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XII Encontro de Pós-Graduação e Pesquisa
Universidade de Fortaleza
22 à 26 de Outubro de 2012
Uma análise da compreensão do conceito de função afim de alunos do
2º ano do Ensino Médio
Mikaelle Barboza Cardoso1* (IC), Larissa Elfisia de Lima Santana2 (PQ), Rodrigo Lacerda Carvalho3 (IC),
Marcília Chagas Barreto4 (PQ).
1. Universidade Estadual do Ceará - Especialização em Ensino de Matemática
2. Universidade Estadual do Cear á - Curso de Pedagogia
3. Universidade Estadual do Ceará – Programa de Pós-Graduação em Educação.
4. Universidade Estadual do Ceará - Curso de Pedagogia
[email protected]
Palavras-chave: Função afim. Registros de representação semiótica. Aprendizagem matemática.
Resumo
O presente trabalho objetivou analisar a compreensão do conceito de função afim de estudantes do 2º ano
do Ensino Médio, com base no desempenho demonstrado nas atividades cognitivas de tratamento e
conversão. Tomou-se como aporte teórico a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de
Raymond Duval, na qual desenvolve uma elaboração teórica que tem como cerne o papel das
representações semióticas no contexto de aprendizagem em matemática. A pesquisa foi realizada com 19
alunos do 2º ano do Ensino Médio da rede Estadual de Fortaleza onde a coleta de dados efetivou-se
através da aplicação de questionários estruturados com cinco questões das quais foram analisadas duas.
Constatou-se que os alunos possuem uma concepção limitada de função afim. Foram observadas
dificuldades em todos os registros de função explicitados nas questões propostas, ou seja, língua natural,
algébrico e gráfico. Infere-se que as dificuldades apresentadas são reflexo de um ensino baseado no monoregistro. Propõe-se, desta forma, que as práticas de ensino deste conteúdo possam ser voltadas para o uso
e coordenação de diversificados registros de representação semióticas. De modo a possibilitar a ampliação
da percepção do conceito de função afim.
Introdução
O presente estudo aborda a compreensão do conceito de função e suas diversas representações de
estudantes do 2º ano do Ensino Médio, utilizando-se o suporte da teoria dos Registros de Representação
Semiótica. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (2002), o estudo do conceito de função é
relevante por permitir aos alunos adquirirem tanto a linguagem algébrica como a linguagem das ciências,
necessárias para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema. Desta forma,
construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria
Matemática. Segundo esse documento, “a ênfase do estudo das diferentes Funções deve estar no conceito
de Função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas
aplicações dessas Funções”. (BRASIL, 2002, p. 121).
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De acordo com Zuffi (2001), o conceito de função teve sua estruturação desenvolvida ao longo de
vários séculos, sendo resultado da união de fatores históricos e sociais decorrentes da necessidade de
resolver problemas do cotidiano. Tal concepção contraria aquela, normalmente, presente no ensino deste
conceito que leva à crença de que este se constitui como um conhecimento pronto e acabado.
Borba e Penteado (2010) salientam que, no início da década de 90, a abordagem para funções
começa a ser questionada, de modo a motivar o desenvolvimento de preocupações relativas às múltiplas
representações possíveis para o ensino deste conteúdo. Ferreira (2003), por exemplo, destaca que os
estudantes têm dificuldades no estudo de funções por lidar com múltiplas representações e grande
quantidade de conceitos, tais como: variável, taxa de variação, vértice, domínio, conjunto imagem,
periodicidade. Nesse sentido, diversos autores têm constatado a necessidade de não privilegiar apenas um
tipo de representação, e sim diferentes representações para uma mesma função: a expressão algébrica, o
gráfico, o diagrama, a língua materna e a tabela.
As diversas representações que a Matemática apresenta também são mencionadas por Duval
(2003) que desenvolve uma elaboração teórica que tem como cerne o papel das representações semióticas
no contexto de aprendizagem em matemática. Nesse sentido, o autor define três atividades cognitivas
fundamentais vinculadas às representações semióticas, são elas: a formação, o tratamento e a conversão.
A primeira atividade cognitiva, a formação
consiste na constituição de uma representação coerente, capaz de conter todos os
elementos indispensáveis para a sua compreensão. Ela requer o conhecimento das regras
de conformidade ou de funcionamento, próprias a cada sistema semiótico utilizado. A
observância dessas regras é indispensável tanto para a comunicação quanto para o
tratamento dentro do registro em que a representação tenha sido formada. (SOUSA, 2009,
p. 58).
A segunda atividade cognitiva, o tratamento, ”consiste, portanto, na realização de transformações
que acontecem internamente a um registro e obedecem a regras de expansão. São regras que permitem a
expansão da informação, favorecendo outra representação, mas ainda no mesmo registro que o de partida”
(SILVA, 2011, p.28). Em outras palavras, as transformações necessitam permanecer sempre no mesmo
registro como, por exemplo, quando efetuamos uma soma no registro decimal como 0,7 + 0,9 = 1,6
observamos que toda a operação encontra-se dentro do mesmo registro.
Por fim, a última atividade cognitiva é a conversão, que, na visão do autor, consiste na atividade
cognitiva fundamental para a aprendizagem do aluno. Segundo Duval (2003, p.16), “as conversões são
transformações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por
exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação gráfica”. Ou seja, para efetuar o
seguinte cálculo: 0,25 + 1/4, não é possível somar imediatamente, pois tratam-se de registros decimal e
fracionário, respectivamente. Deve-se, então, escolher um dos registros para realizar a conversão e após
disso efetuar a resolução do algoritmo. Nesta perspectiva, é imprescindível que o aluno conheça diversas
representações de um mesmo objeto e seja capaz de coordená-las. Para assim, não confundir o objeto
representado com a sua representação ampliando suas possibilidades de realizar transformações entre
registros de representação semiótica.
Tendo-se realizado a exposição do referencial teórico, o objetivo deste trabalho é analisar a
compreensão do conceito de função afim de estudantes do 2º ano do Ensino Médio, com base no
desempenho demonstrado nas atividades cognitivas de tratamento e conversão. A seguir, será
apresentado o percurso metodológico e a análise dos dados empíricos.
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Metodologia
A pesquisa foi realizada com 19 alunos do 2º ano do Ensino Médio da rede Estadual de Fortaleza.
A turma foi escolhida porque os alunos já tiveram contato no 1º ano com o estudo de funções. A coleta de
dados efetivou-se através da aplicação de questionários estruturados com cinco questões na qual estão
relacionadas ao tratamento e conversões de representações relativas ao conteúdo de função afim. A
aplicação do questionário ocorreu durante três aulas de 50 minutos cada. Para análise foram consideradas
duas questões, tendo em vista a adequação ao objetivo deste trabalho. As categorias consideradas para
análise foram: êxito na realização da atividade cognitiva e erro na realização da atividade cognitiva. No
quadro abaixo é possível observar as questões propostas aos alunos.
QUESTIONÁRIO
Atividades cognitiva - Conversão
2ª) Um estacionamento no centro de Fortaleza cobra R$4,00 por dia mais um adicional extra de R$2,00
por hora para cada automóvel. Considerando x as horas que um carro permanece nesse estacionamento
por dia e y o valor a ser pago:
a) Represente algebricamente o problema;
b) Agora represente a expressão algébrica do item a em forma de gráfico;
Caso você não consiga resolver alguns dos itens acima, identifique a sua maior dificuldade:
Atividade cognitiva -Tratamento
3ª) Em relação à questão anterior, caso um automóvel permaneça no Estacionamento durante 6 horas,
quanto o dono do veiculo irá pagar?
Resultados e Discussão
ÊXITO NA REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE COGNITIVA
Nesta categoria foi analisado o êxito dos alunos ao realizarem as atividades cognitivas de
tratamento e conversão. Para esta categoria, iniciou-se a análise pela segunda questão que trata da
realização de conversões do registro em língua natural para o registro algébrico e do registro algébrico para
o registro gráfico. É possível observar o desempenho dos alunos no quadro abaixo:
2ª Questão
Item a – Registro em língua natural
para registro algébrico
Item b – Registro algébrico para registro
gráfico
Qtde. de alunos
1
que acertaram
Quadro 1: resultados quantitativos da 2ª questão
0
No item a da segunda questão, apenas o aluno A5 conseguiu realizar corretamente a conversão do
registro em língua natural para o registro algébrico, chegando à representação “y= 2x + 4”. No entanto, o
referido aluno efetivou a resolução do algoritmo mesmo que na questão tenha sido requisitada apenas a
elaboração da expressão algébrica. Esta necessidade de tratar os elementos algébricos é reflexo de uma
prática de ensino baseada em resoluções de exercícios, na qual o aluno passa a entender a Matemática
como uma disciplina que envolve apenas cálculos. Descarta-se, assim, a discussão e análise, elementos
importantes para uma compreensão significativa por parte do aluno.
No item b da segunda questão, nenhum aluno obteve êxito na conversão do registro algébrico para
o registro gráfico. Os erros serão posteriormente analisados na categoria a seguir.
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Na terceira questão, buscou-se analisar o tratamento no registro algébrico. A síntese dos resultados
obtidos pode ser observada no quatro a seguir:
3ª Questão
Respostas corretas
Tratamento no
registro algébrico
7
Qtde.de alunos
Quadro 2: Resultados quantitativos da 3ª questão
1
Tratamento no
registro aritmético
3
Não registrou o
tratamento
realizado
3
Observa-se que sete alunos obtiveram êxito em seus tratamentos, chegando ao resultado “16
reais”. Porém, somente A5, que obteve êxito na conversão da questão anterior, utilizou o registro algébrico
para resolver a questão. Três alunos utilizaram registros aritméticos como, por exemplo, A8 que elaborou a
seguinte representação: “6.2 = 12+4 = 16 reais”. Neste caso, observa-se que mesmo sendo requisitada a
elaboração de representações no registro algébrico, os alunos utilizaram o registro aritmético. Quer pela
familiaridade ou facilidade na realização do tratamento neste registro. Outros três alunos colocaram a
resposta correta, sem a realização de cálculos, permitindo considerar que estes realizaram o tratamento
mentalmente. A partir destes resultados é possível inferir que o fato de os alunos optarem pelo registro
aritmético pode ter relação com uma dificuldade de compreensão dos elementos presentes no registro
algébrico.
ERRO NA REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE COGNITIVA
Na 2ª questão, item a, cinco alunos não elaboraram respostas, cinco alunos registraram respostas
sem explicitar como foi feita a conversão e oito alunos realizaram conversões não exitosas. Apenas estes
últimos, serão considerados para a análise, tendo em vista não ser possível analisar alunos que não
registraram seus procedimentos de conversão. Dentre as oito tentativas de conversões não exitosas foram
percebidos 2 tipos de problemas que podem justificar a falha dos alunos, são eles: problemas de formação
no registro algébrico (5 alunos); compreensão fragmentada das relações conceituais de função afim (3
alunos).
No primeiro caso, das conversões com problemas de formação no registro algébrico, destaca-se a
resposta de A13: “2x+4”. Esta representação não possui uma igualdade, elemento central da relação de
dependência que caracteriza a função. A desconsideração deste elemento pode evidenciar a não
compreensão das regras de conformidade e de funcionamento neste tipo de registro. Outra representação
em que se evidencia um problema semelhante é a de A8 “y=ax+b”. O aluno não percebeu a necessidade
de relacionar a expressão com os coeficientes e variáveis contextualizados na questão. Considera-se que é
possível que o aluno tenha memorizado a expressão sem compreender a necessidade de relacioná-la aos
dados explicitados na situação-problema. Pode-se inferir, ainda, que o aluno não consegue diferenciar o
conceito de função afim com sua representação algébrica, utilizando-se da representação de forma
aleatória e sem vínculo com os dados presentes na questão. Para Duval (2003), este tipo de confusão é
reflexo de práticas voltadas para o mono-registro, privilegiando-se apenas um tipo de representação e não
possibilitando uma percepção mais ampla do conceito.
No segundo caso observado, conversões que demonstram compreensão fragmentada das relações
conceituais de função afim, os alunos A3, A14 e A16 perceberam a necessidade de relacionar as incógnitas
x e y em uma igualdade. A3, por exemplo, representou o problema da seguinte forma “y=4x+2”. A
conversão correta seria “y=2x+4”, percebendo-se assim que a dificuldade apresentada foi relativa à
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compreensão da ordem da relação de dependência entre as variáveis. Estas dificuldades surgem pelo fato
da questão apresentar baixa congruência mencionada por Duval (2003), pois não possui nenhum dos três
fatores que determinam a congruência de uma conversão, quais sejam: correspondência semântica das
unidades de significado; a unicidade semântica terminal e conservação da ordem das unidades.
No item b, da 2ª questão, mais da metade da turma (10 alunos) não conseguiu converter do
registro algébrico para o registro gráfico, seja pela dificuldade ou por não saber como realizar tal
conversão. Estas dificuldades são mencionadas por Duval (2009, p. 78), na qual argumenta que o gráfico
possui uma série de unidades significantes que envolvem muito mais conceitos que pontos marcados no
plano cartesiano, além disso, possui valores de diferentes variáveis visuais, transformando esta conversão
em uma atividade cognitiva não espontânea pela grande maioria dos alunos. Dos noves alunos que
conseguiram produzir uma representação gráfica errônea, seis produziram registros que demonstraram a
compreensão de que o gráfico da função afim é uma reta. Os outros três alunos, elaboraram
representações que não tinham nenhum vínculo com a questão.
Algumas dificuldades foram relatadas na resolução da 2ª questão pelos alunos. Dentre elas, nove
alunos relataram que não conseguiram resolver porque não lembravam mais da matéria, quatro alunos
comentaram que houve dificuldades em realizar os cálculos necessários, procedimentos e regras que a
questão solicitava. Notamos também, que dois alunos mencionaram ter dificuldades relacionadas a não
compreensão da pergunta e ao significado da representação algébrica solicitada no problema. Estas
dificuldades também são relatadas por Gil (2008) onde os alunos muitas vezes não conseguem traduzir os
problemas da linguagem escrita para a linguagem matemática, e essa ausência de interpretação é um dos
motivos para o fracasso escolar. Além disso, as resoluções de problemas, na sua grande maioria, são
carregadas de procedimentos e exercícios exaustivos, na qual o aluno passa a “repetir” mecanicamente os
cálculos, sem entender e compreender as relações e conceitos existentes.
Na 3ª questão, cinco alunos não registraram respostas, dois alunos colocaram um número como
resposta e cinco efetuaram o tratamento, porém não obtiveram êxito. Para os alunos que colocaram
apenas um número como resposta, a exemplo de A9: “36 horas”, observou-se a ausência da relação com a
quantidade de horas que o carro ficaria no estacionamento com o valor a ser pago pelo dono do veículo.
Dos cinco alunos que trataram o problema, quatro deles, obtiveram como resposta o valor R$12 reais, ou
seja, não adicionaram o valor que o veiculo deveria pagar por dia que era de R$ 4,00, multiplicando apenas
às 6 horas por R$ 2,00 que seria cobrado por hora no estacionamento. Um aluno realizou um tratamento
mental obtendo a resposta R$15,00. No caso destes alunos podem-se constatar dificuldades na
compreensão do enunciado em língua natural de forma a colher elementos que pudessem solucionar o
problema proposto, além do fato, da dificuldade em relacionar com a questão anterior já que esta relação
se tornava necessário para o êxito da resposta.
Conclusão
Os alunos demonstraram muitas dificuldades relativas à compreensão de função afim. Dos 19
sujeitos, analisados, registrou-se uma conversão exitosa no item a da 2ª questão, nenhuma conversão
exitosa no item b da 2ª questão e dos sete alunos que realizaram tratamentos exitosos na terceira questão,
apenas um utilizou efetivamente o registro algébrico.
Considera-se que os resultados permitem constatar que os alunos possuem uma conceitualização
limitada de função afim e que apresentam problemas, principalmente com sua representação gráfica. Nos
três tipos de registros de representação evidenciados (língua natural, algébrico e gráfico) os alunos
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apresentaram dificuldades na compreensão dos elementos relativos à formação dos registros, não
compreendendo aspectos elementares do conceito e da representação como a necessidade da igualdade
no registro algébrico e da reta no registro gráfico.
Aqueles que apresentaram conceituação mais elaborada prendem-se a memorização de fórmulas
que não são compreendidas em contextos diversificados.
De modo geral, as dificuldades dos alunos podem ser consideradas como fruto da ausência da
coordenação entre os diferentes registros de função afim. As dificuldades em converter e tratar em
registros diversificados decorre, muitas vezes, do aprisionamento a somente um tipo de registro não sendo
possível realizar transformações desse registro.
Diante deste contexto, se faz necessário um trabalho de formação mais efetivo com esses alunos
de forma a ampliar suas concepções de função afim. Sendo necessário o uso de diferentes registros de
representação semiótica para que seja possível objetivar este conceito.
Referências
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Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2010. - (Coleção Tendências em Educação Matemática).
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Raymond Durval. Tradução: Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira – São Paulo: Editora
Livraria da Física, 2009.
FERREIRA, Ana Cristina. Um olhar retrospectivo sobre a pesquisa brasileira em formação de professores
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GIL, Katia Henn. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra. Porto Alegre,
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MACHADO, Silvia Dias Alcântara. Aprendizagem em matemática: registro de representação semiótica.
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SILVA, Silvana Holanda. Conhecimento de professores polivalentes em geometria: contribuições da teoria
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SOUSA, Ana Claúdia Gouvéia de. Representação semiótica e formação docente para o trabalho com
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ZUFFI, Edna Maura. et al. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de função. Educação
Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática em Revista (SBEM), n.
9/10, p. 10-16, São Paulo, 2001.
Agradecimentos
Gostaríamos de agradecer pelas contribuições do Grupo de Pesquisa Matemática e Ensino (MAES)
vinculado a Universidade Estadual do Ceará (UECE) e o apoio da FUNCAP.
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