faculdade estadual de filosofia, ciências e letras de união da vitória

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE UNIÃO DA
VITÓRIA
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
VANESSA VERBANEK
OS TREZE POLIEDROS ARQUIMEDIANOS: COMPREENSÃO,
CARACTERIZAÇÃO E UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA A EDUCAÇÃO
BÁSICA
UNIÃO DA VITÓRIA - PR
2012
VANESSA VERBANEK
OS TREZE POLIEDROS ARQUIMEDIANOS: COMPREENSÃO,
CARACTERIZAÇÃO E UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA A EDUCAÇÃO
BÁSICA
.
Trabalho de conclusão de curso apresentado para
obtenção do título de licenciado em Matemática na
Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de
União da Vitória - FAFIUV.
Orientador: Everton José Goldoni Estevam
UNIÃO DA VITÓRIA – PR
2012
ii
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado força, coragem e determinação, por nunca ter me
deixado nos momentos difíceis, por me trazer a esperança quando tudo parecia
perdido e por ter permitido que eu chegasse até aqui.
Aos meus pais, Arno e Cristiane, que amo muito por terem me dado a vida, o
amor, o apoio e o incentivo. Obrigada por terem compartilhado comigo esse sonho e
hoje ter a alegria de vê-lo realizado.
Às minhas irmãs, Patrícia e Thaís, que se fizeram presentes durante toda
essa caminhada e que além de irmãs são grandes amigas.
Ao meu namorado, Marcos Daniel, por me consolar, por me fazer rir, me dar
amor, carinho e incentivo.
Aos meus avós, Hugo e Margarida, por sempre estarem ao meu lado.
Aos amigos da faculdade, pois juntos sonhamos o mesmo sonho e sentimos
as mesmas angústias. A amizade aqui formada jamais será esquecida. Em especial,
às minhas amigas Bruna, Juliane, Tatiana, Keity, Mauren e Daniel.
Ao Professor Mestre Everton José Goldoni Estevam, que se dedicou muito
para a realização deste trabalho e em meio à sua agenda lotada sempre se fez
presente me auxiliando e transmitindo seus conhecimentos. Além de um ótimo
orientador se tornou um grande amigo. Obrigada pela paciência, compreensão,
incentivo e respeito, pois sem você esse trabalho não seria possível.
Agradeço a todos pela compreensão de muitas vezes que não me fiz
presente, pois troquei a compania de vocês pelos livros e hoje só queria dizer que
essa conquista não é apenas minha, mas nossa, pois sem vocês eu não teria
conseguido vencer essa importante etapa da minha vida. A todos vocês, o mais
sincero Obrigada.
iii
"A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de
raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na
pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida!"
Jacques Bernoulli
iv
RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo revisitar os Poliedros Arquimedianos, caracterizá-los e discutir
uma possível proposta didática utilizando como metodologia de ensino os materiais manipuláveis e o
software Poly. Para investigarmos e explorarmos este conteúdo de geometria, recorremos a um
estudo bibliográfico que permitiu o desenvolvimento da pesquisa, apontando que o maior obstáculo
na abordagem dos Poliedros Arquimedianos pelos professores está pautado na dificuldade de
visualização. Partimos de alguns aspectos e conceitos que envolvem a Geometria Espacial, como
demostrações, propriedades e definições para desenvolvermos o processo de contrução dos
Poliedros Arquimedianos, sob o pressuposto de que eles se constituem a partir de truncaturas
(cortes) nos Poliedros Platônicos. A opção metodológica contribuiu para o alcance do objetivo
desejado, visto que nos permitiu pensar uma proposta didática na qual os materiais manipuláveis
podem auxiliar na obtenção dos Poliedros Arquimedianos, a partir de sequência de truncaturas nos
Platônicos, e o software Poly proporcionar visualização e investigação quanto às características e
relações envolvendo faces, arestas e vértices desses sólidos, o que torna as aulas de geometria
espacial dinâmicas e significativas.
Palavras-Chave: Poliedros Arquimedianos, Geometria, Software Poly, Materiais Manipuláveis.
v
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de polígonos ................................................................................ 12
Figura 2: Exemplos e características de não-polígonos ............................................ 13
Figura 3: Exemplos de poliedros. .............................................................................. 13
Figura 4: Exemplos de não-poliédros. ....................................................................... 14
Figura 5: Sólidos geométricos. .................................................................................. 15
Figura 6: Exemplo de Poliedro. ................................................................................. 17
Figura 7: Poliedro convexo (a) e poliedro não-convexo (b). ...................................... 17
Figura 8: Poliedros regulares convexos. ................................................................... 18
Figura 9: Poliedros regulares não convexos. ............................................................ 19
Figura 10: Poliedros Arquimedianos. ........................................................................ 19
Figura 11: Poliedro não-Arquimedino. ....................................................................... 20
Figura 12: Poliedros irregulares. ............................................................................... 20
Figura 13: Exemplo de truncatura. ............................................................................ 27
Figura 14: Tetraedro truncado. .................................................................................. 33
Figura 15: Octaedro truncado.................................................................................... 34
Figura 16: Icosaedro Truncado. ................................................................................ 35
Figura 17: Cubo Truncado. ....................................................................................... 35
Figura 18: Dodecaedro Truncado.............................................................................. 36
Figura 19: Rombicuboctaedro. .................................................................................. 38
Figura 20: Cuboctaedro. ............................................................................................ 39
Figura 21: Dodecaicosaedro. .................................................................................... 39
Figura 22: Cubo – Rombo. ........................................................................................ 40
Figura 23: Dodecaedro – Rombo. ............................................................................. 41
Figura 24: Cuboctaedro Truncado............................................................................. 42
Figura 25: Icosidodecaedro Truncado. ...................................................................... 43
Figura 26: Rombicosidodecaedro.............................................................................. 44
Figura 27: Representações de truncaturas nos vértices de um sólido geométrico ... 45
Figura 28: Estudos do Octaedro Truncado................................................................ 57
Figura 29: Estudos do IcosaedroTruncado ............................................................... 59
Figura 30: Estudo do Cuboctaedro............................................................................ 61
Figura 31: Estudos do CuboctaedroTruncado. .......................................................... 63
vi
Figura 32: Poliedros Arquimedianos com 2 tipos de faces e ângulos triédricos ........ 65
Figura 33: Poliedros Arquimedianos com 3 tipos de faces e ângulos triédricos ........ 65
Figura 34: Poliedros Arquimedianos com 2 tipos de faces e ângulos tetraédricos ... 65
Figura 35: Poliedros Arquimedianos com 2 tipos de faces e ângulos pentaédricos .. 66
Figura 36: Poliedro Arquimediano com 3 tipos de faces e ângulos pentaédricos ..... 66
Figura 37: Moldes de Poliedros Aquimedianos. ........................................................ 69
Figura 38: Molde dos Poliedros Aquimedianos e Platônicos ..................................... 70
Figura 39: Exemplo de Truncatura Modificada .......................................................... 72
Figura 40: Truncatura no Octaedro Regular para obter o Octaedro Truncado .......... 73
Figura 41: Truncatura no Icosaedro Regular para obter o Icosaedro Truncado ........ 73
Figura 42: Truncatura no Cubo para obter o Cuboctaedro ........................................ 74
Figura 43: Truncaturas no cubo e no cuboctaedro para obter o cuboctaedro truncado
.................................................................................................................................. 75
vii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 8
2 SITUANDO O CAMPO DE PESQUISA: GEOMETRIA ESPACIAL .................................. 10
2.1 POLIEDROS .............................................................................................................. 16
2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS ........................................................................ 17
2.3 PESQUISA REALIZADA EM LIVROS DIDÁTICOS .................................................... 21
3 COMPREENDENDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS ............................................. 26
3.1
POLIEDROS SEMI-REGULARES EQUIANGULARES .......................................... 28
3.2 PESQUISA E DEMOSTRAÇÃO DE QUE SÓ HÁ TREZE GÊNEROS DE POLIEDROS
INDIVIDUAIS SEMI-REGULARES ................................................................................... 30
3.2.1 Pesquisa e demonstração do número de poliedros semi-regulares existente, que
só têm dois tipos de faces ............................................................................................ 32
3.2.2 Pesquisa e Demostração do número de Poliedros semi-regulares equiangulares
existentes, que têm três tipos de faces ......................................................................... 41
4 O ENSINO DOS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS .......................................................... 46
4.1 A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULAVEIS E SOFTWARES NAS AULAS DE
MATEMÁTICA.................................................................................................................. 47
5 DESCRIÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO ..................................................................... 52
5.1 ESTUDANDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS COM O SOFTWARE POLY ...... 53
5.2
ESTUDANDO
OS
POLIEDROS
ARQUIMEDIANOS
COM
MATERIAL
MANIPULÁVEL.. .............................................................................................................. 68
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES ................................................................ 77
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 79
8
1 INTRODUÇÃO
Quando pensamos na elaboração de um Trabalho de Conclusão de Curso,
deparamo-nos com a necessidade de optar por um campo, dentre os diversos
existentes na Matemática, para aprofundarmos nossas discussões. No presente
trabalho abordamos a Geometria, ramo da matemática cujo objeto de estudo é o
espaço e as figuras que podem ocupá-lo, pautando-se em definições, axiomas,
postulados, teoremas e corolários. Uma abordagem etimológica do termo corrobora
essa definição, uma vez que geo significa terra, solo e metria remete à medida.
Dessa forma, geometria significa “medida da terra”.
Refletindo sobre minha própria formação, penso que no período em que
estudei no ensino fundamental e médio a geometria foi apenas apresentada,
reduzida à nomenclatura, à identificação visual, ao cálculo de áreas e alturas de
algumas
figuras
paralelogramo,
mais
retângulo,
conhecidas
pentágono
como:
e
pirâmide,
hexágono,
quadrado,
não
sendo
losango,
tratados
adequadamente os axiomas e teoremas que regem esta área do conhecimento
matemático. Tal situação acarretou uma grande dificuldade ao entrar na faculdade,
pois faltava base para o meu conhecimento. Ao conhecer mais profundamente a
geometria, fiquei encantada com a perfeição de cada teorema, uma vez que pude
perceber como essa área da matemática é rica em conhecimento, bem como nos
auxilia a desenvolver o raciocínio na matemática como um todo. Assim, a geometria
se tornou uma das áreas da matemática que mais me identifico e admiro.
No que concerne ao tema de investigação, ele surgiu em virtude do pouco
conhecimento obtido sobre o assunto no decorrer do curso. Assim, amadurecemos
(eu e meu orientador) a ideia de trabalhar com os poliedros, mais especificamente,
os Poliedros Arquimedianos. Para nossa surpresa, após definido o tema,
encontramos muita dificuldade em conseguir materiais que pudessem auxiliar-nos
na construção deste trabalho. Realizando uma pesquisa em livros, dissertações e
teses, encontramos: o livro Poliedros Regulares e as suas Extensões (FONTES,
1967) e o livro Poliedros (RANGEL,1976), os quais apresentam as propriedades
métricas e as demonstrações dos treze Poliedros Arquimedianos; e as dissertações
desenvolvidas por Almeida (2010), e por Silva (2008). Pesquisamos ainda alguns
livros didáticos, pois, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN),
9
este assunto deve ser trabalhado no ensino médio, e podemos afirmar que em
nenhum dos livros pesquisados os Poliedros Arquimedianos apareceram1.
Realizando trabalho semelhante, Almeida (2010) também evidenciou a quase
inexistência de materiais brasileiros tratando dos Poliedros Arquimedianos.
Além disso, o estudo revelou que outros tipos de Poliedros como, por
exemplo, os de Platão2 aparecem em diversos materiais, incluindo os livros
didáticos, dissertações, teses e artigos.
O trabalho aqui apresentado encontra-se organizado em cinco partes. No
próximo capitulo fazemos uma discussão quanto à Geometria Espacial e os
Poliedros. No terceiro, discutimos e caracterizamos os Poliedros Arquimedianos, a
partir de alguns elementos históricos. No quarto capítulo, refletimos sobre a
possibilidade de abordagem desses conceitos utilizando como metodologia os
materiais manipuláveis e a tecnologia. O quinto capítulo é dedicado à estruturação
de uma proposta didática envolvendo o software Poly e materiais manipuláveis. E
finalmente, no último capítulo apresentamos nossas considerações e conclusões.
1
2
A pesquisa realizada nos livros didáticos será mais bem definida no item 2.3.
Os Poliedros Platonicos serão definidos em 2.1
10
2 SITUANDO O CAMPO DE PESQUISA: GEOMETRIA ESPACIAL
Os PCN (BRASIL, 1998) dispõem que a geometria permite compreender
melhor as obras da natureza e do homem, desempenhando um papel fundamental
no currículo, à medida que contribui para o desenvolvimento de algumas habilidades
essenciais às atividades do dia a dia.
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por
exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias
percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber
usar diferentes unidades de medida. (BRASIL, 2006, p. 75).
De acordo com Grando (2009), o estudo da geometria na educação básica
traz aos alunos uma grande contribuição no entendimento de outras áreas da
matemática, como a álgebra e a aritmética. A geometria também tem ligações com
áreas externas à matemática, como a física e a química, nas quais o aluno pode
consolidar a ideia de grandeza (densidade, aceleração, por exemplo).
Loureiro (2009 apud LIMA, 2010) defende o ensino da geometria na
educação básica e acredita que um de seus grandes valores é a contribuição na
representação e visualização, componentes fundamentais do raciocínio geométrico
e da matemática em geral.
Um dos princípios da geometria são os conceitos sobre ponto, reta e plano,
que podem ser compreendidos da seguinte maneira:

Ponto: não possui definição, mas o matemático Euclides o entende
como sendo “aquilo que não tem parte” (pode-se imaginar um ponto
de caneta, um furo com uma agulha);

Reta: é uma linha infinita que tem uma única direção;

Plano: é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas
as direções (sua representação pode ser imaginada como uma folha
de papel A4 infinita).
É importante sabermos, ou ao menos termos uma ideia intuitiva, dos
conceitos citados, pois são importantes para entendermos algumas proposições,
postulados e axiomas, existentes na geometria.
A geometria encontra-se dividida em euclidianas e não-euclidianas. A
primeira trata de superfícies planas e foi desenvolvida pelo matemático Euclides com
11
base em cinco proposições primitivas, conhecidas como postulados. De acordo com
Braz (2009), são eles:
Postulado 1 : Pode ser desenhada uma linha reta conectando qualquer par de
pontos.
Postulado 2 : Uma reta pode ser prolongada indefinidamente.
Postulado 3 : Dado um segmento reto, um círculo pode ser desenhado tendo o
segmento como raio e um dos seus extremos como o centro.
Postulado 4 : Todos os ângulos retos são congruentes (iguais).
Postulado 5 : Se duas retas intersectam uma terceira reta de tal forma que a soma
dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então
prolongando as duas retas indefinidamente, elas se encontram naquele lado cuja
soma dos ângulos internos é menor que dois retos.
O quinto postulado é também conhecido como Postulado de Paralelismo e
até hoje não foi possível prová-lo como um teorema.
Na geometria euclidiana não podemos definir superfícies curvas. Esse,
portanto, é um dos motivos que origina a geometria não-euclidiana, estudada e
desenvolvida por alguns matemáticos como: Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann.
Segundo o Observatório Nacional (BRASIL, S. N.), essa geometria surgiu quando
esses matemáticos resolveram desprezar o quinto postulado de Euclides, citado
acima, e considerar exatamente o oposto, ou seja, que “através de um ponto C não
situado sobre uma dada linha reta AB, pudéssemos traçar não uma mas duas, e
consequentemente um número infinito, de linhas paralelas a AB”. (BRASIL, S.N., p.
3)
Ao construírem a “nova” geometria baseada nesse axioma, puderam
perceber que não havia contradições e encontraram, para a geometria não
euclidiana, características interessantes e únicas.
Embora tenhamos tratado diversos aspectos que permeiam o campo da
Geometria,
cabe
salientar
que
no
presente
trabalho
trataremos,
mais
especificamente, da Geometria Espacial, que se refere ao estudo da geometria no
espaço, isto é, figuras com mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome
de sólidos geométricos e integram a geometria euclidiana.
A matemática é a mais antiga das ciências, uma vez que ela surgiu nas
antigas civilizações egípcias. A geometria espacial teve início nos estudos feitos
pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios
12
Tigre e Eufrates), datados aproximadamente dois mil anos a.C. e uma grande parte
do conhecimento que temos hoje foi retirada dos documentos conhecidos por
papiros (documentos deixados pelos estudiosos da mesopotâmia). Foi estudada em
particular pelos filósofos e matemáticos Arquimedes, Platão e Pitágoras. Apesar de
toda colaboração por eles deixada sobre a geometria espacial, ela parece ter sido
esquecida por aproximadamente mil anos, quando no período denominado
historicamente “renascimento” ela voltou a ser estudada por outros matemáticos.
De acordo com Sá (2010), podemos descrever a geometria espacial como
uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) que trata dos métodos
apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre
esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial são:
pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os
principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de
curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. (p.1)
A geometria espacial estuda, portanto, os sólidos geométricos definidos por
regiões do espaço limitadas por uma superfície fechada ou ainda volumes que têm
na sua constituição figuras geométricas. Essas figuras podem ser identificadas por
meio da planificação, na qual uma figura plana nos permite, através de dobragem e
colagem, obter o modelo do sólido pretendido.
Segundo Lima (2010), na geometria temos as figuras planas que “ficam” no
plano e as não-planas que “saem” do plano. As planas são classificadas em
polígonos de região fechada que utilizam apenas contornos retos, e não-polígonos
com regiões abertas e contornos curvos e retos. Temos como definição de polígono
toda figura plana limitada por segmentos de reta chamados lados do polígono, na
qual cada segmento de reta intersecta exatamente dois outros extremos. A Figura 1
apresenta alguns exemplos de polígonos, enquanto a Figura 2 traz algumas
características de não-polígonos:
Figura 1: Exemplo de polígonos
Fonte: http://aprenderpassoapasso.blogspot.com.br/2011/10/poligonos-e-nao-poligonos.html
13
Seus lados não
intersectam exatamente
dois outros extremos.
Não é limitada por de
segmentos de reta.
Não é uma figura
fechada.
Figura 2: Exemplos e características de não-polígonos
Fonte: http://aprenderpassoapasso.blogspot.com.br/2011/10/poligonos-e-nao-poligonos.html
Classificamos ainda as figuras não-planas em dois grupos: os poliédros,
que são toda superfície poliédrica fechada, sendo esta última entendida como a
junção de um número limitado n (n ∈ N*) de polígonos planos3; e as não-poliédros,
que são limitadas por superfícies arredondadas (como a esfera) ou por superfícies
arredondadas e planas (caso do cone e cilindro, por exemplo). As figuras 3 e 4
elucidam melhor essa classificação, apresentando exemplos de poliedros e nãopoliedros, respectivamente.
Figura 3: Exemplos de poliedros.
Fonte:http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010/10/solidos-geometricos.html
3
Uma discussão mais aprofundada quanto aos poliedros será realizada no item 2.1.
14
Figura 4: Exemplos de não-poliédros.
Fonte: http://junior.te.pt/escolinha/anosLista.jsp?id=196&p=5&d=mat&t=ap
Os sólidos geométricos são encontrados nas diferentes formas existentes ao
nosso redor, como exemplo, temos objetos em nosso dia a dia o qual seu formato
lembra alguns sólidos como: as casquinhas de sorvete, caixa d’água, caixa de
sapatos, entre outros.
Para exemplificar os sólidos geométricos nomeamos alguns deles: Prisma,
Cilindro, Cone, Pirâmides triangulares e quadrangulares, Cubo e Paralelepípedo. A
figura 5 traz as representações dos exemplos citados acima.
15
PRISMA HEXAGONAL
CILINDRO
CONE
PIRÂMIDE TRIANGULAR
PIRÂMIDE QUADRANGULAR
CUBO
PARALELEPÍPEDO
Figura 5: Sólidos geométricos.
Fontes: http://tudo-matematica.blogspot.com.br/2011/07/prisma.html
http://www.letmebuy.com/cone
http://www.reidaverdade.com/cilindro-eletrico-hidraulico.html
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=27090
16
2.1 POLIEDROS
Os objetos de estudo do nosso trabalho serão os Poliedros, situados no
conteúdo da geometria espacial, como discutimos no item anterior. Podemos pensar
então: por que estudamos os poliedros? Uma possível resposta está pautada na
presença de figuras desse tipo em muitos lugares, pois vivemos em um mundo com
três dimensões. Dessa forma, encontramos poliedros na história da humanidade
como, por exemplo, as pirâmides do Egito. É possível percebê-los também na
natureza, nas estruturas das radidarias (plânctons marinhos), em indústrias na
fabricação de embalagens, no futebol, no qual a bola tem um formato de poliedro.
Para Rangel (1976), Poliedro pode ser definido como :
toda superfície poliédrica fechada. Poliedro é, portanto, a superfície que
pode ser concebida como um conjunto de polígonos tais que cada lado de
uma face pertence, sempre, a duas faces, e os polígonos não são
coplanares. (p. 6)
De acordo com o Novo Dicionário de Língua Portuguesa (Aurélio), o termo
poliedro é designado para sólido limitado por polígonos planos.
Contudo,
Quando observamos a definição de poliedros apresentada em livros de
Geometria Espacial, percebemos contradições nos discursos de autores,
que embora considerem poliedros como sólidos, não os definem como tal.
(ALMEIDA, 2010, p. 26)
Uma análise etimológica permite-nos elucidar algumas questões. A palavra
Poliedro provém do grego poly (muitos) + edro (face), ou seja, podemos entender
Poliedros como um sólido de muitas faces. Eles são limitados externamente no
espaço R3, pois caracterizam-se por possuir três dimensões, sendo elas:
comprimento, largura e altura ou espessura. As arestas são as interseções das
faces e o encontro das arestas são os vértices do poliedro. Cada face tem n lados
com n≥3.
17
Figura 6: Exemplo de Poliedro.
Fonte: http://dc143.4shared.com/img/jKEoImjh/preview.html
Os Poliedros podem ser classificados ainda como convexos e não-convexos.
Os Poliedros são ditos convexos se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas
faces) o corta em apenas dois pontos. Já os não-convexos cortam em mais de dois
pontos, como mostra a figura:
(a)
(b)
Figura 7: Poliedro convexo (a) e poliedro não-convexo (b).
Fonte: Bulla e Gerônimo (2011, p. 06)
2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS POLIEDROS
De acordo com Barison (2012), os poliedros podem ser divididos em três
grupos conforme suas faces e ângulos:

Regulares: Regulares convexos são os Poliedros cujas faces são
polígonos regulares congruentes entre si, e cujos ângulos são todos iguais. Isto
18
significa que existe uma simetria do Poliedro que transforma cada face, cada aresta
e cada vértice numa outra face, aresta ou vértice. São conhecidos também por
sólidos Platônicos4. Os cinco Poliedros regulares convexos são: tetraedro regular,
cubo ou hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro e icosaedro regular, e
encontram-se representados na figura abaixo.
Figura 8: Poliedros regulares convexos.
Fonte:http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010/10/solidos-geometricos.html
Já nos Poliedros regulares não convexos o plano de pelo menos uma face
divide o poliedro em duas ou mais partes. Também são conhecidos como poliedros
de Kepler-Poinsot ou Poliedros Estrelados, construídos a partir do dodecaedro e do
icosaedro.
4
Toda vez que nos referirmos aos Poliedros Platônicos estaremos falando dos Poliedros Regulares
Convexos.
19
Grande Dodecaedro
Pequeno Dodecaedro
Estrelado
Grande Dodecaedro
Estrelado
Figura 9: Poliedros regulares não convexos.
Fonte: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab4/5serie.html

Semi-regulares: são todos os Poliedros que apresentam uma das
seguintes formas:
a)
Os ângulos dos sólidos são todos iguais entre si, mas as faces não são
iguais, embora sejam polígonos regulares. Esses são conhecidos por Poliedros
semi-regulares
equiangulares
ou
Poliedros
Arquimedianos.
São
eles:
Tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicosetroncoedros, alguns dos Poliedros
que se encontram dentro destes três grupos estão representados na Figura 10.
Cubo Truncado
Rombicuboctaedro
Cubo-Rombo
Figura 10: Poliedros Arquimedianos.
Fonte: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab4/5serie.htm
20
b)
As faces são todas iguais entre si, mas os ângulos não são iguais. Esses
Poliedros são chamados de Poliedros semi-regulares equifaciais ou poliedros semiregulares não-Arquimedianos. Uma representação consta na figura a seguir.
Dodecaedro Romboidal
Figura 11: Poliedro não-Arquimedino.
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_20t.php

Irregulares: são aqueles que não admitem lei de geração que os
caracterize com perfeição, sendo divididos em três grupos: Pirâmide Irregular,
Prisma Irregular e Antiprisma.
PIRÂMIDE IRREGULAR
PRISMA IRREGULAR
ANTIPRISMA
Figura 12: Poliedros irregulares.
Fontes:http://ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110822_piramides.elp/clases_de_pirmi
des.html
http://www.geoka.net/poliedros/prisma_geometria.html
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/
poliedros.htm
21
2.3 PESQUISA REALIZADA EM LIVROS DIDÁTICOS
Procuramos pesquisar a forma como a geometria, os Poliedros e,
sobretudo, os Poliedros Arquimedianos estão presentes no currículo do ensino
fundamental e médio das escolas. Encontramos nos PCN (BRASIL,1999) a
importância dos alunos perceberem a matemática como um sistema de códigos e
regras que permite modelar a realidade e interpretá-la.
Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na
leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na
compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da
Matemática especialmente ligadas às aplicações. (p.40, grifo nosso).
A geometria condiciona os alunos a perceberem o espaço de diferentes
pontos de vista, terem noções de direção, sentido, distância, ângulo e muitas outras
essências do pensamento geométrico.
A geometria, ostensivamente presente nas formas naturais e construídas, é
essencial à descrição, à representação, à medida e ao dimensionamento de
uma infinidade de objetos e espaços na vida diária e nos sistemas
produtivos e de serviço. No ensino médio, trata de suas formas planas e
tridimensionais, suas representações em desenhos, planificações
modelos e objetos do mundo concreto. Para o desenvolvimento desse
tema, são propostas quatro unidade temáticas: geometria plana, espacial,
métrica e analítica. (BRASIL, 2002, p. 123, grifo nosso).
Desta forma inferimos que os Poliedros devem ser trabalhados na
educação básica, utilizando desenhos e materiais concretos, que possibilitem a
visualização dos sólidos e suas dimensões.
Os PCN (Brasil, 1998) destacam a contrução de figuras geométricas com
régua e compasso, para que os alunos possam visualizar, representar e interpretar.
Com relação a esses conceitos, esse documeto aponta:
[...] classificação de figuras tridimencionais e bidimensionais segundo,
critérios diversos como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e
não regulares; prisma, pirâmide e outros poliedros; círculos, polígonos e
outras figuras; número de lado dos polígonos; eixo de simetria de um
polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. (BRASIL,
1998, p. 73, grifo nosso).
Apesar da contribuição que a geometria traz às pessoas, Grando (2009)
acredita que de uma forma geral, ela está esquecida pelos professores da área de
matemática, tanto no ensino fundamental como no médio. Segundo a mesma
autora, pode-se notar o grande desconhecimeto
faculdade de matemática na disciplina de geometria.
dos alunos que ingressam na
22
Como docente da disciplina de Geometria Euclidiana há mais de oito anos,
tenho observado que a situação de abandono desse conteúdo na educação
básica vem se agravando. O conhecimento em Geometria dos alunos
ingressantes no curso de Matemática tem se restringido à nomenclatura de
alguns polígonos, à identificação visual destes, às medidas (área, perímetro
e aplicação do teorema de Pitágoras) e a algumas experimentações
(recorte, colagem, dobraduras e manipulação de materiais), livres de
teorizações. (GRANDO, 2009 , p. 203).
Lima (2010) também acredita na desvalorização da geometria na sala de
aula e, quando questionados por essa desvalorização, a grande maioria dos
professores alega falta de tempo ou dificuldade dos alunos em compreender os
conceitos e propriedades de geometria.
No que concerne aos Poliedros, Proença e Pirola (2005) acreditam que os
alunos têm dificuldades nas tarefas realizadas que abordam os conceitos básicos da
geometria, especificamente sobre polígonos e Poliedros, e principalmente na
discriminação entre figuras planas e não-planas.
Quanto aos Poliedros no ensino fundamental econtramos nos PCN
(BRASIL, 1997) as seguintes orientações para o estudo de Formas e Espaços:

Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros (como
os prismas as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces,
vértices e arestas.

Composição e decomposição de figuras tridimensionais,
identificando diferentes possibilidades.

Exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais.

Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando
critérios como número de lados, número de ângulo, eixos de simetria, etc.

Representações de figuras geométricas. (p. 88, grifo nosso).
Podemos considerar as mesmas orientações para o ensino médio, pois se
baseia nos mesmos itens apontados, complementando de uma maneira mais ampla
e desenvolvendo as capacidades de abstração e raciocínio já estudadas no ensino
fundamental.
Em um refinamento para sabermos o que realmente acontece na educação
básica com relação aos Poliedros, realizamos uma análise em seis livros didáticos
do ensino médio. Dentre eles, escolhemos dois para descrevermos nesse trabalho,
pois alguns continham os mesmos tópicos ou abrangiam os mesmos conteúdos
relacionados à geometria, que nos interessam.
23
Os PCN trazem5 que os Poliedros, incluindo os Arquimedianos, devem ser
estudados no ensino médio, neste sentido fizemos a análise em livros da 2ª série do
ensino médio da rede pública do Paraná, pois os livros didáticos das 1ª e 3ª séries
abrangem outros conteúdos da geometria. Neste estudo nos preocupamos em
analisar se os Poliedros, em geral, e os Poliedros Arquimedianos aparecem como
conteúdos matemáticos programados. Nossas considerações então apresentadas a
seguir:
1º Livro Didático: PACCOLA, Herval; BIANCHINI, Ediwaldo. Matemática.
1ª Ed. – São Paulo: Moderna, 2004. O capítulo 8 é especificamente sobre Poliedros.
Já na primeira página, na qual está sendo introduzido o conteúdo descrito na forma
de história da matemática, encontramos uma tarja com o seguinte dizer: “Neste
capítulo estudaremos os principais poliedros, suas propriedades, área e volume”.
Inicialmente os autores denominam as partes dos Poliedros: faces, arestas e
vértices. Em seguida, são definidos Poliedros, Poliedros convexos e Poliedros
regulares, apresentando algumas figuras para exemplificar. Discute-se aspectos
relacionados aos Poliedros específicos, na seguinte ordem: prismas, prismas
regulares, áreas da superfície do prisma, paralelepípedos, diagonal de um
paralelepípedo retângulo, pirâmides, pirâmides regulares, área da superfície de uma
pirâmide, tetraedro, volume de uma pirâmide e finaliza com o tronco de pirâmide. Na
análise desse livro, concluímos que o autor em nenhum momento tratou a questão
da geometria como um todo, como por exemplo, seus axiomas e teoremas; não
citou que a maioria das figuras geométricas estão no espaço tridimensional, nem
que as figuras trabalhadas neste capítulo fazem parte da geometria espacial.
Abordar estas questões faz com que os alunos se situem no conteúdo que está
sendo estudado e o compreendam melhor.
O que mais nos preocupou
foi a
questão dos Poliedros estarem tão reduzida, pois não foi definido nem relatado que
existem os Poliedros não-convexos e os irregulares. Os autores também deixaram a
desejar na abordagem dada aos Poliedros semi-regulares, pois não consta nada
sobre esse assunto no livro didático analisado. Como citamos no início da análise
deste livro, os autores descrevem os Poliedros abordados, como os mais
importantes, o que nos leva a inferir que para tais autores os Arquimedianos não são
5
Observamos que, embora os Poliedros Arquimedianos não estejam explicitamente descritos nos
PCN, sabemos que eles estão vinculados ao estudo dos Poliedros.
24
importantes. Não podemos afirmar isso, pois, tudo que é descoberto e estudado tem
seu lugar e sua importância. No caso dos Poliedros Arquimedianos não é diferente.
Eles têm caracteristicas únicas que valem a pena serem estudadas ou minimamente
conhecidas. Pensemos, então, no caso de um aluno que depois de concluir o Ensino
Médio, vai ingressar no ensino superior em um curso diferente da licenciatura ou
bacharelado em matemática. Ele pode vir a nunca saber que existem os poliedros
Arquimedianos e isso não é justo, nem com os alunos, nem com os estudiosos do
passado que dedicaram muito tempo de suas vidas para descobrí-los. Temos uma
preocupação especial com os Poliedros Arquimedianos, uma vez que percebemos
uma exclusão desse conteúdo no tratamento dado à Geometria.
2º Livro Didático: PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª Ed. São Paulo:
Moderna, 2004. Esse livro aborda mais conteúdos específicos de Geometria,
conforme a descrição a seguir: No capítulo 12, denominado Geometria de Posição e
Poliedros, o autor começa com uma noção de Geometria abordando vários tópicos
importantes como relações das retas, planos e axiomas da geometria. Em seguida,
trata dos Poliedros, começando com o exemplo da bola de futebol, “figura que será
definida a seguir”. Logo define região poligonal convexa e Poliedros convexos,
ambos com figuras exemplificando. Segue com os elementos de um polígono
convexo, traz como nota os Poliedros não-convexos e define Poliedros regulares,
exemplificando com figuras.
No capítulo posterior, o autor descreve apenas os
prismas e as pirâmides, da mesma forma como foi apresentada no 1º livro analisado.
Na análise deste segundo livro, concluímos que o autor abrange mais conteúdos
relacionados à geometria, utilizou ideias relacionadas a este campo da Matemática
na introdução do capítulo e só então descreveu os Poliedros. Neste livro, o autor
trouxe como nota a questão dos Poliedros não-convexos, mas, como na primeira
análise, deixou a desejar na parte que diz respeito às outras classificações dos
poliedros. Podemos notar que o livro cita como introdução aos Poliedros a bola de
futebol, que é um Poliedro semi-regular, portanto Poliedro Arquimediano, no qual em
nenhum momento definiu ou nomeou.
Em um apanhado geral, percebemos que apenas os Poliedros regulares
convexos, também conhecidos por Platônicos, são estudados na educação básica, e
que a geometria vêm sendo deixada de lado, pois os professores ensinam aos
alunos apenas os conceitos básicos de algumas figuras geométricas, suas diagonais
e os cálculos de área e volume. O grande problema em questão diz respeito ao
25
trabalho que estamos desenvolvendo, pois pudemos constatar que os Poliedros
Arquimedianos não são ensinados aos alunos da Educação Básica.
Para Almeida (2010),
O estudo dos sólidos de Arquimedes, conhecidos também por sólidos semiregulares, pode se tornar evidente e justificável segundo os aspectos de
contextualização e interdisciplinariedade como “princípios condutores da
organização curricular”, uma vez que estabelecem conecção com outras
áreas do conhecimento (biologia, arte, arquitetura, cartografia,...) e suas
representações fazem parte do nosso contexto sociocultural. (p.36).
Segundo a mesma pesquisadora, a falta de material envolvendo os
Poliedros Arquimedianos está presente na maioria dos livros didáticos do ensino
médio (como pudemos constatar na análise), pois o assunto não é abordado como
conteúdo para as aulas de matemática e isso nos leva a crer que este conteúdo é
praticamente desconhecido pelos alunos e educadores. Almeida (ibidem) ainda
acredita que o estudo dos Poliedros Arquimedianos no Brasil é pouco explorado,
pela dificuldade relacionada com a visualização e representação dos mesmos, que
necessitam da compreensão das propriedades de geometria espacial.
26
3 COMPREENDENDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS
De acordo com Almeida (2010), alguns temas relacionados à geometria
ficam adormecidos durante anos, ou séculos, para depois tornarem a despertar o
interesse de alguns estudiosos, que retomam sua exploração e descobrem novos
caminhos de estudo. Os sólidos Arquimedianos enquadram-se nesse contexto.
Eves (2004 apud ALMEIDA, 2010) destaca: “Os trabalhos originais de
Arquimedes que tratam de sólidos estão perdidos, assim como grande parte das
obras dos matemáticos gregos. Seus trabalhos são conhecidos, principalmente,
pelas escritas de comentadores” (p. 83).
Pappus de Alexandria foi um desses comentadores e escreveu a Coleção
Matemática, descrita em oito livros, cada um existindo como obra única, no qual
reúne uma lista de obras antigas, algumas atualmente perdidas. Apenas o quinto
livro atribui a Arquimedes a descoberta dos treze sólidos. Cromwell (2008 apud
ALMEIDA, 2010) aponta a Coleção Matemática de Pappus como “um manual
contendo os clássicos, no qual existem considerações sistemáticas das obras mais
importantes da matemática grega, incluindo comentários e descrições históricas de
muitos trabalhos” (p.83-84).
O quinto livro de Pappus (1876) traz a seguinte consideração sobre os
sólidos Arquimedianos:
Embora muitos sólidos possam ser concebidos tendo todos os tipos de
faces, aqueles que parecem ser formados regularmente são mais
merecedores de atenção. Estes não incluem apenas os cinco sólidos
encontrados por Platão [...], mas também os sólidos de número treze, que
foram descobertos por Arquimedes e que contém polígonos equilaterais e
equiangulares, mas não similares. (p. 353).
Para a reconstrução desses sólidos Arquimedianos, pudemos contar com a
ajuda de alguns artistas do renascimento que produziram os sólidos em suas obras.
De acordo com Almeida (2010), os cinco renascentistas são: Piero della Francesca
(1412 – 1492), Luca Pacioli (1445 – 1517), Leonardo da Vinci (1452 – 1519), Albert
Durer (1471 – 1528) e Daniele Barbaro (1513 – 1570). Eles descrevem em suas
obras os sólidos Arquimedianos sem conhecer o estudo realizado por Arquimedes,
relatado por Pappus, em escritos que foram impressos 1588 e que não estavam
disponíveis antes de 1560. De acordo com Field (1997 apud ALMEIDA, 2010), o que
movia os artistas era a busca de sólidos que pudessem ser inscritos em uma esfera,
27
os cortes sobre as arestas de sólidos platônicos não poderiam ser feitos de maneira
arbitrária.
O processo utilizado por esses artistas e que deu origem a essa
redescoberta é chamado de truncatura e consiste na eliminação de partes de um
sólido de forma simétrica, que pode ser feita sobre seus vértices ou sobre suas
arestas. (ALMEIDA, 2010).
Silva (2009) destaca que podemos obter os sólidos Arquimedianos por meio
de truncaturas6 de sólidos platônicos, ou seja, ao truncar as arestas de um sólido
platônico, pode-se obter alguns sólidos Arquimedianos.
Icosaedro (Sólido Platônico)
Ao fazer truncaturas (cortes) nos vértices, este
sólido obtêm uma nova face.
Poliedro Arquimediano formado a partir das truncaturas no Icosaedro.
Figura 13: Exemplo de truncatura.
Fonte: http://paulosutil.blogspot.com.br/2012/04/poliedros-de-arquimedes-iii-truncaturas.html
6
Encontramos o termo truncaduras e truncaturas, ambos têm o mesmo significado, mas neste
trabalho optamos por utilizar o termo truncaturas.
28
Embora não houvesse naquele tempo explicitação ou esquematização do
estudo das relações entre sólidos Platônicos e sólidos Arquimedianos e os
diferentes processos de construção, a partir de truncaturas, Field (1997 apud
Almeida, 2010) “pontua que tais artistas precisaram se dirigir para a Os Elementos
de Euclides, mais especificamente ao livro XIII” (p.87), para conseguirem realizar os
estudos sobre os sólidos Arquimedianos.
De acordo com a classificação dos Poliedros discutida em 2.2, existem os
semi-regulares equiangulares e os semi-regulares equifaciais, sendo os primeiros
de nosso maior interesse, pois se tratam dos Poliedros Arquimedianos. Dessa forma,
segue uma discussão mais aprofundada sobre eles.
3.1
POLIEDROS SEMI-REGULARES EQUIANGULARES
De acordo com Rangel (1976), os Poliedros Arquimedianos podem aparecer
agrupados em dois gêneros: quando as faces são de dois gêneros, os ângulos
sólidos podem ser triédricos, tetraédricos ou pentaédricos e quando as faces são de
três gêneros, os ângulos sólidos só podem ser triédricos ou tetraédricos.
Para o desenvolvimento do trabalho, é importante sabermos as vinte
propriedades dos Poliedros Arquimedianos, incluindo o Teorema de Euler:
I.
7
Num Poliedro semi-regular equiangular o número de diedros e o de
arestas são iguais, como também, são iguais o número de vértices e o de
8
ângulo sólido .
II.
Qualquer seção plana em um poliedro semi-regular equiangular é
sempre um polígono convexo.
III.
Uma reta que não pertença nem a uma aresta, nem a uma face, nem
a um vértice de um poliedro semi-regular equiangular, só pode ter dois
pontos comuns ou nenhum ponto comum com o poliedro. Teorema: “Uma
reta não pode ter mais que dois pontos comuns com um poliedro semiregular”.
7
Diedro, em geometria, é uma expansão do conceito de ângulo a um espaço tridimensional. Pode ser
definido como o espaço entre dois semiplanos não contidos num mesmo plano com origem numa
aresta comum.
8
Ângulo sólido pode ser definido como aquele que, visto do centro de uma esfera, percorre uma dada
área sobre a superfície dessa esfera. Para compreender essa ideia, e de maneira simplista, podemos
pensar que, se nos considerarmos no centro de uma esfera que abarca sua superfície a área visível
do céu, o "ângulo de visão" do céu é o nosso ângulo sólido.
29
(Propriedade atribuída a Descartes) – A soma dos ângulos planos
IV.
9
das faces de um poliedro semi-regular equiangular é igual a tantas vezes
360º quantos forem os vértices menos dois. ∑ β = 360º (V - 2)
(Propriedade atribuída a Descartes) – A soma dos ângulos planos das
V.
faces de um poliedro semi-regular equiangular é igual a tantas vezes 360º
quantos foram as arestas menos as faces. ∑ β = 360º (A – F)
VI.
Não existe poliedro semi-regular equiangular que tenha todas as
faces com mais de cinco lados, nem ângulos sólidos com mais de cinco
arestas.
VII.
Num poliedro semi-regular equiangular o número de faces que tem
número impar de lados é par, é o número de vértices que tem número impar
de arestas é par.
VIII.
Num poliedro semi-regular equiangular o triplo do número de vértices
é igual ou menor que o dobro de número de arestas 3.V ≤ 2.A
IX.
Num poliedro semi-regular equiangular a soma dos ângulos planos
que tem um vértice comum é menor que 360º.
X.
O número de diagonais de um poliedro semi-regular equiangular é
dado pela formula. D = C2 V – (A + d) onde:
C2 V = é a combinação do número de vértices dois a dois.
A = é o número de arestas.
d = é o número total de diagonais das faces.
XI.
Num poliedro semi-regular equiangular o número de faces que tem
um vértice comum é igual ao número de arestas que tem esse mesmo
vértice comum.
XII.
Todo poliedro semi-regular equiangular admite, sempre, vários outros
10
poliedros convexos que são seus conjugados .
XIII.
Em todo poliedro semi-regular equiangular o dobro do número de
arestas A é igual ao produto do número V de vértices pelo número m de
aresta de um vértice. 2.A = V . m [...]
XIV.
Em todo poliedro semi-regular equiangular o dobro do número de
arestas A é igual ao produto do número V de vértices pelo número N de
faces que tem um vértice comum. 2. A = V.N [...]
XV.
Todo poliedro semi-regular equiangular pode ser decomposto em
tantas pirâmides retas quantos são as suas faces. Os vértices comuns da
pirâmides são o centro da esfera circunscrita ao poliedro.
9
Um ângulo plano é a abertura formada por duas semi-retas que se encontram em um ponto.
Um poliedro dual é obtido ligando os centros de todos os pares de faces adjacentes de qualquer
sólido, produzindo-se outro sólido menor. Quando há a dualidade entre dois poliedros dizemos ques
estes são poliedros conjugados.
10
30
XVI.
Todo poliedro semi-regular equiangular admite esfera circunscrita
mas não admite esfera inscrita. A esfera circunscrita a um poliedro semiregular equiangular é inscrita num poliedro semi-regular equifacial, que é
seu conjugado.
XVII.
Em todo poliedro semi-regular equiangular, o dobro do número de
arestas A é igual à soma dos produtos do número de faces de mesmo tipo
pelo respectivo número de lados. 2.A = Fa a + Fb b + Fc c
XVIII.
Num poliedro semi-regular equiangular, o produto do número de faces
F com L lados, pelo número L desses lados de uma dessas faces, é igual
ao produto do número de vértices V pelo número N de faces de L lados que
concorrem em um vértice.
XIX.
A esfera diretriz tangente as arestas de um poliedro semi-regular
equiangular, é também tangente as arestas de um poliedro semi-regular
equifacial conjugado do primeiro equifacial.
XX.
Teorema de Euler: “Em todo poliedro semi-regular equiangular, o
número de faces mais o número de vértices é igual ao número de arestas
mais dois”. F + V = A + 2. (RANGEL, 1976, p.41)
3.2 PESQUISA E DEMOSTRAÇÃO DE QUE SÓ HÁ TREZE GÊNEROS DE
POLIEDROS INDIVIDUAIS SEMI-REGULARES
Para desenvolvermos esta demonstração serão utilizadas as
vinte
propriedades dos Poliedros Arquimedianos citadas em 3.1.
Subsidiamo-nos do trabalho de Rangel (1976) para apresentar a
demonstração quanto aos 13 Poliedros Arquimedianos.
Sejam:
V o número de vértices;
Fa o número de faces de a lados;
Fb o número de faces de b lados;
Fc o número de faces de c lados;
F o número total de faces, isto é:
F = Fa + Fb + Fc
Na o número de faces de a lados que concorrem em um vértice;
Nb o número de faces de b lados que concorrem em um vértice;
Nc o número de faces de c lados que concorrem em um vértice;
N o número total de faces que concorrem em um vértice, isto é:
31
N = Na + Nb + Nc
A o número de aresta, isto é:
A=
F a . a + F b . b+ F c . c
2
Sabe-se que:
Fa . a = V. Na ;
ou Fa =
V. N a
𝑎
Fb . b = V. Nb ;
; Fb =
V. N b
𝑏
; Fc =
Fc . c = V. Nc
V. N c
𝑐
como F = Fa + Fb + Fc , vem: F = V(
Por outro lado: A =
V. N
2
Na
𝑎
+
Nb
𝑏
+
Nc
𝑐
).
, mas N = Na + Nb + Nc, logo A =
V
2
(Na + Nb + Nc).
Considera-se, agora, o teorema de Euler: F + V = A + 2, por substituição, tem-se:
N
V( 𝑎a +
V. N a
𝑎
+
Nb
𝑏
+
V. N b
𝑏
Nc
𝑐
+
)+V=
V. N c
V
2
(Na + Nb + Nc) + 2 (1)
+V=
𝑐
V. N a
2
+
V. N b
2
+
V. N c
2
+ 2 ou:
2VbcNa + 2VacNb + 2VabNc + 2Vacb = VNaabc + VNcabc + VNcabc + 4abc
2VbcNa + 2VacNb + 2VabNc + 2Vabc - VNaabc – VNbabc – VNcabc = 4abc
V(2bcNa + 2acNb + 2abNc + 2abc - Naabc - Nbabc - Ncabc) = 4abc
V{ 2 (bcNa + acNb + abNc) + abc (2 - Na - Nb - Nc)} = 4abc.
Para facilitar, seja ∆ a expressão entre chaves, isto é:
∆ = (bcNa + acNb + abNc) + abc (2 - Na - Nb - Nc) vem:
4
2
V = ∆ . abc; A= ∆ . abc (Na + Nb + Nc)
4
4
4
4
Fa = ∆ . bcNa; Fb = ∆ . acNb; Fc = ∆ . abNc; F = ∆ . (bcNa + acNb + abNc).
É evidente que os resultados dessas expressões terão que ser inteiros e
positivos. Além disso, terão que ser iguais ou maiores que três e, ainda, a ≠ b ≠ c.
Quando o poliedro tem apenas dois tipos de faces, a equação (1) fica:
N
V( 𝑎a +
Nb
𝑏
)+V=
V
2
(Na + Nb) + 2
Então:
V. N a
𝑎
+
V. N b
𝑏
+V=
V. N a
2
+
V. N b
2
+2
2VbNa + 2VaNb + 2Vab + 2Vacb = VNaab + VNcab + 4ab
V{ 2 (bNa + aNb ) + ab (2 - Na - Nb)} = 4ab
Analogamente, fazendo-se:
∆ = 2 (bNa + aNb ) + ab (2 - Na - Nb) vem:
4
2
V = ∆ . ab; A= ∆ . ab (Na + Nb)
32
4
4
4
Fa = ∆ . bNa; Fb = ∆ . aNb; F = ∆ . (aNb + bNa)
Sendo:
3 ≤ (Na + Nb) ≤ 5
Para pesquisar e demonstrar, então, o número de poliedros semi-regulares
equiangulares existentes, divide-se o estudo em dois grandes grupos: no primeiro,
estão os poliedros que só têm dois tipos de faces, e no segundo, estão os poliedros
que têm três tipos de faces.
3.2.1 Pesquisa e demonstração do número de poliedros semi-regulares existente,
que só têm dois tipos de faces
Antes de iniciarmos as demostrações julgamos pertinente definir a
designação que mostrará, por meio de combinações numéricas, a quantidade de
polígonos que compõem cada um dos poliedros e suas característica: Optamos pela
representação (QT – QT), no qual Q = quantidade de Poliedros e T= tipo de Poliedro,
como por exemplo: (33 – 46) = três triângulos e quatro hexágonos ou (304 – 206 –
1210) = trinta quadrados, vinte hexágonos e doze decágonos.
Este caso pode ser dividido em três grupos, já que, quando as faces são de
dois tipos, os ângulos sólidos são triédricos, ou tetraédricos, ou pentaédricos.
Então:
1º grupo: Ângulos sólidos triédricos Na + Nb = 3
O poliedro tem em cada vértice duas faces do mesmo tipo. Essas duas faces
não podem ter número ímpar de lados.
Sendo a o número de lados de tais faces, e como a soma dos ângulos
planos que têm um vértice comum deve ser menor que 4 retos, a só pode ser igual a
4, 6, 8 ou 10, e b ≥ 3 e diferente de a.
a não pode ser superior a 10 porque o valor de ∆ será nulo ou negativo, o
que não tem sentido.
Tem-se:
1º Caso: a = 4
Na = 2 e Nb = 1
Vem: ∆ = 8 então:
V = 2b; F4 = b; Fb = 2; F = b + 2; A = 3b.
Como b tem que ser inteiro e positivo, essas expressões são, também,
inteiras e positivas.
33
Logo, há um número infinito de poliedros tendo em cada vértice um ângulo
triédrico e a cada vértice pertencem três faces, sendo duas do mesmo tipo. Esses,
são os poliedros chamados “Prismas Arquimedianos” e é fácil compreender que uma
das faces de um ângulo triédrico pode ser um polígono regular convexo qualquer,
mas, as outras faces tem que ser quadrados.
2º Caso: a = 6
Na = 2 e Nb = 1
Vem: ∆ = 12- 2b, onde b só pode ser 3, 4 ou 5.
Então:
2º a): para b = 3.
∆ = 6; V = 12; F6 = 4; F3 = 4; F = 8; A = 18.
É, pois, um poliedro com 8 faces sendo 4 hexagonais e 4 triangulares. É mais
conhecido por Tetraedro Truncado ou Tronco-Tetraedro11; modernamente chama-se
Triahexagonal 43 – 46. Possui 18 arestas, 12 vértices e 12 diagonais. Seus ângulos
são triédricos, formados por um triângulo e dois hexágonos. Cada vértice tem três
arestas. É o conjugado do dodecaedro triangular (antigo triakis tetrahedron, também
chamado octatriedro ou trioctaedro).
Figura 14: Tetraedro truncado.
Fonte: a autora, 2012
11
Adotaremos para este trabalho a nomenclatura antiga dos Poliedros Arquimedianos, pois a
moderna não é muito conhecida, nem utilizada.
34
2º b): para b = 4
∆ = 4; V = 24; F6 = 8; F4 = 6; F = 14; A = 36.
É, pois, um poliedro com 14 faces sendo 8 hexagonais e 6 quadradas. É mais
conhecido por Octaedro Truncado ou Tronco-octaedro; modernamente chama-se
Quadrahexagonal (64 – 86). Possui 36 arestas, 24 vértices e 158 diagonais. Seus
ângulos são triédricos, formados por um quadrado e dois hexágonos. Cada vértice
tem três arestas. É o conjugado do icositetraedro triangular (antigo triakis
hexahedron, também chamado tetrahexaedro).
Figura 15: Octaedro truncado.
Fonte: a autora, 2012
2º c): para b = 5
∆ = 2; V = 60; F2 = 12; F6 = 20; F = 32; A = 90.
É, pois, um poliedro com 32 faces sendo 12 pentagonais e 20 hexagonais. É mais
conhecido por Icosaedro Truncado ou Tronco-icosaedro; modernamente chama-se
Pentahexagonal (125 – 206). Possui 90 arestas, 60 vértices e 1440 diagonais. Seus
ângulos são triédricos, formados por um pentágono e dois hexágonos. Cada vértice
tem três arestas. É o conjugado do hexacontrado triangular (antigo pentakis
dodecahedron).
35
Figura 16: Icosaedro Truncado.
Fonte: a autora, 2012
3º Caso: a = 8
Na = 2 e Nb = 1
Vem: ∆ = 16 – 4b onde b só pode ser 3.
Então:
∆ = 4; V = 24; F8 = 6; F3 = 8; F = 14; A = 36.
É, pois, um poliedro com 14 faces sendo 6 octogonais e 8 triangulares. É mais
conhecido por Cubo Truncado ou Tronco-cubo; modernamente chama-se triotogonal
(83 – 68). Possui 36 arestas, 24 vértices e 120 diagonais. Seus ângulos são
triédricos, formados por um triângulo e dois octógonos. Cada vértice tem três
arestas. É o conjugado do icositetraedro triangular (antigo triakis octahedron).
Figura 17: Cubo Truncado.
Fonte: a autora, 2012
36
4º caso: a = 10
Na = 2 e Nb = 1
Vem: ∆ = 20 = 6b onde b só pode ser 3.
Então:
∆ = 2; V = 60; F10 = 12; F3 = 20; F = 32; A = 90.
É, pois, um poliedro com 32 faces sendo 12 decagonais e 20 triangulares. É mais
conhecido por Dodecaedro Truncado ou Tronco-dodecaedro; modernamente
chama-se triadecagonal (203 – 1210). Possui 90 arestas, 60 vértices e 1260
diagonais. Seus ângulos sólidos são triédricos, formados por um triângulo e dois
decágonos. Cada vértice tem três arestas. É o conjugado do hexacontaedro
triangular ( antigo triakis octahedron).
Figura 18: Dodecaedro Truncado.
Fonte: a autora, 2012
2º grupo: Ângulos sólidos tetraédricos
Na + Nb = 4
O poliedro só pode apresentar uma das seguintes formas:
a) – há três faces iguais entre si e uma diferente.
b) – as faces são iguais duas a duas.
Como a soma dos ângulos planos que tem um vértice comum deve ser
menor que 4 retos, na forma a (primeira hipótese) as faces iguais só podem ser
triângulos equiláteros ou, quadrados; na forma b (segunda hipótese), só se pode ter
um dos seguintes casos:
I)- dois triângulos equiláteros e dois quadrados;
37
II)- dois triângulos equiláteros e dois pentágonos regulares.
Tem-se:
1º caso: a = 3
Na = 3 e Nb = 1
Vem: ∆ = 6
então:
V = 26; Fa = 2b; Fb = 2; F = 2b + 2; A = 4b
Como b tem que ser inteiro e positivo, o resultado dessas expressões serão,
também, inteiras e positivas.
Logo, há um número infinito de poliedros tendo em cada vértice um ângulo
tetraédrico e a cada vértice pertencem 4 faces, sendo três do mesmo tipo. Esses
são os poliedros chamados “Antiprismas Arquimedianos” ou “Prismas Torcidos”, e é
fácil compreender que uma das faces de um ângulo tetraédrico pode ser um
polígono regular convexo qualquer, mas as outras têm que ser triângulos
equiláteros.
2º caso: a = 4
Na = 3 e Nb = 1
Vem: ∆ = 8 – 2b que é positiva, apenas para b = 3.
Então:
∆ = 2; V = 24; F4 = 18; F3 = 8; F = 26; A = 48
É, pois, um poliedro com 26 faces sendo 18 faces quadradas e 8 faces triangulares.
É
mais
conhecido
por
Rombicuboctaedro;
modernamente
chama-se
Triaquadrangular (83 – 184). Possui 48 arestas, 24 vértices e 192 diagonais. Os
ângulos são tetraédricos, formados por um triângulo e três quadrados. Cada vértice
tem quatro arestas. As 6 faces quadradas são as que tem lado comum com os
triângulos. É o conjugado do icositetraedro trapezoidal.
38
Figura 19: Rombicuboctaedro.
Fonte: a autora, 2012
OBSERVAÇÃO: Existe, também, outro poliedro semi-regular com o mesmo número
de vértices (24), o mesmo número de faces quadradas (18), o mesmo número de
faces triangulares (8) e o mesmo número de arestas (48). Seu aspecto lembra o de
um rombicuboctaedro em que se deu uma rotação numa calota poliédrica. Embora
esse poliedro apresente algumas características dos poliedros semi-regulares
Arquimedianos, não é estudado como tal, por não satisfazer a todas elas.
3º caso: a = 3
Na = 2 e Nb = 2
Vem: ∆ = 12 -2b onde b só pode ser 4 ou 5.
Então:
3º a): - para b = 4
∆ = 4; V = 12; F3 = 8; F4 = 6; F = 14; A = 24.
É, pois, um poliedro com 14 faces sendo 8 triangulares e 6 quadradas. É mais
conhecido por Cuboctaedro; modernamente chama-se triaquadrangular (83 – 64).
Possui 24 arestas, 12 vértices e 30 diagonais. Seus ângulos são tetraédricos,
formados por dois triângulos e dois quadrados. Cada vértice tem quatro arestas. É o
conjugado do dodecaedro romboidal.
39
Figura 20: Cuboctaedro.
Fonte: a autora, 2012
3º b): - para b = 5
∆ = 2; V = 30; F3 = 20; F3 = 12; F = 32; A = 60.
É, pois, um poliedro com 32 faces sendo 20 triangulares e 12 pentagonais. É mais
conhecido por Icosidodecaedro ou Dodecaicosaedro; modernamente chama-se
triapentagonal (203 – 125). Possui 60 arestas, 30 vértices e 315 diagonais. Seus
ângulos são tetraédricos, formados por dois triângulos e dois pentágonos. Cada
vértice tem quatro arestas. É o conjugado do triacontaedro romboidal.
Figura 21: Dodecaicosaedro.
Fonte: a autora, 2012
40
3º grupo: Ângulos sólidos pentaédricos
Na + Nb = 5
Considerando que a soma dos ângulos planos que têm um vértice comum deve ser
menor que quatro retos, que cada ângulo sólido é pentaédrico, isto é, reúne cinco
polígonos no vértice, e que o poliedro tem apenas dois tipos de faces, conclue-se
que a cada vértice tem que pertencer quatro triângulos equiláteros.
Tem-se:
1º caso: a = 3
Na = 4 e Nb = 1
Vem: ∆ = 6 – b onde b só pode ser 4 ou 5, pois tem que ser inteiro.
2º a) : - para b = 4
∆ = 2; V = 24; F3 = 32; F4 = 6; F = 38; A = 60.
É, pois, um poliedro com 38 faces sendo 32 triangulares e 6 quadradas. É mais
conhecido
por
Cubo-rombo
ou
Cubo
Achatado;
modernamente
chama-se
triaquadrangular (323 – 64). Possui 60 arestas, 24 vértices e 204 diagonais. Seus
ângulos são pentaédricos, formados por um quadrado e quatro triângulos. Cada
vértice tem cinco arestas. As 8 faces triangulares são as que tem lado comum com
os quadrados. É o conjugado do icositetraedro pentagonal.
Figura 22: Cubo – Rombo.
Fonte: a autora, 2012
41
2º b): - para b = 5
∆ = 1; V = 60; F3 = 80; F5 = 12; F = 92; A = 150.
É, pois, um poliedro com 92 faces sendo 80 triangulares e 12 pentagonais. É mais
conhecido por Dodecaedro-rombo ou Dodecaedro Achatado; modernamente chamase triapentagonal (803 – 125). Possui 150 arestas, 60 vértices e 1560 diagonais.
Seus ângulos são pentaédricos, formados por quatro triângulos e um pentágono.
Cada vértice tem cinco arestas. É o conjugado do hexacontaedro pentagonal.
Figura 23: Dodecaedro – Rombo.
Fonte: a autora, 2012
Ficou, então, demonstrado que só existem 10 tipos de poliedros semiregulares arquimedianos individuais que tem apenas dois tipos de faces. Existem,
ainda, dois grandes grupos, com três tipos de faces, também.
3.2.2 Pesquisa e Demostração do número de
equiangulares existentes, que têm três tipos de faces
Poliedros
semi-regulares
Este caso pode ser dividido em dois grupos, já que os ângulos sólidos ou
são triédricos ou são pentaédricos.
Então:
1º grupo: ângulos sólidos triédricos:
Na + Nb + Nc = 3
Como as faces de um ângulo sólido não podem ter número impar de lados, tem-se:
42
1º caso: a = 4
Na = Nb = Nc = 1
Vem: ∆ = 8 (b + c) – 2bc onde ∆ tem que ser inteiro e positivo, e isso só acontece
para b = 6 e c = 8, ou para b = 6 e c = 10.
Então:
1º a): - para b = 6 e c = 8
∆ = 16; V = 48; F4 = 12; F6 = 8; F8 = 6 F = 26; A = 72.
É, pois, um poliedro com 26 faces
sendo 12 quadradas, 8 hexagonais e 6
ortogonais. É mais conhecido por Cuboctaedro truncado ou Tronco-cuboctaedro;
modernamente chama-se quadrahexagonal (124 – 86 – 68). Possui 72 arestas, 48
vértices e 840 diagonais. Seus ângulos são triédricos, formados por um quadrado,
um hexágono e um octógono. Cada vértice tem três arestas. É o conjugado do
hexacontaedro triangular (antigo hexakis octahedron).
Figura 24: Cuboctaedro Truncado.
Fonte: a autora, 2012
1º b): - para b = 6 e c = 10
∆ = 8; V = 120; F4 = 30; F6 = 20; F10 = 12 F = 62; A = 180.
É, pois, um poliedro com 62 faces, sendo 30 quadradas, 20 hexagonais e 12
decagonais. É mais conhecido por Icosidodecaedro Truncado ou Troncoicosidadecaedro; modernamente chama-se quadrapentadecagonal (304 – 206 –
1210). Possui 180 arestas, 120 vértices e 6300 diagonais. Seus ângulos são
triédricos, formados por um quadrado, um hexágono e um decágono. Cada vértice
43
tem três arestas. É o conjunto do duohexacontaedro triangular (antigo hexakis
icosahedron).
Figura 25: Icosidodecaedro Truncado.
Fonte: a autora, 2012
2º grupo: ângulos sólidos tetraédricos:
Na + Nb + Nc = 4
Como a soma dos ângulos planos que têm um vértice comum deve ser menor que
quatro retos, e como não pode haver mais que uma face triangular pertencente ao
mesmo vértice, tem-se:
a=4
N = 2 e Nb = Nc = 1
Vem: ∆ = 4 [2 (b + c) – bc] onde b e c têm que ser diferentes de 4 e maiores que 2.
Sendo b = 3, tem-se ∆ = 4 (6 – c), onde c tem que ser igual a 5 para que a
expressão seja inteira e positiva. Logo, para:
a = 4; b = 4; c = 5
Na = 2; Nb = Nc = 1
F3 = 20; F4 = 30
∆ = 4; V = 60; F3 = 20; F4 = 30; F5 = 12 F = 62; A = 120.
É, pois um poliedro com 62 faces sendo 20 triangulares, 30 quadrangulares e 12
pentagonais. É mais conhecido por Rombicosidodecaedro; modernamente chamase triaquadrapentagonal (203 – 304 - 125). Possui 120 arestas, 60 vértices e 1530
diagonais. Seus ângulos são pentaédricos, formado por um triângulo e dois
quadrados e um pentágono. Cada vértice tem quatro arestas. É o conjugado do
44
hexacontaedro trapezoidal. Seus ângulos são pentaédricos, formado por um
triângulo e três quadrados. Cada vértice tem quatro arestas.
Figura 26: Rombicosidodecaedro.
Fonte: a autora, 2012
Ficou demonstrado que só há 13 tipos de poliedros semi-regulares
equiangulares individuais e mais dois grandes grupos distintos. A maneira de
agrupamento desses poliedros já foi mostrada na classificação dos poliedros e se
justifica da seguinte forma: o modo mais simples de serem relacionados com os
poliedros regulares convexos é por meio de truncaturas nesses últimos. Daí, tem-se
um
tetratroncoedro
(truncaturas
num
octaedro);
seis
cuboctatroncoedros
(truncaturas num cubo ou num octaedro); seis dodecaicositroncoedros (truncaturas
num dodecaedro ou num icosaedro).
Para mostrar as truncaturas mais simples, considera-se, por definição, o
seguinte:
a) Chama-se truncatura em um vértice uma seção plana em todas as arestas
que pertencem a esse vértice.
b) Chama-se truncatura numa aresta uma seção plana paralela a essa aresta.
Além disso, é necessário destacar dois tipos de truncatura em um vértice: o
tipo I é obtida se cada aresta é cortada ao meio e o tipo II é obtida se cada aresta é
cortada em três partes iguais.
45
Figura 27: Representações de truncaturas nos vértices de um sólido geométrico
Fonte: http://mandrake.mat.ufrgs.br/~mem023/20072/anuar/midia_mat.htm
Estas definições serão uteis para a descrição da proposta na qual
utilizaremos truncaturas nos vértices.
46
4 O ENSINO DOS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS
Os Poliedros Arquimedianos pertencem à geometria espacial, que está
ligada
à
visualização
e
interpretação
de
objetos
tridimensionais
e
suas
representações. Conforme os levantamentos feitos em 2.1, concluímos que a
maioria dos autores de livros, incluindo os didáticos, prefere trabalhar com os
Poliedros regulares convexos, provavelmente pela questão de simplicidade de suas
formas e representações, portanto praticamente inexistem estudos sobre os
Poliedros Arquimedianos.
Segundo Almeida (2010),
Os Sólidos Arquimedianos eram estudados em Desenho Geométrico,
disciplina que dava suporte para que suas propriedades geométricas
fossem exploradas por meios das suas construções. Contudo, com a
substituição de Desenho Geométrico por Educação Artística no currículo,
esse conhecimento de ensino passou a não ser mais abordado. (p. 59).
A partir dessa questão podemos pensar na possibilidade e relevância dos
conteúdos do desenho geométrico, encontrados hoje apenas nas faculdades e
universidades, serem explorados em outra matéria, ou até mesmo em uma disciplina
opcional em contra turno para que os alunos não deixassem de conhecer as
propriedades e construções desses sólidos importantes.
Em geral, é difícil assimilarmos objetos tridimensionais desenhados no
plano, como por exemplo, no quadro negro ou em uma folha de papel, com a
representação real da figura, sem contar que desenhos no plano acarretam uma
perda de informações e geram conflitos com o que está sendo visto e como é
representado no espaço.
Com os estudos e reflexões desenvolvidos até aqui, percebemos a
necessidade
de
incluir
no
currículo
estudos
direcionados
aos
Poliedros
Arquimedianos na educação básica. De acordo com Almeida (2010), o estudo
desses Poliedros é pouco explorado, pela dificuldade de visualização e
representação. Outro problema encontrado são as pesquisas que envolvem os
Poliedros Arquimedianos, pois se encontram reduzidas haja vista a carência de
literatura que abrange esse assunto no Brasil. Ao considerarmos esses aspectos,
acreditamos que a utilização de materiais manipuláveis para o estudo das
truncaturas e a utilização de um software de geometria que facilite a visualização e
47
caracterização, são possibilidades para o ensino dos Poliedros Arquimedianos na
educação.
Assim elaboramos a seguinte questão:
Como os Poliedros Arquimedianos podem ser resgatados enquanto
objeto de estudo e ensino na educação básica?
A seguir apresentamos metodologias que podem ser utilizadas para
responder nossa questão de pesquisa.
4.1 A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULAVEIS E SOFTWARES NAS AULAS
DE MATEMÁTICA
De acordo com Fiorentini e Miorim (1990) alunos e professores encontram
muitas dificuldades no processo de ensino-aprendizagem da matemática. O aluno
não consegue entender a matemática que a escola lhe ensina, muitas vezes é
reprovado nesta disciplina ou mesmo que aprovado, sente dificuldades em utilizar o
conhecimento "adquirido", não o assimila ao seu dia a dia e não vê aplicação. Em
síntese, não consegue efetivamente ter acesso a esse saber de fundamental
importância. Por outro lado temos o professor que, apesar de todo esforço e o pouco
tempo destinado para elaborar “novas” atividades, tem consciência de que não
consegue alcançar resultados satisfatórios junto a seus alunos. De acordo ainda
com os mesmos autores, o professor
[...] procura novos elementos - muitas vezes, meras receitas de como
ensinar determinados conteúdos - que, acredita, possam melhorar este
quadro. Uma evidência disso é, positivamente, a participação cada vez mais
crescente de professores nos encontros, conferências ou cursos.
(FIORENTINI; MIORIM, 1990, p. 1)
Nas escolas os professores se deparam com materiais manipuláveis e jogos,
alguns desses materiais já conhecidos, outros não, mas muitas vezes o professor
não encontra uma maneira de utilizá-lo em suas aulas. A não utilização de diferentes
metodologias pode tornar as aulas monótonas, repetitivas e desinteresantes aos
alunos. Quando os professores participam de encontros, conferências ou cursos
conhecem uma maneira diferenciada de trabalhar com esses materiais, despertando
a vontade de utilizá-los nas salas de aula, o que pode melhorar o conhecimento dos
alunos e auxiliar nos processos de ensino e de aprendizagem.
Se considerarmos que estudar matemática proporciona o desenvolvimento
do raciocínio lógico, estimula o pensamento independente, o desenvolvimento da
48
criatividade, a capacidade de manejar situações reais e resolver diferentes tipos de
problemas, então precisaremos que o ensino da mesma não seja apenas com aulas
expositivas, mas que os professores partam em busca de altenativas que permitam
desenvolver nos alunos essas qualidades. Pautados em Novello et al (2009),
pensamos que os materiais manipuláveis venham a ser uma possível alternativa
para auxiliar as aulas de matemática, pois podem promover uma aula interativa,
incentivando a busca, o interesse, a curiosidade e o espírito de investigação,
instigando os alunos na elaboração de perguntas, verificação de relações, criação
de hipóteses e descobertas.
Os PCN (BRASIL, 1997) destacam a utilização de materiais concretos pelos
professores como um recurso alternativo que pode tornar bastante significativo o
processo de ensino-aprendizagem da Matemática.
Na geometria encontramos um campo propício e amplo para a utilização de
materiais manipuláveis, visto que em muitas circunstâncias é indispensável a
concretização de situações para ajudar os alunos na compreensão dos problemas e
dos conceitos.
Para Almiro (2004), muitos alunos não aprendem apenas com a
demonstração passada pelo professor, sendo necessários alguns materiais para que
ele possa mexer, interpretar e verificar suas características. O ato de manipular
permite ao aluno experimentar padrões que são essenciais na matemática. É
importante salientarmos que a utilização de materiais manipuláveis não garante uma
aprendizagem significativa e cabe ao professor o papel de obter bons resultados,
encontrando o momento certo para utilizá-los.
Segundo Fiorentini e Miorim ( 1990),
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um 'aprender' mecânico,
repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz. Um aprender
significativo do qual o aluno participe raciocinando, compreendendo,
reelaborando o saber historicamente produzido e superando, assim, sua
visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade. (p. 2).
O material manipulável pode ser fundamental para que isso ocorra. Neste
sentido, o material mais adequado nem sempre será o visualmente mais bonito e
nem o já construído. Muitas vezes, durante a construção de um material o aluno tem
a oportunidade de aprender matemática de forma mais efetiva.
49
Da mesma forma que os materiais manipuláveis vêm para auxiliar na aula e
colaborar com o aprendizado dos alunos, as tecnologias,
particularmente os
softwares, também enriquecem as aulas e podem auxiliar no aprendizado.
Nas aulas de matemática, principalmente na área da geometria espacial, a
qual necessita de visualizações de objetos no espaço, muitos alunos apresentam
dificuldades em entender certos conceitos, podemos citar um exemplo simples como
a distinção entre um quadrado e um cubo.
Para diminuir estas
dificuldades
podemos utilizar um software de geometria, pois este colabora para à visualização,
comparação e até elaboração de cálculos respectivos a eles. Desta forma, as
tecnologias podem auxiliar o professor na explicação e colaborar para um melhor
entendimento da matéria pelo aluno.
A utilização de computadores, softwares, internet e programas ampliam as
possibilidades de ensino para além das salas de aula, na qual os alunos podem
estudar e relembrar os conteúdos vistos na sua própria casa.
A presença das tecnologias, principalmente do computador, requer das
instituições de ensino e do professor novas posturas frente ao processo de ensino e
de aprendizagem.
Nesse contexto, Dullius et al (2006) defendem que
[...] a questão do uso desses recursos, particularmente na educação, ocupa
posição central e, por isso, é importante refletir sobre as mudanças
educacionais provocadas por essas tecnologias, propondo novas práticas
docentes e buscando proporcionar experiências de aprendizagem
significativas para os alunos. (p. 2).
De acordo com Kenski (2007), no ensino que envolve tecnologias de uma
forma geral, em nosso caso mais especificamente os softwares, o professor passa a
auxiliar os alunos, que por sua vez desenvolvem a criatividade utilizando outros tipos
de “racionalidade” como a imaginação criadora, a sensibilidade tátil, a visualização e
audição.
Weinert et al (2011), consideram
que as tecnologias são parte integrante do dia-a-dia das crianças e
adolescentes, é responsabilidade dos gestores e professores, acolhê-las
como aliadas em seu trabalho, utilizando-a como ferramenta para o
processo de ensino e aprendizagem e também formando para o uso correto
dessas tecnologias. (p. 4)
O professor deve sempre estar se aprimorando, pois o desenvolvimento
tecnológico, a comunicação e a informática se renovam a cada dia. O professor não
precisa saber tudo na área da informática, mas é fundamental que conheça alguns
50
programas e softwares, que venham a enriquecer a aula, melhorar o entendimento
dos alunos e poupar trabalho.
Cabe destacar que Assis (2011), define software educativo da seguinte
forma:
Software educativo – são desenvolvidos especialmente para a construção
do conhecimento relativo a um conteúdo didático em uma determinada área
com ou sem a mediação do professor. O objetivo de um software educativo
é favorecer os processos de ensino-aprendizagem e sua principal
característica é seu caráter didático. Nesse sentido, os principais objetivos
desses softwares é que eles servem para auxiliar o professor a utilizar o
computador como ferramenta pedagógica, servir de fonte de informação,
auxiliar o processo de construção de conhecimentos e desenvolver a
autonomia do raciocínio, da reflexão e da criação de soluções. (p. 3)
Segundo
Souza
(2011),
ao
utilizarmos
softwares
adequados
para
determinados assuntos da geometria possibilitamos aos alunos as seguintes etapas:
visualização, na qual as formas são compreendidas pelas suas aparências; análise,
a partir de suas propriedades; ordenação, pela hierarquização lógica das
propriedades; dedução, compreensão da Geometria como sistema dedutivo; e rigor,
apoiado nos diversos sistemas axiomáticos.
Para desenvolvermos este trabalho optamos pelo software Poly, um
programa shareware (funciona por tempo determinado ou apresenta limitações,
depois precisa ser comprado), desenvolvido para exploração e construção de
Poliedros. O Poly ainda não possui versão em português, mas apresenta uma
interface simples de trabalhar e de fácil acesso, podendo ser baixado uma versão
de teste/avaliação gratuitamente pelo site http://www.peda.com/poly/. Pode ser
instalado nos sistemas operacionais: Windows 95, 98, 2000, XP, Vista e 7. O Poly
possibilita estudos de vários sólidos sendo eles: Sólidos de Platão; Sólidos de
Arquimedes; Prismas e Antiprismas; Sólidos de Johnson; Sólidos de Catalan;
Dipirâmides e Deltoedros; Esferas e Domos Geodésicos. Permite visualizar figuras
geométricas tridimensionais de vários ângulos, alterar o tamanho, planificá-las, girálas, salvá-las como gif animado12, visualizar em projeção paralela ortogonal e colorir
com as cores desejadas. Foi desenvolvido para o estudo da geometria no ensino
médio e é caracterizado como software dinâmico e educacional.Os softwares nos
12
GIF animado é o termo dado às animações formadas por várias imagens GIFcompactadas numa
só.
É
utilizado
para
compactar
objetos
em jogos
eletrônicos,
para
usar
como emoticon em mensageiros instantâneos, para enfeitar sites na Internet, entre outros.
51
permitem observar propriedades geométricas que dificilmente conseguiríamos
utilizando apenas o quadro e o giz.
Com o desenvolvimento de atividades que envolvem os softwares os alunos
podem migrar de uma atividade mecânica para uma atividade dinâmica.
Nesse processo, as figuras tornam-se agentes no processo investigativo, já
que o estudante pode perceber a diferença entre desenhar e construir uma
figura, verificando que, para construí-la, não basta apenas chegar a uma
aproximação desejada, mas ter a clareza sobre as relações entre os
diferentes elementos que ela possui de forma que, ao ser arrastada,
mantenham-se as propriedades geométricas. (ASSIS, 2011 p. 4)
Com os levantamentos feitos sobre a utilização das tecnologias e materiais
manipuláveis, podemos perceber a possível contribuição dessas alternativas
metodológicas para a abordagem, particularmente, dos Poliedros Arquimedianos na
educação básica, como alternativa para a superação das dificuldades relatadas
pelas pesquisas que se relacionam, sobretudo, da visualização dos sólidos
geométricos.
52
5 DESCRIÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO
Retornaremos a alguns aspectos já estudados no segundo e terceiro
capítulos para apresentarmos uma possível proposta para o ensino e aprendizagem
dos Poliedros Arquimedianos e a sua inclusão na educação básica por meio de
materiais manipuláveis e do software Poly.
Por acreditarmos que o objetivo desse capítulo é apresentar tarefas que
apontem possibilidades para o ensino dos Poliedros Arquimedianos, optaremos por
discorrer sobre quatro dos treze sólidos existentes, sendo eles: o octaedro truncado,
o icosaedro truncado, o cuboctaedro e o cuboctaedro truncado, sendo que as
questões discutidas para esses poliedros particulares podem ser estendidas aos
demais.
As tarefas apresentadas a seguir têm por objetivos (i) mostrar como os
Poliedros Arquimedianos podem ser construídos, a partir de truncaturas, e (ii)
discutir as características desses poliedros em termos de suas planificações, faces,
arestas e vértices. Os dois tipos de ambientes que discutimos no presente trabalho
podem contribuir com os dois objetivos. Contudo, destacamos que a utilização de
material manipulável estará mais direcionada ao primeiro, enquando o segundo se
subsidia do software Poly.
Discutimos inicialmente o software Poly para depois partirmos para os
materiais manipuláveis, pois desta forma os alunos já conhecerão as figuras, suas
características e propriedades. Ao fazermos uso do software conseguimos
apresentar e estudar mais figuras em um menor tempo.
A escolha pelo software Poly se deu pela abrangência nos principais tópicos
que queremos estudar com os alunos. Nossos objetivos serão investigá-los,
movimentá-los para visualizar diferentes perspectivas, verificar sua planificação, e
discutir algumas características desses poliedros para torná-los familiares aos
alunos.
Cabe salientar que, para nos situarmos melhor no software Poly, é
importante colocarmos os nomes como os Poliedros Arquimedianos aparecem no
mesmo, pois em alguns casos eles são escritos de forma diferente. Segue a
baixo a nomeclatura utilizada pelo software:
53

O Tetraedro Truncado, o Octaedro Truncado, o Icosaedro Truncado, o Cubo
Truncado, o Dodecaedro, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro e o
Rombicosidodecaedro aparecem com a mesma nomenclatura;

O Dodecaicosaedro aparece como Icosidodecaedro;

O Cubo-Rombo aparece como Cuboctaedro Snub;

O Dodecaedro-Rombo aparece como Icosidodecaedro Snub;

O Cuboctaedro Truncado aparece como Cuboctaedro Rombitruncado;

O Icosidodecaedro Truncado aparece como Icosidodecaedro Rombitruncado.
Desta forma começaremos nosso estudo pelo Poliedro Octaedro Truncado.
5.1 ESTUDANDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS COM O SOFTWARE POLY
No item 3.1 foram apresentadas as propriedades que caracterizam os
Poliedros Arquimedianos. Contudo, acreditamos ser consensual que alguns deles
envolvem conceitos algébricos e geométricos bastante complexos, cuja exploração
não seria adequada na educação básica. Dessa forma, trazemos algumas
características daquelas propriedades para estruturar as tarefas envolvendo uma
software Poly. Como objetivos dessa exploração, elencamos basicamente quatro:
1. Retomar e ratificar os conceitos de face, aresta e vértice de um
Poliedro;
2. Estudar quais e quantas faces de cada tipo possui um determinado
Poliedro Arquimediano.
3. Investigar o número de arestas e vértices do Poliedro em estudo e
como são constituídos (número de arestas) cada um dos vértices;
4. Investigar a relação existente entre os vértices dos Poliedros
Arquimedianos, a partir dos ângulos das faces que os formam.
O software possibilia a visualização de cada poliedro de três maneiras
diferentes: visualização em três dimensões, em que é possível girar o poliedro em
todas as direções, possibilitando uma visão bastante abrangente e próxima da
realidade. Uma segunda possibilidade é a planificação do poliedro que pode ser
realizada pelo próprio indivíduo num processo interativo de simulação semelhante
àquele que é feito quando se planifica as faces de um sólido geométrico, utilizando
papel, por exemplo. Por fim, o software ainda permite uma vista em projeção
54
paralela ortogonal, que possibilita a vista frontal do poliedro com uma visão
bidimencional dele, em diferentes perspectivas, uma vez que essas vistas também
podem ser movimentadas/giradas.
Para alcançarmos os objetivos citados acima sugerimos um roteiro para
orientar os alunos na exploração. Para isto os conceitos de ângulo interno, ângulo
plano e ângulo sólido já devem ter sido estudados anteriormente.
Primeiramente
será
estudado
apenas
quatro
dos
treze
Poliedros
Arquimedianos sendo eles: Octaedro Truncado, Icosaedro Truncado, Cuboctaedro e
Cuboctaedro truncado, a partir da exploração feita nestes será respondido as
questões do roteiro. Na sequência serão feitas algumas generalização sobre eles,
para só depois os alunos explorarem e conhecerem os demais, verificando a
adequebilidade das conclusões obtidas, para os demais Poliedros.
ROTEIRO: ESTUDANDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS NO SOFTWARE POLY
Orientações para utilização do software Poly:

Como utilizar o software Poly: Primeiramente
abra o software, então aparecera uma janela
que deve ser maximilizada (conforme figura ao
lado). O software abrirá direto nos Poliedros
Platônicos. Clique na aba “Poliedros Platônicos”
(Platonic Solids, em inglês) e altere para os Aquimedianos (Archimedean Solids, em inglês).

A aba abaixo dessa primeira permite que você escolha o poliedro a ser representado na
janela de visualização.

Abaixo das abras encontra-se “quadradinho(s)”
que possibilitam alterar a(s) cor(es) do poliedro.

Acima das abas anterioriores encontram-se
quatro “representações”, que se referem as
possibilidades de visualização do Poliedros. O
primeiro permite uma visão tridimensional do
Poliedro, porém não marca as suas arestas. O
segundo
também
permite
uma
visão
tridimencional do Poliedro, mas marca suas arestas. O terceiro permite uma visão
planificada da figura, ou seja permite vê-la aberta. O quarto permite uma visão paralela
ortogonal, que seria uma visão bidimencional do Poliedro.
Continua...
55

Por fim, abaixo do menu de cores encontra-se uma “barrinha” com seletor que, quando
movimentado, abre (planifica) e/ou fecha o poliedro.

Os Poliedros Arquimedianos numerados treze são conhecidos por: tetraedro truncado,
cuboctaedro, cubo truncado, octaedro truncado, dodecaedro truncado, icosaedro truncado,
icosidodecaedro, icosidodecaedro truncado, rombicuboctaedro, rombicosidodecaedro e
cuboctaedro truncado, cubo achatado e o dodecaedro achatado.

O software Poly assume algumas nomenclaturas diferentes para o Poliedros Arquimedianos:
O Tetraedro Truncado, o Octaedro Truncado, o Icosaedro Truncado, o Cubo Truncado, o
Dodecaedro Truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro e o Rombicosidodecaedro
aparecem com a mesma nomenclatura. O Dodecaicosaedro aparece como Icosidodecaedro.
O Cubo-Rombo aparece como Cuboctaedro Snub. O Dodecaedro-Rombo aparece como
Icosidodecaedro
Snub.
Rombitruncado.
O
O
Cuboctaedro
Icosidodecaedro
Truncado
Truncado
aparece
aparece
como
como
Cuboctaedro
Icosidodecaedro
Rombitruncado.
Conceitos geométricos necessários:

Ângulo sólido pode ser definido como aquele que, visto do centro de uma esfera, percorre
uma dada área sobre a superfície dessa esfera. Para compreender essa ideia, e de maneira
simplista, podemos pensar que, se nos considerarmos no centro de uma esfera que abarca
na sua superfície a área visível do céu, o "ângulo de visão" do céu é o nosso ângulo sólido.
Ou para uma melhor compeensão o ângulo sólido será o encontro das arestas que formam
um vértice, este pode ser: triédrico, tetraédrico ou pentaédrico.

Um ângulo plano é a abertura formada por duas semi-retas que se encontram em um ponto.
Conhecendo o software e os conceitos anteriores, realize as seguintes tarefas:
1) 1) Com o auxilio do software Poly faça a visualização dos Poliedros em: três dimensões, planificação
e visão paralela ortogonal. Em seguida responda no quadro ao final desse roteiro:
a) a) Quantas faces, arestas e vértices o Octaedro Truncado, o Icosaedro Truncado, o Cuboctaedro e o
Cuboctaedro Truncado possuem?
b) b) Quantas arestas formam cada vértice dos Poliedros: Octaedro Truncado, icosaedro truncado,
Cuboctaedro e Cuboctaedro truncado. Como se denomina o ângulo sólido formado pelo encontro
das arestas no vértice de cada um dos 4 Poliedros?
c) A partir da número (b) responda: quais faces formam os ângulos planos e qual é o valor da soma
dos ângulos planos comuns a um dos vértices?
c) 2) Quais relações são possíveis fazer no que se refere às faces (tipos, quantidades), vértices
(quantidade), arestas (quantidade) e ângulos (planos e sólidos) dos Poliedros Arquimedianos
Analisados?
Continua...
56
d) 3) A partir dessas observações é possível estabelecer fórmulas gerais para calcular a quantidade de
faces, arestas, vértices, arestas que formam um vértice e a soma dos ângulos planos. Você
consegue deduzi-las?
4) Verifique se suas conjecturas são válidas para os demais Poliedros Arquimedianos.
Poliedros
Octaedro
Truncado
Icosaedro
truncado
Cuboctaedro
Cuboctaedro
Truncado
Nº de faces.
Nº de arestas.
Nº vértices.
Quantas arestas
formam cada
cada vértice.
Como se
denomina os
ângulos sólidos.
Quais faces
formam os
ângulos planos.
Qual é o valor da
soma dos
ângulos planos
comuns a cada
um dos vértices.
Quais relações
são possíveis de
fazer, quanto as
faces, vértices,
arestas e
ângulos.
Você consegue
estabelecer
fórmulas que
auxiliam nos
calculos dos
tópcos pedidos
acima.
Descreveremos alguns resultados que podem ser obtidos com a utilização do
roteiro e a exploração no software Poly.
A figura a seguir apresenta os três tipos de representação para o Octaedro
Truncado, e ratificamos que o software não as trabalha de maneira estanque. Ele
possibilita movimentos de giro em todas elas, o que favorece a percepção das
caraterísticas dos poliedros a partir de diferentes perspectivas de visualização, seja
em três dimensões, na sua planificação ou a partir da vista da projeção ortogonal.
57
Visualizações em três dimensões do Octaedro truncado.
Visualizações da planificação do Octaedro truncado.
Visualizações em projeções paralelas ortogonais do Octaedro truncado.
Figura 28: Estudos do Octaedro Truncado.
Fonte: a autora, 2012
A partir dos objetivos traçados para essas tarefas de exploração dos
poliedros no software e investigação quanto a suas características e propriedades
(conforme discutido nos itens 3.1 e 3.2), os alunos deverão/poderão perceber que:
 O Octaedro Truncado possui 14 faces, sendo 8 hexagonais e 6
quadradas (a planificação do poliedro possibilita essa visualização);
 O total de arestas pode ser contado a partir da visão paralela
ortogonal, e nesse caso, o total é 36.
58
 Combinando os três tipos de visualização, mas utilizando a projeção
de modo similar ao anterior que o software possibilita, os alunos
poderão contar o número de vértices desse poliedro percebendo que
são 24.
 Visualizando e
movimentando a
representação do Octaedro
Truncado em três dimensões (ou combinando-a com as demais
possibilidades de visualização desse poliedro no Poly), os alunos
poderão perceber que cada vértice possui 3 arestas, sendo duas
decorrente do encontro da face quadrática com as faces hexagonais
e uma do encontro entre as duas faces hexagonais. Trata-se,
portanto, de ângulos triédricos.
 Cada um dos vértices é formado por 2 ângulos planos de superfícies
hexagonais e 1 de superfície quadrática. Considerando que cada
ângulo do hexágono mede 120º e o quadrado é constuído de 4
ângulos retos, temos que a soma dos ângulos planos comuns a cada
um dos vértices totaliza 330º.
A seguir, apresentamos as mesmas tarefas de exploração envolvendo o
Icosaedro Truncado:
59
Visualizações em três dimensões do Icosaedro truncado.
Visualizações da planificação do Icosaedro truncado.
Visualizações em projeções paralelas ortogonais do Icosaedro truncado.
Figura 29: Estudos do IcosaedroTruncado
Fonte: a autora, 2012
 O Icosaedro Truncado possui 32 faces, sendo 12 pentágonais e 20
hexágonais
(a
planificação
do
poliedro
possibilita
essa
compreensão);
 O total de arestas pode ser contado a partir da visão paralela
ortogonal, nesse caso, é 90.
 Combinando os três tipos de visualização, mas utilizando a projeção
de modo similar ao anterior que o software possibilita, os alunos
60
poderão contar o número de vértices desse poliedro percebendo que
são 60.
 Visualizando e movimentando a representação do Icosaedro
Truncado em três dimensões (ou combinando-a com as demais
possibilidades de visualização desse poliedro no Poly), os alunos
poderão perceber que cada vértice possui 3 arestas, sendo duas
decorrente do encontro da face pentagonal com as faces hexagonais
e uma do encontro entre as duas faces hexagonais. Trata-se,
portanto, de ângulos triédricos.
 Cada um dos vértices é formado por 2 ângulos planos de superfícies
hexagonais e 1 de superfície pentágonal. Considerando que cada
ângulo do hexágono mede 120º e cada ângulo do pentágono mede
108º, temos que a soma dos ângulos planos comuns a cada um dos
vértices totaliza 348º.
Com o Cuboctaedro, a exploração pode ser semelhante visando a atingir
os mesmos objetivos anteriores. A Figura 30 ilustra suas possíveis formas de
representação no software Poly.
61
Visualizações em três dimensões do Cuboctaedro
Visualizações da planificação do Cuboctaedro
Visualizações em projeções paralelas ortogonais do Cuboctaedro
Figura 30: Estudo do Cuboctaedro
Fonte: a autora, 2012
 O Cuboctaedro possui 14 faces, sendo 8 triangulares e 6 quadradas (a
planificação do poliedro possibilita essa compreensão);
 O total de arestas pode ser contado a partir da visão paralela ortogonal,
nesse caso, é 24.
 Combinando os três tipos de visualização, mas utilizando a projeção de modo
semelhante ao anterior que o software possibilita, os alunos poderão contar o
número de vértices desse poliedro percebendo que são 12.
62
 Visualizando e movimentando a representação do Cuboctaedro em três
dimensões (ou combinando-a com as demais possibilidades de visualização
desse poliedro no Poly), os alunos poderão perceber que cada vértice possui
4 arestas, sendo decorrentes do encontro das faces triangulares com as
faces quadrangulares. Trata-se, portanto, de ângulos tetraédricos.
 Cada um dos vértices é formado por 2 ângulos planos de superfícies
triâgulares e 2 de superfícies quadráticas. Considerando que cada ângulo do
triângulo mede 60º e cada ângulo do quadrado mede 90º, temos que a soma
dos ângulos planos comuns a cada um dos vértices totaliza 300º.
Com o Cuboctaedro truncado, a exploração pode ser semelhante visando
a atingir os mesmos objetivos anteriores. A Figura 32 ilustra suas possíveis formas
de representação no software Poly.
63
Visualizações em três dimensões do Cuboctaedro truncado.
Visualizações da planificação do Octaedro truncado.
Visualizações em projeções paralelas ortogonais do Cuboctaedro truncado.
Figura 31: Estudos do CuboctaedroTruncado.
Fonte: a autora, 2012
 O Cuboctaedro Truncado possui 26 faces, sendo 12 quadradas, 8
hexagonais e 6 octogonais (a planificação do poliedro possibilita essa
compreensão);
 O total de arestas pode ser contado a partir da visão paralela
ortogonal, e nesse caso, o total é 72.
 Combinando os três tipos de visualização, mas utilizando a projeção
de modo similar ao anterior que o software possibilita, os alunos
64
poderão contar o número de vértices desse poliedro percebendo que
são 48.
 Visualizando e movimentando a representação do Cuboctaedro
Truncado em três dimensões (ou combinando-a com as demais
possibilidades de visualização desse poliedro no Poly), os alunos
poderão perceber que cada vértice possui 3 arestas, sendo
decorrente do encontro da face quadrangular com a face hexagonal,
do encontro da face octogonal com a face hexágonal e do encontro
da face quadrangular com a face octágonal. Trata-se, portanto, de
ângulos triédricos.
 Cada um dos vértices é formado por 1 ângulo plano de superfície
quadratíca, 1 de superfície hexágonal e 1 de superfície octogonal.
Considerando que cada ângulo do quadrado mede 90º, cada ângulo
do hexágono mede 120º e cada ângulo do octagono mede 135º,
temos que a soma dos ângulos planos comuns a cada um dos
vértices totaliza 345º.
Discutimos apenas 4 Poliedros Arquimedianos e a partir destes é possível
generalizar de algumas ideias de acordo com os objetivos apresentados no início
dessa proposta.
Uma primeira generalização que os alunos podem chegar a partir das
tarefas de exploração seria: que os Poliedros Arquimedianos são constituídos de
dois ou três tipos de faces diferentes. Do mesmo modo, os ângulos sólidos são
formados por no máximo cinco arestas. Os ângulos destes Poliedros podem ser
triédricos, tetraédricos ou pentaédricos, sendo que os Poliedros Arquimedianos
com duas faces podem ter ângulos triédricos, tetraédricos ou pentaédricos, já
os de três faces podem ter ângulos triédricos ou pentaédricos.
As figuras a seguir elucidam melhor essa classificação, a qual nos referimos,
que envolve os tipos e as quantidades de faces e ângulos e isso pode ser verificado
pelos alunos com o auxilio do software.
65
Tetraedro Truncado
Cubo Truncado
Octaedro Truncado
Dodecaedro Truncado
Icosaedro Truncado
Figura 32: Poliedros Arquimedianos com 2 tipos de faces e ângulos triédricos
Fonte: a autora, 2012
Cuboctaedro Truncado
Icosidodecaedro Truncado
Figura 33: Poliedros Arquimedianos com 3 tipos de faces e ângulos triédricos
Fonte: a autora, 2012
Icosidodecaedro
Rombicuboctaedro
Cuboctaedro
Figura 34: Poliedros Arquimedianos com 2 tipos de faces e ângulos tetraédricos
Fonte: a autora, 2012
66
Cubo-Rombo
Dodecaedro Rombo
Figura 35: Poliedros Arquimedianos com 2 tipos de faces e ângulos pentaédricos
Fonte: a autora, 2012
Rombicosidodecaedro
Figura 36: Poliedro Arquimediano com 3 tipos de faces e ângulos pentaédricos
Fonte: a autora, 2012
Além disso á partir dos números de vértices, faces e arestas, os alunos
poderão encontrar outras generalizações existentes como, por exemplo:
 Para encontrar o número total de arestas, pode-se utilizar a seguinte fórmula:
𝑛º 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 . 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑎 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑒 +⋯
, Como exemplo podemos
2
calcular para o Octaedro Truncado, que contém 6 faces quadradas e 8
hexagonais, então:
4. 6+6. 8
2
= 36.
 Sempre que somamos o total de vértices com o total de faces de qualquer
Poliedro Arquimediano o valor encontrado é igual ao total de arestas mais 2.
Se multiplicarmos o número de vértices pelo número de arestas do vértice o
resultado encontrado será sempre o dobro da quantidade total de arestas.
A partir da relação encontrada para o número de arestas pode-se chegar a
fórmulas para calcular o número total de faces, vértices, arestas, arestas que
formam um vértices. Desta forma chegamos nas seguintes fórmulas:
 2 . A = V . m, na qual A representa o número total de arestas, V o número
total de vértices e m a quantidade de arestas que formam o vértice. Utilizando
esta fórmula, conseguimos encontrar o valor para qualquer uma das
67
variáveis. Com exemplo calcularemos para Octaedro Truncado o número de
arestas que formam seus vértices, sabemos que A = 36 e V = 24 então:
2 . 36 = 24 . m, logo m= 3, constatando que o seu ângulo é formado por três
arestas, neste caso seu ângulo sólido é triédrico. Outro exemplo, seria
calcular o número de vértices para o mesmo Poliedro agora sabendo que
m = 3, desta forma: 2 . 36 = V . 3, logo V = 24.
Ainda podem fazer relacões com soma das arestas mais 2, ou seja:
 F + V = A + 2. Este também é conhecido pelo Teorema de Euler. Como
exemplo podemos verificar esta relação no Icosaedro Truncado F + 60 = 90 +
2, resolvendo encontramos F = 32.
Quando os alunos realizaram a soma dos ângulos planos dos vértices,
puderam constatar que em nenhum dos quatro Poliedros Arquimedianos explorados,
a soma foi maior que 360º, neste sentido podemos fazer a seguinte generalização:
 a soma dos ângulos planos dos Poliedros Arquimedianos que tem um vértice
comum é menor que 360º.
Sabendo que os ângulos sólidos são menores que 360º, e utilizando a
relação de faces e arestas, chegamos na seguinte fórmula ∑β =
𝟑𝟔𝟎𝐨 .(𝐀 – 𝐅)
𝐕
, na qual
∑β representa a soma dos ângulos planos do Poliedro, A o número total de arestas
e F o número de faces e V o número total de vértices. Esta fórmula vêm para facilitar
os calculos, pois com ela não é necessário calcular o valor de cada ângulo interno
do poligono que compõem o vértice. Como exemplo, podemos calcular para o
Cuboctaedro Truncado, desta forma ∑β =
𝟑𝟔𝟎𝐨 .(𝟕𝟐 – 𝟐𝟔)
𝟒𝟖
, logo ∑β = 345º.
Como algumas dessas fórmulas são complexas, o professor poderá
construí-las junto com os alunos com o auxilio do Poly, caso eles não tenham
conseguido sozinhos. Com as generalizações feitas o professor deverá pedir para os
alunos verificarem se as mesmas são válidas para os demais Poliedros
Arquimedianos.
68
5.2 ESTUDANDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS COM MATERIAL
MANIPULÁVEL
A partir desse momento discutimos uma outra possibilidade de abordagem
para o ensino dos Poliedros Arquimedianos na educação básica pautada em
materiais manipuláveis, na qual será possível a montagem e visualização das
truncaturas, de modo a proporcionar a compreensão da origem desses Poliedros.
É importante ratificarmos que é possível construir os treze Poliedros
Arquimedianos a partir dos platônicos, mas apenas onze desses Poliedros são
obtidos por truncaturas, sendo eles: tetraedro truncado, cuboctaedro, cubo truncado,
octaedro truncado, dodecaedro truncado, icosaedro truncado, icosidodecaedro,
icosidodecaedro truncado, rombicuboctaedro, rombicosidodecaedro e cuboctaedro
truncado. De acordo com Almeida (2010) essas truncaturas podem ser de dois tipos:

Truncaturas Diretas: envolvem apenas um Poliedro, sendo este Platônico;

Truncaturas Modificadas: são truncaturas diretas em Poliedros Platônicos
seguida de transformações convenientes.
Os outros dois Poliedros Arquimedianos que faltam para completar os treze
são o cubo achatado (ou cubo rombo) e o dodecaedro achatado (ou dodecaedro
rombo), que segundo Almeida (2010) podem ser obtidos por snubificação de
Poliedros platônicos, ou seja, consiste em afastar todas as faces de um Poliedro
platônico, girá-las 45 º e preencher os espaços vazios resultantes com triângulos.
Portanto, esses não podem ser abordado com a ideia de truncatura, mas a
abordagem anterior os contempla tranquilamente.
Os sete primeiros Poliedros Arquimedianos mencionados acima, são
obtidos a partir de truncaturas diretas feitas nos vértices de um dos Poliedros
Platônicos, ou seja: O
Tetraedro Truncado se origina partir do Tetraedro,
Cuboctaedro e o Cubo Truncado se originam a partir do Cubo, o Octaedro Truncado
se origina a partir do Octaedro, o Dodecaedro Truncado se origina a partir do
Dodecaedro, o Icosaedro Truncado e o Icosidodecaedro se originam a partir do
Icosaedro. Os quatro últimos são obtidos a partir de truncaturas modificadas nos
vértices de dois Poliedros, sendo primeiramente truncado um Platônico obtendo-se
assim um Arquimediano, em seguida esse Arquimediano recebe uma nova
sequência de truncaturas obtendo-se um outro Poliedro Arquimediano, ou seja: a
partir do Icosaedro obtivemos o Icosidodecaedro e a partir deste obtemos o
69
Icosidodecaedro Truncado e o Rombicosidodecaedro, a partir do Cubo obtivemos o
Cuboctaedro e a partir deste podemos obter o Rombicuboctaedro e o Cuboctaedro
Truncado.
A proposta de ensino aqui discutida vislumbra exatamente possibilitar que os
alunos percebam essa relação, o que favorece a compreensão das diferenças e
semelhanças entre os Poliedros Arquimedianos e os Platônicos. Para tanto, pela
questão de tempo, acreditamos que o professor deve levar os Poliedros
Arquimedianos já construídos para sala de aula. Essa construção deverá ocorrer da
seguinte maneira: inicialmente constrói-se o sólido Arquimediano e, separadamente,
constrói-se as pirâmides oriundas das truncaturas realizadas no poliedro Platônico
(ou em alguns casos em um Arquimediano) que origina tal Poliedro Arquimediano.
Tal construção possibilitará o encaixe (futuro), de forma a se proporcionar a
visualização da truncatura que transforma poliedro Platônico em Arquimediano e
vice-versa. Para fins de comparação, também parece-nos interessante ter em mãos
os Poliedros Platônicos, de modo a facilitar o processo de visualização, uma vez que
o aluno poderá visualizar o Poliedro que dá ou dará origem ao outro e verificar as
transformações que vão ocorrer a cada passo e a cada corte.
Exemplos de planificações que possibilitam a construção dos sólidos
(Arquimedianos e Platônicos) são apresentados nas Figuras 37 e 38.
Cuboctaedro Truncado
Icosaedro Truncado
Cuboctaedro
Octaedro Truncado
Figura 37: Moldes de Poliedros Aquimedianos.
Fonte: http://www.korthalsaltes.com/
70
Octaedro
Icosaedro
Figura 38: Molde dos Poliedros Aquimedianos e Platônicos
Fonte: http://www.korthalsaltes.com/
Cubo
Contruídos os poliedros é possível propor tarefas de estudo, com o objetivo
de que os alunos percebam a construção dos Poliedros Arquimedianos a partir das
truncaturas nos Platônicos e consigam perceber as diferenças entre um e outro. Na
sequência o roteiro para o estudo.
ROTEIRO: ESTUDANDO OS POLIEDROS ARQUIMEDIANOS COM OS MATERIAIS
MANIPULÁVEIS
Informações Importantes:

Truncatura: consiste na eliminação de partes de um sólido de forma simétrica, que pode ser
feita sobre seus vértices ou sobre suas arestanos. Ela pode ser feita no vértice, o qual faz-se
cortes em todas as arestas que pertencem a este vértice, ou ainda ela pode ser feita na
aresta, o qual é feito cortes paralelos as arestas.

Truncaturas Diretas: envolvem apenas um Poliedro, sendo este Platônico;

Truncaturas Modificadas: são truncaturas diretas em Poliedros Platônicos seguida de
transformações convenientes.

Apenas onze dos treze Poliedros são obtidos por truncaturas. Os outros dois são: o cubo
achatado (ou cubo rombo) e o dodecaedro achatado (ou dodecaedro rombo), podem ser
obtidos por snubificação de Poliedros platônicos, ou seja, consiste em afastar todas as faces
de um Poliedro platônico, girá-las 45 º e preencher os espaços vazios resultantes com
triângulos.
Continua...
71
2) 1) Com o auxilio dos materiais manipuláveis responda as questões abaixo utilizando o quadro ao
final desse roteiro:
a) a) Dos quatros poliedros manipulados, quais foram os tipos de truncaturas e como elas foram feitas?
b) b) O que podemos observar nas faces quando fazemos truncaturas diretas em Poliedros Platônicos
para dar origem a um Arquimediano que apresenta dois tipos de faces?
c) c) O que podemos observar nas faces quando fazemos truncaturas modificadas em Poliedros
Platônicos ou Arquimedianos para dar origem a um outro Arquimediano que apresenta três tipos de
faces?
d) d) Quais diferenças são possíveis encontrar entre os Poliedros Platônicos e os Arquimedianos?
Octaedro
Truncado
Poliedro
Icosaedro
Truncado
Cuboctaedro
Cuboctaedro
Truncado
Qual foi o tipo de
truncatura
realizada
Quando fazemos
truncaturas
diretas o que
podemos
observar nas
faces do Poliedro
obtido
Quando fazemos
truncaturas
modificadas o
que podemos
observar nas
faces do Poliedro
obtido
Quais são as
diferenças entre
os Poliedros
Platônicos e os
Arquimedianos
Para o desenvolvimento do roteiro sugerimos que o professor leve para a
sala de aula o Octaedro Truncado, Icosaedro Truncado, Cuboctaedro e Cuboctaedro
Truncado, neste ultimo o processo de truncatura é diferente, pois quando truncamos
diretamente o Cubo (Poliedro Platônico) obtemos o cuboctaedro e fazendo
truncaturas modificadas neste, nos deparamos com um Poliedro intermediario como
mostra o exemplo abaixo:
72
Figura 39: Exemplo de Truncatura Modificada
Fonte: http://dc201.4shared.com/doc/e839Riok/preview.html
Desta forma para chegarmos no cuboctaedro truncado, o Poliedro
intermediário deve ter seus vértices truncados de maneira que os retângulos
resultem em quadrados, ou seja, neste caso necessita de uma aproximação por
tronco de pirâmide, o que pode dificultar a confecção (ver figura 43).
Acreditamos que o estudo realizado nos três primeiros Poliedros citados
acima, é suficiente para a compreensão das truncaturas e a diferenciação dos
Poliedros Arquimedianos com os Platônicos, pois a exploração no software Poly já
terá sido desenvolvida e os alunos já conhecem os treze Poliedros. O quarto
Poliedro o Cuboctaedro Truncado servirá para exemplificar as truncaturas
modificadas e para visualizar o que ocorre com as faces quando esse tipo de
truncatura é feita.
Segue abaixo a descrição para obtenção de Poliedro desejado a partir de
truncaturas.
Octaedro truncado: Podemos obter o octaedro truncado utilizando o
octaedro regular (Poliedro Platônico). Para isso, devem ser realizadas truncaturas
em seus vértices, dividindo suas arestas em três partes congruentes. A reunião
dessas truncaturas origina, em cada vértice, pirâmides de base quadrangular que,
quando eliminadas do octaedro regular dão origem ao Octaedro Truncado.
73
Uma representação dessa sequência de ações das truncaturas no Octaedro
Regular originando o Octaedro Truncado está apresentada a seguir:
Poliedro Platônico
Octaedro Regular
Truncaturas em seus
vértices
Retira-se os cantos
Poliedro Arquimediano
(pirâmides de base
Octaedro Truncado
quadrangular)
Figura 40: Truncatura no Octaedro Regular para obter o Octaedro Truncado
Fonte: a autora, 2012
Icosaedro Truncado: De modo semelhante, o Icosaedro Truncado pode ser
obtido a partir do Icosaedro Regular (Poliedro Platônico). Para isso devem ser feitas
truncaturas em seus vértices, separando cada uma das arestas em três partes
congruentes. A reunião dessas truncaturas origina, em cada vértice, pirâmides de
base pentagonal que, quando eliminadas do Icosaedro regular dão origem ao
Icosaedro Truncado, conforme é mostrado na figura 41.
Poliedro Platônico
Icosaedro Regular
Truncaturas em seus
vértices
Retira-se os cantos
Poliedro Arquimediano
(pirâmides de base
Icosaedro Truncado
pentagonal)
Figura 41: Truncatura no Icosaedro Regular para obter o Icosaedro Truncado
Fonte: a autora, 2012
Cuboctaedro: O Cuboctaedro pode ser obtido a partir do Cubo (Poliedro
Platônico). Para isso devem ser feitas truncaturas em seus vértices, a partir do ponto
médio de cada uma das arestas. A reunião dessas truncaturas origina, em cada
74
vértice, pirâmides de base triangular que, quando eliminadas do cubo dão origem ao
Cuboctaedro, conforme é mostrado na figura 42.
Poliedro Platônico
Cubo
Retira-se os cantos
Poliedro Arquimediano
(pirâmides de base
Cuboctaedro
triangular)
Figura 42: Truncatura no Cubo para obter o Cuboctaedro
Fonte: a autora, 2012
Truncatura em seus
vértices
Cuboctaedro Truncado: Para obter o Cuboctaedro Truncado, iremos
utilizar o poliedro já obtido pela truncatura do cubo (poliedro Platônico), o
Cuboctaedro (Poliedro Arquimediano). Primeiramente fazemos truncaturas em seus
vértices, separando cada uma das arestas em três partes congruentes. A reunião
dessas truncaturas origina, em cada vértice, pirâmides de base quandrangular que,
quando eliminadas do Cuboctaedro dão origem ao CuboctaedroTruncado, conforme
é mostrado segunda parte da figura 43. Para este caso o material manipulável não é
factivel.
75
Poliedro Arquimediano
(Cuboctaedro)
Truncatura em seus vértives
Aproximação dos retângulos para quadrados
As truncaturas resultam em
pirâmides de base retangular
Poliedro Arquimediano Cuboctaedro Truncado
Figura 43: Truncaturas no cubo e no cuboctaedro para obter o cuboctaedro truncado
Fonte: a autora, 2012
Neste último podemos observar o que descreveu Almeida (2010), pois a
partir de um Poliedro Platônico obtivemos um Arquimediano e fazendo truncaturas
neste Arquimediano obtido, conseguimos um novo Poliedro Arquimediano.
As truncaturas feitas nos quatro Poliedros Arquimedianos foram nos vértices.
Podemos observar que quando fazemos truncaturas diretas (apenas em um
sólido) em Poliedros Platônicos para dar origem a um Arquimediano, esse apresenta
dois tipos de faces: faces que provêm de faces do primeiro e faces que provêm da
eliminação dos cantos do Poliedro Platônico de partida. Já quando fazemos
truncaturas em um Poliedro Arquimediano para obter outro encontramos três tipos
de faces: faces que provêm de faces do primeiro e do segundo e faces que provêm
da eliminação dos cantos do Poliedro Arquimediano.
Portanto, com os estudos envolvendo materiais manipuláveis construídos a
partir da ideia de truncaturas, os alunos poderão perceber as diferenças existentes,
entre os Poliedros Platônicos e os Arquimedianos, sendo elas:

Os Platônicos são constituidos por apenas cinco Poliedros, já os
Arquimedianos por treze;

Os Platônicos tem apenas um tipo de face, já os Arquimedianos podem ter
dois ou três tipos;
76

Nos Poliedros Platônicos o Icosaedro é o Poliedro que possui o maior número
de faces sendo 20, já nos Arquimedianos é o Dodecaedro Achatado que
possui 92.

A maior face de um Poliedro Platônico é um pentágono, já do Arquimediano é
um decágono.

O Dodecaedro é o Poliedro Platônico que possui a maior soma dos ângulos
planos totalizando 324º, já dos Arquimedianos é o Icosidodecaedro Truncado,
cuja a soma é 354º.
Os Poliedros Arquimedianos são diferenciados pelas várias faces contendo
Poliedros distintos, a forma como podemos obtê-los, as faces que se originam de
outras faces, vários tipos de ângulos e vários tipos de faces. Todas essas
características mencionadas no decorrer do trabalho mostram a importância de
estudá-los, mostra também diversos conteúdos que podem ser estudados
juntamente com os Poliedros Arquimedianos.
77
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES
Com os estudos preliminares apresentados no início desse trabalho foi
possível perceber o quanto a Geometria, e em especial os Poliedros Arquimedianos,
vêm sendo deixada de lado pela maioria dos professores, privando assim os alunos
do desenvolvimento do raciocínio e habilidades características dessa área do
conhecimento matemático e dos entes por ela permeados.
A pesquisa bibliográfica
e o referencial teórico utilizado permitem-nos
afirmar que os Poliedros Arquimedianos não são estudados na educação básica,
uma vez que os livros didáticos não apresentam nenhum conteúdo relacionado a
temática. Além disso, o argumento mais forte para tal “abandono” relaciona-se com
a dificuldade de visualização e complexidade para representação desses poliedros.
Neste sentido, algumas alternativas didático-metodológicas vêm sendo
apresentadas. Dentre elas, nosso trabalho atribuiu destaque aos recursos
tecnológicos, particularmente ao software Poly, e à utilização de Materiais
Manipuláveis, enquanto constituintes de um ambiente de aprendizagem favorável à
investigações e estabelecimento de relações, no que diz respeito às propriedades do
Poliedros Arquimedianos e ao Teorema de Euler que também é valido para eles.
A proposta apresentada visa explorar, a partir do software e de sólidos
construídos em papel, as características e propriedades que diferenciam os
Poliedros Arquimedianos de outros, bem como a comprensão das truncaturas nos
Poliedros Platônicos (e em alguns casos num outro Arquimedinao) que originam os
Poliedros Arquimedianos.
objetivos
explicitados
Acreditamos que tais atividades corroboram aqueles
pelos
PCN,
relacionados
com
a
necessidade
de
desenvolvimento das habilidades para reconhecimento dos aspectos que permeiam
as diferentes formas presentes no mundo. Exemplo disso é a bola de futebol, por
exemplo, que constitui um Icosaedro Truncado, portanto Poliedro Arquimediano.
Destacamos ainda que, embora tenhamos apresentado duas alternativas
para a abordagem desses conteúdos na educação básica (o Poly e os materiais
manipuláveis), o professor de acordo com os objetivos de suas aula, pode trabalhar
separadamente com cada uma delas. Acreditamos, que as discussões aqui
realizadas apontam caminhos para sua exploração. Do mesmo modo, outros tipos
de materiais podem e devem ser incorporados a estes, de modo a favorecer e
ampliar as discussões como, por exemplo, envolvendo as diagonais desses sólidos.
78
Diante do que foi apresentado, acreditamos ser necessário retomar nossa
questão de investigação e buscar elementos que possibilitem respondê-la. Como os
Poliedros Arquimedianos podem ser resgatados enquanto objeto de estudo e
ensino na educação? Em face das discussões realizadas, acreditamos que o
software Poly associado aos materiais manipuláveis caracterizam uma alternativa
interessante, à medida que possibilitam a construção, visualização, caracterização e
manipulação
desses
poliedros,
considerados
de
difícil
visualização
pelos
professores, bem como a exploração da ideia de constituição dos Poliedros
Arquimedianos a partir de truncaturas nos Platônicos, o que favorece a
compreensão das características, semelhanças e diferenças entre esses poliedros.
Para finalizar, acreditamos
que, embora se trate de um trabalho
despretensioso e limitado, ele se constitui numa obra relevante enquanto referencial
para os estudos e pesquisas envolvendo os Poliedros Arquimedianos, tendo em
vista a escasses de materiais desse cunho no Brasil.
Por fim, destacamos ainda que a elaboração do presente trabalho constituiu
um espaço de estudo, reflexão, aprendizagem e discussão, à medida que
possibilitou uma melhor aproximação com a temática (até então praticamente
inexplorada em nossa formação), seja na perspectiva de compreensão dos
Poliedros Arquimedianos e de suas propriedades, seja no pensar e estabelecer
estratégias didáticas que possibilitassem a abordagem de tais conteúdos na
educação básica.
79
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, Talita. Sólidos Arquimedianos e Cabri 3D: Um Estudo de Truncaturas
Baseadas no Renascimento. 2010. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Matemática) – Póntificia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2010.
ALMIRO, João. Materiais manipuláveis e tecnologia na aula de Matemática.
Disponível
em:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/sd/textos/GTI-JoaoAlmiro.pdf. Acesso em: 04 de julho de 2012.
ASSIS, Cibelle de Fátima Castro de. Software Educativos nas Aulas de Geometria:
Utilização do geogebra no ensino fundamental II. In: Anais... III Encontro Regional
em Educação Matemática, Paraíba, PB. 2011.
BARISON, Maria. Poliedros Regulares. Acesso em: 18 de março de 2012.
Disponível em : http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php
BRASIL. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias / Secretaria de
Educação Básica.– Brasília : Ministério da Educação, Secretaria de Educação
Básica, 2006. (Orientações curriculares para o ensino médio ; volume 2).
BRASIL. Ministerio da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino
Fundamental. – Matemática. Brasilia, 1998.
BRASIL. Observatório Nacional. A Geometria dos Espaços Curvos ou Geometria
Não-Euclidiana. [S. N.] Disponível em:
http://www.miniweb.com.br/ciencias/artigos/a_geometria_dos_espacos_curvos.pdf.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Matemática. Brasília:
Ministério da Educação e do Desponto. Secretaria de Educação Fundamental, 1997.
BRASIL. Secretaria de Educação e Média e Tecnologia. Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM). PCN+Ensino Médio: orientações
educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Linguagens,
códigos e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMT, 2002.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmentros curriculares nacionais:
Matemática/ Secretaria de Educação Fundamental. – Brasilia: MEC/SEF, 1997.
BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnólogica. Parâmetros Curriculares
Nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEMT, 1999.
BRAZ, Fernanda Martins. História da Geometria Hiperbólica. 2009.Monografia
(Especialização em Matemática) – Instituto de Ciências Exatas, Universidade
Federal de Minas Gerais. MG, 2009.
BULLA, Oswaldo. GERÔNIMO, João. Qual a Importância de se Aprender
Poliedros?.
Disponível
em:
80
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/247-2.pdf. Acesso em: 01
de maio de 2012.
CILINDRO.
Disponível
em:
http://www.reidaverdade.com/cilindroeletricohidraulico.html. Acesso em: 24 de maio de 2012.
CLASSE
de
Pirâmides.
Disponível
em:
http://ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110822_piramides.elp/clases
_de_pirmides.html. Acesso em: 22 de maio de 2012.
CONE. Disponível em: http://www.clker.com/clipart-brown-cone.html. Acesso em: 22
de julho de 2012.
DULLIUS, Maria Madalena; EIDElWEIN, Giane Maris; FICK, Graziela Maria;
HAETINGER, Claus; QUARTIERI, Marli Teresinha. Professores de Matemática e o
Uso
de
Tecnologias.
Disponível
em:
http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/EURE09.pdf. Acesso em: 04 de julho de
2012.
FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Angela. Uma reflexão sobre o uso de materiais
concretos e jogos no ensino de matemática. Boletim SBEM, São Paulo, v.7, p. 5-12,
01 de agosto de 1990.
FONTES, Helio. Poliedros Regulares e Suas Extensões. Rio de Janeiro: Col.
Pedro II, 1967.
GEOMETRIA. Disponível em: http://dc143.4shared.com/img/jKEoImjh/preview.html.
Acesso em 22 de julho de 2012.
GRANDO, Célia Regina. Investigações Geométricas na Formação de Professores
que ensiam Matemática. In: LOPES, Celi. (ORG). Educação Matemática, Leitura e
Escrita: Armadilhas, Utopias e Realidade. – Campinas , SP: Mercado de Letras,
2009. p.201 – 217. (Série Educação Matemática).
KENSKI, Vani Moreira. Educação e Tecnologia: O novo ritmo da informação.
Campinas, SP: Papirus, 2007. – (Coleção Papirus Educação).
LIMA, Marco. Da Geometria Espacial para a Plana: uma experiência didática.
Disponível
em:
http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31605/000783735.pdf?sequence=1
Acesso em: 15 de maio de 2012.
NOVELLO, Tanise Paula. et al. Material concreto: uma estratégia pedagógica para
trabalhar conceitos matemáticos. In: Anais... IX Congresso Nacional de Educação –
EDUCARE. III Encontro Sul Brasileiro de Psicopedagogia, Curitiba – PR, 2009.
PACCOLA, Herval; BIANCHINI, Ediwaldo. Matemática. 1ª Ed. – São Paulo:
Moderna, 2004.
PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª Ed. São Paulo: Moderna, 2004.
81
PAPPUS. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt e libris manu scriptis
ed idit latina interpretatione et commentariis instruxit Fredericus Hults.
Tradução Weidmannos: Berolini, 1876-1878.
POLIEDROS Platônicos e Arquimedianos. Disponivel em:
http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/cursos/trab4/5serie.html. Acesso em 23 de maio
de 2012. Acesso em: 23 de maio de 2012.
POLÍGONOS e não poligonos. Disponível em:http://aprenderpassoapasso.
blogspot.com.br/2011/10/poligonos-e-nao poligonos.html. Acesso em 22 de julho de
2012.
PRISMA. Disponívem em: http://www.geoka.net/poliedros/prisma_geometria.html.
Acesso em: 23 de maio de 2012.
PRISMA. Disponível em: http//:WWW.geoka.net/poliedros/prisma_geometria.html.
Acesso em: 23 de maio de 2012.
PROENÇA, Marcelo; PIROLA, Nelson. POLÍGONOS E POLIEDROS: UMA
ANÁLISE DA FORMAÇÃO CONCEITUAL DE ALUNOS DO ENSINO MÉDIO. In:
Anais... X Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação
Matemática. Minas Gerais, MG. 2006.
RANGEL, Alcyr. Poliedros. Rio de Janeiro: Esc. Engenharia, 1976.
SÁ, Ilydio. Geometria Espacial: Elementos iniciais de Geometria Espacial. Acesso
em: http://magiadamatematica.com/uerj/cap/06-inicia.pdf. Acesso em: 20 de maio de
2012.
SILVA, Elen. Uso de Recursos da Internet para o Ensino de Matemática.
Webquest: uma experiência com alunos do ensino médio. 2008. Dissertação
(Mestrado em Ensino de Matemática) – Póntificia Universidade Católica de São
Paulo, São Paulo, 2008.
SÓLIDOS
Geometricos
2.
Disponivel
em
:
http://junior.te.pt/escolinha/anosLista.jsp?id=196&p=5&d=mat&t=apr. Acesso em: 22
de maio de 2012.
SÓLIDOS
Geometricos.
Disponível
em:
http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010/10/solidosgeometrico.
html. Acesso em: 22 de maio de 2012.
SOUZA, Maria Elena Soares de. Utilização de softwares no ensino da Geometria.
Disponível em: http://cmais.com.br/utilizacao-de-softwares-no-ensino-da-geometria.
Acesso em: 18 de julho de 2012.
VISITANDO
o
portal
do
MEC.
Dispinível
em:
http://mandrake.mat.ufrgs.br/~mem023/20072/anuar/midia_mat.htm. Acesso em: 03
de setembro de 2012.
82
WEINERT, Mariane Eliza; LIMA, Siumara Apareceda; GRAVONSKI, Isabel Ribeiro;
HERIVELTO,Moreira. O uso das Tecnologias de Informação e Comunicação no
cotidiano escolar das séries iniciais: panorama inicial. In: R.B.E.C.T., vol. 4, nº 3, p.
50-72, 2011.