INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
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INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Capítulo 6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Definição 6.1. Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) no intervalo I se para todo x ∈ I, tem-se: F ′ (x) = f (x) Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo. Definição 6.2. Seja F (x) uma primitiva da função f (x) no intervalo I. A expressão F (x) + c, c ∈ R é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por: Z f (x) dx = F (x) + c Logo: Z f (x) dx = F (x) + c ⇐⇒ F ′ (x) = f (x) em particular: Z f ′ (x) dx = f (x) + c. Assim, a integral indefinida permite que encontremos uma família de primitivas de f (x). A sintaxe para o cálculo da integral indefinida de uma função é: >int(função,variável)+C; ou de forma mais didática: >Int(função,variável)=int(função,variável)+C; 171 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 172 Exemplo 6.1. Z 1. Calcule x2 dx , a 6= 0. + a2 >f:=1/(xˆ2 +aˆ2): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z x2 1 arctan(x) dx = +C 2 +a a Note que: >diff(arctan(x)/a +C,x); 1 x2 + a2 2. Calcule Z √ sec2 ( x) √ dx. x >f:=sec(sqrt(x))ˆ2/sqrt(x): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z √ √ 2 sin( x) sec2 ( x) √ √ dx = +C x cos( x) Figura 6.1: Gráficos de algumas primitivas de f , exemplo 2. Note que: >diff(2 sin(sqrt(x))/cos(sqrt(x)) +C,x); 6.1. INTRODUÇÃO 173 √ sec2 ( x) √ x 3. Calcule Z x2 dx . + 2x + 5 >f:=1/(xˆ2 +2*x+5): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z x2 dx 1 1 1 = arctan x + +C + 2x + 5 2 2 2 Note que: >diff(arctan(x/2 +1/2)/2 +C,x); x2 4. Calcule Z 1 + 2x + 5 eax sen(b x) dx; a, b 6= 0. >f:=exp(a*x)*sin(b*x): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z eax sen(bx) dx = eax (−cos(b x) b + a sin(b x)) +C a2 + b2 Note que: >diff(exp(a*x)*(-cos(b*x)*b+a*sin(b*x))/(aˆ2 +bˆ2) +C,x); eax sen(bx) Muitas vezes o MAPLE não consegue calcular de forma eficiente uma integral. Por exemplo, considere: Z x (x + 1)3000 dx O Maple, antes de calcular a integral, desenvolve o binômio, o utiliza uma grande parte da memória do computador. Convidamos ao leitor a digitar: > int(x ∗ (x + 1)3000 , x); CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 174 Veja o último exemplo do próximo parágrafo. Existem funções cujas primitivas não podem ser expressas em termos de funções elementares. Veja o seguinte exemplo: Exemplo 6.2. Z 2 1. Calcule e−x dx. >f:=exp(xˆ2): >Int(f,x)=int(f,x)+C; 1√ π erf (x) + C, 2 onde erf (x) é a chamada função erro, que não é elementar, a qual será revista nos próximos capítulos. Z 2 e−x dx = É interessante e importante entender os passos intermediários que o MAPLE realiza para calcular as integrais indefinidas. 6.2 Método de Substituição Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F ◦ g esteja definida. Usando a regra da cadeia; temos: ′ F (g(x)) = F ′ (g(x)) · g′ (x) = f (g(x)) · g′ (x). Logo, F (g(x)) é uma primitiva de f (g(x)) · g′ (x), então: Z f (g(x)) · g′ (x) dx = F (g(x)) + c; fazendo u = g(x), tem-se du = g′ (x) dx; substituindo na expressão anterior: Z f (g(x)) · g′ (x) dx = Z f (u) du = F (u) + c A sintaxe é: >with(student): >f:=função: >a:=Int(f,variável); >a1:=changevar(equação que define a mudança=u,a,u); >a2:=value(a1); >Int(f,x)=subs(u=equação que define a mudança,a1)+C; 6.2. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 175 Exemplo 6.3. Z 2x dx. 1. Calcule x2 + 1 >with(student): >f:=2*x/(xˆ2 +1): >a:=Int(f,x); 2x dx +1 Z a := x2 >a1:=changevar(xˆ2 +1 =u,a,u); a1 := Z 1 du u integral imediata: >a2:=value(a1); a2 := ln(u) >Int(f, x) = subs(u = xˆ2+1, a2)+C; Z 2. Calcule Z 2x dx = ln(x2 + 1) + C x2 + 1 √ sec2 ( x) √ dx. x >with(student): >f:=sec(sqrt(x))ˆ2 /sqrt(x)): >a:=Int(f,x); a := Z √ sec2 ( x) √ dx x >a1:=changevar(sqrt(x)=u,a,u); a1 := Z 2 sec(u)2 du integral imediata: >a2:=value(a1); a2 := 2 sin(u) cos(u) CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 176 >Int(f, x) = subs(u = sqrt(x), a2)+C; Z 3. Calcule Z √ √ sec2 ( x) 2 sin( x) √ √ dx = +C x cos( x) x cos(x2 ) sen(sen(x2 )) dx. >with(student): >f:=x*cos(xˆ2)*sin(sin(xˆ2)): >a:=Int(f,x); a := Z x cos(x2 ) sen(sen(x2 )) dx >a1:=changevar(sin(xˆ2 )=u,a,u); a1 := Z 1 sin(u) du 2 integral imediata: >a2:=value(a1); 1 a2 := − cos(u) 2 >Int(f, x) = subs(u =sin(xˆ 2), a2)+C; Z 1 x cos(x2 ) sen(sen(x2 )) dx = − cos(sin(x2 )) + C 2 Z 4. Calcule x (x + 1)3000 dx >with(student): >f:=x*(x+1)ˆ3000: >a:=Int(f,x); a := Z x (x + 1)3000 dx a1 := Z (−1 + u) u3000 du >a1:=changevar(x+1=u,a,u); >a2:=value(a1); 6.3. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES a2 := − 177 u3001 u3002 + 3001 3002 >Int(f, x) = subs(u =x+1, a2)+C; Z (x + 1)3001 (x + 1)3002 x (x + 1)3000 dx = − + +C 3001 3002 6.3 Método de Integração por Partes Sejam f e g funções deriváveis no intervalo I. Derivando o produto f · g: ′ f (x) g(x) = f ′ (x) g(x) + f (x) g′ (x), ou, equivalentemente, f (x) g′ (x) = (f (x) g(x))′ − f ′ (x) g(x). Integrando ambos os lados: Z Z f (x) g′ (x) dx = f (x) g(x) − f ′ (x) g(x) dx; fazendo: u = f (x) e dv = g′ (x) dx, temos: du = f ′ (x) dx e v = g(x). Logo: Z ′ f (x) g (x) dx = Z u dv = u v − Z v du Este método de integração nos permite transformar a integração de u dv na integração de v du. É importante saber “escolher” a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher v ′ tal que permita determinar v. As expressões de u′ e v devem ser mais simples que as de u e v ′ , respectivamente. A sintaxe que utilizaremos é: >with(student): >f:=função: >a:=Int(f,variável); >a1:=intparts(a, função que foi chamada de u); >a2:=value(a1); >Int(f,x)=a2+C; Exemplo 6.4. Z 1. Calcule ln(x) dx. >with(student): >f:=ln(x): >a:=Int(f,x); CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 178 a := Z ln(x) dx >a1:=intparts(a,ln(x)); a1 := x ln(x) − Z (1) dx >a2:=value(a1); a2 := x ln(x) − x >Int(f,x)=a2+C; Z 2. Calcule Z ln(x) dx = x ln(x) − x + C x sen(x) dx. >with(student): >f:=x*sin(x): >a:=Int(f,x); a := Z x sen(x) dx >a1:=intparts(a,x); a1 := −x cos(x) − Z (−cos(x)) dx >a2:=value(a1); a2 := −x cos(x) + sin(x) >Int(f,x)=a2+C; Z 3. Calcule Z x sen(x) dx = −x cos(x) + sin(x) + C (x3 + 5) ln(x) dx. >with(student): >f:=(xˆ3 +5)*ln(x): >a:=Int(f,x); a := Z (x3 + 5) ln(x) dx 6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 179 >a1:=intparts(a,ln(x)); 1 4 a1 := ln(x) x + 5x − 4 >a2:=value(a1); a2 := ln(x) >Int(f,x)=a2+C; Z 6.4 Z 1 x4 + 5 x 4 dx x 1 4 1 4 x + 5x − x − 5x 4 16 (x3 + 5) ln(x) dx = ln(x) 1 4 1 4 x + 5x − x − 5x + C 4 16 Método para Integração de Funções Racionais Um polinômio P (x) não constante de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, sendo que os fatores quadráticos são irredutíveis sobre os reais. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P (x). P (x) = (a1 x2 + b1 x + c1 )s1 (a2 x2 + b2 x + c2 )s2 ......(al x2 + bl x + cl )sl (x − d1 )r1 . . . (x − dn )rn , onde ri , sj ∈ N, i = 1 . . . n e j = 1 . . . l tais que não todos os ri e sj sejam nulos. Exemplo 6.5. [1] P (x) = x2 − 3 x + 2 = (x − 2) (x − 1). [2] P (x) = x3 + 4 x2 + 5 x + 2 = (x + 1)2 (x + 2). [3] P (x) = x3 − x2 + x − 1 = (x2 + 1) (x − 1). [4] P (x) = x8 + x7 − 9 x6 + 3 x5 − 33 x4 + 3 x3 − 35 x2 + x − 12 = (x2 + 1)5 (x − 3) (x + 4). [5] P (x) = x4 + x3 + 2 x2 + x + 1 = (x2 + 1) (x2 + x + 1). Seja uma função racional: P (x) . Q(x) A decomposição de uma função racional em frações mais simples, depende da fatoração do polinômio Q(x). Se numa função racional o grau de P (x) é maior ou igual ao grau de Q(x), então podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(P (x)) ≥ grau(Q(x)) então P (x) = Q(x) A(x) + R(x), onde grau(R(x)) < grau(Q(x)); então, que: P (x) R(x) = A(x) + . Logo, basta estudar o caso em Q(x) Q(x) grau(P (x)) < grau(Q(x)), CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 180 pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios. Essencialmente temos os seguintes casos: Caso 1: Q(x) se decompõe em fatores lineares distintos. Caso 2: Q(x) se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos. Caso 3: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem. Caso 4: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem. A sintaxe utilizada para decompor uma função racional em frações mais simples é: >with(student): >f:=função racional: >a:=Int(f, x); >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); >a1:=Int(b, x); >Int(f,x)=value(a1)+C; Exemplo 6.6. Z 3 x + 3x − 1 1. Calcule dx. x4 − 4 x2 >with(student): >f:=(xˆ3+3*x-1)/(xˆ4 -4*xˆ2): >a:=Int(f,x); a := >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); b := >a1:=Int(b,x); a1 := >Int(f,x)=value(a1)+C; Z x3 + 3 x − 1 dx x4 − 4 x2 1 3 13 15 + − + 16 (x + 2) 4 x2 4 x 16 (x − 2) Z 1 13 3 15 + + − 16 (x + 2) 4 x2 4 x 16 (x − 2) dx 6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS Z 2. Calcule Z 13 1 3 15 x3 + 3 x − 1 dx = ln(x − 2) − − ln(x) + ln(x + 2) + C 4 2 x − 4x 16 4x 4 16 3 x2 + 4 x + 2 dx. x3 + 2 x2 + x >f:=(3*xˆ2+4*x+2)/(xˆ3+2*xˆ2+x): >a:=Int(f,x); a := Z 3 x2 + 4 x + 2 dx x3 + 2 x2 + x >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); b := 1 1 2 − + 2 x (x + 1) x+1 >a1:=Int(b,x); a1 := >Int(f,x)=value(a1)+C; Z 3. Calcule Z Z 2 1 1 − + 2 x (x + 1) x+1 dx 1 3 x2 + 4 x + 2 dx = 2 ln(x) + + ln(x + 1) + C x3 + 2 x2 + x x+1 3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7 dx. x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 x + 4 >f:=(3*xˆ3-12*xˆ2 +13*x-7)/(xˆ4 -4*xˆ3+5*xˆ2 -4*x+4): >a:=Int(f,x); 3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7 dx x4 − 4 x3 + 5 x2 − 4 ∗ x + 4 >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); a := Z b := >a1:=Int(b,x); a1 := 2x − 1 1 1 − + x2 + 1 (x − 2)2 x−2 Z 1 1 2x − 1 − + 2 2 x +1 (x − 2) x−2 dx >Int(f,x)=value(a1)+C; Z 1 3 x3 − 12 x2 + 13 x − 7 dx = ln(x2 + 1) − arctan(x) + + ln(x − 2) + C 4 3 2 x − 4x + 5x − 4 ∗ x + 4 x−2 181 182 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.5 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: Z Z x 1 √ dx (a) dx (n) 5 x(ln(x))2 x2 − 1 Z Z 3x x3 (b) dx √ (o) dx 4 x2 + 1 1 + x Z Z √ 3 x + 5 dx (c) (p) x2 ex dx Z Z dy arcsen(y) √ (d) p (q) dy b − ay 2 1 − y2 Z Z ex (e) y(b − ay 2 ) dy (r) dx e2x + 16 Z Z 4x2 sen(θ) √ (f) dx (s) dθ 3 (5 − cos(θ))3 x +8 Z Z x+3 6x dx (t) dx (g) 2 2 2 (x + 6x)2 (5 − 3x ) Z Z dx dy (u) (h) 3 x ln(x) (b + ay) Z Z arcsen(x) p e (i) x3 a + bx4 dx √ (v) dx 1 − x2 Z Z ln(x) + 2 sen(ln(x)) dx (j) dx (w) x x Z √ Z cos( x + 1) (k) sen(2x) cos2 (2x) dx √ (x) dx 1 + x Z Z x x x5 (l) tg( ) sec2 ( ) dx √ (y) dx 3 2 2 x6 + 4 Z Z cos(ax)dx p (m) (z) 3x cos(3x ) dx b + sen(ax) 2. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas: Z Z √ x dx dx √ √ (d) , use x = 2 sec(t) , use x = sen(t) (a) 2 x x −2 1 − x2 Z Z √ dx dx √ , use z = 1 + x (e) (b) , use x = −ln(t) 1+ x ex + 1 Z √ dx Z √ q (f) , use z = 1 + 3 x x dx 1 √ (c) , use t = x + 1 1 + x3 x+1 3. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: 6.5. EXERCÍCIOS 183 (a) Z 3 cos(x) dx (j) Z (b) Z x arctg(x) dx (k) Z x sec2 (x) dx (l) Z ln3 (x) dx (m) Z sen2 (x) dx cos4 (x) (n) Z tg5 (x)sec3 (x) dx (o) Z cos4 (x) dx sen6 (x) (p) Z sen4 (ax) dx (q) Z sen3 (y) cos4 (y) dy (r) Z sen4 (x) dx cos6 (x) Z x 1 ex (c) dx x3 Z x3 √ dx (d) 1 − x2 Z (e) x cosec2 (x) dx Z (f) x sec(x) tg(x) dx Z (g) x3 sen(5 x) dx Z (h) x4 cos(2x) dx Z (i) x4 e−x dx x arcsen(x) √ dx 1 − x2 4. Calcule as seguintes integrais: Z √ 16 − x2 (a) dx x2 Z dx √ (b) 3 x x2 − 9 Z dx (c) 3 (4x − x2 ) 2 Z p x2 + 2 dx (d) Z dx √ (e) 2 (1 + x ) 1 − x2 Z dx √ (f) 2 (1 − x ) 1 + x2 Z dx √ (g) 2 x x2 − 4 Z 7x3 (h) 3 dx (4x2 + 9) 2 Z p (i) ( 1 + x2 + 2x) dx Z ex √ x (j) dx e +1 x+1 √ dx x2 − 1 Z dx √ (l) 2 x x2 + 4 R sen(x) (m) 3 dx (25−cos2 (x)) 2 R dx (n) 3 (k) Z (o) R x((ln(x))2 −4) 2 (p) Z (q) Z (r) Z (s) Z (t) Z (u) Z √ cos(x) 4+sen2 (x) dx dx √ −3 + 8x − 4x2 x √ dx 1 − x + 3x2 2x dx 2 (x + 3x + 4)2 dx √ 2 x + 3x + 5 dx √ x2 − x − 1 5x + 3 √ dx 4 x2 + 3 x + 1 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 184 Z dx √ (v) 4 x − x2 − 3 Z 1 − 2x √ (w) dx 2 x − x2 + 3 Z x dx − 3x + 4 Z x+2 √ (y) dx x2 + 6 x + 34 (x) √ x2 5. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais: Z Z dx dx (a) (l) 3 x +8 (x + 1)(x2 + x + 1)2 Z Z 4dx dx (b) (m) 4 x −1 x8 + x6 Z 5 Z x + 4x3 3x + 1 dx (c) (n) dx 2 (x2 + 2)3 x −x+1 Z Z dx x3 + 3x (o) dx (d) 4 3 x − 3x + 3x2 − x (x2 + 1)2 Z Z x dx (p) dx (e) 4 4 2 x −1 x +x Z Z 3 5x3 − 3x2 + 2x − 1 x +x−1 dx dx (q) (f) 2 2 (x + 1) x4 + 9x2 Z 4 Z 5 x + 8x3 − x2 + 2x + 1 x + 4x3 + 3x2 − x + 2 dx dx (g) (r) (x2 + x)(x3 + 1) x5 + 4x3 + 4x Z Z 2x + 2 dx (s) dx (h) x(x2 + 2x + 2)2 x3 (x2 + 1) Z Z x+1 dx dx (i) (t) 2 2 3 2 (x + 4x + 5) x + 3x + 7x + 5 Z 3 Z x +x+1 x2 − 3 x + 2 (j) dx (u) dx x(1 + x2 ) x3 + 6 x2 + 5 x Z Z x3 + 1 3 x3 + x2 + x − 1 dx (k) dx (v) (x2 − 4x + 5)2 x4 − 1 6. Calcule as seguintes integrais: Z (a) cos(x) ln(sen(x)) dx Z (b) x 5x dx Z (c) x5 cos(x3 ) dx Z (d) tg(x) sec3 (x) dx Z (e) cos(3 x) cos(4 x) dx (f) Z x dx (x2 + 4)5 Z dx √ (g) x2 + 4 x + 8 Z p (h) et 9 − e2t dt Z x2 + 2 x dx (i) 3 x + 3 x2 + 4 Z x−3 dx (j) 2 (x + 2 x + 4)2 p 6.5. EXERCÍCIOS (k) Z x4 + 1 dx x (x2 + 1) (l) Z sen(x) cos2 (x) dx 5 + cos2 (x) x2 dx (x + 1)3 Z dx (n) 2 4 x + 12 x − 7 Z 2x + 3 (o) dx x3 + 3 x Z 3 x2 − 4 x + 5 dx (p) (x − 1) (x2 + 1) Z x3 √ dx (q) 3 x2 + 1 (m) Z 185 Z √ x dx x+1 Z dx √ (s) (x2 + 9) x2 + 4 Z dx √ (t) (x − 1) x2 + 2 x − 2 Z dx (u) 1 + 2 sen(x) cos(x) + sen2 (x) Z 2 cos2 ( x2 ) (v) dx x + sen(x) Z 1 − tg2 (x) dx (w) sec2 (x) + tg(x) Z dx √ dx (x) (x + 3) x − 1 (r) 186 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
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