Séries – 10.6 Comprimento de Arco e Vetor Tangente Unitário

Séries – 10.6 Comprimento de Arco e Vetor Tangente
Unitário
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Comprimento de Curva
Definição: O comprimento de uma curva espacial lisa r(t) = f (t)i + g(t)j +
h(t)k, a ≤ t ≤ b, de a até b é:
s
Z b 2 2 2
df
dg
dh
+
+
dt
L =
dt
dt
dt
a
s
Z b 2 2 2
dx
dy
dz
=
+
+
dt
dt
dt
dt
a
Z
De forma mais compacta: L =
b
|r0(t)| dt.
a
Exemplo (1): Calcule o comprimento do arco da curva da hélice circular de
equação r(t) = cos ti + sen tj + tk do ponto (1, 0, 0) até o ponto (1, 0, 2π).
Vetor Tangente Unitário
Definição: O vetor tangente unitário de uma curva espacial lisa derivável
r(t) é:
dr dr/dt
v
T=
=
=
ds ds/dt |v|
onde ds/dt = |v| e v = dr/dt.
Exemplo (2): Calcule o vetor tangente unitário de r(t) = cos ti + sen tj + tk.
Curvatura
Definição: Se T é o vetor unitário de uma curva lisa, a função curvatura da
curva é:
dT κ = ds dT dt = dt ds 1 dT =
ds/dt
dt
1 dT =
|v| dt Exemplo (3): Mostre que a curvatura de um cı́rculo de raio a é 1/a.
Normal Unitário Principal
Definição: Em um ponto onde κ 6= 0, o vetor vetor unitário principal para
uma curva no plano é:
1 dT
κ ds
dT/ds
=
|dT/ds|
(dT/dt)(dt/ds)
=
|dT/dt| |dt/ds|
dT/dt
=
|dT/dt|
N =
Exemplo (4): Encontre T e N para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i +
(sen 2t)j.
Cı́rculo de Curvatura
Definição: O cı́rculo de curvatura ou osculador em um ponto P sobre
uma curva plana onde κ 6= 0 é o cı́rculo no plano da curva que:
1. é tangente à curva em P (tem a mesma reta tangente que a curva);
2. tem a mesma curvatura que a curva em P ;
3. aponta para o lado côncavo ou interno da curva.
Raio de Curvatura
Definição : é o raio do cı́rculo de curvatura, tal que:
Raio de curvatura = ρ =
1
κ
O centro de curvatura da curva P é o centro do cı́rculo da curvatura.
Exemplo (5): Encontre e trace o gráfico do cı́rculo osculador da parábola y =
x2 na origem.
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 228 à 229;
Exercı́cios: 1 à 24.