Congruência de triângulos I - MA13 - Unidade 2

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Congruência de triângulos I - MA13 - Unidade 2
Congruência de triângulos I
MA13 - Unidade 2
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Simetria em relação a uma reta
Dizemos que os pontos P e P 0 são simétricos em relação à reta r
quando a reta r é perpendicular ao segmento PP 0 e passa pelo seu
ponto médio.
b
P
b
b
r
Congruência de triângulos I
P′
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Figuras congruentes
Em palavras simples:
Duas figuras são congruentes quando podem ser levadas a
coincidir mediante um deslocamento rı́gido de uma delas.
Congruência de triângulos I
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Figuras congruentes
Em palavras simples:
Duas figuras são congruentes quando podem ser levadas a
coincidir mediante um deslocamento rı́gido de uma delas.
Os deslocamentos rı́gidos são a translação, a rotação e a simetria
em relação a uma reta que podem ser observados nas figuras
seguintes.
Congruência de triângulos I
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Translação
C1
b
C
b
b
b
B
B1
Translação
b
b
A1
A
Congruência de triângulos I
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Rotação
b
C′
B′
b
Rotação em torno de O
b
C
b
A′
b
b
A
O
Congruência de triângulos I
b
B
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Simetria em relação a r
A′
b
r
Simetria em relação a r
C′
b
C
b
B′
b
A
b
b
B
Congruência de triângulos I
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Simetria em relação a r
A′
b
r
Simetria em relação a r
C′
b
C
b
B′
b
A
b
b
B
A simetria em relação a uma reta é um movimento curioso porque
implica retirar a figura do plano e virá-la ao contrário.
Congruência de triângulos I
slide 6/11
Caso LAL
Dois triângulos são congruentes se tiverem dois lados
respectivamente congruentes e os ângulos entre eles congruentes.
A′
A
b
b
b
b
b
C
B
B′
b
C′
AB = A0 B 0 , BC = B 0 C 0 , ∠B = ∠B 0 ⇒ 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0
Congruência de triângulos I
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Caso ALA
Dois triângulos são congruentes se um lado de um for congruente a
um lado do outro e os ângulos com vértices nas extremidades desse
lado forem congruentes.
A
A′
b
b
b
b
B
b
C
B′
b
C′
BC = B 0 C 0 , ∠B = ∠B 0 , ∠C = ∠C 0 ⇒ 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0
Congruência de triângulos I
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Caso LLL
Dois triângulos são congruentes se tiverem os três lados
respectivamente congruentes.
A′
A
b
b
b
b
b
C
B
B′
b
C′
AB = A0 B 0 , BC = B 0 C 0 , CA = C 0 A0 ⇒ 4ABC ≡ 4A0 B 0 C 0
Congruência de triângulos I
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Problema
É dado o segmento AB. Os pontos P e Q são tais que PA = PB e
QA = QB. Mostre que PQ é perpendicular a AB.
P
b
b
b
b
M
A
B
b
Q
Congruência de triângulos I
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Solução:
Seja M o ponto de interseção de AB e PQ.
P
b
b
b
b
M
A
B
b
Q
Congruência de triângulos I
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Solução:
Seja M o ponto de interseção de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ
(LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
P
b
b
b
b
M
A
B
b
Q
Congruência de triângulos I
slide 11/11
Solução:
Seja M o ponto de interseção de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ
(LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
4APM ≡ 4BPM
(LAL) ⇒ ∠PMA = ∠PMB.
P
b
b
b
b
M
A
B
b
Q
Congruência de triângulos I
slide 11/11
Solução:
Seja M o ponto de interseção de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ
(LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
4APM ≡ 4BPM
(LAL) ⇒ ∠PMA = ∠PMB.
Como a soma desses ângulos é 180o , cada um deles mede 90o .
P
b
b
b
b
M
A
B
b
Q
Congruência de triângulos I
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