Triângulo de Pascal

ESCOLA SECUNDÁRIA DE S. LOURENÇO
Pascal, Triângulos e Caminhos
Matemática A 12º Ano
Considere que se quer deslocar de onde se encontra o Sr. Videoteca até ao clube para
entregar as cassetes. De quantas formas diferentes poderá fazer o percurso?
Comece por considerar primeiro percursos mais curtos por exemplo de 2 ruas por 2 ruas,
2 ruas por 3 ruas, etc.
Observe o que se passa com os números obtidos em cada cruzamento e tente arranjar
regularidades ou propriedades dessa distribuição.
Obtemos assim o triângulo de Pascal:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Propriedades do triângulo de Pascal:
- Cada linha começa e acaba em 1
- Cada termo de uma linha (excepto os extremos) é a soma dos 2 que estão por
cima
- Em cada linha os termos equidistantes são iguais
- Existem n+1 elementos em cada linha de ordem n
- O 2º elemento de cada linha é n
- A soma dos n elementos de uma linha é sempre 2n
O triângulo de Pascal pode ser escrito usando combinações:
0
C0
1
1
C0
2
3
4
2
C0
3
C0
4
C0
C0
3
C1
4
C1
2
C1
C2
3
C2
4
C2
C3
4
C3
C4
Transportando as propriedades do triângulo de Pascal para as combinações temos:
- Em cada linha os termos equidistantes são iguais
n
C p = nCn − p
- Cada termo de uma linha (excepto os extremos) é a soma dos 2 que estão por
cima
n
C p + nC p +1 = n +1C p +1
- Os números dos extremos são sempre 1
n
C0 = 1 e n Cn = 1
- A soma de todos os termos de uma linha é 2 n , ∀n ∈ IN 0
n
C0
+
n
C1
+
n
C2
….
n
C n −1
+
n
Cn
=
2 n , ∀n ∈ IN 0