Modelo de elétrons livres em um metal dEE h mV dEEg )2(8 )( = 1 )2

Modelo de elétrons livres em um metal
Vamos considerar e– em um poço 3D (limites da rede cristalina)
Número de estados (caso anterior x 2, pois 2 estados de spin em cada nível):
8 V ( 2m 3 )1/ 2 1/ 2
g ( E ) dE =
E dE
3
h
Ocupação dos estados (distribuição de Fermi):
f (E) =
1
α
e e
E / kT
+1
=
1
e
( E − E F ) / kT
+1
, com E F = −αkT
Então a ocupação dos estados de energia do gás de e–, fica:
8 V ( 2m 3 )1/ 2 E 1/ 2 dE
n( E ) = f ( E ) g ( E ) dE =
h3
e ( E − E F ) / kT + 1
Normalização: se T = 0 K ⇒ estados populados só até EF ⇒
⇒ f(E) = 1, se E < EF e f(E) = 0, se E > EF.
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1
1,0
1/2
E
0,8
=
0,6
n(E)
X
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
E
f(E) = 1, se E < EF e f(E) = 0, se E > EF. Assim:
EF
8 V ( 2m 3 )1/ 2
N = ∫ n( E ) dE =
3
h
0
⇒ E F (0) =
h  3N 


8m  V 
2
EF
16 V ( 2m 3 )1/ 2 3 / 2
EF ⇒
3
∫0 E dE =
3h
1/ 2
2/3
Expressão define
EF em T = 0 K
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2
h 2  3N 
E F (0) =


8m  V 
2/3
h 2  3ρ 
=
 
8m  
2/3
com ρ = N/V .
Excelente aprox. para kT << EF (até
milhares de K, para metais comuns,
veja tabela na próxima transparência).
Vemos então que, à medida que mais partículas são adicionadas ao sistema,
EF cresce. Se a temperatura estiver ligeiramente acima de 0 K, EF deixa de
ser a energia do último estado ocupado e é definida como a energia em que
n(E) = ½; à medida que T aumenta, EF diminui. Para temperaturas
suficientemente altas, EF < 0, implicando que todos os estados, em média,
têm menos de ½ partícula.
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3
A energia total do sistema, em T = 0 K, é:
EF
3 1/ 2 E F
3 1/ 2
(
2
)
8 V ( 2m )
16
V
m
3/ 2
5/ 2
E
dE
E
E = ∫ n( E ) EdE =
=
F (0)
3
3
∫
5h
h
0
0
16 V ( 2m 3 )1/ 2 3 / 2
3
Mas N =
EF ⇒ E = NE F
3
3h
5
Notem que, mesmo em T = 0 K, o último férmion adicionado, aquele com
energia EF, tem velocidade dada por:
- de condução em um metal
No
caso
de
1
e
1
2 EF
2
mv F = EF ⇒ v F =
típico (EF ~ 5 eV) a velocidade de Fermi é da
2
m
ordem de 106 m/s (a 0 K!).
A temperatura de Fermi é
definida como: TF = EF /k.
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Parênteses termodinâmico
Lembrando de 1 dos limites de validade da distribuição de Maxwell-Boltzmann:
λ << d. Sendo λ o comprimento de onda de de Broglie da partícula. Podemos
então definir o comprimento de onda térmico de de Broglie, como aquele
associado ao momento médio de uma partícula em equilíbrio térmico no
sistema, cuja energia cinética é 3kT/2:
λ=
h
2 mkT
Consideremos um sistema com um número grande de partículas, com
energia total E, em equilíbrio térmico à temperatura T. Suponhamos que esse
sistema seja um gás e que ele seja comprimido, lentamente, reduzindo seu
volume em dV. Isso provoca um aumento nos níveis de energia, pois
diminuímos o tamanho da caixa. Assim, um nível εi passa a εi + dεi e as
partículas nesse estado ganham energia dεi. O ganho total do sistema será:
dE = ∑ ni dε i
i
Esse ganho de energia veio do trabalho realizado para
comprimir o sistema. Se uma das arestas do cubo for
reduzida de dL por uma força F, teremos: dW = – FdL.
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A força F é necessária para se opor à pressão do gás. Assim, F = PA.
Substituindo na expressão do trabalho: dW = – PAdL = – PdV. Como o
trabalho deve ser igual ao aumento de energia do sistema, temos:
− PdV = dE = ∑ ni dε i ⇒ P = −∑ ni
i
i
dε i
dV
Os níveis de energia de uma caixa cúbica são dados por:
(
)
2
2
h
−2 / 3
⇒
=
C
V
ε n1n2n3 = n12 + n22 + n32
ε
i
i
2mL2
−2 / 3
dε i dCiV −2 / 3
C
V
2
2
2 εi
−5 / 3
i
Assim:
=
= − CiV
=−
=−
dV
dV
3
3 V
3V
Dessa forma, para um gás ideal, seja ele clássico, fermiônico ou bosônico,
temos:
dε i 2 1
2E
onde E é a energia total média do gás.
=
P = −∑ ni
niε i =
∑
3V
dV 3 V i
i
No caso de um gás clássico (Boltzmann) a energia média, por partícula, é:
3
ε = kT
2
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A energia total do sistema é: E = N ε ⇒ PV = NkT = nRT
que nos remete à conhecida expressão da lei dos gases ideais.
Nós vimos que as distribuições quânticas se reduzem à clássica quando α é
muito grande. Podemos escrever as funções de distribuição como:
1
f( )=
α
e e
kT
=
−α
e e
−
−α
kT
±1 1± e e
−
kT
com o sinal de cima valendo para
férmions e o de baixo para bósons.
A distribuição de Boltzmann é obtida fazendo o denominador igual a 1, o que
−α
−
é equivalente a e e kT << 1
Vamos tentar uma aproximação um pouco melhor e fazer uma expansão
binomial (para x << 1):
1
= 1m x + x2 L
1± x
−α
Nesse caso a distribuição fica: f ( ) = e e
−
kT
−


−α
kT
1 m e e + L 




A partir desse resultado, seguindo um caminho um pouco trabalhoso, pode-se
mostrar que a lei dos gases pode ser escrita como:
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
 N λ3

PV = NkT 1 ±
+ L
5/ 2

 V 2
No caso da energia média, por partícula, do sistema, temos:

E 3  N λ3
ε = = kT 1 ±
+ L
5/ 2
N 2  V 2

Substituindo o valor do comprimento de onda térmico:

E 3 
1 N
h3
ε = = kT 1 ± 5 / 2
+ L
3/ 2
N 2  2 V (2 mkT )

+
–
férmions
bósons
Daí pode-se perceber que a energia média de um gás de férmions é um
pouco superior à de um gás ideal, enquanto à de um gás de bósons é um
pouco menor. Valor do termo de correção é boa indicação da necessidade, ou
não, de se usar as distribuições quânticas. Se o termo de correção << 1 a
distribuição de Boltzmann (e os resultados decorrentes dela) são OK.
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