- Aqui - Portal Saber Livre

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA 2002/2003
EDSON CEZAR GRZEBIELUCKA
LEVANTAMENTO DO PERFIL DE FRATURA EM ARGILAS
VERMELHAS
RELATÓRIO FINAL DE PESQUISA
PIBIC/CNPq/UEPG
2002 - 2003
VINCULADO AO PROJETO/PROTOCOLO/LINHA DE PESQUISA:
___________________________________________________________________
_
ORIENTADOR: ADÍLSON CHINELATTO
PROTOCOLO
No.:______________
PONTA GROSSA
JULHO/2003
Índice
1. Introdução.........................................................................................................................04
2. Objetivo.............................................................................................................................07
3. Metodologia......................................................................................................................07
4. Fundamentos ...................................................................................................................07
5. Materiais utilizados...........................................................................................................08
6. Métodos............................................................................................................................09
7. Microscopia Óptica e análise de imagem.........................................................................10
8. Caracterização fractal dos perfis de fratura......................................................................13
9. Resultados........................................................................................................................15
10. Temperatura de queima de 800ºC....................................................................................15
11. Temperatura de queima de 900ºC....................................................................................16
12. Temperatura de queima de 1000ºC..................................................................................17
13. Microscopia Óptica e análise de imagem.........................................................................18
14. Resultados das análises fractais......................................................................................19
15. Discussão.........................................................................................................................21
16. Conclusão.........................................................................................................................22
17. Referências Bibliográficas .............................................................................................. 23
RESUMO
Palavras chaves: Fratura, rugosidade, resistência, cerâmica vermelha
A resistência mecânica de um material cerâmico está relacionada com a dificuldade
de propagação das trincas no seu interior. Durante o processo de fratura são formadas duas
novas superfícies, as quais possuem uma rugosidade que é originada pela interação da
ponta da trinca com a microestrutura deste material e por condições macroscópicas, tais
como tamanho da amostra, forma do entalhe que deu origem a trinca, etc. Desta maneira,
as informações do processo de fratura ficam registradas na superfície de fratura. Como o
perfil de fratura geralmente possui geometria fractal, é possível relacionar o relevo da
superfície de fratura com grandezas da mecânica da fratura utilizando a técnica de
caracterização fractal. Uma das dificuldades para se utilizar esta técnica de análise é fazer o
levantamento do perfil da fratura. Este trabalho teve, então, como objetivos estudar o
desenvolvimento de uma técnica para o levantamento do perfil da superfície de fratura
utilizando a microscopia ótica associada à análise de imagem de uma argila utilizada para
confecção de tijolos e verificar a relação do perfil de fratura desta cerâmica com a sua
resistência a fratura, porosidade e densidade. Para tanto, amostras de argila vermelha foram
confeccionadas através de prensagem uniaxial em forma de barrinhas e em seguida foram
sinterisadas em temperaturas de 800, 900 e 1000C por duas horas. Estas amostras foram
caracterizadas através de módulo de ruptura em flexão em 3 pontos, absorção de água,
porosidade aparente e retração linear. As fraturas foram fotografadas utilizando um
microscópio ótico e os perfis foram obtidos através de utilização de software de análise de
imagem. Estes perfis obtidos por microscopia ótica associada à análise de imagem se
mostraram adequados para evidenciar todos os detalhes necessários para a caracterização
fractal por permitirem um perfil muito próximo do real. Os resultados da análise dos perfis
mostraram que a rugosidade dos perfis de fratura estão relacionados com o aumento da
temperatura de sinterisação e conseqüentemente com a redução da porosidade e com o
aumento da densidade.
1 - INTRODUÇÃO
A resistência mecânica de um material cerâmico está relacionada com a dificuldade
de propagação das trincas no seu interior. Durante o processo de fratura são formadas duas
novas superfícies, as quais possuem uma rugosidade que é originada pela interação da
ponta da trinca com a microestrutura deste material e por condições macroscópicas, tais
como tamanho da amostra, forma do entalhe que deu origem a trinca, etc. Desta maneira,
as informações do processo de fratura ficam registradas na superfície de fratura. Como o
perfil de fratura geralmente possui geometria fractal, é possível relacionar o relevo da
superfície de fratura com grandezas da mecânica da fratura utilizando a técnica de
caracterização fractal. Uma das dificuldades para se utilizar esta técnica de análise é fazer o
levantamento do perfil da fratura.
Assim, a análise das dimensões fractais pode ser muito útil no entendimento do
mecanismo de fratura de argamassas de cimento. Uma das dificuldades para se utilizar esta
técnica de análise é fazer o levantamento do perfil da superfície de fratura. Propõe-se
desenvolver uma técnica para a obtenção do perfil da superfície de fratura utilizando
microscopia ótica associada à análise de imagem e verificar a possível relação entre a
composição do material, o seu comportamento mecânico e a dimensão fractal.
A geometria fractal desenvolveu-se a partir de estudos de Benoit Mandelbrot sobre
complexidade, nas décadas de 1960 e 1970. Mandelbrot cunhou o termo “ fractal ” com
base na palavra latina fractus (quebrado), para ressaltar a natureza fragmentada e irregular
dessas formas. Os fractais têm auto-similaridade , isto é, um aspecto semelhante sob
qualquer ampliação
e são caracterizados por sua “ dimensão ” , ou complexidade. A
dimensão não é um número inteiro, como as dimensões 1, 2 e 3 da geometria euclidiana.
Em vez disso, as dimensões fractais são fracionárias; por exemplo: uma linha fractal possui
uma dimensão entre 1 e 2 .
A determinação da dimensão fractal de trincas e perfis de superfícies fraturadas está
intimamente relacionada com a questão da métrica usada na determinação do tamanho
destes. Intuitivamente, é possível entender as dimensões da geometria euclidiana e de seus
objetos, baseado nas construções fundamentais de, ponto, reta, plano e espaço desta
geometria. Contudo, no caso de objetos fractais, isto não é possível, porque não se encontra
uma construção elementar única, assim como na geometria euclidiana, com uma dimensão
compatível com o objeto fractal estudado. Isto porque no caso de fractais o tamanho do
objeto depende do tamanho da régua utilizada na medida, ou da dimensão da unidade de
medida utilizada.
1.1 - Diferença entre régua de medida e tamanho do elemento de estrutura
A régua de medida, d, é o elemento geométrico que se usa para realizar a medida
de um objeto (fractal ou não). Ela consiste de uma extensão finita, , com dimensão, d,
compatível com a do objeto, d = do. Na medida ela é usada para recobrir o objeto, com a
finalidade de se alcançar a sua medida da extensão geométrica, Mdo().
O elemento de estrutura, lr-D, corresponde a um elemento geométrico que forma o
fractal em escalas sucessivas mantendo auto-similaridade do objeto. É certo, que a régua
de medida, d, pode colapsar sobre o elemento de estrutura, d  lr-D, cobrindo a sua
extensão a fim de que a medida extensão do objeto, Md(), seja obtida com maior precisão,
onde, Md() ~d-D ( com D  d). No diagrama de Richardson, os pontos de coordenada x e y,
correspondem à medidas de régua tomadas arbitrariamente sobre a extensão do fractal.
Contudo, se o tamanho da régua, ,
foi escolhido exatamente igual ao tamanho do
elemento de estrutura, lr, em cada escala, então, haverá apenas pontos discretos sobre este
diagrama por causa dos níveis discretos de escalonamento de uma estrutura fractal.
Para uma medida, Mdo(), que a acompanha um crescimento fractal, é necessário
que a extensão da régua, , coincida exatamente com o tamanho do elemento de estrutura,
lr. Desta forma, poderá se descrever a velocidade de seu crescimento, v ~ dlr/dt. No caso
das trincas, sua estrutura é contínua, portanto um tamanho da régua, , não necessita
coincidir com o tamanho do elemento de estrutura. Mesmo porque a identificação deste
sobre a trinca é de difícil visualização. A trinca é um fractal estatístico o seu elemento de
estrutura, lr-D, possui um aspecto geométrico que pode modificar estatisticamente ao longo
do seu crescimento, ou seja tanto o tamanho, lr, pode mudar quanto a sua dimensão, D,
formando o que chama-se de um multifractal. Isto dificulta a sua visualização localizada,
apenas é possível abstrair, a partir da mecânica da fratura, que tal elemento exista. Para
que sejam feitas as considerações necessárias ao modelo fractal da trinca.
1.2 - O método Sand-Box de contagem pelo escalonamento estático dos elementos de uma
estrutura fractal
No método Sand-Box, cobre-se a figura com caixas de tamanhos Lk diferentes, não
importando a forma, que podem ser retangulares ou esféricas, porém, fixadas em um ponto
“O” qualquer sobre a figura, denominado origem, a partir do qual as caixas são ampliadas.
Conta-se o número Nk de estruturas elementares, ou sementes, que cabem dentro de cada
caixa. Fazendo-se o gráfico de logNk x log(k = min/Lk) obtém-se, da mesma forma que no
método anterior a dimensão fractal. Observe que neste caso a partição máxima é alcançada
quando N = Lk (k )/min = Lo/lo, onde L = Lo é o comprimento projetado da trinca e min =
lo é o comprimento da menor régua de medida possível na prática.
Figura - 1.1. Trecho de uma trinca sobre um corpo de prova, mostrando, a variação da medida do comprimento,
L, da trinca com a escala de medida
k = lo/Lk, para uma partição, Lk = variavel, k = lo (fixo), com seccionamento
feito para contagem segundo o método de escalonamento Sand-Box unidimensional.
Este método é o mais recomendável a ser usado, quando se deseja calcular a
dimensão fractal de estruturas compactas. A partir de um ponto (escolhido arbitrariamente)
que pertence à estrutura fractal, cuja dimensão se quer calcular, constrói-se um quadrado
imaginário Lk x Lk (k = 1). O número de pontos, N1(L1), que pertencem à estrutura, contidos
dentro deste quadrado, é contabilizado. Então o quadrado é deslocado para outro ponto,
dentro da estrutura, e novamente o número de pontos, N2(L1), que ficam dentro do
quadrado, é contabilizado. E assim por diante, até que toda a estrutura é varrida,
deslocando-se o quadrado de lados Lk x Lk ( k = 1) e contabilizando-se os N1(Lk) em cada
estágio. Em seguida, é mudados o tamanho do quadrado Lk x Lk (k = 2) e repetido todo o
processo anterior. Finalmente tem-se um conjunto de valores Ni(Lk), para diferentes valores
dos quadrados
Lk x Lk (k = 1,2,...,n) construídos imaginariamente. A partir destes dados, é feito um
tratamento estatístico para o cálculo da dimensão fractal.
Do ponto de vista experimental, é preciso escolher um único método de medida, no
qual são tomados diferentes extensões da trinca, para a variação da escala de medida ,
uma vez que o tamanho da régua ou partição min = lo se mantém fixa.
2 - OBJETIVO
Propõe-se estudar o desenvolvimento de uma técnica para o levantamento do perfil
da superfície de fratura utilizando a microscopia ótica associada à análise de imagem de
uma argila utilizada para confecção de tijolos e verificar a relação do perfil de fratura desta
cerâmica com a sua resistência a fratura, porosidade e densidade.
3 - METODOLOGIA
3.1 - Caracterização dos corpos de prova
Nos parágrafos seguintes serão apresentados todos os passos seguidos para
confecção dos corpos de prova bem como os fundamentos usados para sua caracterização.
3.1.1 - Fundamentos
Para a realização dos testes mecânicos e caracterização da argila vermelha usou-se
o seguinte conceito de ensaios cerâmico mostrado na Tabela –I..
Perda ao fogo
PF% = (Ps- Pq)/Ps*100
Retração de secagem
RS% = (L – L’)/L*100
Retração de queima
RQ%= (L – L’’)/L’*100
Absorção de água
AA%= (Pu – Pq’)/Pu*100
Porosidade aparente
PA%= (Pu – Pq’)/(Pu – Pi)*100
Módulo de ruptura
MR= 3.P.L/B.H2
Retração total
RT%= (L - L’’)/L*100
Tabela – I Conceitos cerâmicos.
Simbologia usada:
-
Ps = Peso seco.
-
Pq = Peso após queima.
-
L = Comprimento do CP antes da secagem (cm).
-
L’ = Comprimento do CP após a secagem (cm).
-
L’’ = Comprimento do CP após a secagem (cm).
-
Pq’= Peso do CP após queima (g).
-
Pu = Peso do CP úmido (g).
-
Pi = Peso do CP imerso (g).
-
P = Peso necessário para romper o CP (kgf).
-
B = Largura do CP (cm).
-
H = Altura do CP (cm).
-
L = Distância entre os apoios (cm).
3.1.2 - Materiais utilizados
A realização dos ensaios foi possível através do uso dos seguintes materiais de
laboratório
-
Argila vermelha
-
Balanças de precisão
-
Borrifador de água
-
Cadinho
-
Espátulas
-
Estufas
-
Fornos elétricos com temperatura máxima de queima de 1500ºC
-
Pistilo
-
Palmer com precisão de 0,02 mm
-
Peneiras de 48 e 80 meshes
-
Pisetis
-
Prensa hidráulica
-
Suporte para determinação de peso imerso
3.1.3 - Métodos
Para a preparação e caracterização da cerâmica vermelha foi determinado que
fossem feitos os mesmos testes em função de três temperaturas distintas, isto é, para 800,
900 e 1000ºC. Desta forma, os procedimentos com a cerâmica se deram da mesma forma
para cada uma das temperaturas.
Inicialmente, uma parte da amostra foi selecionada aleatoriamente, e em seguida,
esta foi depositada numa forma previamente encapada com papel alumínio e, então,
dessecada em uma estufa a uma temperatura de 70ºC, por um período de um dia para que
perdesse a umidade existente.
Posteriormente, a argila vermelha foi triturada e transformada em pó com a ajuda de
um pistilo e de um cadinho. Após este processo, o pó de argila passou por uma peneira de
80 meshes. Logo depois do pó estar totalmente peneirado, a este foram adicionados 5% de
umidade com o auxilio de um borrifador de água. A essa amostra contendo umidade foi
dado um tempo de descanso de um dia, a fim de que houvesse uma maior
homogeneização. Depois desse tempo de descanso, o pó de argila passou novamente por
uma peneira, mas só que desta vez, por uma de 48 meshes com a finalidade de
proporcionar uma maior homogeneização.
Finalmente foram conformados 30 corpos de prova num molde de dimensões
60,2x20,3 mm com uma espessura que foi estipulada para aproximadamente 4mm. Esta
espessura foi conseguida através do controle da massa do pó de argila vermelha que foi
conformada. Para padronização da espessura adotou-se que se conformasse uma massa
de 8,15g de pó de argila vermelha num molde submetendo-o a uma pressão de duas
toneladas, em seguida aliviando-se a carga para novamente submetê-lo a uma pressão de
três toneladas.
Após terem sido conformados os corpos de prova foram identificados, pesados e
tiveram suas dimensões determinadas. Após as medições, os corpos de prova ficaram em
uma estufa por um período de um dia. Depois de transcorrido este tempo, foi tomado
novamente o peso e as medidas dos corpos de prova. Depois de determinadas as medidas
dos corpos de prova, estes passaram por um processo de sinterização num forno elétrico, a
uma temperatura de queima de 800ºC por um período de duas horas após a estabilização
da temperatura.
Depois de sinterisados, os corpos de prova passaram novamente pelos processos de
medidas e pesagens. Logo em seguida, os corpos de prova foram rompidos no aparelho de
flexão de três pontos, sendo que para proporcionar a quebra foram utilizadas pesetas para a
vazão da água, isto para se ter uma melhor precisão do volume de água utilizado. Após a
ruptura, determinados a espessura e a largura dos corpos de prova na região em que
ocorreu ruptura além da massa de água utilizada.
Após serem rompidos, os corpos de prova foram mergulhados em água e deixados em
repouso por um dia. Depois de transcorrido esse tempo, foram realizadas medidas do peso
úmido, onde foram pesados os corpos de prova molhados, e peso imerso, onde com a ajuda
de um suporte, foram pesados os corpos de prova imersos na água.
Estas amostras foram caracterizadas através de módulo de ruptura em flexão em 3
pontos, absorção de água, porosidade aparente e retração linear. Em seguida, as fraturas
foram fotografadas utilizando um microscópio ótico e os perfis foram obtidos através de
utilização de software de análise de imagem onde os mesmos foram obtidos através do uso
de mascaras de modo que se tornou possível à determinação dos perfis.
Para as outras temperaturas de sinterização, 900 e 1000ºC, seguiu-se basicamente o
mesmo procedimento com a ressalva de que a massa de pó de argila usada na
conformação de 8,15g foi alterada para 8,4g, de maneira que mais nenhuma alteração foi
feita no roteiro para os testes dos corpos de prova.
3.2 - Microscopia ótica e análise de imagem
Após, os ensaios de fratura por flexão em três pontos das amostras de argila
vermelha (utilizando uma montagem no laboratório) terem sido realizados, o perfil das
superfícies de fratura nas duas faces lateral dessas amostras foi fotografado por meio de um
microscópio ótico ligado a uma câmera digital CCD.
Em seguida cada uma das imagens digitais obtidas foi processada por meio de filtros
gráficos para evidenciar, em uma imagem preta e branca, o contorno da trinca. Os perfis
obtidos desta forma foram utilizados para determinação da dimensão fractal pelo método
Sand-Box.
A determinação do perfil da trinca seguiu-se através da utilização de mascaras para
que se pudesse extrair o perfil da trinca sendo o mais fiel possível do contorno real da trinca.
A seguir segue-se uma seqüência de imagens exemplificando os passos utilizados para a
determinação do perfil de uma foto de uma das seqüências que formam o perfil completo.
Para fazer a união das fotos dos segmentos do perfil e para produzir os efeitos de
mascaramento mostrados na Figura –3.2, foram utilizados softwares de tratamento de
imagem. Na Figura –3.2(a), observamos uma janela, onde após tornar a foto da trinca
monocromática, utilizamos recursos para alterarmos a intensidade da luz incidia na amostra.
Em (b), utilizamos um filtro de imagem, onde, por exemplo, a cor vermelha é utilizada para
proporcionar o delineamento do perfil que esta sendo incidido pela luz. Em (c), ocorre algo
parecido, de maneira que agora, um novo filtro de cor azul é utilizado para delimitar o
contorno do filtro de cor vermelha, assim delimitando o contorno do perfil da trinca. As
figuras (d) e (e), mostram a maneira como o filtro vermelho foi desativado e como o perfil da
trinca ficou evidenciado.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura – 3.2. Procedimento para determinação do perfil de trinca.
3.3 - Caracterização fractal dos perfis de fratura
O cálculo da dimensão fractal pelo método Sand-Box foi realizado utilizando-se um
software desenvolvido para esse fim, conforme mostra o fluxograma do anexo 1. Esta subrotina funciona da seguinte forma:
O perfil de uma fratura com fundo branco e cor diferente desta é carregado pelo
programa em um ambiente gráfico de coordenadas que variam de (x0, y0) a (xn, yn) que
correspondem ao início e ao final da figura respectivamente. Em seguida, a direção
horizontal é totalmente varrida ao longo de toda a figura desde a coordenada x0 até a
coordenada xn, seguindo o seguinte critério. Para cada posição de coordenada, (xr,yr),
qualquer, procura-se qualquer ponto de cor diferente da cor branca (a do fundo) na direção
vertical, percorrendo toda ela no ponto de coordenada desde (xr,y0  yn), à medida que se
encontra um pixel de cor diferente da cor de fundo (branca) incrementa-se o valor unitário a
um contador de índice i. Onde o índice i recebe o seu valor anterior acrescentado mais um.
Na condição que i inicial é nulo, isto é:
i = 0 (inicial)
e
i = i +1
(no loop de coordenadas da imagem do perfil de fratura);
Quando toda a direção vertical é percorrida, desde y0 até yn, passa-se ao ponto
seguinte na horizontal de coordenada (xr+1,yr+1) e novamente percorre-se toda a direção
vertical desde (xr+1,y0  yn), e assim sucessivamente, até o ponto extremo de coordenadas
(xn,yn) que corresponde ao final da figura. No final todo ponto de cor diferente do fundo
branco é contado pelo contador, onde N =  i (somatório de i) é o numero total de pontos (ou
pixels) do perfil. O produto deste numero, N, vezes o tamanho do pixel, lo, transformado para
a escala milimétrica corresponde ao comprimento rugoso, L, do perfil, ou seja:
L = Nlo
Onde lo corresponde ao tamanho da régua mínima utilizada que é o tamanho do pixel sobre
a tela gráfica do computador. O tamanho do perfil da fratura projetado na horizontal
corresponde ao valor dado por:
Lo = (xn-xo)lo
Em seguida gera-se uma tabela de L versus Lo e conseqüentemente o seu gráfico.
4 - RESULTADOS
4.1 - Caracterização dos corpos de prova
Abaixo apresentamos os resultados obtidos para as diferentes temperaturas de
queima.
4.1.1 - Temperatura de queima de 800ºC
4.1.2 - Temperatura de queima de 900ºC
4.1.3 - Temperatura de queima de 1000ºC
4.2 - Microscopia óptica e análise de imagem
Após a fratura das amostras preparadas com argila vermelha estas apresentaram
aspectos similares aos que são mostrados na Figura - 4.1
Figura - 4.2.1. Aspecto do perfil de fratura de amostra preparadas com argila vermelha.
Abaixo se seguem alguns exemplos de perfis determinados para as temperaturas de
queima propostas.
(a)
(b)
(c)
Figura – 4.2.2. Exemplos de perfis reais ampliados de corpos de prova. (a) 800ºC; (b)900ºC; (c) 1000ºC.
4.3 – Resultados das análises fractais
Após a fratura das amostras preparadas com argila vermelhas estas apresentaram
aspectos de perfis similares aos que são mostrados por perfis de estruturas de ordem
fractais.
A Tabela – II mostra os resultados obtidos para amostras preparadas com argila
vermelha.
Amostra
Espessura, Tensão de
Dimensão Fractal
Fratura (MPa)
o
N
Lo (mm)
f
Lado da seta
A8
3,95
1,888
1,151056
B3
3,8
2,360
1,229189
C25
3,8
8,761
1,162657
Lado oposto da seta
Tabela - II. Resultados do ensaio mecânico e da análise fractal das amostras preparadas com
argila vermelha.
A partir dos dados da Tabela – II obtemos o gráfico mostrado na Figura – 4.3.1.
Argila vermelha
2,0
Dimensão fractal
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tensão de fratura, f (MPa)
Figura – 4.3.1. Gráfico da análise fractal dos perfis de fratura para diferentes amostras preparadas
com argila vermelha.
A medida do comprimento rugoso do perfil de fratura fornece os resultados
mostrados na Tabela - III.
f2
D
Lo(pixels)
L(pixels)
L/Lo
A8
3,564544
1,107210
1312,740000
4175,000000
3,180371
B3
5,569600
1,200089
1446,390000
4677,000000
3,233568
C25
76,755121
1,123382
1360,260000
5051,000000
3,713261
Amostra
Tabela - III. Resultados do ensaio mecânico e da análise fractal das amostras
preparadas com argila vermelha.
A partir dos dados da Tabela - III obtemos o gráfico mostrado na Figura - 4.3.2.
Argila Vermelha
Comprimento relativo L/Lo
3,5
3,0
2,5
L/Lo
Linear Fit of Data1_D
2,0
2
L = Lo*[(3,17 +- 0,02) + (0,0070 +- 0,0005)*  f ]
R = 0,99778 SD = 0,02766 N= 3 P = 0,04246
1,5
1,0
0
10
20
30
40
50
60
2
70
80
2
Quadrado da tensão de fratura,  f (MPa )
Figura – 4.3.2. Gráfico do quadrado da tensão de fratura versus o comprimento rugoso do perfil de
fratura para diferentes amostras preparadas com argila vermelha.
5 - DISCUSSÃO
A análise dos resultados obtidos através da caracterização da argila vermelha
permite concluir, que os resultados encontrados para os corpos de prova, sinterisados a
temperatura de 900ºC, apresentaram valores muito incoerentes, ou seja, os módulos de
ruptura e a porcentagem de retração total não foram constantes nem mesmo proximas, mas
sim, crescentes. O que torna incoerente os resultados, uma vez que todos os corpos de
prova foram queimados a uma mesma temperatura. Uma possível causa para esta variação
pode ter sido o fato da existência de gradiente de temperatura dentro do forno enquanto os
corpos eram sinterisados. Isto pode ser evidenciado, uma vez que os corpos foram
dispostos em ordem crescente para serem queimados.
Com relação às outras amostras, sinterisadas nas temperaturas de 800 e 1000ºC, já
se observa que ocorreram resultados semelhantes, mas mesmo assim, ainda é possível
observar um certo aumento nos valores dos módulos de ruptura para os corpos de prova.
Que foram dispostos da mesma maneira, como citado anteriormente, evidenciando mais
uma vez a presença do gradiente interno de temperatura.
Comparando-se as temperaturas de queima observou-se o esperado, ou seja,
temperaturas de queima maiores proporcionaram módulos de ruptura maiores e retração de
queima total também maiores. Contudo os resultados obtidos para as diferentes
porosidades não foram conclusivos, uma vez que o esperado seria porosidades constantes
ou pelo menos próximas e baixas para temperaturas de queima altas. A única temperatura
que apresentou tais características foi a de 900ºC, mas, no entanto, esta temperatura possui
o seu resultado comprometido como explicado nos parágrafos anteriores.
Em relação aos resultados obtidos na determinação do perfil das trincas, foi
encontrado o esperado. Isto é, não houve nenhuma cetra dificuldade em se determinar o
perfil, uma vez que foram utilizados valores altos de resolução gráfica e de ampliação, como
no caso o uso de microscópios óticos, que por sua vez, propiciaram o levantamento de
perfis muito próximos do real.
Os resultados apresentados pela análise fractal mostram claramente que
existe uma dependência do comprimento rugoso, L, com o quadrado da tensão de ruptura,
f2, dos corpos de prova. No caso da argila vermelha a dependência encontrada foi também
linear, porém crescente, ou seja, com coeficiente angular positivo. Embora esta relação seja
tênue ela é foi bastante perceptível pelas medidas realizadas. Neste casos a relação,
quadrado da tensão de fratura, f2,
versus comprimento rugoso do perfil, L, pode ser
abstraida da seguinte relação:
K IC  f (
Lo
) f ( Loc )1 / 2 ,
W
(1)
onde f(Lo/W) é um fator que depende da forma do corpo de prova e do ensaio utilizado. W, é
a comprimento do material na direção em que a trinca se propaga. Loc, é o tamanho crítico
da trinca ou do entalhe realizado no material.
Como a medida que a trinca cresce este tamanho também cresce, até o corpo se
romper, ele também corresponde ao comprimento projetado da trinca, Lo. Considerando que
KIC é uma propriedade do material, sendo constante para qualquer tamanho de trinca, Loc,
temos que:
2
K IC  f 2 (
Lo
2
) f Loc .
W
( 2)
logo
Lo 
constante
f2
.
( 3)
Na literatura existe basicamente dois modelos sugeridos, que podem sugerir uma
relação entre a tensão de fratura, f, e a dimensão fractal, D, para diferentes materiais, a
saber, o de MANDELBROT & PASSOJA [1984], dado por:
K IC  DA( E )1 / 2 ,
( 4)
DA( E )1/ 2
.
2
2 Lo
f ( ) f
W
( 5)
que fornece
Loc 
e o de MU e LUNG [1988], dado por:
K IC  K Io 1 D ,
( 6)
K Io 1 D
Loc 
,
2
2 Lo
f ( ) f
W
( 7)
que fornece
Estes dois modelos apresentam argumentos plausíveis de validade. Por outro lado,
para um mesmo material, uma formulação teórica mais abrangente foi feita por ALVES
[2001] e ALVES [2002] a partir de ( 11), levando em conta as considerações físicas das
duas correntes científicas, fornecendo,
2 H 2
J o  2 eff
donde sai que:
l 
1  (2  H ) o 
 Lo 
  l  2 H 2 

21   o 
  Lo 



( 8)
2 H 2
l 
1  (2  H ) o 
 Lo 
 of 2 ( Lo )   f 2
.
  l  2 H 2 

21   o 
  Lo 



( 9)
Utilizando ( 11) em ( 9) temos que:
Lo
.
L
 of 2 ( Lo )   f 2
( 10)
Considerando que f é uma propriedade do material independentemente do tamanho da
trinca, Lo, a tensão de fratura, of(Lo), que neste caso é uma função do comprimento
projetado, Lo, pode ser também relacionada com o comprimento rugoso, L, através da
relação (9) acima.
Usando o fato dado em ALVES [2001] de que:
L  Lo
l 
1   o 
 Lo 
2 H 2
.
( 11)
E de forma aproximada, para Lo >> lo, temos:
l 
L  Lo  o 
 Lo 
H 1
( 12)
.
Sendo H = 2 – D temos:
Lo 
L1/ D
lo
(1 D ) / D
,
( 13)
Substituindo ( 13) em ( 3) temos:
L1/ D
lo
(1 D ) / D

constante
f2
.
( 14)
.
( 15)
Finalmente temos que:
L
K IC
2D
.lo
1 D
f 2 ( Lo / W ) f
2D
Porém para a os dados da argila vermelha, é necessário para uma análise mais acurada, além
de um maior número de medidas com diferentes amostras, como também, ajustar seus
resultados pelos modelos apresentados acima, para que se possa concluir qual deles é o que
melhor se adapta ao caso da fratura em argila vermelha. Também será necessário identificar
qual é o tamanho mínimo que a fratura neste materiais deve apresentar, para se interpretar
corretamente o valor de lo da equação (9)
6 - CONCLUSÃO
i) O levantamento de perfis de fratura tem sido um problema experimental a ser
resolvido. A partir dos resultados obtidos neste trabalho conclui-se que a metodologia
desenvolvida para o levantamento de perfis de fratura apresentou resultados bastante
satisfatórios e promissores.
ii) O modelo de comprimento rugoso, L, em função do comprimento projetado, Lo,
sugerido por ALVES [2001] e ALVES [2002] pareceu concordar bem com os resultados
experimentais. Este resultado permite consolidar o modelo já publicado na literatura
especializada da área em ALVES [2001].
iii)
A caracterização fractal foi realizada, pelo método e Sand-Box. Porém a
dimensão fractal pode apresentar valores diferentes dependendo do método utilizado. Isto
ainda é um dos problemas ainda não resolvidos nesta área da ciência. Contudo, os
resultados apresentados pela análise fractal, não mostram de forma clara uma dependência
da dimensão fractal, D, com a tensão de ruptura, f, dos corpos de prova. Portanto, ainda
não é possível decidir que tipo de dependência existe entre estas grandezas.
iv) Por outro lado, foi possível correlacionar de alguma forma parâmetros
geométricos da fratura, tal como o quadrado da tensão de fratura, f2, com as propriedades
mecânicas do material, tal como o comprimento rugoso da trinca, L, conforme mostra a
Figura - 4.3.2. Esta relação pode permitir futuramente uma análise das proriedades
mecânicas do material a partir de falhas mecânicas em serviço.
7 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ALLEN, Martin; Gareth J. Brown; Nick J. Miles, - ”Measurements of boundary fractal
dimensions”: review of current techniques. Powder Technology, vol. 84, p.1-14, 1995.
[2] ALVES, Lucas Máximo; Rosana Vilarim da Silva, Bernhard Joachim Mokross, The
influence of the crack fractal geometry on the elastic plastic fracture mechanics.
Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 295, n. 1/2, p. 144-148, 12 June
2001.
[3] ALVES, Lucas Máximo, “MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA E DO
CRESCIMENTO DE TRINCAS EM MATERIAIS”,
Tese de Doutorado em Ciência e
Engenharia de Materiais, apresentada à Interunidades em Ciência e Engenharia de
Materiais, da Universidade de São Paulo-Campus, São Carlos, Orientador: Bernhard
Joachim Mokross, Co-orientador: José de Anchieta Rodrigues, São Carlos – SP, 2002.
[4] BARABÁSI, Albert – László; H. Eugene Stanley, Fractal concepts in surface growth,
Cambridge University Press, 1995.
[5] BUNDE, Armin; Shlomo Havlin, Fractals in Science, Springer-Verlag 1994.
[6] MANDELBROT, Benoit B, Fractal: form chance and dimension, Freeman, San
Francisco, 1977.
[7] MANDELBROT, Benoit B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco New York 1982.
[8] MANDELBROT, Benoit B.; Dann E. Passoja & Alvin J. Paullay, Fractal character of
fracture surfaces of metals, Nature (London), vol. 308 [5961], p. 721-722, 19 April, 1984.
[9] MANDELBROT, B. B., in: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, Fereydoon.
and Vicsék, Tamás, World Scientific, Singapore, p. 19-39. 1991.
[10] MU, Z. Q. and C. W. Lung, Studies on the fractal dimension and fracture toughness
of steel, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 21, p. 848-850, 1988.
[11] RICHARDSON, L. F. The problem of contiguity: an appendix to statistics of deadly
quarrels. General Systems Yearbook, n.6, p. 139-187, 1961.
[12] VICSÉK, Tamás, Fractal Growth Phenonmena, World Scientific, Singapore, 1992.
[13] VOSS, Richard F. (In: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, Fereydoon. and
Vicsék, Tamás), World Scientific, Singapore, (1991), 40-45.