LICENCIATURA EM MATEM´AITCA Convergência Absoluta, Séries

LICENCIATURA EM MATEM´AITCA Convergência Absoluta, Séries

LICENCIATURA EM MATEMÁITCA
Cálculo III
Convergência Absoluta, Séries Alternadas & de Potências
LISTA 4
Prof. Valdex Santos
II unidade
Aluno:
Turma:
1. Determine se cada uma das séries seguintes é absolutamente convergente, condicionamente convergente ou divergente:
n
∞ X
2
a)
−
3
n=1
b)
c)
∞
X
(−1)
n2
n=1
∞
X
e)
n+2
f)
(−1)
n(n + 1)
n=1
n3
n=1
∞
X
i)
n!
n=1
∞
X
n
(−1)n+1
∞ 2
X
n
2n
n!
g)
n
2
d)
n
3
n=1
h)
∞
X
n
(−1)n+1
n=1
∞
X
(−1)n+1
n=1
4
3n − 2
(2n)
n2n
j)
l)
∞
X
n!
en2
n=1
∞ X
n=1
∞
X
3n
1 + 8n
(−1)n+1
n=2
∞
X
n
m)
n
1
n ln n
n2 e−n
n=1
2. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
∞
X
xn
√
a)
n
n=1
b)
c)
d)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
e)
∞
X
(3x − 2)n
n=1
n3n
∞
X
n
f)
(x − a)n , b > 0
n
b
n=2
nn xn
(−2)n
√ (x + 3)n
n
n3 (x − 5)n
3. Prove que se lim
n→∞
será 1/L
g)
h)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
p
n
n!xn
x
(ln n)n
n
i)
j)
l)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
2 ∗ 4 ∗ · · · ∗ (2n)
xn
1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ · · · ∗ (2n − 1)
2
xn
√
n
n
(−1)n+1
n=1
∞
X
m)
n=1
2n xn
n3n
(x + 2)n
(n + 1) 2n
|un | = L(L 6= 0), então o raio de convergência da série de potências
∞
X
un xn
n=1
4. Encontre a representação em séries de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
1
1+x
3
b) f (x) =
1 − x4
1
c) f (x) =
1 + x3
a) f (x) =
x
3−x
1
e) f (x) =
1 + 9x2
1
f) f (x) =
x−5
d) f (x) =
x
9 + x2
x
h) f (x) =
4x + 1
g) f (x) =
x2
i) f (x) = 2
a − x3
5. (a) Encontre uma representação em séries de potências para f (x) = ln(1 + x). Qual é o raio de
convergência?
(b)Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f (x) = x ln(1 + x).
Disponı́vel em waldexifba.wordpress.com
c
Copyright Valdex
Santos 2011