Lista de Exercícios – 01

Lista de Exercícios – 01
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
Exemplos
a. O conjunto de todos os brasileiros.
b. O conjunto de todos os números naturais.
c. O conjunto de todos os números reais tal que x² - 4 = 0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
Exemplos
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo  que se lê:
"pertence".
Exemplo:
a. 1  N: 1 PERTENCE a N
b. 0 N: 0 NÃO PERTENCE a N
Algumas notações para conjuntos
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
c. M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
a. A={x: x é uma vogal}
b. N={x: x é um número natural}
c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Note que o "elemento" x é usado para representa os elementos dos conjunto A, N e M, isto é, uma vogal, um
número natural ou uma pessoa da família de Maria.
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Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A
também estão em B. Assim, o conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B que contém A.
Matematicamente:  x  A  x  B (lê-se: "para todo x que pertence a A implica que x pertence a B")
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto
vazio está contido em todos os conjuntos (Ø  A, para qualquer conjunto A).
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando
e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U.
Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião (União) de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao
conjunto B.
A ∪ B = { x: x  A ou x  B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A ∪ B={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao
conjunto B.
A ∩B = { x: x A e x  B }
Exemplo:  Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A∩B=Ø.
 A = {1,2,3,4,5} e B = {3,5,6,7}
Diagrama:
então A ∩ B = {3,5}
OBS: Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
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Propriedades dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A∪B e a
interseção de A e B, denotada por A∩B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A ∪A = A e A ∩A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A  A ∪B, B  A ∪B, A ∩B  A, A ∩B  B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A  B equivale a A ∪B = B
A  B equivale a A ∩B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪C
A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A∪B = B ∪A
A ∩B = B ∩A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A ∪Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro
conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A ∩Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção
de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A ∩U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
I) A ∩ (B ∪C ) = (A ∩B) ∪ (A ∩C)
II) A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade no item I.
Exercício: Construa os diagramas para mostrar o item II.
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Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x  A e x  B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A
e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto
B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c
posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a
palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Exercícios:
01. Observe o diagrama e responda:
Quais os elementos dos conjuntos abaixo:
a)
b)
c)
d)
A=
B=
C=
( A∩B ) ∪ ( B∩C ) =
e) A∩C∪B =
f) A – B =
g) (A ∪B) – C =
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02 - São dados os conjuntos
A = {x ∈ IN / x é impar},
B = {x ∈ Z / – 3 ≤ x < 4} e
C = {x ∈ Ζ / x < 6}.
Calcule
a) A =
b) B =
c) C =
d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) =
e) A∩ C ∪ B
03. Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. O
número total de alunos é
a) 230
b) 300
c) 340
d) 380
04. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente
assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B,
das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de
pessoas consultadas foi:
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
05. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3
mostrou que, dos entrevistados,
 20 consumiam os três produtos;
 30 os produtos P1 e P2;
 50 os produtos P2 e P3;
 60 os produtos P1 e P3;
 120 o produto P1;
 75 o produto P2
 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência à pelo menos um dos produtos, pergunta-se:
a) Quantas consumiam somente o produto P3?
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3?
06. ( Faap) Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o
segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova?
07) Seja A o conjunto de links apresentados pela busca da palavra “X” em um site. Analogamente temos os
conjuntos B e C dos links encontrados com a busca das palavras “Y” e “Z”, respectivamente. Se A, B e C
são três conjuntos onde n(A)=25, n(B)=18, n(C)=27, n(AB)=9, n(BC)=10, n(AC)=6 e n(ABC)=4,
(sendo n(X) o número de elementos do conjunto X), determine o número de links encontrados pela busca
((“X” ou “Y”) e “Z”), ou seja, valor de n ((AB)C).
08) Sejam os conjuntos:
A = {2n : n  Z} e B = {2n - 1 : n  Z}
Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar:
I. A  B = .
II. A é o conjunto dos números pares.
III. B  A = Z.
Está correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas.
b) II, apenas.
c) II e III, apenas.
d) III, apenas.
e) I, II e III.
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09) O diagrama de Venn para os conjunto A, B e C decompõe o plano em oito regiões. Numere-as e exprima
cada um dos conjuntos abaixo como reunião de algumas dessas regiões.
a) (AC B)C
b) (AC B)  CC
Leis de Augustus De Morgan
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses
conjuntos.
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
Exercício: Faça um diagrama para os conjuntos e verifique essa propriedade.
2. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses
conjuntos.
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
Exercício: Faça um diagrama para os conjuntos e verifique essa propriedade.
Intervalo Real
Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {x  R/a < x < b}
Aberto à esquerda e aberto à direita
Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {x  R/a < x ≤ b}
Aberto à esquerda e fechado à direita
Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {x  R/a ≤ x < b}
Fechado à esquerda e aberto à direita
Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {x  R/a ≤ x ≤ b}
Fechado à esquerda e fechado à direita
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Intervalos infinitos
{x  R/x > a} ou ]a, [
{x  R/x<a} ou ] - , a[
{x  R/x≥a} ou [a, [
{x  R/≤a} ou ] - , a]
Exercícios:
10. Representar graficamente os seguintes conjuntos:
a. [2,5] ∪ [3,7] =
b. [2,5] ∩ [3,7] =
c. [ 0,3[ ∪ ]1,5 [ =
d. [1,5] - ]3,6[ =
e. [5,8[∪]3,10]=
f. ]- ,2] ∩[2,3[ =
g. ]1,5[ ∪ ]- ,10] =
11. Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo
a. { x  R/ 1< x  2}=
b. { x  R/ -2  x < 4}=
c. { x  R/ x > - 3}=
d. { x  R/ x  5}=
e. { x  R/ x < - 1 ou x > 1}=
12. Seja A o conjunto dado por A = [1,5] ∩ [ -1,4] ∩ [3,8]. Qual é o elemento máximo e o elemento mínimo
de A?
Respostas:
01.
a) A = {0,1,2,3,4}
b) B = {2,4,5,8,9}
c) C = {2,3,5,6,7}
d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) = {2,3,5}
02.
a) A = {1,3,5,...}
b) B = {-3,-2,-1,0,1,2,3}
e) A∩ C ∪ B = {-3,-2,-1,0,1,2,3,5}
e) A∩C∪B = {2,3,4}
f) A – B = {0,1,4}
g) (A ∪B) – C = {0,1,3,6,7}
c) C = {..., 3,4,5}
d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) = B
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03.
Número total de aluno = 340
04. d) 500
5)
50+10+15+40+20+30+x=200
=> x = 35
a) 35
b) 40+20+10+30=100
c) 50+10+15=75
6) 610
7)
(AB) C = 12
8) e
9)
b)
a)
{1}
10)
a. [2,5] ∪ [3,7] = [2,7]
b. [2,5] ∩ [3,7] = [3,5]
c. [ 0,3[ ∪ ]1,5 [ = [0,5[
d. [1,5] - ]3,6[ = [1,3]
e. [5,8[∪]3,10]= ]3,10]
f. ]- ,2] ∩[2,3[ = {2}
g. ]1,5[ ∪ ]- ,10] = ]- ,10]
{1,2,3,5,6,7,8}
12) A = [1,5] ∩ [ -1,4] ∩ [3,8] = [3,4]. Assim, o máximo é 4 e o mínimo é 3.
Referência:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
Profº Leandro Colombi Resendo
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