Variáveis Aleatórias

Transcrição

Variável Aleatória
Exemplo 3.1
Consideremos a seguinte experiência aleatória: Num jogo entre os Ases e
as Estrelas perguntou-se a 3 espectadores escolhidos ao acaso se
concordavam ou não com a substituição do treinador. Suponhamos que
os espectadores seleccionados foram o Asdrúbal, o Segismundo e a
Felisbela. Quais as respostas possíveis?
Considerando C-”concordo” e D-”discordo”, o espaço de resultados às
respostas dos 3 espectadores é:
Ω={DDD, DDC, DCD, CDD, DCC, CDC, CCD, CCC}
Porém não interessa saber a ordem das respostas mas sim o número de
respostas D, por exemplo.
Assim, a cada resultado vamos associar números reais de acordo com o
número de respostas D.
Esta correspondência define o que se costuma designar por variável
aleatória.
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Variável Aleatória (cont.)
Definição
Uma variável aleatória (unidimensional) é uma função que a cada
acontecimento do espaço de resultados faz corresponder um valor
real.
Podemos classificar as variáveis aleatórias em discretas e
contínuas:

Uma variável aleatória diz-se discreta se só assume um número finito
ou infinito numerável de valores distintos.

Uma variável aleatória diz-se contínua se assumir um número infinito
não numerável de valores distintos.
3
Exemplo 3.2
Seja a experiência aleatória que consiste na observação do volume
de vendas diário de três pontos de venda de uma empresa. Então,
Ω={(v1, v2, v3): vi ≥0, i=1,2,3}. Podemos definir as seguintes
variáveis aleatórias:
X- soma das vendas diárias dos três pontos de venda da
empresa
Y- máximo das vendas diárias
Exemplo 3.3
Seja a experiência aleatória que consiste na observação do tempo
de espera até à chegada de um autocarro numa paragem. Então,
Ω={t: t ≥0}. Podemos definir a seguinte variável aleatória:
X- tempo de espera
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Terá sentido falar na probabilidade de uma variável
aleatória
assumir um determinado valor?

Uma vez que aos acontecimentos atribuímos, é natural definir
probabilidade de uma variável aleatória assumir um determinado
valor, como sendo a probabilidade do acontecimento, que fez com
que a variável aleatória tivesse esse valor!
5
Exemplo 3.1 (cont.)
Considerando
X - número de respostas D (discordo)
temos
P(X=0)=P({CCC})=1/8
P(X=1)=P({DCC, CDC, CCD})=3/8
P(X=2)=P({DDC, CDD, DCD})=3/8
P(X=3)=P({DDD})=1/8
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Variáveis Aleatórias Discretas
Função massa de probabilidade
Definição
Seja X uma v.a. do tipo discreto, que assume valores distintos
x1, x2,..., xn,.... Então, a função pX, definida por
⎧P( X = x), se x = x j
p X ( x) = ⎨
, j = 1,2,..., n,...
se x ≠ x j
⎩0,
designa-se por função de probabilidade da v.a. X ou função
massa de probabilidade da v.a. X se satisfaz as seguintes
condições:
1) pX(xi)≥0, ∀ xi
2)
∑ p X (xi ) = 1
i
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Função massa de probabilidade (cont.)
Exercício 3.1
Considere a variável aleatória X que representa a soma das pintas
que ficam voltadas para cima quando se lançam dois dados.
a) Defina esta variável aleatória, determine a sua função massa de
probabilidade e represente-a graficamente.
b) Qual a probabilidade da soma das pintas dos dados ser inferior
ou igual a 5?
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Função de distribuição
Definição
Define-se função de distribuição da v.a. X, como
FX(x)= P(X≤ x)
A função de distribuição verifica as seguintes propriedades:
1) 0≤ FX(x)≤1, ∀ x∈IR
2) FX(x2)≥ FX(x1), ∀ x1, x2 com x2> x1
FX ( x ) = 0 e
3) xlim
→ −∞
lim FX ( x ) = 1
x → +∞
4) P(x1<X≤ x2)= FX(x2) - FX(x1), ∀ x1, x2 com x2> x1

Esta definição também é válida para uma variável aleatória
contínua.
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Valor esperado
Definição
Seja X uma variável aleatória discreta. O valor esperado de X
(ou média de X), E[X] (também representado por µX ou
simplesmente µ) define-se por
E[X] = ∑ xi p X ( xi )
i
Propriedades do valor Esperado
Sendo X e Y duas variáveis aleatórias, e k uma constante real,
i) E[k]=k
ii) E[kX]=kE[X]
iii) E[X±Y]=E[X] ± E[Y]
iv) E[XY]= E[X].E[Y]+cov(X,Y)
Caso X e Y sejam independentes, virá E[XY]= E[X].E[Y]
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Variância
Definição
Seja X uma variável aleatória discreta. A variância de X,
representada por
2
2
var(X) = σ X = σ
é definida por
var(X)=E[(X-µX)2]
e, consequentemente, pode ser calculada como
2
var(X)= ∑ ( xi − µ X ) p X ( xi )
i
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Propriedades da variância
Propriedades da variância
Sendo X e Y duas variáveis aleatórias, e k uma constante real,
i) var(k)=0
ii) var(kX)=k2 var(X)
iii) var(X±Y)=var(X) + var(Y) ± 2cov(X,Y)
Caso X e Y sejam independentes
var(X±Y)=var(X) + var(Y)
iv) var(X)= E[X2] – E2[X]

Designa-se por desvio padrão a raiz quadrada positiva da
variância:
σX=σ=+ var (X)
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Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
Definição
Se X é uma variável aleatória contínua, então existe uma função fX,
designada por função densidade de probabilidade de X, tal que
x
FX(x)= P(X≤ x)=
∫ fX ( y)dy
−∞
A função densidade de probabilidade verifica as seguintes
propriedades:
1) 0≤ fX(x)≤1, ∀ x∈IR
+∞
2)
∫ fX ( x)dx = 1
−∞
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função de probabilidade conjunta
Definição
Chama-se função de probabilidade conjunta da variável aleatória
bidimensional (X,Y) à função pX,Y(xi, yk) que associa a cada
elemento de IR2 uma probabilidade
pX,Y(xi, yk)= P(X= xi, Y= yk).
A função de probabilidade conjunta verifica as seguintes condições:
1) pX,Y(xi, yk)≥0, ∀ (xi, yk)∈ IR2
2)
∑∑p
X,Y
i
(xi , yk ) =1
k
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Função de distribuição conjunta
Definição
Dada uma variável aleatória bidimensional (X,Y) discreta, a função
de distribuição conjunta de (X,Y), FX,Y(x, y), será:
FX,Y(x, y)= P(X≤ x, Y≤ y)=
∑ ∑p
xi ≤ x y k ≤ y
X,Y
( xi , yk )
A função de distribuição conjunta verifica as seguintes condições:
1) 0≤ FX,Y(x, y)≤1, ∀ (x, y)∈ IR2
2) FX,Y(x2, y2)≥ FX,Y (x1, y1), ∀ x2> x1 , y2> y1
3) lim FX,Y ( x,y) = 0
x →−∞
y →−∞
e
lim FX,Y ( x,y ) = 1
x → +∞
y → +∞
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Função de probabilidade marginal
Definição
Dada uma variável aleatória bidimensional (X,Y) é possível definir
duas funções: a função de probabilidade marginal de X, pX(xi), e a
função de probabilidade marginal de Y, pY(yk), como se segue:
p (x , y )
pX(xi)= P(X= xi, Y qualquer)= ∑ X,Y i k
k
pY(yk)= P(X qualquer, Y= yk)=
∑ p X,Y ( xi , yk )
i
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Independência
Definição
Dada uma variável aleatória bidimensional (X,Y), diz-se que as v.a.
unidimensionais que a integram, X e Y, são independentes, se a
sua função de probabilidade conjunta, pX,Y(xi, yk), for igual ao
produto das funções de probabilidade marginais correspondentes,
isto é:
pX,Y(xi, yk)=pX(xi). pY(yk), ∀ (xi, yk)∈ IR2 .
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Probabilidade Condicionada
Definição
Sejam X e Y duas v.a. discretas
P( X = xi , Y = yk ) p X,Y ( xi , yk )
P( X = xi | Y = yk ) =
=
P( Y = y k )
p Y ( yk )
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Covariância
Definição
Define-se covariância entre X e Y, cov(X,Y), como
cov(X,Y)= σX,Y= E[(X-µX)(Y-µY)]
e, portanto,
cov(X,Y)= ∑∑( xi − µX )( yk − µY )pX,Y ( xi , yk )
i k
se (X,Y) é uma variável aleatória discreta.
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Covariância (cont.)

Verifica-se que -∞ < σX,Y <+∞.
Podemos aplicar uma fórmula mais simples para o cálculo da
covariância:
cov(X,Y)= E[X.Y] - E[X].E[Y]
Teorema
Se X e Y forem independentes então Cov(X,Y)=0.

O recíproco não é, em geral, verdadeiro, isto é:
Cov(X,Y)=0 não implica que X e Y sejam v.a. independentes.
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Coeficiente de Correlação Linear
Definição
Dado um par de variáveis aleatórias (X,Y), define-se coeficiente de
correlação linear, ρX,Y, como
ρ X,Y

σ X,Y
cov( X, Y )
=
=
var( X) var(Y ) σ Xσ Y
Verifica-se que -1≤ ρX,Y ≤1.
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