Estudo da pilha de Gr˜aos

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Estudo da pilha de Gr˜aos
Estudo da pilha de Grãos
Gildário Dias Lima
3 de março de 2010
Resumo
Ainda não há respostas definitivas para explicar o que é a complexidade, no entanto todos nós temos a ideia de se tratar de algo complexo. Pode-se dizer que um
sistema é tão mais complexo quanto maior for a quantidade de informações necessárias
para descrevê-lo. Porém, essa é uma entre muitas definições. Sabe-se que a complexidade só emerge em sistemas com muitos constituintes. Porém esta premissa não é
completa, é necessário percebermos que pelo menos um de tais constituintes deve ser
uma variável não pré-determinável, sabe-se que muitos deste sistemas apresentam propriedades interessantes tais como auto-organização e criticalidade. A pilha de areia é
um dos exemplos mais educativos de sistemas complexo dinâmico composto por vários
constituintes que interagem no tempo manifestando resultados coletivos bem diferentes
de resultados de grãos isolados. A criticalidade auto-organizada é um fenômeno que
aparece em sistemas que evoluem naturalmente para um estado crı́tico sem qualquer
sensibilidade à ajustes de parâmetros ou disposições da configuração inicial. Entretanto, neste estado crı́tico, o sistema é altamente susceptı́vel a pequenas mudanças ou
ruı́dos, que podem provocar reações totalmente imprevisı́veis [1, 2].
Propõe-se um estudo da pilha de areia a partir de modelos e resultados já conhecidos, para construção de um modelo que considera como principal parâmetro a
altura de empilhamento máximo hmax seguindo ideias já propostas [1], porém com
pequenas mudanças afim de melhorar os resultados existentes. Para tanto propõe-se
contrapor resultados experimentais para parametrização do modelo afim de construir
aproximações estatistificas.
1
Objetivos
1. Estudar um modelo que descreva o processo de formação de pilhas de grãos.
2. Propor uma relação direta entre propriedades do grão e parâmetros do modelo ajustados experimentalmente.
3. Comparar resultados experimentais com os da simulação.
4. Propor aproximações que descrevam analiticamente valores para os ângulos de repouso, considerando apenas informações acerca propriedades do grãos
1
5. Abrir novas perspectivas para estudar dinâmicas mais complexas e descritivas acerca
do estudo das propriedades crı́ticas da pilha grãos.
2
Pilha de Areia
3
Fundamentação teórica
3.1
Considerações do Modelo
A pilha de areia será construı́da a partir de uma generalização modelo [1] em 3 dimensões
com a adição de novas ações. Considere uma rede cúbica de aresta L, o tamanho do grão
será definido por um cubo de aresta d = L/k onde inicialmente k será um número inteiro.
Afim de facilitar nosso manuseio numérico, tomaremos um cubo de dimensões unitárias
d = 1. Isso implica que a densidade do grão será ρ = 1(Unidade de massa/Unidade de
Volume) As propriedades do material serão identificadas através do parâmetro hmax . O
valor de hmax define a altura máxima de grãos que podem ser empilhados.
quando uma coluna de grão atinge a atura hmax refente ao “vizinho mais próximo” a
pilha desaba, distribuindo aleatoriamente uma quantidades de grãos entre as famı́lias de
vizinhos mais próxima até que toda a massa do desabamento seja totalmente distribuı́da.
Note que as propriedades de adesão do grão, definem o valor para hmax . Considere o
exemplo da areia, que quanto mais úmida, forma pilhas com ângulos maiores, dessa forma
interpretamos que quanto maior a adesão entre-se dos grãos de areia, maior será o tamanho da pilha máxima. De modo geral, grãos que apresentam força de adesão nula, terão
hmax = 2. Esta forma de introduzir as propriedades do grão a partir de uma análise do
tamanho da pilha é uma aproximação, uma vez que várias outras interações podem ser
consideradas no processo. Está aproximação nos restringe a dispensar interações elásticas
entre os grãos, bem como efeitos de viscosidade. Mesmo com essas restrições, é possı́vel
um estudo de muitos materiais tais como: grãos de areia, arroz, feijão e materiais considerados incompressı́veis e não viscosos sob determinados limites. Uma outra restrição
extremamente importe é considerar que os grãos que atingem a base (piso) permanecem
fixos em sua posições, de outra forma as avalanches poderiam também ser ocasionadas por
deslizamentos de grãos da base devido ao rompimento da interação de atrito com o mesmo.
3.2
Descrição do Algorı́timo
Descreveremos os passos do processo de criação das pilhas. Inicialmente definiremos a
altura máxima de empilhamento hmax , levando em consideração uma avaliação do material
podendo ser propriedades de simetrias. Geraremos uma sequência de para vários tamanhos
de hmax , observando as diferenças entre as pilha. Nosso principal interesse é relacionar
os parâmetros: Altura da pilha Z, raio médio da base RM e ângulo de repouso θR . O
algorı́timo pode ser descrito a partir dos passos.
2
1. Os grãos serão despejados em quantidades δV sempre sobre o mesmo alvo, localizado
no centro da base xy.
2. O volume de grãos despejados serão múltiplos de pacotes δVn = δVn (Hn−1 , Rn−1 )
que satisfazem a relação de invariância do ângulo de repouso. O ângulo de repouso
deverá ser calculado cada vez que uma quantidade desse volume for adicionada. Uma
proposta para o volume mı́nimo δV será mostrada adiante.
3. Os grãos serão alocados um a um entre as famı́lias de vizinhos, de forma a preencher
primeiro sempre os vizinhos mais próximos. Um vizinho está disponı́vel a receber
um grão, se a diferença de potencial entre o sı́tio em questão for maior que um valor
de corte δE0 . Essa imposição, garante que os grãos sempre se deslocarão de forma
procurar regiões mais estáveis, seguindo assim o princı́pio de mı́nima ação. O grão
sempre tenderá a cair e nunca o contrário.
4. Toda vez que ocorrer uma pilha de altura máxima (hmax ) a mesma irá desabar,
distribuindo uma quantidade aleatória de grãos entre [1, hmax−1 ] seguindo os precedimentos dos passos anteriores.
5. Uma nova quantidade de grãos só será colocada após não existir nenhuma pilha de
altura máxima.
6. A cada passo do despejo de grãos, serão calculados os parâmetros: Altura da pilha
H, Raio médio da base RM , ângulo de repouso θR , tamanho das avalanches.
Veja a ilustração do algorı́timo na figura a seguir
Figura 1: Sequência de impilhamentos com avalanches
No modelo [1] as avalanches são totais, de forma que a pilha que desaba atinge uma
altura 0, bem como impõe um limite máximo para altura da pilha.
3
3.3
Estatı́stica do Modelo
Com base no modelo descrito acima, iremos calcular alguns parâmetros via raciocı́nios
numéricos e estatı́sticos. Considere uma pilha em formato de cone de acordo com a figura
a seguir.
Figura 2: Projeção da pilha na lateral do cilindro
Uma vez que escolhemos uma altura máxima para desabamento, existiram distribuı́das
ao redor da superfı́cie do cone uma frequência de alturas que varia de [h = 1, h = hmax −1].
Portanto, se consideramos a altura da pilha H como uma projeção da superfı́cie sobre o
eixo z, à altura será dada por
(1)
Hm = d
hX
max
f (k) k
k=1
. Por uma questão de simetria, se olharmos a pilha de cima, observaremos que na direção
do plano XY só existirão diferenças de tamanho d. Logo, o raio da pilha R pode ser dado
por
(2)
Rm = d
hX
max
f (k)
k=1
, onde a altura média HM e raio médio RM são médias sobre os vários números de grãos
M dispostos na pilha. O ângulo de repouso pode ser calculado a partir dos parâmetros
Hm e Rm , sendo
"P
#
hmax
f
(k)
k
(3)
θR = T an−1 Pk=1
jmax
k=1 f (k)
. Note que o ângulo de repouso depende somente do valor da altura máxima hmaz . O
que é bastante conveniente, já que toda ignorância das interações entre os grãos estão
4
colocadas na altura de empilhamento. Na referência [3], os autores mostram que quanto
maior for a quantidade de água entre os grãos de areia, maior serão as alturas das pilhas
e consequentemente os ângulos de repouso. De maneira geral, toda dinâmica acerca do
ângulo de repouso, depende agora da função que distribui as alturas na superfı́cie da pilha.
Determinar qual a forma desta distribuição é estimar uma valor um valor para o ângulo
de repouso.
3.4
Uma estimativa para o volume δv
Iremos considerar que existe um ângulo de repouso, a qual a pilha de grãos sempre recupera
através das avalanches. Então, iremos propor uma condição que gerante que este ângulo se
mantêm quando for adicionado um pacote mı́nimo de volume δV . Considere a geometria
expressada a partir da figura a seguir.
Figura 3: Prejeção do cone no colı́ndro
A quantidade de volume δV pode ser expressa como
(4)
δV = Vpilha (τ − 1) − Vpilha (τ )
onde tau é o marcador da evolução temporal, que aqui corresponde a passos, de foma que
que τ = 3 significa que foram adicionados 3 pacotes de massa de tamanho δV
A condição para manter o ângulo de repouso θR constante é a de que existem uma quantidades mı́nimas δl adicionadas no raio R e na altura H que torna constante a inclinação
da pilha. Podemos escrever a conservação da inclinação da forma
(5)
Hτ
Hτ +1
=
Rτ
Rτ +1
. Portanto podemos escrever
(6)
H + δl
H
=
R
R + δl
5
Substituindo a equação (6) na equação (4) obtemos
1 δV = π δl3 + δl2 (H + 2R) + δl(2RH + R2 )
3
(7)
,
como estamos considerando grãos de formato cúbico com aresta d, o tamanho δl é
múltiplos inteiros de d
(8)
4
δl = n d com n = 1, 2, 3..., n
Aproximação Linear
Na seção anterior foi possı́vel propor uma relação para à altura da pilha que depende da
frequência de distribuição das alturas possı́veis de empilhamento. Nesta seção estamos
interessados em determinar o comportamento da função f (k), todavia iremos propor heuristicamente uma aproximação linear. À aproximação linear consiste em considerar que
as diferenças de alturas ao redor da superfı́cie da pilha estarão distribuı́das com mesma
frequência, empilhamentos de altura h variando entre [1, hmax − 1]. Dessa forma, a função
f (k) tornar-se-á constante. As equações (1), (2) e (11) serão reescritas como
(9)
Hm = d f0
hX
max
k
k=1
(10)
Rm = d f0 hmax
, onde a altura média HM e raio médio RM são médias sobre os vário números de grãos
M . O ângulo de repouso pode ser calculado a partir dos parâmetros Hm e Rm .
"P
#
hmax
k
−1
k=1
(11)
θR = T an
hmax
5
Simulação
Simulou-se para alguns valores de hmax entre [3,10], pilhas com uma quantidade M de
grãos. Calculamos o ângulo médio para cada pilha de altura hmax a partir de um método
numérico e comparamos com à aproximação linear.
6
70
65
Ângulo (o )
60
55
50
Simulação
Aproximação Linear
45
40
2
3
4
5
6
7
8
hmax(comprimento)
9
10
11
Figura 4: ângulos de repouso, simulação e aproximação linear
Observe que mesmo ainda grosseira, à aproximação linear tem o mesmo comportamento
da simulação com uma diferenã que se mantê quasi constatnte e aproximadamente 3o
Durante o processo de empilhamento, cada vez que é tomado valores maiores para hmax ,
maior será o valor do ângylo de repouso. O grafico a seguir mostra a simulação para uma
pilha que durante o processo de dispejo de grãos, foi-se mudando o valor de hmax . Observa-
Figura 5: Simulação para vários valores de hmax e 500.000 grãos para cada
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se que conforme o valor de hmax é mudado existe uma variação no ângulo de repouso da
pilha que pode ser observado. No inı́cio da pilha observa-se ângulos menores, conforme nos
aproximamos do topo a inclinação aumenta.
Na figura a seguir, temos o resultado para o empilhamento de 500.000 grãos de dimensões unitárias d = 1 unidades de comprimento e altura maxima hmax = 3d. é natural
Figura 6: Simulação para hmax = 3 e 500.000 grãos
esperarmos que a medida que assumimos valores maiores para hmax , a ângulo de repouso
também irá aumentar. À aproximação que fizemos no item anterior, segue um argumento
heurı́stico. Porem, a partir da simulação podemos calcular numericamente o gráfico para
a distribuição de alturas.
3.500
3.400
3.000
3.200
2.500
3.000
f(k)
f(k)
50.000.000
2.000
2.800
1.500
2.600
1.000
2.400
500
500.000
2.200
0
5
10
k
15
20
0,5
1
1,5
2
2,5
3
k
3,5
4
4,5
5
5,5
Figura 7: A esquerda uma simulação para hmax = 20d, a direira simulação para hmax = 6d
8
Observa-se que independente do valor de hmax a distribuição da frequência de alturas
possui o mesmo comportamento. Espera-se que com a parametrização a partir de resultados experimentais e uma análise estatı́stica seja possı́vel determinar o comportamento
da distribuição de alturas na superfı́cie da pilha. Como já previsto pelo odelo original de
[4], o sistemas de pilhas de aréia apresenta uma lei de escala bem definida com respeito a
frequência de avalanches de tamanhos k, G(k). Como pedemos ver na figura seguinte.
Log [G(k)]
1.000
100
10
1
1
10
Log [K]
100
Figura 8: Frequência de avalaches de tamanho k
Referências
[1] M.V. Carneiro1; I.C. Charret A criticalidade auto-organizada na pilha de areia Rev.
Bras. Ensino Fı́s. vol.27 no.4 São Paulo Oct./Dec. 2005
[2] P.S. Addison, Fractal And Chaos - An illustrated Course (Institute of Physics Publishing, London, 1997), cap 5.
[3] SARAH NOWAK, AZADEH SAMADANI e ARSHAD KUDROLLI - Maximumangle
of stability of a wet granular pile Nature Physic - Outubro de 2009.
[4] P. Bak, C. Tang and K.Wiesenfeld, Phys. Rev. A. 38, 364 (1988).