Gabarito comentado da Prova Proposta para alunos da 8º Ano do
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Gabarito comentado da Prova Proposta para alunos da 8º Ano do
OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO Gabarito comentado da Prova Proposta SANTO INÁCIO – RJ. para alunos da 8º Ano do Ensino Fundamental 1ª Questão: A figura mostra parte de um polígono regular de 20 lados (icoságono) ABCDEF:::, um quadrado BCYZ e um pentágono regular DEVWX. ˆ . Determine a medida do ângulo YDC (A) (B) (C) (D) (E) 45º 48º 52º 54º 60º SOLUÇÃO: ALTERNATIVA D O ângulo interno do icoságono regular mede 180º 18º 162º . 20 ˆ 162º 90º 72º . Como YC = CD, o triângulo YCD é Segue que YCD ˆ DYC ˆ = isósceles de base YD. Assim, YDC 180º 72º 54º 2 2ª Questão: Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da linha tracejada, conforme indicado, formando a figura plana da direita. Qual a medida do ângulo x ? (A) (B) (C) (D) (E) 30º 50º 80º 100º 130º SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C Observando a figura da fita dobrada vemos que x + 50º + 50º = 180º, donde x = 80º. CF/094/14 1 3ª Questão: Se 1 37 1 , então é igual a: a 11 73 a 13 (A) (B) (C) (D) (E) 37 78 42 78 37 98 37 75 37 147 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA E De 1 37 73 73 147 1 37 2 segue que a 11 . Logo, a 13 a 11 2 . Então, a 11 73 37 37 a 13 147 37 4ª Questão: O número n é um inteiro negativo. Qual dos números abaixo é o maior? (A) (B) (C) (D) (E) – 3n 3n n–3 9n – 3 n–9 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA A Vamos investigar as alternativas uma a uma. Como n é negativo, temos: (A) − 3n = (−3)n é positivo, pois é o produto de dois números negativos; (B) 3n é negativo, pois é o produto de um número positivo e um negativo; (C) n −3 = n + (−3) é negativo, pois é a soma de dois números negativos; CF/094/14 2 (D) 9n − 3 = 9n + (−3) é negativo, pois é a soma de dois números negativos; notamos que 9n é negativo, pois é o produto de um número positivo e outro negativo; (E) n − 9 é negativo, como no item (c). 5ª Questão: A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18º com a direção norte e o segundo, um ângulo de 44º, também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte? (A) (B) (C) (D) (E) 12º 13º 14º 15º 16º SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B Como os segmentos AF e ED apontam para o norte, eles são paralelos, e como AB é ˆ FAB ˆ 18º (são ângulos alternos internos). transversal a AF e a ED segue que DBA ˆ 180º 18º 44º 118º . Como AB = BC, o triângulo ABC é isósceles; os Logo ABC 180º 118º 31º . 2 ˆ BAC ˆ BAF ˆ 31º 18º 13º . Concluímos então que FAC ˆ e CAB ˆ medem então ângulos iguais ACB 6ª Questão: Arnaldo, Beto, Celina e Dalila formam dois casais. Os quatro tem idades diferentes. Arnaldo é mais velho que Celina e mais novo que Dalila. O esposo de Celina é a pessoa mais velha. É correto afirmar que: (A) (B) (C) (D) (E) Arnaldo é mais velho que Beto e sua esposa é Dalila. Arnaldo é mais velho que sua esposa Dalila. Celina é a mais nova de todos e seu marido é Beto. Dalila é mais velha que Celina e seu marido é Beto. Celina é mais velha que seu marido Arnaldo. SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C Na figura ao lado, A representa a idade de Arnaldo, C a de Celina e D a de Dalila; a flecha indica o sentido de CF/094/14 3 idade crescente. A ordem das letras C, A e D indica que Arnaldo é mais velho que Celina e mais novo que Dalila. Logo o esposo de Celina é Beto, que é também o mais velho de todos. 7ª Questão: A figura mostra dois homens erguendo um piano com uma corda. Se um dos homens puxar 15 m de corda e o outro puxar 25 m, quantos metros o piano vai subir? (A) (B) (C) (D) (E) 15 20 25 30 40 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B O comprimento da parte da corda que fica entre as polias fixas diminuirá 15 + 25 = 40 metros depois que os homens puxarem a corda. A polia móvel imediatamente acima do piano distribui ao meio esses 40 metros; assim, o piano subirá 40 : 2 = 20 metros. 8ª Questão: A figura mostra um quadrado com suas diagonais e segmentos que unem os pontos médios de seus lados. A área em preto corresponde a que fração da área do quadrado? (A) (B) (C) (D) (E) 1 2 2 3 3 4 3 8 9 16 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C O quadrado está dividido em quatro quadrados menores iguais. Cada um dos triângulos brancos tem um lado que é um lado de um quadrado menor e sua altura, relativa a este lado, é a metade do lado do quadrado 1 2 1 da área de um quadrado menor. Como são quatro desses triângulos, vemos 2 4 1 menor; logo sua área é CF/094/14 4 que a área da parte branca é igual à área de 4 é 1 1 quadrado menor. Como área de um desses quadrados 4 1 1 3 da área do quadrado maior, segue que a área preta é igual a 1 da área do quadrado maior. 4 4 4 9ª Questão: Arqueólogos encontraram um colar de ouro feito de placas no formato de pentágonos regulares. Cada uma destas placas está conectada a outras duas placas, como ilustra a figura. Quantas placas formam o colar? (A) (B) (C) (D) (E) 8 10 11 12 13 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B O ângulo interno de um pentágono regular mede 108º. Assim, o ângulo interno do polígono determinado pelo colar mede 360º - 108º - 108º = 144º. Devemos então encontrar n 180º n 2 tal que 144º . Resolvendo esta equação, obtemos n n = 10. Portanto, dez placas formam o colar. 10ª Questão: A figura mostra um polígono regular de dez lados com centro O. Qual é a medida do ângulo a? (A) (B) (C) (D) (E) 15º 18º 20º 30º 36º SOLUÇÃO: ALTERNATIVA B CF/094/14 5 11ª Questão: Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina pesa o dobro de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina que valia R$1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber se vender os quatro pedaços? (A) (B) (C) (D) (E) R$ 160,00 R$ 200,00 R$ 250,00 R$ 400,00 R$ 500,00 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA A Se o peso de uma turmalina é o dobro do peso de outra, então seu peso é cinco vezes o preço da outra; isto equivale a dizer que se uma turmalina pesa a metade de outra, então seu preço é um quinto do preço da outra. Zita dividiu sua turmalina em 4 pedras iguais, o que equivale a primeiro dividi-la em 2 turmalinas iguais e depois dividir cada uma dessas em 2 também iguais. No primeiro passo, Zita ficará com 2 turmalinas cada uma de valor igual a 200 reais. Depois do segundo passo, Zita terá 4 turmalinas, cada uma valendo 40 reais; essas 4 turmalinas juntas valem 4×40 =160 reais. Podemos esquematizar a solução da seguinte forma, mostrando como calcular o preço de uma das quatro turmalinas menores: 12ª Questão: José e seus parentes moram em algumas das cidades A, B, C, D e E, indicadas na figura com as distâncias entre elas. Ele saiu de sua cidade e viajou 13 km para visitar seu tio, depois mais 21 km para visitar sua irmã e, finalmente, mais 12 km para ver sua mãe. Em qual cidade mora a mãe de José? (A) (B) (C) (D) (E) A B C D E SOLUÇÃO: ALTERNATIVA D A primeira etapa da viagem do José só pode ter sido C→E ou E→C, pois 4+9 =13 é o único modo de percorrer 13 km entre cidades nessa estrada. Como todas as cidades distam de C menos que 21 km, o CF/094/14 6 percurso inicial foi C→E. Percorrendo 21 km a partir de E José chega à cidade A e mais 12 km o levam à cidade D, que é onde mora sua mãe. 13ª Questão: No gráfico estão representadas as populações das cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milhares de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a cidade IV tinha 150 000 habitantes. Qual cidade teve o maior aumento percentual de população de 1990 a 2000? (A) (B) (C) (D) (E) I II III IV V SOLUÇÃO: ALTERNATIVA A As informações do gráfico são dadas nas três primeiras colunas da tabela abaixo: , concluímos que o maior aumento percentual de população 14ª Questão: A figura representa parte de uma régua graduada de meio em meio centímetro, onde estão marcados alguns pontos. Qual deles melhor representa o número 2x +1? (A) (B) (C) (D) (E) R S T U V SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C CF/094/14 7 Notamos que x é maior que 0,5 e menor que 1, isto é, 0,5 < x< 1. Como 2 é positivo, multiplicando por 2 todos os membros desta desigualdade o sinal é preservado e obtemos 1 < 2x < 2. Somando 1 a todos os membros obtemos 2 < 2x + 1 < 3, ou seja, 2x + 1 é um número entre 2 e 3. O único ponto na figura que satisfaz esta condição é o ponto T. 15ª Questão: Qual dos números a seguir está mais próximo de (A) (B) (C) (D) (E) 60,12 0,99 401 2 ? 0,03 0,3 3 30 300 SOLUÇÃO: ALTERNATIVA C Vamos usar o símbolo ≈ para indicar “aproximadamente igual a”; ou seja, x ≈ y quer dizer que x é aproximadamente igual a y. Por exemplo, 0,99 ≈ 1; 401 ≈ 20 e 60,12 ≈ 60 . Em geral, se em uma operação aritmética trocamos os números envolvidos por outros aproximadamente iguais a eles, o resultado da operação deve ser uma aproximação do que teríamos obtido com os números originais. Nesse caso, 3. CF/094/14 8