Aula 7

Universidade de São Paulo
Escola Politécnica - Engenharia Civil
PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas
e Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de
Dimensionamento de Estruturas de
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
FCN - Flexão composta normal com
grande e pequena excentricidades
Professores:
Túlio N. Bittencourt
Rui Oyamada
ES025
Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
____________________________________________________
Objetivos:
• Flexão Composta Normal
• FCN com grande excentricidade: flexo-compressão e flexotração
• FCN com pequena excentricidade: flexo-compressão e
flexo-tração
ES25
1
Excentricidade
ƒ Grande Excentricidade:
ƒ as fibras opostas sofrem encurtamento e alongamento
ƒ Domínios 2, 3 ou 4
ƒ Pequena Excentricidade:
ƒ as fibras opostas sofrem ambas alongamento ou ambas encurtamento
ƒ Domínios 1 ou 5
ES25
Flexo-compressão com grande excentricidade
______________________________________________________________________
Rsd’
As ’
h/2
Md
Rcd
0,8x
d
h
Nd
d’
As
Msd = Md + Nd (d - h/2)
Rsd
b
ES25
2
Flexo-compressão com grande excentricidade
______________________________________________________________________
Rsd’
Rcd
Rsd’
≡
Msd
Rcd
Msd
+
Nd
Nd
Nd
Rsd + Nd
Rsd + Nd - Nd
ES25
Flexo-compressão com grande excentricidade
______________________________________________________________________
Armadura Simples
Rsd + N d =
As =
Armadura Dupla
Rsd + N d =
As =
1
f yd
M sd
M sd
→ Rsd =
− N d = Asσ sd
d − 0,4 x
d − 0,4 x
1  M sd

− Nd 

σ sd  d − 0,4 x

M sd
∆M sd
M sd
∆M sd
+
→ Rsd =
+
− N d = As f yd
d − 0,4 x d − d '
d − 0,4 x d − d '
 M sd

∆M sd
∆M sd
+
− N d , As' = '

σ sd (d − d ')
 d − 0,4 x d − d '

ES25
3
Exemplo
b = 20 cm ; h = 40 cm ; d' = 4 cm ; fck = 20 MPa; CA50A;
Nd = 100 kN (compressão) ; Md = 50 kN.m
Msd = Md + Nd (d - h/2) = 50 + 100 (0,36 - 0,20) = 66 kN.m
ES25
Exemplo
ES25
4
Flexo-tração com grande excentricidade
______________________________________________________________________
d’
Rsd’
0,8x
h/2
As ’
Rcd
Nd
d
h
Msd = Md - Nd (d - h/2)
Md
d’
As
Rsd
b
ES25
Flexo-tração com grande excentricidade
______________________________________________________________________
Rsd’
≡
Rcd
Rsd’
≡
Msd
Rcd
Msd
+
Nd
Nd
Rsd - Nd + Nd
Nd
Rsd - Nd
ES25
5
Flexo-tração com grande excentricidade
______________________________________________________________________
Armadura Simples
Rsd − N d =
As =
M sd
M sd
→ Rsd =
+ N d = Asσ sd
d − 0,4 x
d − 0,4 x
1  M sd

+ Nd 

σ sd  d − 0,4 x

Armadura Dupla
Rsd − N d =
As =
ES25
1
f yd
∆M sd
∆M sd
M sd
M sd
+
→ Rsd =
+
+ N d = As f yd
d − 0,4 x d − d '
d − 0,4 x d − d '
 M sd

∆M sd
∆M sd
+
+ N d , As' = '

σ sd (d − d ')
 d − 0,4 x d − d '

Exemplo
b = 20 cm ; h = 40 cm ; d' = 4 cm ; fck = 20 MPa; CA50A;
Nd = 100 kN (tração) ; Md = 82 kN.m
Msd = Md - Nd (d - h/2) = 82 - 100 (0,36 - 0,20) = 66 kN.m
ES25
6
Exemplo
ES25
Flexo-compressão com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Situação com as duas armaduras (As e A`s)
εc = 0,002
b
0,85fcd
d’
A’s
Md
R’sd=A’sf’yd
σsd
f’yd
h
Nd
As
Rcd=0,85bhfcd
εs
Rsd=Asf’yd
d’
0,002
ES25
7
Flexo-compressão com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Equações de equilíbrio
 N d = 0,85bhf cd + f ' yd ( A s + A ' s )

 M d = f ' yd ( h / 2 − d ' )( A ' s − A s )
Portanto
As =
1
2 f ' yd
Md 

N
−
0
,
85
bhf
−
d
cd

h / 2 − d ' 

A' s =
1
2 f ' yd
Md 

N
bhf
−
0
,
85
+
cd
 d
h / 2 − d ' 

ES25
Flexo-compressão com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Caso de armadura unilateral (As=0) se: N d − 0.85bhf cd −
0,0035
b
A’s
Md
εc = 0,002
3h/7
ε’s
Md
<0
h / 2 − d'
0,85fcd
d’
R’sd=A’sσ’sd 0,4x
0,8x
h
Nd
Rcd=0,68bxfcd
x
ES25
8
Flexo-compressão com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Equações de equilíbrio
 N d = R cd + R ' sd

 M d = R cd ( h / 2 − 0,4 x ) + R ' sd ( h / 2 − d ' )
Portanto

 Nd
Md
= x(h/2 − 0,4x) + (h/2 − d' )
− x 
0,68bf cd

 0,68bf cd

M − (h/2 − d' )N d
x = 1,25d' 1 + 1 − d
0,425bd' 2 f cd




ES25
Flexo-compressão com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Para o domínio 5
ε 's =
x − d'
⋅ ( 0 ,002 )
x − 3h / 7
Para o domínio 3 e 4
ε' s =
x − d'
⋅ ( 0 ,0035)
x
Para o domínio 2
ε' s =
x − d'
⋅ ( 0,010)
d−x
ES25
9
Flexo-compressão com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Caso de armadura unilateral (As=0):
A's =
N d − 0 .68 ⋅ b ⋅ x ⋅ f cd
σ sd,
ES25
Exemplos
1. b = 25 cm ; h = 70 cm ; d' = 5 cm ; N = 3000 kN ;
M = 200 kN.m ; fck = 25 MPa ; CA50A
A's =
1
2 f ' yd
Md 
1

2
 N d − 0,85bhf cd + h / 2 − d '  = 2 ⋅ 42 [4200 − 2656 + 933,3] = 29,49cm


As =
1
2 f ' yd
Md 
1

2
 N d − 0,85bhf cd − h / 2 − d '  = 2 ⋅ 42 [4200 − 2656 − 933,3] = 7,27cm


ES25
10
Exemplos
2. b = 25 cm ; h = 70 cm ; d' = 5 cm ; N = 2000 kN ;
M = 200 kN.m ; fck = 25 MPa ; CA50A
0,85bhf cd +
Md
= 2656 + 933,3 = 3589 kN > N d
h / 2 − d'
As = 0

M − ( h / 2 − d' ) N d 
x = 1,25d ' 1 + 1 − d
=
0,425bd ' 2 f cd



28000 − (35 − 5) ⋅ 2800 
= 1,25 ⋅ 51 + 1 −
 = 74,45cm (domínio 5)
0,425 ⋅ 25 ⋅ 52 ⋅ 2,5 / 1,4 

ε' s =
x − d'
74,45 − 5
⋅ (0,002) =
⋅ (0,002) = 0,00312 > ε yd
74,45 − 3 ⋅ 70 / 7
x − 3h / 7
A's =
ES25
σ' sd = f yd
N d − 0,68bxf cd 2800 − 0,68 ⋅ 25 ⋅ 74,45 ⋅ 2,5 / 1,4
=
= 12,42cm 2
43,48
σ ' sd
Flexo-tração com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
εc = 0,010
b
d’
A’s
Md
R’sd=A’sfyd
h
Nd
As
Rsd=Asfyd
d’
ES25
11
Flexo-tração com pequena excentricidade
______________________________________________________________________
Equações de equilíbrio
 N d = R ' sd + R sd

 M d = ( h / 2 − d ' ) f yd ( A s − A ' s )
Portanto
As =
A 's =
ES25
Nd +
Md
h / 2 − d'
2 f yd
Nd −
Md
h / 2 − d'
2 f yd
Exemplo
ƒ b = 25 cm ; h = 70 cm ; d' = 5 cm ; Nd = 1000 kN
(tração) ; Md = 10.000 kN.cm ; fck = 25 MPa ;
CA50A
ES25
12
Exemplo
ES25
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Seção retangular com armadura simétrica
0,0035
b
h
Nd
dsi
diag. def. ELÚlt.
dc=0,4x
x
Md
0,0020
0,8x
Rcd
3h/7
D4
Rsdi
D2
D3
D1
D5
εyd
0,010
ES25
13
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Equações de equilíbrio
 N d = R cd − ∑ R sdi

 M d = R cd ( h / 2 − d c ) + ∑ R sdi ( d si − h / 2 ) = M cd + M sd
ES25
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Nd
R cd
R
=
− ∑ sdi
bhf cd
bhf cd
bhf cd
ou
ν d = ν cd − ∑ ν sdi = ν cd − ν sd
Md
M cd
M sd
R cd  1 d c 
R sdi  d si 1 
=
+
=
− 
 −  +∑

2
2
2
bh f cd
bh f cd bh f cd
bhf cd  2
h
bhf cd  h
2
1
1 d 
d
µ d = ν cd  − c  + ∑ ν sdi  si − 
2
 h
2
h
µ d = µ cd + ∑ µ sdi = µ cd + µ sd
ES25
14
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Resultante no concreto
Para x < 0 (ou x/h 0) tem-se:
R cd = 0 →
ν cd = 0 e
µ cd = 0
Para [0 < x <1,25 h] (ou 0 < x/h <1,25) tem-se:
R cd = 0 ,68 bxf cd ou ν cd = 0,68
x
h
x1
1 d 
M cd = R cd ( h / 2 − d c ) ou µ cd = ν cd  − c  = 0,68  − 0,4
2
h
h2
x

h
ES25
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Resultante no concreto
Para x > 1,25 h (x/h > 1,25) tem-se:
R cd = 0 ,85 bhf cd
e
M cd = 0 →
ν cd = 0 ,85 e µ cd = 0
ES25
15
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Resultante na armadura genérica
x 23 =
3,5
3,5
d=
(h − d' ) →
13,5
13,5
x 23
d'
3,5 
=
1 − 
h
h
13,5 
ES25
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Para x < x23 (domínios 1 e 2)
x
Asi
dsi
εsi
0,010
d si x
−
d si − x
h
h ⋅ ( 0,010)
ε si =
⋅ ( 0,010) =
d' x
d−x
1− −
h h
ES25
16
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Para [x23 < x < h] (domínios 3 e 4)
0,0035
x
dsi
Asi
εsi
d si x
−
d si − x
h
h ⋅ 0,0035
ε si =
⋅ 0,0035 =
x
x
ES25
h
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Para x > h (domínio 5)
3h/7
0,002
dsi
Asi
x
εsi
x d si
−
x − d si
h
h ⋅ ( 0,002 )
⋅ ( 0,002 ) = −
ε si = −
3
x 3
−
x− h
7
h 7
ES25
17
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Com o valor de εsi , tem-se a tensão σsdi
R sdi = A si σ sdi
ν sdi =
A si f yd σ sdi
R sdi
σ
=
= ω i sdi
bhf cd
bhf cd f yd
f yd
ωi =
A si f yd
bh f cd
;
ω=
∑ω
i
1
d
µ sdi = ν sdi  si − 
 h
2
ES25
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Diagramas de interação
Nd
Nd
As,tot/2
d’
Nd
Nd
e
h
As,tot/2
b
As,tot/4 em
cada face
As,tot/2 em
cada face
h
ES25
18
Flexão composta com armadura predefinida
______________________________________________________________________
Diagramas de interação
0,6
b
d’
0,5
ω=1,0
0,4
0,9
0,8
0,7
µd
h
A s/2
A s/2
d’/h = 0,1
C A 25
0,6
0,3
0,5
0,4
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
ES25
0,0
-1
-0,8 -0,6
-0,4 -0,2
0,0 0,2
0,4 0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
υd
FCN - Ábacos
ES25
19
FCN - Ábacos
ES25
FCN - Ábacos
ES25
20
FCN - Ábacos
ES25
FCN - Ábacos
ES25
21
FCN - Ábacos
ES25
Compressão Centrada Equivalente Nd,eq
A deformação de encurtamento da seção é constante e, no estado limite
último, vale 0.002
N d ,eq = (A c − A s,tot )0,85f cd + A s,tot f ' yd
N d ,eq
A c f cd
A f ' yd
 A 
=  1 − s,tot  0,85 + s,tot
Ac 
A c f cd

ν d ,eq = (1 − ρ)0,85 + ρ
ES25
f ' sd
f cd
ρ=
ν d ,eq − 0,85
f ' yd
− 0,85
f cd
22
Redução da flexão composta normal em seções
simétricas a uma compressão centrada
equivalente
ƒ Para νd P 0,7
(νd , µd )Yνd, eq

µ 
e

ν d ,eq = ν d + κµ d = ν d  1 + κ d  = ν d  1 + κ 

h
νd 

Nd
b
e
A’s
A ′s = A s ≥
A ′s = A s <
h
A s,tot
3
A s,tot
3
⇒κ=3
⇒κ=4
As
ES25
23