Regras de L`Hospital
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Regras de L`Hospital
Regras de L’Hospital Esboço de Gráfico - Exemplos e Regras de L’Hospital Aula 23 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 06 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo Esboce o gráfico de f (x) = x 2/3 (6 − x)1/3 . Calculando as derivadas f ′ (x) = 4−x , − x)2/3 x 1/3 (6 f ′′ (x) = −8 . − x)5/3 x 4/3 (6 Os pontos crı́ticos são x = 4, x = 0 e x = 6. Analisando o sinal da derivada primeira ◮ ◮ ◮ ◮ Se x < 0 ⇒ f ′ (x) < 0 ⇒ f é estritamente decrescente. Se 0 < x < 4 ⇒ f ′ (x) > 0 ⇒ f é estritamente crescente. Se 4 < x < 6 ⇒ f ′ (x) < 0 ⇒ f é estritamente decrescente. Se x > 6 ⇒ f ′ (x) < 0 ⇒ f é estritamente decrescente. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Pelo teste da Derivada Primeira ◮ x = 0 é um ponto de mı́nimo local. ◮ x = 4 é um ponto de máximo local. Observe que o teste da Derivada Segunda poderia ser usado em 4, mas não em 0. Analisando o sinal da derivada segunda ◮ ◮ ◮ Se x < 0 ⇒ f ′′ (x) < 0 ⇒ f é côncava para baixo. Se 0 < x < 6 ⇒ f ′′ (x) < 0 ⇒ f é côncava para baixo. Se x > 6 ⇒ f ′′ (x) > 0 ⇒ f é côncava para cima. O único ponto de inflexão é x = 6. Observe que as retas tangentes em x = 0 e x = 6 são verticais. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo 1 Esboce o gráfico de f (x) = x 2 + . x Calculando as derivadas f ′ (x) = 2x − 1 2x 3 − 1 = , x2 x2 f ′′ (x) = 2 + 2 2(x 3 + 1) = . x3 x3 1 Os pontos crı́ticos são x = 0 e x = √ . Analisando o sinal da 3 2 derivada primeira 1 1 √ ⇒ f é crescente em ( √ 3 3 , +∞). 2 2 1 ◮ f ′ (x) < 0 se x < √ ⇒ f é decrescente em (−∞, 0) e 3 2 1 é um Pelo teste da Derivada Primeira ou Segunda x = √ 3 2 ◮ f ′ (x) > 0 se x > de mı́nimo local. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I (0, 1 √ 3 ). 2 ponto Regras de L’Hospital Analisando o sinal da derivada segunda ◮ ◮ Se −1 < x < 0 ⇒ f ′′ (x) < 0 ⇒ f é côncava para baixo. Se x > 0 ou x < −1 ⇒ f ′′ (x) > 0 ⇒ f é côncava para cima. O único ponto de inflexão é x = −1. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Regras de L’Hospital As regras de L’Hospital se aplicam a cálculos de limites que apresentam as seguintes indeterminações 0 0 ou ∞ . ∞ Teorema (De Cauchy) Se f e g são contı́nuas em [a, b] e diferenciáveis em (a, b), existe c ∈ (a, b) tal que [f (b) − f (a)]g ′ (c) = [g (b) − g (a)]f ′ (c). Prova: Considere h(x) = [f (b) − f (a)]g (x) − [g (b) − g (a)]f (x) e aplique o Teorema de Role. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Teorema (Regra de L’Hospital) Sejam f e g funções differenciáveis em x com g ′ (x) 6= 0 em (p − r , p + r )\{p} para algum r > 0. Se lim f (x) = 0 = lim g (x) x→p x→p f ′ (x) f (x) = ℓ ∈ R (ou ℓ = ±∞), então lim =ℓ x→p g ′ (x) x→p g (x) e lim Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Prova: Como os valores de f (p) e g (p) não influem no cálculo do limite, podemos assumir que f (p) = g (p) = 0. Assim, do Teorema de Cauchy, para cada x ∈ (p − r , p + r )\{p} existe c entre x e p (distinto de ambos) tal que f ′ (c) f ′ (x) f (x) − f (p) = lim ′ = lim ′ . x→p g (c) x→p g (x) x→p g (x) − g (p) = lim Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Observação: A regra de L’Hospital ainda será válida se, em lugar de x → p , tivermos x → p + , x → p − , x → +∞ ou x → −∞ . Exemplo 1 − e 2x . x→0 x Calcule lim Como lim 1 − e 2x = 0 e lim x = 0 pela Regra de L’Hospital, x→0 x→0 1 − e 2x (1 − e 2x )′ −2e 2x = lim = −2. = lim x→0 x→0 x→0 x x′ 1 lim Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo sen x . x→0 x Como lim sen x = 0 e lim x = 0 pela Regra de L’Hospital, Calcule lim x→0 x→0 sen x (sen x)′ cos x = lim = 1. = lim ′ x→0 x→0 x→0 1 x x lim Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital a Regra de L’Hospital: Sejam f e g funções deriváveis em 2¯ (p − r , p + r )\{p} , r > 0 , com g ′ (x) 6= 0 para 0 < |x − p| < r . Se lim f (x) = +∞ = lim g (x) x→p x→p ′ (x) f existir (ou divergir para ± infinito), então o x→p g ′ (x) f (x) limite lim também existirá (ou divergirá para ± infinito) e x→p g (x) teremos e o limite lim lim x→p Alexandre Nolasco de Carvalho f ′ (x) f (x) = lim ′ . g (x) x→p g (x) ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Observação: A 2¯a regra de L’Hospital ainda será válida se, em lugar de x → p , tivermos x → p + , x → p − , x → +∞ ou x → −∞ . Esta regra também permanecerá válida caso tenhamos −∞ em lugar de +∞ em um ou ambos os limites. Exemplo ex . x→+∞ x Como lim e x = +∞ e lim x = +∞ pela Regra de L’Hospital, Calcule lim x→+∞ x→+∞ ex (e x )′ ex = lim = lim = +∞. ′ x→+∞ x x→+∞ x x→+∞ 1 lim Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo tg x − x . x3 Como lim tg x − x = 0 e lim x 3 = 0 usamos a Regra de L’Hospital Calcule lim x→0 x→0 x→0 lim x→0 tg x − x sec2 x − 1 = lim . x→0 x3 3x 2 Como lim sec2 x − 1 = 0 e lim 3x 2 = 0 usamos mais uma vez a x→0 Regra de L’Hospital lim x→0 x→0 2 sec2 x tgx sec2 x − 1 = lim . x→0 3x 2 6x Como ainda o numerador e o denominador tendem a zero, usamos pela terceira vez a Regra de L’Hospital lim x→0 4 sec2 x tg2 x + 2 sec4 x 1 2 sec2 x tgx = lim = . x→0 6x 6 3 Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Observação: As Regras de L’Hospital se aplicam a 0 ∞ . As outras formas de indeterminações da forma e 0 ∞ 0 indeterminação, 0 · ∞, ∞ − ∞, 0 , ∞0 , 1∞ , podem ser reduzidas a estas. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo 1 1 . x sen x x→0 Observe que é uma indeterminação da forma ∞ − ∞. Escrevendo Calcule lim+ − 1 x − 1 sen x − x = sen x x sen x 0 obtemos uma indeterminação da forma e podemos aplicar a 0 Regra de L’Hospital. Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo Calcule lim+ x ln x. x→0 Observe que é uma indeterminação da forma 0 · −∞. Escrevendo ln x −∞ x ln x = 1 obtemos uma indeterminação da forma . Pela ∞ x Regra de L’Hospital, lim+ x ln x = lim+ x→0 Alexandre Nolasco de Carvalho x→0 ln x 1 x = lim+ ICMC - USP x→0 1 x − x12 = lim+ −x = 0. x→0 SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo Calcule lim+ x x . x→0 Observe que é uma indeterminação da forma 00 . Escrevemos x x x = e ln x = e x ln x , e como a função exponencial é contı́nua, lim+ x x = lim+ e x ln x = exp lim+ x ln x = e 0 = 1. x→0 Alexandre Nolasco de Carvalho x→0 x→0 ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo 1 Calcule lim x x . x→+∞ Observe que é uma indeterminação da forma ∞0 . Escrevemos 1 1 x x = e ln x x = e ln x x , e como a função exponencial é contı́nua, 1 lim x x = lim e x→+∞ ln x x x→+∞ = exp ln x . x→+∞ x lim ∞ Observe que temos uma indeterminação da forma , então pela ∞ Regra de L’Hospital 1 (ln x)′ ln x x = lim = lim = 0. x→+∞ x→+∞ 1 x→+∞ x x′ lim Logo, 1 lim x x = e 0 = 1. x→+∞ Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I Regras de L’Hospital Exemplo 1 x 1+ . x→+∞ x Observe que é uma indeterminação da forma 1∞ . Escrevemos x 1 1 + x1 = e x ln 1+ x . Agora temos uma indeterminação da forma ∞ 0 · ∞ que pode ser reduzida a . Então, pela regra de L’Hospital ∞ ln 1 + x1 1 1 = lim =1 = lim lim x ln 1 + 1 x→+∞ 1 + 1 x→+∞ x→+∞ x x x Calcule lim e como a função exponencial é contı́nua, 1 1 x lim 1 + = lim e x ln 1+ x x→+∞ x→+∞ x 1 = e 1 = e. = exp lim x ln 1 + x→+∞ x Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 301 Cálculo I