∫ = ∫

Bac 2001
Varianta 4
Profil: mate-fizica, informatica, metrologie
Subiectul I (30 p)
1. Se considera polinomul f = X 3 − X + 3 cu radacinile x1 , x2 , x3 ∈ £ si
polinomul g = X 2 + X + 1 cu radacinile y1 , y2 ∈ £ .
a) (4p) Sa se determine catul si restul impartirii polinomului f la
polinomul g .
b) (2p) Sa se verifice ca y13 = y23 = 1 .
c) (2p) Sa se arate ca numarul a = f ( y1 ) + f ( y2 ) este natural.
d) (2p) Sa se calculeze b = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) .
2x
x2 +1
a) (4p) Sa se calculeze f ′ ( x ) , x ∈ ¡ .
2. Se considera functia f : ¡ → ¡, f ( x ) =
b) (2p) Sa se determine asimptotele la graficul functiei f .
1
c) (4p) Sa se calculeze
∫ f ( x ) dx
0
3. In sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele
A(3,0), B(0,4) si C(3,4).
a) (3p) Sa se determine aria triunghiului ABC.
b) (4p) Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC.
c) (3p) Sa se demonstreze ca triunghiul ABC este dreptunghic.
Subiectul II (20 p)
1. Se considera binomul a =
(
2+ 3
)
100
a) (3p) Sa se determine numarul de termeni rationali din
dezvoltarea binomului. Notam cu S suma termenilor rationali
si cu T suma termenilor irationali ai binomului.
b) (1p) Sa se arate ca S − T =
c) (3p) Sa se arate ca S > T .
d) (3p) Sa se arate ca S − T <
(
2− 3
)
100
.
1
3
100
x
2. Se considera functia f : ¡ → ¡ definita prin f ( x ) = ∫ et dt
2
a) (4p) Sa se arate ca f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ .
b) (4p) Sa se cacluleze f ′ ( x ) , x ∈ ¡ .
c) (2p) Sa se calculeze lim f ( x ) .
x →∞
0
Subiectul III (20 p)
Se considera matricele:
 1
 1 0 0 0
 


1
0 1 0 0


X=
, Y = (1 2 −1 −2 ) , I 4 =
si
 1
 0 0 1 0
 


 1
0 0 0 1
1 2 −1 −2 


1 2 −1 −2 

A=
1 2 −1 −2 
1 2 −1 −2 


Definim B = aA + I 4 , a ∈ ¡ .
a) (4p) Sa se calculeze matricea A − XY .
b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A .
c) (3p) Sa se calculeze A2
d) (3p) Sa se verifice ca 2B − B 2 = I 4 .
e) (3p) Sa se arate ca B este inversabila, ∀a ∈ ¡ si sa se calculeze
inversa sa.
f) (3p) Sa se demonstreze, utilizand metoda inductiei matematice, ca
B n = I 4 + naA, ∀n ∈ ¥ ∗ , ∀a ∈ ¡ .
Subiectul IV (20 p)
Se considera numarul real a ∈ ( 0;1) si sirurile ( xn )n≥1 , ( I n )n ≥1 cu termenii
generali:
2 n −1
a3 a5
x 2n
n −1 a
dx, ∀n ∈ ¥∗ .
, In = ∫
+ + ... + ( −1)
2
x
3 5
2n − 1
1
+
0
a) (4p) Sa se demonstreze identitatea:
a
xn = a −
1 + ( −1) x 2n
, ∀n ∈ ¥∗ , ∀x ∈ ¡
2
1+ x
b) (4p) Integrand egalitatea de la punctul a), sa se arate ca:
n −1
xn = arctga + ( −1) I n , ∀n ∈ ¥∗ , a ∈ ( 0;1] .
1 − x 2 + x 4 + ... + ( −1)
n −1
n −1
x 2 n− 2 =
x2 n
c) (4p) Sa se arate ca 0 ≤
≤ x 2 n , ∀x ∈ ¡, ∀n ∈ ¥ ∗ .
2
1+ x
d) (4p) Sa se arate ca lim I n = 0 si lim xn = arctga .
n →∞
n →∞
n

−1) ⋅ 4 
4 4
(
e) (4p) Sa se calculeze lim  4 − + + ... +

n →∞ 

3
5
2
n
+
1


Indicatii (la exercitiile ceva mai dificile)
Subiectul I
1c) Avem a = f ( y1 ) + f ( y2 ) = y13 − y1 + 3 + y23 − y2 + 3 = 8 − ( y1 + y2 )
Conform relatiilor lui Viete, y1 + y 2 = −1 ⇒ a = 9 ∈ ¥ .
1d) Calculam:
b = ∑ ( xk2 + xk + 1) = 3 + ∑ xk + ∑ xk2
3
k =1
3
Dar
∑x
k =1
k
∑
= 0;
1≤i < j ≤ 3
3
3
k =1
k =1
xi x j = −1 (relatiile Viete). Se calculeaza:
2
 3

x
=
∑
 ∑ xk  − 2 ∑ xi x j = 0 + 2 = 2 . Rezulta b = 3 + 0 + 2 = 5 .
k =1
 k =1 
1≤ i < j ≤3
3
2
k
Subiectul II
1abcd) Termenii impari din dezvoltare sunt rationali, iar cei pari sunt
irationali. Dezvoltarea
(
2− 3
)
100
are aceiasi termeni cu cea initiala, dar
termenii irationali apar cu semnul minus. Cum S − T =
3− 2 <
Pe de alta parte,
2a) f ( − x ) =
−x
1
⇒
3
(
3− 2
)
100
<
(
2− 3
)
100
> 0 ⇒S >T .
1
1
⇒ S − T < 100 .
3
3
100
t
∫ e dt . Se efectueaza substitutia u = −t si rezulta:
2
0
x
f (−x) = ∫ e
( − u )2
0
x
( −du ) = − ∫ eu du = − f ( x )
2
0
2b) Functia de sub semnul integral este continua pe R, deci admite o
primitiva pe care o vom nota cu Φ ( t ) . Conform formulei Leibniz-Newton,
avem:
f ( x ) = Φ ( x ) − Φ ( 0 ) ⇒ f ′ ( x ) = Φ′ ( x ) = e x , x ∈ ¡ .
2c) Intr-o vecinatate V a lui +∞ avem:
2
x
x
e > e , ∀t ∈V ⇒ ∫ e dt > ∫ et dt ⇒ f ( x ) > et 0x = e x − 1
t2
t2
t
0
0
Rezulta lim f ( x ) ≥ lim ( e − 1) = ∞ ⇒ lim f ( x ) = ∞ .
x
x →∞
x →∞
x →∞
Subiectul III
e) Egalitatea de la punctul d) se poate scrie sub forma
B ( 2 I 4 − B ) = I 4 ⇒ det ( B ) ≠ 0 ⇒ B nesingulara ⇒ B inversabila. Inversa este
B −1 = 2 I 4 − B .
Subiectul IV
a) Suma din membrul stang este suma primilor n termeni ai unei
progresii geometrice de ratie q = − x 2 , cu termenul initial b1 = 1 .
Rezulta S n =
1 − ( −x2 )
1 + x2
n
1 − ( −1) x 2 n 1 + ( −1)
=
=
1 + x2
1 + x2
b) Se face integrarea intre 0 si a .
n
n −1
c) Prima inegalitate este evidenta; a doua rezulta imediat din
1
x2 n
x2 ≥ 0 ⇒ 1 + x2 ≥ 1 ⇒
≤
1
⇒
≤ x 2n
2
2
1+ x
1+ x
d) Se integreaza intre 0 si a dubla inegalitate de la punctul c):
a
a
x 2n
a 2 n +1
2n
≤
⇒
≤
≤
0≤∫
0
, ∀n ∈ ¥∗
dx
x
dx
I
n
2
∫
+
+
1
2
1
x
n
0
0
Trecand la limita in aceasta inegalitate (criteriul clestelui), rezulta
lim I n = 0 . Conform punctului b), rezulta lim xn = arctga
n →∞
n →∞
e) Avem de calculat:
n
 1 1
−1) 
(
L = 4 lim 1 − + + ... +
.
n →∞ 

n
3
5
2
+
1


In paranteza, avem expresia sirului xn+1 pentru a = 1 . Conform celor
π
demonstrate anterior, avem lim xn +1 = lim xn = arctg1 = ⇒ L = π .
n →∞
n →∞
4