Dúvdas.TJ Coletânea de dúvidas dos alunos do “TJ” O presente

Transcrição

Dúvdas.TJ
Coletânea de dúvidas dos alunos do “TJ”
O presente material estará sempre em crescimento. Peça-o
periodicamente.
Envie sua dúvida, sempre uma de cada vez, com as alternativas e sem
anexos. Resolverei, enviarei a você e anexarei ao material.
SUCESSO !!
Bons estudos e....
Date: Wed, 25 Jul 2012 19:30:05 -0300
Subject: Ajuda com questão.
From: [email protected]
To: [email protected]
Oi professor Ivan, tudo bom? Estou fazendo os exercícios de matemática da apostila do
TJRS. Pode me ajudar com uma questão? É a seguinte:
Vinte e oito processos serão divididos entre "x" juízes, cabendo a cada um deles
"y" processos. Dessa forma, sobram 3 processos, mas se o número de juízes fosse
aumentado em 3 unidades, o número de processos que caberia a cada um seria de
2 unidades a menos que na situação anterior e ainda sobrariam 4 processos. Sendo
assim, o valor de X+Y é um número:
a) divisor de 2
b) divisor de 5
c) múltiplo de 3
d) múltiplo de 20
e) múltiplo de 5
Resolução: ( Raciocínio Matemático – Operações )
Olá. ( a primeira parte do texto já resolve a questão)
Observe que 28 dividido por x, dá y e sobram 3 processos.
Daí, x . y + 3 = 28
pense em dois números inteiros ( iguais ou diferentes ) que multiplicados entre si e
depois adicionados a 3, dá 28......quem ? quem?
1
Ora....5 e 5 !! ( 5 . 5 + 3 = 28 )
Daí, x = 5 e y = 5
Somando......x + y = 10
10 é múltiplo de 5 ( quer dizer, é divisível por 5 )......alternativa..."E"
Obs: Os números que multiplicados vão dar 25 poderiam ser o 1 e 25, mas há vários
juízes e vários processos cada um, então descartamos o “1”, ficando somente a
possibilidade do 5 e 5.
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::Sequência de operações
Olá professor,
queria lhe perguntar o resultado da última questão que o senhor passou em aula(técnico
judiciário), hoje, pra ver se eu acertei. (uma pessoa faz compras em 3 lojas, na 1ª gasta 1/3 +5,
na 2ª gasta 1/3 +5, na 3ª gasta 1/3+5 e sobra r$ 10. quanto a pessoa gastou?)
e eu fiz umas questões do material que o senhor me mandou e fiquei com dúvida nessa:
Certo dia, Teobaldo, funcionário de um escritório, levou ao
trabalho um pacote de balas para chupar durante o expediente.
Entretanto, logo ao chegar ao escritório, foi convocado a
participar de uma reunião e para lá se dirigiu, antes de poder
chupar sequer uma bala do pacote que havia levado. Na sua
ausência, seus colegas − Nivaldo, Clodoaldo e Percival −, vendo
o pacote de balas sobre a mesa de Teobaldo, adotaram o
seguinte procedimento:
− primeiramente, Nivaldo levou consigo a terça parte da
quantidade existente no pacote e mais 3 balas;
− em seguida, Clodoaldo levou consigo a terça parte do que
havia sobrado no pacote e mais 3 balas;
− finalmente, foi a vez de Percival, que adotou o mesmo
procedimento de Nivaldo e Clodoaldo.
Considerando que apenas essas três pessoas mexeram em tais
2
balas e que, ao sair da reunião, Teobaldo encontrou o pacote
em sua mesa com apenas 7 balas, a quantidade inicial de balas
do pacote que Teobaldo levou ao escritório nesse dia era:
Resposta: 45
RESOLUÇÃO (sequência de operações )
A cada vez que se retira 1/3.........ficam 2/3 , ou seja a quantia multiplicada por 2/3.
Então,o que cada um faz??
Multiplica por 2/3 e tira 3 , o que forma uma sequência de operações:
Era ...“X” (valor inicial)
Fica....multiplicado por 2/ 3 (. 2/3)
Fica ...diminuído de 3 (-3)
Fica ....multiplicado por 2/3 (. 2/3)
Fica.....diminuído de 3 (-3)
Fica......multiplicado por 2/3 (.2/3)
Fica,,,,,,,diminuído de 3 (-3)
.........restam...7 7
Agora, faca o caminho contrário (some 3 e divida por 2/3, lembrando que dividir por 2/3
corresponde a multiplicar por 3/2)
3
7
+3........................................10
x 3/2.......................................15
+ 3.......................................18
x 3/2 ......................................27
+ 3...................................... 30
x 3/2...................................... 45 (número inicial)
Então...eram 45 balinhas!!
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>sequência de operações ( sala/TJ)
Olá professor,
queria lhe perguntar o resultado da última questão que o senhor passou em aula(técnico
judiciário), hoje, pra ver se eu acertei
(uma pessoa faz compras em 3 lojas, na 1ª gasta 1/3 +5, na 2ª gasta 1/3 +5, na 3ª
gasta 1/3+5 e sobra r$ 10. quanto a pessoa gastou?)
Obs. do prof: A pessoa gasta 1/3 do que possuía mais 5 reais ao entrar em cada loja.
Sobram 10 reais, após toda a farra.
Qual era a quantia inicial ?
Resolução:
Gastou 1/3.......ficou com 2/3 ( multiplicou por 2/3)
Gastou 5.......- 5
Gastou 5.....- 5
Gastou 5......- 5
Sobraram 10
4
Caminho contrário....
10 + 5 = 15
15 : 2/3 = 15 x 3/2 = 22,50
22,50 + 5 = 27,50
27,50 : 2/3 = 27,50 x 3/2 = 41,25
41,25 + 5 = 46,25
46,25 : 2/3 = 46,25 x 3/2 = 69,375
Resposta: R$ 69, 37 ( aproximadamente)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Operações
Professor me ajude pelamordeDeus...não entendi..
Se
2*3 = (2 + 3)² = 25
4*2 = (4 + 2 )4 = 1296
Então:
3*4 = ?
a) 34
b) 121
c) 245
d) 343
e) 729
CALMA ! CONTROLE-SE !
Resolução: ( Operações matemáticas)
Questão de Raciocínio Lógico Matemático que consiste em criar uma operação, baseada nas
operações elementares.
5
Observe que o (*) significa que devemos SOMAR os dois números e ELEVAR o resultado ao
primeiro ( Observe isso nas duas primeiras sentenças )
Daí, some 3 com 4 e eleve a 3.
( 3 + 4 )3 = 73 = 343 ( resposta )
Alternativa....”D”
Essa foi divertida.......manda outra !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica Proposicional.......Argumentos...Modus Tollens
Se todo técnico do tribunal cumpre seu horário, então não há atrasos
no arquivamento de processos.
Tem ocorrido atraso no arquivamento de processos.
Logo:
a) Ainda assim, pode ser que todos tenham cumprido seus horários.
b) Não há atrasos no arquivamento dos processos.
c) Há atrasos no arquivamento de processos.
d) Nem todo técnico está cumprindo seu horário.
e) Nada é possível afirmar sobre o cumprimento de horários no tribunal.
Resolução: ( Argumentos)
A primeira premissa é uma condicional e nelas, quando a segunda parte for falsa, a primeira
parte também será ( regra de inferência – Modus Tollens). Ora, a segunda premissa ( que é
uma verdade) transforma a segunda parte da condicional em falsa, logo a primeira parte
também será falsa, logo.........é falso que “todo técnico do tribunal cumpre seu horário”.
A verdade, então, será que “Nem todo técnico cumpre seu horário”.
Alternativa............”D”
OBS: A alternativa “C” é verdadeira, mas é apenas repeteco da segunda premissa e não é a
conclusão do Argumento.
6
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Operações
∆ ®
Se ( (∆) ) = 729
Calcule
∆ ∆
( (®) )
a. 64
b. 128
c. 216
d. 512
e. 729
Resolução( ( Operações elementares )
Da informação inicial temos que ∆ = 3 e ® = 2
∆ ∆
3 3
3
Então ( ® ) = ( 2 ) = 8 = 512
Alternativa.......... “D”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Operações
Assinale a opção correta:
5?5?5?5
a. )
b. )
c.)
d. )
e. )
+
+
=
x
–
= –
+ =
+ +
÷ =
x =
Resolução: ( Operações básicas)
É claro que: 5 × 5 ÷ 5 = 5 ( basta testar as alternativas )
Alternativa...... “D”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>raciocínio proposicional- Verdades e mentiras
Professor, não sei como resolver essa questão que caiu na prova do CEITEC
2012(banca Funrio), Podes me ajudar a resolvê-la, por favor? Esse tipo de questão é
bem comum nos concursos, tem algum "macete"?
Questão 17:
7
O grupo formado por Antônio, Bruna, Carlos, Daniela e Elias entregou um trabalho
copiado da Internet ao professor João,
que descobriu que o trabalho fora copiado da Internet e convocou os alunos para uma
conversa. Nela, fica sabendo que
quatro alunos ficaram responsáveis por redigir parte do trabalho, tendo o quinto aluno
assumido a responsabilidade de fazer a
editoração final do trabalho. Em vez disso, esse aluno copiou o trabalho da Internet.
Na conversa com João, Antônio disse
que Bruna copiou o trabalho da Internet; Bruna disse que Carlos não copiou o
trabalho da Internet; Carlos disse que Daniela
não copiou o trabalho da Internet; Daniela disse que Elias copiou o trabalho da
Internet; e Elias disse que quem copiou o
trabalho da Internet foi Antônio.
Sabendo-se que apenas o aluno que copiou o trabalho falou a verdade, quem copiou o
trabalho da internet foi:
a) Antônio
b) Bruna
c) Carlos
d) Daniela
e) Elias
Resolução: ( Verdades e mentiras )
Se fala a verdade ( Veraz)......não mente !
Se mente( Mentiroso)......não diz verdades !
O ÚNICO que diz a verdade é o que copiou ( o texto diz isso).
Daí, aquele que acusar outro de ter copiado o trabalho não é o Veraz, pois o Veraz é
justamente o que copiou e, nesse caso, estaria mentindo – não pode!
Quem acusou outro, então, não é Veraz, logo é mentiroso.
Quem acusou outro de ter copiado ?
Antônio, Daniela e Elias . Então , os três mentem, logo....NÃO COPIARAM.
Carlos diz que Daniela não copiou e isso é verdade!
Portanto, Carlos falou a verdade e, foi ele, então, quem copiou !!
Resposta: Carlos
Alternativa.....”C”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Lógica sentencial - Argumentos
As afirmações de três funcionários de uma empresa são registradas a seguir:
8
Augusto: Beatriz e Carlos não faltaram ao serviço ontem
Beatriz:Se Carlos faltou ao serviço ontem, então Augusto também faltou
Carlos:Eu não faltei ao serviço ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram
( Resposta do gabarito:Augusto faltou ao serviço.)
Sabendo-se que as três declarações são verdadeiras, quem faltou ao serviço ?
Resolução: Argumentos
Todas as declarações são verdadeiras.
A declaração de Augusto foi: “Beatriz e Carlos não faltaram ao serviço ontem”
Como é verdade e é uma frase com o conectivo “e”, então as duas partes são
verdadeiras, daí:
- Beatriz não faltou ao serviço. ( verdade)
- Carlos não faltou ao serviço. ( verdade )
A declaração de Carlos foi: “Eu não faltei ao serviço ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram”
É uma frase com o “e” ( mas = e ), então as duas partes são “V”. Portanto a frase
“Augusto ou Beatriz faltaram” é “V”
Mas, já sabemos que Beatriz não faltou.
Então, temos uma frase com o “ou”, verdadeira, onde a segunda parte é falsa, daí.........
......a primeira parte tem que ser verdadeira ( Regra de Inferência do “ou”).
Portanto....”Augusto faltou” ´é Verdade !!
Como os outros não faltaram, então a resposta é: Apenas Augusto faltou
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Propriedades das operações
Olá, Professor,
Estou escrevendo para que o senhor me auxilie em uma dúvida que tive agora à tarde, quando
estava estudando a matéria de sua aula.
Não sei se compreendi sua explicação dada hoje pela manhã no que se refere à propriedade
de fechamento.
Questão:
Eu entendi que para que uma operação seja fechada é preciso que seu resultado seja um
número natural (0, 1, 2, 3, 4...).
Compreendi ainda que os números inteiros são: (... -2, -1, 0, 1, 2...).
Então, como o conjunto dos números inteiros pode ser fechado para a adição, para a
9
subtração e para a multiplicação, se o resultado pode ser um número não natural, já que o
resultado pode ser negativo?
Obrigada pela atenção.
Olá.
CADA conjunto é FECHADO ou não, para cada operação.
O conjunto dos Naturais é fechado para a Adição e para a multiplicação ( pois toda adição e
multiplicação tem resultado natural)e não é fechado para a divisão e subtração( pois podem
dar resultados que não são números naturais).
O conjunto dos Inteiros é fechado para a Adição, Multiplicação e SUBTRAÇÃO, pois todos os
resultados pertencem ao conjunto dos INTEIROS. Não é fechado somente para a divisão, que
pode dar resultados não inteiros.
Resumindo, o FECHAMENTO depende do conjunto.....
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão – divisibilidade - MMC
Olá, professor preciso do 0800.
Na questão:
Um executivo querendo se organizar, precisa agrupar uma série de pastas que estão em
seu poder. Percebe-se que grupos de montar 3 sobra1, se montar grupos de 4 sobram 2,
se montar grupos de 5 sobram 3, se montar grupo de 6 restam 4, ao sabendo que ele tem
menos de 100, quantas pastas tem o executivo?
A minha dúvida é como porque concluo que x+2 é múltiplo de 3, 4,5,6 e como chego
nesse x+2 ,
que está na solução?
Abraço
N........
Resolução:
São X pastas.....
se montar grupos de montar 3 sobra1,.então, se tivesse mais 2 daria mais um grupo completo
se montar grupos de 4 sobram 2, então se tivesse mais 2 daria mais um grupo completo
se montar grupos de 5 sobram 3, então, se tivesse mais 2 daria mais um grupo completo
se montar grupo de 6 restam 4, então se tivesse mais 2 daria mais um grupo completo
Observe que se ele tivesse x + 2 pastas teríamos divisões exatas Por 3, 4, 5 e 6, ou seja,
X + 2 seria DIVISÍVEL por 3, 4, 5 e 6.
10
Um número que é divisível por 3, 4, 5 e 6 é um MÚLTIPLO COMUM deles.
O Menor Múltiplo Comum (MMC) de 3, 4,5 e 6 é 60.
( existem outros múltiplos comuns, mas seriam maiores que 100)
Logo, x + 2 = 60
Então.....x = 58
Resposta.....eram 58 pastas
( Na próxima, envie as alternativas. Possivelmente isso agilizaria a resolução )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sequência de operações
Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de
páginas de um texto. Ele executou essa
tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento:
– nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das
páginas e mais meia página;
– nos 15 minutos seguintes, a metade do número de
páginas restantes e mais meia página;
– nos últimos 15 minutos, a metade do número de
páginas restantes e mais meia página.
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um
número compreendido entre
(A) 5 e 8
(B) 8 e 11
11
(C) 11 e 14
(D) 14 e 17
(E) 17 e 20
Resolução: ( Sequência de operações)
Do total de páginas a serem digitadas ele:
Nos primeiros 15 minutos
retira metade...........divide por 2
retira 1/2 página.... - 1/2
( pois foi digitada meia página, ou seja diminuiu ½ página do que ainda havia
para ser digitado )
Nos próximos 15 minutos
retira metade....divide por 2
retira 1/2 página.....- 1/2
Nos últimos 15 minutos
retira metade.....divide por 2
retira 1/2 página.... - 1/2
12
Assim, completa a tarefa.......sobram "0" páginas
Agora, à partir do "0" faça o caminho contrário invertendo as operações
0 + 1/2 = 1/2
1/2 x 2 = 1
1 + 1/2 = 1,5
1,5 x 2 = 3
3 + 1/2 = 3,5
3,5 x 2 = 7 (resposta)
E de forma algébrica ?
X = número inicial de páginas a digitar.
Digita metade...fica................
Digita meia página.......fica..........
-
Digita metade.........fica............................
Digita meia página......fica.... (
Digita metade......fica..... [(
(
- ) :2
- ) :2 –
- ) :2 – ] ∶
13
Digita meia página.......fica...... [(
- ) :2 – ] ∶
-
Não sobraram páginas depois disso tudo, para serem digitadas, ou seja, é igual a “0”
- ) :2 – ] ∶
[(
-
= 0
Resolvendo....
- ) :2 – ] ∶
[(
(
- ) :2 –
(
- ) :2 =
-
=
= 1
=3
MMC...
X–1=6
X = 7 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas de equações
Boa tarde professor.
Tenho uma dúvida na realização de uma questão de Técnico Judiciário.
Duas pessoas ganharam, juntas R$ 200,00. A 1ª, embora recebendo menos,
doou R$ 20,00 ao 2º, que acabou ficando com R$20,00 a mais do que o
dobro do que a 1ª ficou. A 1ª ficou com (em R$):
a)
b)
c)
d)
e)
100
80
20
40
60
14
Minha dúvida é na hora de montar o sistema, nesse tipo de questão
Resolução:
X = Quantidade recebida pela primeira
Y = Quantidade recebida pela segunda
“ganharam, juntas R$ 200,00”......então.....X + Y = 200
Quando a primeira doa 20 ao segundo, ela ( a primeira) fica com X – 20
e
a
segunda fica com Y + 20.
“”O 2º acabou ficando com R$20,00 a mais do que o
dobro do que a 1ª ficou.””
Y + 20 = 2 . ( x – 20 ) + 20
Desenvolvendo.....
Y + 20 = 2x – 40 + 20
Y + 20 = 2x – 20
Y – 2X = - 40
Acrescentando a primeira equação....teremos um sistema..
Y – 2X = - 40
Y + X = 200
Fazendo a primeira menos a segunda....
- 3X = - 240
3X = 240
X = 80
Essa é a quantia INICIAL de X ( o primeiro ), mas a pergunta é......com quanto ele ( o
primeiro ) FICOU, ou seja, após a doação de 20 !!
15
80 – 20 = 60
Ficou com 60 ( Resposta )
Alternativa.....”E”
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Negações de proposições compostas
Date: Mon, 30 Jul 2012 08:25:23 -0300
Subject: dúvida
From: …………[email protected]
Olá professor!
Meu nome é P............,
Estou com algumas dúvidas em algumas questões mas primeiramente gostaria de saber,
pq não poderia ser correta a alternativa letra d?
7) A negação da sentença "Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta a
escola" é
d) "Algumas pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola".
Resolução: ( Lógica Sentencial – negativas)
Olá,
A negativa de " Nenhum A é B" é "Algum A É B." e não " Algum A NÃO É B.", pois
assim estaríamos negando duas vezes.
Se ele afirma que não há A que seja B, então para dizer o oposto ( negar), basta dizer
que há algum A que seja B, ou seja "Algum A é B"
Por isso, a negativa de " "Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta a escola" é
"Alguma pessoa lenta em aprender frequenta a escola"
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisibilidade
Olá professor, não entendi a questão da FAURGS abaixo...
16
Dentre os valores abaixo, aquele que pode substituir n para que o número
374n843 seja divisível por 3 é
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 2
(E) 1
Resolução( ( Critérios de divisibilidade)
Um número é divisível ( Resultado Natural e resto zero) quando a soma de seus
algarismos for um número divisível por 3 ( Múltiplo de 3 ).
Somando os algarismos conhecidos do número dado teremos
3 + 7 + 4 + 8 + 4 + 3 = 29
Ora, 29 não é divisível por 3, mas 30 é, então basta que o “n” seja 1 e a soma daria
30 sendo, portanto, o número divisível por 3.
Então......n = 1
Alternativa......”E”
Obs: “n” também poderia ser 4 ou 7 ou 9, pois a soma daria 33, 36 e 39
respectivamente e esses valores são múltiplos de 3, mas não havia esses números
nas alternativas, só o “1”.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Condicional
Bom dia professor Ivan.
Sou sua aluna do CETEC no curso Extensivo de matemática e raciocínio lógico.
A minha dúvida é em relação a uma questão que aborda as formas equivalentes da
condicional.
Considere a seguinte proposicão:" Sempre que chove ou neva, o chão fica molhado".
Sendo assim, podemos afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
17
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Aguardo uma resposta. Obrigada. Att F
Resolução: ( Lógica proposicional – Condicional – equivalências )
A principal forma equivalente da Condicional é a “Contra positiva”, ou seja, se não
acontece a segunda parte, não acontece a primeira. Em outras palavras, se negarmos a
segunda parte, então negamos a primeira.
A frase dada é uma condicional:
“Se chove ou neva, o chão fica molhado". ( Sempre que = Se )
Se não ocorrer a segunda parte, ou seja, “ se o chão não ficar molhado ( ficar seco)
então não ocorrerá a primeira...” não ocorrerá de chover OU nevar. Ora , a negativa de “
A ou B” é “ não A E não B”, ficando então.....”Não chove E não neva).
Finalmente, temos então:
“Se o chão fica seco, então não choveu e não nevou.”
Alternativa....”E”.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão de inteiros
Boa tarde, professor Ivan!
Sou aluna do CETEC para o concurso de Técnico Judiciário do TJ/RS e
não estou conseguindo resolver uma questão da apostila. É a seguinte:
4) Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si
as 300 páginas de um texto a ser
digitado. Entretanto, um deles foi designado para outra atividade e,
assim, coube a cada um dos
outros digitar 15 páginas a mais que o combinado. O número de páginas
que cada técnico digitou foi:
a) 80
b) 75
c) 72
d) 65
e) 60
Resolução: ( divisão de inteiros )
18
Faremos em sala, mas como não tenho nada prá fazer vou comentar a questão. Depois
confira com a resolução feita em sala.
Chamaremos de “t” o número de técnicos e “p” o número de páginas que coube a cada
técnico, então...
300| t
0 p
E
300 | t – 1
0
p + 15
( foi essa divisão que ocorreu, logo testaremos as alternativas em “p+15”)
300 deve ser um múltiplo de “t-1” e de “p+15”, logo as únicas alternativas que podem
ser verdadeiras são “B” e “E”, pois somente esses números são divisores de 300.
Testando “B” ( 75 ), temos que p+ 15 = 75 ( daí, p = 60 )
e t – 1 = 4 ( pois 300:75 = 4 ) e, logo, t = 5
Assim, a conta estaria correta, mas é necessário que também fique correta na outra
divisão, então testamos na outra ( a primeira) para p = 60 e t = 5
300 | 5
0
60
Conta correta, logo a alternativa é essa mesmo.
Letra......”B”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Operações – apostila
Oi professor!
Sou aluna do CETEC (curso: Técnico Judiciário - TJ/RS).
19
Tenho dúvida na questão 8, da página 258 da apostila:
Considere os conjuntos de números:
8 3
10 2
7 3
--------------25
64
x
Mantendo para os números do terceiro conjunto a sequência das duas operações
efetuadas nos
conjuntos anteriores para obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o
número x é
a) 9
b) 16
c) 20
d) 36
e) 40
Resoluçaõ:
As operações feitas com os dois números acima do traço para se obter o número abaixo
do traço são....subtração e potenciação, ou seja, facão primeiro menos o segundo e eleve
o resultado ao quedrado.
1ª : 8 – 3 = 5 e 5² = 25 ( nº debaixo )
2º: 10 – 2 = 8 e 8² = 64 ( nº debaixo)
Então....
7 – 3 = 4 e 4² = 16 ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções do 2º grau....apostila TJ
Duas microempresas competem no mercado vendendo o
mesmo produto. O lucro em reais, obtido pelas empresas A e B
com a venda desse produto, é dado pelas funções f (x) = - x2 +
80x - 700 e g(x) = - 3x2 + 180x - 1500, respectivamente, onde x é
a quantidade do produto vendido. Analisando esses dados,
julgue as afirmações abaixo:
a) se a quantidade vendida pela empresa A for 20, seu lucro será
de R$ 1.300,00;
b) a quantidade vendida pela empresa A, para que seu lucro seja
máximo, é 40;
20
c) o lucro máximo da empresa A é maior que o lucro máximo, da
empresa B;
d) considerando que as duas empresas vendem a mesma
quantidade do produto, o lucro da empresa A será maior que o lucro
da empresa B, se a quantidade vendida for superior a 10 e inferior
40.
RES:
a) “X” é a quantidade. Basta substituir “X” por 20, na primeira função.
LA = - 202 + 80 . 20 – 700 = - 400 + 1600 – 700 = 500 (item ERRADO)
b) O lucro será máximo no Yvértice , cuja coordenada “x” é o Xvértice que
estará representando a quantidade a ser vendida para se obter o lucro
máximo.
Xvértice = -b/2ª = - 80/2.(-1) = 40 (item CERTO)
c) Obtém-se o lucro máximo através do Yvértice, seja pela fórmula
( Yvértice = -∆/4a) onde teríamos que calcular o “delta”, ou substituindo o
Xvértive nas funções, pois o Yvértice é a imagem do Xvértice (parece ser mais
prático).
EMPRESA “A”
O Xv já foi calculado no item anterior e vale 40.
21
Substituindo na expressão que fornece o lucro da empresa “A”....
LA = - 40² + 80.40 – 700 = - 1600 + 3200 – 700 = 900
EMPRESA “B”
Xv = -b/2a = - 180/2.(-3) = 30
(quantidade vendida para que o lucro seja máximo)
Substituindo na expressão que fornece o lucro da empresa “B”....
LB = -3 . 30² + 180 . 30 – 1500 = - 2700 + 5400 – 1500 = 1200
Temos, portanto, que o lucro de “A” é MENOR que o lucro de “B”
.....................................................................item ERRADO
d) Para o item estar certo é necessário que LA > LB , para qualquer valor de
x, entre 10 e 40.
Tomando o valor 30 para x, observamos o seguinte;
A empresa “B” tem, para esse valor de x, lucro de 1200 (feito anteriormente)
A empresa “A” terá lucro inferior a 500, pois atinge seu lucro máximo quando x
= 40, ou seja, para qualquer outro valor de x (inclusive 30) seu lucro será
inferior ao máximo.
Como 30 é um valor entre 10 e 40..........o item está ERRADO.
22
Daí...................................E C E E
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>divisibilidade
From:[email protected]
Subject: dúvida
Date: Sat, 28 Jul 2012 13:42:01 +0000
Bom dia, professor!
Na questão abaixo a resposta é 10 (alternativa "e"). Desculpe minha "burrice", mas
faz muito tempo que não estudo... DEZ não é um divisor de 2 e de 5 também???
Um abraço e bom sábado para o senhor!
Vinte e oito processos serão divididos entre "x" juízes, cabendo a cada um deles
"y" processos. Dessa forma, sobram 3 processos, mas se o número de juízes fosse
aumentado em 3 unidades, o número de processos que caberia a cada um seria de
2 unidades a menos que na situação anterior e ainda sobrariam 4 processos. Sendo
assim, o valor de X+Y é um número:
a) divisor de 2
b) divisor de 5
c) múltiplo de 3
d) múltiplo de 20
e) múltiplo de 5
Olá,
Divisor é aquele que divide, aquele que vem dentro da chave da divisão,
aquele que vem embaixo do traço da fração (denominador).
O 10 não divide o 2 nem o 5. O 2 e o 5 é que dividem o 10.
Portanto, 10 é divisível por 2 e por 5 e não é divisor dos dois. É MÚLTIPLO ( aquele
que é divisível pelo número).
23
Capite ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
Um funcionário da iniciativa privada gastava 30% do seu
ordenado para o pagamento da prestação do seu veículo. Após
passar em um concurso público,seu salário diminuiu em 10% e o
valor da nova prestação do veículo aumentou em 20%.
Nessas novas condições, a percentagem do salário gasta por
esse funcionário público para o pagamento da prestação é de
20%
30%
40%
50%
60%
Obrigada ( de nada )
Resolução: ( Porcentagens)
Nesses caso acredito ser melhor imaginar um valor....
Salário = 100
Prestação inicial = 30% de 100 = 30
Novo salário ( - 10% ) = 100 – 10% de 100 = 100 – 10 = 90
Nova prestação ( + 20%) = 30 + 20% de 30 = 30 + 6 = 36
Para saber o que um valor representa de outro valor,
percentualmente, DIVIDA-OS !!
A nova prestação representará do novo salário....36 / 90 = 0,4 = 40%
Alternativa......”C”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações do 2º grau
Boa tarde Prof. Ivan,
24
Segue mais uma questão:
Se uma das raízes da equação x² - 2mx + 3m - 5 = 0 vale 1, a outra vale
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
Obrigado e até a próxima aula :)
Resolução:
É raiz, então x = 1.
1² - 2m.1 + 3m – 5 = 0
1 – 2m + 3m – 5 = 0
m=4
A equação fica ( substituindo m por 4 ).....x² - 8x + 7 = 0
A soma das raízes é sempre calculada por .... –b / a
Então, a soma das raízes é – ( - 8 ) / 1 = 8
Como uma das raízes é 1, então a outra ( pergunta da questão) é.......7 ( pois a soma é 8)
Alternativa....”C”
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Sistemas/linguagem matemática
O seguinte problema (página 268, do polígrafo):
Antônio tem 180,00 a mais que Maria, que por sua vez tem 20% da quantia de Beatriz. Juntos
têm 1.580,00. Maria tem?
A) 330,00
B)320,00
C)160,00
D)200,00
E)180,00
Resolução: ( Sistema de equações do 1º grau)
25
Faremos:
A = quantia que Antônio tem
M = quantia que Maria tem
B = quantia que Beatriz tem
Interpretando o texto....
“Antônio tem 180,00 a mais que Maria,”.........A = M + 180
“ que por sua vez tem 20% da quantia de Beatriz. “.....M = . B......ou.....M =
( lembre que 20% = 20/100 = 1/5 = 0,2 )
“Juntos têm 1.580,00”.........A + B + M = 1580
A gora, temos 3 equações, então temos um Sistema de equações.
Como é pedida a quantia de Maria (M), escreveremos A e B em função de M, nas duas
primeiras equações e depois substituiremos os valores na terceira equação, que ficará
somente com a variável M.
A = M + 180.........................já está em função de M
M=
............................B = 5.M
Substituindo A e B em A + B + M = 1580, teremos
:>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Provas comentadas ( Estude !!!)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
(Algumas questões estão apenas gabaritadas, mas estarão resolvidas em breve )
PROVA 4 – Agente Administrativo – EPTC - 2007
1) O valor da soma 0,888... + 1/9
é igual a
26
A) 7/9
B) 8/9
C) 1
D) 0,9
E) 0,99
Resolução: (Operações com racionais)
Toda Dízima periódica é um número Racional, pois pode ser
convertida para a forma de fração. As Dízimas periódicas simples (
aquelas em que aparece o período imediatamente após a vírgula) são
convertidas para fração tomando-se o período ( número que se repete
infinitamente) e dividindo-o por tantos “noves” quantas forem as
casas do período(procedimento válido apenas quando a parte inteira
for zero).
Por exemplo:
0, 4444.... =
4/9
0,3737373.... = 37/99
0,287287287... = 287/999
27
Se a parte inteira não for igual a zero, retira-se e adiciona-se no final.
Por exemplo:
2, 363636...... = 2 + 0,36363... = 2 + 36/99 = 2 + 4/11 = 26/11
10,5555........ = 10 + 0,5555...= 10 + 5/9 = 95/9
No caso, há uma dízima envolvida na operação ( 0,888...) e deve ser
convertida para fração, antes de se operar com a mesma.
0,888... = 8/9
A expressão original era:
0,888... + 1/9
Fica: 8/9 + 1/9 = 9/9 = 1
Alternativa”C”
................................................................
28
2) Pedro dispõe de R$ 110,00 em sua
carteira, constituídos de notas de R$ 5,00 e notas de
R$ 10,00. Se gastar 25% das notas de R$ 10,00 e
50% das notas de R$ 5,00 ainda lhe restarão R$
75,00. A razão entre o número de notas de R$ 10,00
e o número de notas de R$ 5,00 de que Pedro dispõe
em sua carteira, ao não gastar nenhuma delas, é de
A) 3/4
B) 4/5
C) 1/4
D) 4/3
E) 7/10
Resolução:
O número de notas multiplicado pelo valor das notas fornecerá a
quantia ( em R$) formada.
x = número inicial de notas de 10.............a quantia correspondente
será ...10. X
29
y = número inicial de notas de 5...............a quantia correspondente
será.....5 . Y
Teremos, então, as equações...
10.x
+ 5.y =
110
0,75.10x + 0,5.5y = 75 (pois gastou 25% das notas de 10 e 50% das notas de 5)
_____________
O sistema fica...
10x + 5y = 110
7,5x + 2,5y = 75
__________
Multiplicando a segunda equação por 2....
10x + 5y = 110
15x + 5y = 150
__________
Fazendo a segunda equação menos a primeira...
5x = 40
x = 8 ( Há 8 notas de R$10)
30
substituindo x por 8 na equação 10x + 5y = 110 (poderia ser em
qualquer outra)..........10.8 + 5y = 110
5y = 30
y = 6 ( Há 6 notas de R$5)
A questão pede a RAZÃO ( fração, divisão) entre o número original de
notas de 10 e o número original de notas de 5, ou seja, a razão entre x
ey)
x/y = 8/6 = 4/3 ( resposta)
..................................................................
3) A equação
1/ ( x – 1 ) - 1/ ( 1 – x) = 2
tem por solução um valor de x tal que
A) 2x + 1 = 5
B) 2x – 1 = 4
C) x/2 = 2
D) √ = 2
31
E) x-1 = 2
Resolução:
Achando o MMC entre os denominadores (x-1), (1-x) e 1, teremos
(x-1).(1-x). Agora, dividimos o mmc pelo denominador e multiplicamos
pelo numerador de cada fração, cancelando o denominador comum,
pois foi calculado dos dois lados da igualdade..
Ficará...
(1-x) – (x-1) = 2.(1-x).(x-1)
1-x – x + 1 = 2.(x -1 – x² + x)
2 -2x =2.( - x ² + 2x -1)
2 – 2x = -2x² + 4x – 2
2x² - 2x – 4x + 2 + 2 = 0
2x² - 6x + 4 = 0
x² - 3x + 2 = 0
32
Usando “Báskara” ou “Soma e Produto”...
...............faça !
As raízes são 1 e 2 .
Testando as alternativas (substituindo x por 1 e por 2, em cada uma
delas) encontramos a letra “A” , onde para x = 2, teremos uma
igualdade verdadeira.
Alternativa.....”A”
.....................................................
.........................................................
5) A área e o perímetro de um triângulo
eqüilátero são expressos pelo mesmo número x.
Nessas condições, o valor de √3.
x
A) 24
B) 28
C) 30
33
é
D) 36
E) 48
Resolução:
O triângulo eqüilátero tem os três lados iguais, por isso se o
perímetro é “X”, então cada lado medirá “X/3”.
A área do triângulo eqüilátero é dada pela fórmula...A = l² . V3 /4 (V3 =
raiz de 3 e “l” é o lado ))
O texto diz que a área ( A ) é “x” e o lado ( l ), como vimos, é x/3.
Substituindo...
X = (x/3)² . √3 / 4 = x
x² / 9 . √3 / 4 = x
√3 . x² / 36 = x
(simplificando x com x....)
√3 . x / 36 = 1
x = 36/√3
34
A questão pede o resultado de √3 . x
√3 . x = √3. 36/ √3 = 36
Alternativa “D”
...................................................
6 ) Na equação 3x² – 2mx + 1 = 0, uma
raiz vale o triplo da outra, para 2 valores de m, cuja
soma é igual a
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolução:
35
Em uma equação do 2º grau, a soma das raízes é sempre igual a -b/a (
coeficientes da equação).
x1 + x2 = -b/a
x1 + x2 = - ( - 2m/3)
x1 + x2 = 2m/3
Mas, uma das raízes é o triplo da outra ( diz o texto), logo teremos que
x1 = 3.x2
Substituindo acima...
3x2 + x2 = 2m/3
4x2 = 2m/3
. x2 = m/6
Daí, x1 = 2m/3 – m/6 = m/2
Em uma equação do 2º grau, o produto das raízes é sempre igual a
“c/a”.
36
m/6 . m/2 = 1/3
m²/12 = 1/3
m² = 12/3
m² = 4
m = 2 ou m = -2
A questão pede a soma dos valores....2 + ( - 2 ) = 2 – 2 = 0
Alternativa............ “A”
..................................................
7) Uma viagem de ônibus, em
velocidade constante, é feita em três horas. Logo,
4 / 5 da viagem serão percorridos em, exatamente,
A) duas horas e quarenta minutos
B) duas horas e trinta minutos
37
C) duas horas e vinte e quatro minutos
D) duas horas e dezoito minutos
E) duas horas e doze minutos
Resolução:
A questão pode ser resolvida com uma regra de três, onde as
grandezas envolvidas são a distância percorrida e o tempo gasta para
isso.
Essas grandezas são diretamente proporcionais,pois quanto maior a
distância a ser percorrida, maior o tempo gasto.
Distância
Tempo (horas)
1
3
4/5
x
___________________________________
3/x = 5/4
5x = 12
38
x = 12/5 horas
dividindo-se 12 horas por 5, teremos 2 horas completas e restam 2
horas, que converteremos em minutos, multiplicando por 60...........120
minutos
Reiniciando a conta, dividiremos 120 minutos por 5,
obtendo................24 minutos, exatamente.
Resposta: 2h 24 minutos
Alternativa.......”C”
.....................................................
8) Um triângulo retângulo tem catetos
medindo 4 cm e 5 cm. A hipotenusa desse triângulo,
em cm, mede
A) 6
B) √41
C) 7
39
D) 3
E) 4
Resolução:
Teorema de Pitágoras......hip² = cat² + cat²
hip² = 4² + 5²
hip² = 16 + 25
hip² = 41
hip = √41
Alternativa......”B”
.................................................
............................................................................
PROVA 5 – EMATER/RS – Assistente Administrativo.- 2008
40
1) O valor da expressão
41/2 – 160,5 + ( 0,5 )-1 é igual a
A) 4.
B) -4.
C) 2.
D) -2.
E) 0.
Resolução:
Lembre-se que expoente 1/2 significa raiz quadrada (V) e que 1/2 =
0,5 e, ainda, que expoente negativo significa que a base deve ser
invertida.
Sendo assim,
41/2 = V4
160,5 = 161/2 = V16
41
( 0,5 )-1 = (1/2)-1
Daí, a expressão:
41/2 – 160,5 + ( 0,5 )-1
Ficará....
V4 – V16 + 2 = 2 – 4 + 2 = 0
Alternativa .....”E”
...................................................
2) Na figura abaixo em que AE = 20cm
CE= 12cm e CD= 3cm. Os segmentos AE e BD
são paralelos. Nessas condições, tem-se que a área
do quadrilátero ABDE, em cm², mede
A) 90.
B) 96.
C) 88.
42
D) 72.
E) 60.
E
A
C
Resolução:
Se CE mede 12 cm e AE mede 20 cm, então AC medirá 16 cm, pois 12
e 20 são múltiplos ( por 4 ) de 3 e 5, respectivamente, logo o outro
lado ( cateto) será múltiplo ( por 4 ) de 4. O Triângulo ACE é um
derivado do triângulo 3,4,5.
Como CD mede 3, então podemos calcular BC através da Semelhança
de triângulos;
EC / DC = AC / BC
43
12/3 = 16/BC
BC = 4 cm
A área do triângulo maior (ACE) será...16 . 12 / 2 = 96 cm²
A área do triângulo menor (BCD) será....4 . 3 / 2 = 6 cm²
A questão pede a área do quadrilátero ABDE ( que, aliás, é um
trapézio), que pode ser obtida fazendo-se a área maior menos a área
menor.
Aquadrilátero = ATriâng.Maior - ATriâng. menor
Aquadrilátero = 96 - 6 = 90 cm²
Alternativa......”A”
...................................................................
3) Supondo que o volume de uma gota
de água seja de 2,73.10-2 cm³, o número de gotas
necessárias para encher, totalmente, um recipiente
de 1 litro será de, aproximadamente,
44
A) 366,3.
B) 3663.
C) 36630.
D) 366300.
E) 3663000.
Resolução:
O expoente do “10” indica quantas casas a vírgula deverá ser
deslocada, para a direita, se o mesmo for positivo e esquerda, se
negativo.
2,73 . 10-2 = 0,0273.
O número de gotas em 1 litro será obtido dividindo-se a quantidade de
1 litro pela quantidade de uma gota.
Para se operar com medidas, os valores devem estar, sempre, na
mesma unidade.
Lembre-se que 1 litro corresponde a 1000 ml e cada ml corresponde a
1 cm3, logo 1l = 1000 cm3.
1 litro / 0,0273 cm3 = 1000 cm3 / 0,0273 cm3 = 36630, 036 gotas
Aproximadamente.....36630 gotas
45
Alternativa ......”C”
......................................................
4) Um automóvel percorre certa
distância em 2 horas. Se aumentasse a sua
velocidade em 50%, esse automóvel percorreria a
mesma distância em
A) 50 minutos.
B) 1hora e 10 minutos.
C) 1hora e 20 minutos.
D) 1,5 horas.
E) 1h e 33 minutos.
Resolução: ( Regras de três)
Observe que a distância não muda, então não entra na regra.
A velocidade aumentou em 50%, ou seja passou de 100 para 150.
Tempo(h) ↑
Velocidade ↓
2
X
100
150
--------------------------------------São grandezas inversas, pois quanto maior a velocidade, menor o
tempo gasto.
2/x = 150/100
2/x = 3/2
46
3x = 4
x = 4/3 ( horas )
Dividindo...
4 por 3 dá 1 hora completa e sobra 1 hora.
Converta 1h em minutos e continue a divisão...
1h = 60 minutos
60 minutos dividido por 3 dá 20 minutos exatos
Resposta: 1h 20 minutos
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>
5) Na igualdade (x − 2)2 = x2 −12 , o valor de x é
A) 2.
B) -2.
C) 4.
D) -4.
E) 8.
6) Ao simplificar-se a fração ( a6 – b6 ) / ( a3 – b3 ),
obtém-se
A) a2+b2.
B) a2-b2
47
C) a3+b3.
D) a3-b3.
E) a2-2ab+b2.
Resolução:
Lembre-se dos produtos notáveis...
( x + y ) . ( x – y ) = x² - y² (produto da soma pela diferença )
.........
( a6 – b6 ) / ( a3 – b3 ) = ?
( a6 – b6 ) / ( a3 – b3 ) = ( a3 + b3 ) . ( a3 – b3 ) / ( a3 – b3 ) =
Simplificando ( a3 – b3 ) com ( a3 – b3 )....teremos ... ( a3 + b3 )
...............................................
7) Se uma raiz da equação
x² + (k + 3)x + 2 = 0 é igual a 1, a outra vale
A) 0.
B) -1.
C) -2.
D) 2.
E) 3.
8) A função de 2° grau
f (x) = (a −1)x2 + bx + c está representada no
48
gráfico abaixo.
(obs. do prof. : parábola com a concavidade para baixo, interceptando o eixo x nos
pontos -1 e 3 e o eixo y no ponto 3)
Sobre a função, pode-se dizer que
A) a = 0 .
B) b + c = 3.
C) b < 0 .
D) c = 2 .
E) a > 0 .
....................................................................
PROVA 6 – GHC – Auxiliar/farmácia/laboratório – 2007
1) O conjunto dos divisores naturais do
número 120 é um conjunto com, exatamente,
A) 13 elementos.
B) 14 elementos.
C) 15 elementos.
D) 16 elementos.
E) 18 elementos.
2) Vender uma mercadoria com 50% de
49
lucro, calculado sobre o preço de venda, equivale a
vender a mesma mercadoria, com um lucro de x% ,
calculado sobre o preço de custo. Nessas condições,
o valor de x é
A) 40.
B) 50.
C) 100.
D) 120.
E) 200.
3) Se a = 0,1 e b = 0,2 , o valor da
Expressão
- a² + ab é igual a
A) 3.10-1 .
B) 3.10-2 .
C) 10-1 .
D) 10-2 .
E) 10-3.
4) Se uma das raízes da equação
x² − 2mx + 3m− 5 = 0 vale 1, a outra vale
A) 3.
50
B) 5.
C) 7.
D) 9.
E) 11.
5) Com os dígitos 1, 4, 7, 8 e 9, são
formados todos os números possíveis de 3
algarismos sem que existam dois algarismos iguais
no mesmo número. Ao escolher, ao acaso, um
desses números, a probabilidade de que ele seja
ímpar é de
A) 90%.
B) 80%.
C) 70%.
D) 65%.
E) 60%.
6) Um hexágono regular de lado igual a
1 cm tem área, em cm², igual a
Obs. Do prof.: V = raiz quadrada )
A) 3.V3 / 2
B) 2.V3 / 3
C) 6.V3
51
D) 4.V3
E) 3.V3
......................................................
PROVA 7 – SEMAE – Agente Administrativo - 2007
1) O dobro de um número, mais a sua
terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Qual
é esse número?
A) 8.
B) 9
C) 10.
D) 11
E) 12.
2) A equação x2 + bx + 6 = 0 tem uma
raiz igual a 6. A outra raiz vale
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
52
E) 5.
3) Um capital de R$ 5.000,00 foi
aplicado a juro simples de 11%a.a. durante dois
anos. Após esse período, o montante total obtido foi
A) R$ 5.500,00.
B) R$ 5.750,00.
C) R$ 6.100,00.
D) R$ 6.250,00.
E) R$ 6.500,00.
4) O valor de (0, 2)3 + (0,16)2 é:
A) 0,0164.
B) 0,0258.
C) 0,0336.
D) 0,0368.
E) 0,6256.
6) Seja L = 12,5x − 2000 uma função
que descreve o lucro mensal L de um comerciante
na venda de x unidades de um determinado produto.
Se no mês de julho o lucro auferido foi de R$
53
20.000,00, o número de unidades vendidas desse
produto foi de
A) 1400.
B) 1560.
C) 1620.
D) 1760.
E) 2000.
7) Uma certa importância deve ser
dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a
partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas,
cada uma delas receberia R$ 5.000,00 a mais. Qual o
valor dessa importância?
A) R$ 120.000,00.
B) R$ 160.000,00.
C) R$ 180.000,00.
D) R$ 200.000,00.
E) R$ 220.000,00.
Resolução:
A tal importância, dividida por 10 dará um certo valor.
Quando dividida por 8 dará o valor acima + 5000..
Daí, teste as alternativas....
Por exemplo:
54
b) R$ 160.000.00
por 10...........16000 cada.
Por 8..............20000 cada ( não é 5000 a mais que 16000)....errada
....
....
d) R$ 200.000,00
por 10........20000 cada
por 8..........25000 cada ( É 5000 a mais que 20000)...CERTA !!
É isso.
>:::::::::><<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
...................................................................
PROVA 8 – Agente de trânsito – S. Leopoldo/RS – 2005
1) O valor da expressão
(3/4 + 1/6) : (1/3 + 1/2)
é
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.
D) 1,1.
55
E) 1,2.
2) Em um concurso com 200 vagas e
4800 inscritos, a razão entre o número de vagas e o
número de inscritos é de
A) 1/48
B) 1/24
C) 1/12
D) 1/480
E) 1/240
3) Um tanque de gasolina tem
capacidade de 60 litros, que corresponde a um
volume de
A) 60m3
B) 6 m3
C) 0,6 m3
D) 0,06 m3
E) 0,006 m3
4) Um triângulo com 6 cm de base e 4 cm
de altura tem área igual a
56
A) 12cm2 .
B) 11cm2 .
C) 10cm2 .
D) 8cm2 .
E) 6cm2 .
5) Se uma das raízes da equação
X2 − 7x + 2k − 6 = 0 vale 3, a outra é igual a
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.
6) De um grupo de 12 agentes de
trânsito, deverão ser escolhidos dois para uma
determinada missão. O número de duplas distintas
que poderão ser formadas para a escolha é de
A) 132.
B) 120.
C) 96.
D) 72.
E) 66.
57
7) A parábola do gráfico abaixo é
expressa pela função . Logo
tem-se que o valor de a é
f (x) = ax2 + bx + c
( Obs. do prof. Parábola de concavidade para cima, interceptando o eixo x
nos pontos 2 e 3 e o eixo y no ponto 12)
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.
PROVA -1. CEEE – Assistente Administrativo - 2008
3) Observe a figura a seguir ( A, B, C ,D, E e F) são os vértices da
figura ( Hexágono regular).
58
A
B
F
C
E
D
(obs do prof. Os “quadradinhos” não fazem parte da figura, apenas ressaltam os vértices.”)
A diagonal AE mede 10√3 . A área do Hexágono, em cm2, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
150 √3
120 √ 3
120
80 √3
80
Resolução: (Geometria/Trigonometria)
Observações:
1) A soma dos ângulos internos de um polígono é dado por ............(n –
2).180o
Onde “n” é o número de lados.
59
No caso do hexágono...n = 6
Soma dos ângulos = ( 6 – 2 ) . 180o = 4 . 180o = 720o
Cada ângulo interno do hexágono, então, medirá.....720o/6 = 120o
2) Para calcular a área do hexágono, existe uma fórmula;
Ahex = 6 . a2 . √3 / 4
Onde “a” é o lado do hexágono.
..........................................................
Veja que o triângulo AFE pode ser dividido em dois triângulos
retângulos iguais, traçando-se uma perpendicular da diagonal (10√3)
ao vértice F.
O ângulo “F” que mede 120o se dividirá em dois iguais de 60o. Cada
triângulo formado, então, conterá os ângulos 30o, 60o e 90o.
O lado do Hexágono passará a ser a hipotenusa de cada um dos
triângulos menores, que por sua vez terão um dos catetos medindo
5√3 , pois serão metade da diagonal (10√3 ).
Aplicando-se a razão trigonométrica “cosseno” ao ângulo de 30o,
teremos (chamaremos de “a”, o lado do hexágono):
60
Cos30o = 5√3/ a
√3/ 2 =5√3 /a
a = 10 (hipotenusa do triângulo menor e lado do hexágono)
A área do hexágono é igual a .....Ahex = 6 . a2 . √3 / 4
Ahex = 6 . 102 . √3 / 4
Ahex = 150 √3 ( resposta)
4) Observando-se as afirmações
I. √2/3 + √3/2 = 5√6 / 6
II.
4
(obs. Do prof...As frações 2/3 e 3/2 estão dentro dos radicais)
√2 . √6 = 23/4 . 31/2 (obs do prof. “raiz quarta” de 2)
III. – 2 ² + 50 = -3
conclui-se que:
A) apenas a I é correta.
B) somente I e II são corretas.
61
C) somente II e III são corretas.
D) apenas a III é correta.
E) I, II e III são corretas.
Resolução : ( Operação com números Reais...Radicais e Potências)
I.
√2/3 + √3/2 = 5√6 / 6
√2/3 + √3/2 =
√2/√3 + √3 / √2 =...mmc... = (√2 . √2 + √3 . √3 ) /
√2 . √3 = (2 + 3 ) / √6 = 5 / √6 = ..racionalizando..= 5√6 / 6 ( Item
CORRETO)
II.
4
4
√2 . √6 = 23/4 . 31/2
√2 . √6 = 21/4 . 61/2 = 21/4 . ( 2.3)1/2 = 21/4 . 21/2 . 31/2 =
23/4. 31/2 (item CORRETO)
II.
– 2 ² + 50 = -3
– 2 ² + 50 = - 4 + 1 = - 3 ( item CORRETO)
62
Alternativa............... “E”
5) A expressão
(a² + 2ab + b²) / ( a + b )
para a = √2 + 1 e b = √2 - 1
Vale
A) 2 √2
B) 4 √2
C) 8
D) 8 √2
E) 16
Resolução: ( expressões numéricas/produtos notáveis)
(a² + 2ab + b²) / ( a + b ) = ( a+b)2 / ( a+b) = a + b
Substituindo....
a + b = √2 + 1 + √2 – 1 = 2√2 ( resposta)
63
Alternativa................”A”
6) Num triângulo retângulo, em que a
hipotenusa mede a , os catetos medem b e c e a
altura relativa à hipotenusa é igual a h , é verdadeira
a relação
A) h = b.c / a
B) h = (b + c) / a
C) h = (a + b + c ) / 3
D) h2 = a2 + b2 + c2
E) h > b + c
Resolução: (Relações métricas no triângulo Retângulo)
Vamos lembrar as relações......abaixo..
64
Obs: ”m” e “n” são as projeções dos catetos c e b, respectivamente,
sobre a hipotenusa.
Observe que há a relação: a . h = b . c
Passando o “a” para o outro lado, dividindo, teremos...
h=b.c/a
igualdade que corresponde à..
65
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Prova 2-SULGÁS – Assistente de serviços administrativos - 2008
1) O número 68243M8 será divisível
por 6 se substituirmos a letra M por
A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 6.
Resolução
(Critérios de divisibilidade- Números naturais)
Para ser divisível por 6, o número deve ser divisível por 2 e por 3.
Como é par ( termina em 8 ), realmente será divisível por 2.
Para ser divisível por 3, a soma de seus algarismos deve ser um
múltiplo de 3, ou seja, um valor divisível por 3.
66
6+8+2+4+3+M+ 8 =
31 + M
Acima de 31, o próximo número que é divisível por 3 é o 33.
Logo, M pode ser substituído por .....2, pois totalizará 33.
Alternativa.....”B”
Obs: O “2” é o MENOR valor, que adicionado a 31 dará um múltiplo de
3, mas poderia ser também o “5” ( daria 36), o 8 ( daria 39), etc....
Porém, não há esses valores nas alternativas, mas sim, o 2.
Não havia, portanto, o que reclamar.
2) A alternativa abaixo, que apresenta
os números a = 1 - √5 , b = √3 , c = - √3 e
d = √5 - 1 em ordem crescente, é
A) a < d < b < c.
B) a < c < d < b.
C) a < c < b < d.
D) c < a < b < d.
E) c < a < d < b.
Resolução: (Números reais – Raízes)
67
Aqui, devemos ter uma noção dos valores das raízes quadradas de 3 e
5.
Anote no seu cerebrão..
√5 = 2,23 aproximadamente
√3 = 1,73 aproximadamente
√2 = 1,41 aproximadamente ( essa não aparece, mas...)
a = 1 - √5 = 1 – 2,23 = - 1,23
b = √3 = 1,73
c = - √3 = - 1,73
d = √5 – 1 = 2,23 – 1 = 1, 23
Ordenando..
c < a < d < b ( resposta)
Alternativa “E”
3) São irracionais todos os números do
conjunto
68
A) {-3, 0, 3} .
B) { √3, √4, √5} .
C) { √2, √3,√ -6}.
D) { √2, √3, √5} .
E) {
3√1,
√2, √3
}
( Obs. Do prof. “raiz cúbica de 1”)
Resolução: ( Números reais, comparação)
Números Irracionais são as Dízimas Não periódicas.
São os números que NÃO podem ser escritos na forma de fração.
Frequentemente têm origem nas raízes não exatas.
Por exemplo, raiz quadrada de 2, de 3, de 5, de 6, de 7, de 8, de 10,
etc..
Se é Inteiro, decimal exato ou dízima periódica, NÃO é IRRACIONAL.
Analisando as alternativas
A) {-3, 0, 3} .
Todos são Racionais, pois são inteiros.
B) { √3, √4, √5} .
√4 = 2, que é inteiro, logo é Racional ( os outros são irracionais)
69
C) { √2, √3,√ -6}.
√ -6 não é Real, logo não é Irracional ( os outros são)
D) { √2, √3, √5} .
Todos são Irracionais. Essa é a CORRETA.
E) {
3√1,
√2, √3
}
( Obs. Do prof. “raiz cúbica de 1”)
A raiz cúbica de 1 é igual a 1, logo é inteiro e, portanto, Racional. Os
outros são Irracionais.
Alternativa.....”D”
4) A função f(x) = x² - 4x + 8m, com
domínio no conjunto dos Reais, tem por imagem o
intervalo
(Obs: digitação errada!! Não existe o “m”. A função é:
f(x) = x² - 4x + 8 )
A) [4 ; +∞
∞) .
B) (-∞
∞ ; 4] .
70
C) [8 ; +∞
∞) .
D) (-∞
∞ ; 8] .
E) [4;8]
Resolução: ( Funções do 2º grau / Intervalos reais)
A imagem da função é a parte do eixo “y” que se obtém quando se
projeta a parábola sobre ele.
A parábola tem concavidade para cima, pois a>0.
O ponto de mínimo ( yvértice) será dado pela fórmula....
yvértice = - ∆/4a
Coeficientes da função: a = 1, b = - 4 e c = 8
Calculando o “Delta”
∆ = b2 – 4ac
∆ = ( -4)2 – 4 . 1 . 8
∆ = 16 – 32
∆ = - 16
yvértice = - ( -16) / 4 . 1
71
yvértice = 4
Interpretação:
A parábola “vem” do infinito (∞), “descendo”, até o ponto 4(eixo y ).
Aí, volta a “subir”, para o infinito (∞).
Então, a Imagem da função vai do 4 (inclusive) para cima ( para o.......
+∞
∞)
Im = [ 4 ,
+∞
∞ [ ου [ 4 , +∞
∞)
5) As funções f(x) = 4x - 1 e g(x) = 81 - x
são iguais para
A) x = 0.
B) x = 1.
C) x = 2.
D) x = 3.
E) x = 4.
72
Resolução: ( funções)
Duas funções são iguais quando............são IGUAIS!! ( ahaha..)
( Matemática é muuuito divertido !!)
Ou seja:
f(x) = g(x)
ou seja
4x - 1 =
81 - x
Fazendo as bases ficarem iguais.....( base 2 )
(22 )x – 1 = ( 23 )1 – x
22x – 2 = 23 – 3x
Potências de base iguais, que são iguais, ....tem expoentes iguais !!
73
Logo, 2x – 2 = 3 – 3x
2x + 3x = 3 + 2
5x = 5
x = 1 ( resposta)
Alternativa......”B”
......................................
...........
6) Os números a, b e c estão em
progressão geométrica de razão
1/2 e a soma a+b+c = 35. Nessas condições, o valor de a+b é
A) 10.
B) 15.
C) 20.
D) 25.
E) 30.
Resolução: ( Progressões geométricas)
Se é PG de razão 1/2 , então:
74
b = a . 1/2 = a/2
c= a . 1/2 . 1/2 = a/4
a +b +c = 35
a + a/2 + a/4 = 35
7a/4 = 35
a = 20
Daí, a PG é....20, 10, 5
a + b = 20 + 10 = 30 ( resposta )
7) É verdadeira, para qualquer valor
real de x, a igualdade
A) tgx = cosx/senx
B) secx = 1/senx
C) sen²x = 1 - cos²x.
75
D) tgx = senx + cosx.
E) senx + cosx = 1.
Resolução: ( Relações Trigonométricas)
A relação Trigonométrica Fundamental é “sen²x + cos²x = 1 “
Ou seja...... sen²x = 1 - cos²x.
Alternativa.....”C”
8) Um triângulo equilátero inscrito em
um círculo de raio 2cm tem área, em cm², igual a
A) √3 / 2.
B) √3.
C) 2 √3.
D) 3 √3.
E) 4 √3.
Resolução: ( Geometria ) (Essa.....é triste ! prepare-se !)
Teoriazinha.....
76
Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa
circunferência de raio r, como mostra a figura.
A área do triângulo eqüilátero, dada em função do raio (r) do círculo,
será:
(Decoreba )
Como, no caso, r = 2...
A = 3 . 2² . √3 / 4
A = 3√3
Alternativa............. “D”
9) Se o diâmetro de um círculo mede
4cm, sua área vale
77
A) 16π
π cm².
B) 12π
π cm².
C) 8π
π cm².
D) 4π
π cm².
E) 2π
π cm².
Resolução: ( Geometria ) ( Essa .......é moleza ! relaxe !)
Se o diâmetro é 4, então o raio é 2, pois r = D/2.
Acírculo =
Acírculo =
π . R2
π . 2² = 4 π cm2 (resposta)
Alternativa......”D”
11) O número de anagramas distintos,
que podem ser formados com as letras da palavra
COBRA, é
A) 120.
B) 64.
C) 48.
78
D) 36.
E) 24.
Resolução: ( Análise Combinatória)
O número de Anagramas de uma palavra que NÃO tem letras
repetidas é........a permutação do número de letras, ou seja, o fatorial
do número de letras.
Nº de Anagramas de uma palavra com “n” letras = Pn = n !
No caso, a palavra tem 5 letras..
P5 = 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas
Alternativa.........”A”
11) Resolvendo-se corretamente o
sistema
x + 2y + 3z = 4
3x+ 5y + 2z = 1
2x + 3y + 4z = 5
encontra-se para x + y + z
79
o valor
A) 1.
B) -1.
C) 0.
D) 2.
E) -2.
Resolução: ( Sistemas de equações)
x + 2y + 3z = 4
...........(I)
3x+ 5y + 2z = 1
..........(II)
2x + 3y + 4z = 5
..........(III)
Fazendo a equação (III) menos a equação (I), membro a membro.....
(2x + 3y + 4z )
-
( x + 2y + 3z ) = 5 - 4
Ou seja....
X+y+z=1
Alternativa................”A”
80
......................................
Funções do 2º grau
prova: CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Fiscal Municipal
Disciplina: Matemática | Assuntos: Função do 2º grau;
Qual é o valor de k no gráfico a seguir, considerando que o mesmo é de uma função do
2º grau?
•
a) 5
•
b) 7
•
c) 10
•
d) 9
•
e) 8
Resolução:
Uma equação do segundo grau pode ser escrita em função da Soma
(S) das raízes e do produto(P) das raízes, assim...
X² - Sx + P = 0
No caso, S = 2 + 4 = 6
eP=2.4=8
81
Então a equação é : x² - 6x + 8 = 0
Como ponto de corte do eixo y é o termo independente da função
( c ), então k ( que é o ponto de corte do eixo y) será....8.
Alternativa....”E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações..
Sou aluna do cetec, turma manha tecnico judiciario,manha....nao consegui resolver esse
exercicio...me ajudaaaaa
Um funcionario fez, pela manha, a digitacao de 2/12 da tarefa que deveria realizar e,
a tarde, mais 4/6 dessa tarefa. Ao final do dia, que fracao de sua tarefa ele conseguiu
digitar?
Obrigadaaaa
Resolução:
Basta somar o que foi feito...( lembre-se que 2/12 = 1/6 )
1/6 + 4/6 = 5/6 Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..propriedades das operações.
Date: Thu, 2 Aug 2012 16:23:58 -0300
Subject: Dúvida.
Professor,
Em relação às Operações elementares e suas propriedades.
Meu irmão me questionou por que o elemento neutro só é válido para x e +, se um
número qualquer dividido por 1 ou um número qualquer menos zero também ficaria
neutro. Ou eu entendi errado?
82
Grata,
Olá, boa pergunta !
Na verdade, para o elemento ser "neutro" não basta que a operação com ele dê o
próprio número !
Tem que valer também a propriedade COMUTATIVA. Veja:
0 + 5 =5 + 0 = 5 ( vale a comutativa )
1 . 6 = 6 . 1 = 6 ( vale a comutativa )
Mas.....
3 : 1 é diferente de 1 : 3 ( não vale a Comutativa !!)
por isso a propriedade do elemento neutro não existe para a Divisão.
Capite ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica das proposições
(FCC)Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, três
funcionários do Ministério das Relações Exteriores prestaram
os seguintes depoimentos:
- Aristeu: "Se Boris faltou, então Celimar compareceu."
- Boris: "Aristeu compareceu e Celimar faltou."
- Celimar: "Com certeza eu compareci, mas pelo menos
um dos outros dois faltou."
Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal
dia, é correto afirmar que
(A) Aristeu e Boris mentiram.
(B) os três depoimentos foram verdadeiros.
83
(C) apenas Celimar mentiu.
(D) apenas Aristeu falou a verdade.
(E) apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade.
Gabarito: letra D.
Poderia me explicar como foi o raciocinio?
Obrigada.
Olá, segue resolução.
Observe que o texto garante que os três compareceram !! Então isso é Verdade.
Julgando as declarações....(olhe o que as partes são e julgue pela tabela verdade )
Aristeu: "Se Boris faltou, então Celimar compareceu."
F
V......................................V
- Boris: "Aristeu compareceu e Celimar faltou."
V
F..........................................F
- Celimar: "Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou."
V
F...............................F
Obs: mas = e
Logo, apenas Aristeu disse a verdade
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sequência de operações
Mais uma duvida....
Um ônibus sai do ponto inicial com N passageiros.
No primeiro ponto desce 1/3 do total desses passageiros,ninguém sobe.
No segundo ponto desce 1/3 do numero de passageiros, ninguém sobe.
No terceiro ponto, desce 1/3 do numero de passageiros, ninguém sobe.
No quarto ponto sobem 19 passageiros, ninguém desce.
84
Se o ônibus chegou ao quinto ponto com o numero inicial N de passageiros, então N é um
número entre?
a) 10 e 15 b) 15 e 20 c) 20 e 25 d) 25 e 30 e) 30 e 35
Resolução: ( Sequência de operações )
Eram “N” passageiros
Se desce 1/3.......ficam 2/3 ( x 2/3)
Se desce 1/3.......ficam 2/3 ( x 2/3 )
Se desce 1/3.......ficam 2/3 ( x 2/3 )
Sobem 19.........( + 19 )
Ficam “N” passageiros
Fazendo o caminho contrário ( invertendo as operações )
(N – 19 ) x 3/2 x 3/2 x 3/2 = N
Resolvendo....
( N – 19 ) . 27 = 8N
27N – 513 = 8N
27N – 8N = 513
19N = 513
N = 513/19
N = 27 passageiros ( número inicial de passageiros ) – Resposta
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
85
pública foi dividida em partes proporcionais a 1, 2 e 3, para
atender, respectivamente, às despesas relativas a três rubricas:
A, B e C. Tendo sido efetuada uma transferência, para a rubrica
A, de 1/5 do valor destinado à rubrica C, as partes da verba
destinadas às rubricas A, B e C tornaram-se proporcionais,
respectivamente, a:
Resolução....
1/5 de C.......1/5 x 3 = 0,6
C fica.........2,4 ( pois são retirados 1/5 de C..........- 0,6 ))
A fica..........1,6 ( pois são acrescentados 1/5 de C a A.....+ 0,6) )
B continua......2
Fica:
1,6
2
2,4
Multiplicando tudo por 10......A, B e C ficam.......16....20.....24
Dividindo tudo por 4............................4......5......6 (resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Equaçoes/Geometria
86
Alô Me Zecchin, fui resolvendo os exercícios até a página 268, mas travei nessas duas
questões que seguem abaixo, poderia mostrar como resolvê-las? Muito obrigado.
3) Os lados de um retângulo são números pares consecutivos, se a área da figura é
224 cm², qual seu perímetro em metros:
a) 0,6
b) 0,8
c) 1,0
d) 2,0
e) 1,6
Resolução:
Se os lados são números pares e consecutivos, então um lado é x e o outro é x + 2.
A área do retângulo é o produto dos lados, logo...
x . ( x + 2 ) = 224
x² + 2x – 224 = 0
∆ = b² - 4ac
∆ = 2² - 4.1.(-224)
∆ = 900
.x = (- b +- V∆) / 2a
.x = (- 2 +- 30 ) / 2
.x’ = 14
.x” = é negativa e, por isso, não consideramos ( não há lado negativo)
Daí, um dos números( x) é 14 e o outro ( x + 2 ) é 16.
É pedido o PERÍMETRO ( soma dos 4 lados ).
Per. = 14 + 14 + 16 + 16 = 60 cm = 0,6 metros
Alternativa .....”A”
87
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>sistemas
Página 268
5. Para retirar um caminhão encalhado foram necessários 10 homens, 2 cavalos e 5
cachorros, puxando um cabo. Se o peso do caminhão é 7,8 toneladas, quanto
consegue puxar um cachorro se o homem puxa um peso igual a 2/5 do cavalo e esse
igual a 10 vezes o peso que o cachorro puxa?
a) 1,20kg;
b) 1,20ton;
c) 0,12ton;
d) 012kg;
e) NDA.
Resolução:
H - peso que um homem puxa
C - peso que um cavalo puxa
K - peso que um cachorro puxa
H = 2C/5
C = 10.K ( logo, substituindo acima, H = 2.10K/5......H = 4K)
Mas,... ( agora, a equação principal)
88
10 homens, 2 cavalos e 5 cachorros, puxando um cabo. Se o peso do caminhão é 7,8 toneladas,
10H + 2C + 5K = 7,8
10. 4K + 2 . 10K + 5K = 7,8
65K = 7,8
K = 0,12 ton ( resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homes.
Quantos homens devem sair para que a porcentagem de homens na
sala passe a 98%.
a)1
b)2
c)5
d)10
e)50
A razão entre homens (H) e pessoas (P) era de 99/100. Saindo “x”
homens ficarão “99 – x” homens e “ 100 – x” pessoas.
A razão passará a ser 98/100...
( 99 – x ) / (100 – x) = 98/100
89
(99 – x) . 100 = 98 . (100 – x)
9900 – 100x = 9800 – 98x
2x = 100
X = 50 homens.....................letra “E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Lógica Proposicional – Argumentos Categóricos
Date: Mon, 6 Aug 2012 16:33:56 -0300
Subject: Dúvida questão 05 - parte B - Argumentos.
Professor, sou aluna do curso matemática e raciocínio lógico para o concurso do TJ/RS.
Fiz a questão 05 da parte de argumentos, entendi a resposta correta (consta no gabarito LETRA E), todavia
não entendi por que a letra C esta errada.
Segue a questão:
5) Todos os animais são seres da natureza e alguns animais são herbívoros. Daí:
a) Todo herbívoro é um ser.
b) Nenhum herbívoro é um ser.
c) Algum animal não é herbívoro.
d) O ser que não herbívoro, também não é animal.
e) O herbívoro que não for ser, não é animal.
Muito obrigada!!
Att.
Olá.
90
A letra "c" está errada pelo fato de ser possível um diagrama onde TODOS os animais
fique dentro de Herbívoros.
A proposição "Algum A é B" pode ser desenhada como uma intersecção de conjuntos (
que é o tradicional), mas também pode ser desenhada
com A dentro de B ( pois se todo A é B, então Algum A é B ).
Nessa possibilidade de desenho ( diagrama) não existiria animal que não é Herbívoro
Capite ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria
Professor Ivan
Fui sua aluna no curso do CETEC no RS.
Estou com uma questão que não consigo entender a resolução de uma parte dela, se o senhor
pudesse me ajudar eu agradeceria muito.
A questão é a seguinte :
Para uma apresentação de rock no pátio Duque de Caxias a banda foi ensaiar para conhecer
o espaço físico. A banda observou que o palco tinha um formato de um círculo inscrito em
um setor circular de 60 graus e nove metros de raio. Determine o raio do círculo inscrito.
A resposta é de 3m.
A minha dúvida é a seguinte foi dada a resposta da seguinte forma:
Considerar d a distância entre os centros dos círculos (sobre o segmento que divide o setor
circular ao meio)
Considerar x como o raio do circulo inscrito
Então
x = 9m -d
x+d = 9m
Do angulo formado pelo segmento d e um raio x, perpendicular a um lado do setor circular
tem-se que:
x= d/2
Aqui foi o meu problema , pois não entendi de onde saiu essa fórmula no contexto (X=d/2) .
91
Continua da seguinte forma
d = 2x
Logo:
x+d=9
x+2X=9
3X=9
X=3 m
Se puderes me responder agradeço de coração.
Obrigada
Oi
.
Quando foi traçado o segmento que divide o setor ao meio, o ângulo de 600 do setor foi
dividido ao meio também, em dois de 30 graus.
Ao traçar um raio do centro do círculo inscrito até o ponto onde o mesmo tangencia o
raio inferior do setor, formou-se um triângulo retângulo com hipotenusa “d” e o raio
“x” como cateto oposto a 30o .
Daí, temos que Sen30o = cat.op. / hip
Sen30o = x / d
1/2 = x/d
x = d/2 ou d = 2x
Tudo bem assim ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções - Equações
Grande Ivan... Estudando em cima da resoluções de questões de provas anteriores da
ESAF, FCC, etc.
Tranquei em uma questão que não tem me deixado dormir....
92
Te mandarei a questão e se possível que resolvas para mim detalhando os passos, pois
ao isolar as equações que interpretei da questão chego em uma equação de 2º grau...
( 3x² − 80x − 6000 ) E não sei se fiz os passos corretos para chegar a este ponto
E ao aplicar a Báskara nesta equação chego no resultado de Delta igual a (78400 - que
resulta 280). e daí não saio... E isso tem me tirado noites de sono.
Gostaria de saber aonde errei sendo que tenho evoluído bastante na resolução de
equações que são a minha maior dificuldade na disciplina.
Agradecido.
Um número é dividido em duas partes diretamente proporcionais a 3 e a 2,
respectivamente.
Dado que o quadrado da primeira parte menos quarenta vezes a segunda
parte é 2.000, determine o
número.
a) 50 b) 80 c) 100 d) 150 e) 200
Comentários:
Você não errou. Só parou antes da hora.
1º- O procedimento com o “CP” não deve ser usado quando forem
envolvidas potências.
2º - Resolução algébrica:
x e y são as partes.
=
x² - 40.y = 2000
isolando y na primeira.....y =
Substituindo na segunda....x² - 40 .
x² -
- 2000 = 0
mmc....
3x² - 80x – 6000 = 0
∆ = b² - 4ac
93
= 2000
∆ = ( -80)² - 4 . 3 . ( - 6000 )
∆ = 78400
x = ( - (-80) +- √78400 ) / 2.3
x = (80 +- 280 ) / 6
x’ = 60
Se x = 60.... substituímos em y =
y = 40
Daí, o número que foi dividido ( essa é a pergunta) será a soma dos
dois, ou seja......
100
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Funções
Um fabricante constatou que as equações de oferta e de demanda do produto que
2
fabrica são, respectivamente, 2p - 3x = 3 e p + x = 4, em que p é o preço por unidade do
produto no mercado, em reais, e x é a quantidade em milhares de unidades, demandada
pelos consumidores. Sabendo que o equilíbrio do mercado dá-se quando a oferta e a
demanda são iguais assinale a opção incorreta.
a) A quantidade de equilíbrio do produto é de 1.000 unidades.
b) Se houver no mercado 1.100 unidades do produto, a diferença entre o preço da oferta e o
da demanda será maior que R$ 0,45
c) Se houver no mercado 1.500 unidades do produto, o preço de demanda será menor que
R$ 3,00 por unidades
d) Se o preço de cada unidade do produto cair para R$ 2,00 então a oferta ficará abaixo de
1.000 unidades.
e) O preço de equilíbrio do produto é de R$ 3,00.
RES:.....
a) Equação de oferta..............................2p - 3x = 3
94
2
equação de demanda ........................... p + x = 4
a alternativa afirma que para x = 1 ......oferta = demanda (equilíbrio)
oferta......2p – 3 . 1 = 3........2p = 6.......p = 3 (preço da unidade do produto)
demanda ....p + 1² = 4.....p+ 1 = 4.......p = 3 (preço da unidade do produto)
Realmente, para x= 1 (1000 unidades produzidas) ocorrerá equilíbrio no preço
Alternativa correta, mas a questão pede a “incorreta”......vamos à próxima !
b) 1100 unidades..........x = 1,1
oferta....2p- 3. 1,1 = 3.......2p – 3,3 = 3.....2p= 6,3......p= 3,15
demanda.......p + 1,1² = 4.....p + 1,21 = 4...... p =2, 79
diferença......3,15 – 2,79 = 0,36 < 0,45......alternativa incorreta
...e, já que não estou fazendo nada mesmo, vou comentar as outras...
c) 1500 unidades..........x = 1,5
2
equação de demanda ........................... p + x = 4
p + 1,5² = 4..................p + 2,25 = 4 .........p = 1,75 < 3...alternativa correta
d) p = 2
95
Equação de oferta..............................2p - 3x = 3
2 . 2 - 3x = 3..............4 – 3x = 3........3x = 1.....x = 1/3 = 0,333 .....333 unidades,
Que é menor que 1000.................alternativa correta
a) sim, já foi calculado na alternativa “a”......correto
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>Funções
Oi, Ivan! Sou tua aluna no Técnico Judiciário - CETEC.
Tem algum dia que dê para eu tirar dúvidas contigo lá no curso?
Segue uma delas...
A função f(x) = x² - 4x + 8m, com domínio no conjunto dos Reais, tem por imagem o
intervalo
a) [4;+ ∞)
b) (-∞,4]
c) [8;+∞
d) (-∞,8]
e) [4;8]
Sor, as alternativas 'b', 'd' e 'e' eu eliminei.. por razão da concavidade e do ponto
mínimo.
Mas em relação às alternativas 'a' e 'c', não consegui chegar a um resultado.
Xv= -b/2a então Xv= 2
Yv = -delta/4a e encontro o Yv substituindo o XV:
- (b²-4ac)/4a = 2² - 8 + 8m
- (16 - 32m)/4 = - 4 +8m
- 16 +32m = -16 +32m (Obs. do prof. .. gostei dessa !)
o que eu to fazendo de errado??
Obs.: essa questão está no nosso polígrafo, página 302.
Obrigada!
Olá.
A IMAGEM de uma função é a parte do eixo “y” que foi usadana
construção da parábola.
96
Como a concavidade é para cima, a parte do eixo “y” usada será do
vértice para cima, ou seja, do “y” do vértice para cima.
Yv = - ∆ / 4.a
∆ = ( -4 )² - 4 . 1 . 8
∆ = -16
Yv = - ( -16 ) / 4.1
Yv = 4
Daí, a Imagem da função será do “4” para cima, até o poderoso
infinito.
Im(f) = [4, ∞ [
( nunca se fecha o infinito )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
Oiii prof queria saber como se resolve essa questão por proporção
A soma das idades de ana e rodrigo é 26 anos. Se a idade de rodrigo é 8/5 da idade de ana,
então a idade de ana qual será?
NÃO TEM ALTERNATIVAS
EU CONSEGUI POR EQUAÇÃO E ACHEI A RESPOSTA MAS POR PROPORÇÃO NÃO, AJUDA AI IVAN
ABRAÇO
CALMA desesperada, vou ajudar !
A proporção é:
- a idade de Rodrigo(R) é 8/5 da idade de Ana (A)
R=
.A
Daí....
=
A soma de “R” com “A” é 26
97
Achando o CP...
CP = 26 / 13 ( os valores reais foram somados, então somamos os números
simplificados...8 + 5 = 13 e dividimos um pelo outro)
CP = 2
R = 8 x 2 = 16 anos
A = 5 x 2 = 10 anos
Pronto ! Tá mais calma ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>linguagem matemática-equações
Dez números inteiros consecutivos, somados totalizam 345. O menor deles vale:
a-26
b-27
c-28
d-29
e-30
Resolução:
x = primeiro número ( O MENOR deles )
Logo, a soma dos 10 números é:
x + x+1 + x+2 + x+3 +...........x+9
Como são 10 números, temos 10 vezes o “x”.....10x
Somando os números de 1 a 9...........45 ( Usando as P.A. ou o método Rural)
Daí, a soma é: 10x + 45 = 345
10x = 300
X = 30 ( resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria
A área sombreada representa da figura em que está contida.
(círculo dentro do quadrado)
98
a) 21,5%
b) 18,6%
c) 6,25%
d) 12,50%
RES:
Se um círculo está inscrito no quadrado, então seu raio(R) é sempre a metade do
lado do quadrado, daí, pode-se supor qualquer valor para o lado e o raio será
metade.
Por exemplo,lado = 10.......R = 5
Área do quadrado = l² = 10² = 100
Área do círculo = Π.R² = 3,14 . 5² = 3,14 . 25 = 78,5
A questão quer saber o que a área sombreada (quadrado – círculo) representa dá
área em que está contida (quadrado)
Área sombreada = 100 – 78,5 = 21,5
Área do quadrado = 100
Quando se quer saber o que um valor é de outro, percentualmente, divide-se um
pelo outro .
21,5/100 =
21,5%
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria/Porcentagens
99
Num triângulo equilátero, de área 3 cm² inscreve-se outro
triângulo equilátero, de modo que cada lado do novo
triângulo é perpendicular a um lado do triângulo inicial. A
área da região exterior ao menor triângulo, mas interior ao
maior, é:
A) 2 cm2
B) 3 cm2
C) 1,5 cm2
D) 2 cm2
E) 1 cm2
Resolução: fazer....ver raízes...alternativas ..?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas de equações
Estou com dúvida na questão nº 4, da p. 94 da apostila do Extensivo de Raciocínio Lógico. Sou
aluna do CETEC TJ manhã e do Extensivo.
Questão:
Em uma unidade do TJ há 12 técnicos a mais que analistas e o dobro do número de analistas
adicionado à metade do número de técnicos totaliza 26. Qual o número total de funcionários
(técnicos e analistas)?
a) 8
b) 20
c) 26
d) 28
e) 36
Muito obrigada pela atenção.
De nada .
Resolução:
Da frase: “há 12 técnicos a mais que analistas”.....temos que: T = A + 12
Da frase: o dobro do número de analistas adicionado à metade do número de técnicos
totaliza 26........temos que : 2A + T/2 = 26
100
Substituindo a primeira na segunda.....2A + (A+ 12) / 2 = 26
MMC....
4A + A + 12 = 52
5A = 40
A = 8 ( analistas)
Como T = A + 12
T = 8 + 12
T = 20 ( técnicos)
Total de funcionários: 20 + 8 = 28
Alternativa......”D”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções ......difícil !
2)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Funções
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO (F) DO 1º GRAU INTERCEPTA O EIXO 0X NO PONTO 4 E O EIXO 0Y
NO PONTO 6, LOGO F(-2):F(2) VALE:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Se o gráfico intercepta OU em 6....então....b = 6
Se intercepta OX em 4....então......- b/a = 4
Como b = 6......- 6/a = 4......4a = - 6......a = -6/4......a = - 3/2
A função ( y = ax + b) ficará........y = (-3/2) x + 6
F(-2) = (-3/2) .(-2) + 6 = 9
101
F(2) = = (-3/2) .2 + 6 = 3
A questão manda dividir um pelo outro......9/3 = 3 ( resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica sentencial
Do ponto de vista lógico, qual a frase abaixo seria uma contradição?
R:Eu minto
Explicação:Se a pessoa é veraz e diz "eu minto" será F
Se a pessoa é falsa e diz "eu minto"será V
Mas a contradição não é justamente sempre falsa ?Nesse caso não seria uma
contingência?Não entendi.
Comentários do prof.
Tomando suas explicações...
Se a pessoa é veraz e diz "eu minto" será F
Exatamente!! Mas como a pessoa é VERAZ, então não pode ser “F”...contradição !
Se a pessoa é falsa e diz "eu minto"será V
Exatamente !! Mas como a pessoa é mentirosa não pode ser “V”....contradição !
Essa afirmativa ( Eu minto) não pode ser dita por pessoa alguma, pois gera uma contradição.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>lógica sentencial
Date: Thu, 9 Aug 2012 12:56:04 -0700
Subject: Re: Questão 35/Lógica
Ok. Eu realmente não havia tentado dessa forma.
Poderia explicar porque "ou P ou P" é uma contradição ?
Olá.
"P" é "V" ou "F".
se for "V", teremos as duas partes verdadeiras, o que gera uma disjunção exclusiva
FALSA ( tabela)
se for "F", teremos as duas partes falsas, o que gera uma disjunção exclusiva FALSA (
tabela)
102
Ou seja, para qualquer valor de P, teremos resultado falso................contradição !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas
Oi professor...tinha enviado essa abaixo mas tu ainda nao respondeu,quando der....te
agradeço, e vai, mais uma....
Considerando o sistema
x+y+z=7
2x + y - z = 9
x - 2y + 2z = 2
o valor da incógnita z ? ....achei 1, mas pelo gabarito da 2....obrigadaaaa
Resolução:
É “1” mesmo...
Multiplicando a segunda equação por 2, teremos...
4x + 2y – 2z = 18
Somando a equação acima com a terceira equação do sistema, teremos...
5x = 20
Daí, x = 4
Substituindo x por 4 na primeira e na segunda equações do sistema, teremos...
y + z = 3 (*)
y–z=1
Somando as duas....
2y = 4
y=2
Substituindo y por 4 na equação (*)
y + z = 3 (*)
103
1+z=3
z = 1 ( Resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.sequência de operações
Um mesmo caminhão fez três viagens para transportar alguns animais.
Na primeira viagem foi levada a terça parte do total de animais e, a cada viagem subsequente,
a terça parte do numero restante.
Se após as três viagens 16 animais deixaram de ser transportados, o numero de animais que
havia inicialmente era:-)
A)54-resposta do gabarito
B)56
C)60
D)64
E)68
Resolução:
Observe as operações que foram realizadas e faça o caminho contrário...
Era um número desconhecido de animais..
Levaram 1/3.....sobraram 2/3 ( x 2/3)
Levaram 1/3......sobraram 2/3 ( x 2/3)
Levaram 1/3.......sobraram 2/3 ( x 2/3 )
Restaram 16
Caminho contrário..
16 : 2/3 = 16 x 3/2 = 24
24 : 2/3 = 24 x 3/2 = 36
36 : 2/3 = 36 x 3/2 = 54 animais ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções
Boa noite professor!
Mais uma duvida!
Questão 7 pg 275
104
Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obter os valores de a-b.
A) -1
B) -2
C) -3
D) -4
E) -5
Resposta: B
Professor tentei montar o gráfico de acordo com a formula básica das funcoes de 1o grau, mas
acho que sou meio lenta e não consegui encontrar os valores, pois pensei que o b fosse o
resultado da f(x), onde corra o eixo y, mas dai não da esses valores!
Beijos
Resolução:
f(-2) é o valor de y, quando x = -2, então y = 8
A função é f(x)=ax+b ou seja y =ax+b
Substituindo x por -2 e y por 8....
8 = a.(-2) + b
-2a + b = 8
f(-1) é o valor de y, quando x = -1, então y=2,
A função é f(x)=ax+b ou seja y =ax+b
Substituindo x por -1 e y por 2....
2 = a.(-1) + b
-a+b=2
Formando um sistema com as duas equações obtidas...
-a+b=2
-2a + b = 8
Multiplicando a primeira por -1, teremos...
a – b = -2
O sistema fica....
105
a – b = -2
-2a + b = 8
.....................
Somando as equações, membro a membro...
-a=6
a = -6
substituindo “a” em qualquer uma das equações acima, encontraremos..
b=-4
É pedido “a – b “
-6 – ( - 4 ) = -2 ( Resposta)
Alternativa....”B”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções
Suponha que o custo, em reais, de produção de x unidades de certo artigo seja
calculado pela expressão C(x)= -x²+24x+2. Se cada artigo for vendido por R$4,00,
quantas unidades deverão ser vendidas para que se obtenha um lucro de R$19,00?
a)18
b)21
c)25
d)28
e)30
Resolução:
VENDA = CUSTO + LUCRO
CUSTO DE “X” UNIDADES = -x²+24x+2
LUCRO = 19
PREÇO DE VENDA DE “X” UNIDADES = 4 . X ( pois cada unidade é vendida por R$ 4)
Substituindo na expressão acima....
4x = - x² + 24x + 2 + 19
106
- x² + 20x + 21 = 0
Resolvendo....( Soma e Produto ou a fórmula da múmia )
X = 21 ( a outra resposta é negativa e não interessa, pois x não pode ser negativo)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisibilidade – MMC
Um Auxiliar Judiciário, querendo se organizar, precisa agrupar uma
série
de processos que estão em seu gabinete.
Percebe que se montar grupos de 2 processos, fica 1 sobrando. Caso
agrupe de 3 em 3 processos, sobram 2. Caso agrupe de 4 em 4
processos,
sobram 3. Caso agrupe de 5 em 5 processos, sobram 4. Caso agrupe
de 6 em 6 processos, sobram 5. Caso agrupe de 7 em 7 processos,
sobram 6. Caso agrupe de 8 em 8 processos, sobram 7. E finalmente
se agrupar de 9 em 9 processos, sobram 8 processos. Sabendo que
são menos de 2600 processos, quantos processos o Auxiliar
Judiciário
possui ?
a. 2.500
b. 2.519
c. 2.520
d. 2.521
e. 2.529
Solução -1.
107
Seja x o número processos procurados.
Vamos acrescentar 1 ao número x.
Vemos agora que x + 1 é divisível por 2 (resto zero), e evidentemente
que também
será divisível por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (resto zero). Por esse raciocínio x +
1
será o M.M.C. (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2.520
Logo: x + 1 = 2.520
x = 2.519
Resposta “B”
Solução-2........mais detalhada.
Quanto ao número em questão.....
Se aumentasse 1, ficaria divisível por 2, pois está sobrando 1.
Se aumentasse 2 fica divisível por 3, pois está sobrando 2.
Se aumentasse 3 fica divisível por 4, pois está sobrando 3.
Se aumentasse 4, fica divisível por 5, pois está sobrando 4.
......
Ou seja, se o número tivesse uma unidade a mais do que tem, seria
divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Teorema da Matemática: “ Se um número é divisível por x, y,
z,....então é divisível pelo MMC desses números.”
Por exemplo: se é divisível por 4,5 e 6 então será divisível por 60, que
é o MMC de 4, 5 e 6.
108
Voltando ao problema, se o número procurado( + 1) é divisível por
2,3,4......,9, então é divisível pelo MMC deles.
Calculando o MMC encontra-se 2520. O nº procurado é 2520 ou um
múltiplo dele ( 5040, 7560, etc), mas como é menor que 2600, então é
ele mesmo ( O Nº + 1).
O número procurado, então é o 2519.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>operações básicas
Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem
apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas
e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual
a:
a) 6480
b) 6686
c) 6840
d) 5584
e) 5960
Resolução.......é uma continha de “vezes”....muito divertida !
N = ___ _____
_____
109
x
9
_______________
P=
.....364
9 vezes quanto dará um número terminado em 4 ??? Heeeeim ?
6 !! dará 54
Fica o 4 e sobe o 5.
daí, a casa das unidades de N será 6.
9 vezes quanto, mais 5 (que subiu), dará um número terminado em 6
?? Peeeeensa
!
O produto terá que terminar em 1, pois ao acrescentar 5 ficará 6, não
é?
Então a casa das dezenas de N..............será 9 (pois 9x9 = 81)
81 + 5 = 86
Fica o 6 e sobe 8.
9 vezes quanto, mais 8 (que subiu) dará um número terminado em 3 ??
Foooorça !!
110
O produto deverá terminar em 5, pois 5+8 = 13 (termina em 3)
Então, a casa das centenas de N será..........5,pois 9 x 5 = 45, que
sendo acrescido de 8 dará 53.
Como não tem mais algarismos em N, o resultado (P) será 5364 e N
será 596
Ele pede a soma de P com N..................5364 + 596 = 5960...........letra
"E"
Pronto, doeu ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações
Um certo número de alunos é aprovado em um concurso. No exame
psicotécnico 3/8 são reprovados. Do restante, 2/5 rodam no teste físico. Se
a metade dos classificados é 45, determine o número inicial de aprovados.
Resolução:
X = nº de alunos (aprovados no concurso)
Reprovados no psicot.......................3/8 . X
Sobraram...........5/8 . X
Reprovados no teste físico..................2/5 . 5/8 . X = 1/4 . X
TOTAL de reprovados........3/8 . X + 1/4 . X = 5/8 . X
111
O restante....3/8 . X é de aprovados
A metade corresponde a 45
(3/8 . X ) / 2 = 45
3/8 . X = 90
X = 8 . 90/3
X = 240
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Números
Subject: Questão de matemática
Sejam X e y dois números reais não nulos e
distintos entre si. Das alternativas a seguir, a única
necessariamente verdadeira é:
a) x < y
b) x < x + y
c) y < xy
112
d) x² = y²
e) x² - 2xy + y² > 0
Como se resolve essa???????
Obrigada
Resolução
"O quadrado da diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes
o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo"
leeeeeeeembra ?
Pois é, a segunda parte da igualdade é o que está na letra "e"
Lembre-se também que qualquer número diferente de zero, elevado ao quadrado, fica
POSITIVO.
Daí, o resultado da expressão da letra "e" será sempre positivo ( ou seja, maior que zero..".>
0" )
As outras...
a) x < y
para x = 5 e y = 2,por exemplo.......é falso
b) x < x + y
113
para x = 3 e y = -5,por exemplo.....é falso
c) y < xy
para x= -2 e y = 2,por exemplo.....é falso
d) x² diferente de y²
para x = 2 e y = -2,por exemplo......é falso
já, na letra "e"
e)
x² - 2xy + y² > 0
corresponde a ( x - y ) ² que pelo fato de estar ao quadrado e x
ser diferente de y,
o que faz com que não dê zero dentro do parênteses, sempre
será positivo.
CAPITE ?
114
><><>><><>>><><><><<>><><<<<><><><><><><><><><><><><>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
Letícia foi demitida de seu emprego, e o valor que ela recebeu de
rescisão contratual, aplicou a metade à taxa de juros simples de 1,8%
ao mês, e a outra metade à taxa de juros simples de 2,4% ao mês.
Após um mês de dinheiro aplicado, Letícia precisou retirá-lo da
aplicação e recebeu um montante de R$1.837,80. quanto Letícia
recebeu na rescisão contratual?
PELA Matemática Clássica
Recebeu "X"
1ª aplicação.....C = X/2
M = C. ( 1 + i . t)
M = x/2 . ( 1 + 0,018 . 1)= 0,509X
2ªaplicação....C = X/2
M = x/2 . ( 1 + 0,024 . 1) = 0,512x
Somando, deve dar 1837,80
0,509x + 0,512x = 1837,8
1,021x = 1837,8
115
x = 1800 ( Valor recebido na rescisão)
PELA "Lógica"
Ela ganhou 1,8% de uma metade e 2,4% de outra metade (que são
iguais), logo ganhou
4,2% de metade,ou seja, 2,1% de tudo.
Quem ganha 2,1% de algo, fica com 102,1% do todo, daí, 1837,8
corresponde a 102,1%
1,021 . tudo = 1837,8
tudo = 1800
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>paridade
Se x e y são números inteiros tais que x é par e y é impar, considere
as seguintes afirmações :
I-
x + y é ímpar.
II - x - 2y é ímpar.
III - (3x) . (5y) é ímpar.
É correto afirmar que
116
(A) apenas I e II são verdadeiras.
(B) apenas II e III são verdadeiras
(C) I, II e II são verdadeiras
(D) I , II e II são falsas
(E) apenas I é verdadeira
Resolução: (NÚMEROS NATURAIS – PARIDADE)
Observações...( estude isso !!)
1- A soma de dois pares é sempre par.
2- A soma de dois ímpares é sempre par.
3- A soma de par com ímpar é sempre ímpar.
4- Todo nº natural multiplicado por 2, fica par.
5- Somente são classificáveis como par ou ímpar, os números
Naturais .....{0, 1, 2, 3, 4, 5,.....}
6- Um par, multiplicado por qualquer outro natural, fica par
7- Um ímpar, multiplicado por um par, fica par, mas multiplicado por
um ímpar, fica ímpar.
Daí...
I-
x + y é ímpar. Verdade, observação 3, acima.
117
II x - 2y é ímpar. Falso, pois pode dar negativo, portanto nem par
nem ímpar, observação 5, acima. Além disso, a diferença entre dois
pares, quando não for negativa, será par.
III (3x) . (5y) é ímpar. Falso, pois a expressão é equivalente a
15 . x.y sendo que x.y é par (observação 7) e 15 vezes um par é par
(observação 7)
Acabou....que pena.
Alternativa “E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Porcentagens
(FAURGS/AFTE-2006) Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas
e os demais, meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não
aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem ler:
a) 24
b)216
c)324
d)360
e)540
Resolução:
Meninas = 40% de 600 = 0,4 . 600 = 240
Meninos = 600 – 240 = 360
Meninos analfabetos = 10% de 360 = 36
Meninos alfabetizados = 360 – 36 = 324 ( Resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporcionalidade
Sou aluno do Cetec, Ministério da Fazenda. Estou em dúvida na questão abaixo. Cheguei no
resultado de 2kg. O senhor poderia me auxiliar?.
Att.,
Cr.....
Se 30 galinhas botam 30 dúzias de ovos em
30 dias, e se 20 galinhas comem 20 quilos de
ração em 20 dias, então qual é a quantidade de
ração necessária para se obter duas dúzias de
ovos ?
118
a) menos de 2 kg;
b) mais de 2kg e menos de 3,5kg;
c) mais de 3,5kg e menos de 5 kg;
d) mais de 5kg e menos de 7 kg;
e) mais de 7kg.
Resolução: ( Raciocínio proporcional )
Observe que a quantidade produzida ( ovos, no caso) sempre se divide entre as partes, mas o
tempo não se divide entre as partes.
Se, por exemplo, duas pessoas comem 2 quilos de comida, então cada um comeu um quilo.
Se duas pessoas ficam em um restaurante por duas horas, cada uma fica por duas horas !!
Daí...
Se 30 galinhas botam 30 dúzias de ovos em
30 dias
Cada galinha põe uma dúzia.....em 30 dias !!
se 20 galinhas comem 20 quilos de
ração em 20 dias,
cada galinha come um quilo........em 20 dias !!
Pergunta:
então qual é a quantidade de
ração necessária para se obter duas dúzias de
ovos ?
Para por uma dúzia, uma galinha leva 30 dias, então para por duas
dúzias levará........60 dias.
Em 20 dias a galinha come um quilo de ração, então em 60 dias (
tempo necessária para que ela coloque 2 dúzias de ovos) ela
comerá......3 quilos !! ( Resposta )
Obs. Veja que não é possível montar uma regra de três, de imediato, pois as
grandezas não “batem”.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Reajustes sucessivos
Boa tarde, professor!
Estou com dúvida em relação a esta questão:
119
"SE O SALÁRIO DE PEDRO SOFREU TRÊS REAJUSTES SUCESSIVOS DE 8%, 5% E
X%, ACUMULANDO UM TOTAL DE 19,637%, ENTÃO O VALOR DO TERCEIRO
REAJUSTE (X) FOI DE:
A)4,0%
B)4,5%
C)5,3%
D)5,5%
E)5,7%
Não sei o que estou fazendo de errado, mas só encontro a alternativa "D" (5,5%).
Desde já, agradeço a sua atenção!
Abraços
Resolução:
Subiu 8%.......vai para 108% = 1,08 ( 1 + 0,08)
Subiu 5%........vai para 105% = 1,05 ( 1 + 0,05)
Subiu x%........vai para ..........=1,... ( 1 + x )
Se o acumulado é 19,637%, então o Valor Final é 119,637% = 1,19637
Valor final = 1,08 . 1,05 . ( 1 + x ) = 1,19637
1,134 . ( 1 + x ) = 1,19637
1 + x = 1,19637/1,134
1 + x = 1,055
x = 0,055
x = 5,5%
Alternativa ....”D”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..........................
...............................................Regras de três>
Olá, prof. Ivan!
Sou aluna do curso do CETEC para o TJ.
Consegui fazer essa questão, mas com muita demora. Gostaria de saber como você a
resolveria.
Obrigada,
Á.....................
120
24Kg de fio tecem 120 metros com largura de 0,82 metros. Então 30Kg de fio tecem
quantos metros com largura de 1,23?
R. 100 metros
Resolução: ( Regras de três )
Colocando as grandezas e os dados....
Kg de fio
metros(comprim.)
24
metros (larg.)
120
30
0,82
x
1,23
-------------------------------------------------------------------------seta para cima em comprimento( sempre onde está a variável)
julgando as grandezas......
-Para produzir MAIS metros são necessários MAIS KG.....Diretamente
-Para que seja MAIS comprido é necessário que seja MENOS largo....Inversamente
(pense em um pedaço de pano; para ficar mais comprido é preciso que se reduza a largura)
Então fica.....
Kg de fio
24
↑
metros(comprim.)
120
30
↑
metros (larg.)
0,82
x
1,23
-----------------------------------------------------------------------------=
,
,
.
Simplificando......24 com 30.....
=
.
,
,
121
↓
=
,
,
Multiplicando “em cruz” e isolando o “x”......
X = 4,1 . 120 / 4,92
Fazendo as continhas.....
X = 100 metros de comprimento ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica Matemática
Considere as sentenças seguintes:
2+2=6
4x4=34
7:1=1
26:2=5
Obviamente as quatro sentenças falsas! Entretanto, uma mesma alteração feita em cada
um dos doze números que nelas aparecem pode torná-las verdadeiras. Feita essa
alteração e mantidas as operações originais, então, entre os resultados que aparecerão no
segundo membro de cada igualdade, o menor será:
a-2
b-3
c-4
d-5
e-6
Resolução:
Bom, o caminho é testar !
Adicionando “2” a cada número ( nos 12 números) termos igualdades verdadeiras..
4+4=8
6x6=36
9:3= 3
28:4=7
A pergunta é: Qual o menor número que ficará do lado direito da igualdade ?
Resposta.....3
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria e equações do 2º grau
122
Os lados de um retângulo são números pares consecutivos, se a área da figura é
224cm², qual seu perímetro em metros?
a-0,6
b-0,8
c-1,0
d-2,0
e-1,6
Resolução:
Se os números são pares e consecutivos, então um deles é “x” e o outro é “x + 2”.
A área do retângulo se calcula multiplicando-se os lados.
Daí...
x . ( x + 2 ) = 224
x² + 2x – 224 = 0
∆ = b² - 4ac
∆ = 2² - 4 . 1 . ( - 224)
∆ = 4 + 896
∆ = 900 ( a raiz é 30 )
x = ( - 2 +- √900 ) / 2.1
x = ( - 2 +- 30) / 2
x = 14 ( a outra raiz é negativa e não existe medida de comprimento negativa )
Daí, um dos lados é 14 cm (x) e o outro será 16 cm ( x+2).
Perímetro é a soma dos 4 lados.
O retângulo tem 4 lados iguais, 2 a 2.
Per. = 14 + 14 + 16 + 16 = 60 cm
Como é pedido o perímetro em metros, passamos para essa unidade levando a vírgula 2
casas para a esquerda.
Per. = 0,6 metros ( resposta )
Alternativa....”A”
.............................................................................................................................................
..............................................................Regras de três
123
Maria percorreu, de bicicleta, 5 km em 60 minutos. Se ela aumentasse sua velocidade em 1/5,
quanto tempo levaria para percorrer os mesmos 5 km?
a) 50 min
b)55min
c)58min
d)60min
e)80min
Resolução:
Observe que a distância percorrida não mudou de valor, logo não é uma grandeza.
As grandezas a serem utilizadas são Velocidade e tempo.
Tempo(min)
60
X
Veloc
?
1/5 a mais que a anterior
Como não foi dada a velocidade inicial, pode-se colocar ali qualquer valor e o debaixo será 1/5
a menos.
Colocando 5, teremos que a outra será 5 + 1/5 de 5 = 5 + 1 = 6
Tempo e Velocidade são grandezas Inversamente Proporcionais, pois quanto mais
tempo é gasto em um percurso, a velocidade terá sido menor.
Então fica...
Tempo(min) ↑ Veloc ↓
60
5
X
6
........................................
"
=
"
x = 50 minutos ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>continhas
Olá Professor!
Segue a questão do arquivo "continhas" - pág 2:
e) (-3/2) x (+3,1) - (+8/7) x (-3/4) =
(Prof. não localizei o gabarito dessas questões, daí não estou conseguindo verificar se
estou adotando os procedimentos corretos para resolvê-las e se os resultados obtidos
estão corretos)....ou seja, novamente estou "desgovernada"...
O resultado que encontrei nessa questão: - 53,10/14
Resolução:
124
#
.
$
$
- .
%
#
&
=
#'
-
#"
%
=
Mmc ( 20, 7 ) = 140
#" $($
$&
=
#
$&
$
(Resposta)
Na forma decimal teríamos ( dividindo os dois).......- 3,792..
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas
6 cavalos e 2 jumentos conseguem arrastar, juntos, 600kg. Um jumento arrasta o que
um cavalo arrasta e mais 30kg. Quantos kg arrastam um cavalo e um jumento juntos?
A) 167;
B) 145;
C) 158;
D) 160;
E) 165.
Respostas:
6C + 2J = 600
J = C + 30
...........................
Substituindo J ( que já está isolado na segunda equação) na primeira equação.....
6C + 2.( C + 30 ) = 600
6C + 2C + 60 = 600
8C = 540
C = 67,5 Kg ( peso arrastado por um cavalo )
Voltando na equação J = C + 30
Substituindo C por 67,5...
J = 67,5 + 30
J = 97,5 Kg ( peso arrastado por um jumento)
A pergunta é “Quanto arrastam um cavalo e um jumtno?”
Somando...
C + J = 67,5 + 97,5 = 165 Kg ( Resposta )
125
Alternativa.............”E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
Pedro dispõe de R$ 110,00 em sua carteira, constituídos de notas de R$ 5,00 e
notas de R$10,00. Se gastar 25% das notas de R$10 e 50% das notas de R$5 ainda
lhe restará R$75,00. A razão entre o número de notas de R$10 e o número de notas
de R$5 de que Pedro dispõe em sua carteira, ao não gastar nenhuma delas, é de:
a)3/4
b)4/5
c)1/4
d)4/3 --- considerada a resposta certa pela banca.
e)7/10
Resolução:
Consideremos:
x = número inicial de notas de 5
y = número inicial de notas de 10
Então...
5x + 10y = 110
Simplificando por 5...
x + 2y = 22
Gasta 25% de y.....fica com 75% de y = 0,75y ( número de notas )
Gasta 50% de x.....fica com 50% de x = 0,5x ( número de notas)
Daí...
0,75y . 10 + 0,5x . 5 = 75
7,5y + 2,5x = 75
Dividindo por 2,5..
126
3y + x = 30
x + 3y = 30
Sistema...
x + 3y = 30
x + 2y = 22
...............................
Multiplicando a primeira por - 1….
-x - 3y = -30
x + 2y = 22
…………………..
Somando…
-y = - 8
y=8
daí…
Substituindo y por 8 em.... x + 2y = 22
Teremos x + 2.8 = 22..........x = 6
Como é pedida a razão entre y e x...
y/x = 8/6 = 4/3 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>...
Olá Professor,
Sou teu aluno do extensivo de Matemática e Rac/ Lógico no CETEC, turno noite.
Como se faz essa questão?
Uma bola colocada no chão é chutada p/ o alto percorrendo uma trajetória descrita pela
127
função y= - 40x² + 200x , onde y é a altura dada em metros atingida pela bola x segundos
após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que essa bola permanece no ar
correspondem respectivamente a?
a) 6,25m ; 5s
b) 250m ; 2,5s
c) 250m ; 5s
d) 250m ; 200s
e) 10.000m ; 5s
Resolução:
O momento da “decolagem” da bola e o momento em que volta ao solo são as raízes da
equação, pois são os momentos em que a parábola corta o eixo “x”, do tempo.
∆ = b² - 4ac = 200² - 4.(-40) . 0 = 200²
X = [( - 200 ) +- √
²] / 2.(-40)
X = -200 +- 200 / - 80
X’ = 0 ( partida da bola)
X” = 5 ( volta da bola ao solo)
Conclusão: a bola permaneceu no ar durante 5 segundos
A altura máxima é dada pelo “y” do vértice.....yv = - ∆ / 4.a
Yv = - 200² / 4 . ( - 40) = 200.200 / 160 = 250 metros ( altura máxima atingida pela bola)
Resposta: alternativa......”C”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações do 2º grau
Olá Professor,
Se P é um número Real, a equação x² + x + 1 = P possui 2 raízes reais distintas se e somente
se?
128
a) P > 3/4
b) P < 3/4
c) P > 4/3
d) P > 0
e) P é um número Real qualquer
Resolução:
Para ter duas raízes distintas, o “Delta” precisa ser maior que zero ( ∆>0).
Passando o “P” para o lado esquerdo da igualdade ( pois a equação sempre tem que ficar
igual a zero), teremos....
X² + x + 1 – P = 0
Daí, os coeficientes “a” , “b” e “c” são, respectivamente....1, 1 e 1-P.
b² - 4ac > 0
1² - 4 . 1 . ( 1 – P) > 0
1 – 4 +4 P > 0
-3 + 4P > 0
P > 3/4
Alternativa ....”A”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>equações do segundo grau
Olá professor,
O gráfico da função definida por f(x)= x² - mx + 2 intercepta o eixo x em um único
ponto.
O Valor do m é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) +-Raiz quadrada de 2
e) +- 2 Raiz quadrada de 2
Resolução:
129
Se o gráfico intercepta o eixo “x” em um só ponto, então há somente uma raiz, ou
seja, o Delta é igual a zero.
Logo..........b² - 4ac = 0
( - m )² - 4 . 1 . 2 = 0
m² - 8 = 0
m² = 8
m =∓ √
m = ∓2.√ ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
86713 ( Prova: FCC - 2011 - TRT - 4ª REGIÃO (RS) - Analista Judiciário - Tecnologia da Informação /
Raciocínio-Lógico / Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais; )
Ao saber que alguns processos deviam ser analisados, dois Analistas Judiciários do
Tribunal Regional do Trabalho - Sebastião e Johnny - se incumbiram dessa tarefa.
Sabe-se que:
- dividiram o total de processos entre si, em partes inversamente proporcionais a seus
respectivos tempos de serviço no Tribunal: 15 e 5 anos;
- Sebastião levou 4 horas para, sozinho, analisar todos os processos que lhe
couberam, enquanto que, sozinho, Johnny analisou todos os seus em 6 horas.
Se não tivessem dividido o total de processos entre si e trabalhassem simultaneamente
em processos distintos, quanto tempo seria necessário até que todos os processos
fossem analisados?
•
a) 5 horas e 20 minutos.
•
b) 5 horas.
•
c) 4 horas e 40 minutos.
•
d) 4 horas e 30 minutos.
•
e) 4 horas.
Resolução:
Questão relacionada à “Soma dos esforços”, mas precisamos descobrir em quanto tempo cada
um analisaria TODOS os processos, sozinho.
15 é o triplo de 3, logo Johnny analisa o triplo de processos que Sebastião analisa, pois a
divisão é em partes Inversamente proporcionais.
Supondo que eram 40 processos, então Johnny analisaria 30 e Sebastião, 10.
130
Descobriremos em quanto tempo cada um analisaria todos os 40 fazendo uma regra de Três.
Sebastião:
Horas
processos ( mais processos...mais horas – Diretas)
4
10
X
40
...............................
X = 40.4 / 10
X = 16 horas (para analisar todos, logo , em uma hora analisaria 1/16 do total)
Johnny:
Horas
6
X
processos ( mais processos.....mais horas – Diretas)
30
40
.............................
X = 40 . 6 / 30
X = 8 horas ( para analisar todos , logo, em uma hora analisaria 1/8 do total)
Eles juntam, então, seus esforços....
Tempo(h)
1
X
Processos
1/16 + 1/8 ( = 3/16)
1 ( todos)
......................................................
X = 16/3 horas = 5h e 20 minutos ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão de Inteiros
Na distribuição de 42 processos para análise entre um certo número de analistas judiciários,
foram destinados "n" processos para cada um. Sabendo-se que se um dos analistas não
131
participasse da distribuição caberia um processo a mais para casa um dos restantes, qual o
número de processos que cada analista recebeu?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolução:
Primeira situação ( a que ocorreu)
42 | A
0
n
Segunda situação ( a que poderia ter ocorrido, mas não ocorreu)
42 |A – 1
0
n+1
As alternativas trazem o número de processos que coube a cada um na repartição ( 1ª)
Ou seja, as alternativas trazem valores para “n”.
A alternativa correta será aquela que tiver um valor que atenda às duas divisões, lembrando
que é uma divisão de números inteiros, pois o número de processos não pode ser “quebrado”.
Na primeira divisão, os únicos valores possíveis só podem ser 6 ou 7. Os outros produziriam
divisão com resto ( ou números “quebrados”)
Testando os valores na primeira divisão, temos que
para n = 7.........teremos A = 6
Verificando esses valores na segunda divisão...
A – 1 = 5 ( pois A = 6)
n + 1 = 8 ( pois n = 7)
veremos que a divisão “ não bate”....42/5 não dá 8
132
Testando os valores na primeira divisão, temos que....
Para n = 6 ....teremos A = 7
Verificando esses valores na segunda divisão..
A – 1 = 6 ( pois A = 7 )
n + 1 = 7 ( pois n = 6 )
42 / 6 = 7 ( CORRETO !)
Daí, concluímos que n =6, ou seja, o número de processos que coube a cada um é 6.
Alternativa.......”B”.
RESOLUÇÃO ALGÉBRICA...
Resolução:
Primeira situação ( a que ocorreu)
42 | A
0
n
Ou seja...........n . A = 42
Segunda situação ( a que poderia ter ocorrido, mas não ocorreu)
42 |A – 1
0
n+1
Ou seja.......( n+ 1 ) . ( A – 1 ) = 42
Desenvolvendo....
nA – n + A -1 = 42 ( lembre-se que nA = 42 – primeira equação )
42 – n + A = 43
A–n=1
Ou seja.......A = 1 + n
Substituindo na primeira equação...
133
n . A = 42
n . ( 1 + n ) = 42
n² + n – 42 = 0
Por Soma e produto ou por “Báskara”, encontraremos... – 7 e 6
A resposta negativa é desprezada, pois não existe número negativo de processos.
Daí......n = 6 ( processos por Analista )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisibilidade
ivan eis a questão
1- sejam x e y números naturais maiores do que zero sendo o 1º divisível por 12 e o 2º
divisível por 15 . sabendo-se que x+ y é divisível por 12 , o menor valor de y é :
a- 75
b- 45
c- 60
d- 30
e- 15
Resolução : ( fazer ou não fazer ??....eis a questão !)
FAZER!!
Se a soma dos dois é divisível por 12, então os dois tem que ser divisíveis por 12 !
( x + y ) / 12 = x/12 + y/12
134
y é múltiplo de 15....
O menor número que é múltiplo de 15 que também é múltiplo de 12
é................................o MMC de 12 e 15 ! ou seja.....60.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>equações das pombinhas !
Prof Ivan bom dia!
Sou sua aluna no TJ e no Raciocinio lógico, tem uma questão em um material que tenho
que não consegui resolver , por favor me ajude?
Soberbo e orgulhoso, o gavião entrou no pombal e cumprimentou ironicamente as
assustadas pombas:
"Como vão, mil pombinhas?"
"Não somos mil", respondeu uma delas. "Mas, se juntássemos a nós outro tanto do
que somos, a metade de nós, a quarta parte de nós, a quadragésima parte de nós e
mais tu, gavião, aí sim seríamos mil". Humilhado e surpreso com a resposta da
valente pomba, o gavião voou bem alto, refugiando-se no cume de uma montanha
para decifrar o enigma. Quantas pombas havia no pombal?
a) 250 pombas
b)360 pombas
c)420 pombas
d)480 pombas
e)482 pombas
Agradeço e espero seu retorno
Resolução:
Número original de pombas = x
“outro tanto” = x
“A metade” = x/2
“ a quarta parte” = x/4
“ a quadragésima parte” = x/40
O gavião = 1
Somando, o resultado será 1000.
x + x + x/2 + x/4 + x/40 + 1 = 1000
mmc...( 40)
135
40x + 40x + 20x + 10x + x + 40 = 40000
111x = 39960
x = 39960 / 111
x = 360 ( número inicial de pombas )
Alternativa.......”B”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>CP
Subject: Duvida TJ
Date: Mon, 13 Aug 2012 17:10:52 -0300
Olá Professor!
Fazendo alguns exercícios me surgiu uma dúvida.
Quando a questão fala que dividiu de forma inversmente proporcional e são
3 números distintos como é que eu faço o CP?
Pois o que me lembro da aula é de ter que transformar em fração os
numeros que são inversamente proporcionais, mas não sei, pois olhei e não
fiz nenhum exercício que fosse somente inverso e com mais de 2 numeros.
Comentários....
Olá, inverta os valores dados e divida a quantidade total pela soma desses números.
Ex.
Dividir 600 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 8
1nverta os números....1/3, 1/4 e 1/8
Divida 600 pela soma deles ( 1/3 + 1/4 + 1/8 )
Esse será o CP.
Multiplique o CP encontrado por cada uma dos números invertidos e ache a quantidade
que cabe a cada um...
É isso
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações
136
Mais uma dúvida professor...vou lotar a sua caixa de entrada!
Certo dia Jairo comentou com seu colega Luiz: " Hoje eu trabalhei o equivalente a
4/9 do dia, enquanto você trabalhou apenas o equivalente a 7/20 do dia." Com base
nasa informação, quanto tempo Jairo trabalhou mais que Luiz?
A) 1 hora e 50 min
B) 2h e 16 min
C) 2h e 48 min
D) 3h e 14 min
RESPOSTA: B
Essa não consegui nem montar...
Resolução:
É só fazer a diferença dos tempos e lembrar que o dia tem 24 horas.
Jairo trabalhou 4/9 do dia
Luiz trabalhou 7/20 do dia
Diferença = 4/9 – 7/20 = ..mmc..(180) ...= (80 – 63) / 180 = 17/180... DO DIA
$%
$
. 24 horas = 2horas e 16 minutos
Alternativa....”B”
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::Trigonometria
Preciso de ajuda.....Sou sua aluna do TJ-Cetec
Questão 75 da prova da Câmara Municipal de Poa 2012 Assistente Legislativo
I
Uma pessoa com 170cm de altura avista o topo de um prédio a uma
distância de 21m deste, sob um ângulo de 45°.
Nessas condições, a altura do prédio é igual a
A)21,0m
B)22,7m
C)24,0m
D)25,7m
137
Resolução:
A distância da pessoa ao prédio ( 21 m ), a altura do prédio( h) e a distância da pessoa
ao TOPO do prédio formam um triângulo retângulo,monde a altura do prédio (h) é o
cateto oposto ao ângulo de visão da pessoa ( 45o ).
Como conhecemos o cateto adjacente ( distância da pessoa ao prédio), podemos usar a
tangente de 45o, que relaciona cateto oposto com o adjacente.
Tg45o = C.O. / C.A.
1 = h / 21
h = 21 metros.
Tudo ocorre, porém, à altura dos olhos da pessoa (ângulo de visão), portanto o valor
encontrado para a altura do prédio refere-se à parte do prédio ACIMA da altura da
pessoa, por isso devemos somar a altura dela ao resultado obtido.
Altura do Prédio = 21 m + 1,7 m = 22,7 metros
Alternativa ......”B”
Obs: Como o ângulo de visão é de 45 graus, então o triângulo retângulo é isósceles, ou
seja, os catetos têm mesma medida. Portanto, 21 metros(a altura do prédio acima da
altura da pessoa) ! Aí, basta adicionar a altura dela.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações do 2º grau
Olá Professor!
Te envio mais um exercício que fiquei em dúvida de como fazer! Retirei ele do
um site na internet.
O desenvolvimento do produto (x-5)² forma uma equação de raízes 3 e 7 quando
igualado a:
A) 1
B) 2
c) 3
D) 4
RESPOSTA: A
Fiz e achei a resposta, supostamente certa, como a D, mas o site disse que era a
A.
138
Resolução:
Desenvolvendo....( x – 5 ) ² = x² - 10x + 25 = k ( valor a que deve ser igual a expressão)
Como 3 é raiz da equação, então basta substituir x por 3...
3² - 10.3 + 25 = k
9 – 30 + 25 = k
K=4
Alternativa....”D” ( poderíamos ter substituído o 7...)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Áreas ..Proporções
From……………[email protected]
Subject: Duvida TJ
Date: Mon, 13 Aug 2012 15:33:33 -0300
Professor última dúvida de hoje pelo menos...
Aproveito para pedir o material de dúvidas atualizado, pois assim não
preciso ficar perguntando as da apostila novamente!
Questão: Para ladrilhar o piso de um pátio retangular, Rui deve escolher
entre dois tipos de ladrilhos. Ambos os ladrilhos são quadrados, mas seus
tamanhos são diferentes. Se usar o ladrilho do tipo A, cujo lado mede Acm,
Rui precisará de 144 ladrilhos para realizar a tarefa. Usando o ladrilho do
tipo B, de lado igual a Bcm, Rui precisará de 400 ladrilhos. Podemos afirmar
que:
A) a<b e b/a=3/2
B) b<a e a/b=25/9
C) a<b e b/a=25/9
D) b<a e a/b=5/3
RESPOSTA: D
Tentei fazer e a resposta que encontrei não tinha nas alternativas, pois
encontrei que b<a e que b/a = 25/9...mas essa opção não tem!
Resolução:
Imagine que a área a ser ladrilhada seja "X".
139
Então, X dividido pela área do ladrilho A ( que é A²) dará 144 e X dividido pela área do
ladrilho B ( que é B²)dará 400.
X: A² = 144.................daí.........X = 144A²
X: B² = 400.................daí.........X = 400B²
Como X = X, então 144A² = 400B²
Então:
A²
- = 400/144 = 25/9
B²
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade, teremos....
A/B = 5/3
Alternativa........"D"
(obs. A > B, pois 5 > 3 ......proporções ! )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Proporções
Certo dia, três auxiliares judiciários protocolaram 153 documentos e, curiosamente, foi
observado que as quantidades que cada um havia protocolado eram inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se um deles tinha 24 anos, o outro 30 anos e
o terceiro 32 anos, então o número de documentos protocolados pelo mais velho era;
a) 35
b) 42
c) 45
d) 52
e) 60
Resolução:
Divisão Inversa.
- Inverta os valores........1/24.....1/30.......1/32
- Ache o CP.........153 / ( 1/24 + 1/30 + 1/32)
CP = 153/ 51/480 = 153 x 480/51 = 1440
- multiplique o CP pelo número do mais velho ( 1 / 32)
140
1/32 x 1440 = 1440/32 = 45 documentos
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>SISTEMAS
Date: Mon, 13 Aug 2012 21:11:21 -0300
Subject: Dúvida
From:……………[email protected]
Professor!
Help!!!!!
Pretendendo incentivar seu filho a estudar matemática, um pai lhe propôs 25 problemas,
prometendo pagar R$ 1,00 por problema resolvido corretamente e R$ 0,25 de multa por
problema que apresentasse solução errada. Curiosamente, após o filho resolver todos os
problemas, foi observado que nenhum devia ao outro. Se x é o n° de problemas que
apresentaram solução errada, então
a) x > 18
b) 12 < x < 18
c) 8< x < 12
d) 4< x < 8
e) 0 < x < 4
Gabarito: A
Olá....
CONTROLE-SE !! segue resolução
X = nº de problemas errados
Y = nº de problemas certos
X + Y = 25
1.Y = 0,25.X ( as quantias obtidas e perdidas são iguais, pois no final nenhum ficou
devendo ao outro)
Se Y = 0,25X, então faremos a substituição de Y por 0,25X na 1ª equação.
X + 0,25X = 25
1,25X = 25
141
X = 25/1,25
X = 20 questões erradas...............................letra “A
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica proposicional – julgamento de proposições compostas
Em uma festa, Didi, Márcia e Samanta mantêm o seguinte diálogo:
Didi:"Márcia e Samanta não comeram o bolo."
Márcia:"Se Samanta não comeu o bolo, então Didi o comeu."
Samanta:"Eu não comi o bolo, mas Didi ou Márcia comeram."
Se as três comeram o bolo, quem falou a verdade?
a) Apenas uma delas.
b) Didi e Márcia.
c) Didi e Samanta.
d) Márcia e Samanta.
e) Todas as três.
Resolução:
Observe que as três comeram o bolo. Quem disser que não comeu ou que outra não comeu
estará mentindo.
Didi:"Márcia e Samanta não comeram o bolo." F e F....no "e", F com F é F........( F) Didi
mente
Márcia:"Se Samanta não comeu o bolo, então Didi o comeu." Se F, então V...nas
condicionais, F co V é V...(V) Márcia diz a verdade
Samanta:"Eu não comi o bolo, mas Didi ou Márcia comeram." ( mas = e ) a primeira parte do
"e" já é falsa, então a frase é falsa (F)...Samanta mente
portanto, só uma fala a verdade....a saber...Márcia
Alternativa...."A"
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise Combinatória
Seis pessoas, A,B,C,D,E,F ficam em pé um ao lado da outra, para uma
fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem
em aparecer uma ao lado da outra, o número de possibilidades
distintas para as 6 pessoas se disporem é:
a) 120
b) 72
142
c) 144
d) 156
e) 192
Resolução:
Se C e D devem estar juntos, então trocam de lugar com os outros
como se fossem uma só pessoa. Daí, teremos 5 pessoas trocando de
lugar umas com as outrs, ou seja;
5x4x3x2x1 = 120 maneiras
MAS, o problema diz “juntas” e não especifica a ordem, logo pode ser
CE D ou D e C, daí,o resultado acima deve ser multiplicado por 2....
Total de maneiras em que C e D estão juntos = 2 x 120 = 240
Vamos retirar daí os casos em que A e B estão juntos também, assim
obteremos os casos em que eles NÃO estão juntos.
A e B juntos ( 1 pessoa, como na resolução anterior) e C e D juntos (
mesmo comentário acima)
Ficam 4 pessoas....4x3x2x1 = 24 x 2 x 2( mesmo motivo
acima)....................96 casos
Multiplica-se por 2 duas vezes, pois A e B pode ser B e A e C e D pode
ser D e C.
143
Agora, do total em que C e D estão juntos ( 240) retiramos o total em
que A e B estão juntos. Teremos, então, o número de casos em que C
e D estão juntos e A e B não estão juntos.
240 – 96 = 144 casos ( resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações – proporções
Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários do
TRT que participaram de um curso sobre controle e prevenção de
doenças, foi usada a expressão:
1
H/M =
3
- __________________________
1
3
-
___________
3 - 1/3
Em que H e M representam as quantidades de Homens e Mulheres,
respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era
um número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que;:
(A) M . H < 4000
(B) H + M = 158
(C) H – M = 68
(D) 70 < H < 100
(E) 50 < M < 70
144
Resolução:....................................
Resolvendo aquele monstro acima, encontraremos 55/21.
(tente, você consegue ! tenha fé!.....resolva de baixo para cima)
Daí, a razão H/M = 55/21 formando uma proporção.
Como não é possível achar o Coeficiente de Proporcionalidade (CP)
Esse pode ser.......1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5...etc ( a princípio)
O texto nos informa que a soma de H com M está entre 100 e 200.
Se o CP = 1........H = 55 e M = 21.......soma 76.....então não é.
Se o CP = 2........H = 110 e M = 42.....152....então pode ser !
Se o CP = 3....H = 165 e M 63....soma 228.....já passa !
Logo o CP é 2 e H = 110 e M = 42
Daí, é só verificar as alternativas.
A única possível é a letra “C”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções
A função de 2° grau
145
f (x) = (a −1) x2 + bx + c está representada no gráfico abaixo.
( não apareceu o gráfico)
(obs. do prof. : parábola com a concavidade para baixo, interceptando o eixo x nos pontos -1 e 3 e
o eixo y no ponto 3)
Sobre a função, pode-se dizer que
a) a = 0 .
b) b + c = 3.
c) b < 0 .
d) c = 2 .
e) a > 0 .
Resolução:
A parábola sempre intercepta o eixo y no ponto “c”. Logo, o valor de “c” na
função, é 3 (informação do gráfico).
A função fica...
f (x) = (a −1) x2 + bx + 3
As raízes são -1 e 3. Daí, o produto das raízes ( que é dado por c/a) será
igual a ..........-1 . 3 = - 3
c=3
“a” = a – 1 ( cuidado para não confundir; o “a” do “a-1” não é o “a” da
fórmula geral da função do segundo grau. Foi usada a mesma letra com a
clara intenção de confundir o candidato.)
c/”a” = - 3 / ( a – 1) = - 3
3. ( a-1 ) = - 3
146
a–1=-1
a = 0 ( como foi dito, esse não é o “a” tradicional.)
Resposta: a = 0
Observe que, com a= 0, o “a” da função fica igual a -1 ( e não é nulo).
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão de inteiros
Professor,
gostaria de ajuda na resolução das questões abaixo de forma algébrica.
Obrigado.
Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos em x
caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em quantidades
iguais.
Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas X-3 caixas e, com isso, cada
caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto inicialmente. Nessas
condições o número de processos colocados em cada caixa foi:
a)22
b)24
c)21
d)17
e)15
Resolução Algébrica:
Divisão que poderia ter ocorrido
120 | x
0
p
p.x = 120 ( 1ª )
Divisão que ocorreu
120 | x - 3
0
p+9
(p + 9) . ( x – 3 ) = 120
147
px - 3p + 9 x – 27 = 120 ( mas da 1ª equação temos que px = 120 )
120 – 3p + 9x – 27 = 120
9x – 3p = 27 ( mas, da 1ª equação temos que px = 120, ou seja x = 120/p)
9. 120/p – 3p = 27
mmc...
1080 – 3p² = 27p
- 3p² - 27p + 1080 = 0 ( x -1 )
3p² + 27p – 1080 = 0 ( : 3 )
p² + 9p – 360 = 0
S = -9 e P = - 360.......raízes......15 e - 24
A raiz – 24 não serve, pois não existe número negativo de processos, logo p = 15
Mas......esse é o numero inicial de processos e na real divisão coube 9 processos a mais para
cada caixa, portanto a resposta é 15 + 9 = 24
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
(TRT/9ª - 2010 - Analista) Certo dia, Aléa e Aimar, funcionários de uma unidade do
T.R.T. receberam 50 petições e 20 processos para analisar e, para tal, dividiram entre
si todos esses documentos: as petições, em quantidades diretamente proporcionais às
suas respectivas idades, e os processos, na razão inversa de seus respectivos tempos
de serviço no Tribunal. Se Aléa tem 24 anos de idade e trabalha há 4 anos no
Tribunal, enquanto que Aimar tem 36 anos de idade e lá trabalha há 12 anos, é correto
afirmar que
A) Aléa deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar.
B) Aléa e Aimar devem analisar a mesma quantidade de documentos.
C) Aimar deve analisar 20 petições e 5 processos.
D) Aléa deve analisar 10 petições e 20 processos.
E) Aimar deve analisar 30 petições e 15 processos.
Resolução:
São 50 petições para serem divididas em partes D.P. às idades, que são; 24 e 36.
CP = 50/(24+36) = 50/60 = 5/6
Aléa = 5/6 x 24 = 20 petições
148
Aimar= 5/6 x 36 = 30 petições
São 20 processos para serem divididos em partes inversamente proporcionais a 4 e 12.
Fazemos Diretamente e depois trocamos...
CP = 20/( (4+12) = 20/16 = 5/4
Aléa= 5/4 x 4 = 5
Aimar = 5/4 x 12 = 15
Trocando...........Aléa = 15 e Aimar = 5
Aléa= 20 pet + 15proc = 35 documentos
Aimar = 30 pet + 5 proc = 35 doc
O total de documentos que cabe a cada uma é o mesmo (35).
Alternativa correta......letra “B”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Funções do 2º grau
O lucro mensal de uma empresa em milhares de reais é dado pela função
f(x) = - x2 + 22x - 120, onde x representa o número de Kg de um produto vendido
mensalmente pela empresa. Então, julgue os itens abaixo:
I ( ) Se a empresa vender 15Kg do produto em um certo mês, terá prejuízo
II ( ) Se a empresa vender 11Kg do produto em um certo mês, seu lucro será de R$ 1,00.
III - ( ) O lucro máximo obtido por essa empresa, em qualquer mês nunca superará R$
1000,00.
IV ( ) Para se obter lucro de R$ 750,00 a empresa deverá vender “k” quilos ou “w” quilos,
sendo que a diferença positiva entre “k” e “w” é igual a 1,5kg.
V ( ) Apenas quando a empresa vender 10Kg ou 12Kg do produto, seu lucro será zero.
RESOLUÇÃO:
*
Observe que o lucro está em milhares de reais, ou seja quando obtivermos um
resultado para o lucro, na função, o mesmo deverá ser multiplicado por 1000.
I) x = 15 e f(x) = lucro
*
Substituindo ...f(x) = - 15² + 22 . 15 – 120 = - 15 ( prejuízo de 15000)....item CERTO
149
II) x = 11 e f(x) = lucro (em milhares de reais)
Substituindo...f(11) = - 11² + 22 . 11 – 120 = 1 (lucro de
1000,
pois o lucro é em
milhares de reais).................................................................................................item ERRADO
III) O lucro máximo é dado pelo Yvértice, ou seja, ...yv = - ∆/4a
∆ = b² - 4ac = 22² - 4.(-1) . (-120) = 484 - 480 = 4
Yv = - 4/4.(-1) = 1..........lucro máximo de R$ 1000,00...item CERTO
IV) lucro de 750 significa f(x) = 0,75 (o lucro é em milhares de reais)
O,75 = 3/4
Substituindo....3/4 = - x² + 22x - 120
Achando-se o mmc...
- 4x² + 88x – 480 = 3
- 4x² + 88x - 483 = 0
∆ = 88² - 4.(- 4) . (- 483)
∆ = – 7728 - 7728
=
16
X = (- 88 +- 4) / (- 8)
X’ = 84/8 = 10,5 kg
150
X” = 92/8 = 11,5 kg
Fazendo a diferença positiva (o maior menos o menor)...11,5 – 10,5 = 1 KG
.......................item ERRADO
V) lucro zero..............f(x) = 0
- x² + 22x – 120 = 0
∆ = 22² - 4 . (- 1) . (- 120)
∆ = 484 – 480 = 4
X = (- 22 +- 2) / (- 2)
X’ = 10
X” = 12
............................................item CERTO
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas
Prof. Ivan
Na pág. 266, Questão 1.
c) x/8 - y/2 = -1
x + 2y = 12
Eu isolei o x/8; depois substitui...(y/2 - 1) + 2y = 12...minha dúvida é com
relação ao 8 (na substituição)...eu tirei o MMC = 8...
Resultado: x = -2 e y = 7
151
Tá!! Eu errei. Mas eu juro, não é preguiça mental!!
Pode me ajudar?
CALMA desbirolada!!
Eu vou ajudar !
Resolução:
Você tem que isolar o “X” e não o x/8.
Isolando o x na SEGUNDA equação......x =1 2 – 2y
Substituindo na primeira equação....
( 12 – 2y)/8 - y/2 = - 1
x/8 - y/2 = -1
MMC (8)..............
12 – 2y – 4y = - 8
- 6y = - 20 ( x -1)
6y = 20
y = 20/6
y = 10/3
Substituindo na equação em que isolamos o x...
x =1 2 – 2y
x = 12 – 2.10/3
x = 12 – 20/3
mmc ( do lado direito )
x =(36 – 20)/3
x = 16/3
Solução ( 16/3 , 10/3 )
Pronto, tá mais calma ?
152
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Argumentos
Prof,
Fiquei com dúvida na seguinte questão, pois entendo que poderia ser resposta “c” e “d”.
O gabarito diz que é “d”. Então, não entendi o porquê de escolher somente a “d”.
(o desenho, as considerações em vermelho e o realce amarelo são meus)
Considere verdadeiras as afirmativas a seguir.
I – alguns homens gostam de futebol
II – Quem gosta de futebol vai aos estádios
Com base nas afirmativas acima, é correto concluir que:
a) Todos os homens vão aos estádios (não, pois tem homens que não gostam de futebol)
b) Apenas homens vão aos estádios (não, a questão não dá margem para isso)
c) Há homens que não vão aos estádios (sim!)
d) Se um homem não vai a estádio algum, então ele não gosta de futebol (sim!)
e) Nenhuma mulher vai aos estádios (não sei, a questão não dá margem para isso)
Comentários do prof.:
153
“gosta de futebol” deve estar dentro de “vai ao estádio” ( 2ª premissa ), porém o
conjunto “vai ao estádio” pode também “pegar” o conjunto todo dos “homens”.
Como nada é dito em contrário, então pode ocorrer. Essa possibilidade elimina a letra
“C”.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
Professor,
com base na pergunta que fiz ao senhor no e-mail anterior sobre a questão
abaixo eu tentei desenvolver a seguinte a ela, mas não consegui chegar a resposta certa. Não
sei o que fiz errado já que o sistema é o mesmo.
Obrigado
Questão anterior
Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas X-3 caixas e, com isso, cada caixa ficou com
9 processos a mais que o previsto inicialmente. Nessas condições o número de processos
colocados em cada caixa foi:
Questão atual
Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si as 200 páginas de um texto
a ser digitado. Entretanto, um deles foi designado para outra atividade e, assim, coube a
cada um dos outros digitar 15 páginas a mais que o combinado. O número de páginas que
cada técnico digitou foi:
a)80
b)75
c)72
d)65
e)60
p.t = 300 -----> pt=300
(t-1).(p+15) = 300
pt + 15t - p - 15 = 300
300 + 15t - p - 15 = 300
15t - p = 15
15(300) - p = 15
p
4.500 - p² = 15p
p
-p² -15p +4.500 (-1)
p² + 15p - 4.500
154
P= -4.500
S= -15
Continuando....
p’ = - 75 (resposta desprezada) e p” = 60
Logo,
p = 60
Porém, esse é o valor inicial e o que realmente houve é 15 a
mais...portanto....75 é a resposta !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>Equações – divisibilidade – raciocínio !!
( mesmo raciocínio dos “trocos”, “saques em caixas eletrônicos”, etc.)
Olá professor
Poderia comentar uma questão dada em aula (não tenho a resposta) e se tiver outras desse
tipo poderia me enviar algumas?
Uma pessoa deseja comprar presentes e há 3 tipos: que custam 0,50, 3,00 e 10,00. Ela
compra 100 presentes, sendo pelo menos 1 de cada tipo (preço). Ela gastou 100,00. Qtos
presentes de 3,00 ela comprou?
a)1
b)3
c)5
d)6
e)11
Resolução:
x = número de presentes de 0,50
y = número de presentes de 3,00 ( essa é a pergunta )
z = número de presentes de 10,00
Então...
x + y + z = 100
( são 100 presentes ao todo)
0,5.x + 3.y + 10.z = 100 ( a soma das quantidades pelo valor unitário deve dar $100)
155
....................................
LEMBRE-SE que x, y e z são números inteiros e positivos, pois são quantidades !!
.....................................
Multiplicando a segunda equação por -2 ...
x + y + z = 100
-x – 6y – 20z = -200
Somando as duas, membro a membro ( x com x, y com y, etc)
- 5 y – 19z = - 100
Multiplicando por – 1....
5y + 19z = 100
Agora, o raciocínio..........z é um número inteiro e positivo e x também, então atribuiremos
valores para z e descobriremos valores para y, de modo que a soma seja 100..
Z pode ser 1 ?......não, pois y daria “quebrado” e não pode.
Z pode ser 2 ?.....não, pois y daria “quebrado” e não pode.
E por aí vai...
Na verdade, z deverá ser um múltiplo de 5, pois o 5 (que multiplica y) passará dividindo..
Z pode ser 5 ? SIM, pois 19x5 = 95. Passando para o outro lado teremos 5y = 5...y = 1
Z não pode ser maior que 5, pois ficaria um número negativo para y.
Daí...........y = 1 ( Apenas um presente de $ 3,00 )
Alternativa......”A”.
Comentário: z = 5, ou seja, serão 5 presentes de $ 10,00 e, consequentemente, serão 94
presentes de $ 0,50 ( 100 – 5 – 1 ).
Conferindo: 94 x 0,50 + 1 x 3,00 + 5 x 10 = 47,00 + 3,00 + 50,00 = $ 100,00 !!
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>outro parecido.....equações – divisibilidade – Raciocínio !
( Tente fazer antes de ver a resolução )
156
Um caixa eletrônico contém apenas notas de R$ 20,00 e R$ 50,00. De quantas maneiras
pode-se retirar desse caixa a quantia de R$ 230,00 , sendo que o saque terá pelo menos uma
nota de cada valor?
Resolução:
x = número de notas de 20
y = número de notas de 50
x . 20 + y . 50 = 230
LEMBRE-SE, x e y são inteiros e positivos !!
y pode ser 1 ?.........sim, sobrariam 180 e esse é divisível por 20
y pode ser 2 ?....NÃO, sobrariam 130 e esse não é divisível por 20.
Y pode ser 3 ?....sim, sobrariam 80 e esse é divisível por 20
y pode ser 4?.....NÃO , sobrariam 30 e esse não é divisível por 20
y não pode ser 5 ou mais, pois passaria de 230 e x teria que ser negativo...impossível.
Daí, há apenas duas maneiras de se sacar 230 nas condições acima.
A saber.........1 de $ 50 e 9 de $ 20 ou 3 de $50 e 4 de $20.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.
157
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>EM RESOLUÇÃO....
Considere as afirmativas abaixo:
I. Somente uma dessas afirmativas é falsa;
II. Somente duas dessas afirmativas são falsas;
III. Somente três dessas afirmativas são falsas;
IV. Somente quatro dessas afirmativas são falsas;
V. As cinco afirmativas são verdadeiras.
O número de afirmativas verdadeiras é:
A) 1;
B) 2;
C) 3;
D) 4;
E) 5.
Resolução: ( Lógica Proposicional -Contradições )
Analisando as afirmativas...
I. Somente uma dessas afirmativas é falsa;
II. Somente duas dessas afirmativas são falsas;
III. Somente três dessas afirmativas são falsas;
IV. Somente quatro dessas afirmativas são falsas;
V. As cinco afirmativas são verdadeiras.
As afirmativas I, II, III e IV são contraditórias, não podem ser “V” simultaneamente.
Se I for verdade as outras 4 seriam falsas, o que a torna falsa
Se II for verdade....as outras 4 seriam falsas, o que a torna falsa
Se III for verdade....as outras 4 seriam falsas, o que a torna falsa
Se IV for verdade.. as outras 4 seriam falsas o que a torna VERDADEIRA.
A “V” é Falsa, pois como dito antes alguma anterior é F.
A única verdadeira só pode ser a IV.
158
Resp. Só uma “Verdade”, a IV.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica proposicional – Condicionais
Professor,
Em uma preposição P Q
Não entendi a lógica da diferença entre
VII) P é condição suficiente para Q.
VIII) Q é condição necessária para P.
Eu entendo que P sempre será condição para Q, por causa do nexo “SE”. Eu
não entendo a diferença de suficiente e necessário!
Abraço.
OLÁ.
“Se P, então Q” significa, matematicamente, que P está contido ( DENTRO) de Q.
Veja a figura abaixo e considere a figura de dentro como “P” e a “de fora” como “Q”.
Daí, basta a um elemento que ele pertença a P para pertencer a Q.
Ou seja, estar em P é SUFICIENTE ( basta ) para estar em Q. Certo ?
Veja que P não é NECESSÁRIO para Q, pois um elemento pode estar em Q sem estar em P.
Ou seja....P é condição Suficiente para Q.
Agora observe que não é possível um elemento pertencer a P sem pertencer a Q.
Para estar em P é NECESSÁRIO estar em Q.
Ou seja.....Q é condição NECESSÁRIA para P.
( veja que P não é necessário para Q, pois um elemento pode estar em Q sem estar em P )
159
Capite ?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>MMC
Boa noite professor.
Estava fazendo o simulado que o senhor disponibilizou e me surgiu uma
dúvida na segunda questão:
2 - Olegário faz a barba de 3 em 3 dias. Hoje é domingo e Olegário
está fazendo a sua barba. Ele voltará a se barbear num dia de domingo
daqui a quantos dias?
(A) 21 .
(B) 18 .
(C) 12 .
(D) 14 .
(E) 15 .
Eu tenho certeza que, se fosse em uma prova, eu resolveria pelo método
rural hahaha
Ótimo, qualquer método serve, se resolver...
Resolução urbana:
Os próximos domingos ocorrerão a cada 7 dias ( uma semana
completa), então ocorrerá um domingo a cada múltiplo de 7 ( 7 – 14 –
21 – 28 - etc ) e ele se barbeia a cada 3 dias, então fará a barba em
cada múltiplo de 3 ( 3 – 6 – 9 – 12 – etc ). Quando ocorrer o primeiro
(menor) múltiplo comum de 3 e 7 ele estará se barbeando e será
domingo. Portanto, o tempo decorrido até a próxima barba feita em
um domingo serão MMC ( 3, 7 ).
O menor múltiplo comum de 3 e 7 é 21, então a ocorrência será em 21
dias.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise Combinatória
160
PROFESSOR, ESSAS QUESTÃO DE 2004 ME DEIXARAM COM DÚVIDAS.
SE FOR POSSÍVEL, PEÇO QUE O SENHOR ME EXPLIQUE
GRATO, L.............................................................
Olá, seguem comentários.... ( tem gente indo fundo..........)
QUESTÃO/CESPE
Para uma investigação a ser feita pela Polícia Federal, será
necessária uma equipe com 5 agentes. Para formar essa equipe, a
coordenação da operação dispõe de 29 agentes, sendo 9 da
superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São
Paulo e 12 da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, todos os
agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a ordem de
escolha dos agentes não será relevante.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
Como a ordem dos elementos não altera o resultado, teremos divisões
no final de todos, pois é Combinação e não Arranjo.
1- Poderão ser formadas, no máximo, 19 × 14 × 13 × 7 × 5 × 3
equipes distintas.
Dispomos de 29 para escolhermos 5:
29 x 28 x 27 x 26 x 25 / 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 29 x 7 x 9 x 13 x 5 (E)
2- Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio
de Janeiro, o número máximo de equipes distintas que a
coordenação dessa operação poderá formar é inferior a
19 × 17 × 11 × 7.
Obs: 19x17x11x7 = 24871
161
Dois do Rio(12) E três de outra região(17)
Escolhemos, então 2 de 12 E (mult.) 3 de 17
12x11/2x1 x 17x16x15/3x2x1 = 66 x 680 = 44880 (E)
3- Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio
de Janeiro, 1 agente da regional de São Paulo e 2 agentes da
regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação
poderá formar, no máximo, 12 × 11 × 9 × 8 × 4 equipes
distintas.
Obs: 12x11x9x8x4 = 38016
Devemos escolher 2 de 12 E
1 de 8 E 2 de 9
12x11/2x1 x 8/1 x 9x8/2x1 = 66 x 8 x 36 = 19008 (E)
EEE
Outra dúvida.................................Análise Combinatória......................
Professor, estas questões da prova da PF de 2004 me deixaram em dúvida, peço que
o senhor me auxilie.
Conta-se na miologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua
família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Eristeu,
que lhe apresentou uma série de povas a serem cumpridas por ele, conhecidas como
os 12 Trabalhos de Hércules.
Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o Leão de Neméia, Capturar a Corça e
Cerinéia e Capturar o Javali de Erimanto.
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em
162
ordem os 12 Trabalhos a serem executados e que a escolha dessa ordem seja
totalmente aleatória.
Além disso, considreque omente 1 trabalho seja executado de cada vez.
Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os
ítens subsequentes:
Observe que LISTAS nos remete à Arranjos, ou seja não haverá divisão em
nenhum caso abaixo, pois a ordem dos elementos (trabalhos, no caso) altera a
lista.
1- O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a
12X10!
Dispomos de 12 trabalhos......12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 12x11x10! (C))
2- O número máximo de possiveis listas contendo o trabalho "matar o Leão de
Neméia" na primeira posição é inferior a 240 X 990 X 56 X 30
Fixando esse trabalho em primeiro lugar, então haverá apenas uma opção para a
primeira posição.........1 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
990 x 56 x 30x 24 < 2240 x 990 x 56 x 30 (C)
3- O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos "capturar a Corça de
Cerinéia" na primeira posição e "capturar o Javali de Erimanto" na terceira posição é
inferior a: 72 X 42 X 20 X6.
Novamente fixa-se um na primeira e outro na terceira posições:
1 x 10 x 9 x 1 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 x 42 x 20 x 6 x 8 > 72x42x20x6
Item errado
4- O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos "capturar a Corça de
Cerinéia" e "capturar o Javali de Erimanto" nas últimas duas posições, em qualquer
ordem, é inferior a: 6!X8!
Agora foram citados dois trabalhos em duas posições, mas essas não foram
estabelecidas, então há duas maneiras...AB ou BA:
2 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2 x 10 x 9 x 8! = 180 x 8! < 6! X 8! ,
163
Pois 6! = 720..................( C )
Gabarito:
1- C
2- C
3- E
4- C
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Reajustes Sucessivos
Oi professor,
.Imprimi uma folha com uns exercícios de matemática que você enviou por e-mail,mas tem um
que não consegui resolver,ou melhor,a resposta que achei não tem no gabarito.
Segue a questão:
Suponha que os funcionários de um banco tiveram em 2006 três aumentos salariais
cumulativos,que totalizaram ,no ano, 25% - resultado de negociações salariais.
Ficou estabelecido,ao final dessas negociações que o primeiro reajuste seria em março de
2006 e seria de 12%.O segundo reajuste,de 80% do primeiro (percentualmente) seria em
junho de 2006. O terceiro e último aumento do ano foi em outubro ,o que totalizou a taxa
citada acima.Pode-se dizer que o aumento de outubro representa do aumento de março:
a) 12%
b) 15,26%
c)16%
d) 18,50%
e) 25%
O gabarito consta como letra b.
164
Aguardo retorno...
Grata,
Reajustes acumulados: fórmula abaixo.
iac = (1 + i1) . ( 1 + i2) . (1 + i3).....-1
Onde:
iac = reajuste acumulado ( total)
i1, i2, i3, i4, etc..são os reajustes parciais
( registre a fórmula acima !! )
Dados do problema....
iac = 25%
i1 = 12%
i2 = 80% de 12% = 0,8 . 0,12 = 9,6%
i3 = x%
Substituindo...
0,25 = (1 + 0,12) . ( 1 + 0,096) . ( 1 + x) - 1
1,25 = 1,12 . 1,096 . ( 1 + x)
( 1 + x) = 1,25/1,22752
( 1 + x ) = 1,0183
x = 0,0183
x = 1,83% (aumento de outubro)
Ele pergunta o que esse aumento representa do aumento de março (12%)
165
Para saber o que um número representa de outro......divida-os!!
1,83 / 12 = 0,1526 =
15,26%
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
Date: Wed, 15 Aug 2012 15:43:24 -0300
Subject: Dúvida
Olá Professor,
Sou teu aluno no CETEC, extensivo de Rac. Lógico/ Mat. e tenho uma dúvida na
seguinte questão, podes me ajudar?
Na última eleição, ao elaborar o relatório sobre o comparecimento dos eleitores
inscritos numa seção eleitoral, o presidente da mesa observou que 40% do total de
inscritos haviam votado pela manhã e 75% do número restante no período da tarde.
Considerando que foi constatada a ausência de 27 eleitores, o total de inscritos nessa
seção era:
a) 108
b) 125
c) 150
d) 172
e) 180
Olá. Segue resolução...
X = total de inscritos
somando todos obteremos o total ( x )
Votaram pela manhã : 40% de x = 0,4.x
Votaram à tarde : 75% de 60% de x = 0,75 . 0.6 . x ( pois são 75% dos RESTANTES !)
como votaram 40% pela manhã, restaram 60%)
ausentes = 27
0,4 . x + 0,75 . 0,6 . x + 27 = x
166
0,4x + 0,45x - x = -27
- 0,15x = - 27
0,15x = 27
x = 27/0,15
x = 180 inscritos ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três – soma dos esforços
Professor essa questão não é do seu material, mas envolve os assuntos já estudados,
tentei resolvê-la conforme outros modelos de exercícios corrigidos em aula, mas não
consegui.
Paulo demora 5 dias a mais que Pedro pra fazer um serviço. Juntos fazem o
serviço em 6 dias, em quanto tempo cada um faz o serviço sozinho?
a resposta é: 10 e 15
Obrigada
RESOLUÇÃO:
( na próxima...coloque as alternativas....facilitaria, pois poderíamos testá-las !
Pedro faz em x dias, então faz 1/x por dia
Paulo faz em x+ 5 dias, então faz 1/(x+5) por dia.
Tempo(d)
1
serviço
1/x + 1/(x+5).......
6
1 ( serviço completo )
....................................................
Primeiro faremos a soma acima: ( o mmc é x.(x+5) )
$
+
$
(
=
( (
.( ( )
=
(
²(
Então fica:
Tempo(d)
1
serviço
(
²(
167
)
6
1 ( serviço completo )
....................................................
/
=
(
²(
X² + 5x = 12x + 30
X² - 7x – 30 = 0
Soma e produto...(ou, se preferir....Báskara)
S=7
P = -30
Raízes: x’ = 10 e x” = – 3
(resposta negativa...desprezada, pois não há tempo negativo)
Pedro = x dias = 10 dias
Paulo = (x+ 5) dias = 10 + 5 = 15 dias
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três
-Uma impressora tem capacidade para imprimir 14 páginas por minuto em preto e 10
páginas por minuto em cores. Quanto tempo outra impressora levaria para imprimir um
texto com 210 páginas em preto e 26 em cores, se sua capacidade de operação é igual a
80% da capacidade da primeira?
(A) 16 minutos e 45 segundos.
168
(B) 20 minutos.
(C) 21 minutos e 25 segundos.
(D)) 22 minutos.
(E) 24 minutos e 30 segundos.
Resolução...........Regras de 3
Faça uma de cada vez...primeiro as páginas em preto, depois as coloridas....
Preto:
tempo(min)
pag
capac
1
14
100
x
210
80
................................................................................................
quanto mais tempo....mais páginas.......("pág" é Diretamente prop....mantenha como está)
quanto mais tempo....menor a capacidade ....(Capac. é Invers. proporcional....inverta)
1/x = 14/210 . 80/100
resolvendo......................x= 18,75 minutos
Coloridas:
tempo
pag
capac
1
10
100
x
26
80
.......................................................................
(mesmo julgamento da proporcionalidade feito acima)
1/x = 10/26 . 80/100
resolvendo...............x = 3,25minutos
Somando os tempos gastos....18,75 + 3,25 = 22 minutos
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
2-Suponha que, em uma eleição, apenas dois candidatos concorressem ao cargo de
governador. Se um deles obtivesse 48% do total de votos e o outro, 75% do número de
votos recebidos pelo primeiro, então, do total de votos apurados nessa eleição, os votos
não recebidos pelos candidatos corresponderiam a
(A)) 16%
169
(B) 18%
(C) 20%
(D) 24%
(E) 26%
Resolução
porcentagens
O primeiro recebeu 48% do total
o segundo recebeu 75% de 48%....0,75 x 0,48 = 0,36 = 36% do total
Juntos.....48% + 36% = 84%
Daí, votos não recebidos por eles.......100% - 84% = 16%
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão de Inteiros
3-Alguns técnicos judiciários de certo Cartório Eleitoral combinaram dividir igualmente
entre si um total de 84 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o
serviço deveria ser executado, dois deles faltaram ao trabalho e, assim, coube a cada um
dos presentes arquivar 7 processos a mais que o previsto. Quantos processos cada
técnico arquivou?
(A) 14
(B) 18
(C)) 21
(D) 24
(E) 28
Resolução
Fazendo: t= número de técnicos e n = número de processos que cada um arquivou, teremos
Primeiramente......84/t = n
(1)
Depois............84/t-2 = n+7 (2)
170
Substitindo o "n" da primeira, na segunda........84/t -2 = 84/t + 7
Desenvolvendo obteremos uma equação do segundo grau.
Acorde a múmia do Baskara e resolva. Você achará o "t". Faça aí, não tenha preguiça (como
eu)
Porém..........nesses casos convém testar as alternativas, lembrando que "t" e "n" são
números inteiros.
A alternativa que atender às equações (1) e (2).....será a correta
a- (1) 84/t = 14......então t = 6
(2) 84/t-2 = 14 + 7.....então ..t = 6
OLHA SÓ!!! que coisa boa! deu certo (são compatíveis) então é ela, graças a Deus!
Teste as outras e verá que serão encontrados valores "quebrados" para "t", o que não
pode ocorrer.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equações do 2º grau – Raciocínio..
Para repor o estoque de sua loja, Salma compra certo
artigo ao preço de R$ 28,00 a unidade. Suponha que
Salma estime que, se cada artigo for vendido ao preço
unitário de X reais, ela conseguirá vender (84 − X) unidades.
De acordo com essa estimativa, para que seja obtido
o maior lucro possível, o número de artigos que deverão
ser vendidos é
(A) 84.
(B) 70.
(C) 56.
(D) 42.
(E) 28.
O valor obtido pela venda de produtos, de um modo geral, é calculado multiplicando-se
o valor do
produto pelo número de produtos, certo?
No caso:
Valor unitário = X
171
Quantidade vendida: 84 - X
Valor arrecadado = V
V = X . ( 84 - X)
V = - X² + 84X
A expressão acima é uma equação do 2º grau, daí para se calcular o valor de X tal que o
valor arrecadado seja
MÁXIMO é dado por uma fórmula.........X = -b/2a
X = -84/2(-1)
X = 42..........................................................letra "D"
OUTRA resolução (Raciocínio)
Como se deve dividir um número inteiro positivo EM DUAS PARTES INTEIRAS
para que seu produto seja MÁXIMO ( O maior possível) ??
Observe os exemplos:
1) o número 20.
Alguns casos;
1 e 19........................produto: 19
172
2 e 18........................produto: 36
.
.
8 e 12........................produto: 96
.
.
10 e 10.......................produto: 100 (produto Máximo)
11 e 9.........................produto: 99
.
.
2) o número 54
Alguns casos
1 e 53.........................produto: 53
2 e 52.........................produto: 104
.
10 e 44.......................produto: 440
.
.
27 e 27........................produto: 729 (Produto Máximo)
28 e 26........................produto: 728
173
30 e 24........................produto: 720
.
.
Daí, observamos que quanto menor a diferença entre as partes MAIOR o
produto entre elas.
3) O número 40, por exemplo, se dividido em duas partes inteiras,
terá como
4) Produto Máximo dessas partes o número 400, ou seja, quando
as partes forem 20 e 20.
5) o número 9 deverá ser dividido em 4 e 5, pois esses números
vão gerar o produto Máximo (20). Nenhuma outra forma de
dividir o 9 dará produto maior.
6) No problema em questão, temos o produto de X por (84 – X), ou
seja, são duas partes inteiras de 84. Daí, para que o produto
seja Máximo, cada parte valerá 42. Portanto......X = 42.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas – raciocínio...
No atual campeonato brasileiro de futebol, cada equipe recebe três
pontos por vitória, um ponto por empate e zero quando é derrotada.
Terminada a primeira fase do campeonato, cada equipe disputou 25
partidas. Se uma determinada equipe somou 30 pts, qual é o número
mínimo de derrotas que essa equipe pode ter sofrido?
a)4
b)3
174
c)5
d)2
e)1
v = nº de vitórias
e = nº de empates
d = nº de derrotas
v + e + d = 25
(partidas)
3v + 1e + 0.d = 30
(pontos)
Ou seja...
v + e + d = 25
3v + 1e
= 30
Fazendo a 2ª equação menos a 1ª...
2v – d = 5
Observe que “v” e “d” devem ser números inteiros não negativos, pois
significam números de vitórias e derrotas.
Para v = 0...............d = - 5...não pode
175
Para v = 1...............d = - 3....não pode
Para v = 2...............d = - 1...não pode
Para v = 3...............d = 1.....pode ser
Para v = 4...............d = 3.....pode ser
Para v = 5...............d = 5.....pode ser
.........
....
..
Vejo que o menor número possível de derrotas é 1......letra”E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Conjuntos
(ESAF – 2009) Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros
para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês,
e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam
também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7
alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que
estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos os
alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos dessa
série estudam nessa escola?
a) 96.
b) 100.
c) 125.
d) 115.
e) 106.
Resolução com diagramas..
176
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Conjuntos/frações
(esaf) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes
são graduados em matemática, 2/5 dos participantes
são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são
graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados
em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em
química. Sabe-se que não há participantes do curso com
outras graduações além dessas, e que não há participantes
com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais
próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
RESOLUÇÃO; (porcentagem e conjuntos)
177
Somando-se todas as quantidades fracionárias obtém-se 84/60, o que significa que
significa que alguns participantes foram contados mais de uma vez, estando, assim, em
mais de um grupo. Como não podem estar em três ou mais, entenderemos que o
“excesso” se encontra em somente duas disciplinas. O “excesso” é o que ultrapassa
100%, que seria 60/60, ou seja, 24/60, que é igual a 0,4,ou seja,
40%
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas
Um técnico judiciário observou que o triplo do número de X, de documentos por ele
arquivados, excedia de 12 unidades a terça parte do n[úmero de Y, de documentos que havia
protocolado. Se a razão entre X e Y, nessa ordem é 1/5, então X+Y é igual a:
A) 46
B) 48
C) 52
D) 54
E) 60
Resolução:
x = número de documentos arquivados
y = número de documentos protocolados
equações:
3x = y/3 + 12
x/y = 1/5
.................
Da segunda equação tiramos que......x = y/5
Substituindo x ( y/5) na primeira equação...
178
3. ( y/5) = y/3 + 12
3y/5 = y/3 + 12
MMc ( 15)...divida pelo debaixo e multiplique pelo de cima.....
9y = 5y + 180
4y = 180
y = 45 ( documentos protocolados )
Como x = y/5...
x = 45/5
x=9
É pedido....x + y
x + y = 9 + 45 = 54 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Sistemas ou Proporções
Olá professor..
Sobre o total de documentos que recebeu certo dia, um auxiliar judiciário observa
que:
- a razão entre aqueles que tinham origem externa e os que tinham origem interna
era, nesta ordem, 5/6;
- o numero de docs de origem interna excedia o numero dos de origem externa em 5
unidades.
Qual o total de docs que ele recebeu nesse dia?
a) 45
b) 48
c) 52
d) 55
e) 58
179
Não pude ir na aula dia 11 à noite, poderia me informar qual foi o assunto dado?
Obrigada
RESOLUÇÃO:
E = nº de documentos com origem externa
I = nº de
documentos com origem interna
E / I = 5/6 (primeira informação)
I = E +5 (segunda informação), que corresponde a .....I – E = 5
É uma proporção, então achamos o CP.
Para isso, dividimos a informação “dele” pela respectiva informação retirada dos
números simplificados.
O que “ele” fez ?........disse que a diferença entre “I” e “E” é 5.
Tomamos, então, a diferença entre 6 e 1....que é 1.
CP = 5/1 = 5
Agora fazemos o caminho contrário, multiplicando os números simplificados por 5.
E = 5 . 5 = 25 documentos
I = 6 . 5 = 30 documentos
180
TOTAL = 25 + 30 = 55 documentos (resposta)
Quanto ao ocorrido dia 11, tivemos:
SHoW, com o professor Ivan tocando “Pink Floyd” em seu violão.
Distribuição de salgadinhos
Sorteio de um carro “0” km.
Ah.....o assunto foi FUNÇÕES.
Perdeu...............................................bem feito !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise Combinatória
Subject: questão arranjo
Date: Thu, 16 Aug 2012 17:51:02 +0000
Olá professor, fui refazer a sua última questão da aula de hoje e me surgiu uma dúvida:
a questão é
Um nº de 2 casas não tem algarismos repetidos. Quanto são esses nºs ??
ok. o problema é de arranjo pois se eu trocar as ordens dos números o número formado
será diferente. Logo, não dividirei pleo fatorial do nº de etapas do evento.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são os nºs que posso preencher as 2 opções que tenho . daí fica 9
10 no 1º "9"" opçoes pq nao posso iniciar meu nº com "0" pq se não nao sera um nº de
2 casas. e na 2ª casa tenho 10 opções pra completar. Certo. Mas se (numa hipótese) eu
escolhesse o nº 1 para ser a casa das unidades do meu nº, a casa das dezenas não
poderia nem ser o nº 1(pq o numero nao pode ter elementos repetidos e nem o "0" e
então eu teria 8 op~çoes somente prara preencher ali e não 9. Daí ficaria 8 10
pq
nem o "1" nem o "0" poderiam estar na casa das dezenas. e então seriam 80 nºs.
Me entende? Daí nao sei como ficaria..pq se eu considerar que tem algum outro
numero que noa sej ao zero na casa das unidades eu terei que descontá-lo das
opçoes das casas da dezena e se eu (na hipótese ainda) colocasse o zero daí sim
seriam 9 opçoes pr acsa das dezenas. Fica um resultado diferente.
Obrigada desde já!
181
Olá.
9 opções na primeira etapa. Isso mesmo, o zero não pode.
Exatamente pelos motivos que você citou não temos 10 opções na segunda etapa, mas
sim 9, pois o algarismo que ocupou a primeira casa não pode ocupar a segunda casa,
mas o zero pode, então, dos 10 algarismos que existem, só não pode ocupar a segunda
casa aquele que ocupou a primeira, pois são números de dígitos distintos ( o texto cita
isso ).
Então.......9 x 9 = 81 números
E N T E N D E U ??
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três
Bom dia, professor Ivan
Estou com dúvidas em relação a alguns exercícios de razões e proporções.
Um deles é:
Uma pessoa, datilografando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia,
realiza certo trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 toques por minuto
e trabalhando 4 horas por dia, realizará o mesmo trabalho em quantos dias?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 15
e) 18
Para mim, a resposta é 12,5 dias, mas não há esta opção. O gabarito aponta como
correta a letra E.
Minha resolução foi:
182
TOQUES/MIN
60
50
HORAS/DIA
6 (6h*60min = 360min/dia)
DIAS
10
x
A grandeza "principal" é o número de DIAS. A única inversamente proporcional é
HORAS/DIA.
Assim:
10/x = 60/50 * 240/360 --> 10/x = 14400/18000 --> x = 12,5
Obrigada,
Olá,
Na verdade, quem leva mais dias para fazer um texto digita MENOS T.P.M e trabalha
Menos h/h. A s duas são inversas ! Outro detalhe é que não é necessário converter h/d
para minutos/dia. Os valores devem ter mesma unidade quando são da mesma grandeza.
Fica assim..
TOQUES/MIN
60
50
↓
HORAS/DIA ↓
DIAS↑
10
x
....................................................................................................
10/x = 4/6 . 50/60
10/x = 2/3 . 5/6
10/x = 1/3 . 5/3
10/x = 5/9
....
X = 18 dias
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Compra, venda e lucro
Vender uma mercadoria com 50% de lucro, calculado o sobre o preço de venda, equivale a
vender a mesma mercadoria, com um lucro de x%, calculado sobre o preço de custo. Nessas
condições, o valor de x é:
183
a)40
b)50
c)100
d)120
e)200
Poderias me ajudar?
Essa questão ainda não esta no material de duvidas.
Abraço,
Resolução:
Vamos supôs que o preço de Venda (V) seja 100.
O lucro seria de 50% de 100.
Ou seja....50
Daí, se vende por 100 ganhando 50, então o preço de compra foi 50.
O que o lucro de 50 significa da compra ( 50) ?
Ou, o que 50 é de 50 ?
Ora.....100% ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>equações e frações
Date: Fri, 17 Aug 2012 23:26:25 -0300
Subject: Ajuda - Extensivo de Raciocínio Lógico.
Boa noite professor, estou resolvendo aquele arquivo de "Dúvidas do TJ" e tem uma
questão só com o gabarito. Eu tentei fazer do jeito que o senhor ensinou, mas não tá
dando certo. Pode me ajudar por favor? É a seguinte:
1) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua
quarta parte somam 31. Qual é esse número?
A) 8.
184
B) 9
C) 10.
D) 11
E) 12.
Eu até consegui confirmar que a resposta é 12 depois de ver que era esse o
gabarito, mas não consegui fazer pelo caminho contrário pelo enunciado da
questão, o que estou fazendo de errado? Fiz assim:
x2
x4/3
x5/4
igual a 31
aí encontrei 93/10 fazendo o caminho contrário.
Obrigada!
Resolução:
número = x
dobro do número = 2x
terça parte = x/3
quarta parte = x/4
equação: 2x + x/3 + x/4 = 31
mmc...
24x + 4x + 3x = 12 . 31
31x = 12 . 31
x = 12 . 31 / 31
x = 12 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
185
A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em
cada 20 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes
reduzirá para 4590. Calcule o número de:
a) habitantes da cidade
b) fumantes da cidade
RESOLUÇÃO:
3 em cada 20 significa 3/20 = 0,15 (15%)
Se eram 32% e reduziu 15% DO Nº DE FUMANTES (o nºde
fumantes – F-), logo ficaram 85% do nº de fumantes , que eram
32% dos habitantes (H) e passaram a ser 4590.
Ficaram...0,85 . 0,32 .H = 4590............resolvendo .......H = 16875
habitantes
Daí, como o nº de fumantes era 32% da população, então...
F = 0,32H
F = 0.32.16875
F = 5400 fumantes
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Medidas
12 g/ml equivalem a quantos kg/dl?
a) 0,012
b) 0,12
186
c) 1,2
d) 12
e) 120
Resolução: ( Medidas )
12 g/ml = 12 g / 1 ml
Passe gramas para Kg.......12g = 0,012 Kg
Passe ml para dl......1 ml = 0,01 dl
Agora divida os dois, para ficar Kg/dl...
0,012 Kg / 0,01 dl = 1,2 Kg/dl ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens / frações – Difícil !
Suponha que certo medicamento seja obtido adicionando-se uma substância A a uma
mistura homogênea R, composta de apenas duas substâncias X e Y. Sabe-se que:
- o teor de X em R é de 60%;
- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de R e substituindo-os por
5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homogênea.
Nessas condições, o teor de Y no medicamento assim obtido é de:
a) 42%.
b) 44%.
c) 45%.
d) 48%.
e) 52%.
Resolução:
X/ R = 3/5 (60%), então Y/ R = 2/5 (40%)
187
Havia: (em 50 litros da mistura)
X = 3/5 de 50 = 30 litros
Y = 2/5 de 50 = 20litros
Saíram: ( 15 litros da mistura)
De X = 3/5 de 15 = 9 litros
De Y = 2/5 de 15 = 6 litros
Ficaram: ( 35 litros)
De X .......21 litros ( 30 – 9 )
De Y .......14 litros ( 20 – 6)
Razão entre Y e o total.......14 / 35
Adiciona-se a Y.....10 litros, ficando 24
Adiciona-se ao total......15 litros (5 de A e 10 de Y), ficando 50
Nova razão entre Y e o total..................24 / 50 = 0,48 = 48%
Alternativa.....”D”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Medidas
From:;;;;;;;;;;;;;[email protected]
188
Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um deposito de agua, cuja
capacidade de 7680000 litros, sao proporcionais, respectivamente, aos numeros 10,6 e
2; nessas condicoes, a medida da largura desse deposito e?
8m
12m
40m
16m
24m-resposta gabarito
Resolução:
Se as medidas são proporcionais, então existe um valor constante ( x ) que multiplica as
três dimensões...
x.C . x.L . x . A = 7680000 dm3
x.10 . x . 6 . x . 2 = 7680000 dm3
x3 . 120 = 7680000 dm3
x3 = 64000 dm3
x = √64000
1
x = 40 dm = 4 m
Largura = 6 x 4 = 24 metros ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Funções
Oi Prof Ivan,
Tudo bem ?
Sou sua aluna do Cetec do curso do TJ.
Seja uma função real de variável real, definida por f(x) = ax + b
Se f(1) = - 9 e a²-b² = 4 calcule o valor de a-b.
Eu não consegui resolver esta questão. Pode me ajudar ?
Abraço,
Resolução:
Quando x = 1 então f(x) = - 9
Substituindo em f(x) = ax + b........-9 = a.1 + b.....a + b = -9
189
Sabemos que .. a²-b² = 4
a²-b² = ( a + b ) . ( a – b ) (produto notável )
Substituindo os valores ....
4 = -9 . ( a – b )
( a – b ) = - 4/9 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria
Na figura, a área do quadrado de centro O é:
a) 10
b) 16
c) 25
d) 100
e) 2500
Resolução:
Observe:
*O raio ( R ) do círculo vale x/2 + 3
• O segmento horizontal interior ao círculo que “corta” o raio mede “x” de
um lado e “x” do outro. Isso quer dizer que ele é perpendicular ao raio,
pois caso contrário não teria as mesmas medidas dos dois lados..
190
• O lado direito ( x ) do segmento citado acima, o segmento (parte do raio)
que mede 3 e o segmento imaginário que liga o centro do círculo à
extremidade direita do segmento horizontal, formam um triângulo
retângulo, pois, como foi dito acima, os dois segmentos internos são
perpendiculares (90º).
• O segmento imaginário citado acima é também um Raio, pois liga o centro
à circunferência e, portanto, também mede (x/2 + 3) e é a Hipotenusa do
triângulo retângulo citado. Aliás, seus catetos são 3 e x.
x/2 + 3
3
X
• pelo Teorema do Pit. Temos que:
(x/2 + 3) ² = x² + 3²
[obs: (a+b)² = a² +2ab + b² ]
X²/4 + 2.x/2 . 3 + 3² = x² + 9
191
X² /4 + 3x + 9 = x² + 9
Achando o MMC...
X² + 12x + 36 = 4x² + 36
Passando tudo para o lado esquerdo...
- 3x² + 12x = 0
Delta = 12² - 4 . (-3) . 0
Delta = 144
X = [ - 12 +- 12] / - 6
X’ = 0 (não serve, pois não existe medida “0”
X” = 4 (É essa !)
Se x = 4, então o raio será;
R= x/2 + 3 = 4/2 + 3 = 2 + 3 = 5
Se o Raio é 5, então o lado do quadrado será 10, pois é o dobro do raio.
192
Se o lado do quadrado é 10, então sua área será 10² = 100 (resposta).
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
Em consequência de fortes chuvas caindo em uma região,o volume(V) de uma represa foi
aumentado em 5%,
razão pela qual foram abertas as comportas, com vazamento semanal de água programado
para 5% de V. Se o índice pluviométrico permanecer o mesmo por mais uma semana e as
comportas continuarem abertas conforme o programado, pelo mesmo período, qual será, em
função de V, a expressão que representarão volume de água contido nessa represa no fim
dessa semana?
a) V b)0,90V
c) 0,95V d) 1,05V
e) 1,10V
Solução (porcentagens): Quando as comportas foram abertas o volume da represa já era
1,05V. Na semana seguinte as chuvas elevam em 5% de V o volume, mas as comportas
diminuem o volume em (também) 5% de V, permanecendo assim o mesmo volume, que
era.....1,05V.
alternativa......d
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três
Dez operários fazem 200 metros de um trabalho em 15 dias de 8 horas. Quantas
horas devem trabalhar a mais por dia, 15 operários, cuja capacidade de trabalho é
duas vezes a dos primeiros, para fazerem, em 8 dias, 900 metros de outro trabalho,
cuja dificuldade seja 2/5 da dos primeiros?
Operários ↓
metros↑
dias↓
h/d↑
capacidade↓
dificuldade↑
10
200
15
8
100
100
15
900
8
x
200
2/5 de 100 = 40
.......................................................................................................................................
Se trabalham mais horas por dia...................... tem MENOS operários...Inversa
Se trabalham mais horas por dia.....................fazem MAIS metro......Direta
Se trabalham mais horas por dia...................fazem em MENOS dias....Inversa
Se trabalham mais horas por dia...................são MENOS capazes...Inversa
Se trabalham mais horas por dia..................é Mais difícil de fazer.....Direta
(já coloquei as setas)
193
Obs: A capacidade do segundo grupo é o dobro do primeiro, então coloque
qualquer valor para o primeiro e, no segundo, o dobro
A dificuldade do segundo é 2/5 do primeiro. Coloque qualquer valor para o
primeiro e, o segundo, será 2/5 dele.
Eu usei 100 nos dois casos.
Montando a proporça~; Mantenha as frações que são “Diretas” e inverta as
“inversas”
8/x
= 15/10
.
200/900 .
8/15 . 200/100 . 100/40
Simplificando, do lado direito da igualdade, qualquer numerador com qualquer
denominador....
8/x = 8/9
Daí, x = 9
h/d
Como é pedida a quantidade de horas que a segunda turma
deve trabalhar A MAIS que a primeira ( que trabalhou 8 horas
por dia), a resposta é......1 h/d.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::porcentagens
No restaurante do Abreu, as contas apresentadas aos clientes são sempre o resultado
da soma do que foi consumido com a gorjeta de 15% sobre esse consumo. Após comer
nesse restaurante, Gastão recebeu a conta no valor de R$ 49,68. Gastão se recusou a
pagar os 15% e resolveu pagar apenas 10% de gorjeta. Dessa forma, sua conta
diminui
a) R$ 2,38
b)R$ 2,49
c)R$ 2,16
d)R$ 1,98
e)R$ 2,04
Resolução:
A conta recebida corresponde a 115% sobre o valor real gasto (V), daí..
1,15 .V = 49,68
V = 43,20
A economia foi de 5% da conta, logo...
194
0,05 . 43,20 = 2,16 ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Raciocínio
Olá, professor Ivan! Tudo beleza?
Tem um exercício, de nível de ensino fundamental, em que é preciso resolvê-lo sem se valer de
fórmulas. Eis o exercício:
A soma de dois números é 56. A diferença entre eles é 6. Quais são estes dois números?
A + B = 56
A-B=6
Então somamos ambas as equações, e já achamos o A, que vale 50/2, que é 25. Depois se acha
o B facilmente. Até aí, tudo bem... Mas o problema é resolver isto através somente de
raciocínio lógico! Peço a você: Como se resolve?
Desde já, agradeço pela sua atenção!
Até mais!
Olá.
Raciocínio.....
SE um deles é 6 unidades mais que o outro, então tirando seis unidades de um, eles ficam
iguais e a soma dará 50 (pois saem 6 unidades da soma também).
Logo um deles é 25 e o outro será 6 a mais, ou seja ...31.
Também pode ser através de testes..
Se a diferença é 6, então os números podem ser..
1 e 7.................soma 8....não é
2 e 8.................soma 10...não é
3 e 9................soma 12 ...não é
4 e 10..............soma 14....não é (ainda está longe, então vamos dar uns pulos..)
.....
8 e 14.............soma 22...não é
....
20 e 26.......soma 46...não é
195
....
22 e 28..........soma 50...não é, mas está perto !
24 e 30......soma 54 ...não é
25 e 31.......56 ( pronto )
Aliás, sua resolução algébrica está errada, pois somando as equações obteremos para A o
valor 31 e para B o valor 25.
A + B = 56
A-B=6
....................
Somando..........2A = 62
A = 31
Logo, B = 25.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>porcentagens
Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice
de salinidade de 12%. Devido à evaporação, esse índice subiu para
15%. Determinar, em litros, o volume de água evaporada. R: 24
Olá
RES: Eram 12% de sal em 120 litros, ou seja 0,12 . 120 = 14,4 de sal
Quando evapora a água, o sal continua. Logo, continuam 14,4 de sal,
significando agora 15% da quantidade ( Q ) de água.
0,15 . Q = 14,4
Q = 14,4/0,15
Q = 96 litros
Como eram 120 litros e ficaram 96, então evaporaram,......24 litros
196
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções
Dentre os pares (x,y) de números inteiros tais que a soma do primeiro número
com o dobro do segundo número é igual a 64, considere o par em que o produto
x . y é máximo. Os números x e y são tais que:
a) x = y
b) x = y/2
c) x é uma potência de 2
d) y é um múltiplo de 3
e) y é um divisor de 8
Resolução :
Bom, poderíamos atribuir valores para y e descobrir os correspondentes para x.
Depois, multiplicaríamos os dois até obter um produto máximo (maior de todos)
Assim;
X + 2y = 64
Y=0.......x = 64.......produto=0
Y = 1.....x = 62.......produto=1
Y = 2.....x = 60…….produto=120
Y = 3 .....x = 58…...produto=174
………
....4....56 …..produto= 224
...5....54 ……..produto= 270
...6....52……….produto= 312
...7....50……....produto= 350
197
.
.
.
…..observe que os produtos estão crescendo, daí continuaria até o momento em que ocorrer
um produto menor que o anterior. Esse momento seria o MÁXIMO.
16 ....32.......512
17.....30........510 ( aqui começa a diminuir, logo os números são 16 e 32 – potências de 2 )
Outra forma de resolução......
Método algébrico;
Coloque y em função de x
Y = (64-x)/2
O par fica..( x ,( 64-x)/2)
Multiplique...
X . y = x . (64-x)/2 = (64x – x²)/2 = - 0,5x² + 32x
Agora temos o produto em função de x (função do 2º grau)
F(x) = - 0,5x² + 32x
O máximo dessa função (que será o produto máximo) será obtido pela coordenada “y” do
vértice.
Yv = -delta/4a
Delta = b² - 4ac = 32² - 4.(-0,5).0 = 32² = 1024
Yv = -1024/(- 2) = 512
Daí, produto máximo = 512
Mas ele pede o valor de “x” para que o produto seja máximo.
Quem fornece isso, é o Xv (coordenada x do vértice)
Xv = -b/2a = - 32 / 2 (-0,5) = 16
Logo, a resposta é 16, que é igual a 2 , ou seja é uma potência de
4
2.....................................letra”A”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
A sequência ( x + , x + , x/ ,...) com x pertence IR, é uma progressão geométria de
termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é:
198
a-
b- &-
'
c- &
d- &
'
e- &
RESOLUÇÃO:
Em toda P.G. a razão "q" pode ser obtida dividindo-se qualquer termo pelo anterior(pois todo
termo é igual ao anterior multiplicado pela razão).
Daí, a divisão do segundo pelo primeiro dá o mesmo resultado que a divisão do terceiro pelo
segundo.
(x+1) / (2x+5) = (x/2) / (x+1)
resolvendo (multiplicando-se "em cruz")
(2x+5) . (x/2) = (x+1) . (x+1)
x² + 5x/2 = x² + 2x +1 (cancele x² com x²)
5x = 4x + 2
x=2
Substituindo x por 2 na sequência original.........................teremos...(9, 3, 1,........)
Daí, a razão será 1/3. (o terceiro dividido pelo segundo )
o décimo terceiro termo poderá ser obtido pela fórmula do termo geral das P.G.
an = a1 . qn-1
a13 = 9 . (1/3)13-1
a13 = 3² . (1/3)12
199
a13 = 3² . 3-12
a13 = 3-10 ......................"B"
Tudo bem?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Supondo que, para os próximos jogos Olímpicos, o comitê Olímpico
Internacional selecione quatro cidades a, b, c e d como candidatas à sede de
competições em duas modalidades esportivas: nado sincronizado e vôlei
masculino, de quantos modos distintos o comitê poderá lançar tais
candidaturas se cada cidade só poderá sediar apenas um dos eventos?
Resolução -1: Se são 4 cidades para sediarem duas modalidades (uma em
cada cidade), então teríamos os seguintes pares possíveis de cidades (entre
A, B, C e D) –
Método Rural....
AB
AC
AD
BC
BD
CD
6 casos, para vôlei na 1ª e Nado na 2ª, mas como pode ser Nado na 1ª e
Vôlei na 2ª, teríamos mais 6 casos, totalizando 12 maneiras
200
Resolução-2: Os 12 casos poderiam ser calculados com a Análise
Combinatória. São 4 cidades para se escolher 2. A ordem importa, pois se
uma sedia o Vôlei e a outra a Natação, é diferente de a primeira sediar a
Natação e a outra o vôlei......logo é ARRANJO, de duas etapas.
A4,2 = 4 . 3 = 12 maneiras
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Análise Combinatória
Oi professsor!!
queria que o senhor me ajudasse nessa questão:
Quantos nºs de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do sistema
decimal, sem os repetir, de modo que:
sejam divisíveis por 5:
eu achei 126, mas no gabarito está 136. Fiz 7.9.2 já que a última casa deve ser ou o 0 ou o 5
pra ser divisível por 5.
Resolução:
Evento: números....é Arranjo.....Não divide !
Etapas: 3.............------- ------- -----Para ser divisível por 5 tem que terminar em “0” OU “5”
1º) terminados em 5
Teremos 1 opção de escolha para a última etapa ( o 5 ).
Para a primeira etapa teremos 8 opções, pois não pode ser o 5 ( já usado) nem o “0”,
pois se começar com zero não terá 3 dígitos. Para a segunda etapa pode ser o zero, logo
temos novamente 8 opções de escolha ( qualquer algarismo, menos os dois que foram
usados na primeira é terceira etapas).
Ou seja; 8 . 8 . 1 = 64 números terminados em 5
2º) Terminados em “0”
201
Para a terceira etapa teremos uma opção ( o 0)
Para a primeira etapa teremos 9 opções ( qualquer algarismo que sobrou, pois o zero,
que não poderia, já foi usado). Para a segunda etapa teremos 8 opções ( qualquer
algarismo, menos os dois que já foram usados ).
Ou seja:
9 . 8 . 1 = 72 números terminados em 0
Somando...
64 + 72 = 136 números. ( Resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções. Divisão Composta
Dois Analistas Judiciários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho- Felício
e Marieta- foram incumbidos de analisar 56 processos. Decidiram, então, dividir o
total de processos entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo, diretamente
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Tribunal e inversamente
proporcionais às suas respectivas idades. Se na ocasião, Felício era um funcionário
do Tribunal há 20 anos e tinha 48 anos de idade, enquanto que Marieta lá
trabalhava há 8 anos, então, se coube a Marieta analisar 21 processos, a sua idade
é:
a) era inferior a 30 anos
b) estava compreendida entre 30 e 35 anos
c) estava compreendida entre 35 e 40 anos
d) estava compreendida entre 40 e 45 anos
e) era superior a 45 anos
Resolução:
IDADE (IP)
FELÍCIO
MARIETA
TEMPO(DP)
48
20
x
8
Mantenha a sequência como está se for Direta e inverta se for Inversa.
IDADE (IP)
TEMPO(DP)
202
FELÍCIO
1/ 48
20
MARIETA
1/ x
8
(coube a ela 21 processos)
Agora, multiplique os valores de cada um, respectivamente..
FELÍCIO
20/ 48
........5/12
MARIETA
8/ x
.........8/x
Faça a divisão em partes diretamente proporcionais aos valores encontrados, ou seja, cada
valor encontrado vezes o “CP” dará a quantidade de processos de cada um.
Coube a Marieta 21 processos, logo coube a Felício 35 processos ( 56 – 21).
Daí:
5/12 . CP = 35.............5.CP = 12.35......CP = 84
8/x . 84 = 21....... ....21.x = 8 . 84.....x = 8 . 84/21.....x = 32 anos ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Regras de três
Uma pessoa resolve 30 questões de matemática em 4 horas. Outra pessoa resolveria o
mesmo nº de questões em 5 horas.
Trabalhando juntas, desde o início da resolução dos problemas, elas resolveriam as
questões acima e mais 30 do mesmo nível de dificuldade em:
a) 4h 26m 40s
b) 4h 18m 20s
c) 3h 45m 30s
d) 3h 20 m 50s
e) 2h 40m 40s
Resolução:
A 1ª faz 30 questões em 4 horas, então faz 30/4 em 1 hora ( 30/4 = 7,5)
A 2ª faz 30 questões em 5 horas, então faz 30/5 em 1 hora ( 30/5 = 6)
Trabalhando juntas farão 7,5 + 6 (13,5) em 1 hora.
Em quanto tempo farão 60 (30 + 30) questões ??
Tempo (h) ↑ Questões↑
1
13,5
X
60
..........................................
203
1/x = 13,5/60
13,5x = 60
x = 60/13,5
Dividindo...(Divisão de unidades de tempo)
60 | 13,5
= 600 | 135
60h
4 horas
Converta o resto em minutos, multiplicando por 60 e continue a conta...
600 | 135
60h
X60
.........
4
3600 min | 135
90
26 minutos
Multiplique o resto por 60, convertendo em segundos e continue a conta..
3600 min | 135
90
X 60
.........
26
5400 seg | 135
0
40 segundos
Resposta: 4h 26 min e 40 seg
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções – gráficos
A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n
204
Então, o valor de m3 + n é
•
a) 2
•
b) 3
•
c) 5
•
d) 8
•
e) 13
Resolução:
É uma função do primeiro grau onde o “a” é m e o “b” é n.
Os pares ordenados ( -2, - 9 ) e ( 3, 1 ) pertencem á função, logo quando
substituirmos na função o x obteremos o y.
y = mx + n
205
1° par:
- 9 = m.(-2) + n........-2m + n =- 9
2° par:
1 = m.3 + n.......3.m + n = 1
Daí, temos os sistema...
- 2m + n = - 9
3m + n = 1
____________________
Multiplicando a segunda por (- 1 )..
- 2m + n = - 9
-3 m - n = - 1
Somando as duas...
- 5m = - 10
m=2
Voltando em......3m + n = 1 e substituindo m por 2........3.2 + n = 1
6+n=1
n=-5
Porém, é pedido o resultado de.....m3 + n
m3 + n = 23 + ( - 5 ) = 8 – 5 =
3 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Sistemas do 2º grau
206
x e y são números inteiros onde o triplo do menor, adicionado
do maior totaliza 22 e o quadrado do
maior, diminuído do quádruplo do menor, fica 29. Quais os
números ?
Resolução:
x = menor
y = maior
equações :
3x + y = 22
y² - 4x = 29
isolando x na primeira.....x = ( 22 – y ) /3
Substituindo x na segunda...
y² - 4. ( 22 – y )/3 = 29
y² - 88/3 + 4y/3 = 29
mmc....
3y² - 88 + 4y = 87
Arrumando...
3y² + 4y – 175 = 0
∆ = 4² - 4.3. ( - 175)
∆ = 16 + 2100 = 2116
y = [ - ( -88) +- √
/ ] / 2.3
y = (88 +- 46 )/ 6
207
y’ = 134/6 = 67/3 ( não é inteiro )
y” = 42/6 =
7 ( um dos números, o maior)
Substituindo y em.... 3x + y = 22
3x + 7 = 22
3x = 15
x=
5
Os números são....5
e 7.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
208
(TRT/3ª - 2009 - Téc. Jud. / Contab.) Quatro técnicos em contabilidade, A, B, C e D,
vão repartir entre si um total de 220 processos trabalhistas, para conferir os cálculos.
Os dois primeiros receberam 2/5 do total de processos e os repartiram em partes
inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Os dois últimos repartiram o
restante dos processos em partes diretamente proporcionais às suas respectivas
idades. Se as idades de A, B, C e D são, respectivamente, 24, 20, 34 e 32 anos, o
número de processos recebidos por
A) A foi 44
B) B foi 48
C) C foi 58
D) D foi 60
E) D foi 68
Resolução:
São dois problemas, sendo que o primeiro consiste em dividir em partes inversamente
proporcionais a 24 e 20 a quantidade de 2 / 5 de 220 processos. O segundo consiste em dividir
a quantidade de 3 / 5 de 220 (restante dos processos) em partes diretamente proporcionais a
34 e 32.
Primeira divisão: Como é Inversa, fazemos de forma direta e trocamos os resultados. A soma
dos processos que cabem aos dois é de 2 / 5 . 220, ou seja, de 88. A soma das idades é de 44
anos. O Coeficiente de proporcionalidade, então, será 88 / 44, que é igual a 2.
A recebe.......................20 x 2 = 40 processos
B recebe ......................24 x 2 = 48 processos (já trocadas as idades)
Observe que não é necessário fazer a segunda divisão, pois já é possível localizar a alternativa
correta...................letra “B”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações
Um fazendeiro vendeu 3/7 das ovelhas que possuía.Depois vendeu a 4ª parte das ovelhas
que sobraram.E finalmente 5/6 das ovelhas que restavam morreram no inverno. Se ao final
ficaram 6 ovelhas quantas inicialmente tinha o fazendeiro?
Resolução:
O fazendeiro tinha "X" ovelhas. (lembre-se: "de", "do", "das".....significam Multiplicação)
Vendeu....................................3/7 . X.........................ficou com..............4/7. X
vendeu...............................1/4 . 4/7 . X = 1/7 . X..........ficou com .......4/7.X - 1/.X = 3/7.X
209
Morreram............................5/6 . 3/7 . x = 5/14 . X.........ficou com........3/7.X - 5/14.X = 1/14.X
Ficaram 6, ou seja...................1/14 . X = 6.............X = 6 . 14..........X = 84 ovelhas
Tudo bem assim?
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica matemática
Date: Wed, 22 Aug 2012 06:38:32 -0700
From: …………[email protected]
ABC = 6 e FGH = 336, então ACF = ?
a) 18
b) 24
c) 38
d) 42
e) 120
R:A
Resolução:
BC = 6 ?
quais são os valores e a operação ? ( posição das letras no alfabeto )
1+2+3=6
1.2.3=6
Há, claro, outras possibilidades....mas....bom senso..
Verificando no próximo..
FGH = 6 + 7 + 8 não dá 336 ( então não é soma )
FGH = 6 . 7 . 8 = 336 ( é multiplicação )
Então...
ACF = 1 . 3 . 6 = 18 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Números
210
Date: Wed, 22 Aug 2012 14:16:06 -0300
Subject: Duvidas TJ - 3
From: ……………[email protected]
Professor, estou com dúvidas em relação a algumas questões de PORCENTAGENS.
Uma delas é:
15) O algarismo das unidades do número N = 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ... x 999
a. 1
b. 3
c. 5
d. 7
e. 9
Simplesmente não sei por onde começar esse exercício!!!
Olá, toda multiplicação por 5 feita com números ímpares terminará em 5 !!!
faça uns testes e comprove.
No caso, todos os números são ímpares, logo o resultado da multiplicação
terminará ( casa das unidades ) em 5, pois lá está o número 5 !!
Alternativa...."C"
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Conjuntos
DIAGRAMAS LÓGICOS
8- -Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de
Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200
alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No
corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30%
no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos
estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos
matriculados em mais de um curso é igual a:
a) 30
b) 10
c) 15
d) 5
e) 20
211
RESOLUÇÃO
ALEMÃO
a
x
y
10
c
z
INGLÊS
b
FRANC
X + y + 10 + a = 100
Y + z + 10 + b = 80
X + z + 10 + c = 60
...........................................
212
X + y +z + x + y + z + a + b + c + 10 + 10 +10 = 100 + 80 + 60
-------------------------------200 (a soma de todas as regiões deve dar 200)
X + y + z + 200 + 10 + 10 = 240
X+ y + z = 20
Agora observe que :
X, Y, Z: representam quem estuda apenas duas línguas e o problema pede o
número de pessoas que estudam MAIS de uma língua. Logo, ele se refere a
quem estuda duas ou três, ou seja 20 + 10 = 30
Alternativa: a
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Diagramas Logicos
9- Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a
três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade.
As propostas (referidas como "A","B" e "C") não eram mutuamente excludentes, de
modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de
apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três.Dos
entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total
dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e
20% à proposta C.Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam
favoráveis a todas as três propostas.
Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma
das três propostas foi igual a:
a) 17%
b) 5%
c) 10%
d) 12%
e) 22%
Solução: (LETRA ‘A’)
213
[Digite texto]
A
50 – (5 + X + Y)
X
Y
5
30 – (X + Z + 5)
Z
20 – (Y + Z + 5)
B
C
FORA: 22
5 + X+ Y + Z + 30 – (X + Z + 5) + 20 – ( Y + z + 5) + 50 – ( X + Y + 5) = 78
90 – (X + Y + Z) = 78
214
[Digite texto]
X + Y + Z = 12 ( esses votaram a favor de somente duas )
5 votaram a favor de três, o que totaliza 17 ,votaram em pelo menos duas quer
dizer quem votou em duas ou (+) em três.
<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>>><><><><><><><><><><><><>
<><><><><><><><><<
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Diagramas Lógicos
10- Numa escola há “n” alunos, dos quais 42 leem o jornal “A”, 25 os jornais “A”
e”B”, 80 apenas um dos jornais e 50 não leem o jornal “B”. Determine o valor de
“n”.
São dois conjuntos. Desenhe os dois parcialmente sobrepostos (abaixo)
Passo (1)...........25 leem os dois, então coloque 25 na intersecção(área comum)
Passo (2)...........42 leem A, então dentro de A tem 42, mas como já colocamos 25, na
região que pertence SOMENTE a A, colocaremos 42 – 25 = 17 (lêem só A)
Passo (3)............80 leem só 1 jornal. Como 17 Lêem só A, os outros (80 – 17) lêem só
B (63)
Passo (4)............ 50 não leem o jornal B. Então, fora de B existem 50. Olhando para o
desenho feito até o momento, vemos que existem 17 fora de B (os que estão só em
A). Como não há outra região disponível, concluímos que os outros 33 (50 – 17) estão
fora dos dois conjuntos.
215
[Digite texto]
Finalmente: “n” é a soma de todas as regiões: 17 + 25 + 63 + 33 = 138
(FIGURA ABAIXO)
42-25 = 17
“A”
(2)
80-17=63
25
(1)
50-17=33
(4)
216
(3)
“B”
[Digite texto]
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica proposicional
111- Joselias e Rita formam um casal. de modo que:
Rita mente aos domingos, segundas e terças, verdade nos outros dias.
Joselias mente as quartas, quintas e sextas, e verdade nos outros dias.
Um dia declararam: "ontem foi dia de mentir"
Qual foi o dia da declaração?
RES:
D(m) S(m) T (m) Q (v) Q(v) S(v) SA(v)..................Rita
D(v) S(v) T(v) Q(m) Q(m) S (m) SA(v).................Joselias
Quando uma pessoa pode dizer " Ontem Menti" ?
1- Quando disse a verdade e ontem realmente mentiu, ou seja, o dia da
declaração é "V" e o dia anterior, "M", pois aí estaria de fato falando a verdade.
2- Quando mente e ontem disse a verdade, ou seja, o dia da declaração é "M"e o
dia anterior e "V", pois aí estaria de fato mentindo.
217
[Digite texto]
Resumo: Só é possível declarar a frase em questão em um dia em que sua
natureza for OPOSTA ao dia anterior.
Para Rita, isso ocorre em: Domingo e Quarta.
Para Joselias, isso ocorre em : Quarta e sábado.
O dia comum é a resposta.............................................QUARTA !
<><><><><><><><>><>><>><><><><>><><><><><><><><><
Lógica proposicional
12-Jonas mente as segundas, terças e sábados, e fala a verdade nos outros dias
da semana. Danilo mente as quartas, sextas e domingos, e fala a verdade nos
outros dias da semana. Se hoje ambos dizem que não mentiram ontem, que dia
da semana é hoje?
a-quinta feira, b-quarta feira, c-sexta feira, d-terça feira, e-domingo.
Só é possível dizer HOJE "Eu não menti ontem" em dois casos: Se a pessoa
mentiu ontem e hoje; ou se disse a verdade ontem e hoje ( verifique que caso
contrário não seria possível ter dito a frase). O único dia possível para Danilo é
a terça, pois disse a verdade na segunda e na terça. Então.............TERÇA
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Lógica proposicional
13- Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tia(s ou irmãs de Zilda. As tias
de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz
que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de
Zilda. Dida diz que Bia e Elisa tem diferentes graus de parentescos com Zilda,
isto é: se uma é tia, a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o
numero de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:
a-1,b- 2,c- 3,d- 4,e- 5.
218
[Digite texto]
Suponha, por exemplo que Ana é tia (mentirosa), entaõ quando diz que Bia é tia,
terá mentido e, portanto, Bia é irmã. Bia sendo irmã, dirá a verdade, então Cati é
irmã. Cati sendo irmã dirá a verdade, então Dida é irmã. Dida sendo irmã dirá a
verdade, então como Bia éirmã, Elisa será tia.
Elisa sendo tia, terá que mentir!! mas sua declaração é; "Ana é tia", o que é
verdade!! logo ocorreu uma contradição (uma mentirosa dizendo uma verdade).
Daí, não é possível que Ana seja tia........logo........Ana é irmã
Ana é, então,irmã. Portanto, Ana teria mentido, logo Bia não seria Tia e seria,
portanto, irmã. Daí também mentiria e logo Cati seria Tia, que diz verdade e
então Dida seria irmã, que mente, daí Elisa seria irmã e mente dizendo que Ana é
Tia. Tudo compatível, portanto ....é isso!...4 irmãs.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Lógica
8H – B2 – 6F - ?
a) 3C
b) 4Z
c) C3
d) Z4
e) A9
R:C
Resolução:
Observe que :
8H........número e letra ( o número corresponde à posição da letra no alfabeto)
B2.......letra e número
6F......número e letra
???.......será letra e número ( o número corresponderá à posição da letra no
alfabeto...............C3 !!! )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria / medidas
Estou tentando fazer a questão 2 da página 296 da apostila de técnico
do tj do cetec.
219
[Digite texto]
Há a resolução deste problema nos teus materiais? Senão, poderia me
dizer como chegar ao resultado correto? O gabarito diz q eh 1334, mas
eu só chego no resultado 1333. O que estou fazendo de errado? Aí vai a
questão:
Para se ladrilhar uma parede de 12m por 2,5m (retangular) serão
necessários quantos ladrilhos quadrados, inteiros, de 1,5dm de lado,
no mínimo?
a) 1300
b) 1331
c) 1332
d) 1333
e) 1334
Muito obrigado, professor.
Abraço
Resolução:
Basta dividir a área total pela área de um ladrilho..
Claro, as medidas devem estar na mesma unidade.
Área total = 12m x 2,5m = 30 m² = 3000 dm²
Área de 1 ladrilho = 1,5 dm x 1,5 dm = 2,25 dm²
Nº de ladrilhos = 3000 / 2,25 = 1333,33
Interpretação: 1333 ladrilhos não são suficientes, então serão necessários 1334, pois o
texto diz “ ladrilhos inteiros “
Alternativa...”E”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>funções
Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve
a produção (y) de um bem é uma função do segundo grau y = ax² + bx + c, em que x
corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela
figura abaixo.
220
[Digite texto]
Tem-se, então, que:
(A)) a = −3, b = 60 e c = 375
(B) a = −3, b = 75 e c = 300
(C) a = −4, b = 90 e c = 240
(D) a = −4, b = 105 e c = 180
(E) a = −6, b = 120 e c = 150
Resolução:
Observe que a coordenada “x” do Vértice é 10 e a coordenada “y” é 675.
Xv = -b / 2.a
Yv = - ∆ /4.a
Testando as alternativas para o Xv....
Somente as alternativas (A) e (E) atendem ao exposto acima ( somente nas duas o “x”
do vértice é igual a 10 )
(A) Xv = - 60 / 2.(-3) = 10
(E) Xv = - 120/2.(-6) = 10
As outras não “batem”....
Testamos, então, o “y” do vértice....
221
[Digite texto]
(A) ∆ = 60² - 4. (-3) . 375 = 8100
Yv = - ∆ /4.a
Yv = - 8100/4.(-3) = 8100/12 = 675 ( deu certo, logo é essa alternativa !! )
Sugestão: Teste a letra (E) e veja que não vai “bater”....
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Sequência de operações
Certo dia, um analista judiciário digitou parte de um texto sobre legislação trabalhista. Ele
executou essa tarefa em 24 minutos, de acordo com o seguinte procedimento:
- nos primeiros 8 minutos, digitou a quarta parte do total de páginas do texto e mais 1/4 de
página.
- nos 8 minutos seguintes, a terça parte do número de páginas restantes e mais 1/3 de página.
- nos últimos 8 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais 1/2 página.
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número:
a) quadrado perfeito.
b) par.
c) compreendido entre 1 e 10.
d) compreendido entre 10 e 15.
d) compreendido entre 15 e 20.
Resolução:
Era...X
Digitou a 4ª parte......ficou com 3/4 ( x 3/4)
Digitou mais 1/4 de página ( - 1/4 )
Digitou a terça parte.....ficou com 2/3 ( x 2/3)
Digitou mais 1/3 de página ( - 1/3 )
Digitou metade ....ficou com metade ( x 1/2 )
Digitou mais meia página ( - 1/2 )
Resultado = 0 páginas ( pois terminou o serviço)
Caminho contrário, partindo do “0” e invertendo as operações..
0 + 1/2 = 1/2
222
[Digite texto]
1/2 : 1/2 = 1/2 . 2 = 1
1 + 1/3 = 4/3
4/3 : 2/3 = 4/3 . 3/2 = 2
2 + 1/4 = 9/4
9/4 : 3/4 = 9/4 . 4/3 = 3 páginas
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três – Soma dos esforços
Boa tarde professor, preciso de ajuda para resolver:
Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os
dois começam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho. Dois
dias após a saída deste, Carlos também o abandona. Antônio, sozinho,
consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho,
Antônio levaria ?
Resp. : 50 dias
--Obrigadão!!!!! De nadão !!!
Resolução:
Em 1 dia:
João faz 1/30 do trabalho e Carlos faz 1/25 do trabalho.
Juntos, farão em 1 dia......1/30 + 1/25 = 11/150
Em 6 dias fizeram.....6 . 11/150 = 66/150 do trabalho
Carlos trabalha mais dois dias, então faz mais 2. 1/25 = 2/25 do trabalho
Total feito.......66/150 + 2/25 = 78/150 do trabalho
223
[Digite texto]
Falta fazer......72/150 ( 1 – 78/150)
Antônio faz esse restante em 24 dias
Tempo(dias)
trabalho
24
( Antônio )
72/150
X
1 ( o trabalho completo)
------------------------------------------24/x
= 72/150
72x = 150 . 24
x = 50 dias ( tempo que Antônio faria todo o trabalho sozinho )
Resposta: 50 dias
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Combinatória
Julgar o item, em Certo ou errado
A equação ax = b, para a e b inteiros do intervalo [0 , 9], tem mais de 80 soluções
possíveis, sendo que, pelo menos uma é uma dízima periódica.
temos 10 opções de valores para "a" e 10 opções de valores para "b", logo:
10 * 10 = 100 soluções
Até aqui a afirmativa está correta.
Mas como posso descobrir se ao menos uma destas 100 soluções é dízima periódica???
Resolução:
A solução da equação é x = b/a ( fração )
a e b são valores de 0 a 9...
Observe que “a” é numerador e “b”, denominador (não pode ser “0” ).
224
[Digite texto]
a e b podem ser iguais, pois nada é dito em contrário.
Duas etapas ( para a e para b)
..........
a
.
..........
b
Número de opções para “a”......10 ( qualquer valor disponível)
Número de opções para “b”.......9 ( qualquer valor menos o “0” )
10 . 9 = 90 resultados possíveis , PORÉM.....
1- sempre que a = b teremos o mesmo resultado ( 1 )
1/1, 2/2, 3/3, 4/4, 5/5, 6/6, 7/7, 8/8, 9/9
2- quando o numerador for “0” o resultado será sempre “0”
3- outros resultados são repetidos, como por exemplo 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4,..
Sendo assim, o número real de resultados será inferior a 80.
Existirão dízimas, como por exemplo 2/3, 4/7, 1/9, etc....., mas a primeira
condição não foi atendida, logo.....
.......Item ERRADO.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Combinatória
Date: Thu, 23 Aug 2012 13:12:09 -0300
Subject: Dúvidas TJ - Análise Combinatória - 2
Boa tarde, prof. Ivan.
225
[Digite texto]
Obrigada pelos esclarecimentos anteriores.
Não localizei minhas dúvidas de Análise combinatória no doc Dúvidas TJ, então estou
te enviando.
2) Com os algarismos de 0 a 9 podem ser escritos 810 n°s com três dígitos.
MINHA RESOLUÇÃO:
O primeiro número não pode ser 0, logo: 9.10.10 = 900 números (afirmativa incorreta)
GABARITO: aponta a afirmativa como correta
Obrigada,
Olá,
é 900 mesmo, mas se podem ser escritos 900 também podem 810 !!
Esse é um expediente usado nas provas do CESPE.
(Quem tem 10 reais no bolso também tem 5 )
Item CERTO
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Combinatória
Boa tarde, prof. Ivan.
Obrigada pelos esclarecimentos anteriores.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
10) No Brasil, o sistema de emplacamento de automóveis utiliza três letras e quatro
dígitos. Tanto letras, como dígitos, podem ser usadas mais de uma vez na mesma
placa, sendo que as letras “k” , “w” e “y” também podem ser utilizadas.
Considerando o exposto acima e ainda o fato de que no sistema anterior de
emplacamento havia uma letra a menos (mantidas as demais condições), julgue os
itens.
O NÚMERO de placas que podem ser feitas, que possuem somente dígitos pares e
vogais é menor que um milhão.
MINHA RESOLUÇÃO:
226
[Digite texto]
7 etapas, 5 vogais e 5 números pares de 0 a 9
5*5*5*5*5*5*5 = 78.125, que é menor que 1.000.000, logo, a afirmativa está correta
GABARITO: aponta a afirmativa como incorreta
Obrigada,
Olá, não são 7 etapas. São dois problemas distintos separados pelo “e”, um de 3
etapas ( letras ) e outro de 4 dígitos ). Os resultados serão multiplicados ( e ) . Em
outras situações, essa confusão faria diferença !!
são 3 letras e 4 algarismos
.... . .... . ....
5.
5 . 5
e ... . .... . .... . ....
.
5 . 5 . 5 . 5 = 78125 placas
Item CORRETO ( gabarito da apostila errado )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.razão
Professor Ivan, estou tendo problemas com a seguinte questão e gostaria que o senhor me
ajudasse:
"Os números 2a+b e a+b formam, entre si uma razão de 6/5. Pode-se afirmar que, se a e b
não são nulos, então:
a) a=b b) a=b/2 c) a=b/3 d) a=b/4 e) a=4b"
Resolução:
Razão é fração...
Os números 2a+b e a+b formam, entre si uma razão de 6/5.........então.....
2(3
2(3
=
"
Como todas as alternativas têm o “a” isolado, também faremos isso..
5 . ( 2a + b ) = 6 . ( a + b )
10a + 5b = 6a + 6b
227
[Digite texto]
4a = b
a = b/4 ( resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três
Olá professor!
Gostaria que o senhor me ajudasse com seguinte questão:
"Uma máquina gastou 27 minutos para tirar cópias das páginas de um documento.
Se o mesmo serviço tivesse sido executado por outra máquina, cuja capacidade
operacional fosse igual a 3/4 da capacidade da primeira, então seriam gastos:
a)36 min. b)30 min.40seg. c)30 min. d)27min.30seg. e)20min.15seg.
Obrigada!
Resolução:
Tempo ( min)↑
capacidade↓
27
4
x
3/4 de 4 ( = 3 )
..............................................................
Se leva mais tempo........tem menor capacidade ( competência)...Inversas !
27/x = 3/4
3x = 4 . 27
x = 4.27/3
x = 36 minutos (Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Funções
228
[Digite texto]
Oii professor, tudo bom? Pra descobrir se a função quadrática é crescente ou
decrescente eu analiso o vértice e a concavidade né? Por exemplo, uma questão da
apostila:
1) A função quadrática f(x) = x² - 3x + 2 tem seu gráfico:
a) decrescente até o ponto 1/2
b) crescente até o ponto x = 1/2
c) crescente até o ponto x = 3/4
d) decrescente até o ponto x = 2
e) crescente a partir do ponto x = 3/2
como a questão citou o X e a concavidade da parábola está para cima, interpretei que a
função se tornaria crescente a partir do x do vértice, ou seja, 3/2. Tá certo isso?
Obrigada!
Resolução:
Issoooo!! EEEEEEE muito bem !!
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções
Bom dia, prof! Poderias ajudar-me nesta questão?
Numa escola há entre 300 e 500 alunos. O número de rapazes está
para o de moças, assim como 3 está para 4. Nessas condições, um
possível número total de pessoas dessa escola é:
a) 341
b) 370
c) 435
d) 480
e) 497
Obrigada!
Resolução:
Lembre-se que em toda proporção há um Coeficiente de
Proporcionalidade ( CP). Número constante que multiplica o numerador e o
denominador...
229
[Digite texto]
Se a razão entre Rapazes e Moças é de 3 para 4 então os números reais
serão aqueles que obtivermos quando multiplicarmos 3 e 4 por 1 ou 2 ou 3 ou
4, etc
Observe que a soma das quantidades reais estará entre 300 e 500...
CP = 1....3 x 1 = 3 e 4 x 1 = 4....3 + 4 = 7....é pouco !
CP = 2...3 x 2 = 6 e 4 x 2 = 8.....6 + 8 = 14...é pouco
Vamos dar um pulinho...
CP = 50.....3 x 50 = 150 e 4 x 50 = 200......150 + 200 = 350 .Pode ser !!
Mas......não tem nas alternativas.
Poderíamos continuar tentando até achar a alternativa.....mas ...
A questão, então, se resume em descobrir qual alternativa pode ser escrita
como CP x 3 + CP x 4 ou seja CP x ( 3 + 4 ) ou seja CP.7
daí, a resposta correta será aquela que for divisível por 7 !!
Testando, encontraremos a alternativa “E” , que é divisível por 7 e dá 71.
Logo, o CP era 71 !
O número de pessoas é 497.
Veja:
3 x 71 + 4 x 71 = 213 + 284 = 497.
Alternativa.......”E”
...............................................................................................................................
...................................................................Razões – porcentagens
230
[Digite texto]
Os dados do censo do ano de 2000 mostram que 12,9% das mulheres brasileiras são
responsáveis por seus domicílios, sendo esse número de mulheres igual a 24,9% do número
de domicílios do Brasil. Portanto, a razão entre o número de mulheres brasileiras e o número
de domicílios brasileiros é :
a) 42/85
b) 43/83
c) 45/84
d) 84/45
e) 83/43
Resolução:
MD = Número de mulheres responsáveis pelo domicílio
M = Número de mulheres brasileiras
D = Número de domicílios brasileirso
Pede-se a razão entre M e D, ou seja ...M/D
Do texto temos que:
MD = 0,129M = 0,249D
Da segunda igualdade, passando D dividindo M e 0,129 dividindo 0,249, teremos;
M/D = 0,249 / 0,129
Multiplicando por 1000 em cima e embaixo...
M/D = 249 / 129
Simplificando por 3 em cima e embaixo..
M/D = 83/ 43 ( Resposta )
231
[Digite texto]
.>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
Do total de funcionários de certa empresa , sabe-se que:
-60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usam óculos;
-das mulheres, 20% usam óculos;
-os que não usam óculos totalizam 333 unidades.
Nessas condições, o total de pessoas que trabalham nessa empresa é?
a)320
b)350
c)400
d)420
e)450
Resolução:
Se 60% são Homens, então 40% são mulheres.
USAM óculos...
30% dos Homens.........0,3 . 0,6 do total = 0,18. T
+
20% das Mulheres ........0,2 . 0,4 do total = 0,08T
USAM óculos = 0,18T + 0,08T = 0,26T
Daí, se 26% do Total (T) usam óculos, então os outros 74% não usam ( ou outros 333 )
0,74T = 333
T = 333/0.74
T = 450 ( Total de funcionários )
232
[Digite texto]
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Progressões Aritméticas
Do conjunto de todos os números naturais n, n<200, retiram-se os
múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos
números que permanecem no conjunto.
Resolução:
Pede-se a SOMA dos elementos que permanecem no conjunto dos naturais menores que
200, depois de retiradas as SOMAS dos múltiplos de 5 e a SOMA dos múltiplos de 6.
Procedimento:
- somaremos todos os números de 0 a 199 ( naturais menores que 200)
-somaremos os múltiplos de 5 e os de 6 e retiraremos do total acima.
- somaremos os múltiplos de 30 e adicionaremos de volta ao total obtido acima, pois os
múltiplos de 5 e de 6 ( que são os múltiplos de 30 ) foram retirados duas vezes ( uma vez
quando retiramos os múltiplos de 5 e outra vez quando retiramos os múltiplos de 6 ).
Resumo:
Soma pedida = Stodos – SM(5) – SM(6) + SM(30)
Vamos lá !
SOMA DE TODOS ( 1 A 199)
É uma PA de primeiro termo ( a1) 0 e último termo ( an ) 199.
O número de termos ( n ) é 200 e a razão ( r ) é 1.
Sn = ( a1 + an ) . n / 2
S100 = ( 0 + 199 ) . 200 / 2 = 19900
SOMA DOS MÚLTIPLOS DE 5
233
[Digite texto]
O é zero e o último é o 195, porém precisamos descobrir quantos termos ( n )
tem essa PA de razão 5, para que possamos somá-los.
Fórmula do termo geral: an = a1 + ( n – 1 ). r
195 = 0 + ( n – 1 ).5
5 . ( n – 1 ) = 195
n – 1 = 39
n = 40 termos
Sn = ( a1 + an ) . n / 2
Sn = ( 0 + 195 ) . 40/2 = 195 . 20 = 3900
O primeiro termo da PA é zero e o último é 198 ( é divisível por 6 ).
Cálculo do número de termos ( n ) da PA de razão 6.
an = a1 + ( n – 1 ). r
198 = 0 + ( n – 1 ) . 6
n – 1 = 198/6
n – 1 = 33
n = 34 termos
Somando...
Sn = ( a1 + an ) . n / 2
S = ( 0 + 198 ) . 34/2 = 198 . 17 = 3366
234
[Digite texto]
PA de primeiro termo zero, razão 30 e último termo 180.
Cálculo do número de termos ( n )..
an = a1 + ( n – 1 ). r
180 = 0 + ( n – 1 ) . 30
n–1=6
n = 7 termos
Somando..
Sn = ( a1 + an ) . n / 2
S = ( 0 + 180 ) . 7/2 = 180 . 7/2 = 90 . 7 = 630
Voltando à expressão
Soma pedida = Stodos – SM(5) – SM(6) + SM(30)
Teremos:
Soma pedida = 19900 – 3900 – 3366 + 730
Soma pedida =
13364 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Progressões Aritméticas
Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro
depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos
mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do
que no mês anterior, ao efetuar o 15o depósito, o total
depositado por ela era
(A) R$ 5 100,00.
(B) R$ 5 000,00.
(C) R$ 4 900,00.
235
[Digite texto]
(D) R$ 4 800,00.
(E) R$ 4 700,00.
Resolução:
Questão de Progressões Aritméticas.
1º termo = 200
Razão = 20
Nº de termos = 15
Cálculo do 15º termo ( 15º depósito)...Fórmula do termo Geral/PA
. an = a1 + ( n – 1 ). R
. an = 200 + ( 15 – 1 ) . 20
.....
. an = 480
Cálculo do Total depositado ( Soma dos termos da PA)
Sn = ( a1 + an ). N / 2
Sn = ( 200 + 480 ) / 15 / 2
236
[Digite texto]
......
Sn = 5100
Alternativa : “A”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>Análise Combinatória
JULGUE O ITEM
A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com a palavra
EXECUTIVO e que na possuem duas vogais juntas é inferior a 1.500. (.....)
Resolução:
Observe que "EXECUTIVO" tem 9 letras sendo 5 vogais
repetida) e 4
consoantes.
Para que as vogais não fiquem juntas, só há uma maneira....
V C V C V C V C V
Onde:
V = vogal
C = consoante
Colocando o número de opções por etapa
237
( com a letra "E"
[Digite texto]
5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 2880
Para cada um dos 2880 anagramas, consideramos 5 vogais diferentes, mas como
existem 2 "E" , dividimos por 2.
2880/ 2 = 1440.
item CERTO.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>
Professor, não consigo resolver esta questão da faurgs.
Consegue me auxiliar? Abraço.
Em uma piscina retangular de 8 m de comprimento
por 5 m de largura, foram colocados 440 L de água. O
nível da água elevou-se em
(A) 1,1 cm.
(B) 4,4 cm.
(C) 11 cm.
(D) 44 cm.
(E) 110 cm.
Resolução:
A piscina é um paralelepípedo de dimensões:
Comprimento = 8 m
Largura = 5 m
Profundidade ( altura ) = x ( é a elevação do nível da água )
O produto das 3 dimensões será igual ao volume da piscina..
Volume = 440 litros = 440 dm3 = 0,44 m3
238
[Digite texto]
Então..
8 . 5 . x = 0,44
40x = 0,44
x = 0,44 / 40
x = 0,011 METROS = 1,1 cm ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise combinatória
Date: Tue, 28 Aug 2012 19:29:11 -0300
Subject: Dúvida
From:…………[email protected]
Olá Ivan,
Hoje estou abusando. Por que a resposta dessa questão é 165,
encontrei 495. Assim não vou conseguir passar em concurso nenhum.
Paulo faz parte de um grupo de 12 pessoas que trabalham no
setor de compras de uma empresa. Quatro dessas pessoas serão
designadas para formar uma comissão de recebimento de bens
adquiridos. Do total de comissões de quatro pessoas que podem
ser formadas com esse grupo, de quantas Paulo faz parte?
Resolução:
Se Paulo faz parte da comissão, então restam 3 lugares para serem ocupados, com
11 pessoas disponíveis para isso.
É comissão......Combinação....no final há divisão !
São três etapas, então a divisão será por 3 x 2 x 1
Número de opções de escolha por etapa..
239
[Digite texto]
11 x 10 x 9 / 3 x 2 x 1 = 165 comissões ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Funções ( A RESOLVER !)
Sejam as funções f(x) = 4x - 2 e g(f(x)) = 28x - 17. Assim, g(2) é igual a:
a) 11
b) 6
c) 39
d) 26
e)8
Resolução:
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Seja fˉ¹(x) a inversa de uma função f(x) do 1° grau, tal que fˉ¹(4) = 3 e fˉ¹(-1) = 2. Qual das funções a
seguir representa f(x)?
a) f(x)= 3x - 8
e) f(x) = 3x + 6
b) f(x) = 5x -11
c) f(x) = -3x + 9
d) f(x) = 2x - 5
obs: não sei qual é o gabarito, porque eu errei as duas questões e acabei não pegando a
resposta certa.
Obrigada =D
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Progressões
) Os números A,B e 10
formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações,
pode-se afirmar que um possível valor para o produto das razões dessas
progressões é igual a:
a) -12
b) -15
c) 10
240
[Digite texto]
d) 12
e) 8
Resolução:
Em uma PA a razão é sempre a diferença de cada termo pelo anterior e na
PG, a razão é sempre a divisão de cada termo pelo anterior. Nos dois casos a
razão é constante.
Se A,B e 10 é PA, então B – A = 10 – B.......2B = A + 10
Se 1, A e B é PG, então
$
4
= .........A² = B
Substituindo B, na primeira equação, por A²...
2.A² = A + 10
2A² - A – 10 = 0
Resolvendo ( Báskara )..
A = -2 ou A = 5/2 ( Duas respostas )
Usaremos A = - 2 para tentar encontrar uma resposta entre as alternativas..
Como A² = B........B = ( - 2 )²
B=4
A razão na PA é B – A, ou seja.....4 – ( - 2 ) = 6
A razão na PG é A/1, ou seja ..... - 2
Pede-se o produto das razões.......-2 . 6 = - 12 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações - porcentagens
Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização
dos funcionários do Departamento Nacional de
Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo
masculino. Se, num dado momento antes do término da
festa, foi constatado que a porcentagem dos homens havia
se reduzido a 60% do total das pessoas presentes,
241
[Digite texto]
enquanto que o número de mulheres permaneceu
inalterado, até o final da festa, então a quantidade de
homens que haviam se retirado era
(A) 36.
(B) 38.
(C) 40.
(D) 42.
(E) 44.
Resolução:
H = 0,75 . 96 = 72 homens (quantidade original de homens )
Saindo “x” homens a proporção entre homens e pessoas cai para 60%.
(observe que se saem “x” homens, também saem “x” pessoas. )
5 #
/#
=
/
7200 – 100x = 5760 – 60x
- 40x = - 1440
40x = 1440
x = 1440/40
x = 36 ( número de homens que saíram – Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise CombinatóriaSubject:
técnico TJ cetec
Date: Wed, 29 Aug 2012 21:59:39 +0300
Oi professor tudo bem?
eu estava resolvendo uns exercícios da apostila e acho que tem alguns gabaritos errados
só quero ver se eu errei e onde ou se acertei..
10) No Brasil o sistema de emplacamento de automóveis utiliza
três letras e 4 dígitos. Tanto letras como dígitos, podem ser usadas
mais de uma vez na mesma placa, sendo que as letras "k", "w" e
"y" também podem ser utilizadas. Considerando o exposto acima
e ainda o fato de que no sistema anterior de emplacamento havia
uma letra a menos (mantidas as demais condições), julgue os
242
[Digite texto]
itens.
o n° de automóveis que podem ser emplacados com o sistema atual é 26 vezes
o n° de automóveis que podiam ser emplacados com o sistema antigo
RESPOSTA VERDADEIRA
eu achei que é falso, quer ver?
sistema atual
__ __ __ __ __ __ __
letras
algarismos
26 x 25 x 24
10x 9 x8 x 7
15600
5040
que multiplicados dão 78 624 000 possibilidades
sistema antigo
__ __
__ __ __ __
letras e algarismos
26 x 25
650
10 x 9 x 8 x 7
5040
que multiplicados dão 3 276 000
logo, 3 276 000 x 26 = 85 176 000
Então aquela afirmativa é falsa porque o n° de placas atuais possiveis não é 26 x o
n° de possibilidades antigas
Comentários do prof.
243
[Digite texto]
Você se enganou no cálculo do número de placas....
Nas placas de carros as letras e os algarismos podem ser repetidos !!
Logo, o total de placas será......26x26x26 x 10x10x10x10
Em vermelho está o número de placas do sistema antigo. Observe que no sistema
novo aumenta uma letra, ou seja, há um "26" a mais, daí
hoje se emplaca 26 vezes o que se emplacava antes....
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisão em partes inversamente proporcionais
Uma herança de R$ 47300,00 será dividida entre Andre,Sônia e Fabiano, em partes
inversamente proporcional às suas idades.Sabendo que eles têm respectivamente
50,40 e 16 anos, quanto receberá cada um deles?
RESOLUÇÃO.: Se a divisão fosse diretamente proporcional você dividiria o total
a ser dividido pela soma das idades, mas como é inversamente proporcional
divida a quantia pela soma dos INVERSOS das idades, para achar o coeficiente
de proporcionalidade (CP). Depois disso, multiplique o CP pelos inversos das
idades.
Soma dos inversos das idades: 1/50 + 1/40 + 1/16 = 43/400
CP = 47300 dividido por 43/400 = 47300 x 400 / 43 = 440000
Agora multiplique pelos inversos das idades...
O primeiro receberá......440.000 x 1/50 = 8800
O segundo receberá.....440.000 x 1/40 = 11000
O terceiro receberá ......440.000 x 1/16 = 27500
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise combinatória
244
[Digite texto]
Bom noite, professor!
Na resolução da questão abaixo encontrei a seguinte resposta:
Certa pizzaria oferece aos clientes cinco tipos de cobertura (presunto, calabresa,
frango, cebola e azeitona) para serem acrescentadas ao queijo. Os clientes podem
escolher uma, duas ou três coberturas. João quer cebola em sua pizza, mas ainda
não decidiu se colocará, ou não, outras coberturas. Considerando-se essas
informações, de quantos modos distintos João poderá "montar" sua pizza?
•
a) 10
1 cobertura: 1 possibilidade(cebola)
•
b) 11
2 coberturas: 1x4= 4
•
c) 15
3 coberturas: 1x4x3= 12
•
d) 16
Somei os resultados e encontrei 17. Porém a resposta certa é
•
e) 24
11. Onde errei???
Um abraço! M
Resolução:
Ele pode:
1- manter como está ( só cebola).............1 possibilidade
OU (+)
2- acrescentar mais um ingrediente....
Como dispõe de 4 para escolher, terá..........4 possibilidades
OU(+)
3- acrescentar mais DOIS ingredientes...
Como dispõe de 4 para escolher 2 ele terá 4 opções para a escolha do primeiro e 3
opções para a escolha do segundo....4 x 3
Tanto faz escolher, por exemplo, presunto e frango como frango e presunto, logo é
uma combinação. Como há duas etapas dividimos por 2x1.
245
[Digite texto]
Então......4 x 3 / 2 x 1 = 6 possibilidades
Somando.....1 + 4 + 6 = 11 possibilidades
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>PG
Maissssss duvidas...
Os três primeiros termos de uma PG são; √ , √// e √ / . O
quarto termo é?
A-1/2
B-raiz de 2 sobre 2
C- raiz de 2 sobre 3
D- raiz de 6 sobre 2
E- raiz de 6 sobre 4 (resposta gabarito)
Nao estou conseguindo trabalhar com as raizes...estao me deixando loucaaaa
Resolução: ( PG )
Acharemos a razão e multiplicaremos pelo terceiro termo, para obtermos o
quarto termo, que é pedido.
A razão ( q ) em uma PG é, sempre, o resultado da divisão de um termo pelo
anterior.
q=
√
:
√/
=
√
. 2 /√/ =
√
√/
= 7 // = 7 / = 1/√ = ..multiplicando o
numerador e o denominador por √
.. = √
/√ .√ =√ /2
Multiplicando o terceiro termo pela razão....
√ /
.
√ / 2 = √/ / 4 ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>Porcentagens
246
[Digite texto]
Obrigado Ivan! Se for possível, gostaria de ajuda em mais uma!! agora da FAURGS!
3) ( FAURGS/1999 )
Um computador foi vendido com 10% de prejuízo sobre o preço de
compra, e outro, com 20% de lucro sobre o preço de compra. Se os
dois computadores foram vendidos pelo mesmo preço, o que houve em
relação ao custo inicial?
A) Prejuízo superior a 3%
B) Prejuízo inferior a 3%
C) Nem lucro e nem prejuízo
D) Lucro superior a 3%
E) Lucro inferior a 3%
GABARITO -> LETRA E
Resolução:
Como o preço de venda é o mesmo para os dois, vamos supor que cada um tenha sido
vendido por 100.
Se o primeiro foi vendido por 100, com prejuízo de 10%, então o preço de compra dele foi:
0,9 . C = 100
C = 111,11
Se o segundo foi vendido com lucro de 20%, então o preço de compra dele foi:
1,2.C = 100
C = 83,33
Total pago = 83,33 + 111,11 = 194,44
Total da Venda = 100 + 100 = 200
Lucro = 200 – 194,44 = 5,55...SOBRE 194,44, ou seja 5,55 / 194,44 = 0,0285 = 2,85% de lucro
Obs: O texto cita que o resultado é sobre o valor inicial, por isso a divisão por 194,44 !!
247
[Digite texto]
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções-Porcentagens
Ao se dividir um certo valor entre três pessoas, de forma proporcional às suas idades - 20, 30 e
45 anos, observa-se estar correto que, exceto:
a) o mais velho receberá mais de 45% da quantia a ser distribuída.
b) um deles receberá, exatamente, 50% a mais que outro deles.
c) um deles receberá, exatamente, 50% a menos que outro deles.
d) o mais velho receberá menos que os outros dois, juntos.
e) se o mais novo receber R$ 1000,00, então o mais velho receberá R$ 2250,00.
Resolução:
Cada um receberá proporcionalmente ao que sua idade representar da soma das idades, ou
seja, do total.
1º .....20/95 = 21,05 %
2º .....30/95 = 31,6%
3º.....45/95 = 47,3%
Pede-se a RESPOSTA ERRADA !
a) Correta...47,3%
b) Sim, o 2º receberá 50% a mais que o 1º, pois sua idade é 50% maior.
c) ERRADO. Nenhuma das idades é 50% a menos que outra !
...
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Potências
248
[Digite texto]
Olá, professor.
Tenho dúvidas em relação à questão:
3) Se a = 0,1 e b = 0,2 , o valor da
Expressão
- a² + ab é igual a
A) 3.10-1 .
B) 3.10-2 .
C) 10-1 .
D) 10-2 .
E) 10-3.
Resolução:
Substituindo as letras pelos seus valores, teremos...
- 0,1²
+ 0,1 . 0,2 = - 0,01 + 0,02 = 0,01 = 1/100 = 1/10² = 10-2
Obs: Se uma potência muda do denominador para o numerador, ou vice-versa, o sinal do
expoente se inverte.
Ex: 24 = 1/2-4
35 = 1/3-5
4-9 = 1/49
1/6-4 = 64
Etc
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise Combinatória
249
[Digite texto]
Boa tarde prof.,
Não consigo fazer a questão que segue, pode me ajudar?
A quantidade de números inteiros positivos menores que 400
que podemos formar, utilizando somente os algarismos 1,2, 3, 4
e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos é:
a) 36
b) 56
c) 61
d) 85
e) 65
Pode me enviar as dúvidas tj atualizadas.
Obrigada
Resolução:
Menores que 400 podem ser números de 1 dígito OU 2 dígitos OU 3 dígitos
- De 1 dígito: ------ ( uma etapa). São 5 possibilidades ( algarismos disponíveis )
- De 2 dígitos: ------ . ------- ( duas etapas ). São 5 possibilidades para a primeira etapa e 4
possibilidades para a segunda etapa, pois não pode repetir.... 5 x 4 = 20 números
- De 3 dígitos : ------ . ----- . ------ ( 3 etapas ). São 3 possibilidades para a primeira etapa, pois
esta é a casa das centenas e, para que o número seja MENOR que 400, só pode começar com
1, ou 2 ou 3. Para a segunda etapa, temos 4 possibilidades, pois pode ser qualquer um dos
algarismos disponíveis ( 5 ) menos aquele que já ocupou a casa das centenas. Na terceira etapa
temos 3 possibilidades, pois 2 dos 5 algarismos disponíveis já foram usados.
Daí: 3 x 4 x 3 = 36 números.
Somando....5 + 20 + 36 = 61 Números ( Resposta )
Obs: não ocorre divisão, pois são problemas de ARRANJO !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise Combinatória
250
[Digite texto]
Date: Sat, 1 Sep 2012 19:08:20 -0300
Subject: Ajuda - Extensivo de Raciocínio Lógico.
Boa noite professor, tudo bom? Não consegui entender a resolução desta questão:
Uma pessoa foi ao dentista e constatou que estava com cinco cáries, cada uma em
um dente. Ficou decidido que seria restaurado um dente cada vez que ela voltasse
ao consultório. O dentista combinou que marcaria as datas em cinco semanas
seguidas, um dia a cada semana.
Considerando-se apenas os dias úteis e sabendo-se que, nesse período, ocorreriam,
ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, o número de maneiras distintas
para se programar o tratamento do paciente seria:
•
a) 3.125
•
b) 1.875
•
c) 1.600
•
d) 2.000
Olá, em três das cinco semanas há 5 possibilidades para marcar as datas e em duas
semanas há 4 possibilidades, devido aos feriados.
Marca-se um dia em uma semana E um dia na outra E um dia na outra E um dia na
outra E um dia na outra
São cinco problemas de uma etapa cada um.
"E" = multiplicação
Então: 5 x 5 x 5 x 4 x 4 = 2000 maneiras
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três
251
[Digite texto]
O motor de um navio consome 200 litros de óleo em 5h quando faz 1500 rotações por
minuto. Exigindo-se mais do motor, 1800 rotações por minuto, quantos litros de óleo ele
consumirá em 3h de viagem?"
A) 120 B)144 C)150 D)168 E)180. Gabarito B
Resolução:
Consumo ( litros )
tempo de viagem ( horas )
200
5
X
3
Rotações ( RPM)
1500
1800
........................................................................................................................
Julgamento das grandezas..
Quando um motor consome mais ??...........quando o tempo de viagem for maior – Diretas
Quando um motor consome mais??..........quando tem mais rotações por minuto – Diretas
Então fica..
Consumo ( litros ) ↑
tempo de viagem ( horas ) ↑
200
5
X
3
Rotações ( RPM) ↑
1500
1800
........................................................................................................................
200/x = 5/3 . 1500/1800
200/x = 5/3 . 5/6
200/x = 25/18
25x = 200.18
x = 200.18/25 = 144 litros
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>P.G.
Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Determine
o quinto termo da progressão.
Resposta: 12
252
[Digite texto]
Resolução:
Se o quarto termo é 20% do terceiro, então essa é a razão ( q ).........q = 20% = 0,2
Do primeiro ao quinto termo existem 4 razões, então ...a5 = 7500 x q4 = 7500 x ( 0,2 )4 =
= 7500 . 0,0016 = 12 ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três
A XYZ Engenharia se compromete a realizar reparos na rodovia WS-200 no prazo de 60 dias.
A obra tem início com 200 operários trabalhando 8 horas por dia. Decorridos 15 dias, com
apenas 1/4 dos trabalhos concluídos, a obra foi interrompida por chuvas torrenciais na
região, e só foi retomada 20 dias após. Por contrato, não pode haver alteração na carga
horária diária, nem no prazo para a execução da obra. Dadas essas condições, quantos
operários a XYZ Engenharia deverá contratar, em caráter emergencial, para finalizar a obra
dentro do prazo contratado?
a) 100
b) 160
c) 200
d) 240
e) 360
O gabarito é letra (b).
Muito obrigada, Professor!
Abraço,
Resolução:
Os operários trabalharam15 dias ( fizeram ¼ da obra )e ficaram parados mais 20 dias. Até aí já
se passaram 35 dias dos 60 contatados.. O novo grupo deverá terminar a a obra ( fazer os
outros ¾) no prazo que resta....25 dias.
Operários
dias de trabalho
200
15
X
25
obra feita
1/4
3/4
...................................................................................
Julgamento das grandezas..
Se MAIS operários trabalharem........farão a obra em MENOS dias......Inversas !
253
[Digite texto]
Se Mais operários trabalharem, farão MAIS obra..........Diretas !
A regra fica..
Operários ↑
dias de trabalho↓
200
15
X
25
obra feita↑
1/4
3/4
...................................................................................
=
$
=
'
.
$
x = 360 operários serão necessários.
Como já haviam 200, será necessário um reforço de 160 novos operários.
Alternativa........”B”
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.Expressões numéricas
Boa noite, Professor,
A questão a seguir eu não encontrei no material disponibilizado pelo senhor que contém
a resolução das contas.
Calcule 0,3% do valor numérico da expressão (1+1/3)² / 2/9-3 x (2-2/9)
Encontrei 0,6/100
Att,
Resolução:
(1+1/3)² / 2/9-3 x (2-2/9) = ( 4/3 )² : 2/9 - 3 . ( 16/9) = 16/9 : 2/9 - 16/3 =
= 8 – 16/3 = 8/3
0,3% de 8/3 = 0,3 /100 . 8/3 = 2,4/300 = 0,008
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>...P.A.
254
[Digite texto]
oi professor, eu outra vez.
A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6
terminando em 44, vale:
a. 50
b. 40
c. 35
d. 25
e. 20
muiiito obrigada.
Resolução:
Média é a soma dos valores dividido pelo número de valores.
Somando....( é uma PA de razão 2, primeiro termo 6 e último termo 44. São 20
termos.
S = ( a1 + an ) . n /2 = ( 6 + 44 ) . 20/2 = 500
Média = 500/20 = 25 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Divisores Naturais de um número
Bom dia professor.
Obrigada pelo envio.
Na página 49 deste documento, há uma questão com a resposta, porém, não a explicação de
como chegaste até ela. Poderias me auxiliar?
Segue a questão:
1) O conjunto dos divisores naturais do
número 120 é um conjunto com, exatamente,
A) 13 elementos.
B) 14 elementos.
C) 15 elementos.
D) 16 elementos.
E) 18 elementos.
255
[Digite texto]
Obrigada novamente.
Resolução:
Há uma regra para se achar o número de divisores naturais de um número,
- Decomponha o número dado em fatores primos
120 = 23 . 3 . 5
- Acrescente uma unidade ( + 1 ) a cada expoente e multiplique
( 3 + 1 ) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16 divisores naturais ( Resposta )
Outro exemplo. 200
200 = 23 . 5²
( 3 + 1 ) . ( 2 + 1 ) = 4 . 3 = 12 divisores naturais tem o 200 !
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens - razões
Em um Tribunal, 30% dos funcionários eram mulheres. Após um concurso, o total de funcionários
de mulheres aumentou 40%. Portanto, o percentual do total de funcionários representado
aumentou 20% e o número
por mulheres, após o concurso, é
(A) 20%
(B) 35%
(C) 45%
(D) 55%
(E) 60%
Resolução:
A relação entre mulheres e funcionários era 30/100 = 0,3
Suponha 100 funcionários.....30 eram mulheres
O número de funcionários aumentou 20%......passou para 120
O número de mulheres aumentou 40%.....passou para 1,4 . 30 = 42
Nova relação: 42/120 = 0,35 = 35% ( Resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
O preço de certo artigo era R$ 150,00. Sobre esse valor são dados dois descontos sucessivos: um de 15% e outro
de x%. Se o preço final do artigo ficou em R$ 102,00, x é igual a
(A) 10
(B) 20
(C) 35
256
[Digite texto]
(D) 42
(E) 68
Resolução:
Primeiro desconto: 15% de 150 = 0,15 . 150 = 22,50......ficou 150 – 22,50 = 127,50
Como o preço final foi de 102, então o segundo desconto foi de 25,50 ( 127,50 – 102)
Daí, x . 127,50 = 25,50
x = 25,50/127,50
x = 0,2 = 20% ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Raciocínio...
Um painel circular contém 48 lâmpadas na sua moldura, numeradas em ordem
crescente. Quando o painel é ligado, são acesas as lâmpadas de números 1, 5,
9,13, ....., 45. Na sequência, a cada segundo, apagam-se as lâmpadas acesas
e acendem-se as lâmpadas seguintes a elas. Se o painel for ligado às
19h30min, às 20h10s estarão acesas as lâmpadas
(A) 1, 5, 9, 13, ....., 45.
(B) 2, 6, 10, 14, ....., 46.
(C) 3, 7, 11, 15, ....., 47.
(D) 4, 8, 12, 16, ....., 48.
(E) 5, 10, 15, 20, ....., 45.
Aguardo retorno!
Resolução:
Cada segundo corresponde a uma sequência de lâmpadas acesas .
De 19h30min a 20h10s existem 1811 segundos.
Como as lâmpadas acendem em sequência ( no 1º segundo iniciada com a “1”, no 2º segundo
com a “2”, no 3º segundo com a “3”,....etc...e as outras de 4 em 4 ) há 48 sequências
completas.
1811/48 = 37 sequências completas e sobram 35 segundos, ou seja, o bloco que acenderá
inicia-se na lâmpada 35...
35 – 39 – 43 – 47 – 3 – 7 – 11 – 15 - .....
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens – juros
257
[Digite texto]
Uma loja oferece as seguintes duas opções de pagamento:
I - pagamento a vista com 10% de desconto;
II - pagamento em duas parcelas mensais iguais, sem desconto, sendo a primeira parcela paga no ato da
compra.
Analisando-se as duas formas de pagamento, pode-se concluir
que a taxa mensal dos
juros embutidos nas
vendas a prazo é de
(A) 5%
(B) 10%
(C) 15%
(D) 20%
(E) 25%
Resolução:
Imagine um preço de R$ 100
- À vista......seria R$ 90 ( 10% de desconto )
- A praz, em duas parcelas de 50, a primeira paga no ato.
A segunda parcela de 50, um mês depois. Porém, se o preço à vista é 90, ao se pagar 50 de
entrada fica-se devendo 40, pelos quais se paga a quantia de 50, ou seja, 10 de juros, sobre 40.
O que 10 é de 40 ?.......divida-os !!
10/40 = 0,25 = 25% de juros ao mês ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três - MEDIDAS
Em média, a massa de um grão de certo feijão é 2,4
existem, portanto,
(A) 2.500 grãos.
(B) 20.000 grãos.
(C) 25.000 grãos.
(D) 150.000 grãos.
(E) 250.000 grãos.
Resposta:
10-2 = 1/10² = 1/100 = 0,01 grama
( peso de um grão ) = 2,4 . 0,01 = 0,024 g
Nº grãos
peso ( gramas )
1
0,024
X
6 Kg ( 6000 g )
258
. 10-2 g. Em 6 kg desse feijão,
[Digite texto]
...................................................................
0,024.x = 6000 g
X = 6000 / 0,024
X = 250.000 grãos ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Regras de três – “Torneiras”
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque
encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas
torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
A) 12 horas
B) 30 horas
C) 20 horas
D) 24 horas
E) 16 horas
Resolução:
Em UMA hora a primeira coloca............1/24 do tanque
Em UMA hora a segunda coloca ............1/48 do tanque
Juntas, na MESMA hora, colocarão 1/24 + 1/48 do tanque ( 3/48 = 1/16 do tanque )
Reagras de três..( as duas torneiras juntas )
Tempo ( horas ) Quantidade do tanque
1
X
1/16
1 ( Um tanque completo )
......................................................
........
X = 16 horas ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Proporções
As sucessões 12,a,b e 3,4,5 são inversamente proporcionais.Então a-b vale:
Resolução: ( Nas próximas, por favor coloque as alternativas e/ou gabarito !! )
259
[Digite texto]
Se duas sequências são Inversamente proporcionais, então cada valor da primeira está para o
inverso do respectivo valor na segunda,,....
12 / 1/3 = a / ¼
36 = 4a
a=9
E
12/ 1/3 = b / 1/5
36 = 5b
b = 7,2
Pede-se...a – b = 9 – 7,2 = 1,8 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>PG
O terceiro e o sétimo termos de uma PG valem , respectivamente , 10 e 18 .O quinto termo desta progressão é :
Fiz o sistema:
10=a1.q^2
18=a1.q^6
1,8=q^4 e não consigo achar o valor raiz de 1,8 para achar a razão!!!!
Pode me ajudar ???
Comentários; ( Nas próximas, por favor coloque as alternativas !)
Sua resolução está correta... .............. q4 = 1,8
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados da igualdade ( isso sempre pode ser feito..)
78
= √ ,
Simplificando o Radical...
q² = √ , = 7
/
=9 .
=3.√ /
= 3/√
= racionalizando ..= 3.√ / 5
Pede-se o quinto termo. Do terceiro ao quinto multiplica-se exatamente pelo quadrado da
razão.....
a5 = 10 . 3 . √ / 5 = 6 . √
( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Proporções – Divisão Composta
260
[Digite texto]
(Carlos Chagas) Certo mês o dono de uma empresa concedeu a dois de seus
funcionários uma gratificação no valor de R$ 500. Essa quantia foi dividida entre
eles em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números de
horas de plantões que cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente
proporcionais à suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e
cumpriu 24 horas de plantões e, outro, de 45 anos cumpriu 18 horas, coube ao
mais jovem receber.
a) R$ 302,50
b) R$ 310,00
c) R$ 312,50
d) 325,00
e) 342,50
Obrigada pela atenção !
Resolução: ( Divisão Proporcional Composta )
Mantenha os valores aos quais a divisão é Diretamente proporcional e inverta
os valores aos quais a divisão é Inversa proporcional. Multiplique os resultados,
respectivamente.
1º ) 24 x 1/36 = 24/36 = 2/3
2º) 18 x 1/45 = 18/45 = 2/5
Agora faça a Divisão de forma Diretamente proporcional aos resultados obtidos.
CP = 500 / ( 2/3 + 2/5) = 500 / 16/15 = 500 . 15 / 16 = 468,75
O mais jovem é o primeiro..
Coube a ele......2/3 x 468,75 = 312,50 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria
Um retângulo tem perímetro de 30m e as medidas de seus lados são números consecutivos.
Qual é a área deste retângulo?
Resolução: ( Nas próximas, por favor coloque as alternativas )
O retângulo tem os lados iguais dois a dois.
Lados: x e x e x + 1 e x + 1 ( pois são consecutivos )
Perímetro = 4x + 2
261
[Digite texto]
Daí, 4x + 2 = 30
x =7
logo, o outro lado diferente medirá..8
Área = base x altura = 7 x 8 = 56 m² ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Reajustes Sucessivos
Suponha que em 2007 as mensalidades de dois planos de saúde tinham valores
iguais e que nos três anos subsequentes elas
> sofreram os reajustes mostrados na tabela seguinte:
> 2008 2009 2010
> Plano 1 : 10% 10% 10%
> Plano 2: 5% 5% X
> Se em 2010 os valores das mensalidades de ambos se tornaram novamente iguais,
então X é aproximadamente a:
> a) 15%
> b) 18,6%
> c) 20,7%
>d) 27,8%
> e) 30%
Muito Obrigada!!
Resolução:
V = valor inicial dos planos
Lembre-se que para saber o valor final de um preço, acrescente o aumento a 100% (1).
Exemplo; se aumentar 10%, vai para 110% ( 1,1). Se aumentar 5%, vai para 105% ( 1,05). Se
aumentar X, vai para 1+ X.
262
[Digite texto]
1º plano: Era V. Ficou....1,1 . 1,1 . 1,1 V = 1,331V
2º plano: Era V. Ficou....1,05 . 1,05 . ( 1 + X).V = 1,1025.( 1 + X ) .V
Como ficaram valores iguais...
1,1025.( 1 + X ) .V = 1,331V
Simplificando “V” com “V” e fazendo a operação distributiva....
1,1025 + 1,1025X = 1,331
1,1025X = 0,2285
X = 0,2285/1,1025
X = 0,2072 = 20,72% ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Análise Combinatória
Subject: Dúvida - Técnico do TJ/RS
Date: Tue, 4 Sep 2012 20:29:09 +0000
Olá, Professor!
Tenho dúvida na questão que segue:
Um prédio tem duas portas, quatro elevadores, cinco andares e dez salas por andar.
De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar nesse prédio e ir a uma das salas?
a) 21
b) 50
c) 200
d) 311
e) 400
O gabarito da prova é letra (e).
Muito obrigada, Prof.
Abraço,
Olá, como se chega a uma sala ??
Entra no prédio E toma um elevador E escolhe um andar E escolhe uma sala
E = multiplicação
Colocando o número de opções de escolha ...
263
[Digite texto]
2
x
4
x
5
x
10
=
400 maneiras ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Conjuntos
Em uma pesquisa de opinião sobre três revistas A, B e C foi obtido o seguinte resultado:
·
700 liam a revista A
·
500 liam a revista B
·
400 liam a revista C
·
250 liam as revistas A e B
·
180 liam as revistas A e C
·
110 liam as revistas B e C
·
30 liam as três revistas
·
110 não liam nenhuma
Quantas pessoas foram consultadas e quantas liam apenas uma das três revistas?
Resolução:
O problema é normalmente resolvido com conjuntos, onde são preenchidas as regiões
distintas e, dessa maneira, são retirados valores contados mais de uma vez. Porém, é
difícil de fazê-los aqui, então vamos por outro caminho..
Os 30 que leem as três foram contados em AB, AC e BC..
Retirando:
A e B....250 – 30 = 220 leem somente A e B ( I )
A e C...180 – 30 = 150 leem somente A e C ( II )
B e C...110 – 30 = 80 leem somente B e C ( III )
(I) e (II) já foram contados em A..( assim como quem lê as três)
Retirando..
700 – 220 – 150 - 30 = 300 leem somente A
(I) e (III) já foram contados em B ( assim como quem lê as três )
Retirando..
264
[Digite texto]
500 – 220 – 80 - 30 = 170 leem somente B
(II) e (III) foram contados em C..(assim como quem lê as três )
Retirando..
400 – 150 – 80 - 30 = 140 leem somente C
Finalmente....110 não leem revista alguma.
Agora que as quantidades foram retiradas umas de dentro das outras, podemos
somar..
TOTAL = 110 + 140 + 170 + 300 + 80 + 150 + 220 + 30 = 1200 pessoas consultadas
APENAS UMA REVISTA = Só A ou Só B ou Só C = 300 + 170 + 140 = 610 pessoas
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Sistemas
Subject: sou aluno extensivo mat. rac. lógico
O Sr poderia e ajudar com esta?
sistema
2x - 4y = 32
x + y = -8
eu achei x=6
Olá.
Multiplicando a segunda equação por - 2....
2x - 4y = 32
-2x- 2y = 16
---------------------------somando..
- 6y = 48 ( x -1 )
265
[Digite texto]
6y = - 48
y = -8
Substituindo y por -8 em x+y= - 8 ( podia ser em qualquer outra )
x+(-8)=-8
x-8=-8
x=0
Solução.......( 0, - 8 )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de
sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se ao encerrar a liquidação o
comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela,
então
os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em
(A) 18,5%
(B) 20%
(C) 22,5%
(D) 25%
(E) 27,5%
Resolução:
Suponha que o preço original era $ 100.
Com a redução de 20%, o preço caiu para $ 80
Para voltar ao preço de $100 basta elevar o preço em $ 20, sobre $ 80 !!
20 : 80 = 0,25 = 25% ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Geometria
(Unicamp - SP) Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de com266
[Digite texto]
primento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado
de cada um desses quadrados mede x cm de
comprimento.
a) Calcule a área do retângulo inicial
b) Calcule x de modo que a área da figura obtida,
após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1.725
cm².
Resolução: ( Geometria)
a) Área inicial......A = b x h = 35 x 75 = 2625 cm²
b) Quatro quadrados de lado “x” foram retirados( foram
recortados 4 quadradinhos de lado “x”, dos cantos da
folha). A área de cada um é x², logo foram retirados 4x² do
total de 2625 cm², ficando 1725 cm².
2625 – 4x² = 1725
4x² = 900
X² = 225
X=√
X = 15 cm ( resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>P.G.
267
[Digite texto]
Seja (b1, b2, b3, b4) uma progressão geométrica de razão 1/3. Se b1+b2+b3+b4= 20, então b4 é igual a:
a) 1/2
b) 3/2
c) 5/2
d) 7/2
Resolução:
Em uma PG, cada termo é igual ao anterior multiplicado pela razão...
Então: ( colocando todos os termos em função de b4 )
b4 = b3 . 1/3 = b3/3.......................b3 = 3b4
b4 = b2 . (1/3)² = b2 .1/9 = b2/9……..b2 = 9b4
b4 = b1 . (1/3)3 = b1 . 1/27 = b1/27…..b1 = 27b4
Substituindo em b1+b2+b3+b4 = 20
27b4 + 9b4 + 3b4 + b4 = 20
40b4 = 20
b4 = 20/40
b4 = 1/2 ( Resposta)
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Porcentagens
Date: Sun, 9 Sep 2012 15:52:35 -0300
Subject: ajuda
Professor
Mais uma questão.
O montante de $ 12.640 deve ser dividido em 3 partes de tal forma que a segunda seja
20% maior que a primeira e a terceira 20% menor que a segunda. Quanto recebe o
segundo?
a) $ 4740 d) $ 4000
b) $ 4800 e) $ 3840
c) $ 3950
Obrigada
268
[Digite texto]
Resolução:
Vamos dizer que o primeiro recebe.............X
Então,
o segundo receberá.....20% a mais, ou seja...120% de X
=
1,2X
O terceiro receberá 20% menos que a segunda, ou seja, 80% da segunda
= 0,8 . 1,2X
= 0,96X
Somando os três, obteremos o total.....12640
x + 1,2X + 0,96X = 12640
3,16X = 12640
X = 12640/3,16
X = 4000
A pergunta é quanto recebe o segundo ( 1,2X)
1,2X = 1,2 . 4000 = 4800 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Continhas
Date: Sun, 9 Sep 2012 15:56:51 -0300
Subject: Re: mat básica/atualiz. + Sim.Res. + II sim.
From: ………………[email protected]
Oi!
A questão é:
4-{5-[-4+(+4-5)]+8}=
Obrigada.
Olá.. a resposta É - 14.
Resolução:
Resolva primeiro o que está dentro dos PARÊNTESES...( )
Depois os COLCHETES...[ ]
Depois as CHAVES....{ }
269
[Digite texto]
4-{5-[-4+(+4-5)]+8}= 4 - { 5 - [ - 4 + ( - 1 ) ] + 8 } = 4 - { 5 - [ - 4 - 1 ] + 8} = 4 - { 5 - [
-5]+8}=
= 4 - { 5 + 5 + 8 } = 4 - { 18 } = 4 - 18 = - 14 ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Equação com duas variáveis
Olá professor, tentei fazer esta questão pelo método de conjuntos mas acho que não
encontrei a lógica dela, segue a questão:
21. ( FAURGS )Para realizar uma prova de um Concurso Público, 366 candidatos
foram distribuídos em diversas salas de um prédio, umas contendo 30 lugares e
outras, 36 lugares, lotando-as completamente. Como nesse prédio havia, no máximo,
10 salas que tinham a mesma capacidade, foram ocupadas pelos candidatos:
a) 9 salas.
b) 10 salas.
c) 11 salas.
d) 12 salas.
e) 13 salas.
Fico muito agradecido mais uma vez por essa, e as demais questões que o Sr.
respondeu. Abraços.
Resolução:
Mesmo tipo de problema feito em sala com “trocos” e “saques” em caixas....
Foram usadas “x” salas de 30 e “y” salas de 36, então...
x . 30 + y . 36 = 366
agora, suponha valores inteiros para y ( pois número de salas não
pode ser negativo nem fracionário )
y pode ser 1 ?.....pode, a princípio, pois sobrariam 330 candidatos e
330 é divisível por 30 e daria 11 salas com 30.
Essa seria uma possibilidade.....1 sala com 36 e 11 com 30, MAS o
texto diz que há no máxima 10 salas com a mesma capacidade, então
não é possível.
y pode ser 2 ?....Não, pois sobrariam 294 candidatos e 294 não é
divisível por 30.
270
[Digite texto]
y pode ser 3 ?.....Não, pois sobrariam 258 candidatos e 258 não é
divisível por 30.
Mesmo problema para 4 e 5....mas...
y pode ser 6 ?.....SIM, pois sobrariam 150 candidatos e 150 é divisível
por 30 e daria 5 salas com 30.
Essa é uma solução....5 salas com 30 e 6 com 36 candidatos !!
O mesmo problema acima ocorrerá com y valendo 7, 8 , 9 e 10 ( que é
o máximo possível)
Então, só há um caso possível......5 salas com 30 e 6 com 36
candidatos
Total de salas = 5 + 6 = 11 salas ( resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Frações – equações
Date: Sun, 9 Sep 2012 15:48:32 -0300
Subject: ajuda
From:[email protected]
Oi, Professor
Podes me ajudar nessa questão?
Uma coleção de 385 figurinhas será repartida entre Fernando, Roberto e Francisco
proporcionalmente à idade de cada um. Para cada 4 figurinhas dadas à Fernando
são dadas 3 figurinhas à Roberto e para cada 6 figurinhas dadas à Fernando são
dadas 7 figurinhas a Francisco. Então, Francisco recebe:
a) 133 b) 121 c) 143 d) 154 e) 165
Obrigada
Olá.
271
[Digite texto]
Questão capciosa, pois o texto cita uma divisão proporcional às idades e não cita as
idades que, aliás, não entram na resolução.
É um problema de frações e equações...
Resolução:
Roberto recebe 3/4 de Fernando (Para cada 4 figurinhas dadas à Fernando são dadas 3
figurinhas à Roberto).....R = 3/4 . Fer
Francisco recebe 7/6 de Fernando (para cada 6 figurinhas dadas à Fernando são dadas 7
figurinhas a Francisco)....Fran = 7/6 . Fern
Se Fernando recebeu "X" então Roberto recebeu 3x/4 e Francisco recebeu 7x/6.
Somando, o total será 385
x + 3x/4 + 7x/6 = 385
mmc.... ( 12 )
12x + 9x + 14x = 12 . 385
35x = 12 . 385
x = 12 . 385 / 35
x = 132 figurinhas.
Mas, a pergunta é quantas figurinhas recebeu Francisco ( 7x/6 )
7.132/6 = 154 figurinhas ( Resposta )
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
272

Dúvdas.TJ Coletânea de dúvidas dos alunos do “TJ” O presente

Transcrição

Documentos relacionados

Cinemática II - PET Engenharias

Como entrar no ambiente do Yahoo Grupos?

Cinemática II - PET Engenharias

2. Função Linear 2.1 Função linear e sua representação gráfica

caderno de prova - técnico em informática

CONEXÃO DOMÉSTICA – GOOGLE CHROME 1

O Modelo CAPM

Manual Autonomus

Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade

COQ-760 – Métodos Matemáticos em Engenharia Química I

Critérios de divisibilidade

Ana Lucia Infantozzi Jordão Produto da Dissertação: Um - PUC-SP

Las Farmácias Comunitárias y las “Bruxinhas de Deus”: un

curso anual de matemática volume 1

Fatoração Algébrica Casos Simples de Fatoração