Sinais Senoidais

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Sinais Senoidais
Campus Serra
COORDENADORIA DE AUTOMAÇÂO INDUSTRIAL
Disciplina: ELETRÔNICA BÁSICA
Professor: Vinícius Secchin de Melo
Sinais Senoidais
Os sinais senoidais são utilizados para se representar tensões ou correntes elétricas do tipo
alternadas. A figura 1.1 mostra a forma de onda de uma tensão senoidal que pode ser escrita
matematicamente da seguinte forma:
v  t = Vmáx sen   t 
Vmáx
Vmáx
- Vmáx
T
Figura 1.1
Observe que as funções senoidais são periódicas, ou seja, realizam ciclos iguais em intervalos
de tempos iguais. Ao tempo de duração de um ciclo de uma função periódica chamamos de período
(T). O inverso do período é o número de ciclos realizados por segundo, ou freqüência (f) da função
senoidal, sendo assim:
f=
1
T
A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz) e o tempo é dado em segundos (s).
É muito comum trabalharmos também com a freqüência angular  dada em rad/s, cujas
relações com freqüência e período seguem abaixo.
=2 f
e
=
2
T
Observando as expressões acima, podemos concluir que a função senoidal realizará um ciclo,
toda vez que  t for um múltiplo inteiro de 2π rad.
Um outro parâmetro a ser observado é a amplitude da função que no caso varia de um - V máx
a um Vmáx, que são chamados de valores de pico. Se medimos tensões elétricas, serão as tensões de
pico (Vp); se medimos correntes elétricas, serão as correntes de pico (ip). Podemos ainda representar
a sua amplitude pelos os valores de pico a pico (V pp), que é a diferença entre o máximo e o mínimo
alcançado pela função.
Em alguns casos, podemos ter a função começando fora da origem, ou seja, defasada
angularmente da origem. Esta defasagem é observada no argumento da função, é um número fixo
representado em nossa função pela letra grega  .
Quando trabalhamos com tensões e correntes senoidais, devemos atentar ao seu valor eficaz,
que é o valor de tensão ou corrente alternada que produz a mesma eficiência, leia-se potência, que
uma tensão ou corrente contínua. Se você comparar o efeito térmico produzido em um resistor que é
alimentado por uma tensão contínua de 10 V e uma tensão alternada de 10 Vp, verá que esta é em
torno de 70,7% da eficiência em relação àquela. Sendo assim, é fácil de se perceber que o valor de
pico de uma tensão alternada deve ser maior que o seu valor eficaz.
pg 1/13
Sendo assim:
V eficaz =0,707V máx
O valor eficaz de uma função senoidal, também conhecido com valor rms, é definido como a
raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado, que também pode ser escrito como:
V rms=
Vmáx
2
O valor rms de uma função senoidal não depende da freqüência e nem do ângulo de fase ou
defasamento, e sim apenas de sua amplitude. O termo rms vem do original em inglês root mean
square.
Os valores nominais de tensão e corrente de equipamentos que funcionam em corrente
alternada já são em valores eficazes, não necessitando assim a operação matemática para
descobrir seu valor.
Os aparelhos de medições de tensão e corrente senoidais ou alternadas também já nos
fornecem em sua leitura os valores eficazes de tensão e corrente, com exceção do osciloscópios que
nos mostram a forma de onda de tensão senoidal ou alternada.
Exemplo 1:Dada as seguintes funções senoidais, determine suas amplitudes, freqüência, fase inicial
e seu valor eficaz.
a) v(t) = 180 sen (377t) [V]
A=180 V
=377 rad/s
2 f=377
377
f=
=60 Hz
2
=0
o
V rms=
Vmáx
⇒ V rms=
2
180
=127 V
2
b) i(t) = 25 sen (6283,2t – 45o) [mA]
−3
A=25x10 A
=6283,2 rad/s
2 f=6283,2
6283,2
f=
=1000Hz=1kHz
2
=−45
irms=
o
imáx
2
−3
⇒
irms=
25x10
−3
=17,7 x10 A
2
pg 2/13
c) v(t) = 75 sen (3769,9t + 90o) [mV]
−3
A=75x10 A
=3769,9 rad/s
2 f=3769,9
3769,9
f=
=600Hz
2
=90
V rms=
o
Vmáx
2
⇒ V rms=
75
=53,04 V
2
Exemplo 2: Dados o gráficos das seguintes funções senoidais, determine sua função matemática e
seu valor eficaz.
a)
2
1 .5
1
V (V )
0 .5
0
-0 .5
-1
-1 .5
-2
0
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3
0 .0 4
0 .0 5
t(s )
0 .0 6
0 .0 7
0 .0 8
0 .0 9
0 .1
1- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico
simétricos, ou seja:
Vp = 2V
2- Período: Observe que temos visivelmente um ciclo em um intervalo de 0,05 s, então:
T= 0,05 s = 50 ms
1
1
=20Hz
3- Frequência: f= =
T 0,05
4- Frequência angular:
=2  f
=2 . .20=125,66 rad/s
5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0 V, então: =0o
6- Expressão matemática: v(t) = 2 sen (125,66t) [V]
pg 3/13
b)
0 .0 2 5
0 .0 2
0 .0 1 5
0 .0 1
V (V )
0 .0 0 5
0
-0 .0 0 5
-0 .0 1
-0 .0 1 5
-0 .0 2
-0 .0 2 5
0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
t(s )
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
x 10
-3
1- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico
simétricos, ou seja:
Vp = 25 mV
2- Período: Neste caso temos 3 metades de ciclo em 1 ms, desta forma o período será:
−3
10
T=2 x
=0,66ms
3
1
1
=1500Hz
3- Frequência: f= =
T 0,66x10−3
4- Frequência angular:
=2  f
=2 . .1500=9424,8 rad/s
5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0 V, então: =0o
6- Expressão matemática: v(t) = 25 sen (9424,8t) [mV]
pg 4/13
c)
0 ,8 6 6
1
0 .8
0 .6
0 .4
V (V )
0 .2
0
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-1
0
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3
0 .0 4
0 .0 5
t(s )
0 .0 6
0 .0 7
0 .0 8
0 .0 9
0 .1
1- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico
simétricos, ou seja:
Vp = 1 V
2- Período: O ciclo se inicia entre 0,02 e 0,03 s, aproximadamente 0,025 s. O seu término acontece
em 0,1 s, então:
T = 0,1 – 0,025 = 0,075 s
1
1
=13,33 Hz
3- Frequência: f= =
T 0,075
4- Frequência angular:
=2  f
=2 . .13,33=83,77rad/ s
5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0,866 V, significa dizer que a onda está
defasada. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidal
substituindo os seguintes valores:
v  t = Vmáx sen   t  
0,866=1 sen  x0
0,866=sen 
o
=60
6- Expressão matemática: v(t) = 1 sen (83,77t+60o) [V]
pg 5/13
d)
2 .5
2
1 .5
1
V (V )
0 .5
0
-0 .5
-1 ,2 5
-1
-1 .5
-2
-2 .5
0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
t(s )
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
x 10
-4
1- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de pico
simétricos, ou seja:
Vp = 2,5 V
2- Período: O ciclo se inicia entre 0 e 0,1x10 -4 s, aproximadamente 0,08x10-4 s. O seu término
acontece em 1x10-4 s, então:
T = 1x10-4 – 0,08x10-4 = 0,92x10-4 s
1
1
=10869,56 Hz
3- Frequência: f= =
T 0,92x10−4
4- Frequência angular:
=2  f
=2 . .10869,56=68265,49rad/s
5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0,866 V, significa dizer que a onda está
defasada. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidal
substituindo os seguintes valores:
v  t = Vmáx sen   t  
−1,25=1 sen  x0
−1,25=sen 
o
=30
6- Expressão matemática: v(t) = 2,5 sen (68295,49t+30o) [V]
pg 6/13
e)
4
3
V (V )
2
1
0
-1
-2
0
0 .0 0 5
0 .0 1
0 .0 1 5
t(s )
0 .0 2
0 .0 2 5
0 .0 3
1- Amplitude ou valor de pico: Observe que esta forma de onda não possui os valores máximos
mínimos simétricos, então dizemos que a mesma possui um offset (nível DC (contínuo) adicionado
ao sinal senoidal), causando um deslocamento na vertical. Isto é fácil de se perceber, pois a sua
referência não se encontra mais no eixo “x”, ou seja, em 0 V.
Neste caso procederemos da seguinte forma:
1.1- Determina-se o valor do offset como sendo a média dos valores máximos superior e
inferior:
V  V min
V offset = max
2
4−2
V offset =
=1 V
2
1.2- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como:
V p= Vmax − Voffset
V p=4−1=3 V
Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 3V.
2- Período: Neste caso temos 3 metades de ciclo em 0,03 s, desta forma o período será:
0,03
T=2 x
=0,02 s
3
1
1
=50Hz
3- Frequência: f= =
T 0,02
4- Frequência angular:
=2  f
=2 . .50=314,16 rad/s
5- Defasamento: Observe que para t=0 s, a tensão vale 1 V. Apesar de possuir valor diferente se
zero, não caracteriza um defasamento, pois lembre-se que devido ao offset o referencial agora está
em 1 V. Sendo assim, =0o .
6- Expressão matemática:
Para o caso com offset, será da forma:
vt =V offsetV máx sen t
v(t) = 1 + 3sen (314,16t) [V]
pg 7/13
f)
3
2
1
0
V (V )
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
1
2
3
4
t(m s )
5
6
7
8
1- Amplitude ou valor de pico: Observe que esta forma de onda também não possui os valores
máximos mínimos simétricos, ou seja, possui um offset.
Neste caso repetiremos os procederemos do exemplo anterior
1.1- Determina-se o valor do offset como sendo a média dos valores máximos superior e
inferior:
V  V min
V offset = max
2
3−7
V offset =
=−2 V
2
1.2- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como:
V p= Vmax − Voffset
V p=3−−2=5 V
Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 5V.
2- Período: Neste caso podemos perceber claramente um ciclo: T=4ms
1
1
=250 Hz
3- Frequência: f= =
T 4x10−3
4- Frequência angular:
=2  f
=2 .  .250=1570,79 rad/s
5- Defasamento: Observe que para t=0 s, a tensão vale –2 V. Apesar de possuir valor diferente se
zero, não caracteriza um defasamento, pois lembre-se que devido ao offset o referencial agora está
em –2 V. Sendo assim, =0o .
6- Expressão matemática:
Para o caso com offset, será da forma:
vt =V offsetV máx sen t
v(t) = –2 + 5sen (1570,79t) [V]
pg 8/13
g)
9
8 ,1 2 1
8
V (V )
7
6
5
4
3
0
1
2
3
4
t(m s )
5
6
7
8
1- Amplitude ou valor de pico: Mais uma vez percebemos que nesta forma de onda, o valores
máximos e mínimos da tensão não são simétricos, sendo assim, existe um offset. Utilizando as
fórmulas anteriores temos:
V  V min
V offset = max
2
93
V offset =
=6 V
2
1.2- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como:
V p= Vmax − Voffset
V p=9−6=3 V
Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 3V.
2- Período: Observe que entre 5 e 8 ms temos meio ciclo da senóide, sendo mais preciso e por
inspeção, podemos supor que o início ocorre em 5,1 ms sendo uma boa aproximação. Desta forma:
T=2x8−5,1=5,8ms
1
1
=172,41 Hz
3- Frequência: f= =
T 5,8x10−3
4- Frequência angular:
=2  f
=2 . .172,41=1083,30 rad/ s
5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 8,121 V ≠ 6 V (offset – vide exemplos e) e
f)), caracteriza um defasamento. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática
do sinal senoidal substituindo os seguintes valores:
vt =V offsetV máx sen  t
8,121=63sen x0 
8,121=63sen
8,121−6
sen =
=0,707
3
o
=45
6- Expressão matemática: v(t) = 6 + 3sen (1083,30t+45o) [V]
pg 9/13
Exemplo 3: Determine o valor instantâneo da seguinte função senoidal para os instantes de tempo:
T/8; T/4; T/2; 5T/8 e 3T/4.
a) v(t) = 3 + sen (1500t + 30o)
Primeiramente devemos transformar o defasamento de graus para radianos para se efetuar a
conta:
rad =
graus x 
o
180
o
30 x  
rad =
= rad
6
180o
Reescrevendo então a expressão: vt =3sen 1500t
Calculando o período, temos:
2
=
T
2
1500=
 T =4,18 ms
T


6
- Para t1 = T/8 = 4,18/8 = 0,52 ms = 0,52x10-3 s
−3

vt 1 =3sen 1500.0,52x10  
6
vt 1 =3sen0,780,52
vt 1 =3sen 1,30
vt 1 =3,96 V
- Para t2 = T/4 = 4,18/4 = 1,045 ms = 1,045x10-3 s
−3
vt 2 =3sen 1500.1,045 x10 
vt 2 =3sen 1,56750,52
vt 2 =3sen 2,0875
vt 2 =3,87 V


6
- Para t3 = T/2 = 4,18/2 = 2,09 ms = 2,09x10-3 s
−3

vt 3 =3sen 1500.2,09x10  
6
vt 3 =3sen 3,1350,52
vt 3 =3sen 3,655
vt 3 =2,51 V
- Para t4 = 5T/8 = 5x4,18/8 = 2,6125 ms = 2,6125x10-3 s
−3

vt 4 =3sen 1500.2,6125 x10  
6
vt 4 =3sen3,920,52
vt 4 =3sen 4,43
vt 4 =2,04 V
- Para t5 = 3T/4 = 3x4,18/4 = 3,135 ms = 3,135x10-3 s
−3
vt 5 =3sen 1500.3,135 x10 
vt 5 =3sen 4,70250,52
vt 5 =3sen 5,2225
vt 5 =2,12 V


6
pg 10/13
Exercícios:
1- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 300 sen (120 π t + 30o).
a) qual o período da tensão em milissegundos?
b) qual a frequencia em Hz?
c) qual o valor de v em t = 2,778 ms?
d) qual o valor rms de v?
e) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.
2- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 40 sen (2513,27 t + 36,87o). Determine:
a) a frequencia em Hz.
b) o período em milissegundos.
c) valor rms de v.
d) o defasamento em graus e radianos.
e) o valor de v em t = 2,1 ms.
f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.
3- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 5 + 3sen (500t + 25o). Determine:
a) a frequencia em Hz.
b) o período em milissegundos.
c) valor rms de v.
d) o defasamento em graus e radianos.
e) o valor de v em t = 8,2 ms.
f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.
4- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = –2 + 6sen (3500t – 65o). Determine:
a) a frequencia em Hz.
b) o período em milissegundos.
c) valor rms de v.
d) o defasamento em graus e radianos.
e) o valor de v em t = 0,5 ms.
f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.
5- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 180sen (377t – 25o). Determine:
a) a frequencia em Hz.
b) o período em milissegundos.
c) valor rms de v.
d) o defasamento em graus e radianos.
e) o valor de v em t = 10 ms.
f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.
6- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = –15sen (2500t + 55o). Determine:
a) a frequencia em Hz.
b) o período em milissegundos.
c) valor rms de v.
d) o defasamento em graus e radianos.
e) o valor de v em t = 1,2 ms.
f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.
pg 11/13
7- Dados os gráficos a seguir, escreva suas respectivas funções matemáticas.
a)
3
2 ,1 2 1
2
V (V )
1
0
-1
-2
-3
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
t(m s )
1 .2
1 .4
1 .6
1 .8
2
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
t(m s )
3
3 .5
4
4 .5
5
0
2
4
6
8
10
t(m s )
12
14
16
18
20
b)
3
2
1
0
V (V )
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
c)
7
6 .5
6
V (V )
5 .5
5
4 .5
4
3 .5
3
pg 12/13
d)
15
10
V (V )
5
0
-5
-1 0
-1 5
0
5
10
15
20
t(m s )
25
30
35
40
e)
4
3 .5
3
V (V )
2 .5
2
1 .5
1
0 .5
0
0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
t(m s )
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
f)
-1
-2 ,5
-2
V (V )
-3
-4
-5
-6
-7
0
50
100
150
t(m s )
200
250
300
pg 13/13

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