2.1.2 Principio de Bernoulli Essencialmente, o Princípio de Bernoulli

2.1.2
Princípio de Bernoulli
Essencialmente, o Princípio de Bernoulli é uma versão do Princípio da Conservação da Energia Mecânica
especializado ao caso de um ‡uido incompressível e não-viscoso em escoamento estacionário ao longo de uma
linha de ‡uxo (tubulação).
Theorem 1 Considere um ‡uido incompressível e não-viscoso em escoamento estacionário ao longo de uma
linha de ‡uxo (tubulação) com altura variável h.
Supondo que a aceleração da gravidade é constante ao longo da tubulação, então a velocidade v e pressão
p do ‡uido satisfazem a relação
v 2 + gh + p = cte:
2
Prova. Considere um instante de tempo t0 , duas seções transversais da linha de ‡uxo S1 e S2 de…nidas
pelos pontos r1 e r2 e a parte do ‡uido na linha de ‡uxo M que no instante t0 se encontra entre S1 e S2 .
Sejam A1 e A2 as áreas de S1 e S2 , respectivamente; denote1
vi = v (ri ) ; pi = pi (ri ) ; hi = h (ri ) ; i = 1; 2:
Assim, para uma variação de tempo t, o Princípio da Conservação da Energia implica que a variação da
energia mecânica2 de M é igual ao trabalho total exercido pelas forças externas que atuam em M entre t0 e
t0 + t:
2
(A2 v2 t) v22 + (A2 v2 t) gh2
2
(A1 v1 t) v12
(A1 v1 t) gh1
p2 A2 v2 t + p1 A1 v1 t:
Como o ‡uido é incompressível, vale
A2 v2 t = A1 v1 t:
Então
2
Tomando o limite
v22 + gh2
2
v12
gh1
p 2 + p1 :
t ! 0, segue
2
v22 + gh2 + p2 =
2
v12 + gh1 + p1 :
Isso prova que a quantidade “ v 2 =2 + gh + p” é independente do ponto da linha de ‡uxo, i.e., é constante.
1 Como
2 Nesse
o escoamento é estacionário, a velocidade e pressão do ‡uido não dependem do tempo.
caso, a energia mecânica é igual a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional.
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