apostila de matemática

Transcrição

APOSTILA DE MATEMÁTICA
1ª Edição - 2016
Produção
Prof. Allan Franklin
Prof.ª Bárbara Andrade
Prof. Filipe Bizarria
Prof. Gustavo Sousa
Prof. Leonardo Pacheco
Prof. Luís Augusto
Prof.ª Polianna Dantas
Design e Formatação
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Thales Quirino
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SUMÁRIO
Frente 1 – Matemática I
Unidade 1
Unidade 2
Unidade 3
Unidade 4
Unidade 5
Unidade 6
Unidade 7
Unidade 8
Unidade 9
Unidade 10
Números e conjuntos.................................................................................................................
Grandezas proporcionais e porcentagem I..............................................................................
Grandezas proporcionais e porcentagem II.............................................................................
Função e função polinomial de primeiro grau I.......................................................................
Função e função polinomial de primeiro grau II......................................................................
Função polinomial de segundo grau I.......................................................................................
Função polinomial de segundo grau II......................................................................................
Função modular..........................................................................................................................
Exponencial e logaritmo I..........................................................................................................
Exponencial e logaritmo II..........................................................................................................
01
02
03
05
05
07
08
09
10
10
Frente 2 – Matemática II
Unidade 1
Unidade 2
Unidade 3
Unidade 4
Unidade 5
Unidade 6
Unidade 7
Unidade 8
Unidade 9
Unidade 10
Matrizes e determinantes...........................................................................................................
Sistemas lineares I......................................................................................................................
Sistemas lineares II.....................................................................................................................
Estatística....................................................................................................................................
Combinatória I.............................................................................................................................
Combinatória II............................................................................................................................
Probabilidade I.............................................................................................................................
Probabilidade II............................................................................................................................
Progressões I...............................................................................................................................
Progressões II..............................................................................................................................
12
12
13
14
15
15
16
16
17
18
Frente 3 – Matemática III
Unidade 1
Unidade 2
Unidade 3
Unidade 4
Unidade 5
Unidade 6
Unidade 7
Unidade 8
Unidade 9
Unidade 10
Geometria plana I........................................................................................................................
Geometria plana II.......................................................................................................................
Geometria de posição e poliedros.............................................................................................
Geometria espacial: prismas e cilindros I................................................................................
Geometria espacial: prismas e cilindros II...............................................................................
Geometria espacial: pirâmides e cones I..................................................................................
Geometria espacial: pirâmides e cones II.................................................................................
Geometria espacial: esferas e inscrição de sólidos................................................................
Números complexos I.................................................................................................................
Números complexos II................................................................................................................
19
19
20
21
22
23
24
24
25
26
Frente 4 – Matemática IV
Unidade 1
Unidade 2
Unidade 3
Unidade 4
Unidade 5
Unidade 6
Unidade 7
Unidade 8
Unidade 9
Unidade 10
Trigonometria I............................................................................................................................
Trigonometria II...........................................................................................................................
Trigonometria III..........................................................................................................................
Geometria analítica I...................................................................................................................
Geometria analítica II..................................................................................................................
Geometria analítica III.................................................................................................................
Geometria analítica IV.................................................................................................................
Geometria analítica V..................................................................................................................
Polinômios e equações algébricas I..........................................................................................
Polinômios e equações algébricas II.........................................................................................
27
27
28
30
30
31
31
31
32
33
Frente 1 – Matemática I
Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas inscritas
serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério:
todos os grupos deverão ter a mesma quantidade de
pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um
mesmo sexo. Nessas condições, se grupos distintos
deverão visitar bairros distintos, o menor número de
bairros a serem visitados é 41.
Unidade 1 – Números e conjuntos
Questão 01
São feitas as seguintes afirmações:
IV. Se A = {x  IR; –1 < x < 2} e B = {x  IR; 0  x < 3}, o
conjunto A  B é o intervalo [0; 2[
I. O menor valor de x para que o número 2x+1.5.33.7 seja
divisível por 216 é 3
II. Se -3 < x < -1 e 2 < y < 3 então
2
XY
A)
B)
C)
D)
E)
é menor que zero
III. O número x = 2aa3c (onde 2, a, 3, c são os algarismos)
é divisível, simultaneamente, por 2, 3 e 5. O menor valor
de a + c é 5.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas II e II são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras
Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 03
IV. Você irá, de olhos fechados, colocar seu dedo sobre um
dos números da tabela abaixo (colunas e linhas com as
mesmas dimensões).
(ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma
campanha de doação de sangue em uma Universidade.
Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado
em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita
com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou
que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12
o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o
número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
12
1
40
25
33
13
2
41
26
34
14
3
42
27
35
15
4
43
28
36
16
5
44
29
37
A probabilidade de você colocar o dedo sobre um
número primo é de 30%.
A)
B)
C)
D)
E)
V. Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto
é o maior possível, então o dividendo é divisor de 258.
Associando C a afirmativa correta e E a afirmativa errada a
sequência obtida na ordem da numeração das afirmações
seria:
A)
B)
C)
D)
E)
20 alunos
26 alunos
34 alunos
35 alunos
36 alunos
Questão 04
(UDESC 2009) O que os brasileiros andam lendo?
CCCCC
ECEEC
CECEE
CCCEC
ECCEE
O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos
principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no
Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope
Inteligência, que também pesquisou o comportamento do
leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos
leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos
livros.
Questão 02
São feitas as seguintes afirmações:
(Fonte: Associação Brasileira de Encadernação e Restaure, adapt.)
I. Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto
dos divisores inteiros positivos do número 360, a
probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo
de 12 é 1/3
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas,
cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveramse os seguintes resultados: 100 pessoas leem somente
revistas, 300 pessoas leem somente livros e 150 pessoas
leem somente jornais.
II. No alto da torre de uma emissora de televisão, duas
luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira
“pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10
vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes
piscam simultaneamente, após 12 segundos elas
voltarão a “piscar simultaneamente”
Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros e
revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e jornais
e 40 leem revistas, jornais e livros.
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as
seguintes afirmações:
III. “A Dengue é uma doença causada por um vírus,
transmitida de uma pessoa doente para uma pessoa
sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se
manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás
dos olhos e dores nas costas – e, como não existem
vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de
prevenção é a única arma para combater a doença.”
I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos três meios
de comunicação citados.
II. 40 pessoas leem somente livros e revistas e não leem
jornais.
III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.
Assinale a alternativa correta.
Fonte (adaptado): prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html
A)
B)
C)
D)
E)
Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens
inscreveram-se como voluntários para percorrer alguns
bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população
sobre os procedimentos a serem usados no combate à
1
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Somente a afirmativa II é verdadeira.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Questão 05
Questão 02
(PUC)
Sejam as afirmações:
I. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes
de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa
própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e
automóvel. O percentual dos que não têm casa própria
nem automóvel é 70%
I. Um aumento de 100% significa dobrar e um aumento de
200% significa triplicar.
II. Em vez de aumentar o preço de uma barra de
chocolate, o fabricante decidiu reduzir seu peso em
16%. A nova barra pesa 420g. O seu peso original é
500g.
II. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de
um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles
apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham
problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum
dos tipos de problema citados. Então o número de
aparelhos que apresentavam somente problemas de
imagem é 3700
III. Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve
seu preço reduzido de R$5,52 para R$4.60.
Com R$126,96, a percentagem de tecido que se pode
comprar a mais é de 20%.
Atribuindo-se C para afirmação correta e E para afirmação
errada, a sequência correta para as três afirmações
anteriores é:
III. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três
programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e
Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas
assistem a esses programas.
Programas
E
N
H
EeN
EeH
NeH
E,N e H
Nenhum
A)
B)
C)
D)
E)
Número de
telespectadores
400
1220
1080
220
180
800
100
x
Questão 03
I. Um terreno retangular tem lados com 40m e 60m.
Nesse terreno vai ser construída uma casa térrea com
uma área total de 240m 2 de construção. A percentagem
de área livre desse terreno será de 90%.
II. Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês,
durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado
durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês.
No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$
234,00. O valor da quantia aplicada inicialmente foi de
R$ 150,00.
III. (ENEM) Uma pesquisa sobre orçamentos familiares,
realizada recentemente pelo IBGE, mostra alguns itens
de despesa na distribuição de gastos de dois grupos de
famílias com rendas mensais bem diferentes
O número de pessoas da comunidade que não assistem
a qualquer dos três programas é 200
A)
B)
C)
D)
E)
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente a afirmativa II é verdadeira.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente a afirmativa I e II são verdadeiras.
Todas as afirmativas são verdadeiras
Unidade 2 – Grandezas proporcionais e
porcentagem I
Questão 01
I. Uma escola forneceu para o ano letivo de 2004 a
redução de 25,6% na mensalidade vigente em 2003.
Assim, um aluno que pagou em 2003 a mensalidade de
R$ 700,00 pagou, em 2004, a mensalidade, no valor em
reais, de R$ 520,80
Considere duas famílias com rendas de R$400,00 e
R$6.000,00, respectivamente, cujas despesas variam de
acordo com os valores das faixas apresentadas. Nesse
caso, os valores, em R$, gastos com alimentação pela
família de maior renda, em relação aos da família de
menor renda, são, aproximadamente quatro vezes
maiores.
II. O preço do cento de laranja sofreu dois aumentos
consecutivos de 10% e 20% passando a custar R$ 5,28.
O preço do cento da laranja antes dos aumentos era de
R$ 4,00.
III. Um produto custava X e sofreu um aumento de 10% no
seu preço, em seguida sofreu uma redução de 10% no
seu preço, o produto custa agora X.
anteriores é:
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
2
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Questão 04
A premiação referente a cada
respectivamente 1540, 1100 e 700.
deles
vale
II. (UECE) Em uma Olimpíada, um país conquistou
medalhas de ouro, prata e bronze, totalizando 40
medalhas. Se as quantidades de medalhas de ouro,
prata e bronze são proporcionais, respectivamente, a
2,3 e 5, o número de medalhas de ouro conquistadas foi
8
I. Na semana que vem, Paulo deve fazer uma prova de
Matemática em que, dos 60 pontos distribuídos, ele
precisa de x. Se essa prova valesse 10 pontos, ele
precisaria tirar 7. Paulo precisa obter 42 de nota.
II. A maquete de um posto de gasolina traz um mini
shopping de conveniências cuja altura é de 50 cm. A
altura real deste mini shopping é de 40m, com janelas
de 3m de largura. A largura das janelas da maquete
deve ser de 3,75 cm.
III. (UNIFOR) O setor de limpeza da Universidade de
Fortaleza preparou um produto utilizando detergente e
água, nessa ordem, em quantidades diretamente
proporcionais a 3 e 8. Se, no preparo desse produto,
são usados 93 litros de detergentes, então a diferença
positiva entre as quantidades de água e de detergente
em litros é igual a 155.
III. Dois atletas partem de um mesmo ponto e andam em
uma mesma direção, um no sentido norte-sul e o outro
no sentido sul-norte. A distância entre eles após duas
horas de caminhada se o primeiro anda a 20 km/h e o
segundo anda a 25 km/h é de 90 km.
anteriores é:
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
um
A)
B)
C)
D)
E)
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Questão 02
Questão 05
I. No mapa do município de Anicuns, as distâncias em
linha reta entre a sede do município e Choupana e
entre Anicuns e Capelinha são, respectivamente, de
5,0 cm e 4,5 cm. Já a distância entre Choupana e
Capelinha corresponde a 6,5 cm.
I. Se o preço de uma pizza é proporcional à sua área e
se uma pizza gigante (com 52 cm de diâmetro) custa
R$ 22,80, uma pizza brotinho (com 16 cm de diâmetro)
custará R$ 2,15
II. Num concurso público o número total de pontos
máximo que um candidato poderia atingir seria de 120
pontos. Nesse concurso totalizei 90 pontos. Num outro
concurso público o total de pontos seria 80 pontos.
Para apresentar o mesmo rendimento que obtive no
primeiro eu deveria tirar 60 neste segundo concurso.
III. A razão entre os números (x+3) e 7 é igual à razão
entre os números (x-3) e 5. Nessas condições, o valor
de x é 18
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
Sabendo-se que a escala do mapa é de 1: 400 000, a
distância
real
entre as localidades é de
aproximadamente 20km, 18km e 26km
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
II. (Cesgranrio 2000) Quando o ouvido humano é
submetido continuamente a ruídos de nível sonoro
superior a 85dB, sofre lesões irreversíveis. Por isso, o
Ministério do Trabalho estabelece o tempo máximo
diário que um trabalhador pode ficar exposto a sons
muito intensos. Esses dados são apresentados a
seguir:
Unidade 3 – Grandezas proporcionais e
porcentagem II
Questão 01
Nível sonoro (dB): 85
Tempo máximo de exposição(h): 8
I. Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato
de futebol amador irão receber um prêmio de R$
3.340,00
rateados
em
partes
inversamente
proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o
campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas.
3
horas, e 4 aprendizes fazem 16 peças em 3 horas.
Então 2 profissionais e 3 aprendizes farão 48 peças em
2 horas
Observe-se, portanto, que a cada aumento de 5dB no
nível sonoro, o tempo máximo de exposição cai para a
metade. Sabe-se ainda que, ao assistir a um show de
rock, espectadores próximos às caixas de som estão
expostos a um nível sonoro de 110dB.
III. (Uel 1996) Um veículo percorre x/4 metros em y
segundos. Se sua velocidade média for mantida, então
em 40 minutos ele percorrerá 4x/5y km
anteriores é:
De acordo com as informações anteriores, a duração
máxima aceitável de um show de rock, para os
espectadores próximos às caixas de som, deveria de
ser de 30 min
A)
B)
C)
D)
E)
III. (Cesgranrio 2002) As escalas termométricas Celsius e
Fahrenheit são obtidas atribuindo-se ao ponto de fusão
do gelo, sob pressão de uma atmosfera, os valores 0
(Celsius) e 32 (Fahrenheit) e à temperatura de ebulição
da água, sob pressão de uma atmosfera, os valores 100
(Celsius) e 212 (Fahrenheit). A temperatura 40°C
corresponde a 98,4°F
Questão 05
I. (ENEM 2012) A resistência mecânica S de uma viga de
madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é
diretamente proporcional à sua largura (b) e ao
quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional
ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que
coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a
figura. A constante de proporcionalidade k é chamada
de resistência da viga.
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
CCE
CEE
ECE
EEC
CCC
CCE
CEE
ECE
EEC
CCC
Questão 03
I. (Unesp 94) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20
segundos. Admitindo que as gotas tenham sempre
volume igual a 0,2ml, o volume de água que vaza por
hora é 252 ml.
II. (Unicamp 91) Um pequeno avião a jato gasta sete
horas a menos do que um avião a hélice para ir de São
Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa a uma
velocidade média de 660km/h, enquanto o avião a
hélice voa em média a 275km/h. A distância entre São
Paulo e Boa Vista é 3300 km.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de
madeira é 𝑆 =
𝑥2
II. (Enem 2001) Um engenheiro, para calcular a área de
uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de
boa qualidade, recortou e pesou numa balança de
precisão, obtendo 40g. Em seguida, recortou, do mesmo
desenho, uma praça de dimensões reais 100m×100m,
pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08g.
Com esses dados foi possível dizer que a área da
cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente
5.000.000
III. (Unicamp 92) Um relógio foi acertado exatamente ao
meio dia. As horas e minutos que estará marcando esse
relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo
de 42° é 13h 24 min
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
𝑘𝑏𝑑2
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Questão 04
III. (ESPM 96) O gás carbônico é uma substância formada
de carbono e oxigênio na proporção 3/8 em peso. O
peso do oxigênio x contido numa quantidade de gás
carbônico que contém 36g de carbono é de 36 g
I. (Unesp 1993) Em certo município, foram vacinados
numa campanha 0,8 das crianças da zona urbana e 0,6
das crianças da zona rural da faixa etária indicada.
Tendo sido vacinados, 0,72 da população infantil total
dessa faixa etária, a relação entre o número de crianças
da zona urbana e da zona rural desse município, nessa
faixa de idade é 3/2
anteriores é:
II. (Cesgranrio 1994) 3 profissionais fazem 24 peças em 2
4
A)
B)
C)
D)
E)
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Questão 04
I. A função f(x) = 2x é ímpar
II. A função f(x) = x2 -1
III. A função f(x) = x2 – 5x + 6
Unidade 4 – Função e função polinomial de
primeiro grau I
anteriores é:
Questão 01
A)
B)
C)
D)
E)
I. Se uma função é bijetora, então é ela sobrejetora.
II. Toda função injetora é bijetora.
III. Uma função afim do tipo f(x) = ax + b, com a0, com
domínio e contradomínio nos reais é bijetora.
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Questão 05
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
Observe os gráficos e analise as afirmações I, II e III.
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
Questão 02
I. Uma função real f é tal que f  x   f ( x ) . Se f(32) =
4
4
400, então f(2) = 100
II. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², então f(g(x)) =-2x2 +
5
III. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, então f(x) = 32x - 3
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em
cursos tecnológicos, comparado com 2001, foi maior
que 1000%.
CCE
CEC
ECE
EEC
CCC
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos
tecnológicos que no ano anterior.
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no
curso tecnológico presencial e à distância foi de 2 para
5.
Questão 03
É correto o que se afirma em:
A)
B)
C)
D)
E)
I. O domínio da função 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 é x  2
5
II. O domínio da função 𝑓(𝑥) =
éx1
III. O domínio da função 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
√𝑥−2
√3−𝑥
é {x ∈ IR | 2 ≤ x < 3}.
I e II, apenas.
II, apenas.
I, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.
anteriores é:
Unidade 5 – Função e função polinomial de
primeiro grau II
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 01
CCE
CEC
ECE
EEC
ECC
I. (PUC-BH) A função R(t) = at + b expressa o rendimento
R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é
5
contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas
condições, o rendimento obtido nessa aplicação, em
quatro meses é 5000.
II. (ENEM-2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios
e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia
peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil,
em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas
plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam
para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Observe
o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o
ano de 2007
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região
metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o número
de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de
A)
B)
C)
D)
E)
24500.
25000.
220500.
223000.
227500.
Questão 03
(ENEM) Nos processos industriais, como na indústria de
cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir
elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de
elevação dessa temperatura deve ser controlado, para
garantir a qualidade do produto final e a economia no
processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é
programado para elevar a temperatura ao longo do tempo
de acordo com a função
De acordo com as informações, 4 bilhões de sacolas
plásticas serão consumidas em 2011.
III. (PM SC 2011) Duas empresas A e B têm ônibus com 50
assentos. Em uma excursão para Balneário Camboriú,
as duas empresas adotam os seguintes critérios de
pagamento:
A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma
taxa fixa de $400,00
A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma
taxa fixa de $250,00.
O número mínimo de excursionistas para que o contrato
com a empresa A fique mais barato do que o contrato da
empresa B é 38
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno,
em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos,
decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a
temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura
for 200°C.
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
CCE
CEC
ECE
EEC
ECC
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em
minutos, igual a
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
(ENEM 2010) Os dados do gráfico seguinte foram gerados a
partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões
metropolitanas pelo Departamento Intersindical de
Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).
100
108
128
130
150
Questão 04
I. O saldo de contratações no mercado formal no setor
varejista da região metropolitana de São Paulo registrou
alta. Comparando as contratações deste setor no mês
de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve
incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605
trabalhadores com carteira assinada.
6
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010
(adaptado).
Unidade 6 – Função polinomial de segundo grau I
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor
varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros
meses do ano.
Considerando-se
que
y
e
x
representam,
respectivamente, as quantidades de trabalhadores no
setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro,
fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão
algébrica que relaciona essas quantidades nesses
meses é y = 872005 + 4300x
Questão 01
I. (UFPE 2002) Suponha que o consumo de um carro
para percorrer 100km com velocidade de x km/h seja
dado por C(x)=0,006x²-0,6x+25. O consumo será
mínimo se a velocidade for de 48 km/h.
II. (UFJF 2003) Um ônibus de 54 lugares foi fretado para
uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro
a quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago.
O número de passageiros que dá à empresa
rentabilidade máxima é 16
II. (Vunesp) Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa
fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar
uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa
fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo
máximo de duração de uma festa, para que a
contratação de Daniel não fique mais cara que a de
Carlos é 4 horas.
III. (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por
y=x2-mx+(m-1), onde m é um número real, tem um
único ponto em comum com o eixo das abscissas.
Então, o valor de y que essa função associa a x=2 é 1
III. (PUC-SP) Às 8 horas de certo dia, um tanque, cuja
capacidade é de 2 000 litros, estava cheio de água;
entretanto, um furo na base desse tanque fez com que a
água por ele escoasse a uma vazão constante. Sabendo
que às 14 horas desse mesmo dia o tanque estava com
apenas 1760 litros, determine após quanto tempo O
tanque atingiu a metade da sua capacidade total após
25 horas
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
IV. A inversa de f(x)= 2x+3/(3x-5) é y = 5x+3/(3x-2)
Assinale a alternativa que contém
afirmativas corretas.
A)
B)
C)
D)
E)
todas
as
CCE
CEC
ECE
EEC
ECC
Questão 02
I e II
II e III
III e IV
I, II e IV
I, III e IV
I. (UFRJ 2003) José pergunta ao Valdir: - Aquela bola que
o jogador do Flamengo chutou, naquela falta contra o
São Paulo na final da Copa dos Campeões, seguiu uma
trajetória com forma de parábola? - Não, respondeu
Valdir, pois a bola foi batida com muito efeito. Um
exemplo de parábola seria uma bola chutada para frente
e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do
ar. Considerando o comentário de Valdir, se uma bola
fosse chutada para frente e para cima, sem efeito e
desprezando-se a resistência do ar, atingindo altura
máxima no ponto (2,4), como representado no gráfico
abaixo, a distância (d), em metros, à partir da origem, do
ponto em que a bola toca o chão pela primeira vez depois
de ser chutada, equivale a 3 m.
Questão 05
I. (PUC-RIO 2008) A soma dos números inteiros x que
satisfazem 2x + 1 ≤ x +3 ≤ 4x é 3.
II. (UFRS) Tem-se (x+2) (x - 1) < 0 se e somente se x < -2
III. (EEM-SP) Uma empresa produz trufas de chocolate,
cujo custo de fabricação pode ser dividido em duas
partes: uma independentemente da quantidade
vendida, de R$ 1500,00 mensais; outra depende da
quantidade fabricada, de R$ 0,50 por unidade.
Sabendo-se que o preço de venda de cada unidade é
de R$ 1,50. A quantidade de unidades a serem
vendidas para que a empresa não tenha prejuízos é
maior ou igual a 1500.
IV. (PUC-SP) O menor número inteiro K que satisfaz a
inequação 8 – 3 (2k – 1) < 0 é 2.
Assinale a alternativa que contém
afirmativas corretas.
A)
B)
C)
D)
E)
todas
as
II. (Cesgranrio) O diretor de uma orquestra percebeu que,
com o ingresso a R$9,00 em média 300 pessoas
assistem aos concertos e que, para cada redução de
R$1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de
100 espectadores. O preço para que a receita seja
máxima é R$ 5,00.
I e II
II e III
III e IV
I, II e IV
I, III e IV
III. (Faap) Supondo que no dia 5 de dezembro de 1995, o
Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha
informado que a temperatura na cidade de São Paulo
atingiu o seu valor máximo às 14 horas, e que nesse dia
7
a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo "t"
medido em horas, dada por f(t)=-t2+bt-156, quando 8 < t
< 20. O valor de b é 28.
Unidade 7 – Função polinomial de segundo grau II
Questão 01
anteriores é:
A)
B)
C)
D)
E)
I. A solução de (3x – 1)(x + 1) ≥ 0 são todos os números
reais tais que – 1 ≤ x ≤ ⅓.
CCE
CEC
ECE
EEC
ECC
II. O conjunto solução da inequação (x – 2)² < 2x – 1,
considerando como universo o conjunto dos reais, está
definido pelos números reais tais que 1 < x < 5.
III. A solução de 3x² + 10x + 7 < 0 é –7/3 < x < –1
Questão 03
IV. Se k é um número real diferente de 2, então a equação
(k - 2)x2 - 3kx + 1 = 0 sempre terá raízes reais distintas.
(ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir
correspondem às concentrações de uma substância
química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo
que a linha que passa pelos três pontos experimentais é
uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após
2,5 segundos é:
V. (FGV) A função f, de IR em IR, dada por f(x)=ax2-4x+a
tem um valor máximo e admite duas raízes reais e
iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a 2
Tempo (s)
1
2
3
A)
B)
C)
D)
E)
Assinale a alternativa que contém todas as afirmativas
corretas.
A)
B)
C)
D)
E)
Concentração (moles)
3,00
5,00
1,00
3,60
3,65
3,70
3,75
3,80
I e II
II e III
III e IV
I, II e IV
I, III e IV
Questão 02
(CESPE) Dada a inequação
x+2
x-2
> - 3, é CORRETO afirmar
que o seu conjunto solução é:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 04
(FAAP) A água que está esguichando de um bocal mantido
horizontalmente a 4 metros do solo descreve uma curva
parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a
corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos
primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a
figura a seguir:
x<1
(1, 2)
(-∞ , 1) ∪ (2, +∞ )
(-∞ , 1] ∪ [2, +∞ )
x>-5
Questão 03
(Cesgranrio) Qual é o menor valor inteiro que satisfaz a
desigualdade apresentada a seguir?
9𝑥 + 2(3𝑥 − 4) > 11𝑥 – 14
A)
B)
C)
D)
E)
-2
-1
0
1
2
Questão 04
Podemos expressar y como função de x:
A)
B)
C)
D)
E)
x+3
y = -x² + 4x + 10
y = x² - 10x + 4
y = (-x²/10) + 10
y = (-x²/100) + 10x + 4
y = (-x²/100) + 4
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 05
(UCSal) Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função
quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa
função, então:
A)
B)
C)
D)
E)
2x
(Cespe-IMA) Dada a inequação
- 1 > , quais das
2
3
alternativas abaixo apresenta uma solução inteira maior que
zero e menor que 10?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
1, 2, 3, 4.
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
1 e 2.
8 e 9.
Questão 05
(Consuplan 2008) Segundo as previsões de um jornal
econômico, o PIB anual de um país(Y) em bilhões de
dólares daqui a X anos poderá ser calculado pela
expressão:
o seu valor máximo é 1,25
o seu valor mínimo é 1,25
o seu valor máximo é 0,25
o seu valor mínimo é 12,5
o seu valor máximo é 12,5.
8
y=
4 2
x - 8x + 80
5
Questão 03
(UFCE) Sendo f(x) = |x²-2x|, o gráfico que melhor
representa f é:
Para quais valores de X, o PIB anual desse país
ultrapassará 140 bilhões de dólares?
A)
B)
C)
D)
E)
x > 15
x>5
x < 15
x<5
x > 10
A)
Unidade 8 – Função modular
Questão 01
I. (Cesgranrio) O conjunto Imagem da função f(x)=|x24x+8|+1 é o intervalo [5, + ∞ [
B)
II. (Ufrn) Considere a região S dos pontos (x, y) do plano
cartesiano tais que |x| ≤ 1/2 e |y| ≤ 1/2. A região S tem
1 unidade de área.
III. (Ufrn) Um posto de gasolina encontra-se localizado no
km 100 de uma estrada retilínea. Uma automóvel parte
do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindose a uma cidade a 250km do ponto de partida.
C)
D)
Num dado instante, x denota a distância (em
quilômetros) do automóvel ao km 0. Nesse instante, a
distância (em quilômetros) do veículo ao posto de
gasolina é |x -100|.
IV. A soma das soluções de |2x - 1| = 3 é -1
V. Resolvendo |x+1| = 3x + 2 encontramos como solução 1/2
E) Uma parábola
VI. Resolvendo |2x + 1| < 3 encontramos como solução
inteira e não negativa somente o número 0(zero).
Questão 04
VII. A solução de |4x-3| > 5 é S = {x ∈IR/ x<-1/2 ou x>2}
(Unitau) Se x é uma solução de |2x -1| < 5 -x, então:
O número de afirmações verdadeiras é:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
Questão 05
Questão 02
(Ufpe) Na figura a seguir temos o gráfico de uma função
f(x) definida no intervalo fechado [-4, 4]. Com respeito à
função g(x) = f(|x|) é incorreto afirmar
(UTP) As raízes reais da equação |x|2 + |x| - 6 = 0 são tais
que:
A)
B)
C)
D)
E)
5 < x < 7.
2 < x < 7.
-5 < x < 7.
-4 < x < 7.
-4 < x < 2
a soma delas é – 1.
o produto delas é – 6.
ambas são positivas.
o produto delas é – 4.
a diferença entre elas é 1
9
IV. O gráfico da função possui uma assíntota horizontal em
y = 2 e outra vertical, que não foi representada no
gráfico.
V. O valor de f(-1) é igual a 4.
Pode-se afirmar que estão ERRADAS:
A)
B)
C)
D)
E)
A) O ponto (-4, -2) pertence ao gráfico de g.
B) O gráfico de g é simétrico com relação ao eixo 0y das
ordenadas.
C) g(x) se anula para x igual a -3, -1, 1 e 3.
D) g(-x) = g(x) para todo x no intervalo [-4, 4].
E) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [-4, 4]
I, II e III
II, III e IV
III, IV e V
IeV
II e IV
Questão 03
(PUC-RS) Se f(x) = log x, então f(x) + f(1/x) é igual a:
Unidade 9 – Exponencial e logaritmo I
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 01
Questão 04
10
I. O valor da metade de 2
é igual a 210 .
2/3
multiplicado por (8
x
0,5
)⁄(4
a)10
b) f(x²)
c) – f(x)
d) 1
e) 0
(CEUB
2015
adaptado)
Dada
a
função
f(x) = log5 (5x + 3) - log5 (3x - 1), se f(x) = 1, então x é igual a:
)
A)
B)
C)
D)
E)
x
II. Os gráficos das funções f(x) = 3 e g(x) = (1/3) são,
respectivamente, decrescente e crescente.
III. Os gráficos das funções f(x) = 3x e g(x) = (1/3)x se
interceptam no ponto (1; 0).
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
IV. O valor da expressão log 4 + log 50 - log 20 é igual a 10.
Questão 05
V. Sendo y = 100log x e sendo x e y números reais
positivos, então y = x².
(ITA-SP) A soma das raízes reais positivas da equação
4x ² - 5 . 2x ² + 4 = 0 é igual a:
Pode-se afirmar que estão corretas:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
I, II e III
II, III e IV
III, IV e V
IeV
II e IV
2
5
√2
1
√3
Unidade 10 – Exponencial e logaritmo II
Questão 02
Questão 01
(UFOP-MG - adaptado) Seja a função f dada por
-x
f(x) = a + b.2 , cujo gráfico está representado a seguir:
(Unifor-CE - adaptado) Na figura abaixo têm-se os gráficos
da função exponencial f(x) = bx e de sua função inversa
g(x) = logb x.
I. O valor de “a”, na função f(x) = a + b.2 - x, é igual a 2 e
representa a assíntota da função f.
II. O gráfico da função é decrescente porque o valor de “b”
é negativo.
I. O valor de “b” é igual a 2.
II. O gráfico de f indica que f(1/2) = -1.
III. A função inversa de uma função exponencial é uma
função logarítmica.
III. O valor de “b”, na função f(x) = a + b .2 - x, é igual a 1.
10
IV. Quando g(x) = 3, temos x = 8.
V. A função f não admite valores negativos no seu conjunto
imagem, assim como a função g não admite valores
negativos no seu conjunto domínio.
Questão 05
(UCB 2015 – adaptado) Em um tanque, a população de
peixes cresce de acordo com a expressão N(t) = a.ebt , em
que 𝑎 e b são constantes positivas, a letra 𝑒 é a base do
sistema de logaritmos naturais e t é dado em dias. Se, em
determinado dia, a população era de 100 indivíduos e, 10
dias depois, era de 200, a população 30 dias depois da
primeira contagem era de:
Pode-se afirmar que está ERRADA:
A)
B)
C)
D)
E)
I
II
III
IV
V
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
(UFSCar) A altura média do tronco de certa espécie de
árvore, que se destina à produção de madeira, evolui,
desde que é plantada, segundo o modelo matemático:
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1), com h(t) em metros e t em anos.
Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco
atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do
momento da plantação até o do corte foi de:
A)
B)
C)
D)
E)
9
8
5
4
2
Questão 03
(UnB – PAS 2 2014 – adaptado) Em determinado
município, o número de casos de dengue (N) pode ser
expresso por N = N(t) = No .2 k t, em que t é o tempo, em
dias, e No e k são constantes positivas. O número de casos
de dengue aumentou de 20, em t = 0, para 1280, em t = 24.
Então o número de casos de dengue no referido município,
para t = 32 dias foi de:
A)
B)
C)
D)
E)
2560
5120
10240
20480
40960
Questão 04
(Fuvest-SP) A curva que segue representa o gráfico da
função y = log10 x, para x > 0. Assim sendo, a área da
região hachurada, formada pelos dois retângulos, é:
A)
B)
C)
D)
E)
log10 2
log10 3
log10 4
log10 5
log10 6
11
300
400
600
800
900
Frente 2 – Matemática II
Unidade 1 – Matrizes e determinantes
Questão 01 - Considere as matrizes A = [1 2] ,
4 5
6 2 1
B = [3 4 5] e C = [cij] tal que cij = i - j. A partir das
3x3
1 2 1
afirmações abaixo, assinale a melhor alternativa:
5
I. A = [ 43
-1
3
O produto da matriz [air bag modelo] pela matriz
[modelo-quantidade] é [1 600]. Quantos veículos do modelo
3 600
C foram montados na semana?
2
3
],
1
A)
B)
C)
D)
E)
onde A-1 é a matriz inversa de A.
-3
1 3 6
II. Bt = [2 4 2] , onde Bt é a matriz transposta de B.
1 5 1
5 -5 -15
III. B × C = [8 0 -8 ].
7
IV. det C = 0 .
A)
B)
C)
D)
E)
0
Questão 04
(Cefet-MG) Seja A = (aij ) a matriz quadrada de ordem 3,
onde:
-7
2i - 3, se i < j
Todas as afirmações estão corretas.
Apenas a primeira está correta.
As afirmações I, III e IV estão corretas.
Apenas a segunda está correta.
Nenhuma afirmação está correta.
aij =
O valor do determinante de A é:
A)
B)
C)
D)
E)
(UFF-RJ) Um dispositivo eletrônico usado em segurança
modifica a senha escolhida por um usuário de acordo com o
procedimento descrito abaixo:
-57
-19
0
19
57
Questão 05
A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígitos,
representados por S1, S2, S3 e S4. Esses dígitos são, então,
transformados nos dígitos M1, M2, M3 e M4, da seguinte
forma:
(Fuvest-SP) Uma matriz real 𝐴 é ortogonal se AAt = I, onde
I indica a matriz identidade e At indica a transposta. Se
1
A= [ 2 x] é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:
y z
M
S
M1
S
) = P ( 1 ) e ( 3 ) = P ( 3 ) , onde P é a matriz (0 1).
M2
M4
S2
S4
1 0
(Atenção: lembre-se de que se a2 = 4, então a = ±2)
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é,
M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a
senha escolhida pelo usuário foi:
A)
B)
C)
D)
E)
{ i - j, se i = j
i + j, se i > j
Questão 02
(
300
200
150
0
100
A) 1
B)
0011
0101
1001
1010
1100
C)
√3
4
1
2
D) 3
E)
Questão 03
3
2
(Faap-SP) Uma montadora produz três modelos de
veículos, A, B e C. Neles podem ser instalados dois tipos de
air bags, D e E. A matriz [air bag modelo] mostra a
quantidade de unidades de air bags instaladas:
Unidade 2 – Sistemas Lineares I
Numa determinada semana, foram produzidas as
seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz
[modelo-quantidade]:
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
Questão 01
(Fuvest SP – adaptada) Carlos e sua irmã Andreia foram
com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá
encontraram uma velha balança com defeito, que só
indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim,
eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes
marcas:
Carlos e Andreia pesam 123 kg;
Andreia e Bidu pesam 66 kg.
I. Carlos pesa 75kg
12
II. Andreia pesa 57kg
III. Bidu pesa 17kg
A)
B)
C)
D)
E)
Alternativas:
A)
B)
C)
D)
E)
Somente I é verdadeira
Somente I e II são verdadeiras
Somente II e III são verdadeiras
Todas são incorretas
Todas são corretas
R$ 5,00 e R$ 3,00
R$ 6,40 e R$ 4,20
R$ 5,50 e R$ 4,00
R$ 5,30 e R$ 4,50
R$ 6,00 e R$ 4,00
Unidade 3 – Sistemas Lineares II
Questão 01
Julgue os itens:
Questão 02
(Vunesp – adaptada) Um clube promoveu um show de
música popular brasileira ao qual compareceram 200
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor
arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram
ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e
que cada sócio pagou metade desse valor.
I. O sistema {
kx + y + z = 1
II. Para qualquer “k” ∈ R, o sistema {x + ky + z = 1 tem
x + y + kz = 1
solução
I. No show estavam presentes 120 sócios
II. No show estavam presentes 90 não sócios
x+y=1
ax - by = 5
{
e {
x - 2y = -5
ay - bx = -1
equivalentes, então a² + b² é igual a 9
III. Se
Marque a alternativa correta:
A)
B)
C)
D)
x - 2y + 3z = 0
deve ter solução não nula
3x - 7y - 2z = 0
Apenas I está correta
Apenas II está correta
Todas estão corretas
Todas estão incorretas
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 03
Na matriz abaixo, resolvendo seu determinante, qual será o
resultado obtido?
os
sistemas
são
Apenas I é correto
Apenas II é correto
Apenas III é correto
Todas são corretas
Questão 02
2x + 3y = 5
(UFPA) O sistema {
é determinado. Então
2x + 3ay = 7
podemos concluir que:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
1
sen x
sen² x
sen³ x
Todas estão incorretas
A é qualquer valor real
A=0
A=1
A≠0
A≠1
Questão 03
(PUC-SP) Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e
a + c = 1500, então a + b + c vale:
Questão 04
(PUCRIO-03) Assinale a afirmativa correta.
A)
B)
C)
D)
E)
O sistema:
3800
3300
2700
2300
1900
Questão 04
O sistema abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
Não tem solução
Tem solução única x = 1, y = 0, z = 0
Tem exatamente duas soluções
Tem uma infinidade de soluções
Tem uma solução com z = 1
Questão 05
A)
B)
C)
D)
E)
(UFC 2003) Se um comerciante misturar 2 kg de café em
pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um
tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se
misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do
tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os
preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do
café do tipo II são respectivamente:
É impossível;
É possível e determinado;
É possível e indeterminado;
Admite apenas a solução (1; 2; 3);
Admite a solução (2; 0; 0)
Questão 05
Considere o sistema linear e as afirmações abaixo:
13
2x + my = -2
x + y = -1
{
y + z + 2w = 2
z-w=1
Questão 03
(UFPR) Em um levantamento feito numa sala de aula de
um curso da UFPR, verificou-se que a média das idades
dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse
levantamento foram considerados apenas os anos
completos e desconsideradas todas as frações (meses,
dias, etc). Passadas algumas semanas, a coordenação do
curso verificou que um aluno havia desistido e que a média
das idades caiu para 20 anos. Como nesse período
nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade
do aluno que desistiu?
I. Para que o sistema tenha uma única solução m ≠2
II. Para que o sistema não tenha solução m = 1
III. Para m = 2, o valor de 2x + y – z – 2w é igual a -4.
Julgue as alternativas:
A)
B)
C)
D)
E)
Apenas I está correta
Apenas I e II estão corretas
Apenas I e III estão corretas
Apenas II e III estão corretas
Nenhuma está correta
A)
B)
C)
D)
E)
Unidade 4 – Estatística
37 anos
25 anos
29 anos
33 anos
41 anos
Questão 04
Questão 01 – A tabela abaixo mostra o número de gols por
partida marcados pelo Náutico em um campeonato de 38
jogos. A respeito dos dados fornecidos e das sentenças
abaixo, assinale a melhor alternativa:
(FGV-SP adaptada) A tabela abaixo representa a
distribuição de frequência dos salários de um grupo de 50
empregados de uma empresa, em certo mês.
Gols por partida Frequência de jogos
4
2
3
6
2
12
1
10
0
8
(Para agilizar as contas, use calculadora)
O salário médio e a variância dos salários nesse mês
foram, respectivamente:
I.
II.
III.
IV.
A moda dos gols é 2.
A média dos gols é 1,58.
A mediana dos gols é 2.
O desvio padrão dos gols, usando o valor da média com
duas casas decimais, é 1,15.
V. A variância dos gols, usando o valor da média com duas
casas decimais, é 1,33.
(Use calculadora para o cálculo da variância)
A)
B)
C)
D)
E)
R$ 2400 e 826530,6
R$ 2200 e 805421,2
R$ 2640 e 778924,3
R$ 3100 e 896522,0
R$ 2850 e 728332,4
Questão 05
A)
B)
C)
D)
E)
Apenas as afirmações I, II e III estão corretas
Apenas as afirmações I e III estão corretas
Apenas as afirmações I, II, III e IV estão corretas
Todas as afirmações estão corretas
Nenhuma afirmação está correta
(Fuvest adaptada) Numa classe com vinte alunos, as notas
do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima
para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se
que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das
notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos
aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o
professor verificou que uma questão havia sido mal
formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os
alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou
a ser 80 e a dos reprovados 68,8. A partir dessas
informações, assinale a melhor alternativa:
Questão 02
(UFPI) O histograma abaixo apresenta as alturas de trinta
atletas de uma equipe de futebol.
A) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 80,5
e com a atribuição dos pontos 3 alunos deixaram de
estar reprovados.
B) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 72,2
estar reprovados.
C) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 77,5
e com a atribuição dos pontos nenhum aluno deixou de
estar reprovado.
D) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 72,2
e com a atribuição dos pontos todos os alunos foram
aprovados.
E) A média dos alunos antes dos 5 pontos extras era 74,4
estar reprovados.
Com esses dados, podemos concluir que a média das
alturas dos atletas é aproximadamente:
A)
B)
C)
D)
E)
1,58m
1,65m
1,74m
1,81m
1,92m
14
de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não tem
preferência. De quantos modos os passageiros podem se
sentar, respeitando-se as preferências?
Unidade 5 – Combinatória I
Questão 01
A)
B)
C)
D)
E)
Para ir de um ponto A para um ponto B, uma pessoa pode
tomar 4 caminhos diferentes, enquanto para ir do ponto B
para o ponto C existem 6 caminhos possíveis (qualquer
caminho de A para C, ou vice-versa, passa
necessariamente por B). Com base nesses dados analise
as informações abaixo:
42.000
39.200
45.500
51.000
43.200
Unidade 6 – Combinatória II
I. Se uma pessoa quiser ir de A até C e voltar a A sem
utilizar, no percurso de volta, qualquer trecho do trajeto
utilizado na ida, então ele dispõe de 360 maneiras
diferentes de fazer esse caminho.
II. Se a pessoa quiser fazer o percurso de ida e volta de A
a C, podendo repetir na volta o mesmo caminho entre B
e C usada na ida, mas não o caminho usado de A a B,
então o número possível de trajetos é 524.
III. Admitindo que os caminhos de B até C estejam
numerados de 1 a 6 e que a pessoa queira fazer o
percurso de A até C e voltar até B, sem repetir na volta
os números pares do trecho B a C, então o número de
trajetos é 52.
Questão 01
Dado A = {1,2,3}
Quantos conjuntos de 2 elementos distintos podemos
formar a partir de A?
A)
B)
C)
D)
E)
3
2
9
6
12
Marque a alternativa correta:
Questão 02
A)
B)
C)
D)
E)
Ao término de uma conferência, cada um dos presentes
cumprimentou os demais com um aperto de mão uma única
vez. Quantas pessoas estavam presentes se, ao todo,
tiveram 1.225 apertos de mão?
Somente I é verdadeira
Somente II é verdadeira
Somente I e II são verdadeiras
Todas são verdadeiras
Todas são falsas
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
Para controlar o estoque de uma padaria, são colocadas
etiquetas nos produtos. Para cada etiqueta é assinalada um
número de 4 algarismos que não tem algarismos
adjacentes iguais. O total de etiquetas desse tipo que
podem ser emitidas é:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 03
No Brasil as placas de carro possuem o formato: AAA 0000,
ou seja, três letras na frente seguidas de quatro algarismos.
Detalhe: a legislação brasileira não permite a existência de
placas com 4 algarismos 0.
4.608
5.184
6.561
8.100
9.000
Dada a informação, quantas placas de carro diferentes
podem ser feitas no país?
Questão 03
A)
B)
C)
D)
E)
Em quantos modos diferentes podemos dividir um grupo de
seis pessoas em dois grupos de 3?
A)
B)
C)
D)
E)
20
30
18
22
33
175.760.000
175.742.424
175.777.576
174.870.000
Nenhuma das anteriores
Questão 04
Em uma primeira fase de um campeonato cada jogador
joga 1 vez contra todos os demais. Nessa fase foram
realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
Questão 04
A)
B)
C)
D)
E)
De quantas maneiras diferentes podemos dividir um grupo
de nove pessoas em três grupos de três?
A)
B)
C)
D)
E)
50
49
62
73
57
200
240
250
280
300
50
78
20
13
25
Questão 05
Um clube resolve fazer uma sessão de cinema. Para isso,
os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos
um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles
decidem que três desses filmes, que são de ficção
científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse
Questão 05
Um vagão de trem tem 10 bancos individuais, sendo 5 de
frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar
15
caso, o número de maneiras diferentes que se pode fazer a
programação dessa semana é:
A)
B)
C)
D)
E)
III. p4 =
2
5
A respeito dos itens acima marque a opção correta:
720
1040
360
540
Nenhuma das anteriores
A)
B)
C)
D)
E)
Apenas I é correta
Apenas II é correta
Apenas III é correta
Apenas II e III são corretas
Unidade 7 – Probabilidade I
Questão 04
Questão 01 – Julgue os itens a seguir:
(PUC-SP 2010) Um aluno prestou vestibular em apenas
duas Universidades. Suponha que, em uma delas, a
probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto
na outra, pelo fato de a prova ter sido mais fácil, a
probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas
condições, a probabilidade deque esse aluno seja aprovado
em pelo menos uma dessas Universidades é de:
I. Escolhendo ao acaso uma peça de um jogo de dominó
comum, a probabilidade de que a peça escolhida tenha
dois números iguais é de
7
28
.
II. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52
1
cartas, a probabilidade de que ela seja de copas é de .
5
A)
B)
C)
D)
E)
III. Retirou-se uma carta de um baralho comum de 52
cartas e obteve-se uma dama. Retirando-se outra carta
a probabilidade de ser outra dama é de
1
17
.
78%
68%
70%
60%
58%
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 05
Apenas I é correta
Apenas I e II são corretas
Apenas I e III são corretas
Apenas II e III são corretas
Ao dar um tiro, a probabilidade de um certo atirador acertar
o alvo é de 0,6. Se esse atirador der quatro tiros
consecutivos, calcule a probabilidade desse atirador acertar
o alvo. Desconsidere a parte fracionária, caso exista:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
Numa urna há uma bola numerada com o número 1, duas
bolas numeradas com o número 2, três bolas numeradas
com o número 3, e assim sucessivamente até n bolas com
o número n.
Unidade 8 – Probabilidade II
Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Admitindo-se que
todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem
escolhidas julgue os itens:
Questão 01
Considere dois dados, um honesto e outro viciado, sendo
que, no viciado a probabilidade de ocorrer o número “6” é
igual a 0,5 e os demais números têm a mesma
probabilidade de ocorrer. Com base nisso, julgue os itens:
I. Para n = 5, a probabilidade de que o número da bola
retirada seja primo é de
11
15
.
II. Se n é par e n ≥ 2, então a probabilidade de que o
número seja par é de
n+2
2(n+1)
100%
92%
89%
97%
78%
I. Escolhendo-se um dos dados ao acaso, a probabilidade
.
de ocorrer o número 4 é de
III. Se n é ímpar e n ≥ 3, então a probabilidade de que o
número da bola retirada seja par é de
n-1
2n
II. Escolhendo-se um dos dados ao acaso e se efetuam
dois lançamentos, obtendo-se, nos dois lançamentos, o
número 6. Nessas condições, a probabilidade de que o
.
Acerca das informações acima, é correto afirmar que:
A)
B)
C)
D)
E)
dado escolhido seja o viciado é de
Todas são corretas
Apenas a I é verdadeira
Apenas I e II são verdadeiras
Apenas II e III são verdadeiras
A)
B)
C)
D)
E)
.
Apenas I é correta
Apenas II é correta
Todas são corretas
n.d.a
Questão 02
Considere o espaço amostral S = {a1, a2, a3, a4} e a
distribuição de probabilidades pi = p({a1}) = ki, ∀ i ∈
{1,2,3,4}. Com base nisso julgue:
(PUC-RIO 2010) Quatro moedas são lançadas
simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa
em uma só moeda?
1
II. p1 + p2 + p3 + p4 =
9
10
Questão 03
I. a constante k vale 5
1
15
A) 1/8
B) 2/9
1
2
16
C) 1/4
D) 1/3
E) 3/8
Pode-se afirmar que as alternativas corretas são:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 03
(UFMG 2008) Considere uma prova de Matemática
constituída de quatro questões de múltipla escolha, com
quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é
correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo,
aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é
CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato
acertar, nessa prova, exatamente uma questão é:
A)
B)
C)
D)
E)
I, II e III
I, III e V
II, III e IV
II, IV e V
I, IV e V
Questão 02
I.
II.
III.
IV.
O 61º termo da P.A (9, 13, 17, 21, ...) é 253.
1
A razão da P.A (a1, a2, a3, ...) em que a1 = 2 e a8 = 3 é 7
O número de termos da P.A (4, 7, 10, ..., 136) é 45.
A soma dos 80 primeiros termos da P.A (6, 9, 12, 15,
18...) é 9960.
V. O número de termos da P.A, cujo primeiro termo é 1, o
último termo é 157 e a soma dos seus termos é 3160, é
50.
27
64
27
256
9
64
9
Pode-se afirmar que as alternativas erradas são:
256
9
A)
B)
C)
D)
E)
81
Questão 04
I e II
II e III
III e IV
IV e V
IeV
(FUVEST 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com
faces numeradas de 1 a 6, serão lançados
simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados
dois números consecutivos, cuja soma seja um número
primo, é de:
Questão 03
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
(MACK-SP) O produto das raízes da equação
x² + 2x – 3 = 0 é a razão de uma PA de primeiro termo 7. O
100º termo dessa PA é:
2/9
1/3
4/9
5/9
2/3
-200
-304
-290
-205
-191
Questão 05
Questão 04
(UFPR 2010) Em uma população de aves, a probabilidade
de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está
doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é
1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser
devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade
de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser
devorada por predadores é de:
(PUC-RS) Na sequência definida por an =
10 primeiros termos é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
B)
A)
1%
2,4%
4%
3,4%
2,5%
5n - 1
2
, a soma dos
53
2
265
2
C) 53
D) 265
E) 530
Unidade 9 – Progressões I
Questão 05
Questão 01
Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A
partir da segunda hora, os preços caem em progressão
aritmética. O valor da segunda hora é R$ 4,00 e o da
sétima é R$ 0,50. Quanto gastará o proprietário de um
automóvel estacionado 5 horas nesse local?
I. A razão da P.A ( -5, -10, -15, ...) é 5.
II. A sequência numérica ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) é uma
P.A.
III. A razão da P.A (x, x+2, x+4, ...) é 4.
IV. Uma sequência numérica infinita (a1, a2, a3, ..., an, ...) é
tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n² + 6n. O
quarto termo dessa sequência é igual a 13.
V. O milésimo número ímpar positivo é 1999.
A)
B)
C)
D)
E)
17
R$11,80
R$17,80
R$18,00
R$18,70
R$20,00
despeja seu conteúdo na primeira. Volta à torneira e repete
a operação para cada roseira seguinte. Após regar a última
roseira e voltar à torneira para deixar o balde, ele terá
andado:
Unidade 10 – Progressões II
Questão 01
I. O 15° termo da PG (256, 128, 64, 32, ...) é
A)
B)
C)
D)
E)
1
64
II. A soma dos onze primeiros termos da PG (2, 4, 8...) é
4094.
III. A sequência numérica (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma P.G.
IV. A sequência definida por
 a1  4
para n  N *

a

3

a
n.
 n 1
é uma P.G de razão 3.
V. Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último
termo é 375. O primeiro termo dessa PG é 3.
Pode-se afirmar que as alternativas corretas são somente:
A)
B)
C)
D)
E)
I, II e III
II, III e V
III, IV e V
I, II e IV
Todas são corretas
Questão 02
(Cefet-MG) A sequência (m, 1, n) é uma progressão
aritmética e a sequência (m, n, – 8) é uma progressão
geométrica. O valor de n é:
A)
B)
C)
D)
E)
-2
-1
3
4
8
Questão 03
A soma dos termos de uma PG é expressa por Sn = - 3 +
3n + 1. A razão da progressão é:
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
6
√2
√6
Questão 04
(UFRGS) Numa progressão aritmética de razão 1/2, o
primeiro, o sétimo e o décimo nono termo formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos
é:
A)
B)
C)
D)
E)
17
18
19
20
21
Questão 05
(Osec-SP) Um jardim tem uma torneira e dez roseiras
dispostas em linha reta. A torneira dista 50 m da primeira
roseira e cada roseira dista 2 m da seguinte. Um jardineiro,
para regar as roseiras, enche um balde na torneira e
18
1200 m
1180 m
1130 m
1110 m
1000 m
Frente 3 – Matemática III
Unidade 1 – Geometria Plana I
Questão 01
Considerando a figura e as afirmações abaixo, assinale a
melhor alternativa:
Para essa situação, a razão
A)
B)
C)
é igual a:
√2
2
1
2
D) 2
III. Δ ABD ~ Δ ACE
IV. O segmento AH (altura do triângulo ACE) vale 7,2cm
E)
A)
B)
C)
D)
E)
AB
√3
2
I. O segmento BC tem comprimento igual a 8cm
π
II. O ângulo β vale rad
6
AM
√2+1
2
Questão 05
Apenas as afirmações I, II e III estão corretas
Apenas a primeira afirmação está correta
Apenas as afirmações I, III e IV estão corretas
Um campo retangular tem o perímetro de 780m. A diferença
entre o comprimento e a largura é de 150m. Qual é a área
desse terreno em hectares?
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
(Fuvest) Na figura adiante, AB = AC, BX = BY e CZ = CY.
Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo XYZ mede:
3,24 hm2
2,33 hm2
32,4 hm2
23,3 hm2
0,324 hm2
Unidade 2 – Geometria Plana II
Questão 01
A partir da figura e as sentenças, assinale a melhor
alternativa:
A)
B)
C)
D)
E)
40°
50°
60°
70°
90°
Questão 03
(PUC-RS) Para medir a altura de uma árvore, foi usada
uma vassoura de 1,5m verificando-se que, no momento em
que ambas estavam em posição vertical em relação ao
terreno, a vassoura projetava uma sombra de 2m e a
árvore, de 16m. A altura da árvore é:
A)
B)
C)
D)
E)
I.
II.
III.
IV.
V.
3m
8m
12m
15,5m
16m
Questão 04
Os ângulos α e β são ângulos inscritos
O ângulo α é central e β é tangente
O ângulo α é inscrito e β é central
π
Se α =
rad, então o ângulo β vale 72°
5
Para que um retângulo de lados L e 3L tenha a mesma
área que a circunferência da figura, então devemos ter
L ≅ 3,07cm
(Nessa questão use π = 3,14 rad)
(Cefet - MG) No triângulo ABC, um segmento MN, paralelo
a BC, divide o triângulo em duas regiões de mesma área,
conforme representado na figura abaixo:
A)
B)
C)
D)
E)
19
Apenas as afirmações III, IV e V estão corretas
Apenas as afirmações III e IV estão corretas
Apenas a afirmação II está correta
Questão 02
Unidade 3 – Geometria de posição e poliedros
(UFMG) Na figura abaixo, a circunferência tem centro O e o
seu raio tem a mesma medida do segmento BC. Sejam α a
medida do ângulo AÔD e β a medida do ângulo AĈD.
Questão 01
Na figura abaixo, as retas r, s, t, u, v, w, x, z são as que
contêm as arestas do cubo.
s
r
u
v
A relação entre α e β é:
y
t
w
x
z
A) α = 3β
B) α =
Com base na figura, julgue os itens a seguir:
5β
2
I.
II.
III.
IV.
V.
C) α = β
D) α =
2β
5
E) α = 2β
As retas r e t são paralelas.
As retas r e s são concorrentes.
As retas r e z são paralelas.
As retas r e w são reversas.
As retas u, t e w são perpendiculares.
Questão 03
Estão corretos:
(UFRS) Na figura abaixo, os segmentos AD e BC são
perpendiculares a AB:
A)
B)
C)
D)
E)
Os itens II e IV.
Os itens I, III e V.
O item IV.
Os itens II, III e V.
Todos os itens.
Questão 02
(Fatec-SP) Seja A um ponto pertencente à reta r, contida
no plano α. É verdade que:
A) existe uma única reta que é perpendicular à reta r no
ponto A.
B) existe uma única reta, não contida no plano α, que é
paralela à reta r.
C) existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao
plano α, que contêm a reta r.
D) existem
infinitos
planos
distintos
entre
si,
perpendiculares ao plano α, que contêm a reta r.
E) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no
plano α e que são paralelas à reta r.
Sabendo que a área do trapézio ABCD é igual ao dobro da
área do triângulo OAD, temos que a razão
A)
B)
C)
D)
E)
OB
OA
é igual a:
√2
√3
√2 - 1
√3 - 1
√3 - √2
Questão 04
Questão 03
(Unicamp adaptada) Um triângulo equilátero tem o mesmo
perímetro de um hexágono regular cujo lado mede 1,5m. O
comprimento dos lados do triângulo e a razão entre as
áreas do hexágono e do triângulo valem, respectivamente:
(Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando
não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de
arestas reversas num tetraedro, como o da figura abaixo, é:
A)
B)
C)
D)
E)
A
5cm e 5/2
3cm e 1/2
3cm e 3/2
1,5cm e 3/2
4cm e 2
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 05
Considere um setor circular de raio 6cm cujo ângulo central
mede 60°, a área e o comprimento do arco associado a
esse setor valem, respectivamente: (use π = 3,14 rad)
A)
B)
C)
D)
E)
6
3
2
1
0
D
B
C
Questão 04
6π cm2 e 6,28cm
100 cm2 e 12cm
3π cm2 e 5cm
2,2π cm2 e 6cm
10 cm2 e 4cm
(CESGRANRIO) Um poliedro convexo é formado por 80
faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices
do poliedro é:
A) 80
B) 60
20
C) 50
D) 48
E) 36
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 05
(PUC-SP) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e
30 arestas?
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 03
hexaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
tridecaedro
(ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhido um
poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um
cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo,
retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do
que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P,
então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.
Unidade 4 – Geometria espacial: prismas e
cilindros I
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores
que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?
Questão 01
A)
B)
C)
D)
E)
O prisma ABCDEF, abaixo, é formado por triângulos
equiláteros (por exemplo, ABC) como bases e quadrados
(por exemplo, ABDE) como faces laterais. A aresta DE
possui tamanho a.
(ENEM) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes
vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de
latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e
outra de altura desconhecida e raio de 3 cm,
respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida
do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a
medida do volume da lata que possui raio menor, V2.
B
F
E
D
6
8
14
24
30
Questão 04
C
A
0,5
1,0
2,0
3,5
8,0
3
Com base na figura, julgue os itens a seguir:
I. Trata-se de um prisma triangular, regular e reto.
6
III. O prisma possui 6 diagonais nas faces laterais e
nenhuma diagonal nas bases.
IV. O volume do prisma é
a3 √3
2
V. A área total do prisma é a2 (
A medida da altura desconhecida vale
√3
+3)
2
A)
B)
C)
D)
E)
Estão corretos:
A)
B)
C)
D)
E)
x
4
cm
II. Possui 5 faces, 6 vértices e 9 arestas.
Os itens II e IV.
O item IV.
Todos os itens.
8 cm
10 cm
16 cm
20 cm
40 cm
Questão 05
Em uma confeitaria, um cliente comprou um cupcake
(pequeno bolo no formato de um tronco de cone regular
mais uma cobertura, geralmente composta por um creme),
semelhante ao apresentado na figura:
Questão 02
(ENEM) Para resolver o problema de abastecimento de
água foi decidida, numa reunião do condomínio, a
construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem
formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e
estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m 3 de
água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual.
Após a inauguração da nova cisterna a antiga será
desativada.
Utilize 3,0 como aproximação para .
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna
para atingir o volume desejado?
21
Questão 02
(ENEM) Uma empresa necessita colorir parte de suas
embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que
possa colocar produtos diferentes em caixas distintas pela
cor, utilizando para isso um recipiente com tinta, conforme
Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um cubo branco,
tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a parte do
cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.
Como o bolinho não seria consumido no estabelecimento,
o vendedor verificou que as caixas disponíveis para
embalar o doce eram todas em formato de blocos
retangulares, cujas medidas estão apresentadas no quadro:
Embalagem
I
II
III
IV
V
Figura 1
Qual é a planificação desse cubo após submerso?
Dimensões
(comprimento x largura x altura)
8,5 cm x 12,2 cm x 9,0 cm
10 cm x 11 cm x 15 cm
7,2 cm x 8,2 cm x 16 cm
7,5 cm x 7,8 cm x 9,5 cm
15 cm x 8 cm x 9 cm
A)
A embalagem mais apropriada para armazenar o doce,
de forma a não deformá-lo e com menor desperdício de
espaço na caixa, é
A)
B)
C)
D)
E)
Figura 2
B)
I
II
III
IV
V
C)
Unidade 5 – Geometria espacial: prismas e
cilindros II
Questão 01
Na figura ao lado,
temos
um
cilindro
oblíquo e um prisma de
mesma altura (h) e
mesma área de base
(r2).
D)
Com base nisso, julgue
os itens a seguir:
E)
2
I.
II.
III.
IV.
O volume do cilindro é igual a hr .
Aplica-se, aos dois sólidos, o princípio de Cavalieri.
O volume do prisma é igual ao do cilindro.
Caso o cilindro fosse reto, teríamos sua área lateral
igual a 2hr.
V. O prisma possui 2 bases pentagonais, 5 faces laterais
quadrangulares, 15 arestas e 10 vértices.
Questão 03
(PUC-Campinas) Numa indústria, deseja-se utilizar
tambores cilíndricos para a armazenagem de certo tipo de
óleo. As dimensões dos tambores serão 30 cm para o raio
da base e 80 cm para a altura. O material utilizado na
tampa e na lateral custa R$ 100,00 o metro quadrado.
Devido à necessidade de um material mais resistente no
fundo, o preço do material para a base inferior é de R$
200,00 o metro quadrado. Qual o custo de material para a
confecção de um desses tambores sem contar as perdas
de material? Em seus cálculos, considere  = 3,14.
Estão corretos:
A)
B)
C)
D)
E)
Os itens II e IV.
O item IV.
Todos os itens.
22
A)
B)
C)
D)
E)
R$ 235,50
R$ 242,50
R$ 247,90
R$ 249,10
R$ 250,00
IV. Sendo M ponto médio de uma aresta da base AB, a
distância entre o vértice da pirâmide V e o ponto M é
V. A área lateral da pirâmide é
Questão 04
Estão corretos:
(Unicap-PE - adaptada) Por questões técnicas, pretendese substituir um reservatório, na forma de um cubo de 3
metros de aresta, por outro reservatório, na forma de um
cilindro circular reto. Os volumes devem ser iguais e a área
lateral do cilindro deve ser igual à área da superfície do
cubo. Nesse caso, julgue os itens a seguir:
A)
B)
C)
D)
E)
I.
II.
III.
IV.
V.
4
Os itens II e IV.
O item IV.
Todos os itens.
(Católica - adaptada) De um cone circular reto com raio da
base igual a 6 metros e altura igual a 1 metro foi retirada, a
partir do vértice e perpendicularmente à base, uma parte
correspondente a 72° do círculo da base, como na figura
apresentada.
Qual é o volume, em metros cúbicos, da parte restante do
cone? Adote o valor aproximado π = 3,14, e despreze a
parte os dígitos após a vírgula.
Todos os itens.
Apenas os itens I e IV.
Apenas os itens II e IV.
Apenas os itens I e V.
Apenas os itens I, III e IV.
72o
Questão 05
A)
B)
C)
D)
E)
(UF-RN - adaptada) Um fabricante de doces utiliza duas
embalagens, X e Y, para acondicionar seus produtos. A
primeira (X) tem formato de um cubo com aresta de 9 cm, e
a segunda(Y) tem formato de um cilindro reto cujas
medidas da altura e do diâmetro da base medem, cada
uma, 10 cm. Sendo assim, julgue os itens a seguir:
5
7
39
37
90
Questão 03
I. A área total da embalagem Y é 3/5 da área total da
embalagem X.
II. O volume total da embalagem Y é 3/4 do volume da
embalagem X.
III. A área total da embalagem X é menor que a área total
da embalagem Y.
IV. O volume da embalagem X é menor que o volume da
embalagem Y.
(Fatec-SP) As arestas laterais de uma pirâmide reta
medem 15 cm, e sua base é um quadrado cujos lados
medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é
igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Estão corretos:
A)
B)
C)
D)
E)
2
3√5
Questão 02
O raio da base do cilindro deve medir 1 metro.
A altura do cilindro deve medir 27 metros.
2 m2 deve ser a soma das áreas das bases.
(54 + 2)m2 deve ser a área total do cilindro.
Supondo que não há desperdício de material, a
construção do cilindro consome a mesma quantidade de
chapas de ferro que foi usada na construção do cubo.
Estão corretos:
A)
B)
C)
D)
E)
√5
Apenas os itens II e III.
Apenas o item II.
Apenas os itens I e III.
Apenas o item IV.
Apenas os itens I, III e IV.
3√5
3√7
2√5
2√7
√7
Questão 04
(U. F. Uberlândia-MG) Considere um cubo cuja aresta tem
comprimento igual a 1 cm. Sejam A, B, C, D os centros de
suas faces laterais e E, o centro de sua base, determine o
volume da pirâmide de vértice E, cuja base é o quadrilátero
ABCD.
Unidade 6 – Geometria espacial: pirâmides e
cones I
Questão 01
Observação: Considere que o centro de uma face é o ponto
de intersecção determinado pelas diagonais dessa face.
Em uma viagem ao Egito, Tales observou uma pirâmide
reta VABC cuja base é um quadrado de lado 1 e cuja altura
também é 1 (estádio). Julgue os itens a seguir.
A)
B)
I. A pirâmide referida é regular.
II. O volume da pirâmide é 1/3.
III. O raio da circunferência inscrita na base é 1.
C)
23
2
3
cm 3
1
12
1
3
cm 3
cm 3
D)
E)
√3
6
√3
3
do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser
escavada.
cm 3
Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
cm 3
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 05
(UF-RS) A figura ao lado representa a planificação de um
sólido. O volume desse sólido, de acordo com as medidas
indicadas, é:
Questão 03
(Faap-SP) Um copo de chope é um cone (oco) cuja altura é
o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o
copo está cheio até o nível da bebida ficar exatamente na
metade da altura do copo, a fração do volume total que
deixou de ser consumida é:
15
A)
B)
C)
D)
E)
180
360
480
720
1440
15
8
1,44
6,00
7,20
8,64
36,00
8
12
A)
B)
C)
D)
E)
12
3/4
1/2
2/3
3/8
1/8
Questão 04
Unidade 7 – Geometria espacial: pirâmides e
cones II
(UEL) Considere o tronco de uma pirâmide regular de
bases quadradas representado na figura ao lado. Se as
diagonais das bases medem 10√2 e 4√2, a área total desse
tronco, em centímetros quadrados, é:
Questão 01
Considere uma ampulheta formada por dois cones retos
iguais, cada um com raio r e altura h. Quando em
descanso, a areia ocupa exatamente o volume do cone
inferior da ampulheta. Quando em funcionamento, a areia
escorre do cone superior para o inferior. Com base nisso,
julgue os itens a seguir.
60o
A)
B)
C)
D)
E)
168
186
258
266
284
Questão 05
I. O volume de areia é
(ITA-SP) Seja uma pirâmide de base hexagonal e altura
10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um
plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide
obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?
π.r2.h
3
II. A geratriz de cada cone (g) é a hipotenusa de um
triângulo retângulo cujos catetos são r e h.
III. A área total do vidro da ampulheta é 2.π.r.(r + g).
IV. Com a ampulheta em funcionamento e a areia
ocupando no cone superior espaço até a metade da
altura, o volume de areia no cone inferior é igual a 7/8
do total.
V. Cada cone é formado pela rotação de um triângulo
retângulo de lados g (geratriz), h e r.
A)
B)
C)
D)
E)
2m
4m
5m
6m
8m
Unidade 8 – Geometria espacial: esferas e
inscrição de sólidos
Estão corretos:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 01
Os itens II e IV.
O item IV.
Todos os itens.
Uma laranja tem o formato perfeito de uma esfera de raio
5 cm, contendo 10 gomos iguais. Com base nisso, e
considerando  = 3, julgue os itens a seguir:
I. O volume da laranja é 500 cm3.
II. A área da casca da laranja é 300 cm 2.
III. Se cortarmos a laranja tirando uma tampa, ou seja,
fazendo uma secção plana, a 4 cm do centro,
obteremos uma calota de raio 3 cm.
IV. Cada gomo tem um volume de 50 cm 3.
V. Cada gomo tem uma área total de 105 cm 2.
Questão 02
(ENEM) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um
cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na
forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo
do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o
volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume
24
Estão corretos:
Questão 05
A)
B)
C)
D)
E)
(Cefet-MG) Uma pirâmide de base hexagonal é inscrita em
um cone, com altura h = 2 dm e base circular de raio r =
3 dm. O volume da pirâmide, em litros, é igual a:
Os itens II e IV.
O item IV.
Todos os itens.
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
(Católica – Adaptada) Uma estrutura esférica formada por
três circunferências de mesmo raio foi inscrita em um cubo.
Considere 𝒓 o raio da esfera e 𝒍 o lado do cubo. Com base
nesses dados, julgue os itens a seguir.
6π
12
6√3
9√3
27√3
Unidade 9 – Números Complexos I
Questão 01
I. O número complexo z = 3 + 5i possui parte imaginária
igual a 5i.
II. O número complexo z = -3i é um número imaginário
puro.
I.
𝑟=
II.
𝑙=
i
𝑙
III. Sendo i a unidade imaginária, (1 – i)-2 é igual a .
2
2
𝑟√2
IV. Sendo i a unidade imaginária, o valor de i10 + i-100 é
zero.
2
III. A esfera e o cubo possuem exatamente 4 pontos
comuns
IV. A razão entre a superfície da esfera e do cubo é
V. A razão entre o volume da esfera e do cubo é
4
V. O produto (5 + 7i) (3 – 2i) vale 1 + 11i.

6
3
A)
B)
C)
D)
E)
Assinale a alternativa correta
A)
B)
C)
D)
E)
Apenas os itens II e IV estão corretos.
Apenas os itens I e V estão corretos.
Apenas os itens II, III e IV estão corretos.
Apenas os itens I e IV estão corretos.
Apenas os itens I, IV e V estão corretos.
II, III e IV
I, III e V
II, IV e V
I, II e III
I, IV e V
Questão 02
(Unirio) Sejam z1 e z2 números complexos representados
pelos seus afixos na figura abaixo. Então, o produto de z1
pelo conjugado de z2 é:
Questão 03
(UE-RJ - adaptada) Sabe-se que três quartos da superfície
do planeta Terra são cobertos por água e um terço da
superfície restante é coberto por desertos. Considere o
planeta Terra esférico, com raio de 6.400 km e
use  igual a 3.
A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados,
é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
122,88
81,92
61,44
40,96
42,87
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 04
(Fuvest-SP) Numa caixa em forma de paralelepípedo retoretângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve
ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O
número de esferas iguais a essa que cabem juntas na caixa
é:
A)
B)
C)
D)
E)
19 + 10i
11 + 17i
10
-19 + 17i
-19 + 7i
Questão 03
(UFF 2009) No período da “Revolução Científica”, a
humanidade assiste a uma das maiores invenções da
Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o
número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572),
matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de
adição e multiplicação para os números complexos.
1
2
4
6
8
25
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica
uma afirmação incorreta.
D) I, IV e V
E) Todas estão corretas.
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
O conjugado de (1 + i) é (1 - i)
|1 + i| = √2
(1 + i) é raiz da equação z2 – 2z + 2 = 0
(1 + i)-1 = (1 – i)
(1 + i)2 = 2i
Considerando z = – 1 – i, de módulo 𝜌 e argumento 𝜃, é
falso dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
Questão 04
(Fatec) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número
complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss.
O afixo de z pertence ao 3º quadrante.
z . z̅ = 2
z2 = 2 . z̅ + 2
ρ3 = 8
tan θ = 1
Questão 03
(UEL) Seja z um número complexo de módulo 2 e
argumento principal 120º . O conjugado de z é:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 04
É verdade que:
A) O argumento principal de z é
B)
C)
D)
E)
(Vunesp) Seja o número complexo z = 10 + 10i, no qual i =
√1. A forma trigonométrica que representa este número é:
5π
6
A parte imaginária de z é i
O conjugado de z é √3 + i
A parte real de z é 1
O módulo de z é 4
π
π
2
π
2
π
A) 10 (cos +isen )
B) 10 (cos +isen )
4
π
4
π
C) 10√10 (cos +isen )
Questão 05
π
6
π
6
D) 10√2 (cos +isen )
(UEL) Seja o número complexo
z=
2 . i342
.
(1 + i)2
4
em que i é a unidade imaginária. Os números complexos x
e y que satisfazem essa equação são tais que a medida do
argumento principal de x + y é:
Questão 01
A)
B)
C)
D)
E)
I. O número complexo z = - 2 - 2i na forma trigonométrica
5π
5π
é 2√2 (cos + i.sen ).
4
4
II. O argumento do número complexo z = -2√3 + 2i é
III. O número complexo 2 (cos
11π
6
+ i.sen
11π
6
5π
3
.
) escrito na
forma algébrica é √3-i.
IV. Seja z o produto dos números complexos √3 + i e
3
2
(1+
√3i). Então, o módulo e o argumento de z são,
respectivamente, 6 e
2-i
4
(PUCSP) Considere a equação matricial
Unidade 10 – Números Complexos II
V. O quociente
2
π
Questão 05
Eixo imaginário
Eixo real
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
8+i
2
π
E) 10√2 (cos +isen )
A imagem de
z no plano complexo é um ponto do plano que pertence ao:
A)
B)
C)
D)
E)
2 - 2i√3
2 + 2i√3
-1 - i√3
-1 + i√3
1 + i√3
π
4
.
é igual a 3 + 2i.
A) I, II e III
B) I, III e V
C) II, III e IV
26
120º
135º
225º
240º
330º
Frente 4 – Matemática IV
A)
B)
C)
D)
E)
Unidade 1 – Trigonometria I
Questão 01
Questão 04
(U. F. Viçosa-MG) Na figura abaixo, os triângulos ABC e
̅̅̅̅, sendo
ADC são retângulos, com hipotenusa comum AC
ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4 cm.
I. Se um triângulo retângulo é isósceles, então possui dois
ângulos internos iguais cuja tangente é igual a 1.
II. Se um triângulo possui um ângulo reto além dos outros
dois ângulos internos, α e β, então sen α = cos β.
III. Um triângulo que possui lados que medem, em metros,
3, 4 e 5 é retângulo e a tangente de um de seus ângulos
é igual a 0,75.
IV. Se um triângulo retângulo possui um ângulo de 30° e
hipotenusa medindo 10 cm, então seus catetos medem
5 e 5√2 cm.
V. Observou-se que, ao escorar uma escada de 5 m de
comprimento exatamente no topo de um muro vertical, o
ângulo formado entre a escada e o solo (horizontal) é
igual a 60°. Então, esse muro tem 2,5 m de altura.
Se o cateto ̅̅̅̅
AD do triângulo ADC mede 2 cm, então o valor
de tg x é:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
100
200
300
400
500
I, II e III
II, III e IV
III, IV e V
IeV
II e IV
√7/4
√7
√7/2
√7/3
√7/7
Questão 05
(UCB 2014 – adaptado)
Questão 02
Analisando os itens:
I. Um avião de controle remoto decola de uma planície
horizontal e percorre uma trajetória retilínea que forma
com o solo um ângulo de 30°. Pode-se dizer que, ao
atingir 25 m de altitude, a distância percorrida pelo avião
será de 50 m.
II. Em uma área plana, há duas torres de alturas distintas e
distantes 14 m uma da outra. Uma haste metálica
retilínea de 28 m de comprimento conecta as torres
encostando uma de suas extremidades no topo de uma
das torres e a outra extremidade no topo da outra torre.
Pode-se dizer que, o ângulo de inclinação da haste em
relação à direção horizontal é igual a 60°.
III. No retângulo da figura cos α = 1/2.
Considere o triângulo com ângulos α, β e 135°, e lados 1/3,
5/3 e b, como na figura apresentada. Os ângulos α e β
estão medidos em graus e as medidas dos lados referemse a uma mesma unidade de comprimento. Julgue os itens
a seguir, admitindo que as medidas que neles aparecem se
referem às mesmas unidades usadas nessa figura.
I.
II.
III.
IV.
V.
sen α = √2/10.
tg α = 1/9.
(1/3)² = (5/3)² + b² - 2.(5/3).b.cos α.
b² = 1/9 + 25/9 – 2cos β.
α + β = 60°.
Pode-se afirmar que estão corretos:
A)
B)
C)
D)
E)
I e II
II e III
I e III
todos
nenhum
A)
B)
C)
D)
E)
I e II
I e III
II e III
II e IV
III e V
Questão 03
Unidade 2 – Trigonometria II
Uma menina está a 100 m de uma igreja e precisa inclinar a
cabeça 60° em relação à horizontal para avistar o sino no
topo de uma igreja. Quantos metros a menina precisa se
afastar do ponto em que está para que possa avistar o sino
inclinando sua cabeça apenas 30°?
Questão 01
I. Um triângulo possui dois lados que medem 1 cm e 3 cm.
O ângulo interno formado por esses lados vale 𝜋/3.
27
Pode-se concluir que o lado oposto a esse ângulo mede
√7 cm.
Questão 05
(ENEM 2015 – adaptado) Em relação aos produtos
sazonais, existem épocas do ano em que sua produção e a
sua disponibilidade nos mercados varejistas ora são
escassas, com preços elevados, ora são abundantes, com
preços mais baixos. A partir de uma série histórica,
observou-se que o preço P(x), em reais, do quilograma de
certo produto sazonal pode ser descrito pela função
II. Observam-se no triângulo abaixo a medida de dois de
seus lados e o valor de um de seus ângulos. O ângulo α
é obtuso. O valor de cos α é igual a −√7/2.
P(x)= 8 + 5 cos (
III. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa tem o dobro do
comprimento de um de seus catetos. Sendo α e β os
dois ângulos agudos desse triângulo retângulo, onde
α < 𝛽, então o valor de sen(α + 3β) é -1/2.
onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao
mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim
sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de
dezembro.
A)
B)
C)
D)
E)
πx - π
)
6
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é:
I e II
II e III
I e III
I, II e III
nenhum
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
Janeiro.
Abril.
Junho.
Julho.
Outubro.
Unidade 3 – Trigonometria III
I. É verdadeira a expressão:
cos (2π/3) + sen(3π/2) + tg(5π/4) = -1/2.
Questão 01
II. (CEUB 2014 – adaptado) A diferença entre o valor
máximo e o valor mínimo da função abaixo vale 25/14.
I. tg²x .cossec²x = tg²x + 1.
II. sen 75 . cos 15 = (2 + √3)/4.
y=
Sejam as identidades:
10
9 + 5sen(35x)
III.
sen 2x
1 + cos 2x
x
= tg x.
x
2
III. (Mackenzie-SP – adaptado) A soma dos valores
máximo e mínimo da expressão 2 + (2/3)cos²x é 14/3
IV. [sen (2) + cos (2)] =1 + sen x.
IV. Para todo número real x, a expressão cos x = 4k - 1 é
válida se, e somente se, k estiver no intervalo [0; 1/2]
V. cos4 x - sen4 x = 2cos2 - 1.
A)
B)
C)
D)
E)
V. (UA-AM – adaptado) Sabendo que sen x = 2/3 e que x
está no 1° quadrante, o valor de cotg x é √5/2
A)
B)
C)
D)
E)
I, II e III
II, III e IV
III, IV e V
todos
nenhum
Questão 02
Seja a função f(x) = 1 + 3sen(2x + π/4). O domínio (D), o
período (P) e a imagem (Im) de f(x) são, respectivamente:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 03
(Vunesp-SP) Se x é a medida de um ângulo em radianos e
π/2 < x < 3π/4, então:
A)
B)
C)
D)
E)
sen 2x > 0
cos 2x < 0
tg x > 0
sen x < 0
cos x > 0
Questão 04
(Cefet-MG) Assinale a alternativa FALSA:
A)
B)
C)
D)
E)
I, II e III
II, III e IV
III, IV e V
todas
nenhuma
cossec x = 50
tg x = 50000
cos x = 3/4
sen x = 1
sec x = 1/3
28
D= ℝ; P= 2π; Im= [-1; 1].
D= ℝ∗ ; P= π; Im= [-3; 3].
D= ℝ∗+ ; P= 2π; Im= [-2; 4].
D= ℝ; P= π; Im= [-1; 1].
D= ℝ; P= π; Im= [-2; 4].
Questão 03
(UCB 2015 - adaptado)
Os números reais “a” e “b” são tais que:
A)
B)
C)
D)
E)
b = 2a
a = 2b
a.b = 2
a – b = -1
2a + b = 0
Questão 05
(CEUB 2014) Considere a função f:[0; 2 π] → ℝ, definida
por:
f(x)=
x
-x
[sen ( ) + cos(x) +sen ( ) + cos(-x)]
2
2
2
O gráfico que melhor representa essa função f é:
A)
B)
C)
Com base nesses gráficos de
trigonométricas, pode-se afirmar que:
quatro
funções
D)
A) O gráfico I representa a função y = sen x
B) O gráfico II representa a função y = cos(2x).
C) O período da função representada no gráfico I é maior
que 6.
D) O gráfico III representa a função y = 2cos x.
E) O gráfico IV representa a função y = 3sen x.
E)
Questão 04
(UF-SE) Na figura abaixo, tem-se um esboço do gráfico da
função f, de ℝ em ℝ, definida por f(x) = a + b.cos x.
29
Unidade 4 – Geometria Analítica I
Unidade 5 – Geometria Analítica II
Questão 01
Questão 01
Dadas as assertivas abaixo, marque a opção que incluir
apenas as corretas.
apenas as corretas.
I. a distância entre os pontos A(3, 7) e B(1, 4) é 13.
II. um triângulo com vértices A(0, 5), B(3, - 2) e C(-3, -2) é
isósceles com perímetro igual a 17.
III. a equação 3x² + 3y² + 42x + 22y + 46 = 0 satisfaz um
ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(5, 3) é sempre
duas vezes a distância do ponto P ao ponto B(-4, -2).
I. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
A(3, 2) e B(-3, -1) é igual a 1/2.
II. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
L(2, -3) e T(-4, 3) é positivo.
III. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
P(3, 2) e H(3, -2) é igual a 2.
IV. o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos F(1,4) e G(3, 2) é negativo.
A)
B)
C)
D)
E)
I
II
III
I e II
I, II e III
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 02
I, II e III
II e III
I e IV
I, III e IV
I, II e IV
Um segmento de reta tem, em uma de suas extremidades,
o ponto A(-2, -2). Sabendo que M(3, -2) é o ponto médio
desse segmento, as coordenadas do ponto B(x, y) que é a
outra extremidade são:
Questão 02
A)
B)
C)
D)
E)
I. a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 6)
e B(2, -3) é 3x + y – 3 = 0.
II. a forma reduzida da equação da reta que passa pelos
pontos C(2, 7) e D(-1, -5) é y = 4x - 1.
III. a forma segmentária da equação 3x + 9y – 36 = 0 é
x/4 + y/4 = 1.
Dadas as assertivas abaixo, marque a que tiver apenas
opções corretas.
(8, 3)
(4, -2)
(8, -1)
(4, -1)
(8, -2)
Questão 03
A)
B)
C)
D)
E)
apenas as corretas.
I. os pontos A(0, 2), B(-3, 1) e C(4, 5) estão alinhados.
II. sabendo que P(a, b), A(0, 3) e B(1, 0) são colineares e
que P, C(1, 2) e D(0, 1) são colineares, as coordenadas
de P são (1/2, 3/2).
III. A(-1, 3), B(2, 4) e C(-4, 10) podem ser os vértices de um
mesmo triângulo.
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 03
Dadas as assertivas abaixo, marque a que tiver apenas
opções corretas.
I. a posição da reta 15x + 10y – 3 = 0 em relação à 9x +
6y - 1 = 0 é de paralelismo
II. as coordenadas do ponto de intersecção das retas x +
3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0 são P(2, -4)
III. quando duas retas forem perpendiculares, o produto do
coeficiente angular delas será igual a -1.
I
II
III
II e III
I, II e III
A) II
B) I e III
C) III
D) II e III
E) I, II e III
Questão 04
(UCP) A distância da origem do sistema cartesiano ao
ponto médio do segmento de extremos (-2, -7) e (-4, 1) é:
A)
B)
C)
D)
E)
3
2
-3
1
3√2
Questão 04
(PUC-SP - adaptado) A distância do ponto O(1,1) à reta t,
cuja equação é x + y - 3 = 0 é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 05
(FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3), o
baricentro (ponto de encontro das medianas) é:
A)
B)
C)
D)
E)
I e III
II e III
III
I e II
I, II e III
(1, 3/2)
(3/2, 1)
(3/2, 3/2)
(1, 5/3)
(0, 3/2)
3/√5
√3/2
√2
2
√2/2
Questão 05
As retas-suporte dos lados de um triângulo têm como
equações x + 2y - 1 = 0, y - 5 = 0 e x - 2y - 7 = 0. A área do
triângulo é:
30
A)
B)
C)
D)
E)
84,5
116
80
169
47
Unidade 7 – Geometria Analítica IV
Questão 01
(Fuvest) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de
coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação
(x – 1)2 + (y – 2)2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a
C em um ponto Q. Então a distância de P a Q é:
Unidade 6 – Geometria Analítica III
Questão 01
A)
B)
C)
D)
E)
Dada a equação reduzida da circunferência (x +3)² + (y –
1)² = 9, a equação geral da circunferência é:
A)
B)
C)
D)
E)
x² + y² + 5x – 4y + 1 = 0
x² + y² + 6x – 2y + 1 = 0
x² + y² - 8x – 14y + 1 = 0
x² + y² - 3x – 9y + 1 = 0
x² + y² + 6x + 4y + 1 = 0
Questão 02
(Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é
tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o
ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale:
Questão 02
Dada
a
equação
geral
da
circunferência
x² + y² - 2x + 4y – 4 = 0, o valor das coordenadas do centro
(x e y) e o valor do raio ao quadrado é respectivamente,
igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
1, -2 e 3
1, -2 e 9
-2, 1 e 3
3, 1 e -2
9, 1 e 3
(FAAP - adaptado) Unindo os pontos de intersecção da
circunferência de equação x² + y² - 4y - 4 = 0 com os eixos
de coordenadas, obteremos um quadrilátero. A área desse
quadrilátero é aproximadamente:
A equação da circunferência que tem como centro o ponto
G(3, 4) e passa pela origem é:
A)
B)
C)
D)
E)
x² + y² - 6x - 8y = 0
x² + y² - 4x - 8y - 25 = 0
x² + y² - 4x - 8y - 16 = 0
x² + y² - 8x + 4y = 0
x² + y² - 4x - 8y - 37 = 0
(UFRGS - adaptado) A reta r de equação x = 3 é tangente à
circunferência de equação x² + y² + 4x - 2y + k = 0. Nessas
condições, o valor de k é igual a:
Dada a equação de circunferência x² + y² + 6x – 8y = 0 e as
equações de reta 2x + y – 1 = 0, 3x + 4y +3 = 0 e
6x + 8y + 36 = 0, temos que a posição relativa entre as
retas e a circunferência são respectivamente:
A)
B)
C)
D)
E)
secante, tangente e exterior.
exterior, secante e secante.
exterior, secante e exterior.
secante, exterior e tangente.
secante, secante e tangente.
-20
5
10
-2
10
Questão 05
As circunferências de equação x² + y² - 2x + 2y – 10 = 0 e
(x - 1)² + (y – 1)² = 4 são:
Questão 05
A)
B)
C)
D)
E)
(UFBA – adaptado) O comprimento da corda determinada
pela intersecção da reta r, de equação x + y - 1 = 0, com a
circunferência de equação x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0 é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
21,3
14
14,2
11,2
11,3
Questão 04
Questão 04
A)
B)
C)
D)
E)
√5
2√5
5
3√5
10
Questão 03
Questão 03
A)
B)
C)
D)
E)
√15
√17
√18
√19
√20
4
2√2
√8
√2
2
exteriores, sem ponto comum.
tangentes internas.
secantes.
tangentes externas.
interiores, sem ponto comum.
Unidade 8 – Geometria Analítica V
Questão 01
Dadas as seguintes assertivas, são corretos os itens:
I. a equação da parábola com foco no ponto F(3, 0) e
diretriz de equação x = -3 é y² = 12x.
31
II. a equação da parábola com diretriz y = 3 e vértice (0, 0)
é x² = -12y.
III. a equação da parábola que tem foco no ponto F(1, 2) e
diretriz de equação x = - 2 é x² = 19x - 10.
IV. a equação da parábola que tem diretriz x = 2 e vértice
V(-1, -3) é (y+3)² = 12(x + 1).
II. x = 2 é raiz de P(x)
III. Para
que
P(x) ≡ T(x),
a = 1, b = 3, c = -8 e d = 1.
A)
B)
C)
D)
E)
V. O resto da divisão
IV.
I e III
I, III e IV
I e II
I, II e IV
I, II, III e IV
A)
B)
C)
D)
E)
A equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), (-2, 0) e
(0, 1) é:
resto
dessa
divisão
é
G(x)
Q(x)
é3
Apenas as afirmações I, III, IV e V estão corretas
Apenas as afirmações I, III e V estão corretas
Apenas as afirmações I e III estão corretas
Apenas a afirmação II está correta
(Unifesp) A divisão de um polinômio P(x) por um polinômio
G(x) tem q(x) = x3 + 3x2 + 5 como quociente e r(x) =
x2 + x + 7 como resto. Sabendo-se que o resto da divisão de
G(x) por x é 2, o resto da divisão de P(x) por x é:
x² + 4y² = 4
x² + (y²/4) = 1
2x² - 4y² = 1
x² - 4y² = 4
x² + y² = 4
A)
B)
C)
D)
E)
As excentricidades das elipses 4x² + 9y² = 36, 2x² + y² = 2 e
x² + 2y² = 50 são respectivamente iguais a:
√3/3, √3/2 e √5/2.
√3/3, √2/2 e √2/2.
√4/3, √2/2 e √9/2.
√3/3, √7/2 e √2/2.
√3/3, √7/2 e √5/2.
10
12
17
25
70
Questão 03
(PUC-Camp) Se o grau dos polinômios f, g, h são,
respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do polinômio:
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 04
Numa hipérbole de excentricidade igual a √5, os vértices
são os pontos A1(2, 0) e A2(-2, 0). As coordenadas do foco
são:
A)
B)
C)
D)
E)
o
Questão 02
Questão 03
A)
B)
C)
D)
E)
e
ter
r(x) = -14x + 22
Questão 02
A)
B)
C)
D)
E)
P(x)
= 3x2 - 2x + 7
G(x)
precisamos
g-hé1
f+hé6
f*gé7
3 * f é 12
g2 é 9
Questão 04
F1(5√5, 0) e F2(-5√5, 0).
F1(3√5, 0) e F2(-3√5, 0).
F1(2√5, 0) e F2(-2√5, 0).
F1(2, 0) e F2(-2, 0).
F1(3√5, 0) e F2(-3√5, 0).
(PUC PR) Na divisão do polinômio F(x) pelo binômio f(x), do
1° grau, usando o dispositivo de Ruffini, encontrou-se o
seguinte:
Questão 05
As coordenadas dos focos e as coordenadas dos vértices
da hipérbole equilátera de equação x² - y² = 25 são:
A)
B)
C)
D)
E)
Qual o dividendo dessa divisão?
F1(5√2, 0) e F2(-5√2, 0); A1(5, 0) e A2(-5, 0).
F1(5√3, 0) e F2(-5√3, 0); A1(3, 0) e A2(-3, 0).
F1(4√5, 0) e F2(-4√5, 0); A1(4, 0) e A2(-4, 0).
F1(4√3, 0) e F2(-4√3, 0); A1(4, 0) e A2(-4, 0).
F1(4√2, 0) e F2(-4√2, 0); A1(5, 0) e A2(-5, 0).
A)
B)
C)
D)
E)
Unidade 9 – Polinômios e equações algébricas I
x4 + 3x3 + 6x2 - 12x + 8
x4 - 2x3 + 4x2 - 4x + 8
x-2
x4 - 2x3 - 4x2 + 4x - 8
x4 - 2x3 - 4x2 + 4x + 8
Questão 05
Questão 01 – Considere os polinômios
(UFGO - adaptada) Considere os seguintes polinômios
p(x) = x4 - 13x3 + 30x2 + 4x - 40 e q(x) = x2 - 9x - 10. A razão
P(x) = 6x4 - x3 + 3x2 - x + 1
p(x)
s(x) = q(x) e a solução da inequação p(x) < 0 valem,
respectivamente:
G(x) = 2x2 + x - 3
T(x) = (a - 1)x5 + 2bx4 - x3 - (c + 5)x2 - x + d
A)
B)
C)
D)
E)
Q(x) = x + 2
Analise as sentenças abaixo e assinale a melhor
alternativa:
I. P(x) admite 4 raízes complexas
32
s(x) =
s(x) =
s(x) =
s(x) =
s(x) =
x2 − 4x + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ −1 < x < 10 e x ≠ 2}
x3 + x2 + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ −2 < x < 12}
x2 − 4x + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ −1 < x < 10}
x3 − 4x2 + 4 e S = {x ∈ ℝ ∣ x < 10 e x ≠ 2}
x2 + x − 1 e S = {x ∈ ℝ ∣ −1 < x < 10 e x ≠ 2}
Questão 04
Unidade 10 – Polinômios e equações algébricas II
(UFOP-MG) Um polinômio é da forma p(x) = x3 + bx2 +
cx + d. Considerando que p(x)é divisível por x2 − 1 e que o
gráfico da função polinomial p(x) passa pela origem, qual o
valor de p(x)?
Questão 01
Considere os polinômios P(x) = x3 + x2 - x + 2, G(x) =
x5 - 3x4 + 5x3 - 15x2 + 4x + m = 0 e Q(x) = 2x3 + x2 - 25x + 12.
II.
III.
IV.
V.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Sabendo que uma das raízes de P(x) é -2,
podemos dizer que as outras duas são
complexas não reais.
Se um polinômio de grau n tem 1, 𝑖 e 2𝑖 − 1
como raízes, então n = 3
Se um polinômio de grau n tem 1, i e 2i - 1
como raízes, então n ≥ 3
Sabendo que i e 2i são raízes de G(x), então
podemos dizer que m=-12
Q(x)possui 2 raízes racionais, uma positiva e
outra negativa
I.
Questão 05
(Unicamp - adaptada) As três raízes da equação x3 −
3x2 + 12x − q = 0, onde q é um parâmetro real, formam
uma progressão aritmética. A partir dessas informações,
podemos afirmar que:
A)
B)
C)
D)
E)
Apenas as afirmações I, II e V estão corretas
Apenas as afirmações I, III e V estão corretas
Apenas as afirmações I, III, IV e V estão corretas
Apenas a afirmação III está correta
Questão 02
(UERJ adaptada) As dimensões de um paralelepípedo
retângulo são dadas pelas raízes do polinômio P(x) = 3x3 −
13x2 + 7x − 1. Em relação a esse paralelepípedo, a sua
área total e seu volume total são, respectivamente:
A)
14
3
e
B) 2 e
C) 3 e
D)
E)
14
3
14
4
1
3
1
3
1
2
1
e
e
2
1
2
Questão 03
(Fuvest) O gráfico:
Pode representar a função f(x) =
A)
B)
C)
D)
E)
p(x) = x3 + 2x + 1
p(x) = x3 − x2 − x
p(x) = x3 + x2 − 3x + 4
p(x) = x3 − 1
p(x) = x3 − x
x (x - 1)
x2 (x2- 1)
x3 (x - 1)
x (x2 - 1)
x2 (x - 1)
33
q
q
q
q
q
=
=
=
=
=
−10 e 1, 3i e − 3i são raízes da equação
10 e 1, 1 − 3i e 1 + 3i são raízes da equação
5 e 1 e 3 são raízes da equação
10 e 1 e 3 são raízes da equação
−5 e 1, 1 − 3i e 1 + 3i são raízes da equação
Gabaritos: Frente 1
Gabaritos: Frente 3
Q. 1
Q. 2
Q. 3
Q. 4
Q. 5
Unidade 1
B
E
C
D
C
Unidade 1
Q. 1
Q. 2
Q. 3
Q. 4
Q. 5
Unidade 8
E
B
E
E
E
E
E
E
D
E
E
C
C
C
B
D
C
B
B
C
A
B
E
D
B
D
B
B
B
B
E
D
A
A
D
D
D
C
C
D
Unidade 2
A
E
E
E
E
Unidade 2
Unidade 3
E
B
E
B
A
Unidade 3
Unidade 4
B
C
E
E
E
Unidade 4
Unidade 5
B
D
D
E
E
Unidade 5
Unidade 6
D
D
D
E
E
Unidade 6
Unidade 7
B
C
B
D
A
Unidade 7
Unidade 8
E
D
A
E
E
Unidade 9
D
E
E
D
Unidade 10
B
B
B
A
C
Unidade 9
A
B
D
A
A
D
Unidade 10
B
D
C
E
C
Q. 1
Q. 2
Q. 3
Q. 4
Q. 5
B
E
B
Gabaritos: Frente 2
Gabarito: Frente 4
Q. 1
Q. 2
Q. 3
Q. 4
Q. 5
C
C
B
B
E
Unidade 1
A
D
Unidade 2
E
A
D
D
E
Unidade 2
C
D
B
E
D
Unidade 3
D
E
E
C
D
Unidade 3
D
E
C
E
A
Unidade 4
D
C
E
A
B
Unidade 4
C
E
D
D
E
Unidade 5
A
C
A
D
E
Unidade 5
C
D
B
E
A
Unidade 6
D
A
B
D
A
Unidade 6
B
B
A
E
D
Unidade 7
C
E
C
E
D
Unidade 7
D
A
E
A
C
Unidade 8
B
C
A
A
D
Unidade 8
D
A
B
C
A
Unidade 9
D
E
C
B
B
Unidade 9
A
C
C
E
A
Unidade 10
E
D
B
E
B
Unidade 10
C
A
D
E
B
Unidade 1
34

apostila de matemática

Transcrição

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