Sistemas de equações lineares Uma equação linear nas incógnitas

Sistemas de equações lineares
Definição: Equação linear
Uma equação linear nas incógnitas
x1, …, xn é uma equação do tipo
a1x1 + … + anxn = b
onde a1, …, an são os coeficientes da equação e
b o termo independente.
Um sistema de equações lineares é uma
colecção finita de equações lineares todas nas
mesmas incógnitas. Um sistema genérico com
m equações e n incógnitas representa-se na
forma matricial por
Au = b
onde A é a matriz dos coeficientes (m x n), u é
a matriz-coluna das incógnitas (n x 1) e b é a
matriz-coluna dos termos independentes(m x 1).
Uma solução do sistema é uma sequência
ordenada de n números que satisfaz todas as
equações do sistema. Uma solução também se
pode apresentar na forma de uma matriz-coluna
do tipo n × 1.
Resolver um sistema de equações lineares é
determinar todas as suas soluções ou provar que
não existe nenhuma.
Um sistema de equações lineares que tenha pelo
menos uma solução diz-se:
• possível e determinado se tiver um uma só
solução
•possível indeterminado se tiver infinitas
soluções
Um sistema de equações lineares que não tenha
nenhuma solução diz-se impossível.
Um sistema em que os termos independentes
são todos iguais a 0 diz-se homogéneo. Um
sistema homogéneo é sempre possível, pois
possui sempre, pelo menos, a chamada solução
nula.
Os métodos usualmente utilizados para resolver
sistemas de equações lineares são:
1- Método de substituição
2- Método da adição ordenada
O algoritmo de eliminação de Gauss
Dado um sistema de m equações lineares e n
incógnitas, Au=b, constrói-se a matriz ampliada do
sistema, [A⏐b]. Condensando a matriz ampliada
obtemos uma nova matriz [C⏐d], que é a matriz
ampliada do sistema Cv=d. Então os dois sistemas
são equivalentes (têm as mesmas soluções).
Este sistema é mais fácil de resolver, uma vez que a
matriz ampliada é uma matriz em escada de linhas.
Notas
1. Sempre que surja um zero na posição em que
devia estar um pivot, procura-se resolver o
problema mediante a troca dessa linha com a
que se lhe segue. Se também essa tiver um
zero na posição em causa tenta-se a seguinte,
etc.
2. Se nenhuma troca de linhas resolver o
problema, o pivot passa a ser procurado entre
as colunas seguintes. Por essa razão, no
sistema condensado Cv=d, representou-se a
matriz das incógnitas por v, pois essa troca
de colunas, implica troca de posição entre as
incógnitas.
Podemos afirmar que:
Um sistema de m equações e n incógnitas é
possível, se e só se, a característica da matriz
simples é igual à da matriz ampliada.
Classificação de sistemas
Dado um sistema de n incógnitas, Au=b tem-se :
• car A ≠car [A⏐b] → sistema impossível
• car A =car [A⏐b] → sistema possível
• car A=n → s.p. determinado
• car A< n → s.p. indeterminado,
com grau de indeterminação=n- car A.