Transformada de Laplace

Transcrição

Resumo
Definição da transformada de Laplace.
Sinais e Sistemas
Região de convergência.
Propriedades da transformada de Laplace.
Sistemas caracterizados por equações diferenciais.
Luís Caldas de Oliveira
Estabilidade e causalidade.
[email protected]
Avaliação geométrica da CTFT a partir do mapa de
pólos e zeros.
Instituto Superior Técnico
Diagramas de Bode.
Sinais e Sistemas – p.1/57
Resposta ao Sinal Exponencial
Vimos a resposta de um sistema contínuo, linear e
invariante no tempo ao sinal exponencial complexo:
A transformada de Laplace bi-lateral define-se como:
Z +∞
x(t)e−st dt
∀s ∈ , X(s) =
∀t ∈ , x(t) = e jωt → y(t) = H( jω)e jωt
−∞
Podemos generalizar para qualquer sinal exponencial:
ou seja:
x(t) −
→ X(s)
∀t ∈ , x(t) = e st → y(t) = H(s)e st
L
Em que H(s) se relaciona com a resposta impulsiva:
Z +∞
h(t)e−st dt
∀s ∈ , H(s) =
−∞
Exemplo
Transformada de Fourier
A transformada de Fourier:
∀ω ∈ , X( jω) =
Calcular a transformada de Laplace do sinal:
Z
+∞
∀t ∈ , x(t) = e−at u(t)
x(t)e− jωt dt
−∞
em que a ∈ , a > 0 e u(t) é a função escalão unitário.
É um caso particular da transformada de Fourier para
s = jω:
X(s)| s= jω = X( jω)
Solução:
∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −a}, X(s) =
1
s+a
Exemplo
Região de Convergência
A região de convergência (ROC) da transformada de
Laplace consiste nos valores de s = σ + jω para os quais o
integral da definição converge.
∀t ∈ , x(t) = −e−at u(−t)
em que a ∈ , a > 0 e u(t) é a função escalão unitário.
Im
Plano s
Solução:
∀s ∈ {s ∈ |Re(s) < −a}, X(s) =
1
s+a
−a
Re
Exemplo
Pólos e Zeros
Nos exemplos anteriores, a transformada de Laplace é
racional, ou seja é um quociente de polinómios em s ∈ :
∀t ∈ , x(t) = e−2t u(t) + e−t cos(3t)u(t)
X(s) =
Solução:
N(s)
D(s)
Chamam-se zeros de X(s) às raízes do polinómio do
numerador.
2s2 + 5s + 12
∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −1}, X(s) = 2
(s + 2s + 10)(s + 2)
Chamam-se pólos de X(s) às raízes do polinómio do
denominador.
À representação gráfica dos pólos e zeros no plano s,
chama-se mapa de pólos e zeros de X(s).
Transformada de Fourier
Pólos e Zeros no Infinito
Se a ordem do polinómio do denominador exceder a
do numerador:
Ordem(D(s)) = Ordem(N(s)) + k
Se a região de convergência (ROC) da transformada de
Fourier não incluir o eixo imaginário (Re(s) = 0 ou s = jω), a
transformada de Fourier não converge.
x(t) = e−t u(t) −
→ X(s) =
a transformada X(s) tem k zeros no infinito.
L
Se a ordem do polinómio do numerador exceder a do
denominador:
x(t) tem transformada de Fourier
x(t) = −e−t u(−t) −
→ X(s) =
Ordem(N(s)) = Ordem(D(s)) + k
L
a transformada X(s) tem k pólos no infinito.
1
, Re(s) > −1
s+1
1
, Re(s) < −1
s+1
x(t) não tem transformada de Fourier
Exemplo
Propriedades da ROC
Propriedade 1: a ROC é composta por faixas
paralelas ao eixo imaginário.
( −at
e , 0<t<T
∀t ∈ , x(t) =
0,
caso contrário
Propriedade 2: para transformadas de Laplace
racionais, a ROC não contém pólos.
Propriedade 3: se x(t) for de duração finita e
absolutamente integrável, a ROC da sua
transformada é todo o plano s.
Solução:
∀s ∈ , X(s) =
( 1−e−(s+a)T
s+a
T,
,
s , −a
s = −a
Propriedades da ROC
Propriedades da ROC
Propriedade 4: se x(t) for um sinal lateral direito e se
a linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então todos os
valores de s tal que Re(s) > σ0 também pertencem à
ROC.
Propriedade 7: se a transformada de Laplace for
racional, então a sua ROC ou é limitada por pólos, ou
se estende até ao infinito.
Propriedade 8: se a transformada de Laplace for
racional, então se x(t) for lateral direito a ROC será a
região à direita do pólo mais à direita, se x(t) for
lateral esquerdo a ROC será a região à esquerda do
pólo mais à esquerda.
Propriedade 5: se x(t) for um sinal lateral esquerdo e
se a linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então todos os
valores de s tal que Re(s) < σ0 também pertencem à
ROC.
Propriedade 6: se x(t) for um sinal bi-lateral e se a
linha Re(s) = σ0 pertencer à ROC, então a ROC
consistirá numa faixa que inclui a linha Re(s) = σ0 .
Exemplo
Transformada de Laplace Inversa
No caso geral a inversão da transformada de Laplace
exige o recurso a um integral de circulação.
Determinar o número de sinais que podem ser associadas
à transformada de Laplace:
∀s ∈ , X(s) =
No entanto, se a transformada for uma função
racional, pode ser expandida na forma:
1
(s + 1)(s + 2)
Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral
esquerdo e um lateral direito.
X(s) =
m
X
A1
s + ai
i=1
Em função da região de convergência, o sinal x(t)
será uma soma de exponenciais na forma Ai e−ai t u(t)
ou −Ai e−ai t u(−t).
Exemplo
Solução
Considere a equação de uma transformada de Laplace:
x1 (t)
= e−t u(t) − e−2t u(t)
x2 (t) = −e−t u(−t) + e−2t u(−t)
x3 (t) = −e−t u(−t) − e−2t u(t)
1
∀s ∈ X(s) =
(s + 1)(s + 2)
Determine os sinais correspondentes à sua transformada
inversa considerando as seguintes regiões de
convergência:
1. Re(s) > −1
2. Re(s) < −2
3. −2 < Re(s) < −1
Linearidade
Deslocamento Temporal
ax1 (t) + bx2 (t) −
→ aX1 (s) + baX2 (s), ROC ⊃ R1 ∩ R2
x(t − t0 ) −
→ e−st0 X(s), ROC = R
L
L
A transformada de Laplace é uma operação linear.
Escalamento Temporal
Deslocamento no Domínio S
e s0 t x(t) −
→ X(s − s0 ), ROC = R + Re(s0 )
x(at) −
→
L
L
R
1 s
X( ), ROC =
|a| a
a
A ROC também é deslocada
Conjugado
Convolução
x(t)∗ −
→ X ∗ (s∗ ), ROC = R
x1 (t) ∗ x2 (t) −
→ X1 (s)X2 (s), ROC ⊃ R1 ∩ R2
Os pólos e os zeros aparecem em posições conjugadas.
A ROC pode ser maior se no produto houver cancelamento
de pólos com zeros.
L
L
Diferenciação no Tempo
Diferenciação no Domínio S
dx(t)
−
→ sX(s), ROC ⊃ R
dt L
−tx(t) −
→
L
dX(s)
, ROC = R
ds
Exemplo
Exemplo
Determinar a transformada de Laplace de:
Determinar a transformada de Laplace inversa de:
∀t ∈ , x(t) = te−at u(t)
∀s ∈ ∧ Re(s) > −1, X(s) =
Solução:
Solução:
1
, ROC = Re(s) > −a
X(s) =
(s + a)2
∀t ∈ , x(t) = [2te−t − e−t + 3e−2t ]u(t)
t
−∞
x(τ)dτ −
→
L
Integração no Tempo
Z
2s2 + 5s + 5
(s + 1)2 (s + 2)
Valor Inicial e Final
Se x(t) = 0 para t < 0 e se x(t) não tiver impulsos ou
singularidades de ordem superior na origem:
1
X(s), ROC ⊃ R ∩ {Re(s) > 0}
s
teorema do valor inicial:
x(0+ ) = lim sX(s)
s→∞
teorema do valor final:
lim x(t) = lim sX(s)
t→∞
s→0
Exemplo
Função de Transferência
As transformadas de Laplace da entrada e da saída de um
sistema linear e invariante no tempo relacionam-se por:
Utilize o teorema do valor inicial para verificar se as
seguintes funções constituem um par de Laplace:
∀s ∈ , Y(s) = H(s)X(s)
∀t ∈ , x(t) = e−2t u(t) + e−t cos(3t)u(t)
A H(s) chama-se função de transferência e é a transformada de Laplace da resposta impulsiva do sistema.
2s2 + 5s + 12
∀s ∈ ∧ Re(s) > −1, X(s) = 2
(s + 2s + 10)(s + 2)
Solução:
x(0+ ) = 2
lim s
s→∞
2s2 + 5s + 12
=2
(s2 + 2s + 10)(s + 2)
Pares de Transformadas de Laplace
1
, Re(s) > −a
s+a
1
, Re(s) < −a
−e−at u(−t) −
→
L
s+a
1
te−at u(t) −
→
, Re(s) > −a
L
(s + a)2
1
, Re(s) < −a
−te−at u(−t) −
→
L
(s + a)2
δ(t) −
→ 1, ∀s ∈
e−at u(t) −
→
L
L
δ(t − t0 ) −
→ e st0 , ∀s ∈
L
1
,
L
s
1
,
−u(−t) −
→
L
s
1
tu(t) −
→ 2,
L
s
1
−tu(−t) −
→ 2,
L
s
u(t) −
→
Re(s) > 0
Re(s) < 0
Re(s) > 0
Re(s) < 0
cos(ω0 t)u(t) −
→
L
sin(ω0 t)u(t) −
→
L
e
−at
cos(ω0 t)u(t) −
→
L
e−at sin(ω0 t)u(t) −
→
L
Causalidade
A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal
lateral direito
s
, Re(s) > 0
2
s + ω20
ω0
, Re(s) > 0
2
s + ω20
s+a
, Re(s) > −a
(s + a)2 + ω20
ω0
, Re(s) > −a
(s + a)2 + ω20
Se a função de transferência é racional admite a
factorização em fracções simples.
A transformada inversa das fracções simples envolve
a função u(t).
Num SLIT com função de transferência racional, a causalidade do sistema é equivalente à sua ROC ser o meio-plano
à direita do pólo mais à direita.
Exemplo
Exemplo
Determine a região de convergência da função de
transferência do sistema com a seguinte resposta ao
impulso:
impulso:
∀t ∈ , h(t) = e−t u(t)
∀t ∈ , h(t) = e−|t|
Solução:
Solução:
H(s) =
1
, ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −1}
s+1
H(s) =
−2
, ∀s ∈ {s ∈ | − 1 < Re(s) < 1}
−1
s2
A função de transferência é racional e a ROC é a região à
A função de transferência é racional e a ROC não é a região
direita do pólo mais à direita: o sistema é causal.
à direita do pólo mais à direita: o sistema não é causal.
Exemplo
Estabilidade
Considere um sistema linear e invariante no tempo com a
seguinte função de transferência:
Um sistema é estável se a sua resposta ao impulso
for absolutamente integrável.
es
, ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −1}
s+1
Determine a resposta ao impulso do sistema e verifique se
é causal.
Solução:
Nesse caso sua a transformada de Fourier converge.
H(s) =
∀t ∈ , h(t) = e
−(t+1)
u(t + 1)
Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da
transformada de Laplace tem de incluir o eixo
imaginário (s = jω).
Um SLIT é estável se e só se a ROC da função de transferência H(s) incluir o eixo imaginário.
O sistema não é causal apesar da ROC ser a região à
direita do pólo mais à direita: a função de transferência
não é racional.
Exemplo
Causalidade e Estabilidade
Considere um sistema estável linear e invariante no tempo
com a seguinte função de transferência:
H(s) =
s−1
(s + 1)(s − 2)
Um sistema causal com função de transferência H(s) racional é estável se e só se todos os pólos de H(s) estiverem
no semi-plano esquerdo (todos os pólos têm parte real negativa).
Determine a resposta ao impulso do sistema.
Solução:
Apesar de não ser dada a região de convergência, é dito
que o sistema é estável, pelo esta inclui o eixo imaginário:
{s ∈ | − 1 < Re(s) < 2}
2
1
∀t ∈ , h(t) = e−t u(t) − e2t u(−t)
3
3
Exemplo
Equações Diferenciais
impulso:
Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação
diferencial de coeficientes constantes:
N
X
∀t ∈ , h(t) = e2t u(t)
k=0
Comente a causalidade e estabilidade do sistema.
Solução:
H(s) =
M
dk y(t) X dk x(t)
bk
=
ak
dtk
dtk
k=0
Aplicando a propriedade da diferenciação:
1
, ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > 2}
s−2
H(s) =
O sistema é causal mas é instável porque tem um pólo no
PM
bk sk
Y(s)
= Pk=0
N
k
X(s)
k=0 ak s
semi-plano direito.
Exemplo
Exemplo
Considere um sistema linear e invariante no tempo em que
a entrada x(t) e a saída y(t) se relacionam pela equação
diferencial:
∀t ∈ ,
dy(t)
+ 3y(t) = x(t)
dt
Solução:
1
s+3
Sem mais informação não conseguimos determinar a
região de convergência.
Se o sistema for causal:
H(s) =
Verifique que a equação diferencial não especifica por comH(s) =
pleto o sistema.
1
, ∀s ∈ {s ∈ |Re(s) > −3}
s+3
a resposta ao impulso será:
∀t ∈ , h(t) = e−3t u(t)
Exemplo
Representação da Amplitude da TF
Considere que se conhecem os seguintes factos acerca
de um SLIT:
A propriedade da transformada de Fourier da convolução
aplicada a um sistema linear e invariante no tempo:
1. o sistema é causal;
Y( jω) = H( jω)X( jω)
2. a função de transferência é racional e tem dois pólos
em s = −2 e s = 4;
3. se x(t) = 1 então y(t) = 0;
4. a resposta impulsiva em t = 0+ vale 4.
20 log10 (|Y( jω)|) = 20 log10 (|H( jω)|) + 20 log10 (|X( jω)|)
Determine a sua função de transferência.
Esta escala de amplitudes refere-se à medida décibel
(dB).
Solução:
H(s) =
4s
, Re(s) > 4
(s + 2)(s − 4)
Como é muitas vezes mais simples fazer somas em vez de
multiplicações, a amplitude da transformada de Fourier
representa-se muitas vezes na forma logarítmica:
Décibel (dB)
Escala de Frequências Logarítmica
|H( jω)|dB = 20 log10 (|H( jω)|)
A representação da escala de frequências numa
escala logarítmica na forma log10 (ω) ou log10 ( f ) é
comum em sistema contínuos.
0 dB correspondem à resposta em frequência com
amplitude 1.
Esta representação permite uma visualização mais
compacta de uma gama de frequências do que a
representação linear.
+20 dB corresponde a um ganho de 10 vezes.
−20 dB corresponde a uma atenuação de 0,1.
A escala logarítmica de frequências permite uma
aproximação assimptótica de sistemas contínuos,
lineares e invariantes definidos por uma equação
diferencial.
−6 dB corresponde a uma atenuação aproximada 0,5.
+6 dB corresponde a um ganho aproximada de 2.
Aos gráficos de |H( jω)|dB e ∠H( jω) numa escala de
frequências logarítmica dá-se o nome de diagramas
de Bode.
Avaliação vectorial
Determinação Geométrica da CTFT
As transformada de Laplace racionais podem ser
representadas na forma:
| jω − βi | é o módulo do vector desde o zero βi ao
ponto s = jω;
| jω − αi | é o módulo do vector desde o pólo αi ao
ponto s = jω;
ΠR (s − βi )
X(s) = M Pi=1
Πi=1 (s − αi )
∠( jω − βi ) é ângulo que o vector desde o zero βi ao
ponto s = jω faz com o eixo real;
Fazendo s = jω:
∠( jω − αi ) é o ângulo que o vector desde o pólo αi ao
ponto s = jω faz com o eixo real.
ΠR | jω − βi |
|X( jω)| = |M| Pi=1
Πi=1 | jω − αi |
∠X( jω) =
R
X
∠( jω − βi ) −
P
X
∠( jω − αi )
i=1
i=1
Sistema de 1a Ordem
Exemplo
Esboçar a transformada de Fourier correspondente ao
sinal com transformafa de Laplace:
X(s) =
1
, Re(s) > −1
s+1
1
h(t) = e−t/τ u(t)
τ
A transformada de Laplace:
H(s) =
|X( jω)|2
=
1
ω2 +(1)2
Pólo:
∠X( jω) = − tan−1 (ω)
1
1
, Re(s) > −
sτ + 1
τ
s=−
1
τ
Conclusões
A transformada de Laplace pode ser vista como uma
generalização da transformada de Fourier.
Os sistemas e os sinais com transformada de Laplace
racional, podem ser caracterizados pelo seu mapa de
pólos e zeros.
A localização dos pólos e da região de convergência
permitem determinar características como a
causalidade e a estabilidade.
A partir do mapa de pólos e zeros permite obter
geometricamente a transformada de Fourier à parte
um factor de escala.

Transformada de Laplace

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