de uma funç!o c ont ínua em I , isto � : U=Dnf ,
c om
ft C( 1 )
•
que '
Diremos
de ordem
U€
n
uma distribuiç!o , U , s e fÔr
0n ( l )
conjunto OK ( 1 )
U� Cn_1 ( I )
, mas
distribuiç5es ( de ordem f inita
em I sGrd evid ent emente , a reunião de todos o s 0n ( 1 )
.'
K
� n( 1 )
e ( I ) =n=oC
convenc ionando , c omo � natu:ral , es c rever Co ( 1 )
C(1)
E at � ,. po r
sug e st�o daquela igualdade , po d erexo s esc rev e r C K { )
Cw( I ) ,
I
E o nosso
das
=
=
ond e
w
números
habitualmente , o
1,2�
, n, . . .
des igna , c omo
naturais
• • •
•
prime iro t ran s f in it o , d e po i s do s
Daqui , a expl i c aç !o do
locu q �o : U distribui ç tS e s de ordem í' inita" �
abordadas
as
outras , as de ordem
Surgem
agor a
infinit a ) .
( Napr6xima
variadís s imas que s t � e s .
da
uso
l i ç tto , s e rão
Por exemplo r 9 sta :
def iniu- s e uma adi q !o no con junt o OK ( 1 ) das di st ribuiç5 e s ; por que
nlo se definir� tamb4m ali uma �ult ipl ic açttq ?
Mult ipl i c am- s e as
funç t5es ; ser� po s s'ível mult ipl i c ar tamb�m as gi s t ribui ç 5 e s ?
�
um
E st e
do s problemas mais dif íc e i s d a teoria ; s 6 parc ialment e po derá
s er resolvido c om
as dist ribui ç t5 e s .
li! c laro que iremo s d e finir a
mult ipl i c aç �o , pelo princ ípio da c ons ervaç�o das regras de c ál c ulo :
pro c urando , por exemplo , que
duto .
se
mant enha a regra da de riva ç �o do pro­
nua s
Outra que st�o que
se
levanta : hh derivada s de funçõ e s c ont í-
sentido usual , ainda são f'unç 6 e s ; c omo c arac t e r i z á- la s ',
Cons ideremos o s eguint e exemp l o conc re t o ; seja G ( x) a fun-
que , no
q tto as s im d e f in ida
G { x)
o
G ' ( xl
g evident e que
( na origem , a derivada
� �o de H e avis ide .
que
30
..
I
x
, 0
-l:
G ' nlo est4
, para x�o
, para
uo
, para x, o
, para x< o
definida ) .
Ora , G ' ( x) =H ( x) , fun­
Temos aqui a derivada de uma função cont ínua
ainda � uma funç!o no s ent ido usual .
H ( x) 4 a funçlo 6( X) de Dirac , - port anto ,
J' D20 ( x)
Em todo o caso , haver' que efectuar a identific aç!o das d i s ­
tribuiç5es que D!� slo funç5es cont !nuas , mas que slo derivadas de
funç5es c ont ínuas , no s entido usual .
Fic ar� para mai s t arde .
g
a
derivada de
..
•
6 • • • • • • • • • • • • •
perigo de co nfu­
� , para des ignar o
Por f im , uma observaçlo : quando 010 houver
são , poder� sempre usar- s e o s !mbolo D
operador de derivaçao
generalizada .
em
vez
de