8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional

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8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional
Cálculo Diferencial e Integral III – Prof. Robson Rodrigues da Silva
http: www.robson.mat.br e-mail: [email protected]
8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional
Questão 01. Calcule o gradiente das seguintes funções nos pontos indicados
a) f(x,y,z) = x – 2y + 3z no ponto P(1,1,2)
b) f(x,y) = ln( x 2  y 2 ) no ponto P(3,4)
y
c) g(x,y) = e .senx no ponto P(0,0)
d) z =
x 1
no ponto P(1,2)
y 1
2
2
2
e) f(x,y,z) = ln(x + y +z )
2
2
2
f) w  z.e x  y z
e P(1,1,-1)
e P(0,0,0)
2
Questão 02. Represente geometricamente o gradiente da função f(x,y) = x y – 3xy no ponto P(1,2).
Questão 03. Calcule o ângulo  formado pelos gradientes das funções f(x,y) = (x+y)e
x+y
e g(x,y) = y.e
x
no ponto P(0,0).
Questão 04. Calcule o ângulo  formado pelos gradientes da função f(x,y) = ln(
y
) nos pontos
x
1 1
A ( , ) e B(1,1).
2 4
2
Questão 05. Calcule a derivada direcional do campo escalar f(x,y) = 3x y + xy no ponto P(1,2) e na
direção do vetor v = ( 3,-4).
2
Questão 06. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = 3x y + y no ponto P(-1,2) na direção do
vetor v = ( 2, 0).
2
2
Questão 07. Sendo f(x,y) = x + y , calcule a derivada direcional de f no ponto P(1,2), nas seguintes
direções:
a) na direção do vetor v =(- 3, 4);
b) na direção  = 30 e sentido crescente do eixo y;
o
c) na direção da reta y = 2x e sentido crescente do eixo y.
x
Questão 08. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = e . cosy, no ponto P(0,0) e na direção do
vetor v  (1, 3 ) .
2
2
2
Questão 09. Determine a derivada direcional da função z = 2x + y – 3z , no ponto P(1,2,3) na
direção da reta determinada pelos pontos P(1,2,3) e Q(3,5,1) no sentido de P para Q.
x
Questão 10. Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = y.e no ponto P(0,3) e na direção da reta
2
tangente à parábola de equação y = x + 3.
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Gabarito da 8ª Lista de Exercícios – Gradiente e Derivada Direcional
Questão 01.
a) f = ( 1,-2,3)
e) f = (
b) f = (
2 2 2
, , )
3 3 3
3 4
)
,
25 25
c) g =(1,0)
d) z = (1,0)
f) w = (0,0,1)
Questão 02. f = (-2,-2)
2
-1
1
Questão 03.  = 45°
Questão 04.  = arc cos
3 10
10
Questão 05.

3 4
|| v || 5  u  ( , )
5 5

f
f
f
f
 6xy  y 
 3x 2  x 
(1,2)  4
(1,2)  14 e
x
y
y
x

f (1,2)  (14,4)

D f (1,2)  f (1,2).u =
u
42 16 26


.
5
5
5
Questão 06.
f
x

|| v || 2  u  (1,0)  i  D f 

f
f
= 6xy 
(-1,2) = -12  D f (1,2)  12 .
i
x
x
i
Questão 07.
a) || v || 5  u  (
3 4
, ) e f (1,2)  (2,4)
5 5
D f (1,2)  f (1,2).u =
u
6 16

 2.
5
5
b) u  (cos 30, sen30)  (
3 1
, ) e f (1,2)  (2,4)  D f (1,2) 
u
2 2
3 2
c) Como y = 2x, temos x = 0  y = 0 e x = 1  y = 2. Assim temos dois pontos da reta A(0,0) e B(1,2).
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Agora, fazendo v  B  A = (1,2) temos assim um versor diretor da reta.
1
|| v || 5  u  (
,
2
5
2
) e f (1,2)  (2,4)  D f (1,2) 
u
5

8
5

5
10
5

10 5
2 5.
5
Questão 08.

1 3
)
|| v || 2  u  ( ,
2 2

f
f
f
f
x
x
= e .cosy 
(0,0) = 1 e
= -e seny 
(0,0) = 0
x
x
x
y

f (0,0)  (1,0)

D f (0,0) 
u
1
2
Questão 09.

v  Q  P  (2,3,2)  || v || 17  u  (
2
,
17

f (1,2,3)  (4,4,18)

D f (1,2,3) 
u
8
17

12
17

36
17

56
17

3
17
,
2
)
17
56 17
.
17
Questão 10.
Observe que a direção pedida, é a
direção do eixo x, ou seja, do vetor i .
Assim, D f  D f 
u
i
temos D f (0,3) 
i
f
f
x
e como
= ye
x
x
f
(0,3)  3
x