Título: "Funções Diádicas de Green para um Estudo

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Belém-Pará
2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Funções diádicas de Green para um estudo de
espalhamento de ondas eletromagnéticas no grafeno
bicamada
Leonardo José Gomes Marcelino
Orientador: Prof. Dr. Victor Dimtriev
Belém-Pará
2013
Funções diádicas de Green para um estudo de espalhamento de
ondas eletromagnéticas no grafeno bicamada
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de PósGraduação em Física da Universidade Federal do Pará
(PPGF-UFPA) como parte dos requisitos ncessários para
obtenção do título de Mestre em Ciências (Física).
Orientador: Prof. Dr. Victor Dimtriev
Banca Examinadora
Prof. Dr. Victor Dmitriev (Orientador)
Prof. Dr. Antonio Sérgio Bezerra Sombra (Membro Externo)
Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves (Membro Interno)
Prof. Dr. Rodrigo Melo e Silva de Oliveira (Suplente)
Belém-Pará
20013
i
Resumo
Funções diádicas de Green para um estudo de espalhamento de
ondas eletromagnéticas no grafeno bicamada
Orientador: Prof. Dr. Vivtor Dmitriev
Resumo da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da
Universidade Federal do Pará (PPGF-UFPA) como parte dos requisitos necessários para obtenção do
título de Mestre em Ciências (Física).
No presente trabalho, utilizamos o método das funções diádicas de Green do tipo
elétrica para uma estrutura plana com três camadas, contendo duas camadas de grafeno
separados por um dielétrico. A análise é feita em termos do potencial de Hertz com
as correspondentes condições de contorno para as componentes normal e tangencial do
potencial. As camadas de grafeno são modelados como filmes infinitesimalmente finos
com condutividade definido pela fórmula Kubo. Em tal estrutura, ondas superficiais
plasmon-polariton pode existir. Para validar os resultados, consideramos casos limites.
Um deles é onde a função diádica de Green é conhecida para uma camada de grafeno, o
outro caso limite é para uma camada dielétrica. Como um exemplo de aplicação da teoria
desenvolvida, calculamos os coeficientes de reflexão e transmissão para essa estrutura
de três camadas para o caso da incidência normal de onda eletromagnética plana. Os
resultados numéricos obtidos estão de acordo com os dados experimentais publicados.
Belém-Pará
2013
Programa de Pós-Graduação em Física - UFPA
ii
Abstract
Dyadic Green’s functions for a study of scattering of
electromagnetic waves in bilayer graphene
Orientador: Prof. Dr. Victor Dmitriev
Abstract da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da
Universidade Federal do Pará (PPGF-UFPA) como parte dos requisitos necessários para obtenção do
título de Mestre em Ciências (Física).
In the present work, we use the method of the electric dyadic Green’s functions for
three-layer planar structure containing two layer of graphene separated by a dielectric.
The analysis is made in terms of Hertz potentials with corresponding boundary conditions
for normal and tangential components of the potential. The graphene layers are modelled
as infinitely thin ones with conductivity defined by the Kubo formula. In such structure,
surface plasmon-polariton can exist. To validate our results, we consider two limits cases.
One of them is where the Green’s functions is known for one layer of graphene, the second
limit case is one dielectric layer. As an example of application of the developed theory, we
calculate the reflection and transmission coefficients for the three-layer structure for the
case the plane electromagnetic wave incidence. The numerical results are in agreement
with the published experimental data.
Belém-Pará
2013
iii
“Aos meus pais José Carlos e Leonice
e a minha noiva Carolina
pelo apoio incondicional. ”
iv
Saber muito não lhe torna inteligente.
A inteligência se traduz na forma que você recolhe,
julga, maneja e, sobretudo, onde e como aplica esta informação.
Carl Sagan
v
Agradecimentos
Gostaria de agradecer...
• aos meus pais, José Carlos e Leonice, por me ensinarem a ser uma pessoa justa, pelo
carinho e, por sempre estarem ao meu lado quando preciso.
• a minha noiva, Carolina Fidellis, pela compreensão, pela amizade, carinho e companheirismo que sempre me ajudou nas minhas conquistas.
• ao Professor Victor pela orientação, pela paciência, principalmente, e pelos ensinamentos.
• a todos colegas do laboratório de nanofotônica e nanoeletrônica, sempre dispostos a ajudar.
• a minha família em geral, irmãos, primos, tios, que de alguma forma ensinaram-me algo.
• aos demais professores do curso de física, que me ensinaram a compreender melhor a física.
Sumário
Introdução
8
1 Grafeno
10
1.1
Geometria do grafeno
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.1
Rede direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.2
Rede recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
Estrutura de banda do grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3
Condutividade do grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4
Aplicações do grafeno em estruturas multicamadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.1
Células solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.2
Cristais fotônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2 Funções diádicas de Green para um modelo de bicamada de grafeno
17
2.1
Descrição do problema e desenvolvimento do método . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Descrição e desenvolvimento do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Aplicação das condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.1
Condições de contorno para as componentes tangenciais do potencial . . .
22
2.3.2
Condições de contorno para as componentes normais do potencial . . . . .
28
Funções diádicas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4
3 Cálculo do campo refletido e trasnmitido e resultados
40
3.1
Campo refletido e trasnmitido para incidência normal
. . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2.1
Incidência normal para bicamadas e monocamada de grafeno . . . . . . .
43
3.2.2
Incidência normal para grafeno/SiO2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
SUMÁRIO
vii
Considerações Finais
47
A Potencial de Hertz
48
B Condições de contorno para o potencial de Hertz
50
Introdução
O carbono é um dos materiais mais abundantes na natureza. As estruturas de carbono
estão sendo estudadas no mundo todo. Nanotubos de carbono, grafeno, fulereno, são alguns
exemplos das diferentes geometrias de estruturas de carbono. Neste trabalho teremos como foco
do estudo o grafeno. Desde que foi descoberto, em 2004, pelos físicos Andre Geim e Konstantin
Novoselov [6], ganhadores do prêmio Nobel de física em 2010, o grafeno vem despertando interesse
de pesquisadores do mundo todo, devido suas características notáveis. O grafeno é um cristal
bidimensional de um átomo de espessura [1], [3]. Suas propriedades únicas lhe dão o status de
material revolucionário, podendo ser empregado em diversas áreas e de várias formas. Neste
trabalho apresentaremos o estudo do espalhamento de ondas eletromagnéticas na superfície de
grafeno bicamada. O grafeno bicamada é modelado por um meio com três camadas, onde a
interface, de separação dos meios, é uma folha muito fina de grafeno caracterizada por uma
condutividade superficial. Utilizaremos o método das funções diádicas de Green, descrito em [18].
Serácalculado o campo espalhado distante, isto é, o campo refletido pela primeira camada e o
campo transmitido a partir da segunda camada, assim como, a radiação absorvida pelas folhas de
grafeno. O grafeno pode ser empregado em dispositivos fotovoltaicos [7], sensores de luz [8], [9],
dispositivos optoeletrônicos.
No capítulo 1 serão apresentadas algumas características do grafeno, tais como geometria da
rede direta e da rede recíproca, estrutura de bandas e a condutividade usada para modelar a
folha de grafeno.
No capítulo 2 será tratado com detalhes o método de obtenção das funções diádicas de Green
para o modelo de grafeno bicamada.
No capítulo 3 é calculado o campo espalhado e apresentado os resultados obtidos, a partir
do modelo apresentado no capítulo 2
No apêndice A é mostrado o potencial de Hertz, tal como os campos são calculados a partir
Introdução
9
desses potenciais e, finalmente no apêndice B desenvolve-se as condições de contorno para o
potencial de Hertz.
Capítulo 1
Grafeno
Neste capítulo, serão apresentadas as propriedades do grafeno, tais como, geometria da
rede direta e da rede recíproca, estrutura de banda e, também, o que está na literatura sobre a
condutividade óptica do grafeno, que será usada para calcular o campo eletromagnético espalhado
na superfície do modelo de grafeno bicamada.
1.1
Geometria do grafeno
O grafeno é uma forma alotrópica do carbono, com hibridização sp2 , isto é, o orbital 2s
combina-se com dois orbitais 2p, formando três orbitais híbridos sp2 , e um orbital pz perpendicular ao plano dos orbitais sp2 [5]. Devido a essa hibridização o grafeno possui uma estrutura
hexagonal, como mostra a Figura 1.1. Os elétrons no plano são fortemente ligados, enquanto que
os elétrons do orbital pz são fracamente ligados a rede cristalina, o que possibilita a condução
desses elétrons na superfície do grafeno.
Figura 1.1: Estrutura hexagonal do grafeno.
1.1 Geometria do grafeno
1.1.1
11
Rede direta
A célula unitária do grafeno é composta por dois átomos, com isso, a rede cristalina do
grafeno possui uma célula unitária não primitiva e, é composta pela combinação de duas redes
trigonais planas [5], [21]. A Figura 1.2 mostra a célula unitária do grafeno, os vetores de base e
as distâncias típicas na rede cristalina do grafeno.
Figura 1.2: Rede direta do grafeno. Em vermelho e azul são átomos de carbono dos tipos A e B que
formam duas redes trigonais.
Na Figura 1.2 os vetores a1 e a2 são dados por
a1 =
a √
3î + ĵ ,
2
a2 =
a √
3î − ĵ ,
2
e acc = 1.42Å é a distância entre dois átomos de carbono.
1.1.2
Rede recíproca
A rede recíproca do grafeno é, assim como a rede direta, hexagonal, porém rotacionada
de 90◦ [5]. Quando se faz difração de raio x em cristalografia o que se observa é a rede recíproca,
daí a importância de tal estrutura para redes cristalinas. Pode-se também, no espaço recíproco,
explicitar as zonas de Brillouin. Todas as informações de uma rede cristalina podem ser obtidas na
primeira zona de Brillouin, pois as outras são repetições da primeira. As relações de dispersão são
escritas em função do vetor de onda k nas direções de alta simetria da primeira zona de Brillouin,
1.2 Estrutura de banda do grafeno
12
daí a importância desses pontos. O ponto Γ é o ponto central e os vetores que descrevem a posição
dos outros pontos são:
√
2π 3
k̂x
ΓM =
3a
e
ΓK =
2π √
3k̂x + k̂y .
3a
A rede recíproca do grafeno é mostrada na Figura 1.3.
Figura 1.3: Rede recíproca do grafeno mostrando os vetores de base e os ponto de alta simetria Γ, K,
k 0 e M . O hexágono central hachurado é a primeira zona de Brillouin.
Os vetores de base da rede recíproca são dados por
2π
b1 =
a
2π
b2 =
a
√
3
k̂x + k̂y
3
!
,
!
√
3
k̂x − k̂y
3
e o hexágono central é a primeira zona de Brillouin do grafeno.
1.2
Estrutura de banda do grafeno
A estrutura de banda do grafeno é a relação de dispersão da energia em função do vetor
de onda no espaço recíproco. Esta informação nos fornece informação da banda de condução
e banda de valência e também se há gap de energia (níveis de energia proibidos). No caso do
1.3 Condutividade do grafeno
13
grafeno, ele é um semicondutor de gap nulo, isto é, as bandas de condução e de valência se tocam
no ponto Ke k 0 (pontos de Dirac). A Figura 1.4 mostra a estrutura de banda do grafeno.
Figura 1.4: a) Estrutura de banda tridimensional do grafeno. As bandas de condução e de valência se
tocam nos pontos de Dirac. b) Detalhe da linearidade próximo ao ponto de Dirac, adaptado de [22].
1.3
Condutividade do grafeno
Para o modelo utilizado neste trabalho, uma propriedade que devemos salientar é a
condutividade do grafeno.
A condutividade do grafeno está sendo largamente estudada na literatura [25], [13]- [16]. Um
dos cálculos utiliza modelos semi-clássicos e considerações de mecânica quântica.
A condutividade do grafeno é dada pela fórmula de kubo [14], [13], que toma a forma da
integral, descrita em [1],
σ(ω, T, µc ) =
−
Z ∞ 1
∂f (ε) ∂f (−ε)
je2 (ω − j2Γ)
ε
−
dε+
π~2
∂ε
∂
(ω − j2Γ)2 0
Z ∞
f (−ε) − f (ε)
dε ,
(ω − 2jΓ) − (2ε/~)2
0
(1.1)
onde ω é a frequência da onda incidente, e é a carga do elétron,
f (ε) =
1
eβ(ε−µc )
+1
é a distribuição de Fermi-Dirac, µc é o potencial químico e, β = 1/kB T , em que kB é a constante
de Boltzmann.
O potencial químico pode ser mudado aplicando-se um campo elétrico externo ou por dopagem o que poderia mudar, também, a condutividade [1]. Consideraremos a folha de grafeno
1.3 Condutividade do grafeno
14
sem dopagem e sem campo externo, com isso, a condutividade do grafeno se torna uma grandeza
escalar.
A equação (1.1) leva em conta as contribuições das transições intra e interbanda, sendo
o primeiro termo a contribuição das transições intrabanda e o segundo termo das transições
interbanda [15]. O termo intrabanda fica da forma
σintra = −j
h
i
e2
−βµc
βµ
+
2ln
e
+
1
c
βπ~2 (ω − j2Γ)
Podemos aproximar o termo interbanda, da forma [1]
e2
2|µc | − (ω − j2Γ)
σinter = −j
ln
4π~
2|µc | + (ω − j2Γ)
(1.2)
(1.3)
Como a luz visível tem energia de uns poucos elétron-Volts essas transições ocorrem próximo
ao ponto de Dirac, como mostra a Figura (1.5).
Figura 1.5: Transições intrabanda (seta verde) e interbanda (seta vermelha) para a excitação de uma
única partícula(adaptado de [22]).
Como será mostrado no capitulo 3, para altas frequências o termo dominante é o termo
interbanda, levando a uma condutividade mínima dada por [1]
σmin =
πe2
.
2~
essa condutividade mínima é largamente discutida na literatura, havendo certa discrepância em
seu cálculo conforme discutido em [13].
1.4 Aplicações do grafeno em estruturas multicamadas
1.4
15
Aplicações do grafeno em estruturas multicamadas
Nesta seção será apresentada duas aplicações de folhas de grafeno em estruturas multi-
camadas, servindo como possíveis aplicações do método abordado em dispositivos reais.
1.4.1
Células solares
Células solares são dispositivos que convertem a radiação solar em eletricidade. Esses
dispositivos são alternativas para viabilizar energia limpa, que não necessitam a queima de combustíveis fósseis. Há vários trabalhos na literatura que testam grafeno como componente em
estruturas de células solares [28]. Células solares com maiores rendimentos têm, além do alto
custo econômico, um alto custo de produção. O grafeno vem como uma forma de baratear o
custo econômico da produção de células solares.
O grafeno pode ser utilizado como condutor transparente nas células solares, tendo em vista
a alta transmissão do grafeno na faixa do espectro visível. O grafeno é colocado sobre camadas
absorvedoras, que potencializam a conversão de luz em eletricidade. O grafeno já é testado em
células solares híbridas [30], [31]. A Figura 1.6 mostra uma ilustração de uma célula solar com
nanofitas de grafeno.
Figura 1.6: Esquema da fabricação de uma célula solar baseada em nanofitas de grafeno, retirado de [29]
1.4.2
Cristais fotônicos
Cristais fotônicos são estruturas multicamadas periódicas contendo índices de refração
diferentes [32]. Cristais fotônicos são usados para controlar o fluxo de sinais luminosos em
sistemas ópticos. Com a crescente demanda de dispositivos nas telecomunicações que transmitem
sinais ópticos, cristais fotônicos são uma saída para controlar esses sinais [33]. O grafeno possui
1.4 Aplicações do grafeno em estruturas multicamadas
16
uma condutividade tensorial simétrica sob um campo magnético externo [17], possibilitando a
utilização do grafeno em dispositivos opto-eletrônicos como isoladores ópticos [32].
Figura 1.7: Estrutura de um cristal fotônico unidimensional baseado em grafeno, retirado de [32]
Capítulo 2
Funções diádicas de Green para um
modelo de bicamada de grafeno
Na literatura existe a solução da função diádica de Green para uma camada de grafeno.
Neste capítulo apresentaremos o modelo utilizado para descrever a difração de ondas eletromagnéticas na superfície da bicamada de grafeno, tal como, o método utilizado para calcular
as funções diádicas de Green. Funções diádicas são extensões das funções vetoriais, isto é, tem
um caráter tensorial, com isso, uma função diádica pode ser escrita na forma matricial com 9
componentes [19].
2.1
Descrição do problema e desenvolvimento do método
Nosso problema consiste em um meio com três camadas separados por duas superfícies
de grafeno, esses meios são caracterizados por µ1 , 1 , µ2 , 2 e µ3 , 3 , ver Figura 2.1. Devemos
encontrar as funções diádicas de Green para estrutura e estaremos interessados no campo refletido
para a região 1 e no campo transmitido para a região 3.
2.2 Descrição e desenvolvimento do método
18
Figura 2.1: Estrutura composta de três camadas planas separadas por uma superfície de grafeno em
z = 0 e uma em z = −d.
A camada de grafeno é caracterizada por um filme muito fino, isto é, despreza-se a espessura
da folha de grafeno, infinito e com uma condutividade superficial isotrópica (não há campo
externo e nem dopagem química), posicionada na interface de separação dos três meios.
2.2
Descrição e desenvolvimento do método
O método consiste em encontrar uma solução para os potenciais de Hertz através das
funções diádicas de Green, uma vez explicitando as funções diádicas de Green podemos calcular
o campo espalhado.
Para qualquer meio multicamadas plano, isotrópico, os campos elétrico e magnético na região
n devido a uma fonte de corrente podem ser obtido como
E n (r) = kn2 + ∇∇· Πn (r),
(2.1)
H n (r) = jωn ∇ × Πn (r),
(2.2)
e
√
onde kn = ω µn n é o módulo do vetor de onda e Πn (r) é o potencial de Hertz (ver apêndice
A).
A onda incidente gera potenciais em cada camada. O potencial total em cada camada é a
soma da parte primária Πp (r) que é o potencial incidente, que propaga diretamente da fonte, e
a parte espalhada Πs (r) que é o potencial refletido ou transmitido pelas superfícies de grafeno.
Para a solução do nosso problema vamos usar o método desenvolvido em [18] e que foi usado
para uma camada em [1].
19
Os potenciais de Hertz satisfazem as seguintes equações de Helmholtz
 

 Πp   −J /jωεi ,
n=i
i
=
∇2 + kn2
 Πs  
0,
∀ n.
n
(2.3)
A solução para o potencial primário em termos da fonte de corrente é
Z
Πpn (r)
Gp (r|r 0 )
=
J (r 0 ) 0
dV ,
jωεn
(2.4)
onde Gp (r|r 0 ) é a função de Green para o espaço livre.
Resolveremos a equação (2.3), para o campo espalhado, através da transformação de Fourier
das variáveis espaciais do potencial de Hertz tangenciais à superfície do grafeno.
Definindo a transformada bidimensional de Fourier como sendo
∞
Z
Z
∞
F (q, z) =
−∞
f (r) ej q ·(r −r ) dxdy
0
−∞
e sua inversa da forma
Z
∞
Z
∞
f (r) =
−∞
F (q, z) e−j q ·(r −r ) dqx dqy
0
−∞
, e aplicando a transformada de Fourier em (2.3), temos
2
∂
2
− pn π sn (q, z) = 0
∂z 2
(2.5)
onde π(q, z) é o campo transformado e q = qx x̂ + qy ŷ é a variável bidimensional transformada,
p2n = qρ2 − kn2 , sendo qρ2 = qx2 + qy2 .
Podemos também aplicar a transformada de Fourier em (2.4), para aplicar as condições de
contorno, com isso, temos que
π p1 (q, z)
Z
=
g p (q; z, z 0 )
j(q; z 0 ) 0
dz ,
jωε1
(2.6)
0
onde g p (q; z, z 0 ) = e−p1 |z−z | /2p1 .
A solução de (2.5) é
π sn (q, z) = A(q) e±pn z
(2.7)
em que os coeficientes A(q) serão encontrados pela imposição das condições de contorno.
Considerando que a fonte de corrente está na região 1, podemos escrever, para o meio 1
s,2
s,3
π 1 = π p1 + π s,1
1 + π 1 + π 1 + ...,
(2.8)
20
para o meio 2
s,3
s,4
π 2 = π 2s,1 + π s,2
2 + π 2 + π 2 + ...,
(2.9)
s,3
s,4
π 3 = π 3s,1 + π s,2
3 + π 3 + π 3 + ....
(2.10)
e para o meio 3
Sendo que π p1 é o potencial incidente, π s,1
1 é a onda refletida para o meio 1 na primeira camada
de grafeno, π s,i
1 (i = 2, 3, 4, ...) são as ondas transmitidas do meio 2 para o meio 1 depois de
refletidas na segunda camada de grafeno. π s,1
2 é a onda transmitida do meio 1 para o meio
s,j
2, π s,j
2 (j = 2, 4, 6, ..) é a onda refletida para o meio 2 na segunda camada de grafeno, π 2
(j = 3, 5, 7, 9, ....) é a onda refletida para o meio 2 na primeira camada de grafeno e, π s,i
3
(i = 1, 2, 3, ...) são as ondas transmitidas do meio 2 para o meio 3. Para uma melhor visualização
ver Figura 2.2.
Figura 2.2: Múltiplas reflexões no meio 2 devido as duas camadas de grafeno.
Definiremos a onda que se propaga na direção positiva de z, como sendo
π n (q, z) = An (q) e−pn z ,
e a onda que se propaga na direção negativa de z, da forma
π n (q, z) = An (q) epn z ,
Então, podemos escrever os potenciais espalhados para o meio 1, da forma
−p1 z
π s,i
.
1 = Ai e
(2.11)
Para o meio 2, temos
π s,i
2

 B i ep2 z ,
=
 B e−p2 z ,
i
i impar
i par.
(2.12)
2.3 Aplicação das condições de contorno
21
Para o meio 3, o potencial fica da forma
p3 z
π s,i
.
3 = Ci e
(2.13)
As condições de contorno na interface dos meios são para os campos elétrico e magnético. No
apêndice B será mostrado as condições de contorno para as componentes do potencial de Hertz,
a partir, das mesmas, podemos encontrar os coeficientes Ai , Bi e Ci .
2.3
Aplicação das condições de contorno
Para a aplicação das condições de contorno, tomaremos o potencial que incide num ponto
da superfície de grafeno e os potenciais imediatamente espalhados (refletidos e transmitidos),este
método é conhecido como ray tracing [20]. Por exemplo, o potencial primário π p1 , incide na
s,1
superficie do grafeno, parte é refletida(π s,1
1 ) para o meio 1 e parte é transmitida(π 2 ) para o
meio 2, ver Figura 2.3. Depois serão somadas, todas as contribuições para o potencial total nos
três meios.
Figura 2.3: Incidência do potencial primário e os potenciais imediatamente espalhados.
As condições de contorno são as mesmas para as componentes x e y (ver apêndice (B)),
portanto, para o cálculo dos coeficientes, separaremos as componentes dos potenciais incidentes
e espalhados em componentes tangenciais e componentes normais.
2.3.1
22
Condições de contorno para as componentes tangenciais do
potencial
Na primeira interface, os potenciais deverão satisfazer as condições de contorno para
z = 0.
Para as componentes tangenciais, as condições de contorno (B.22) e (B.23), ficam
p
s,1 π1,α
+ π1,α
z=0
s,1 = N 2 M 2 π2,α
z=0
e
ε2
∂
σ 2 p
∂ s,1 p
s,1
s,1 − ε1
=
,
π1,α + π1,α π2,α k1 π1,α + π1,α
∂z
∂z
jω
z=0
z=0
z=0
o que nos dá
(Vα + A1,α )
,
N 2M 2
B1,α =
(2.14)
e
ε2 p2 B1,α − ε1 p1 (Vα − A1,α ) = −jσωε1 µ1 (Vα + A1,α ) ,
em que
Vα =
p π1,α
z=0
Z
=
(2.15)
0
jα (q; z 0 ) e−p1 z 0
dz .
jωε1
2p1
De (2.14) e (2.15), temos
ε2 p2
(Vα + A1,α )
− ε1 p1 (Vα − A1,α ) = −jσωε1 µ1 (Vα + A1,α )
N 2M 2
o que resulta
A1,α = R12,t Vα ,
(2.16)
onde
R12,t =
M 2 p1 − p2 − jσωµ2
M 2 p1 + p2 + jσωµ2
é o coeficiente de reflexão das componentes tangenciais do potencial primário incidindo na superfície de grafeno em z = 0.
Substituindo (2.16) em (2.14), obtemos
B1,α =
(1 + R12,t )
Vα .
N 2M 2
Definindo
T12,t =
(1 + R12,t )
,
N 2M 2
23
temos
B1,α = T12,t Vα ,
(2.17)
que é o coeficiente de transmissão das componentes tangenciais do potencial primário incidente.
Tendo em mãos o coeficiente B1,α , podemos, agora, encontrar os coeficientes das componentes
s,1
s,1
tangenciais de π s,2
2 e π 3 , considerando π 2 incidindo na superfície de grafeno em z = −d, como
mostra a Figura 2.4.
Figura 2.4: Incidência do potencial π 2s,1 e os potenciais imediatamente espalhados π s,2
e π s,1
em
2
3
z = −d.
As condições de contorno (B.22) e (B.23), devem ser satisfeitas para z = −d. Assim, temos
s,1
s,2 s,1 π2,α
+ π2,α
= n2 m2 π3,α
z=−d
z=−d
e
ε3
∂
σ 2 s,1
∂ s,1 s,1
s,2
s,2 π3,α − ε2
π2,α + π2,α =
k2 π2,α + π2,α
,
∂z
∂z
jω
z=−d
z=−d
z=−d
em que n2 = ε3 /ε2 e m2 = µ3 /µ2 .
Com isso, temos que
C1,α e
−p3 d
B1,α e−p2 d + B2,α ep2 d
=
n2 m2
(2.18)
e
ε3 p3 C1,α e−p3 d − ε2 p2 B1,α e−p2 d − B2,α ep2d =
= −jσωε2 µ2 B1,α e−p2 d + B2,α ep2d .
Substituindo (2.18) em (2.19), temos
B1,α e−p2 d + B2,α ep2 d
ε3 p3
n2 m2
− ε2 p2 B1,α e−p2 d − B2,α ep2d =
= −jσωε2 µ2 B1,α e−p2 d + B2,α ep2d ,
(2.19)
24
resultando em
B2,α = R23,t e−2p2 d B1,α
(2.20)
onde
R23,t =
m2 P2 − P3 − jσωµ3
.
m2 P2 + P3 + jσωµ3
Substituindo (2.17) em (2.20), podemos escrever
B2,α = T12,t R23,t e−2p2 d Vα
(2.21)
Substituindo (2.17) e (2.21) em (2.18), obtemos
C1,α = T12,t T23,t e−(p2 −p3 )d Vα
(2.22)
onde definimos
T23,t =
(1 + R23,t )
.
n2 m2
Podemos, agora, calcular os potenciais espalhados na superfície de grafeno em z = 0, em que
o potencial incidente seja π2s,2 e, os potenciais imediatamente espalhados sejam π1s,2 e π2s,3 , como
na Figura 2.5.
s,2
s,3
Figura 2.5: Incidência do potencial π s,2
2 e os potenciais imediatamente espalhados π 1 e π 2 em z = 0.
Para tal, devemos adaptar as condições de contorno, pois, o potencial incide do meio 2, para
isso basta fazermos a seguinte mudança em (B.23),
k12 π1,α → k22 π2,α .
Explicitaremos, agora, somente a mudança para as componentes tangenciais.
25
Com isso, temos,
A2,α = N 2 M 2 (B2,α + B3,α )
e
ε2 p2 (−B2,α + B3,α ) + ε1 p1 A2,α = −jσωµ2 ε2 .
O que resulta
B3,α = R21,t B2,α ,
(2.23)
onde
R21,t = −
M 2 p1 − p2 + jσωµ2
M 2 p1 + p2 + jσωµ2
,
e
A2,α = T21,t B2,α ,
(2.24)
Sendo,
T21,t = N 2 M 2 (1 + R21,t ) .
Substituindo (2.21) em (2.23) e (2.24), temos
B3,α = T12,t R23,t R21,t e−2p2 d Vα ,
(2.25)
A2,α = T12,t R23,t T21,t e−2p2 d Vα .
(2.26)
e
Para os demais coeficientes, o cálculo se repete. Por exemplo, para π s,3
2 incidindo na camada
de grafeno em z = −d, o cálculo é o mesmo que foi feito para π s,1
2 , ver Figura 2.6.
Figura 2.6: Incidência do potencial π 2s,3 e os potenciais imediatamente espalhados π s,4
e π s,2
em
2
3
z = −d.
26
Aplicando-se as condições de contorno, temos
B4,α = R23,t e−2p2 d B3,α ,
(2.27)
C2,α = T23,t e−(p2 −p3 )d B3,α .
(2.28)
e
Substituindo (2.25) em (2.27) e (2.28), obtemos
2
B4,α = T12,t R23,t
R21,t e−4p2 d Vα ,
(2.29)
C2,α = T12,t T23,t R23,t R21,t e−(3p2 −p3 )d Vα .
(2.30)
e
Procedendo da mesma maneira para os demais potenciais, temos
2
2
B5,α = T12,t R23,t
R21,t
e−4p2 d Vα ,
(2.31)
2
A3,α = T12,t T21,t R23,t
R21t e−4p2 d Vα ,
(2.32)
3
2
B6,α = T12,t R23,t
R21,t
e−6p2 d Vα ,
(2.33)
2
2
C3,α = T12,t T23,t R23,t
R21,t
e−(5p2 −p3 )d Vα ,
(2.34)
e assim, para as múltiplas reflexões que ocorrem devido as duas camadas de grafeno.
Com isso, podemos escrever uma equação geral para o coeficiente da n-ésima reflexão ou
transmissão em termos de T12,t , T23,t , R23,t , R21,t e T21,t .
Para o n-ésimo coeficiente transmitido para o meio 1 será
n+1
n
A(n+2),α = T21,t T12,t R23,t
R21,t
e−2(n+1)p2 d Vα .
com n ≥ 0.
Assim, podemos definir um coeficiente total ATα , que será dado por
ATα = A1,α +
∞
X
A(n+2),α .
n=0
Resolvendo o somatório, temos
∞
X
n=0
A(n+2),α =
T21,t T12,t R23,t e−2p2 d
Vα
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
Com isso, resulta
ATα
T21,t T12,t R23,t e−2p2 d
= R12,t +
Vα .
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
(2.35)
27
Podemos definir, então, um coeficiente tangencial total para o meio 1, dado por
T
R1,t
= R12,t +
T21,t T12,t R23,t e−2p2 d
.
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
(2.36)
Assim, podemos escrever
T
ATα = R1,t
Vα .
(2.37)
Para o meio 2, devemos tratar os coeficientes pares e impares separadamente, pois, darão
contribuições diferentes, isto é, os coeficientes impares são transmitidos para o meio 3, contribuindo para um coeficiente de transmissão total do meio 1 para meio 2 e posteriormente para o
meio 3. Já os coeficientes pares são transmitidos para o meio 1, como um coeficiente de reflexão
total do meio 2.
Para os coeficientes impares, temos que
n
n
B(2n+1),α = T12,t R23,t
R21,t
e−2np2 d Vα
sendo n ≥ 0.
T , será dado por
O coeficiente total para os coeficientes impares B1,α
T
B1,α
=
∞
X
B(2n+1),α .
n=0
Resolvendo o somatório, obtemos
T
B1,α
=
T12,t
Vα .
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
Definindo
T
T2,t
=
T12,t
,
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
temos
T
T
B1,α
= T2,t
Vα .
(2.38)
Procedendo da mesma maneira que foi feita para os coeficientes impares, temos que, para os
coeficientes pares, o n-ésimo termo, será dado por
n+1
n
B2(n+1),α = T12,t R23,t
R21,t
e−2(n+1)d Vα
Portanto, o coeficiente total é
T
B2,α
=
T12,t R23,t
Vα .
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
28
Definindo o coeficiente de reflexão total como
T
R2,t
=
T12,t R23,t
,
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
temos que
T
T
B2,α
= R2,t
Vα .
(2.39)
Para o meio 3, o n-ésimo termo transmitido do meio 2, é dado por
n
n
C(n+1),α = T12,t T23,t R23,t
R21,t
e−[(2n+1)p2 −p3 ]d Vα .
Deste modo, o coeficiente total para o meio 3, será
CαT =
T12,t T23,t e−(p2 −p3 )d
Vα .
1 − R23,t R21,t e−p2 d
Definindo o coeficiente de transmissão total como sendo
T
T3,t
=
T12,t T23,t e−(p2 −p3 )d
,
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
(2.40)
temos que, o coeficiente total será
T
CαT = T3,t
Vα .
2.3.2
(2.41)
Condições de contorno para as componentes normais do
potencial
As componentes normais serão calculadas impondo-se as condições de contorno normais
aos potenciais, processo semelhante ao descrito para as condições de contorno tangenciais.
Utilizando o mesmo princípio que foi utilizado para as componentes tangenciais, de (B.24),
temos
h
i
p
s,1
s,1 ε1 π1,z
+ π1,z
− ε2 π2,z
z=0
=
σ
(∇ · π 1 )|z=0 ,
jω
onde ∇ · π é definido por (B.26), para este caso, nos dá.
∂ p
p
s,1
p
s,1
s,1
(∇ · π 1 )|z=0 =
−jqx π1,x + π1,x − jqy π1,y + π1,y +
π + π1,z ∂z 1,z
z=0
∂
= −jqx (Vx + A1,x ) − jqy (Vy + A1,y ) +
(Vz + A1,z )
∂z
∂
= −jqx (1 + R12,t ) Vx − jqy (1 + R12,t ) Vy +
(Vz + A1,z )
∂z
= −N 2 M 2 T12,t V + p1 (Vz − A1,z ) ,
29
onde V = jqx Vx + jqy Vy .
O que nos dá
2
N B1,z
σp1
σ
σp1
A1,z + 1 −
Vz + N 2 M 2
T12,t V.
= 1+
jωε1
jωε1
jωε1
(2.42)
De (B.25), resulta
∂ s,1
∂
∂ s,1 ∂ s,1 p
s,1
2
2
π + π1,z −
π
π +
π
= 1−N M
,
∂z 1,z
∂z 2,z z=0
∂x 2,x ∂y 2,y z=0
em que
∂ s,1 s,1 π2,α = −jqα π2,α
∂α
z=0
z=0
= −jqα B1,α
= −T12,t jqα Vα .
em que α = x, y.
Portanto, temos
p2 B1,z = p1 (Vz − A1,z ) + 1 − N 2 M 2 T12,t V.
(2.43)
Do mesmo modo que para as componentes tangenciais, definimos
Vz =
Z
p π1,z
=
z=0
0
jz (q; z 0 ) e−p1 z 0
dz .
jωε1
2p1
A1,z = R12,n Vz − R12,c V.
em que
R12,n =
N 2 p1 − p2 +
N 2 p1 + p2 +
(2.44)
σp1 p2
jωε1
σp1 p2
jωε1
é o coeficiente de reflexão normal, e
h
R12,c = N 2 T12,t
i
2
2M
N 2 M 2 − 1 + σpjωε
1
σp
p
1
2
N 2 p1 + p2 + jωε1
é um termo de acoplamento.
B1,z = T12,n Vz + T12,c V,
(2.45)
30
onde
e
T12,n =
p1
(1 − R12,n )
p2
h
1 − N 2M 2 +
T12,c = T12,t N 2 p1 + p2 +
σp1
jωε1
σp1 p2
jωε1
i
.
s,2
s,1
s,1
Agora, podemos calcular os coeficientes para π2,z
e π3,z
em função de π2,z
, ver Figura (2.4).
Utilizando (B.24), gora para z = −d, temos
h
i
s,1
s,2
s,1 ε2 π2,z
+ π2,z
− ε3 π3,z
z=−d
=
σ
(∇ · π 2 )|z=−d ,
jω
Para este caso temos que
∂ s,1
s,2
s,1
s,2
s,2
s,1
π + π2,z (∇ · π 2 )|z=−d =
−jqx π2,x + π2,x − jqy π2,y + π2,y +
∂z 2,z
z=−d
−p2 d
p2 d
−p2 d
p2 d
+
− jqy B1,y e
+ B2,y e
= − jqx B1,x e
+ B2,x e
+ p2 B1,z e−p2 d − B2,z e−p2 d
= − jqx (1 + R23,t ) e−p2 d B1,x − jqy (1 + R23,t ) e−p2 d B1,y +
+ p2 B1,z e−p2 d − B2,z e−p2 d
= − T12,t n2 m2 T23,t e−p2 d V + p2 B1,z e−p2 d − B2,z ep2 d ,
O que nos dá
2
n C1,z e
−p3 d
σp2
σp2
−p2 d
=
1+
B2,z e
+ 1−
B1,z ep2 d +
jωε2
jωε2
σ 2 2
+
n m T12,t T23,t e−p2 d V.
jωε2
Usando (B.25), também para z = −d, temos
∂ s,1
∂
∂ s,1 ∂ s,1 s,1
s,2
2 2
π + π2,z −
π
= 1−n m
π +
π
,
∂z 2,z
∂z 3,z z=−d
∂x 3,x ∂y 3,y z=−d
em que
∂ s,1 s,1 π3,α = −jqα π3,α
∂α
z=−d
z=−d
= −jqα C1,α e−p3 d
= −T12,t T23,t e−p2 d jqα Vα .
em que α = x, y.
(2.46)
31
Com isso, temos
p3 C1,z e−p3 d = p2 B1,z e−p2 d − B2,z ep2 d + 1 − n2 m2 T12,t T23,t e−p2 d V.
(2.47)
B2,z = R23,n B1,z e−2p2 d − T12,t R23,c e−2p2 d V.
onde
R23,n =
n2 p 2 − p 3 +
n2 p 2 + p 3 +
e
h
R23,c = n2 T23,t
σp2 p3
jωε2
σp2 p3
jωε2
n2 m2 − 1 +
(n2 p2 + p3 +
(2.48)
,
σp3 m2
jωε2
σp2 p3
jωε2 )
i
.
B2,z = T12,n R23,n e−2p2 d Vz + (T12,c R23,n − T12,t R23,c ) e−2p2 d V,
(2.49)
Agora, substituindo (2.48) em (2.47), resulta
C1,z = T23,n e−(p2 −p3 )d B1,z + T12,t T23,c e−(p2 −p3 )d V,
(2.50)
onde, temos que
T23,n =
e
h
T23,c = T23,t p2
(1 − R23,n )
p3
1 − n2 m2 +
n2 p 2 + p 3 +
σp2
jωε2
σp2 p3
jωε2
i
.
Substituindo (2.45) em (2.50), resulta
C1,z = T12,n T23,n e−(p2 −p3 )d Vz + (T23,n T12,c + T12,t T23,c ) e−(p2 −p3 )d V.
(2.51)
Continuando o cálculo dos coeficientes da mesma maneira que foi feito para as componentes
tangenciais. Temos que calcular os coeficientes para o potencial incidindo do meio 2 em z = 0,
ver Figura 2.4. Desta forma, utilizando (B.24), temos
h
i
s,2
s,2
s,3
ε1 π1,z
− ε2 π2,z
+ π2,z
z=0
=
σ
(∇ · π 2 )|z=0 ,
jω
o que nos dá
ε1 A2,z − ε2 (B2,z + B3,z ) =
σ
∇ · π2.
jω
32
Para este caso, temos que
∂ s,2
s,3
s,2
s,3
s,2
s,3
π2,z + π2,z
(∇ · π 2 )|z=0 = −jqx π2,x
+ π2,x
− jqy π2,y
+ π2,y
+
∂z
= −jqx (B2,x + B3,x ) − jqy (B2,y + B3,y ) − p2 (B2,z − B3,z )
= −jqx (1 + R21,t ) B2,x − jqy (1 + R21,t ) B2,y − p2 (B2,z − B3,z )
T21,t
= −T12,t R23,t 2 2 e−2p2 d V − p2 (B2,z − B3,z ) ,
N M
o que nos dá
T21,t
σp2
σ
σp2
2
2
B3,z + N −
B2,z −
T12,t R23,t 2 2 e−2p2 d V.
A2,z = N +
jωε1
jωε1
jωε1
N M
(2.52)
Utilizando, agora (B.25), teremos que
−p1 A2,z + p2 (B2,z − B3,z ) = − 1 − N 2 M 2 T12,t T21,t R23,t e−2p2 d V
(2.53)
B3,z = R21,n B2,z + T12,t R23,t R21,c e−2p2 d V
onde
N 2 p1 − p2 −
R21,n = −
N 2 p1 + p2 +
e
h
R21,c =
T21,t
N 2M 2
σp1 p2
jωε1
σp1 p2
jωε1
N 2 p1 + p2 +
!
σp1
jωε1
σp1 p2
jωε1
1 − N 2M 2 +
(2.54)
i
.
B3,z = T12,n R23,n R21,n e−2p2 d Vz + [T12,c R21,n R23,n +
R23,c R21,n + R21,c T12,t R23,t ] e−2p2 d V.
(2.55)
A2,z = T21,n B2,z − T12,t R23,t T21,c e−2p2 d V.
(2.56)
−
De (2.54) e (2.53), resulta
sendo
T21,n =
p2
(1 − R21,n )
p1
e
T21,c
T21,t
= 2 2
N M
σp2 M 2
N M −1 +
.
jωε1
2
2
33
Utilizando (2.49) e (2.56), podemos escrever
A2,z = T12,n T21,n R23,n e−2p2 d Vz + [T21,n T12,c R23,n +
−
T21,n R23,c − T12,t R23,t T21,c ] e−2p2 d V.
(2.57)
s,4
s,2
Podemos agora, calcular as componentes normais dos coeficientes de π2,z
e π3,z
, ver Figura
s,3
2.6, em função de π2,z
.
Utilizando (B.24), para esses potenciais, em z = −d, temos
h
i
s,3
s,4
s,2 ε2 π2,z
+ π2,z
− ε3 π3,z
z=−d
=
σ
(∇ · π 2 )|z=−d ,
jω
assim, temos que
σ
ε2 B3,z e−p2 d + B4,z ep2 d − ε3 C2,z e−p3 d =
∇ · π2.
jω
Para estes potenciais, temos que
∂ s,3
s,4
s,3
s,4
s,4
s,3
+
+ π2,y
− jqy π2,y
+ π2,x
(∇ · π 2 )|z=−d = −jqx π2,x
π2,z + π2,z
∂z
−p2 d
p2 d
− jqy B3,y e−p2 d + B4,y ep2 d +
= −jqx B3,x e
+ B4,x e
+p2 B3,z e−p2 d − B4,z ep2 d
= −n2 m2 T23,t T12,t R23,t R21,t e−3p2 d V + p2 B3,z e−p2 d − B4,z ep2 d ,
de onde tiramos que
2
n C2,z e
−p3 d
σp2
σp2
−p2 d
=
1+
B3,z e
+ 1−
B4,z ep2 d +
jωε2
jωε2
σ 2 2
+
n m T23,t T12,t R23,t R21,t e−3p2 d V.
jωε2
(2.58)
Utilizando, agora, (B.25), temos
∂ s,2
∂
∂ s,2 ∂ s,2 s,3
s,4
2 2
π + π2,z −
π
= 1−n m
π +
π
,
∂z 2,z
∂z 3,z z=−d
∂x 3,x ∂y 3,y z=−d
o que resulta em
p3 C2,z e−p32 d = p2 B3,z e−p2 d − B4,z ep2 d +
+ 1 − n2 m2 T12,t T23,t R23,t R21,t e−3p2 d V.
(2.59)
B4,z = R23,n e−2p2 d B3,z − T12,t R23,t R21,t R23,c e−4p2 d V.
(2.60)
34
2
2
B4,z = T12,n R23,n
R21,n e−4p2 d + T12,c R23,n
R21,n − R23,c R21,n R23,n +
+
R23,t R21,c R23,n − T12,t R23,t R21,t R23,c ] e−4p2 d V.
(2.61)
C2,z = T23,n e−(p2 −p3 )d B3,z + T23,c T12,t R23,t R21,t e−(3p2 −p3 )d V
(2.62)
Substituindo, agora, (2.55) em (2.62), resulta
C2,z = T23,n T12,n R23,n R21,n e−(3p2 −p3 d) Vz + {T12,c T23,n R23,n R21,n +
− R23,c T23,n R21,n + R12,c T23,n T12,t R23,t +
+
T23,c T12,t R23,t R21,t } e−(3p2 −p3 )d V,
(2.63)
e assim, para as múltiplas reflexões.
Também, como para as componentes tangenciais, podemos escrever uma expressão geral
para o k-ésimo coeficiente de cada meio e, escrever os coeficientes totais, somando todas as
contribuições de cada meio.
Para os coeficientes do meio 1, temos que o k-ésimo termo será dado por
n
k+1
k+1
k
k
R21,n
+
R21,n
e−2(k+1)p2 d Vz + T21,c T21,n R23,n
A(k+2),z = T21,n T12,n R23,n


k
X
− R23,c T21,n T21,t 
(R23,n R21,n )k−j (R23,t R21,t )j  +
j=0
+ R21c T21,n T12,t R23,t


k−1
X
R23,n 
(R23,n R21,n )k−j−1 (R23,t R21,t )j  +
j=0
−
o
k+1
k
T21,c T12,t R23,t
R21,t
e−2(k+1)p2 d V.
O coeficiente total ATz , será dado por
ATz = A1,z +
∞
X
A(k+2),z .
k=0
Realizando o somatório e arrumando os termos, o coeficiente total pode ser escrito como
T
T
ATz = R1,n
Vz − R1,c
V,
(2.64)
sendo que
T
R1,n
= R12,n +
T12,n T21,n R23,n e−2p2 d
1 − R23,n R21,n e−2p2 d
(2.65)
35
e
T
R1,c
= R12,c +
+
−
T21,c T12,t R23,t e−2p2 d T12,c T21,n T12,t e−2p2 d
−
+
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
1 − R23,n R21,n e−2p2 d
(1 − R23,t
R23,c T21,n T12,t e−2p2 d
+
R21,t e−2p2 d ) (1 − R23,n R21,n e−2p2 d )
R21,c T21,n T12,t R23,t R21,t e−4p2 d
.
(1 − R23,t R21,t e−2p2 d ) (1 − R23,n R21,n e−2p2 d )
Para o meio 2, teremos que separar as componentes pares e impares, como foi feito para as
componentes tangenciais. Para as componentes impares, temos
k
k
k
k
R21,n
e−2kp2 d Vz + {T12,c R23,n
R21,n
+
B(2k+1),z = T12,n R23,n
− R23,c T12,t R21,n
k−1
X
(R23,n R21,n )k−j−1 (R23,t R21,t )j +
j=0
+ R21,c T12,t R23,t
k−1
X
(R23,n R21,n )k−j−1 (R23,t R21,t )j }e−2kp2 d V.
j=0
T será dado por
O coeficiente total para os coeficientes impares B1,z
T
B1,z
=
∞
X
B(2k+1),z .
k=0
Assim, podemos escrever
T
T
T
= T2,n
Vz + T2,c
V,
B1,z
(2.66)
onde, temos que
T
T2,n
=
T12,n
1 − R23,n R21,n e−2p2 d
e
T
T2,c
=
+
T12,c
R23,c T12,t R21,n e−2p2 d
−
+
1 − R23,n R21,n e−2p2 d (1 − R23,n R21,n e−2p2 d ) (1 − R23,t R21,t e−2p2 d )
(1 − R23,n
R21,c T12,t R23,t e−2p2 d
.
R21,n e−2p2 d ) (1 − R23,t R21,t e−2p2 d )
Para as componentes pares, temos
k+1
k+1
k
k
B2(k+1),z = T12,n R23,n
R21,n
e−2(k+1)p2 d Vz + {T12,c R23,n
R21,n
+
− R23,c T12,t
k
X
(R23,n R21,n )k−j (R23,t R21,t )j +
j=0
+ R21,c T12,t R23,t R23,n
k−1
X
(R23,n R21,n )k−j−1 (R23,t R21,t )j }e−2(k+1)p2 d V.
j=0
36
T , será dado por
O coeficiente total para os coeficientes ímpares B2,z
T
B2,z
=
∞
X
B2(k+1),z .
k=0
Podemos escrever o coeficiente total para as componentes pares da forma
T
T
T
B2,z
= R2,n
Vz − R2,c
V,
(2.67)
onde, temos que
T12,n R23,n e−2p2 d
1 − R23,n R21,n e−2p2 d
T
R2,n
=
e
T
R2,c
=
−
T12,c R23,n
R23,c T12,t
−
+
(1 − R23,n R21,n e−2p2 d ) (1 − R23,t R21,t e−2p2 d ) 1 − R23,n R21,n e−2p2 d
R21,c T12,t
e−2p2 d .
−2p
(1 − R23,n R21,n e 2 d ) (1 − R23,t R21,t e−2p2 d )
Para os coeficientes do meio 3, C(n+1),z , podemos escrever o termo geral da forma
n
k
k
k
k
C(n+1),z = T23,n T12,n R23,n
R21,n
e−[(2k+1)p2 −p3 ]d Vz + T12,c T23,n R23,n
R21,n
+


∞
X
− R23,c T23,n T12,t R21,n 
(R23,n R21,n )k−j−1 (R23,t R21,t )j  +
j=0
+
R21,c T23,n T12,t


∞
X
R23,t 
(R23,n R21,n )k−j−1 (R23,t R21,t )j  +
j=0
+
k
k
T23,c T12,t R23,t
R21,t
o
e−[(2k+1)p2 −p3 ]d V,
onde n ≥ 0.
Portanto, o coeficiente total, será dado por
CzT =
∞
X
C(k+1),z .
k=0
Realizando o somatório, temos que
T
T
CzT = T3,n
VZ + T3,c
V,
(2.68)
em que
T
T3,n
=
T23,n T12,n e−(p2 −p3 )d
1 − R23,n R21,n e−2p2 d
(2.69)
2.4 Funções diádicas de Green
37
e
T
T3,c
=
−
+
T12,c T23,n
T23,c T12,t
+
+
−2p
d
2
1 − R23,n R21,n e
1 − R23,t R21,t e−2p2 d
R23,c T23,n T12,t R21,n e−p2 d
+
(1 − R23,n R21,n e−2p2 d ) (1 − R23,t R21,t e−2p2 d )
R21,c T23,n T12,t R23,t e−p2 d
e−(p2 −p3 )d .
(1 − R23,n R21,n e−2p2 d ) (1 − R23,t R21,t e−2p2 d )
Podemos escrever, agora, os potenciais para os três meios. Para o meio 1, temos
π s1 = ATα α̂ + ATz ẑ e−p1 z .
(2.70)
T
T
T
T
α̂ + B1,z
ẑ ep2 z + B2,α
α̂ + B2,z
ẑ e−p2 z .
π s2 = B1,α
(2.71)
onde α̂ = x̂, ŷ.
π s3 = CαT α̂ + CzT ẑ ep3 z .
(2.72)
Utilizando as equações (2.37), (2.38), (2.39) e (2.41) para as componentes tangenciais e,
(2.64), (2.66), (2.67) e (2.68) para as componentes normais, , resulta
T
T
T
π s1 = R1,t
Vα α̂ + R1,n
Vz − R1,c
V ẑ e−p1 z ,
(2.73)
para o meio 1,
π s2 =
T
T
T
T2,t Vα α̂ + T2,n
Vz + T2,c
V ẑ ep2 z +
T
T
T
+ R2,t
Vα α̂ + R2,n
Vz − R2,c
V ẑ e−p2 z ,
(2.74)
para o meio 2 e,
T
T
T
π s3 = T3,t
Vα α̂ + T3,n
Vz + T3,c
V ẑ ep3 z ,
(2.75)
para o meio 3.
2.4
Funções diádicas de Green
Realizando a transformada inversa em (2.73), (2.74) e (2.75), podemos identificar as
funções diádicas de Green para os potenciais espalhados.
38
Z
Πs1 =
Gs1 (r|r 0 ) ·
Ω0
J (r 0 ) 0
dΩ ,
jωε1
(2.76)
onde
s
s
Gs1 (r|r 0 ) = g1,t
(r|r 0 ) x̂x̂ + g1,t
(r|r 0 ) ŷ ŷ +
∂ s
s
g (r|r 0 ) ẑ ŷ + g1,n
(r|r 0 ) ẑ ẑ.
∂y 1,c
+
e
s
g1,β
=
∂ s
g (r|r 0 ) ẑ x̂ +
∂x 1,c
Z
1
(2π)2
∞
Z
−∞
0
∞
−∞
T
R1,β
e−p1 (z+z ) −j q ·(r −r 0 )
e
dqx dqy
2p1
(2.77)
com β = t, n, c.
Portanto o potencial total, para o meio 1, será dado por
Z
Π1 =
Ω0
J (r 0 ) 0
Gp1 (r|r 0 ) + Gs1 (r|r 0 ) ·
dΩ
jωε1
com
Gp1 (r|r 0 )
Z
I
=
(2π)2
∞
Z
−∞
∞
−∞
(2.78)
0
e−p1 |z−z | −j q ·(r −r 0 )
e
dqx dqy .
2p1
Z
Π2 =
h
Ω0
i J (r 0 )
0
(r|r
)
·
dΩ0 ,
G2s,1 (r|r 0 ) + Gs,2
2
jωε1
onde
s,1
s,1
0
0
0
Gs,1
2 (r|r ) = g2,t (r|r ) x̂x̂ + g2,t (r|r ) ŷ ŷ −
−
∂ s,1
g (r|r 0 ) ẑ x̂ +
∂x 2,c
∂ s,1
s,1
g (r|r 0 ) ẑ ŷ + g2,n
(r|r 0 ) ẑ ẑ.
∂y 2,c
e
s,2
s,2
0
0
0
Gs,2
2 (r|r ) = g2,t (r|r ) x̂x̂ + g2,t (r|r ) ŷ ŷ +
+
∂ s,2
s,2
g2,c (r|r 0 ) ẑ ŷ + g2,n
(r|r 0 ) ẑ ẑ,
∂y
com
s,1
g2,β
1
=
(2π)2
Z
∞
Z
∞
−∞
−∞
∞
∞
T e
T2,β
e
s,2
g2,β
=
1
(2π)2
∂ s,2
g (r|r 0 ) ẑ x̂ +
∂x 2,c
Z
−∞
Z
−∞
0
e−p1 z −j q ·(r −r 0 )
e
dqx dqy ,
2p1
p2 z
0
T
R2,β
e−p2 z e−p1 z −j q ·(r −r 0 )
e
dqx dqy .
2p1
(2.79)
39
Para o meio 3, obtemos
Z
Π3 =
Ω0
Gs3 (r|r 0 ) ·
J (r 0 ) 0
dΩ ,
jωε1
(2.80)
onde
s
s
Gs3 (r|r 0 ) = g3,t
(r|r 0 ) x̂x̂ + g3,t
(r|r 0 ) ŷ ŷ −
−
∂ s
s
g (r|r 0 ) ẑ ŷ + g3,n
(r|r 0 ) ẑ ẑ.
∂y 3,c
e
s
g3,β
=
∂ s
g (r|r 0 ) ẑ x̂ +
∂x 3,c
1
(2π)2
Z
∞
−∞
Z
0
∞
−∞
T
T3,β
e−p1 z ep3 z −j q ·(r −r 0 )
e
dqx dqy .
2p1
(2.81)
Capítulo 3
Cálculo do campo refletido e
trasnmitido e resultados
Apresentaremos neste trabalho o campo elétrico refletido e transmitido de um fonte
pontual muito distante da origem simulando uma onda plana.
3.1
Campo refletido e trasnmitido para incidência normal
No caso de incidência normal temos dois casos; um em que o dipolo está orientado na
direção ẑ e o outro em que o dipolo é orientado ou em x̂ ou em ŷ [1]. Apresentaremos, aqui, o
campo espalhado para incidência normal do primeiro caso.
J (r 0 ) = j
4πr0
δ(r 0 − r 0 ) α̂
ωµ1
(3.1)
onde r 0 = z0 ẑ e z0 >> 0 e α̂ = x̂ ou ẑ. Esta fonte produz uma onda com amplitude unitária [1].
O potencial espalhado, na região 1, para a fonte descrita em 3.1, será dado por
Z
4πr0
Πs1 (r) = 2
Gs (r|r 0 ) · α̂δ(r 0 − r 0 )dV 0 ,
k1 V 0 1
(3.2)
Uma fonte do tipo (3.1), na direção ẑ, gera um potencial com apenas a componente πz . Se
a fonte estivesse na direção x̂(ŷ), o potencial gerado teria componentes πx (πy ) e πz [17].
As equações (2.77) e (2.81), podem ser decompostas em duas partes, uma referente ao espectro discreto, que produz ondas superficiais, e outra referente ao espectro continuo, que é o campo
3.1 Campo refletido e trasnmitido para incidência normal
41
de radiação, isto é, o campo espalhado. Como estamos tratando do campo espalhado distante,
podemos escrever a função diádica de Green espalhada na região 1, na forma de uma integral de
Sommerfeld [10]- [12].
s
g1,β
(r|r 0 )
1
=
2π
∞
Z
−∞
(2)
T
Rβ,n
H0 (qρ ρ)
e−p1 (z+z0 )
qρ dqρ .
4p1
(3.3)
Da mesma forma, a função diádica de Green para a região 3, toma a forma
s
g3,β
(r|r 0 )
1
=
2π
Z
∞
−∞
e
(2)
T
Tβ,n
H0 (qρ ρ)
−p1 z0 ep3 z
4p1
qρ dqρ .
(3.4)
Os campos refletido e transmitido são calculados pelo método steepest descent [2], [23]. Seguindo esse método, podemos chegar aos campos espalhado da mesma forma que em [1] que
pode ser escrito como
E s1 (r) = re−jk1 z α̂
(3.5)
em que r é o coeficiente de reflexão dado por 2.65 com qρ = 0
(η3 −η2 −σd η2 η3 ) −j2k2 d
4η1 η2
e
η2 − η1 − σu η1 η2
(η2 +η1 +σu η1 η2 )2 (η2 +η3 +σd η2 η3 )
+
r=
.
η2 + η1 + σu η1 η2 1 + (η2 −η1 +σu η1 η2 ) (η3 −η2 +σd η2 η3 ) e−j2k2 d
(η2 +η1 +σu η1 η2 ) (η2 +η3 +σd η2 η3 )
(3.6)
Da mesma forma, podemos mostrar que o campo espalhado para a região 3 fica
E s1 (r) = tejk2 z ẑ
(3.7)
em que t é o coeficiente de transmissão, dado por 2.40, também, com qρ = 0
t=
1
4η2 η3
−j2k2 d
(η2 +η3 +σd η1 η3 )(η1 +η2 +σu η1 η2 ) e
.
3 −η2 −σd η2 η3 ) (η2 −η1 +σu η1 η2 )
−j2k2 d
+ (η
e
(η2 +η3 +σd η2 η3 ) (η1 +η2 +σu η1 η2 )
(3.8)
A notação σu e σd correspondem as condutividades das camadas de grafeno em z = 0 e em
z = −d, respectivamente. A rigor as duas são iguais, mas usaremos isso para mostrar o caso
limite de uma camada.Tomemos a equação (3.6), para o limite de uma camada, devemos fazer
σd = 0 e η3 → η2 , com isso retomaremos o resultado apresentado em [1] da forma
r=
η2 − η1 − ση1 η2
.
η2 + η1 + ση1 η2
(3.9)
t=
2η2
.
η1 + η2 + ση1 η2
(3.10)
Da mesma forma para (3.8), temos
3.2 Resultados
3.2
42
Resultados
Apresentaremos, nesta seção, os resultados obtidos a partir dos coeficientes de reflexão
e transmissão para o grafeno monocamada e bicamada, com ou sem substrato e, também os
resultados obtidos para somente o substrato (SiO2 ) para termos de comparação com os resultados
já apresentados na literatura, afim de validar o método utilizado neste trabalho.
Como já foi dito, a condutividade da folha de grafeno será considerada isotrópica, para isso,
não teremos campos externos e nem dopagem química. Na faixa de frequência estudada, faixa
visível, o termo dominante é o termo interbanda, dado por (1.3), como pode ser visto na Figura
3.1.
Os valores usados para o cálculo da condutividade são Γ = 0, 11 meV , que foi escolhido
aproximadamente o mesmo para o espalhamento da interação elétron-fônon acústico [1], T =
300 K, µc = 0.
Figura 3.1: Gráfico das partes reais e imaginárias da condutividade intrabanda e interbanda.
Note que nessa faixa de frequências a condutividade assume seu valor mínimo, dado por
σmin = e2 π/2h.
Para apresentar os resultados primeiramente devemos tocar alguns pontos da reflexão e difração de ondas. Definiremos a refletividade e a transmissividade1 , em função dos coeficientes
de reflexão e transmissão [23], como
R = |r|2
1
Algumas literaturas apresentam como Transmitância e reflectância.
(3.11)
3.2 Resultados
43
e
√
µ t εt 2
|t| ,
T = √
µ i εi
(3.12)
onde o subindicie t refere-se ao meio para onde a onda é transmitida e o subindicie i ao meio da
onda incidente.
São a transmissividade e a refletividade que apresentaremos nos gráficos a seguir.
3.2.1
Incidência normal para bicamadas e monocamada de grafeno
O primeiro resultado é apresentado para os três meios iguais, ou seja, µ1 = µ2 = µ3 = µ0
e ε1 = ε2 = ε3 = ε0 , em que µ0 e ε0 são permeabilidade magnética e a permissividade elétrica
do espaço livre, respectivamente.
Figura 3.2: Incidência Normal em duas folhas de grafeno.
Tomando para o mesmo caso em que os meios são iguais, apresentaremos o grafico para uma
camada de grafeno.
3.2 Resultados
44
Figura 3.3: Incidência Normal em uma folha de grafeno.
Os gráficos apresentados nas Figuras 3.2 e 3.3 estão de acordo com os resultados experimentais
para incidência normal publicados na referencia [24].
3.2.2
Incidência normal para grafeno/SiO2
O SiO2 foi escolhido pois é usado como substrato nos componentes microeletrônicos
atuais e, poderia servir como suporte para dispositivos a base de grafeno. Qualquer meio pode
ser caracterizado por um índicie de refração complexo, da forma [23]
n̂ = n (1 + jk) ,
(3.13)
onde n e k são reais e k é chamado de coeficiente de atenuação.
Na faixa de frequência visível o coeficiente de atenuação para o SiO2 puro é praticamente
nulo [27], portanto não espera-se absorção na camada do substrato.
A Figura 3.4, mostra um esquema da estrutura de grafeno sobre o substrato de SiO2 .
3.2 Resultados
45
Figura 3.4: Esquema ilustrativo de uma folha de grafeno sobre um substrato de SiO2 . a) vista em
perspectiva e b) vista lateral.
A transmissividade para uma camada finita de SiO2 , isto é, ar/SiO2 /ar é apresentada na
Figura 3.5.
Figura 3.5: Transmissão e reflexão em uma interface ar/SiO2 /ar em que a espessura do SiO2 é de
300 nm.
A variação neste gráfico deve-se ao efeito de ressonância das multiplas reflexões no interior
do substrato.
Finalmente apresentamos o gráfico para estrutura da Figura 3.4 com uma folha de grafeno
na interface de separação ar/SiO2 .
3.2 Resultados
46
Figura 3.6: Transmissão e reflexão em uma interface ar/SiO2 /ar em que a a primeira interface deseparação é uma folha de grafeno. A espessura do SiO2 é de 300 nm.
Nota-se que a absorção da estrutura devido a camada de grafeno varia tendo como valor
máximo o mesmo para uma camada de grafeno, isso deve-se a fenômeno da ressônancia que
ocorre no substrato.
Considerações Finais
Neste trabalho foi apresentado o método das funções diádicas de Green para um modelo
de grafeno bicamada. Através desse método foi calculado a transmissividade e refletividade para
incidência normal de uma onda plana para duas camadas de grafeno e comparado o resultado
quando tomado o limite para uma camada de grafeno, afim de validar o método ultilizado. Foi
calculado, também, para uma folha de grafeno sobre um substrato de SiO2 de acordo com a
Figura 3.5. Para trabalhos futuros, aplicaremos o método das funções diádicas de Green para as
estruturas multicamadas descritas na seção 1.4.
Apêndice A
Potencial de Hertz
No eletromagnetismo clássico é comum escrevermos o campo eletromagnético, que é
solução das equações de Maxwell, em termos de potenciais. Por exemplo, o campo elétrico e
magnético em termos dos potenciais escalar e vetor podem ser escritos da forma
E = −∇φ −
∂A
∂t
e
B = ∇ × A.
Hertz mostrou que é possível escrever o campo eletromagnético em função de um único
potencial vetor. Seguindo os passos descritos em [34], podemos escrever os potenciais escalar e
vetor em termos do potencial de Hertz da forma
A = µε
∂Π
∂t
e
φ = −∇ · Π.
Substituindo A e φ nas equações do campo, temos
E = ∇∇ · φ − µε
∂2Π
∂t2
e
B = µε
∂
∇ × Π.
∂t
Lembrando que para casos de ondas estacionárias, podemos escrever que
∂
→ jω.
∂t
49
Também que
√
k = ω µ,
e que
B = µH,
temos que
E(r) = k 2 + ∇∇· Π(r),
(A.1)
H(r) = jω∇ × Π(r).
(A.2)
e
Que são os campos elétricos e magnéticos calculados a partir do potencial elétrico de Hertz.
Apêndice B
Condições de contorno para o potencial
de Hertz
As condições de contorno que os campos devem satisfazer na interface, são
ẑ × (E 1 − E 2 ) = 0
(B.1)
ẑ × (H 1 − H 2 ) = J se
(B.2)
essas condições de contorno devem ser satisfeitas tanto para z = 0 quanto para z = −d.
Explicitando as condições de contorno em termos das componentes dos campos, temos
E1,x = E2,x
(B.3)
E1,y = E2,y
(B.4)
H1,x − H2,x = σEy
(B.5)
H1,y − H2,y = −σEx .
(B.6)
De (B.3) e (B.4), temos
E1,α = E2,α ,
suibstituindo (2.1), temos que
K12 Π1,α +
∂
∂
(∇ · Π1 ) = K22 Π2,α +
(∇ · Π2 ) ,
∂α
∂α
(B.7)
em que α = x, y.
De (B.7), temos
Π1,α = N 2 M 2 Π2,α ,
(B.8)
51
e
Onde N 2 =
ε2
ε1
e M2 =
∇ · Π1 = ∇ · Π2 .
(B.9)
(H1,x − H2,x ) = σ Ey ,
(B.10)
(H1,y − H2,y ) = −σ Ex .
(B.11)
µ2
µ1 .
De (B.5) e (B.6), temos
e
Substituindo (2.1) e (2.2) em (B.10), resulta
∂
∂
∂
∂
jωε1
Π1,z −
Π1,y
− jωε2
Π2,z −
Π2,y =
∂y
∂z
∂y
∂z
∂
2
= σ k1 Π1,y +
(∇ · Π1 )
∂y
(B.12)
De (B.12), obtemos
ε2
∂
∂
σ 2
Π2,y − ε1 Π1,y =
k Π1,y ,
∂z
∂z
jω 1
(B.13)
e
ε1 Π1,z − ε2 Π2,z =
σ
(∇ · Π1 ) .
jω
(B.14)
Procedendo da mesma maneira para (B.11), temos
ε2
∂
σ 2
∂
Π2,x − ε1 Π1,x =
k Π1,x ,
∂z
∂z
jω 1
(B.15)
e
ε1 Π1,z − ε2 Π2,z =
σ
(∇ · Π1 ) .
jω
(B.16)
A equação (B.14) é igual a (B.16), portanto precisaremos de mais uma equação para determinar
as componentes o potencial de Hertz.
De (B.9), obtemos
∇ · Π1 = ∇ · Π2
∂
∂
∂
∂
Π1,x +
Π1,y +
Π1,z =
Π2,x +
∂x
∂y
∂z
∂x
∂
∂
∂
Π1,z −
Π2,z
=
Π2,x −
∂z
∂z
∂x
∂
∂
Π2,y +
Π2,z
∂y
∂z
∂
∂
∂
Π1,x +
Π2,y −
Π1,y .
∂x
∂y
∂1
Usnado (B.8), resulta
∂
∂
∂
∂
2
2
Π1,z −
Π2,z = 1 − N M
Π2,x +
Π2,y .
∂z
∂z
∂x
∂y
(B.17)
52
Finalmente as condições de contorno que o potencial de Hertz deve satisfazer, são
Π1,α = N 2 M 2 Π2,α ,
(B.18)
∂
σ 2
∂
Π2,α − ε1 Π1,α =
k Π1,α ,
∂z
∂z
jω 1
σ
(∇ · Π1 ) ,
ε1 Π1,z − ε2 Π2,z =
jω
∂
∂
∂
∂
2
2
Π1,z −
Π2,z = 1 − N M
Π2,x +
Π2,y .
∂z
∂z
∂x
∂y
ε2
(B.19)
(B.20)
(B.21)
Essas condições são válidas também para o potencial transformado π(q, z), tomando o devido
cuidado com a transformada das derivadas do potencial. Com isso, temos
π1,α = N 2 M 2 π2,α ,
(B.22)
∂
∂
σ 2
π2,α − ε1 π1,α =
k π1,α ,
∂z
∂z
jω 1
σ
ε1 π1,z − ε2 π2,z =
(∇ · π 1 ) ,
jω
∂
∂
π1,z −
π2,z = 1 − N 2 M 2 (jqx π2,x + jqy π2,y ) ,
∂z
∂z
ε2
(B.23)
(B.24)
(B.25)
sendo que
∇ · π = −jqx πx − jqy πy +
∂
πz .
∂z
(B.26)
Referências Bibliográficas
[1] G. W. Hanson, Journal of Applied Physics 103, 064302 (2008).
[2] W. C. Chew, Waves and Fields in Inhomogeneous Media, IEEE PRESS, New York (1995).
[3] Callum J. Docherty e Michael B. Johnston, J Infrared Milli Terahz Waves 33, 797-815
(2012).
[4] A. Ishimaru, Electromagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, NJ (1991).
[5] H.-S. Philip Wong and Deji Akinwande, Carbon Nanotube and Graphene Device Physics,
Cambridge University Press, Cambridge, UK (2011).
[6] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V.
Grigorieva, A. A. Firsov, Science 306, pp - 666-669(2004).
[7] Xiaochang Miao, Sefaattin Tongay, Maureen K. Petterson, Kara Berke, Andrew G. Rinzler,
Bill R. Appleton, and Arthur F. Hebard, Nano Lett. 12 pp 2745-2750. (2012).
[8] K. J. Tielrooij, J. C. W. Song, S. A. Jensen, A. Centeno, A. Pesquera, A. Zurutuza Elorza,
M. Bonn, L. S. Levitov & F. H. L. Koppens, Nature Physics 9, 248-252 (2013).
[9] Zengguang Cheng, Qiang Li, Zhongjun Li, Qiaoyu Zhou, and Ying Fang, Nano Lett. 10,
1864-1868. (2010).
[10] George W. Hanson, Alexander B. Yakovlev, and Arash Mafi, J. Appl. Phys. 110, 114305
(2011).
[11] G. W. Hanson, Progress In Electromagnetics Research, PIER 39 61-91 (2003).
[12] G. W. Hanson, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 52, NO. 12 (2004).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
54
[13] K. Ziegler, Physical Review B 75, 233407 (2007).
[14] L. A. Falkovsky and S. S. Pershoguba, Physical Review B 76, 153410 (2007).
[15] V. P. Gusynin, S. G. Sharapov, and J. P. Carbotte, Physical Review B 75, 165407 (2007).
[16] L. A. Falkovsky, Journal of Physics: Conference Series 129 012004 (2008).
[17] G. W. Hanson, IEEE Trans. Antennas Propag. 56, 747 (2008).
[18] J. S. Bagby and D. P. Nyquist, IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 35, 207 (1987).
[19] C. T. Tai, Dyadic Green Functions in Electromagnetic Theory, IEEE Press Series on Electromagnetic Waves (1993).
[20] M. T. C. M. Borges, Determinação de propriedades radiativas espectrais de vidros e películas, UFSC (2004).
[21] C. M. Nascimento, Transporte eletrônico em nanofitas de grafeno sob a influência de fatores
externos, via primeiros princípios, UFPA, (2012).
[22] Tsuneya Ando, NPG Asia Mater. 1(1) 17-21 (2009).
[23] Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics, Cambride University Press, Cambride, UK.
(2002).
[24] R. R. Nair, P. Blake, A. N. Grigorenko, K. S. Novoselov, T. J. Booth, T. Stauber, N. M.
R. Peres, A. K. Geim, Sience 320, 1308 (2008).
[25] K. S. Novoselov, S. V. Morozov, T. M. G. Mohinddin, L. A. Ponomarenko, D. C. Elias, R.
Yang, I. I. Barbolina, P. Blake, T. J. Booth, D. Jiang, J. Giesbers, E. W. Hill, and A. K.
Geim, phys. stat. sol. (b) 244, No. 11, 4106-4111 (2007).
[26] Prasopporn Junlabhut, Sakoolkarn Boonruang and Wisanu Pecharapa, Energy Procedia
34 734-739 ( 2013 ).
[27] O. Peña-Rodríguez, J. Manzano-Santamaría, J. Olivares, A. Rivera, F. Agulló-López, Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B 277 126-130 (2012).
[28] Chin Yong Neo, Jianyong Ouyang, Journal of Power Sources 222, 161-168 (2013).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
55
[29] Chao Xie, Jiansheng Jie, Biao Nie, Tianxin Yan, Qiang Li et al., Appl. Phys. Lett. 100,
193103 (2012).
[30] Silvija Gradecak, SPIE Newsroom (2013).
[31] Hyesung Park, Sehoon Chang, Joel Jean, Jayce J. Cheng, Paulo T. Araujo, Mingsheng
Wang, Moungi G. Bawendi, Mildred S. Dresselhaus, Vladimir, Bulovic, Jing Kong, and
Silvija Gradecak, Nano Lett. 13, 233-239 (2013).
[32] Haixia Da and Cheng-Wei Qiu, Appl. Phys. Lett. 100, 241106 (2012).
[33] A. I. Rahachou and I. V. Zozoulenko, Physical Review B 72, 155117 (2005).
[34] Julius Adams Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill (1941).

Título: "Funções Diádicas de Green para um Estudo

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