Série DE PAGAMENTOS UNIFORMES

Transcrição

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MATEMÁTICA
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e
Sistemas (PPGEPS)
JOSE DONIZETTI DE LIMA
Pato Branco, 09 de maio de 2016.
SUMÁRIO
PREFÁCIO
Capítulo 1 – PRINCÍPIOS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES
Capítulo 2 – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES, COMPOSTO E CONTÍNUO
2.1 Regime de Capitalização Simples (Juros Simples).............................................................................07
2.2 Regime de Capitalização Composto (Juros Compostos) ..................................................................09
2.3 Regime de Capitalização Contínuo (Juros Contínuos) .....................................................................11
Capítulo 3 – TAXAS DE JUROS
3.1 Taxa de juros nominal.......................................................................................................................13
3.2 Taxa de juros efetiva.........................................................................................................................14
3.3 Taxa de juros equivalente.................................................................................................................15
3.4 Taxas proporcionais..........................................................................................................................17
Capítulo 4 – SÉRIES DE PAGAMENTOS
4.1 Séries de pagamentos uniforme.......................................................................................................19
4.2 Séries de pagamentos não-uniforme................................................................................................23
4.3 Séries perpétuas...............................................................................................................................26
Capítulo 5 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
5.1 Introdução........................................................................................................................................28
5.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)........................................................................................28
5.3 Sistema Price (ou Sistema Francês)...................................................................................................29
5.4 Sistema de Amortização Americana (SAA) .......................................................................................29
5.5 Carência............................................................................................................................................29
5.6 Programando as carências em uma planilha eletrônica de cálculos..................................................30
Capítulo 6 – ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS (APS): ESTÁ NA HORA DE APREENDER +
Listas de exercícios-problemas propostos para a revisão dos conceitos.................................................32
Sugestão de avaliação............................................................................................................................37
Referências............................................................................................................................................70
Anexos...................................................................................................................................................72
Apêndices..............................................................................................................................................74
Esse livro apresenta o composto de conhecimento de Matemática Financeira (MF) necessário para o
desenvolvimento dos métodos e técnicas de Engenharia Econômica (EE), incluindo: conceito de juros
(base x taxa), regimes de capitalização (simples, compostos e contínuos), taxas de juros (nominal,
efetiva e equivalente), séries de pagamentos (uniformes e não uniformes) e sistemas de amortização
(Price, SAC e SAA) com carência.
LIMA, J.D. de. Elementos de Matemática Financeira para Engenharia Econômica: Princípios e Práticas.
Notas de aula – textos para discussão. Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR – Câmpus
Pato Branco). Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção e Sistemas (PPGEPS). 2016.
Disponível em: <http://pb.utfpr.edu.br/savepi/materialDeApoio.php>. Acesso em: mai. 2016.
Elementos de Matemática Financeira: Princípios, Práticas & Aplicações – Prof. Dr. José DONIZETTI de Lima. Pág. 2
PREFÁCIO
Esse livro apresenta os aspectos fundamentais da Matemática Financeira (MF). Os conceitos são
apresentados de forma concisa. Cada tópico é ilustrado com exemplo e forma de implementação em
uma planilha eletrônica de cálculos. Por fim, uma seleção de exercícios e provas encerra essa obra.
Nessa obra adota-se uma estratégia de ensino que privilegie a autoaprendizagem. “O objetivo
instrucional é estimular o leitor a pensar por conta própria, liberar o pensamento e integrar
informações e conceitos de diferentes áreas do conhecimento”. “Solicita-se ao leitor que solucione o
problema proposto por meio do direcionamento em passos de resolução. A finalidade é processar a
informação de uma forma ativa, levando o leitor a trilhar os passos estabelecidos pelos diferentes
métodos e técnicas, e a visualizar a aplicação prática dos conceitos discutidos em cada tópico.”
Motivação para a elaboração desse documento: O consagrado autor Abelardo de Lima Puccini (2011)
na nona edição do seu livro “Matemática Financeira: objetiva e aplicada”, reconhece: “A maioria dos
livros de Matemática Financeira costuma apresentar a matéria com uma simbologia complexa, e
com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica, criando, assim, um mito de
dificuldade para o seu aprendizado”. Nesse contexto, o presente texto busca introduzir os conceitos
básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira.
A Matemática Financeira (MF) é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do
dinheiro no tempo. Segundo Puccini (2011), a MF tem como objetivos principais: (i) a realização de
cálculos em fluxos de caixa, com a correta aplicação de taxas de juros, para se levar em conta o valor
do dinheiro no tempo; (ii) a obtenção da taxa interna de juros que está implícita nos fluxos de caixa; e
(iii) a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa.
QUESTÕES QUE NÃO QUEREM CALAR!
Qual o princípio fundamental da Matemática Financeira (MF)? Observar o valor do dinheiro ao longo
de uma escala temporal. Por esse princípio, não podemos somar valores que estão em datas diferentes.
Tempo é dinheiro? É sim! Veja o porquê!
No século V a.C. os gregos antigos utilizavam o Fluxo de Caixa (FC) descontado para considerar
quanto o dinheiro se desvalorizava durante decisões de investimentos no longo prazo. Fonte: O livro
dos negócios. Tradução de The Business book por Rafael Longo. 1 ed. São Paulo: Globo Livros, 2014.
352p.
Ideia básica: 1 unidade monetária HOJE é diferente de 1 unidade monetária AMANHÃ? O que
permanece é o valor físico (ou material) da moeda, mas o poder de compra tende a ser reduzido. A
exceção ocorre se a inflação for nula ou existir deflação (inflação negativa). Portanto, o dinheiro tem
um valor diferente dependendo de qual instante de tempo está sendo considerada. Nesse contexto,
sempre pense no valor (QUANTO, $) e no momento (QUANDO, data). Vale ressaltar que em países de
inflação baixa, a noção do dinheiro que perde valor ao longo do tempo não é tão relevante quanto no
Brasil.
Linha do tempo: O Brasil já teve uma inflação mensal superior a 80%. Nesse caso, a guarda de 1 unidade
monetária terminaria o mês valendo menos que 0,20.
Convite: Vamos aprender a viajar no tempo com o dinheiro? Mas, qual é o passaporte para essa
viagem? A taxa de juros, por unidade de tempo. E o local/destino dessa viagem? Uma unidade de
tempo.
TEMPO É DINHEIRO: GESTÃO BASEADA EM TEMPO (TIME IS MONEY TIME-BASED MANAGEMENT)
FÓRMULA FUNDAMENTAL/ESSENCIAL/BÁSICA:
Valor Presente = Valor Futuro/(1+taxa)tempo
Capítulo 1 – PRINCÍPIOS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES
“A Matemática Financeira não é um conjunto de fórmulas exóticas para o cálculo de juros, mas sim um
método de decisão entre alternativas de investimento e de financiamento.” (MORGADO et al., 2008).
Introdução (Adaptado de PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006)
A Matemática Financeira (MF) estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Podemos
iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte frase:
“Não devemos operacionalizar quantias em dinheiro que não estejam na mesma data”
Embora esta afirmativa, seja básica e simples, é absolutamente incrível como a maioria das pessoas
esquecem ou ignoram esta premissa. E para reforçar, as ofertas veiculadas nas mídias reforçam a
maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo, uma TV que à vista é vendida por R$ 1.500,00 ou
em 6 prestações de R$ 300,00, acrescenta-se a seguinte informação ou desinformação: total a prazo
R$ 1.800,00. O que se verifica é que soma-se os valores em datas diferentes, desrespeitando o
princípio básico, citado anteriormente, e induzindo a se calcular juros de forma errada. Esta questão
será melhor discutida nos próximos capítulos.
“Pode-se conceituar os juros como sendo o pagamento pela oportunidade de se poder dispor de um
capital em determinado período do tempo” (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011).
Uma palavra que é fundamental nos estudos sobre Matemática Financeira (MF) é JUROS. Cada um dos
fatores de produção é remunerado de alguma forma. Desta forma, os juros é o que se paga pelo custo
do capital, ou seja, é o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante
determinado tempo. A propósito estamos acostumados com juros, lembrem dos seguintes casos:
compras à crédito, cheques especiais, prestação da casa própria, desconto de duplicata, vendas à
prazo, financiamentos de automóveis e empréstimos pessoais, por exemplo.
Como podemos ver o termo é muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos até não nos
importar com a questão, mas a pergunta que se faz é: O quanto pagamos por não considerarmos
adequadamente a questão? E concluindo, nota-se a correspondência entre os termos juros e tempo,
que estão intimamente associados.
A taxa de juros e a unidade de tempo consideradas devem ser equivalentes, isto é, devem ter uma
unidade comum. Assim, as variáveis taxa unitária ( i ) e número de períodos ( n ) devem sempre estar
na mesma unidade de tempo. Dica: Sempre transforme n na mesma unidade da i .
Conceito de juro
Ao se emprestar certa quantia à uma pessoa ou instituição, é justo que se receba com a quantia
emprestada, mais outro valor que representa o “aluguel” (ou prêmio ou recompensa) pago pelo
empréstimo (capital emprestado). A esse aluguel pago pelo valor emprestado denominamos juros.
Matematicamente, podemos escrever:
JUROS = BASE X TAXA
No próximo capítulo, veremos que essa base pode ser constante (juros simples) ou ser atualizada a
cada período (juros compostos) ou ainda ser corrigida continuamente (juros contínuos). Por outro lado,
a taxa de juros é, em geral, considerada como fixa.
Princípios
Para a realização da análise de viabilidade econômica de projetos de investimentos sejam eles
tradicionais e/ou inovadores, alguns princípios fundamentais devem ser observados:
 Considerar o valor do dinheiro ao longo de uma escala de tempo. Devemos levar em consideração
que o dinheiro possui um valor dependente do tempo, isto é, receber hoje é diferente do que
receber o mesmo valor em outro período (no próximo ano, por exemplo). Portanto, somente
podemos considerar os métodos de fluxo de caixa descontados, ou seja, os que levam em
consideração o valor do dinheiro no tempo. Segundo Souza e Kliemann Neto (2012), “para que a
tomada de decisão seja realizada da forma mais correta possível, tangenciando a realidade, a
Engenharia Econômica sustenta suas bases no conceito do valor do dinheiro no tempo.”
 “Todas as quantias de dinheiro devem ser referidas a uma data e somente poderão ser transferidas
para outra data considerando os juros envolvidos nessa transferência/transação.” (CASAROTTO
FILHO e KOPITTKE, 2011). Em outras palavras, não se soma valores que não estejam na mesma
unidade de tempo e, é claro, na mesma unidade monetária sem antes realizar uma conversão
adequada. Assim, não é permitido, operar (somar ou subtrair, por exemplo) quantias de dinheiro
que não estão na mesma data. O passaporte para viajar com o dinheiro ao longo do tempo é a taxa
de juros.
 Apenas as diferenças entre as alternativas de investimentos são relevantes. Exemplificando: em
uma análise para a aquisição de um tipo de motor, não deve haver interesse sobre o consumo destes
se forem idênticos.
 Considerar o custo do capital (próprio e/ou de terceiros) como preconiza a teoria do Valor
Econômico Agregado (EVA – Economic Value Added).
 É importante ressaltar que, na análise de um investimento, o investidor também deve considerar
outros aspectos, além do econômico, tais como: velocidade de produção e nível de qualidade
agregado ao produto final, imprimindo maior robustez ao processo produtivo.
Siglas e convenções
Utilizaremos as seguintes siglas para representar os elementos da Matemática Financeira (MF):
Siglas
J
VP
i
n
VF
FC
TMA
Significado
Juros
Capital ou Principal ou Investimento
Taxa de juros (taxa unitária)
Número de períodos (tempo decorrido)
Montante (valor futuro)
Prestação (parcela ou pagamento ou fluxo de caixa)
Taxa Mínima de Atratividade ou Custo de Oportunidade
Breve explicação: inglês
Interest
Value Present
Interest rate
Number of periods
Value Future
Payment ou Cash Flow
Cost Oportunity

Adota-se a convenção de que todos os acontecimentos financeiros realizados em um período são
considerados como realizados no instante final deste período. Assim, em geral, para a simplificação
dos cálculos, sem perda de generalidade, consideramos que os pagamentos e/ou recebimentos
ocorrem no final de cada período. Para efeito de cálculo considera-se, em geral: (i) ano comercial: 360
dias e; (ii) mês comercial: 30 dias.
Na fórmula para o cálculo do montante ou Valor Futuro (VF), independente do regime de capitalização
(simples, composto ou contínuo) aparecem quatro variáveis: Valor Futuro (VF), Valor Presente (VP),
Taxa de juros (i) e número de períodos (N). Podemos encontrar qualquer uma delas, desde que se
conheçam as outras três. Uma lógica análoga é utilizada nos problemas que envolvem fluxo de caixa
(FC), VF, i e N ou FC, VP, i e N.
No próximo capítulo discutimos o que é juros simples, compostos e contínuos. Nos próximos capítulos,
outros pontos importantes em Matemática Financeira são retomados. Contudo, é importante
analisarmos novamente os principais princípios desse ramo da Matemática.
Questões que não querem calar
1) O que é Fluxo de Caixa (FC)? Como um conceito geral, o Fluxo de Caixa (CF, em inglês, Cash Flow),
é a relação (diferença) entre as entradas (recebimentos) e as saídas (desembolsos) de recursos
financeiros em determinado período (ano, mês ou dia, por exemplo), visando prever a necessidade
de captar empréstimo ou aplicar excedentes de caixa nas operações mais rentáveis. O FC caixa
pode ser definido como o movimento do dinheiro que entra e sai em uma empresa, em
determinado intervalo de tempo (dia, semana, mês...), em decorrência de suas atividades.
2) O que Diagrama do Fluxo de Caixa (DFC)? É uma representação gráfica do FC. A construção do DFC
permite a visualização gráfica dos resultados dos exercícios, isto é, explicita a diferença entre
receitas e despesas, para cada unidade de tempo contemplada.
3) O que são indicadores econômico-financeiros? São valores quantitativos, ou seja, números
utilizados para identificar a situação e o desempenho econômico-financeiro da empresa ou de um
projeto de investimento.
4) Custo/gasto/despesa: tratar todos como iguais? (i) Custo: dispêndio de recursos monetários
necessários; (ii) Gasto: Ver Bornia (2002), Kliemann Neto (2008), Rasoto et al. (2012)... “Os custos
são classificados em fixos, quando não se alteram de acordo com a quantidade produzida e
variáveis quando dependem do nível de produção.”
5) Considerar/contemplar diversos aspectos? (i) técnico; (ii) econômico; (iii) financeiro; (iv)
ambiental/sustentabilidade; e (v) imponderáveis. Análise dos benefícios tangíveis. Análise dos
benefícios não tangíveis (estratégico/ambiental/sustentabilidade...).
6) Juros? Ao capital cabem juros. Custo do capital = custo do dinheiro.
Prática: Exemplos didáticos para se calcular a taxa de juros em um período
1) Suponha que um determinado objeto tem como preço de etiqueta R$ 100,00 com as seguintes
opções para o comprador: R$ 50,00 de entrada e R$ 50,00 (em 30 dias) ou R$ 90,00 à vista.
Pergunta-se: Qual a taxa de juros mensal cobrada nessa transação comercial (compra)?
Solução: Ao optar pela compra a prazo deixamos de desembolsar, no ato da compra, R$ 40,00 (R$
90,00 – R$ 50,00), sendo que por estes R$ 40,00 devemos pagar R$ 50,00 ao término de 30 dias, ou
seja, devemos pagar R$ 10,00 de juros, o que representa em relação à R$ 40,00, uma taxa de 25%.
Portanto, a taxa de juros é de 25% ao mês. Para os menos avisado a taxa é de 10% (MAS, ERROU!) pois,
o valor do objeto se reduz de R$ 100,00 para R$ 90,00 em um período.
Nota: Além disso, se atrasarmos o pagamento da prestação estaremos sujeito a cobrança de multa de
2% mais juros de 1% ao mês acrescido de atualização monetária. Além da possibilidade de inclusão do
nome nos cadastros dos Serviços de Proteção ao Crédito (SPC ou SERASA, por exemplo).
2) Suponha uma compra no valor de R$ 100,00, com as seguintes opções: À vista R$ 80,00 ou duas
vezes de R$ 50,00 (entrada + 30 dias).
Qual a taxa de juros mensal cobrada nessa transação comercial?
Solução: R$ 80,00 - R$ 50,00  R$ 30,00
Assim, optando pela compra parcelada, deixamos (no ato da compra) de desembolsar R$ 30,00 e por
estes devemos pagar R$ 50,00 em 30 dias.
1a forma) Como a situação retrata apenas um período (1 mês) podemos fazer uso da seguinte fórmula,
deduzida no próximo capítulo: VF  VP  (1  i ) n
Em que: VP  R$ 30,00 , VF  R$ 50,00 , n  1 e pretendemos (é claro) determinar a taxa (i ) .
50  30  (1  i)1  i  0,6667 ou i  66,67%
50
 1,6667 , ou seja, o aumento é de
30
 66,67% e como temos um período apenas, e só por isto, a taxa é de aproximadamente 66,67%.
2a forma) Poderíamos determinar a taxa simplesmente fazendo
Capítulo 2 – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES E COMPOSTO
Juros simples ou juros compostos? Segundo Albert Einstein, o juro composto é a maior invenção da
humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza.
2.1 Regime de Capitalização Simples: Juros Simples
No regime de capitalização simples, somente o capital (ou principal) gera juros. Assim, utilizando o
conceito de que juros é o resultado do produto de uma base por uma taxa, nesse regime a base é fixa
(ou constante ou não atualizável). Por outro lado, a taxa de juros é mantida imóvel.
Denominando:
VP : Valor Presente ou atual ou principal;
 VF : Valor Futuro ou montante;
 i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou unidade de tempo); e
 n : número de períodos de capitalização.
Objetivo: Estabelecer uma relação matemática entre VP, VF, i e n, considerando uma base fixa, ou
seja, constante (ou não atualizável). Para tanto, podemos utilizar o seguinte diagrama:

Vejamos na Tabela 1 o comportamento de um sistema de capitalização pelo regime de juros simples.
Observamos que esta sistemática pode facilmente ser implementada em uma planilha eletrônica de
cálculos (MS-Excel, por exemplo).
Tabela 1 – Detalhamento do regime de capitalização simples
Período (p)
Juros (J) Valor Futuro (VF)
Detalhamento do VF
0
–
=VP
1
=VPi
=VP(1+i)
VP + VPi = VP (1+i)
2
=VPi
=VP(1+i2)
VP (1+i) + VPi = VP(1+2i)
3
=VPi
=VP(1+i3)
VP(1+2i) + VPi = VP(1+3i)
...
...
...
...
j
=VPi
=VP(1+ij)
...
...
...
n-1
=VPi
=VP(1+i(n-1))
n
=VPi
=VP(1+ in)
Assim, a relação matemática entre o Valor Presente (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros
(i) e um número de período (n), no regime de capitalização simples (juros simples), é dada pela equação
(01):
VF  VP  (1  i  n )
(01)
Nota: A demonstração completa ocorre por indução finita (LIMA, 2012).
A equação (01) apresenta os seguintes desdobramentos (ou variações), para a determinação do Valor
Presente (VP), da taxa de juros por período (i) e do número de períodos (n), explícitos nas equações
(02), (03) e (04), respectivamente:
VP 
VF
(1  i  n )
(02)
VF
1
VP
i
n
(03)
VF
1
VP
n
i
(04)
VF


VP


(1  i  n )

VF

1

VP
VF

VP

(
1

i

n
)


i


Em suma/síntese (fórmulas de operacionalização):
n

VF

1

VP
 n 
i

Exemplo ilustrativo
1) Consideremos: VP = R$ 100,00; VF = R$ 140,00; n = 4 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama,
temos:

Caso 1: Dados VP, i e n, determinar VF.

Caso 2: Dados VF, i e n, determinar VP.

Caso 3: Dados VP, VF e n, determinar i.

Caso 4: Dados VP, VF e i, determinar n.
Estes casos estão implementados em uma planilha eletrônica de cálculos, como o MS-Excel, conforme
observamos na figura a seguir.
2.2 Regime de Capitalização Composto: Juros Compostos
No regime de capitalização composto, a base é atualizada no final de cada período. Assim, utilizando o
conceito de que juros é o resultado do produto de uma base por uma taxa e a base é atualizada
periodicamente, os juros incidem sobre o capital mais os juros gerados nos períodos anteriores. Por
outro lado, a taxa de juros é mantida constante dentro do horizonte de análise.
Denominando:


VF : Valor Futuro ou montante;
 i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou unidade de tempo); e

n : número de períodos de capitalização.
Objetivo: Estabelecer uma relação matemática entre VP, VF, i e n, considerando uma base móvel, ou
seja, atualizada a cada período. Para tanto, podemos utilizar o seguinte diagrama:
Vejamos na Tabela 2 o comportamento de um sistema de capitalização pelo regime de juros
compostos. Observamos que esta sistemática pode facilmente ser implementada em uma planilha
eletrônica de cálculo (MS-Excel, por exemplo).
Tabela 2 – Detalhamento do regime de capitalização composto
Período (p)
Juros (J)
Valor Futuro (VF)
Detalhamento do VF
0
–
=VP
----1
=VPi
=VP(1+i)
VP + VPi = VP(1+i)
2
=VP(1+i)i
=VP(1+i)2
VP(1+i) + VP(1+i)i = VP(1+i)2
3
=VP(1+i)2i
= VP(1+i)3
VP(1+i)2 + VP(1+i)2i = VP(1+i)3
...
...
...
...
j
=VP(1+i)j-1i
= VP(1+i)j
...
...
...
n-1
=VP(1+i)n-2i
= VP(1+i)n-1
n
=VP(1+i)n-1i
=VP(1+ i) n
Assim, a relação matemática entre o Valor Presente (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros
(i) e um número de período (n), no regime de capitalização composto (juros compostos), é dada pela
equação (05):
VF  VP  (1  i) n
(05)
Nota: A demonstração completa ocorre por indução finita (LIMA, 2012).
Essa é a principal fórmula da Análise Econômica de Projetos (AEP). As demais são desdobramentos ou
consequências desta.
A fórmula (05) apresenta os seguintes desdobramentos (ou variações), para a determinação do Valor
Presente (VP), da taxa de juros por período (i) e do número de períodos (n), explícitos nas equações
(06), (07) e (08), respectivamente:
VF
(1  i) n
(06)
VF
1
VP
(07)
VP 
in
 VF 
log

VP 

n
log 1  i 
(08)


VF
 VP 
(1  i) n


VF
n
VF

VP

(
1

i
)

1
 i  n
Em suma/síntese (fórmulas de operacionalização):
VP


 VF 
log 


 VP 
 n 

log 1  i 
Exemplo ilustrativo
1) Consideremos: VP = R$ 100,00; VF = R$ 146,41; n = 4 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama,
temos:

Caso 1: Dados VP, i e n, determinar VF.

Caso 2: Dados VF, i e n, determinar VP.

Caso 3: Dados VP, VF e n, determinar i.

Caso 4: Dados VP, VF e i, determinar n.
Estes casos estão implementados em uma planilha eletrônica de cálculos, como o MS-Excel, conforme
observamos na figura a seguir.
1
n
Notas importantes:  (1  i) : fator de capitalização; e  (1  i) n : fator de descapitalização.
Exemplos ilustrativos
1) Os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, pois, após cada mês, os juros
são incorporados ao capital. Salienta-se ainda que a caderneta de poupança é isenta do Imposto
sobre as Operações financeiras (IOF) e do Imposto de Renda (IR). Vale salientar que parte dos
recursos gerados com a captação de dinheiro da caderneta de poupança serve para financiar a
construção da cada própria, evidenciando assim a importância da mesma. Nessas condições, qual o
montante produzido por R$ 1.000,00, em 12 meses, aplicado a 0,5% ao mês.
Solução:
VF  1000 1  0,5%  1061,68 .
12
Portanto, o montante é na ordem de R$ 1.061,68.
Juros Simples (JS) x Juros Compostos (JC)
1) Suponhamos que você tenha aplicado a importância de R$ 100,00, pelo prazo de 4 anos, à taxa de
10% ao ano (mantida constante). Baseando-se nesses dados, preencher as tabelas a seguir:
1a Tabela) Considere juros simples (base fixa), ou seja, juros não recebe juros.
Período
0
1
2
3
4
Base de Cálculo
R$ 100,00
R$ 100,00
R$ 100,00
R$ 100,00
R$ 100,00
Juros de cada período
R$ 0,00
R$ 10,00
R$ 10,00
R$ 10,00
R$ 10,00
Montante = Capital + Juros
R$ 100,00
R$ 110,00
R$ 120,00
R$ 130,00
R$ 140,00
2a Tabela) Considere juros compostos (base atualizada a cada período), ou seja, juros recebe juros.
Período
0
1
2
3
4
Base de Cálculo
R$ 100,00
R$ 100,00
R$ 110,00
R$ 121,10
R$ 133,10
Juros de cada período
R$ 0,00
R$ 10,00
R$ 11,00
R$ 12,10
R$ 13,31
Montante = Capital +Juros
R$ 100,00
R$ 110,00
R$ 121,00
R$ 133,10
R$ 146,41
2) Elabore um gráfico comparativo entre os crescimentos dos montantes para os sistemas de
capitalização: Juros Simples e Juros Compostos. Para isto considere um capital de R$ 100,00, uma
taxa de 10 % ao período (ano, por exemplo), durante 12 períodos.
2.3 Regime de Capitalização Contínuo: Juros Contínuos
O regime dos juros contínuos pode ser entendido como o princípio de capitalização composta a um
nível infinitesimal de atualização/correção. Neste regime, a capitalização ocorre forma contínua, em
intervalos infinitesimais de tempo. Segundo Motta e Calôba (2002) os juros contínuos são empregados
em mercados financeiros e substituição de equipamentos.
Denominando:


VF : Valor Futuro ou montante;
 i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou unidade de tempo, considerada infinitesimal); e

n : número de períodos de capitalização.
Objetivo: Estabelecer uma relação matemática entre VP, VF, i e n, considerando uma base atualizada
continuamente.
Inicialmente, vamos considerar que estamos fazendo uma aplicação de uma quantia (capital ou
principal)
P0
em uma instituição financeira (banco, por exemplo) e que a taxa de
remuneração/variação do investimento (juros) dP/ dn é proporcional ao saldo (montante ou valor
futuro) em cada instante P(n) . Diante destas considerações/pressupostos, podemos descrever o
problema de encontrar P(n) como o problema de valor inicial:
 dP
 P i

 dn
 P(0)  P0
A resolução desta Equação Diferencial Ordinária (EDO) resulta em:
P  P0  ein
 1
1  
em que: e  tlim
 
 t
t
ou seja:
VF  VP  e in
Dedução: Vamos fazer a demonstração por meio da resolução de uma Equação Diferencial Ordinária
(EDO) pelo método da separação de variáveis.
n 1
0
dP
1
n
n
 P  i  dP  P  i dn  dP  i dn   dP   i dn  ln | P | 0  i  n 0 
0
n
dn
P
P
P 
P
 ln Pn  ln P0  i  n  ln  n   i  n  ei n  n  Pn  Po  ei n
P0
 P0 
1) Quanto tempo um investimento leva para dobrar de valor se os juros anuais forem de 12%,
capitalizados continuamente?
Solução:
VF  VP  ein , VF  2  VP e i  12%  0,12
Logo,
2  VP  VP  e0,12n  2  e0,12n  ln (2)  ln e0,12n  ln (2)  0,12  n  ln (e)  n 
ln(2)
 5,78
0,12
Se considerarmos n = 5, o capital não dobrará de valor. Portanto, n = 6 anos.
2) A Figura abaixo apresenta um breve comparativo entre os três regimes de capitalização (simples,
composto ou contínuo). Para um exemplo ilustrativo, consideramos uma aplicação de R$ 100,00 a
10% ano período e um horizonte de tempo de 12 períodos.
Uma outra forma de demonstração para a fórmula dos juros contínuos
Fazer a demonstração também por limites (ver CASAROTTO FILHO e KOPPTIKE, 2010).
Capítulo 3 – TAXA DE JUROS
No capítulo anterior, mostramos que a relação matemática entre o Valor Presente (VP) e o Valor Futuro
(VF) sob uma taxa de juros (i) e um número de período (n), no regime de capitalização composto (juros
compostos), é dada por:
VF  VP  (1  i) n
(09)
Algumas adaptações na Fórmula (09) permitem abordarmos taxa de juros, seja a conversão entre duas
taxas equivalentes ou a transformação de uma taxa nominal em uma taxa efetiva.
Diferentes operações financeiras utilizam-se de diversos tipos de taxas. Existem taxas para descontos
de duplicatas, taxas para cartões de créditos, taxas para financiamentos de curto prazo, taxas para
financiamentos de longo prazo, taxas mínimas de retorno exigidas para diferentes tipos de
investimentos, entre outras.
Tendo em vista que toda a Matemática Financeira tem, por base, como insumo, a taxa de juro, sua
especificação rigorosa é fundamental para que se obtenham os resultados corretos. Contudo, qualquer
que seja o tipo de operação financeira, a taxa de juro poderá ser especificada em uma das seguintes
formas: taxa nominal ou taxa efetiva.
3.1. Taxa Nominal____________________________________________________________________
No regime de juros compostos, uma taxa de juros é chamada nominal quando o período a que a taxa
se refere não coincidir com o período de capitalização (períodos em que são feitos os cálculos
financeiros para a atualização do capital). Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização
mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos
juros é realizada mensalmente.
A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar
de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois
os cálculos não são feitos com taxa nominal.
Ao se depararmos com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para
taxa efetiva por meio da fórmula (10):
Taxa efetiva =
Taxa nominal
Número de períodos de capitalização contidos na taxa nominal
(10)
Desta forma, encontra-se a taxa efetiva de 1 (um) período, levando-a em n-períodos tem-se a taxa
efetiva do período.
Alguns exemplos, a seguir, mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva.
1) Qual a taxa efetiva associada à taxa de 24% ao ano com capitalização mensal?
Solução: Conversão da taxa nominal anual para a taxa efetiva mensal = 24% / 12*  2% ao mês. * Em
um ano estão contidos 12 meses.
2) Qual a taxa efetiva associada à taxa de 18% ao ano com capitalização trimestral?
Solução: Conversão da taxa nominal anual para a taxa efetiva trimestral = 18% / 4*  4,5% ao trimestre.
*
Em um ano estão contidos 4 trimestres.
3) Qual a taxa efetiva associada à taxa de 12% ao semestre com capitalização trimestral?
*
Solução: Conversão da taxa nominal semestral para a taxa efetiva trimestral = 12% / 2  6% ao
*
trimestre. Em um semestre estão contidos 2 trimestres.
3.2. Taxa Efetiva_____________________________________________________________________
Uma taxa de juro é denominada efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com
o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 3% ao mês com capitalização mensal é uma taxa
efetiva. É comum no caso de taxas efetivas, não se especificar o período de capitalização, ou seja, a
taxa anterior poderia simplesmente ser especificada como uma taxa efetiva de 3% ao mês.
A taxa efetiva é a taxa que deve ser utilizada nos cálculos das operações financeiras. É importante notar
que essa taxa apresenta, de forma bem objetiva, o verdadeiro custo da operação financeira realizada.
Os exemplos a seguir ajudam a ilustrar como aplicar esse conceito.
1) Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ano à taxa de 24% ao ano com
capitalização mensal?
Solução: Como mostrado anteriormente, 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma
taxa efetiva de 2% ao mês. 24% 12  2% ao mês  VF  100  (1  2%)12  126,82  R$ 126,82.
Conclusão: Uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal, na verdade, representa um
custo efetivo do capital (taxa de juros efetiva) de 26,82% ao ano.
2) Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ano à taxa de 12% ao ano com
capitalização anual (ou, simplesmente, 12% ao ano)?
Solução: VF  100  (1  12%)1  112,00 reais.
3) Qual a taxa efetiva associada a taxa nominal de 96% ao ano com capitalização mensal?
Solução: 96% 12  8% ao mês  VF  100  (1  8%)12  251,82  J  251,82  100  151,82 ,
ou seja, i  151,82%.
4) Qual a taxa efetiva associada a taxa de 12% ao semestre com capitalização trimestral?
Solução: 12%  2  6% ao trimestre  VF  100  (1  6%)2  112,36  J  112,36  100  12,36 ,
ou seja, i  12,36%
Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros (Adaptado de: SHINODA, Carlos. Matemática Financeira. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1998. p. 59-60.)
Entendemos por taxa efetiva (ou real, paga) de juros a taxa verdadeira que onera o tomador ou
remunera o financiador. Já a taxa nominal de juros é a taxa aparente, que é pactuada entre as partes,
constando até mesmo em contratos, podendo ser denominada de taxa contratual. Para que a taxa
nominal e a taxa efetiva sejam a mesma, não pode haver nenhuma outra condição ou cobrança de
despesa adicional aos juros da operação. Em geral, tem-se a relação matemática entre a taxa de juros
nominal e a taxa de juros efetiva, destacada na equação (10):
Taxa efetiva  Taxa nominal
(10)
“A tributação do Imposto sobre Operações Financeiras (IOF), por exemplo, que é cobrada
antecipadamente nas operações de financiamento bancário, reduz o valor liberado, elevando a taxa
efetiva para o tomador. A exigência de reciprocidade pela manutenção de um saldo médio também
gera um encarecimento da operação para o tomador, pois reduz o valor disponível, fazendo com que
o tomador capte recursos acima do nível de necessidade.”
“Analisemos a seguir uma forma de elevação da taxa efetiva de juros, que tem sido praticada nas
operações de financiamentos bancários: Taxa de Abertura de Crédito (TAC): A cobrança de uma taxa
de abertura de crédito se faz no ato da liberação de um financiamento, como uma porcentagem do
capital ou um valor fixo. Tal cobrança eleva a taxa efetiva da operação devido a redução do valor
liberado e a manutenção do valor do montante.” Vale ressaltar que o IOF e a TAC incidem sobre as
operações de crédito para pessoas físicas e jurídicas.
Conversão de uma taxa nominal em efetiva
1) Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados trimestralmente?
Solução: Analiticamente, temos:
m
iefetiva
 i

 1  nominal   1
m 

(11)
Em que m é o número de períodos em que haverá a capitalização.
Para o nosso exemplo ilustrativo, temos que m = 4, pois em 1 ano há 4 trimestres. Assim, vamos a:
m
iefetiva
4
 i

 15% 
 1  nominal   1  1 
  1  15,87%
m 
4 


Obs.: Todos os cálculos de capitalização e descapitalização devem ser feitos com a taxa efetiva.
3.3. Taxas equivalentes
Duas taxas de juros (i) são denominadas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital
(VP), durante um mesmo período (n), produzirem o mesmo montante ou valor futuro (VF).
Matematicamente, temos:
4
n procurada
 15% 
iprocurada  1  iconhecida  nconhecida  1  1 
  1  15,87%
4 

Em que n é o número de períodos (prazo).
1) Qual a taxa anual equivalente à taxa de 3% ao mês com capitalização mensal?
Solução: VF  100  (1  3%)12  142,58  J  142,58  100  42,58 , ou seja, i  42,58%.
2) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 16,50% ao ano com capitalização anual?
Solução: VF  100  (1  16,50%)
1
12
 101,28  J  101,28  100  1,28 , ou seja, i  1,28%.
Conclusão: Para um investidor racional deveria ser absolutamente indiferente entre fazer uma
aplicação a 16,50% ao ano, por um período de 1 ano, ou fazer uma aplicação a 1,28% ao mês por um
período de 12 meses, dado que ambas as aplicações produzem o mesmo valor futuro (valor de resgate).
3) Qual a taxa anual equivalente à taxa de 72% ao ano com capitalização mensal?
Solução: 72% 12  6% ao mês  VF  100  (1  6%)12  201,22  J  201,22  100  101,22 
i  101,22% .
Problema 1: Transformar uma taxa mensal em uma taxa anual equivalente. Por exemplo: 1% ao mês
é equivalente a que percentual ao ano?
Solução: Analiticamente e numericamente, temos:
n procurada
iprocurada  1  iconhecida  nconhecida  1  1  1% 1  1  12,68%
12
(12)
Outra forma de resolução: Taxa mensal em Taxa anual: im = 1% a.m => VP = 1; VF = (1 + 1%)12 => ia = VF
– VP => ia = (1 + 1%)12 – 1 = 12,68%.
Exemplo em uma planilha eletrônica de cálculo, como o MS-Excel:
Problema 2: Transformar uma taxa anual em uma taxa mensal equivalente. Por exemplo: 12% ao ano
é equivalente a que percentual ao mês?
n procurada
iprocurada  1  iconhecida  nconhecida  1  1  12%12  1  0,95%
1
Exemplo em uma planilha eletrônica de cálculo, como o MS-Excel:
Outra forma de resolução: Taxa anual em Taxa mensal: ia = 12% a.a => VP = 1; VF = 1,12 => im =
(1,12)^1/12 – 1 = 0,95% a.m.
A Figura 1 mostra uma tela de um aplicativo escrito na planilha eletrônica de cálculos MS-Excel que
permite a conversão entre duas taxas equivalentes. Por meio desse, taxas efetivas anuais, semestrais,
trimestrais, bimestrais, mensais e diárias podem ser convertidas entre si, sendo essas as opções
oferecidas aos usuários.
A Figura 2 ilustra a tela do aplicativo, também escrito no MS-Excel, o qual permite transformar uma
taxa nominal em uma taxa efetiva.
Para implementar computacionalmente é mais fácil substituir m por p / q , conforme ilustra a
equação (13), já apresentando um exemplo ilustrativo. Em que q é um divisor de p . A função
programada permite os seguintes valores para o p: 360 (anual), 180 (semestral), 90 (trimestral), 60
(bimestral), 30 (mensal) e 1 (diária). Já o q admite os valores: 180 (semestral), 90 (trimestral), 60
(bimestral), 30 (mensal) e 1 (diária).
p
iefetiva
360

q

 30


12

i
12% 
 12% 
 1  nominal   1  1 
 1  1 
  1  12,68%

p 
360 
12 






q 
30 


(13)
3.4. Taxas Proporcionais
Duas taxas de juros são denominadas proporcionais quando se é indiferente quanto se efetuar os
cálculos financeiros em um período qualquer, usando-se uma taxa r , ou em um subperíodo k vezes
menor que o anterior, usando-se uma taxa r / k , e repetindo-se a aplicação por k subperíodos. Assim,
a taxa proporcional é muito comum quando se está trabalhando sob o regime de juros simples. Para
exemplificar, no regime de juros simples, um capital (VP) aplicado por 1 ano a uma taxa de 24% ao ano
( r ) produziria o mesmo resultado quando esse mesmo capital (VP) fosse aplicado a uma taxa de 2%
ao mês ( i k ) por 12 ( k ) meses (subperíodos), isto é:
ik 
r 24%

 2% ao mês
k
12
em que i k e r são taxas proporcionais.
Exemplo ilustrativo
1) Compare o valor de resgate de uma aplicação de R$ 100,00, após 3 (três) anos, a uma taxa de 24%
ao ano em regime de juros simples com uma aplicação de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 2% ao
mês após 36 meses (juros simples).
Solução:
Cálculo com 24% ao ano
Cálculo com 2% ao mês
VF  (1  i  n)  VF  (1  3  24%)  172
VF  (1  i  n)  VF  (1  36  2%)  172
Conclusão: Como as duas aplicações, no regime de juros simples, produzem o mesmo montante após
três anos (ou 36 meses) de imobilização monetária, pode-se afirmar que as duas taxas (24% ao ano e
2% ao mês) são proporcionais.
Algumas taxas especiais utilizadas no Brasil e que interferem em decisões sobre pessoas físicas e
jurídicas são detalhadas na sequência.
Taxa Referencial (TR): A TR foi criada no Plano Collor II, destinada a ser uma taxa básica referencial dos
juros a serem praticados no mês iniciado e não como um índice que refletisse a inflação do mês
anterior. Ela deveria funcionar como uma Libor ou Prime Rate. É utilizada como taxa média de
remuneração dos CDBs mensais e prefixados, praticada entre 30 bancos selecionados. Como a TR serve
também para financiar imóveis, esta média é ajustada por um redutor de forma a adequá-la ao custo
do Sistema Financeiro da Habitação (SFH). Texto desatualizado: pesquisem: Banco Central do Brasil.
Taxa do Sistema Especial de Liquidação e Custódia do Banco Central (SELIC): É a taxa que reflete o custo
do dinheiro para empréstimos bancários, com base na remuneração dos títulos públicos. Também é
conhecida como taxa média do over que regula diariamente as operações interbancárias.
Caderneta de poupança
A caderneta de poupança foi criada em outubro de 1968. Os juros produzidos pela caderneta de
poupança são juros compostos, pois, após cada mês, os juros são incorporados ao capital. A caderneta
é uma das aplicações financeiras mais tradicionais no Brasil. Utilizada, em geral, por pequenos e médios
investidores, ela é considerada uma aplicação segura por ter garantia do governo federal. Além disso,
não tem incidência de alguns encargos tributários, como o Imposto de Renda (IR) e o Imposto sobre
Operação Financeira (IOF). Essas peculiaridades, torna a poupança mais atrativa e popular,
principalmente entre as pessoas que não gostam de correr risco (aversão ao risco). Vale salientar que
parte dos recursos gerados com a captação de dinheiro da caderneta de poupança serve para financiar
a construção da cada própria, evidenciando assim a importância da mesma.
Em geral, a poupança é uma aplicação com baixo rendimento se comparado a outras opções
disponíveis no mercado de investimentos, como é o caso das aplicações nos fundos de renda fixa,
fundos de ações, títulos do tesouro, imóveis e outros. Entretanto, essas afirmações dependem do
momento econômico em que o país está inserido.
O rendimento da poupança já sofreu diversas alterações ao longo do tempo. Atualmente é utilizado
uma metodologia mais ou menos variável, na qual a fórmula para cálculo do rendimento da poupança
pode ser diferente dependendo do resultado taxa Selic. Veja abaixo como funciona a regra para cálculo
do rendimento da poupança pela atual legislação. A atual taxa de remuneração da caderneta de
poupança é definida da seguinte forma:
Regra para remuneração dos depósitos de poupança: De acordo com a legislação atual, a remuneração
dos depósitos de poupança é composta de duas parcelas: (i) a remuneração básica, dada pela Taxa
Referencial (TR), e; (ii) a remuneração adicional, correspondente a: (a) 0,5% ao mês, enquanto a meta
da taxa Selic ao ano for superior a 8,5%; ou (b) 70% da meta da taxa Selic ao ano, mensalizada, vigente
na data de início do período de rendimento, enquanto a meta da taxa Selic ao ano for igual ou inferior
a 8,5%. Em suma, se o valor da taxa básica de juros (SELIC) for menor ou igual a 8,5% ao ano, a
remuneração da caderneta de poupança corresponde a 70% da SELIC mais a Taxa Referencial (TR). Por
outro lado, para taxas de juros (SELIC) superiores a 8,50% ao ano, o rendimento da poupança é fixo em
0,5% ao mês mais taxa de referência (TR). Matematicamente, podemos escrever:
TR  70%  SELIC equivalente ao mês, se SELIC  8,5% ao ano
Poupança  
TR  0,5% ao mês, se SELIC  8,5% ao ano
Data Base: Outra característica importante para ser considerada é que o rendimento da caderneta de
poupança ocorre de acordo com a data base, isto é, se a data base for dia 04/09/2013 e o investidor
fizer o saque da poupança no dia 03/10/2013, então não haverá nenhum rendimento pois não foi
completado o período de 30 dias a partir da data base. Recomendamos consultar a íntegra da fórmula
no site do Banco Central: http://www4.bcb.gov.br/pec/poupanca/poupanca.asp.
Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP): Definida em novembro de 1994 pelo Conselho Monetário Nacional
(CMN), sua finalidade é de estimular os investimentos nos setores de infraestrutura e consumo e, ao
mesmo tempo, ajudar a inverter a curva de rendimento que até 1994 sempre privilegiou os
investimentos de curto prazo com juros maiores. Seu cálculo é feito a partir da média ponderada de
títulos da dívida externa federal com peso de 75% no máximo, e títulos da dívida pública mobiliária
interna federal, com peso de 25% no máximo.
Taxa Básica do Banco Central (TBC): A TBF foi criada para mudar a forma de controle dos juros no
mercado aberto adotando a estratégia de apenas sinalizar o patamar mínimo de juros, deixando que
os bancos ajustem entre si as taxas do dia em função da liquidez do mercado. Serve de parâmetro para
as intervenções diárias das Autoridades Monetárias (AM) no mercado, além de corrigir todos os
empréstimos de redesconto concedidos às instituições financeiras dentro do valor-base e desde que
com garantias em títulos públicos federais livres, e, desta forma, ajuda a balizar o custo do
financiamento diário das carteiras de títulos públicos. Seu valor é mensal e determinado pelo Comitê
de Política Monetária (COPOM) ao final do mês anterior ao de sua vigência.
Capítulo 4 – SÉRIES DE PAGAMENTOS
4.1 Séries de pagamentos uniforme
Denominando:

VP : Valor Presente;

VF : Valor Futuro;

FC : Fluxo de Caixa, considerado constante, isto é, uma série uniforme de pagamento. FC
representa o valor de cada pagamento (ou prestação ou parcela);

i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou unidade de tempo);

n : número de períodos (ou pagamentos ou prestações ou parcelas);
Objetivo 1: Determinar o Valor Presente (VP) de uma série de pagamentos uniforme (FC), conhecendo
a taxa de juros por período (i) e o número de períodos (n). Para tanto, utilizamos o diagrama exposto
na Figura 1:
Problema: Dados i , n e FC , determinar VP , considerando uma série de pagamento uniforme.
Representando no diagrama do fluxo de caixa, temos:
Solução:
VF
n
Do regime de capitalização composto, sabemos que: VF  VP  (1  i)  VP  (1  i) n .
Assim, podemos interpretar que cada valor FC j  FC (pois todos são iguais) representa um valor
futuro com posicionamentos diferentes. Neste contexto, podemos escrever:
VP 
FC
FC
FC
FC
FC
FC


 ... 
 ... 

2
3
j
n 1
(1  i) (1  i) (1  i)
(1  i)
(1  i)
(1  i) n
(11)
Multiplicando a equação (11) por (1  i) , temos:
VP  (1  i)  FC 
FC
FC
FC
FC

 ... 

2
n 2
(1  i) (1  i)
(1  i)
(1  i) n 1
(12)
Subtraindo, termo a termo a equação (12) da equação (11), vamos a:
VP  (1  i)  VP  FC 
FC
FC  (1  i) n  FC
FC  [(1  i) n  1]

VP

i


VP

i


(1  i) n
(1  i) n
(1  i) n
VP 

FC  [(1  i) n  1]
i  (1  i) n
(13)
Desdobramentos/variações:

VP  i  (1  i) n

FC


[(1  i) n  1]


FC


log
FC  [(1  i) n  1] 
VP 

 FC  VP  i 

n

i  (1  i) n

log1  i

 i  Pr ocesso numérico :

(método Newton  Raphson )

Figura 2 – Desdobramentos/variações da relação matemática entre VP e FC
Exemplos ilustrativos:
1) Considerando: VP = R$ 614,46; FC = R$ 100,00; n = 10 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama
e implementando em um planilha eletrônica de cálculos, temos:
2) VP = ? se i = 10% ao período; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 100,00; FC3 = R$ 100,00; FC4 = R$ 100,00;
FC5 = R$ 100,00; FC6 = R$ 100,00; FC7 = R$ 100,00; FC8 = R$ 100,00; FC9 = R$ 100,00; FC10 = R$
100,00. Neste caso, podemos descapitalizar cada FCj e depois calcular a soma. Entretanto, este
trabalho é facilitado com a utilização de uma planilha eletrônica de cálculos, como o MS-Excel.
Notas importantes:

Se a taxa de juros é nula, isto é: i = 0%, então VP = n. FC. Entretanto, na prática a taxa de juros é
diferente do valor nulo, justificando a utilização da fórmula deduzida anteriormente.

Podemos reescrever a equação (11) como:
n
FC
j
j 1 (1  i)
VP  

(14)
Podemos reescrever a equação (12) como:
n 1
FC
j
j0 (1  i)
VP  (1  i)  
(15)

A complexidade das relações entre FC e VP ou entre FC e VF reside na determinação da taxa de
juros por período (i). Assim, não é possível escrever na forma explícita: i = f(VP,FC,n) e i = f(VF,FC,n),
isto é, não existe solução algébrica para determinar a taxa de juros por período. Nesse caso, temos
que trabalhar com a função implícita e utilizar um processo numérico para determinar uma solução
aproximada para essa taxa. Portanto, precisamos recorrer à métodos de Cálculo Numérico, como
o método de Newton-Raphson.

A fórmula (13) é importante para a Engenharia Econômica (EE), pois permite distribuir o Valor
Presente Líquido (VPL) em uma série de pagamentos uniforme, gerando o Valor Presente Líquido
Anualizado (VPLA), também conhecido como Valor Anual Uniforme (VAU). Desta forma,
substituindo VP por VPL e FC por VPLA e isolando o VPLA, vamos a:
VPL  i  (1  i) n
VPLA 
(1  i)n  1
(16)
Em que i = TMA (Taxa Mínima de Atratividade), melhor alternativa de investimento desde que
apresente baixo risco para a empresa proponente do projeto.
Objetivo 2: Determinar o Valor Futuro (VF) de uma série de pagamentos uniforme (FC), conhecendo a
taxa de juros por período (i) e o número de períodos (n). Representando no diagrama do fluxo de caixa,
temos:
Problema: Dados i ,
n
e FC , determinar VF .
Solução:
Sabemos da equação (01), que:
VF  VP  (1  i) n  VP 
VF
(1  i) n
(17)
Por outro, provamos na equação (13), que:
FC  [(1  i) n  1]
VP 
i  (1  i) n
(18)
Igualando as equações (17) e (18), vamos a:
VF
FC  [(1  i ) n  1]
(1  i ) n  FC  [(1  i) n  1]

 VF 
=>
(1  i ) n
i  (1  i ) n
i  (1  i ) n
FC  [(1  i) n  1]
VF 
i

(19)
Desdobramentos/variações:
VF  i

 FC  [(1  i) n  1]


VF 

log1  i 
FC  [(1  i) n  1] 
VF 

FC 

 n 
i

log1  i

 i  Pr ocesso numérico :

(método Newton  Raphson )

Figura 3 – Desdobramentos/variações da relação matemática entre FC e VF

Nota/aplicação: Geração de um fundo de reserva para a substituição de equipamentos. Aplicar o
valor da depreciação contábil para isto?
1) Considerando: FC = R$ 100,00; VF = R$ 1.593,74; n = 10 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama
e em uma planilha eletrônica de cálculos, temos:
2) VF = ? se i = 10% ao período; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 100,00; FC3 = R$ 100,00; FC4 = R$ 100,00;
100,00. Neste caso, podemos que descapitalizar cada FCj e depois realizarmos a soma. Por fim,
podemos transferir este valor para o futuro. Entretanto, este trabalho é facilitado com a utilização
de uma planilha eletrônica de cálculo, como o MS-Excel.
4.2 Séries de pagamentos não-uniforme
Denominando:


VF : Valor Futuro;

FC j : Fluxo de Caixa esperado para o período j.;


n : número de períodos (ou pagamentos ou prestações ou parcelas);
Objetivo: Determinar o Valor Presente (VP) de uma série de pagamentos não-uniforme (FCj, j = 1, 2, ...,
j, ..., n-1, n), conhecendo a taxa de juros por período (i) e o número de períodos (n). Para tanto,
utilizamos o diagrama abaixo:
Assim, cada FCj (j = 1 até n) pode ser interpretado como um VF. Nesse caso, fazemos:
VP 
FC j
FC1
FC 2
FC3
FC n 1
FC n


 ... 
 ... 

1
2
3
j
n 1
(1  i) (1  i) (1  i)
(1  i)
(1  i)
(1  i)n
(20)
Reescrevendo essa equação, utilizando a notação de somatório, temos:
n
VP  
j1

(1  i) j
(21)
Nota: Para a série de pagamento uniforme, temos: FC1 = FC2 = ... = FCn = FC. Assim, podemos
escrever:
n
VP  FC  
j1

FC j
1
(1  i) j
ou
VP 
FC  [(1  i) n  1]
i  (1  i) n
(22)
Na Análise Econômica de Projetos (AEP) é mais comum encontrarmos uma série de pagamentos
não-uniforme. Assim, para calcular o VPL precisamos requer a equação (21). Por outro lado,
conhecendo o VPL e querendo determinar o VPLA é preciso utilizar a equação (22).
1) VP = ? se i = 10% ao período; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 200,00; FC3 = R$ 300,00; FC4 = R$ 400,00;
1.000,00. Neste caso, podemos descapitalizar cada FCj e efetuar a soma. Entretanto, este trabalho
é facilitado com a utilização de uma planilha eletrônica de cálculos, como o MS-Excel.
2) Dado VP e o valor de cada FCj e a quantidade deste representando o n, como determinar o i? No
MS-Excel, devemos utilizar a função TIR, como ilustra a Figura abaixo. Na HP-12C, temos que
utilizar a função IRR (Internal Rate Return, em inglês).
4.3 Séries Perpétuas
Quando em uma série uniforme, de pagamentos ou de receitas, o número de períodos é muito grande,
pode ser conveniente considerá-la como infinita (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Essa série é
denominada série perpétua, sendo também chamadas infinita ou custo capitalizado. Tal é o caso dos
fundos de aposentadorias, mensalidades de clubes, associações, TV a Cabo e obras públicas
(PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006; MONTANHINI, 2008; CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011).
Denominando:


FC : Fluxo de Caixa esperado para cada período e considerado constante;


n : número de períodos (ou pagamentos ou prestações ou parcelas), considerado infinito;
Objetivo: Determinar o valor presente (VP) de uma série uniforme e infinita, conhecendo a taxa de
juros por período (i). Para tanto, utilizamos o seguinte diagrama:
A Fórmula (22), deduzida anteriormente e reapresentada a seguir estabelece a relação entre as
variáveis definidas acima.
FC  [(1  i) n  1]
VP 
i  (1  i) n
Aplicando o limite para
n
(22)
, temos:
FC  [(1  i)n  1]

n 
i  (1  i)n
lim VP  lim
n 
[(1  i ) n  1] 
 (1  i ) n

1
VP  FC  lim 

FC

lim




n
n
n
n
n   i  (1  i )
i  (1  i ) 
 i  (1  i ) 

1

1
1 
VP  FC  lim  
 FC    0

n
n i
i  (1  i ) 
i


VP 
FC
i
(23)

(24)

(25)
(26)
e
FC  VP  i
(27)
A fórmula (27) é bastante compreensível, pois mostra que uma série perpétua corresponde aos juros
da quantia devida. Uma pessoa que apenas paga os juros de uma dívida e não amortiza nada, nunca
terminará de pagar a dívida (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011).
Equivalência entre um Valor Presente (VP) e uma série uniforme perpétua, na qual o número de termos
tende a infinito:
1) VP = ? se i = 10% ao período; FC = R$ 100,00. Neste caso, utilizamos diretamente a Fórmula (26)
deduzida anteriormente. Entretanto, este trabalho é facilitado com a utilização de uma planilha
eletrônica de cálculos, como o MS-Excel. Veja resolução nas figuras abaixo.
2) Suponha que um investimento de R$ 100.000,00 gere retornos anuais de R$ 25.000,00. Para uma
taxa mínima de 20% ao ano, qual o Valor Presente Líquido (VPL) para uma vida: (a) de 10 anos; (b)
de 50 anos; (c) de 60 anos; (d) de 70 anos; e (e) infinita.
Solução:
VPL  Investimento  VP
(28)
Assim, temos para o item (a):
VPL  100000
25000 [(1  20%)10  1]
 R$ 4.811,80
20%  (1  20%)10
Via planilha eletrônica, temos para todos os casos solicitados:
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS PELO PROFESSOR/TUTOR/MONITOR (APS): ESTÁ NA HORA
DE APREENDER +
3) Quanto devemos depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância
anual de R$ 12.000,00 considerando uma taxa anual de juros igual a 10%?
4) Qual a menor quantia que um grupo empresarial deve cobrar hoje, para oferecer uma renda anual
de R$ 6.000,00?
Capítulo 5 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
5.1 Introdução
O valor de um financiamento ou um empréstimo é denominado pela literatura como “principal”. Ao
valor principal deverá ser acrescentado o reembolso do capital, isto é, o pagamento dos juros que
incidirão sobre o saldo devedor. Assim, cada prestação corresponderá à soma da parcela de
amortização da dívida com os juros decorrentes do período. Nesse contexto, a amortização de uma
dívida pode ser definida como um processo de sua extinção por meio de pagamentos periódicos para
a instituição financeira concessora. As formas de devolução do principal agregadas com os juros
denominam-se Sistemas de Amortização (CASAROTTO e KOPITTKE, 2011).
De acordo com Casarotto e Kopittke (2011) os motivadores do estudo da amortização de dívidas
reportam a determinar o estado atual da dívida e calcular o que já foi amortizado até o momento atual.
A amortização corresponde à parcela da prestação que é descontada do principal (valor emprestado
ou financiado). Segundo Pamplona e Montevechi (2006) para que um sistema de amortização seja
adequado o valor presente das prestações, descontado à taxa de juros do financiamento, deve ser igual
ao principal (valor financiado).
Os principais sistemas de amortização vigentes no Brasil são: (i) Sistema de Amortização Constante
(SAC), utilizado principalmente para financiamentos de longo prazo. Nesse sistema, o valor da
amortização é obtido pela razão entre o valor financiado (principal) e o número de prestações (N); (ii)
Sistema Francês de Amortização ou Sistema Price ou Sistema de Prestação Constante. Nesse sistema,
as prestações são constantes e correspondem a uma série de pagamentos uniforme (exposto no
capítulo 4, seção 4.1); (iii) Sistema de Amortização Americano. Nesse sistema, pagam-se somente os
juros e o valor financiado é devolvido no último período; (iv) Sistema de Amortização Misto (SAM). Os
pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price; e (v) Sistema de pagamento único. Esse sistema
é utilizado principalmente para financiamentos industriais de capital de giro, sendo que os juros e o
principal são devolvidos ao término do contrato (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Ressalta-se
que em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros
do saldo devedor.
Vejamos nas Tabelas 4, 5 e 6 o comportamento de cada sistema amortização. Observamos que esta
sistemática pode facilmente ser implementada em uma planilha eletrônica de cálculo (MS-Excel, por
exemplo). Para tanto, consideramos os seguintes dados:
SD = Saldo Devedor; J = Juros; AMT = Amortização; P = Prestação; n = número de períodos e i = taxa de
juros por período.
5.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Período (p)
0
1
2
3
...
j
...
n-1
N
Amortização (AMT) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (SD)
–
–
–
=SD0
=SD0/n
=AMT1 + J1
=SD0 – AMT1
=SD0i
=SD0/n
=AMT2 + J2
=SD1 – AMT2
=SD1i
=SD0/n
=AMT3 + J3
=SD2 – AMT3
=SD2i
...
...
...
...
=SD0/n
=AMTj + Jj
=SDj-1 – AMTj
=SDj-1i
...
...
...
...
=SD0/n
=AMTn-1 + Jn-1 =SDn-2 – AMTn-1
=SDn-2i
=SD0/n
=AMTn + Jn
=SDn-1 – AMTn = 0
=SDn-1i
Tabela 4 – Modelagem Matemática para o SAC
Observação:
---AMT1 = SD0/n e J1 = SD0i
5.3 Sistema Price (Tabela Price)
Período (p)
0
1
2
3
...
j
...
n-1
n
Prestação (P)
Juros (J) Amortização (AMT) Saldo Devedor (SD)
–
–
–
=SD0
n
n
=P – J1
=SD0 – AMT1
=SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SD0i
=P – J2
=SD1 – AMT2
=SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SD1i
=P – J3
=SD2 – AMT3
=SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SD2i
...
...
...
...
=P – Jj
=SDj-1 – AMTj
=SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SDj-1i
...
...
...
...
=P – Jn-1
=SDn-2 – AMTn-1
=SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SDn-2i
=P – Jn
=SDn-1 – AMTn = 0
=SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SDn-1i
Tabela 5 – Modelagem Matemática para o PRICE
Observação:
P = SD0i (1+i)n/((1+i)n-1)
5.4 Sistema de Amortização Americana (SAA)
Período (p)
0
1
2
3
...
j
...
n-1
n
Juros (J)
–
=SD0i
=SD0i
=SD0i
...
=SD0i
...
=SD0i
=SD0i
Prestação (P) Amortização (AMT) Saldo Devedor (SD)
–
–
=SD0
=J1
=0
=SD0
=J1
=0
=SD0
=J1
=0
=SD0
...
...
...
=J1
=0
=SD0
...
...
...
=J1
=0
=SD0
=J1 + SDo
=SD0
=SD0 – SD0 = 0
Tabela 6 – Modelagem Matemática para o SAA
Observação:
A Figura 1 mostra uma tela de um aplicativo escrito na planilha eletrônica de cálculos MS-Excel que
permite a construção do quadro de amortização de financiamentos para os três sistemas abordados
anteriormente. Por meio desse, escolhe-se um entre os Sistemas PRICE, SAC e SAA, sendo essas as
opções oferecidas aos usuários.
5.5 Carência
Na prática diversos tipos de financiamentos apresentam um período de carência, independente do
sistema de amortização que foi adotado. Dentro desse período pode haver o pagamento dos juros ou
não. Se houver o pagamento dos juros o saldo devedor é mantido constante até o início da primeira
parcela de amortização. Por outro lado, se não há pagamento dos juros, então o saldo devedor deverá
ser atualizado pela taxa efetiva discriminada no contrato de financiamento.
Considere para efeito de ilustração, um financiamento no qual é concedido “j” períodos de carência
para um horizonte de planejamento de “N” períodos. A tabela financeira do financiamento pelo SAC,
com carência e pagamento dos juros incorridos nesse período, pode ser desenvolvida como
apresentado na Tabela 7, sem o pagamento dos juros, isto é, atualizando o saldo devedor é posto na
Tabela 8. Desenvolvimentos análogos podem ser feitos para o sistema Price, sendo apresentados nas
Tabelas 9 e 10.
Período (k) Amortização (Ak) Juros (Jk) Prestação (Pk) Saldo Devedor (SDk)
0
0
0
0
SD
Carência 1 0
= SD
= SDi
= SDi
Carência 2 0
= SD
= SDi
= SDi
...
...
...
...
...
Carência j 0
= SD
= SDi
= SDi
1
= SD/n
= A1 + J1
= SD – A1
= SDi
2
= SD/n
= A2 + J2
= SD1 – A2
= SD1i
...
...
...
...
...
r
= SD/n
= Ar + Jr
= SDr-1 – Ar
= SDr-1i
...
...
...
...
...
n=N–j
= SD/n
= An + Jn
= SDn-1 – An = 0
= SDn-1i
Tabela 7 – Modelagem Matemática para o SAC com período de carência e pagamento de juros
Período (k) Amortização (Ak)
Juros (Jk)
Prestação (Pk) Saldo Devedor (SDk)
0
0
0
0
SD
Carência 1 0
0
= SDi
= SD(1+i)
Carência 2 0
0
= SD(1+i)i
= SD(1+i)2
...
...
...
...
...
j-1
Carência j 0
0
= SD(1+i) i
= SD(1+i)j
j
j
1
= A1 + J1
= SD(1+i) /n
= SD(1+i) i
SD1 = SD(1+i)j – A1
j
2
= A2 + J2
= SD1 – A2
= SD(1+i) /n
= SD1i
...
...
...
...
...
j
r
=
A
+
J
=
SD
–
A
r
r
r-1
r
= SD(1+i) /n
= SDr-1i
...
...
...
...
...
n=N–j
= An + Jn
= SDn-1 – An = 0
= SD(1+i)j/n
= SDn-1i
Tabela 8 – Modelagem Matemática para o SAC com período de carência e sem pagamento de juros
Período (k)
Prestação (Pk)
Juros (Jk) Amortização (Ak) Saldo Devedor (SDk)
0
0
0
0
SD
Carência 1 = SDi
0
= SD
= SDi
Carência 2 = SDi
0
= SD
= SDi
...
...
...
...
...
Carência j = SDi
0
= SD
= SDi
n
n
1
=
P
–
J
= SD – A1
1
1
= SDi(1+i) /((1+i) -1) = SDi
n
n
2
= P2 – J2
= SD1 – A2
= SDi(1+i) /((1+i) -1) = SD1i
...
...
...
...
...
r
= Pr – Jr
= SDr-1 – Ar
= SDi(1+i)n/((1+i)n-1) = SDr-1i
...
...
...
...
...
n=N–j
= Pn – J n
= SDn-1 – An = 0
= SDi(1+i)n/((1+i)n-1) = SDn-1i
Tabela 9 – Modelagem Matemática para o PRICE com período de carência e pagamento de juros
Período (k)
Prestação (Pk)
Juros (Jk)
Amortização (Ak) Saldo Devedor (SDk)
0
0
0
0
SD
Carência 1 0
0
= SDi
= SD(1+i)
Carência 2 0
0
= SD(1+i)i
= SD(1+i)2
...
...
...
...
...
Carência j 0
= SD(1+i)j-1i 0
= SD(1+i)j
j
n
n
j
1
= P1 – J1
= SD(1+i) i(1+i) /((1+i) -1) = SD(1+i) i
SD1 = SD(1+i)j – A1
2
= P2 – J 2
= SD1 – A2
= SD(1+i)ji(1+i)n/((1+i)n-1) = SD1i
...
...
...
...
...
r
= Pr – Jr
= SDr-1 – Ar
= SD(1+i)ji(1+i)n/((1+i)n-1) = SDr-1i
...
...
...
...
...
j
n
n
n=N–j
=
P
–
J
=
SD
–
A
n
n
n-1
n=0
= SD(1+i) i(1+i) /((1+i) -1) = SDn-1i
Tabela 10 – Modelagem Matemática para o PRICE com período de carência e sem pagamento de juros
5.6 Programando as carências em uma planilha eletrônica de cálculos
Utilizou-se a carência até o período “j”, com as seguintes configurações: (i) carência com pagamento
dos juros, isto é, até o período “j” o saldo devedor permanece constante. A partir do período “j+1”
constrói-se o sistema de amortização SAC e/ou PRICE, conforme solicitado; (ii) carência sem
pagamento dos juros. Nesse caso, o saldo devedor receberá um acréscimo por período igual a
quantidade de juros do período. Isto deve ocorrer até o período “j”, na sequência constrói-se o sistema
SAC e/ou PRICE, conforme solicitado. Veja a Figura 2, ilustrando as opções oferecidas aos usuários.
Neste aplicativo, a amortização de dívidas no sistema francês (tabela PRICE) e no sistema de
amortização constante (SAC) podem ser facilmente calculadas, permitindo ainda que se especifique
um período de carência e se este será com ou sem capitalização.
Leitura complementar recomentada
1) Sistema de Pagamento Único (CASAROTTO FILHO e KOPPITKE, 2010)
2) Sistema de Amortização Mista (SOUZA e CLEMENTE, 2000; PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006;
CASAROTTO FILHO e KOPPITKE, 2010)
PAMPLONA, Edson de Oliveira. MONTEVECHI, José Arnaldo Barra. Apostila de Engenharia Econômica I, 2006. Disponível
em: <http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Apostee1.PDF>. Acesso em: 18 ago. 2015.
Capítulo 6 – ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS (APS): Adaptadas de Souza e Clemente (2008)
ESTÁ NA HORA DE APREENDER +. Eu acredito que só se aprendi fazendo. Vamos colocar seu
conhecimento (fixar conceitos) em prática?
NOTA: Sugere-se a construção do diagrama do Fluxo de Caixa (FC) para todos os problemas.
JUROS SIMPLES
1) Qual o valor de resgate, após 12 períodos, de um capital de R$ 200,00, aplicado a uma taxa de 5%
ao período, no regime de juros simples?
Resposta: R$ 320,00
2) Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros simples, após 20 meses, foi resgatado por
R$ 120,00. Qual a taxa de juros implícita nessa transação comercial?
Resposta: 10% ao mês
3) Um capital, aplicado a 5% ao mês sob o regime de juros simples, após 40 meses, foi resgatado por
R$ 300,00. Qual o valor do capital aplicado?
Resposta: R$ 100,00
4) Quantos meses de imobilização monetária serão necessários para que um capital de R$ 100,00
aplicado a 4% ao mês, sob o regime de juros simples, seja resgatado por R$ 200,00?
Resposta: 25 meses
5) Qual o tempo necessário, em meses, para um capital (VP) dobrar de valor se o mesmo for aplicado
a uma taxa de 5% ao mês em regime de juros simples?
Resposta: 20 meses
6) Quanto se deve depositar hoje, em uma instituição financeira que remunera o capital a 2,5% ao
mês em regime de juros simples, para se poder retirar R$ 460,00 após seis meses e R$ 650,00 após
12 meses?
Resposta: R$ 900,00 (R$ 400,00 por 6 meses e R$ 500,00 por 12 meses)
7) Qual o capital a 4% ao mês em regime de juros simples, para se poder retirar R$ 224,00 após três
meses, R$ 620,00 após seis meses e R$ 680,00 após nove meses?
Resposta: R$ 1.200,00 (R$ 200,00 por três meses, R$ 500,00 por seis meses e R$ 500,00 por
nove meses)
JUROS COMPOSTOS
8) Qual o valor de resgate, após 12 períodos, de um capital de R$ 200,00, aplicado a uma taxa de 5%
ao período, no regime de juros compostos?
Resposta: R$ 359,17
9) Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros compostos, após 20 meses, foi resgatado
por R$ 120,00. Qual a taxa de juros implícita nessa transação comercial?
Resposta: 5,65% ao mês
10) Um capital, aplicado a 5% ao mês sob o regime de juros compostos, após 40 meses, foi resgatado
por R$ 300,00. Qual o valor do capital aplicado?
Resposta: R$ 42,61
11) Quantos meses de imobilização monetária serão necessários para que um capital de R$ 100,00
aplicado a 4% ao mês, sob o regime de juros compostos, seja resgatado por R$ 200,00?
Resposta: 18 meses
12) Qual o tempo necessário, em meses, para um capital (VP) dobrar de valor se o mesmo for aplicado
a uma taxa de 3,52% ao mês em regime de juros compostos? Resposta: 21 meses
13) Quanto se deve depositar hoje, em uma instituição financeira que remunera o capital a 2,5% ao
mês em regime de juros compostos, para se poder retirar R$ 460,00 após seis meses e R$ 650,00
após 12 meses?
Resposta: R$ 879,97
14) Quanto se deve depositar hoje, em uma instituição financeira que remunera o capital a 4% ao mês
em regime de juros compostos, para se poder retirar R$ 224,00 após três meses, R$ 620,00 após
seis meses e R$ 680,00 após nove meses?
Resposta: R$ 1.166,89
15) Sonhe um pouco: Suponha que você faz uma aplicação de R$ 100,00 em uma instituição financeira
que promete duplicar o seu capital a cada mês. Nestas condições, quando você ficará milionário,
isto é, terá R$ 1.000.000,00?
Resposta: 14 meses
TAXAS DE JUROS
16) Sabendo que o dólar em 14/12/2.001 estava cotado em R$ 2,38 e, em 14/12/2.002 a sua cotação
era de R$ 3,68. Pergunta-se:
a) Qual a taxa de variação no período? Resposta: 54,62%
b) Qual a taxa de variação média mensal? Resposta: 3,70% ao mês
17) Se contratarmos um empréstimo a 18% a.a. com capitalização mensal, qual será:
a) A taxa mensal de juros? Resposta: 1,5%
b) A taxa efetiva anual de juros? Resposta: 19,56%
18) A caderneta de poupança rende juros a 0,6% a.m. + T.R. (Taxa de Referência). Qual é o rendimento
anual dessa aplicação, considerando uma T.R. nula?
Resposta: 7,44%
19) Uma dívida é corrigida diariamente a 0,1%. Qual será o acréscimo desta dívida em 6 (seis) meses?
Resposta: 19,71%
20) Supondo que nos últimos doze meses, o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) acumulado foi de
7,4%. Qual foi o IPC equivalente mensal? Resposta: 0,60%
SÉRIE UNIFORME
21) Suponha que um determinado objeto tem como preço de etiqueta R$ 100,00 com as seguintes
opções para o comprador:
1. R$ 50,00 de entrada + R$ 50,00 (em 30 dias)
2. R$ 70,00 à vista
Pergunta-se: Qual a taxa de juro mensal cobrada nessa transação comercial (compra)?
Resposta: i  150% ao mês
22) Um acadêmico deseja fazer depósitos ao fim de cada mês, de modo a obter um montante
equivalente a R$ 5.000,00, para trocar seus móveis, daqui a 24 meses. Sabendo-se que ele vai
depositar na caderneta de poupança que tem remuneração média esperada de 1% ao mês,
pergunta-se: quanto ele deverá depositar mensalmente (sem entrada) para obter o valor desejado?
Resposta: R$ 185,37
23) Uma pessoa pretende formar um fundo de R$ 1.729,34 por meio de depósitos iguais e sucessivos
de R$ 100,00 em uma instituição financeira que remunera o capital a 2% ao mês. Se o primeiro
depósito for feito daqui a um mês, quantos depósitos serão necessários para construir esse fundo?
Resposta: 15 depósitos
24) Qual o valor futuro de uma série de 14 pagamentos iguais e mensais de R$ 50,00 aplicado a taxa
de 7% ao mês?
25) Uma loja vende um televisor 42’’ por R$ 1.000,00 à vista ou em 15 pagamentos mensais e iguais
(entrada + 14 vezes) de R$ 100,00. Tomando como base essas informações, determine a taxa de
juro mensal que a loja está embutindo no preço a prazo?
Resposta: 6,53% a.m. Valor obtido, por exemplo, via método numérico de Newton-Raphson.
26) Uma loja de eletroeletrônicos vende um conjunto de som por R$ 300,00 de entrada e mais três
parcelas mensais de R$ 400,00. O preço à vista desse conjunto de som é R$ 1.400,00. Qual a taxa
de juro mensal que a loja está embutindo no preço a prazo?
Resposta: 4,48% a.m. Valor obtido, por exemplo, via método numérico de Newton-Raphson.
27) Qual o valor presente do fluxo de caixa mensal exibido na figura a seguir. Considere uma taxa de
juros de 18% ao ano com capitalização mensal?
28) Uma loja oferece as seguintes condições de venda: à vista, com desconto de 25%, ou em 5 vezes
(1 + 4), com prestações mensais e iguais. Calcule a taxa de juro mensal que a loja está cobrando.
Resposta: 16,88%. Valor obtido, por exemplo, via método de Newton-Raphson.
SÉRIE NÃO UNIFORME DE PAGAMENTOS
juros de 18% ao ano com capitalização mensal?
Resposta: R$ 960,70
juros de 18% ao ano capitalizada mensalmente?
31) Qual o valor presente do fluxo de caixa anual exibido na figura a seguir. Considere uma taxa de
juros de 12% ao ano?
Resposta: R$ 839,58
32) Qual a taxa de juros que relaciona o valor presente e os pagamentos do fluxo de caixa exibido na
figura a seguir:
Resposta: 8,43% ao período. Valor obtido, por exemplo, via método de Newton-Raphson.
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
33) Suponha que contraímos um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 com juros de 3% ao mês, para
pagar da seguinte maneira: Nos dois primeiros meses pagaremos apenas os juros (Sistema
Americano) e nos quatro meses seguintes quatro parcelas iguais (Sistema PRICE). Preencha a
planilha a seguir:
Período
Prestação
Juro
Amortização
Saldo devedor
0
1
2
1a
2a
3a
4a
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 5.000,00
Total
34) Uma empresa adquiriu um imóvel subsidiado pela prefeitura municipal como forma de incentivo a
geração de emprego e renda por R$ 20.000,00 com 20% à vista e o saldo restante em 8 prestações
mensais, com juros de 2% ao mês. Preencher as planilhas a seguir, considerando os sistemas:
a) PRICE
Período
Prestação
Juros
Amortização
0
1
2
3
4
5
6
7
8
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Período
Amortização
Juros
Prestação
0
1
2
3
4
5
6
7
8
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Período
Juros
Prestação
Amortização
0
1
2
3
4
5
6
7
8
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo Devedor
Total
b) SAC
Saldo Devedor
Total
c) SAA
Saldo Devedor
Total
35) Um produtor rural pretende investir na construção de um barracão para o armazenamento de
máquinas, equipamentos e implementos agrícolas. O valor total da construção está estimado em
R$ 200.000,00, com 20% à vista. O saldo restante pode ser financiado em 5 prestações anuais, com
juros de 11% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de carência, sem capitalização do
saldo devedor por meio do pagamento dos juros. Construir a planilha de desenvolvimento do
financiamento, preenchendo os quadros a seguir para cada sistema de amortização (PRICE e SAC).
PRICE
Período
Prestação (R$)
Juro (R$)
Amortização (R$)
0
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo devedor (R$)
Total
SAC
Período
Amortização (R$)
Juro (R$)
Prestação (R$)
0
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo devedor (R$)
Total
36) Questões conceituais de revisão:
(i) O que é juros?
(ii) Qual a fórmula matemática para o cálculo dos juros, independente do regime de capitalização?
(iii) Qual(is) a(s) diferença(s) entre os sistemas de capitalização: simples, compostos e contínuos?
(iv) Enuncie os princípios da Matemática Financeira.

Como você define o conceito de juros? Juros – Conceito: Define-se juros como sendo a
remuneração do capital, a qualquer título (PUCCINI, 2011). Esse autor complementa: “Assim, são
válidas as seguintes expressões como conceitos de juros: (i) remuneração do capital empregado
em atividades produtivas; (ii) custo do capital de terceiros; (iii) remuneração paga pelas instituições
financeiras sobre o capital nelas aplicado.

O que é um orçamento? Orçamento é uma ferramenta financeira. É um instrumento de controle
da vida financeira (seja de pessoa física ou jurídica), o qual permite planejar para alcançar metas,
inclusive reduzir gastos.

Síntese: Receitas (ganhos), Despesas (gastos) e Fluxo de Caixa = Receitas – Despesas.
Gabarito parcial: Questão 33
Gabarito parcial via $V€: Questão 25
FC = 100; N = 14; VP = 900 (1000 – 100)
Fonte: http://pb.utfpr.edu.br/savepi/modulo1.html
FC = 400; N = 3; VP = 1100 (1400 – 300)
FC = 20 (100/5); N = 4; VP = 55 (75 – 20)
Questão extra:
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DESEMPENHO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS PATO BRANCO
1ª Avaliação de Engenharia Econômica – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng. Data: 07/08/2014
Acadêmico(a):_________________________________________ Curso: AGRONOMIA Código: EE23G
Na correção da avaliação serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. A interpretação
dos problemas é parte constante da avaliação.
1) (1,0 ponto) Defina COM SUAS PALAVRAS o princípio básico da Engenharia Econômica.
2) (1,0 ponto) Defina COM SUAS PALAVRAS o conceito e a fórmula básica/fundamental de juros,
independente do regime de capitalização. Na sequência, diferencie juros simples de juros
compostos.
3) (1,0 ponto) Comente sobre a diferença entre uma taxa de juros nominal e uma efetiva. Na
sequência, explique qual(is) a(s) condição(ões) para que duas taxas efetivas de juros sejam
equivalentes?
4) (1,0 ponto) Determine a taxa efetiva semestral de juros de uma taxa nominal de 7,50% ao ano com
capitalização mensal?
5) (1,0 ponto) Quanto precisamos depositar hoje em um fundo de aplicação para a substituição de
um implemento agrícola, no valor de R$ 80.000,00 daqui a 2 (dois) anos, se a instituição financeira
remunera o capital a uma taxa de 0,56% ao mês?
6) (3,0 pontos) Um produtor rural pretende construir um barracão de máquinas. O valor total da
construção está estimado em R$ 200.000,00, com 20% à vista. O saldo restante pode ser financiado
em 4 prestações anuais, com juros de 11% ao ano. Construir a planilha de desenvolvimento do
financiamento, considerando os sistemas a seguir:
(a) Sistema PRICE
Período
Prestação
0
1
2
3
4
Juros
R$ 0,00
R$ 0,00
Amortização
Saldo Devedor
R$ 0,00
Total
(b) Sistema de Amortização Constante (SAC)
Período
Amortização
Juros
Prestação
0
1
2
3
4
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo Devedor
Total
(c) Sistema de Amortização Americano (SAA)
Período
Juros
Prestação
Amortização
0
1
2
3
4
R$ 0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo Devedor
Total
7) (2,0 pontos) Qual o valor presente (VP) das séries de pagamentos não-uniforme apresentadas nas
Figuras a seguir. Considere uma taxa de juros (i) igual a 11% ao ano e um horizonte de análise (n)
de 5 (cinco) anos.
(a)
(b)
8) (EXTRA) Qual a importância/contribuição da engenharia econômica para a agronomia ou para o
desenvolvimento das atividades agronômica?
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
1ª Avaliação de Engenharia Econômica – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. – GABARITO PARCIAL
1)
É o estudo do comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Por esse princípio não podemos realizar
operações elementares (+, –, x, ) com valores que não estejam na mesma unidade de tempo. Para
contornar esse problema precisamos utilizar uma taxa de juros período. Avaliar o valor do dinheiro ao
longo do tempo. Estudar a relação entre o binômio: dinheiro x tempo. Observar o valor do dinheiro ao
longo de uma escala de tempo.
2)
Juros é a quantia que se paga pelo custo do capital, isto é, ao emprestarmos (ou tomamos emprestado)
uma determinada quantia, seja de uma pessoa ou de uma instituição financeira, paga-se o valor do
empréstimo acrescido de um percentual proporcional ao capital emprestado (base), ao tempo e a taxa
de juros. Juros, em outras palavras, pode ser considerado como um aluguel pago pelo valor
emprestado.
Juros é um custo adicional cobrado além do emprestado, disponibilizado, por algum órgão ou pessoa,
é uma recompensa paga pelo empréstimo.
Juros é uma taxa que se paga para poder ter acesso a um certo montante de dinheiro por um
determinado período de tempo, de uma forma simples é, disponibilizar ou adquirir dinheiro ou bens
de uma outra pessoa física ou jurídica com um certo percentual de interesse perante ao montante.
Juro = Base x Taxa. Conceito: prêmio/recompensa/aluguel/rendimento. JS – não há variação ao longo
de uma escala de tempo.
3)
A diferença é que na taxa de juros nominal o período da taxa não coincide com a capitalização e na
efetiva o período e a capitalização coincidem.
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo período de
tempo produzir o mesmo montante.
4)
7,50% a.a.
12 meses
0,625% a.m
6 meses
3,81% =(1+0,625%)^6-1
Se im = 0,92%, então: ia = 11,62%
5)
80.000,00 VF
24 n
0,56% i
69.965,45 VP = 80000/(1+0,56%)^24
7)
6)
(a)
(b)
(c)
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
1) (1,25 ponto) Defina COM SUAS PALAVRAS o princípio básico da Engenharia Econômica.
2) (1,25 ponto) Defina COM SUAS PALAVRAS o conceito e a fórmula básica/fundamental de juros,
independente do regime de capitalização. Na sequência, diferencie juros simples de juros
compostos.
3) (1,25 ponto) Comente sobre a diferença entre uma taxa de juros nominal e uma efetiva. Na
sequência, explique qual(is) a(s) condição(ões) para que duas taxas efetivas de juros sejam
equivalentes?
4) (1,25 ponto) Determine a taxa efetiva MENSAL e ANUAL de juros de uma taxa nominal de 11% ao
ano com capitalização mensal?
5) (3,0 pontos) Um produtor rural pretende investir na construção de um barracão para o
armazenamento de máquinas, equipamentos e implementos agrícolas. O valor total da construção
está estimado em R$ 200.000,00, com 20% à vista. O saldo restante pode ser financiado em 5
prestações anuais, com juros de 11% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de carência,
sem capitalização do saldo devedor por meio do pagamento dos juros. Construir a planilha de
desenvolvimento do financiamento, preenchendo os quadros a seguir para cada sistema de
amortização (PRICE e SAC).
PRICE
Período
Prestação (R$)
Juro (R$)
Amortização (R$)
0
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo devedor (R$)
Total
SAC
Período
Amortização (R$)
Juro (R$)
Prestação (R$)
0
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo devedor (R$)
Total
6) (2,0 pontos) Qual o valor presente (VP) das séries de pagamentos não-uniforme apresentadas nas
Figuras a seguir. Considere uma taxa de juros (i) igual a 11% ao ano e um horizonte de análise (N)
de 5 (cinco) anos.
(a)
(b)
GABARITO PARCIAL
4)
11%
12
0,92%
12
11,62%
11,0%
12
0,9167%
11,57%
a.a.
meses
a.m. (0,9167%)
meses
=(1+0, 0,92%)^6-1
11,5719%
5)
6)
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
1) (1,0 ponto) Por que a Engenharia Econômica é importante para a Avaliação Econômica de Projetos
Agropecuários? Cite exemplos.
2) (1,0 ponto) Descreva as principais características dos sistemas de amortização PRICE e SAC.
3) (1,0 ponto) Disserte sobre o período de carência que pode ocorrer nos sistemas de amortização.
Detalhe também os tipos de carências.
4) (2,0 pontos) Qual o valor presente (VP) da série de pagamentos não-uniforme apresentada na
Figura a seguir. Considere uma taxa de juros (i) igual a 12,75% ao ano e um horizonte de análise (N)
de 5 (cinco) anos.
5) (2,0 pontos) Considere uma taxa de juros de 12,75% ao ano com capitalização mensal. Nesse
contexto, determine o valor presente do fluxo de caixa anual exibido na Figura a seguir.
prestações anuais, com juros de 12,75% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de
carência, com capitalização do saldo devedor pois não haverá o pagamento de juros nesse período.
Construir a planilha de desenvolvimento do financiamento, preenchendo os quadros a seguir para
cada sistema de amortização (PRICE e SAC).
PRICE
Período
Prestação (R$)
Juro (R$)
Amortização (R$)
0
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo devedor (R$)
Total
SAC
Período
Amortização (R$)
Juro (R$)
Prestação (R$)
0
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
0,00
R$ 0,00
R$ 0,00
Saldo devedor (R$)
Total
GABARITO PARCIAL
1) A Engenharia Econômica utiliza o princípio de observar o valor do dinheiro ao longo do tempo. Para
verificar a viabilidade econômica de um Projeto de Investimento (PI) em agronegócios é preciso
ponderar o retorno com o risco (a longo prazo). Serve para fazer a análise de investimentos
agropecuários: se é viável ou não, do ponto de vista econômico, executar um PI. Erro grave. Só
falam/pensam no RETORNO e esquecem do RISCO.
2)
PRICE: Prestação (constante); Juros (diminui); Amortização (aumenta); Saldo Devedor (diminui)
SAC: Amortização (constante); Juros (diminui); Prestação (diminui); Saldo Devedor (diminui)
3) Veja a teoria sobre sistemas de amortização
4)
Taxa
1
2
3
4
5
Data zero
12,75%
Data Zero Desc.
R$ 100,00
R$ 88,69
R$ 200,00
R$ 157,32
R$ 300,00
R$ 209,30
R$ 400,00
R$ 247,51
R$ 500,00
R$ 274,40
Total
R$ 977,23
5) imensal = 12,75%/12 = 1,0625% => ianual = (1+1,0625%)12 – 1 = 13,52211%
1,0625% Tx. Jur. Ef. Mensal.
13,52211% Tx. Jur. Ef. Anual
Taxa
1
R$ 100,00
2
R$ 150,00
3
R$ 170,00
4
R$190,00
5
R$ 210,00
6
R$ 190,00
7
R$ 170,00
8
R$ 150,00
9
R$ 100,00
Data zero
Total
Usei exato
13,52%
R$ 88,09
R$ 116,40
R$ 116,21
R$ 114,41
R$ 111,39
R$ 88,78
R$ 69,97
R$ 54,39
R$ 31,94
R$ 791,58
6)
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
Acadêmico(a):________________________________ Curso: Engenharia Mecânica Código: AE23MC
Na correção da avaliação serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. A
interpretação dos problemas é parte constante da avaliação. Utilize os procedimentos de arredondamentos adequados.
1) (1,0 ponto) Explique, COM SUAS PALAVRAS, o que é preciso fazer para avaliar de forma adequada
a viabilidade econômica de um Projeto de Investimento (PI) na área de Engenharia Mecânica.
 Retorno
 Risco
 Ponderação: Retorno x Rico
2) (1,0 ponto) Nos sistemas de amortização (PRICE e SAC, por exemplo), dependendo da linha de
financiamento (fonte de fomento), podem ocorrer um período de carência. Explique as diferenças
entre os 2 (dois) tipos de carências.
De forma básica: Existem 2 tipos de carência, com ou sem capitalização dos juros. A diferença que
existe é: na carência com capitalização dos juros, os juros de cada período são somados (ou
incorporados) ao saldo devedor e no outro, são pagos.
Posto de outra forma: Na carência sem capitalização ocorre o pagamento dos juros dentro desse
prazo para que o saldo devedor se mantenha constante. Por outro lado, na carência com
capitalização, não ocorre o pagamento dos juros gerados em cada período dentro desse prazo,
sendo esse valor somado ao saldo devedor, que é periodicamente atualizado, como prevê o regime
de capitalização composto. Em ambos sistemas de amortização, o valor das prestações (PRICE) ou
da amortização (SAC) será obtido a partir do saldo devedor no fim do período de carência.
3) (2,0 pontos) Qual o Valor Presente (VP) da série de pagamentos não-uniforme apresentada na
Figura a seguir. Considere uma taxa de juros (i) igual a 14,25% ao ano e um horizonte de análise
(N) de 5 (cinco) meses.
imensal = (1 + 14,25%) ^ (1/12) – 1  1,1163% ao mês  1,12% ao mês.
14,25%
1
2
3
4
5
R$ 100,00
R$ 200,00
R$ 300,00
R$ 400,00
R$ 500,00
Total
R$
R$
R$
R$
R$
R$
1,1163%
98,89
195,59
290,14
382,57
472,92
1.440,12
R$
R$
R$
R$
R$
R$
1,12%
98,90
195,61
290,17
382,63
473,00
1.440,31
0,01%
Figura a seguir. Considere uma taxa de juros (i) igual a 14,25% ao ano com capitalização mensal e
um horizonte de análise (N) de 5 (cinco) meses.
imensal = 14,25%/12 = 1,1875% => VP = R$ 1.436,61.
5) (2,0 pontos) Uma indústria metalúrgica pretende investir na construção de um barracão. O valor
total da construção está estimado em R$ 500.000,00, com 10% à vista. O saldo restante pode ser
financiado em 5 prestações anuais, com juros de 14,25% ao ano. Nesse período está contemplado
2 anos de carência, com capitalização do saldo devedor pois não haverá o pagamento de juros
nesse período. Construir a planilha de desenvolvimento do financiamento, preenchendo o quadro
a seguir para o Sistema de Amortização PRICE.
Período
Prestação (R$)
Juros (R$)
Amortização (R$)
0
0,00
0,00
0,00
Saldo devedor (R$)
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
“Total”
6) (2,0 pontos) Uma indústria metalúrgica pretende investir na construção de um barracão. O valor
total da construção está estimado em R$ 500.000,00, com 10% à vista. O saldo restante pode ser
financiado em 5 prestações anuais, com juros de 14,25% ao ano. Nesse período está contemplado
2 anos de carência, sem capitalização do saldo devedor pois haverá o pagamento de juros nesse
período. Construir a planilha de desenvolvimento do financiamento, preenchendo o quadro a
seguir para o Sistema de Amortização Constante (SAC).
Período
Amortização (R$)
Juros (R$)
Prestação (R$)
0
0,00
0,00
0,00
Saldo devedor (R$)
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
“Total”
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
1ª Avaliação de Engenharia Econômica 1 – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng. Data: 16/09/2015
Acadêmico(a):____________________________________________ Curso: Agronomia Código: EE3G
1) (1,0 ponto) O que é preciso fazer para avaliar de forma adequada a viabilidade econômica de um
Projeto de Investimento (PI) na área de Agronomia? Resposta: (i) Retorno; (ii) Risco; e (iii)
Ponderação: Retorno x Rico. Texto da Tatieli Simionatto ficou bom. Ver texto/citação do Cattani. (i)
avaliar o retorno; (ii) estimar os riscos; e (iii) para decidir é preciso ponderar o retorno e os riscos.
É a “razão” entre essas duas dimensões que estabelece a viabilidade econômica de implantação de
um projeto de investimento.
2) (1,0 ponto) Explique, COM SUAS PALAVRAS, qual a diferença conceitual entre AMORTIZAÇÃO e
PRESTAÇÃO. Além disso, estabeleça a relação matemática (fórmula) entre PRESTAÇÃO, JUROS e
AMORTIZAÇÃO. Resposta: Prestação = valor pago em cada parcela. Amortização = valor
descontado da dívida (do saldo devedor). PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS.
Figura a seguir. Considere uma taxa de juros (i) igual a 14,25% ao ano com capitalização mensal e
um horizonte de análise (N) de 3 (três) anos.
Cálculo da Taxa de juros efetiva mensal:
imensal = 14,25%/12  1,1875% ao mês
Cálculo da Taxa de juros efetiva anual:
ianual = (1 + 1,1875%)^12 – 1  15,2185% ao mês  15,22% ao mês.
14,25%
1,1875%
15,2185%
1
R$ 100,00 R$
86,79 R$
2
R$ 200,00 R$ 150,66 R$
3
R$ 300,00 R$ 196,13 R$
Total
R$ 433,58 R$
15,22%
86,79
150,65
196,13
433,57
carência, sem capitalização do saldo devedor pois haverá o pagamento de juros nesse período.
Nesse contexto, pede-se para construir a planilha de desenvolvimento do financiamento,
preenchendo o quadro a seguir para o Sistema de Amortização PRICE.
Período
Prestação (R$)
Juros (R$)
Amortização (R$)
Saldo devedor (R$)
0
0,00
0,00
0,00
R$ 340.000,00
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
“Total”
carência, com capitalização do saldo devedor pois não haverá o pagamento de juros nesse período.
Nesse contexto, pede-se para construir a planilha de desenvolvimento do financiamento,
preenchendo o quadro a seguir para o Sistema de Amortização Constante (SAC).
Período
Amortização (R$)
Juros (R$)
Prestação (R$)
Saldo devedor (R$)
0
0,00
0,00
0,00
R$ 340.000,00
1ª carência
2ª carência
1a
2a
3a
“Total”
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
1ª Avaliação de Engenharia Econômica 1 – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng. Data: 04/04/2016
1) (2,0 pontos) Calcule o Valor Presente (PV) do Fluxo de Caixa (FC) indicado no diagrama a seguir, com
uma taxa de juros (im) de 1% ao mês, no regime de juros compostos. Resposta: $ 67,00
Gabarito parcial:
VP 
10
10
10
10
10
10
10






 67,00
1
2
3
4
6
7
(1  1%) (1  1%)
(1  1%)
(1  1%)
(1  1%)
(1  1%)
(1  1%) 8
10  ((1  1%) 3  1)
10  ((1  1%) 8  1)
10
10  ((1  1%) 4  1)
1%  (1  1%) 3
Ou
Ou

 67,00


67
,
00
8
4
5
1%  (1  1%)
(1  1%) 5
1%  (1  1%)
(1  1%)
de 3 (três) meses.
Gabarito parcial: 1º Passo) i = (1 + 14,25%)1/12 – 1 = 1,116342 ou i  12 114,25 / 100  1  1,116342%
0
Taxa mensal
1,116342%
1 R$
100,00 R$
R$
98,89
2 R$
200,00 R$ 195,61 R$
195,59
3 R$
300,00 R$ 290,17 R$
290,14
Valor Presente
98,90
1,12%
R$ 584,68 R$
584,62
3) (2,0 pontos) Um empreendedor rural pretende investir na construção de um silo para o
armazenamento de sua produção de grãos. O valor total da construção está orçado em
aproximadamente em R$ 300.000,00, com 25% à vista. O saldo restante pode ser financiado em 4
anos, com juros de 7,5% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de carência, sem
capitalização do saldo devedor pois haverá o pagamento de juros nesse período. Construir a planilha
de desenvolvimento do financiamento, preenchendo o quadro a seguir para o Sistema de
Amortização PRICE.
Período
Prestação (R$)
Juros (R$)
Amortização (R$)
0
0,00
0,00
0,00
Saldo devedor (R$)
1ª carência
2ª carência
1a
2a
“Total”
R$
R$
300.000,00 Investimento total
25% % de entrada
225.000,00 Financiamento
 Resolução via $V€Disponível em: http://pb.utfpr.edu.br/savepi/modulo2.php.
anos, com juros de 7,5% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de carência, com
capitalização do saldo devedor pois não haverá o pagamento de juros nesse período. Construir a
planilha de desenvolvimento do financiamento, preenchendo o quadro a seguir para o Sistema de
Amortização Constante (SAC).
Período
Amortização (R$)
Juros (R$)
Prestação (R$)
0
0,00
0,00
0,00
Saldo devedor (R$)
1ª carência
2ª carência
1a
2a
“Total”
R$
R$
300.000,00 Investimento
25% % de entrada
225.000,00 Financiamento
DESEMPENHO
CÂMPUS PATO BRANCO
1ª Avaliação de Engenharia Econômica 1 – 2ª chamada - Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng. Data: 26/04/2016
1) (2,0 pontos) Calcule o valor presente do fluxo de caixa indicado a seguir, para uma taxa de desconto
de 1% ao mês, no regime de juros compostos. Resposta:
Gabarito parcial:
de 3 (três) meses.
Gabarito parcial: Taxa de juros mensal = (1 + 9,79%)^(1/12) – 1 = 0,7814%
0,7814%
Taxa
0,78%
1
2
3
R$ 100,00
R$ 200,00
R$ 300,00
VP =
R$ 99,22
R$ 196,91
R$ 293,08
R$ 589,21
R$ 99,23
R$ 196,92
R$ 293,09
R$ 589,23
anos, com juros de 8,75% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de carência, sem
capitalização do saldo devedor pois haverá o pagamento de juros nesse período. Construir a planilha
de desenvolvimento do financiamento, preenchendo o quadro a seguir para o Sistema de
Amortização PRICE.
Período
Prestação (R$)
Juros (R$)
Amortização (R$)
0
0,00
0,00
0,00
Saldo devedor (R$)
1ª carência
2ª carência
1a
2a
“Total”
anos, com juros de 8,75% ao ano. Nesse período está contemplado 2 anos de carência, com
capitalização do saldo devedor pois não haverá o pagamento de juros nesse período. Construir a
planilha de desenvolvimento do financiamento, preenchendo o quadro a seguir para o Sistema de
Amortização Constante (SAC).
Período
Amortização (R$)
Juros (R$)
Prestação (R$)
0
0,00
0,00
0,00
Saldo devedor (R$)
1ª carência
2ª carência
1a
2a
“Total”
REFERÊNCIAS
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proposta de ensino para a matemática financeira. Universidade Federal do Vale do São Francisco.
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comercial, matemática financeira, estatística descritiva. São Paulo: Atual, 1 ed. v.11. 2004.
KLIEMANN NETO, F.J. (2006). Apostila de Engenharia Econômica. Programa de Pós-Graduação em
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LIMA, J.D. de; SCHEITT, L.C.; DE BOSCHI, T.F.; DA SILVA, N.J.; DE MEIRA, A.A.; DIAS, G.H. Propostas de
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Série UTFinova. Curitiba: Aymará, 2012, v.10. 148p.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1999.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. 3. ed. São Paulo:
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SOUZA, J.S.; KLIEMANN NETO, F.J. O impacto da incorporação da inflação na análise de projetos de
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TOZETTO, V. Educação Financeira no Ensino Médio: Uma abordagem por meio da análise de produtos
financeiros com ênfase em Consórcios. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Pato
Branco, (Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT). 2015. 163f.
$V€. Sistema de Análise da Viabilidade Econômica de Projetos de Investimentos. Disponível em:
<http://pb.utfpr.edu.br/savepi/modulo.php>. Acesso em: mai. 2015. Experimente. Aprenda.
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ANEXO A – LEITURA COMPLEMENTAR: RICHARD PRICE E A SEQUÊNCIA UNIFORME DE CAPITAIS
Texto extraído na integra de Iezzi et al. (2004, p. 76)
Há dois tipos de problemas bastante frequentes em operações financeiras. O primeiro diz respeito ao
cálculo da prestação de um financiamento em prestações iguais no regime de juros compostos, dados
o valor financiado, a taxa de juros e o número de prestações. O segundo refere-se ao montante
auferido por uma sucessão de depósitos iguais a juros compostos, dados o valor de cada deposito, a
taxa de juros e o número de depósitos. Essa sucessão de valores iguais (pagamentos e depósitos) é
chamada de sequência uniforme de capitais ou de depósitos.
Um dos pioneiros na utilização desses problemas no cálculo de aposentadorias e pensões foi o filósofo,
teólogo e especialista em finanças e seguros Richard Price. Nascido na Inglaterra em Tynton,
Glamorgan, em fevereiro de 1723, foi educado em sua cidade natal até a morte de seu pai, depois se
mudou para Londres em 1740. Nessa cidade, recebeu sólidos conhecimentos de matemática, e foi
discípulo de John Eames.
Permaneceu estudando até 1748, ano em que se tornou ministro presbiteriano. Em 1758, publicou o
livro Revisão das questões principais em moral, que causou grande impacto na conservadora sociedade
britânica pela proposta de revisão das questões morais da época. Em 1766, publicou a Importância do
cristianismo, obra na qual está presente a rejeição às ideias tradicionais cristãs como pecado original,
castigo eterno e purgatório.
Três anos depois, a pedido da seguradora inglesa Sociedade Equitativa, Price publicou um trabalho na
área de Estatística e Atuária chamado Tabelas de mortalidade de Northampton, que serviu para o
cálculo das probabilidades de morte e sobrevivência de um indivíduo em função da idade. Essas tabelas
serviram de base para o cálculo de seguros e aposentadorias.
Em 1771, publicou sua mais famosa obra da área financeira e atuarial intitulada Observações sobre
pagamentos reversíveis. Nessa obra, Price elaborou tabelas para o cálculo de juros compostos, explicou
o financiamento por meio da sequência uniforme de pagamentos, o montante gerado por depósitos
em sequência uniforme, rendas vitalícias em aposentadorias e cálculo de prêmio de seguros de vida.
Em 1776, publicou Observações sobre a natureza da liberdade civil, os princípios do governo, e a justiça
e a política da guerra com a América, um sucesso de vendas na América e na Inglaterra (cerca de 60.000
exemplares em poucos meses). Graças a essa obra e suas ideias, foi convidado pelo Congresso dos
Estados Unidos da América para exercer a função de conselheiro na área financeira.
Nos últimos anos de sua vida, em 1789, fez um de seus últimos discursos em defesa da Revolução
Francesa, Discurso sobre o amor pelo nosso país, que provocou fortes reações na sociedade britânica
conservadora. Price foi chamado de ateu pelo rei George III. Seus adversários ideológicos combateram
suas ideias por meio de panfletos, chegando até a ser caricaturado como insano e ateu por James
Gillray, famoso caricaturista da época.
Price faleceu em Hackney, próximo de Londres, em abril de 1791, aos 68 anos de idade.
ANEXO B - A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Fonte: http://www.somatematica.com.br/historia/matfinanceira.php
Trabalho fornecido ao Só Matemática pelo Prof. Jean Piton-Gonçalves em agosto de 2005.
Introdução
É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da
História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação
entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam
normalmente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.
As tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o
sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecida. Há muitos textos desses primeiros
tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas
transações. As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de
contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e
compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos.
Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e
medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas. Das 400 tábuas
matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas envolvem tábuas de
multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de
exponenciais. Quanto a estas, provavelmente eram usadas, juntamente com a interpelação, em
problemas de juros compostos. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à
multiplicação.
Os Juros e os Impostos
Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existentes na
Terra. Um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000 a.C. Nas citações mais
antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras conveniências emprestadas; os juros
eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens. Muitas das práticas existentes originaram-se
dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.
A História também revela que a ideia se tinha tornado tão bem estabelecida que já existia uma firma
de banqueiros internacionais em 575 a.C., com os escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era
proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do
comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática
Financeira e Economia, mas também seus usos sofreram poucas mudanças através dos tempos.
Como em todas as instruções que tem existido por milhares de anos, algumas das práticas relativas a
juros têm sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais, mas alguns dos antigos costumes
ainda persistem de tal modo que o seu uso nos dias atuais ainda envolve alguns procedimentos
incômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram
inteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas
para a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo
de um ano. Assim, o cálculo de juros em uma base anual era mais razoável; tão quanto o
estabelecimento de juros compostos para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não
poderiam ser concluídas em um ano. Conforme a necessidade de cada época, foi se criando novas
formas de se trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário etc.).
Há tábuas nas coleções de Berlirn, de Yale e do Louvre que contêm problemas sobre juros compostos
e há algumas tábuas em Istambul que parecem ter sido originalmente tábuas de a' para n de 1 a 10 e
para a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podem-se resolver equações exponenciais do tipo a' = b.
Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema: Por quanto tempo deve-se
aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ela dobre?
Resolução: Via $V€ e MS-Excel
“O Valor e a Moeda”
Fonte: http://www.somatematica.com.br/softwares.php
Na época em que os homens viviam em comunidades restritas, tirando da natureza todos os produtos
de que tinham necessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comunicação entre as diversas
sociedades. Mas com o desenvolvimento do artesanato e da cultura e em razão da desigual repartição
dos diversos produtos naturais, a troca comercial mostrou-se pouco a pouco necessária.
O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocam diretamente (e,
portanto sem a intervenção de uma "moeda" no sentido moderno da palavra) gêneros e mercadorias
correspondentes a matérias primas ou a objetos de grande necessidade.
Por vezes, quando se tratava de grupos que entretinham relações pouco amistosas, essas trocas eram
feitas sob a forma de um escambo silencioso. Uma das duas partes depositava, num lugar previamente
estabelecido, as diversas mercadorias com as quais desejava fazer a troca e, no dia seguinte,
encontrava em seu lugar (ou ao lado delas) os produtos propostos pelo outro parceiro. Se a troca fosse
considerada conveniente levavam-se os produtos, senão retornava-se no dia seguinte para encontrar
uma quantidade maior. O mercado podia então durar vários dias ou mesmo terminar sem troca
quando as duas partes não podiam encontrar terreno para entendimento.
Cenas como tais puderam ser observadas por exemplo entre os aranda da Austrália, os vedda do Ceilão,
os bosquímanos e os pigmeus da África, os botocudos do Brasil, bem como na Sibéria e na Polinésia.
Com a intensificação das comunicações entre os diversos grupos e a importância cada vez maior das
transações, a prática do escambo direto tornou-se bem rapidamente um estorvo. Não se podiam mais
trocar mercadorias segundo o capricho de tal ou qual indivíduo ou em virtude de um uso consagrado
ao preço de intermináveis discussões.
Houve, portanto, a necessidade de um sistema relativamente estável de avaliações e de equivalências,
fundado num princípio (vizinho daquele da base de um sistema de numeração) dando a definição de
algumas unidades ou padrões fixos. Nesse sistema é sempre possível estimar tal ou qual valor, não
somente para as operações de caráter econômico, mas também (e talvez sobretudo) para a
regulamentação de problemas jurídicos importantes e, todas as espécies de produtos, matérias ou
objetos utilitários serviram nessa ocasião.
A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. Não é por acaso que a
palavra latina pecúnia quer dizer "fortuna, moeda, dinheiro": provém, com efeito, de pecus, que
significa "gado, rebanho"; além disso, o sentido próprio da palavra pecúnia corresponde ao "ter em
bois".
Mas nos tempos antigos a operação de escambo, longe de ser um ato simples, devia ser, ao contrário,
envolta de formalidades complexas, muito provavelmente ligadas à mística e às práticas mágicas. É em
todo caso o que revela a análise etnológica feita nas sociedades "primitivas" contemporâneas, que se
viu confirmar por um certo número de descobertas arqueológicas. Pode-se, portanto, supor que nas
culturas pastorais a ideia de boi-padrão (moeda de sangue) sucedeu à ideia de "boi de sacrifício", ela
mesma ligada ao valor intrínseco estimado do animal.
Em contrapartida, nas ilhas do Pacífico as mercadorias foram estimadas em colares de pérolas ou de
conchas. Após um certo período, começou-se por trocar faixas de tecido por animais ou objetos. O
tecido era a moeda; a unidade era o palmo da fita de duas vezes oitenta fios de largura.
Tais métodos apresentavam, contudo, sérias dificuldades de aplicação. Assim, à medida que o
comércio se desenvolvia, os metais desempenharam um papel cada vez maior nas transações
comerciais, vindo a tornar-se no fim das contas a "moeda de troca" preferida dos vendedores e
compradores. E as avaliações das diversas mercadorias passaram a ser feitas quantitativamente pelo
peso, cada uma delas referindo a uma espécie de peso-padrão relativo a um ou a outro metal.
Igualmente no Egito faraônico, os gêneros e as mercadorias foram frequentemente estimados e pagos
em metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata), que se dividia inicialmente em pepitas e palhetas.
A avaliação era feita também sob a forma de lingotes ou de anéis, cujo valor se determinava em seguida
pela pesagem.
Até o momento não somente tratamos de um simples escambo, mas também um verdadeiro sistema
econômico. A partir de então, graças ao padrão de metal, as mercadorias passaram a não mais ser
trocadas ao simples prazer dos contratantes ou segundo usos consagrados frequentemente arbitrários,
mas em função de seu "justo preço".
Até então, tratava-se somente de introduzir nas transações e nos atos jurídicos uma espécie de pesopadrão, unidade de valor à qual o preço de cada uma das mercadorias ou ações consideradas era
referido. Partindo desse princípio, tal metal ou tal outro podia então servir em toda ocasião como
"salário", "multa" ou como "valor de troca", e no caso da "multa", algum tipo de cálculo de juros
primário era utilizado para se obter um certo valor para a mesma.
Aprendendo a contar abstratamente e agrupar todas as espécies de elementos seguindo o princípio da
base, o homem aprendeu assim a estimar, avaliar e medir diversas grandezas (pesos, comprimentos,
áreas, volumes, capacidades etc.). Aprende igualmente a atingir e conceber números cada vez maiores,
antes mesmo de ser capaz de dominar a ideia do infinito.
Pôde elaborar também várias técnicas operatórias (mentais, concretas e, mais tarde, escritas) e erguer
os primeiros rudimentos de urna aritmética inicialmente prática, antes de tornar-se abstrata e conduzir
à álgebra - onde hoje temos a Matemática Financeira amplamente desenvolvida.
Foi-lhe também aberta a via para a elaboração de um calendário e de uma astronomia, bem como para
o desenvolvimento de uma geometria estruturada inicialmente em medidas de comprimento, áreas e
volumes, antes de ser especulativa e axiomática. Numa palavra, a aquisição desses dados fundamentais
permitiu pouco a pouco à humanidade tentar medir o mundo, compreendê-lo um pouco melhor,
colocar a seu serviço alguns de seus inúmeros segredos e organizar, para desenvolvê-la, sua economia.
Os Bancos
O surgimento dos bancos está diretamente ligado ao cálculo de juros compostos e o uso da Matemática
Comercial e Financeira de modo geral. Na época em que o comércio começava a chegar ao auge, uma
das atividades do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. Nos diversos
países eram cunhadas moedas de ouro e prata.
Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras de conquista, as moedas dos
diferentes países eram trocadas, mas o pagamento só podia ser efetuado com dinheiro do país
específico. Consequentemente, dentro das fronteiras de cada país, as moedas estrangeiras deviam ser
cambiadas por dinheiro deste país. Por outro lado, os comerciantes e outras pessoas possuidoras de
muito dinheiro, que viajavam ao exterior, precisavam de dinheiro de outros países, que compravam
com moeda nacional. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem as
moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se
exclusivamente ao câmbio de dinheiro, ou seja, ao comércio de dinheiro.
Aconteceu então a divisão de trabalho dentro do campo do comércio: paralelamente aos comerciantes
que se ocupavam com a troca de artigos comuns, surgiram os cambistas, isto é, comerciantes
dedicados ao intercâmbio de uma mercadoria específica: o dinheiro.
Num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas somas de dinheiro nas mãos
dos cambistas. Com o tempo, foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e emprestar
dinheiro. Naquela época, e devido à deficiente organização das instituições responsáveis pela
segurança social do indivíduo, não era recomendável que tivesse em sua casa muitas moedas de ouro
e prata. Estas pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do cambista rico, que o guardava e devolvia
ao dono quando ele pedisse. Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma,
em seus cofres, imensa quantidade de dinheiro.
Era natural que a seguinte ideia ocorresse: "Porque estas grandes somas de dinheiro haverão de
permanecer em meu poder sem qualquer lucro para mim? - Ai então percebe-se que a palavra "lucro"
está diretamente interligada com o conceito de finanças - É pouco provável que todos os proprietários,
ao mesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediata de todo seu dinheiro. Emprestarei
parte deste dinheiro a quem pedir, sob a condição de que seja devolvido num prazo determinado. E
como meu devedor empregará o dinheiro como quiser durante este é natural que eu obtenha alguma
vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento do prazo
estipulado, uma soma adicional".
Vimos que neste pensamento do mercador, a ideia de lucro já aparece fortemente.
Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma razão, se encontravam sem
dinheiro - comerciantes, senhores feudais e não raras vezes o próprio rei ou o erário nacional -,
recorriam ao cambista que lhes emprestava grandes somas de dinheiro a juros "razoáveis".
O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais -propriamente, era a "compensação pelo
temor" de quem dava dinheiro emprestado e assim se expunha a um grande risco. Entretanto estes
juros alcançaram, em alguns casos, quantias incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100
por cento e na Idade Média, de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação direta com a
necessidade do solicitante ou do montante da soma.
Estes juros foram chamados - com toda justiça - de usurário, o dinheiro recebido emprestado, de
capital usurário e o credor, de usureiro. O cambista exercia sua profissão sentado num banco de
madeira em algum lugar do mercado. Daí a origem da palavra "banqueiro" e "banco". Os primeiros
bancos de verdade da História foram criados pelos sacerdotes.
No mundo antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos e romanos, estava
amplamente difundido o costume segundo o qual os cidadãos mais abastados deviam confiar a
custódia de seu ouro aos sacerdotes.
A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos antigos sacerdotes,
que considerava pagãos, mas desenvolveu-as em grande escala. A Igreja Católica criou o "Banco do
Espírito Santo", corri um fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita a
exação, aos fiéis, dos chamados "denários de São Pedro" destinados a satisfazer as frugalidades do
Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e indulgências, assim como para a realização de
transações relacionadas com os empréstimos, em outras palavras, com a usura.
Ao mesmo tempo lançou um anátema e condenou às masmorras da inquisição os cidadãos que
emprestavam dinheiro a juros, mesmo que este juro fosse menor do que aquele que ela exigia por seu
dinheiro. A Igreja proibia a seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro, invocando como autoridade
a Sagrada Escritura, onde se lê: "Amai pois vossos inimigos e fazei o bem, e emprestei, nada esperando
disso" (São Lucas, 6,35). Na realidade, esta proibição era motivada por um interesse econômico muito
"mundano": a Igreja ambicionava assegurar para si o monopólio absoluto na exação de juros.
Apesar das maldições e ameaças com o fogo eterno, a Igreja não pôde conter a avidez por ganhos e
lucros das pessoas, tanto mais que o próprio desenvolvimento do comércio exigia a criação de uma
ampla rede bancária. As iniciadoras desta atividade foram as cidades-estado da Itália, que tinham um
vasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos mais distantes confins do mundo conhecido.
O primeiro banco privado foi fundado pelo duque. Vitali em 1157, em Veneza. Após este, nos séculos
XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. A Igreja não teve outra alternativa senão aceitar a
realidade dos fatos. Assim os bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da
Matemática Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois sem essa
motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de Matemática não estivesse tão
avançada nos dias atuais.
As Primeiras Aritméticas
Como consequência do interesse pela educação e do crescimento enorme da atividade comercial no
Renascimento, começaram a aparecer muitos textos populares de aritmética. Três centenas desses
livros foram impressos na Europa antes do século XVII. Essas obras eram de dois tipos, basicamente
aquelas escritas em latim por intelectuais de formação clássica, muitas vezes ligados a escolas da igreja,
e outras escritas no vernáculo por professores práticos interessados em preparar jovens para carreiras
comerciais.
A mais antiga aritmética impressa é a anônima e hoje extremamente rara Aritmética de Treviso,
publicada em 1478 na cidade de Treviso. Trata-se de uma aritmética amplamente comercial, dedicada
a explicar a escrita dos números, a efetuar cálculos com eles e que contém aplicações envolvendo
sociedades e escambo. Como os "algoritmos" iniciais do século XIV, ela também inclui questões
recreativas. Foi o primeiro livro de matemática a ser impresso no mundo ocidental.
Bem mais influente na Itália que a Aritmética de Treviso foi a aritmética comercial escrita por Piero
Borghi. Esse trabalho altamente útil foi publicado em Veneza em 1484 e alcançou pelo menos
dezessete edições, a última de 1557. Em 1491 foi publicada em Florença uma aritmética menos
importante, de autoria de Filippo Calandri, porém interessante para nós pelo fato de conter o primeiro
exemplo impresso do moderno processo de divisão e também os primeiros problemas ilustrados a
aparecerem na Itália.
Referências:
ROBERT, Jozsef. A Origem do Dinheiro. Global Editora – 1982.
IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos. Ed. Nova Fronteira.
MATTOS, Antônio Carlos M. O Modelo Matemático dos Juros: Uma Abordagem Sistêmica. Ed Vozes
– Petrópolis.
SMITH, D.E. History of Mathematics. Dover Publications. INC – New York.
$V€. 2016. Software de Análise da Viabilidade Econômica de Projetos de Investimentos. Software
online. Disponível em: <http://pb.utfpr.edu.br/savepi/>. Acesso em: mar. 2015. Senha Provisória:
inic2015. Experimente. Aprenda. Compartilhe somente os links enviados...
http://www.somatematica.com.br/softwares.php. Trabalho fornecido por Jean Piton Gonçalves.
ANEXO C – CALCULADORA DO CIDADÃO DO BANCO CENTRAL DO BRASIL
Fonte: http://www.bcb.gov.br/?calculadora
Calculadora do cidadão: Versão 2.0. Este é um subsistema do Sisbacen®. As principais telas da
Calculadora do cidadão são exibidas nas figuras a seguir:
A Calculadora do cidadão é uma aplicação interativa, de acesso público, que permite simular situações
do cotidiano financeiro. Sisbacen® é marca registrada no Instituto Nacional da Propriedade Industrial
(INPI) e sobre ela o Banco Central do Brasil (BACEN) detém todos os direitos na forma da legislação em
vigor.
A Calculadora do cidadão permite a simulação de aplicações com depósitos regulares e de
financiamentos com prestações fixas, a correção de valores com base em diversos indicadores
econômicos e o cálculo de valores futuros de um capital.
Em suma, a Calculadora do Cidadão é ferramenta on-line que ajuda o cidadão a calcular: O custo de
um financiamento com prestações fixas; O valor, no futuro, do dinheiro investido hoje; Quanto o
cidadão terá, no futuro, se economizar, todo mês, uma parcela da renda; Quanto vale hoje, corrigido
pela inflação, o dinheiro utilizado no passado.
Advertência: O Banco Central não assume qualquer responsabilidade por eventuais atrasos ou
indisponibilidade de serviços de telecomunicação, interrupção, falha ou pelas imprecisões no
fornecimento dos serviços ou informações. Não assume, também, responsabilidade por qualquer
perda ou dano oriundo de tais interrupções, atrasos, falhas ou imperfeições, bem como pelo uso
inadequado das informações fornecidas. Para mais informações, consulte as seções Sistema Financeiro
Nacional. Esta aplicação também está disponível para smartphones e tablets. Para mais informações e
para instalar, acesse a página do aplicativo.
APÊNDICE A – EXEMPLOS EXTRAS
Esse livro apresentou elementos de Matemática Financeira essenciais à Engenharia Econômica.
1) Um objeto pode ser adquirido à vista por R$ 900,00 ou em 14 vezes (0 + 14), ou seja, sem entrada,
com uma taxa de juros de 6,53% ao mês. Nesse contexto, pede-se: calcule o valor de cada prestação.
Revisando conceitos:

Um real recebido hoje não será equivalente a um real recebido dentro de t anos.

Conceito de juros: (i) pagamento pela oportunidade de dispor de um capital em determinado
período de tempo; (ii) custo do capital ou custo do dinheiro.
Os leitores e/ou acadêmicos devem:

Compreender a evolução do dinheiro no tempo.

Constatar que o dinheiro tem custo no tempo.

Fazer uma representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo.

Saber construir diagramas de fluxo de caixa.

Série DE PAGAMENTOS UNIFORMES

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