Transformada de Laplace

Transcrição

Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Elétrica
A generalização da representação por senóides complexas
de um sinal de tempo contínuo fornecida pela Transformada de Fourier é realizada em termos de sinais exponenciais
complexos pela Transformada de Laplace. A Transformada
de Laplace fornece uma caracterização mais ampla, podendo ser utilizada para a solução de problemas de tempo contínuo que envolvem sinais que não são absolutamente integráveis.
1
Sistemas e Sinais
Admite-se então que
complexa com
seja uma função exponencial
, ou seja:
Considera-se agora o problema de aplicar um sinal
a um sistema LTI com resposta ao impulso
.
2
Sistemas e Sinais
A saída do sistema
será dada por:
3
Sistemas e Sinais
Logo
sendo
4
Sistemas e Sinais
Desta forma, caracteriza-se como sendo uma autofunção do sistema e
como seu autovalor. A função de
transferência
pode ser representada na forma
em que
e
módulo e a fase de
representam, respectivamente, o
.
5
Sistemas e Sinais
Admitindo-se
6
Sistemas e Sinais
Conclui-se então que o sistema altera a amplitude do sinal
de entrada por um fator
e desloca a fase por
um fator
, não alterando o fator de amortecimento nem a frequência do sinal de entrada.
7
Sistemas e Sinais
Logo,
é a transformada de Fourier de
Sendo assim, a transformada de Fourier inversa de
deve ser
, ou seja:
.
ou ainda
.
8
Sistemas e Sinais
Uma vez que
do em
, tem-se
, resultan-
.
9
Sistemas e Sinais
Generalizando as relações anteriores para um sinal arbitrário
, tem-se
transformada de Laplace de
;
transformada inversa de
Laplace de
.
10
Sistemas e Sinais
Ou ainda
.Conforme observado, a transformada de Laplace de
também pode ser interpretada
como sendo a transformada de Fourier de
, consequentemente uma condição necessária para a convergência
da transformada de Laplace é a integrabilidade absoluta
de
, ou seja
.
11
Sistemas e Sinais
A faixa de para a qual a transformada de Laplace
converge é denominada de região de convergência
RDC.
12
13
Sistemas e Sinais
A forma mais comum de representação da transformada
de Laplace de
é dada por uma função racional em
, na forma
.
14
Sistemas e Sinais
Sendo as raízes do polinômio do numerador, denominados de zeros finitos de
. Da mesma forma, representam as raízes do polinômio do denominador de
, e são definidos como sendo os pólos de
.
A diferença entre os graus dos polinômios do numerador
e do denominador de,
, é definido como sendo o
grau relativo de
.
15
Sistemas e Sinais
Diagrama de Pólos e Zeros
16
Sistemas e Sinais
Exemplo 6.1: Determinar a transformada de Laplace e
a RDC de
.
Exemplo 6.2: Determinar a transformada de Laplace e
a RDC de
.
Exercício 6.1: Determinar a transformada de Laplace e
a RDC de
.
17
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace Unilateral
Em muitas aplicações os sistemas considerados são causais, interessando apenas o comportamento do sistema em
instantes
. Sendo assim é comum a utilização da
transformada de Laplace unilateral, avaliadas para
.
Definição: A transformada de Laplace unilateral de um
sinal
é definida por
.
18
Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace Unilateral
O limite inferior implica não incluir o ponto
na
integral, excluindos as descontinuidades e impulsos em
. Sendo assim, representa-se
Por exemplo
equivale a
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Sistemas e Sinais
Transformada de Laplace - Propriedades
As propriedades da transformada de Laplace são similares as da transformada de Fourier. Nas propriedades apresentadas a seguir será considerado
e
sendo omitido doravante o “u” de unilateral.
20
Sistemas e Sinais
Linearidade:
Mudança de Escala:
21
Sistemas e Sinais
Deslocamento no tempo:
para todo tal que
.
22
Sistemas e Sinais
Deslocamento no Domínio s:
A multiplicação por uma exponencial complexa no domínio tempo introduz um deslocamento na frequência complexa da transformada de Laplace.
23
Sistemas e Sinais
Convolução:
Diferenciação no Domínio s:
24
Sistemas e Sinais
Exemplo 6.3: Determinar a transformada de Laplace
unilateral de
.
Exercício 6.3: Determinar a transformada de Laplace
unilateral de
.
25
Sistemas e Sinais
Diferenciação no Domínio Tempo:
Exercício: A partir da expressão anterior deduzir a
relação:
26
Sistemas e Sinais
Exercício: Obter a transformada de Laplace de
e generalize para o caso de
.
27
Sistemas e Sinais
Propriedade da Integração:
em que
é o valor da integral para
.
28
Sistemas e Sinais
Exercício 6.4: Obter a transformada de Laplace de
.
29
Sistemas e Sinais
Teoremas do Valor Inicial e Final
Permite concluir, a partir da expressão de
valores de
e
.
,
Teorema do Valor Inicial:
Teorema do Valor Final:
30
Sistemas e Sinais
Teoremas do Valor Inicial e Final
Exercício 6.5: Determinar os valores inicial e final
de
sendo
Exercício: Determinar o valor final de
sendo
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