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........ - Métodos para determinar a dimensão topológica de um objeto na geometria euclidiana
........ - Método para determinar a dimensão Hausdorff-Besicovitch de um objeto
5.3 - Determinação da dimensão auto-similar de um objeto
5.4 - Técnicas para o cálculo da dimensão fractal de uma estrutura
5.5 - Escalonamento dinâmico
Capítulo V
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DAS DIMENSÕES
DE UM OBJETO NA GEOMETRIA FRACTAL
SUMÁRIO
SUMÁRIO..................................................................................................................................2
RESUMO ...................................................................................................................................4
5.1 - Introdução...........................................................................................................................4
5.2 - Diferença entre régua de medida e tamanho do elemento de estrutura ..............................5
5.3 - Métodos de cálculo para se determinar a dimensão topológica de um objeto na
geometria euclidiana...................................................................................................................6
5. 4 - Métodos de cálculo e técnicas de medida da dimensão fractal, auto-similar ou
auto-afim, de uma estrutura fractal.............................................................................................13
5. 4.1 - Escalonamento estático e a determinação da dimensão de uma estrutura na
geometria fractal
13
5. 4.2 - Método de Hausdorff-Besicovitch para se determinar a dimensão de um
objeto fractal
14
5. 4.3 - Medida da dimensão fractal da superfície de fratura ou do caminho da trinca.14
5. 4.4 - Método de Richardson para o cálculo da dimensão auto-similar de um objeto
fractal
15
2
............. 5. 4.5 - O método Box-Counting de contagem pelo escalonamento estático dos
elementos de uma estrutura fractal
18
............. 5. 4.6 - O método Sand-Box de contagem pelo escalonamento estático dos elementos
de uma estrutura fractal
21
............. 5. 4.7 - Equivalência entre o método de contagem Box-Counting e o método SandBox ......
24
5. 5 - Referências bibliográficas .................................................................................................31
5. 6 -Apêndices ...........................................................................................................................26
............. 5. 6.1 - O método de análise das ilhas cortadas de Mandelbrot
3
26
Capítulo V
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DAS DIMENSÕES
DE UM OBJETO NA GEOMETRIA FRACTAL
RESUMO
5.1 - Introdução
Na geometria euclidiana, sabe-se que um ponto não tem dimensão (d = 0), uma
reta possui dimensão unitária, (d = 1) e um plano dimensão dimensão d =2, e assim
sucessivamente. Mas como provar por meios métricos ou analiticos a dimensão destes
elementos? Aristóteles e outros, elaboraram os métodos fundamentais, que foram úteis para se
afirmar hoje em dia com precisão, a dimensão deles, conforme será visto a seguir:
4
A questão da determinação da dimensão fractal de objetos como, trincas, nuvens,
relâmpagos, queijo suíço, etc, está intimamente relacionada com a questão da métrica usada
na determinação do tamanho destes objetos. Intuitivamente, é possível entender as dimensões
da geometria euclidiana e de seus objetos, baseado nas construções fundamentais de, ponto,
reta, plano e espaço desta geometria, sem se preocupar muito, em como é possivel medir a
dimensão destes elementos ou objetos. Contudo, no caso de objetos fractais, isto não é
possível, porque não se encontra uma construção elementar única, assim como na geometria
euclidiana, com uma dimensão compatível com o objeto fractal estudado. Isto porque no caso
de fractais o tamanho do objeto depende do tamanho da régua utilizada na medida, ou da
dimensão da unidade de medida utilizada. Portanto na geometria fractal, a premissa básica é:
Como medir a dimensão de determinadas figuras, a partir das idéias intuitivas fornecidas pela
geometria euclidiana? A resposta a esta pergunta será dada ao longo do desenvolvimento
deste capítulo.
5.2 - Diferença entre régua de medida e tamanho do elemento de
estrutura
A régua de medida, δd, é o elemento geométrico que usamos para realizar a
medida de um objeto (fractal ou não). Ela consiste de uma extensão finita, δ, com dimensão,
d, compatível com a do objeto, d = do. Na medida ela é usada para recobrir o objeto, com a
finalidade de se alcançar a sua medida da extensão geométrica, Mdo(δ).
O elemento de estrutura, lr-D, corresponde a um elemento geométrico que forma o
fractal em escalas sucessivas mantendo auto-similaridade do objeto. É certo, que a régua de
medida, δd, pode colapsar sobre o elemento de estrutura, δd → lr-D, cobrindo a sua extensão a
fim de que a medida extensão do objeto, Md(δ), seja obtida com maior precisão, onde, Md(δ)
~δd-D ( com D ≥ d). No diagrama de Richardson, os pontos de coordenada x e y, correspondem
à medidas de régua tomadas arbitrariamente sobre a extensão do fractal. Contudo, se o
tamanho da régua, δ, foi escolhido exatamente igual ao tamanho do elemento de estrutura, lr,
em cada escala, então, haverá apenas pontos discretos sobre este diagrama por causa dos
níveis discretos de escalonamento de uma estrutura fractal.
5
Para uma medida, Mdo(δ), que a acompanha um crescimento fractal, é necessário
que a extensão da régua, δ, coincida exatamente com o tamanho do elemento de estrutura, lr.
Desta forma, poderá se descrever a velocidade de seu crescimento, v ~ dlr/dt. No caso das
trincas, sua estrutura é contínua, portanto um tamanho da régua, δ, não necessita coincidir
com o tamanho do elemento de estrutura. Mesmo porque a identificação deste sobre a trinca é
de difícil visualização. A trinca é um fractal estatístico o seu elemento de estrutura, lr-D,
possui um aspecto geométrico que pode modificar estatisticamente ao longo do seu
crescimento, ou seja tanto o tamnho, lr, pode mudar quanto a sua dimensão, D, formando o
que chamamos de um multifractal. Isto dificulta a sua visualização localizada, apenas é
possível abstrair, a partir da mecânica da fratura, que tal elemento exista. para que sejam feitas
as considerações necessárias ao modelo fractal da trinca.
Aristóteles, Pascal, Richardson, Hausdorf, Besicovich, Mandelbrot ao longos dos
séculos foram os responsáveis pelos métodos de determinação das dimensões de uma figura
geométrica. Entre eles destacam-se os seguintes métodos:
5.3 - Métodos de cálculo para se determinar a dimensão topológica
de um objeto na geometria euclidiana
Somente alguns objetos geométricos euclideanos são autosimilares, por
construção, exemplo: a reta, o plano e o espaço, enquanto que o círculo, o disco e uma esfera
não são. A razão disto será vista a seguir.
Para se fazer a medida de uma determinada figura euclidiana como um segmento
AB , por exemplo, utiliza-se uma unidade de medida u e compara-se a medida do segmento
com a medida desta unidade, contando-se quantas destas unidades cabem no segmento entre
os pontos A e B, conforme mostra a Figura - 5. 1. Se a medida for exata não haverá resíduos,
ou seja, o número, N, de segmentos unitários, u, que o segmento AB comporta será inteiro.
Porém se isto não acontercer, será necessário criar múltiplos e submúltiplos desta unidade u, a
fim de se dar a medida um valor mais preciso. Onde os submúltiplos de u podem ser: u/1000,
u/100, u/10; e os múltiplos de u podem ser: 10u, 100u, 1000u. Estes fatores são criados
arbitrariamente de acordo com a necessidade.
Portanto a medida do segmento, AB, é descrita em termos da unidade, u, da
seguinte forma:
6
Figura - 5. 1. Medida de um segmento (uma dimensão) a partir de uma unidade u1.
A medida do comprimento do segmento AB da Figura - 5. 1 é dada por:
L(u) = 6,1u.
(5. 1)
Como a dimensão euclidiana do segmento unitário u é d = 1, poderia-se escrever
naturalmente: 6,1u1. Mas, no dia a dia omite-se a dimensão unitária, visto que qualquer
número elevado a potência unitária corresponde ao próprio número, ou seja u1 = u.
No caso de se ter diferentes padrões de medida u, é possível obter o valor da
medida de um objeto, encontrado em um padrão, em função da medida, encontrado no outro
padrão, como por exemplo, a transformação de centímetros para polegadas, ou metros para
jardas, etc. Neste caso, dizemos que se está alterando a régua de medida. Portanto, qualquer
ampliação ou redução que se faça do segmento unitário, u, usado como régua de medida, por
um fator de escala, ε, afetará diretamente o valor da medida do segmento, ou seja:
L(εu) = ε1 6,1 u1
(5. 2)
substituindo (5. 1) em (5. 2) tem-se:
L(εu) = ε1 L(u)
(5. 3)
Supondo-se que uma reta, r, seja subdividida em um número indefinido de
segmentos, tanto num sentido como no outro. Se for contado o número de segmentos u, que
comportam um trecho AB (Figura - 5. 2) e graficar-se, este número, N(u), em função do
tamanho, u, escolhido arbitráriamente durante os repetidos processos de medida, ter-se-á que:
N(u) = AB/ud
(5. 4)
Tomandos-se o logaritmo dos dois lados da expressão (5. 4) acima, isto é,
graficando-se, o logaritmo do número de segmentos, log N(u), em função do logaritmo do seu
7
tamanho, log u ter-se-á que o expoente d que cabe nessa expressão (5. 4) é necessariamente d
=1.
u
A
B
r
Figura - 5. 2. Escalonamento euclidiano unidimensional (Box-Counting)
No caso bidimensional, um trecho de superfície plana ABCD poderá ser medido
em termos de uma superfície unitária de lados u x u = u2, de forma análoga ao segmento do
caso anterior, contando-se quantos ladrilhos de lados u x u = u2 cabem dentro do trecho plano
ABCD.
Portanto, a medida é descrita em termos da unidade u2 da seguinte forma:
A medida da área da superficie plana ABCD da Figura - 5. 3 é dada por:
A(u) = 42u2
(5. 5)
Figura - 5. 3. Medida de um segmento (duas dimensões) a partir de uma unidade u2.
Onde a dimensão euclidiana do ladrilho unitário u x u = u2 é d = 2. Portanto,
qualquer ampliação ou redução que se faça do segmento unitário, u, por um fator de escala, ε,
afetará diretamente o valor da área do trecho plano ABCD da seguinte forma:
A(εu) = ε2 42 u2
(5. 6)
substituindo (5. 5) em (5. 6) tem-se:
A(εu) = ε2 A(u)
8
(5. 7)
Fazendo-se um procedimento análogo ao caso anterior, para um plano α, na duas
direções x e y, isto é, se for contado o número de quadriláteros de lado, u, que podem ser
contidos no trecho ABCD (Figura - 5. 3) e for graficado este número em função do tamanho u,
que pode ser arbitrário, ter-se-á que:
N(u) = ABCD/ud
(5. 8)
Figura - 5. 4. Escalonamento euclidiano bidimensional (Método Box-Couting).
Mais uma vez, tomando-se o logaritmo dos dois lados da expressão (5. 8) acima,
isto é,
graficando-se, o logaritmo do número de quadriláteros de lados u, ou seja, logN(u),
que comportam o trecho ABCD da Figura - 5. 4, em função do logaritmo do tamanho dos
seus lados, log u, ter-se-á que o expoente d que cabe nessa expressão (5. 8) é necessariamente
d = 2.
9
Figura - 5. 5. Escalonamento de um objeto tridimensional (d = 3) na geometria euclidiana.
No caso tridimensional, um paralelepípedo AA’BB’CC’DD’ poderá ser medido em
termos de um volume unitário de lados u x u x u = u3, de forma análoga ao segmento e a
superfície, contando-se quantos cubos unitários de arestas u x u x u = u3, cabem dentro do
paralelepípedo AA’BB’CC’DD’.
De forma análoga aos casos anteriores a medida é descrita em termos da unidade,
u3, da seguinte forma:
A medida do volume do paralelepípedo AA’BB’CC’DD’ da Figura - 5. 5 é dada
por:
V(u) = 512u3
(5. 9)
Onde a dimensão euclidiana do cubo unitário u x u x u = u3, é d = 3. Portanto,
qualquer ampliação ou redução que se faça do segmento unitário, u, por um fator de escala, ε,
afetará diretamente o valor do volume do paralelepípedo AA’BB’CC’DD’ da seguinte forma:
V(εu) = ε3 512 u3
(5. 10)
substituindo (5. 9) em (5. 10) tem-se:
V(εu) = ε3 V(u)
10
(5. 11)
Fazendo-se mais uma vez um procedimento análogo aos casos anteriores, agora
para o espaço, isto é, tomando-se um sólido de lados iguais a u (um cubo), e contando-se
quantos destes cubos cabem no volume AA’BB’CC’, ter-se-á que o expoente, d, neste caso,
será d =3.
As construções geométricas mostradas até aqui, para as dimensões d = 1, 2, 3;
podem ser generalizadas de forma analítica e indefinidamente para dimensões maiores.
Apesar do nosso espaço só comportar no máximo uma figura com d = 3. Observe que, em
todos os casos acima o tamanho, u, poder diminuir, ou crescer indefinidamente, e a medida do
trecho não será alterada pela mudança na escala, pois se presupõe que sempre é possível
escrever múltiplos e submútiplos da escala original u transformados pela mesmo expoente “d”
do “espaço” considerado.
Uma vez que, o tamanho u não é necessariamente múltiplo do trecho, haverá
resíduos na medida, que deverão ser compensados por uma subdivisão da unidade u em
submúltiplos, para se tentar chegar a números cada vez mais precisos, que nos dê o tamanho
do trecho considerado. Esta operação é indefinida para trechos de dimensão não exata.
Uma forma alternativa para determinação da dimensão do “espaço” pode ser
obtida para os três casos acima. Mas não resolve o problema do aparecimento dos resíduos na
medida não exata. Esta alternativa, é escolher uma unidade u arbitrariamente pequena, de
forma que, a partir de uma das extremidades do trecho, A, por exemplo, se conte a número de
figuras elementares de unidades, u, formadas, até a outra extremidade, B, extendendo-se
arbitrariamente a região de contagem (B’, B’’, B’’’, .... ), até a atingir-se a outra extermidade,
conforme mostra a Figura - 5. 6, Observe que este segundo método, ao contrário do anterior,
pressupõe uma origem fixa O ≡ A, dando lugar a um sistema de coordenadas, que pode ser útil
em outras situações, como a descrição cínetica do crescimento de uma figura por exemplo.
11
Figura - 5. 6. Escalonamento euclidiano bidimensional (Método Sand-Box)
Usando-se o processo indutivo de extrapolação, podemos concluir que, o ponto
possui dimensão d = 0, o segmento possui dimensão d = 1, o retângulo possui dimensão d =
2, e o paralelepípedo possui dimensão d = 3. Logo, de uma forma geral, podemos escrever
que em uma dimensão, d, inteira qualquer, a medida geométrica do volume generalizado de
um objeto, segue a seguinte expressão:
A medida do volume generalizado do objeto imaginário é dado por:
V(u) = N(u)ud,
(5. 12)
onde a dimensão euclidiana do “volume’unitário u x u x u...x u = ud.
Portanto, qualquer ampliação ou redução que se faça do segmento unitário, u, por
um fator de escala, ε, afetará diretamente o valor do “volume” do objeto, da seguinte forma:
V(εu) = εd N(u)ud
(5. 13)
substituindo (5. 12) em (5. 13) tem-se:
V(εu) = εd V(u)
(5. 14)
Observe que a generalização dos conceitos anteriores para uma dimensão, d,
inteira qualquer, permitiu a matemáticos como Hausdorff, Besicovich, Mandelbrot, e outros,
averiguarem a possibilidade da existência de dimensões fracionárias cujas relações
matemáticas de volume, área, ou perímetro, possuíssem construções geométricas compatíveis
com esta geometria. A partir desta idéia foi que surgiu a generalização de geometria
12
euclidiana para a geometria fractal, cujos métodos de deteminação das dimensões tornaram-se
por demis aplicavéis, visto que na geometria euclidiana os resultados eram óbvios.
5. 4 - Métodos de cálculo e técnicas de medida da dimensão
fractal, auto-similar ou auto-afim, de uma estrutura fractal
Existem várias técnicas para o cálculo da dimensão fractal “D” de estruturas
estatisticamente auto-similares ou auto-afins. Estas podem ser teóricas, por exemplo usando a
densidade de correlação; experimentais; por exemplo, espalhamento de raios-X ou NMR e
numéricas como por exemplo, o método de “box-counting”, “sand-box”, “compassdimension” e outros. Neste trabalho, será descrito brevemente o método de “box-counting” e
“sand-box”, que são as técnicas que iremos empregar na caracterização do fenômeno de
fratura em materiais. Para um estudo detalhado das diferentes técnicas para o cálculo de “D”,
são recomendadas as leituras das referências: [88,103,92,97,106].
5. 4.1 - Escalonamento estático e a determinação da dimensão de uma
estrutura na geometria fractal
O escalonamento estático tem origem nos trabalhos de Richarson e Mandelbrot.
Ele trata da determinação da extensão e da dimensão de um objeto utilizando-se réguas ou
unidades padrões de medida com diferentes tamanhos, ao contrário de uma simples medida
em que se utiliza apenas um único tamanho de régua. O fato de ele ser estático, significa dizer
que durante a medida não há ocorrência de nenhum fenômeno de crescimento no qual a
medida da extensão do objeto possa mudar com o tempo.
Figuras fractais já formadas podem ser escalonadas a partir de trechos de
tamanhos, u, de forma a se obter analiticamente a expressão que mais se aproxima do
ecalonamento real do objeto em consideração. Para fractais estatísticamente auto-similares, o
escalonamento fractal com uma única dimensão, D, representa uma medida média do processo
global de escalonamento (Figura - ). Por outro lado, pode ser que o objeto em consideração
seja um multifractal, ou seja, fractais contidos dentro de fractais, cuja dimensão varia
continuamente a medida que o escalonamento é feito desde de escalas inferiores, εmin, até
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escalas superiores, εmáx, ou ainda, fractais não-uniformes, cuja dimensão varia de região para
região.
5. 4.2 - Método de Hausdorff-Besicovitch para se determinar a dimensão de
um objeto fractal
A partir da definição da dimensão de Hausdorff-Besicovitch vista o Capítulo II
podemos imaginar uma forma genérica de se obter a dimensão fractal de um objeto ou figura.
0;
M α (δ k ) =
α
k
γ (α )δ k = N (δ k )γ (α )δ k
δ k →0
α
D <α
M D; D =α
(5. 15)
∞; D > α
Observe a partir da equação (5. 15) que um objeto de dimensão D é recoberto com
unidades padrão de dimensão α (α ∈ R) e o número de unidades padrões que colapsam com o
objeto ou a figura é contado e assim o número N (δ k ) é determinado. Embora a dimensão da
unidade padrão, α, possa ser qualquer, inclusive a dimensão do próprio objeto, α = D, neste
caso a dimensão α deve ser previamente conhecida, o que não é vantagem. Contudo se a
dimensão α das unidades padrões de medida forem a dimensão do espaço de imersão do
objeto a dimesão fracxtal D pode ser determinada pela relação:
ln N (δ k )
δ k →0 ln[δ / δ
k
max ]
D = lim
(5. 16)
O que para α ∈ Z corresponde ao métodos de contagem de caixas (BOX-Counting e SandBox), conforme será visto a seguir.
5. 4.3 - Medida da dimensão fractal da superfície de fratura ou do caminho da
trinca.
A perfilometria de superfície permite o cálculo da dimensão fractal pelo método
Sand-Box ou Box-Counting [BUNDE 1994]. Estes métodos consistem basicamente em obter
medidas do perfil de fratura, L, em função de várias escalas de medida, ε, deste perfil (Figura 5. 7a e Figura - 5. 7b).
14
Figura - 5. 7. Método de medida da dimensão fractal. a) Superfície de fratura b) Perfil de fratura c)
Gráfico de log L x log ε , onde d = 1.
Os valores do logaritmo do comprimento do perfil, L, medido, graficado em função do
logaritmo da escala, ε, escolhidas arbitrariamente, tem como resultado uma linha reta, cuja
inclinação dá a dimensão fractal do perfil (Figura - 5. 7c). Analiticamente, para o caso de
perfís, a relação fractal entre o comprimento real, L, e o comprimento projetado da trinca, Lo,
de acordo com o modelo proposto neste capítulo, é dado de forma idêntica a relação (4.45), ou
seja:
L = Lo[1+ε2(1-H) ] 1/2,
(5. 17)
Este tipo de análise presupõe grosseiramente que a superfície a ser analisada
possui algum tipo de escalonamento fractal no seu perímetro, permitindo que uma análise
fractal ou multifractal seja realizada, onde o caso auto-similar é dado de acordo com (4.47)
por:
L = Loεd-D.
(5. 18)
5. 4.4 - Método de Richardson para o cálculo da dimensão auto-similar de um
objeto fractal
Richardson (1920) criou um método geométrico de medida da extensão de costas
marítmas baseado no escalonamento de uma função M(δ) em termos do comprimento da
régua de medida utilizada, δ. Segundo Richardson o valor mais preciso da medida M(δ) é
obtido conforme o tamanho da régua δ tende a zero, ou seja:
lim M (δ ) = M o
δ →0
15
,
(5. 19)
graficando-se o logaritmo de M(δ) em função do logaritmo de δ, Richardson mostrou que os
diferentes valores obtidos para de M(δ) cresce com uma lei de potência conforme o tamanho
da régua δ diminue, isto é:
→
M(δ) ∼ δd-D
(5. 20)
Figura - 5. 8. Diagrama de Richardson usado no cálculo da dimensão fractal de um objeto.
Na prática o diagrama de Richardson mostrado na Figura - 5. 8 é obtido cobrindose a linha costeira com passos de tamanho δ e contando-se quantos destes passos são obtidos
para cada tamanho de régua δ, conforme mostra a Figura - 5. 9. Richardson mostrou
experimentalmente que o número deste passos N(δ) é do tipo:
N(δ)∼ δ-D
(5. 21)
Portanto a medida M(δ) é dada por:
M(δ) ∼N(δ)δd
(5. 22)
sendo a dimensão da unidade padrão de medida igual a dimensão da régua utilizada, isto é, d
= 1 a relação de Richardson de acordo com (5. 20) fica sendo:
M(δ) ∼ δ1-D
(5. 23)
Ao aplicar-se o logaritmo na expressão acima obtém a equação de uma reta cuja
inclinação fornece a dimensão fractal do perímetro da costa ou do objeto geométrico em
questão, ou seja,
D = 1 - lnM(δ)/lnδ
16
(5. 24)
O método de Richardson proporciona uma medida do perímetro de objetos
geométricos que possuam uma dimensão do tipo Hausdorff-Besicovitch, porém ele não pode
ser utilizado para medida de objetos auto-similares. Neste caso é preciso estender o padrão de
medida usado no método de Richardson de forma compatível com a dimensão da massa do
objeto com um todo, ou seja, utilizando caixas de dimensão superior ao tamanho de régua de
Richardson. Se bem que uma “régua de Richardson” também pode ser entendida
geometricamente como uma caixa de dimensão d unitária, mas que não se aplica quando a
dimensão do objeto a ser medido é superior (do >1). Neste caso as “caixas” passam a ter
dimensão d = 2, 3 ... conforme auto-similaridade do objeto a ser medido. A medida da
dimensão auto-similar de um objeto pode ser feita por dois método básicos conforme veremos
em seguida.
As linhas costeira de Richardson estão ligadas a figuras planas que possuem um
perímetro rugoso, formando continentes ou ilhas. Se imaginarmos que estas ilhas são
decorrentes do corte em nível de um relevo, isto é, de uma superfície de dimensão superior,
podemos procurar entender como está relacionada uma medida feita em um dado plano com a
medida feita em outro plano, ou seja, o plano dos perfis destas superfícies.
Uma outra análise que pode ser feita a partir de uma superfície se fizermos cortes
verticais de forma a se obter o perfil destas superfícies. Neste caso a análise da dimensão D
usando caixas de tamanho δ deve respeitar a direção sobre a qual as caixas se estendem. Vê-se
claramente que um perfil possui diferentes extensões nas suas diferentes direções
perpendiculares. Portanto de forma a compatibilizar o método de análise com o aspecto da
figura, utiliza-se tamanho de caixas diferentes δx e δy nas direções vertical e horizontal da
figura respectivamente.
Há basicamente duas forma de se recobrir um objeto caixas, a primeira e
tomando-se caixas de tamanhos diferentes que se prolongam desde uma tamanho mínimo δmin
até um tamanho máximo a partir de uma origem fixa. O primeiro método é conhecido como
método Box-Counting e o segundo é conhecido como método Sand-Box. A vantagem do
segundo sobre o primeiro é que este detecta a variação da dimensão D com a extensão do
objeto. Se o objeto sob análise possui uma dimensão local para caixas com tamanho δ → 0
diferente da dimensão global δ → ∞ dizemos que o objeto fractal é auto-afim. Caso contrário
o objeto é dito auto-similar.
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Existem dois métodos principais de contagens de estruturas que podem levar a
determinação da dimensão fractal de um objeto BUNDE [1984]. O primeiro é o método chamado
Box-counting, exemplificado na Figura - 5. 10. O segundo é o método Sand-box exemplificado na
Figura - 5.12.
5. 4.5 - O método Box-Counting de contagem pelo escalonamento estático dos
elementos de uma estrutura fractal
O método Box-Counting, procede da teoria da renormalização da mecânica
estatística. Em mecânica estatística, existe um método matemático, análogo a este, para se
descrever fenômenos que apresentam propriedades de auto-similaridade, o qual permite
realizar transformações de escala, sem perda de generalidades na descrição das informações
físicas do fenômeno, que vão desde grandezas como volume até energia. Porém, no caso
descrito aqui, o método Box-Counting consiste em preencher o espaço ocupado por um objeto
fractal com caixas de tamanho u arbitrário, e contar o seu número em função do tamanho u
dessas caixas, (Figura - 5. 2 e Figura - 5. 4). Este número N(u) de caixas, é dado da seguinte
forma:
N(u) = CuD
(5. 25)
Lançando-se os dados num gráfico log x log, obtém-se, a partir da inclinação da
curva obtida, a dimensão fractal do objeto.
18
Figura - 5. 9. Representação gráfica do método Box-Counting usado para o cálculo da dimensão
fractal, BUNDE [1984], para escalas de: 1/4L, 1/8L, 1/16L, 1/32L, respectivamente da esquerda para a direita e
de cima para baixo, onde L é o lado do quadrado externo que envolve a figura toda. No caso deste exemplo, a
dimensão fractal calculada foi D ≅ 1,85.
No método Box-Counting (Figura - 5. 10), subdivide-se o objeto em nk = Lo/δk
caixas iguais de lado δk e conta-se quantas destas caixas cobrem o objeto. Em seguida, variase o tamanho das caixas e refaz-se a contagem. Fazendo-se o gráfico do logaritmo do número
Nk de caixas que cobrem o objeto pela escala de cada subdivisão (εk = δk/Lo), obtém-se a partir
da inclinação deste gráfico a dimensão fractal. Observe que neste caso a partição máxima é
alcançada quando N∞ = Lo/δk (k →∞) = Lo/lo, onde Lmax = Lo é o comprimento projetado da
trinca e δ∞ = lo é o comprimento da menor régua de medida possível na prática.
19
Figura - 5. 10. Trecho de uma trinca sobre um corpo de prova, mostrando a variação da medida do
comprimento, L, da trinca com a escala de medida, εk = δk/Lo, para uma partição, δk = variavel e Lk = Lo ( fixo),
com seccionamento feito para contagem segundo o método de escalonamento Box-Counting unidimensional.
Na Figura - 5. 9 ilustra-se o uso deste método em um objeto fractal. São
apresentadas diferentes grades, ou malhas, construídas de forma a cobrir toda a estrutura, cuja
dimensão fractal se deseja conhecer. As malhas são desenhadas a partir de um quadrado
original, envolvendo todo o espaço ocupado pela estrutura. Em cada estágio de refinamento da
malha (Lo) (o número de partes iguais em que o lado do quadrado é dividido) são contados o
número de quadrados, N(Lo), que contêm parte da estrutura. Repetidamente, a partir dos dados
encontrados, constrói-se o gráfico de log Lo x log N(Lo). Se o gráfico, assim obtido, for uma
reta, então o comportamento da estrutura tem auto-similaridade ou auto-afinidade estatística
ou fractal, cuja dimensão, D, é obtida pelo cálculo do coeficiente angular da reta. Para
20
estruturas mais compactas, é recomendável fazer uma estatística, isto é, repetir a contagem
dos N(Lo) para diferentes quadrados construídos a partir do centro de gravidade da estrutura
(quadrados com lados diferentes). Desta forma, obtém-se um conjunto de valores de N(Lo)
para outro conjunto de valores de Lo. Estes dados são tratados estatisticamente para obter o
valor da dimensão fractal “D”.
Do ponto de vista da medida experimental, pode-se pensar em usar diferentes métodos
de visualização da trinca para a obtenção da dimensão fractal, tais como: microscópio ótico,
microscópio eletrônico, microscópio de força atômica, etc., os quais apresentam naturalmente
diferentes réguas δk e consequentemente diferentes escalas de medida, εk..
A dimensão fractal é normalmente calculada usando o método Box-Counting
representado na Figura - 5. 10, ou seja, variando-se o tamanho δk da régua de medida e,
contando-se o número de caixas, Nk, que cobrem a estrutura, no caso uma trinca, obtém-se a
dimensão fractal pela relação
D=−
ln N
ln( lo / Lo )
(5. 26)
A descrição de uma trinca segundo o método Box-Couting segue a idéia mostrada
na Figura - 5. 10, cujo resultado é:
D=−
ln 57
= 1.096 .
ln( 1 / 40 )
(5. 27)
O mesmo resultado pode ser obtido usando o método Sand-Box, conforme mostra a Figura 5.12.
5. 4.6 - O método Sand-Box de contagem pelo escalonamento estático dos
elementos de uma estrutura fractal
O método Sand-Box consiste, da mesma forma que o método Box- Counting, em
contar o número de caixas, N(u), porém, com tamanho fixo, u, o menor possível, estendendose gradativamente a fronteira da contagem até atingir-se a fronteira do objeto em
consideração. Isto é feito fixando-se inicialmente, a origem da contagem a partir de um ponto
fixo sobre o objeto, conforme mostra a Figura - 5. 6 e Figura - 5. 11. Este método parece ser o
mais vantajoso, pois além de se estabelecer um sistema de coordenadas, ou uma origem, para
21
o cálculo da dimensão fractal, ele também permite, em certos casos, inferir dados dinâmicos a
partir do escalonamento estático, conforme demonstra ALVES [1998].
No método Sand-Box (Figura - 5.12), cobre-se a figura com caixas de tamanhos
Lk diferentes, não importantando a forma, que podem ser retangulares ou esféricas, porém,
fixadas em um ponto “O” qualquer sobre a figura, denominado origem, a partir do qual as
caixas são ampliadas. Conta-se o número Nk de estruturas elementares, ou sementes, que
cabem dentro de cada caixa. Fazendo-se o gráfico de logNk x log(εk = δmin/Lk) obtém-se, da
mesma forma que no método anterior a dimensão fractal. Observe que neste caso a partição
máxima é alcançada quando N∞ = Lk (k →∞)/δmin = Lo/lo, onde L∞ = Lo é o comprimento
projetado da trinca e δmin = lo é o comprimento da menor régua de medida possível na prática.
Figura - 5. 11. Representação gráfica do método Sand-Box usado para o cálculo da dimensão
fractal, BUNDE [1984]. No caso deste exemplo, a dimensão fractal calculada foi D ≅ 1,85.
Este método é o mais recomendável a ser usado, quando se deseja calcular a
dimensão fractal de estruturas compactas. A partir de um ponto (escolhido arbitrariamente)
que pertence à estrutura fractal, cuja dimensão se quer calcular, constrói-se um quadrado
imaginário Lk x Lk (k = 1). O número de pontos, N1(L1), que pertencem à estrutura, contidos
dentro deste quadrado, é contabilizado. Então o quadrado é deslocado para outro ponto,
dentro da estrutura, e novamente o número de pontos, N2(L1), que ficam dentro do quadrado, é
contabilizado. E assim por diante, até que toda a estrutura é varrida, deslocando-se o quadrado
de lados Lk x Lk ( k = 1) e contabilizando-se os N1(Lk) em cada estágio. Em seguida, é mudado
22
o tamanho do quadrado Lk x Lk (k = 2) e repetido todo o processo anterior. Finalmente tem-se
um conjunto de valores Ni(Lk), para diferentes valores dos quadrados Lk x Lk (k = 1,2,...,n)
construídos imaginariamente. A partir destes dados, é feito um tratamento estatístico para o
cálculo da dimensão fractal.
Figura - 5.12. Trecho de uma trinca sobre um corpo de prova, mostrando, a variação da medida do
comprimento, L, da trinca com a escala de medida εk = lo/Lk, para uma partição, Lk = variavel, δk = lo (fixo), com
seccionamento feito para contagem segundo o método de escalonamento Sand-Box unidimensional.
Do ponto de vista experimental, é preciso esolher um único método de medida, no
qual são tomados diferentes extensões da trinca, para a variação da escala de medida ε, uma
vez que o tamanho da régua ou ou partição δmin = lo se mantém fixa.
23
5. 4.7 - Equivalência entre o método de contagem Box-Counting e o método
Sand-Box
O escalonamento fractal admite uma autosimilaridade escalonável por uma lei de
potência não inteira do tipo:
N(ε) = ε-D
(5. 28)
para fractais auto-afins esta relação é modificada e escreve-se:
N(ε) = ε2-H
(5. 29)
onde:
d: é a dimensão da projeção sobre a qual o fractal de crescimento está apoiado.
D é a dimensão fractal global do objeto.
H: é o expoente de Hurst, dado por: H = 2 - D.
No método Box-Couting conta-se o número de estruturas elementares, N(ε), de
tamanho, δk = lk, depositada sobre um objeto fractal, variando-se a régua de medida, εk =
δk/Lmáx = lk/Lo, isto é, variando-se apenas o tamanho, δk, das “caixas” para cada série de
contagem, ao longo de todo o objeto, onde Lmáx = Lo é o tamanho objeto já formado. Neste
método admite-se um tamanho final fixo, igual ao tamanho do fractal em consideração, Lmáx =
Lo, e recobre-se toda a extensão do objeto com “caixas” de tamanho δk variáveis, que podem
ser: segmentos, para objetos imersos em 1D; quadrados, para objetos imersos em 2D e cubos
para objetos imersos em 3D. Variando-se o tamanho, δk, das caixas, obtém-se diferentes
escalas, εk = δk/Lmáx, de recobrimento. A varredura das escalas, εk, ocorre, variando-se δk
desde a escala, εmáx = δmáx/Lmáx = 1, onde δmáx = Lo (o tamanho do objeto) até a escala, εmin =
δmin/Lmáx onde δmin = lo (o tamanho da semente do fractal), ou vice-versa, onde ε é dado de
forma genérica por:
εk = δk/Lo
(5. 30)
e lo ≤ δk ≤ Lo
Portanto a relação (5. 29) para fractais auto-afins, fica sendo:
N(δk) = (δk/Lo) 2-H
24
(5. 31)
Contando-se o número de “caixas”, N(ε), que recobrem o objeto a cada escala de
recobrimento, ε, e graficando-se em gráfico log-log, as quantidades N(ε) x ε, obtém-se pela
inclinação da reta a dimensão fractal, D, ou 2 - H para o fractal auto-afim.
Enquanto que no método Sand-Box fixa-se uma origem, O, de um sistema de
coordenadas e toma-se o número, N(ε), de estruturas elementares de tamanho δmin = lo, a partir
de “caixas” centradas nesta origem, estendendo-se a escala, εk, correspondente ao tamanho das
“caixas”, de forma que εk = δmin/Lk = lo/Lk, onde δmin é o tamanho fixo unitário de uma “caixa”
menor, por exemplo, e Lk é a fronteira de uma outra “caixa” maior, de tamanho variável.
Neste método considera-se o tamanho das “caixas” fixo, igual ao tamanho da semente ou do
elemento de estrutura fractal, δmin = lo, e recobre-se parte do objeto, variando-se a fronteira do
recobrimento, Lk. A varredura em escalas, εk, é feita, variando-se o tamanho da fronteira, Lk,
do recobrimento, desde a escala εmáx = δmin/Lmin = 1, onde Lmin = lo (o tamanho da semente
do fractal), até a escala εmin = δmin/Lmáx, onde Lmáx = Lo (o tamanho do objeto), onde as
diferentes escalas de recobrimento, ε, são dadas de forma genérica por:
εk = δmin/Lk
(5. 32)
onde lo ≤ Lk ≤ Lo
Portanto a relação (5. 29) para fractais auto-afins, fica sendo:
N(δ) = (δmin/Lk) 2-H
(5. 33)
A medida da fronteira é feita a partir de uma origem, O, onde se fixa um sistema
de coordenadas para o recobrimento e a partir deste, estende-se arbitrariamente a fronteira de
recobrimento, até o limite final do tamanho do objeto onde L = Lmáx.
Contando-se o número de “caixas”, N(ε), que recobrem o objeto a cada extensão
da fronteira de recobrimento, L, e graficando-se em gráfico log-log, as quantidades N(ε) x ε
obtém-se pela inclinação da reta a dimensào fractal D ou 2-H para o fractal auto-afin.
Observe que, quer por um método ou por outro, as relações acima (5. 31) e (5. 33).
não dependem do método de contagem e garantem a equivalência entre o método de contagem
Box-Counting com o método Sand-Box, pois elas não dependem da forma como é feito o
escalonamento espacial.
25
Quando o objeto geométrico a ser analisado é do tipo auto-afim, diferentes
dimensões são encontradas para cada método citado acima. Um exemplo de fractais auto-afim
são por exemplo o relevo formado pelas ilhas ou continentes.
Observe que a medida exata nos dois casos é obtida quando δk → lo no primeio caso
ou quando Lk → Lo, o que equivale a relação εk (k → ∞) = δk/Lk = lo/Lo → 0, nós dois casos.
A vantagem do segundo método em relação ao primeiro é que, no segundo, eu posso
acompanhar a propagação da trinca instantaneamente a medida que ela surge no meu material.
Portanto um escalonamento dinâmico, como pode ser chamado, é possivel a partir da relação:
N =ε
−D
l
= o
Lo
−D
(5. 34)
conforme veremos seguir.
5. 5 -Apêndices
A partir de agora será descrito o “método de análise das ilhas de contraste”, em
analogia com o método de análise das ilhas cortadas (MIC) de MANDELBROT & PASSOJA
[1984].
5. 5.1 - O método de análise das ilhas cortadas de Mandelbrot
O Método das Ilhas Cortadas (MIC), elaborado por Mandelbrot, baseia-se na
análise de superfícies de nível da topografia apresentado pela superfície rugosa. Ele utiliza a
relação entre perímetro, P, e área, A, [MECHOLSKY 1989] dada pela seguinte expressão(1):
A1/2 ∼ P1/Ds
(5. 35)
onde Ds corresponde a dimensão auto-similar encontrada pelo método de Richardson.
Este método procede da geometria euclidana. Figuras geometricas regulares, da
geometria euclidiana, possuem relações matemáticas com expoentes inteiros, quando se
expressa grandezas tais como: perímetro, área, volume, em função de um comprimento
1
Relação aproximada. Uma discussão sobre a validade desta relação (Área versus Perímetro) pode ser encontrada em Jens
Feder, Fractals, capitulo 12, p. 200-211, Plenum Press, New York, 1989
26
unitário u. Normalmente, uma figura geométrica deste tipo, possue expressões analíticas
capazes de definir estas grandezas como sendo:
Perímetro:
P = C1 u d
(5. 36)
A = C2ud+1
(5. 37)
V = C3ud+2
(5. 38)
Área:
Volume:
Figura - 5. 13. Superfície irregular ou rugosa utilizada para análise pelo método das ilhas cortadas,
que apresenta escalonamento fractal com dimensão D entre: 2 ≤ D ≤ 3..
Escrevendos duas delas, isto é, uma em função da outra, tem-se:
Área em função do Perímetro:
A = C2(P/C1)(d+1)/d
(5. 39)
V = C3(A/C2)(d+2)/(d+1)
(5. 40)
Volume em função da Área:
27
Volume em função do Perímetro:
V = C3(P/C1)(d+2)/d
(5. 41)
Observe que, ao se tomar o logaritmo de qualquer uma das expressões acima, para
se obter o valor do expoente, d, num gráfico log x log , variando-se o tamanho da escala, u,
ter-se-á necessariamente que este d será inteiro. Porém, para uma fractal isto não acontece. O
que Mandelbrot fez foi usar este fato, generalizando-o agora para figuras fractais, cuja
dimensão D não é inteira. Seu método consiste em graficar num gráfico log x log o valor de
duas destas grandezas, área e perímetro por exemplo, variando-se o tamanho da sua escala de
medida u. Ele percebeu que superfície irregulares, como as de fratura por exemplo, possuem
curvas de níveis que determinam verdadeiras ilhas, (Figura - 5. 14), com linhas costeiras que
seguem um escalonamento fractal, análogo as ilhas normalmente encontradas no mapa mundi,
as quais ele chamou de “ilhas cortadas”.
Figura - 5. 14. “Áreas cortadas” em superfícies de níveis da Figura - 5. 13.
Ver-se-á portanto, através deste método, que uma ilha qualquer, encontrada no
corte em nível de uma superfície de fratura, pode ser caracterizada de forma analítica por uma
relação do tipo:
A = CrD
(5. 42)
onde:
C: é uma constante de proporcionalidade que depende da forma geométrica da ilha
D: é a dimensão fractal da ilha cortada
28
r: é o raio médio da ilha determinado pelo valor médio do tamanho dos segmentos que
atravessam o centro geométrico da ilha. Observe, que a relação (5. 42) é válida para o
conjunto de ilhas cortadas encontradas nos vários cortes em níveis da superfície de fratura.
De forma análoga, uma trinca radial sobre uma superfície plana, também pode
gerar fragmentos similares a “ilhas cortadas” que também podem ser caracterizados por uma
relação do tipo (5. 42) conforme mostra a Figura - 5. 15.
Figura - 5. 15. a) Trinca radial num disco de espessura ”e” e raio Rmáx. b) fragmento fractal de raio
r e espessura “e” análogo a uma ilha cortada.
Portanto, a análise de ilhas provenientes de cortes de superfícies em diferentes
níveis recebeu o nome de método das ilhas cortadas. O MIC recebe um tratamento análogo ao
método de Richardson. Porém, como as superfícies possuem dimensão superior a uma costa,
pode-se pensar em cobrir a superfície das ilhas com caixas quadradas de tamanho, δ, ao invés
de passos sobre a costa destas ilhas, conforme mostra a Figura - 5. 9. No MIC procura-se
estabelecer uma relação entre a área e o perímetro destas ilhas, através de uma relação
matemática do tipo
Akr1/2 ~ Pkr1/D
(5. 43)
onde Akr é a área destas ilhas e Pkr é o seu perímetro, o índice, k, diz respeito ao nível de
profundidade do corte e o índice, r, diz respeito a ilha sob análise. D é a dimensão fractal da
superfície que corresponde a dimensão auto-similar encontrada pelo método de Richardson.
Cortes em nível da superfície rugosa de fratura foram feitos em várias
profundidades, k, por meio do polimento da superfície. Após estes cortes, secções planas da
fratura em forma de ilhas aparecem sobre a secção transversal do corpo de prova, conforme
mostra a Figura - 5. 16a.
29
A relação (5. 43) significa que as medidas das áreas graficadas em função das
medidas dos perímetros correspondentes de várias ilhas, para um mesmo nível, k, de
seccionamento em profundidade de uma superfície fractal, dão como resultado o valor da
dimensão fractal, calculada pela inclinação da reta obtida num gráfico do tipo logAkr x log Pkr
(Figura - 5. 16b), ou seja:
logAkr ~ 2/D logPkr
(5. 44)
Figura - 5. 16. Método de análise das ilhas cortadas, para medida da dimensão fractal da superfície
de fratura. a) Corte em nível da superfície de fratura. b) Gráfico logAkr x logPkr destas ilhas.
Como foi visto na discussão dos resultados esta é uma fórmula aproximada que
depende de vários fatores.
Sabe-se que os valores da medida obtida para as áreas e para os perímetros dependem
do tamanho da régua, δ, utilizada. Esta é uma característica de um objeto fractal, conforme
mostra a relação (5. 45).
Md(δ)= N(δ)δd
(5. 45)
onde Md(δ) = L(δ), A(δ), V(δ) para d = 1,2,3 e N(δ) = (δ/δmáx)-D. Observe que: Md(δmáx) =
δmáxd, pois N(δmax) = 1.
Portanto, comparando-se a metodologia das ilhas cortadas sugerida pela relação
(5. 43) com a metodologia da determinação da dimensão fractal sugerida pelos fractais
matemáticos dada pela relação (5. 45) tem-se:
Md(δ) = Md*(δ/δ*)d-D
30
(5. 46)
Extraindo de (5. 45) o valor de um comprimento de régua, δr*, que depende da
área, Ar(δ), da r’ésima ilha, para uma relação dada por:
δr* = [Ar(δ)/NA(δ)] 1/2
(5. 47)
Substituindo (5. 45) em (5. 46) para uma medida de perímetro, Pr(δ*) =NP(δ*)δr*,
onde d =1, tem-se:
Pr(δ) = NP(δ*)δr*D δ 1-D.
(5. 48)
Substituindo tamanho de régua δ* dado em (5. 47) em (5. 48) para a medida de perímetro
Pr(δ) dada por:
Pr(δ) =NP(δ*)/NA(δ)D/2Ar(δ)D/2δ1-D
(5. 49)
Pr(δ) = C(δ)Ar(δ)-D/2
(5. 50)
obtem-se
onde C(δ,D) = NP(δ*)/NA(δ)D/2δ1-D.
Observa-se que se houver mudança no tamanho da régua, δ, ou na resolução da escala
de medida, ε = δ /δ*, no método das ilhas cortadas, haverá necessariamente mudanças nos
valores de A(δ) e P(δ) para uma mesma ilha analisada. Isto a principio, não deveria influenciar
no valor da dimensão fractal a ser determinado. Porém, SHI [1996] alerta para este fato,
demonstrando teórica e experimentalmente que há variações no valor da dimensão fractal
assim determinada, quando o tamanho da régua não é adequadamente escolhido. Isto significa
que a dimensão fractal determinada pelo método das ilhas cortadas depende dela mesma da
seguinte forma:
D = 2ln[Pr(δ)/C(δ)]/ln[Ar(δ)].
(5. 51)
Porque o coeficiente C(δ,D) não é uma constante, para que a variação na medida do perímetro
seja compensada pela variação na medida área de forma que o valor de D seja único.
5. 6 - Referências bibliográficas
ALVES, Lucas Máximo – Escalonamento dinâmico da fractais laplacianos baseado no
método Sand-Box, In: Anais do 42o Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de
Junho, 1998. Artigo publicado neste congresso ref.007/1.
31
BUNDE, Armin; Shlomo Havlin, Fractals in Science, Springer-Verlag 1994.
MANDELBROT, Benoit B, Fractals: form chance and dimension, Freeman, San Francisco,
1977.
MANDELBROT, Benoit B.; Dann E. Passoja & Alvin J. Paullay, Fractal character of fracture
surfaces of metals, , Nature (London), vol. 308 [5961], p. 721-722, 19 April, 1984.
MECHOLSKY, J. J.; D. E. Passoja and K. S. Feinberg-Ringel; Quantitative analysis of brittle
fracture surfaces using fractal geometry, J. Am. Ceram. Soc., vol. 72, n. 1, p. 60-65, 1989.
SHI, Duan Wen; Jian Jiang and Chi Wei Lung, Correlation between the scale-dependent
fractal dimension of fracture surfaces and the fracture toughness, Physical Review B. vol. 54,
n. 24, R17355-R17358, 15 December, 1996-III.
32