modelagem de curvas de magnetização para solução

Transcrição

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ
MARLON ANTONIO ROCHA
RAFAEL ARGÜELLO MEZA
MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO
ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES
Curitiba
2005
Trabalho de graduação apresentado à
disciplina de Projeto Final 2 do Curso de
Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica
do Centro Federal de Educação Tecnológica
do Paraná.
Orientador: Prof. Alvaro Augusto de Almeida.
Curitiba
2005
ii
Este Projeto Final de Graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial
para obtenção do título de Engenheiro Eletricista pelo Centro Federal de Educação
Tecnológica do Paraná.
Curitiba, 23 de Março de 2005.
____________________________________
Prof. Esp. Paulo Sérgio Walenia
Coordenador de Curso
Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
____________________________________
Prof. Dr. Ivan Eidt Colling
Coordenador de Projeto Final de Graduação
____________________________________
Prof. Esp. Alvaro Augusto de Almeida
Orientador
____________________________________
Prof. M. Antonio Ivan Bastos Sobrinho
____________________________________
Prof. Dr. Antonio Carlos Pinho
____________________________________
Prof. Esp. Belmiro Wolski
iii
Aos nossos pais, por todo o apoio e incentivo
dado ao longo de nossas vidas.
iv
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Álvaro Augusto de Almeida, pela orientação e sugestões
apresentadas para o aprimoramento deste trabalho.
Agradecemos
especialmente
à
Lizandra
Martinez
Lezcano,
pelas
inestimáveis contribuições dadas ao longo do desenvolvimento deste trabalho. Sua
constante ajuda, apoio, incentivo, comentários, críticas e sugestões foram de
extrema importância para que este projeto fosse realizado com êxito.
v
SUMÁRIO
1
1.1
1.2
1.2.1
1.2.2
1.3
2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7
2.1.8
2.1.9
2.1.10
2.2
2.2.1
2.2.1.1
2.2.1.2
2.2.1.3
2.2.2
2.2.2.1
2.2.2.2
2.3
2.3.1
2.3.1.1
2.3.1.2
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
LISTA DE FIGURAS.................................................................................
LISTA DE TABELAS.................................................................................
LISTA DE SÍMBOLOS...............................................................................
RESUMO....................................................................................................
INTRODUÇÃO...........................................................................................
JUSTIFICATIVA.........................................................................................
OBJETIVOS...............................................................................................
Objetivo Geral............................................................................................
Objetivos Específicos.................................................................................
METODOLOGIA.........................................................................................
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.................................................................
CONCEITOS E PRINCÍPIOS BÁSICOS....................................................
Teoria do Magnetismo...............................................................................
Campo Magnético......................................................................................
Indução Magnética.....................................................................................
Fluxo Magnético.........................................................................................
Momento Magnético – Magnetização........................................................
Permeabilidade Magnética.........................................................................
Susceptibilidade Magnética.......................................................................
Processo de Magnetização........................................................................
Curva de Magnetização.............................................................................
Histerese Magnética..................................................................................
MATERIAIS MAGNÉTICOS.......................................................................
Materiais Magneticamente Moles..............................................................
Ligas ferro – silício ....................................................................................
Ligas ferro – níquel....................................................................................
Ligas ferro – cobalto...................................................................................
Materiais Magneticamente Duros..............................................................
Aço martensíticos ou aços carbonos........................................................
Ligas endurecíveis por precipitação ou ligas sem carbono ......................
CIRCUITOS MAGNÉTICOS......................................................................
Perdas em Circuitos Eletromagnéticos......................................................
Perdas por histerese..................................................................................
Perdas por correntes parasitas (Foucault).................................................
MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS.........................................................
MÉTODO ITERATIVO...............................................................................
Método Iterativo de Gauss-Seidel..............................................................
Método de Newton-Raphson.....................................................................
Método da Secante....................................................................................
vi
viii
ix
x
xi
1
1
2
2
2
3
4
4
4
5
9
11
13
17
18
19
22
26
29
33
34
36
37
37
38
39
40
46
46
47
49
49
51
53
55
3
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.3
3.3.1
4
4.1
4.2
4.2.1
4.2.2
5
6
METODOLOGIA........................................................................................
EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA.....................................................
METODOLOGIA
PARA
O
AJUSTE
DAS
CURVAS
DE
MAGNETIZAÇÃO.......................................................................................
Método Polinomial......................................................................................
Método Exponencial...................................................................................
METODOLOGIA UTILIZADA PARA A REALIZAÇÃO DO PROCESSO
ITERATIVO.................................................................................................
Método da Secante....................................................................................
RESULTADOS...........................................................................................
AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO..........................................
PROGRAMA COMPUTACIONAL..............................................................
Algoritmo do Programa Computacional em “Visual Basic”........................
Exemplo Numérico da Aplicação do Programa Computacional.................
CONCLUSÃO............................................................................................
REFERÊNCIAS.........................................................................................
APÊNDICE A – AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO.............
vii
56
56
59
60
62
63
63
66
66
75
75
77
79
81
83
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1
FIGURA 2.2
FIGURA 2.3
FIGURA 2.4
FIGURA 2.5
FIGURA 2.6
FIGURA 2.7
FIGURA 2.8
FIGURA 2.9
FIGURA 2.10
FIGURA 2.11
FIGURA 2.12
FIGURA 2.13
FIGURA 2.14
FIGURA 2.15
FIGURA 2.16
FIGURA 2.17
FIGURA 2.18
FIGURA 2.19
FIGURA 2.20
FIGURA 2.21
FIGURA 2.22
FIGURA 2.23
FIGURA 2.24
FIGURA 2.25
FIGURA 4.1
FIGURA 4.2
FIGURA 4.3
FIGURA 4.4
FIGURA 4.5
FIGURA 4.6
FIGURA 4.7
FIGURA 4.8
FIGURA .4.9
Campo magnético dH no ponto P devido ao elemento de
corrente I .d .................................................................................. 6
Determinação da orientação de dH utilizando (a) a regra da mão
direita ou (b) a regra do parafuso de rosca direita ......................... 7
Distribuição de corrente: (a) corrente em uma linha, (b) corrente
em uma superfície, (c) corrente em um volume.............................. 8
Linhas de indução do campo magnético B......................................... 11
Superfície de material ferromagnético envolvido pelo fluxo geral... 11
Superfície com posição paralela em relação ao fluxo geral............ 12
Superfície com posição inclinada em relação ao fluxo geral.......... 12
a) Movimentos atômicos, b) Momento magnético de laço de
corrente elementar.......................................................................... 14
Lei de curie-weiss para variação da susceptibilidade magnética
com a temperatura para materiais ferromagnéticos....................... 19
Domínios magnéticos e parede de 180o......................................... 20
Deslocamento de paredes e rotação de domínios magnéticos...... 21
Curva de magnetização inicial........................................................ 22
Montagem para obtenção da curva de magnetização.................... 23
Curva B-H medida por gaussímetro ............................................. 24
Exemplo de curva de magnetização............................................... 25
Variação entre a permeabilidade ( ) e a intensidade do campo
magnético (H)................................................................................. 26
Ciclo de histerese............................................................................ 27
Principais materiais utilizados para fins eletromagnéticos.............. 33
Parte de um circuito magnético ...................................................... 41
Enrolamento toroidal....................................................................... 41
Circuito magnético com entreferro.................................................. 42
(a) Circuito eletromagnético, (b) Circuito elétrico ........................... 44
Dispersão do fluxo magnético......................................................... 45
Fluxograma dos métodos iterativos ............................................... 50
Método de Newton-Raphson.......................................................... 53
Curvas B-H utilizadas (H < 400 A/m).............................................. 67
Curvas B-H utilizadas (H > 400 A/m).............................................. 68
Curva de magnetização – Aço fundido........................................... 74
Curva de magnetização – Aço silício.............................................. 74
Curva de magnetização – Liga ferro – níquel................................. 75
Algoritmo relativo ao programa computacional desenvolvido......... 76
Circuito magnético proposto para ser resolvido.............................. 77
Entrada de dados do programa...................................................... 78
Saída de resultados do programa................................................... 78
viii
LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1
TABELA 2.2
TABELA 2.3
TABELA 2.4
TABELA 2.5
TABELA 3.1
TABELA 4.1
TABELA 4.2
TABELA 4.3
Propriedades físicas e magnéticas de chapas Fe-Si......................
Ligas Fe-Ni magneticamente moles...............................................
Ligas endurecíveis por precipitação para ímãs permanentes .......
Tipos de alnicos para ímãs permanentes......................................
“Equivalência” entre circuitos elétrico e magnético.........................
Cálculos envolvidos no somatório..................................................
Conjunto de pontos (B, H) obtidos graficamente............................
Cálculos envolvidos nos somatórios...............................................
Equações H = f(B) ajustadas para os materiais estudados...........
ix
35
36
39
40
43
62
69
71
73
LISTA DE SÍMBOLOS
E : Campo elétrico
H : Campo magnético
: Comprimento
G : Condutância elétrica
σ : Condutividade elétrica
η : Constante de Steinmetz
I : Corrente elétrica
K : Densidade de corrente numa superfície
J : Densidade de corrente em um volume
g : Entreferro
f : Freqüência
r : Raio
D : Indução elétrica
Φ : Fluxo magnético
e : Força eletromotriz
ℑ : Força magnetomotriz
B : Indução magnética
p : Intensidade do dipolo magnético
M : Magnetização
m : Momento do dipolo
N : Número de espiras
P f : Perdas por corrente parasitas
Ph : Persas por histerese
µ : Permeabilidade absoluta
µ r : Permeabilidade relativa
µ 0 : Permeabilidade do ar
P : Permeância magnética
P : Potência
ℜ : Relutância magnética.
R : Resistência elétrica
ρ : Resistividade
S : Seção transversal
χ : Susceptibilidade magnética
Tc : Temperatura de Curie
V : Volume
Co : Cobalto
Cu : Cobre
Cr : Cromo
Fe : Ferro
Mo : Molibdênio
Ni : Níquel
Ti : Titânio
W : Tungstênio
x
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se um estudo teórico com enfoque na resolução de
problemas de circuitos magnéticos construídos com núcleos compostos por dois ou
três materiais ferromagnéticos, com ou sem entreferro. Foi desenvolvida uma
metodologia para a resolução de problemas onde se conhece a corrente elétrica e
se deseja conhecer o fluxo magnético, para o qual é necessária a execução de um
processo iterativo. Considerando que o método proposto baseia-se na utilização da
equação H=f(B), foi necessário o ajuste matemático das curvas B-H de três
materiais ferromagnéticos. Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetização
dos seguintes materiais: aço-silício, aço-fundido e liga ferro-níquel, utilizando-se para
tal o método dos mínimos quadrados. A seguir, com base nas equações ajustadas e
utilizando-se o método iterativo da Secante, foi desenvolvido um programa
computacional utilizando-se o software Visual Basic for Applications, do Excel, o qual
foi concebido para automatizar a resolução do problema em questão.
xi
1
1 INTRODUÇÃO
Os circuitos magnéticos construídos com núcleos ferromagnéticos e
entreferros podem ser divididos didaticamente em dois tipos: (a) tipo I: são
problemas em que o fluxo magnético é conhecido e onde se deseja conhecer a força
magnetomotriz NI; (b) tipo II: são problemas onde se conhece a corrente e se deseja
conhecer o fluxo magnético.
Os problemas do tipo I são de resolução direta, mas são raros de se
encontrar na prática, pois geralmente o fluxo é a incógnita.
A resolução de circuitos magnéticos não lineares do tipo II pode ser
conduzida de duas formas possíveis: (a) métodos gráficos, onde se desenvolve a
equação da reta de carga do dispositivo e se determina o ponto de operação (B, H)
do mesmo; (b) métodos iterativos, onde se arbitra valores iniciais para B e se vai
refinando a solução até a convergência a um erro previamente especificado.
A proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um algoritmo que
possibilite a solução automática (computacional) de circuitos magnéticos que
envolvem dois ou três materiais magnéticos.
1.1 JUSTIFICATIVA
Problemas de circuitos magnéticos aparecem freqüentemente na área de
máquinas elétricas. Soluções básicas envolvem cálculos manuais, e, soluções mais
avançadas, envolvem o método dos elementos finitos. O que se pretende é o
desenvolvimento de uma solução de compromisso, que seja rápida de usar, mas
sem cair nas complexidades da modelagem por elementos finitos.
2
No decorrer do trabalho, espera-se obter uma gama bastante grande de
conhecimentos sobre métodos numéricos usados em engenharia, sobre materiais
ferromagnéticos usados na área de máquinas e sobre modelagem de dispositivos
eletromagnéticos de baixa freqüência (50-60 Hz).
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
Desenvolver um algoritmo que possibilite a solução computacional do
circuito magnético a partir da curva de magnetização e o método de aproximações
sucessivas.
1.2.2 Objetivos Específicos
•
Estudar métodos de modelagem de curvas de magnetização para
vários materiais ferromagnéticos.
•
Estudar métodos numéricos para solução de circuitos magnéticos.
•
Desenvolver um algoritmo que resolva problemas de circuitos
magnéticos a partir de curvas previamente modeladas e configurações
pré-estabelecidas.
•
Comparar a solução computacional com soluções obtidas por outros
métodos (gráfico ou cálculos manuais).
3
1.3 METODOLOGIA
O projeto é eminentemente teórico, mas com aplicações práticas
importantes. As principais etapas da resolução do problema são as seguintes:
•
pesquisa bibliográfica, incluindo pesquisa de documentação de
fabricantes de materiais ferromagnéticos (duros e macios);
•
pesquisa sobre métodos numéricos de iteração e ajuste de curvas
(Gauss-Seidel, etc);
•
desenvolvimento do algoritmo de modelagem e ajuste das curvas de
magnetização, usando métodos computacionais;
•
testes de ajuste das curvas;
•
pesquisa sobre modelagem de sistemas magnéticos;
•
desenvolvimento do método iterativo de resolução de circuitos
magnéticos;
•
testes e comparações com outros métodos (gráfico ou cálculos
manuais).
4
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 CONCEITOS E PRINCÍPIOS BÁSICOS
2.1.1 Teoria do Magnetismo
Os fenômenos magnéticos são conhecidos de épocas muito antigas, quando
foram observados, pela primeira vez, os efeitos da magnetita (Fe3O4), um ímã
permanente que se encontra em forma natural. A descoberta das propriedades de
orientação norte-sul desse material teve uma profunda influência na navegação e
exploração primitivas (REITZ, MILFORD E CHRISTY, 1991).
De acordo com Menezes (1981), na última década do século XIX, W.E.
Weber sugeriu que cada átomo de uma substância magnética era um ímã elementar
permanente, também denominado de átomo magnetizado, que, sob condições
normais, mantêm-se agrupados desordenadamente, de modo que não existe campo
magnético em volta do corpo constituído pelos citados ímãs elementares. Porém,
quando esse corpo se submete à magnetização, os ímãs elementares que compõem
o mesmo acabam ordenando-se, resultando o campo magnético externo.
Para melhor entender o fenômeno acima mencionado, imagine-se um corpo
suspenso pelo seu centro de gravidade e livre para se movimentar, e que o faça
“espontaneamente” se orientando ao magnetismo terrestre. Logo a seguir, imaginese o mesmo corpo atraindo pedaços de ferro ou de suas ligas, e, finalmente,
imagine-se este corpo sendo atraído ou repelido por outro de mesmas
características. O corpo que apresenta estas propriedades, nada mais é do que um
ímã natural.
5
Porém, além dos ímãs naturais, existem corpos que gozam de característica
de se tornarem ímãs artificiais. Estes corpos possuem a capacidade de adquirir, por
determinados processos, ainda que temporariamente, as propriedades de um ímã
natural, sendo, desta forma, considerado, naquele período, um ímã.
Com base nisto, Bocchetti e Mendel (1979, p. 105) destacam que,
“magnetismo é a propriedade que os ímãs têm de somente atrair materiais
ferromagnéticos e de atrair ou repelir outros ímãs”
O conceito acima não pode ser considerado genérico, pois é possível
alcançar algumas propriedades magnéticas sem a presença dos ímãs, sendo muitas
vezes conseguidas através da corrente elétrica, denominando-se este fenômeno de
eletromagnetismo.
2.1.2 Campo Magnético
De acordo com Bocchetti e Mendel (1979, p.108), pode-se afirmar que, “o
campo magnético é a região do espaço onde são sensíveis as observações dos
efeitos magnéticos”.
Já Sadiku (2004) comenta que, de acordo com a lei de Biot-Savart, a
intensidade do campo magnético dH gerada em um ponto P , como mostrado na
figura 2.1, pelo elemento diferencial de corrente, I .d
entre I .d e o seno do ângulo
é proporcional ao produto
α , entre o elemento e a linha que une o ponto P ao
elemento, e é inversamente proporcional ao quadrado da distância R entre o ponto
P e o elemento.
Isto é,
6
dH =
I .d .senα
(2.1)
R2
ou
dH =
k .I .d .senα
(2.2)
R2
Onde k é a constante de proporcionalidade. Em unidades do sistema
internacional de unidades, k = 1/4 , tal que a equação (2.2) torna-se a expressão
(2.3) a seguir.
dH =
I .d .senα
(2.3)
4π .R 2
FIGURA 2.1 – Campo magnético
dH no ponto P devido ao elemento de corrente I .d
FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004
A unidade do campo magnético no sistema internacional de unidades é o
ampère por metro, A/m. O campo magnético é uma função do ponto e de uma
grandeza eletromagnética, aqui a corrente I ; se esta depende do tempo, o H
também dependerá.
De acordo com Sadiku (2004), a forma vetorial da equação (2.3) pode ser
escrita conforme a equação (2.4) mostrada a seguir:
7
dH =
I .d × a R
4π .R 2
=
I .d × R
(2.4)
4π .R 3
Onde R =| R | e a R = R / R .
Assim, o sentido de dH pode ser determinado pela regra da mão direita,
em que com o polegar apontando segundo a orientação da corrente, os outros
dedos dobrados em torno do fio indicam a orientação de dH , como mostra a figura
2.2 (a). Alternativamente, podemos usar a regra do parafuso de rosca direita para
determinar o sentido de dH . Com o parafuso posicionado ao longo do fio e
apontado no sentido do fluxo da corrente, a orientação dada pelo avanço do
parafuso é a orientação de dH , como mostra a figura 2.2 (b).
FIGURA 2.2 – Determinação da orientação de
do parafuso de rosca direita.
dH utilizando (a) a regra da mão direita ou (b) a regra
Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga,
podemos ter diferentes distribuições de corrente: corrente em uma linha, corrente em
uma superfície e corrente em um volume, como mostrado na figura 2.3 Se
definirmos K como a densidade de corrente em uma superfície (em ampères/metro)
8
e J como a densidade de corrente em um volume (em ampères/metro2), os
elementos-fonte estão relacionados conforme a expressão (2.5) (SADIKU, 2004).
I .d ≡ K .dS ≡ J .dv
(2.5)
FIGURA 2.3 – Distribuição de corrente: (a) corrente em uma linha, (b) corrente em uma superfície,
(c) corrente em um volume.
Ainda segundo Sadiku (2004), em termos de fontes de corrente distribuída, a
lei de Biot-Savart, como na equação (2.4), torna-se as seguintes expressões:
H=
H=
H=
I .d × a R
L
4π .R 2
K .dS × a R
S
4π .R 2
J .dv × a R
v
4π .R 2
(corrente em uma linha)
(corrente em uma superfície)
(corrente em um volume)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Cabe mencionar ainda que, de acordo com Macedo (1988), verifica-se
experimentalmente que o princípio da superposição linear é valido também para o
campo magnético. Se existem n correntes retilíneas I i , o campo resultante H será
9
a soma vetorial de cada campo H i produzido pela respectiva corrente, conforme a
equação (2.9) a seguir.
H=
n
i =1
Hi
(2.9)
Como na equação 2.9, não importa a localização da interseção P da
corrente com o plano da curva, desde que interna a ela, pode-se escrever,
imediatamente a equação (2.10) abaixo.
H .d =
C
n
i =1
Ii
(2.10)
Pode-se observar que o segundo membro da equação (2.10) é uma soma
algébrica, onde cada corrente pode ser positiva ou negativa. Se a corrente total for
nula, a circulação de H também o será, o que não implicará, é claro, a nulidade do
próprio H .
2.1.3 Indução Magnética
Bastos (1992, p. 29) afirma que a indução magnética B “é chamada de
“indução” pois é uma grandeza que expressa a capacidade de induzir fluxo em um
dado meio”.
A indução magnética B é similar à indução elétrica D , e está relacionada à
intensidade do campo magnético H , de acordo com a equação (2.11) a seguir:
B = µ .H ;
onde
µ é a permeabilidade do meio.
(2.11)
10
A forma integral da lei de Gauss do magnetismo é dada pela expressão
(2.12) a seguir, a qual exprime matematicamente a verificação experimental de que
as linhas do vetor indução magnética B são fechadas: seu fluxo através de
qualquer superfície fechada é nulo.
S
B .dS = 0
(2.12)
De acordo com Macedo (1988), a expressão (2.12) exprime, portanto, a
inexistência de uma “carga magnética” - o monopolo magnético - que seria a
análoga à carga elétrica. Apesar das muitas tentativas feitas nesse sentido, não se
conseguiu até agora detectar experimentalmente o monopolo magnético. Ainda
segundo este mesmo autor, não há razão, porém, para acharmos que sua eventual
descoberta venha a invalidar a teoria de Maxwell. Tem-se, nesse caso, que
acrescentar um termo não-nulo ao segundo membro da lei, dada pela equação
(2.12), e analisar as conseqüências de tal acréscimo. Todos os resultados obtidos,
porém, a partir da nulidade daquele segundo membro, continuarão válidos na
ausência de monopolos.
A unidade no sistema internacional de unidades (SI) da indução magnética B
é o Weber/metro2 tesla, de símbolo T. Por ser 1T uma indução muito intensa em
comparação com as que usualmente ocorrem em laboratório, é costume exprimir-se
a indução magnética em Gauss, 1G = 10-4T, embora esta unidade não pertença ao
sistema internacional. A unidade SI do fluxo de B é o weber, Wb. Por isso, em lugar
do tesla, aparece muitas vezes o weber por metro quadrado, Wb/m2, que é igual.
11
2.1.4 Fluxo Magnético
De acordo com Sears, Zemansky e Young (1984), um campo de indução
magnético pode ser representado por linhas, cuja direção em cada ponto é a do
vetor campo de indução magnético, B . Em campo de indução magnético uniforme,
onde o vetor tem o mesmo módulo, direção e sentido em todos os pontos, as linhas
de indução são retas paralelas, conforme mostra a figura 2.4 a seguir.
Φg
B
FIGURA 2.4 – Linhas de indução do campo magnético B
FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979.
Considerando um material imerso num campo de indução magnética B ,
conforme mostra a figura 2.5 a seguir, pode-se afirmar que, genericamente, as linhas
formadas deste campo formam um fluxo magnético geral (Φ g ). Estas linhas do fluxo
geral que cortam tal superfície formam o fluxo no material, que aqui chamaremos
simplesmente de fluxo (Φ ).
B
Φ
Φg
FIGURA 2.5 - Superfície de material ferromagnético envolvido pelo fluxo geral
Conforme pode ser observado na figura 2.5, é evidente que
no máximo
Φ < Φ g , sendo
Φ = Φ g se a superfície do material envolvido for igual a do fluxo geral
considerado.
12
Para a caracterização do fluxo através da superfície devemos levar em conta
a posição relativa da superfície considerada. Quando o campo de indução
magnética B for perpendicular à superfície, como é o caso mostrado na figura 2.5, o
fluxo será máximo.
Por outro lado, quando a superfície considerada ficar paralela às linhas do
fluxo geral, conforme ilustrado na figura 2.6, teremos um fluxo nulo nesta superfície.
Φ =0
Φg
B
FIGURA 2.6 - Superfície com posição paralela em relação ao fluxo geral
Se a superfície recebe um fluxo máximo quando a normal a seu plano forma
0o com as linhas do campo, e um fluxo nulo quando a normal é perpendicular ao
mesmo campo, então, o fluxo na superfície é função da posição relativa que ela
ocupa com respeito ao fluxo geral – será uma função cossenoidal do ângulo
α,
ângulo entre a normal à superfície e as linhas do campo, conforme apresentado na
figura 2.7 a seguir.
B
S
Φ g = f ( S . cos α )
FIGURA 2.7 - Superfície com posição inclinada em relação fluxo geral
(2.13)
13
O fluxo total através de uma superfície pode, então, ser representado como
o número de linhas de indução atravessando a superfície considerada.
Desta forma, tomando-se por base agora um elemento de superfície dS
imerso num campo de indução B provocando uma contribuição elementar de fluxo
dΦ , torna-se evidente que o fluxo total na superfície é dado pelo somatório das
contribuições elementares, conforme é mostrado nas equações a seguir:
Φ = dΦ
(2.14)
dΦ = B.dS
(2.15)
Um caso mais genérico, pode ser expresso pela seguinte equação:
Φ=
S
B .dS
(2.16)
ou
dΦ = B . cos α .dS .
(2.17)
Tomando, em seqüência, elementos integrais, obtemos, com B constante
em toda superficie:
Φ = B .S . cos α .
(2.18)
Finalmente, para a condição de fluxo máximo, resulta a seguinte expressão:
Φ = B .S
(2.19)
2.1.5 Momento Magnético - Magnetização
Segundo Koltermann (2001), ao se analisar macroscopicamente os modelos
de estrutura de um átomo, os movimentos dos seus elétrons podem ser simulados
14
por um laço de corrente elementar, sendo que, os dipolos magnéticos resultantes, se
referem aos momentos dos laços de corrente, podendo este laço de corrente ser
considerado como a unidade elementar do magnetismo, como ilustra a figura 2.8.
vetor movimento orbital
spin nuclear
spin do elétron
m = I .ds
ds
I
Núcleo
ds
movimento orbital do elétron
(a)
(b)
FIGURA 2.8 - a) Movimentos atômicos, b) Momento magnético de laço de corrente elementar
FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços
Menores de Indução. UFSC, 2002.
Este laço de corrente é conhecido como o dipolo magnético por razões
históricas, uma vez que o campo produzido por tal laço é idêntico na forma, ao
campo produzido pelo cálculo de dois pólos magnéticos de intensidade
separados por uma distância
p,
, sendo o momento do dipolo de tal arranjo expresso
por (KOLTERMANN, 2001):
m = p.
(2.20)
ou ainda,
m=
Φ.
µ0
onde
Φ é o fluxo em webers passando através do dipolo e
(2.21)
é o
15
comprimento deste dipolo.
Menezes (1981) destaca que, a distância matemática entre os pólos não
pode ser perfeitamente definida, considerando que os pólos magnéticos não
identificam um ponto, mas tão somente uma região. Todavia, segundo este mesmo
autor, apesar de p e
não serem medidas com precisão, o produto p . , que se
constitui no momento magnético, pode ser muito bem determinado.
O campo magnético produzido pelo laço elementar de corrente I i ,
considerado que envolve uma superfície dS i pode ser representado pelo momento
magnético m i , conforme a expressão (2.22) abaixo:
mi = I i .dS i
(2.22)
Leite (2002, p. 5) afirma que, “o momento magnético total num átomo é igual
à soma vetorial de todos os momentos magnéticos individuais originados pelos
movimentos dos elétrons e o núcleo”.
Em um volume
∆.V contendo n momentos magnéticos atômicos, cada um
deles sendo representado por m i , sendo i = 1, 2, ..., n, o momento resultante m é
dado pela soma vetorial destes momentos individuais mi , conforme mostra a
expressão (2.23) a seguir:
m=
n
i =1
mi
(2.23)
O efeito destes ímãs atômicos, ou dipolos magnéticos, pode ser
convenientemente descrito por uma grandeza denominada como vetor de
magnetização M (KOLTERMANN, 2001). Este vetor é definido pela densidade
volumétrica de momentos magnéticos do material, de acordo com a equação (2.24):
16
M = lim
∆V → 0
1
∆V
n
i =1
1
m
∆V →0 ∆V
mi = lim
(2.24)
A equação (2.21) fornece a relação entre o momento magnético m e o fluxo
magnético
Φ ; pode-se relacionar agora, o vetor magnetização M com o vetor
indução magnética B . Considerando um dipolo magnético com fluxo
comprimento do dipolo
Φ no centro,
e com seção transversal S , a magnetização é dada pela
expressão (2.25) a seguir:
M=
m m
=
V S.
considerando m = Φ . /
M=
onde
(2.25)
µ 0 , obtém-se a equação (2.26):
B
Φ
=
µ 0 .S µ 0
0
(2.26)
é permeabilidade magnética do vácuo.
Neste caso não existe nenhuma fonte convencional de corrente elétrica para
gerar o campo magnético e então B = µ 0 M . Pode-se notar portanto, que a
magnetização M e o campo magnético H contribuem para a indução magnética
de um modo similar. Se ambos, a magnetização e o campo magnético estão
presentes, então suas contribuições podem ser somadas (KOLTERMANN, 2001).
Pode-se então concluir que a indução magnética consiste de dois
contribuições, sendo uma do campo magnético imposto e a outra da magnetização
M do material, conforme ilustrado na expressão (2.27) a seguir:
B = µ0 ( H + M )
(2.27)
De acordo com Leite (2002, p. 6 ), “o campo magnético H pode ser imposto
17
através de fontes externas, enquanto que a magnetização M é gerada pelos
movimentos das partículas subatômicas da estrutura da matéria”.
2.1.6 Permeabilidade Magnética
Segundo Bastos (1992), a permeabilidade
µ de um meio, expressa
intrinsecamente sua capacidade de se mostrar mais ou menos suscetível à
passagem de fluxo magnético. Seria difícil introduzir estes conceitos sem utilizar a
relação de passagem expressa pela equação (2.28) a seguir:
B = µ .H
(2.28)
Como pode ser observado, a equação (2.28) fornece a relação entre a
indução magnética B e a intensidade magnética H . Para o vácuo a permeabilidade
magnética
µ = µ 0 e é uma constante com o valor 4 .10-7 H/m no sistema
internacional de unidades (SI). Para o ar, µ é um pouco maior que
porém, ser admitida igual a
µ 0 podendo,
µ 0 nas aplicações práticas.
No entanto, a permeabilidade magnética µ não é em geral uma constante,
pois B não é uma função linear de H para alguns materiais. Sendo assim, mais
importante que o valor da permeabilidade, constitui-se a representação usual da
relação dada pela equação (2.28), fornecida através das curvas B-H. Estas curvas
variam consideravelmente de um material para outro, e, para o mesmo material, são
fortemente influenciadas pelos tratamentos térmicos e mecânicos.
Os diferentes materiais são comumente caracterizados, do ponto de vista
magnético, pela sua permeabilidade magnética
µ.
18
É costume considerar uma permeabilidade absoluta
µ e uma relativa µ r ,
sendo a segunda dada pelo quociente entre a primeira e a permeabilidade do vácuo
ou do ar
µ 0 , conforme mostra a equação (2.29) a seguir.
µr =
µ
(2.29)
µ0
2.1.7 Susceptibilidade Magnética
A susceptibilidade magnética é medida em função da taxa de crescimento
da
magnetização
causada
pela
influência
de
um
campo
magnético.
Matematicamente a susceptibilidade pode ser expressa pela equação a seguir:
χ=
M
H
(2.30)
onde:
M = magnetização, que é o momento magnético por unidade de
volume; e
H = intensidade do campo magnético.
A susceptibilidade não é necessariamente constante, podendo variar com a
intensidade do campo magnético aplicado. Esta grandeza possui valores medidos
entre 10-5 para materiais magnéticos moles até 106 para magnetos duros. Em alguns
casos ela pode assumir valores negativos.
A susceptibilidade dos materiais ferromagnéticos nas altas temperaturas,
acima da temperatura crítica Tc , denominada de temperatura de Curie, obedece à
lei de Curie-Weiss, na qual 1 /
χ é zero no ponto Curie e aumenta linearmente com
19
a temperatura, como ilustra a figura 2.9 a seguir (LEITE, 2002). Destaca-se que a
temperatura crítica Tc ou temperatura de Curie é aquela acima da qual os materiais
perdem suas características ferromagnéticas e passam a apresentar comportamento
paramagnético.
1
χ
Tc
T
FIGURA 2.9 - Lei de Curie-Weiss para variação da susceptibilidade magnetica com a temperatura
para materiais ferromagnéticos.
2.1.8 Processo de Magnetização
Primeiramente, antes de abordar o processo de magnetização, é
conveniente apresentar o conceito de domínio, pois o mesmo está diretamente
relacionado ao processo de magnetização.
De acordo com Leite (2002), a primeira teoria que trata da existência dos
domínios magnéticos foi elaborada por Weiss no ano de 1907, e, de acordo com a
mesma, é possível afirmar que um material ferromagnético é formado por muitas
pequenas regiões, sendo que cada uma delas possui magnetização de saturação,
apontando em uma dada direção. Porém, somente uma década depois, foi realizada
a primeira verificação experimental dessa teoria, no experimento idealizado por
Barkhausen.
20
Analisando-se um material magnético desmagnetizado, observa-se que o
mesmo é composto de um grande número de pequenas regiões conhecidas por
“domínios”, cujos contornos podem ser perfeitamente determinados, e que se
caracterizam por possuir uma única orientação magnética, ou seja são dotados,
cada um, de um vetor de campo magnético unitário próprio. Contudo, cada um
destes domínios está direcionado aleatoriamente, e, sendo assim, o material como
um todo, não possui magnetização líquida (LEITE, 2002,)
Observa-se entre os domínios a existência de uma fronteira delimitando
domínios adjacentes. Nessa fronteira a magnetização não muda de forma brusca,
mas suavemente, envolvendo vários momentos magnéticos. Quando dois domínios
adjacentes possuem magnetizações com direções opostas, a fronteira que os divide
é chamada de parede de 180°.
Na figura 2.10 a seguir pode ser observada uma representação da idéia dos
domínios magnéticos e da parede de 180°.
FIGURA 2.10 – Domínios Magnéticos e parede de 180°
21
Uma vez definido o conceito de domínio, podemos passar à descrição do
processo de magnetização. Segundo comentários de Almeida (2003), magnetizar
um material significa alinhar os seus domínios, sendo este processo não linear, pois
quanto mais domínios estiverem alinhados, torna-se mais difícil alinhar novos
domínios. Já quando os domínios estiverem alinhados, e nenhum incremento de
magnetização for possível, significa que e o material terá atingido o seu estado de
“saturação”.
Conforme este mesmo autor, o processo de desmagnetização também é
não linear, e, dependendo do material, mais ou menos domínios podem ficar
alinhados após a remoção do campo externo. A quantidade desses domínios
alinhados é responsável pelo denominado “magnetismo residual”.
De acordo com Leite (2002, p. 17), o processo de magnetização pode dar-se
pela ação de dois fenômenos, conforme descrito a seguir:
1. Aumento do tamanho dos domínios, nos quais a orientação seja próxima
ao da orientação do campo externo aplicado, às custas dos domínios cuja
orientação seja diferente. Este é o processo do deslocamento das paredes
de domínio.
2. Rotação da orientação conjunta de todos os momentos de um domínio,
no sentido da orientação do campo externo, processo chamado de rotação
de domínio.
Uma representação esquemática de ambos os fenômenos mencionados
acima pode ser observada na figura 2.11 a seguir.
FIGURA 2.11 – Deslocamento de paredes e rotação de domínios magnéticos
22
O processo de magnetização de um material ferromagnético é normalmente
representado por uma curva denominada de “curva de magnetização”. Na figura
2.12 a seguir apresenta-se uma curva típica, sendo os dois mecanismos de
movimento dos domínios magnéticos indicados na sua parte correspondente da
curva.
FIGURA 2.12 – Curva de Magnetização Inicial
2.1.9 Curva de Magnetização
As propriedades dos materiais ferromagnéticos e de suas ligas representamse geralmente por meio de curvas de magnetização, assim como a ilustrada na
figura 2.14 apresentada na seqüência.
De acordo com comentários de Almeida (2003), os dados utilizados para
traçar estas curvas podem ser obtidos da seguinte maneira: as peças de ensaio de
material magnético se constróem em forma de anel, com uma seção transversal em
centímetro quadrado, e um comprimento médio de trajetória magnética em
centímetro, sendo, sobre estes anéis, enroladas uniformemente espiras de fio
23
isolado, medindo-se por meio de instrumento especial, como o gaussímetro, o fluxo
resultante para diversos valores da corrente de excitação.
Para ilustrar o processo de obtenção da curva de magnetização acima
descrito, considere-se a montagem da figura 2.13, que consiste de um núcleo
ferromagnético, um amperímetro, um voltímetro e uma fonte de tensão ajustável.
I
Fe
A
V
e
SFe
FIGURA 2.13 – Montagem para obtenção da curva de magnetização
FONTE: ALMEIDA, Á. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
Pode-se levantar a curva de magnetização ajustando a tensão e medindo a
corrente I . Porém, embora seja mais fácil medir tensão e corrente, é mais
conveniente desenhar a curva de magnetização em função dos campos B e H , de
acordo com as relações (2.31) e (2.32) a seguir:
NI = H .
B=
Φ
S
Fe
→H =
NI
(2.31)
Fe
(2.32)
Na prática, H é medido indiretamente por meio de corrente, e B pode ser
medido por meio de um “gaussímetro”, resultando no gráfico da figura 2.14 a seguir.
24
B (T)
B
C
A
H (A/m)
FIGURA 2.14 – Curva B-H medida por “gaussímetro”
FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
Como pode ser observado na figura 2.14 acima, a curva de magnetização
pode ser dividida nas três regiões ilustradas. Primeiramente apresenta um
andamento retilíneo (A), logo em seguida se curvam para a direita, formando um
“cotovelo” (B), e finalmente atingem a região de saturação (C) a qual possui
pequena inclinação.
A curva de magnetização tradicionalmente apresenta, no seu eixo das
abcissas, a grandeza da intensidade de campo magnético H e, nas ordenadas, o
valor da magnetização M ou da densidade de fluxo B . Esta curva se inicia no
estado de desmagnetização, com H = 0. Elevando-se a intensidade de campo
gradativamente, nota-se que uma elevação de H não traz mais uma elevação de
B . Esse é o estado de saturação em que, apesar de elevarmos a corrente I ou o
número de espiras N (ou o produto de ampère-espiras), não haverá disponibilidade
de maior indução magnética. A figura 2.15 a seguir apresenta algumas curvas
típicas.
25
G
16000
12000
8000
B
4000
0
0,4
0,6
0,8
O
H
FIGURA 2.15 - Exemplo de curvas de magnetização
1 – Ferro puro; 2 – Permalloy; 3 – Ferro tecnicamente puro; 4 – Níquel;
5 – Liga 26 Ni + 74 Fe.
FONTE: SCHIMIDT, W. Materiais Elétricos, 1979.
Logo, conhecendo-se a curva de B = f ( H ) , e como a variação entre
ambos é a própria variação de permeabilidade
µ (pois B = µ .H ), podemos traçar a
curva de variação de H = f ( µ ) , dada na figura 2.16; no caso, para dois exemplos
de materiais magnéticos, um do ferro, e outro da liga permalloy. A permeabilidade
inicial do material é indicada por
µ i , que se apresenta na condição de H = 0. No
outro oposto, a permeabilidade máxima
µ max , perante o estado de saturação.
26
G/O
100000
max
50000
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
O
H
FIGURA 2.16 – Variação entre a permeabilidade (µ) e a intensidade do campo magnético (H).
A – Ferro puro; B – liga Permalloy.
FONTE: SCHIMIDT, W. Materiais Elétricos, 1979.
2.1.10 Histerese Magnética
A histerese pode ser definida como o fenômeno que causa o atraso de B
em relação a H ou M , de modo que a curva de magnetização dos campos quando
estes aumentam ou diminuem, não seja a mesma. O ciclo traçado pela curva de
magnetização é chamado de “Ciclo de Histerese” (PLONUS, 1978).
O laço de histerese, conforme já mencionado anteriormente, é obtido a partir
da curva de magnetização. Uma vez atingido o estado de saturação, podemos
diminuir a tensão no circuito em análise para tentar desmagnetizar o material.
Observa-se, então que os valores de B assim obtidos, não coincidem com os
valores inicias da curva. Chegando-se a H = 0, não teremos B = 0, o valor de B = 0
será obtido para um certo valor negativo de H . Repetindo-se o processo com
27
valores de H na orientação contrária, obteremos uma repetição do fenômeno,
formando-se o denominado laço de histerese.
Almeida (2003) destaca que, “curiosamente, a desmagnetização não se dá
pelo mesmo caminho da magnetização, resultando em uma curva que ”volta por
trás”. Do grego “voltar atrás”, esse fenômeno é denominado “histerese””.
Na figura 2.17 a seguir é ilustrada a curva completa de histerese para um
material ferromagnético genérico.
FIGURA 2.17 – Ciclo de Histerese
FONTE: SEARS, F.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D. Fisica 3 – Eletricidade e Magnetismo. 1984.
A seguir apresenta-se uma descrição mais detalhada para o ciclo de
histerese, utilizando como base a figura 2.17.
Se a corrente de magnetização no enrolamento de um anel não
magnetizado for constantemente aumentada, a relação de B e H segue a curva
Oab . Se agora a corrente for diminuída até que o ponto c seja atingido, B é muito
28
maior do que a, ainda que H seja o mesmo.
Quando a corrente diminui até zero, H é nulo e atinge-se o ponto d . Mas
neste ponto d , B não é zero, o material fica magnetizado mesmo na ausência de
corrente magnetizante, tornando-se, assim, um magneto permanente. De fato, B
não vai a zero, senão quando H inverte o seu sentido e atinge o ponto f .
Quando H torna-se maior na direção invertida, atinge-se o ponto g e o
material aproxima-se de magnetização de saturação, na direção invertida. À medida
que H decresce para zero e, em seguida, aumenta na direção original, segue-se a
trajetória ghib , sendo assim obtido o ciclo completo da histerese.
Cabe mencionar que, o campo de indução magnética B , que permanece
depois que o material foi magnetizado até a saturação, e tendo-se em seguida
reduzida a zero a intensidade magnética H , é chamado de ”magnetismo residual ou
remanente”, e encontra-se denotado por Br na figura 2.17. Já o campo reverso H ,
necessário para reduzir B a zero, indicado na figura 2.17 por H c , é chamado
”campo coercivo ou coercividade”. Sendo assim, pode-se afirmar que, o campo
coercitivo é o campo capaz de anular o magnetismo residual, ou seja, desmagnetizar
completamente o material.
Uma conseqüência significativa do fenômeno de histerese é a dissipação de
energia de materiais ferromagnéticos, cada vez que forem levados a percorrer seu
ciclo de histerese. Pode-se mostrar que a energia dissipada, por unidade de volume,
em cada ciclo, é proporcional à área delimitada pelo ciclo de histerese, sendo
caracterizada desta forma as perdas por histerese no material ferromagnético.
29
2.2 MATERIAIS MAGNÉTICOS
Segundo a física, os materiais encontrados na natureza, ou fabricados,
podem, conforme a suas propriedades magnéticas e facilidade de magnetização,
pertencer magneticamente a três grupos distintos, que são respectivamente:
materiais ferromagnéticos, paramagnéticos ou diamagnéticos.
Os materiais ferromagnéticos, quando colocados num campo magnético,
orientam-se na direção do campo e ficam fortemente magnetizados. Já os materiais
paramagnéticos também se orientam paralelamente ou na direção do campo, porém,
magnetizam-se fracamente, não apresentando efeitos ponderáveis. Finalmente nos
diamagnéticos os fenômenos magnéticos são reduzidos e nestes tipos de materiais
os momentos magnéticos serão antiparalelos com o campo externo aplicado.
Materiais diamagnéticos são aqueles que apresentam uma permeabilidade
relativa pouco menor do que 1 ( µ r < 1), e uma suscetibilidade negativa ( χ < 0),
sendo que, o valor numérico desta grandeza
χ desses materiais é muito pequena.
Pode-se citar, como exemplo desse grupo, gases inertes, alguns tipos de óleos
resinas, alguns metais (cobre, bismuto, gálio, ouro, etc.), bem como grafita.
De acordo com Menezes (1981, p. 24), “O diamagnetismo é uma
propriedade que ocorre no átomo de estrutura eletrônica simétrica e que não possui
momento magnético permanente”.
Alem disto, Schimidt (1979) explica o diamagnetismo da seguinte maneira:
sob a ação de um campo magnético externo, os elétrons que giram em torno de seu
próprio eixo vão se ajustando, libertando durante esse ajuste um momento
magnético,
dirigido
contrariamente
ao
campo
enfraquecendo-se assim o campo externo aplicado.
de
magnetização
aplicado,
30
Já nos materiais paramagnéticos a susceptibilidade magnética é positiva
( χ > 0), sendo o seu valor numérico novamente de pequena grandeza. No que se
refere à permeabilidade relativa, o seu valor é pouco superior ou igual a 1 ( µ r
1).
Podem-se citar, como exemplos de materiais desse grupo, o alumínio, a platina e
certos sais de ferro, de cobalto e de níquel.
“Os materiais paramagnéticos são caracterizados por átomos que têm um
momento magnético permanente. Os movimentos orbitais dos elétrons e os spins
produzem correntes circulares que são diferentes de zero” (MARTINS, 1975, p. 398).
De acordo com Menezes (1981), os materiais paramagnéticos não
apresentam o fenômeno de histerese, sendo ainda independente do poderio do
campo magnético.
Tanto
os
diamagnéticos
como
os
paramagnéticos
têm
valor
de
permeabilidade relativa em torno da unidade. Não obstante, tanto o diamagnetismo
quanto o paramagnetismo são efeitos que só persistem enquanto o campo externo
estiver sendo aplicado.
Pierre Curie mostrou que a susceptibilidade, em certas substâncias
diamagnéticas, é independente da temperatura, mas nos materiais paramagnéticos
ela varia com a temperatura, sendo que em ambos os casos não dependem do
campo magnético (MENEZES, 1981).
Ainda segundo comentários de Menezes (1981), o estudo dos materiais
diamagnéticos e paramagnéticos pode ser considerado importante para a
determinação cientifica da natureza da matéria. Além disso, sob o ponto de vista
técnico ainda não foram assinalados os valores que lhes seriam conferidos, sendo
que em alguns casos, tentou-se usá-los para a separação do ferro na lavagem de
minério.
31
Passa-se agora a descrever o terceiro grupo, composto pelos materiais
ferromagnéticos, o qual é considerado o mais importante para as aplicações
elétricas, pois são usados na construção da maioria das máquinas elétricas,
transformadores e dispositivos eletromagnéticos, e assim sendo, será mais
amplamente discutido.
Koltermann (2001, p.13) comenta a respeito dos materiais ferromagnéticos:
”as razões para seu uso tão amplo estão relacionados ao fato do grande fluxo que
pode ser estabelecido e controlado pela aplicação de uma pequena força
magnetomotriz”.
Nos materiais ferromagnéticos a grandeza da susceptibilidade
χ é um valor
elevado, podendo alcançar valores da ordem de 105. No que se refere à
permeabilidade relativa, o seu valor também é muito superior a 1 ( µ r >> 1), variando
em função da relação entre indução magnética B e a intensidade do campo H
podendo chegar a ordem de 106, que é o caso de algumas ligas de ferro (BASTOS,
1992).
Segundo comentários de Almeida (2003),
os materiais ferromagnéticos,
respondem fortemente à aplicação de um campo externo, implicando em
permeabilidades magnéticas que podem alcançar centenas ou milhares de vezes
maiores do que a do ar. Podem se incluir nesse grupo os seguintes materiais: ferro,
níquel, cobalto, gadolínio, entre outros. Ainda, conforme este mesmo autor, os três
primeiros são os mais utilizados na construção de ligas magnéticas e o gadolínio tem
algumas aplicações como elemento de contraste em equipamentos de ressonância
nuclear magnética.
Segundo
comentários
de
Martins
(1975,
p.
398),
“nos
materiais
ferromagnéticos, devido ao alinhamento no interior do material, estes produzem um
32
campo magnético, mesmo em ausência de campo externo”.
De acordo com Bastos (1992), é interessante notar que, se um material
ferromagnético estiver em um ambiente aquecido, e se a temperatura for
suficientemente elevada e ultrapassar um valor crítico, denominado de “temperatura
de Curie”, este material passa de ferromagnético a paramagnético. Cada material
apresenta a sua própria temperatura de Curie.
Almeida
(2003)
afirma
que,
“outra
característica
dos
materiais
ferromagnéticos é a presença de magnetismo residual, ou seja, um campo
magnético que permanece após a remoção do campo externo”.
Por outro lado, em função das características permeabilidade e força
coercitiva, os materiais para a indústria elétrica podem ser divididos em dois grupos:
- materiais de alta permeabilidade e baixa força coerciva, ou denominados
de materiais “magneticamente moles”.
- materiais de alta força coerciva, em que a permeabilidade não é uma
característica importante, chamados materiais “magneticamente duros” ou “ímãs
permanentes”.
A força coercitiva mencionada anteriormente pode ser obtida a partir da curva
de histerese do material, o que já foi anteriormente descrito no tópico 2.1.10. A figura
2.18 a seguir apresenta uma descrição suscinta dos principais materiais utilizados
em equipamentos eletromagnéticos, e identificam-se alguns exemplos destes
materiais.
33
MATERIAIS PARA FINS ELETROMAGNÉTICOS
MATERIAIS MAGNETICAMENTE
MOLES
Suas características principais são:
- baixa força coerciva;
- alta permeabilidade.
•
•
•
Ligas de ferro-silício
Ligas de ferro-níquel
Ligas de ferro-cobalto
MATERIAIS MAGNETICAMENTE
DUROS OU IMÃS PERMANENTES
Suas características principais são:
- alta força coerciva;
- a permeabilidade não é uma
característica importante.
•
•
Aços martensíticos
Ligas endurecíveis por
precipitação
FIGURA 2.18 – principais Materiais utilizados para fins eletromagnéticos.
Na seqüência apresenta-se uma descrição resumida das características
principais e peculiaridades de cada um dos materiais mencionados acima.
Considerou-se desnecessário apresentá-los aqui com maior riqueza de detalhes,
pois não se constitui no objetivo principal desta pesquisa.
2.2.1 Materiais Magneticamente Moles
Segundo comentários de Bastos (1992), os materiais magneticamente moles
são aqueles que, depois de retirado o campo magnético neles aplicado, não
guardam uma indução dita “remanente” significativa. São materiais ditos de
“passivos” à presença de campo magnético, pois caso o campo externo varie em
módulo ou direção, o mesmo ocorrerá com o campo no interior deste material, sem
praticamente nenhum efeito de retardo.
De acordo com Chiaverini (1986), o ferro puro pode ser, comumente
34
considerado, o material ferromagnético “ideal”, porém, oferece uma baixa
resistividade elétrica, assim sendo, não é aconselhado o uso em circuitos de
corrente alternada, pois, para esta aplicação, a curva de histerese deve ser bastante
afilada, do modo a absorver o mínimo de energia durante a magnetização e
desmagnetização, que são aproximadamente 75% de todas as aplicações industriais
de materiais magnéticos; no entanto, adicionando-se elementos de liga ao ferro, sua
resistividade elétrica aumenta; sendo assim, o material torna-se apropriado para o
emprego em corrente alternada.
O silício age nesse sentido, do mesmo modo que o alumínio. No entanto, o
níquel e o cobalto são os outros metais utilizados como elementos de adição ao
ferro.
2.2.1.1 Liga ferro – silício
Conforme comentários de Schimidt (1979), as chapas de ferro-silício
resultam de um acréscimo de silício ao ferro, já que o silício possui propriedades
isolantes; consegue-se, portanto, um material com uma adequada resistência
elétrica, o que ocasiona uma diminuição das perdas. Desta forma, o acréscimo de
silício possibilita eliminar o carbono, como também, a eliminação de oxigênio de uma
forma quase total, e sendo assim, consegue-se aumentar a permeabilidade inicial, a
diminuição da força coercitiva, como também, a diminuição das perdas por histerese.
Na seqüência apresenta-se a tabela 2.1 com os distintos teores de silício
utilizados, que podem variar de 0,25 a 4,75%, assim como também suas
características e emprego.
35
TABELA 2.1 – Propriedades físicas e magnéticas de chapas Fe-Si.
Teor
aproxim.
de
silício, %
Perda do Perda do
Tipo ou marca
Limite de
núcleo
núcleo
Resistividade
Alongamento
resistência à
Emprego
máxima
máxima
(
-cm)
em 2” (%)
2
(W/lb em (W/kg em
tração (kgf/mm )
60 ciclos) 60 ciclos)
0,25-0,30
“Campo”
1,61
5,1
28
-
-
(1)
0,50-0,60
“Armadura”
1,30
3,4
28
31,0
25
(2)
1,25-1,50
“Elétrico”
1,17
3,7
44
35,0
22
(3)
2,50-2,75
“Motor”
1,01
2,5
44
47,5
14
(4)
2,75-3,25
“Dínamo”
0,82
2,1
50
-
-
(5)
3,25-3,50
“Hipersil”
0,82
2,1
50
49,0
12
(6)
3,60-4,00 “Transformador 72”
0,72
1,58
52
56,0
8
(7)
0,65
1,43
58
50,5
6
(7)
0,58
1,27
60
53,0
5
(7)
0,52
1,15
65
49,0
2
(7)
FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986.
Conforme a última coluna da tabela 2.1, os empregos desses materiais são:
(1)
motores fracionários de baixo custo, para uso intermitente;
(2)
motores fracionários e peças polares e outros circuitos magnéticos de
alta permeabilidade;
(3)
motores e geradores de melhor qualidade, transformadores pequenos
para uso intermitente, relés e reatores;
(4)
motores e geradores de eficiência média; transformadores pequenos e
reatores;
(5)
motores
e
geradores
de
alta
eficiência
e
tamanho
médio;
transformadores de uso intermitentes, reatores, medidores elétricos, peças
polares laminadas;
(6)
transformador de alta eficiência para redes de distribuição (fabricante:
Westinghouse Electric Corp.);
(7)
todos os tipos de transformadores, para redes de distribuição e
máquinas elétricas de elevada eficiência (fabricante: Armco Steel Corp.).
36
2.2.1.2 Ligas ferro – níquel
Segundo Schimidt (1979), em presença de uma baixa intensidade de campo,
as ligas de ferro-níquel proporcionam uma elevada permeabilidade. Uma das ligas
ferromagnéticas mais conhecidas, é a liga com 70 a 90% de níquel e o restante
ferro; dita liga recebe o nome de permalloy; no entanto, possui uma resistência
elétrica baixa, o que aumenta a circulação de correntes parasitas.
De acordo com Chiaverini (1986), comumente estas ligas são aplicadas em
instrumentos elétricos, circuitos telefônicos, transmissores, aparelhos de rádio, relés,
bobinas, blindagens magnéticas e outros fins. Ainda de acordo com este mesmo
autor, para se obter um melhoramento das propriedades magnéticas dessas ligas,
realiza-se o seu recozimento em hidrogênio puro seco entre 1.000 e 1.200 oC,
durante várias horas; desta forma, diminui-se os teores de carbono, enxofre e
oxigênio. Na tabela 2.2 a seguir encontram-se as ligas de ferro-níquel com os seus
diferentes teores.
TABELA 2.2 – Ligas Fe-Ni magneticamente moles
Composição, %
Denominação
Fe
Ni
Permalloy 45
54
Permalloy 78
Outros
Característicos
Permeabilidade Permeabilidade Saturação Resistividade
elementos
Inicial (G/O)
máxima (G/O)
4 Is (G)
45
-
2.500
25.000
16.000
50
21
78
-
8.000
100.000
10.000
16
Permalloy 4-79
16
79
4 Mo
20.000
80.000
8.700
57
Hipernik
50
50
-
4.000
80.000
16.000
35
Mumetal
18
78
2 Cr, 5 Cu
20.000
110.000
7.200
60
Supermalloy
15
79
5 Mo
100.000
800.000
8.000
60
(
-cm)
37
2.2.1.3
Ligas ferro-cobalto
Schimidt (1979), comenta que, o ponto elevado de saturação (máxima
intensidade de magnetização) é a característica fundamental dessa liga, que gira em
volta dos 25 kG (2,5 T), proporcionando-se assim valores um pouco superiores às
ligas de ferro-silício. No entanto, essa característica alcança seu máximo valor com
cerca de 34,5% de cobalto. Comumente são utilizados as ligas dos tipos:
- hiperco, com 35% de cobalto: utilizado nos mesmos empregos das ligas
FeSi, especificamente em aplicações com motores de alta densidade de fluxo e em
transformadores;
- permendur, com 50% de cobalto: têm restrita sua aplicação a circuitos
telefônicos, a eletromagnetos de corrente contínua e aplicações análogas.
2.2.2 Materiais Magneticamente Duros
Segundo Bastos (1992), são os materiais que conservam uma indução
remanente significativa, por um tempo suficientemente longo, uma vez extinto o
campo externo sobre o material aplicado, sem alterá-lo sensivelmente ante
mudanças de temperatura e ação de forças mecânicas, ao contrário dos moles.
Entretanto, Schimidt (1979) comenta que os materiais
duros são
denominados igualmente de ímãs permanentes. Seu laço de histerese deve ser
largo e bastante alto, e não precisa-se preocupar com a energia absorvida pelo
núcleo, pois o regime de operação não é contínuo. Tais materiais são predominante
aços carbonos de textura fina e ligas sem carbono que sofrem tratamento térmico.
Os materiais empregados são:
38
- aços martensíticos, ou seja, no estado temperado, ou também chamados
aços carbonos;
- ligas endurecíveis por precitipação, ou ligas sem carbono.
2.2.2.1 Aço martensíticos ou aços carbonos
De acordo com Chiaverini (1986), estes materiais apresentam alto carbono,
de 0,70 a 1,00%, e devem ser temperados. A adição de elementos de liga que
formem carbonetos estáveis, os quais agem como centros de deformação do
reticulado, melhora as propriedades magnéticas.
Chiaverini (1986, p. 274) afirma que, “se um aço com 1,14% de carbono
apresenta um produto, ( BH )máx = 0,18x106, adicionando-se 5 a 6% de tungstênio,
o valor desse produto sobe para 0,34x106.”
Ainda segundo Chiaverini (1986, p. 274), “o cromo pode substituir o
tungstênio e um aço com 5% de cromo e 1,0% de carbono, temperado em óleo, dá
um produto ( BH )máx = 0,28x106.”
Segundo Schimidt (1979), o aço cobalto pode ser outro tipo de aço-carbono
usado nessa aplicação, que, se bem possui características melhores aos anteriores,
é também de mais elevado preço. Assim sendo, o cobalto influi consideravelmente
sobre o magnetismo residual, Br , e sobre o ponto de saturação; adicionando-se
cromo, tungstênio, molibdênio, magnésio e outros, a indução remanente e a força
coercitiva devem se elevar ainda mais.
39
2.2.2.2 Ligas endurecíveis por precipitação ou ligas sem carbono
São essencialmente ligas de ferro, níquel e alumínio, com adição de cobre e
outros metais.
Segundo comentários de Chiaverini (1986), a tabela 2.3 apresenta
determinadas ligas endurecíveis por precipitação; destaca-se que nelas acontece a
precipitação de uma fase, o qual provoca o estado de tensões internas, que são,
assim, necessárias para que a matriz de ferro alfa proporcione alta remanência e
alta força coerciva. Portanto, elas devem ser solubilizadas, temperadas e revenidas.
TABELA 2.3 – Ligas endurecíveis por precipitação para ímãs permanentes.
Composição (%)
Propriedades Magnéticas
Tipo de liga
Mo
Co
Ni
Ti
W
Hc
Br
(oested)
(gauss)
(B.H) máx
(gauss
.oested)
6
Fe – Mo – Co
17
12
-
-
-
250
10.500
1,1x10
Fe – W – Co
-
24
-
-
27
149
9.600
1,4x106
23,4
-
-
-
-
219
7.000
1,5x106
-
30
16
12
-
920
6.350
2,0x10
Fe – Mo
Fe – Co – Ni –Ti
6
Ainda de acordo com Chiaverini (1986), outras ligas importantes para ímãs
permanentes são os chamados “Alnicos”, conforme são apresentadas na tabela 2.4;
tais ligas são primeiramente solubilizadas ou homogeneizadas a 1.200 oC, e em
seguida temperadas e envelhecidas a 650 oC. Os Alnicos caracterizam-se por serem
duros, frágeis e dificilmente usináveis; desta forma as peças de Alnico ou são
fundidas na sua forma definitiva ou são produzidas por metalurgia do pó.
40
TABELA 2.4 – Tipos de Alnico para ímãs permanentes
Composição, (%)
Propriedades Magnéticas
Liga
Al
Ni
Co
Outros
Fe
Rest
(B.H)máx. Observação
(gauss.
Hc
Br
(oested)
(gauss)
440
7.200
1,4x10
6
Duro e frágil
Duro e frágil
oested)
Alnico I
12
20
5
-
Alnico II
10
17
12,5
6 Cu
rest.
550
7.200
1,6x106
Alnico II
10
17
12,5
6 Cu
rest.
520
6.900
1,4x10
Alnico III
12
25
-
-
rest.
450
6.700
1,38x106
Alnico IV
12
28
5,0
-
rest.
700
5.500
1,3x10
6
Duro e frágil
Alnico V
8
14
24
3 Cu
rest.
550
12.500
4,5x10
6
Duro e frágil
8
15
24
3 Cu
rest.
750
10.000
3,5x106
Duro e frágil
rest.
950
5.800
1,5x10
6
Duro e frágil
.
6
Duro
(sinterizado)
Alnico VI
Alnico XII
Duro e frágil
1Ti
6
18
35
8 Ti
2.3 CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Analogamente ao circuito elétrico, que é o percurso da corrente elétrica, o
circuito magnético constitui-se no caminho do fluxo magnético. Estes circuitos
magnéticos são normalmente constituídos de uma bobina de N espiras, em cujo
núcleo de ar se coloca comumente material ferromagnético, conforme mostra a
figura 2.19 a seguir:
41
FIGURA 2.19 – Parte de um circuito magnético
Segundo comentários de Magaldi (1961), o mais simples exemplo de circuito
magnético é o denominado enrolamento toroidal, o qual encontra-se ilustrado na
figura 2.20. Neste tipo de circuito as linhas de força ficam totalmente encerradas no
seu volume, pois a permeabilidade do material é muito maior que a permeabilidade
do ar.
FIGURA 2.20 – Enrolamento toroidal
FONTE: MAGALDI, M. Noções de Eletrotécnica, 1961.
Porém, segundo comentários de Martin-Artajo (1964), para se obter o fluxo
magnético no volume disponível, da forma mais econômica e favorável possível,
utilizam-se materiais ferromagnéticos formados por um circuito fechado com
algumas descontinuidades - entreferro de ar ou de um fluido - que possibilitem o
movimento das peças mecânicas entre as quais é exercida a ação energética
desejada. Na figura 2.21 a seguir ilustra-se um circuito magnético deste tipo.
42
SFe
g
I
Sg
Fe
FIGURA 2.21 – Circuito magnético com entreferro
Para a produção do fluxo magnético é necessária uma força magnetomotriz,
simbolizada por fmm , que é i gual a N .I , que é medida pelo trabalho realizado
para transportar uma unidade de massa magnética em torno de um circuito
magnético fechado. Esta força magnetomotriz, pode ser constante ou variável no
tempo. Nesta pesquisa, optou-se por limitar o estudo ao caso dos circuitos com
f.m.m de regime constante ou “quase-estático”. Na seqüência apresentam-se os
principiais conceitos utilizados na resolução de problemas envolvendo circuitos
magnéticos deste tipo.
Em dispositivos magnéticos operando em baixa freqüência, na faixa de 5060 Hz, a radiação eletromagnética é usualmente desprezível. Podemos, então,
formular soluções simplificadas para as equações de Maxwell, que serão
denominadas de soluções “quase-estáticas”.
Por exemplo, considere um indutor de N espiras percorrido por uma
corrente de intensidade I . A lei de Ampère poderá ser escrita como:
43
H .dl = N .I ,
(2.33)
C
no qual C é um caminho fechado que passa pelo centro das espiras. A
equação (2.33) é formalmente idêntica à equação da lei de Faraday,
e = E .dl = −
C
dΦ
dt
(2.34)
Onde e é a força eletromotriz induzida pela variação temporal do fluxo
magnético
Φ.
A analogia entre as leis de Faraday e Ampère também mostra que o fluxo
magnético é uma grandeza análoga à corrente elétrica. Da mesma forma, haverá um
análogo magnético da resistência elétrica, que será denominada de “relutância
magnética” e pode ser entendida como a resistência à passagem do fluxo
magnético. A relutância é denotada por ℜ e seu inverso é denominado “permeância
magnética”, denotada por
P. A tabela 2.5 a seguir, resume vários pontos da
“analogia eletromagnética”.
TABELA 2.5. – “Equivalência” entre circuitos elétrico e magnético
Circuito Elétrico
Circuito Magnético
corrente elétrica – I (A)
fluxo magnético – Φ (Wb)
força eletromotriz – e (V)
força magnetomotriz − ℑ = NI (Ae)
R (Ω)
relutância magnética – ℜ (H-1)
condutância elétrica – G (S)
permeância magnética – P (H)
resistência elétrica –
Condutividade elétrica –
σ (S/m)
permeabilidade magnética –
µ (H/m)
campo elétrico – E (V/m)
campo magnético H – (Ae/m)
lei de Ohm – e = R .I
lei de Ampère ℑ = ℜ.Φ
44
Supondo um circuito magnético de caminho médio
e área de seção reta
S , a relutância total pode ser escrita como,
ℜ=
µ .S
,
(2.35)
Um circuito eletromagnético e um circuito elétrico série são ilustrados na
figura 2.22.
FIGURA 2.22 – A) Circuito eletromagnético
FONTE: DEL TORO, V. Electromechanical Devices for Energy Conversion and Control Systems,
FIGURA 2.22 – B) Circuito elétrico
FONTE: DEL TORO, V. Electromechanical Devices for Energy Conversion and Control Systems,
45
A relutância do ferro será,
ℜ Fe =
Fe
(2.36)
µ Fe S Fe
enquanto a relutância do entreferro será,
ℜg =
g
µ0S g
(2.37)
Uma aproximação útil, muitas vezes, é desprezar a relutância do ferro frente
à relutância do ar. Assim, toda a relutância do circuito magnético estará concentrada
no entreferro.
Φg ≅
ℑ
=
ℜg
µ 0 ℑ.S g
ℑ
=
g
g
µ0 S g
(2.38)
A indução magnética no entreferro será dada pela equação (2.39) abaixo:
Bg =
Φg
Sg
=
µ 0 .ℑ.S g
g .S g
= µ0
ℑ
g
(2.39)
A relação acima, representada pela equação (2.39), mostra claramente que
entreferros estreitos resultarão em maiores induções magnéticas. Entreferros largos
diminuirão a indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) por causa do
aumento da dispersão de fluxo, como mostrado na figura 2.23 abaixo.
dispersão (ou “espraiamento
do fluxo magnético”.
FIGURA 2.23 – Dispersão do fluxo magnético
46
2.3.1 Perdas em Circuitos Eletromagnéticos
Consideremos um circuito magnético de comprimento magnético médio
e
de seção magnética média S , no qual há um enrolamento de N espiras envolvidas
por uma corrente magnetizante I .
O rendimento ou eficiência deste conjunto é afetado pelas perdas de
potência que se verificam tanto no enrolamento de fio, comumente
de cobre,
quando no circuito magnético propriamente dito. Assim, as perdas totais Pt podem
ser expressas conforme a equação (2.40) a seguir.
Pt = Pfio + Pferro
(2.40)
As perdas no enrolamento serão dadas pela equação (2.41) abaixo.
P fio = R .I 2 (watts)
onde R é a resistência do enrolamento, dada em
(2.41)
.
Na seqüência apresentam-se as determinações das perdas no ferro
ocasionadas pela histerese magnética e por correntes parasitárias.
2.3.1.1 Perdas por histerese ( Ph )
Quando um material ferromagnético é sujeito a uma magnetização alternada
há uma perda de energia que se transforma em calor e que é, por unidade de
volume, proporcional à área do ciclo de histerese cada vez que este é percorrido.
A potência perdida será proporcional à freqüência da corrente magnetizante.
Por outro lado, a área do ciclo é aproximadamente proporcional ao valor máximo da
47
indução magnética atingida Bm elevado a uma potência que depende das
características do material ferromagnético e do numero de ciclos de histerese
desenvolvidos por unidade de tempo.
Estas perdas podem, então, ser calculadas, através da expressão (2.42)
abaixo:
Ph = kh . f .Bmx ;
(2.42)
onde:
Ph = perdas por histerese;
Bm = indução magnética máxima;
f = freqüência histerética;
kh e x = constantes que dependem essencialmente da qualidade do
material ferromagnético.
2.3.1.2 Perdas por correntes parasitas (Foucault) ( P f )
A circulação de corrente alternada em enrolamentos cujos núcleos são de
material ferromagnético, dá origem a correntes circulantes na própria massa do
material, conseqüentes a forças eletromotrizes induzidas nessa mesma massa.
Estas correntes serão responsáveis pelo consumo de potência e calor no material
ferromagnético, de acordo com a lei de Joule.
Uma maneira de se atenuar o desenvolvimento destas correntes de Foucault
ou parasitas é não empregar núcleos maciços nos aparelhos de corrente alternada,
e sim usar núcleos ferromagnéticos formados por lâminas de espessura reduzida
(ordem de frações de milímetros), de material de alta resistividade, além de um
48
isolamento elétrico entre elas. As chapas laminadas são dispostas de modo a reduzir
as forças eletromotrizes induzidas e as respectivas intensidades das correntes.
Em um certo volume de material ferromagnético situado em um campo
magnético alternado e formado de chapas laminadas, tem-se que:
- a força eletromotriz induzida na chapa é proporcional à espessura d da
chapa, ao valor máximo Φ m do fluxo e à freqüência f ;
2
- a perda por efeito Joule ( I R ) nas chapas é proporcional ao quadrado da
espessura “d”, ao quadrado da indução magnética máxima Bm e ao quadrado da
freqüência f ;
- a perda total é proporcional ao volume do conjunto de chapas V .
Desta forma, as perdas para sistemas laminados, devido às correntes
parasitas, pode ser obtida através da expressão (2.43) a seguir:
2 2 2
Pf = ke.Bm
.f .d .V
(2.43)
onde:
Bm = indução magnética máxima;
f = freqüência da fonte alternativa;
d = espessura da cada lâmina;
V = volume do material ferromagnético;
ke =
constate
determinável
experimentalmente,
dependendo
evidentemente da resistividade do material ferromagnético.
Destaca-se que, as considerações acima apresentadas, aplicam-se apenas
a núcleos de chapas delgadas e não a núcleos maciços, nos quais as correntes de
Foucault podem distorcer fortemente o fluxo magnético.
49
2.4 MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS
O problema do ajuste de curvas consiste em dado um conjunto de pontos
tabelados (x, y), tentar obter uma função que seja uma “boa aproximação” para os
valores tabelados e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança.
De acordo com Campos (1983), a técnica mais comumente utilizada para se
conseguir um melhor ajuste de curvas é o método dos mínimos quadrados, e, sendo
assim, o mesmo foi o escolhido para ser utilizado neste trabalho.
Neste método o objetivo é o de obter estimativas para os parâmetros da
função de ajuste das curvas de modo que os desvios ou resíduos sejam mínimos.
Para se aplicar o método dos mínimos quadrados, é necessário que se efetue uma
linearização
do
problema
através
de
alguma
transformação
conveniente
(RUGGIERO E LOPES, 1996).
A descrição detalhada dos procedimentos efetuados para a obtenção das
funções de ajuste das curvas analisadas neste estudo, através da aplicação do
método dos mínimos quadrados, é apresentada no item 3.2.
2.5 MÉTODO ITERATIVO
Segundo Ruggiero e Lopes (1996), um método iterativo consiste de uma
seqüência de instruções que são executadas “passo a passo”, algumas das quais
são repetidas em ciclos, sendo que a execução de um ciclo recebe o nome de
iteração. Na aplicação desta técnica, cada iteração utiliza resultados das iterações
anteriores, e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um
resultado “próximo o suficiente” do resultado esperado.
50
Ainda conforme estes mesmos autores, observa-se que os métodos
iterativos fornecem apenas uma aproximação para a solução, enquanto os métodos
diretos, teoricamente, obtêm a solução exata da equação.
Os métodos iterativos para o refinamento da aproximação inicial para a raiz
exata podem ser colocados num diagrama de fluxo, conforma mostra a figura 2.24.
INÍCIO
DADOS INICIAS
CÁLCULOS INICIAS
k= 1
CALCULAR A NOVA
APROXIMAÇÃO
ESSA APROXIMAÇÃO ESTÁ
“PROXIMA O SUFICIENTE”
SIM
CÁLCULOS
FINAIS
DA RAIZ EXATA?
FIM
NÃO
CÁLCULOS INTERMEDIÁRIOS
k = k+1
FIGURA 2.24 – Fluxograma dos métodos iterativos.
FONTE:
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico. Aspectos Teóricos e
Computacionais, 1988.
Destaca-se que neste trabalho será necessário utilizar um método iterativo,
pois o problema a ser resolvido é do tipo uma equação a uma incógnita. A seguir
51
apresenta-se uma descrição resumida dos principais métodos de iteração
estudados.
2.5.1 Método Iterativo de Gauss-Seidel
A forma como o método de Gauss-Seidel transforma o sistema linear Ax = b
em x = Cx + g é a seguinte (RUGGIERO E LOPES, 1996):
Tomemos o sistema linear original
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
e supondo aii
(2.44)
0, i = 1, ..., n; isolemos o vetor x mediante a separação pela
diagonal; assim:
x1 = 1/a11 (b1 – a12x2 – a13x3 – ... – a1nxn)
x2 = 1/a22 (b2 – a21x1 – a23x3 – ... – a2nxn)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x3 = 1/ann (bn – an1x1 – an2x2 – ... - an,n-1xn-1)
Desta forma temos x = Cx + g onde:
(2.45)
52
-a12 / a11
-a13 / a11 .......
-a1n / a11
-a21 / a22
0
.
.
.
.
.
.
-an1 / ann -an2 / ann
-a23 / a22 .......
.
.
.
-an3 / ann .......
-a2n / a22
0
C=
.
.
.
(2.46)
0
e
b1 / a11
b2 / a22
g=
.
.
.
bn / ann
(2.47)
O processo iterativo do método de Gauss-Seidel consiste em, sendo x
uma aproximação inicial, calcular x
(1)
, x (2), ..., x (k), ...., por:
x1( k +1 ) =
1
( b1 − a12 x 2( k ) − a13 x 3( k ) − .... − a1n x n( k ) )
a11
x 2( k +1 ) =
1
( b2 − a 21 x1( k +1 ) − a 23 x 3( k ) − .... − a 2n x n( k ) )
a 22
x 3( k +1 ) =
1
( b3 − a 31 x1( k +1 ) − a 32 x 2( k +1 ) − a 34 x 3( k ) .... − a 3n x n( k ) )
a 33
.
.
.
x n( k +1 ) =
(0)
1
( bn − a n1 x1( k +1 ) − a n 2 x 2( k +1 ) − .... − a n ,n −1 x n( k−1+1 ) )
a nn
(2.48)
53
Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular
xj(k+1) usamos todos os valores de x1(k+1), ...., xj-1(k+1) que já foram calculados e os
(k)
(k)
valores xj+1 , ...., xn
restantes.
2.5.2 Método de Newton-Raphson
É um método iterativo, e um dos mais usados e eficientes. A diferença de
outros métodos é que este não trabalha com um intervalo, mas se baseia em sua
fórmula no processo iterativo.
Suponhamos que temos a aproximação xi a raíz xr de f(x).
FIGURA 2.25 - Método Newton-Raphson
Traçamos a reta tangente a curva no ponto (xi, f(xi)); esta cruza o eixo “x”
no ponto xi+1 que será nossa próxima aproximação à raiz.
Para calcular o ponto xi+1, calculamos primeiro a equação da reta tangente.
Sabemos que:
m = f’(xi);
(2.49)
54
e, portanto a equação da reta tangente é:
Y – f(xi) = f’ (xi) (x – xi)
(2.50)
Fazendo y = 0
- f(xi) = f’(xi) (x – xi)
(2.51)
e isolando x:
x = xi - f(xi) / f’(xi) ,
(2.52)
que é a fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular a seguinte
aproximação:
xi+1= xi - f(xi) / f’(xi), desde que f’(xi) ≠ 0
(2.53)
Note que o método de Newton-Raphson não trabalha com intervalos no qual
se assegure que encontrar-se-á a raiz; e, de fato, não se tem nenhuma garantia de
que aproximar-se-a da tal raiz. Entretanto, existem exemplos no qual este método
não converge para a raiz. Em tal caso se diz que o método diverge. No entanto, nos
casos onde se converge à raiz, o faz com uma rapidez impressionante; por isso é
um dos métodos preferidos por excelência.
Também observa-se que, se f’(xi) = 0, o método não pode ser aplicado. De
fato, vemos geometricamente que isto significa que a reta tangente é horizontal, e,
portanto, não intercepta o eixo “x” em nenhum ponto, a menos que coincida com
este, em cujo caso xi mesmo é uma raiz de f(xi).
55
2.5.3 Método da Secante
O método da secante é um método iterativo baseado no método de NewtonRaphson, tendo como principal diferença o fato que no método de Newton-Raphson
precisa-se calcular a derivada da função a ser resolvida e, no da secante, não é
necessário a realização desta etapa.
Considerando esta vantagem de não ser necessário o cálculo da derivada,
optou-se por adotar este método para resolução do problema proposto neste
trabalho, sendo que o mesmo será descrito detalhadamente no item 3.3.1.
Neste trabalho foi necessário a utilização de método iterativo para a
resolução de problemas de circuitos magnéticos, onde se têm como dados a
corrente, o número de espiras, e as equações das curvas ajustadas dos materiais
que compõem o circuito em análise, obtendo-se como resultado o fluxo magnético.
Considerando que o problema em questão depois de devidamente equacionado se
resume a um problema do tipo, uma equação a uma incógnita, a solução do mesmo
não poderá ser obtida de forma direta, e sim através da realização de um processo
iterativo, até se obter o resultado desejado.
56
3 METODOLOGIA
3.1 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA
Basicamente, a resolução de circuitos magnéticos construídos com materiais
ferromagnéticos, envolve 2 tipos de problemas conforme especificado anteriormente.
Nesta seção faremos referência à metodologia para a resolução dos problemas onde
se conhece a corrente elétrica e se deseja conhecer o fluxo magnético por métodos
iterativos, onde se arbitra valores iniciais para B e se vai refinando a solução até a
convergência a um erro previamente especificado.
Considerando que temos os dados básicos, corrente I , número de espiras
N , área S , comprimento
e tipo do material.
Como o valor do fluxo magnético
Φ não pode ser determinado diretamente
porque deve ser conhecida a relutância de parte do circuito magnético, os quais só
podem ser conhecidos quando a densidade do fluxo é conhecido, o que significa que
o fluxo deve ser inicialmente conhecido, o que é claramente impossível.
Verifica-se então que, com os dados fornecidos, é possível obter a força
magnetomotriz ℑ , pois a mesma pode ser obtida com base na corrente I e do
número de espiras N , que são dados neste tipo de problema, conforme é
apresentado na equação (3.1) a seguir:
ℑ = N .I ,
onde:
ℑ é dado em ampère-espiras;
N é dado em espiras;
I é dado em ampère.
(3.1)
57
Além disto, esta força também pode ser expressa em função da somatória
do produto entre a intensidade do campo magnético H e o comprimento
de cada
material que compõe o circuito em estudo, como mostra a equação (3.2) abaixo:
ℑ=
n
Hi .
i =1
(3.2)
i
onde:
H i é dado em ampère-espiras/metro;
i
é dado em metro;
i representa cada material que compõe o circuito.
Por sua vez a intensidade do campo magnético H , possui uma relação com
a indução magnética B , dada pela seguinte equação H = B /
µ . Porém, neste tipo
de problema a ser resolvido, o valor de B não é diretamente conhecido.
Contudo, este conjunto de pontos ( B , H ) pode também ser obtido através
da denominada curva de magnetização de materiais ferromagnéticos. Esta curva
pode ser matematicamente ajustada através do método dos mínimos quadrados,
fornecendo, então, uma equação H = f ( B ) . O detalhamento da metodologia
utilizado para o ajuste de curva será feito no item 3.2 a seguir.
Uma vez obtida a relação H = f ( B ) , através do ajuste da curva de
magnetização de cada material que compõe o circuito em estudo, é possível
substituir o valor de H
na equação de (3.2) pelas respectivas equações
H i = f ( Bi ) , resultando a expressão (3.3) a seguir:
ℑ=
n
i =1
[H i
= f (Bi )].
i
(3.3)
58
onde B é dado em tesla (ou Wb/m2)
Como se sabe, a indução magnética B pode ser expressa pela relação em
função do fluxo magnético
Φ , dada pela equação Bi = Φ / S i . Então, substituindo
esta relação na equação (3.3), obtém-se a expressão (3.4):
ℑ=
n
i =1
Hi = f
Φ
Si
.
(3.4)
i
onde:
Φ é dado em weber;
S i é dado em metro quadrado.
Finalmente, substituindo a equação (3.1) na relação (3.4) acima, e igualando
a mesma zero, obtém-se a expressão a seguir:
0=
n
i =1
Hi = f
Φ
Si
.
i
− ( N .I )
(3.5)
Observa-se que todas as variáveis que compõem esta equação são dados
conhecidos no problema, com exceção do fluxo magnético
Φ . Portanto, tem-se o
seguinte problema a ser resolvido: uma equação a uma incógnita. Considerando
isto, a solução deste problema não poderá ser obtida de forma direta, e sim através
da realização de um processo iterativo, até se obter o resultado desejado.
Neste trabalho optou-se em utilizar o método da secante para realizar as
iterações necessárias para resolver o problema em questão. A aplicação deste
método será melhor explanada na seqüência.
Destaca-se que a equação (3.5) é válida para o caso em que o circuito
magnético a ser resolvido é composto por diferentes materiais ferromagnéticos.
Porém, caso o circuito seja composto por um ou mais materiais ferromagnéticos,
59
mais um entreferro, esta equação passa a ter um formato pouco diferente como
mostrado a seguir:
0=
n
i =1
Hi = f
Φ
Si
.
i
+
Φ
.
S g µ0
g
− (N .I )
(3.6)
onde:
S g é a área do entreferro, dado em metro quadrado;
g é o comprimento do entreferro, dado em metro;
µ o é o coeficiente de permeabilidade do ar, cujo valor é 4 .10-7 H/m.
Nota-se que no caso da equação (3.6) a única variável desconhecida é
também o fluxo magnético
Φ . Logo, a solução da mesma deverá ser obtida através
da utilização de um método iterativo, como no caso anterior.
3.2 METODOLOGIA PARA O AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
Para a obtenção da equação H = f ( B ) de um material ferromagnético,
deve-se partir de um conjunto de n pontos ( H , B ) que correspondem à curva de
magnetização fornecida pelo fabricante do material. De posse desses pontos, e
dependendo do modelo matemático da curva desejada, ajustam-se os coeficientes
pelo método dos mínimos quadrados.
Visando obter o melhor ajuste possível para a representação da curva de
magnetização na forma H = f ( B ) dos materiais estudados, foram testados
diversos modelos matemáticos, tais como polinomial de diversos graus, logarítmico,
exponencial, hiperbólico, entre outros. Após a realização de várias tentativas,
60
concluiu-se que os métodos mais adequados para o ajuste das curvas em estudo
resultaram ser o polinomial de diversos graus e o exponencial. Considerando isto, a
seguir, é apresentada de maneira resumida a descrição destes dois modelos
matemáticos utilizados neste estudo.
3.2.1 Método Polinomial
A seguir descreve-se resumidamente o procedimento algébrico para a
aproximação polinomial pelo método dos mínimos quadrados (CAMPOS, 1983).
Seja a função H = f ( B ) uma função de grau n dada por valores
tabelados e H = P( B ) a função polinomial de grau m a ser ajustada, dada por:
P( B ) = a 0 + a1 .B + a 2 .B 2 + ... + a m −1 .B m −1 + a m .B m
(3.7)
Sendo m < n.
Os coeficientes a i (i = 0, 1, 2, ....m) devem ser determinados de tal
modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é:
d j = f ( B j ) − P( B j )
(3.8)
e
Z=
n
j =0
d 2j =
n
( f ( B j ) − P( B j )) 2 = mínima
(3.9)
j =0
ou
Z=
n
( f ( B j ) − ( a 0 + a1 B j + a 2 B 2j + ... + a m B mj )) 2 = mínima
j =0
(3.10)
61
onde Z é uma função das ( m + 1 ) variáveis independentes a i .
De acordo com a teoria dos máximos e mínimos, os valores ai que tornam
mínima a função Z são aqueles que anulam suas derivadas parciais primeiras e
tornam positivas suas derivadas parciais segundas, isto é:
∂Z
=
∂a 0
∂Z
=
∂a1
n
( −2 )B 0j ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 .B j + a 2 .B 2j + ... + a m .B mj )) = 0
j =0
n
j =0
∂Z
=
∂a 2
n
j =0
.
.
.
∂Z
=
∂a m
n
( −2 )B mj ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 .B j + a 2 .B 2j + ... + a m .B mj )) = 0
(3.11)
j =0
Desenvolvendo e fazendo k = i = 0, 1, 2, ...m, podemos escrever o sistema
anterior, como segue:
n
j =0
B kj ( f ( B j ) − ( a 0 + a1 B j + a 2 B 2j + ... + a m B mj )) = 0
(3.12)
ou
a0
n
j =0
B kj + a1
n
j =0
B kj +1 + a 2
n
j =0
B kj + 2 + ... + a m
n
j =0
B kj + m =
n
j =0
B kj . f ( B j )
onde, para cada valor de k, temos uma equação do sistema.
(3.13)
62
É esta, portanto, a expressão genérica de um sistema normal simétrico de
( m + 1 ) equações lineares, cuja solução conduz aos valores de a i (i = 0, 1, 2, ...m)
que tornam mínima a função Z .
O cálculo numérico envolvido na realização dos somatórios pode ser
sistematicamente arranjado na forma tabular seguinte:
TABELA 3.1 – Cálculos envolvidos no somatório
B 0j
B1j
B 2j
...
B 0j f ( B j )
B1j f ( B j )
B 2j f ( B j )
...
1
B0
B02
…
H0
B0 H 0
B02 H 0
…
1
B1
B12
…
H1
B1 H 1
B12 H1
…
1
B2
B22
…
H2
B2 H 2
B22 H 2
…
.
.
.
.
1
n
j =0
B 0j
Bn
n
j =0
B1j
Bn2
n
j =0
Hn
…
B 2j ...
n
j =0
B 0j f ( B j )
Bn2 H n
Bn H n
n
j =0
B1j f ( B j )
n
j =0
B 2j f ( B j ) ...
FONTE: CAMPOS, L. B. Cálculo Numérico, 1983.
3.2.2 Método Exponencial
A seguir apresenta-se a seqüência de cálculo para o ajustamento
exponencial pelo método dos mínimos quadrados (CAMPOS, 1983).
Seja a função H = f ( B ) uma função do tipo exponencial dada por valores
tabelados e H = P( B ) a função exponencial a ser ajustada, dada por:
P( B ) = a 0 .e a1 .B
(3.14)
63
na qual a 0 e a1 são constantes a determinar de maneira apropriada aos
dados.
Para este tipo de função, o ajuste será feito transformando-a em um
polinômio de primeiro grau com o auxílio de logaritmos decimais, como segue:
log f ( B ) = log .a 0 + a1 .B
(3.15)
Basta agora, resolver o sistema incompatível:
log f ( Bi ) = log .a 0 + a1 .Bi ,
(3.16)
com i = 0, 1, 2, .... n, isto é:
log f ( B0 ) = log .a 0 + a1 .B0
log f ( B1 ) = log .a 0 + a1 .B1
log f ( B 2 ) = log .a 0 + a1 .B 2
.
.
.
log f ( B n ) = log .a 0 + a1 .B n
3.3 METODOLOGIA UTILIZADA PARA A REALIZAÇÃO
(3.17)
DO
PROCESSO
ITERATIVO
3.3.1 Método da Secante
Os princípios teóricos deste método foram baseados no método de NewtonRaphson, diferindo do mesmo somente na forma da função de iteração.
64
O que o método de Newton-Raphson faz, na tentativa de garantir e acelerar
a convergência do processo iterativo, é utilizar uma função de interação
ϕ ( B ) dada
pela seguinte expressão (RUGGIERO E LOPES, 1996):
ϕ( B ) = B −
f(B)
f '( B )
(3.18)
Como pode ser observado, no método de Newton-Raphson, a função de
iteração é composta pela derivada f '( B ) da equação a ser resolvida, o que
constitui uma grande desvantagem, pois resulta necessário obter f '( B ) e calcular
seu valor numérico a cada iteração.
O que o método da Secante faz, de tal forma a contornar este problema, é
substituir a derivada f '( B k ) pelo quociente das diferenças:
f '( Bk ) ≈
f ( Bk ) − f ( Bk −1 )
Bk − Bk −1
(3.19)
onde Bk e Bk −1 são duas aproximações para a raiz.
Então, no método da secante, a função de iteração fica (RUGGIERO E
LOPES, 1996):
ϕ( Bk ) = Bk −
Bk −
f ( Bk )
=
f ( B k ) − f ( B k −1 )
B k − B k −1
f ( Bk )
( B k − B k −1 )
f ( B k ) − f ( B k −1 )
ou ainda:
(3.20)
(3.21)
65
ϕ ( Bk ) =
B k −1 f ( B k ) − B k f ( B k −1 )
f ( B k ) − f ( B k −1 )
(3.22)
Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de
Newton-Raphson, as condições para a convergência do método são praticamente as
mesmas; acrescenta-se ainda que o método pode divergir se f ( B k ) ≈ f ( B k −1 ) .
A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do
método de Newton-Raphson (RUGGIERO E LOPES, 1996).
66
4 RESULTADOS
Os resultados deste estudo foram divididos em 2 seções. Primeiramente
serão apresentados os resultados obtidos no processo de ajuste das curvas de
magnetização dos materiais considerados neste caso. Logo depois, será
apresentado o programa computacional confeccionado para facilitar a resolução do
problema sobre circuito magnético proposto, onde se conhece a corrente elétrica e
se deseja conhecer o fluxo magnético, através da utilização de método iterativo.
4.1 AJUSTES DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetização dos seguintes
materiais ferromagnéticos: aço fundido, aço-silício, liga ferro-níquel. Estes materiais
foram escolhidos devido à disponibilidade de suas respectivas curvas de
magnetização. Cabe mencionar que uma das dificuldades encontradas no princípio
da elaboração deste projeto foi a obtenção das curvas a serem modeladas.
Inicialmente procurou-se conseguir estas curvas junto a fabricantes deste
tipo de materiais, através da realização de diversos contatos telefônicos e por meio
de correio eletrônico, porém, não houve nenhum retorno favorável. Também foram
realizadas pesquisas na internet, acessando-se os acervos eletrônicos de várias
universidades, não sendo obtido um resultado satisfatório considerando as
condições requeridas. Optou-se, então, em utilizar as curvas que estivessem
disponíveis na literatura. Novamente neste caso encontraram-se dificuldades, pois a
maioria das curvas apresentadas na literatura se encontra em tamanhos muito
pequenos ou em escalas inadequadas, não possuindo as condições necessárias e
67
suficientes para a obtenção gráfica, e de maneira correta, do conjunto de pontos que
serão utilizados como base para o ajuste matemático destas curvas.
Finalmente, após intensa pesquisa, logrou-se encontrar umas curvas que
reunissem as condições mínimas para a sua utilização. Nas figuras a seguir
apresentam-se estas curvas, as quais foram utilizadas para a obtenção gráfica do
conjunto de pontos a serem ajustados por modelos matemáticos.
FIGURA 4.1 – Curvas B-H utilizadas (H < 400 A/m)
FONTE: EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo, 1981.
68
FIGURA 4.2 – Curvas B-H utilizadas (H > 400 A/m)
FONTE: EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo, 1981.
Uma vez obtido graficamente o conjunto de pontos ( B , H ) da figura acima
apresentada, para cada material selecionado (aço fundido, aço-silício, liga ferroníquel), procedeu-se a realização do ajuste das respectivas curvas. Neste estudo,
optou-se por fazer o ajuste invertendo os eixos da curva de magnetização, de tal
forma a obter equações em que o campo magnético H fique em função da indução
magnética B , ou seja, H = f ( B ) .
O ajuste de cada uma destas 3 curvas foi realizado pelo método dos
mínimos quadrados, sendo cada curva novamente dividida em alguns trechos de tal
forma a se obter um melhor ajuste aos pontos graficamente obtidos. A seguir
apresenta-se a seqüência de cálculo executada para a obtenção da equação relativa
69
ao primeiro trecho da curva de magnetização do material aço fundido.
Neste caso, o modelo matemático que melhor se ajustou aos pontos
graficamente obtidos foi o polinomial de 2ºgrau, tendo-se obtido um coeficiente de
2
2
determinação R igual a 0,99989953. Ou seja, R
1, indicando que a equação
obtida possui uma excelente correlação com os pontos que a deram origem.
Dada a função H = f ( B ) pelos valores tabelados seguintes:
TABELA 4.1 – Conjunto de pontos (B, H) obtidos graficamente
B (T)
0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50
H (A/m) 185
B (T)
193 202,5 212
221
228
238 247,5 257
266
276
0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70
H (A/m) 285
295
305
315
325
335
347 357,5 368
380
Partindo da equação de polinômio de 2o grau:
H = a 0 + a1 .B + a 2 .B 2
Obtém-se o sistema incompatível:
P (0,30) ≅ 185,0 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2
P (0,32) ≅ 193,0 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2
P (0,34) ≅ 202,5 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2
P (0,36) ≅ 212,0 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2
P (0,38) ≅ 221,0 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2
P (0,40) ≅ 228,0 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2
P (0,42) ≅ 238,0 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2
P (0,44) ≅ 247,5 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2
(4.1)
70
P (0,46) ≅ 257,0 = a0 + 0,46.a1 +0,2116.a2
P (0,48) ≅ 266,0 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2
P (0,50) ≅ 276,0 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2
P (0,52) ≅ 285,0 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2
P (0,54) ≅ 295,0 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2
P (0,56) ≅ 305,0 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2
P (0,58) ≅ 315,0 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2
P (0,60) ≅ 325,0 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2
P (0,62) ≅ 335,0 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2
P (0,64) ≅ 347,0 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2
P (0,66) ≅ 357,5 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2
P (0,68) ≅ 368,0 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2
P (0,70) ≅ 380,0 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2
(4.2)
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
a0
n
j =0
B kj + a1
n
j =0
onde
ou
n
B kj +1 + a 2
j =0
B kj + 2 + ...... + a m
n+1 = 21 e
m+1 =3
n = 20 e
m = 2,
n
j =0
B kj + m =
n
j =0
B kj .H j
(4.3)
obtém-se o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0,1,2:
a0
20
j =0
B 0j + a1
20
j =0
B 1j + a 2
20
j =0
B 2j =
20
j =0
B 0j .H j
71
a0
a0
20
j =0
20
j =0
B 1j + a1
B 2j + a1
20
j =0
20
j =0
B 2j + a 2
B 3j + a 2
20
j =0
20
j =0
B 3j =
B 4j =
20
j =0
20
j =0
B 1j .H j
B 2j .H j
(4.4)
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
TABELA 4.2 – Cálculos envolvidos no somatório
20
j =0
=
B 0j
B 1j
1
0,30
1
B 2j
B 3j
B 4j
B 0j H j
B1j H j
B 2j H j
0,0900 0,027000
0,00810000
185,0
55,50
16,6500
0,32
0,1024 0,032768
0,01048576
193,0
61,76
19,7632
1
0,34
0,1156 0,039304
0,01336336
202,5
68,85
23,4090
1
0,36
0,1296 0,046656
0,01679616
212,0
76,32
27,4752
1
0,38
0,1444 0,054872
0,02085136
221,0
83,98
31,9124
1
0,40
0,1600 0,064000
0,02560000
228,0
91,20
36,4800
1
0,42
0,1764 0,074088
0,03111696
238,0
99,96
41,9832
1
0,44
0,1936 0,085184
0,03748096
247,5
108,90
47,9160
1
0,46
0,2116 0,097336
0,04477456
257,0
118,22
54,3812
1
0,48
0,2304 0,110592
0,05308416
266,0
127,68
61,2864
1
0,50
0,2500 0,125000
0,06250000
276,0
138,00
69,0000
1
0,52
0,2704 0,140608
0,07311616
285,0
148,20
77,0640
1
0,54
0,2916 0,157464
0,08503056
295,0
159,30
86,0220
1
0,56
0,3136 0,175616
0,09834496
305,0
170,80
95,6480
1
0,58
0,3364 0,195112
0,11316496
315,0
182,70
105,9660
1
0,60
0,3600 0,216000
0,12960000
325,0
195,00
117,0000
1
0,62
0,3844 0,238328
0,14776336
335,0
207,70
128,7740
1
0,64
0,4096 0,262144
0,16777216
347,0
222,08
142,1312
1
0,66
0,4356 0,287496
0,18974736
357,5
235,95
155,7270
1
0,68
0,4624 0,314432
0,21381376
368,0
250,24
170,1632
1
0,70
0,4900 0,343000
0,24010000
380,0
266,00
186,2000
21
10,5
5,558
1,78260656
5838,5
3068,34 1694,952
3,087
72
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
21a0 + 10,5a1 + 5,558a2 = 5838,50
(4.5)
10,5a0 + 5,558a1 + 3,087a2 = 3068,34
(4.6)
5,558a0 + 3,087a1 + 1,7826a2 = 1694,952
(4.7)
Resolvendo este sistema, obtém-se:
a0 = 75,7788
a1 = 315,0037
a2 = 169,0547
Por conseguinte, o polinômio de 2o grau resultante será:
H ≅ P (B) = 75,7788 + 315,0037B + 169,0547B2
(4.8)
Para os demais trechos da curva do material aço fundido, assim como para
os trechos das curvas dos outros 2 materiais estudados (aço-silício e liga ferroníquel), o ajuste foi realizado seguindo o mesmo procedimento, sendo a seqüência
de cálculos dos mesmos apresentados no apêndice A.
Na tabela 4.3 a seguir apresenta-se o resumo das equações que obtiveram
o melhor ajuste possível para as curvas estudadas, em cada um dos trechos
definidos, assim como o intervalo de validade de cada uma destas equações e o seu
respectivo coeficiente de correlação. Neste caso, a validade das equações refere-se
ao intervalo da variável indução magnética B , cuja unidade está dada em Tesla,
para o qual cada equação deve ser aplicada.
73
TABELA 4.3 – Equações H = f (B) ajustadas para os materiais estudados
Material Trecho
Aço
Equação
Validade de
B (tesla)
1
H = 75,7788 + 315,0037B + 169,0547B2
0,30 – 0,70
2
H = 77,438923453.e2,24549176471.B
0,71 – 1,35
Fundido
H = 4397527,71927261 - 12102789,8476676B +
3
12494276,3349834B2 – 5735318,50263342B3 +
1,36 – 1,64
988439,644250259B4
1
Aço
Silício
2
3
H = 42,0797325318 + 66,7465516057B –
130,353109319B2 + 189,152874234B3
H = -13623,8893419 + 39254,338514B –
37614,401836B2 + 12150,3071265B3
H = 0,00435948960721.e8,87301525055.B
0,30 – 1,00
1,01 – 1,35
1,36 –1,60
H = -0,103507768172 + 6,42724180862B +
1
99,5502341747B2 – 252,138896127B3 +
0,30 – 0,90
194,761521740B4
Ferro-
2
Níquel
H = 0,0860897915722535.e6,44612127051.B
0,91 – 1,43
H = 90093554,9665743 – 249495796,175507B +
3
259102236,825694B2 – 119595454,935834B3 +
20702515,7313797B
4
1,44 – 1,54
4
H = 1,54
1,54 – 1,54
Nas figuras a seguir apresentam-se as curvas ajustadas para cada material
estudado, assim como os pontos obtidos graficamente da literatura.
74
1,8
1,6
1,4
B (Tesla)
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
5.500
6.000
H (A/m)
Curva ajustada
Pontos obtidos graficamente
FIGURA 4.3 – Curva de magnetização – Aço fundido.
1,8
1,6
1,4
B (Tesla)
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
H (A/m)
Curva ajustada
FIGURA 4.4 – Curva de magnetização – Aço-silício.
5.500
6.000
6.500
7.000
75
1,8
1,6
1,4
B (Tesla)
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
5.500
6.000
H (A/m)
Curva ajustada
FIGURA 4.5 – Curva de magnetização – Liga ferro-níquel.
4.2 PROGRAMA COMPUTACIONAL.
Nesta seção apresenta-se o algoritmo do programa computacional
concebido de tal forma a automatizar a resolução do problema em questão, para o
qual resulta necessário a execução de um processo iterativo. O software Visual
Basic for Applications, do Excel foi utilizado para o desenvolvimento deste programa,
pois a mesma constitui-se numa ferramenta bastante acessível e de fácil aplicação,
sendo uma das linguagens mais utilizadas na atualidade. Além disto, será
apresentado também um exemplo numérico utilizando o programa computacional
desenvolvido, de tal forma a ilustrar a sua aplicabilidade.
4.2.1 Algoritmo do Programa Computacional em “Visual Basic”
Na figura 4.6 apresenta-se o algoritmo que ilustra a seqüência do programa
computacional desenvolvido visando automatizar a resolução do problema proposto.
76
Dados de Entrada:
N, I, l k, Sk, H(i,k) = f[(B(i,k)] da curva B-H.
onde: k = 1, 2, 3 (tipos de materiais)
i = 1, 2, 3 (trechos em que a curva B-H foi ajustada)
Força magnetomotriz (f.m.m.):
ℑ = N .I
Fluxo Magnético ( ) e Indução Magnética (B) - Valores Inicias:
1
B1,k =
=0;
Φ1
Sk
2
=1
; B2,k =
Φ2
Sk
Equações bases para o processo iterativo:
F1 =
F2 =
3
{H (i,k ) = f [B1,k (i,k )]× k } − N .I
k =1
3
{H (i ,k ) = f [B2,k (i,k )]× k } − N .I
k =1
onde i = trecho 1 para todos os materiais no primeiro processo
iterativo, podendo variar na seguinte etapa em função da
validade da equação de cada trecho de cada material.
Equação de Iteração:
Φ'=
[(Φ1 × F2 ) − (Φ2 × F1)]
(F2 − F1)
B'
k =
F'=
Φ'
Sk
k =3
{H (i ,k ) = f [B'(i,k )]×
k =1
Φ1 = Φ 2
Φ 2 = Φ'
não
k
− N .I }
F'< 0,00001
sim
B'
k obtidos estão dentro do
intervalo de validade das
equações H = f(B) utilizadas
Substituir H(i,k) = f[B(i,k)]
não pela equação ajustada
para o trecho subseqüente
sim
Cálculo dos Dados de Saída:
; Bk ; Hk ;
k
Apresentação dos Resultados
Fim
FIGURA 4.6 – Algoritmo relativo ao programa computacional desenvolvido.
77
4.2.2 Exemplo Numérico da Aplicação do Programa Computacional
Para exemplicar a aplicação do programa computacional desenvolvido,
apresenta-se a seguir a resolução de um circuito magnético composto por um núcleo
com três materiais ferromagnéticos, conforme ilustrado na figura 4.7 a seguir. Já nas
figuras 4.8 e 4.9 apresentam-se as caixas de entrada de dados e de saída dos
resultados, os quais fazem parte do programa computacional desenvolvido,
preenchidas respectivamente com as informações relativas ao exemplo numérico
proposto para ser resolvido.
Fe− Ni = 0,3m
R
E
+
I=0,8A
Aço− Fundido
= 0,2m
N=100
S = 0,001m2
Aço − Si
FIGURA 4.7 – Circuito magnético proposto para ser resolvido
= 0,1m.
78
FIGURA 4.8 – Entrada de Dados do programa
FIGURA 4.9 – Saída de Resultados do programa
79
5 CONCLUSÃO
O estudo das curvas B-H mostrou-se bastante interessante, pois trata-se de
um assunto abordado e utilizado em diversas disciplinas do curso, tais como
Eletromagnetismo e Conversão Eletromecânica. A visão mais prática adquirida ao
longo deste trabalho, agregada aos conhecimentos teóricos, facilitará o uso
profissional dos conceitos estudados.
Quanto às dificuldades encontradas na realização deste estudo, cabe
mencionar que não foi fácil encontrar curvas B-H que reunissem as condições
necessárias para a sua utilização. Como o contato com fabricantes de materiais
magnéticos não teve sucesso, optou-se, então, por utilizar os dados de gráficos
encontrados na literatura.
Na seqüência fez-se o ajuste das curvas selecionadas para o estudo. Esta
etapa foi bastante trabalhosa, utilizando-se para o ajuste de curvas o método dos
mínimos quadrados. Uma vez realizado os ajustes das curvas, o trabalho incluiu o
desenvolvimento de um programa computacional que possibilitasse a resolução do
problema proposto, para o qual resulta necessário a aplicação de um método
iterativo. Este programa foi implementado utilizando o software Visual Basic for
Applications, do Excel.
Considera-se que a solução apresentada é de grande relevância,
principalmente para ser utilizada em aplicações didáticas, pois o que se encontra
mais freqüentemente na literatura são estudos que adotam técnicas mais
complexas, como a dos elementos finitos, cujo emprego requer um conhecimento
profundo de modelagem matemática.
Finalmente, os algoritmos apresentados permitirão a extensão para
80
trabalhos futuros. A partir das curvas de magnetização modeladas, por exemplo,
pode-se construir curvas de histerese e, a partir delas analisar numericamente a
distorção de conteúdo harmônico produzida por um núcleo ferromagnético.
81
6 REFERÊNCIAS
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Universidade Federal de Santa Catarina, 1992.
BOCCHETTI,
Paulo;
MENDEL,
Carlos
Alberto.
Eletromagnetismo. Exped, Rio de Janeiro, 1979. 193p.
Eletrodinâmica
e
CAMPOS, Ladislau B. Cálculo Numérico. 1a Edição, Vol. 2. 1983. 455p.
CHIAVERINI, Vicente, Tecnologia Mecânica. 2 a Edição, 1986.388p.
DEL TORO, Vincent. Electromechanical Devices for Energy Conversión and
Control Systems. Prentice-Hall, INC. New Jersey. 611p.
EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Mc Graw Hill, 1981. 232p.
FITZGERALD, A.E; KINGSLEY, C. Kusko, A. Máquinas Elétricas – Conversão
Eletromecânica de Energia, Processos, Dispositivos e Sistemas. Makron Books,
São Paulo, 1993.
GRAY, Alexander; WALLACE, G. A. Eletrotécnica. 7. ed.: Editora Livros Técnicos e
Científicos, 1983.
HALLIDAY, David. Fundamentos de Física. Vol 3. 4. ed.: LTC, 1983.
KOLTERMANN, Paulo Irineu. Cálculo de Campos Magnéticos Considerando
Histerese. Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de
Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2001. 99p.
LEITE, Jean Vianei. Análise De Módulos Diferenciais de Histerese Magnética
Considerando Laços Menores de Indução. Dissertação em Engenharia Elétrica –
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2002. 92p.
NASAR, Syed A. Máquinas Elétricas. Mc Graw Hill, 1984.
82
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Editora Guanabara S. A., Rio de Janeiro.
1988. 638p.
MAGALDI, Miguel. Noções de Eletrotécnica. 2a. Edição. Editora Ao Livro Técnico
S.A., Rio de Janeiro, 1961. 392p.
MARTIN, J. I. Campos Elétricos Y Magnéticos. 1964. 658p.
MARTINS, Nelson. Introdução À Teoria Da Eletricidade E Do Magnetismo. 2a.
edição, editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo, 1975.
MENEZES, Amaury Alves. Eletrotécnica. Editora Livros Técnicos e Científicos,
1981. 348p.
PLONUS, M. A. Applied Eletromagnetics. McGraw Hill, Tóquio, Japan, 1978 .
RUGGIERO, Márcia A. G.; LOPE, Vera L. R. Cálculo Numérico. Mc Graw Hill, Sao
Paulo, 1988. 406p.
SADIKU, Matthew N. O. Elementos de Eletromagnetismo.
Bookman. 2004. 687p.
3ª. Edição. Editora
SCHIMIDT, Walfredo. Materiais Elétricos. 1a. Edição Vol. 2, 1979. 166p.
SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark W.; YOUNG, Hugh D. Física 3 – Eletricidade e
Magnetismo. 2a. Edição, LTC Editora, 1984. 771p.
REITZ, Jonh R.; MILFORD Frederick J.; CHRISTY, Robert W. Fundamentos da
Teoria Eletromagnética. Editora Campos, 1982. 516p.
TERADA, Routo. Introdução à Computação e à Construção de Algoritmos.
Makron Books, 1992
83
APÊNDICE A – AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
84
•
Ajuste de curva do trecho 2 do aço fundido.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T)
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
H (A/m)
380
392,5
410
425
440
465
480
510
535
560
585
B (T)
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12 1,14
H (A/m)
610
645
670
700
735
770
805
840
875
910
955
B (T)
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
H (A/m)
1045
1085
1140
1185
1245
1305
1370
1435
1505 1590 1675
1,34
990
1,36
Partindo da equação exponencial:
H = a0. ea1.B
Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação
exponencial, obtemos o sistema de 34 equações a 2 incógnitas:
ln Hi = ln a0 + a1. Bi
Obtemos o sistema incompatível:
P (0,70) ≅ ln 380,0 = ln a0 + 0,70.a1
P (0,72) ≅ ln 392,5 = ln a0 + 0,72.a1
P (0,74) ≅ ln 410,0 = ln a0 + 0,74.a1
P (0,76) ≅ ln 425,0 = ln a0 + 0,76.a1
P (0,78) ≅ ln 440,0 = ln a0 + 0,78.a1
P (0,80) ≅ ln 465,0 = ln a0 + 0,80.a1
P (0,82) ≅ ln 480,0 = ln a0 + 0,82.a1
85
P (0,84) ≅ ln 510,0 = ln a0 + 0,84.a1
P (0,86) ≅ ln 535,0 = ln a0 + 0,86.a1
P (0,88) ≅ ln 560,0 = ln a0 + 0,88.a1
P (0,90) ≅ ln 585,0 = ln a0 + 0,90.a1
P (0,92) ≅ ln 610,0 = ln a0 + 0,92.a1
P (0,94) ≅ ln 645,0 = ln a0 + 0,94.a1
P (0,96) ≅ ln 670,0 = ln a0 + 0,96.a1
P (0,98) ≅ ln 700,0 = ln a0 + 0,98.a1
P (1,00) ≅ ln 735,0 = ln a0 + 1,00.a1
P (1,02) ≅ ln 770,0 = ln a0 + 1,02.a1
P (1,04) ≅ ln 805,0 = ln a0 + 1,04.a1
P (1,06) ≅ ln 840,0 = ln a0 + 1,06.a1
P (1,08) ≅ ln 875,0 = ln a0 + 1,08.a1
P (1,10) ≅ ln 910,0 = ln a0 + 1,10.a1
P (1,12) ≅ ln 955,0 = ln a0 + 1,12.a1
P (1,14) ≅ ln 990,0 = ln a0 + 1,14.a1
P (1,16) ≅ ln 1045,0 = ln a0 + 1,16.a1
P (1,18) ≅ ln 1085,0 = ln a0 + 1,18.a1
P (1,20) ≅ ln 1140,0 = ln a0 + 1,20.a1
P (1,22) ≅ ln 1185,0 = ln a0 + 1,22.a1
P (1,24) ≅ ln 1245,0 = ln a0 + 1,24.a1
P (1,26) ≅ ln 1305,0 = ln a0 + 1,26.a1
P (1,28) ≅ ln 1370,0 = ln a0 + 1,28.a1
P (1,30) ≅ ln 1435,0 = ln a0 + 1,30.a1
86
P (1,32) ≅ ln 1505,0 = ln a0 + 1,32.a1
P (1,34) ≅ ln 1590,0 = ln a0 + 1,34.a1
P (1,36) ≅ ln 1675,0 = ln a0 + 1,36.a1
Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem:
5,94017125272 = a2 + 0,70.a1
5,97253653722 = a2 + 0,72.a1
6,01615711597 = a2 + 0,74.a1
6,05208916892 = a2 + 0,76.a1
6,08677472691 = a2 + 0,78.a1
6,14203740559 = a2 + 0,80.a1
6,17378610390 = a2 + 0,82.a1
6,23441072572 = a2 + 0,84.a1
6,28226674690 = a2 + 0,86.a1
6,32793678373 = a2 + 0,88.a1
6,37161184723 = a2 + 0,90.a1
6,41345895717 = a2 + 0,92.a1
6,46925031680 = a2 + 0,94.a1
6,50727771239 = a2 + 0,96.a1
6,55108033504 = a2 + 0,98.a1
6,59987049921 = a2 + 1,00.a1
6,64639051485 = a2 + 1,02.a1
6,69084227742 = a2 + 1,04.a1
6,73340189184 = a2 + 1,06.a1
6,77422388636 = a2 + 1,08.a1
6,81344459951 = a2 + 1,10.a1
87
6,86171134048 = a2 + 1,12.a1
6,89770494313 = a2 + 1,14.a1
6,95177216440 = a2 + 1,16.a1
6,98933526597 = a2 + 1,18.a1
7,03878354139 = a2 + 1,20.a1
7,07749805357 = a2 + 1,22.a1
7,12689080890 = a2 + 1,24.a1
7,17395831976 = a2 + 1,26.a1
7,22256601882 = a2 + 1,28.a1
7,26892012819 = a2 + 1,30.a1
7,31654817718 = a2 + 1,32.a1
7,37148929521 = a2 + 1,34.a1
7,42356844426 = a2 + 1,36.a1
a0
n
j= 0
onde
ou
B kj + a 1
n
j =0
B kj +1 + a 2
n
j =0
B kj + 2 + ...... + a m
n+1 = 34
e
m+1 = 2,
n = 33
e
m = 1,
n
j=0
B kj +m =
n
j= 0
B kj .H j
obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1:
a2
a2
33
j= 0
33
j= 0
B 0j + a 1
B 1j + a 1
33
j= 0
33
j= 0
B 1j =
B 2j =
33
j= 0
33
j=0
B 0j H j
B 1jH j
88
B 0j
B 1j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
B 2j
B 0j H j
B 1jH j
0,49 5,940171253 4,158119877
0,52 5,972536537 4,300226307
0,55 6,01615716 4,451956298
0,58 6,052089169 4,599587768
0,61 6,086774727 4,747684287
0,64 6,142037406 4,913629924
0,67 6,173786104 5,062504605
0,71 6,234410726 5,23690501
0,74 6,282266747 5,402749402
0,77 6,327936784 5,56858437
0,81 6,371611847 5,734450663
0,85 6,413458957 5,900382241
0,88 6,469250317 6,081095298
0,92 6,507277712 6,246986604
0,96 6,551080335 6,420058728
1,00 6,599870499 6,599870499
1,04 6,646390515 6,779318325
1,08 6,690842277 6,958475969
1,12 6,733401892 7,137406005
1,17 6,774223886 7,316161797
1,21 6,8134446 7,494789059
1,25 6,86171134 7,685116701
1,30 6,897704943 7,863383635
1,35 6,951772164 8,064055711
1,39 6,989335266 8,247415614
1,44 7,038783541 8,44654025
1,49 7,077498054 8,634547625
1,54 7,126890809 8,837344603
1,59 7,17395832 9,039187483
1,64 7,222566019 9,244884504
1,69 7,268920128 9,449596167
1,74 7,316548177 9,657843594
1,80 7,371489295 9,877795656
1,85 7,423568444 10,09605308
33
j=0
34
35,02 37,3796 226,519766 236,2547077
somatórios, vem:
34a2 +
35,02a1 = 226,519766
35,02a2 + 37,3796a1 = 236,2547077
89
Resolvendo este sistema, temos:
a2 = ln a0 = 4,34948954118 => a0 = 77,438923453
a1 = 2,24549176471
Por conseguinte, a equação ajustada será:
H ≅ P (B) = 77,438923453.e2,24549176471.B
90
•
Ajuste de curva do trecho 3 do aço fundido.
B (T)
H (A/m)
1,36
1,38
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1675 1770 1870 2025 2180 2350 2550 2740
B (T)
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
H (A/m) 2950 3250 3530 3900 4375 5000 5700
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4
P (1,36) ≅ 1675,0 = a0 + 1,36.a1 + 1,8496.a2 + 2,515456.a3 + 3,421020.a4
P (1,38) ≅ 1770,0 = a0 + 1,38.a1 + 1,9044.a2 + 2,628072.a3 + 3,626739.a4
P (1,40) ≅ 1870,0 = a0 + 1,40.a1 + 1,9600.a2 + 2,744000.a3 + 3,841600.a4
P (1,42) ≅ 2025,0 = a0 + 1,42.a1 + 2,0164.a2 + 2,863288.a3 + 4,065869.a4
P (1,44) ≅ 2180,0 = a0 + 1,44.a1 + 2,0736.a2 + 2,985984.a3 + 4,299817.a4
P (1,46) ≅ 2350,0 = a0 + 1,46.a1 + 2,1316.a2 + 3,112136.a3 + 4,543719.a4
P (1,48) ≅ 2550,0 = a0 + 1,48.a1 + 2,1904.a2 + 3,241792.a3 + 4,797852.a4
P (1,50) ≅ 2740,0 = a0 + 1,50.a1 + 2,2500.a2 + 3,375000.a3 + 5,062500.a4
P (1,52) ≅ 2950,0 = a0 + 1,52.a1 + 2,3104.a2 + 3,511808.a3 + 5,337948.a4
P (1,54) ≅ 3250,0 = a0 + 1,54.a1 + 2,3716.a2 + 3,652264.a3 + 5,624487.a4
P (1,56) ≅ 3530,0 = a0 + 1,56.a1 + 2,4336.a2 + 3,796416.a3 + 5,922409.a4
P (1,58) ≅ 3900,0 = a0 + 1,58.a1 + 2,4964.a2 + 3,944312.a3 + 6,232013.a4
P (1,60) ≅ 4375,0 = a0 + 1,60.a1 + 2,5600.a2 + 4,096000.a3 + 6,553600.a4
91
P (1,62) ≅ 5000,0 = a0 + 1,62.a1 + 2,6244.a2 + 4,251528.a3 + 6,887475.a4
P (1,64) ≅ 5700,0 = a0 + 1,64.a1 + 2,6896.a2 + 4,410944.a3 + 7,233948.a4
a0
n
j =0
onde
ou
B kj + a1
n
j =0
B kj +1 + a 2
n
j =0
B kj + 2 + ...... + a m
n+1 = 15
e
m+1 = 5,
n = 14
e
m = 4,
n
j=0
n
B kj +m =
j=0
B kj .H j
obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2,
3, 4:
a0
a0
a0
a0
a0
14
j =0
14
j =0
14
j =0
14
j =0
14
j =0
B 0j + a 1
B 1j + a 1
B 2j + a 1
B 3j + a 1
B 4j + a 1
14
j= 0
14
j= 0
14
j= 0
14
j= 0
14
j=0
B 1j + a 2
B 2j + a 2
B 3j + a 2
B 4j + a 2
B 5j + a 2
14
j=0
14
j= 0
14
j= 0
14
j=0
14
j=0
B 2j + a 3
B 3j + a 3
B 4j + a 3
B 5j + a 3
B 6j + a 3
14
j=0
14
j= 0
14
j=0
14
j=0
14
j =0
B 3j + a 4
B 4j + a 4
B 5j + a 4
B 6j + a 4
B 7j + a 4
14
j =0
14
j =0
14
j =0
14
j =0
14
j =0
B 4j =
B 5j =
B 6j =
14
j= 0
14
j =0
14
j= 0
B 7j= 0 =
B 8j= 0 =
B 0j .H j
B 1j.H j
B 2j .H j
14
j= 0
14
j= 0
B 3j .H j
B 4j .H j
92
B 0j B 1j
B 2j
B 3j
B 4j
B 5j
B 6j
B 7j
B 8j
B 0j H
B 1jH
B 2j H
B 3j H
B 4jH
1
1,36
1,8496
2,515456 3,42102016 4,652587418
6,327518888
8,605425688
11,70337894
1675
2278,0
3098,080
4213,38880
5730,208768
1
1,38
1,9044
2,628072 3,62673936 5,004900317
6,906762437
9,531332163
13,15323839
1770
2442,6
3370,788
4651,68744
6419,328667
1
1,40
1,9600
2,744000 3,84160000 5,378240000
7,529536000
10,54135040
14,75789056
1870
2618,0
3665,200
5131,28000
7183,792000
1
1,42
2,0164
2,863288 4,06586896 5,773533923
8,198418171
11,64175380
16,53129040
2025
2875,5
4083,210
5798,15820
8233,384644
1
1,44
2,0736
2,985984 4,29981696 6,191736422
8,916100448
12,83918465
18,48842589
2180
3139,2
4520,448
6509,44512
9373,600973
1
1,46
2,1316
3,112136 4,54371856 6,633829098
9,685390482
14,14067010
20,64537835
2350
3431,0
5009,260
7313,51960
10677,73862
1
1,48
2,1904
3,241792 4,79785216 7,100821197
10,50921537
15,55363875
23,01938535
2550
3774,0
5585,520
8266,56960
12234,52301
1
1,50
2,2500
3,375000 5,06250000 7,593750000
11,39062500
17,08593750
25,62890625
2740
4110,0
6165,000
9247,50000
13871,25000
1
1,52
2,3104
3,511808 5,33794816 8,113681203
12,33279543
18,74584905
28,49369056
2950
4484,0
6815,680 10359,83360
15746,94707
1
1,54
2,3716
3,652264 5,62448656 8,661709302
13,33903233
20,54210978
31,63484906
3250
5005,0
7707,700 11869,85800
18279,58132
1
1,56
2,4336
3,796416 5,92240896 9,238957978
14,41277445
22,48392813
35,07492789
3530
5506,8
8590,608 13401,34848
20906,10363
1
1,58
2,4964
3,944312 6,23201296 9,846580477
15,55759715
24,58100350
38,83798553
3900
6162,0
9735,960 15382,81680
24304,85054
1
1,60
2,5600
4,096000 6,55360000 10,48576000
16,77721600
26,84354560
42,94967296
4375
7000,0
11200,00 17920,00000
28672,00000
1
1,62
2,6244
4,251528 6,88747536 11,15771008
18,07549033
29,28229434
47,43731683
5000
8100,0
13122,00 21257,64000
34437,37680
1
1,64
2,6896
4,410944 7,23394816 11,86367498
19,45642697
31,90854023
52,33000598
5700
9348,0
15330,72 25142,38080
41233,50451
15
15
22,5
33,862
51,129
77,45099632 117,6974724 179,41489945696 274,32656369808 420,686342943339 45865 70274,1 108000,174 166465,42644 257304,1905528
j=0
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem:
15a0 +
22,5a1 +
33,862a2 +
51,129a3 +
77,45099632a4 =
45865
22,5a0 +
33,862a1 +
51,129a2 +
77,45099632a3 +
117,6974724a4 =
70274,1
33,862a0 +
51,129a1 +
77,45099632a2 +
117,6974724a3 + 179,41489945696a4 =
108000,174
117,6974724a2 + 179,41489945696a3 + 274,32656369808a4 =
166465,42644
51,129a0 + 77,45099632a1 +
77,45099632a0 + 117,6974724a1 + 179,41489945696a2 + 274,32656369808a3 + 420,686342943339a4 = 257304,1905528
93
a0 = 4397527,71927261
a1 = -12102789,8476676
a2 = 12494276,3349834
a3 = -5735318,50263342
a4 = 988439,644250259
Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será:
H ≅ P (B) = 4397527,71927261 - 12102789,8476676B +
12494276,3349834B2 – 5735318,50263342B3 + 988439,644250259B4
94
•
Ajuste de curva do trecho 1 do aço silício.
B (T)
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
H (A/m) 55,00 56,00 57,00 58,00 59,50 60,50 61,625 62,75 63,875
B (T)
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
H (A/m) 65,00 66,667 68,333 70,00 71,667 73,333 75,00 77,50 80,00
B (T)
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
H (A/m) 83,333 86,667 90,00 93,75 97,50 101,25 105,00 109,50 114,00
B (T)
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
H (A/m) 118,50 123,00 128,00 134,00 140,00 147,00 153,00 161,00 167,50
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3
P (0,30) ≅ 55,000 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 + 0,027000.a3
P (0,32) ≅ 56,000 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 + 0,032768.a3
P (0,34) ≅ 57,000 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 + 0,039304.a3
P (0,36) ≅ 58,000 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 + 0,046656.a3
P (0,38) ≅ 59,500 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 + 0,054872.a3
P (0,40) ≅ 60,500 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 + 0,064000.a3
P (0,42) ≅ 61,625 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 + 0,074088.a3
95
P (0,44) ≅ 62,750 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 + 0,085184.a3
P (0,46) ≅ 63,875 = a0 + 0,46.a1 + 0,2116.a2 + 0,097336.a3
P (0,48) ≅ 65,000 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 + 0,110592.a3
P (0,50) ≅ 66,667 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 + 0,125000.a3
P (0,52) ≅ 68,333 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 + 0,140608.a3
P (0,54) ≅ 70,000 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 + 0,157464.a3
P (0,56) ≅ 71,667 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 + 0,175616.a3
P (0,58) ≅ 73,333 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 + 0,195112.a3
P (0,60) ≅ 75,000 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 + 0,216000.a3
P (0,62) ≅ 77,500 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 + 0,238328.a3
P (0,64) ≅ 80,000 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 + 0,262144.a3
P (0,66) ≅ 83,333 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 + 0,287496.a3
P (0,68) ≅ 86,667 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 + 0,314432.a3
P (0,70) ≅ 90,000 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 + 0,343000.a3
P (0,72) ≅ 93,750 = a0 + 0,72.a1 + 0,5184.a2 + 0,373248.a3
P (0,74) ≅ 97,500 = a0 + 0,74.a1 + 0,5476.a2 + 0,405224.a3
P (0,76) ≅ 101,250 = a0 + 0,76.a1 + 0,5776.a2 + 0,438976.a3
P (0,78) ≅ 105,000 = a0 + 0,78.a1 + 0,6084.a2 + 0,474552.a3
P (0,80) ≅ 109,500 = a0 + 0,80.a1 + 0,6400.a2 + 0,512000.a3
P (0,82) ≅ 114,000 = a0 + 0,82.a1 + 0,6724.a2 + 0,551368.a3
P (0,84) ≅ 118,500 = a0 + 0,84.a1 + 0,7056.a2 + 0,592704.a3
P (0,86) ≅ 123,000 = a0 + 0,86.a1 + 0,7396.a2 + 0,636056.a3
P (0,88) ≅ 128,000 = a0 + 0,88.a1 + 0,7744.a2 + 0,681472.a3
P (0,90) ≅ 134,000 = a0 + 0,90.a1 + 0,8100.a2 + 0,729000.a3
96
P (0,92) ≅ 140,000 = a0 + 0,92.a1 + 0,8464.a2 + 0,778688.a3
P (0,94) ≅ 147,000 = a0 + 0,94.a1 + 0,8836.a2 + 0,830584.a3
P (0,96) ≅ 153,000 = a0 + 0,96.a1 + 0,9216.a2 + 0,884736.a3
P (0,98) ≅ 161,000 = a0 + 0,98.a1 + 0,9604.a2 + 0,941192.a3
P (1,00) ≅ 167,500 = a0 + 1,00.a1 + 1,0000.a2 + 1,000000.a3
a0
n
j=0
onde
ou
Bkj + a1
n
j=0
Bkj +1 + a2
n
j=0
Bkj + 2 + ...... + am
n+1 = 36
e
m+1 = 4,
n = 35
e
m = 3,
n
j=0
Bkj + m =
n
j=0
Bkj .Hj
obtemos o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0,
1, 2:
d0
d0
d0
d0
35
j= 0
35
j=0
35
j= 0
35
j= 0
B 0j + d1
B 1j + d1
B 2j + d1
B 3j + d1
35
j= 0
35
j=0
35
j= 0
35
j= 0
B 1j + d 2
B 2j + d 2
B 3j + d 2
B 4j + d 2
35
j =0
35
j= 0
35
j =0
35
j =0
B 2j + d 3
B 3j + d 3
B 4j + d 3
B 5j + d 3
35
j=0
35
j =0
35
j=0
35
j=0
B 3j =
B 4j =
B 5j =
B 6j =
35
j =0
35
j= 0
35
j=0
35
j =0
B 0j .H j
B 1j.H j
B 2j .H j
B 3j .H j
B0j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
B1j
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
B 2j
0,0900
0,1024
0,1156
0,1296
0,1444
0,1600
0,1764
0,1936
0,2116
0,2304
0,2500
0,2704
0,2916
0,3136
0,3364
0,3600
0,3844
0,4096
0,4356
0,4624
0,4900
0,5184
0,5476
0,5776
0,6084
0,6400
0,6724
0,7056
0,7396
0,7744
0,8100
0,8464
0,8836
0,9216
0,9604
1,0000
B 3j
0,027000
0,032768
0,039304
0,046656
0,054872
0,064000
0,074088
0,085184
0,097336
0,110592
0,125000
0,140608
0,157464
0,175616
0,195112
0,216000
0,238328
0,262144
0,287496
0,314432
0,343000
0,373248
0,405224
0,438976
0,474552
0,512000
0,551368
0,592704
0,636056
0,681472
0,729000
0,778688
0,830584
0,884736
0,941192
1,000000
B 4j
0,00810000
0,01048576
0,01336336
0,01679616
0,02085136
0,02560000
0,03111696
0,03748096
0,04477456
0,05308416
0,06250000
0,07311616
0,08503056
0,09834496
0,11316496
0,12960000
0,14776336
0,16777216
0,18974736
0,21381376
0,24010000
0,26873856
0,29986576
0,33362176
0,37015056
0,40960000
0,45212176
0,49787136
0,54700816
0,59969536
0,65610000
0,71639296
0,78074896
0,84934656
0,92236816
1,00000000
B5j
0,0024300000
0,0033554432
0,0045435424
0,0060466176
0,0079235168
0,0102400000
0,0130691232
0,0164916224
0,0205962976
0,0254803968
0,0312500000
0,0380204032
0,0459165024
0,0550731776
0,0656356768
0,0777600000
0,0916132832
0,1073741824
0,1252332576
0,1453933568
0,1680700000
0,1934917632
0,2219006624
0,2535525376
0,2887174368
0,3276800000
0,3707398432
0,4182119424
0,4704270176
0,5277319168
0,5904900000
0,6590815232
0,7339040224
0,8153726976
0,9039207968
1,0000000000
B 6j
0,000729000000
0,001073741824
0,001544804416
0,002176782336
0,003010936384
0,004096000000
0,005489031744
0,007256313856
0,009474296896
0,012230590464
0,015625000000
0,019770609664
0,024794911296
0,030840979456
0,038068692544
0,046656000000
0,056800235584
0,068719476736
0,082653950016
0,098867482624
0,117649000000
0,139314069504
0,164206490176
0,192699928576
0,225199600704
0,262144000000
0,304006671424
0,351298031616
0,404567235136
0,464404086784
0,531441000000
0,606355001344
0,689869781056
0,782757789696
0,885842380864
1,000000000000
B 0jH
55,000
56,000
57,000
58,000
59,500
60,500
61,625
62,750
63,875
65,000
66,667
68,333
70,000
71,667
73,333
75,000
77,500
80,000
83,333
86,667
90,000
93,750
97,500
101,250
105,000
109,500
114,000
118,500
123,000
128,000
134,000
140,000
147,000
153,000
161,000
167,500
B1jH
16,50000
17,92000
19,38000
20,88000
22,61000
24,20000
25,88250
27,61000
29,38250
31,20000
33,33350
35,53316
37,80000
40,13352
42,53314
45,00000
48,05000
51,20000
54,99978
58,93356
63,00000
67,50000
72,15000
76,95000
81,90000
87,60000
93,48000
99,54000
105,78000
112,64000
120,60000
128,80000
138,18000
146,88000
157,78000
167,50000
B 2jH
4,9500000
5,7344000
6,5892000
7,5168000
8,5918000
9,6800000
10,8706500
12,1484000
13,5159500
14,9760000
16,6667500
18,4772432
20,4120000
22,4747712
24,6692212
27,0000000
29,7910000
32,7680000
36,2998548
40,0748208
44,1000000
48,6000000
53,3910000
58,4820000
63,8820000
70,0800000
76,6536000
83,6136000
90,9708000
99,1232000
108,5400000
118,4960000
129,8892000
141,0048000
154,6244000
167,5000000
B 3jH
1,485000000
1,835008000
2,240328000
2,706048000
3,264884000
3,872000000
4,565673000
5,345296000
6,217337000
7,188480000
8,333375000
9,608166464
11,022480000
12,585871872
14,308148296
16,200000000
18,470420000
20,971520000
23,957904168
27,250878144
30,870000000
34,992000000
39,509340000
44,446320000
49,827960000
56,064000000
62,855952000
70,235424000
78,234888000
87,228416000
97,686000000
109,016320000
122,095848000
135,364608000
151,531912000
167,500000000
35
36 23,40 16,764
j=0
12,9168
10,48623648
8,83673856
7,65163390272001
3334,75 2403,36166
1872,1574612
1538,887805944
97
98
somatórios, vem:
36a0 +
23,4a1 +
23,4a0 +
16,764a1 +
16,764a0 +
16,764a2 +
12,9168a3 =
3334,75
12,9168a2 + 10,48623648a3 =
2403,36166
12,9168a1 + 10,48623648a2 +
8,83673856a3 =
1872,1574612
12,9168a0 + 10,4862364a1 + 8,83673856a2 + 7,65163390272a3 = 1538,887805944
a0 = 42,0797325318
a1 = 66,7465516057
a2 = -130,353109319
a3 = 189,152874234
H ≅ P (B) = 42,0797325318 + 66,7465516057B – 130,353109319B2 +
189,152874234B3
99
•
B (T)
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
H (A/m) 167,5 175,0 184,0 193,0 202,5 215,0 227,5 244,0 262,5 285,0
B (T)
H (A/m)
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
310,0 340,0 385,0 440,0 475,0 525,0 590,0 670,0 760,0
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3
P (1,00) ≅ 167,5 = a0 + 1,00.a1 + 1,0000.a2 + 1,000000.a3
P (1,02) ≅ 175,0 = a0 + 1,02.a1 + 1,0404.a2 + 1,061208.a3
P (1,04) ≅ 184,0 = a0 + 1,04.a1 + 1,0816.a2 + 1,124864.a3
P (1,06) ≅ 193,0 = a0 + 1,06.a1 + 1,1236.a2 + 1,191016.a3
P (1,08) ≅ 202,5 = a0 + 1,08.a1 + 1,1664.a2 + 1,259712.a3
P (1,10) ≅ 215,0 = a0 + 1,10.a1 + 1,2100.a2 + 1,331000.a3
P (1,12) ≅ 227,5 = a0 + 1,12.a1 + 1,2544.a2 + 1,404928.a3
P (1,14) ≅ 244,0 = a0 + 1,14.a1 + 1,2996.a2 + 1,481544.a3
P (1,16) ≅ 262,5 = a0 + 1,16.a1 + 1,3456.a2 + 1,560896.a3
P (1,18) ≅ 285,0 = a0 + 1,18.a1 + 1,3924.a2 + 1,643032.a3
P (1,20) ≅ 310,0 = a0 + 1,20.a1 + 1,4400.a2 + 1,728000.a3
P (1,22) ≅ 340,0 = a0 + 1,22.a1 + 1,4884.a2 + 1,815848.a3
P (1,24) ≅ 385,0 = a0 + 1,24.a1 + 1,5376.a2 + 1,906624.a3
100
P (1,26) ≅ 440,0 = a0 + 1,26.a1 + 1,5826.a2 + 1,990866.a3
P (1,28) ≅ 475,0 = a0 + 1,28.a1 + 1,6384.a2 + 2,097152.a3
P (1,30) ≅ 525,0 = a0 + 1,30.a1 + 1,6900.a2 + 2,197000.a3
P (1,32) ≅ 590,0 = a0 + 1,32.a1 + 1,7424.a2 + 2,299968.a3
P (1,34) ≅ 670,0 = a0 + 1,34.a1 + 1,7956.a2 + 2,406104.a3
P (1,36) ≅ 760,0 = a0 + 1,36.a1 + 1,8496.a2 + 2,515456.a3
a0
n
j=0
onde
ou
Bkj + a1
n
j=0
Bkj +1 + a2
n
j=0
Bkj + 2 + ...... + am
n+1 = 19
e
m+1 = 4,
n = 18
e
m = 3,
n
j=0
Bkj + m =
n
j=0
Bkj .Hj
obtemos o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2:
e0
e0
e0
e0
18
j =0
18
j =0
18
j =0
18
j =0
B 0j + e 1
B 1j + e1
B 2j + e 1
B 3j + e 1
18
j =0
18
j= 0
18
j =0
18
j =0
B 1j + e 2
B 2j + e 2
B 3j + e 2
B 4j + e 2
18
j =0
18
j =0
18
j=0
18
j =0
B 2j + e 3
B 3j + e 3
B 4j + e 3
B 5j + e 3
18
j =0
18
j =0
18
j=0
18
j=0
B 3j =
B 4j =
B 5j =
B 6j =
18
j =0
18
j= 0
18
j=0
18
j =0
B 0j .H j
B 1j.H j
B 2j .H j
B 3j .H j
j=0
18
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
B1j
1,0000
1,0404
1,0816
1,1236
1,1664
1,2100
1,2544
1,2996
1,3456
1,3924
1,4400
1,4884
1,5376
1,5876
1,6384
1,6900
1,7424
1,7956
1,8496
B 2j
1,000000
1,061208
1,124864
1,191016
1,259712
1,331000
1,404928
1,481544
1,560896
1,643032
1,728000
1,815848
1,906624
2,000376
2,097152
2,197000
2,299968
2,406104
2,515456
B 3j
1,00000000
1,08243216
1,16985856
1,26247696
1,36048896
1,46410000
1,57351936
1,68896016
1,81063936
1,93877776
2,07360000
2,21533456
2,36421376
2,52047376
2,68435456
2,85610000
3,03595776
3,22417936
3,42102016
B 4j
1,0000000000
1,1040808032
1,2166529024
1,3382255776
1,4693280768
1,6105100000
1,7623416832
1,9254145824
2,1003416576
2,2877577568
2,4883200000
2,7027081632
2,9316250624
3,1757969376
3,4359738368
3,7129300000
4,0074642432
4,3204003424
4,6525874176
B 5j
1,000000000000
1,126162419264
1,265319018496
1,418519112256
1,586874322944
1,771561000000
1,973822685184
2,194972623936
2,436396322816
2,699554153024
2,985984000000
3,297303959104
3,635215077376
4,001504141376
4,398046511104
4,826809000000
5,289852801024
5,789336458816
6,327518887936
B 6j
B1jH
B 2jH
B 3jH
167,5 167,50 167,5000 167,500000
175,0 178,50 182,0700 185,711400
184,0 191,36 199,0144 206,974976
193,0 204,58 216,8548 229,866088
202,5 218,70 236,1960 255,091680
215,0 236,50 260,1500 286,165000
227,5 254,80 285,3760 319,621120
244,0 278,16 317,1024 361,496736
262,5 304,50 353,2200 409,735200
285,0 336,30 396,8340 468,264120
310,0 372,00 446,4000 535,680000
340,0 414,80 506,0560 617,388320
385,0 477,40 591,9760 734,050240
440,0 554,40 698,5440 880,165440
475,0 608,00 778,2400 996,147200
525,0 682,50 887,2500 1153,425000
590,0 778,80 1028,0160 1356,981120
670,0 897,80 1203,0520 1612,089680
760,0 1033,60 1405,6960 1911,746560
B 0jH
19 22,42 26,6836 32,024728 38,74648720 47,2424590432 58,024752494656 6651,0 8190,20 10159,5476 12688,099880
B 0j
101
102
somatórios, vem:
19a0 +
22,42a1 +
26,6836a2 +
32,024728a3 =
6651,0
22,42a0 +
26,6836a1 +
32,024728a2 +
38,74648720a3 =
8190,20
26,6836a0 +
32,024728a1 +
38,74648720a2 +
47,2424590432a3 = 10159,5476
32,024728a0 + 38,74648720a1 + 47,2424590432a2 + 58,024752494656a3 = 12688,099880
a0 = -13623,8893419
a1 = 39254,338514
a2 = -37614,401836
a3 = 12150,3071265
H ≅ P (B) = -13623,8893419 + 39254,338514B – 37614,401836B2 +
12150,3071265B3
103
•
B (T)
H (A/m)
1,36 1,38
1,40
760
1060 1280 1525 1875 2270
890
1,42
1,44
1,46
1,48
B (T)
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
H (A/m)
2720
3200
3800
4500
5175
6200
H = a0. ea1.B
P (1,36) ≅ ln 760 = ln a0 + 1,36.a1
P (1,38) ≅ ln 890 = ln a0 + 1,38.a1
P (1,40) ≅ ln 1060 = ln a0 + 1,40.a1
P (1,42) ≅ ln 1280 = ln a0 + 1,42.a1
P (1,44) ≅ ln 1525 = ln a0 + 1,44.a1
P (1,46) ≅ ln 1875 = ln a0 + 1,46.a1
P (1,48) ≅ ln 2270 = ln a0 + 1,48.a1
P (1,50) ≅ ln 2720 = ln a0 + 1,50.a1
P (1,52) ≅ ln 3200 = ln a0 + 1,52.a1
104
P (1,54) ≅ ln 3800 = ln a0 + 1,54.a1
P (1,56) ≅ ln 4500 = ln a0 + 1,56.a1
P (1,58) ≅ ln 5175 = ln a0 + 1,58.a1
P (1,60) ≅ ln 6200 = ln a0 + 1,60.a1
6,63331843328038 = a2 + 1,36.a1
6,79122146272619 = a2 + 1,38.a1
6,96602418710611 = a2 + 1,40.a1
7,15461535691366 = a2 + 1,42.a1
7,32974968904151 = a2 + 1,44.a1
7,53636393840451 = a2 + 1,46.a1
7,72753511047545 = a2 + 1,48.a1
7,90838715929004 = a2 + 1,50.a1
8,07090608878782 = a2 + 1,52.a1
8,24275634571448 = a2 + 1,54.a1
8,41183267575841 = a2 + 1,56.a1
8,55159461813357 = a2 + 1,58.a1
8,73230457103318 = a2 + 1,60.a1
a0
n
j= 0
onde
ou
B kj + a 1
n
j =0
B kj +1 + a 2
n
j =0
B kj + 2 + ...... + a m
n+1 = 13
e
m+1 = 2,
n = 12
e
m = 1,
n
j=0
B kj +m =
n
j= 0
B kj .H j
105
a2
a2
12
j= 0
12
j =0
12
B 0j + a 1
B 1j + a 1
j= 0
12
j =0
B 1j =
B 2j =
12
j= 0
12
j=0
B 0j H j
B 1jH j
B 0j
B 1j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1,36
1,38
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
B 2j
1,8496
1,9044
1,9600
2,0164
2,0736
2,1316
2,1904
2,2500
2,3104
2,3716
2,4336
2,4964
2,5600
B 0j H j
B 1jH j
6,63331843328038 9,02131306926131
6,79122146272619 9,37188561856214
6,96602418710611 9,75243386194856
7,15461535691366 10,15955380681740
7,32974968904151 10,55483955221980
7,53636393840451 11,00309135007060
7,72753511047545 11,43675196350370
7,90838715929004 11,86258073893510
8,07090608878782 12,26777725495750
8,24275634571448 12,69384477240030
8,41183267575841 13,12245897418310
8,55159461813357 13,51151949665100
8,73230457103318 13,97168731365310
12
j=0
13
19,24 28,548 100,056609636665 148,729737773164
somatórios, vem:
13a2 + 19,24a1 = 100,056609636665
19,24a2 + 28,548a1 = 148,729737773164
a2 = ln a0 = -5,43540029104 => a0 = 0,00435948960721
a1 = 8,87301525055
H ≅ P (B) = 0,00435948960721.e8,87301525055.B
106
•
Ajuste de curva do trecho 1 do ferro-níquel.
B (T)
0,30
H (A/m)
B (T)
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
5,6250 5,9375 6,2500 6,5625 6,8750 7,1875 7,5000 7,8125
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
H (A/m) 8,1250 8,4375 8,7500 9,0625 9,3750 9,6875 10,000 10,250
B (T)
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
H (A/m) 10,650 11,000 11,800 12,550 13,500 14,550 15,500 16,850
B (T)
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
H (A/m) 18,000 19,500 21,000 23,000 25,000 27,500 30,500
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4
P (0,30) ≅ 5,6250 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 + 0,027000.a3 + 0,00810000.a4
P (0,32) ≅ 5,9375 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 + 0,032768.a3 + 0,01048576.a4
P (0,34) ≅ 6,2500 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 + 0,039304.a3 + 0,01336336.a4
P (0,36) ≅ 6,5625 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 + 0,046656.a3 + 0,01679616.a4
P (0,38) ≅ 6,8750 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 + 0,054872.a3 + 0,02085136.a4
P (0,40) ≅ 7,1875 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 + 0,064000.a3 + 0,02560000.a4
P (0,42) ≅ 7,5000 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 + 0,074088.a3 + 0,03111696.a4
107
P (0,44) ≅ 7,8125 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 + 0,085184.a3 + 0,03748096.a4
P (0,46) ≅ 8,1250 = a0 + 0,46.a1 + 0,2116.a2 + 0,097336.a3 + 0,04477456.a4
P (0,48) ≅ 8,4375 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 + 0,110592.a3 + 0,05308416.a4
P (0,50) ≅ 8,7500 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 + 0,125000.a3 + 0,06250000.a4
P (0,52) ≅ 9,0625 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 + 0,140608.a3 + 0,07311616.a4
P (0,54) ≅ 9,3750 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 + 0,157464.a3 + 0,08503056.a4
P (0,56) ≅ 9,6875 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 + 0,175616.a3 + 0,09834496.a4
P (0,58) ≅ 10,000 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 + 0,195112.a3 + 0,11316496.a4
P (0,60) ≅ 10,250 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 + 0,216000.a3 + 0,12960000.a4
P (0,62) ≅ 10,650 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 + 0,238328.a3 + 0,14776336.a4
P (0,64) ≅ 11,000 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 + 0,262144.a3 + 0,16777216.a4
P (0,66) ≅ 11,800 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 + 0,287496.a3 + 0,18974736.a4
P (0,68) ≅ 12,550 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 + 0,314432.a3 + 0,21381376.a4
P (0,70) ≅ 13,500 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 + 0,343000.a3 + 0,24010000.a4
P (0,72) ≅ 14,550 = a0 + 0,72.a1 + 0,5184.a2 + 0,373248.a3 + 0,26873856.a4
P (0,74) ≅ 15,500 = a0 + 0,74.a1 + 0,5476.a2 + 0,405224.a3 + 0,29986576.a4
P (0,76) ≅ 16,850 = a0 + 0,76.a1 + 0,5776.a2 + 0,438976.a3 + 0,33362176.a4
P (0,78) ≅ 18,000 = a0 + 0,78.a1 + 0,6084.a2 + 0,474552.a3 + 0,37015056.a4
P (0,80) ≅ 19,500 = a0 + 0,80.a1 + 0,6400.a2 + 0,512000.a3 + 0,40960000.a4
P (0,82) ≅ 21,000 = a0 + 0,82.a1 + 0,6724.a2 + 0,551368.a3 + 0,45212176.a4
P (0,84) ≅ 23,000 = a0 + 0,84.a1 + 0,7056.a2 + 0,592704.a3 + 0,49787136.a4
P (0,86) ≅ 25,000 = a0 + 0,86.a1 + 0,7396.a2 + 0,636056.a3 + 0,54700816.a4
P (0,88) ≅ 27,500 = a0 + 0,88.a1 + 0,7744.a2 + 0,681472.a3 + 0,59969536.a4
P (0,90) ≅ 30,500 = a0 + 0,90.a1 + 0,8100.a2 + 0,729000.a3 + 0,65610000.a4
108
g0
n
j=0
onde
ou
Bkj + g1
n
j=0
B kj +1 + g2
n
j=0
Bkj + 2 + ...... + gm
n+1 = 31
e
m+1 = 5,
n = 30
e
m = 4,
n
j=0
n
B kj +m =
j=0
Bkj .H j
Obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1,
2, 3, 4:
g0
g0
g0
g0
g0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
B 0j + g1
B1j + g1
B 2j + g1
B 3j + g1
B 4j + g1
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
B1j + g2
B 2j + g2
B 3j + g2
B 4j + g2
B 5j + g2
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
B 2j + g3
B 3j + g3
B 4j + g3
B 5j + g3
B 6j + g3
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
B 3j + g4
B 4j + g 4
B 5j + g 4
B 6j + g4
B 7j + g 4
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
30
j=0
B 4j =
B 5j =
B 6j =
30
j=0
30
j=0
30
j=0
B 7j=0 =
B 8j=0 =
B 0j .H j
B1j.H j
B 2j .H j
30
j=0
30
j=0
B 3j .H j
B 4j .H j
B 0j B 1j
B 2j
B 3j
B 4j
B 5j
B 6j
B 7j
B 8j
B 0j H
B 1jH
B 2jH
B 3j H
B 4jH 109
1
0,30 0,0900 0,027000 0,00810000 0,0024300000 0,000729000000 0,00021870000000 0,0000656100000000
5,6250
1,6875
0,50625
0,151875
0,045562500
1
0,32 0,1024 0,032768 0,01048576 0,0033554432 0,001073741824 0,00034359738368 0,0001099511627776
5,9375
1,9000
0,60800
0,194560
0,062259200
1
0,34 0,1156 0,039304 0,01336336 0,0045435424 0,001544804416 0,00052523350144 0,0001785793904896
6,2500
2,1250
0,72250
0,245650
0,083521000
1
0,36 0,1296 0,046656 0,01679616 0,0060466176 0,002176782336 0,00078364164096 0,0002821109907456
6,5625
2,3625
0,85050
0,306180
0,110224800
1
0,38 0,1444 0,054872 0,02085136 0,0079235168 0,003010936384 0,00114415582592 0,0004347792138496
6,8750
2,6125
0,99275
0,377245
0,143353100
1
0,40 0,1600 0,064000 0,02560000 0,0102400000 0,004096000000 0,00163840000000 0,0006553600000000
7,1875
2,8750
1,15000
0,460000
0,184000000
1
0,42 0,1764 0,074088 0,03111696 0,0130691232 0,005489031744 0,00230539333248 0,0009682651996416
7,5000
3,1500
1,32300
0,555660
0,233377200
1
0,44 0,1936 0,085184 0,03748096 0,0164916224 0,007256313856 0,00319277809664 0,0014048223625216
7,8125
3,4375
1,51250
0,665500
0,292820000
1
0,46 0,2116 0,097336 0,04477456 0,0205962976 0,009474296896 0,00435817657216 0,0020047612231936
8,1250
3,7375
1,71925
0,790855
0,363793300
1
0,48 0,2304 0,110592 0,05308416 0,0254803968 0,012230590464 0,00587068342272 0,0028179280429056
8,4375
4,0500
1,94400
0,933120
0,447897600
1
0,50 0,2500 0,125000 0,06250000 0,0312500000 0,015625000000 0,00781250000000 0,0039062500000000
8,7500
4,3750
2,18750
1,093750
0,546875000
1
0,52 0,2704 0,140608 0,07311616 0,0380204032 0,019770609664 0,01028071702528 0,0053459728531456
9,0625
4,7125
2,45050
1,274260
0,662615200
1
0,54 0,2916 0,157464 0,08503056 0,0459165024 0,024794911296 0,01338925209984 0,0072301961339136
9,3750
5,0625
2,73375
1,476225
0,797161500
1
0,56 0,3136 0,175616 0,09834496 0,0550731776 0,030840979456 0,01727094849536 0,0096717311574016
9,6875
5,4250
3,03800
1,701280
0,952716800
1
0,58 0,3364 0,195112 0,11316496 0,0656356768 0,038068692544 0,02207984167552 0,0128063081718016
10,0000
5,8000
3,36400
1,951120
1,131649600
1
0,60 0,3600 0,216000 0,12960000 0,0777600000 0,046656000000 0,02799360000000 0,0167961600000000
10,2500
6,1500
3,69000
2,214000
1,328400000
1
0,62 0,3844 0,238328 0,14776336 0,0916132832 0,056800235584 0,03521614606208 0,0218340105584897
10,6500
6,6030
4,09386
2,538193
1,573679784
1
0,64 0,4096 0,262144 0,16777216 0,1073741824 0,068719476736 0,04398046511104 0,0281474976710657
11,1000
7,1040
4,54656
2,909798
1,862270976
1
0,66 0,4356 0,287496 0,18974736 0,1252332576 0,082653950016 0,05455160701056 0,0360040606269697
11,8000
7,7880
5,14008
3,392453
2,239018848
1
0,68 0,4624 0,314432 0,21381376 0,1453933568 0,098867482624 0,06722988818432 0,0457163239653378
12,5500
8,5340
5,80312
3,946122
2,683362688
1
0,70 0,4900 0,343000 0,24010000 0,1680700000 0,117649000000 0,08235430000000 0,0576480100000002
13,5000
9,4500
6,61500
4,630500
3,241350000
1
0,72 0,5184 0,373248 0,26873856 0,1934917632 0,139314069504 0,10030613004288 0,0722204136308736
14,5500
10,4760
7,54272
5,430758
3,910146048
1
0,74 0,5476 0,405224 0,29986576 0,2219006624 0,164206490176 0,12151280273024 0,0899194740203776
15,5000
11,4700
8,48780
6,280972
4,647919280
1
0,76 0,5776 0,438976 0,33362176 0,2535525376 0,192699928576 0,14645194571776 0,1113034787454980
16,8500
12,8060
9,73256
7,396746
5,621526656
1
0,78 0,6084 0,474552 0,37015056 0,2887174368 0,225199600704 0,17565568854912 0,1370114370683140
18,0000
14,0400
10,95120
8,541936
6,662710080
1
0,80 0,6400 0,512000 0,40960000 0,3276800000 0,262144000000 0,20971520000000 0,1677721600000000
19,5000
15,6000
12,48000
9,984000
7,987200000
1
0,82 0,6724 0,551368 0,45212176 0,3707398432 0,304006671424 0,24928547056768 0,2044140858654970
21,0000
17,2200
14,12040
11,578728
9,494556960
1
0,84 0,7056 0,592704 0,49787136 0,4182119424 0,351298031616 0,29509034655744 0,2478758911082490
23,0000
19,3200
16,22880
13,632192
11,451041280
1
0,86 0,7396 0,636056 0,54700816 0,4704270176 0,404567235136 0,34792782221696 0,2992179271065850
25,0000
21,5000
18,49000
15,901400
13,675204000
1
0,88 0,7744 0,681472 0,59969536 0,5277319168 0,464404086784 0,40867559636992 0,3596345248055300
27,5000
24,2000
21,29600
18,740480
16,491622400
1
0,90 0,8100 0,729000 0,65610000 0,5904900000 0,531441000000 0,47829690000000 0,4304672100000000
30,5000
27,4500
24,70500
22,234500
20,011050000
30
31 18,60 12,152 8,481600 6,21737984 4,7244595200 3,686808949760 2,93545792819200 2,3738652910751700 398,4375 273,0235 199,02560 151,530058 118,938885800
j=0
110
31a0 +
18,6a1 +
12,152a2 +
8,4816a3 +
6,21737984a4 =
398,4375
18,6a0 +
12,152a1 +
8,4816a2 +
6,21737984a3 +
4,72445952a4 =
273,0235
12,152a0 +
8,4816a1 +
6,21737984a2 +
4,72445952a3 +
3,68680894976a4 =
199,0256
4,72445952a2 + 3,68680894976a3 +
2,935457928192a4 =
151,530058
8,4816a0 + 6,21737984a1 +
6,21737984a0 + 4,72445952a1 + 3,68680894976a2 + 2,935457928192a3 + 2,37386529107517a4 = 118,9388858
a0 = -0,103507768172
a1 = 6,42724180862
a2 = 99,5502341747
a3 = -252,138896127
a4 = 194,761521740
H ≅ P (B) = -0,103507768172 + 6,42724180862B + 99,5502341747B2 – 252,138896127B3 + 194,761521740B4
111
•
Ajuste de curva do trecho 2 do ferro-níquel
B (T)
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
H (A/m) 30,50 33,75 37,50 41,75 47,00 52,00 58,00 66,00 75,00 85,00
B (T)
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
H (A/m) 99,00 115,00 137,00 160,00 185,00 210,00 235,00 270,00
B (T)
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
H (A/m) 305,00 340,00 375,00 425,00 480,00 535,00 610,00 675,00
H = a0. eai.B
P (0,90) ≅ ln 30,50 = ln a0 + 0,90.a1
P (0,92) ≅ ln 33,75 = ln a0 + 0,92.a1
P (0,94) ≅ ln 37,50 = ln a0 + 0,94.a1
P (0,96) ≅ ln 41,75 = ln a0 + 0,96.a1
P (0,98) ≅ ln 47,00 = ln a0 + 0,98.a1
P (1,00) ≅ ln 52,00 = ln a0 + 1,00.a1
P (1,02) ≅ ln 58,00 = ln a0 + 1,02.a1
112
P (1,04) ≅ ln 66,00 = ln a0 + 1,04.a1
P (1,06) ≅ ln 75,00 = ln a0 + 1,06.a1
P (1,08) ≅ ln 85,00 = ln a0 + 1,08.a1
P (1,10) ≅ ln 99,00 = ln a0 + 1,10.a1
P (1,12) ≅ ln 115,00 = ln a0 + 1,12.1
P (1,14) ≅ ln 137,00 = ln a0 + 1,14.a1
P (1,16) ≅ ln 160,00 = ln a0 + 1,16.a1
P (1,18) ≅ ln 185,00 = ln a0 + 1,18.a1
P (1,20) ≅ ln 210,00 = ln a0 + 1,20.a1
P (1,22) ≅ ln 235,00 = ln a0 + 1,22.a1
P (1,24) ≅ ln 270,00 = ln a0 + 1,24.a1
P (1,26) ≅ ln 305,00 = ln a0 + 1,26.a1
P (1,28) ≅ ln 340,00 = ln a0 + 1,28.a1
P (1,30) ≅ ln 375,00 = ln a0 + 1,30.a1
P (1,32) ≅ ln 425,00 = ln a0 + 1,32.a1
P (1,34) ≅ ln 480,00 = ln a0 + 1,34.a1
P (1,36) ≅ ln 535,00 = ln a0 + 1,36.a1
P (1,38) ≅ ln 610,00 = ln a0 + 1,38.a1
P (1,40) ≅ ln 675,00 = ln a0 + 1,40.a1
3,41772668361337 = a2 + 0,90.a1
3,51898041731854 = a2 + 0,92.a1
3,62434093297637 = a2 + 0,94.a1
3,73169945129686 = a2 + 0,96.a1
113
3,85014760171006 = a2 + 0,98.a1
3,95124371858143 = a2 + 1,00.a1
4,06044301054642 = a2 + 1,02.a1
4,18965474202643 = a2 + 1,04.a1
4,31748811353631 = a2 + 1,06.a1
4,44265125649032 = a2 + 1,08.a1
4,59511985013459 = a2 + 1,10.a1
4,74493212836325 = a2 + 1,12.a1
4,91998092582813 = a2 + 1,14.a1
5,07517381523383 = a2 + 1,16.a1
5,22035582507832 = a2 + 1,18.a1
5,34710753071747 = a2 + 1,20.a1
5,45958551414416 = a2 + 1,22.a1
5,59842195899838 = a2 + 1,24.a1
5,72031177660741 = a2 + 1,26.a1
5,82894561761021 = a2 + 1,28.a1
5,92692602597041 = a2 + 1,30.a1
6,05208916892442 = a2 + 1,32.a1
6,17378610390194 = a2 + 1,34.a1
6,28226674689601 = a2 + 1,36.a1
6,41345895716736 = a2 + 1,38.a1
6,51471269087253 = a2 + 1,40.a1
a0
n
j= 0
B kj + a 1
n
j =0
B kj +1 + a 2
n
j =0
B kj + 2 + ...... + a m
n
j=0
B kj +m =
n
j= 0
B kj .H j
114
onde
n+1 = 26
e
m+1 = 2,
n = 25
e
m = 1,
ou
a2
a2
25
j= 0
25
j= 0
B 0j + a 1
B 1j + a 1
25
B 1j =
j= 0
25
j= 0
B 2j =
25
j= 0
25
j=0
B 0j H j
B 1jH j
B 0j
B 1j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
B 2j
0,8100
0,8464
0,8836
0,9216
0,9604
1,0000
1,0404
1,0816
1,1236
1,1664
1,2100
1,2544
1,2996
1,3456
1,3924
1,4400
1,4884
1,5376
1,5876
1,6384
1,6900
1,7424
1,7956
1,8496
1,9044
1,9600
B 0j H j
3,41772668361337
3,51898041731854
3,62434093297637
3,73169945129686
3,85014760171006
3,95124371858143
4,06044301054642
4,18965474202643
4,31748811353631
4,44265125649032
4,59511985013459
4,74493212836325
4,91998092582813
5,07517381523383
5,22035582507832
5,34710753071747
5,45958551414416
5,59842195899838
5,72031177660741
5,82894561761021
5,92692602597041
6,05208916892442
6,17378610390194
6,28226674689601
6,41345895716736
6,51471269087253
B 1jH j
3,07595401525203
3,23746198393306
3,40688047699778
3,58243147324499
3,77314464967586
3,95124371858143
4,14165187075735
4,35724093170748
4,57653740034849
4,79806335700954
5,05463183514805
5,31432398376684
5,60877825544406
5,88720162567124
6,16001987359242
6,41652903686096
6,66069432725587
6,94204322915798
7,20759283852534
7,46105039054107
7,70500383376153
7,98875770298023
8,27287337922860
8,54388277577857
8,85057336089095
9,12059776722154
25
j=0
26
29,90 34,9700 128,97755056454400 152,09516409333300
115
somatórios, vem:
26a2 + 29,90a1 = 128,977550564544
29,90a2 + 34,970a1 = 152,095164093333
a2 = ln a0 = -2,45236443936 => a0 = 0,0860897915722535
a1 = 6,44612127051
H ≅ P (B) = 0,0860897915722535.e6,44612127051.B
116
•
Ajuste de curva do trecho 3 do ferro-níquel.
B (T)
H (A/m)
1,40 1,42 1,44
1,46
675
1075 1350 1750 2400 3750
775
920
1,48
1,50
1,52
1,54
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4
P (1,40) ≅ 675 = a0 + 1,40.a1 +1,9600.a2 + 2,744000.a3 + 3,84160000.a4
P (1,42) ≅ 775 = a0 + 1,42.a1 + 2,0164.a2 + 2,863288.a3 + 4,06586896.a4
P (1,44) ≅ 920 = a0 + 1,44.a1 + 2,0736.a2 + 2,985984.a3 + 4,29981696.a4
P (1,46) ≅ 1075 = a0 + 1,46.a1 + 2,1316.a2 + 3,112136.a3 + 4,54371856.a4
P (1,48) ≅ 1350 = a0 + 1,48.a1 + 2,1904.a2 + 3,241792.a3 + 4,79785216.a4
P (1,50) ≅ 1750 = a0 + 1,50.a1 + 2,2500.a2 + 3,375000.a3 + 5,06250000.a4
P (1,52) ≅ 2400 = a0 + 1,52.a1 + 2,3104.a2 + 3,511808.a3 + 5,33794816.a4
P (1,54) ≅ 3750 = a0 + 1,54.a1 + 2,3716.a2 + 3,652264.a3 + 5,62448656.a4
a0
n
j =0
onde
ou
B kj + a1
n
j =0
B kj +1 + a 2
n
j =0
B kj + 2 + ...... + a m
n+1 = 8
e
m+1 = 5,
n=7
e
m = 4,
n
j=0
B kj +m =
n
j=0
B kj .H j
117
obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2,
3, 4:
a0
a0
a0
a0
a0
7
j =0
7
j =0
7
j =0
7
j =0
7
j =0
B 0j + a 1
B 1j + a 1
B 2j + a 1
B 3j + a 1
B 4j + a 1
7
j= 0
7
j= 0
7
j= 0
7
j= 0
7
j=0
B 1j + a 2
B 2j + a 2
B 3j + a 2
B 4j + a 2
B 5j + a 2
7
j=0
7
j= 0
7
j= 0
7
j=0
7
j=0
B 2j + a 3
B 3j + a 3
B 4j + a 3
B 5j + a 3
B 6j + a 3
7
j=0
7
j= 0
7
j=0
7
j=0
7
j =0
B 3j + a 4
B 4j + a 4
B 5j + a 4
B 6j + a 4
B 7j + a 4
7
j =0
7
j =0
7
j =0
7
j =0
7
j =0
B 4j =
B 5j =
B 6j =
7
B 0j .H j
j= 0
7
B 1j.H j
j =0
7
j= 0
B 7j= 0 =
B 8j= 0 =
B 2j .H j
7
j= 0
7
j= 0
B 3j .H j
B 4j .H j
B
0
j
B
1
j
B
2
j
B
3
j
B
4
j
B
5
j
B
6
j
B
7
j
B
8
j
0
j
B H
1
j
BH
2
j
B H
3
j
B H
118
B 4jH
1
1,40
1,9600
2,744000
3,84160000
5,3782400000
7,529536000000 10,5413504000000
14,7578905600000
675
945,0
1323,000 1852,20000
2593,0800000
1
1,42
2,0164
2,863288
4,06586896
5,7735339232
8,198418170944 11,6417538027405
16,5312903998915
775
1100,5
1562,710 2219,04820
3151,0484440
1
1,44
2,0736
2,985984
4,29981696
6,1917364224
8,916100448256 12,8391846454886
18,4884258895036
920
1324,8
1907,712 2747,10528
3955,8316032
1
1,46
2,1316
3,112136
4,54371856
6,6338290976
9,685390482496 14,1406701044442
20,6453783524885
1075
1569,5
2291,470 3345,54620
4884,4974520
1
1,48
2,1904
3,241792
4,79785216
7,1008211968 10,509215371264 15,5536387494707
23,0193853492167
1350
1998,0
2957,040 4376,41920
6477,1004160
1
1,50
2,2500
3,375000
5,06250000
7,5937500000 11,390625000000 17,0859375000000
25,6289062500000
1750
2625,0
3937,500 5906,25000
8859,3750000
1
1,52
2,3104
3,511808
5,33794816
8,1136812032 12,332795428864 18,7458490518733
28,4936905588474
2400
3648,0
5544,960 8428,33920 12811,0755840
1
1,54
2,3716
3,652264
5,62448656
8,6617093024 13,339032325696 20,5421097815718
31,6348490636206
3750
5775,0
8893,500 13695,99000 21091,8246000
7
8
11,76 17,3040 25,486272 37,57379136
55,4473011456 81,9011132275200 121,0904940355890 179,19981642356800 12695 18985,8 28417,892 42570,89808 63823,8330992
j=0
8a0 +
11,76a1 +
17,3040a2 +
25,486272a3 +
37,57379136a4 =
12695
11,76a0 +
17,3040a1 +
25,486272a2 +
37,57379136a3 +
55,4473011456a4 =
18985,8
17,3040a0 +
25,486272a1 +
37,57379136a2 +
55,4473011456a3 +
81,9011132275200a4 =
28417,892
25,486272a0 +
37,57379136a1 +
55,4473011456a2 + 81,9011132275200a3 + 121,0904940355890a4 =
42570,89808
37,57379136a0 + 55,4473011456a1 + 81,9011132275200a2 + 121,0904940355890a3 + 179,19981642356800a4 = 63823,8330992
119
a0 = 90093554,9665743
a1 = -249495796,175507
a2 = 259102236,825694
a3 = -119595454,935834
a4 = 20702515,7313797
H ≅ P (B) = 90093554,9665743 – 249495796,175507B +
259102236,825694B2 – 119595454,935834B3 + 20702515,7313797B4

modelagem de curvas de magnetização para solução

Transcrição

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