Adição de velocidades TB = KBA TA TC = KCA TA = KCB TB = KCB

A
B
C
Adição de velocidades
TC
TB
KCA = KCB KBA
TA
A
(KCA)2=(KCB)2(KBA)2
B
C
TC
TB
TA
VCA =
VCB + VBA
V V
1+ CB 2 BA
c
VCA =
200.000.000 m/s
VCA = Velocidade de C vista por A
VCB = Velocidade de C vista por B
VBA = Velocidade de B vista por A
1+VCA/c 1+VCB/c 1+VBA/c
=
1-VCA/c
1-VCB/c 1-VBA/c
TB = KBA TA
TC = KCA TA
= KCB TB
= KCB KBA TA
V
200.000.000 + 200.000.000
1+
B
A
=
VCB + VBA
V V
1+ CB 2 BA
c
200.000.000 x 200.000.000
300.000.0002
C
V
= 276.923.077 m/s
200.000.000 m/s
VCA =
200.000.000 m/s
=
V
200.000.000 + 200.000.000
1+
B
VCB + VBA
V V
1+ CB 2 BA
c
200.000.000 x 200.000.000
Contracção do Espaço
300.000.0002
C
A
V
= 276.923.077 m/s
200.000.000 m/s
S
t
t’
R
L’
O
tQO + t’OS
c
L=
2
K(-v) t’PO + K(v) t’OR
c
=
2
x’ = (K(-v) + K(v)) t’PO c
2
S
x
O
L
= (K(-v) + K(v)) L’ 2
⌅
L =L
P
Q
d2 = L2 +
tv
2
⇥2
t =⇤
1
t
v2
2
L=
=
tQO + t’OS
c
2
K(-v) t’PO + K(v) t’OR
2
2
x
L
= (K(-v) + K(v)) L’ 2
⌅
L =L
P
Q
d2 = L2 +
c
x’ = (K(-v) + K(v)) t’PO c
L’
ou
Nota: t’PO = t’OR
t’
R
v2
c2
1
t
tv
2
⇥2
ou
v2
c2
1
Nota: t’PO = t’OR
t =⇤
1
t
v2
2
S
t
t’
R
L’
O
tQO + t’OS
c
L=
2
K(-v) t’PO + K(v) t’OR
c
=
2
x’ = (K(-v) + K(v)) t’PO c
2
S
x
O
L
= (K(-v) + K(v)) L’ 2
⌅
L =L
Q
d2 = L2 +
P
S
t
tv
2
⇥2
t’
R
L’
O
P
Q
d2 = L2 +
tv
2
Q
d2 = L2 +
P
x
O
⇥2
t
v2
2
⌅
t
⇥2
t’
L=
v2
c2
1
t =⇤
1
t
v2
c2
tQO + t’OS
c
2
K(-v) t’PO + K(v) t’OR
2
c
2
x
L
= (K(-v) + K(v)) L’ 2
⌅
L =L
P
ou
x’ = (K(-v) + K(v)) t’PO c
L’
Q
d2 = L2 +
c
Nota: t’PO = t’OR
=
ou
Nota: t’PO = t’OR
t =⇤
1
tv
2
R
v2
c2
1
= (K(-v) + K(v)) L’ 2
L =L
S
L =L
x
L
v2
c2
⌅
2
2
t
= (K(-v) + K(v)) L’ 2
tQO + t’OS
c
2
K(-v) t’PO + K(v) t’OR
x’ = (K(-v) + K(v)) t’PO c
L’
tQO + t’OS
c
L=
2
K(-v) t’PO + K(v) t’OR
c
=
2
x’ = (K(-v) + K(v)) t’PO c
2
L
L=
=
ou
Nota: t’PO = t’OR
t =⇤
1
t’
R
v2
c2
1
t
tv
2
⇥2
ou
v2
c2
1
Nota: t’PO = t’OR
t =⇤
1
t
v2
2
v
d2 = L2 +
t’ , o tempo medido em terra, é maior do que
t , o tempo medido na nave.
⇥2 em terra, é menor
L’ , o comprimento medido
t
v
do que dL2, =
o comprimento
medido na nave.
L2 +
⌅ 2
t
v2
⇤
,
t
=
L =L 1
2
c2
1 vc2
⇥2
tv
2
Pedro
Pedro Vieira
Vieira
t
t =⇤
Albert-Einstein-Institute,
Albert-Einstein-Institute, Max-Planck-Institut
Max-Planck-Institut
2
1 vc2
Paradoxos
?
Centro
Centro de
de Física
Física do
do Porto
Porto
Regras de ouro
Não confiar em frases que incluam “ao mesmo
tempo”, “nesse mesmo instante” ...
Desenhar um diagrama de
espaço-tempo.
15
1
10m
1,2 ...
10m
1,2 ...
... 3!
0.87c
10m
... 3!
0.87c
1,2 ...
... 3!
0.87c
Sim
Queremos colocar
Barra de
borracha
20 m
dentro de
0.87c
Garagem
10 m
Facil, basta correres a 260.000.000 m/s para
a barra ficar com 10 metros. Depois, assim
que entrares na garagem, eu fecho a porta.
10 m
0.87c
20 m
10 m
5m
Calma!, para mim é a garagem que vem em
minha direcção a 260.000.000 m/s por isso ela
é que fica mais pequena, com apenas 5 metros!
Conseguimos
colocar a barra
na garagem?
Bora fazer uma brincadeira que é mesmo mesmo
divertida? Ainda por cima claramente nada pode
correr mal. É assim...
Sim
10 metros
6 metros
24
Tu vens a correr. Por isso ficas com 5 metros.
Tu vens a correr. Por isso ficas com 5 metros.
Quando estiveres dentro da garagem eu fecho as
portas...
0.87c
25
25
Tu vens a correr. Por isso ficas com 5 metros.
Quando estiveres dentro da garagem eu fecho as
portas...
... e abro logo de seguida para nem
sequer lhes tocares. Completamente
seguro! O que é que pode correr
mal!?
0.87c
3m
10m
Será que preciso de te fazer um desenho?!
26
25
Sim
Corro?!
27
27
0.87c
Paradoxo dos Gémeos
0:00
28
Se eu, na nave, a 240.000.000 m/s (0.8c), jogar um jogo de
xadrez de 120 minutos, um espectador, na terra, dirá que
o jogo demorou 200 minutos.
20 anos
20 anos
12 anos
V = 0.8c
12 anos a afastar e
12 anos a aproximar
12 anos
Dois gémeos com 17 anos. Um
fica na Terra. Quando o outro
regressa tem 41 anos enquanto
que o que ficou tem 57!
0:00
29
Qual iguais! São bem diferentes!
30
31
0h
0h
0h
0h
20h
0.8c
20h
12h
32
0h
0h
Faz sentido. A distância era igual a
16h-luz por isso a 0.8c chegou lá
em 20h. Devido à dilatação do
tempo para ele só passaram 12h.
32
0h
0h
Faz sentido. A distância era igual a
16h-luz por isso a 0.8c chegou lá
em 20h. Devido à dilatação do
tempo para ele só passaram 12h.
20h
20h
0.8c
20h
12h
0.8c
20h
12h
40h
40h
24h
0.8c
Faz sentido. Demorou o mesmo que a ir e para ele
foi menos devido à dilatação do tempo.
Nestas imagens temos acontecimentos
simultâneos para o sapo verde!
32
32
0h
0h
0h
0h
20h
0.8c 0.8c
7,2
12h
33
Quanto ao meu relógio: No panfleto dizia que a
distância em repouso entre o sapo verde e a
estação era igual a 16h-luz. Como eles se movem
esta distância é contraída para 9.6h-luz. A estação
vinha a 0.8c logo demorou 12h a chegar.
0h
33
Quanto ao meu relógio: No panfleto dizia que a
distância em repouso entre o sapo verde e a
estação era igual a 16h-luz. Como eles se movem
esta distância é contraída para 9.6h-luz. A estação
vinha a 0.8c logo demorou 12h a chegar.
0h
0.8c 0.8c
0h
20h
20h
7,2
0h
0.8c 0.8c
7,2
12h
Metade da viagem
(até à estação),
visto pelo sapo azul.
12h
O relógio da estação é mais subtil: Como eles se estão a
mover o relógio da estação está adiantado 12.8h. E de facto
20h=7.2h (dilatação do tempo) + 12.8h (dessincronização)
12h , 20h
+7.2h
+12.8h
33
33
Quanto ao meu relógio: No panfleto dizia que a
distância em repouso entre o sapo verde e a
estação era igual a 16h-luz. Como eles se movem
esta distância é contraída para 9.6h-luz. A estação
vinha a 0.8c logo demorou 12h a chegar.
0h
Resumo
0h
20h
0.8c 0.8c
7,2
Metade da viagem
(até à estação),
visto pelo sapo azul.
Metade da viagem
(até à estação),
visto pelo sapo azul.
Viagem vista pelo
sapo verde
12h
12h , 20h
40h, 24h
O relógio da estação é mais subtil: Como eles se estão a
mover o relógio da estação está adiantado 12.8h. E de facto
20h=7.2h (dilatação do tempo) + 12.8h (dessincronização)
+12h
12h , 20h
+7.2h
0.8c 0.8c
+12.8h
40h
12h, 20h
+7.2h
+12h
Metade da viagem (regresso à
terra), visto pelo sapo azul.
+7.2h
+12.8h
+12.8h
24h
Faz sentido. 24h porque a
estação e o sapo percorreram
cada um 8h-luz a 0.8c. 40h devido
à dilatação do tempo mais
dessincronização dos relógios
33
34
A
(KCA)2=(KCB)2(KBA)2
B
C
Relatividade Restrita
vbarco,água + vágua
= vbarco
TC
1+VCA/c 1+VCB/c 1+VBA/c
=
1-VCA/c
1-VCB/c 1-VBA/c
TB
TA
35
VCA = Velocidade de C vista por A
VCB = Velocidade de C vista por B
VBA = Velocidade de B vista por A
VCA =
VCB + VBA
V V
1+ CB 2 BA
c
36
VCA =
200.000.000 m/s
V
=
A
200.000.000 + 200.000.000
1+
B
VCB + VBA
V V
1+ CB 2 BA
c
200.000.000 x 200.000.000
Taquião
300.000.0002
C
V
= 276.923.077 m/s
200.000.000 m/s
37
38
Taquião
2
m <0
v>c
38
39
vida =u
vida =u
v
v
vvolta =u
v
39
39
vida =u
vida =u
u-v
vvolta =
1-uv/c2
v
u-v
vvolta =
1-uv/c2
v
vvolta =u
vvolta =u
v
v
t
=
t
<
u
u v
tida + tvolta = +
L
1 uv/c2
⇤
2
1 vc2 + 1
0 para u >
c
v
⇥
1
L
c
39
39
Taquiões.... não obrigado
vida =u
u-v
vvolta =
1-uv/c2
v
vvolta =u
v
t
=
t
<
u
u v
tida + tvolta = +
L
1 uv/c2
⇤
2
1 vc2 + 1
0 para u >
c
v
⇥
1
L
c
39