Método de Simpson - FACOM

Método de Simpson
b
Seja. I =∫a f  xdx . Considere a subdivisão do intervalo [a, b]
em n subintervalos.
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
b
Seja. I =∫a f  xdx . Considere a subdivisão do intervalo [a, b]
em n subintervalos.
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
b
Seja. I =∫a f  xdx . Considere a subdivisão do intervalo [a, b]
em n subintervalos.
f(x)
x i1
I i =∫x f x dx
i−1
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [xi-1, xi+1] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1).
f(x)
P2(x)
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [xi-1, xi+1] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1).
P2(x)
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [xi-1, xi+1] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1).
S
i
x i1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i−1
P2(x)
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
O método de Simpson consiste em aproximar a função f(x) no
intervalo [xi-1, xi+1] pelo polinômio interpolador de grau 2 que
passa pelos pontos (xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1).
S
i
x i1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i−1
P2(x)
Determinar P2(x) via Lagrange
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i −1
Determinação de P2(x) via Lagrange
P2(x)
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i −1
Determinação de P2(x) via Lagrange
P2(x)
* Pontos onde f(x) é conhecida:
(xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1)
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i −1
Determinação de P2(x) via Lagrange
P2(x)
* Pontos onde f(x) é conhecida:
(xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1)
P 2  x=f i−1
 x− x i  x− x i1
 x i−1− x x x i−1− x i1 
i
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i −1
Determinação de P2(x) via Lagrange
P2(x)
* Pontos onde f(x) é conhecida:
(xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1)
P 2  x=f i−1
 x− x i  x− x i1
x−x i−1  x−x i1
f i
 x i−1− x x x i−1− x i1 
 x i −x i−1  x i −x i1 
i
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
i −1
Determinação de P2(x) via Lagrange
P2(x)
* Pontos onde f(x) é conhecida:
(xi-1, fi-1), (xi, fi) e (xi+1, fi+1)
P 2  x=f i−1
 x− x i  x− x i1
x−x i−1  x−x i1
x−x i−1  x−x i 
f i
f i1
 x i−1− x x x i−1− x i1 
 x i −x i−1  x i −x i1 
 x i1−x i−1  x i1−x i 
i
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
x i1
∫x
i−1
i −1
x i1
P2 x dx=∫x
i−1
x−x i  x−x i1 
f i−1
dx
 x i−1 −x x x i−1 −x i1 
+
 x−x i−1  x−x i1 
fi
dx
 x i −x i−1  x i −x i1 
+
i
x i1
∫x
i−1
x i1
∫x
i−1
 x−x i−1  x−x i 
f i1
dx
 x i1 −x i−1  x i1−x i 
Fazendo as devidas mudanças de variáveis e integrações tem-se
x i 1
I i≈ I =∫x
S
i
i −1
h
P 2  xdx= f i−14f i f i1 
3
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
x i1
∫x
i−1
i −1
x i1
P 2  xdx=∫x
i−1
 x−x i  x−x i1 
f i−1
dx
x i−1−x x x i−1 −x i1
+
 x−x i−1  x−x i1 
fi
dx
 x i −x i−1  x i −x i1 
+
i
x i1
∫x
i−1
x i1
∫x
i−1
 x−x i−1  x−x i 
f i1
dx
 x i1 −x i−1  x i1−x i 
Fazendo as devidas mudanças de variáveis e integrações tem-se
x i 1
I i≈ I =∫x
S
i
i −1
h
P 2  xdx= f i−14f i f i1 
3
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
S
i
x i 1
I i≈ I =∫x P 2  xdx
x i1
∫x
i−1
i −1
x i1
P 2  xdx=∫x
i−1
 x−x i  x−x i1 
f i−1
dx
x i−1−x x x i−1 −x i1
+
 x−x i−1  x−x i1 
fi
dx
 x i −x i−1  x i −x i1 
+
i
x i1
∫x
i−1
x i1
∫x
i−1
 x−x i−1  x−x i 
f i1
dx
 x i1 −x i−1  x i1−x i 
Regra 1/3
de Simpson
Fazendo as devidas mudanças de variáveis e integrações tem-se
x i 1
I i≈ I =∫x
S
i
i −1
h
P 2  xdx= f i−14f i f i1 
3
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
h
I≈∫a P 2  xdx= f 0 4f 1f 2 
3
b
Regra 1/3 de Simpson – Regra de Simpson Simples
P2(x)
f(x)
* 1 intervalo [a, b]
h
a = x0
h
x1
b = x2
* Conhecidos 3 pontos, utiliza-se P2(x) para
aproximar f(x) no intervalo [a, b]
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
h
I ≈∫a P 2  x dx= f 0 f m 4 f 1 f 3...f m−1 2f 2 f 4 ...f m−2 
3
b
Regra 1/3 de Simpson Composta (Repetida)
f(x)
h h h h h h
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
h h
xm-2 xm-1 b = xm
* n intervalos entre [a, b].
* Conhecidos 3 pontos em cada intervalo,
utiliza-se P2(x) para aproximar f(x) neste
intervalo
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
3h
I≈∫a P3  xdx= f 03f 13 f 2f 3 
8
b
Regra 3/8 de Simpson Simples
P3(x)
f(x)
* 1 intervalo [a, b]
h
a = x0
h
x1
h
x1
b = x2
* Conhecidos 4 pontos, utiliza-se P3(x) para
aproximar f(x) no intervalo [a, b]
Métodos Numéricos - Integração
Método de Simpson
xm
I ≈∫x P 2 x dx=
0
3h
f 0f m 3f 13f 2 2f 3 3f 43f 5 2f 6...2f m−3 3f m−2 3f m−1 
8
Regra 3/8 de Simpson Composta
* n intervalos entre [a, b]
* Conhecidos 4 pontos, utiliza-se P3(x) para
aproximar f(x) em cada intervalo
Métodos Numéricos - Integração