Dissertação Fernando André Enciso Valdivia arquivo PDF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Pós-graduação em Engenharia Mecânica
Dissertação de Mestrado
F ERNANDO A NDRÉ E NCISO VALDIVIA
F ERRAMENTA C OMPUTACIONAL PARA A NÁLISE DE R ISERS
R ÍGIDOS EM C ATENÁRIA EM C ONTATO COM O S OLO
M ARINHO
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da "CAPES"
Santo André, 2015.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Pós-graduação em Engenharia Mecânica
Dissertação de Mestrado
F ERNANDO A NDRÉ E NCISO VALDIVIA
F ERRAMENTA C OMPUTACIONAL PARA A NÁLISE DE R ISERS
R ÍGIDOS EM C ATENÁRIA EM C ONTATO COM O S OLO
M ARINHO
Dissertação de mestrado acadêmico apresentada
como requisito parcial para a obtenção do título
de Mestre em Engenharia Mecânica, sob orientação do Professor Doutor Juan Pablo Julca Avila.
Santo André, 2015.
Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do ABC
Elaborada pelo Sistema de Geração de Ficha Catalográfica da UFABC
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).
Enciso Valdivia, Fernando André
Ferramenta Computacional para Análise de Risers Rígidos em
Catenária em Contato com o Solo Marinho / Fernando André Enciso
Valdivia — Universidade Federal do ABC, 2015.
131 fls.
Orientador: Juan Pablo Julca Avila
Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal do ABC, Programa de Pós
Graduação em Engenharia Mecânica, Santo André, 2015.
1. Risers. 2. Formulação co-rotacional. 3. não linearidade geométrica. 4.
Dinâmica não linear. 5. Interação solo-estrutura. I. Julca Avila, Juan Pablo. II.
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2015. III. Título.
Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, de acordo com as
observações levantadas pela banca no dia da defesa, sob responsabilidade única do
autor e com a anuência de seu orientador.
Santo André, ____de _______________ de 20___.
Assinatura do autor: _____________________________________
Assinatura do orientador: _________________________________
Dedico este trabajo a mi adorada
familia por el infinito apoyo y amor.
Para minha Maitê, por ser linda e
amorosa como só ela pode.
AGRADECIMENTOS
A mis padres Fernando Enciso e Carmela Valdivia por el constante apoyo e inagotable amor.
A mis hermanas Isabela y Cinthia por los buenos consejos.
À minha namorada Maitê pela ajuda com o português, pela compreensão no tempo da escrita
desta dissertação e pelos muitos momentos inesquecíveis.
Ao meu orientador Juan Julca Avila pela oportunidade de aprender novas ferramentas no
campo da engenharia e pelos constantes conselhos e comentários no desenvolvimento deste
trabalho.
Aos professores Reyolando Brasil, João Batista e Wesley Góis por resolver as minhas dúvidas a respeito dos métodos matemáticos e numéricos aplicados nesta dissertação.
A todos meus amigos brasileiros e estrangeiros da sala 307 pelos inumeráveis momentos
gratos que tivemos nestes dois anos no Brasil.
A mis amigos en Perú, en especial al profesor Rosendo Franco y a mi colega Antonio Conte
por alentarme a hacer una maestría, sin ellos este trabajo no hubiera sido posíble.
Aos funcionários da Secretaria da Pós-graduação pela ajuda nos trâmites administrativos.
À CAPES pelo apoio financeiro dado nestes dois anos.
v
"A dúvida é um dos nomes da
inteligência"
(Jorge Luis Borges).
RESUMO
Atualmente, os risers rígidos em catenária ou SCRs (Steel Catenary Risers), que são tubos
longos de aço, apresentam-se como a melhor solução técnico-econômica na transferência de
petróleo e gás desde o solo marinho até uma plataforma flutuante. Os SCRs são de fácil fabricação, resistem altas pressões internas e hidrostáticas e também resistem altas temperaturas.
Porém, cuidado especial deve-se tomar no cálculo dos momentos fletores e força axial interna
no ponto de contato com o solo marinho, sendo estes parâmetros cruciais no projeto. Por outro
lado, devido a que os SCRs interagem com o solo marinho, a plataforma à qual está conectada,
correntezas e com o escoamento interno, a teoria de SCRs é complexa e não tem sido totalmente desenvolvida, requerendo para seu estudo a teoria de vigas curvas, tópicos de mecânica
dos sólidos e dos fluidos, dinâmica não-linear, mecânica de ondas e mecânica dos solos.
Este trabalho tem como principal objetivo o desenvolvimento e implementação de uma ferramenta computacional para análise estática e dinâmica bidimensional de risers rígidos e flexíveis dispostos em catenária em contato com o solo marinho. A discretização espacial do riser
é feita usando elementos finitos não lineares tipo de viga, incluindo grandes deslocamentos e
rotações. A formulação co-rotacional é utilizada para o tratamento da não linearidade geométrica. O método iterativo-incremental de Newton-Raphson é usado para resolver as equações de
equilíbrio estático e dinâmico. A integração no tempo das equações dinâmicas é feita usando
o esquema implícito de Newmark. A fim de garantir a estabilidade do esquema numérico implementado quando são impostos deslocamentos no topo do riser pelo método de penalização,
é introduzido nas equações dinâmicas um termo de amortecimento estrutural para a filtragem
das frequências espúrias induzidas por este tipo de excitação. O solo marinho é modelado
como uma fundação elástica-linear do tipo Winkler e o método de penalização é usado para a
imposição da condição de não penetração.
Simulações estáticas e dinâmicas de problemas geometricamente não lineares foram conduzidas para a avaliação do elemento de viga plana implementado neste trabalho. Os resultados
obtidos foram comparados com resultados da literatura para a validação do código. A ferramenta computacional foi aplicada satisfatoriamente para resolver problemas estáticos e dinâmicos de risers rígidos e flexíveis.
vii
viii
Palavras chave: Dinâmica estrutural não linear, Contato, Risers rígidos em catenária, Formulação Co-rotacional, Elementos finitos, Não linearidade geométrica.
ABSTRACT
Steel catenary risers (SCR) are slender steel pipes that hang free in the ocean, this represents
the best technical and economical solution for the oil and gas transfer from the seabed to the
floating platform. SCRs are of easy manufacturing, high internal and external pressure resistance and also high temperature resistance. Special care should be taken in the calculation of
the bending and tension stresses at the touch down point (TDP) as this parameters are of main
importance in the calculation of fatigue resistance. On the other side, as the riser interacts with
many other elements as seawater currents, internal flow, floating platform and seabed SCRs theory is complex and is not yet well developed, requiring for its study deep knowledge of curved
beam theory, solid and fluid mechanics, non-linear dynamics, wave theory and soil mechanics.
The main objective of this work is the development and implementation of a computational
tool for the static and dynamic two-dimensional analysis of steel catenary and flexible risers,
special attention is given to the seabed contact phenomena, to this end, numerical methods
for the solution of dynamic equations were implemented into a MATLAB code. The spacial
discretization of the riser geometric domain was made by finite element procedures, the large
deflections and rotations, inherent to risers geometric non linearity, were treated by means of
the co-rotational formulation. The incremental-iterative Newton-Raphson scheme is used to
solve the equations of static and dynamic equilibrium. Time domain integration is made using
Newmarks implicit method. To guarantee the numerical stability of the implemented code
when imposed a time-varying nodal displacement by the penalty method an structural damping
is introduced. This damping filters spurious frequencies induced by the penalty method. The
seabed is modeled as an elastic foundation of Winkler type, once again the penalty method is
used to enforce the non-penetration condition.
Static and dynamic simulations of beams with geometrical non linearity were conducted in
order to test the stability and accuracy of the implemented code. These results were compared
with those available in specialized literature in order to validate the code. This computational
tool was successfully applied to the static and dynamic analysis of steel catenary risers.
Keywords: Dynamic of structures, non linear dynamics, contact, steel catenary risers, corotational formulation, finite elements, geometric non linearity.
ix
Lista de Figuras
1.1
Esquema da disposição das camadas do pré-sal do mar brasilero. . . . . . . . .
2
1.2
Localização das principais bacias do pré-sal no litoral brasileiro. . . . . . . . .
2
1.3
Plataforma fixa de concreto da STATOIL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Plataforma FPSO P-58 da Petrobras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Plataforma Auger do tipo TLP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
Plataforma Devils Tower de tipo SPAR no golfo de México. . . . . . . . . . .
5
1.7
Plataforma do tipo semisubmersivel da SAMSUNG. . . . . . . . . . . . . . .
5
1.8
Configurações de risers mais utilizados na indústria off-shore. . . . . . . . . .
6
1.9
Configuração híbrida para águas ultra-profundas. . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.10 Riser rígido em catenária ligado a uma plataforma flutuante. . . . . . . . . . .
8
1.11 Navios para a instalação de risers na indústria off-shore. . . . . . . . . . . . . .
9
1.12 Camadas que conformam o riser flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.13 Tubos de aço para a construção de um riser rígido. . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.14 Experimento em escala real para o estudo da formação da trincheira nos SCRs.
11
2.1
Corpo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Configurações de referência para as distintas formulações usadas na análise não
linear geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
21
Sistema de coordenadas e configurações usadas na descrição cinemática corotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
Coordenadas e deslocamentos nodais do elemento viga de Euler-Bernoulli. . .
26
2.5
Deformações rotacionais ,θ 1l e θ 2l , e de corpo rígido ,α, na formulação corotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
27
Relação entre a variação dos virtual deslocamentos em coordenadas globais e
coordenadas locais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.7
Análise estática para a determinação da tensão efetiva. . . . . . . . . . . . . .
33
2.8
Velocidade relativa usada para o cálculo da força de arrasto. . . . . . . . . . . .
34
2.9
Deslocamentos impostos ao topo do riser pela plataforma. . . . . . . . . . . .
35
2.10 Parâmetros para análise de ondas lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
x
Lista de Figuras
xi
2.11 Modelo de fundação de Winkler de um parâmetro. . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.12 Molas nodais no modelo de Winkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.13 Imposição de deslocamentos pelo método de penalização. . . . . . . . . . . . .
43
2.14 Imposição da condição de impenetrabilidade no método de penalização. . . . .
45
3.1
Método de Newton-Raphson convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2
Método de Newton-Raphson modificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3
Método de Newton-Raphson para forças seguidoras. . . . . . . . . . . . . . .
52
3.4
Diagrama do pré-processamento no Solver estático GenoES. . . . . . . . . . .
57
3.5
Diagrama do processamento no Solver estático GenoES. . . . . . . . . . . . .
58
3.6
Diagrama do processamento no Solver de contato estático GenoCES. . . . . .
59
3.7
Diagrama do pré-processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS. . . .
60
3.8
Diagrama do processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS. . . . . .
61
4.1
Viga engastada com força aplicada no extremo livre. . . . . . . . . . . . . . .
63
4.2
Viga engastada com força vertical no extremo livre: configurações de equilíbrio
intermediárias a cada incremento de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
64
Força transversal adimensional F ∗ versus deslocamentos adimensionais u∗ e v ∗
do extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4
Viga engastada com momento aplicado no extremo livre. . . . . . . . . . . . .
66
4.5
Configurações de equilíbrio intermediarias a cada incremento de momento. . .
67
4.6
Momento adimensional concentrada M ∗ versus deslocamentos nodais adimensionais u∗ e v ∗ medidos desde o extremo livre da viga na configuração inicial. .
4.7
69
Viga discretizada com quatro elementos e submetida a um momento concentrado no extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.8
Estrutura anelar apoiada sobre um anteparo rígido. . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.9
Posições de equilíbrio intermediárias da estrutura anelar para diferentes incrementos de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.10 Força adimensional aplicada no topo da estrutura anelar versus deslocamento
vertical do nó 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.11 Viga engastada e suportes rígidos intermediários. . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.12 Configurações de equilíbrio intermediarias da viga para certos incrementos de
carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.13 Deflexão da viga versus força aplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.14 Viga sobre fundação elástica com força vertical no meio. . . . . . . . . . . . .
74
4.15 Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento no meio. . . . . . .
75
4.16 Viga sobre fundação elástica submetida a carregamento distribuído e pontual. .
75
4.17 Deflexão da viga bi-engastada sobre fundação elástica de Winkler. . . . . . . .
76
Lista de Figuras
xii
4.18 Erro de deflexão da viga da Figura 4.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.19 Viga engastada com força aplicada no ponto médio. . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.20 Resposta da viga bi-engastada submetida a carga impulsiva. . . . . . . . . . . .
79
4.21 Viga engastada submetida a carga tipo rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.22 Resposta da viga engastada submetido a uma força vertical tipo rampa no extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.23 Resposta amortecida e não amortecida da viga da secção 4.3.3. . . . . . . . . .
82
4.24 Viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo livre. . . . . .
82
4.25 Resposta da viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo
livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.26 Resposta amortecida e não amortecida da viga da com momento no extremo
livre, deflexão do extremo livre versus tempo t. . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.27 Viga com articulação no extremo esquerdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.28 Historia de deformação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.29 História da deflexão do extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.1
Modelo usado nas simulações de risers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.2
Configurações de equilíbrio intermediárias para o SCR. . . . . . . . . . . . . .
88
5.3
Configuração final de equilíbrio do SCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.4
Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o SCR. . . . . . . . . . .
89
5.5
Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o SCR. . . . . . . . .
90
5.6
Esquema de um riser con flutuadores intermediários. . . . . . . . . . . . . . .
92
5.7
Configurações de equilíbrio intermediárias obtidas pelo FLEXOL. . . . . . . . .
92
5.8
Configuração final de equilíbrio do LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.9
Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o LWR. . . . . . . . . . .
93
5.10 Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o LWR. . . . . . . .
94
5.11 História de deformação do mangote flexível submetido ao seo próprio peso. . .
96
5.12 Tensões internas no mangote flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.13 Influência do passo de tempo na convergência da resposta dinâmica do mangote
flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
5.14 História de deformação do mangote flexível submetido ao seu próprio peso e a
deslocamentos impostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.15 História de movimento para diferentes nós do mangote. . . . . . . . . . . . . . 101
Lista de Tabelas
2.1
funções cúbicas de interpolação de Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.1
Parâmetros da simulação estática da viga engastada Ex. 01. . . . . . . . . . . .
63
4.2
Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do
extremo livre da viga engastada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
65
Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do
extremo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.4
Parâmetros da simulação estática da estrutura anelar. . . . . . . . . . . . . . .
71
4.5
Parâmetros da simulação estática da viga bi-engastada sobre fundação elástica.
76
4.6
Parâmetros da simulação dinâmica da viga bi-engastada . . . . . . . . . . . . .
80
4.7
Parâmetros da simulação da viga articulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.1
Parâmetros do riser rígido em catenária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.2
Parâmetros de simulação de comportamento estático do SCR. . . . . . . . . . .
88
5.3
Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais. . . .
90
5.4
Parâmetros físicos do LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.5
Parâmetros de simulação do LWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.6
Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais. . . .
93
5.7
Parâmetros do mangote flexível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.8
Parâmetros físicos da simulação do mangote flexível com imposição de deslocamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9
99
Parâmetros numéricos da simulação do mangote flexível com deslocamento imposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiii
99
CONTEÚDO
1
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
INTRODUÇÃO
1
1.1
Exploração e produção de petróleo em alto-mar . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Unidades de produção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2.1
Risers rígidos em catenária . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Materiais dos risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.3.1
Risers flexíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3.2
Risers metálicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Justificativa e problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Temas atuais de pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1.1
Interação riser-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1.2
Interação fluido-estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1.3
Vibração induzida por vórtices . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1.4
Acoplamento riser-plataforma . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Problema e proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1
Configuração de equilíbrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.2
Análise dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.3
Interação riser-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5
Contribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6
Estrutura do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.3
1.2
1.2.2
1.3
2
MODELAGEM MATEMÁTICA
19
2.1
Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Não linearidade geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.1
21
Abordagens na análise não linear geométrica . . . . . . . . . . . . . .
xiv
xv
CONTEÚDO
2.2.2
2.3
Linearização das equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Análise estática de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.1
Equação de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.2
Elemento de viga plana pela abordagem co-rotacional . . . . . . . . .
23
2.3.2.1
Descrição cinemática co-rotacional . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.2.2
Formulação co-rotacional para o elemento de viga . . . . . .
25
Carregamentos atuantes de natureza estática . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3.3.1
Força peso-empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3.3.2
Força axial efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3.3.3
Correnteza em estado estacionário . . . . . . . . . . . . . .
34
2.3.3.4
Imposição de deslocamentos no topo do riser . . . . . . . .
35
Análise dinâmica de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4.1
Matriz de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.4.2
Matriz de amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.3
Carregamentos atuantes de natureza dinâmica . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4.3.1
Ondas incidentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4.3.2
Interação com o plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Interação riser-solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.1
Modelos de fundação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.1.1
Modelo de Winkler de um parâmetro . . . . . . . . . . . . .
40
Modelagem do contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.5.2.1
Método de penalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.5.2.2
Condição de impenetrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.5.2.3
Descolamento estrutura-solo . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.3
2.4
2.5
2.5.2
3
MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
46
3.1
Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1.1
Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1.1.1
Algoritmo de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.1.2.1
Algoritmo de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Critérios de convergência e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.1.3.1
Estabilidade numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.1.3.2
Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.1.3.3
Convergência da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Implementação da ferramenta computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2.1
Módulo estático: GenoES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2.2
Módulo de contato: GenoCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.1.2
3.1.3
3.2
xvi
CONTEÚDO
3.2.3
4
Módulo dinâmico: GenoDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL
62
4.1
Validação do módulo estático GenoES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1.1
Viga engastada com carga vertical aplicada no extremo livre . . . . . .
62
4.1.2
Viga engastada com momento aplicado no extremo livre . . . . . . . .
65
Validação do módulo de contato GenoCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.1
Estrutura anelar flexível contra anteparo rígido . . . . . . . . . . . . .
70
4.2.2
Viga engastada com suportes rígidos intermediários . . . . . . . . . . .
71
4.2.3
Viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler . . . . . . . . . . . .
73
4.2.3.1
Viga sobre fundação elástica com força vertical . . . . . . .
74
4.2.3.2
Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento .
74
4.2.3.3
Viga sobre fundação elástica com carga distribuída, carga
4.2
vertical e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3.4
4.3
5
74
Viga bi-engastada sobre fundação elástica submetida a carga
uniformemente distribuída . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Validação do módulo dinâmico GenoDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.3.1
Viga bi-engastada com carga concentrada impulsiva . . . . . . . . . .
78
4.3.2
Viga engastada com força tipo rampa no extremo livre . . . . . . . . .
78
4.3.3
Viga engastada com momento tipo rampa no extremo livre . . . . . . .
80
4.3.4
Viga articulada com momento impulsivo na articulação . . . . . . . . .
84
APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL
86
5.1
Estratégia de solução do FLEXOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.2
Análise estática de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.2.1
Riser rígido em catenária (SCR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.2.2
Riser com flutuadores intermediarios (LWR) . . . . . . . . . . . . . .
91
Análise dinâmica de risers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.3.1
Mangote flexível sujeito à ação do peso próprio . . . . . . . . . . . . .
95
5.3.2
Mangote flexível sujeito a deslocamentos impostos . . . . . . . . . . .
99
5.3
6
56
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
102
6.1
Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2
Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Referências Bibliográficas
106
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
1.1
Exploração e produção de petróleo em alto-mar
Com a crescente demanda mundial e o conseguinte aumento dos preços dos produtos derivados do petróleo, as indústrias de extração e produção de petróleo em alto-mar vem se expandindo e investindo na exploração em águas profundas. As maiores bacias petrolíferas no mar se
encontram no Brasil, no Golfo de México e na África ocidental.
No Brasil as maiores bacias de petróleo encontram-se no pré-sal. Estes campos vão desde o
litoral de Santa Catarina até o litoral de Espírito Santo. Para alcançar estas bacias de petróleo é
necessário atingir uma profundidade de 7 km com 2 km de lâmina de água. A Figura 1.1 mostra
as camadas de diferentes formações que devem ser perfuradas para atingir a camada do pré-sal.
A produção média do pré-sal correspondente ao mês do maio de 2014 representou 22% do total
da produção de petróleo da Petrobras (informação do site da empresa). Segundo os relatórios
da Petrobras, nos últimos quatro anos a produção de petróleo proveniente do pré-sal cresceu de
41 000 a 520 000 barris por dia. A Bacia de Santos responde pelo 53% da produção do pré-sal
brasileiro com 10 poços, o restante, 47% da produção, vem da Bacia de Campos com 15 poços.
Estes poços de petróleo se encontram nos litorais dos estados de Santa Catarina, São Paulo, Rio
de Janeiro e Espírito Santo. A Figura 1.2 apresenta a localização das bacias e dos campos de
petróleo em fase de exploração e produção no litoral brasileiro.
Para extrair e produzir petróleo em águas rasas foi necessário desenvolver tecnologia de
ponta nas áreas de hidrodinâmica, mecânica estrutural, controle automático, ciência da computação, materiais, etc. Atualmente a exploração e produção de petróleo em água ultra-profundas
gerou novos desafios tecnológicos os quais precisam ser investigados e resolvidos.
1
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.1: Esquema da disposição das camadas do pré-sal do mar brasilero. (Extraído de: <
http://diariodopresal.files.wordpress.com/2010/01/
exploracao-do-petroleo-do-pré-sal-petrobras.jpg >)
Figura 1.2: Localização das principais bacias do pré-sal no litoral brasileiro. (Extraído de: <
http://www1.folha.uol.com.br/infograficos/2013/10/78596-pré-sal-de-libra.shtml >)
2
3
(a)
(b)
Figura 1.3: (a) Plataforma fixa de concreto TROLL A propriedade da STATOIL; (b) Esquema do
ancoragem ao solo marino da plataforma. (Extraído de: <
http://www.norskolje.museum.no/stream_file.asp?iEntityId=1918 >)
1.1.1
Unidades de produção
Devido à distância entre os poços de petróleo e as zonas costeiras o uso de unidades de
produção de petróleo se faz necessário, as quais podem ser fixas o flutuantes. As unidades
fixas foram as primeiras a serem usadas, geralmente são feitas de concreto ou de aço e são
fixadas por meio de estacas no fundo do mar, podendo ser usadas até 400 m de profundidade. A
Figura 1.3 mostra a plataforma fixa Troll A, operada pela empresa norueguesa STATOIL no mar
do norte na Noruega, trabalhando a uma profundidade de 360 m. Por outro lado as unidades
flutuantes são estruturas apoiadas sobre flutuadores, as quais sofrem movimentações pela ação
das ondas incidentes, no entanto, adicionam flexibilidade às operações de produção, podendo
se deslocar entre poços afastados. As unidades flutuantes podem ter diferentes configurações,
as mais comuns são as apresentadas a seguir.
FPSO’s (Floating Production, Storage and Offloading). Estes navios-plataforma produzem,
armazenam e fazem transbordo de hidrocarbonetos. São utilizados em profundidades de até
2000 m. No convés do navio há uma planta de separação dos fluidos extraídos dos poços. A
Figura 1.4 mostra o navio-plataforma P-58 da Petrobras que tem uma capacidade de processamento de 180 000 barris por dia.
4
Figura 1.4: Plataforma FPSO P-58 da Petrobras. (Extraído de: < http://www.petrobras.com.br/
fatos-e-dados/plataforma-p-58-entra-em-operacao-no-parque-das-baleias.htm >)
TLP’s (Tension Leg Platform). Estas plataformas são presas no fundo do mar através de
tendões verticais. Este sistema de ancoragem limita o movimento vertical da plataforma. A
plataforma é usada em lâminas de água de até 2000 m, vide Figura 1.5.
(a)
(b)
Figura 1.5: (a) Plataforma Auger do tipo TLP no golfo de México; (b) Esquema da configuracao dos
tendões de ancoragem. (Extraído de: < http://www.isiengenharia.com.br/ >, <
http://gcaptain.com/wp-content/uploads/2011/08/Mars-TLP.jpg > )
SPAR’s.
Estas plataformas são cilíndricas e a sua maior vantagem é a estabilidade e resis-
tência aos efeitos do vento, ondas e correntezas, isto é devido a que o centro de gravidade se
encontra abaixo do centro de flutuação. Além disso o cilindro imerso na água pode ser usado
para armazenamento dos produtos, vide Figura 1.6.
Semisubmersíveis.
Estas plataformas são compostas de uma estrutura apoiada sobre flutua-
dores submersos no mar. O posicionamento pode ser feito por cabos ou por propulsores dinâmicos. Estas plataformas são usadas até profundidades de 3000 metros, vide Figura 1.7.
5
(a)
(b)
Figura 1.6: (a) Plataforma Devils Tower de tipo SPAR no golfo de México; (b) Esquema da parte
cilíndrica submersa do SPAR. (Extraído de: <
http://www.uschinaogf.org/Forum6/6WilliamSoester_eng.pdf > )
(a)
(b)
Figura 1.7: (a) Plataforma do tipo semisubmersivel da SAMSUNG.; (b) Esquema do ancoragem
mediante cabos. (Extraído de: < http://www.gazprominfo.com/articles/sea-production/ > )
6
1.1.2
Risers
Segundo a norma industrial API (1998), os elementos que compõem um sistema de riser
são:
• Corpo do riser, conduto rígido ou flexível de aço;
• Interfaces do sistema, interface superior e interface inferior.
A norma define o sistema marinho de riser como um conjunto de elementos que vinculam
a estrutura fixa localizada no fundo do mar, interface inferior, com a estrutura flutuante ou fixa,
a interface superior. A norma DNV (2001) categoriza os risers de acordo com sua capacidade
de resistir os movimentos da interface superior já que esta impõe cargas de natureza complexa.
Os risers dividem-se em duas grandes categorias:
• Risers tensionados no topo;
• Risers adaptáveis.
A Figura 1.8 mostra as configurações mais comuns para os risers. Outra configuração usada
em operações ultra-profundas é a configuração híbrida, onde uma torre rígida e um mangote
flexível são unidos mediante uma junta flexível, no topo da torre rígida é instalado um flutuador
para diminuir os esforços de compressão na base, vide Figura 1.9.
Figura 1.8: Tipos de configurações e componentes mais utilizados na indústria off-shore. (Extraído de: <
http://oceantecllc.com/surf-engineering/>)
A seguir será apresentado os risers dispostos em catenária que são objeto de estudo deste
trabalho.
7
Figura 1.9: Configuração híbrida para águas ultra-profundas. (Extraído de: <
http://www.subsea7.com/content/dam/subsea7/documents/technologyandassets/4_Pg_Leaflet_
Riser_Technology__Reference.pdf>)
1.1.2.1
Risers rígidos em catenária
Conforme as operações de extração de petróleo avançam para águas mais profundas o custo
do sistema de riser, comparado com o custo global da operação, é muito alto. Os risers rígidos
em catenária, feitos de aço, representam uma alternativa económica, além de oferecer maior
resistência a altas temperaturas e pressões hidrostáticas.
Os risers rígidos em catenária ou SCR do inglês Steel Catenary Riser podem ser manufaturados e instalados mais económica e rapidamente, além de não precisar de equipamentos
especiais no leito marinho como juntas flexíveis ou de flutuadores intermediários (Halil , 2012).
A Figura 1.10 mostra uma representação de um SCR e o nome dos trechos de interesse na
análise.
Devido à configuração dos SCR grandes tensões são impostas na zona de contato com o solo
marinho ou no TDZ, do inglês de Touch Down Zone. Os níveis de tensões internas nesta zona
estão dentro dos limites aceitáveis de resistência do material, sempre que não existam ações de
natureza dinâmica, mas este não é o caso dos SCR, ligados a plataformas flutuantes (Mekha ,
2001).
Os movimentos da plataforma flutuante e a correnteza marinha impõem condições de carregamento críticas ao riser. Ao variar estas condições o ponto de contato do trecho suspenso
8
160x90
Plataforma
flutuante
Topo do
riser
s
Trecho suspenso
do riser
Ponto de contato
TDP
Flowline
Solo marinho
Figura 1.10: Riser rígido em catenária ligado a uma plataforma flutuante. (Elaboração própria.)
do riser com o solo marinho, ou TDP (Touch Down Point) muda de posição fazendo com que
o momento fletor máximo, localizado no ponto de contato, também varie devido a essas interações. Dependendo da dinâmica das ações externas o riser pode falhar por fadiga. Vale a pena
lembrar que nesse ponto de contato ocorre a maior curvatura no SCR.
No projeto de SCR diferentes análises são consideradas: análise estática, análise dinâmica
e análise de resistência à fadiga. Neste trabalho serão abordados os dois primeiros desde um
ponto de vista computacional. A teoria não linear de vigas planas é usado.
O método de instalação dos SCR, também é de muita importância em projeto devido a que
uma instalação incorreta pode adicionar esforços ao riser. Os métodos mais usados são: S-lay
e J-lay, os nomes destes métodos têm a ver com a forma que o riser adota no momento do seu
lançamento. A Figura 1.11 mostra as embarcações utilizadas na instalação de SCRs.
1.1.3
Materiais dos risers
A seleção do material dos risers depende de muitos parâmetros, tais como: temperatura,
vida útil, cargas, resistência química ao fluido externo e interno, resistência aos carregamentos,
entre outros. Atualmente dois tipos de risers são usados frequentemente os quais são descritos
a seguir.
9
(a)
(b)
Figura 1.11: Navios de instalação de risers na indústria off-shore (a) Navio de instalação pelo método
J-lay; (b) Navio para a instalacao pelo método S-lay. (Extraído de: <
http://www.huismanequipment.com/en/products/pipelay/jlay >)
Figura 1.12: Camadas que conformam o riser flexível. (Extraído de: <
http://fps.nov.com/subsea/flexibles/dynamic-flexible-risers >)
1.1.3.1
Risers flexíveis
Os risers flexíveis são feitos por superposição de camadas, cada camada cumpre uma função estrutural diferente. A Figura 1.12 mostra as camadas que compõem um riser flexível
convencional. A camada interna é uma carcaça de aço composta por anéis intertravados com
deslocamento relativo, esta camada tem como função resistir a pressão interna. A segunda
camada é feita de um material polimérico para vedação sobre a qual são encostados tendões helicoidais que adicionam rigidez axial ao conjunto. A camada exterior, em contato com o fluido
marinho, é constituída por um polímero cuja função é impermeabilizar e proteger da corrosão
e os impactos aos componentes estruturais de aço. A complexidade das camadas e seu número
depende do serviço ao qual serão submetidos.
Os risers flexíveis possuem maior custo de fabricação, porém os custos de instalação são
menores comparados com os do riser rígido. Os risers flexíveis podem ser reutilizados em dife-
10
Figura 1.13: Tubos de aço para a construção do riser rígido. (Extraído de: < http:
//www.pulse-monitoring.com/products-and-services-4/production-riser-monitoring-60/>)
rentes poços, presentam boa resistência à fadiga e não necessitam de sistemas de compensação
na plataforma.
1.1.3.2
Risers metálicos
Normalmente são compostos de aço de gradação X60, X65 ou X70, mas também estão
sendo utilizados outros metais como alumínio ou ligas de titânio.
Os risers de aço são compostos por tubos de aproximadamente doze metros de comprimento
acoplados nas juntas. A Figura 1.13 mostra os tubos revestidos antes da instalação. Estas
estruturas possuem maior resistência às grandes pressões hidrostáticas e tem maior rigidez à
flexão. Devido aos problemas de flambagem nos risers rígidos as plataformas às quais são
ligados precisam de equipamentos hidráulicos ou pneumáticos para controlar a tensão no topo,
chamados de top tensioners.
1.2
Justificativa e problema
A maiores profundidades e condições de operação extremas busca-se projetar risers com
boas características econômicas. Para garantir a integridade estrutural do riser e evitar catástrofes ambientais, é necessário conhecer o comportamento estrutural do riser e a natureza dos
carregamentos que irá suportar, seja na fase de instalação ou de operação. No caso das operações em águas ultra-profundas ainda há desafios tecnológicos a serem resolvidos devido ao
fato de que nessas profundidades alguns parâmetros de análise cobram maior importância. A
continuação apresentam-se os temas atuais em análise de risers rígidos em catenária.
11
Figura 1.14: Experimento em escala real para o estudo da formação da trincheira nos SCRs. (Extraído
de: < http:
//www.pulse-monitoring.com/products-and-services-4/production-riser-monitoring-60/>)
1.2.1
Temas atuais de pesquisa
O estudo do comportamento estático e dinâmico dos risers é de natureza multidisciplinar
envolvendo mecânica dos sólidos e dos fluidos, dinâmica não linear, vibrações, hidrodinâmica,
teoria de ondas, simulação de sistemas acoplados e mecânica dos solos. Um tema crucial no
projeto de SCR é a interação com o solo marinho, que requer para seu estudo um amplo conhecimento de mecânica de solos.
A teoria dos SCRs é complexa e ainda não foi totalmente desenvolvida. A seguir apresentamse os temas atuais de pesquisa de SCRs os quais vêm sendo estudados intensivamente (Menglan
et al. , 2011).
1.2.1.1
Interação riser-solo
No caso dos SCRs a zona de contato do riser com o leito marinho é crítica onde se produz o
dano por fadiga. Devido à natureza do solo marinho, a avaliação do mecanismo de dano difere
dos mecanismos clássicos. Por outro lado, devido ao movimento oscilatório do conjunto riserplataforma a posição do ponto de contato entre o riser e o solo varia espacial-mente no tempo
fazendo com que a resposta do solo a estes ciclos repetidos de carga e descarga seja altamente
não linear. O modelo de solo deve incluir a formação de uma trincheira plástica e incorporar o
contato lateral da trincheira com o riser (Elosta e Atilla , 2013).
A degradação do solo, o mecanismo de formação da trincheira e o contato lateral com o
riser são áreas abertas para pesquisa. O conhecimento desses fenômenos é importante para
a correta determinação da vida à fadiga dos SCRs (Garcia Sanchez , 2013). A Figura 1.14
mostra um experimento feito pelas empresas dedicadas ao ramo dos risers para avaliar o efeito
da formação da trincheira no comportamento global dos SCRs.
1.2.1.2
12
Interação fluido-estrutura
O efeito da ultra-passagem do fluido ao redor do riser é modelado comummente mediante a
equação de Morison (1950), a qual foi desenvolvida para cilindros verticais fixos e não toma em
conta a deformação do riser no tempo. Para o caso de risers flexíveis as forcas hidrodinâmicas
devem ser consideradas como seguidoras, ou dependentes da deformação, por tanto estas forças
devem ser tratadas como não conservativas (Yadzchi e Crisfield , 2002).
A maior dificuldade na consideração de cargas não conservativas é a adição de uma matriz
de correção de carga, esta matriz é não simétrica. Consequentemente a matriz de rigidez tangente global da estrutura não será mais simétrica comprometendo a eficiência dos algoritmos
de solução.
1.2.1.3
Vibração induzida por vórtices
Imersos em correntezas os risers vibram sob a ação de forças hidrodinâmicas cíclicas induzidas pelo desprendimento de vórtices. Este fenómeno é conhecido como vibração induzida
por vórtices, VIV. Quando a frequência de emissão dos vórtices coincide com uma das frequências naturais do riser este entra em ressonância. Na condição de ressonância o riser vibra com
grandes amplitudes e através do tempo este pode falhar por fadiga.
A vibração induzida por vórtices do SCRs operando em águas ultra-profundas é de natureza
multimodal e apresenta fenômenos de propagação de onda (Wu et al., 2012). Por outro lado
a determinação de cargas hidrodinâmicas pode ser feita através de modelos experimentais ou
por modelos computacionais de dinâmica de fluidos. A VIV de SCRs é um campo aberto para
pesquisas e uma das razões é a complexidade do escoamento en torno deste tipo de estruturas
vistas como cilindros com eixos curvos.
1.2.1.4
Acoplamento riser-plataforma
Em águas ultra-profundas o acoplamento entre o riser e a plataforma à qual está ligado
é importante no comportamento dinâmico global (Paulling e Webster , 1986) (Tahar e Kim
, 2003). Frequentemente estes efeitos são considerados como desacoplados, e o efeito das
ondas incidentes na plataforma como um deslocamento imposto no topo do riser que varia
harmonicamente. Esta simplificação perde exatidão quando as profundidades são maiores, já
que quanto maior profundidade, maior é a inércia do riser comparada com a inercia total do
sistema riser-plataforma, tendo-se que avaliar o comportamento global do sistema marinho de
riser.
1.2.2
13
Problema e proposta
Riser rígidos em catenária, ou SCR’s, são uma solução promissora desde um ponto de vista
técnico e económico para a exploração de petróleo em águas ultra-profundas. Porém o comportamento dinâmico de SCR ainda não foi totalmente compreendido e não está bem documentado.
A teoria de SCR é complexa e multidisciplinar, envolvendo tópicos de mecânica dos sólidos e
dos fluidos, dinâmica não linear, mecânica dos solos e interação fluido-estrutura.
Devido a teoria de SCR ainda estar sendo desenvolvida os fabricantes destas estruturas são
obrigados a aumentar seus fatores de segurança de projeto, principalmente, por causa da falta
de conhecimento dos danos por fadiga que podem ocorrer na zona de contato entre a estrutura
e o leito marinho.
Ferramentas computacionais para análise dinâmica do SCR são necessarias para o desenvolvimento de pesquisa em tópicos específicos tais como VIV, interação riser-solo, interação
riser-plataforma e efeito do escoamento interno.
Dentro deste contexto, o presente trabalho de mestrado teve como enfoque o desenvolvimento e implementação de uma ferramenta computacional para análise estática e dinâmica
bidimensional de risers rígidos em catenária considerando o contato com o solo marinho. Este
código computacional além de permitir o desenvolvimento de pesquisa em dinâmica plana de
SCRs servirá como base para o desenvolvimento de um código de análise dinâmica tridimensional de SCRs.
1.3
Revisão bibliográfica
A seguir são apresentadas as pesquisas e os resultados mais relevantes nos temas de maior
interesse na análise de risers.
1.3.1
Configuração de equilíbrio estático
Usando métodos analíticos Seyed e Patel (1992) fizeram uma análise bidimensional de risers considerando os efeitos da pressão externa e de um escoamento interno. Para o calculo do
empuxo os autores integraram a pressão sobre a superfície de um elemento de riser curvo fornecendo expressões matemáticas exatas, mediante algumas hipóteses conseguiram simplificar
ainda mais estas expressões.
Como um elemento de riser não tem tampas nos extremo não é possivel usar diretamente
a lei de Arquimedes para a determinação do empuxo. Os extremos do elemento de riser não
são submetidos a pressões externas nem a pressões internas como este não tem tampas. Frente
a este problema Sparks (1984), Sparks (2007) introduz os conceitos de tensão efetiva e peso
14
aparente muito usados em análise de riser por sua simplicidade matemática.
Um dos métodos numéricos mais usados pelos pesquisadores em risers para os temas de
análise estática geometricamente não linear e contato com o solo marinho é o método dos
elementos finitos. Os trabalhos publicados no assunto, que serão apresentados a seguir, se
diferenciam na formulação utilizada para o tratamento das não linearidades geométricas e na
modelagem das cargas atuantes.
Felippa e Chung (1981) utilizaram um elemento de viga tridimensional considerando as
deformações axiais, de flexão e torcionais. As forças hidrodinâmicas são calculadas mediante a
equação de Morison. O método de Newton-Raphson foi implementado para a solução das equações de equilíbrio. O tratamento da não linearidade geométrica é feito mediante transformação
de coordenadas convectivas locais a coordenadas globais a cada deslocamento incremental.
Irani (1989) emprega ângulos de euler e a analogia cinemática de Kirchhoff para a determinação das expressões da curvatura. A analogia cinemática de Kirchhoff estabelece que os
componentes da velocidade angular instantânea de um ponto que se move ao longo do eixo
do riser correspondem aos componentes de curvatura nesse ponto do riser. Usando esta abordagem conjuntamente com o princípio de Hamilton o autor deduz as equações de movimento
do riser. O método dos elementos finitos foi usado para a discretização espacial e a resposta
dinâmica foi calculada no domínio da frequência.
Bernitsas et al. (1985) também tratou o equilíbrio estático tridimensional de risers, mas
usando as equações vetoriais do equilíbrio, podendo assim acoplar os efeitos de torção e flexão. As equações resultantes foram resolvidas usando um algoritmo preditor-corretor e um
esquema incremental. Um resultado importante do trabalho de Bernitsas et al. (1985) é que ao
não considerar as forcas de interação com o fluido como dependentes dos deslocamentos, não
conservativas, sobrestima os deslocamentos e reações obtidas em um valor de 10%.
Para obter a configuração de equilíbrio estático de um riser Mathisen e Bergan (1986) usaram diferentes configurações iniciais. A técnica de pré-tensão da estrutura no início da análise
para evitar problemas numéricos foi de muita utilidade nas simulações feitas por esses autores. No trabalho destes autores também e demonstrada a importância da configuração inicial
no tempo total de simulação. O’Brien e McNamara (1989) cientes da importância da suposição de uma boa configuração inicial de equilíbrio no tempo total da simulação, eles usaram a
configuração de equilíbrio de um cabo calculada sem os efeitos de flexão e torção, assim eles
conseguiram reduzir o tempo total de simulação.
McNamara et al. (1986) calcularam a configuração estática de um riser partindo de configurações iniciais verticais e horizontais, impondo logo deslocamentos e forças. Teoricamente,
devido à linearidade do material, a ordem na aplicação das forças e deslocamentos para achar
a configuração do equilíbrio não é importante, mas numericamente, a ordem de aplicação toma
importância. Isto é devido a que em cada incremento de forca ou deslocamento um erro é acu-
15
mulado, este erro depende da ordem de aplicação das cargas, tal como foi comfirmado pela
ferramenta implementada neste trabalho.
Os trabalhos mencionados anteriormente usam a abordagem Lagrangiana na obtenção das
equações dos elementos finitos. Devido a que o riser sofre grandes deslocamentos porém pequenas deformações Yadzchi e Crisfield (2002) usou a formulação co-rotacional para os elementos
finitos baseado nos trabalhos de Wempner (1969), Belytschko e Hsieh (1973), Belytschko e
Hsieh (1979).
1.3.2
Análise dinâmica
Takafuji (2010) realizou uma análise dinâmica tridimensional no domínio da frequência de
um riser. Ela linearizou o arrasto hidrodinâmico que é proporcional ao quadrado da velocidade
na equação de Morison. Esta técnica de linearização é uma extensão do método proposto por
Martins (2000).
O método de integração no tempo mais usado na análise dinâmica de estruturas oceânicas é
o método de Newmark de aceleração média constante. Este método é incondicionalmente estável para o caso de problemas lineares, porém quando é usado para tratar estruturas não lineares
a estabilidade do algoritmo é comprometida (Bathe , 1982). Por outro lado, a imposição de deslocamentos para simular o acoplamento risers-plataforma introduz um efeito desestabilizador
no algoritmo de integração temporal quando o método de penalização é utilizado.
Para tratar esta dificuldade outros pesquisadores propuseram o uso de esquemas de integração com amortecimento numérico como o algoritmo HHT, desenvolvido por Hilber et al.
(1977), em vez do algoritmo de Newmark. Hansen (1988) propôs modificar os parâmetros
de controle γ e β para introduzir um amortecimento numérico artificial no algoritmo de Newmark. Miranda et al. (1989) propus a utilização de um esquema híbrido baseado em esquemas
de integração explícitos e implícitos aplicados ao mesmo tempo a integração das equações de
movimento.
Garcia Sanchez (2013) propõe o uso de uma técnica de suavização, baseado no trabalho
de Teixeira (2001), Nesta técnica o deslocamento é aplicado suavemente através de toda a
estrutura e não somente num nó, distribuindo assim a energia de perturbação da imposição do
deslocamento.
No trabalho de Mourelle (1993) é proposto um método para o ajuste automático do passo
de tempo usado na análise dinâmica, baseando-se no trabalho de Mollestad (1983) o autor propõe um parâmetro para a determinação da frequência de vibração concorrente, este parâmetro
resulta da divisão da matriz de rigidez tangente no tempo t + ∆t entre a matriz de massa no
tempo t, estas matrizes são pré o pós-multiplicadas pelos vetores de deslocamento no tempo
t. O uso deste parâmetro e a determinação analítica das frequências de um modelo simplificado de riser, fornecem resultados muito precisos para a determinação do passo de tempo mais
16
eficiente, otimizando a ferramenta computacional desenvolvida por Mourelle.
1.3.3
As mais recentes pesquisas em SCR vêm se centrando na análise desta interação. Como
foi dito anteriormente, a zona de contato com o solo marinho ou TDZ é o trecho do riser que
apresenta os maiores esforços na operação do riser, tem-se observado que o leito marinho em
contato com o riser vai-se degradando e depois de alguns ciclos de contato e re-contato vai
se criando uma trincheira, Shiri (2014), esta trincheira modifica o estado de deformações e
tensão no TDZ, é importante, portanto, conhecer a natureza da formação desta trincheira para
determinar corretamente o estado de tensão na TDZ. Neste trabalho de mestrado o tema de
formação de trincheira não é tratado e adequadamente será estudado em um futuro trabalho de
doutorado.
Em algumas pesquisas da interação riser-solo, o solo é considerado como totalmente rígido.
Esta suposição fornece resultados conservadores para o momento fletor no TDP.
Outras pesquisas feitas na análise da interação riser-solo, Silveira & Martins (2004) e
Martins (2000) consideram o solo marinho como elástico-linear. O solo é modelado por um
conjunto de molas verticais com rigidez equivalente à rigidez do solo multiplicada pela área de
contato.
Modelos mais refinados desta interação foram estudados por You et al. (2008), Randolph &
Quiggin (2009) e Aubeny et al. (2008). Os autores fazem uso das curvas P−y, muito utilizadas
em engenharia civil para modelar a interação de colunas enterradas no solo. As curvas P − y
representam a relação entre a penetração y e a pressão P que oferece o solo. Nestes trabalhos é
tomado em conta o caráter plástico do solo marinho na formação de uma trincheira.
As curvas P − y modelam a resistência oferecida pelo solo marinho no caso do primeiro
contato, re-contato, sucção e descolamentos parciais que estão presentes na operação dos SCR.
Os modelos fornecidos por estes autores foram validados nos experimentos a grande escala
estudados em Bridge et al. (2004).
Para o caso tridimensional outros consideram o efeito do contato/impacto lateral entre o
riser e as paredes formadas pela trincheira. Shiri (2014) realiza análise de fadiga considerando
a formação da trincheira. Em Bay et al. (2015) aplicaram-se as curvas P − y à análise dinâmica.
1.4
Objetivos
O principal objetivo do presente trabalho de mestrado é o desenvolvimento e implementação de uma ferramenta computacional para análise estática e dinâmica bidimensional de risers
rígidos em catenária considerando o contato com o solo marinho.
17
Os objetivos específicos deste trabalho são dados a seguir.
• Revisar os métodos numéricos utilizados na solução de problemas não lineares, como
são: método de Newmark para a análise dinâmica, método de Newton-Raphson para a
solução de sistemas de equações não lineares e o método de penalização para a imposição
de deslocamentos.
• Implementar um elemento de viga plana geometricamente não linear mediante a formulação co-rotacional e conduzir um estudo de validação usando resultados da literatura.
• Realizar simulações de equilíbrio estático de risers flexíveis e rígidos submetidos a seu
próprio peso, forças hidrostáticas e arrasto da correnteza, além de conduzir simulações de
equilíbrio estático com imposição de deslocamentos no topo do riser.
• Realizar simulações dinâmicas de movimento para diferentes entradas de excitação e condições de operação, impondo forças e deslocamentos.
• Elaborar um código de análise dinâmica que permita incluir o efeito da pré-tensão da
estrutura.
• Desenvolver um código computacional robusto para a simulação do contato unidirecional
entre o riser e uma fundação tipo Winkler, que inclua o efeito de descolamento.
A ferramenta computacional foi desenvolvida no programa MATLAB 2012 e é chamado de
FLEXOL.
1.5
Contribuição
A ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho servirá como plataforma para o
desenvolvimento de pesquisa em estática e dinâmica bidimensional de risers flexíveis e rígidos.
Com a adição de novos blocos de código à plataforma desenvolvida, temas cruciais da dinâmica
de risers poderão ser tratados tais como o contato com o solo marinho, o efeito na dinâmica do
escoamento interno, o efeito da correnteza com movimento acelerado, vibração induzida por
vórtices e o acoplamento riser-plataforma.
1.6
Estrutura do texto
A dissertação é composta de seis capítulos os quais são apresentados resumidamente a seguir.
No primeiro capítulo o problema é caraterizado e colocado dentro da área do conhecimento
à qual se insere. Também são expostos os temas atuais de pesquisa na área de dinâmica de
risers.
18
Já no segundo capítulo são deduzidas as equações de movimento usando o Princípio dos
Trabalhos Virtuais e as mesmas são formuladas incrementalmente assim como também discretizadas usando o método dos elementos finitos. A não linearidade geométrica do riser devido a
seus grandes deslocamentos é abordada mediante a formulação co-rotacional para um elemento
de viga plana não linear de Euler-Bernoulli.
O vetor de forças externas é apresentado incluindo as forças hidrostáticas e de arrasto.
Tendo-se todas as matrizes definidas e o vetor de cargas externas procede-se as simulações
numéricas.
No terceiro capitulo são apresentados os métodos numéricos usados na solução das equações
deduzidas no capítulo anterior. Para a discretização temporal é usado o método de Newmark.
O método de Newton-Raphson é usado para a solução do sistema de equações não lineares
provenientes da aplicação do método de Newmark a cada passo de tempo. Também é apresentado o método de penalização utilizado na solução do problema de contato e na modelagem da
imposição de deslocamentos ao riser por parte a plataforma.
As caraterísticas dos módulos computacionais para análise estática, dinâmica e de contato
que compõem o programa desenvolvido FLEXOL são também apresentados neste capítulo.
O quarto capítulo é destinado à validação do código desenvolvido usando resultados da
literatura. Nos exemplos desenvolvidos resolvem-se problemas de estática e dinâmica considerando a não linearidade geométrica. A simulação do contato também é avaliada.
Exemplos de aplicação são resolvidos no quinto capítulo usando o FLEXOL e são comparados também com os resultados obtidos por outros pesquisadores e com resultados analíticos.
O último capítulo apresenta as conclusões deste trabalho. Recomendações para trabalhos
também são discutidas tendo em conta o nível de desenvolvimento da ferramenta computacional
FLEXOL.
Capítulo 2
MODELAGEM MATEMÁTICA
2.1
Equações de equilíbrio
A Figura 2.1 representa um corpo elástico cuja superfície é a união das superfícies S1 e
S2 . Em S1 são prescritas as condições de contorno geométricas (ou essenciais) e em S2 as
condições de contorno naturais. Em S2 é aplicada uma tração de superfície t em unidades de
força por unidade de área e através do volume V do corpo é aplicada uma força de corpo b,
em unidades de força por unidade de volume. Tendo-se as propriedades mecânicas do material
que constitui o corpo e as condições de contorno procede-se a obter as equações de equilíbrio
estático do corpo.
w
u
Y
v
u
t
n
dA
S1
dV
Z
b
S2
X
Figura 2.1: Corpo elástico.
As equações de equilíbrio estático são deduzidas usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais.
O campo de deslocamentos do corpo elástico da Figura 2.1 é definido pelo vetor u:
(
)T
u= u v w
(2.1)
onde u, v e w são os componentes de deslocamento nas direções dos eixos cartesianos X, Y e
Z, respetivamente. Define-se o campo de deslocamentos virtuais a partir da configuração de
19
20
Capítulo 2. MODELAGEM MATEMÁTICA
equilíbrio, δu, como
(
)T
δu = δu δv δw .
(2.2)
O princípio dos trabalhos virtuais declara que um sistema deformável está em equilíbrio se
e somente se o trabalho virtual total realizado pelas cargas externas, δWext , é igual ao trabalho
virtual total realizado pelas cargas internas, δWint , para todos os deslocamentos virtuais consistentes com as restrições cinemáticas impostas ao corpo. Matematicamente, este princípio é
declarado como:
δWext = δWint .
(2.3)
O trabalho virtual das forças internas é determinado como a primeira variação da energia de
deformação U do corpo deformado, ou seja
δWint = δU.
(2.4)
O trabalho virtual externo é a soma dos trabalhos virtuais individuais das forças de tração e
de corpo:
δWext =
Z
b · δudV +
Z
t · δudA
(2.5)
A
V
O trabalho virtual total das tensões internas σ através do campo de deformação virtual δ
é:
δU = σ : δ
(2.6)
onde o símbolo : é o operador de contração dupla entre tensores.
Agora definindo-se o trabalho virtual das forças residuais como
R
V
r · δudV a expressão dos
trabalhos virtuais para obter as equações de equilíbrio é dada por (NAFEMS , 1992):
Z
r · δudV =
V
2.2
Z
σ : δdV −
V
Z
b · δudV −
V
Z
t · δudA = 0.
(2.7)
A
Não linearidade geométrica
Um riser disposto em catenária pode ser visto como uma estrututra cilíndrica longa com alta
razão de aspeto (razão entre o comprimento e o diâmetro). Esta estrutura pode ser modelada
como uma viga curva com rigidez à tração, flexão e torção. Devido a que o riser durante
operação sofre pequenas deformações, o material desta estrutura pode ser modelado como tendo
um comportamento elástico-linear. Por outro lado, devido a que o riser na fase de instalação
é submetido a grandes deslocamentos e rotações assim como também na fase de operação a
estrutura sofre os efeitos da correnteza e dos movimentos da plataforma o comportamento desta
estrutura deve ser modelado como sendo geometricamente não linear.
21
Ao determinar a configuração de equilíbrio estático de um riser disposto em catenária devese ter em conta a dependência da rigidez com a deflexão estrutural.
Uma análise estática geometricamente não linear deve ser conduzida para determinar a configuração de equilíbrio de um riser em catenária. Se a análise estática é baseada no método dos
elementos finitos, então um elemento finito de Euler-Bernoulli pode ser desenvolvido usando
a teoria clássica de vigas. O elemento finito sofrerá pequenas deformações porém é submetido
a grandes deslocamentos.
2.2.1
Abordagens na análise não linear geométrica
É importante ressaltar que na Equação 2.7 σ é o segundo tensor de Piola-Kirchhoff e é o
tensor de deformação de Green. Estes dois tensores são usados neste trabalho para considerar a
não linearidade geométrica do corpo. Devido à não linearidade geométrica a área e volume de
integração usados na Equação 2.7 são variáveis, por tanto, é necessário usar medidas de tensão
e deformação baseadas no gradiente de deformação. As formulações disponíveis expressam o
volume e área de integração como transformações do volume e área conhecida. As formulações
são: Lagrangiana Total (Total Lagrangian) e Lagrangiana Atualizada (Updated Lagrangian).
Na primeira os volumes e áreas na posição atual, At+∆t e Vt+∆t , são calculados usando os volumes e áreas inicias, A0 e V0 , e na segunda, os volumes e áreas são calculados usando as áreas e
volumes da última posição de equilíbrio, At e Vt .
160x60
anterior:
Vt , At
Lagrangiana
Atualizada
(U.L.)
tempo t
atual:
Y
V
inicial:
Lagrangiana
Total
(T.L.)
V0, A0
Z
X
,A
tempo t+
tempo t=t 0
Figura 2.2: Configurações de referência para as distintas formulações usadas na análise não linear
geométrica.
A formulação Lagrangiana Total da equação 2.7 é dada por (NAFEMS , 1992):
Z
r0 · δudV =
V0
Z
σ : δdV0 −
V0
Z
b0 · δudV0 −
V0
Z
t0 · δudA0 = 0
A0
(2.8)
22
e a formulação Lagrangiana Atualizada da mesma equação é:
Z
rt · δudV =
Z
Vt
σ : δdVt −
Z
Vt
bt · δudVt −
Z
Vt
tt · δudAt = 0
(2.9)
At
Existe outra formulação para resolver problemas com não linearidades geométricas e pequenas
deformações que não usam as medidas de deformação mencionadas anteriormente, é a Formulação Co-rotacional. Esta formulação será apresentada na secção 2.3.2.
2.2.2
Linearização das equações de equilíbrio
Para atingir o equilíbrio é necessário que o trabalho virtual da força residual δW , definida
pela Equação 2.7, seja igual a zero, porém como as equações resultantes são não lineares deve-se
implementar um método para resolve-las. Uma solução é trabalhar em um esquema incremental, usando o parâmetro t como referência para medir os incrementos. Assume-se que em t
o vetor de deslocamentos é conhecido e satisfaz as condições de equilíbrio, deseja-se obter a
posição de equilíbrio em t + ∆t, isto é após um incremento ∆t. Para isto é necessário aproximar
o trabalho das forças residuais em t + ∆t por uma expansão de Taylor truncada, assim tem-se:
!
Z
r0 · δudV0
V0
=
t+∆t
!
Z
r0 · δudV0
V0
t
d
+
dt
!
Z
r0 · δudV0 ∆t.
V0
(2.10)
t
A Equação 2.10 é linear respeito do incremento ∆t e os termos à direita são conhecidos. A
R
maior dificuldade na análise é a determinação da derivada do termo V r0 · δudV . Adotam-se
0
as seguintes premissas para simplificar a análise:
• o carregamento não depende das deformações (forças conservativas),
• o material é elástico linear,
• as condições de contorno não dependem dos deslocamentos (sem contato).
Considerando as três premissas acima apresentadas e colocando em evidência o termo da derivada da Equação 2.10, a seguinte expressão é obtida (NAFEMS , 1992):
d
δẆ =
dt
2.3
!
Z
r0 · δudV
V0
=
t
Z
σ̇ : δdV0 +
V0
Z
˙ 0−
σ : δdV
V0
Z
ḃ0 · δudV0 −
V0
Z
ṫ0 · δudA0 .
A0
(2.11)
Análise estática de risers
O riser objeto de estudo neste trabalho é modelado como uma viga plana com grandes
deslocamentos e pequenas deformações. A seguir serão determinadas as expressões necessárias
para a análise estática de risers.
23
2.3.1
Equação de equilíbrio
Uma vez feita a discretização por elementos finitos do riser, onde o vetor de deslocamento
u do elemento finito é interpolado a partir dos deslocamentos nodais globais U, as equações de
equilíbrio global são escritas como (Bathe , 1982):
Q=P
(2.12)
onde Q é o vetor de forças internas nodais devidas à deformação e P é o vetor de forças externas
nodais. O vetor de forças internas é uma função não linear dos deslocamentos nodais U. O
vetor P, em geral, depende também do vetor de deslocamentos U. As cargas hidrodinâmicas de
correnteza são de natureza não conservativa, isto é dependem da deformação da estrutura, estas
forças são classificadas como forças seguidoras. A Equação 2.12 pode ser desenvolvida como
uma expansão de Taylor:
Q(U) = P(U)
Q(U
t+∆t
∂Q(U t )
1 ∂ 2 Q(U t )
2
) = Q(U ) +
t ∆U + 2!
t
t ∆U +
∂U
∂U ∂U
t
P(U t+∆t ) = P(U t ) +
1 ∂ 2 P(U t )
∂P(U t )
∆U
+
∆U2 +
2! ∂U t ∂U t
∂U t
(2.13)
...
...
(2.14)
(2.15)
onde o vetor ∆U representa o vetor de deslocamentos incrementais entre os tempos t e t + ∆t.
Considerando somente os dois primeiros termos do lado direito das equações 2.14 e 2.15, a
Equação 2.13 pode ser linearizada ao redor da configuração de equilíbrio em t como:
Q(U t ) + K T ∆U = P(U t ) + K NC ∆U
(2.16)
[KT − K NC ] ∆U = P(U t ) − Q(U t )
(2.17)
∆U = [K T − K NC ]−1 R(U t )
(2.18)
O termo K NC é conhecido como matriz de correção de carga, o termo KT é a matriz de
rigidez tangente, ambas as matrizes são avaliadas no tempo t. O vetor R(U t ) é o residual entre
a força interna e força externa na deformação U t . Esta Equação 2.18 será resolvida através do
esquema incremental-iterativo de Newton-Raphson. A seguir serão determinados cada um dos
vetores e matrizes da Equação 2.18.
2.3.2
Elemento de viga plana pela abordagem co-rotacional
Três formulações podem ser usadas para a análise por elementos finitos de estruturas com
não linearidades geométricas: Lagrangiano Total, Lagrangiano Atualizado e Co-rotacional. A
formulação co-rotacional é a mais recente e válida para pequenas deformações, sem importar
24
quão grande sejam os deslocamentos e rotações.
As primeiras aplicações da formulação co-rotacional conjuntamente com o método dos elementos finitos foram feitas por Wempner (1969), Belytschko e Hsieh (1973). Argyris (1982)
criou a formulação natural para o tratamento de problemas elásticos não lineares. Crisfield
(1990) forneceram as bases matemáticas para a formulação Co-rotacional trabalhando com elementos de viga e casca. Esta formulação foi refinada nos trabalhos de Haugen (1994) e Battini
(2002), o último autor aplicou este método a problemas de instabilidade estrutural em cascas.
A seguir apresenta-se a descrição cinemática co-rotacional de um elemento de viga plana a
qual é baseada nos trabalhos de Crisfield (1997) e Yaw (2009).
2.3.2.1
Descrição cinemática co-rotacional
Na formulação co-rotacional definem-se dois sistemas de coordenadas: o sistema global
XY e o sistema local xy, vide Figura 2.3. O sistema local de coordenadas é fixo ao elemento
e tem um movimento de corpo rígido, o eixo x é definido pela linha que une os nós 1 e 2. As
seguintes configurações são definidas: configuração inicial C0 , configuração co-rotacionada Cc
e a configuração atual Cd .
A configuração co-rotacionada Cc representa o movimento de corpo rígido de translação e
rotação do elemento desde a configuração C0 . A configuração deformada Cd é a deformação sofrida pelo elemento devida às forças internas medidas desde a configuração Cc . As deformações
em Cd são pequenas e obedecem a teoria linear de vigas de Euler-Bernoulli.
160x60
2
co-rotacionada Cc
y
x
1
Y
2
y
1
atual (deformada) Cd
x
X
inicial C0
Figura 2.3: Sistema de coordenadas e configurações usadas na descrição cinemática co-rotacional.
Conforme o elemento se move como corpo rígido este se deforma devido às tensões internas
para adotar a configuração atual com deformação. A formulação co-rotacional considera como
referência a configuração inicial para a determinação do vetor de forças internas, ao igual que
na formulação Lagrangiana Total.
A aplicação da formulação co-rotacional para estruturas planas é diferente da aplicação a
25
estruturas espaciais, devido a que no plano as rotações podem ser adicionadas, não sendo assim
no espaço. Além disso, o tratamento da torção no espaço requer um estudo prévio das grandes
rotações. A seguir será deduzida a matriz de rigidez tangente e o vetor de forças internas para
um elemento de viga plana usando o abordagem co-rotacional.
2.3.2.2
Formulação co-rotacional para o elemento de viga
A formulação é baseada na teoria de viga clássica de Euler-Bernoulli. Assume-se que durante a deformação a viga tem um comportamento elástico-linear e a lei de Hooke é usada. As
deduções matemáticas são baseadas no livro de Crisfield (1991) e o trabalho de Yaw (2009). O
primeiro passo na formulação co-rotacional é a decomposição do deslocamento total expresso
em coordenadas globais em dois movimentos: um de corpo rígido e outro deformacional. A
extração das deformações pode ser feito mediante operações geométricas. O segundo passo é
a obtenção de uma matriz de transformação, que relacione as variações dos deslocamentos em
coordenadas locais e globais. O terceiro passo consiste na obtenção da matriz de rigidez tangente a partir da formulação dos trabalhos virtuais das forças internas em coordenadas locais e
globais. A seguir apresentam-se as deduções matemáticas.
O alongamento do elemento de viga é calculado como a diferença entre o comprimento
atual L e o comprimento inicial L 0 , vide Figura 2.4. As coordenadas X e Y dos nós 1 e 2 do
elemento de viga na configuração inicial são conhecidas.
O comprimento inicial do elemento de viga é
L0 =
q
(X2 − X1 ) 2 + (Y2 − Y1 ) 2
(2.19)
onde (X1, Y1 ) e (X2, Y2 ) são as coordenadas dos nós 1 e 2 do elemento de viga na configuração
inicial. O comprimento final do elemento após da aplicação dos deslocamentos nodais em
coordenadas globais, u1 e v1 para o nó 1 e u2 e v2 para o nó 2, é dado por
L=
q
((X2 + u2 ) − (X1 + u1 )) 2 + ((Y2 + v2 ) − (Y1 + v1 )) 2 .
(2.20)
Normalmente o alongamento axial é determinado por ul = L − L 0 mas, segundo Crisfield
(1990), esta definição não é apropriada para ser implementada em programas de computador
devido a que não está bem condicionada, por isso é recomendável usar
ul =
L 2 − L 20
L + L0
(2.21)
esta Equação relaciona os deslocamentos em coordenadas globais u1 , v1 , u2 e v2 com o deslocamento relativo axial ul , este último medido em coordenadas locais.
26
A força axial interna é determinada pela seguinte expressão (usando a Equação 2.21)
N=
E Aul
L0
(2.22)
onde A é a área da secção transversal do elemento de viga e E é o módulo de elasticidade. De
acordo com a Figura 2.4 o ângulo de rotação β do sistema local de coordenadas em relação ao
sistema global de coordenadas globais é determinado por qualquer uma das expressões a seguir:
cos β =
(X2 + u2 ) − (X1 + u1 )
,
L
sin β =
(Y2 + v2 ) − (Y1 + v1 )
L
(2.23)
160x90
2
Li
y
atual
x
v2
1
v1
L0
Y
2
u2
y
Y1
Y2
1
X1
x
0
inicial
u1
X2
X
Figura 2.4: Coordenadas e deslocamentos nodais do elemento viga de Euler-Bernoulli.
Extração das rotações deformacionais. A seguir serão extraídas as rotações nodais devidas
à deformação do elemento de viga. θ 1 e θ 2 são as rotações nodais do elemento de viga devidas
à rotação de corpo rígido e à rotação deformacional do elemento, vide Figura 2.5. θ 1l e θ 2l são
as rotações deformacionais do elemento de viga medidas em coordenadas locais as quais são
expressas por:
θ 1l = θ 1 + β0 − β,
onde β é igual a
θ 2l = θ 2 + β0 − β
Y2 + v2 − Y1 − v1
β = arctan
X 2 + u2 − X 1 − u1
(2.24)
!
(2.25)
e β0 é a inclinação do elemento de viga na configuração inicial sem deformação. As equações
2.24 e 2.25 presentam problemas numéricos quando o ângulo de rotação β é maior do que π/2.
27
Devido a isto Souza (2000) propõe alternativamente usar as seguintes expressões para eliminar
este problema. Aplicando a função seno a θ 1l (pode ser tambem θ 2l ) da Equação 2.24 tem-se
que
sin(θ 1l ) = sin(θ 1 + β0 − β) = sin( β1 − β) = cos β sin β1 − sin β cos β1
(2.26)
e depois aplicando a função cosseno à mesma expressão usada anteriormente tem-se
cos(θ 1l ) = cos(θ 1 + β0 − β) = cos( β1 − β) = cos β cos β1 − sin β sin β1
(2.27)
As equações 2.26 e 2.27 são relacionadas pela função arco tangente como
cos β sin β1 − sin β cos β1
θ 1l = arctan
cos β cos β1 + sin β sin β1
!
cos β sin β2 − sin β cos β2
θ 2l = arctan
cos β cos β2 + sin β sin β2
!
(2.28)
(2.29)
onde os valores de β1 e β2 são dados por
β1 = θ 1 + β0,
β2 = θ 2 + β0
(2.30)
160x70
2
atual
1l
y
1
x
1
Y
2
y
1
x
0
inicial
X
Figura 2.5: Deformações rotacionais ,θ 1l e θ 2l , e de corpo rígido ,α, na formulação co-rotacional.
Os elementos de viga plana comummente usados em análises por elementos finitos incluindo problemas com não linearidades geométricas relacionam os momentos nodais com as
rotações nodais em coordenadas locais por meio da seguinte relação

 2EI

 M̄1 

 M̄  = L 0
2
 
2 1  θ 

 
 1l 


1 2 
θ
2l
 
(2.31)
28
onde M̄1 e M̄2 são os momentos aplicados aos nós 1 e 2 respetivamente.
Variação dos deslocamentos nodais em coordenadas locais e coordenadas globais.
O ve-
tor de deslocamentos nodais para o elemento de viga em coordenadas globais, p, e sua variação,
δp, são dados por:
f
gT
p = u1 v1 θ 1 u2 v2 θ 2
(2.32)
f
gT
δp = δu1 δv1 δθ 1 δu2 δv2 δθ 2
(2.33)
e o vetor de deslocamentos em coordenadas locais, pl , e sua variação, δpl , são:
f
gT
pl = ul θ 1l θ 2l
(2.34)
f
gT
δpl = δul δθ 1l δθ 2l
(2.35)
O elemento sofre uma rotação de corpo rígido total α, vide Figura 2.5 . A partir dessa
configuração o elemento de viga é levado para uma nova configuração através de uma variação
infinitesimal do vetor de deslocamentos nodais. O nó 1 da viga na configuração variada faz
com que coincida-se coincidir com o nó 1 da viga na configuração atual para um estudo de
deslocamentos relativos. δα é a variação infinitesimal da rotação de corpo rígido definida pelo
ângulo α como mostra a Figura 2.6. δd21 é o deslocamento do nó 2 relativo ao nó 1 produzido
pela variação da configuração atual. δul é o alongamento axial do nó 20 em relação ao nó 1
produzido pela configuração variada. Na Figura 2.6 as seguintes relações são válidas:
160x60
2'
variada
d12
Y
2
e2
l
1
L
e1
X
atual
Figura 2.6: Relação entre a variação virtual dos deslocamentos em coordenadas globais e coordenadas
locais.
(
)
(
)
 δu2 − δu1 


δul = eT1 d21 = cos β sin β d21 = cos β sin β 
 δv − δv 
1
 2
(2.36)
29
δα =
1 T
e δd21 = {− sin β
L 2
cos β}d21 = {− sin β

 δu2 − δu1 


cos β} 
 δv − δv 
2
1


(2.37)
onde e1 e e2 são os vetores unitários que definem a orientação do sistema local de coordenadas
local (e1 e e2 definem os eixos x e y, respetivamente). As equações 2.36 e 2.37 também podem
ser expressas como
δul = [− cos β
δα =
1
[sin β
L
− sin β
− cos β
0
0
cos β
sin β
0]δp = rT δp
− sin β
cos β
0]δp =
1 T
z δp
L
(2.38)
(2.39)
Agora é necessário expressar a variação das rotações deformacionais em termos da variação
dos deslocamentos nodais globais, isto é em função do vetor δp. Ao aplicar o operador variação
a Equação 2.24, obtém-se

 

 θ 1 + β0 − β 

=
 δθ 1 − δα 
δθl = δ 
 θ + β − β   δθ − δα 
2
2
0

 

(2.40)
As simplificações feitas na Equação 2.40 são possíveis devido a que δ β0 = 0, isto é porque
β0 é uma constante, e δα = δ β0 , como α e β medem a rotação do mesmo corpo rígido. A
Equação 2.40 pode ser expressa em função do vetor δp assim

 [0 0 1 0 0 0]δp − (1/L)zT δp 


δθl = 
 [0 0 0 0 0 1]δp − (1/L)zT δp 


(2.41)
 0 0 1 0 0 0
 T
 − 1 z   δp = AT δp.
δθl =  
 0 0 0 0 0 1 L zT  
(2.42)
ou como
A Equação 2.38 relaciona a variação dos deslocamentos globais com a variação do alongamento relativo axial do elemento. Por outro lado a Equação 2.42 relaciona também a variação
dos deslocamentos globais com a variação das rotações locais. Por tanto, é possível obter uma
matriz B de transformação de deslocamentos entre os dois sistemas de coordenadas local e
global, assim

δul 


 rT 






  δp = Bδp

δpl = 
=
δθ
1l 
T




 δθ 
 A 
 2l 
(2.43)
 − cos β
− sin β 0 cos β
− sin β 0


B = − sin β/L cos β/L 1 sin β/L − cos β/L 0 .


− sin β/L cos β/L 0 sin β/L − cos β/L 1
(2.44)
onde B é
30
Vetor de forças internas. Estando o elemento de viga na configuração de equilíbrio estático
o trabalho virtual realizado pelas cargas nodais através de deslocamentos virtuais que seguem
a direção dos eixos globais deve ser igual ao trabalho virtual realizado pelas tensões internas
desenvolvidas no elemento. O último trabalho virtual é convenientemente determinado em
coordenadas locais. Isto é porque um observador fixo ao sistema local de coordenadas verá o
elemento sofrer pequenas deformações e o cálculo da energia de deformação é relativamente
simples. Matematicamente, a declaração acima dada dos trabalhos virtuais é dada por
δpTv q = δpTlv q l
(2.45)
onde o subscrito l indica que a quantidade é medida no sistema local de coordenadas, e o
subscrito v indica que a quantidade é virtual. A Equação 2.45 pode ser escrita como, usando a
matriz de transformação B
δpTv q = (Bδpv )T q l = δpTv BT q l
(2.46)
devido a que o deslocamento virtual δpTv é uma quantidade arbitrária, a 2.46 pode ser simplificada ao cancelar δpTv para obter
q = BT q l
(2.47)
(
)
qTl = N M̄1 M̄2
(2.48)
com
Matriz de rigidez tangente.
Como explicado na secção 2.3.1, a matriz de rigidez tangente é
obtida ao linearizar o vetor de forças internas aproximadas mediante uma expansão em serie de
Taylor. Equivalentemente, a matriz de rigidez tangente também pode ser obtida ao aplicar o
operador variação à Equação 2.47, assim tem-se que
δq = BT δq l + δBT q l = BT δq l + N δB1 + M̄1 δB2 + M̄2 δB3
(2.49)
onde δB1 , δB2 e δB3 são as variações das três filas da matriz B. O termo BT δq l representa a
matriz de rigidez linear, k tl , do elemento de viga de Euler-Bernoulli. Os três últimos termos
compõem a matriz de rigidez geométrica da viga em estudo, k tσ . Agrupando os termos tem-se
δq = k tl δp + k tσ δp
(2.50)
O termo linear da matriz de rigidez tangente k tl é
ktl = BT Cl B
(2.51)
31
1 0
0 


EA 
0 4r 2 2r 2 
Cl =
L0 
0 2r 2 4r 2 
onde r =
√
(2.52)
I/A, Cl é a matriz constitutiva linear do elemento de viga, esta matriz é 3 × 3 devido
a que o elemento co-rotacionado tem três graus de liberdade: o deslocamento axial e as duas
rotações nodais.
A matriz de rigidez geométrica k tσ que provem da variação da matriz de transformação B
se calcula usando
k tσ =
N T M1 + M2 T
(rz + zrT )
zz +
2
L
L
(2.53)
onde os vetores r e z foram determinados nas equações 2.38 e 2.39.
Explicitamente, a matriz de rigidez geométrica é dada por:

2
− cos β sin β
 sin β
− cos β sin β
cos2 β

0
0
N 

=
2
L  − sin β
cos β sin β

 cos β sin β
− cos2 β

0
0

0

− cos2 β
 − sin2 β
cos β sin β

0
0
M̄1 + M̄2 

+
2
L
− cos2 β
 sin2 β
− cos β sin β


0
0
0

− sin2 β
 cos2 β
cos β sin β

0
0
M̄1 + M̄2 

+
2
L
sin2 β
 − cos2 β
− cos β sin β


0
0
0
k tσ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− sin2 β
cos β sin β
cos β sin β
− cos2 β
cos β sin β
sin2 β

0

cos β sin β
− cos2 β
0

0
0
0

sin2 β
− cos β sin β 0

− cos β sin β
cos2 β
0

0
0
0

0

sin2 β

0
0
0

− cos β sin β
− cos2 β
0

− sin2 β
cos β sin β 0

0
0
0

0

− cos2 β

0
0
0

− cos β sin β
− sin2 β
0

cos2 β
cos β sin β 0

0
0
0
Finalmente foram obtidas a matriz de rigidez tangente do elemento de viga plano e o vetor
de forças internas.
32
2.3.3
Carregamentos atuantes de natureza estática
As cargas atuantes nos risers vêm de diferentes fontes como são: a interação com o campo
gravitacional, a interação com o fluido, a interação com o navio, a interação com o solo, entre outras. Esta secção apresenta os modelos de cargas atuantes em risers consideradas neste
trabalho.
2.3.3.1
Força peso-empuxo
É considerado o peso do fluido interno por unidade de comprimento do fluido interno, wi , o
peso do material do riser por unidade de comprimento do material, wr , e o peso do volume de
fluido deslocado pelo riser por unidade de comprimento, wa . Estas distribuições de carga são
determinadas pelas seguintes equações:
wi =
1
ρi gπDi2
4
1
ρr gπ(De2 − Di2 )
4
1
wa = ρa gπ(De2 )
4
wr =
(2.54)
onde ρi é a densidade do fluido interno, ρr é a densidade do riser, ρa a densidade da água
do mar e g é a aceleração da gravidade. Define-se a força de peso-empuxo usando o principio
de Arquimedes:
bw = wi + wr − wa
(2.55)
Na Equação 2.55 bw representa um carregamento distribuído por unidade de comprimento
na direção vertical. Para transformar esta carga distribuída em cargas nodais usam-se as funções
de interpolação cúbicas de Hermite, e isto é feito através da Equação 2.56. As funções de
interpolação hermitianas são definidas na tabela 2.1
bw =
Z
bw hdΩ
(2.56)
Ω
Na Equação 2.56 h é a matriz que contém as funções de interpolação.
A força devida ao próprio peso é constante e sempre aponta na direção global Y negativa,
esta carga é considerada conservativa devido a que se deriva do potencial gravitacional. O vetor
de carga nodal externa em coordenadas globais Pep nodal para o elemento de viga é
"
bw = 0 bw L e
2
bw L 2e
bw L e
0
12
2
bw L 2e
12
#T
.
(2.57)
33
Tabela 2.1: funções cúbicas de interpolação de Hermite.
2.3.3.2
h
função
h1
2
3
1 − 3x2 + 2x3
Le
Le
h2
2
3
x − 2x2 + x 2
Le
Le
h3
3x 2 − 2x 3
L 2e
L 3e
h4
x2 + x3
−L
e
L 2e
Força axial efetiva
Para tomar em conta o efeito da pressão interna e externa sobre as tampas é usado o conceito
de tensão efetiva. Como se mostra na Figura 2.7 ao decompor o sistema mecânico em suas
partes se tem: O riser submetido as pressões internas e externas e a força de tração, o fluido
interno submetido à reação com as paredes internas do riser e as tampas, e o fluido externo
submetido às reações com o fluido externo.
160x120
Te + Te
Te
pi Ai
pe Ae
+
-
pi Ai
pe Ae
Coluna de
fluido interno
Parede do riser
Coluna de fluido
deslocado
Te + Te
=
Te
Figura 2.7: Análise estática para a determinação da tensão efetiva.
34
Ao integrar o sistema num só as reações opostas se cancelam e a tensão efetiva no riser Te
fica como
t e = (t p − pi Ai + pe Ae ) t̂
(2.58)
onde t p e a tensão nominal na parede do riser, Ai e Ae representam as áreas internas e externas
definidas pelos diâmetros Di e De respetivamente, pi e pe representam as pressões internas e
externas dos fluidos e t̂ é o vetor tangente em coordenadas globais XY .
2.3.3.3
Correnteza em estado estacionário
As correntezas marinhas são geradas por diferentes fontes: a ação dos ventos, as marés, as
mudanças na salinidade do mar, as mudanças na temperatura, etc. Todos estes fatores definem
o padrão de movimento da correnteza.
Para modelar o efeito da correnteza ultrapassando o riser é usada a Equação de Morison.A
equação de Morison é composta de duas parcelas: a força de arrasto e a força de inércia do
fluido (Patel et al. , 1984). Neste trabalho considera-se uma correnteza com perfil de velocidade uniforme. Por tanto, o arrasto somente é considerado. A Equação de Morison trabalha
com a velocidade relativa entre o riser e o fluido. A Figura 2.8 mostra a velocidade do riser
Vr e a velocidade da correnteza em estado estacionário Vc , ambas as medidas em relação a
sistema inercial de coordenadas XY . Estas velocidades dependem da profundidade z e são conhecidas ou calculadas. O vetor Ve é a velocidade relativa entre esses vetores de velocidade. A
velocidade relativa é decomposta em uma componente tangencial, Vet , e em uma componente
normal ao riser, Ven . Cada componente de velocidade induz diferentes forças de arrasto como
são (Faltinsen , 1990):
160x60
Ve
Ve
Vr
Vc
Vet
Ven
Y
X
Figura 2.8: Velocidade relativa usada para o cálculo da força de arrasto.
f dn =
1
ρe DCen kVen k 2 n̂
2
(2.59)
35
f dt =
1
ρe DCet kVet k 2 t̂.
2
(2.60)
onde Cen e Cet são os coeficientes de arrasto obtidos experimentalmente.
Imposição de deslocamentos no topo do riser
2.3.3.4
Deslocamentos são impostos no topo do riser durante sua instalação. A Figura 2.9 mostra
esquematicamente a disposição de um riser rígido em catenária onde o ponto de contato com o
solo marinho, ou TDP, e a distancia de separação da plataforma são indicados. A distância entre
o TDP e a plataforma, chamada de offset, é ajustada para controlar o momento fletor mãximo
no TDP.
A imposição de deslocamentos será feita usando o Método de Penalização que será apresentado no seguinte capítulo.
160x90
vertical (m)
Amplitude
Profundidade (m)
Offset (m)
TDP
Topo do
riser
Solo marinho
Figura 2.9: Deslocamentos impostos ao topo do riser pela plataforma.
2.4
Análise dinâmica de risers
Para a análise dinâmica as forças inerciais e dissipativas devem ser consideradas. Em análise
dinâmica por elementos finitos, a força de inércia de corpo rígido é vista como uma força de
corpo distribuída através do volume. A força de inércia é concentrada nos nós do elemento
usando as funções de interpolação. O vetor de forças de corpo nodais b é determinado pela
36
seguinte expressão (Bathe , 1982):
b=
Z
hT [f b − ρ hÜt ]dV
(2.61)
dV
onde h é a matriz que contem as funções de interpolação, f b é a força de corpo, ρ a densidade
do corpo elástico e Üt é o vetor de aceleração nodal. A matriz h é função das coordenadas de
posição e não depende do tempo. A equação de equilíbrio dinâmico global é escrita como:
Q=
XZ
T b
h f dV −
dV
XZ
ρ hT hÜt dV
dV
Q = Pt − MÜt
Na Equação 2.62 o operador
P
(2.62)
(2.63)
representa o resultados da montagem dos vetores e matrizes
dos elementos finitos. O vetor nodal de forças internas Q já foi apresentado na seção 2.3.2. A
Equação de equilíbrio dinâmico é dada por:
MÜt + Q(Ut ) = Pt
(2.64)
onde o subscrito t tem sido adicionado para fixar o incremento qual está-se trabalhando. Como
foi discutido na secção 2.3.2 o vetor de forças internas depende do vetor de deslocamentos nodais Ut . Se na Equação 2.65 é adicionada a força de amortecimento dependente da velocidade,
obtém-se:
b=
Z
hT [f b − ρ hÜt − κhU̇t ]dV
(2.65)
dV
onde κ representa uma função de amortecimento. Finalmente, a Equação de equilíbrio dinâmico
não linear é dado por:
MÜt + CU̇t + K(Ut )Ut = Pt
2.4.1
(2.66)
Matriz de massa
A matriz de massa representa a distribuição nodal da massa do corpo elástico. Para um
elemento de viga de comprimento l e , de secção transversal constante Ae , momento de inércia
de área I e densidade constante ρ, a matriz de massa é calculada em coordenadas locais usando
37
as funções de interpolação de Hermite definidas na tabela 2.1

140
 0

ρl e Ae  0

ml =
420  70

 0

 0

0
0

ρI 0

+
30l e 0

0

0
0
0
70
0
156
22l e
0
54
22l e
4l e2
0
13l e
0
0
140
0
54
13l e
0
156
−13l e
−3l e2
0
−22l e
0
0
36
3l e
3l e
4l e2
0
0
−36 −3l e
3l e
−l e2
0

0 

−13l e 

−3l e2 

0 

−22l e 

4l e2 
(2.67)
0

0 

0 −36 3l e 

0 −3l e −l e2 

0
0
0 

0 36 −3l e 

0 −3l e 4l e2 . 
A matriz ml representa a distribuição nodal da inercia de um elemento de viga expresso
no sistema local de coordenadas. Usando a matriz de transformação T, a matriz de massa em
coordenadas globais fica como:
m = TT ml T
(2.68)


0
0
0
 cos β sin β 0

− sin β cos β 0
0
0
0


0
0
1
0
0
0

.
T = 
0
0 cos β sin β 0
 0

 0

0
0
−
sin
β
cos
β
0


 0
0
0
0
0
1
(2.69)
onde β é o ângulo de rotação do corpo rígido do elemento de viga.
2.4.2
Matriz de amortecimento
A matriz de amortecimento global não pode ser determinada mediante a montagem das matrizes de amortecimento dos elementos, diferente que as matrizes globais de massa e de rigidez
que sim podem ser montadas a partir das matrizes dos elementos. O fenómeno do amortecimento estrutural é de caráter global, Bathe (1982). O método mais usado para caracterizar a
matriz de amortecimento C foi proposto por Rayleigh baseando-se em um esquema proporcional, assim
C = αM + βK
(2.70)
38
onde α e β são os coeficientes de proporcionalidade e as matrizes M e K representam a massa
e a rigidez globais. Cada termo desta Equação amortece frequências diferentes, o termo proporcional à matriz de massa amortece as vibrações de baixa frequência e o termo proporcional
à matriz de rigidez amortece as vibrações de alta frequência.
Na análise dinâmica não linear, como é o caso dos risers rígidos em catenária, é importante
amortecer as altas frequências devido a que a cada iteração feita na integração das equações dinâmicas um erro vai-se acumulando podendo desestabilizar o esquema de solução. O uso deste
modelo de amortecimento é ainda mais importante quando é usado o método de penalização
para a imposição de deslocamentos, como é o caso deste trabalho.
2.4.3
Carregamentos atuantes de natureza dinâmica
Em condições de operação diferentes cargas variáveis no tempo atuam no riser, as cargas
de maior importância são as produzidas pela movimentação da plataforma marinha e o campo
de velocidades variável induzido pelo passo de uma onda gravitacional, a seguir descrevem-se
os modelos matemáticos utilizados na modelagem do vetor de forças associado a estas cargas.
2.4.3.1
Ondas incidentes
As ondas oceânicas na superfície do mar são geradas principalmente por correntes de ar e
movimentos sísmicos. Estas ondas, chamadas de ondas gravitacionais, induzem cargas hidrodinâmicas nos risers e nas plataformas de produção de petróleo. As ondas geram campos de
velocidade e aceleração que são função do espaço e do tempo. Existem muitas teorias para a lei
de variação destes campos, as teorias mais conhecidas são: Teoria linear de ondas de Airy e a
Teoria de Stokes de terceiro e quinto ordem Sparks (2007).
A Figura 2.10 mostra os parâmetros necessários para a caraterização das ondas, os quais
são: comprimento de onda λ, altura da onda H e amplitude de onda r.
r
H
160x45
Y
Perfil da onda
riser
X
Figura 2.10: Parâmetros para análise de ondas lineares.
Segundo a teoria linear de ondas uma partícula de fluido que se encontra no passo de uma
onda descreverá um movimento circular. A teoria linear de ondas fornece expressões para os
39
campos de velocidade, aceleração e pressão baseando se nas seguintes simplificações: densidade constante da água do mar, altura pequena das ondas, efeitos de tensão superficial e viscosidade desprezíveis e movimento irrotacional do fluido. As seguintes variáveis são definidas
para uma partícula de fluido Faltinsen (1990):
φ = −ac exp(k y) cos(k x − ωt)
u̇ X = kca exp(k y) sin(k x − ωt)
u̇ Y = −k 2 c2 a exp(k y) cos(k x − ωt)
(2.71)
ü X = −kca exp(k y) cos(k x − ωt)
ü Y = −k 2 c2 a exp(k y) sin(k x − ωt)
c = λ f,
k=
2π
,
λ
ω = 2π f .
(2.72)
Os valores de u̇ X,Y e ü X,Y representam as velocidades e acelerações da partícula em coordenadas globais respetivamente.
A partir das equações 2.71 pode-se mostrar que a magnitude do raio que descreve uma
partícula de fluido ao ultra-passar uma onde gravitacional decresce exponencialmente, chegando
a ser desprezível um comprimento de onda abaixo da superfície livre Sparks (1984).
Dado o campo de velocidade das partículas de fluido procede-se a usar a Equação de Morison para relacionar a velocidade com as forcas incidentes no riser.
2.4.3.2
Interação com o plataforma
O conjunto plataforma-riser está sujeito aos efeitos das ondas de superfície, como mostra
a Figura 2.9. Devido à incidência de ondas a plataforma oscila, impondo ao topo do riser um
movimento oscilatório. Neste trabalho é considerado um perfil sinusoidal para o deslocamento
vertical ou horizontal do topo do riser
u X = A X cos(ωt + φ)
v Y = A Y sin(ωt + φ)
(2.73)
onde u X e v Y são as componentes horizontais e verticais do movimento da plataforma em
função do tempo, A X e A Y representam a amplitude de oscilação do movimento nas direções
horizontal e vertical respetivamente, ω é a frequência de oscilação e φ o desfase entre a onda e
o movimento da plataforma.
O simulador desenvolvido também pode simular a resposta do riser à imposição de deslocamentos em base a data experimental ou aleatória.
40
2.5
Em algumas configurações de riser se deixa uma parte do mesmo repousar sobre o leito
marinho e a outra parte é pendurada da plataforma. O ponto na qual a parte suspensa do riser
tem seu primeiro contato com o solo é conhecido como TDP (Touch Down Point). É no TDP
onde ocorre auma mudança brusca de curvatura e também o maior esforço de flexão. O TDP
varia de posição dinamicamente em função dos deslocamentos do topo e da intensidade das
correntezas marinhas. A determinação dos esforços internos do riser na região do contato com
o solo marinho é crucial para o projeto.
O fenómeno de interação riser-solo envolve o estudo de contato de um sólido deformável
com uma fundação usada para definir o comportamento mecânico do solo. A seguir será feita
uma revisão deste tópico.
2.5.1
Modelos de fundação
Os modelos de fundação fornecem a resposta do solo às cargas aplicadas. A primeira aproximação na modelagem de fundações elásticas foi feita nos trabalhos de Winkler que idealizou a
fundação como um sistema de molas lineares independentes infinitezimalmente próximas umas
das outras. A resposta da fundação pelo tanto é determinada pelas características das molas usadas na modelagem. Existem modelos mais refinados que introduzem outros fenómenos, como
é o caso dos modelo de Filonenko-Borodich ou o modelo de Pasternak que tomam em conta a
interação entre molas adjacentes.
Em trabalhos recentes na análise de risers em catenária o comportamento plástico do solo
está sendo estudado. A plasticidade do solo marinho conduz a formação de uma trincheira que
pode chegar a ter uma profundidade de até quatro vezes o diâmetro do riser. A profundidade
desta trincheira varia desde o TDP até a conexão com o equipamento, o perfil desta trincheira
muda o estado de deformações do riser e segundo (Aubeny et al. , 2008), (Randolph & Quiggin
, 2009) e (You et al. , 2008), reduz o esforço de flexão máxima no TDP.
2.5.1.1
Modelo de Winkler de um parâmetro
Este modelo é chamado de um parâmetro devido a que um só parâmetro, a rigidez das molas,
é necessário para caracterizar a resposta do solo. As molas são elásticas lineares onde a pressão
de reação entre o solo é a estrutura é proporcional à penetração. A Equação do comportamento
das molas é
ps (x) = k s v(x)
(2.74)
onde k s é a rigidez do solo, v(x) a deflexão vertical ao longo do eixo x e ps (x) a resistência que
oferece a fundação elástica.
41
A Equação diferencial que modela a configuração de equilíbrio de uma viga apoiada sobre
uma fundação de Winkler é dada por:
d4 v(x)
= q(x) − ps (x)
dx 4
(2.75)
d4 v(x)
+ k s v(x) = q(x)
dx 4
(2.76)
EI
EI
160x45
q(x)
ks
Y
X
Figura 2.11: Modelo de fundação de Winkler de um parâmetro.
Modelo de Winkler como molas nodais.
Neste modelo as molas verticais são adicionadas
diretamente sobre os nós extremos dos elementos de viga que compõem a discretização do riser,
vide Figura 2.12. É importante destacar que neste modelo só os graus de liberdade verticais dos
nós que entram em contato com o solo são afetados pela contato com a fundação. A matriz de
rigidez ks de um elemento de mola é
 k
−k s 
s

ks = 
−k s k s 
(2.77)
e o vetor de forças internas qs é dado por
 k

−k s  

s

 v1 

qs = ks v = 


−k s k s  
v
 2
(2.78)
onde v1 e v2 são os deslocamentos na direção vertical dos nós 1 e 2 respetivamente.
160x30
v1
Y
E, I, A
ks
v2
ks
X
Figura 2.12: Molas nodais no modelo de Winkler.
42
Modelo de Winkler como leito.
Neste modelo assume-se uma variação linear para deflexão
do elemento de viga, v(x) assim:
!
!
x
x
v(x) = 1 −
v1 +
v2
le
le
(2.79)
onde v1 e v2 são os deslocamentos nodais na direção vertical do elemento de viga e a coordenada
local, x, do elemento é medida a partir do nó 1. A matriz de rigidez da fundação ks e o vetor de
forças internas q s são
2.5.2
ks =
ksle
6
2 1


1 2
(2.80)
qs = ks v =
ksle
6
2 1  v 
 

 1


1 2 
v
2
 
(2.81)
Modelagem do contato
A maioria de problemas de estruturas elásticas sobre fundações elásticas pressupõe que a
estrutura está colada à fundação. Diferentemente no caso da análise de risers é importante
simular o problema de contato seja no caso estático ou dinâmico, devido a que, dependendo
das excitações impostas ao riser, os pontos que inicialmente estavam suspensos no mar podem
passar a tocar o solo marinho e vice-versa. Este fenómeno de contato e descolamento se da na
fase de instalação como na fase de operação do riser.
No contexto dos elementos finitos aplicado à solução de problemas de contato dois métodos
são disponíveis: O método no qual a condição de contato é imposta diretamente mediante os
multiplicadores de Lagrange e o método que impõe a condição de contato aproximadamente,
chamado de método de penalização. Cada um destes métodos possue vantagens e desvantagens,
o uso dos multiplicadores de Lagrange adiciona mais variáveis ao sistema e o uso do método
de penalização faz muito sensível o sistema à escolha do parâmetro de penalização.
Neste trabalho adotou-se o método de penalização pela sua praticidade na implementação.
A continuação será descrito o método para o caso de contato unidirecional na direção vertical.
2.5.2.1
Método de penalização
O método de penalização é um dos métodos mais utilizados para o tratamento numérico
dos problemas de variáveis restritas, como é o caso do contato e a imposição de deslocamentos
estáticos ou dinâmicos, solicitações presentes na nossa análise.
Num sentido físico o método de penalização impõe restrições aos graus de liberdade mediante a adição de elementos de grande rigidez wpen associados aos graus de liberdade aos que
querem-se impor as restrições. Ao adicionar estes elementos dentro da diagional principal da
43
matriz de rigidez global K da estrutura consegue-se um desacoplamento artificial devido a que
os termos de rigidez da estrutura perdem importância relativa.
A força necessária para deslocar o nó na direção de interesse f pen é igual à rigidez da mola
adicionada multiplicada pelo deslocamento imposto u p .
f pen = wpenu p
(2.82)
no caso estático. No caso dinâmico o deslocamento é função do tempo t, assim, analogamente,
f pen (t) = wpenu p (t).
(2.83)
A Equação de rigidez global da estrutura toma a seguinte forma quando um deslocamento é
imposto ao grau de liberdade global j, assim tem-se:








f1
u1 
k1 j
. . . k1n  




 k 11 . . .













.
.
.
.




.
 ..



.
.
..
..  




.
.








 











 k 11
k j j + wpen
k 1n   u j  =  wpenu p (t) 







 .
..
.. 
..  




..




.



. . 
.
.




 .


















 k




f
u
.
.
.
k
.
.
.
k

n
n
11
n
j
nn
  


(2.84)
A Figura 2.13 mostra a interpretação física do método de penalização. O nó m da estrutura
tem dois graus de liberdade translacionais um e vm , o primeiro na direção horizontal e o segundo
na direção vertical. Duas molas de rigidez elevada wpen são vinculadas ao nó. Observe-se que
um dos extremos de ambas-as molas é fixo. Um deslocamento é imposto ao nó de interesse com
n
componentes um
p e u p como na Figura 2.13.
160x45
unp
wpen
um
p
Y
m
wpen
X
Figura 2.13: Imposição de deslocamentos pelo método de penalização.
Seleção do número de penalização A principal desvantagem do método de penalização é
a alta sensibilidade à escolha do valor de penalização wpen . Quando o valor da penalização
tende ao infinito o valor de deslocamento obtido ao resolver as equações de equilíbrio coincide
44
com o deslocamento imposto u p , porém ao aumentar o valor da penalização a matriz de rigidez
torna-se mal condicionada, dificultando a sua inversão. Por outro lado, um valor pequeno de
penalização não oferece resultados precisos. Existe uma regra para a determinação do valor
de penalização, se o maior valor dos elementos que compõem a matriz de rigidez global é da
ordem de 10n e o número de dígitos decimais manipulados pelo computador é k, então o valor
de penalização deve ser da seguinte ordem, Felippa (2014)
wpen ≈ 10(n+k/2)
Método de penalização em análise dinâmica
(2.85)
Fisicamente ao adicionar uma mola de grande
rigidez e liga-la a um nó que concentra uma quantidade pequena de massa a frequência natural
associada a qualquer grau de liberdade de movimento teria um valor muito alto, introduzindo
um efeito desestabilizador na solução das equações dinâmicas não lineares. Para garantir a
estabilidade numérica dos esquemas de integração implícitos um amortecimento numérico ou
um amortecimento estrutural proporcional à matriz de rigidez deve ser considerado, Mourelle
(1993).
2.5.2.2
Condição de impenetrabilidade
Para a modelagem do contato unidirecional a cota do solo marinho é conhecida, além disso,
a cada incremento de força seja no caso estático ou dinâmico a posição dos nós é conhecida.
Deve-se pelo tanto calcular a distância do nó até o solo durante toda a análise.
Quando a variável g, que mede a diferença entre a altura do nó e a cota vertical do solo,
toma um valor negativo o nó penetrou no solo marinho. Uma vez que houve penetração deve-se
ativar a restrição de contato. Esta restrição impede que o nó penetre no solo adicionando uma
mola de rigidez k s e uma força de reação qs igual a
qs = u p k s n̂
(2.86)
onde u p é a distância de penetração do nó. Quando se trabalha com um solo rígido o valor de k s
deve ser muito alto. A Figura 2.14 mostra um nó da viga que penetrou dentro do solo marinho,
a continuação uma mola de rigidez k s é adicionada ao sistema e uma força qs é aplicada para
conseguir deslocar o nó que penetrou até a superfície do solo marinho.
No caso de trabalhar com solos elásticos a rigidez das molas adicionadas equivale à rigidez
da fundação.
45
g>0
g<0
160x60
ks
Y
X
ps
Figura 2.14: Imposição da condição de impenetrabilidade no método de penalização.
2.5.2.3
Descolamento estrutura-solo
Se não houver colamento entre a estrutura e a fundação é importante simular o fenómeno de
separação entre a estrutura e o solo. Sabe-se que o solo não oferece força de tração à estrutura
quando a separação ocorre.
Para isso, além de monitorar se houve ou não penetração do nó na fundação, deve-se também
supervisionar se algumas molas estão sendo esticadas. Quando uma mola estiver trabalhando a
tração esta deve-se desativar.
Capítulo 3
MÉTODOS NUMÉRICOS E
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
Após a discretização por elementos finitos das equações que governam a resposta dinâmica
do riser, a equação de equilíbrio estático 2.18 e dinâmico 2.66, e tendo disponíveis as matrizes
de massa, amortecimento, rigidez e o vetor de cargas nodais externas, a equação 2.66 é integrada
diretamente através do tempo. Duas abordagens de integração direta são disponíveis: explicita
e implícita.
Os algoritmos explícitos de integração direta calculam a resposta no tempo t + ∆t usando a
história de resposta até o tempo t. Os vetores de deslocamento, velocidade e aceleração nodal
no tempo t + ∆t são calculados usando a resposta passada da estrutura.
Diferente que os algoritmos explícitos, os algoritmos implícitos calculam a resposta no
tempo t + ∆t usando a história de resposta até o próprio nível de tempo t + ∆t. A cada passo de
tempo ∆t um sistema de equações algébricas é resolvido para a obtenção da resposta, devido a
isto, os métodos implícitos são computacionalmente mais custosos que os métodos explícitos
que não requerem usualmente a inversão de matrizes.
Os métodos explícitos são apropriados para problemas classificados como sendo de propagação de ondas onde muitas frequências são excitadas simultaneamente. Os métodos implícitos
são recomendados para problemas onde a frequência de aplicação de carga é da mesma ordem
de grandeza que a frequência natural mais baixa da estrutura, problemas classificados como
sendo de dinâmica estrutural (Cook et al. , 2002).
Como a frequência de excitação das forças de interação fluido-estrutura é bem próxima das
frequências naturais mais baixas do riser, neste trabalho decidiu-se por usar um algoritmo de
integração implícita, especificamente o método de Newmark.
46
Capítulo 3. MÉTODOS NUMÉRICOS E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
3.1
47
Métodos numéricos
A análise estática de risers dispostos em catenária usando o método dos elementos finitos
fornece um sistema de equações algébricas não lineares. O método escolhido para resolver este
tipo de problema é o método de Newton-Raphson. Para resolver o problema de dinâmica de
risers o método de Newmark foi usado por razões de estabilidade numérica.
3.1.1
Método de Newmark
Newmark desenvolveu uma família de operadores de integração implícita no tempo para a
solução de problemas de dinâmica estrutural. Nestes operadores a lei de variação da aceleração
entre os tempos t e t + ∆t é controlada pelos parâmetros β e γ como será visto a seguir.
Expressando os vetores de deslocamento e velocidade mediante a expansão de Taylor multivariável tem-se
∆t 2
∆t 3 ...
Üt +
Ut + . . .
2
6
∆t 2 ...
= U̇t + ∆t Üt +
Ut + . . . .
2
Ut+∆t = Ut + ∆t U̇t +
U̇t+∆t
(3.1)
onde Ut , U̇t e Üt são o deslocamento, velocidade e aceleração, respetivamente, e o subscrito t
indica o instante de tempo onde os vetores são medidos.
...
∆t 2
Üt + β∆t 3 Ut
2
...
= U̇t + ∆t Üt + γ∆t 2 Ut .
Ut+∆t = Ut + ∆t U̇t +
U̇t+∆t
(3.2)
...
A terceira derivada Ut representa a taxa de variação temporal da aceleração dentro do intervalo ∆t. Assumindo que entre os tempos t e t + ∆t a terceira derivada é constante e igual
a
... Üt+∆t − Üt
U=
,
∆t
(3.3)
e ao introduzir a equação 3.3 nas equações 3.2 obtém-se a forma padrão da equação de Newmark:
Ut+∆t
!
1
= Ut + ∆t U̇t +
− β ∆t 2 Üt + β∆t 2 Üt+∆t
2
(3.4)
U̇t+∆t = U̇t + (1 − γ)∆t Üt + γ∆t Üt+∆t .
As equações 3.4 podem ser escritas como:
Üt+∆t = b1 (Ut+∆t − Ut ) + b2 U̇t + b3 Üt
U̇t+∆t = b4 (Ut+∆t − Ut ) + b5 U̇t + b6 Üt,
(3.5)
48
onde as constantes b1 a b6 são definidas por
b1 =
b4 = γ∆tb1
1
β∆t
2
b2 =
1
β∆t
b5 = 1 + γ∆tb2
b3 = β −
1
2
(3.6)
b6 = ∆t(1 + γb3 − γ).
Introduzindo as equações 3.5 em 2.66 obtém-se a equação de equilíbrio dinâmico no tempo
t + ∆t, assim:
(b1 M + b4 C + K(Ut ))Ut+∆t = Pt+∆t + M(b1 Ut − b2 U̇t − b3 Üt ) + C(b4 Ut − b5 U̇t − b6 Üt ), (3.7)
A última equação pode ser escrita de forma mais compacta definindo a matriz de rigidez tangente efetiva K(U) como
K(Ut ) = b1 M + b4 C + K(Ut ),
(3.8)
e o vetor de forças externas efetivas P̄ à direita da equação 3.7
Pt+∆t = Pt+∆t + M(b1 Ut − b2 U̇t − b3 Üt ) + C(b4 Ut − b5 U̇t − b6 Üt ).
(3.9)
Assim tem-se um problema dinâmico não linear definido pelas seguintes equações:
K(Ut )Ut+∆t = Pt+∆t
(3.10)
Ut+∆t = K(Ut ) −1 Pt+∆t .
(3.11)
É importante ressaltar que a matriz de rigidez efetiva contém a matriz de rigidez tangente da
viga, a última adiciona a não linearidade geométrica ao problema. Para resolver este problema
de dinâmica não linear deve-se calcular a cada passo de tempo a configuração de equilíbrio
dinâmico.
3.1.1.1
Algoritmo de solução
A seguir apresenta-se o esquema usado para a integração no tempo das equações dinâmicas.
1. Cálculos iniciais
1.1. Inicializar os parâmetros, vetores e matrizes: γ, β, U0 , U̇0 , Ü0 , P0 , M, C e K(U0 )
1.2. Obter o vetor de aceleração nodal inicial Ü0 utilizando
Ü0 = M−1 [P0 − CU̇0 − K(U0 )U0 ].
(3.12)
49
1.3. Escolher o passo de tempo ∆t, este pode ser constante ou variável. Neste trabalho o
passo de tempo foi considerado a ser uma constante.
1.4. Calcular as matrizes A e B
γ
1
M + C;
A=
β∆t
β
!
1
γ
B=
M + ∆t
− 1 C.
2 β∆t
2β
(3.13)
2. Cálculos a cada passo de tempo i = 0, 1, 2 . . . n onde n é o número total de passos de
tempo usado para discretizar o tempo total de analise Ttot de simulação com n = Ttot /∆t
2.1. Calcular o vetor incremental de forcas efetivas ∆Pi usando a equação 3.9:
∆P̄i = (Pi+1 − Pi ) + AU̇i + BÜi .
(3.14)
2.2. Calcular a matriz de rigidez tangente K(Ui ) baseando-se em Ui
2.3. Montar a matriz de rigidez efetiva baseando-se na equação 3.8:
K(Ui ) =
γ
γ
M+
C + K(Ui ).
β∆t
β(∆t) 2
(3.15)
2.4. Resolver o sistema de equações não lineares usando o método de Newton-Raphson
que será apresentado na próxima secção
K(Ui )∆Ui = ∆Pi
(3.16)
∆Ui = K(Ui ) −1 ∆Pi .
2.5. Cálculo das velocidades e acelerações incrementais
!
γ
γ
γ
∆U̇i =
∆Ui − U̇i + ∆t 1 −
Üi,
β∆t
β
2β
γ
1
1
∆Üi =
∆Ui −
U̇i +
Üi .
2
γβ
2β
β(∆t)
(3.17)
2.6. Cálculo das velocidades e acelerações no tempo i + 1
Ui+1 = Ui + ∆Ui ;
U̇i+1 = U̇i + ∆U̇i ;
Üi+1 = Üi + ∆Üi .
(3.18)
2.7. Substituir os vetores com subscrito i por i + 1 e repetir desde o passo 2.1.
3.1.2
Método de Newton-Raphson
Na análise de estruturas com comportamento linear a matriz de rigidez tangente é calculada
e fatorizada uma única vez devido a que esta é independente do vetor de deslocamentos. Em
50
análise estrutural não linear a matriz de rigidez tangente depende dos deslocamentos e para
resolver este tipo de problema uma linearização baseada na expansão de Taylor deve ser realizada, equação 2.18.
Para um incremento de força ∆P a força interna Q apresenta um erro respeito da força
externa P quando deveria ser igual a força externa P e o equilíbrio não é satisfeito. Para atingir
a configuração de equilíbrio é necessário usar um método incremental-iterativo. O método
implementado neste trabalho é o de Newton-Raphson.
Existem duas versões do método de Newton-Raphson: a convencional, ver Figura 3.1, e a
modificada, ver Figura 3.2. No esquema modificado a matriz de rigidez tangente é calculada
e fatorizada uma única vez, ao começo de cada incremento de carga, diferente que o método
convencional que atualiza a matriz de rigidez tangente a cada iteração.
Na análise dinâmica a não linearidade da matriz de rigidez efetiva, equação 3.8, é reduzida
em virtude dos termos de massa e amortecimento. Pode-se observar que a matriz de massa
dividida pelo quadrado do passo de tempo é muitas ordens de magnitude maior do que a matriz
de rigidez tangente a qual introduz a não linearidade na equação de equilíbrio, ver equação 3.19,
Chopra (1995).
M
1
K(U)
β(∆t) 2
(3.19)
Dito isto o método de Newton-Raphson modificado foi escolhido para sua aplicação neste trabalho. Este esquema não afeta a acurácia da solução pois apesar de requer um número maior de
iterações por incremento de carga a não linearidade é reduzida pelo passo de tempo ∆t.
3.1.2.1
Algoritmo de solução
No esquema incremental usado para a solução das equações dinâmicas busca-se, a cada
incremento de forca efetiva ∆P, obter o incremento dos deslocamentos globais ∆U. O vetor de
deslocamentos globais é obtido somando-se progressivamente os incrementos de deslocamentos
obtidos a cada incremento de carga. Entre os tempos t e t +∆t um número de iterações são feitas
para atingir o equilíbrio dinâmico e os incrementos no vetor de deslocamentos obtidos em cada
iteração são então δU. O somatório destes incrementos de deslocamento obtidos nas iterações
da como resultado o incremento total de deslocamento para um incremento de força efetiva.
No algoritmo o contador para as iterações é j = 0, 1, 2, . . . m cujo domínio está entre i e i +1,
correspondente aos tempos t e t + ∆t. O número de iterações necessárias depende do grau de
precisão com o que se trabalha, este conceito será comentado a seguir. O contador j é indicado
como um sobrescrito nos vetores, por exemplo U21 significa que se está operando no segundo
intervalo de tempo e executando-se a primeira iteração. O algoritmo se explica a seguir:
1. Inicialização das variáveis, contador j = 0
51
j
1.1. Inicializar o vetor de deslocamentos usado nas iterações Ui+1
0
Ui+1
= Ui
(3.20)
1.2. Inicializar o vetor de forças internas usado nas iterações Q j
Q0 = Qi
(3.21)
1.3. Inicializar o vetor de carga residual ∆R j
∆R j = ∆P̄i
(3.22)
1.4. Calcular a matriz de rigidez efetiva K T no inicio das iterações, esta matriz é calculada uma única vez ao principio de cada incremento de carga i
KT = Ki
(3.23)
2. Cálculos para cada iteração j = 1, 2, 3, . . . m
2.1. Resolver o sistema linearizado, equação 3.16
−1
∆U j = K T ∆R j
(3.24)
2.2. Somar os incrementos de deslocamento ∆U j para obter o vetor de deslocamentos
atual
j
j−1
Ui+1 = Ui+1 + ∆U j
(3.25)
2.3. Calcular o vetor de forças internas efetivo ∆Q j
∆Q j = Q j − Q j−1 + (K T − K i )∆U j
(3.26)
2.4. Recalcular o vetor de forças residuais efetivas ∆R j+1
∆R j+1 = ∆R j − ∆Q j
(3.27)
3. Substituir o sobrescrito j por j + 1 e repetir os passos desde 2.1 até atingir o grau de
precisão prescrito, ver secção 3.1.3.2.
Para o caso das forças dependentes das deformações, forças não conservativas, o método
de Newton-Raphson também pode ser utilizado. Neste caso o vetor incremental de forças
160x70
P
1
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
1
(1)
(2)
(1)
U
Figura 3.1: Método de Newton-Raphson convencional.
160x70
P
1
(3)
(3)
(2)
(2)
(3)
(2)
(1)
1
(1)
(1)
U
Figura 3.2: Método de Newton-Raphson modificado.
160x70
P
(2)
(3)
(3)
(1)
(2)
1
(1)
1
(2)
1
(3)
(1)
(2)
(1)
U
Figura 3.3: Método de Newton-Raphson para forças seguidoras.
52
53
externas ∆P é função dos deslocamentos U, pelo tanto a cada incremento de deslocamento deve
se recalcular o vetor de forças externas até atingir o equilíbrio como se mostra na Figura 3.3.
No caso de forças dependentes da deformação usualmente a magnitude se mantém constante e
só varia o ângulo de inclinação.
3.1.3
Critérios de convergência e estabilidade
Na solução computacional de problemas estruturais utilizando métodos numéricos é necessário definir tolerâncias ao erro numérico que será obtido. A convergência da solução obtida por
técnicas incrementais ou iterativas deve ser declarada após a verificação de se o erro é menor
do que a tolerância prescrita. O erro pode ser medido de diferentes formas como será visto a
seguir, antes será discutida a estabilidade numérica.
3.1.3.1
Estabilidade numérica
Como foi comentado na secção 3.1.1 o esquema de integração de Newmark com valores de
parâmetros γ = 1/2 e β = 1/4 é incondicionalmente estável para o caso de estruturas lineares.
Para a análise dinâmica não linear, no entanto, este esquema sofre instabilidades numéricas,
Chopra (1995).
A discrepância entre a resposta obtida pelo método de Newmark e a resposta obtida analiticamente pode ser quantificada ao medir a amplitude para qualquer tempo t e ao periodo para
um mesmo ciclo de resposta. Na análise dinâmica não linear, ao escolher um grande passo
de tempo ∆t o erro de discrepância vai se somando a cada incremento de carga até que o erro
acumulado cresça indefinidamente . Por isto é necessário escolher um passo de tempo suficientemente pequeno para garantir a estabilidade do algoritmo e suficientemente grande para poupar
tempo computacional.
A escolha do passo de tempo deve considerar os seguintes parâmetros:
• tipo do carregamento;
• propriedades estruturais;
• densidade de malha;
• esquema de solução empregado;
• frequências de interesse.
Como o método de Newmark não considera amortecimento numérico, neste trabalho foi
considerado a introdução de amortecimento estrutural para fins de estabilidade numérica. É
importante ressaltar que os risers são submetidos a dois tipos de amortecimento: um devido à
54
interação com o fluido e o outro devido às forças intermoleculares da estrutura, sendo que o
primeiro é mais significativo.
3.1.3.2
Critérios de convergência
A aplicação do método de Newton-Raphson requer a especificação de uma tolerância ao
erro numérico dentro da qual a convergência é declarada. No caso de uma análise dinâmica
não linear é importante definir uma tolerância adequada já que a resposta da estrutura no tempo
t + ∆t é altamente dependente da história de resposta nos tempos passados, Bathe (1982).
Na Figura 3.1 uma vez garantida a convergência, os valores de incrementos de deslocamentos
e forças residuais em cada iteração se fazem cada vez mais pequenos, podendo ser usados
para estabelecer o critério de detenção do algoritmo. Os dois critérios de convergência mais
utilizados são apresentados a seguir.
Convergência por deslocamentos Este critério é baseado na definição de um parâmetro e
é declarado como
k∆Ua k
<
P
k aj=1 Uk
(3.28)
onde:
• k∆Ua k é a norma euclidiana dos incrementos de deslocamentos na iteração atual a;
• k
Pa
j=1 Uk
é a norma euclidiana do somatório dos incrementos de deslocamento até a
iteração atual a;
• representa o valor da tolerância a ser especificada para a análise, e. g. = 0, 001.
Este critério de convergência pode não ser satisfatório quando as unidades dos graus de
liberdade são diferentes, como é o caso neste trabalho onde graus de liberdade translacionais e
rotacionais são considerados. A convergência não poderia-se atingir devido a que os valores das
translações são de uma ordem de grandeza maior do que as rotações. A norma pode convergir
mas ainda pode ter erro nos graus de liberdade rotacionais, Chopra (1995).
3.1.3.3
Convergência da energia
Para garantir que os graus de liberdade rotacionais e translacionais convergiam ao mesmo
tempo a convergência da energia e usada
k(∆Ra )T ∆Ua k
<
P
a
k(∆F̄ )T aj=1 Uk
onde:
(3.29)
55
• k(∆Ra )T ∆Ua k é a norma euclidiana do produto do vetor residual ∆Ra com o vetor ∆Ua
na iteração atual a,
a
a
• k(∆F )T ∆Uk é a norma euclidiana do produto do vetor de força incremental efetiva, ∆F ,
P
com o somatório dos deslocamentos incrementais, aj=1 U, obtidos até a iteração atual a.
Neste trabalho o critério de convergência da energia foi considerada, normalmente declaradase após 2 o 3 iterações.
3.2
Implementação da ferramenta computacional
A análise por elementos finitos de risers é composta de três fases: pré-processamento, processamento e pós-processamento. No pré-processamento são definidos os parâmetros de discretização do contínuo e os parâmetros estruturais, também são inicializados e criados os vetores
e as matrizes para armazenamento da informação dos elementos finitos. No processamento
são feitas as iterações e as inversões de matrizes necessárias na análise. Já na fase de pósprocessamento se calculam diversas grandezas tais como: reações, forças internas, tensões,
deformações, etc.
A ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho para análise estática e dinâmica
bidimensional de risers dispostos em catenária, é chamada de FLEXOL. Esta ferramenta é composta basicamente de três módulos os quais são apresentados a seguir.
3.2.1
Módulo estático: GenoES
O módulo estático determina a configuração estática de vigas com não linearidades geométricas sujeitas às cargas descritas no Capítulo 2 e condições de contorno fixas. O esquema de
determinação da configuração de equilíbrio estático é apresentada nas Figuras 3.4 e 3.5.
O módulo estático do FLEXOL, chamado de GenoES, é baseado no método de NewtonRaphson aplicado à solução de sistemas não lineares com múltiplos graus de liberdade. Como
mostra a Figura 3.5 neste módulo são controlados os incrementos de carga ∆P. Para cada um
destes incrementos de carga o equilíbrio é atingido através de iterações. O equilíbrio pode ser
atingido usando o método convencional ou modificado de Newton-Raphson. A fase incremental
do módulo estático é chamada de NLSS01 e a fase iterativa é chamada de NLSS02. Estes blocos
de código também são usados nos módulos de simulação de contato e análise dinâmica.
O módulo GenoES pode ser utilizado para impor forças e deslocamentos em qualquer nó
da estrutura, os deslocamentos são impostos mediante o método de penalização. Neste módulo
não é considerado o caso das cargas seguidoras nem o contato.
3.2.2
56
Módulo de contato: GenoCES
O módulo GenoCES resolve problemas estáticos de contato unidirecional entre uma viga
geometricamente não linear e uma fundação horizontal do tipo Winkler. GenoCES está baseado no módulo GenoES. O módulo de contato comparte o mesmo pré-processador com o
módulo GenoES, tendo que se adicionar a informação sobre a rigidez do solo e a profundidade
deste.
Como se observa na Figura 3.6 a cada incremento de carga é verificado se há nós que estão
penetrando o solo ou se há molas que estão sendo esticadas. Quando alguma destas situações
ocorre as condições de contorno mudam e os vetores de força incremental e de força externa
global são modificados.
No caso da modelagem do solo como um corpo rígido deverá-se adicionar valores de penalização muito altos. Para o caso da modelagem de solos elásticos lineares a força interna
das molas e a rigidez destas deverá ser adicionado também. Já no caso geral do uso de molas
cujo comportamento é definido por curvas P-y (pressão vs. penetração) devem se adicionar as
funções da força interna e as derivadas destas que representam a rigidez tangente das molas. O
módulo pode resolver estas dois não linearidades: a não linearidade da mola e o contato fazendo
uso do GenoES.
3.2.3
Módulo dinâmico: GenoDIS
O módulo GenoDIS faz uma análise dinâmica de risers dispostos em catenária com comportamento gometricamente não linear usando o esquema de integração de Newmark. Este
módulo usa o modelo de amortecimento proporcional proposto por Rayleigh. Os parâmetros de
proporcionalidade são inseridos na fase de pré-processamento como mostra a Figura 3.7.
GenoDIS resolve problemas com condições de contorno lineares e forças conservativas.
A imposição de forças e deslocamentos variantes no tempo pode ser feita por meio de dados
tabulares ou funções continuas.
57
PreNLSS:
-Comprimento do riser L
GenoES
Vetores de
armazenamento:
-
-E, I, A
-Densidade do riser e os fluidos
-Perfil de velocidade da correnteza
Vetores de
armazenamento:
no sistema global
-Xnod, Ynod
Vetores de
armazenamento:
-Graus de liberdade a
serem eliminados
-Zdof
Vetores de
armazenamento:
externa P
-Vetor de deslocamentos U
-P, U
deslocamentos:
-Graus de liberdade carregados
-Tolerancia ao erro (Tol)
-
incremental Pinc
ProNLSS:
PROCESSAMENTO
GenoES
(Xnod, Ynod, U, E, I, A, P, Pinc,
Zdof, Tol, MaxIter,wpen)
Vetor de deslocamentos
atual U,
P
i=i+1
PosNLSS:
Xnod, Ynod e imprimir
Figura 3.4: Diagrama do pré-processamento no Solver estático GenoES.
GenoES
58
ProNLSS:
Dados: Xnod, Ynod, U, E, I, A, P,
Pinc, Zdof, Tol, MaxIter
w=0
Dados dos elementos:
PROCESSAMENTO
GenoES
Rnorm > Tol
w < MaxIter
0
L0
sim
do elemento: L,
Calcular matriz de
rigidez tangente: K
l
Calcular vetor de
Q
Zdof
de contorno: Kbc
Calcular matriz de
rigidez tangente: K
de contorno: Kbc
Calcular:
Zdof
Calcular: Ubc=Ubc+
Zdof
U
Atualizar P: P=P+Pinc
elemento: L,
l
Calcular vetor de
Qiter
Calcular: Ubc=Ubc+
U
Zdof
Calcular vetor de
residual: Riter=Qiter-P
elemento: L,
l
Rnorm=
norma(Riterbc)
Zdof
Calcular vetor de
Q
w=w+1
Calcular vetor de
residual: R=Q-P
Calcular Rnorm=
norma(Rbc)
Zdof
SOLVER
FASE INCREMENTAL
U, P
SOLVER
FASE ITERATIVA
Figura 3.5: Diagrama do processamento no Solver estático GenoES.
59
ProNLSSC:
PROCESSAMENTO
GenoCES
PreNLSS
(Xnod, Ynod, U, E, I, A, P, Pinc, Zdof,
Tol, MaxIter,wpen)
Vetor de deslocamentos atual: U,
i=i+1
molas ativas
(Qmolas >0)
sim
sim
Armazenar os GDL que penetraram
a cota do solo marinho e a
Armazenar os graus de liberdade
das molas a desativar
p
Desativar as molas adicionadas
Adicionar molas de rigidez wpen
atualizar
Pinc =0
atualizar
Pinc =upwpen
Ninc=1
NLSS02
(Xnod, Ynod, U, E, I, A, P, Pinc, Zdof,
Tol, MaxIter,wpen)
U, P
Figura 3.6: Diagrama do processamento no Solver de contato estático GenoCES.
60
PreNLDS:
GenoDIS
-Comprimento do riser L
-Densidade do riser e os fluidos
-Perfil de velocidade da correnteza
Vetores de
armazenamento:
-E, I, A
Vetores de
armazenamento:
no sistema global
-Xnod, Ynod
Vetores de
armazenamento:
-Graus de liberdade a
serem eliminados
-Zdof
(t)
externa inicial P0
Inicializar os vetores:
deslocamento U0
velocidade dU0
U(t)
-
span)
Calcular matriz de
massa: M
Calcular matriz de
amortecimento: C
Calcular matriz de
rigidez: K(U0)
Tolerancia da
energia:
Calcular matriz A
Calcular matriz B
Processamento do
Figura 3.7: Diagrama do pré-processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS.
61
ProNLDS:
PROCESSAMENTO
GenoDIS
para t=t0
span
Calcular vetor de
(t)
Incremento atual do vetor
t
Calcular vetor de
(t)
t
Calcular vetor de
eff(t)
elemento: L,
Vetor atual de
deslocamentos: U
l
Vetor atual de
velocidades: dU
Calcular vetor de
Vetor atual de
Calcular matriz de
rigidez tangente: K
de contorno: Kbc
Zdof
Calcular matriz de rigidez
tangente effetiva: Keff
t
taxa de energia:
sim
o
SOLVER
FASE ITERATIVA
Figura 3.8: Diagrama do processamento no Solver dinâmico não linear GenoDIS.
Capítulo 4
VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA
COMPUTACIONAL
Os resultados fornecidos pelos distintos módulos de análise que compõem FLEXOL serão validados por comparação com resultados analíticos e numéricos disponíveis na literatura.
Neste capítulo os módulos: GenoES, para simulação estática; GenoCES, para simulação do
contato e GenoDIN, para simulação dinâmica não linear, serão avaliados. Busca-se avaliar o
desempenho numérico do elemento de viga plano geometricamente não linear obtido usando a
formulação co-rotacional.
4.1
Validação do módulo estático GenoES
A validação do módulo GenoES foi feita ao simular os seguintes problemas:
• Viga engastada com carga vertical aplicada no extremo livre;
• viga engastada com momento aplicado no extremo livre.
4.1.1
Viga engastada com carga vertical aplicada no extremo livre
O problema de grandes deslocamentos de uma viga engastada submetida a uma carga transversal no extremo livre tem sido estudado por diferentes autores, entre eles Bisshopp & Drucker
(1945) e Mattiasson (1981). Este problema é um dos testes mais usados na avaliação de programas de análise de vigas com não linearidades geométricas.
A Figura 4.1 mostra a viga a ser analisada e a Tabela 4.1 apresenta os parâmetros de simulação. As configurações intermediárias correspondentes a cada incremento de força se mostram
na Figura 4.2. Os resultados analíticos fornecidos em Mattiasson (1981) são comparados com
os resultados da simulação na Tabela 4.2. A comparação foi feita a força adimensional F ∗ e os
62
63
Capítulo 4. VALIDAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL
deslocamentos do extremo livre u∗ e v ∗ adimensionais, as quais são definidas como:
F∗ =
F L2
EI
(4.1)
u
L
v
v∗ =
L
u∗ =
(4.2)
(4.3)
onde os valores dos parâmetros E, I e L são dados na Tabela 4.1. As variáveis u e v são as
projeções horizontal e vertical do vetor de deslocamento do nó no extremo livre. A configuração
inicial da viga é uma linha horizontal e está livre de deformações.
160x45
F
E, I, A
L
Figura 4.1: Viga engastada com força aplicada no extremo livre.
Tabela 4.1: Parâmetros da simulação estática da viga engastada Ex. 01.
Parâmetros
geométricos
Parâmetros de
discretização
Parâmetro
Valor
Comprimento (in)
100
Área (in2 )
1
Inercia (in4 )
Módulo de elasticidade (psi)
Número de nós
Número de elementos
Tipo de elementos
8, 3333 × 10−2
30
33
32
Euler-Bernoulli
Tolerância
Parâmetros do
Número de incrementos
esquema numérico
Máximo número de iterações
1 × 10−4
26
100
As Figuras 4.3a e 4.3b apresentam a relação entre a carga adimensional F ∗ aplicada incrementalmente e os deslocamentos adimensionais u∗ e v ∗ variando incrementalmente.
A Figura 4.3b mostra que nos primeiros incrementos de carga a curva de força vs. deflexão
é aproximadamente linear e com o aumento da força o comportamento deixa de ser linear, fato
64
0
−10
−20
X [in]
−30
−40
−50
−60
−70
Configuração
final
−80
0
20
40
60
80
100
Y [in]
Figura 4.2: Viga engastada com força vertical no extremo livre: configurações de equilíbrio
intermediárias a cada incremento de carga.
FLEXOL
Mattiasson (1981)
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0.2
0.4
u*
(a) F ∗ vs. u∗
FLEXOL
Mattiasson (1981)
9
F*
F*
9
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
u*
(b) F ∗ vs. v ∗
Figura 4.3: Força transversal adimensional F ∗ versus deslocamentos adimensionais u∗ e v ∗ do extremo
livre.
65
que coincide com a teoria linear de flexão de vigas. A rigidez da viga aumenta com o incremento
da carga em uma análise geometricamente não linear.
Tabela 4.2: Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do extremo livre
da viga engastada.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Mattiasson (1981)
FLEXOL
Passo de carga i
F∗
u∗
v∗
F∗
u∗
v∗
0
0.3846
0.7692
1.1538
1.5385
1.9231
2.3077
2.6923
3.0769
3.4615
3.8462
4.2308
4.6154
5.0000
5.3846
5.7692
6.1538
6.5385
6.9231
7.3077
7.6923
8.0769
8.4615
8.8462
9.2308
9.6154
10.000
0
0.0096
0.0356
0.0717
0.1120
0.1527
0.1948
0.2276
0.2633
0.2910
0.3204
0.3437
0.3679
0.3876
0.4077
0.4260
0.4410
0.4566
0.4710
0.4842
0.4964
0.5070
0.5180
0.5282
0.5377
0.5467
0.5552
0
0.12610
0.24098
0.33855
0.41822
0.48228
0.53759
0.57550
0.61190
0.63791
0.66295
0.68173
0.69978
0.71390
0.72744
0.73922
0.74864
0.75801
0.76634
0.77378
0.78050
0.78633
0.79208
0.79735
0.80218
0.80667
0.81085
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
0
0.00265
0.01035
0.02249
0.03817
0.05643
0.07640
0.09732
0.11860
0.13981
0.16064
0.20996
0.25442
0.29394
0.32894
0.35999
0.38763
0.41236
0.43459
0.45468
0.47293
0.48957
0.50483
0.51886
0.53182
0.54383
0.55500
0
0.06636
0.13098
0.19235
0.24945
0.30172
0.34901
0.39147
0.42941
0.46326
0.49346
0.55566
0.60325
0.64039
0.66996
0.69397
0.71379
0.73042
0.74457
0.75676
0.76737
0.77670
0.78498
0.79239
0.79906
0.80510
0.81061
Na tabela 4.2 os valores incrementais fornecidos em Mattiasson (1981) no coincidem com
os calculados pelo FLEXOL devido o autor usa passos de carga diferentes.
4.1.2
Viga engastada com momento aplicado no extremo livre
Um momento concentrado é aplicado no extremo livre da viga engastada apresentada na
Figura 4.4 Os parâmetros E, I e A são dados na Tabela 4.1.
66
160x45
E, I, A
M
L
Figura 4.4: Viga engastada com momento aplicado no extremo livre.
O momento ao longo do comprimento da viga é constante. De acordo com a teoria de vigas
de Euler-Bernoulli o momento fletor e o raio de curvatura ρ se relacionam por
1
M
=
ρ EI
(4.4)
O raio de curvatura de uma viga que flexiona formando um circulo completo é
ρ=
L
2π
(4.5)
e o momento necessário para que a viga com grandes deslocamentos feche um circulo completo
é
M=
2πEI
.
L
(4.6)
A expressão adimensional para o momento aplicado é
M∗ = n
ML
2πEI
(4.7)
onde n é o número de voltas a serem impostas na viga não linear. Os deslocamentos são também
adimensionalizados através das equações 4.2 e 4.3. A Figura 4.5 mostra as configurações de
equilíbrio intermediárias correspondentes aos incrementos de carga. Foram impostas três voltas
da viga com os mesmos parâmetros de simulação do caso anterior.
As curvas de momento adimensional versus deslocamentos horizontal e vertical se mostram nas Figuras 4.6a e 4.6b. Os deslocamentos do extremo livre da viga em análise obtidos
analiticamente são dados a seguir:
sin θ(x)
u(x) = x
−1
θ(x)
!
cos θ(x)
v(x) = x 1 −
θ(x)
!
(4.8)
(4.9)
67
0
−10
−20
X [in]
−30
−40
−50
−60
−70
Configuração
final
−80
−20
0
20
40
60
80
Y [in]
Figura 4.5: Configurações de equilíbrio intermediarias a cada incremento de momento.
θ(x) =
Mx
EI
(4.10)
onde θ(x) é o ângulo de rotação da secção transversal da viga. A comparação entre resultados
numéricos e analíticos é dada na Tabela 4.3.
Este experimento numérico serviu para avaliar a robustez do código frente à imposição de
forças que produzem grandes deslocamentos.O código é robusto ainda quando quatro elementos
de discretização são usados para fazer uma volta completa tal como mostra a Figura 4.7. O
código é estável na presença de grandes rotações.
68
Tabela 4.3: Comparação entre resultados analíticos e numéricos para o deslocamento do extremo livre.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Analítico (eq. 4.8-4.10)
FLEXOL
Passo de carga i
M∗
ku∗ k
v∗
M∗
ku∗ k
v∗
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1
0
0.1415
0.4953
0.8906
1.1560
1.2124
1.1041
0.9531
0.8736
0.9043
1
1.0784
1.0845
1.0254
0.9551
0.9287
0.9607
1.0195
1.0567
1.0458
1
0
0.4373
0.6945
0.6903
0.4802
0.2124
0.0338
0.0074
0.0918
0.1877
0.2130
0.1538
0.0614
0.0040
0.0146
0.0713
0.1211
0.1231
0.0781
0.0233
0
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1
0
0.1416
0.4954
0.8907
1.1559
1.2122
1.1039
0.9532
0.8739
0.9046
1
1.0780
1.0841
1.0252
0.9555
0.9293
0.9610
1.0193
1.0561
1.0452
1
0
0.4374
0.6945
0.6900
0.4799
0.2122
0.0338
0.0074
0.0916
0.1872
0.2122
0.1532
0.0611
0.0040
0.0145
0.0707
0.1200
0.1218
0.0772
0.0230
0
69
1
1
FLEXOL
Mattiasson
(1981)
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.5
Mattiasson
(1981)
0.5
0.4
0
FLEXOL
0.9
M*
M*
0.9
0
1
0
0.2
|u*|
0.4
0.6
v*
(a) M ∗ vs. ku∗ k
(b) M ∗ vs. : v ∗
Figura 4.6: Momento adimensional concentrada M ∗ versus deslocamentos nodais adimensionais ku∗ k e
v ∗ medidos desde o extremo livre da viga na configuração inicial.
0
−10
−20
X [in]
−30
−40
−50
−60
−70
Configuração
final
−80
−20
0
20
40
60
80
Y [in]
Figura 4.7: Viga discretizada com quatro elementos e submetida a um momento concentrado no
extremo livre.
70
4.2
Validação do módulo de contato GenoCES
O algoritmo implementado resolve problemas de contato unidirecional utilizando o método
de penalização. O algoritmo de contato implementado foi avaliado com a solução dos quatro
problemas a seguir.
• Estrutura anelar flexível em contato com anteparo rígido;
• viga engastada em contato com suportes no meio e no extremo livre;
• viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler com carga concentrada;
• viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler com carga distribuída.
4.2.1
Estrutura anelar flexível contra anteparo rígido
Este problema, também estudado por Simo et al. (1986), consiste em uma estrutura anelar
elástica de secção transversal quadrada que está sendo comprimida contra um anteparo rígido,
tal como mostra a Figura 4.8a. Devido à simetria estrutural trabalhou-se com uma metade,
variando as condições de contorno e a magnitude da carga, vide modelo na Figura 4.8b. O
algoritmo de contato na direção vertical foi testado.
Os parâmetros da simulação são apresentados na Tabela 4.4, a força vertical aplicada no nó
1 é igual a 10000 N, equivalente a uma força adimensional de 4.
As configurações intermediárias obtidas na análise são mostradas na Figura 4.9, As configurações em linha tracejada indicam que um nó penetrou no anteparo rígido e que o algoritmo
corrigiu esta posição pelo método de penalização. O diagrama de força adimensional F ∗ versus
o deslocamento vertical do nó 1 se mostra na Figura 4.10. Os resultados obtidos com o módulo
GenoCES aproximam-se muito bem aos resultados publicados em Simo et al. (1986).
80x60
80x60
F/2
F
1
.1m
R0
Y
R0
.1m
Y
37
X
X
(a)
(b)
Figura 4.8: Estrutura anelar apoiada sobre um anteparo rígido.
71
Tabela 4.4: Parâmetros da simulação estática da estrutura anelar.
Parâmetros
geométricos
Parâmetros de
discretização
Parâmetros do
esquema numérico
Parâmetro
Valor
Raio (m)
0,1
Área (m2 )
3 × 10−4
Inércia (m4 )
2, 5 × 10−9
Módulo de elasticidade (Pa)
Número de nós
Tipo de elemento
1 × 1010
37
36
Euler-Bernoulli
Tolerância
1 × 10−4
20
100
Configuração
final
0.2
Y [m]
0.15
0.1
0.05
0
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
X [m]
Figura 4.9: Posições de equilíbrio intermediárias da estrutura anelar para diferentes incrementos de
carga.
4.2.2
Viga engastada com suportes rígidos intermediários
No seguinte exemplo é avaliado o módulo GenoCES na simulação do descolamento entre
uma estrutura flexível e um anteparo rígido. A viga tem módulo de elasticidade E = 2, 5 ×
1010 Pa, momento de inércia I = 2, 5 × 10−9 m4 , área A = 3 × 10−4 m2 e comprimento L = 2m.
Tem-se uma viga engastada e dois suportes rígidos embaixo dela, os suportes se encontram
na metade e no extremo livre da viga, tal como mostra a Figura 4.11. Ao aplicar incremental-
72
4
F*
3
2
FLEXOL
Simo et al. (1986)
1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
v [m]
Figura 4.10: Força adimensional aplicada no topo da estrutura anelar versus deslocamento vertical do
nó 1.
mente a carga F = 700 N o extremo livre da viga entra em contato com o suporte da direita e
após novos incrementos de carga a viga entra em contato com o suporte do meio e, finalmente,
com novos incrementos de carga, há descolamento entre a viga e o suporte direito, vide Figura
4.12 para a historia da deformação da viga. As linhas tracejadas mostram as configurações
onde teve penetração e separação de nós desde os suportes rígidos, que foram corrigidas pelo
GenoCES.
160x60
2m
1m
0.4m
E, I, A
0.1m
F
Figura 4.11: Viga engastada e suportes rígidos intermediários.
Os deslocamentos do ponto meio da viga e do extremo livre em função do incremento de
carga F são mostrados na Figura 4.13. A linha tracejada mostra o deslocamento do ponto meio
da viga composto por três segmentos de linhas retas, descritos a seguir: o primeiro segmento,
corresponde à variação linear enquanto a viga trabalha como simplesmente engastada; o segundo segmento se dá após a viga entrar em contato com o suporte da direita, a viga trabalha
com um engaste e um apoio simples; o terceiro segmento representa o estado no qual a viga
entra em contato com o suporte do meio que funciona como um suporte pivotante, até a viga se
descolar do suporte direito.
73
Com o extremo direito da viga ocorre o mesmo, a relação força-deslocamento é linear até
entrar em contato com o suporte rígido da direita, logo permanece fixo até aparecer o descolamento. Através da historia de deformação as relações força-deslocamentos são quase lineares.
0.02
Configuração
final
0
−0.02
Y [m]
−0.04
−0.06
−0.08
−0.1
−0.12
−0.14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
X [m]
Figura 4.12: Configurações de equilíbrio intermediarias da viga para diferentes incrementos de carga.
0.05
Contato com o
suporte da direita
v [m]
0
v(L/2) Ponto meio
v(L) Extremo livre
Contato com o
suporte do meio
−0.05
−0.1
−0.15
Descolamento do
suporte da direita
0
100
200
300
400
500
600
700
F [N]
Figura 4.13: Deflexão da viga versus força aplicada.
4.2.3
Viga apoiada em fundação elástica tipo Winkler
O modelo mais usado para a interação de uma viga apoiada sobre uma fundação elástica é o
modelo de Winkler. A fundação consiste essencialmente em um arranjo de molas independentes afastadas por uma distancia infinitesimal. A rigidez do solo se expressa em termos de N/m
por unidade de comprimento, a rigidez das molas é, pelo tanto, a rigidez do solo multiplicada
pela separação das molas. Nos exemplos a seguir busca-se avaliar o desempenho do módulo
GenoCES para a solução de fundações tipo Winkler.
74
A validação dos resultados obtidos é feita baseando-se no trabalho de Kaschiev & Mikhajlov
(1995).
4.2.3.1
Viga sobre fundação elástica com força vertical
Neste exemplo tem-se uma viga de comprimento L = 10m, área transversal A = 0, 0104m2 ,
módulo de elasticidade 2, 1×1011 Pa e inercia I = 0, 8817×10−4 m4 na qual é aplicada uma força
no meio do seu comprimento. O módulo de rigidez do solo é igual a k s = 2, 5×105 (N/m)(1/m).
A Figura 4.14a mostra a deformação da viga após a aplicação da carga e a Figura 4.14b mostra
a variação do momento fletor através da viga.
4
0.4
10
0.3
8
M [N m]
Y [m]
x 10
0.2
0.1
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
0
0
X [m]
(a) configurações final e intermediárias.
50
100
s [m]
(b) Momento fletor ao longo do
comprimento da viga.
Figura 4.14: Viga sobre fundação elástica com força vertical no meio.
4.2.3.2
Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento
Neste exemplo tem-se uma viga de comprimento L = 10 m com as mesmas propriedades
mecânicas do exemplo anterior. A viga é submetida a uma carga vertical no meio de valor igual
a 20 KN e a um momento de 220 KNm aplicado no mesmo ponto. As Figuras 4.15a e 4.15b
mostram a história de deformação da viga.
4.2.3.3
Viga sobre fundação elástica com carga distribuída, carga vertical e momento
Neste exemplo tem-se uma viga de comprimento L = 30 m com as mesmas propriedades
mecânicas do exemplo anterior e rigidez do solo igual a k s = 1, 5 × 106 (N/m)(1/m). A viga
é submetida as seguintes solicitações: força concentrada de 20 KNe momento concentrado de
200 KNm ambos aplicados a 24 m do extremo esquerdo e uma carga distribuída de variação
linear entre 5 KN e 10 KN, aplicada no trecho 7m e 12m. As Figuras 4.16a e 4.16b mostram a
historia de deformação da viga.
75
5
x 10
0.02
1.5
M [N m]
2
Y [m]
0.04
0
−0.02
1
0.5
−0.04
0
2
4
6
8
0
10
0
2
X [m]
4
6
8
s [m]
Figura 4.15: Viga sobre fundação elástica com força vertical e momento no meio.
4
−3
x 10
x 10
5
M [N m]
Y [m]
4
2
0
0
−5
−2
−10
−4
0
2
4
6
8
X [m]
10
0
2
4
6
8
s [m]
Figura 4.16: Viga sobre fundação elástica submetida a carregamento distribuído e pontual.
Os resultados obtidos são coerentes qualitativamente com esses publicados por Kaschiev &
Mikhajlov (1995). O módulo GenoCES simula corretamente os fenómenos de contato unilateral e descolamento.
4.2.3.4
Viga bi-engastada sobre fundação elástica submetida a carga uniformemente distribuída
Este problema foi resolvido analiticamente por ?, a expressão analítica para a deflexão vertical v(x) da viga bi-apoiada é
v(x) = exp k x (C1 cos k x + C2 sin k x) + exp−k x (C3 cos k x + C4 sin k x) +
q
ks
(4.11)
76
−6
0
x 10
−0.5
−1
−1.5
Y [m]
−2
−2.5
−3
−3.5
−4
−4.5
analìtico
FLEXOL
−5
0
1
2
3
4
5
X [m]
Figura 4.17: Deflexão da viga bi-engastada sobre fundação elástica de Winkler.
onde os parâmetros de C1 até C4 dependem das condições de contorno. O valor de k é definido
por:
r
k=
4
ks
.
4EI
(4.12)
A simulação numérica foi conduzida usando os parâmetros da Tabela 4.5. A viga foi discretizada em 100 elementos tipo Euler-Bernoulli e a Figura 4.17 mostra a deformação da viga. O
erro percentual entre os resultados analíticos, usando a equação 4.11, e os resultados da simulação, é apresentado na Figura 4.18. Observa-se um erro menor que 0,04%, validando o código
implementado.
Tabela 4.5: Parâmetros da simulação estática da viga bi-engastada sobre fundação elástica.
Parâmetro
Comprimento (m)
Módulo da seção
(Nm2 )
Rigidez do solo (N/m/m)
Magnitude do carregamento (N/m)
Variável
Valor
L
5
EI
1, 75 × 106
ks
q
2 × 107
100
77
0.02
Erro [%]
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
1
2
3
4
X [m]
Figura 4.18: Erro de deflexão da viga da Figura 4.17.
5
4.3
78
Validação do módulo dinâmico GenoDIS
O módulo GenoDIN baseado no esquema de integração direta implícita de Newmark é validado através de estudos comparativos com dados da literatura. Os exemplos de validação são
os seguintes:
• viga bi-engastada com carga impulsiva no ponto médio;
• viga engastada com carga no extremo livre tipo rampa;
• viga engastada com momento no extremo livre tipo rampa.
4.3.1
Viga bi-engastada com carga concentrada impulsiva
Este problema foi estudado por Rice & Ting (1993). A geometria da viga a ser analisada
se mostra na Figura 4.19. A Tabela 4.6 contem os parâmetros da simulação feita com FLEXOL.
Nas simulações o amortecimento não foi considerado.
F(t)
E, I, A
L
Figura 4.19: Viga engastada com força aplicada no ponto médio.
O perfil da carga aplicada F (t) no ponto médio da viga se mostra na Figura 4.20b. Um pulso
de carga com intensidade F = 2×104 lbf é aplicado no intervalo de tempo de t = 0s a t = 0, 02s.
A Figura 4.20a mostra as deformações que sofre a viga para diferentes tempos intermediários
t. A história de deslocamento do ponto médio da viga é mostrado na Figura 4.20c. Pode-se
observar que os resultados fornecidos por FLEXOL coincidem com os publicados por Rice &
Ting (1993). Na comparação só foram utilizados alguns pontos publicados por Rice & Ting
(1993) para não sobrecarregar a Figura.
4.3.2
Viga engastada com força tipo rampa no extremo livre
Este exemplo considera uma viga engastada sem amortecimento submetida a uma carga do
tipo rampa no extremo livre como mostra a Figura 4.21. Neste exemplo o comprimento da viga
muda para L = 120 in e os valores de E, I e A são iguais aos do exemplo anterior. A viga é
discretizada com 4 elementos e o passo de tempo utilizado foi de ∆t = 0, 001. A Figura 4.22b
mostra o perfil da carga em forma de rampa.
79
0.8
Configuração
final
0.6
0.4
Y [in]
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0
50
100
150
200
X [in]
(a) Historia de deformação.
4
2.5
x 10
2
F [lbf]
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
t [s]
(b) Historia da força impulsiva no ponto médio.
0.6
FLEXOL
Rice & Ting (1993)
0.4
v [in]
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
t [s]
(c) Historia da deflexão do ponto médio.
Figura 4.20: Resposta da viga bi-engastada submetida a carga impulsiva.
0.1
80
Tabela 4.6: Parâmetros da simulação dinâmica da viga bi-engastada
Parâmetros
geométricos
Parâmetro
Valor
Comprimento L (in)
240
Área A (in2 )
21,9
Inércia I (in4 )
100
Módulo de elasticidade E (psi)
30 × 106
2 2
Parâmetros do
esquema numérico
Parâmetros de
simulação
Densidade ρ ( lbfin4s )
4, 567 × 10−3
Número de nós
Tipo de elemento finito
Tempo total de simulação t total (s)
9
8
Elemento de Euler-Bernoulli
100
0,1 s
Passo de tempo ∆t (s)
1 × 10−3
Tolerância
1 × 10−4
160x45
F(t)
E, I, A
L
Figura 4.21: Viga engastada submetida a carga tipo rampa.
A Figura 4.22c mostra a história da deformação do extremo livre da viga obtida usando
FLEXOL. A Figura 4.22a mostra algumas configurações da viga para diferentes intervalos de
tempo. Os resultados obtidos com o código implementado são comparados satisfatoriamente
com os resultados fornecidos por Rice & Ting (1993), Antonio (2011) e Behdinan et al.
(1998).
A consideração do amortecimento na análise se mostra na Figura 4.23. O amortecimento
imposto é proporcional a rigidez com um fator de α = 0, 002.
4.3.3
Viga engastada com momento tipo rampa no extremo livre
Neste exemplo à mesma viga do exemplo anterior foi submetida a um momento no extremo
livre como mostra a Figura 4.24. O perfil do momento aplicado é em forma de rampa até atingir
o valor de momento que faz a viga completar uma volta, o qual é calculado como:
81
25
Configuração
final
Y [in]
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
X [in]
(a) Historia de deformação.
4
x 10
10
F [lbf]
8
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
(b) Força tipo rampa no extremo livre.
25
v [in]
20
15
10
FLEXOL
Rice & Ting (1993)
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
(c) História da deflexão do extremo livre.
Figura 4.22: Resposta da viga engastada submetido a uma força vertical tipo rampa no extremo livre.
82
25
v(L,t) [in]
20
15
10
5
Com amortecimento
Sem amortecimento
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
Figura 4.23: Resposta amortecida e não amortecida da viga da secção 4.3.3.
M=
2πEI
L
(4.13)
O momento aplicado em função do tempo é definido por:
M (t) =
2πEI
t
L
(4.14)
como mostra a Figura 4.25b.
Os resultados da simulação são mostrados na Figura 4.25. Nesta simulação foram usados 33
nós e 32 elementos finitos tipo viga de Euler-Bernoulli e um passo de tempo ∆t = 0, 0005 s. A
consideração do amortecimento estrutural na resposta da estrutura é mostrada na Figura 4.26.
160x45
E, I, A
M(t)
L
Figura 4.24: Viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo livre.
83
80
70
Y [in]
60
50
40
30
20
10
0
−20
0
20
40
60
80
100
120
X [in]
(a) Deformação a diferentes intervalos de tempo.
7
x 10
M(L,t) [lbf−in]
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
(b) M vs. t
100
v(L,t) [in]
80
60
40
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t [s]
(c) v(L) vs. t
Figura 4.25: Resposta da viga engastada submetida a um momento tipo rampa no extremo livre.
84
90
80
70
v(L/2,t) [in]
60
50
40
30
20
10
Com amortecimento
Sem amortecimento
0
−10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
Figura 4.26: Resposta amortecida e não amortecida da viga da com momento no extremo livre, deflexão
do extremo livre versus tempo t.
4.3.4
Viga articulada com momento impulsivo na articulação
Esta simulação considera uma viga sem amortecimento articulada no extremo esquerdo,
como se ve na Figura 4.27. Um momento de M = 70 Nm na forma de um pulso é aplicado entre
os tempos t = 0 s e t = 5 s na articulação, após este intervalo de tempo o momento desaparece
e a viga mantém-se girando a velocidade angular constante. Na Tabela 4.7 se mostram os
parâmetros de simulação da viga.
Tabela 4.7: Parâmetros da simulação da viga articulada.
Parâmetro
Comprimento (m)
EI (Nm2 )
EA (N/m/m)
A (kg/m)
ρ (kg/m3 )
Valor
10
1000
10000
0, 1
10
A viga foi divida em 4 elementos, e os resultados da simulação para diferentes intervalos de
tempo são mostrados na Figura 4.28. Estos resultados coincidem com os resultados publicados
em Simo & Vu-Quoc (1986). A deflexão do extremo livre da viga é mostrada na Figura 4.29.
85
M(t)
E, I, A
L
Figura 4.27: Viga com articulação no extremo esquerdo.
10
8
6
4
Y [m]
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−5
0
5
10
X [m]
Figura 4.28: Historia de deformação.
15
v [m]
10
5
0
−5
−10
−15
0
10
20
30
40
50
t [s]
Figura 4.29: História da deflexão do extremo livre.
60
Capítulo 5
APLICAÇÃO DA FERRAMENTA
COMPUTACIONAL
Este capítulo apresenta os resultados obtidos com a ferramenta computacional FLEXOL ao
simular a resposta estática e dinâmica de risers rígidos em catenária em contato com o solo
marinho. Diversos exemplos são resolvidos a fim de avaliar a configuração deformada, os
momentos fletores e as tensões internas. Os efeitos dos parâmetros da simulação tal como o
número de elementos e a influencia das propriedades do solo serão analisados. Os resultados
obtidos com o FLEXOL serão comparados com os dados publicados por Leira (2010), Antonio
(2011).
5.1
Estratégia de solução do FLEXOL
Para obter a configuração de equilíbrio estático do riser adotaram-se as seguintes suposições, as quais são esquematizadas na Figura 5.1:
• o riser encontra-se apoiado sobre o leito marinho horizontal;
• o extremo esquerdo está vinculado ao equipamento submarino, considera-se esta condição como um engastamento;
• são consideradas somente as forças de peso próprio e flutuação;
• as coordenadas do hang-off são conhecidas.
A Figura 5.1 se mostra a configuração inicial adotada nas simulações. Inicialmente são
impostas as forças de peso próprio e flutuação, em seguida são impostos deslocamentos verticais
e horizontais no extremo direito até atingir a posição final do topo do riser ou hang-off. Estes
deslocamentos são prescritos usando o método de penalização apresentado no capítulo 3.
86
87
Capítulo 5. APLICAÇÃO DA FERRAMENTA COMPUTACIONAL
Linha do solo
marinho
Equipamento
submarino
Y
Topo do
riser
v
Riser
X
u
Figura 5.1: Modelo usado nas simulações de risers.
5.2
Análise estática de risers
Nesta secção serão simuladas duas configurações de risers muito utilizadas na indústria de
produção de petroleo em alto mar: riser rígido em catenária ou SCR (Steel Catenary Riser) e
riser com flutuadores intermédios ou LWR (Lazy Wave Riser).
5.2.1
Riser rígido em catenária (SCR)
Nesta configuração podem se diferenciar dois trechos, o trecho suspenso e o trecho em
contato com o solo marinho, chamamos ao trecho suspenso de riser em catenária propriamente
dito e o trecho em contato com o solo marinho é conhecido como flowline. Existem soluções
analíticas aproximadas para a determinação da configuração estática do trecho suspenso, em
Faltinsen (1990) se encontram as expressões algébricas usadas na teoria clássica de catenárias.
Nestas expressões os efeitos da rigidez à flexão e o alongamento do riser não são consideradas,
mesmo assim estas expressões são úteis nas comparações.
A Tabela 5.2 mostra os parâmetros utilizados na simulação. A origem do sistema global de
coordenadas é fixo ao equipamento submarino, vide Figura 5.1.
Os parâmetros ingressados ao FLEXOL para a simulação estática do SCR são dados na
Tabela 5.2, a malha foi refinada na zona do TDP, o elemento de menor comprimento tem 10
m. A Figura 5.2 mostra as configurações intermediárias produto da análise. Observa-se que o
código para os primeiros incrementos de carga fornece soluções sem sentido físico, porém no
percurso da análise esse erro vai diminuindo.
A Figura 5.3 compara a configuração de equilíbrio estático obtido com o FLEXOL e a
mesma obtida analiticamente ao resolver a equação da catenária considerando o peso aparente.
Observa-se uma boa coerência entre os resultados. As figuras 5.4 e 5.5 mostram respetivamente
88
Tabela 5.1: Parâmetros do riser rígido em catenária.
Parâmetro
Valor
Diâmetro externo De (mm)
Espessura da parede t e (mm)
Comprimento total L (m)
Peso linear do riser (Kg/m)
273
12,7
2240
125
Densidade do fluido interno ρi (kg/m3 )
700
Densidade do fluido externo ρe (kg/m3 )
1025
Módulo de elasticidade do riser E (Pa)
2, 1 × 1011
Rigidez do solo marinho k s (N/m/m)
Coordenadas do topo do riser (m)
2, 1 × 107
(1500, 995,5)
Tabela 5.2: Parâmetros de simulação de comportamento estático do SCR.
Parâmetro
Valor
Número de nós
Número de incrementos de carga
53
52
100
Tolerância
10−4
100
Fator de penalização
1015
1000
Conf. final
Y [m]
800
600
400
200
0
0
500
1000
1500
2000
X [m]
Figura 5.2: Configurações de equilíbrio intermediárias para o SCR.
a força axial efetiva e o momento ao longo da coordenada curvilínea s. A coordenada s tem sua
origem no equipamento submarino e se estende ao longo do riser deformado.
As quantidades de maior importância no projeto de risers rígidos em catenária são os mo-
89
FLEXOL
Leira (2010)
900
800
700
Y [m]
600
500
400
300
200
100
0
0
500
1000
1500
X [m]
Figura 5.3: Configuração final de equilíbrio do SCR.
mento fletores máximos e a força axial máxima. A Tabela 5.3 mostra os valores dessas quantidades obtidos utilizando diferentes códigos computacionais. É importante indicar que RIFLEX
é um programa comercial de análise de risers muito utilizado na industria petrolífera. Esses
valores foram tomados de Leira (2010). Observa-se uma boa coerência entre as soluções.
5
x 10
FLEXOL
Leira (2010)
Força axial [N]
10
8
6
4
2
0
500
1000
1500
2000
s [m]
Figura 5.4: Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o SCR.
90
4
x 10
FLEXOL
Leira (2010)
Momento fletor [Nm]
12
10
8
6
4
2
0
−2
0
500
1000
1500
2000
s [m]
Figura 5.5: Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o SCR.
Tabela 5.3: Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais.
Método de solução
Catenária MATLAB®
RIFLEX®
FLEXOL
Força no topo (KN)
Momento fletor máximo.(KNm)
1099,575
1090.478
1084,943
133,2
124,4
126,3
91
5.2.2
Riser com flutuadores intermediarios (LWR)
Nesta configuração são adicionados flutuadores em algumas partes do riser a fim de cancelar
o efeito do movimento da plataforma na posição do ponto de contato do riser com o solo marinho, como mostra a Figura 5.6. As características mecânicas do riser em análise são mostradas
na Tabela 5.4, a Tabela 5.5 mostra os parâmetros usados na simulação.
As forças de flutuação extras produto da adição dos flutuadores e os deslocamentos do extremo direito foram aplicadas após as forças de peso aparente. Os flutuadores são instalados
em um trecho de 800 m, entre os 400 m e 1200 m desde o equipamento submarino (origem do
sistema de coordenadas). Considera-se que os flutuadores instalados não adicionam rigidez à
flexão ao riser.
A Figura 5.7 mostra as posições de equilíbrio intermediárias fornecidas pelo FLEXOL correspondentes a cada incremento de carga.
Tabela 5.4: Parâmetros físicos do LWR.
Parâmetro
Valor
Espessura da parede t e (mm)
Peso linear do riser (kg/m)
Peso linear do flutuador (kg/m)
Diâmetro externo do flutuador (mm)
273
12,7
2100
125
40
50
Densidade do fluido interno ρi (kg/m3 )
700
Densidade do fluido externo ρe (kg/m3 )
1025
Módulo de elasticidade do riser E (Pa)
2, 1 × 1011
Rigidez do solo marinho k s (N/m/m)
Coordenadas do topo do riser (m)
2, 1 × 107
(1500, 995,5)
Tabela 5.5: Parâmetros de simulação do LWR.
Parâmetro
Valor
Número de nós
Número de incrementos de carga
141
140
100
Tolerância
10−4
100
Fator de penalização
1015
As figuras 5.10 e 5.9 mostram as distribuições do momento fletor e da força axial ao longo
da coordenada curvilínea s obtidas do trabalho de Leira (2010) e o FLEXOL. Pode-se observar
92
160x90
Plataforma
flutuante
Topo do
riser
Trecho de
flutuadores
Ponto de contato
TDP
s
Figura 5.6: Esquema de um riser con flutuadores intermediários.
que os resultados são muito coerentes. Usando os dados publicados por Leira (2010) a Tabela
5.6 mostra uma comparação de resultados para o máximo valor do momento fletor e a força
axial efetiva.
Nota-se que com poucos elementos o FLEXOL já aproxima da maneira muito acertada os
valores de momento máximo e força axial máxima, esta caraterística da ferramenta a faz muito
útil na fase do projeto já que permite obter rapidamente valores aceitáveis, estes valores devem
ser refinados para garantir a qualidade dos resultados.
1000
Conf. final
Y [m]
800
600
400
200
0
0
500
1000
1500
2000
X [m]
Figura 5.7: Configurações de equilíbrio intermediárias para o LWR.
93
FLEXOL
Leira (2010)
900
800
700
Y [m]
600
500
400
300
200
100
0
0
500
1000
1500
X [m]
Figura 5.8: Configuração final de equilíbrio do LWR.
5
x 10
FLEXOL
Leira (2010)
Força axial [N]
7
6
5
4
3
2
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
s [m]
Figura 5.9: Força axial ao longo da coordenada curvilinea s para o LWR.
Tabela 5.6: Comparação de resultados obtidos por diferentes códigos computacionais.
Método de solução
Catenária MATLAB®
RIFLEX®
FEM
Força axial no topo (KN)
Momento fletor máx.(KNm)
782,553
785,332
783,230
108,79
107,60
107,63
94
4
x 10
Momento fletor [Nm]
10
FLEXOL
Leira (2010)
8
6
4
2
0
−2
−4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
s [m]
Figura 5.10: Momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s para o LWR.
95
5.3
Análise dinâmica de risers
Esta secção mostra os resultados da aplicação do módulo dinâmico GenoDIN da ferramenta
computacional FLEXOL para a análise dinâmica de um riser flexível submetido a forças e deslocamentos variantes no tempo. Este módulo já foi validado no capítulo anterior. Além de
calcular a história da deformação busca-se determinar a variação no tempo das distribuições de
força axial e de momento fletor, parâmetros importantes para o projeto destas estruturas. Os
exemplos de aplicação são anunciados a seguir
• mangote flexível sujeito à ação do seu próprio peso;
• mangote flexível sujeito a seu peso com imposição de deslocamentos.
Os mangotes flexíveis são tubulações que servem para transportar fluidos entre navios afastados, os mangotes podem estar submersos na água ou em contato com a atmosfera. As caraterísticas geométricas e mecânicas do mangote objeto deste estudo são apresentadas na Tabela
5.7.
Tabela 5.7: Parâmetros do mangote flexível.
Parâmetro
Valor
Espessura da parede t w (mm)
273
12,7
400
Densidade do material ρr (kg/m3 )
7850
Módulo de elasticidade do material E (Pa)
5.3.1
2, 08 × 1011
Mangote flexível sujeito à ação do peso próprio
Neste exemplo não é considerado o efeito do contato/impacto entre o mangote e o solo.
O módulo GenoDIN ainda não contem as linhas de código necessárias para a simulação deste
fenómeno. Considera-se a posição inicial do mangote como horizontal livre de tensões. A
força de peso próprio é aplicada como uma rampa. Além do peso do mangote que é de aço,
considera-se também o peso do fluido interno com densidade igual a ρ = 700 Kg/m3 .
Considera-se que os extremos esquerdo e direito do mangote podem-se deslocar livremente
na direção X e rotacionar ao redor de um eixo normal ao plano de flexão. O deslocamento na
direção do eixo global Y é restringido.
O mangote foi discretizado utilizando 100 elementos de Euler-Bernoulli. O tempo de
simulação foi de t = 17, 5 s, nos primeiros 10 s a carga de peso próprio foi aplicada como uma
96
rampa, após deste intervalo de tempo a carga permaneceu constante. O passo de tempo utilizado
foi de ∆t = 0, 01 s, isto é foram considerados 1750 incrementos de carga.
Este exemplo também foi testado no trabalho de Antonio (2011), ele compara os resultados
obtidos com o código MARINE, desenvolvido pelo mesmo autor, com os do ANFLEX, ferramenta desenvolvida pela Petrobras. A Figura 5.11 mostra as deformações intermediárias a cada
segundo de tempo e a configuração final.
0
Y [m]
−50
−100
−150
FLEXOL
ANFLEX
−200
50
100
150
200
250
300
350
X [m]
Figura 5.11: História de deformação do mangote flexível submetido ao seo próprio peso. Número de
elementos 100, tempo de análise 17,5 s e passo de tempo ∆t = 0, 01s
Observa-se que os resultados fornecidos pelo FLEXOL são quase coincidentes com os resultados obtidos usando o ANFLEX obtidos por meio do trabalho de Antonio (2011). As figuras
5.12a e 5.12b mostram, respetivamente, as distribuições de força axial e de momento fletor ao
longo da coordenda curvilínea s através do tempo, especificamente, a cada 0,5 s. Os valores
máximos encontrados na análise para a força axial e o momento fletor são de 184 KN e de
1142, 1 KNm, respetivamente. Estes valores não puderam ser comparados com os fornecidos
por Antonio (2011) devido a que no trabalho desse autor os valores obtidos não coincidem com
os do ANFLEX.
A fim de analisar o efeito da variação do passo de tempo na resposta simulou-se o mesmo
exemplo com um tempo total de simulação igual a t = 25 s para capturar melhor a evolução
dos resultados. A Figura 5.13 mostra as configurações finais obtidas usando diferentes passos
de tempo. Nas figuras 5.13a e 5.13b onde o passo de tempo é maior, nota-se que o mangote
flexível se deforma para depois retornar à posição inicial e continuar oscilando respeito da
97
4
x 10
12
Tensão [N]
10
8
6
4
2
0
50
100
150
200
250
300
350
250
300
350
s [m]
(a)
5
x 10
Momento fletor [Nm]
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
400
s [m]
(b)
Figura 5.12: (a) Distribuição da força axial ao longo da coordenada curvilínea s a cada 2 s; (b)
Distribuição de momento fletor ao longo da coordenada curvilínea s a cada 2 s
configuração horizontal. Nas soluções obtidas com passos de tempo menores, figuras5.13c e
5.13d, é importante ressaltar que o mangote se deforma de tal maneira que os trechos verticais,
que se tinham no tempo t = 17, 5 s, se cruzam até a parte inferior para formar um laço. Devido
a que o algoritmo de contato não é considerado neste módulo o mangote não impacta consigo
mesmo. Ao reduzir o passo de tempo obtem-se a mesma resposta final verificando assim a
convergência da soluação com o tamanho de passo de tempo. A curvatura do laço inferior
formado é muito alta, mesmo assim o código mostrou sua estabilidade e acurácia.
98
0
0
−20
−20
−40
−40
Y [m]
Y [m]
−60
−60
−80
−80
−100
−120
−100
−140
−120
−160
−140
100
200
300
100
X [m]
(a) ∆t = 0, 075 s
300
(b) ∆t = 0, 05 s
0
0
−20
−20
−40
−40
−60
−60
−80
−80
Y [m]
Y [m]
200
X [m]
−100
−100
−120
−120
−140
−140
−160
−160
−180
−180
100
200
X [m]
(c) ∆t = 0, 005 s
300
100
200
300
X [m]
(d) ∆t = 0, 0025 s
Figura 5.13: Influência do passo de tempo na convergência da resposta dinâmica do mangote flexível.
Número de elementos: 100, tempo de simulação: 25 s
99
5.3.2
Mangote flexível sujeito a deslocamentos impostos
Nesta simulação o mangote utilizado no exemplo anterior inicialmente é submetido a seu
próprio peso fazendo uso do módulo GenoES. A configuração de equilíbrio obtido pelo módulo
servirá como base para a análise dinâmica. Após ter atingido o equilíbrio estático uma carga
harmónica no extremo direito é aplicada mediante o módulo GenoDIN. A Tabela 5.8 mostra os
parâmetros da simulação.
Tabela 5.8: Parâmetros físicos da simulação do mangote flexível com imposição de deslocamentos.
Parâmetro
Valor
Espessura da parede t w (mm)
273
12,7
150
Densidade do material ρr (kg/m3 )
7850
Módulo de elasticidade do material E (Pa)
Amplitude da força harmónica AY (mm)
Frequência da força harmónica f (Hz)
2, 08 × 1011
8
1
Os parâmetros da simulação para a análise estática e dinâmica mostram-se na Tabela 5.9. O
mangote foi discretizado com 100 elementos de viga. O fenómeno de amortecimento não foi
tomado em conta para este exemplo.
Tabela 5.9: Parâmetros numéricos da simulação do mangote flexível com deslocamento imposto.
Tipo de análise
Parâmetro
Valor
5
Tolerância ao erro
10−4
Número máximo de iterações 100
Passo de tempo (s)
0,005
Dinâmico, GenoDIN Tempo total de simulação (s)
10
Estático, GenoES
Valor de penalização
1015
A Figura 5.14 mostra a história de deformação a cada 0, 5 s. É importante conhecer o
deslocamento de alguns nós como função do tempo, a Figura 5.15 mostra estes ressultados.
A Figura 5.15a mostra o deslocamento vertical do extremo direito, que como era de se supor
coincide com a função harmónica ingressada no GenoDIN; a Figura 5.15b mostra o movimento
horizontal do extremo direito, toma-se como referência a posição nodal deformada fornecida
pelo módulo estático; as figuras 5.15c e 5.15d representam, respetivamente, os movimentos
vertical e horizontal do ponto meio do mangote; por último, o ângulo de rotação da articulação
do extremo esquerdo em função do tempo é mostrado na Figura 5.15e.
100
Neste exemplo conseguiu-se acoplar as análises estática e dinâmica. A análise dinâmica
foi conduzida a partir de uma configuração de equilíbrio pré-tensionada, validando o funcionamento do código dinâmico nessa condição inicial.
0
−10
Y [m]
−20
−30
−40
−50
−60
−70
0
20
40
60
80
100
120
X [m]
Figura 5.14: História de deformação do mangote flexível submetido ao seu próprio peso e a
deslocamentos impostos.
101
Deslocamento [m]
5
0
−5
0
1
2
3
4
5
tiempo [s]
6
7
8
9
10
9
10
Deslocamento [m]
(a) Deslocamento vertical do extremo direito em função do tempo.
−92
−93
−94
0
1
2
3
4
5
tiempo [s]
6
7
8
Deslocamento [m]
(b) Deslocamento horizontal do extremo direito em função do tempo.
−60
−65
−70
0
1
2
3
4
5
tiempo [s]
6
7
8
9
10
9
10
9
10
Deslocamento [m]
(c) Deslocamento vertical do ponto meio em função do tempo.
−44
−46
−48
−50
0
1
2
3
4
5
tiempo [s]
6
7
8
Rotação [rad]
(d) Deslocamento horizontal do ponto meio em função do tempo.
−1.6
−1.8
−2
0
1
2
3
4
5
tiempo [s]
6
7
8
(e) Deslocamento angular da articulação à esquerda função do tempo.
Figura 5.15: História de movimento para diferentes nós do mangote.
Capítulo 6
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
PARA TRABALHOS FUTUROS
Este capítulo apresenta as principais conclusões obtidas a partir do desenvolvimento deste
trabalho. Sugestões de trabalhos futuros também são apresentadas.
6.1
Conclusões
Conforme as indústrias de exploração de petróleo em alto mar avançam para águas mais
profundas surge a necessidade de usar novas tecnologias de escoamento de petróleo e gás com
melhores características técnico-econômicas que as tecnologias atuais. Nesse cenário os risers
rígidos em catenária ou SCRs apresentam-se como a melhor solução técnico-econômica para
a transferência de petróleo em águas profundas. Porém, a teoria deste tipo de estruturas ainda
não foi totalmente desenvolvida exigindo para seu estudo um conhecimento multidisciplinar
em mecânica dos sólidos e dos fluidos, dinâmica não linear, mecânica dos solos e mecânica de
ondas.
O presente trabalho de mestrado abordou numericamente a estática e a dinâmica no plano
de mangotes flexíveis e risers rígidos em catenária interatuando com o solo marinho.
Neste trabalho foi desenvolvido e implementado um código computacional para análise
estática e dinâmica geometricamente não-linear de risers no plano levando em conta o contato
com o solo marinho. O método dos elementos finitos foi usado na solução das equações que
governam a resposta estática e dinâmica dos risers rígidos em catenária, SCR. Devido aos
grandes deslocamentos e pequenas deformações que experimenta um SCR se fez necessário
trabalhar com formulações de mecânica não linear. A formulação não linear dos elementos
finitos foi feita via a abordagem co-rotacional a qual separa o movimento total do elemento
em uma parcela de corpo rígido e em outra de deformação. Durante o movimento de corpo
rígido, um sistema local de coordenadas fixo ao elemento se movimenta junto com este. As
102
Capítulo 6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
103
deformações são medidas em relação ao sistema local de coordenadas.
Foi implementado um elemento de viga de Euler-Bernoulli conjuntamente com o esquema
incremental-iterativo de Newton-Raphson. Os resultados obtidos com os exemplos simulados
são coerentes com os resultados da literatura como foi mostrado no Capítulo 4.
Para o caso da imposição de deslocamentos, seja na análise estática ou dinâmica, o método
de penalização implementado resultou ser eficiente e exato dentro da tolerância especificada
para a análise, em virtude da menor quantidade de variáveis requeridas na solução do problema
e sua facilidade de implementação.
Em particular, na análise dinâmica, a imposição de deslocamentos mediante o método da
penalização introduz um efeito desestabilizador na resposta do riser. Isto acontece devido à
adição de uma mola de grande rigidez a uma massa concentrada pequena, pois a frequência
associada a este grau de liberdade é muito alta, introduzindo frequências espúrias na análise
que comprometem a convergência do esquema numérico. Um método útil para o filtragem
destas frequências espúrias é o uso da matriz de amortecimento proporcional à rigidez. Este
método de filtragem foi implementado satisfatoriamente no FLEXOL.
Como foi mostrado no exemplo do mangote flexível submetido a seu próprio peso aplicado
dinamicamente, a resposta fornecida pelo método de Newmark implementado no GenoDIS
sempre é estável porém é altamente dependente do tamanho do passo de tempo.
No segundo exemplo do mangote flexível demostrou-se que os módulos GenoES e GenoDIS
podem trabalhar em conjunto. Neste problema foi resolvido com sucesso um problema de
dinâmica levando em consideração os efeitos de pré-tensão.
O método de penalização também foi utilizado na implementação do módulo de contato
unidirecional GenoCES para a análise de fundações elásticas tipo Winkler. Como foi mostrado
no Capítulo 4, o algoritmo de contato forneceu resultados coerentes com dados da literatura e
mostrou-se estável na ocorrência de descolamento entre o riser e o solo.
O código implementado neste trabalho para a determinação da configuração de equilíbrio
de um SCR mostrou-se estável, porém a configuração final depende do número de incrementos
de deslocamentos utilizado. O extremo direito é levantado até atingir a posição da plataforma
flutuante e simultaneamente o ponto de contato vai se deslocando desde o extremo livre até sua
posição final na zona de contato. O número de incrementos nos quais é dividido o deslocamento
prescrito total é importante também para a obtenção de resultados confiáveis, se recomenda usar
un número alto de incrementos de deslocamento, pelo ordem de 200 incrementos.
De acordo com as simulações feitas neste trabalho e nos trabalhos de Schweizerhof e Ramm
(1984), Yadzchi e Crisfield (2002) e Garcia Sanchez (2013) conclui-se que o efeito da modelagem das forças de interação com o fluido, e. g. o empuxo hidrostático e o arrasto hidrodinâmico,
como forças não conservativas, fornecem praticamente os mesmos resultados que se estas forças fossem modeladas como conservativas, quer dizer, independentes das deformações do riser.
104
Isto devido a que nas condições de contorno presentes na maioria de configurações de risers utilizadas na industria, como a LWR ou SCR, o efeito de cargas seguidoras pode ser desprezado.
O uso da formula de Arquímedes para as cargas de flutuação fornece resultados aceitáveis com
menores esforços na solução e na implementação.
Conclui-se também que a ordem de aplicação das cargas na determinação da configuração
de equilíbrio estático de risers influi no tempo de simulação. Ao aplicar simultaneamente o peso
próprio, empuxo, arrasto hidrodinâmico e os deslocamentos prescritos o algoritmo de solução
consome um tempo maior que ao aplicar as cargas na seguinte ordem: peso próprio e empuxo,
em seguida os deslocamentos prescritos e, finalmente, as cargas produto da correnteza. Com
esta ordem de aplicação dos carregamentos obtém-se maior eficiência computacional.
O deslocamento imposto no extremo livre do riser tem uma componente horizontal em direção ao engastamento, este deslocamento gera uma instabilidade axial. O método de NewtonRaphson com controle de carga implementado neste trabalho não é útil para analisar este tipo
de resposta podendo apresentar problemas numéricos. Para evitar este problema, neste trabalho
foram usados passos de carga suficientemente pequenos.
A maioria dos códigos comerciais de análise de risers possuem um pré-processador que
calcula uma configuração inicial do riser baseando-se na equação da catenária, ou seja, desconsiderando a rigidez à flexão e a extensibilidade do riser. Este pré-processador acelera o processo
de cálculo. Este trabalho não considerou um pré-processador, porém a equação da catenária foi
utilizada como base da comparação.
Neste trabalho foi implementado no pré-processador um algoritmo que permite fazer o refinamento de malha na zona de contato corretamente a fim de evitar o erro que pode produzir
uma discretização com tamanhos de elementos muito diferentes. Recomenda-se variar o comprimento dos elementos de maneira suave para obter tensões e momentos fletores realísticos.
6.2
Trabalhos futuros
Segue a continuação uma lista de trabalhos futuros recomendados pelo autor deste trabalho:
• Implementação de um elemento de viga com não linearidade geométrica para conduzir
análises tridimensionais.
• Formulação de um novo elemento de viga considerando uma linha reta com nós intermediários ou um elemento curvo para melhor aproximação da geometria do riser na zona de
contato.
• Comparação do desempenho do elemento de viga de Euler-Bernoulli com os elementos
propostos no item anterior.
105
• Como foi dito anteriormente o parâmetro de maior importância no projeto de SCRs é o
máximo momento fletor na zona de contato, este momento depende do comportamento
mecânico do solo. Modelos não lineares que tomem em conta o comportamento plástico
do solo marinho forneceriam resultados mais precisos. Sugere-se tomar como referência
os trabalhos de Randolph & Quiggin (2009) e You et al.
(2008) que usando curvas
P-y, pressão vs. penetração, oferecem modelos não lineares histeréticos para as molas
utilizadas na fundação tipo Winkler.
• O algoritmo de solução de equações não lineares baseado no método de Newton-Raphson
possui desvantagens na análise de instabilidade axial, sugere-se implementar outro algoritmo de solução deste tipo de equações, como por exemplo o algoritmo arc length ou
line search, para poder resolver o problema da instabilidade axial na TDZ.
• Para a análise dinâmica, sugere-se implementar um algoritmo de integração direta implícita com amortecimento numérico como é o caso do algoritmo HHT para a filtragem das
frequências espúrias adicionadas pelo método de penalização implementado. Sugere-se
também implementar um algoritmo de integração com passo de tempo variável, com o
intuito de aumentar a eficiência do módulo GenoDIS.
• Na análise de risers em águas ultra profundas o deslocamento fora do plano criado pela
catenária é importante, pelo tanto é recomendável implementar um simulador de risers
tridimensional.
• Já na análise tridimensional é desejável simular o efeito da fricção com o solo na direção
transversal ao plano de curvatura. Deveria-se simular também o efeito do contato/impacto
com as paredes laterais da trincheira na resposta dinâmica global do riser.
• Neste trabalho o movimento da plataforma à qual o riser está ligado é desacoplado do
movimento do riser. Ao analisar risers de maior comprimento a inércia deste em relação
à inércia da plataforma cobra importância, não podendo assim fazer um estudo desacoplado. Simulações dinâmicas acopladas do sistema global riser-plataforma devem ser
conduzidas.
• A implementação de um pré-processador é desejável para melhorar a eficiência computacional. O pré-processador trabalha com as equações de um cabo inextensível para fazer
uma primeira aproximação da configuração estática e assim reduzir o número de iterações
necessárias até atingir o equilíbrio do riser. O pré-processador também pode servir para
criar uma malha refinada nas zonas de maior momento fletor, podendo-se automatizar o
processo de discretização.
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