O Triângulo de Pascal
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O Triângulo de Pascal Márcio Nascimento da Silva 6 de fevereiro de 2009 Resumo O Triângulo de Pascal ou Triângulo Artimético (ou na Itália, Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito definido a partir do número 1 e através de somas sucessivas. Indı́cios desse triângulo aparecem 2000 anos antes do nascimento de Pascal, no entanto, o triângulo leva seu nome pela sua maior contribuição ao estudo de suas propriedades. Este pequeno artigo se destina a estudantes do ensino fundamental (5o ao 9o ano), mas falaremos sobre os números binomias, definindo, antes, o fatorial de um número inteiro não negativo. 1 Blaise Pascal Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nascido em Clermont em 1623 e falecido em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a famı́lia foi viver em Paris. O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides. Pascal estudou e demonstrou no trabalho do “Triângulo aritmético”, publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, “as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci”. 2 Construção do Triângulo de Pascal O triângulo de Pascal é a disposição em linhas de números inteiros através do seguinte algoritmo: 1 1. Na linha 0, escreva 1; 2. Na próxima linha, linha 1, escreva o número 1 duas vezes; 3. Na linha seguinte, linha 2, escreva o número 1, um espaço em branco, e novamente o número um. No espaço em branco, some os dois elementos imediamente acima; 4. Na linha 3, comece escrevendo o número 1, depois dois espaços em branco, e por fim o número 1 novamente. Em cada espaço em branco, escreva a soma dos dois elementos imediatamente acima; 5. Continue o processo aumentando o número de espaços em branco a cada linha. O resultado desse algoritmo é: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .. . Preenchendo os espaços em branco, teremos: 1 1 1 & . 1 1 (1 + 1) 1 & .& . (1 + 2) (2 + 1) & . & 1 (1 + 3) 1 . & . (3 + 3) (3 + 1) .. . ou seja 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 4 10 .. . 2 1 1 5 1 1 3 Propriedades 3.1 Soma dos elementos de uma linha No Triângulo de Pascal, a soma dos elementos da linha n é igual a 2n . 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 1 3 1 6 10 4 5 1 = 20 −→ 2 = 21 −→ 4 = 22 −→ 8 = 23 −→ 16 = 24 1 10 −→ −→ 32 = 25 1 .. . 3.2 .. . Potência de base 11 No Triângulo de Pascal, os algarismos em cada linha formam uma potência de base 11: 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 .. . 1 4 −→ 100 = 110 −→ 1(101 ) + 1(100 ) = 111 −→ 1(102 ) + 2(101 ) + 1(100 ) = 112 −→ 1(103 ) + 3(102 ) + 3(101 ) + 1(100 ) = 113 −→ 1(104 ) + 4(103 ) + 6(102 ) + 4(101 ) + 1(100 ) = 114 .. . 1 na próxima linha, temos: 1 5 10 10 5 1 Portanto, repetindo o processo, temos: 1(105 ) + 5(104 ) + 10(103 ) + 10(102 ) + 5(101 ) + 1(100 ) = 161051 = 115 3.3 Teorema das Diagonais ou Stick de Hóquei A soma dos primeiros n elementos em diagonal é igual ao elemento abaixo, na próxima diagonal: 1 3 [1] 1 1 [2] 1 1 1 3 [3] 4 5 1 1 [6] 10 4 10 1 5 1 .. . 1 1 [1] 1 [2] 1 1 1 [3] 3 [4] 5 1 1 6 [10] 4 1 10 5 1 .. . Veja que a “figura” formada pelos números entre colchetes lembra um taco de Hóquei. 3.4 Números Triangulares São números naturais que podem ser representados num triângulo equilátero, como mostra a Figura 1. Esses números foram desenvolvidos por Gauss, quando ele tinha apenas 10 anos. ... 1 3 6 10 Figura 1: Números triangulares. Os números triangulares aparecem na terceira diagonal do Triângulo de Pascal: 1 1 1 1 1 1 2 3 4 [1] [3] [6] 4 1 4 1 1 5 [10] 10 5 1 .. . Nessa mesma época, Gauss encontrou uma maneira de somar os n primeiros números naturais: n(n + 1) Sn = 2 Observando o Teorema das Diagonais, vemos que cada número triangular é a soma dos elementos da diagonal acima: 1 1 [1] 1 [2] 1 1 1 3 [3] 4 5 1 6 10 1 4 10 1 5 1 .. . 1 1 [1] 1 [2] 1 1 1 [3] 4 5 1 3 [6] 10 1 4 10 1 5 1 .. . 1 1 [1] 1 [2] 1 1 1 [3] [4] 5 1 3 6 [10] 1 4 10 1 5 1 .. . Portanto, a expressão geral para um número triangular é tn = n(n + 1) 2 5 Por exemplo, o 150 número triangular é t15 = 15(15 + 1) 15.16 = = 15.8 = 120 2 2 Podemos observar ainda que a soma de dois números triangulares consecutivos é sempre um quadrado perfeito: 1 1 1 2 1 3 1 1 1 4 5 [1] [3] 6 10 1 4 10 1 5 1 .. . 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 [6] [10] 15 1 1 4 10 20 .. . 1 5 15 1 6 1 Provemos que isso é sempre verdade. Considere dois números triangulares consecutivos, digamos: (n + 1)(n + 2) n(n + 1) , tn+1 = tn = 2 2 Somando, temos n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + 2 2 n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) (n + 1)[n + (n + 2)] = = 2 2 2n + 2 (n + 1)[2n + 2] = (n + 1). = 2 2 = (n + 1).(n + 1) = (n + 1)2 tn + tn+1 = Desta forma, além de provar que a soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito, ainda podemos dizer quanto vale. Por exemplo, se somarmos o 14o e o 15o números triangulares, o resultado será 152 = 225. 6 4 Aplicações do Triângulo de Pascal 4.1 Binômio de Newton Dados a, b ∈ R e n ∈ N, a expressão (a + b)n é chamada binômio de Newton. A sua expansão pode ser algo bem trabalhoso. Exemplo 4.1 Vamos expandir o binômio (x + 1)5 . Então: (x + 1)5 = = = = = = (x + 1)2 .(x + 1)2 .(x + 1) (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 1).(x + 1) (x4 + 2x3 + x2 + 2x3 + 4x2 + 2x + x2 + 2x + 1).(x + 1) (x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1).(x + 1) x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2 + x + x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 x5 + 5x4 + 10x3 + 10x4 + 5x + 1 Ou seja (x + 1)5 = 1.x5 + 5.x4 + 10.x3 + 10.x4 + 5.x + 1 Agora observe a linha 5 do Triângulo de Pascal: 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 1 .. . 1 5 15 35 1 6 21 1 7 1 −→ Linha 0 −→ Linha 1 −→ Linha 2 −→ Linha 3 −→ Linha 4 −→ Linha 5 −→ Linha 6 −→ Linha 7 .. . Veja que os números da linha 5 são exatamente os coeficientes do desenvolvimento de (x + 1)5 . De um modo geral, cada linha do Triângulo de Pascal fornece os coeficientes do desenvolvimento (a + b)n . Por exemplo, se quisermos saber o desenvolvimento de (x + y)4 . Então, olhando para a Linha 4, temos: (x + y)4 = 1.x4 .y 0 + 4.x4−1 .y 1 + 6.x4−2 .y 2 + 4.x4−3 .y 3 + 1.x4−4 .y 4 = x4 + 4.x3 .y + 6.x2 .y 2 + 4.x.y 3 + y 4 7 4.2 Fatorial Dado um número inteiro não negativo n, definimos o seu fatorial por n! = 1.2.3. · · · .(n − 1).n Assim, temos os seguintes fatoriais: 1! = 1 3! = 1.2.3 = 6 5! = 1.2.3.4.5 = 120 8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 40320 Por convenção, 0! = 1. 4.3 Número Binomial Sejam n, k dois números inteiros e não negativos com k ≤ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe k a seguinte razão: n! k!(n − k)! Que será denotada por µ ¶ n k Exemplo 4.2 Alguns números binomiais: µ ¶ 5 5! 1.2.3.4.5 4.5 = = = = 10 3 3!(5 − 3)! (1.2.3).(1.2) 1.2 µ ¶ 8 8! 1.2.3.4.5.6.7.8 6.7.8 = = = = 56 5 5!(8 − 5)! (1.2.3.4.5).(1.2.3) 1.2.3 µ ¶ 7 7! 1.2.3.4.5.6.7 = = =1 0 0!(7 − 0)! (1).(1.2.3.4.5.6.7) O interessante é que cada número do Triângulo de Pascal é um número binomial: ¡0¢ 1 −→ 0 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 −→ 1 3 6 10 −→ 1 4 10 1 5 1 −→ 1 ¡2¢ ¡2¢ 0 1 2 ¡3¢ 0 −→ ¡ 1¢ 0 ¡2 ¢ ¡3¢ −→ ¡1¢ ¡ 3¢ 1 ¡3¢ 2 3 ¡4¢ ¡ 4¢ ¡4¢ ¡4¢ ¡4¢ 0 1 2 3 4 ¡5¢ ¡5¢ ¡5¢ ¡ 5¢ ¡5¢ ¡ 5¢ 0 1 2 3 4 5 .. . .. . 8 Referências [1] ARAÚJO, Edgar da Silva. O Triângulo de Pascal: História, propriedades e aplicações. Monografias do Curso de Matemática, 2008. [2] FILHO, Edgard de Alencar. Teoria Elementar dos Números. 3a ed. São Paulo: Livraria Nobel SA, 1992. 9
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