s - ITA

AA-220
AERODINÂMICA NÃO
ESTACIONÁRIA
Soluções para flutuações prescritas do
escoamento
Prof. Roberto GIL
Email: [email protected]
Ramal: 6482
1
Flutuações no escoamento
Anteriormente assumimos o escoamento não perturbado.
Agora assume-se que o escoamento a uma velocidade V ( ou U)
possa variar de intensidade e direção no tempo, o que implicará
em uma resposta aerodinâmica do corpos sujeito a estas novas
condições de contorno:
Ou seja, da mesma forma que se assume como condição de
contorno uma variação das componentes normais ao aerofólio
devido ao se movimento, pode-se assumir também que ele pode
estar em estado estacionário, mas as velocidades normais
induzidas pelas flutuação representaria uma nova condição de
contorno para o problema.
E, com certeza, a resposta aerodinâmica será diferente mesmo
supondo padrões de movimento tanto do aerofólio como das
componentes de velocidades associadas às flutuações de mesma
natureza.
2
Rajadas do tipo senoidal
O primeiro tipo de flutuação, ou também conhecida como rajada
(inglês = gust) a ser investigado será por motivos lógicos aquela
que apresenta um padrão senoidal de flutuação das componentes
de velocidade.
Ao invés do aerofólio se mover, agora o escoamento apresenta
flutuações nas suas componentes de velocidade, diferentemente
do que se assumiu anteriormente, o escoamento é estacionário e
o corpo se move, tal como o problema de Thoedorsen.
3
Theodorsen e Sears
Comparando:
4
Formulando o problema:
Representando a rajada por:
Ou em um sistema fixo no corpo:
Podemos calcular pressão devido a rajada como:
5
Formulando o problema
Da pressão podemos calcular sustentação e momento:
Resultando em:
6
Função de Sears:
Chega-se a uma nova versão de função de deficiência de
sustentação conhecida como função de Sears:
Condição de contorno:
Sustentação:
A função de Sears é também uma combinação de funções
especiais de Bessel.
7
Função de Sears
Mapeamento complexo:
8
S(kg) e C(k)
Sears e Theodorsen:
9
Sears e Wagner
Carregamento decorrente da rajada senoidal:
Carregamento devido a uma variação e α:
De maneira análoga ao caso do aerofólio sujeito a uma súbita
variação em ângulo de ataque, chegamos a resposta a uma rajada
do tipo degrau aplicando transformadas de Fourier.
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O problema da rajada degrau
Küssner descreve o problema da entrada de um corpo (aerofólio) em
uma rajada de canto vivo de intensidade w0 , que representa a
velocidade vertical da rajada;
O encontro do aerofólio com a rajada pode ser representado através
da condição de contorno a pequenas perturbações, onde no caso, ao
invés de uma velocidade nula sobre o aerofólio, existirá a velocidade
w0=wg que está relacionada a condição de contorno que descreve o
aerofólio como:
∂z a
∂z a
+V
= wa ( x, t ) = −wg ( x, t )
∂t
∂x
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Funções de Küssner e Sears
Küssner e Schwartz (NACA-TM-991) tratam o problema do aerofólio
em movimento, separando a velocidade normal induzida (downwash)
em duas partes, uma devido a uma rajada de forma senoidal e a
outra associada a uma rajada de canto vivo. (Na realidade este
problema é conhecido como a solução geral de Küssner-Schwartz).
Desta separação surgem duas funções, uma denominada k2(s) que
corresponde à resposta indicial devido a uma onda unitária dada por:
V t

H  0 − x
 b

a qual representa a penetração em uma rajada de canto vivo.
A outra função corresponde a uma onda associada à velocidade
normal senoidal que se desloca do bordo de ataque ao bordo de fuga:
wg = w0e
i (ωt − kx )
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Rajada de Canto Vivo (Degrau)
Aplicando uma transformada de Fourier na expressão para o
carregamento devido a uma rajada senoidal temos:
fg(ω) é a transformada de Fourier de wg(t)
Note que k no momento é um argumento distinto do tempo, e a
transformada de Fourier só se aplica na função com dependência
temporal.
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Rajada de Canto Vivo (Degrau)
E de forma inversa, agora sim podemos usar o fato que a função
de Sears Cg(k) (S(kg)) é sim dependente de uma frequência que
será o argumento da relação integral que transforma a condição
de contorno da frequência para o tempo:
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Rajada de Canto Vivo (Degrau)
Vamos empregar os conceitos de admitância indicial, supondo
agira que exista um perfil de rajada do tipo degrau na forma:
Que a meia corda á dado por:
Aplicando a transformada de Fourier nesta nova condição de
contorno temos:
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Wagner e Küssner
Fazendo o paralelo entre as transformadas de Fourier para os dois
tipos de condição de contorno a degrau em a e a rajada de canto
vivo pode-se notar que:
Wagner
Küssner
16
Função de Küssner
Küssner:
17
Funções de Küssner e Sears
A sustentação resultante desta velocidade normal senoidal à qual o
aerofólio está submetido dada por: (solução de Schwartz)
{
}
LS = 2πρV0 w0 ei(ωt ) C ( k g )  J 0 ( k g ) − iJ1 ( k g ) + J1 ( k g )
Esta função ficou conhecida como função de Sears, pois a mesma foi
tabelada no trabalho de Sears "Some Aspects of Non-stationary Airfoil
Theory and its Pratical Applications", Journal of the Aeronautical
Sciences, Vol. 8,1941, pp. 104-108.
S ( k g ) = C ( k g )  J 0 ( k g ) − iJ1 ( k g ) + J1 ( k g )
O livro "The Theory of Aeroelasticity"
de Y. C. Fung, páginas 407-412 é uma
boa referência para conhecer as derivações
de Kussner-Schwartz e Sears
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Relação entre Küssner e Sears
O problema da rajada harmônica está relacionado ao problema da
rajada de canto vivo, assim como o problema de Theodorsen está
relacionado ao problema de Wagner, isto é, através de uma
transformada de Fourier.
Vamos supor que excita uma rajada com velocidade vertical wg, que:
0 , x ' > 0
wg = 
 w0 , x ' < 0
Fazendo a transformação entre os sistema fixo na atmosfera e o
sistema fixo no corpo temos:
x ' = x + b − V0t
x + b = x '+ V0t
t =t'
t =t'
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Relação entre Küssner e Sears
O encontro entre o bordo
de ataque da rajada
ocorre em t=t’=0, ou
seja, quando x’ = x+b.
Assim, no sistema de
coordenadas fixo no
aerofólio temos:
x+b

0 , V > t

0
wg = 
w , x+b < t
 0
V0
∞
Portanto, se quisermos
obter a transformada de
Fourier da função que
descreve a rajada temos:
wg (ω ) = ∫ wg ( x, t )e − iωt dt
−∞
= w0 ∫
∞
( x +b ) / V0
e
− iωt
w0 − iωt
dt =
e
−iω
∞
=
( x +b ) / V0
w0 − iω ( x +b ) / V0  w0 − ik − ik x b
=
=
e
e e
iω
iω
20
Relação entre Küssner e Sears
Mas lembre-se, o downwash responsável pelo carregamento
aerodinâmico a ¼ da corda é função da velocidade de rajada por:
E neste caso:
∂z a
∂z a
+V
= wa ( x, t ) = −wg ( x, t )
∂t
∂x
w0 −ik − ik x b
wa = − e e
iω
,
wa = −iω h − iωα ( x − ba ) − V0α
Todavia, existe uma solução para o carregamento devido a uma
rajada harmônica, conhecida como função de Sears, já apresentada
anteriormente:
{
}
LS = 2πρV0 w0 ei(ωt ) C ( k g )  J 0 ( k g ) − iJ1 ( k g ) + J1 ( k g )
21
Relação entre Küssner e Sears
O carregamento, reescrita no domínio da frequência é dada por:
w0 − ik − ik x b
LS = −2πρV0
e e
C ( k g )  J 0 ( k g ) − iJ1 ( k g )  + J1 ( k g )
iω
{
}
Realizando agora transformada para o domínio do tempo teremos
L(t):
1
LS ( t ) =
2π
∞
= ρV0bw0
∫
−∞
∫
∞
−∞
L (ω )eiωt dω =
{C ( k )  J ( k ) − iJ ( k ) + J ( k )} e
g
0
1
g
ik
g
1
g
− ik − iks
e
dk
= 2πρV0bw0ψ ( s ) = 2πρV0bw0 k2 ( s )
22
Relação entre Küssner e Sears
Onde
1
ψ (s) =
2π
∞
∫
{C ( k )  J ( k ) − iJ ( k ) + J ( k )} e
g
0
1
g
g
ik ( s −1)
ik
−∞
dk
É a função de Küssner, que pode ser escrita também como:
1
ψ (s) =
2π
1
g
S ( kg )
∞
∫
ik
−∞
e
ik ( s −1)
dk
Análoga à expressão ara a função de Wagner:
1
φ (s) =
2π
∞
C (k )
−∞
ik
∫
eiks dk
23
Funções de Küssner e Sears
Enquanto que a dedução para a parcela referente a rajada de
canto vivo é apresentada por Küssner em 1936, e a sustentação
resultante é dada por:
L2 = 2πρV0 w0 k2 ( s )
V0t
s=
→
b
Representa o quanto a rajada
penetra no aerofólio
Da mesma forma que a função de Wagner, a função de Küssner
não pode ser escrita atrás de uma forma algébrica explícita.
Portanto, ele também pode ser aproximada por:
k2 ( s ) = 1 − 0.500e −0.130 s − 0.500e − s
E as transformadas de Laplace das funções de Küssner e Sears,
estão relacionas entre si da mesma forma que as funções de
Wagner e de Theodorsen estão.
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Funções de Küssner e Sears
Também se pode obter uma resposta geral ao carregamento devido a
uma rajada arbitrária, através de uma integral de Duhamel:


s dwg (σ )
L ( s ) = πρ bV0  wg ( 0 )ψ ( s ) + ∫
ψ ( s − σ ) dσ 
0
dσ


De onde se pode obter a resposta a uma turbulência, por exemplo,
construída através da superposição de rajadas do tipo canto vivo
(degraus).
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Resumo (mudamos de s -> t’)
Movimentos arbitrários:
t ' dφ ( t '− σ )


l = πρ b  h + V0α − baα  + 2πρ bV0 Q ( t ') φ ( 0 ) + ∫
Q (σ ) d σ  ,
0
dt '


1
 dφ ( t ' )  
l ( s ) = 2πρ bV0  + L 
t ' = V0t b
  Q ( s )
 2
 dt '  
V0
s = sb
2
φ (0) =
1
2
1

l ( s ) = 2πρ bV0  + sφ ( s ) − φ ( 0 )  Q ( s ) = 2πρ bV0 sφ ( s ) Q ( s )
2

 0.5s 2 + 0.2808s + 0.01365 
1
0.165
0.355 l ( s )
= 2πρ bV0  2
φ ( s ) ≅ −
−

s
+
0.3455
s
+
0.01365
s s + 0.0455 s + 0.3 Q ( s )


26
Significado físico:
De uma sucessão de degraus unitários
pode-se construir a resposta a uma
movimento arbitrário, usando a integral
de Duhamel, que representa a soma de
vários degraus de amplitude infinitesimal
e são somados ao longo do tempo.
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E quanto as rajadas:
Küssner e Sears:


s dwg (σ )
L ( t ' ) = πρ bV0  wg ( 0 )ψ ( t ') + ∫
ψ ( t '− σ ) dσ 
0
dσ


0.5
0.5
ψ (s) ≅
+
s + 1 s + 0.13
1
ψ (s) =
2π
∞
∫
S ( kg )
−∞
ik
eik ( s −1) dk
S g ( k g ) = C ( k g )  J 0 ( k g ) − iJ1 ( k g )  + J1 ( k g )
De onde se obtêm a resposta a uma rajada qualquer.
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Significado físico:
Não é o aerofólio que se move, mas sim
ocorre uma perturbação no escoamento
médio de forma conhecida:
Sears - senóide
Küssner – degrau
Podemos generalizar da mesma forma que
fizemos com Wagner, usando uma integral
de Duhamel
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Flutuações da direção do
escoamento não perturbado
Assume-se que exista uma velocidade de perturbação, agora
alinhada com a direção do escoamento não perturbado:
Ref: Principles of Helicopter Aerodynamics
J.G. Leishman, 2nd Ed., Cap. 8.
Esta flutuação modificará a distribuição de vorticidade na esteira,
que será não mais convectada a uma velocidade uniforme.
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Flutuações da direção do
escoamento não perturbado
O efeito da velocidade de convecção da esteira não uniforme pode
ser modelado aproximadamente através de uma integração de
Duhamel, onde:
É o coeficiente de sustentação resultante no domínio do tempo,
assumindo um movimento arbitrário o qual inclui a dependência
da velocidade do escoamento alinhado com a corda com o tempo.
Exemplo:
onde λ é um coeficiente de proporcionalidade que representa a
fração entre a velocidade de perturbação e a não perturbada.
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